Fundamentos de Control Automatico, 2 Grd. Ing. Tecn ...fercas/documentos/ColProbFCA2_2011-12.pdf ·...

Fundamentos de Control Automatico, 2o Grd. Ing. Tecn. Industrial. 1

Problemas de los Temas 2 y 3

Problema 3.1

Considerese el circuito de la figura formado por una resistencia y un condensador conec-tados en serie. La variable de entrada es el voltaje aplicado ve, la variable de salida es elvoltaje en los extremos del condensador vs. Se pide:

- -

Ve Vs

+ +R

C

i

a) Obtener un modelo apropiado del sistema considerando que los componentes sonideales y de valor R Ohmios y C Faradios.

b) Obtener la funcion de transferencia del circuito G(s) = Vs(s)Ve(s) .

c) Si vs = ve = 0 para t < 0 y el voltaje de entrada sufre una subida en escalon deamplitud 2 voltios en el instante t = 0, obtener Vs(s).

d) Utilizando la antitransformada de Laplace hallar vs(t).

e) Comprobar que sucede si en lugar de aplicar ve(t) = 2u(t) se hubiese aplicado laentrada ve(t) = u(t).

f) Calcular vs(t) en el caso en que se conecta una fuente que sigue una rampa dependiente 2V/s. Calcule el error de arrastre.

Problema 3.2

Para un sistema mecanico formado por una masa unida a una pared mediante un muellesobre la que se aplica una horizontal F se pide:

k m

F

x

a) Obtener las ecuaciones dinamicas que describen el comportamiento del sistema enfuncion de la masa m, la constante del muelle k y la fuerza F .

Depto. Ing. de Sistemas y Automatica. ESI. US. 2

b) Calcular la funcion de transferencia del sistema siendo la entrada la fuerza aplicaday la salida el desplazamiento de la masa.

c) Calcular la trayectoria de salida si la fuerza que se aplica es un impulso.

d) Realizar los apartados anteriores si adicionalmente existe una friccion, que se puedemodelar como una fuerza que se opone al movimiento de forma proporcional a lavelocidad con una constante f.

Problema 3.3

Considere el sistema mecanico traslacional formado por dos masas mostrado en la figura.

m1

k1

BB

F

m2

y2

y1

k2

La entrada es la fuerza u(t) aplicada a la masa 1. La salida es y1(t), el desplazamientode dicha masa respecto a su posicion de equlibrio en ausencia de fuerza u = 0. Lasecuaciones que modelan dicho sistema son

F = m1y1 +K1(y1 y2)K1(y1 y2) = m2y2 + 2By2 +K2y2

Se pide:

a) Describir el sistema en forma de diagrama de bloques de tipo integradores y ganan-cias. En este diagrama deben aparecer las senales y1 e y2.

b) Funciones de transferencia Y2(s)F (s) yY1(s)F (s) obtenidas a partir de las ecuaciones dife-

renciales y tambien a partir del diagrama de b) mediante las transformaciones delalgebra de bloques.

c) Trayectoria de la salida y1(t) cuando la entrada es un escalon unitario partiendo decondiciones iniciales nulas. El valor de los parametros es K1 = 2, K2 = 2, B = 1,m1 = 2 y m2 = 1.


Problema 3.4

Se trata de modelar un deposito conico como el que se muestra en la figura. El caudal deagua entrante es Qe (m

3/s), el caudal de agua evacuado por gravedad es Qs (m3/s). La

altura del nivel de agua sobre la abertura es H (m) y es la salida del sistema. El anguloque forma una generatriz del cono con el eje es conocido.

H

Qs

H

r

Qe

Las ecuaciones que modelan el sistema son:

V = tan2

3H3

Qs = BH

dV

dt= Qe Qs

Se pide:

a) Obtener la descripcion externa del sistema en ecuaciones diferenciales.

b) Como el modelo resultante es no lineal, se propone linealizarlo en torno a Qe = 1(m3/s).

c) Usando el modelo linealizado del punto anterior describir que ocurre cuando Qe seincrementa bruscamente en un 10 %.

d) Dibujar un diagrama de bloques del modelo linealizado en el que intervengan (almenos) las senales qe, qs y h (variaciones con respecto al punto de funcionamiento).

Problema 3.5

Un sistema dinamico se excita con una senal

u(t) = 1 et


y responde de forma que

y(t) = e2t(2/5cos(t) 1/5sen(t)) et + 3/5.

Se pide:

a) Determinar la funcion de transferencia del sistema dinamico.

b) Deducir la ecuacion diferencial que lo representa

c) Determinar una posible descripcion interna del mismo.

d) Calcular la respuesta impulsional del sistema

e) Calcular la respuesta del sistema cuando se excita con u(t) = 2sen(3t)

Problema 3.6

El diagrama de bloques que se muestra a continuacion representa el angulo (t) giradopor una carga accionada por un motor de corriente continua alimentada por una tensionVa(t).

Va

B J

1s

1

La s + RaCp

J s + B

1+

-

Kce

Va

Vce

Ia P s

Se pide

a) Calcular la funcion de transferencia del sistema

b) Calcular la funcion de transferencia tomando como salida el par del motor

c) Asuma que el motor experimenta un efecto de frenado debido a un elemento externo.Se sabe que este elemento ejerce un par de frenado Tf . Redibuje el diagrama debloques anterior de forma que tenga en cuenta esta nueva entrada

d) Calcule la funcion de transferencia del diagrama de bloques anterior.


Problema 3.7

Dado el diagrama de bloques de la figura,

SSISTEMALINEAL

+

+

en el que el sistema lineal viene dado por la funcion de transferencia

G(s) =K

s+ 1,

hallar la expresion matematica de y(t) sabiendo que u(t) es un escalon unitario en lossiguientes experimentos:

a) Se cierra I1 en t = 0s mientras que I2 permanece abierto.

b) Se cierra I2 en t = 0s mientras que I1 permanece abierto.

c) Se cierra I2 en t = 0s e I1 en t = 4s.

d) Se cierra I1 en t = 0s e I2 en t = 2s.

Nota: en todos los casos se parte de condiciones en t = 0s nulas.

Problema 3.8

El sistema de la figura consiste en un motor de corriente continua alimentado con unatension V que acciona una bomba que esta conectada a su eje. Esta bomba impulsa uncaudal qc de lquido combustible de alimentacion de una caldera. Esta aporta una potenciacalorfica Q a un horno en el que se calienta una sustancia. El horno no esta aisladotermicamente, por lo que cede calor al ambiente, que se encuentra a una temperaturaconstante Text = 25oC.

qc

Text

combustible

Motor

Th

VBomba caldera


La bomba se modela mediante una momento de inercia J y una constante de friccionB. Ademas el caudal de lquido impulsado por esta es proporcional a la velocidad con laque se acciona, de forma que qc = Kq w. El calor cedido por la caldera es proporcionalal caudal, de forma que Q = Cq qc, siendo Cq el poder calorfico del combustible. Elhorno tiene una capacidad calorfica Kh y una constante de perdidas de calor cedido alambiente Kper.

El sistema viene descrito por las siguientes ecuaciones:

Motor de corriente continua:

V (t) = Raia(t) + Ladia(t)

dt+Kcem(t)

T (t) = Kpia(t)

siendo ia(t) la intensidad por la armadura del motor, (t) la velocidad angular deleje del motor y T (t) el par ejercido por el eje del motor.

Bomba de caudal:

T (t) = B + J d

dtqc(t) = Kq

siendo qc(t) el caudal de combustible impulsado por la bomba.

Caldera:

Q(t) = Cqqc(t)

siendo Q(t) la potencia calorfica aportada por la caldera.

Horno:

KhdTh(t)

dt= Q(t)Kper(Th(t) Text)

siendo Th(t) la temperatura del horno.

El sistema a analizar tiene como entrada la tension de alimentacion del motor V ycomo salida la diferencia entre la temperatura del horno y la temperatura del ambiente, = Th Text. Se pide:

a) Dibujar un diagrama de bloques del modelo, indicando los elementos (motor, bomba,horno) que lo forman en funcion de los parametros.

b) Funcion de transferencia del sistema, en funcion de los parametros.


Parametro Nombre Valor Unidades

Inductancia del motor de CC La 0.001 HResistencia del motor de CC Ra 1 Cte. contraelectromotriz Kcem 1 V s/radCte. de par Kp 1 Nm/AMomento de inercia de la bomba J 2 kgm2

Cte. de friccion de la bomba B 1 Nms/radCte. de impulsion de la bomba Kq 0.02 m3/radPoder calorfico del combustible Cq 5000 Ws/m3

Capacidad calorfica del horno Kh 50 J/oCCte. de perdidas con el ambiente Kper 5 W/oC

c) Calcular la temperatura que alcanza el horno cuando se aplica una tension constanteal motor V = 10 voltios.

d) Calcular la respuesta del sistema si

V (t) =

{

10 t < 1012 t 10

Problema 3.9

Dado el diagrama de bloques de un sistema lineal con dos entradas r(s) y p(s), y una saliday(s) que se muestra en la figura adjunta, utilizar el algebra de bloques para determinar:

a) La funcion de transferencia entre la salida y(s) y la entrada r(s).

b) La funcion de transferencia entre la salida y(s) y la entrada p(s).

+-

A(s) B(s) C(s)r(s) y(s)

p(s)

++

+

-

D(s)

Problema 3.10

En la figura (a) se tiene el diagrama de bloques de un sistema dinamico lineal. LlamemosF (s) = Y (s)/U(s) a la funcion de transferencia del mismo. Las constantes A y k sonmayores que cero. Se plantean las siguientes cuestiones:


a) Si u(t) tiene la forma indicada en la figura (b), cual es la expresion de y(t)?

b) Si u(t) = 0 para t < 0 y u(t) = 0.01t2 para t 0, cual es la expresion de y(t)?

(a) (b)

Problema 3.11

Un cilindro metalico de masa mc tiene una temperatura TcoC. El aire que le rodea esta

a una temperatura menor Ta. Se conoce la masa, el calor especfico y la constante deconveccion: mc = 30 kg, Ce = 2 J/(kg

oC), Kconv = 0.1 W/oC.

Dentro del cilindro ocurre una reaccion qumica exotermica que produce un calor u(W). Las ecuaciones que modelan este sistema son

d(mcCeTc)

dt= Qaportado Qcedido

Qaportado = u

Qcedido = Kconv(Tc Ta)

Suponga que la variable de entrada es u y la de salida es y = Tc Ta. En el instantet = 0 la temperatura del cilindro es Tc = 20

oC. El ambiente permanece a temperaturaconstante Ta = 20

oC. El calor generado por la reaccion del interior del cilindro es unescalon unitario. Se pide:

a) Indique la expresion y(t).

b) Al cabo de 900 segundos la reaccion cesa bruscamente. Indique la expresion y(t)para t > 900.

c) Suponga ahora que no se produce ninguna reaccion y que inicialmente Tc = 60oC

mientras que el ambiente permanece a temperatura constante Ta = 20oC. Indique

la expresion y(t).


Problema 3.12

Obtener la expresion y(t) de la salida del modelo cuya funcion de transferencia es

H(s) =(s+ 1)

(s+ 5)(s+ 10)

suponiendo que la entrada u(t) es:

a) Un escalon en t=0s de amplitud unidad.

b) Un escalon de amplitud 2 en t=3s.

c) Una rampa unitaria en t=0s.

d) Un impulso unitario en t=-2s.

Problema 3.13

Se puede modelar una estufa de infrarrojos como un elemento de masa M y calor especficoCe que se calienta mediante una corriente electrica y disipa calor por radiacion al medioambiente. La potencia calorfica producida por la corriente electrica viene dada por Qe =V 2/R y la emitida al ambiente por la estufa es Qr = K(T

4 Ta4), donde V es la tensionelectrica, R la resistencia electrica, K una constante, T la temperatura de la estufa y Tala temperatura ambiente, que se considera constante y conocida. Considerando V comola entrada y T como la salida del sistema y despreciando la transferencia de calor porconduccion y conveccion:

a) Obtenga el modelo matematico del sistema. Recuerdese que

MCedT

dt= Qaportado Qcedido

b) Calcule el valor de la temperatura T en el punto de funcionamiento, en el que laentrada vale Vpf .

c) Obtenga el modelo lineal en torno al punto de funcionamiento y la funcion de trans-ferencia utilizando los cambios de variable: = (V Vpf ), = (T Tpf ).

Problema 3.14

En la figura adjunta se muestra un coche representado por un cuerpo de masa Mc y elsistema de suspension de este, formado por un resorte de constante K y un amortiguadorde constante B. El automovil lleva adherido un cuerpo auxiliar de masa Ma mediante unresorte de constante Ka. La accion de la variacion de la altura del suelo a lo largo del


tiempo x(t), induce un desplazamiento vertical en el coche xc(t) y en el cuerpo auxiliarxa(t). Estos desplazamientos, indicados en la figura, tienen como origen una posicion deequilibrio del sistema.

x(t)

xa(t)

KaK B

Mc

Ma

xc(t)

Las ecuaciones que modelan el sistema son:

Mcxc +K(xc x) +B(xc x) +Ka(xc xa) = 0Maxa Ka(xc xa) = 0

Calcular la funcion de transferencia, tomando como senal de salida la posicion delcoche xc(t) y como senal de entrada el desplazamiento del suelo x(t).

Problema 3.15

El circuito de la figura (a) es un sistema dinamico lineal de parametros concentrados conentrada u(t) y salida y(t) que puede describirse por medio del diagrama de bloques dela figura (b). Indique la funcion de transferencia G(s) = Y (s)/U(s) (en funcion de losparametros del circuito) y los bloques A(s) y B(s).

(a) (b)


Problema 3.16

a1

z(t)

a0

a2

0

Un deposito prismatico tiene una base de S m2 y una altura de a0m. El deposito esta abierto en su parte superior, por donde se hallenado, y se vaca por gravedad a traves de dos agujeros igualespracticados en la pared a distintas alturas (a1 y a2), como muestrala figura.

a) Si inicialmente el deposito esta lleno de agua y no se anademas, cual es la ecuacion diferencial que modela el compor-tamiento de z(t) antes de que el nivel baje hasta a1?

b) Indique, en funcion de los parametros, cuanta agua habraque aportar por segundo para que el nivel se mantuviese enz0 = (a0 + a1)/2.

c) Linealice el modelo hallado en el apartado a) en torno az0 = (a0 + a1)/2.

d) Indique, en funcion de los parametros, cuanta agua habraque aportar por segundo para que el nivel se mantuviese enz1 = (a1 + a2)/2.

Problema 3.17

Sea un sistema formado por dos depositos prismaticos de secciones A1 y A2 dispuestosverticalmente. El deposito superior (deposito 1) esta alimentado por un caudal de aguaQ(t) y desagua por gravedad, con un caudal de salida Qs1, en el otro deposito (deposito2). Este tambien se desagua por gravedad con un caudal de salida Qs2. La constante defriccion de la tubera de descarga del deposito 1 es K1 y del deposito 2 es K2.

Se pide:

a) Las ecuaciones que modelan el sistema, indicando unas varia-bles de estado del mismo.

b) La expresion del punto de equilibrio del sistema (Ho1 ,Ho2 ,Q

os1

y Qos2) en funcion de Qo.

c) La funcion de transferencia del sistema linealizado en tornoal punto de funcionamiento considerando como senal de sal-ida H2(t) y como senal de entrada Q(t). (Utilice como vari-ables incrementales q = QQo, h1 = H1Ho1 , h2 = H2Ho2 ,q1 = Qs1 Qos1 y q2 = Qs2 Qos2).

Qs2(t)

H2(t)

Qs1(t)

H1(t)

Q(t)


Problema 3.18

Una piscina de paredes verticales y de 18 m2 de seccion dispone de una valvula de desaguede tipo esferica de cuarto de vuelta, como se muestra en la figura. El fabricante de lavalvula facilita la relacion no lineal entre la constante de friccion Kp de la misma y elangulo de apertura , siendo Kp = 10

6 2 (observe la grafica).

h(t) qs(t)

Qe

0

90Abierta

Cerrada

ngulo deapertura

q=Kp (p1-p2)1/2

1

2

Densidad del agua 1000 Kg/m3

Aceleracin de la gravedad 9.8 m/s2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

Kp=106 2

(grados)

Kp (m7/2/kg1/2)

La piscina esta constantemente alimentada por un caudal Qe = 10 103m3/s. Supongaque la valvula esta abierta 12 grados y se ha llegado a las condiciones estacionarias. Sepide:

a) Calcule la altura alcanzada por el agua en las condiciones estacionarias

b) Conseguidas las condiciones estacionarias, a las 13:00 horas se incrementa el angulode apertura 0.1 grados. Haga los calculos necesarios y dibuje la evolucion del nivelde agua desde las 13:00 hasta las 19:00 horas.(la valvula no se ha manipulado eneste periodo).

c) Una vez estabilizado el nivel a las 19:00 h. se posiciona la apertura de la valvulaen 8 grados, evolucionando en las horas posteriores hasta una nueva situacion esta-cionaria. Calcule el nivel alcanzado por el agua en esta nueva situacion.

d) Conseguidas las condiciones estacionarias, a las 13:00 horas del da siguiente se in-crementa el angulo de apertura 0.1 grados. Haga los calculos necesarios y dibuje laevolucion del nivel de agua desde las 13:00 horas.(la valvula no se ha manipulado eneste periodo).

Nota: dado que el sistema es no lineal, la evolucion del nivel se calculara de formaaproximada a partir del modelo linealizado en torno a punto de equilibrio apropiado


Problema 3.19

La figura adjunta muestra la parte mecanica de una maquina de mezcla de pinturas. Lamaquina recibe en el eje1 un par T (t) de un motor externo responsable del movimientodel conjunto eje1-engranaje-eje2-agitador.

agitador

T(t) par motor

eje1

eje2

cojinetes1cojinetes2

rueda dentadacon N1 dientes

rueda dentadacon N2 dientes

01

02

: ngulo girado poreje1

ngulo giradopor eje2 :

Se tienen los siguientes parametros:

el eje1 junto con su rueda dentada tiene un momento de inercia J1

el eje2 junto con su rueda dentada y el agitador presenta un momento de inercia J2

los coeficientes de friccion viscosa que presentan los cojinetes de cada eje son B1 yB2 respectivamente

el coeficiente de friccion viscosa que presenta el agitador con el lquido de mezcla esBagitador

Tenga en cuenta que utilizamos una reductora y por lo tanto ha de cumplirse que trabajoel trabajo realizado por un engranaje ha de ser el mismo que el desarrollado por el otro(suponiendo que no hay friccion) y que el la distancia sobre la superficie que viaja cadaengranaje es la misma, por lo tanto:

T11 = T11

1r1 = 2r2

de aqu se deduce que:

T1T2

=r1r2

=21

=21

Donde T es el par, es velocidad angular, es angulo girado y r es el radio del engranaje.


Por otro lado el par motor se emplea en vencer la inercia J d2dt2

, vencer la friccion B ddty proporcionar el par util Tu.

T = Jd2

dt2+B

d

dt+ Tu

Se pide:

a) Modelo de ecuaciones diferenciales del sistema considerando como entrada al mismoel par motor T (t) y como salida la velocidad angular del eje2, d2dt .

b) Funcion de transferencia.

c) Conocidos los valores de los parametros, as como los datos del conjunto cuandotrabaja en regimen permanente:

J1 = 0.1kg m2 y J2 = 0.2kg m2

N1 = 10 y N2 = 100

B1 = 1N msrad , B2 = 2N msrad y Bagitador = 10

N msrad

Potencia del motor 2232.14 W

Par motor T (t) aplicado 50N m

Indique el valor numerico de la velocidad angular del eje2 en regimen permanente.

d) Si la velocidad angular del eje2 es insuficiente para hacer una mezcla eficiente yse desea aumentar esta velocidad hasta multiplicarla por 10, indique los valoresnumericos del par motor T y potencia del motor necesarios para conseguirlo en lossiguientes casos:

d1) en el caso de mantener la configuracion actual del engranaje.

d2) en el caso de eliminar el engranaje y dejar solo el eje2 pero cambiando todos loscojinetes a este eje, tal y como muestra la figura adjunta.

T(t) par motor

02ngulo girado

por eje :

cojinetes2

cojinetes1


Problema 3.20

Una piscina de paredes verticales y de 18 m2 de seccion dispone de una valvula de desaguede tipo esferica de cuarto de vuelta, como se muestra en la figura. El fabricante de lavalvula facilita la relacion no lineal entre la constante de friccion Kp de la misma y elangulo de apertura , siendo Kp = 10

6 2 (observe la grafica).

h(t) qs(t)

Qe

0

90Abierta

Cerrada

ngulo deapertura

q=Kp (p1-p2)1/2

1

2

Densidad del agua 1000 Kg/m3

Aceleracin de la gravedad 9.8 m/s2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

Kp=106 2

(grados)

Kp (m7/2/kg1/2)

La piscina esta constantemente alimentada por un caudal de Qe = 10103m3/s. Supongaque a las 12:00 horas la piscina esta vaca. Se pide:

a) Dibuje la actuacion sobre la valvula (angulo de apertura de la valvula) y la evoluciondel nivel desde las 12:00 hasta las 13:00 si se pretende conseguir como objetivoalcanzar y mantener un nivel de 1 metro en el menor tiempo posible.

b) A las 13:00 horas se lanzan a la piscina varios ninos para jugar, siendo el volumenocupado por sus cuerpos de 1m3. Este hecho se puede considerar como un impulsounitario en el caudal de entrada. A las 14:00 horas los ninos abandonan la piscina(considerado igualmente como un impulso).Haga los calculos necesarios y dibuje la evolucion del nivel de agua desde las 13:00hasta las 19:00 horas. (la valvula no se ha manipulado en este periodo, se queda enel valor calculado en el punto anterior).

c) Una vez estabilizado el nivel a las 19:00 se cierra la valvula 0.1 grados.Calcule la evolucion del nivel de agua hasta las 24:00 horas.

Nota: dado que el sistema es no lineal, la evolucion del nivel se calculara de formaaproximada a partir del modelo linealizado en torno a punto de equilibrio apropiado


Problema 3.21

Un aerogenerador es una instalacion que permite producir energa electrica a partir dela energa del viento. La figura adjunta muestra un modelo simplificado de un aero-generador: el eje1 tiene acopladas las palas y su velocidad angular es baja. Cuandohace viento, este eje recibe un par T1(t) que es el par responsable del movimiento delconjunto eje1-engranaje-eje2-generador. El eje2 es el eje de velocidad angular alta, enel mismo esta acoplado el generador que opone un par Tg al movimiento de este eje.

aerogenerador

01T1

Tg

N2

cojinetes1

cojinetes2

eje2

eje1

generador

02

N1

Se dispone de la siguiente informacion:

el eje1 junto con su rueda dentada tiene un momento de inercia J1

el eje2 junto con su rueda dentada y el rotor del generador presenta un momento deinercia J2

las fricciones viscosas que se presentan en el eje1 se modelan agrupadas en el coefi-ciente de friccion viscosa B1.

las fricciones viscosas en el eje2 se modelan agrupadas en un solo coeficiente B2.

el numero de dientes de la rueda dentada del eje1 es N1 , y el de la rueda el eje2 esN2.

Tenga en cuenta que utilizamos una reductora y por lo tanto ha de cumplirse quetrabajo el trabajo realizado por un engranaje ha de ser el mismo que el desarrollado porel otro (suponiendo que no hay friccion) y que el la distancia sobre la superficie que viajacada engranaje es la misma, por lo tanto:

T11 = T11

1r1 = 2r2

de aqu se deduce que:T1T2

=r1r2

=21

=21

Donde T es el par, es velocidad angular, es angulo girado y r es el radio del engranaje.


Por otro lado el par motor se emplea en vencer la inercia J d2dt2

, vencer la friccion B ddty proporcionar el par util Tu.

T = Jd2

dt2+B

d

dt+ Tu

La potencia mecanica es

Pm = T

Se pide:

a) Calcule la ecuacion diferencial f(2, 2, T1, Tg) = 0.

b) Se conocen los siguientes valores de los parametros, as como de los datos del conjuntocuando trabaja en regimen permanente:

J1 = 100kg m2 y J2 = 40kg m2

N2 = 200 dientes

B1 = 1N msrad , B2 = 2N msrad

Potencia electrica generadada en regimen permanente 50 kW (se considera unrendimiento del generador = 1, es decir, toda la energa mecanica aplicada algenerador se convierte en energa electrica)

Par motor aplicado por el viento T1permanente = 9865.6N m

velocidad angular del eje 2 en regimen permanente 2permanente = 194 rad/s.

Con estos datos cual debe ser el numero de dientes N1 de la rueda 1 y el par delgenerador Tg?.

c) Exprese 2(t) tomando como condiciones iniciales 2(0) = 0 y aplicando a partirde t = 0 un par procedente del viento T1 = 9865.6N m y un par resistente delgenerador Tg = 400N m constantes.

Problema 3.22

Una empresa fabricante de lunas termicas para vehculos encarga a los alumnos de 2o

curso un estudio para conocer el comportamiento de un nuevo espejo retrovisor externoque pretende sacar al mercado.

El espejo, en la cara posterior, es recorrido por un fino hilo de resistencia R = 2,que servira para calentar el vidrio y poder eliminar la escarcha que se pueda formar encondiciones atmosfericas desfavorables (observe la figura).


+

_

regulador detensindiscreto

(4V / 8V)

+

_12V

Termostato

espejo

4V u 8V enfuncin deltermostato

La resistencia del espejo no se conecta directamente a la batera de 12 V del vehculo, sinoque lo hace a un regulador de tension intermedio que alimentara a la resistencia bien a4V, o bien, a 8V, en funcion de un termostato conectado al regulador.

Concretamente, la empresa esta muy interesada en disponer modelos dinamicos enestos dos puntos de trabajo. De esta forma podra estudiar la viabilidad de anadir unsegundo regulador de tension continuo.

La empresa aporta los siguientes datos:

Masa del vidrio 0.3 kg

Calor especfico del vidrio 400J/kgoC

Constante de transmision de calor por conveccion entre el vidrio y el aire Kconv =1W/oC

SIMPLIFICACIONES: Se supone despreciable la masa de la resistencia. Toda la energaelectrica absorbida se transforma en calor.Considere la temperatura ambiente es de 0oC.La dinamica de transmision de calor entre la resistencia y el vidrio es muy rapida com-parada con la del vidrio y el aire.

Nota: el modelo de ecuacion diferencial considerando como entrada la tension aplicadaa la resistencia y como salida el incremento de tempertura del vidrio con respecto alambiente, teniendo en cuenta que Qa = V I = V

2

R es Cr mv dTdt =

V 2

R Kconv T

Se pide:

a) La temperatura alcanzada en regimen permanente por el vidrio cuando se aplica 4Va la resistencia.

b) La temperatura alcanzada en regimen permanente por el vidrio cuando se aplica 8Va la resistencia.

c) Funcion de transferencia del sistema cuando se trabaja en torno a los 4V.

d) Funcion de transferencia del sistema cuando se trabaja en torno a los 8V.

e) Suponiendo que se esta trabajando a 4V, exprese la evolucion de temperatura delvidrio T(t) cuando hay un incremento de 0,1 voltios (en forma de escalon) en laentrada.


f) Suponiendo que se esta trabajando a 8V, exprese la evolucion de temperatura delvidrio T(t) cuando hay una variacion de -0,1 voltios (en forma de escalon) en laentrada.

g) Suponiendo el espejo en equilibrio a 0oC y que el regulador en el instante t=0 pasaa aplicar 4V al espejo. Indique en cuanto tiempo alcanzara el espejo la temperaturade 7.6oC.

h) Suponiendo el espejo en equilibrio a 0oC y que el regulador en el instante t=0 pasaa aplicar 8V al espejo. Indique en cuanto tiempo alcanzara el espejo la temperaturade 7.6oC.

Problema 3.23

vista posterior

Motor

tambor

D=40 cm

d=4 cm

Interior del tambor:la ropa hmeda en ciclo de centrifugadosigue una trayectoria circular

Centro de masas de la ropahmeda a 2 cm de la pared

del tambor

Interesa estudiar el giro del tambor de una lavadora en el ciclo de centrifugado (velocidadalta). Para ello se realizan las siguientes consideraciones:1- Se supone que la lavadora dispone de un motor de corriente continua.2- En el ciclo de centrifugado la velocidad de giro del tambor es alta, por lo que la ropahumeda se posiciona junto a la pared del tambor por efecto de la fuerza centrfuga, portanto, gira solidaria al tambor, (observar figura superior derecha).Datos de los parametros del motor: resistencia electrica, Re = 5 Ohmios, con-stante de fuerza contraelectromotriz, Kce = 0.095

V srad , constante de par, Kp = 0.095

N mA ,

momento de inercia del rotor del motor Jmotor = 6.1 104kg m2, friccion viscosa de loscojinetes del rotor y escobillas, Bmotor = 9 105N msrad . Autoinduccion La = 0 Henrios.Datos dimensionales de la transmision : diametro de la rueda mayor D = 40cm,diametro de la rueda menor d = 4cm, (observe la figura superior izquierda). Simplifi-cacion: las poleas no presentan perdidas por friccion con la correa y sus momentos deinercia son despreciables. A nivel de modelado, la transmision con poleas y correas puedeser tratada como engranajes.Datos constructivos del tambor: no se dispone del momento de inercia del tamborJtambor aunque se sabe que esta compuesto por tres piezas de acero inoxidable (mismo ma-terial y mismo espesor) soldadas, de las que se conoce sus masas y dimensiones mostradasen la figura inferior. El tambor en su conjunto presenta una constante de friccion viscosa


Btambor = 50 105N msrad (cojinete del tambor y otras fricciones).

R=28 cm

r=14 cm

coronamasa 3 kg

discomasa 4 kg

cilindro huecomasa 8 kg

R=28 cm

R=28 cm

Piezas que forman el tambor

tambormasa 15 kg

Datos de la ropa humeda: no se dispone del momento de inercia de la ropa humedaJropa respecto al eje de giro del tambor, aunque se puede calcular con las siguientes sim-plificaciones: se considera que la masa de la ropa humeda sera de 5kg durante el ciclo decentrifugado y estara concentrada en su centro de masas que se mantendra a 2cm de lapared cilndrica del tambor.Nota importante: no considere los pares producidos por la fuerza de la gravedad sobre eltambor por albergar la masa de ropa humeda, (pares sinuoidales).

Nota: Informacion sobre los momentos de inercia que se puede encontrar en libros defsica:J =

masai radio2i (masas puntuales) J =

radio2dV (medio continuo)

anillo delgado respecto a su eje de revolucion: J = masa radio2

cilindro macizo respecto a su eje de revolucion: J = masaradio2

2

Se pide:

a) Modelo (parametrico, no numerico) en forma de ecuacion diferencial y funcion detransferencia del sistema en ciclo de centrifugado, considerando como entrada latension aplicada al motor V y como salida la velocidad de giro del tambor . (notaen la ec. dif. y funcion de transferencia solo apareceran como parametros: Re, Kce,Kp, Jmotor, Bmotor, D, d, Jtambor, Btambor y Jropa).

b) Calculo Jtambor y Jropa. Funcion de transferencia numerica G(s) =tambor

V contambor[rad/s] y V [V ]. Indique el valor de la ganancia estatica Kest y la constantede tiempo .

c) Suponiendo que la funcion de transferencia esG(s) = tamborV =1

7s+1 ; con tambor[rad/s]y V [V ].

d) Si se considera que el sistema es lineal en todo el rango de funcionamiento (V > 0),dibuje:

La caracterstica estatica del sistema.


La evolucion de la velocidad en r.p.m. del tambor cuando tras haber estadoaplicando 100V (y estabilizarse la salida) se aplican (en el instante t = 0s)220V al motor.(De un valor numerico al punto inicial, punto final y un puntointermedio)

Que par debe suministrar el motor en el eje de giro de tambor en regimenpermanente si V = 220V ?.

Que tension hay que aplicar al motor para centrifugar a 1000 r.p.m. en regimenpermanente?.

Si el sistema tuviese la caracterstica estatica mostrada en la figura, dibujela evolucion de la velocidad en r.p.m. del tambor cuando tras haber estadoaplicando 100V y estabilizarse la salida, se aplican (en el instante t = 0s)220V al motor. (De un valor numerico al punto inicial, punto final y un puntointermedio)

e) Como quedaran las ecuaciones basicas del sistema si nos informan que en la trans-mision se pierde un 5% de la potencia util en el eje del motor? (potencia util sera ladisponible en el eje para mover las cargas externas al motor)

Problema 3.24

vista posterior

Motor

tambor

D=40 cm

d=4 cm

Ffriccion

Tambor

ropa y agua

comportamiento de la ropay agua en ciclo de lavado

Interesa estudiar el giro del tambor de una lavadora en el ciclo de lavado (velocidad baja).Para ello se realizan las siguientes consideraciones:1- Se supone que la lavadora dispone de un motor de corriente continua.2- En el ciclo de lavado la velocidad de giro del tambor es baja, por lo que la ropa esvolteada junto con el agua en la parte baja del tambor (figura superior derecha).Datos de los parametros del motor: resistencia electrica, Re = 5 Ohmios, con-stante de fuerza contraelectromotriz, Kce = 0.095

V srad , constante de par, Kp = 0.095

N mA ,

momento de inercia del rotor del motor Jmotor = 6.1 104kg m2, friccion viscosa de loscojinetes del rotor y escobillas, Bmotor = 9 105N msrad . Autoinduccion La = 0 Henrios.Datos dimensionales de la transmision : diametro de la rueda mayor D = 40cm,diametro de la rueda menor d = 4cm, (observe la figura superior izquierda). Simplifi-cacion: las poleas no presentan perdidas por friccion con la correa y sus momentos deinercia son despreciables. A nivel de modelado, la transmision con poleas y correas puede


ser tratada como engranajes.Datos del tambor: radio del tambor R = 28cm; momento de inercia del tamborJtambor = 1kg m2; constante de friccion viscosa Btambor = 50 105N msrad (cojinete deltambor y otras fricciones).Datos de la ropa y agua: se considera que la ropa y agua presentan una fuerza tan-gencial Ffriccion que es proporcional al cuadrado de la velocidad angular del tambor y

contraria al movimiento del mismo: Ffriccion = Kf 2, con Kf = 0.6786N s2

rad2.

Se pide:

a) Modelo parametrico en forma de ecuacion diferencial del sistema en ciclo de lavado,considerando como entrada la tension aplicada al motor V y como salida la velocidadde giro del tambor . (nota en la ec. dif. solo apareceran como parametros: Re,Kce, Kp, Jmotor, Bmotor, D, d, Jtambor, Btambor, R y Kf ).

b) Suponiendo condiciones iniciales nulas y que la ecuacion diferencial se cumple el todoel rango de funcionamiento V > 0, dibuje la caracterstica estatica del sistema.

c) Linealice el sistema en el punto de trabajo Vo = 12V . Obtenga la funcion de trans-ferencia G(s) = tamborV .

d) Suponiendo que la funcion de transferencia del apartado anterior esG(s) = tamborV =0.14

0.8s+1 ; con tambor[rad/s] y V [V ].

d.1) dibuje:

La evolucion de la velocidad en r.p.m. del tambor cuando tras haberestado aplicando 12V (y estabilizarse la salida) se aplican (en el instantet = 0s) 9V al motor.(De un valor numerico al punto inicial, punto final yun punto intermedio)

d.2) Que par debe suministrar el motor en el eje de giro del tambor en regimenpermanente si V = 12V ?.

d.3)Que tension hay que aplicar al motor para lavar a 60 r.p.m. en regimenpermanente?.

nota: El par sobre un eje de una fuerza tangencial F es el producto vectorial de rpor el vector F, siendo r el vector director (o radio vector: origen el centro del eje ydestino el punto de aplicacion de la fuerza).

Problema 3.25

Las siguientes ecuaciones modelan la dinamica de altitud de un avion:

d2a

dt2+ 4

da

dt+ 4a = 3E

d2h

dt2= 6a E


h

a

E

Altura de crucero

siendo E el angulo del elevador (entrada al sistema), a el angulo de elevacion sobre lahorizontal y h la altitud del avion (salida del sistema), medida respecto a la altitud decrucero. Se desea analizar la influencia de E sobre h. Para ello, se pide:

a) Dibuje el diagrama de bloques del sistema, siendo E la entrada y h la salida, enfuncion exclusivamente de bloques integradores y ganancias.

b) Calcule, mediante algebra de bloques, la funcion de transferencia equivalente delsistema.

c) Obtenga una descripcion interna del sistema en forma matricial.

d) Calcule los polos (x) y ceros (0) y situelos en el plano adjunto. Es estable el sistema?

e) Dibuje de forma cualitativa (sin calcular la antitransformada) la respuesta del sis-tema ante un escalon en la entrada E, partiendo de condiciones iniciales nulas (cor-respondientes a las condiciones de crucero). Puede tomar la salida valores negativosante escalones positivos de E? Justifique la respuesta.

Problema 3.26

Un vehculo de masa m se mueve en lnea recta sobre un plano horizontal propulsado poruna fuerza F (t) proporcionada por el motor (entrada al sistema). Se considera el efectode la friccion aerodinamica como una fuerza Fa(t) =

12Cxv

2(t) siendo Cx un parametro yv(t) la velocidad (salida del sistema).Sobre el vehculo actuan la friccion aerodinamica Fa, que se opone al movimiento, y lafuerza de traccion F , por tanto:

mdv(t)

dt+

1

2Cxv

2(t) F (t) = 0

Se pide:

a) Modelo linealizado en torno a una velocidad de equilibrio v0, siendo (t) = v(t) v0y (t) = F (t) F0.

b) Obtener la expresion de (t) cuando la entrada (t) tiene la forma representada enla figura.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

10

20

30

40

50

60

Tiempo

b

c) Se instala en el vehculo un control de crucero para que la salida del sistema sigauna referencia r(t), de manera que (t) = Kc(r(t) (t)). Determinar la gama devalores de Kc que consiguen que la salida del sistema sea igual a la referencia enregimen permanente.

Problema 3.27

Un sistema dinamico se representa por el siguiente conjunto de ecuaciones:

dy

dt+ y + z = u

dz

dt

dy

dt 2y = z

Siendo u(t) las senal de entrada del sistema. Se pide

a) Calcular la funcion de transferencia Y (s)U(s) .

b) Calcular la funcion de transferencia Z(s)U(s) .

c) Calcular las funciones de transferencia T (s) y H(s) para que el sistema se puedarepresentar por el siguiente diagrama de bloques


H(s)

T(s)

-

U(s)

Z(s)

Y(s)

d) Determinar una posible descripcion interna del sistema.

Problema 3.28

Calcule mediante el algebra de bloques la funcion de transferencia H(s) = Y (s)U(s) expresado

como un cociente entre polinomios en G(s).

G(s)/2

G(s)

G(s)/2

G(s)

_

+++

+

U(s) Y(s)_

G(s)

_

G(s)

+

Problema 3.29

Un soldador de estano es una herramienta que sirve para transmitir calor y fundir elestano comercial usado en aplicaciones electronicas. Su pieza principal, llamada punta,es de cobre y puede aproximarse a un cilindro macizo de 4mm de diametro por 80mm delongitud. La punta es calentada por una resistencia electrica que la envuelve parcialmente,(convenientemente aislada dentro de una carcasa de metal), tal como muestran las figurasadjuntas. El extremo libre de la punta es el usado para fundir el material por contacto.


220V40W

Soldador

mango carcasapunta

230V40W

interior del soldador

carcasapunta

La placa de caractersticas del soldador indica una potencia electrica de 40W cuando seconecta a la red de 220V .

Partiendo de una temperatura ambiente de 25 oC y estando el soldador en equilibrioa esta temperatura, se conecta en el instante t = 0 a la red. Se desea conocer:

a) cual es la temperatura que alcanza la punta a los 35 segundos de conectar el sol-dador?

b) cual sera la temperatura maxima que podra alcanzar la punta?

c) cuando se alcanzara el 95% del incremento maximo de la temperatura de la punta?

d) Podra fundir un pequeno trozo de estano comercial al minuto de conectar elsoldador?

e) Si se aisla termicamente el soldador conectado cuanto tiempo tardara en fundirsela punta? (se supone que la resistencia esta fabricada en un material con un puntode fusion mas alto que el del cobre).

Datos:

Calor especfico del cobre 385J/kgoC

Densidad del cobre 8920kg/m3

Constante de transmision de calor por conveccion entre la punta y el aire Kconv =0, 1W/oC

Temperatura de fusion del estano comercial (60% estano 40% plomo) 190 oC

Temperatura de fusion del cobre 1085 oC

NOTA: Se supone despreciable el calor absorbido por la carcasa, la resistencia y el mango,y que toda la energa electrica absorbida de la red se transforma en calor. Dada la alta con-ductividad termica del cobre se supone que la punta presenta una distribucion homogeneade temperatura.


Para la pieza llamada punta se pueden plantear las ecuaciones de balance de energa

Cr mp d(TpTamb)

dt = Qa Qc, siendo Qa el calor absorbido por la punta por unidad detiempo, Qc el calor cedido por la punta al ambiente por unidad de tiempo, que es igual aKconv por la diferencia de temperaturas entre la punta y el aire, mp la masa de la puntay Cr el calor especfico del cobre.

De modo que se tiene Cr mp d(TpTamb)

dt = Qa Kconv (Tp Tamb)

Problema 3.30

Calcule mediante el algebra de bloques la funcion de transferencia G(s) = Y (s)U(s) .

C(s)

_

+U Y

D(s)

2

_ 1/D(s)++

A(s) 1/A(s)+

+

+_

++

1/C(s)

Problema 3.31

La figura adjunta muestra una instalacion hidraulica formada por un tanque unido a unembalse por una valvula con constante friccion global Ke(t) que podra variarse a voluntad

entre 0 y 0.02 m5/2

s . El tanque tiene una superficie A = 10 m2 y descarga a traves de una

tubera que presenta una constante de friccion Ks = 0.001m5/2

s . Se considera el niveldel embalse constante y de valor H = 1, 25m.

En este sistema el nivel de agua en el deposito h(t) sera considerado como la variablede salida y Ke(t) como la variable de entrada.


H=1.25 mh(t)

Ke(t) Ks

A

Embalse Tanque

Se pide:

a) calcule la altura de equilibrio del deposito ho cuando la valvula presente unaconstante de friccion Keo = 0.002

m5/2

s e indique cual es el caudal de salida Qso .

b) considerando que el sistema estan trabajando cerca del punto de equilibrio elapartado a), obtenga la funcion de transferencia.

c) indique la altura mmina y maxima que podra alcanzar el deposito.

d)que punto de equilibrio presenta mayor rapidez de respuesta ante un cambio en lavalvula, el correspondiente a ho = 1m o el correspondiente a ho1 = 0.1m? Justifiquela respuesta.

Problema 3.32

Las figuras adjuntas muestran una instalacion hidraulica en dos instantes distintos. Lainstalacion esta constituida por un tanque unido a un embalse por una valvula (situadaa 0.5 m del fondo) con una constante friccion global Ke(t) que podra variarse a voluntad

entre 0 y 0.002 m5/2

s . El tanque tiene una superficie A = 10 m2 y descarga a traves de

una tubera que presenta una constante de friccion Ks = 0.001m5/2

s . Se considera el niveldel embalse constante y de valor H = 1, 25 m.

En este sistema el nivel de agua en el tanque h(t) sera considerado como la variablede salida y Ke(t) como la variable de entrada.


H=1.25 m

h(t)Ke(t)

Ks

A

Embalse Tanque

0.5m

H=1.25 m

h(t)Ke(t)

Ks

A

Embalse Tanque

0.5m

Fig.1: Vlvula poco abierta Fig.2: Vlvula muy abierta

El comportamiento del sistema se modela con las siguientes ecuaciones:

Adh(t)dt = Ke(t)

H h(t)Ks

h(t), si h(t) 0.5

Adh(t)dt = Ke(t)H 0.5Ks

h(t), si h(t) < 0.5

Se pide:

a) Calcule la caracterstica estatica del sistema.

b) Calcule el nivel maximo hmax que podra alcanzar el tanque en regimen permanente.

c) Calcule la constante de friccion de equilibrio para que la altura de equilibrio deltanque sea de 0.25m, indique cual es el caudal de salida y obtenga la funcion detransferencia del sistema linealizado en este punto.

d) Calcule la constante de friccion de equilibrio para que la altura de equilibrio deltanque sea de 1m, indique cual es el caudal de salida y obtenga la funcion de trans-ferencia del sistema linealizado en este punto.

e) Que punto de equilibrio presenta mayor rapidez de respuesta ante un cambio en lavalvula, el correspondiente a ho = 0.25m o el correspondiente a ho1 = 1m? Justifiquela respuesta.

Problema 3.33

En una planta qumica se desea controlar el nivel de uno de los depositos de almace-namiento de productos. Los productos se extraen del reactor mediante una bomba queimpulsa un caudal volumetrico q(t) = Cbw

2(t) [m3/min], siendo w(t) [r.p.s] la velocidaddel motor. Este motor incorpora un variador de velocidad tipo PI que controla la mismapara que alcance una velocidad de consigna wr(t) que es manipulable. La dinamica delmotor controlado por el variador responde como un sistema de primer orden con gananciaunidad y constante de tiempo .


Este caudal se acumula en un primer deposito conico tal que el volumen acumuladoes v1(h1) = h

31 [m

3]. El deposito 1 desagua por gravedad con un caudal q1 = k1h1

[m3/min] sobre un deposito de seccion constante A [m2] y cuya altura es h2(t). Estedeposito se vaca con un caudal q2 = k2

h2 [m

3/min].

El comportamiento dinamico del sistema se puede modelar con el siguiente conjuntode ecuaciones:

q(t) = Cbw2(t)

dw(t)dt = wr(t) w(t)v1(t) = h1(t)

3

dv1(t)dt = q(t) k1

h1

v2(t) = Ah2(t)dv2(t)dt = k1

h1 k2

h2

Los parametros del sistema (en las unidades adecuadas) son: k1 =2, k2 = 2, Cb =

0.0283, =2/2, A = 3

2, = 1.

Se desea controlar la altura h2 en torno al punto de diseno ho2 = 2 m.

Se pide:

a) Determinar la caracterstica estatica.

b) Determinar la consigna wor y las altura ho1 correspondientes al punto de funcionamiento.

c) Determinar el modelo linealizado del sistema y su correspondiente funcion de trans-ferencia en torno al punto de funcionamiento.

Problema 3.34

Se desea controlar la posicion de un cuerpo mediante un sistema de levitacion magnetica.Este consiste en una bobina que al excitarse con una intensidad i(t) (variable manipulable),crea un campo magnetico que produce una fuerza de sustentacion sobre un cuerpo metalicoque permite contrarrestar el peso. La posicion del objeto x(t) (distancia de la bobina alobjeto) se mide con un dispositivo optico que provee una medida de tension Vs = Ksx.La ecuacion que rige el movimiento del objeto es:

md2x(t)

dt2= mg k

i(t)2

x(t)2


Se sabe ademas que el objeto pesa 100 gramos y que cuando se excita la bobina conuna intensidad de 1 amperio, el objeto permanece en equilibrio a 10 cm de la bobina y latension Vs medida es de 1 voltio.

Se pide:

a) Determinar la caracterstica estatica del sistema.

b) Determinar el modelo linealizado del sistema y su funcion de transferencia corre-spondiente para controlar el objeto en torno a 20 cm.

Problema 3.35

En una planta de aguas residuales se desea controlar el nivel de uno de los depositos dedecantacion de agua tratada. Como se muestra en la figura adjunta, la entrada de aguatratada se regula mediante una valvula de control y llena el deposito 1. Este deposito estaconectado a un segundo deposito (deposito 2).

Qe

Qi Qs

h1

h2

Se desea controlar la altura del deposito 2 en torno a 4 metros de altura, manipulandola apertura de la valvula x [0, 1]. La caracterstica de la valvula es isoporcentual(Qe = KvsR

x1) y se sabe que completamente abierta el caudal es de 15 m3/h y queR = 25. Ademas se sabe que la dinamica de la planta responde a las siguientes ecuaciones

A1dh1dt

= Qe k1

h1 h2

A2dh1dt

= k1

h1 h2 k2

h2


siendo A1 = A2 = 20m2, k1 = 4m

3/(hm) y k2 = 5m

3/(hm). Se pide:

a) Determinar la apertura y la altura del deposito 1 correspondientes al punto de fun-cionamiento deseado.

b) Determinar la caracterstica estatica del sistema.

c) Determinar el modelo linealizado del sistema y su correspondiente funcion de trans-ferencia en torno al punto de funcionamiento.

Problema 3.36

Una empresa de dispositivos electronicos ha desarrollado un sistema de posicionamientoutilizando como actuador un electroiman. El sistema en cuestion se puede modelar comoun cuerpo de masa m de 100 gramos unido al bastidor mediante un muelle de constanteelastica K = 0.1 N/m y elongacion natural ln 5 cm y un amortiguador de constante defriccion B = 0.2 N/(m/s). Situado verticalmente sobre el cuerpo a una distancia L de 20cm se situa el electroiman que se excita con una intensidad i(t) que se puede manipular.El modelo del sistema responde a la siguiente ecuacion diferencial

md2x(t)

dt2+B

dx(t)

dt+K(x(t) ln) +mg A

i(t)2

(L x(t))2

siendo x(t) la posicion del cuerpo respecto al bastidor. Se sabe ademas que el objeto pesa100 gramos y que cuando se excita la bobina con una intensidad de 1 amperio, el objetopermanece en equilibrio en la elongacion natural del muelle. El sistema de control deberegular la posicion entorno a 10 cm.

Se pide:

a) La ecuacion que define la caracterstica estatica y calcular el punto de funcionamiento.

b) Determinar el modelo linealizado del sistema.

Problema 3.37

Se dispone de un brazo robotico de un grado de libertad como el de la figura accionado me-diante un motor de corriente continua de excitacion independiente (variable manipulableV) con el que se desea controlar el angulo del brazo con respecto a la vertical.


g

l

m

La variable de salida es el angulo del pendulo medido desde la posicion superior; Jaes la inercia del sistema; m es la masa del brazo y g es la gravedad.

Ademas de la gravedad existen dos fuerzas no potenciales que son el par motor y lafriccion del sistema (se supone que solo existe friccion viscosa), donde es el coeficientede rozamiento asociado a la friccion. De esta forma la ecuacion que describe el movimientodel brazo en funcion del par generado por motor es la siguiente:

Ja + mgl sin =

Por otro lado las ecuaciones que rigen el el comportamiento del motor son las siguientes:

V = Ri+Kce

= Cpi

=

Los parametros del sistema son: resistencia de la armadura R = 100, constante depar Cp = 12.5 Nm/A, constante contraelectromotriz Kce = 0.3 V/rad/s, momento deinercia del brazo Ja = 0.1 kg/m2, coeficiente de friccion del brazo = 0.5 Nm/rad/s,masa del brazo m = 100 gr, aceleracion de la gravedad g = 9.81 m/s.

Se pide:

a) Calcular la longitud del brazo sabiendo que el sistema permanece en reposo parauna tension de entrada al motor de -5V en un angulo de = /2.

b) Linealizar el sistema y calcular la funcion de transferencia en torno al punto defuncionamiento = /2.


Problema 3.38

Se dispone de un sistema electromecanico que ha sido modelado atendiendo a sus carac-tersticas fsicas obteniendose el siguiente modelo:

y(t) + ay(t) cy2(t) = 12.5z(t)

y(t) =u(t) dz(t)

donde a = 5, c, d = 100, = 0.3 son parametros fsicos del sistema y siendo u(t) e y(t) laentrada y salida del sistema respectivamente.

Se pide:

a) Calcular el valor del parametro c de forma que el sistema presente una salida enregimen permanente unitaria ante una entrada u = 1.

b) Linealizar el sistema y calcular la funcion de transferencia en torno al punto defuncionamiento y = 1.

Problema 3.39

En una planta de productos alimenticios se dispone de un sistema de calentamiento deagua de servicio basada en una caldera de combustible lquido, cuyo esquema se muestraen la siguiente figura:


El sistema consiste en un motor de corriente continua que acciona una bomba deimpulsion de combustible cuyo caudal de salida qc(t) se quema en una caldera produciendouna potencia calorfica P (t) = Ccqc(t), siendo = 0.7 el rendimiento de la caldera yCc = 4.8 10

10 J/m3 la capacidad calorfica del combustible. Esta calienta el depositoaislado termicamente de seccion A = 1 m2 en el que entra un caudal q(t) de agua deservicio a Tc = 20

oC y sale caudal a la temperatura T (t). El deposito se descarga por elefecto de la gravedad y el coeficiente de descarga es k = 1.6 104 (m3/s)/m1/2. Se asumeademas que se pueden despreciar las perdidas con el ambiente y que la temperatura en eldeposito es homogenea e igual a la temperatura del agua de salida T (t).

Teniendo en cuenta esto, se determina el siguiente modelo del sistema:

CaAh(t)d(T (t))

dt= Ccqc(t) + Caq(t)(Tc T (t))

Adh(t)

dt= q(t) qs(t)

qs(t) = k

h(t)

Se desea controlar la temperatura del agua de servicio en torno a los T0 = 60oC,

manipulando el caudal de agua de entrada al deposito q(t). Se sabe que en el punto defuncionamiento del sistema q0 = 1.8 10

4 m3/s y que la capacidad calorfica del aguaCa = 4.185106 J/(m3 oC).

Se pide:


b) Determinar el modelo linealizado del sistema y su correspondiente funcion de trans-ferencia en torno al punto de operacion.

Problema 3.40

Se desea controlar la reaccion qumica que se desarrolla en un reactor en tanque continu-amente agitado (CSTR). Este sistema esta formado por un tanque en el que tiene lugaruna reaccion exotermica irreversible de descomposicion A B. El caracter exotermico dela reaccion provoca una continua generacion de calor en el seno del tanque que se evacuapor medio de una camisa de refrigeracion por la que circula el lquido refrigerante, cuyatemperatura es Tc y se considera uniforme en toda la camisa. El lquido refrigerante seenfra mediante un sistema de refrigeracion dotado de un sistema de control de temper-atura que incorpora accion integral. La referencia de temperatura de este sistema Tr sepuede manipular.

El objetivo de control es regular la concentracion de reactivo del producto CA actuandosobre la referencia temperatura de refrigerante Tr. Variando Tr se vara la temperatura del


refrigerante Tc, modificando as la temperatura del tanque y, por lo tanto, la temperaturaa la que se realiza la reaccion. En consecuencia se acelera o decelera la reaccion, variandola concentracion de reactivo.

El departamento de ingeniera de la planta ha desarrollado el siguiente modelo delreactor:

dCA(t)

dt= (1 CA(t)) 6 1010 exp

(

9000

T (t)

)

CA(t)

d T (t)

dt= (370 T (t)) + 2 1010 exp

(

9000

T (t)

)

CA(t) + 2(Tc(t) T (t))

donde CA es la concentracion del reactivo A en el tanque, T es la temperatura en el mismoy Tc es la temperatura del refrigerante. Ademas el sistema de refrigeracion responde a unsistema de primer orden de constante de tiempo de 2 minutos.

Se desea disenar un sistema de control para regular la concentracion de reactivo en lacorriente de salida CA(t) en torno a un punto de funcionamiento CA0 = 0.5 mol/l.

Se pide:


b) Determinar el modelo linealizado del sistema y su correspondiente funcion de trans-ferencia en torno al punto de funcionamiento.

Problema 3.41

Muchas Universidades del mundo poseen un pendulo invertido para demostrar resultadosde control. La razon por la cual este problema es interesante desde el punto de vista decontrol es porque ilustra muchas de las dificultades asociadas con problemas de controldel mundo real. El pendulo invertido rotante, conocido tambien como Pendulo de Furuta,consiste en un brazo giratorio horizontal, el cual posee en su extremo una barra verticalla cual gira libremente alrededor de un eje paralelo al brazo.

Se desea controlar la posicion angular de la barra vertical actuando sobre su basea traves de un servomecanismo. Se ha desarrollado un modelo (muy) simplificado de ladinamica de la varilla teniendo en cuenta la fuerza aplicada, el peso y el rozamiento del eje.La accion de control es la fuerza aplicada sobre la barra (F) y la senal de salida es la posicionangular de la varilla (theta). La ecuacion diferencial que describe el comportamientoaproximado del sistema es:

Id2

dt2mgl sin Fl cos + b

d

dt= 0


Los valores de los parametros del modelo son m=0.2, b=0.03, I=0.006, g=9.8 y l=0.5.

Se pide:

a) Obtener un modelo lineal del sistema en el punto de equilibrio determinado portheta0 = 0 y F0 = 0. Calcular su funcion de transferencia G1(s).

b) Obtener un modelo lineal G2(s) del sistema en el punto de equilibrio determinadopor theta0 = pi y F0 = 0. Calcular su funcion de transferencia G2(s).

Fundamentos de Control Automatico, 2 Grd. Ing. Tecn ...fercas/documentos/ColProbFCA2_2011-12.pdf ·...

Documents

Transcript of Fundamentos de Control Automatico, 2 Grd. Ing. Tecn ...fercas/documentos/ColProbFCA2_2011-12.pdf ·...