FUNCIONES EXPONENCIALES  Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.  Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

 El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos. 1) f(x) = 2x

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

 

21

22 21) ( )f x

xx x

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

 

 

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno: 1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.3) El eje de x es la asíntota horizontal.4) Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.6) La función f es una función uno a uno.

  Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales: 1) Leyes de los exponentes:

a a a a

ba

aa

c a a

d ab a b

ea

b

a

b

x y x y

x

yx y

x y xy

x x x

x x

x

)( )( )

)

)

)( )

)

 2) ax = ay si y sólo si x = y 3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.  Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: 1) 2x = 82) 10x = 1003) 4 x - 3 = 84) 5 2 - x = 125 Ejercicio de práctica: Halla el valor de x: 1) 2x = 642) 27 x + 1 = 9   La función exponencial de base e Al igual que p, e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).   Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e.  Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.  

La gráfica de f(x) = ex es: 

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4

  El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.  La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:  

0

5

10

15

20

25

30

-4 -2 0 2 4

  En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b. Ejemplos: Simplifica. 

83

3

42

)2

)1

x

x

xx

e

e

e

 Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1

 Práctica: 

1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x – 5)  2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x

  La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es:   

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4