Funciones Exponenciales y Logaritmicas
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ESCUELA: NOMBRES:FUNDAMENTOS MATEMTICOS FECHA:Ciencias de la ComputacinIng. Ricardo BlacioABRIL - AGOSTO 2010*
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CONTENIDOS (SEGUNDO BIMESTRE)5.Funciones exponenciales y logartmicas.6.Sistemas de ecuaciones.7.Matrices y determinantes.8.Sucesiones y series.
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5. Funciones exponenciales y logartmicas
Funciones exponenciales
La funcin exponencial con base a se define como:
En donde x es cualquier nmero real.
PROPIEDADES
El dominio de es el conjunto de los nmeros reales (el grfico se extiende indefinidamente a lo largo del eje x positivo y negativo).
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El rango de es el conjunto de las reales positivos. (el grfico se extiende indefinidamente hacia arriba del eje de las x).El intersecto en y para la grfica de es 1. La grfica no tiene intersectos en x. El eje x es una asntota horizontal para la grfica de . La funcin es creciente si a > 0 y decreciente si 0< a < 1.La funcin es biunvoca (uno a uno).
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*Como una funcin exponencial es biunvoca se tiene que cumplen las siguientes condiciones:
S x1 y x2, son nmeros reales:Ejemplos de funciones exponenciales: Base 2Base 3Base 10
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Funcin exponencial natural
La base e.- El nmero irracional e es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial tanto para fines tericos como prcticos.
la funcin exponencial natural est definida por para todo nmero real x.
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Funciones logartmicas
La inversa de una funcin exponencial de base a, se llama funcin logartmica de base a y se representa por loga.
La definicin de loga se puede expresar de la siguiente manera:
Como una funcin logartmica de base a es biunvoca se tiene que cumplen las siguientes condiciones:
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S x1 y x2, son nmeros reales positivos se tiene:
Este teorema se usa con mucha frecuencia en la solucin de ecuaciones logartmicas.
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*Ejemplo:
Forma LogartmicaForma Exponencial
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La propiedad (4) se deduce as
Propiedades generales de las funciones exponenciales y logartmicas:
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Logaritmos comunes
Los logaritmos de base 10 se los conoce como logaritmos comunes. El smbolo logx se utiliza como abreviatura de log10x, as tenemos la siguiente definicin:
Logaritmos naturales
Anteriormente se defini a la funcin exponencial natural por medio de la ecuacin (x) ex. La funcin logartmica en base e se llama funcin logartmica natural. Se utiliza el smbolo ln x.
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A continuacin tenemos algunas formas de logaritmos comunes y naturales para algunas propiedades generales estudiadas.
Leyes de los logaritmos:para todo trabajo
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Frmula de cambio de base
S u > 0 y si a y b son nmeros reales positivos diferentes de 1, entonces:
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Ecuaciones exponenciales y logartmicas.
Una ecuacin exponencial es aquella en la que la variable ocurre en el exponente. Ejemplo:
Una ecuacin logartmica es aquella en la que la variable se ve afectada por un logartmo. Ejemplo:
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*Traza la grfica de f es decreciente si 0< a < 1.
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*Traza la grfica de f es creciente si a > 0
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*Evalu el siguiente ejercicio:
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*Resuelva la ecuacin:
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*Resuelva la ecuacin:
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SolucinNo forma parte de la solucin, se lo descarta porque el logaritmo de un nmero negativo produce una indeterminacin.Resuelva la ecuacin:
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Ing. Ricardo BlacioDocente UTPLCorreo electrnico: [email protected]
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utpl*utplutpl*utpl