Funciones exponenciales y logaritmicas · PDF filey logaritmicas 1 Doc. Luis Hernando Carmona...
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FuncionesFunciones exponencialesexponenciales
yy logaritmicaslogaritmicas
FuncionesFunciones exponencialesexponenciales
yy logaritmicaslogaritmicas
1
Doc. Luis Hernando Carmona RDoc. Luis Hernando Carmona R
FuncionesFunciones ExponencialesExponenciales
22
EjemplosEjemplos::xxf 2)(
Es una función exponencial con base 2.
82)3( 3 f
Veamos con la rapidez que crece:
3
82)3( 3 f
10242)10( 10 f
824,741,073,12)30( 30 f
FuncionesFunciones ExponencialesExponenciales
La función exponencial con base a sedefine para todos los números reales x por:
xaxf )(
donde 0;0 aa
4
donde 0;0 aa
Ejemplos de funciones exponenciales:
xxf 2)( xxh 3)(
xxq 10)(
Base 2 Base 3 Base 10
FunciónFunción ExponencialExponencial NaturalNatural
LaLa funciónfunción exponencialexponencial naturalnatural eses lala funciónfunción exponencialexponencial
xexf )(
con base ee. Es común referirse a ella como la función exponencial.
5
xexf )(
EjemploEjemplo::ModeloModelo exponencialexponencial parapara lala diseminacióndiseminación de un virusde un virus
Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en unaciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, elnúmero de personas que ha sucumbido al virus se modelamediante la función:
tetv
97.012455
10000)(
6
tetv
97.012455
10000)(
Contesta:a) Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el número de personas infectadas despues de undía y depués de cinco días.
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
SoluciónSolución::EjemploEjemplo anterioranterior
a) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).
81250
10000
12455
10000)(
0
etv
8 personas tienen inicialmente la enfermedad.
b) Calcule el número de personas infectadas después de un día ycinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)
7
b) Calcule el número de personas infectadas después de un día ycinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)
Días Personas infectadas
1 212 545 678
SoluciónSolución::EjemploEjemplo anterior (cont)anterior (cont)
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
2000
8
El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luegose estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.
0 12
FuncionesFunciones LogarítmicasLogarítmicas
9
DefiniciónDefiniciónde lade la funciónfunción logarítmicalogarítmica• Sea a un número positivo con . La
función logarítmica con base a, denotada por
, se define
Así, es el exponente al que se debeelevar la base a para que de el número x.
1a
alog
xayx ya log
• Sea a un número positivo con . Lafunción logarítmica con base a, denotada por
, se define
Así, es el exponente al que se debeelevar la base a para que de el número x.
10
xayx ya log
xalog
ComparaciónComparaciónComparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica
xa y
Logarítmica: Exponencial:
yxa log
Exponente Exponente
11
xa y yxa log
Base Base
En ambas formas la base es la misma..
EjemploEjemploFormasFormas logarítmicaslogarítmicas yy exponencialesexponenciales
FormaForma LogarítmicaLogarítmica FormaForma ExponencialExponencial5100000log10
38log2
100000105
823
12
38log2
32
1log2
rs 5log
823
8132
sr 5
PropiedadPropiedad de losde los logarítmoslogarítmos
Propiedad Razón
Se debe elevar a a la potencia 0para obtener 1.
01log a
1log aa
© copywriter 13
Se debe elevar a a la potencia 1para obtener a.
Se debe elevar a a la potencia xpara obtener .
es la potencia a la cual sedebe elevar a para obtener x.
xalog
1log aa
xa xa log
xa xa log
EjemploEjemploAplicaciónAplicación dede laslas propiedadespropiedades logarítmicaslogarítmicas
125
85log
15log
01log
12log
85
5
5
5
Propiedad 1
Propiedad 2
14
125
85log
15log
01log
12log
85
5
5
5
Propiedad 3
Propiedad 4
EjemploEjemploGraficaciónGraficación dede funcionesfunciones logarítmicaslogarítmicas
xxf 2log)(
Traza la gráfica de
Solución:
xxf 2log)(
x3
x2log32
Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para xcomo potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad suslogaritmos.
15
xxf 2log)( 3
2
1
0
-1
-2
-3
32
2212
120 12
22
32
FamiliaFamilia dede FuncionesFuncionesLogarítmicasLogarítmicas
xy 2log
xy 3log
xy 10logxy 5log
16
LogarítmosLogarítmos ComunesComunesVeamosVeamos logarítmoslogarítmos con base 10con base 10
Definición:
LogarítmoLogarítmo comúncomún
El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y sedenota omitiendo la base:
17
El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y sedenota omitiendo la base:
xx 10loglog
De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que:
log 10 = 1
log 100 = 2
Cómo se calcula log 50?
No tenemos un número tal que , 1 es pequño y 2 esdemasiado grande.
5010 y
18
250log1
Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da losvalores de manera directa de los logaritmos comunes.
Propiedades de los logarítmos naturales
Propiedad Razón
xe
xe
e
x
x
ln
ln
1ln
01ln Se tiene que elevar e a la potencia 0para obtener 1.
Se tiene que elevar e a la potencia 1para obtener e.
19
xe
xe
e
x
x
ln
ln
1ln
01ln
ln x es la potencia a la cual e debeser elevada para obtener x.
Se tiene que elevar e a la potencia xpara obtener .xe
FuncionesFunciones LogarítmicasLogarítmicas
20
LeyesLeyes de losde los logarítmoslogarítmos
Leyes de los logarítmosSea a un número positivo, con . Sea A, B y C númerosreales cualesquiera con .
Ley Descripción
1a00 yBA
ACA
BAB
A
BAAB
ac
a
aaa
aaa
loglog)3
logloglog)2
loglog)(log)1
El logarítmos de un producto denúmeros es la suma de loslogarítmos de los números.
El logarítmo de un cociente denúmeros es la diferencia de loslogarítmos de los números.
El logarítmo de una potencia deun número es el exponentemultiplicado por el logarítmo denúmero.
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ACA
BAB
A
BAAB
ac
a
aaa
aaa
loglog)3
logloglog)2
loglog)(log)1
El logarítmos de un producto denúmeros es la suma de loslogarítmos de los números.
El logarítmo de un cociente denúmeros es la diferencia de loslogarítmos de los números.
El logarítmo de una potencia deun número es el exponentemultiplicado por el logarítmo denúmero.
EjemploEjemploUsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones
Evalúe cada expresión:
8log3
1)
5log80log)
32log2log)
22
44
c
b
a
22
8log3
1)
5log80log)
32log2log)
22
44
c
b
a
EjemploEjemploUsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones
364log
)32.2(log
4
4
32log2log) 44 a
23
BAAB aaa loglog)(log)1
Propiedad utilizada:
EjemploEjemploUsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones
5log80log) 22 b
416log5
80log
2
2
24
BAB
Aaaa logloglog)2
Propiedad utilizada:
EjemploEjemploUsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones
8log3
1) c
301.0
)2log()1log(2
1log
2
1
2
1
8
1
8
1log
8log
3 3331
31
25
301.0
)2log()1log(2
1log
2
1
2
1
8
1
8
1log
8log
3 3331
31
ACA ac
a loglog)3
Propiedad utilizada:
EjemploEjemploExpandirExpandir expresionesexpresiones logarítmicaslogarítmicas
Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cadaexpresión.
3
635
2
ln)
log)
)6(log)
c
abc
yxb
xa
cba
cba
cab
yx
yx
x
ln3
1lnln
lnlnln
ln)ln(
log6log3
loglog
log6log
31
3
55
35
35
22
Ley 1
Ley 1
Ley 3
Ley 2
Ley 1
Ley 3
26
3
635
2
ln)
log)
)6(log)
c
abc
yxb
xa
cba
cba
cab
yx
yx
x
ln3
1lnln
lnlnln
ln)ln(
log6log3
loglog
log6log
31
3
55
35
35
22
Ley 1
Ley 1
Ley 3
Ley 2
Ley 1
Ley 3
EjemploEjemploCombinarCombinar expresionesexpresiones logarítmicaslogarítmicas
)1log(2
1log3) xxa
Combinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:
213
213
)1(log(
)1log(log
xx
xx
)1ln(4ln2
1ln3) 2 ttsb
27
)1ln(4ln2
1ln3) 2 ttsb
42
3
42213
42213
1ln
)1ln()ln(
)1ln(lnln
t
ts
tts
tts
CambioCambio de basede base
• Sea:
• Entonces se forma de manera exponencial:
• Se toma el logarítmo base a en cada lado:
• Ley 3 de logarítmo:
• Se divide entre ambos logarítmos:
xy blog
xb y
• Sea:
• Entonces se forma de manera exponencial:
• Se toma el logarítmo base a en cada lado:
• Ley 3 de logarítmo:
• Se divide entre ambos logarítmos:
28
xb ay
a loglog xby aa loglog
b
xy
a
a
log
log
FórmulaFórmula dede cambiocambio de basede base
b
xy
a
a
log
log
Por consiguiente, si x = a, entonces y esta fórmulase convierte en:
1log aa
29
ba
ab log
1log
FórmulaFórmula dede cambiocambio de basede baseEvaluarEvaluar logarítmoslogarítmos con lacon la fórmulafórmula dede cambiocambio de basede base
20log)
5log)
9
8
b
aSe usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10:
77398.08log
5log5log
10
108 Nota: Se tiene la
misma respuesta sise usa ó ln.
10log
30
20log)
5log)
9
8
b
a
Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e:
36342.19ln
20ln20log9
EcuacionesEcuaciones ExponencialesExponenciales yyLogarítmicasLogarítmicas
EcuacionesEcuaciones ExponencialesExponenciales yyLogarítmicasLogarítmicas
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EcuacionesEcuacionesexponencialesexponenciales yy logarítmicaslogarítmicas• Una ecuación exponencial es aquella en la que
la variable ocurre en el exponente.
• Por ejemplo:
• La variable x representa una dificultad por que esta en elexponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo encada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.
Veamos:
72 x
• Una ecuación exponencial es aquella en la quela variable ocurre en el exponente.
• Por ejemplo:
• La variable x representa una dificultad por que esta en elexponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo encada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.
Veamos:32
72 x
EcuacionesEcuacionesexponencialesexponenciales yy logarítmicaslogarítmicas
7ln2ln
7ln2ln
x
x
72 x
33
7ln2ln
7ln2ln
x
x
807.22ln
7lnx
Recuerde la regla 3
NormasNormas parapara resolverresolver ecuacionesecuaciones exponencialesexponenciales
1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la
ecuación.
2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes
de los logarítmos para “bajar el exponente”.
3) Despeje la variable.
1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la
ecuación.
2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes
de los logarítmos para “bajar el exponente”.
3) Despeje la variable.
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EjemploResolver una ecuación exponencial
Encuentre la solución de:
Solución:
73 2 x
7log)3log( 2 x
73 2 x Si verificas en tu calculadora:
73 2)228756.0(
35
7log)3log( 2 x
7log3log)2( x
3log
7log)2( x
228756.023log
7logx
EjemploEjemploResoluciónResolución dede unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial
Resuelva la ecuación:
Solución:
208 2 xe
208 2 xe
8
202 xe
Ojo:El, ln e = 1
Si verificas en tu calculadora:
208)458.0(2 e
36
8
202 xe
5.2lnln 2 xe
5.2ln2 x
458.02
5.2lnx
208)458.0(2 e
EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial en formaen forma algebraicaalgebraica yy hazhazlala gráficagráfica
Resuelva la ecuación: AlgebraicamenteAlgebraicamente
Solución (1):
423 xe
423 xe
4lnln 23 xe
4lnln23 ex
37
4lnln23 ex
14ln23 x
4ln32 x
807.0)4ln3(2
1x
EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial en formaen forma algebraicaalgebraica yy hazhazlala gráficagráfica
Resuelva la ecuación:
Solución (2):Se gráfican las ecuaciones, y
423 xe
xey 23 4y
4
3
2
1
0
4y
38
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
4y
xey 23
EjemploEjemploUnaUna ecuaciónecuación exponencialexponencial dede tipotipo cuadráticocuadrático
Resuelva la ecuación:
Solución:
062 xx ee
062 xx ee
06)( 2 xx ee
39
0)2)(3( xx ee
03 xe o 02 xe
3xe 2xe
EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial
Resuelva la ecuación:
Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
03 2 xx exxe
0)3( xxex03 2 xx exxe
Se divide entrexe
40
0)3( xx
0x 03 x3x
Las soluciones son:
EcuacionesEcuaciones LogarítmicasLogarítmicasUna ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de lavariable.
5)2(log 2 x
3023222 5 x
Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial.
Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cadala de ecuación.
41
Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cadala de ecuación.
5)2(log 22 2 x
522 x30232 x
Los pasos se resumen a continuación.
Normas para resolver ecuaciones logarítmicas
1) Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación;podría ser necesario combinar primero los términoslogarítmicos.
2) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la basea cada lado de la ecuación).
3) Despeje la variable.
42
1) Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación;podría ser necesario combinar primero los términoslogarítmicos.
2) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la basea cada lado de la ecuación).
3) Despeje la variable.
EjemploEjemploResolverResolver ecuacionesecuaciones logarítmicaslogarítmicas
De cada ecuación despeje x.
3)25(log)
8ln)
2
xb
xa8ln x
8ex 2981x
43
3)25(log)
8ln)
2
xb
xa
3225 x825 x
17825 x
EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuacionecuacion logarítmicalogarítmica
Resuelva la ecuación: 16)2log(34 x
SoluciónSolución: Se: Se aíslaaísla primeroprimero elel términotérmino logarítmicologarítmico.. EstoEsto permitepermiteescribirescribir lala ecuaciónecuación en formaen forma exponencialexponencial..
16)2log(34 x416)2log(3 x
44
16)2log(34 x416)2log(3 x
12)2log(3 x
4)2log( x4102 x
100002 x5000x
EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación logarítmicalogarítmica dede maneramaneraalgebraicaalgebraica yy gráficagráfica
Resuelva la ecuación (1): 1)1log()2log( xx
1)1)(2(log xx
10)1)(2( xx
1022 xx
45
1022 xx
0122 xx
0)3)(4( xx
3,4 xx
EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación logarítmicalogarítmica dede maneramaneraalgebraicaalgebraica yy gráficagráfica
Resuelva la gráfica (2): 01)1log()2log( xx
1)1log()2log( xxy
4
3
2
1
0
46
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación dede maneramanera gráficagráfica
Resuelva la ecuación: )2ln(22 xx
SoluciónSolución:: PrimeroPrimero sese muevenmueven todostodos loslos términostérminos a una un ladolado de lade laecuaciónecuación..
0)2ln(22 xxLuegoLuego sese hacehace lala gráficagráfica:: )2ln(22 xxy
47
LuegoLuego sese hacehace lala gráficagráfica:: )2ln(22 xxy
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 64 3 2 1