Funciones exponenciales

Prof. Carlos Mario Calle

JUSTIFICACIÓN

Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones más importantes en las matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen..

Pre-pruebaA. Traza la gráfica las siguientes de funciones exponenciales

1

1. ( ) 22. ( ) 5

13. ( )

34. ( ) 35. ( )

x

x

x

x

x

f xf x

f x

f xf x e

B. Resuelve las siguientes de ecuaciones exponenciales

3 6 31. 2 2x x

4 2 42. 3 3x x

13. 9 3x x

Funciones Exponenciales

Definición de una función exponencial

• La x puede asumir cualquier valor real por lo que el dominio de las funciones exponenciales es elconjunto de los números reales, , .R

• Como la los resultados al evaluarlas funciones exponenciales son números positivospor lo tanto el alcance será,

0 y 1b b

0, .A

• Sea un número real. A una función de la forma ( ) xf x b

.b

0 1b y b

• Si la función será una funciónconstante, que no es exponencial.

( ) 1f x 1b


“Estas funciones se conocen como funciones exponenciales porque el exponente es variable.”

Ejemplos de funciones exponenciales

1. ( ) 32. ( ) 4

23. ( )

34. ( ) 55. ( ) 10

x

x

x

x

x

f xf x

f x

f xf x


Ejemplos:

Traza la gráfica de las siguientes funcionesexponenciales.

1. ( ) 32. ( ) 2

13. ( )

2

24. ( )

35. ( ) 10

x

x

x

x

x

f xf x

f x

f x

f x

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Gráficas de funciones exponenciales


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

1. ( ) 3xf x

x f(x)

0

1

2

1

2

1

3

9

1

31

9

Ejercicios

Observe el dominio y el alcance en la gráfica. Observe también que si los valores de x tienden a menos infinito, los valores de la función tienden a 0.

,x


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

2. ( ) 2xf x x f(x)

0

1

2

3

1

2

1

2

4

1

21

4

8

Ejercicios


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

13. ( )

2

x

f x

x f(x)

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

0

1

2

1

2

1

2

4

1

21

4

Ejercicios


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x f(x)

0

1

2

1

2

1

3

29

4

2

34

9

24. ( )

3

x

f x

Ejercicios


5. ( ) 10 xf x

x f(x)

0 1

10

100

1

101

100

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ejercicios


1

2

1

2

Resumen de las propiedades de las funciones exponenciales

1.Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1).

2. Si b > 0 la función es creciente.3. Si b < 0 la función es decreciente.4. El eje de x es una asíntota horizontal.5. El dominio es el conjunto de los números reales.6. El alcance es el conjunto de números reales

positivos.7. Las funciones exponenciales son uno a uno.


Transformaciones de las funciones exponenciales

Al igual que las funciones estudiadas anteriormentepodemos transformar las funciones exponencialesvariando sus parámetros (números) para producir traslaciones, reflexiones, estiramientos y contracciones. Las funciones que resultan de estas transformaciones se conocen como funciones de forma exponencial. Veremos algunos ejemplos a continuación.


Traza la gráfica de las siguientes funciones.

1

1

2

1. ( ) 3 22. ( ) 2

13. ( ) 2

22

4. ( ) .53

5. ( ) 2 26. ( ) 2

x

x

x

x

x

x

f xf x

f x

f x

f xf x

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Transformaciones de las funciones exponenciales

Solución


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1. ( ) 3 2xf x

x f(x)

0

1

2

1

2

3

5

11

12

31

29

( ) 3xf x

( ) 3 2xf x

Ejercicios


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

12. ( ) 2xf x

x f(x)

0

1

2

3

1

2

1

2

4

1

2

1

41

8

Ejercicios


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8f(x)

x

13. ( ) 2

2

x

f x

x f(x)

0

1

2

3

1

2

1

12

4

2

14

8

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8f(x)

x

Ejercicios


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8f(x)

x-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8f(x)

x

24. ( ) .5

3

x

f x

x f(x)

0

1

2

1

2

3

13

29

34

12

98

2716

Ejercicios


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8f(x)

x

15. ( ) 2 2xf x

x f(x)

0

1

2

1

2

3

94

178

3

52

4

6Ejercicios


x y-2

-1

0

1

2

1/8

1/2

1/4

1

1/16

26. ( ) 2xf x 2 2. ( 2) 2a f

1 2. ( 1) 2b f

0 2. (0) 2c f

1 2. (1) 2d f

2 2. (2) 2e f

42 4

1 1

162

33

1 12

82

22

1 12

42

11

1 12

22

02 1

3 2. (3) 2f f 12 2

3 2

Ejercicios


2 ( ) 2xf x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x y-2

-1

0

1

2

1/8

1/2

1/4

1

1/16

3

4

2

3

Ejercicios

RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES.LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON FUNCIONES UNO A UNO, POR LO TANTO SI Y SOLO SI X = Y . ESTA PROPIEDAD NOS PERMITE RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES. O SEA SI LAS BASES SON IGUALES ENTONCES LOS EXPONENTES SON IGUALES.

x ya a

Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones.

3 8 21. 2 2x x

4 62. 3 3x x

13. 27 3 x x

Solución

Solución

Solución


6 10 12 3

6.3 2

x x

24 2 1

7. x

xee

2 22 58. 4 2x x x

4 221

4. 22

xx

2 2

5. 1664

xx

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


3 8 21. 2 2x x

3 8 2x x

3 2 8x x

2 6x

3x

C.S 3

Ejercicios

Verificación

23833 22 189 22

22


4 62. 3 3x x 4 6x x 4 6x x

5 6x

6

5x

6C.S

5

Verificación

5

665

64

33

5

6

5

30

5

24

33

5

6

5

6

33

Ejercicios


13. 27 3 x x

3 13 3x x

3 1x x

2 1x

1

2x

1C.S

2

Verificación1 1

12 227 3

3 3

2 23 3

31

3 223 3

Ejercicios


4 221

4. 22

xx

4 21 22 2x x

4 2 22 2x x 4 2 2x x

5 4x

4

5x

4C.S

5

Ejercicios


2 25. 16

64

xx

2

4 52 2x x

24 5x x24 5 0x x

4 5 0x x

0 4 5 0x x 5

4x

5C.S. = 0,

4

Ejercicios


6 10 12 3

6.3 2

x x

16 10 12 2

3 3

xx

6 10 1x x

7 11x

11

7x

6 1 10x x

11C.S.=

7

Ejercicios


24 2 1

7. x

xee

4 2 2x x

4 2 2x x 4 2 2x x

4 2 2x x

3 0x

0x

4 2 2x x

4 2 2x x

5 4x 4

5x

4C.S.= 0,

5

Ejercicios


2 22 58. 4 2x x x

2

222 5 2 2x x x

2 22 4 5x x x 2 22 4 5 0x x x

2 4 5 0x x

5 1 0x x

5 0 1 0x x 5 1x x

C.S. 5, 1

Ejercicios


APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALESLAS FUNCIONES EXPONENCIALES TIENEN MUCHAS APLICACIONES EN CIENCIAS, MATEMÁTICAS, COMERCIO Y EN OTRAS DISCIPLINAS. VEREMOS AQUÍ ALGUNAS DE ESAS APLICACIONES.

1

es la cantidad acumulada o valor futuro es el principal de la inversión

es la tasa de interés anual es el número de periódos de tiempo por año es el número años

ntrA P

m

APrnt

1. Fórmula de interés compuesto


2. Fórmula de interés continuo

es la cantidad acumulada o valor futuro es el principal de la inversión

es el interés anual es el número de años de la inversión

itA Pe

APit

3. Fórmula de crecimiento y decaimiento exponencial

0

0

es la cantidad acumulada luego de un tiempo t es la cantidad inicial

es la constante de crecimiento o decaimiento, es el tiempo

Si 0 hay crecimiento o aumento en el valor de ,

ktA t A eAAkt

k A

si 0 elvalor de decae o decrece.k A


4. Fórmula de enfriamiento de Newton

0

0

, 0

es la temperatura del objeto en un tiempo t es la temperatura del medioambiente es la temperatura inicial del objeto

es el tiempo es una constante negativa

ktu t T u T e k

uTutk

5. Fórmula de crecimiento logístico

1

es la población en un tiempo t , , son constantes, 0, 0 es el tiempo en años es la capacidad de crecimiento pues lim

t

cP t

btae

Pa b c c btc P t c


Resuelve el ejercicio.1) Una muestra de 700 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente función, A(t) = 700e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 60 años. (redondea a gramos)A) 103g B) 64g C) 4775g D) 75g

2) Una muestra de 900 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente función, A(t) = 900e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 100 años. (redondea a gramos)A) 37g B) 56g C) 22,079 g D) 27g

3) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de años desde 1950. Estima la población en el año 2003 al millón más cercano.A) 6,629 millones B) 6,872 millones C) 6,750 millones D) 36,152,864 millones

4) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de años desde 1950. Estima la población en el año 2015 al millón más cercano.A) 8,228 millones B) 8,529 millones C) 8,377 millones D) 313,486,458 millones


Encuentra el valor futuro de un principal P invertido durante m años a una tasa de interés nominal anual r y compuesto como se indica. Redondea a dos lugares decimales.5) P = $1,000, m = 10, r = 7% compuesto anualA) $1,967.15 B) $1,838.46 C) $2,104.85 D) $967.15

6) P = $1,000, m = 4, r = 9% compuesto semianualA) $422.1 B) $1,411.58 C) $1,360.86 D) $1,422.10

7) P = $480, m = 2, r = 17% compuesto trimestralmenteA) $189.65 B) $642.35 C) $669.65 D) $657.07

8) P = $12,000, m = 8, r = 8% compuesto trimestralmenteA) $22,171.07 B) $22,211.16 C) $10,614.49 D) $22,614.49

Encuentra el valor presente de una cantidad A compuesto a una tasa de interés r por t años. Redondea a centavos.9) A = $5,600, t = 3, r = 8% compuesto anualB) $7,938.32 B) $1,154.54 C) $4,445.46 D) $4,801.10

10) A = $10,500, t = 3, r = 4% compuesto semianualA) $8,889.96 B) $9,707.84 C) $1,165.54 D) $9,334.46


11) A = $6,500, t = 8, r = 13% compuesto trimestralA) $2,445.04 B) $2,411.69 C) $2,335.78 D) $4,164.22

12) A = $10,000, t = 4, r = 18% compuesto mensualA) $4,893.62 B) $2,500.00 C) $8,363.87 D) $11,956.18

Resuelve el ejercicio.13) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 30 gramos. ¿Qué cantidad habrá luego 300 años?A) 22.383 B) 0 C) 29.134 D) 1.604

14) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 40 gramos. ¿ Qué cantidad habrá luego 300 años?A) 29.845 B)0 C) 38.845 D)2.138

15) Un tronco fosilizado contiene un 28% de la cantidad normal decarbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono 14.A) 26,873 B)2649 C) 34,489 D) 10,266

16) Un tronco fosilizado contiene un 30% de la cantidad normal decarbono- 14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono-14.A) 27,429 B)2876 C) 34,262 D)9709

17) Un tronco fosilizado contiene un 13% de la cantidad normal decarbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono 14.A) 20,685 B) 1123 C) 36,015 D) 16,453

18) Un termómetro con una lectura de 11°C se ubica en un salón con una temperatura constante de 20°C. Si el termómetro tiene una lectura de 17°C luego de 6 minutos, encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 10 minutos.A) 7.91°C B) 18.56°C C) 21.44°C D) 20°C

19) Un termómetro con una lectura de 13°C se ubica en un salón con una temperatura constante de 20°C. Si el termómetro tiene una lectura de 18°C luego de 6 minutos, encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 9 minutos.A) 11.350C B) 18.93°C C) 21.07°C D) 20°C

20) Un carnicero guarda una carne cuya temperatura es de 98°F colocándola en una nevera con una temperatura constante de 35°F. Si la temperatura de la carne bajó a 91°F en 5 minutos, ¿ Cuánto tiempo le tomará a la carne alcanzar una temperatura de 52°F? Ley de enfriamiento de Newton:U = T + (U0 – T)ekt : T = Ta + (T0 - Ta)ekt.A) 18 minutos B) 56 minutos C) 3 minutos D) 16 minutos

21) La ecuación de crecimiento logístico P(t) =

modela la población de cierto tipo de bacterias en un plato de cultivo luego de t horas. ¿Cuánto tardará en que el número de bacterias sea de 620?A) 2.86 horas B) 11.77 horas C) 8.61 horas D) 6.02 horas

0.348t e301

930

22) La ecuación de crecimiento logístico P(t) =

representa la población de una especie introducida en un nuevo territorio luego de t años. Encuentra la población luego de 20 años de introducida la especie.A) 178 B) 102 C) 240 D) 113

0.189t e591

240

Resuelve el ejercicio. Redondea a tres lugares.

23) Encuentra la tasa de interés anual que se requiere para duplicar una inversión en 4 años.A) 18.921% B) 17.329% C)9.46% D)31.607%

24) Encuentra el tiempo que se requiere para duplicar una inversión si la tasa de interés es de 5.25% compuesto continuo.A) 14.114 años B) 20.926 años C) 6.601 años D) 13.203 años

25) Encuentra el tiempo que se requiere para triplicar una inversión si la tasa de interés es de 7.25% compuesto continuo.A) 16.362 años B) 9.561 años C)7.577años D) 15.153 años

Post-pruebaA. Traza la gráfica las siguientes de funciones exponenciales

1

1. ( ) 22. ( ) 5

13. ( )

34. ( ) 35. ( )

x

x

x

x

x

f xf x

f x

f xf x e

B. Resuelve las siguientes de ecuaciones exponenciales

3 6 31. 2 2x x

4 2 42. 3 3x x

13. 9 3x x


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

1. ( ) 2xA f x x f(x)

0

1

2

3

1

2

1

2

4

1

21

4

8

Respuestas de la pre y post- pruebaFunciones Exponenciales

x f(x)

0

1

2

1

2

1

1

51

25

5

25

2. ( ) 5xA f x

y

x


13. ( )

3

x

A f x

x f(x)

y

x

0

1

2

1

2

1

3

9

1

31

9


x f(x)

0

1

2

1

3

1

3

1

9

9

1

3

14. ( ) 3xA f x Funciones Exponenciales

y

x

x f(x)

0

1

2

1

2

1

1

e

2

1

e

e2e

5. ( ) , 2.71xA f x e e Funciones Exponenciales

3 6 31. 2 2x xB 3

2x

4 2 42. 3 3x xB

13. 9 3x xB

2

5x

1x


DEFINICIÓN

1y 0 , b bbxf x

La función f definida por:

Se llama función exponencial con base b.

GRÁFICA

2xxf

x 2x

-2 ¼-1 ½0 11 22 43 8

x

f(x)

-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

GRÁFICA

21

x

xf

x (½)x

-3 8-2 4-1 20 11 ½2 ¼

x

f(x)

-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

-3

EN GENERAL:

xbxf

2121 Si xx bbxx 21

21 Si xx bbxx

,0fRan

RfDom

Si b > 1

x

f(x)

x

f(x)

Si 0 < b < 1

FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL:

Es la función exponencial cuya base es igual a “e”, donde e = 2.71828…

x ex

-2 0.14-1 0.370 11 2.722 7.393 20.01 x

f(x)

-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir los números:a. 1000 ?b. 0,001 ?c. -1000 ?d. 50 ?

PREGUNTA DE REFLEXIÓN

Función Logarítmica: Introducción

y = log x significa 10y = x

LOGARITMO COMÚN (EN BASE 10)

Ejemplos:log 1=

log 0,01 = log 10 =

0, Porque 100=1

-2, Porque 10-2=0,01

½ , Porque 101/2 = 10

y = ln x significa ey = x

LOGARITMO NATURAL COMÚN (BASE E)

Ejemplos:ln 1=

ln 10 =

ln ek =

0, Porque e0=1

2,3025… Porque e2,3025…=10

k , Porque ek = k

y = loga x significa ay = x

LOGARITMO EN BASE “A”

donde a: base y: exponente

FORMA EXPONENCIAL LOGARÍTMICA

•32 = 9 •4-3 = 1/64• (1/5)-2 = 25•103 = 1000•e0 = 1

• log3 9 = 2

• log4 (1/64) = -3

• log1/5 25 = -2

• log 1000 = 3• ln 1 = 0

La función logaritmo de base a, donde a > 0 y a 1, se define como:

FUNCIÓN LOGARITMO

f(x) = logax

Observación:

1. Si x1 x2 , entonces loga x1 loga x2

2. Si loga x1= loga x2, entonces x1= x2

1/2 1 2 4

2

11/2

0

-1

-2

y = 2x

y = log 2x

x y1/4 -21/2 -11 02 14 2

..

.

.

GRÁFICAS DE Y = 2X, Y = LOG2 X

GRÁFICAS DE Y = EX, Y = LNX

x

y

x

y

.1/2 1 2 4

2

11/2

0

-1

-2

y = (1/2)x

y = log1/2x

x y1/4 21/2 11 02 -14 -2

..

.

GRÁFICA DE Y = LOG1/2 X

1 b

b

1

y = bx

y = log bx

De la gráfica:loga1 = 0logaa = 1

loga0 no definido

logax < 0 si x<1

logax > 0 si x>1Es creciente

GRÁFICA DE Y = LOGAX PARA A >1

FUNCIÓN EXPONENCIAL

1. Graficar: y = e-x

2. Graficar: y = ex+2

3. Graficar: y = ex + 3

teP 05.0000,1004. La población proyectada P de una ciudad

está dada por:

Donde t es el número de años después de 1990. Pronosticar la población para el año 2010.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Graficar las siguientes funciones, indicando su dominio y rango:

1. y = ln(x-3)2. y = ln(-x)3. y = ln(x+1) – 24. y = -ln(x+3) + 1

Funciones exponenciales

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