funcion inversa
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6 Trigonometra Analtica
Seccin 6.6 Funciones trigonomtricas
inversas
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Funciones Inversas Recordar que para
una funcin, f, tenga inversa , f-1 , es necesario que f sea una funcin uno-a-uno.
o Una funcin, f, es uno-a-uno si para cada a b en el dominio de f, f(a) f(b).
o (Cualesquiera dos x diferentes producen dos ys diferentes.)
Funcin que es uno-a-uno
Funcin que NO es uno-a-uno
-
Funciones Inversas La funcin
inversa, f-1 , invierte la
correspondencia
dada por f .
Esto es, si el par ordenado (u,v)
pertence a f,
entonces (v, u) pertenece f-1
f -1 es una reflexin sobre la recta y = x de f
-
Relacin entre f y f-1
El dominio de f-1es el campo de valores de f
El campo de valores se f-1 es el dominio de f
1 = para cada x en el dominio de f-1
1 = para cada y en el dominio de f
El punto (a,b) pertenece a la grfica de f si y solo si el punto (b,a) pertenece a la grfica de f-1
Las grficas de f-1 y f son reflexiones sobre la recta y = x, la una de la otra.
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Funcin Inversa del Seno Las funciones trigonomtricas, en general,
son peridicas, y por lo tanto NO son uno-a-uno.
Si restringimos el dominio de la funcin del
seno al intervalo
2,
2 entonces
obtenemos una funcin creciente en todo el intervalo y por lo tanto, uno-a-uno .
En este intervalo, la variable y asume todos los valores de la funcin del seno una sola vez.
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Funcin del seno dominio restringido
-
Funcin inversa del seno Si la funcin del seno se restringe a el dominio
2,
2 y su campo de valores es [1, 1]
La funcin inversa del seno, se define como
y = sin-1 x , si y solo si x = sin y
para 1 1 ;
2
2
(En palabras, y es el nmero real (o el ngulo) en
[/2 , /2] cuyo seno es igual a x.)
Nota: sin-1 x tambin se denota arcsin x
-
Comentarios sobre el rango de sin-1x
Note que 5
6=
1
2, pero 1
1
2
5
6
El campo de valores del 1 es
2,
2,
5
6
2,
2
11
2=
6
-
Valores del seno inverso
-
Propiedades de la inversa del seno
Las propiedades generales de la funcin inversa, nos dan la siguientes propiedades
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Ejemplo Hallar el valor exacto:
Solucin : (a) Podemos identifcar las soluciones de dos
formas.
Podemos determinar sin-1 () (el valor
numrico en
2,
2 cuyo seno es ), o sea
/6 luego evaluamos sin (/6), que es .
-
Solucin (contd) Otra forma es aplicar la propiedad de sin-1 :
oComo 1 1
2 1,
(b)
como /2 /4 /2, podemos usar la propiedad de sin-1 para obtener
-
Solucin (cont) (c)
Como 2/3 no est en [ /2 , /2 ], NO podemos usar la propiedad de sin-1 dada
anteriormente.
En este caso, evaluaremos la expresin interna,sin (2/3), y luego usaremos la definicin de sin-1, como sigue:
-
Ejemplo Determinar el valor exacto de y si
= sin1 tan3
4
Solucin
Evaluamos, primeramente, la expresin interna.
tan (3/4)
Luego, hallamos el seno inverso de ese nmero.
= 1
= sin1 1 =
2
-
Coseno inverso El dominio de y = cos-1 se retringe al
intervalo [0, ] .
En [0, ] se obtiene una funcin uno-a-uno ya y = cos x es decreciente en ese intervalo.
y = cos-1 x asume todos los valores de la funcin del coseno una sola vez en [0, ] .
La notacin y = cos-1 x se lee, y es el coseno inverso de x o y es el ngulo con coseno igual a x (con 0 y ).
y = cos-1 tambin se denota y = arccos x
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Coseno Inverso (cont)
-
Valores del Coseno Inverso
-
Ejemplo Hallar el valor exacto del sin
2
3
Solucin
Si = arccos (), entonces usando la definicin de la funcin de coseno inverso, tenemos que
Por lo tanto est en el cuadrante II.
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Solucin (cont)
Por el teorema
de pitgora
tenemos que el
lado opuesto a
R es
-
Funcin de la tangente inversa
Para que la funcin tangente tenga inversa, restringimos su dominio al intervalo abierto
(/2, /2), para obtener una funcin creciente uno-a-uno.
Usamos esta nueva funcin para definir la inversa.
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Properties de la funcin tangente
inverso Tal como ocurri con sin-1 y cos-1, tenemos
las siguientes properties for tan-1:
-
Ejemplo Hallar el valor exacto:
a.
b.
C.
-
Ejemplo Hallar el valor exacto de
tan (arctan 3 arctan 2). Solucin:
Digamos que x = arctan 3 ; y = arctan 2
Esto implica que tan x = 3; tan y = 2
Adems, tan (arctan 3 arctan 2)= tan (x y)
Usando la frmla para la diferencia de ngulos tenemos
que
tan (x y)= tan tan
1+tan tan =
32
1+32 =
1
1+6 =
1
7
-
Ejemplo
Solucin:
Digamos que u = tan-1 () ; v = cos-1 ()
Esto implica que tan u = ; cos v =
Adems, sin (tan-1 () + cos-1 ()) = sin (u + v)
Usando la frmula para la suma de ngulos
tenemos que
sin(u+v) = sin u cos v + cos u sin v
Hallar el valor exacto de
sin (tan-1 () + cos-1 ()).
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Solucin (cont) De tan u =
tenemos que
sin u = cos u =
De cos v =
tenemos que
sin v =
cos v =
Ahora sin(u+v) = sin u cos v + cos u sin v
= 1
5
4
5 +
2
5
3
5
= 4
5 5+
6
5 5 =
10
5 5 =
2
5
1
5
2
5
3
5
4
5
= 2 5
5
-
Ejemplo
Determinar el valor de , aproximado a la
dcima ms cercana.
Solucin:
Debe notar que NO est en un tringulo rectngulo, pero se forma un tringulo
recto con la suma de los
ngulos + .
-
Solucin
tan + =
+ = tan13
4
= tan13
4
Como tan =22
40=
11
20, tenemos que
= tan111
20
8 + 22
40=
30
40=
3
4
-
Solucin (cont) Solucin:
= tan111
20
= tan13
4 tan1
11
20
Usando la TI-89, podemos aproximar
= Que en grados es 8