Trigonometría

Identidades trigonométricas fundamentales

En matemát icas , las identidades trigo­nométr icas son igualdades que involucran razones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se considere. Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que inclu­yen razones trigonométricas.

TIPOS DE IDENTIDADES

Identidades por cociente

tan 6: s e n 0

COS0 cote;

cose sene

Identidades recíprocas

csc0 = >sen6csc6 = l sene

Identidades pitagóricas

sen 2 e + cos 2 e = l

sen 2 e =l -cos 2 6

• cos 2 6=l -sen 2 0

1 +tan 2 e=sec 2 e

• sec 2 6- tan 2 e =l

l+cot 2 G=csc 2 e

• c sc 2 0-co t 2 e =l

dentidades auxiliares

sen 4 e+cos 4 9= 1 -2sen 26cos 20

sen 6 e+cos 6 9=l - 3sen20cos2e

tan6+cote=sec0csc6

sec 26+csc 29=sec 26csc 2 e

sec0 = cose

->cos6sec6 = l

cote = >tan6cot6 = l t añe

Propiedad

Si asenG+£>cos6=c donde a2+b2=c2

entonces:

sen0 = — cos6 = — c ' c

266

Semestral UNI • Trigonometría

Problemas resueltos 1. Demuestre que

Si asenx+&cosx=c, además , a2+b2=c2

entonces se cumple que a b

senx = —, cosx = — c c

Demostración Del dato, tenemos que asenx+bcosx=c

—> asenx=c- í>cosx

Resolución

Dato: cot x -• Ha2

Elevamos ambos miembros al cuadrado: o 2 sen 2 x=c 2 -2bccosx+6 2 cos 2 x a 2 ( l -cos 2jr)=c 2-2&ccosAf+ft 2cos 2x a 2 = c 2 + ( o 2 + ¿ 3 2 ) c o s 2 x - 2 6 c c o s j f

Al reemplazar a2=c2-b2 y a2+b2=c2

tenemos c 2 -b 2 =c 2 +c 2 cos 2 j f - 2bccosx c2cos2x-2bccosx+b2=0 (ccosx- í>) 2 =0 -> ccosx=b

h2 ={í¿í Á^f 1/2

Luego

_ a b ah bh E = + = .,— +-frsenx ocosx ¿ j ^ 2 " Q 3 / ¿ 2

Luego, cosx = — c

Reemplazando el eos* en la igualdad asenx+fc>cosx=c se tiene que

a sen* = —

E = h\ + — b a

Si cotJf = 2/3

encuentre el valor de

la siguiente expresión

a b E = - - + -ftsenx acosx

del primer cuadrante.

siendo x un arco

UNI 95-1

E =

ab

3 „ 2 3 / .2

s3/2

N3/2 a¿ | ¿Ib

267

Semestral UNI • Trigonometría

Identidades trigonométricas de arcos compuestos

IDENTIDADES PARA LA SUMA DE DOS ARCOS

sen(a+9) =senacos9+cosasenG i

eos (a+6) \

=cosacosG - senasenB

tan(a + 6) = tan a + tan 9 1-tan retan 9

IDENTIDADES PARA LA DIFERENCIA DE DOS ARCOS

sen(a - 9)=senacosG -cosasen9

cos(a - 9)=cosacos9+senasen9

t ana- tan9 = sen (a -9 ) eos a eos 9

PROPIEDAD

Si x es variable angular y a y b son constantes, entonces

asen x+ b eos x=Va2 + b2 sen( x + G)> donde

n b , i a sen i = , eos 9 = Va 2 +b2 ' Vo2 + ¿

Además, se cumple que

-\la2 + b2 <asenx + bcosx<<Ja2 +b2

TEOREMAS

IDENTIDADES AUXILIARES

sen (a+9)sen(a+0)=sen a - sen 9

cos(a+9)cos(a - 9)=cos 2 a - sen 2a

tana + tanG = sen(a + 9) eos a eos 9

Si A+B+C=nn, nsZ, entonces tanA+tanS+tanC=tanAtanfitanC

Si x + y + z = (2n + l)-,neZ, 2

entonces coL4+cotfi+cotC=cotAcotecotC

269

Academia César Vallejo ' Material Didáctico N.° 1

Problemas resueltos

1. Demuestre que si x es variable real y a y o constantes reales se cumple que

- V a 2 +b2 < asenx + bcosx < \¡a2 +b2

Demostración

Sea £ = a s e n x + b c o s x

-> £ ' -ocosx=asen\

Elevamos ambos miembros al cuadrado

£ 2 - 2 o £ c o s j c + b 2 c o s 2 x = a 2 s e n 2 x

£ 2 -2b£ , cosx+b 2 cos 2 A:=a 2 ( l -eos 2*)

Simplificando, tenemos la ecuación de 2.° grado:

( a 2 + b 2 ) c o s 2 x - 2 £ b c o s x + £ 2 - a 2 = = 0

Comox e R, entonces, cosx e R. Lue­go, la ecuación cuadrática tiene solu­ciones reales, es decir, el discriminante de la ecuación es mayor o igual a cero.

( - 2 £ b ) 2 - 4 ( a 2 + 6 2 ) ( £ 2 - a 2 ) > 0

E2b2-(a2+b2)(E2-a2)>0

E2b2-E2a2-E2b2+a\a2+b2) > 0

a 2 ( a 2 + b 2 ) - £ 2 a 2 > 0 -> E2<a2+b2.

:. - V a 2 + D 2 <E<-ja2+b2

2. A partir del gráfico, halle x.

2V3

Resolución Del gráfico, se observa que

• p = a + 3 0 ° x . _ x+7

tana = — ¡ = ) tanp = 2V3 2V3

| 5=a+30° -> t anp= tan (a+30° )

, „ tana + tan30° tanB =

l - t a n a t a n 3 0 ° x J _

x + 7 = 2 V 3 + V 3 2V3 j _

2V3 ){"J3

x + 7 = S(x + 2) 2V3 ~~ 6 - x

Simplificando, tenemos: x 2+7x-30=0.

.-. x=3

270

Academia César Vallejo - Material Didáctico N. 1

Identidades trigonométricas de arcos múltiples

IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE

eos 2 9 - sen 2 9

cos29 = < 2 c o s 2 9 - l

l - 2 s e n 2 9

sen29=2sen9 cos9

IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE

sen39=3sen6-4sen áe

cos39=4cos 39-3cos9

tan 39 = 3 t an9- t an 3 9

l - 3 t a n 2 9

Fórmulas de degradación

2cos 2 9=l+cos29 2sen 2 9=l-cos29

Triángulo del ángulo doble

l+ tan 2 9 2tan6

• sen 29 =

• eos 29 =

l + tan ¿ 8

l - t a n 2 9 l + tan 2 9

Identidades auxiliares

• cot9+tan9=2csc29

• cot9-tan9=2cot29

3 1 • sen 4 9 +eos 4 9 = - + -eos 49

4 4 • sen 6 9 + cos 6 9 = - + -cos49

8 8

Fórmulas de degradación

4cos ,39=3cos9+cos39

4sen í0=3sene-sen39

Identidades auxiliares

sen39=sen9(2cos29 +1)

cos39=cos9(2cos29 -1)

4sen9sen(60° - 9)sen(60°+9)=sen36

4cosecos(60 o -9)cos(60°+9)=cos39

tan9tan(60°-9)tan(60°+9)=tan39

Propiedad

V n G Z, donde x es variable real

se cumple que

1 < sen 2" x + eos 2" x < 1

272

Semestral UNI • Trigonometría

Transformaciones trigonométricas

DE SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOS O COSENOS A PRODUCTO

Por identidades trigonométricas de

arcos compuestos

Para el seno se tiene:

sen(a+B)=senacosB+cosasenp

sen(a - p)=senacosp - cosasenp

Al sumar y restar el primer y segundo miem­bro obtenemos:

sen(a+p)+sen(a - p)=2senacosP

sen(a+p) - sen(a - P)=2cosasenp

Sea J4=a+p y B=a - p , entonces

A + B „ A-B <x = y B =

2 2

Reemplazando, en las expresiones, se tiene

senA + s e n ñ = 2sen — — eos 2 2

seny4-senfi = 2cos sen (A+B\

- sen { 2 ) { 2

. D „ ;A+B\eos/I-I-eos £¡ = 2 eos eos

2 2 .

. _ „ .A+B} (A-B" eos A- coso = -2 sen sen

2 2 ,

DE PRODUCTO DE DOS SENOS O COSENOS A SUMA O DIFERENCIA

2senxcosy=sen(x+y)+sen(x-y)

2cosxcosy=cos(x+y)+cos(A:-y)

2serurseny=cos(jr-y)-cos(;r+y)

De manera análoga se deduce que

Propiedades

Si A4-B+C=n, se cumple

* n A A B C sen A + senf í + senC = 4cos—eos—eos—

2 2 2

^ A A B C , eos A+cosñ + cosC = 4sen—sen—sen—+1

2 2 2

sen2A+sen2B+sen2C=4senAsen6senC

c o s 2 4 + c o s f í + c o s 2 C = - 4co&4cosflcosC-1

275

Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 1

Problema resuelto Inr

senl — i ( p+u Demuestre que senx+sen(x + r ) + sen(x + 2r )+ . . .+sen(x+(n- l ) ' ' ) = ^2-r^sen —

sen(-) ^ 2

Donde

P: primer ángulo U: último ángulo n razón de la progresión n: número de términos

Demostración

Sea £=ser ix+sen(x+r)+sen(x+2r ) - r . . .+sen(x+(n- l ) ' " )

Multiplicamos por 2 sen^ j a ambos miembros

2£sen - =2senxsen - +2sen(x+r)sen - +...+2sen(x+(n-l)r)sen -

Cada término del segundo miembro lo transformaremos en una diferencia de cosenos.

2senxsen - =cos x-- |-cos 2 2 ' 7 2

2sen(x + r)sen| - | = cos -eos

2sen(x + 2r)sen¡ - | = cos -eos x + 5r

2sen (x+(n- l ) r ) sen | - | = cos x+\jt^~\r -eos x+\— r

Sumando todos los términos de manera vertical

2£sen' - ] = cosf x - - i - cosí x + í n - - | r l 2 j { 2 ) { { 2)

Transformando a producto:

^£sen í ^ | = ,2fsen x + | n--\r+\

2 2 sen

, n ( r

x+\ r - x — 2 2

2 s e n í ^ £ = 2 s e n í W + ( x + ( n - 1 W ^ ^ W

{2

Sea: P=x

Reemplazando

'nr

U=x+(n-\)r

£ = -sen l^

2 J í P + U ¿ '-sen

sen — 2

276