- 2 -

Transformaciones Lineales

Definición: Sean y dos espacios vectoriales. Sea una función que asigna a todo vector un único vector . Se dice que es una transformación lineal si:

1.2.

Teorema 1Sea una transformación lineal. Entonces:

1.2. 3.

Núcleo de una Transformación Lineal

Definición: Sea una transformación lineal. El núcleo de , denotado por , se define como:

Recorrido de una Transformación Lineal

Definición: Sea una transformación lineal. El recorrido o imagen de , denotado por , se define como:

Teorema 2Sea una transformación lineal. Entonces se cumple que:

1. El núcleo de es un subespacio de 2. El recorrido de es un subespacio de

Nulidad y Rango de una Transformación Lineal

Definición: Sea una transformación lineal. La nulidad de , denotada por , se define como:

El rango de , denotado por , se define como:

Ramiro J. Saltos

- 3 -

Teorema de la DimensiónSea una transformación lineal donde es un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces se cumple que:

Transformación Lineal Inyectiva

Definición: Sea una transformación lineal. Se dice que es inyectiva si:

Transformación Lineal Sobreyectiva

Definición: Sea una transformación lineal. Se dice que es sobreyectiva si todo vector de es la imagen de por lo menos un vector de . Es decir:

Dicho de otra manera, es sobreyectiva si

Teorema 3Una transformación lineal es inyectiva, si y sólo si,

Isomorfismo

Definición: Sea una transformación lineal. Se dice que es un isomorfismo si es inyectiva y es sobreyectiva. Es decir, es un isomorfismo si es biyectiva.

Espacios Vectoriales Isomorfos

Definición: Sean y dos espacios vectoriales. Se dice que y son espacios vectoriales isomorfos, denotado por , si existe un isomorfismo entre ellos.

Teorema 4Sea una transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita, tales que , entonces:

1. Si es inyectiva, es sobreyectiva.2. Si es sobreyectiva, es inyectiva.

Teorema 5

Ramiro J. Saltos

- 4 -

Sean y dos espacios vectoriales de dimensión finita. Sea una transformación lineal. Entonces:

1. Si , no es inyectiva.2. Si , no es sobreyectiva.

Lo que quiere decir, que si , no es un isomorfismoTeorema 6

Sea una transformación lineal, se cumple que:

1. Si es inyectiva y es linealmente independiente en , entonces es linealmente independiente en

2. Si es sobreyectiva y genera a , entonces genera a

3. Si es un isomorfismo y es una base de , entonces es una base de

Operaciones con Transformaciones Lineales

Suma: Sean y dos transformaciones lineales. La suma entre y , denotada por , se define como:

Multiplicación por escalar: Sea . Sea una transformación lineal. Se define la multiplicación de por , denotada por como:

Composición: Sean y dos transformaciones lineales. La composición entre y , denotada por , se define como:

Transformación Lineal Inversa

Definición: Sea una transformación lineal. Se dice que es invertible si existe una transformación lineal , tal que:

1.2.

Si tal es el caso, se llama a la inversa de y se denota

Teorema 7

Ramiro J. Saltos

- 5 -

La transformación lineal es invertible, si y sólo si, es un isomorfismo.

Representación Matricial de una Transformación Lineal

Teorema: Sea una transformación lineal donde y son espacios vectoriales de dimensión finita. Supóngase que y

. Sean y dos bases de y respectivamente.

La representación matricial de respecto de las bases y respectivamente está dada por:

Teorema 8Sea una transformación lineal donde y son espacios vectoriales de dimensión finita. Sea la representación matricial de respecto a las bases y de y respectivamente. Entonces:

Teorema 9Sea una transformación lineal donde y son espacios vectoriales de dimensión finita. Sea la representación matricial de respecto a las bases y de y respectivamente. es un isomorfismo si y sólo si

Tema 1Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta.

a) Existe una transformación lineal tal que y (Falso)

Sea y

Ramiro J. Saltos

- 6 -

b) La función definida por es una transformación lineal (Falso)

1)

Sea y

Contraejemplo

Sea y

c) El operador definido por es lineal (Verdadero)

1)

Sean y

Ramiro J. Saltos

- 7 -

2)

Sea . Sea

d) Si es una transformación lineal tal que es la representación

matricial de respecto a las bases y , entonces es un isomorfismo (Verdadero)

Para saber si es un isomorfismo bastará con calcular el determinante de la matriz asociada a

e) Sea una transformación lineal. Si y , entonces

(Verdadero)

Sabemos que:

es una base de 2R , es decir, que todo vector de 2R se

puede escribir como combinación lineal de los vectores de esta base.

Ramiro J. Saltos

- 8 -

Sea

Para hallar la regla de correspondencia de debemos expresar los escalares en términos de y . Planteamos la matriz y simplificamos por Gauss

Ahora volvemos a escribir la combinación lineal y aplicamos transformación lineal en ambos lados de la ecuación

Aplicamos las propiedades de las transformaciones lineales

Reemplazamos los escalares por las igualdades arriba encontradas y las transformaciones de los vectores de la base con los datos del problema.

Simplificando nos queda:

Y finalmente

f) Sea una transformación lineal con regla de correspondencia:

Ramiro J. Saltos

- 9 -

Entonces, es un isomorfismo y (Verdadero)

Para saber si es invertible debemos hallar la matriz asociada a y calcular su determinante, como no nos dan ninguna base nosotros usamos las bases canónicas.

Sean y las bases canónicas de y

respectivamente.

es un isomorfismo y es invertible

Sabemos que si es invertible entonces

Tema 2Sea una transformación lineal definida por:

a) Muestre que es lineal

b) Encuentre la representación matricial de respecto a las bases y

Ramiro J. Saltos

- 10 -

a) Para determinar si es lineal debemos ver si se cumplen los dos axiomas de las transformaciones lineales.

1)

Sea y

Y como vemos se cumple el primer criterio de linealidad

2)

Sea . Sea

Se cumple el segundo criterio de linealidad.

es una transformación lineal

Ramiro J. Saltos

- 11 -

b) Por teorema sabemos que:

Escribiremos el sistema de ecuaciones de manera general para luego solo reemplazarlo en cada vector

También realizamos las transformaciones de los tres vectores de la base

Igualamos las ecuaciones y encontramos los vectores coordenadas

Y finalmente reemplazamos los vectores coordenadas en las columnas de la matriz y

Ramiro J. Saltos

- 12 -Tema 3Sea la función que transforma cada punto del plano en su simétrico respecto del eje . Encontrar la regla de correspondencia de y demuestre que es una transformación lineal.

Determinar la regla de correspondencia de es sencillo ya que el punto simétrico en el plano respecto al eje es el mismo punto pero con la coordenada en cambiada de signo. Entonces:

Ahora hay que averiguar si se cumplen los criterios de linealidad.

1)

Sea y

Se cumple el primer criterio de linealidad

2)

Sea . Sea

Se cumple el segundo criterio de linealidad

es una transformación lineal

Ramiro J. Saltos

- 13 -Tema 4Determine el rango y la nulidad de la siguiente transformación lineal

a) Por definición sabemos que:

Aplicando la definición al problema nos queda:

Entonces para hallar el núcleo de la transformación lineal igualamos la regla de correspondencia de la misma con el vector nulo de

De donde concluimos que:

b) Para el recorrido sabemos que:

Y aplicada al problema nos queda:

Para hallar el recorrido igualamos la regla de correspondencia con el vector típico de la imagen, luego planteamos la matriz aumentada y simplificamos hasta obtener la mayor cantidad de filas llenas de ceros.

Tema 5Dada la aplicación lineal definida por:

Ramiro J. Saltos

- 14 -

a) Halle la representación matricial de respecto a las bases canónicas.b) Encuentre

a) Para hallar la representación matricial de debemos encontrar los vectores coordenadas de las transformaciones de los vectores de la base del espacio de partida.

Estos vectores coordenadas representan las columnas de la matriz asociada a , por que procedemos a formar dicha matriz

b)

Aplicamos el procedimiento ya visto en ejercicios anteriores de igualar la regla de correspondencia con el vector nulo del espacio de llegada.

De donde obtenemos que:

Ramiro J. Saltos

- 15 -

Para hallar el recorrido igualamos la regla de correspondencia con el vector típico de la imagen, planteamos el sistema de ecuaciones y simplificamos por Gauss hasta obtener la mayor cantidad de filas posibles llenas de ceros

Ahora reemplazamos esta condición en el vector característico y extraemos la base

Si revisamos el teorema de la dimensión

Tema 6Sea una aplicación definida por:

a) Obtenga b) Hallar la matriz asociada a con respecto a las bases

Antes de desarrollar el ejercicio primero debemos trabajar un poco con la regla de correspondencia de la transformación lineal y dejarla simplificada. Para ello realizamos la multiplicación:

Ramiro J. Saltos

- 16 -

a)

Como ya sabemos hay que igualar la regla de correspondencia de la transformación con el vector nulo del espacio de llegada y planteamos el sistema de ecuaciones

De donde obtenemos que:

Realizamos el mismo procedimiento visto en ejercicios anteriores, por tanto igualamos la regla de correspondencia con el vector típico de la imagen, planteamos el sistema de ecuaciones y simplificamos por Gauss.

xz

zxwy

x

w

2300

2000

110

101

Ramiro J. Saltos

- 17 -

Reemplazamos la condición en el vector típico

b) Para hallar la representación matricial primero debemos encontrar las transformaciones de los vectores de la base del espacio de partida, y a dichas transformaciones calcular sus vectores coordenadas respecto a la base del espacio de llegada y finalmente reemplazar dichas coordenadas en las columnas de la matriz buscada.

Encontramos una combinación lineal general

Ramiro J. Saltos

- 18 -

Reemplazando en la matriz:

Tema 7Sea una transformación lineal, tal que:

, y

Ramiro J. Saltos

- 19 -

Encuentre la regla de correspondencia de

Aquí desarrollaremos un procedimiento general para resolver este tipo de ejercicios. Por lo general los tres vectores que nos dan de datos son linealmente independientes y constituyen una base del espacio de partida.Seleccionamos un vector típico o representativo del espacio de partida, en este caso y lo escribimos como combinación lineal de la base formada. Luego procedemos a expresar los escalares en términos de las variables que conforman el vector característico, así:

es una base de

Sea

Ahora reescribimos la combinación lineal inicial, sacamos transformación lineal a ambos lados, reemplazamos los datos y simplificamos

Ramiro J. Saltos

- 20 -

Tema 8Sea una transformación lineal y suponga que:

y

Calcule

Para calcular lo que nos pide el ejercicio primero debemos hallar la regla de correspondencia de Sabemos que:

es una base de

Sea

Una vez expresados los escalares en términos de las variables que conforman el vector típico, sacamos transformación lineal a ambos lados de la combinación lineal, reemplazamos igualdades y simplificamos

Ramiro J. Saltos

- 21 -

Tema 9Sea una transformación lineal y suponga que:

, y

Calcule

Este ejercicio es muy parecido al anterior, por tanto realizamos los mismos procedimientos para hallar la respuesta

Sea una base de

Sea

Ramiro J. Saltos

- 22 -Tema 10Sea un operador lineal tal que:

a) Determine una regla de correspondencia para b) Respecto al resultado anterior, encuentre c) Determine la representación matricial de respecto a la base canónica de

a) Este literal lo resolvemos casi de manera mecánica, tal como los dos ejercicios anteriores

Sea es una base de

Sea

b)

Ramiro J. Saltos

- 23 -

Para calcular el recorrido usamos el teorema que dice que si y si es inyectiva, entonces es sobreyectiva. es

inyectiva porque , por tanto

c) La base canónica de es

Tema 11Construya, de ser posible, una transformación lineal que cumpla con las siguientes condiciones:

y

Para resolver este tipo de ejercicios primero debemos encontrar una base y la dimensión tanto del núcleo como del recorrido de la transformación y verificar si se cumple el teorema de las dimensiones. Si este no se cumple, entonces no existe una transformación lineal que cumpla las condiciones que del problema

Ramiro J. Saltos

- 24 -

Sea

Sea

Revisamos el teorema de las dimensiones

Y como se cumple debemos proseguir.Para proseguir debemos conseguir una base del espacio de partida, en este caso , y la obtenemos con los dos vectores que nos dan en el problema más el que forma parte de la base del , así:

Ahora realizamos el mismo procedimiento de siempre que consiste en plantear la combinación lineal y expresar los escalares en términos de las variables que conforman el vector característico

Sea

Ramiro J. Saltos

- 25 -

Luego aplicamos transformación lineal en ambos lados de la combinación y reemplazamos por las igualdades que obtuvimos y las que nos dan en el ejercicio. Cabe recordar que la transformación lineal de todo vector que pertenece al núcleo es igual al vector nulo del espacio de llegada

Tema 12Construya, de ser posible, una transformación lineal que cumpla con las siguientes condiciones:

y

Primero debemos hallar las dimensiones tanto del núcleo como del recorrido para verificar si se cumple el teorema de las dimensiones

Sea

Sea

Ramiro J. Saltos

- 26 -

Verificando el teorema

Ahora debemos encontrar una base del espacio vectorial de partida, hay que recordar que esta base contiene a la base del núcleo, así

Sea

Y ahora realizamos el mismo procedimiento de siempre para hallar la regla de correspondencia

Ramiro J. Saltos

- 27 -

Tema 13Sea la transformación lineal definida por:

Determine si es un isomorfismo y en caso de serlo calcule

Para determinar si es invertible debemos hallar su representación matricial, y lo más sencillo será hacerlo respecto a las bases canónicas

Sea la base canónica de

Ramiro J. Saltos

- 28 -

Calculamos su determinante y si este es diferente de cero, entonces es invertible

es un isomorfismo

Para calcular la inversa de igualamos la regla de correspondencia con el vector típico del espacio de partida y simplificamos el sistema de ecuaciones por Gauss hasta obtener la matriz identidad, así

Lo que nos queda del otro lado de la matriz aumentada es la regla de correspondencia de y lo único que hay que hacer es escribirla bonito adaptándola a los espacios que pertenece, que para es sencillo porque va directo, tal como está, así

Y calculando lo que nos pide el ejercicio:

Ramiro J. Saltos

- 29 -Tema 14Sea una transformación lineal con regla de correspondencia:

a) Encuentre la representación matricial de respecto a las bases de

1P y

5

1,

5

22B de y la matriz asociada a respecto a las bases canónicas

de y de

b) Si es invertible, encuentre la regla de correspondencia de

a) Por teorema sabemos que:

Ahora debemos hallar las coordenadas de las transformaciones de los vectores de la base en la base

Para encontrar la representación matricial de respecto a las bases canónicas realizamos el mismo procedimiento, aunque en este caso es más fácil encontrar las columnas de la matriz.

Ramiro J. Saltos

- 30 -

b) Para saber si es invertible hay que calcular el determinante de cualquiera de las dos representaciones matriciales anteriores

es invertible

Y como ya se vio en ejercicios anteriores para encontrar igualamos la regla de correspondencia de con el vector típico del espacio de partida, en este caso

Pero como la regla de correspondencia está en términos de y siempre es bueno dejar expresada la respuesta en función de las ya mencionadas variables

Tema 15Sea , una transformación lineal con regla de correspondencia:

Demuestre que es invertible y encuentre la regla de correspondencia de

Para averiguar si existe la inversa primero debemos comparar las dimensiones de los espacios donde opera la transformación; si estas dimensiones son diferentes, entonces no es invertible, caso contrario debemos proseguir con cualquiera de las siguientes opciones:

Ramiro J. Saltos

- 31 -

Encontrar el núcleo y ver si es igual al nulo del espacio vectorial de partidaHallar la matriz asociada a , calcular su determinante y si este es diferente de cero, entonces es invertible.Nos inclinaremos por la segunda alternativa por ser más práctica. Para ello encontraremos la representación matricial de respecto a las bases canónicas por ser la más sencilla de hallar

Sea y las bases canónicas de y

respectivamente.

Ahora calculamos el determinante escogiendo la fila o columna con más ceros que exista

es invertible

Lo siguiente es hallar la inversa de y para ello igualamos la regla de correspondencia son el vector típico del espacio de partida, para este problema

Ramiro J. Saltos

- 32 -

Y simplificamos por Gauss con la idea de expresar , y en términos de , y

Reemplazando y dejando en con las letras , y

Ramiro J. Saltos

- 33 -

Espacios con Producto Interno

Producto Interno

Definición: Sea un espacio vectorial. Sea una función que asigna a cada par de vectores un único escalar . Se dice que es un producto interno real en si cumple con las siguientes condiciones:

1. 2. 3. 4. 5.

Notaciones: Sea un espacio vectorial. Sea un producto interno real en , las diferentes notaciones que puede tomar están dadas por:

1.2.

Norma de un Vector

Definición: Sea un espacio con producto interno . Sea . La norma o módulo de , que se denota , se define como:

Vector unitario

Definición: Al vector se lo llama vector unitario si su norma es igual a

Teorema 1Sea un espacio con producto interno . Entonces se cumple que:

1. 2.

Ramiro J. Saltos

- 34 -

Conjunto Ortonormal de Vectores

Definición: Sea un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno . Se dice que S es un conjunto ortonormal de vectores si:

1. 2.

Si el conjunto S satisface únicamente la primera condición se dice que S es un conjunto ortogonal.

Teorema 2Sea un espacio vectorial con producto interno. Sea un conjunto de vectores no nulos de y ortogonal. Entonces, es linealmente independiente en

Distancia entre dos Vectores

Definición: Sean y dos vectores cualesquiera del espacio con producto interno . La distancia entre y , denotada por , se define como:

Medida del ángulo entre dos Vectores

Definición: Sea un espacio con producto interno. La medida del ángulo entre dos vectores y cualesquiera no nulos de , se define como:

Complemento Ortogonal

Definición: Sea un subespacio del espacio vectorial con producto interno . El complemento ortogonal de , denotado por , se define como:

Ramiro J. Saltos

- 35 -

Proyección Ortogonal

Definición: Sea un espacio vectorial con producto interno y un subespacio de . Sea una base ortonormal de . Sea

. La proyección de ortogonal de sobre , denotada por , se define como:

Teorema 3Sea una base ortonormal del espacio con producto interno . Sea , entonces:

Teorema 4Sea un subespacio del espacio con producto interno , entonces se cumple que:

1. es un subespacio de 2.3.

Teorema de ProyecciónSea un espacio con producto interno. Sea un subespacio de . Sea . Entonces existe un único vector y , tal que:

Donde:

Matriz Ortogonal

Definición: La matriz invertible de se dice que es ortogonal si:

Teorema 5Si es una matriz ortogonal de , entonces o

Teorema 6

Ramiro J. Saltos

- 36 -

Una matriz invertible de es ortogonal, si y sólo si sus columnas forman una base ortonormal para con el producto interno canónico.

Teorema de Aproximación de la NormaSea un espacio con producto interno y un subespacio de . Sea un vector cualquiera de . De todos los vectores que se

encuentran en , el vector “más cercano” a es el vector , es decir:

Tema 1Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su respuesta

a) Sea una función con regla de correspondencia:

Entonces es un producto interno real en (Falso)

Para averiguar si la función dada es un producto interno habrá que averiguar si se cumplen las condiciones del producto interno

I)

Sea

No se cumple el primer punto.

Pero hay que plantear el contraejemplo así ya hayamos demostrado formalmente que no es un producto interno

Sea

Ramiro J. Saltos

- 37 -

no es un producto interno

Tema 2En el espacio vectorial está definido el siguiente producto interno:

a) Encuentre un vector tal que su norma sea igual a y la medida del ángulo

con el vector sea radianes.

b) Sea el subespacio de ¿Cuál es el vector de que está “más

cerca” de ?

a) Para resolver este literal hay que tener en cuenta el polinomio es una incógnita por ese motivo debemos suponer un

genérico.

Sea

El ejercicio nos da como información que la norma de es , por tanto:

Y así obtuvimos una primera ecuación, la otra que nos falta la obtenemos del segundo dato del literal, el cual nos dice que la

medida del ángulo con el vector es

Ramiro J. Saltos

- 38 -

Ahora ya tenemos dos ecuaciones que nos relacionan las variables y . Resolviendo el sistema

Existen dos vectores que cumplen las condiciones especificadas, pero debemos descartar la solución que no satisface la segunda ecuación y con ello nos queda:

b) Primero necesitamos extraer una base de , luego debemos ortonormalizarlaSea

Debido a que la base sólo tiene un vector, ortonormalizarla consistirá únicamente en dividir el vector para su norma

Ramiro J. Saltos

- 39 -

Entonces para hallar el vector cercano debemos calcular su proyección sobre

Por lo tanto el vector más cercano a es:

Tema 3En se consideran los siguientes conjuntos:

Expresar el vector como la suma de dos vectores, uno de y uno de

Siempre se aconseja en este tipo de ejercicios escoger la base con menor número de vectores puesto que el proceso de ortonormalización es más difícil mientras más vectores hallan

Ahora hay que ortonormalizar la base:

Ramiro J. Saltos

- 40 -

Se aconseja dejar la base ortornormal expresada de la manera anterior, finalmente para hallar esos dos vectores hallamos la proyección del vector sobre el subespacio y el otro lo obtenemos por diferencia

Cabe recalcar que los escalares en un producto interno real pueden salir sin ningún problema

Para hallar el otro vector despejamos de:

Tema 4

Sea y un subespacio de

Ramiro J. Saltos

- 41 -Determine:

a) El complemento ortogonal de

b) La proyección de sobre si se conoce que

Para calcular el complemente primero necesitamos una base de

Sea

Para hallar la proyección del vector que nos piden es mejor calcularla sobre debido a que la base de este subespacio tiene un solo vector y ortonormalizarla será más sencillo.

Ahora procedemos a ortonormalizar esta base:

Ramiro J. Saltos

- 42 -

Vamos a suponer que se puede escribir como la suma de dos vectores y , hallaremos y luego contestaremos la pregunta al encontrar

Tema 5

Ramiro J. Saltos

- 43 -Sea , considere el producto interno:

Sea un subespacio de

a) Determine el complemento ortogonal de

b) Escriba la matriz como la suma de dos vectores y tales que

c) Determine la medida del ángulo entre los vectores e si se sabe que

d) Determine la distancia entre los vectores e e) Encuentre una base ortonormal de

a) Para resolver este literal primero debemos encontrar una base de , como ya tenemos el vector típico:

Para hallar el complemento ortogonal, el vector típico de le aplicamos producto interno con cada uno de los vectores de la base de y lo igualamos a cero

Recuerden que para este producto interno utilizamos la regla que nos da el ejercicio

Sea

Obtenemos su base:

b) Para resolver este literal debemos hallar la proyección de la matriz sobre el subespacio cuya base tenga el menor número de vectores, pero en este caso ambos subespacios tienen dimensión ,

Ramiro J. Saltos

- 44 -

por lo tanto escogemos cualquiera de las dos bases para ortonormalizarla.

Las proyecciones siempre se calculan sobre bases ortonormales

Vamos a ortonormalizar y a esta nueva base la denotaremos como

Supóngase que y

Utilizamos el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Recuerden para todo el ejercicio utilizamos el producto interno definido en el planteamiento del problema

Ramiro J. Saltos

- 45 -

Cabe recalcar que no era necesario realizar todo el proceso debido a que los vectores de son ortogonales, es decir,

Así que para ortonormalizar la base sólo era necesario dividir cada vector para su norma, pero realizamos todo el proceso para practicar más; pero en adelante, de ser posible, nos saltaremos los pasos innecesariosSabemos que:

Y para obtener la matriz despejamos de:

Ramiro J. Saltos

- 46 -

c) Para determinar la medida del ángulo nos remitimos a la fórmula:

Pero por comodidad de cálculo la resolveremos por partes y al final reemplazaremos todos los valores

Finalmente reemplazando nos queda:

d) Para hallar la distancia también utilizamos una fórmula conocida:

e) Para este último literal recordaremos aquel teorema que nos indica que para obtener una base ortonormal de basta con unir una base ortonormal de un subespacio cualquiera con la base ortonormal de su complemente ortogonal, es decir,

Como ya tenemos la base ortonormal de solo falta ortonormalizar la base de , la cual denotaremos como

Ramiro J. Saltos

- 47 -

Supóngase que y

Pero estos dos vectores ya son ortogonales, solo falta que sean unitarios, así que dividiremos cada uno de ellos para su respectiva norma

La base ortonormal de la denotaremos como , entonces:

Ramiro J. Saltos

- 48 -

Valores y Vectores Propios

Valor y Vector Propio de una Matriz: Sea una matriz de . Se dice que es un valor propio de si existe un vector no nulo , tal que . En tal caso se dice que es un vector propio de asociado al valor propio

Valor y Vector Propio de una Transformación Lineal: Sea un espacio vectorial y una transformación lineal. Se dice que es un valor propio de de , si existe un vector propio no nulo , tal que . En tal caso se dice que es un vector propio de asociado al valor propio

Teorema 1Sea una matriz de . Entonces es un valor propio de si y sólo si:

Matriz Semejante

Definición: Las matrices y de se dice que son semejantes si existe una matriz invertible de tal que:

Teorema 2Sean y dos matrices semejantes de . Entonces se cumple que:

1.2.

Y por tanto y tienen los mismos valores propios pero no necesariamente los mismos vectores propios

Teorema 3Sea un valor propio de la matriz de . Entonces:

Es un subespacio de y es llamado espacio propio de asociado al valor propio

Teorema 4

Ramiro J. Saltos

- 49 -

Sea un valor propio de la transformación lineal . Entonces:

Es un subespacio de y es llamado espacio propio de asociado al valor propio

Multiplicidad Geométrica

Definición: Sea el espacio propio de la matriz de o de una transformación lineal asociado al valor propio . Se define la multiplicidad geométrica de , denotada por , como:

Teorema 5Sea un valor propio de la matriz de o de una transformación lineal en el espacio de dimensión finita . Entonces, se cumple que:

Teorema 6Vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes.

Teorema 7Sea una matriz simétrica de con componentes reales. Si es un valor propio de , entonces es un número real

Teorema 8Sea una matriz de simétrica. Sea un vector propio de asociado al valor propio y un vector propio de asociado al valor propio .

Si , entonces y son ortogonales.

Tema 1Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su respuesta

a) Si es una matriz triangular, los valores propios de son los elementos de su diagonal

principal (Verdadero)

Ramiro J. Saltos

- 50 -

Sea la matriz una matriz triangular de .

Entonces:

Cuando se tiene una matriz triangular el determinante de la misma está dado por la multiplicación de los elementos de la diagonal principal.

De donde obtenemos que:

……

Por lo tanto para

b) Sea . Si y , entonces los valores propios de son

números reales (Falso)

Sabemos que:

Aplicando el discriminante a la ecuación determinaremos el tipo de raíces de la misma

El discriminante es menor que cero, por tanto las raíces son números complejos

Tema 2Halle los valores y vectores propios de la siguiente matriz:

Ramiro J. Saltos

- 51 -

Para hallar los valores propios debemos encontrar el polinomio característico y extraer sus raíces, muchas veces es necesario utilizar la división sintética para poder factorizar la expresión

Finalmente debemos encontrar los vectores propios y para ello debemos encontrar una base de los espacios .El procedimiento consiste en reemplazar cada valor propio en la matriz y resolver el siguiente sistema homogéneo:

Entonces para hallar cada espacio planteamos el sistema mencionado y simplificamos la matriz hasta obtener la mayor cantidad de ceros posibles

Ramiro J. Saltos

- 52 -

De donde extraemos las siguientes igualdades:

Reemplazando en el vector típico

0

0

c

c

0

1

1

0

aa

a

c

b

a

Tema 3Encuentre, de ser posible, la matriz que diagonaliza a la matriz:

El procedimiento para encontrar la matriz es casi mecánico, hay que calcular el determinante de e igualarlo a cero para finalmente hallar los valores propios de la matriz, recuerden que en muchos casos es necesario usar división sintética para factorizar.

Ramiro J. Saltos

- 53 -

Ahora debemos hallar una base para cada espacio propio asociado con cada uno de los valores propios, recuerden que por lo general los valores propios se los ordena de menor a mayor

No hay ningún problema si multiplicamos al vector por cualquier número para eliminar la fracción

Ramiro J. Saltos

- 54 -

Finalmente las columnas de la matriz que diagonaliza a la matriz están dadas por los vectores que conforman las bases de cada

uno de los espacios propios

Tema 4Determine la matriz ortogonal que diagonaliza ortogonalmente a la matriz:

Para encontrar la matriz realizamos el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior solo que cuando hallemos las bases de los espacios propios debemos ortonormalizarlas, y esas serán las columnas de la matriz en cuestión

Ramiro J. Saltos

- 55 -

Cuando se calcula el determinante por medio de cofactores es mejor utilizar la fila o columna con mayor cantidad de ceros presentes en la misma

También hay que tener presente que el procedimiento se puede simplificar por la presencia de ciertos artificios aplicables, por ejemplo en este ejercicio la expresión dentro del corchete es una diferencia de cuadrados perfectos y su factorización es sencilla

Ahora encontramos las bases de cada espacio propio

Hay que ortonormalizar esta base para obtener la primera columna de la matriz , pero como solo es un vector bastará dividirlo para su norma, en este caso usamos el producto interno canónico

Ramiro J. Saltos

- 56 -

Si no aparece la variable significa que es libre y no hay condición de la que este sujeta

Igualmente debemos ortonormalizar esta base, pero antes hay que notar que estos vectores ya son ortogonales y de paso el segundo ya es unitario, así que bastará con dividir el primer vector para su norma con lo que obtendremos la base buscada y las dos últimas columnas de nuestra matriz

Hay que recordar que las columnas de esta matriz forman una base ortonormal para

Tema 5Sea una matriz cuadrada de tamaño que representa a una transformación lineal

, respecto a la base canónica de

Ramiro J. Saltos

- 57 -a) Si y , ¿cuáles son los valores propios de ?b) Encuentre, de ser posible, una base de respecto de la cual la matriz asociada a

sea una matriz diagonal, si se conoce que

a) Sabemos que para cualquier matriz de orden el polinomio característico está dado por:

Entonces:

Y con esto queda resuelto el primer literal

b) Para hallar dicha base necesitamos diagonalizar cualquier matriz asociada a , pero como no tenemos la regla de correspondencia tendremos que buscar otro camino para encontrar una matriz asociada

Para este ejercicio tenemos suficientes datos para hallar la representación matricial de respecto a la base canónica. Conocemos su segunda columna por el dato del literal , así que tenemos:

Además conocemos el valor de la traza y del determinante, por lo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

Y de aquí en adelante el procedimiento es el mismo que en ejercicios anteriores:

Pero como ya conocemos los valores propios de esta matriz simplemente hallamos los espacios propios

Ramiro J. Saltos

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Al mismo tiempo este vector representa las coordenadas de los vectores propios de la transformación lineal respecto a la base de donde nació la matriz asociada, es decir, son las coordenadas de los vectores propios del operador lineal respecto a la base canónica de

para este caso.

Y estos dos vectores encontrados forman parte una base respecto de la cual la matriz asociada a es una matriz diagonal

Hay que tener en cuenta que si el espacio donde opera la transformación lineal es diferente a , entonces los vectores de la base tendrán la forma de dicho espacio, ya sean matrices, polinomios, etc.

Ramiro J. Saltos