FCD Guía 2. limites y continuidad

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 2

Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 1

UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ASIGNATURA: FUNDAMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD TEMÁTICA LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Deducir resultados mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

Calcula el límite para las diferentes clases de funciones. Interpreta el límite de una función en un contexto determinado. Determina la continuidad de funciones mediante los criterios de

continuidad

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Real iza r las ac t iv idades que a cont inuac ión se enunc ian ten iendo en cuenta la carpeta guía de Apuntes de l Pro fesor

ACTIVIDAD No 1

1. Resolver

a. En el siguiente ejercicio, completar la tabla y utilizar el resultado para estimar el límite

2

2lim

22

xx

x

x

x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1

f(x)

b. Evaluar: f xx

x( )

1 1 en varios puntos próximos a x = 0 y usar el resultado para estimar

el límite 0

lim1 1x

x

x

Completar la siguiente tabla

x -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1

f (x)



2. Calcular los siguientes límites algebraicos:

2 2 3

20 1 2 0

2 5

20 0 22

2 3 2

21 0 3 1

1 2 3 8 2 2) lim ) lim ) lim ) lim

1 1 11 26

1 1

2 322 2) lim ) lim ) lim ) lim1 24

2 3 3 3 27 1) lim ) lim ) lim ) lim

35 4 2 2

x x x x

x x xx

x x x x

x x x x xa b c d

x x xx x

x x x xxe f g hx x xx

x x x x xi j k l

xx x x

3

23 2 2

2 2 2120

3

2 2

2 2

3 1

1

2 22 7 9 3 1) lim ) lim ) lim ) lim

12 9 1 4 37

) lim ( 0)2

xxx x

x a

x

x xx x x xm n o p

x x x x xx

x aq a

x ax a

4. Trace la grafica de una función y= f(x) que satisfaga las condiciones dadas (no es necesario que

incluya formulas, solamente marque los ejes coordenados y trace una grafica apropiada)

a. (0) 0, (1) 2, ( 1) 2, lim ( ) 1x

f f f f x

b. Su dominio es [0, 6] ; f (0) = f (2) = f (4) = f (6) = 2 ; f es continua, excepto para x = 2;

2 5

lim ( ) 1 lim ( ) 3x x

f x y f x

5. Calcule los límites:

a.

3

3 2

2 7lim

7x

x

x x x

b.

3

4 2

7 2 1lim

4 3 6x

x x

x x x

c.

3 2

2 3

2lim

5 4x

x x

x x

d. 2 3

lim2x

x

x

e.

4

3

2 3lim

5 7x

x

x x

f.

29 3 2lim

3 5x

x x x

x

ACTIVIDAD No 2

1. Encuentre el valor de h de modo que la función dada sea continua en 1x , donde:

3 1( )

5 1

hx si xf x

hx si x



2. Hallar el valor de b para el cual la función

2

2)(

2 xsibx

xsixxf es continua en todos los reales

3. Sea

1 0

1( ) 0 1

5 1

si x

f x si xax b

b si x

Obtenga las constantes a y b de modo que f sea continua, y grafique esta función

4. Dada la función:

2

2 1 3

( ) 3 5

2 5

x si x

f x ax b si x

x si x

Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.

5. Dada la función:

3 3

( ) 3 7 3 3

12 3

x ab si x

f x ax b si x

x b si x

Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.

6. Determine si el siguiente límite existe o no:

2 21 10

2 1x

x xlím

x x

7. Sea la función 2

5 3

( ) 9 3 3

5 3

x si x

f x x si x

x si x

determinar:

3 3

3

. lim ( ) . (3) . ( 3) . lim ( ) . lim ( )x x

x

a f x b f c f d f x e f x

8. Dada la función 2( ) 2 4 ,f x x x hallar

0

( ) ( )limh

f x h f x

h



9. Calcule el valor de a para que se cumpla

2

2

2

1

1lim

x

a xx

x xe

x

10. Grafique la función ( )x

g xx

y calcule el 0

lim ( )x

g x

11. Si 21

( )lim 4

1x

f x

x

y 31

( )lim 2

1x

g x

x

Calcule el valor de

1

( )lim

( )x

f x

g x

12. Sea la función

3 0( )

0

x si xg x

x si x

hallar: a. La gráfica de g(x)

b. 0

lim ( )x

g x

ACTIVIDAD No 3

1. ¿Qué relación existe entre el límite de una función matemática para un determinado valor y la continuidad de esa función en ese mismo punto? ¿Esa relación se cumple en todos los casos? ¿por qué?

2. ¿Es 2 el valor del siguiente límite

2

5

20lim

5x

x x

x

? Justifique su respuesta.

3. ¿Es la función 23 xy , continua en todo su dominio? Grafique para justificar su respuesta.

4. ¿Qué puede decir de la continuidad de la función 3

92

x

xy ? Qué pasa cuando x = - 3? Se

puede argumentar que la gráfica es una línea recta? Explique

5. ¿Qué métodos conoce para calcular el límite de una función? Aplique esos procesos y trate de obtener el límite en cada caso, sino existe límite, diga `por qué.

a. 2

2

4lim

2x

x

x

b.

2

23

12lim

5 6x

x x

x x

c.

21

1lim

3 2x

x

x

d. 3

1

4 1lim

2x

x x

x x

e.

1

2

1lim

1

2x x

f. 0

1lim

2x x

g. 3 3

0

( )limh

x h x

h

h.

1lim

2x x i.

2

0

limx

x x

x



6. Encontrar el valor de a ( a ) de modo que 1

lim ( )x

f x

exista, si

3 3

3 3

1

( )

1

x asi x

x af x

x asi x

x a

7. En los siguientes problemas, establezca si la función indicada es continúa o no en su dominio, si no

lo es, explique porqué y diga la clase de discontinuidad que presenta:

2. 4 2 12a f x x x 8

.2

b f xx

. 3c g x x

3 8

.2

td g t

t

2

3 2.

1 2

x si xe f x

x si x

3 3.

2 3

x si xf f x

si x

3 82

. 2

12 2

tsi t

g h t t

si t

3 1

.3 1

x si xh g x

x si x

22 31

. 1

2 1

x xsi x

i f x x

si x

2

4.

3j g x

x

ACTIVIDAD No 4 1. Representar las funciones siguientes e indicar si tiene algún punto de discontinuidad:

f x

x x

x x

x

( )

1 3

0 4

2

si

si 3 < 4

si

f x

x x

x x

x x

( )

1 1

1

2

2

2

si

si 1< 2

si

2. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

2

11. ( )

1

xf x

x

2 5 62. ( )

2

x xf x

x

1 03. ( )

1 0

x si xf x

x si x

24. ( ) 4f x x

22 25. ( )

2 6 2

x si xf x

x si x

26. ( ) 1f x x

1 1

7. ( )

1 1

si xxf x

x si x

8. ( )f x x x

2

2 1 si 4, 2

9. ( ) 1 3 si 2,1

si 1,5

x x

f x x x

x x



3. Probar que la función 2

3

1( )

7 8

xf x

x x

no es continua en x = 1 e indicar que tipo de

discontinuidad presenta en dicho punto. 4. Al estudiar la continuidad de la función:

2

2

( 1) 0( )

( 1) 0

x si xh x

x si x

Se puede afirmar que:

A. h(x) es continua en toda la recta real B. h(x) es discontinua en x = 0 C. La función tiene una discontinuidad removible(evitable) en x = 0

D. La función es discontinua únicamente en el intervalo [- 1, 1] 5. Con relación a la gráfica que aparece a continuación, una de las siguientes afirmaciones es falsa

(justifique la respuesta)

6. Sea h(x) una función cuya gráfica se adjunta:

Indique:

x 6 x 2 x 1

x 1 x 4x 1

x 6

a) lim h(x) b) lim h(x) c) lim h(x)

d) lim h(x) e) lim h(x) f ) lim h(x)

g) lim h(x)

x 6

h) lim h(x)



7. Dada la función

2 5 6( )

2

x xf x

x

a) Hallar los puntos de discontinuidad b) Si existe alguno, hallar los limites laterales y el salto de discontinuidad c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda la

recta 8. Observa la grafica de esta función f(x) y calcula los limites

1 1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x

xx

lím f x lím f x lím f x

lím f x lím f x



ACTIVIDAD No 5 Resuelva los siguientes problemas de aplicación de limites y continuidad

1. Si el costo total de producción de q artículos en una industria está dado por 7000 10 ,C q

encontrar el costo promedio, cuando el nivel de producción crece continuamente.

2. La población p de una ciudad en t años está dada por

2

1800050000

3p

t

. Encontrar la población a

largo plazo 3. Para una relación particular de huésped-parásito, si x representa la densidad de huéspedes, es decir

el número de huéspedes por unidad de área y f(x) representa el número de parásitos en un

determinado período, entonces 1000

( )12 40

xf x

x

. Encontrar a qué valor se aproximaría el número de

parásitos, si la densidad de huéspedes aumentara sin cota. 4. El costo c, en pesos, por enviar un paquete es de 50 pesos si pesa hasta 5 kilogramos, de 80 pesos si

su peso es mayor de 5 y hasta 10 kilogramos, y de (x + 70) pesos si pesa más de 10 y hasta 50 kilogramos. Expresar la función del costo, analizar en qué puntos tiene discontinuidades y trazar su gráfica.

5. La tarifa telefónica de larga distancia entre dos ciudades es de $15 los primeros 3 minutos y de

$(t + 20), para las llamadas de más de tres minutos. Expresar la función de la tarifa telefónica,

analizar si hay puntos de discontinuidad y trazar su gráfica.

EVALUACIÓN

Límites y continuidad

1. En un examen, a Lorenzo se le pide que calcule x 4

1 1 1lim

x 4 x 4

. Lorenzo responde: “puesto

que x 4

1 1lim 0

x 4

por tanto, por el teorema del producto, el resultado es cero”. Diga si Lorenzo

está en lo cierto; en caso de estar equivocado, obtenga el límite correcto. 2. Complete la expresión de manera que el procedimiento sea correcto:

603

))()(3(lim

3

))(9(lim

3

98lim

3

2

3

24

3

x

x

x

x

x

xx

xxx

3. Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas:

x 2x 3 x 3lim f ( x ) 4, lim f( x ) 2, lim f( x ) 2, f (3 ) 3, f ( 2 ) 1



4. Evalúe los siguientes límites, si existen:

a) z 1

3z, z 1lim f (z) si f ( z)

3, z 1

b)

5 5

a b

a blim

a b

c)

x 4

3x 8lim

x 4 x 4

5. Determine si

2

2

1

x

x si x 1

3 si x 1f ( x )

2 x si 1 x 1

si x 1

es continua en todo su dominio. Si no lo es,

determine si la discontinuidad es evitable o no evitable. 6. Obtenga las constantes a y b, si existen, de modo que la función f sea continua en los reales.

3 6 2 2

2

1( ) 2 5

3 5

xsi x

x

f x si xax b

si x

7. Diga en qué puntos es continua la función

2

3

w 1H(w )

(w 8 )

8. ¿Qué se necesitaría para que la función x 4 3

f ( x )x 5

sea continua en x = 5?

9. Dadas las siguientes funciones: a) Hallar su dominio de definición. b) Calcular los límites indicados.

1. 4

2)(

2

x

xxf )(

2xflim

x

2. 5

25)(

2

x

xxf )(

5xflim

x

3. 23

234 23)(

xx

xxxxf

)(

0xflim

x

4. 34

23)(

2

23

xx

xxxxf )(

1xflim

x



5. 6

16)(

2

4

xx

xxf )(

2xflim

x

10. A partir de la gráfica determinar:

a) )( xflim

ax

b) )( xflim

ax

c) )( xflimax

(v) (vi) (vii)

11. A partir de las siguientes gráficas, determinar si las funciones son continuas en x 0. De no serlo,

indicar cuál de las tres condiciones no se cumple:



BIBLIOGRAFÍA

APUNTES DEL DOCENTE DESIGUALDADES

STEWART James , calculo conceptos y aplicaciones, Editorial Thomson

HOFFMANN, BRADLEY, ROSEN, Cálculo Aplicado para administración, economía y ciencias sociales. Mc Graw-Hill

HARSHBARGER, REYNOLDS, Matemáticas Aplicada a la administración, economía y ciencias sociales. Mc Graw-Hill

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