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Departamento de Fısica Aplicada

Area de Fısica Aplicada

Fısica IMecanica, Oscilaciones y Ondas, Termodinamica

Enero, 2011

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

A

AA

AA

A

AA

AA

AA

AA

A

NN

NN

N

Primer armónico ó fundamental Segundo armónico Tercer armónico Cuarto armónico Quinto armónico

Alejandro Medina Domınguez Jesus Ovejero Sanchez

version OCW

Indice general

1. Sistemas de medida y analisis dimensional 11

1.1. Magnitudes fundamentales en Fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Sistemas de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Conversion de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Analisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Notacion cientıfica y ordenes de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

I Fundamentos de Mecanica Clasica 25

2. Cinematica de una partıcula 27

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Movimiento en una dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1. Velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2. Velocidad instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3. Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.4. Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformemente

acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Movimiento en dos y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2. Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.3. Componentes de la aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.4. Ejemplos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 INDICE GENERAL

2.4. Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.1. Velocidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.2. Movimiento relativo de traslacion uniforme . . . . . . . . . . . . 48

2.4.3. Movimiento relativo de rotacion uniforme . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.4. Movimiento relativo con respecto a la Tierra . . . . . . . . . . . 52

2.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3. Leyes de Newton y sus aplicaciones 65

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. Primera Ley de Newton. Sistemas de referencia inerciales . . . . . . . . 67

3.3. Fuerza, masa y segunda Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4. Ley de accion y reaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5. Las fuerzas en la Naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6. Campos y fuerzas de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7. Fuerza gravitatoria terrestre y peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.8. Fuerzas de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.8.1. Friccion estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.8.2. Friccion cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.8.3. Friccion por rodadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.8.4. Fuerzas de arrastre en fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.9. Movimiento relativo a sistemas de referencia no inerciales . . . . . . . . 86

3.9.1. Concepto de fuerza ficticia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.9.2. Ejemplos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4. Trabajo, energıa y conservacion de la energıa 101

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2. Concepto de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.1. Sistemas unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.2. Expresion general de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

INDICE GENERAL 5

4.4. Energıa cinetica. Teorema trabajo-energıa . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5. Fuerzas conservativas y energıa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.6. Analisis de curvas de energıa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.7. Conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.7.1. Sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.7.2. Sistemas no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.7.3. Principio de conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . 118

4.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5. Sistemas de partıculas. Momento lineal y su conservacion 125

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.2. Centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.2.2. Movimiento del centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.3. Momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3.2. Conservacion del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.4. Sistemas de referencia del centro de masas y del laboratorio . . . . . . 131

5.5. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.5.1. Colisiones elasticas en una dimension . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.5.2. Colisiones inelasticas en una dimension . . . . . . . . . . . . . . 136

5.5.3. Colisiones en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.6. Impulso y fuerza media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6. Dinamica de la rotacion 147

6.1. Cuerpo rıgido, traslacion y rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.2. Energıa cinetica rotacional. Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . 148

6.3. Calculo de momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.3.1. Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.3.2. Sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6 INDICE GENERAL

6.3.3. Teorema de los ejes paralelos (Steiner) . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3.4. Teorema de los ejes perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.4. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.5. Segunda Ley de Newton para la rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.5.1. Partıcula unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.5.2. Sistemas de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.6. Conservacion del momento angular y sus aplicaciones . . . . . . . . . . 165

6.7. Trabajo de rotacion. Teorema trabajo-energıa . . . . . . . . . . . . . . 167

6.8. Analogıas entre las ecuaciones de la traslacion y la rotacion . . . . . . . 168

6.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7. Propiedades elasticas de los materiales. Mecanica de Fluidos 175

7.1. Propiedades elasticas de los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.1.1. Curvas esfuerzo-deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.1.2. Materiales elasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.1.3. Constantes elasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.2. Estados de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.3. Fluidos en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.3.1. Presion en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.3.2. Variacion de la presion con la altura en un fluido incompresible 185

7.3.3. Variacion de la presion con la altura en un fluido compresible . . 187

7.3.4. Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.3.5. Principio de Arquımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.4. Fluidos en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.4.1. Fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.4.2. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.4.3. Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.5. Fluidos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

INDICE GENERAL 7

II Fundamentos de oscilaciones y ondas 205

8. Movimiento oscilatorio 207

8.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.2. Cinematica del movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.3. Dinamica del movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8.4. Energıa de un oscilador armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.5. Ejemplos de movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8.5.1. Muelle vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8.5.2. Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

8.5.3. Pendulo fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.5.4. Pendulo de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.6. M.A.S. y movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.7. Movimiento en las proximidades del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 222

8.8. Movimiento armonico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

8.9. Oscilaciones forzadas y resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.10. Analisis de Fourier de movimientos periodicos . . . . . . . . . . . . . . 228

8.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9. Movimiento ondulatorio 237

9.1. Introduccion: conceptos basicos y tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . 237

9.2. Pulsos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.2.1. Funcion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.2.2. Superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.2.3. Reflexion y transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9.2.4. Velocidad de propagacion de las ondas unidimensionales . . . . 245

9.3. Ondas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

9.3.1. Energıa transmitida por las ondas armonicas . . . . . . . . . . . 250

9.3.2. Interferencia de ondas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

9.3.3. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

9.4. Ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

8 INDICE GENERAL

9.5. Ondas en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

9.5.1. Propagacion de ondas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . 259

9.5.2. Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

9.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

III Fundamentos de Termodinamica 275

10.Introduccion a la Termodinamica 277

10.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

10.1.1. Sistemas termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

10.1.2. Interacciones termodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

10.1.3. Estados de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

10.1.4. Variables termodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

10.1.5. Procesos termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

10.2. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

10.2.1. Equilibrio termico. Principio Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

10.2.2. Escala de temperaturas del gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . 282

10.2.3. Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

10.3. Primer Principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

10.3.1. Trabajo termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

10.3.2. Trabajo disipativo y procesos cuasiestaticos . . . . . . . . . . . 288

10.3.3. Interpretacion geometrica del trabajo cuasiestatico . . . . . . . 289

10.3.4. Experimentos de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

10.3.5. Trabajo adiabatico y energıa interna . . . . . . . . . . . . . . . 292

10.3.6. Calor y Primer Principio de la Termodinamica . . . . . . . . . . 293

10.3.7. Capacidades calorıficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

10.4. Segundo Principio de la Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

10.4.1. Maquinas termodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

10.4.2. Enunciados del Segundo Principio . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

10.4.3. Procesos reversibles e irreversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

10.4.4. Ciclo y teorema de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

INDICE GENERAL 9

10.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

IV Practicas de laboratorio 313

Caıda libre 315

Estatica y dinamica de un muelle vertical 319

Pendulo simple 324

Pendulo fısico 330

Pendulo de torsion y momentos de inercia 335

Ondas estacionarias 341

Conservacion de la energıa 346

Dilatacion de solidos y lıquidos 350

Ecuacion de estado del gas ideal 355

Bibliografıa 360

Indice alfabetico 363

Capıtulo 1

Sistemas de medida y analisisdimensional

1.1. Magnitudes fundamentales en Fısica

La Fısica es una ciencia cuantitativa que trata de entender un cierto conjunto de

hechos observables en la Naturaleza. Las leyes de la Fısica expresan relaciones entre

ciertas magnitudes como pueden ser fuerza, aceleracion, corriente electrica, tempera-

tura, energıa, etc. Son necesidades fundamentales en Fısica el definir con claridad y

unicidad esas magnitudes y ser capaz de medirlas con precision.

Aunque existen gran cantidad de magnitudes en Fısica, la mayor parte de ellas se

pueden expresar en terminos de unas cuantas magnitudes fundamentales. En Mecanica,

por ejemplo, las magnitudes fundamentales son longitud, masa y tiempo. Cualquier otra

magnitud fısica propia de la Mecanica se puede expresar como combinacion de esas tres.

Las magnitudes que no son fundamentales, sino que se expresan como combinacion de

ellas se denominan derivadas. Ejemplos en Mecanica son la velocidad, ~v, la aceleracion,

~a, la energıa, E, la presion, P , etc. Las magnitudes fundamentales o derivadas pueden

ser escalares o vectoriales , dependiendo de que puedan ser caracterizadas mediante un

unico numero o sea necesario incluir una direccion y un sentido.

La medida de cualquier magnitud fısica y, en particular, de las magnitudes funda-

mentales, exige acompanar el valor medido de la referencia o patron respecto a la que

se compara esa medida para asignarle un valor. No tiene sentido decir que la altura

de una casa es 5, hay que anadir una referencia o patron (unidad) respecto a la que

12 CAPITULO 1. SIST. DE MEDIDA Y ANALISIS DIMENSIONAL

se mide. El resultado de la medida de magnitud fısica escalar debe expresarse con una

cifra y una unidad. Y si es vectorial con dos o tres cifras (dependiendo del espacio

vectorial a que pertenezca) y una unidad.

1.2. Sistemas de unidades

La eleccion de una medida estandar con la cual comparar las mediciones de una

cierta magnitud es hasta cierto punto arbitraria. Sin embargo, algunos criterios son

convenientes para determinar si un patron de medida es adecuado para ser utilizado

con asiduidad. Caracterısticas deseables de un patron de medida son:

1. Estabilidad: el patron no debe variar con el tiempo. De este modo la medida de la

misma magnitud en diferentes instantes temporales debe dar el mismo resultado.

2. Reproducibilidad: el patron debe ser facilmente reproducible para que se pueda

utilizar en diversas circunstancias y lugares.

3. Aceptabilidad: el patron debe ser aceptado por la mayor cantidad posible de

usuarios. No es deseable la existencia de muchos patrones diferentes para una

misma magnitud.

4. Precision: el patron debe estar determinado con mucha mas precision que la que

se pretende para las medidas ordinarias en las que se utilice. De este modo se

evitan errores en la determinacion de esas medidas.

5. Accesibilidad: el patron debe ser facilmente accesible para cualquiera que pueda

necesitarlo.

6. Seguridad: el patron debe ser lo mas seguro posible para que no se deforme o

varıen sus propiedades debido a su utilizacion u otras razones.

La eleccion de un patron para cada una de las magnitudes fundamentales determina

un sistema de unidades. El sistema de unidades mas ampliamente aceptado en Fısica

es el denominado Sistema Internacional de Unidades (S.I.). Fue establecido en 1960

1.3. CONVERSION DE UNIDADES 13

Magnitud Unidad Sımbolo

longitud metro mmasa kilogramo kg

tiempo segundo scorriente electrica amperio A

temperatura kelvin Kcantidad de materia mol molintensidad luminosa candela cd

por un comite internacional. Las unidades en el S.I. de las magnitudes fundamentales

en Fısica 1 son las que se relacionan en la tabla adjunta. Cualquier otra magnitud fısica

se puede expresar en unidades del S.I. como combinacion de esas unidades basicas.

Otros sistemas de unidades que se utilizan ocasionalmente son el sistema cegesimal

(c.g.s.) y el sistema tecnico ingles. En el c.g.s., las unidades basicas son el centımetro

(cm), el segundo (s) y el gramo (g). En el sistema tecnico ingles , se toma como unidad

de fuerza patron la libra y a partir de ella se define la libra como unidad de masa (1

libra = 0, 454 kg). La longitud se expresa en pies (1 pie = 0, 3048 cm) y el tiempo en

segundos.

1.3. Conversion de unidades

Aunque siempre es recomendable expresar la medida de un magnitud en el S.I., en

algunas ocasiones es necesario convertir las unidades de un sistema a otro.

1.3.1 Ejemplo

~ Transformar 90 km/h a: m/s y millas/h .

90��km

��h1000

m

��km

1

3600s

��h

= 25 m/s

1Otras unidades de caracter geometrico en el S.I. son el radian (rd), unidad de angulo y el estereo-rradian (sr), unidad de angulo solido.


90��km

h

1

1, 61��km

mi

= 55, 9mi

h

~ La masa de un cubo solido es 856 g y cada arista tiene una longitud de 5, 35 cm.

Determınese la densidad del cubo en unidades del S.I..

ρ =m

V

m = 856�g1

1000 �g

kg

= 0, 856 kg

V = l3 = 153, 13��cm3(

10−2 m

��cm

)3

= 1, 531× 10−4 m3

=⇒ ρ =0, 856 kg

1, 531× 10−4 m3= 5, 590× 103 kg

m3

1.4. Analisis dimensional

Cada magnitud fısica posee una cualidad propia que impide que pueda compararse

con otra magnitud distinta. Por eso no se puede decir que una cierta velocidad sea

mayor o menor que una densidad, velocidad y densidad son cosas intrınsecamente

diferentes. Y al serlo no pueden compararse. Como solo pueden compararse cantidades

de la misma magnitud, las ecuaciones de la Fısica deben expresar siempre la igualdad

de magnitudes de la misma especie.

A = B =⇒ A y B son comparables.

Se dice que esa ecuacion es dimensionalmente homogenea. El tipo de especie o

magnitud queda determinado por lo que se conoce en Fısica como dimension. Por

ejemplo, una longitud se puede simbolizar con la letra L. Y como una superficie es el

producto de dos longitudes se puede simbolizar como L2. Y un volumen como L3.

La masa es una magnitud que no puede reducirse a una longitud y por ello necesi-

tamos otro modo de referirnos a ella. Por ejemplo, denotamos su dimension por M . Es

1.4. ANALISIS DIMENSIONAL 15

indiferente que la masa a que nos refiramos sea la de un planeta, la de un atomo o la

de una persona. Aunque sus medidas seran distintas en cada caso, intrınsecamente la

magnitud es la misma. Igual sucede con el tiempo. Su dimension suele denotarse como

T .

Una densidad es una masa dividida por un volumen y se dice que dimensionalmen-

te es M/L3. La velocidad siempre es una longitud dividida por un tiempo. Se dice,

entonces, que dimensionalmente es LT−1. Otros ejemplos pueden ser:

aceleracion (a) → ∼ v

t−→ LT−2 se denota [a] = LT−2

fuerza (f) → ∼ ma −→ MLT−2 se denota [f ] = MLT−2

energıa (E) → ∼ f d −→ ML2T−2 se denota [E] = ML2T−2

Cualquier magnitud mecanica, por complicada que sea, se puede expresar dimensio-

nalmente en terminos de M , L y T . Podrıamos entonces definir el concepto dimension

como una forma sencilla de representar la dependencia de una magnitud cualquiera en

terminos de las magnitudes fundamentales.

Hay magnitudes que no tienen dimensiones. Se dice que son adimensionales. Por

ejemplo, un angulo es arcoradio

. Su dimension es L/L = L0. Otro ejemplo es cualquier

exponente de una funcion exponencial. Esto se debe a que al hacer el desarrollo en

serie de la funcion:

ex ' x+x3

3!+x5

5!+ . . . ,

esta ecuacion solo es homogenea si x es adimensional. No se puede sumar una fuerza con

una densidad. En general, cuando se representa una igualdad mediante una ecuacion

algebraica, ambos terminos deben ser dimensionalmente iguales para ser comparables:

A = B + C =⇒ [A] = [B] = [C]

Solo en este caso tiene sentido la suma y la igualdad. De este modo la ecuacion es

dimensionalmente homogenea.

Utilidades del analisis dimensional:

+ Comprobar si una ecuacion es correcta.


+ Preveer como debe ser una relacion entre varias magnitudes.

1.4.1 Ejemplo

Compruebese si las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas.

~ x = 12at2

[x] = L

[a] = LT−2

[t] = T

−→ L = L��T−2��T 2 =⇒ correcta

~ v2 = 2a(x− x0) + v20

v2 = (LT−1)2 = L2T−2

[a] = LT−2

[x] = [x0] = L

[v20] = [v2] = L2T−2

−→ L2T−2 = L2T−2 + L2T−2 =⇒ correcta

1.4.2 Ejemplo

2.- Determınense los exponentes desconocidos para que las siguientes ecuaciones sean

correctas.

~ E = 12mavb

[E] = ML2T−2

[mavb] = Ma(LT−1)b = MaLbT−b

−→ a = 1, b = 2 =⇒ E =1

2mv2

1.5. NOTACION CIENTIFICA Y ORDENES DE MAGNITUD 17

~ E = magbhc

[E] = ML2T−2

[magbhc] = Ma(LT−2)bLc = MaLb+cT−2b

−→ a = 1, b+ c = 2, 2b = −2 −→ b = 1, c = 1 =⇒ E = mgh

1.5. Notacion cientıfica y ordenes de magnitud

El manejo de numeros muy grandes o muy pequenos se simplifica notablemente

utilizando potencias de 10. En esta notacion, denominada cientıfica, un numero se

escribe como el producto de uno entre 0 y 10 y una potencia de 10. Para denominar

a las potencias se suelen utilizar los prefijos y abreviaturas que aparecen en la tabla

adjunta.

Multiplos Prefijo Abreviatura

1018 exa E1015 peta P1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k102 hecto h101 deca da100 − −10−1 deci d10−2 centi c10−3 mili m10−6 micro µ10−9 nano n10−12 pico p10−15 femto f10−18 ato a


Cuando se llevan a cabo calculos por aproximacion o comparaciones hay veces en

que se redondea un numero hasta la potencia de 10 mas proxima. Tal numero recibe el

nombre de orden de magnitud. Se podrıa definir entonces como la potencia de 10 mas

proxima a un cierto numero.

Por ejemplo, si la altura de una pared es 8 m, su potencia mas proxima es 101. Se

dice que su orden de magnitud es 10. Si la altura de una persona es de 1, 70 m, se dice

que el orden de magnitud de la altura es 100 = 1. Si la masa de un coche es 2000 kg,

se dice que su orden de magnitud, en kilos es 103. Sin embargo en toneladas serıa 1. El

orden de magnitud siempre esta asociado a un sistema de unidades.

Este concepto es muy importante puesto que aunque muchas veces sea difıcil estimar

el tamano, la masa de un objeto u otras magnitudes, es posible, con razonamientos

sencillos, estimar su orden de magnitud. Tambien es fundamental para razonar si el

resultado de la resolucion de un problema tiene sentido o no. Veamos algunos ejemplos

de ambos casos:

1.5.1 Ejemplo

} ¿Que espesor de la banda de rodadura de un neumatico se desgasta en un recorrido

de 1 km?

Supongamos que el espesor del neumatico nuevo es 1 cm. Quizas no sea ese, sino

2 o 3 cm, pero seguro que no es 1 mm ni 10 cm. Su orden de magnitud puede ser

1 cm.

Si los neumaticos deben cambiarse cada 60000 kms, consideremos que la banda

esta completamente gastada despues de esos km. Entonces:

1 cm

60000 km= 1, 7× 10−5 cm

km−→ O.M. : 10−5 cm

km

} Estımese el grosor de las hojas de un libro.

Supongamos que el libro tiene aproximadamente 500 paginas, es decir, 250 hojas

de papel. Si su espesor (sin contar las portadas) es 2 cm, resulta:

1.5. NOTACION CIENTIFICA Y ORDENES DE MAGNITUD 19

g =0, 02

250= 8× 10−5 m = 0, 08 mm −→ O.M. : 10−1 mm

} Supongase que en la resolucion de un problema de Termodinamica se obtiene que

la temperatura de ebullicion del agua es ' 104 K. ¿Tiene sentido, o no?

} En un problema se pide calcular la potencia necesaria que debe suministrar el mo-

tor de un coche para ascender una pendiente del 10 %. ¿De que orden de magnitud

sera esa potencia?

} Si en un problema nos piden calcular el orden de magnitud de la masa de un

proton, ¿cual debe ser?

} Estımese el numero de peluqueros que hay en Madrid (¡de hombres!).

Cada peluquero trabaja 10 h/dıa y cada hombre tarda 0,5 h en cortarse el pelo.

Entonces cada peluquero corta el pelo a 20 hombres/dıa.

Si en Madrid hay 1 millon de hombres y se cortan el pelo en promedio cada 3

meses. En tres meses un peluquero corta el pelo a:

20× 30× 3 = 1800 ' 2× 103 hombres/3 meses

106

2× 103=

1

2× 103 peluqueros


Ejemplos de algunos ordenes de magnitud:

Longitud (m) Masa (kg)

radio del proton 10−15 electron 10−30

radio del atomo 10−10 proton 10−27

radio de una celula 10−5 celula 10−12

altura de una persona 100 gota de lluvia 10−6

altura de una montana 104 hormiga 10−2

radio de la Tierra 107 persona 102

radio del Sol 109 Tierra 1024

distancia Tierra-Sol 1011 Sol 1030

radio de la Vıa Lactea 1021 Vıa Lactea 1041

Tiempo (s)

tiempo que tarda la luz en atravesar un nucleo 10−23

periodo de la radiacion de la luz visible 10−15

periodo de la radiacion de microondas 10−10

periodo de la nota musical Do 10−2

periodo de las pulsaciones del corazon humano 101

periodo de la rotacion terrestre (1 dıa) 105

periodo de la revolucion terrestre (1 ano) 107

vida media de una persona 109

vida media de una cordillera 1015

edad de la Tierra 1017

edad del Universo 1018

1.6. PROBLEMAS 21

1.6. Problemas

1. En una carretera de Estados Unidos, el lımite de velocidad marca 55 millas/hora.

¿Cual serıa la velocidad lımite equivalente en una carretera espanola?

(Respuestas : 88,5 km/h)

2. El radio de una esfera en centımetros es 0,3. ¿Cuales serıan su superficie y su

volumen en el SI?

(Respuestas : S = 1,13× 10−4 m2; V = 1,13× 10−7 m3)

3. Una estacion meteorologica marca una presion atmosferica de 775 mmHg. ¿A

cuantas atmosferas corresponde esa presion? ¿Corresponde esa medida al SI?

(Respuestas : P = 1,02 atm; P = 1,03× 105 Pa)

4. Comprueba si las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas:

x = vt; m = ρV ; V = V0e−k; T = 2π

√l

g

x = vt+at2

2; a =

v2

r; A =

(x2

0 +v2

0

ω2

)2

v2 = 2a(x− x1) + v21; r =

v20 sen 2θ0

g; ~l = ~r × ~p

5. Haciendo uso de analisis dimensional, calcula n, m y p para que las siguientes

ecuaciones tengan sentido:

a)

a = k rnvm,

donde k es una constante adimensional.

b)

F cos θ = mg (1− α) cosλ,

donde α ∼ RmT g

n T pT .

(Respuestas : a) m = 2; n = −1; b) m+ n = 0 −2n+ p = 0. La solucion no es

unica.)


6. ¿Cuales deben ser las dimensiones de los parametros C1 y C2 para que las si-

guientes ecuaciones sean dimensionalmente correctas?

x = C1 + C2t; x = C1 cosC2t

x =1

2C1t

2; v = C1e−C2t; v2 = 2C1x.

7. Halla las dimensiones de la constante G de la gravitacion universal, sabiendo que:

~Fg = Gm1m2

r2~u.

(Respuestas : [G] = M−1L3T−2)

8. Un objeto situado en el extremo de una cuerda se mueve segun un cırculo. La

fuerza ejercida por la cuerda depende de la masa del objeto, de su velocidad y

del radio del cırculo. ¿Que combinacion de estas variables ofrece las dimensiones

correctas de la fuerza?

(Respuestas : F ∼ mv2

r)

9. Utilizando notacion cientıfica, calcula:

150000× 3000000

0, 0005× 2000

3200

16

4800× 0, 002× 1

10000

10. Sabiendo que la distancia entre Nueva York y Los Angeles es de 4800 kms y que

hay una diferencia horaria de 3 horas, estima la circunferencia de la Tierra.

(Respuestas : l ' 40,000 km)

11. Sabiendo que la velocidad de salida por un pequeno orificio practicado en la pared

de un deposito es proporcional a la distancia vertical (h) del centro del orificio

a la superficie del lıquido y a la aceleracion de la gravedad (g), dudamos si esa

1.6. PROBLEMAS 23

velocidad depende tambien de la densidad del lıquido. ¿Se puede resolver esta

duda utilizando analisis dimensional?

(Respuestas : v ∼ (gh)1/2)

12. Supongamos que un helicoptero es capaz de quedarse suspendido en el aire cuando

sus motores desarrollan una potencia, P . Un segundo helicoptero tiene la mitad de

tamano que el primero, pero los mismos motores. ¿Que potencia deben desarrollar

sus motores para mantenerse suspendido?

(Respuestas : P2 ' 0,09P )

Parte I

Fundamentos de Mecanica Clasica

Capıtulo 2

Cinematica de una partıcula

2.1. Introduccion

La Mecanica es una parte de la Fısica que tiene por objeto estudiar el estado de

movimiento de los cuerpos, buscar sus causas y establecer las leyes que rigen estos

movimientos. Dependiendo de la naturaleza del estudio, la Mecanica se divide en dos

partes Cinematica y Dinamica. La Cinematica estudia de forma generica el movimiento

independientemente de las causas que lo producen. Sin embargo, la Dinamica atiende

tambien a las causas que lo provocan. Dentro de la Dinamica, existe otra parte, de

especial interes en Ingenierıa, denominada Estatica . Trata de estudiar en que circuns-

tancias los cuerpos estan en reposo, aunque esten sometidos a varias fuerzas.

Los elementos basicos de la Cinematica son el espacio, el tiempo y el movil. La

Cinematica Clasica admite la existencia de un espacio y un tiempo absolutos y con-

tinuos. Este espacio es independiente de los objetos materiales que contiene. Postula

tambien la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todo

el Universo y que es el mismo para todos los observadores, independientemente de su

estado de movimiento. De este modo el tiempo se puede representar como una variable

real.

Aunque en este curso nosotros nos dedicaremos esencialmente al estudio de la

Mecanica Clasica, cabe decir que existen otros modos dentro de la Fısica de enten-

der el espacio y el tiempo. En Mecanica Relativista esos conceptos no son absolutos

sino que estan relacionados entre sı y con el observador y su estado de movimiento.

28 CAPITULO 2. CINEMATICA DE UNA PARTICULA

Es la mecanica apropiada para el estudio de problemas en que aparecen velocidades

proximas a la de la luz. Existe otro tipo de descripcion mecanica de la naturaleza apro-

piada para sistemas de dimensiones pequenas, como atomos y nucleos. Se denomina

Mecanica Cuantica. En ella la posicion y la velocidad de una partıcula no se pueden

determinar simultaneamente con precision arbitraria (Principio de Incertidumbre).

Un cuerpo cualquiera puede considerarse como un punto material o como una

partıcula cuando sus dimensiones son despreciables frente a las dimensiones de sus des-

plazamientos. Ası por ejemplo, la Tierra puede considerarse como un objeto puntual al

estudiar su movimiento respecto al sol, puesto que su diametro son aproximadamente

10,000 km y la distancia media al sol son 1013 km. Es por lo tanto, un concepto relativo

relacionado con el observador.

En Mecanica se considera que un cuerpo esta en movimiento cuando su posicion

cambia en el espacio con relacion a otros que consideramos fijos y que sirven de refe-

rencia. Pero tambien puede suceder que no solo el cuerpo se mueva sino que tambien

lo haga el sistema de referencia. Por lo tanto, el concepto de movimiento siempre tiene

un sentido relativo. El mejor modo de establecer la relacion entre el cuerpo en estudio

y su referencial es utilizando un sistema de coordenadas. Para un punto material bas-

tara determinar sus coordenadas, pero para un cuerpo extenso habra que determinar

las coordenadas de todos sus puntos.

Se dice que el movimiento del punto material es unidimensional si queda perfec-

tamente determinado por una unica coordenada, x = x(t). Esa ecuacion matematica

describe la trayectoria del cuerpo. A cada valor de la variable temporal, t, se le asig-

na unıvocamente una posicion de la partıcula. Este tipo de movimiento se denomina

a veces rectilıneo. Existen muchos movimientos reales, que tienen lugar en el espacio

tridimensional ordinario, que pueden entenderse como unidimensionales, pues de algun

modo solo una de las coordenadas de posicion varıa apreciablemente en el tiempo.

Ejemplos de esto son un movimiento de caıda libre o el de un tren sobre unos raıles

en lınea recta. En otras ocasiones es necesario estudiar la evolucion de dos coordena-

das para describir correctamente la evolucion de la partıcula. En este caso es como si

el movimiento tuviera lugar sobre una superficie plana (bidimensional). Ejemplos de

2.2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION 29

estos movimientos son el de una bola de billar sobre una mesa o el de un proyectil. En

general, para describir el movimiento de una partıcula en el espacio tridimensional se

requiere una trayectoria de la forma: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). Expresado en forma

vectorial, el vector de posicion de la partıcula es una funcion del tiempo de la forma:

~r = ~r(t).

2.2. Movimiento en una dimension

2.2.1. Velocidad media

Consideremos una partıcula o punto material moviendose sobre una lınea recta

representada por la coordenada x. Supongamos que en el instante ti se encuentra en la

posicion xi y en el tf en la posicion xf .

Se define la velocidad media de la partıcula en ese intervalo de tiempo como:

v =xf − xitf − ti

≡ ∆x

∆t[v] = LT−1

∆x

∆t

x

tti tf

xi

xf

α

x(t)

La velocidad media es independiente de la trayectoria seguida por la partıcula, solo

depende del espacio recorrido y el tiempo transcurrido. Si una partıcula parte de un

determinado punto y vuelve a el despues de un tiempo, su velocidad media en ese

intervalo es cero. Geometricamente, la velocidad media representa la pendiente de la

recta que une los puntos inicial y final.

v =∆x

∆t= tanα.


2.2.2. Velocidad instantanea

La velocidad de la partıcula en un instante de tiempo cualquiera se denomina ve-

locidad instantanea. Es un concepto importante especialmente cuando la velocidad

media en diferentes intervalos de tiempo no es constante. Para determinarla debemos

hacer el intervalo temporal tan pequeno como sea posible de modo que esencialmente

no tengan lugar cambios en el estado de movimiento durante ese pequeno intervalo.

Matematicamente:

v = lım∆t→0

v = lım∆t→0

∆x

∆t=dx

dt=⇒ v(t) =

dx(t)

dt.

x

t

xi

ti t +∆ti

∆t

0

x(t)

La interpretacion geometrica se puede entender a partir de la figura. Cuando ∆t→0, el cociente, ∆x/∆t, representa la pendiente de la recta tangente a la curva, x(t), en

el instante ti.

Una vez conocida la velocidad como funcion del tiempo, v = v(t), es posible deter-

minar la posicion de la partıcula en cualquier instante sin mas que utilizar el concepto

de integral.

v =dx

dt−→ v dt = dx −→

∫ x

x0

dx =

∫ v

v0

v(t) dt

=⇒ x = x0 +

∫ t

t0

v(t) dt (2.1)

A partir de esto, el desplazamiento, x−x0, se puede interpretar geometricamente como

el area bajo la curva v = v(t).


2.2.3. Aceleracion

Cuando la velocidad de una partıcula permanece constante se dice que realiza un

movimiento uniforme, pero en general la velocidad puede variar con el tiempo. Supon-

gamos una partıcula que en el instante ti tiene velocidad vi y en el tf velocidad vf . Se

define la aceleracion media en ese intervalo como :

a =vf − vitf − ti

=∆v

∆t

De esa ecuacion se deduce que las dimensiones de esta nueva magnitud son, [a] = LT−2.

En algunos casos la aceleracion media es diferente en distintos intervalos temporales

y conviene entonces definir una aceleracion instantanea como lımite de la aceleracion

media en un intervalo temporal muy pequeno.

a = lım∆t→0

a = lım∆t→0

∆v

∆t=dv

dt=⇒ a(t) =

dv(t)

dt.

Si conocemos la aceleracion instantanea, a = a(t), podemos calcular la velocidad ins-

tantanea, v = v(t), ası:

a(t) =dv

dt−→ dv = a dt −→

∫ v

v0

dv =

∫ t

t0

a dt =⇒ v(t) = v0 +

∫ t

t0

a(t) dt.

(2.2)

La aceleracion, en general, se puede relacionar con la posicion del siguiente modo:

a(t) =dv

dt=

d

dt

(dx

dt

)=d2x

dt2=⇒ a(t) =

d2x

dt2.

Una relacion importante entre velocidad y aceleracion se obtiene ası:

a =dv

dt−→ dv = a dt −→ v dv = av dt = a

dx

��dt��dt =⇒ v dv = a dx∫ v

v0

v dv =

∫ x

x0

a dx =⇒ v2 = v20 + 2

∫ x

x0

a(x) dx (2.3)

2.2.4. Ejemplos particulares: movimientos uniforme y unifor-memente acelerado

Dos casos analıticamente sencillos son el movimiento uniforme y el movimiento

uniformemente acelerado . El primero se produce cuando v ≡ v0 =cte. y el segundo

cuando a ≡ a0 =cte.


En el caso particular v = v0 =cte., la integral (2.1) es trivial y resulta:

x = x0 + v0

∫ t

t0

dt = x0 + v0(t− t0),

que es la relacion que liga posicion con tiempo en un movimiento unidimensional uni-

forme.

Si la aceleracion es constante, a = a0 =cte. En este caso a 6= a(t) y a partir de (2.2),

v = v0 + a0

∫ t

t0

dt = v0 + a0(t− t0) =⇒ v(t) = v0 + a0(t− t0). (2.4)

Utilizando las ecuaciones (2.1) y (2.4) tambien se puede obtener para el caso de movi-

miento uniformemente acelerado:

x = x0 +

∫ t

t0

[v0 + a0(t− t0)] dt = x0 + v0(t− t0) +1

2a0(t− t0)2.

Por ultimo, a partir de (2.3) se obtiene:

v2 = v20 + 2a0(x− x0).

En la figura adjunta se resumen las interpretaciones geometricas de las ecuaciones que

hemos obtenido para el movimiento uniforme y uniformemente acelerado.

+ Movimiento uniforme:

a = 0

v ≡ v0 = cte.

x = x0 + v0(t− t0)

v

t

v= cte. a=0

x-x0

tt0

x

t0

x0

~ v

t

x

t

0


+ Movimiento uniformemente acelerado:

a ≡ a0 = cte.

v = v0 + a0(t− t0)

x = x0 + v0(t− t0) +a0

2(t− t0)2

v

t0

v0

~ a

t

~ v

x

tt0

x0

t

v

0

2.2.1 Ejemplo

Una partıcula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuacion, x(t) = 2t3 +

5t2 + 5 (S.I.). Determınense:

a) La velocidad y aceleracion instantaneas.

b) La posicion, velocidad y aceleracion en t = 2 s.

c) Velocidad y aceleracion medias entre t = 2 s y t = 3 s.

a)

x(t) = 2t3 + 5t2 + 5

v(t) =dx

dt= 6t2 + 10t

a(t) =dv

dt= 12t+ 10


b) En t = 2 s,

x = 2,23 + 5,22 + 5 = 41 m

v = 24 + 20 = 44 m/s

a = 34 m/s2

c) En el intervalo t = 2 s → 3 s,

a =vf − vitf − ti

=84− 44

1= 40 m/s2

v =xf − xitf − ti

=104− 41

1= 63 m/s

2.2.2 Ejemplo

La aceleracion de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje x viene dada en funcion

de su posicion por a(x) = 4x − 2 (S.I.). Suponiendo que v0 = 10 m/s cuando x = 0,

obtengase la velocidad en cualquier otra posicion.

a(t) =dv

dt−→ dv = a(t)dt −→ v dv = av dt = a

dx

��dt��dt

=⇒ v dv = a dx,

con lo que integrando:∫ v

v0

v dv =

∫ x

x0

a dx =⇒ v2 = v20 + 2

∫ x

x0

a(x) dx.

En este caso:

v2 = v20 + 2

∫ x

x0

(4x− 2) dx = v20 + 2(2x2 − 2x) =⇒ v(x) = [100 + 4x(x− 1)]1/2 .


2.2.3 Ejemplo

Caıda libre.

Es un hecho experimental que todo objeto en las proximidades de la superficie te-

rrestre adquiere una aceleracion aproximadamente g = 9,81 m/s2 cuando se deja en

libertad (supondremos que no hay rozamientos y que g no varıa con la latitud, altitud

u otros factores). Tomando como origen la superficie terrestre y coordenadas positivas,

y, hacia arriba, la aceleracion sera negativa, a = −g, y las ecuaciones de movimiento

adecuadas las de un movimiento uniformemente acelerado. Particularizadas a este caso

tomaran la forma:

v(t) = v0 − g(t− t0)

y(t) = y0 + v0(t− t0)− 1

2g(t− t0)2

v2(y) = v20 − 2g(y − y0)

Un ejemplo de aplicacion de estas ecuaciones de movimiento podrıa ser el siguiente.

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 98 m/s desde

el techo de un edificio de 100 m de altura. Obtenganse:

a) La maxima altura que alcanza sobre el suelo y el tiempo que tarda en llegar a

ella.

b) La velocidad con que llega al suelo y el tiempo total transcurrido hasta que llega

a el.

a)-b)

t0 = 0; v0 = 98m/s; y0 = 100m; a = −g

Altura maxima: v = 0 −→ v0 = g tmax −→ ymax = y0 + v0tmax − 12g t2max

tmax =v0

g= 10 s

ymax = 590m

c)-d) Al llegar al suelo y = 0:

0 = y0 + v0t−1

2gt2

resolviendo−−−−−−→

{t = −0,96 s (sin sentido fısico)

tt = 20,96 s


vt = v0 − g tt = −107,41m/s

2.3. Movimiento en dos y tres dimensiones

2.3.1. Velocidad

Supongamos ahora una partıcula moviendose en el espacio. Denotamos su posicion

en cada instante de tiempo por medio de un vector posicion ~r = ~r(t). En coordenadas

cartesianas, la ecuacion de la trayectoria vendra dada por: x = x(t), y = y(t) y z = z(t).

En el caso de movimiento en un plano, las dos primeras ecuaciones son suficientes para

describir el movimiento de la partıcula.

Si la posicion de la partıcula en el instante ti viene dada por ~ri y en el tf por ~rf , se

define su velocidad media en ese intervalo temporal como:

~v =~rf − ~ritf − ti

=∆~r

∆t(2.5)

r i

r f

ti

tf

∆r

z

x

y

r(t)

~v es un vector paralelo al desplazamiento ∆~r. Para definir la velocidad instantanea

basta tomar el lımite cuando el intervalo temporal tiende a cero.

~v = lım∆t→0

∆~r

∆t=d~r

dt(2.6)

2.3. MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES 37

En componentes tomara la forma:

~v =dx

dt~i+

dy

dt~j +

dz

dt~k = vx~i+ vy~j + vx ~k.

La velocidad instantanea sera un vector tangente a la trayectoria curvilınea, es decir,

se puede expresar: ~v =| ~v | ~ut, donde ~ut es un vector unitario tangente a la trayectoria.

2.3.2. Aceleracion

En un movimiento curvilıneo, la velocidad puede variar en general, tanto modulo

como en direccion o sentido. Se define la aceleracion media como el cambio de velocidad

en un intervalo temporal determinado:

~a =∆~v

∆t

y la aceleracion instantanea como:

~a = lım∆t→0

~a = lım∆t→0

∆~v

∆t=d~v

dt=dvxdt~i+

dvydt~j +

dvzdt~k

Es un vector que tiene la misma direccion que el cambio de la velocidad, pero en ge-

neral no es ni tangente ni perpendicular a la trayectoria. Pero sı es importante destacar,

tal y como se comprueba en la figura, que siempre esta dirigida hacia la concavidad

de la curva (formalmente, hacia la region que contiene el centro de curvatura) que

representa la trayectoria de la partıcula, porque esa es la direccion en que cambia la

velocidad.

v(t)

v(t+∆t)

a

a a

vv

v

v

aa


La aceleracion instantanea tambien se puede expresar ası:

~a =d~v

dt=

d

dt

(d~r

dt

)=d2~r

dt2=

(d2x

dt2,d2y

dt2,d2z

dt2

).

2.3.1 Ejemplo

Una partıcula se desplaza en el espacio y su vector posicion, en cada instante de tiempo,

toma en el SI la siguiente forma:

~r(t) = (t2 − 2)~i+ cos t~j + e2t ~k

Obtenganse:

a) La velocidad en cualquier instante de tiempo, ~v(t).

b) La velocidad inicial de la partıcula y su velocidad en t = 1 s.

c) Su aceleracion, ~a(t).

d) Su aceleracion en el instante inicial y su modulo.

a)

~v(t) =d~r

dt= 2t~i− sen t~j + 2e2t ~k

b)

~v(0) = (0, 0, 2) ~v(1) = (2,− sen 1, 2e2)

c)

~a(t) =d~v

dt= 2~i− cos t~j + 4e2t ~k

b)

~a(0) = (2,−1, 4)

|~a| = (22 + 1 + 42)1/2 = 4,58


2.3.3. Componentes de la aceleracion

Consideremos una partıcula que describe una trayectoria curva. Supondremos por

simplicidad que es plana, pero los resultados que obtendremos en esta seccion son

validos en general. Considerando que el vector aceleracion siempre esta dirigido hacia el

lado concavo de la curva siempre se puede descomponer en una componente tangencial

a la trayectoria, ~at, y otra componente normal dirigida hacia el interior de la curva, ~an.

Veremos en esa seccion que cada una de estas componentes tiene un significado fısico

claro.

a

ta

na

r (t)

* Aceleracion tangencial , ~at ! cambios del modulo de la velocidad, | ~v |

* Aceleracion normal o centrıpeta, ~an ! cambios en la direccion de ~v

A continuacion demostraremos ambos enunciados. Sea ~ut un vector unitario tangente

a la trayectoria de la partıcula: ~v = v ~ut.

~a =d~v

dt=

d

dt(v~ut) = ~ut

dv

dt+ v

d~utdt

(2.7)

De la ultima igualdad queda claro que la componente tangencial tiene por modulo la

derivada del modulo de la velocidad, es decir, esta asociada al cambio del modulo de

~v. Veremos ahora cuanto vale la derivada que aparece en el segundo sumando, d~ut/dt.

Solo es distinta de cero cuando el movimiento no es rectilıneo, es decir, cuando cambia


la direccion de la velocidad. Atendiendo al esquema adjunto se puede expresar:

~ut = cosϕ~i+ senϕ~j

~un = cos(π

2− ϕ)~i+ sen(

π

2− ϕ)~j =

= − senϕ~i+ cosϕ~j

tunu

r (t)

c

x

x

y

dϕdϕ

ϕπ/2-ϕ

tu

ρ

ρds

Derivando la primera ecuacion:

d~utdt

= − senϕdϕ

dt~i+ cosϕ

dϕ

dt~j =

dϕ

dt~un. (2.8)

Luego d~ut/dt es un vector normal a la curva. Calcularemos ahora su modulo. Sea

ds el arco que se desplaza la partıcula en dt:

dϕ

dt=dϕ

ds

ds

dt= v

dϕ

ds,

y sea ρ el radio de curvatura local de la trayectoria:

ds = ρdϕ → dϕ

ds=

1

ρ→ dϕ

dt=v

ρ.


Sustituyendo en las ecuaciones (2.7)-(2.8) resulta:

~a ≡ ~at + ~an =dv

dt~ut +

v2

ρ~un.

Es sencillo demostrar que: at = ~a.~ut y an = (~ut × ~a)× ~ut.De esta manera hemos descompuesto la aceleracion en una componente tangente a

la trayectoria, ~at, y asociada a la variacion del modulo de la velocidad y otra normal,

~an, dirigida hacia el centro local de curvatura, asociada a la variacion de la direccion

de la velocidad. En el caso particular de un movimiento rectilıneo, la direccion de la

velocidad es constante y entonces la componente normal es nula. En el caso de un

movimiento uniforme es nula la componente tangencial.

El modulo de la aceleracion en general se puede expresar como:

a = (a2t + a2

n)1/2 =

[(dv

dt

)2

+

(v2

ρ

)2]1/2

.

2.3.4. Ejemplos particulares

Movimiento circular

Consideremos ahora el caso particular de un movimiento plano con trayectoria

circular. Si el radio de la circunferencia es R, y el arco recorrido, s, abarca un angulo

θ, s = Rθ.

~v = v~ut =ds

dt~ut −→ v =

ds

dt= R

dθ

dt

La funcion dθ/dt se denomina velocidad angular y se suele denotar como ω. Sus dimen-

siones y unidades en el S.I. son:

[ω] = T−1; S.I. −→ rad

s

Con esta definicion: v = ωR. La velocidad angular tambien se puede definir como una

magnitud vectorial, asociandole una direccion y sentido. Por definicion se considera

su direccion como perpendicular al plano del movimiento y su sentido el dado por la

regla de la mano derecha en funcion del sentido del movimiento, tal y como muestra la

figura.


z

x

y

R

ω

v

rγ

R = r sen γ −→ v = ωr sen γ; ~ω =dθ

dt~k =⇒ ~v = ~ω × ~r.

Esta relacion solo es valida para el movimiento circular, porque solo en el r y γ son

constantes.

Existe un caso de movimiento circular especialmente sencillo. Es aquel en que la

velocidad angular permanece constante. Se denomina movimiento circular uniforme. Es

un movimiento periodico puesto que la partıcula vuelve a pasar cada cierto tiempo por

el mismo punto. Para este tipo de movimiento es util definir los siguientes conceptos.

- Periodo, T : tiempo que tarda la partıcula en regresar al mismo punto. Si la

partıcula realiza n revoluciones en un tiempo t, T = t/n. Sus dimensiones son

[T ] = T .

- Frecuencia, ν: numero de revoluciones por unidad de tiempo, ν = 1/T . Sus

dimensiones son [ν] = T−1 y su unidad en el S.I. es s−1 que recibe el nombre de

herzio (Hz).

Para este tipo de movimiento (ω ≡ ω0 = cte.) es sencillo obtener la posicion angular

de la partıcula a partir de la definicion de ω:

ω =dθ

dt−→

∫ θ

θ0

dθ =

∫ t

t0

ω0 dt = ω0

∫ t

t0

dt =⇒ θ(t) = θ0 + ω0(t− t0).


Si se toma la condicion inicial, θ0 = 0 en t0 = 0, resulta: θ = ω0t. Tras una vuelta

completa a la circunferencia:

t = T ; θ = 2π −→ 2π = ω0t −→ ω0 =2π

T= 2πν.

Consideremos ahora el caso en que la velocidad angular de la partıcula cambia con el

tiempo. Se define la aceleracion angular como:¡

~α =d~ω

dt.

Como el movimiento tiene lugar en un plano, la direccion de ~ω no varıa y se verifica la

ecuacion anterior tambien para los modulos de las magnitudes involucradas.

α =dω

dt=d2θ

dt2.

Si α es constante el movimiento se denomina circular uniformemente acelerado. En

este caso, α ≡ α0 = cte.:

∫ ω

ω0

dω =

∫ t

t0

α0 dt = α(t− t0) =⇒ ω(t) = ω0 + α0(t− t0).

Esta ecuacion es analoga a la correspondiente para el movimiento rectilıneo uni-

formemente acelerado.

ω =dθ

dt=⇒ θ − θ0 =

∫ t

t0

ω dt =

∫ t

t0

[ω0 + α0(t− t0)] dt.

Resolviendo la integral resulta:

θ = θ0 + ω0(t− t0) +1

2α0(t− t0)2.

Todas estas ecuaciones son como en el movimiento lineal en una dimension, sin mas

que hacer las sustituciones:

x −→ θ

v −→ ω

a −→ α (2.9)


Veamos ahora como son las componentes de la aceleracion en el caso del movimiento

circular:

at =dv

dt= R

dω

dt= R

d2θ

dt2= Rα

an =v2

R= ω2R

En el movimiento circular uniforme, at = 0 pero an 6= 0. En este caso ademas se

puede calcular la aceleracion de otro modo:

~v = ~ω × ~r −→ d~v

dt= ~a = ~ω × d~r

dt= ~ω × ~v,

porque d~ω/dt = 0. Entonces,

~a = ~ω × (~ω × ~r).

Movimiento parabolico

Uno de los casos particulares mas interesantes de movimiento uniformemente acele-

rado es el estudio del movimiento de proyectiles. Es simplemente el caso de movimiento

plano en que la aceleracion es la debida a la fuerza gravitatoria. A diferencia del mo-

vimiento de caıda libre en este caso consideramos que la velocidad inicial, ~v0, puede

formar un cierto angulo con la horizontal y ası el movimiento tiene dos componentes.

Igual que hicimos en el movimiento de caıda libre, despreciando las fuerzas de

rozamiento y las anomalıas gravitatorias, podemos considerar que la aceleracion gra-

vitatoria es aproximadamente constante y se puede expresar como ~a = ~g = −g~j. Si

el proyectil se lanza con una velocidad inicial ~v0 que forma un angulo α con el eje

x, su movimiento bidimensional es una composicion de un movimiento uniforme en

el eje horizontal (donde no hay ninguna aceleracion) y un movimiento uniformemente

acelerado en el eje vertical.


x

y

v (t)

v0

α

g

v=v 0x

v(t)

v0x

v (t)y

R

ym

Condiciones iniciales :

t0 = 0 → ~r0 = (0, 0); ~v0 = v0x~i+ v0y

~j = v0 cosα~i+ v0 senα~j.

Velocidad en cualquier instante de tiempo:

~v(t) = vx~i+ vy~j,

donde: {vx = v0x = v0 cosα = cte.

vy = v0y − gt = v0 senα− gt

Vector posicion en cualquier instante:

~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j,

donde: {x(t) = v0xt = v0 cosα t

y(t) = v0yt− 12gt2 = v0 senα t− 1

2gt2

- Tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la maxima altura, tm.

La condicion de maxima altura viene dada porque en ella vy = 0. Entonces

v0y = gtm y despejando tm: tm = v0 senα/g.


- Altura maxima, ym.

Basta sustituir tm en la ecuacion que da y = y(t).

ym = y(tm) = v0 senα

(v0 senα

g

)− 1

2g

(v0α

g

)2

=⇒ ym =1

2

v20 sen2 α

g

- Tiempo de vuelo, tv.

Se define como el tiempo que tarda el proyectil en volver a la altura inicial, y = 0.

0 = v0 senα t− 1

2gt2 =⇒ tv =

2v0 senα

g= 2tm

- Alcance, R.

Es la distancia horizontal total que recorre el proyectil, R = x(tv).

R = x(tv) = v0x2v0 senα

g=v2

0

g(2 senα cosα) =

v20

gsen 2α.

Esta funcion toma un valor maximo para α = 45o. Tengase en cuenta que en

estos razonamientos no se ha tenido en cuenta la curvatura de la Tierra por lo

que solo son validos para alcances no demasiado grandes.

Ecuacion de la trayectoria, y = y(x).

Eliminando t entre las ecuaciones x = x(t) e y = y(t) se obtiene:

y(x) = x tanα− g

2v20 cos2 α

x2

que es la ecuacion de una parabola invertida, de ahı que este tipo de movimiento

reciba el nombre de parabolico.

2.4. Movimiento relativo

El concepto de movimiento siempre es un concepto relativo, pues debe referirse a un

sistema de referencia particular, escogido por el observador. Como diferentes observa-

dores pueden elegir distintos sistemas de referencia, es importante estudiar que relacion

hay entre las observaciones de uno y otro.

2.4. MOVIMIENTO RELATIVO 47

Por ejemplo, la mayor parte de las observaciones de nuestra vida cotidiana estan

referidas a la Tierra, es decir, a un sistema de referencia que se mueve con ella (de

forma muy compleja). Sin embargo, los astrofısicos prefieren considerar como sistema

de referencia, las denominadas estrellas fijas (estrellas tan lejanas que su movimiento

es inapreciable desde la Tierra) y en fısica atomica el movimiento de los electrones se

refiere al nucleo atomico. La posibilidad de elegir un sistema de referencia absoluto

preocupo durante mucho tiempo a fısicos y filosofos. Y de hecho durante algunos siglos

se supuso la existencia de un extrano sistema, llamado eter que era una sustancia que

llenaba el espacio vacıo y se podıa considerar como un sistema de referencia absoluto.

Hoy en dıa la busqueda de un sistema absoluto es innecesaria e irrelevante.

2.4.1. Velocidad relativa

Consideremos dos objetos puntuales A y B y un observador O que utiliza como

sistema de referencia unos ejes cartesianos. Las velocidades de A y B respecto a O

seran:

~vA =d~rAdt

; ~vB =d~rBdt

La velocidad relativa de B respecto de A sera, ~rAB = d~rAB/dt, y la de B respecto de

A: ~rBA = d~rBA/dt, donde ~rAB = ~rB − ~rA y ~rBA = ~rA − ~rB.

r A

z

x

y

A

B

r B

r AB

v A v B

O


Como ~rAB = −~rBA resulta que las velocidades relativas son vectores identicos pero

con sentidos opuestos: ~vAB = −~vBA.

~vAB =d~rABdt

=d~rBdt− d~rA

dt= ~vB − ~vA

~vBA = −~vAB = ~vA − ~vB

Luego la velocidad relativa es la diferencia vectorial de velocidades respecto al sistema

O. Veamos que sucede con las aceleraciones.

~aABd~vABdt

=d~vBdt− d~vA

dt=⇒ ~aAB = ~aB − ~aA, ~aBA = ~aA − ~aB

2.4.2. Movimiento relativo de traslacion uniforme

Consideremos dos observadores, O y O′, que se mueven uno respecto del otro para-

lelamente, con velocidad constante y sin rotaciones relativas. El observador O percibe

al O′ moviendose con velocidad ~v y el O′ al O con velocidad −~v. Compararemos las

descripciones del movimiento de un objeto para los dos observadores. Por ejemplo,

vamos a comparar la descripcion que hace un observador situado en un anden de una

estacion de trenes (O) de un avion (A) y la que realiza otro observador sobre un tren

(O′) que se mueve con velocidad constante paralelamente al primero.

r

z

x, x'

y

z'

r'

v

O O'

A

y'

vt


Por simplicidad elegiremos los ejes, x y x′, en la direccion del movimiento relativo

y supondremos que en t = 0, O y O′ coinciden. Con estas condiciones se verificara:

~v = v~i−−→OO′ = ~v t

~r =−−→OO′ + ~r′ → ~r′ = ~r − ~v t.

En componentes: x′ = x− vty′ = y

z′ = z

t′ = t

Esta transformacion de coordenadas se denomina transformacion galileana. Veamos

cuales son las velocidades del objeto A para los dos observadores. Sea ~u la velocidad

de A respecto a O y ~u′ la velocidad de A respecto a O′.

~u =d~r

dt

~u′ =d~r′

dt=d(~r − ~vt)

dt

Como ~r′ = ~r − ~vt y v = cte.

d~r′

dt=d~r

dt− ~v → ~u′ = ~u− ~v

En componentes: u′x = ux − v tu′y = uy

u′z = uz

Aceleraciones de A respecto a O y O′:

~a =d~u

dt; ~a′ =

d~u′

dt

d~u′

dt=d~u

dt−��0

d~v

dt=⇒ ~a′ = ~a

Ambos observadores miden la misma aceleracion. Luego la aceleracion es una magnitud

fısica invariante bajo una transformacion galileana.

En resumen, en una transformacion galileana: ~r′ = ~r − ~vt, ~u′ = ~u− ~vt y ~a′ = ~a.


2.4.3. Movimiento relativo de rotacion uniforme

Consideremos ahora dos observadores O y O′ que rotan uno respecto del otro con

velocidad angular uniforme ω, de modo que el origen es el mismo para los dos. Sea O′

el observador que rota respecto a O.

y

y'

zz'

x

x'A

ij

k'k

j '

ω

r

r'

i'

Vector de posicion de la partıcula A respecto a O:

~r = x~i+ y~j + z~k

~v =

(dx

dt,dy

dt,dz

dt

).

Respecto a O′:

~r′ = ~r = x′~i′ + y′~j′ + z′~k′

~v′ =

(dx′

dt,dy′

dt,dz′

dt

).

Pero comoO′ esta rotando, paraO los vectores unitarios, ~i′, ~j′ y ~k′, cambian de direccion

y no son constantes. Desde O:

~v =d~r

dt=

d

dt

(x′~i′ + y′~j′ + z′~k′

)=

dx′

dt~i′ + x′

d~i′

dt+dy′

dt~j′ + y′

d~j′

dt+dz′

dt~k′ + z′

d~k′

dt(2.10)


d~i′/dt representa la velocidad de un punto que esta a la distancia unidad del ori-

gen (y lo mismo para los otros ejes) girando con velocidad constante respecto a O, y

recordemos que en un movimiento circular: ~v = ~ω × ~r. Entonces:

d~i′

dt= ~ω × ~i′; d~j′

dt= ~ω × ~j′; d~k′

dt= ~ω × ~k′

=⇒ x′d~i′

dt+ y′

d~j′

dt+ z′

d~k′

dt= x′(~ω × ~i′) + y′(~ω × ~j′) + x′(~ω × ~k′) =

= ~ω × (x′~i′ + y′~j′ + z′~k′) = ~ω × ~r′ = ~ω × ~r(2.11)

Poniendo (2.10) en terminos de ~v′ y (2.11):

~v = ~v′ + ~ω × ~r

Esta ecuacion relaciona las velocidades ~v y ~v′ de un objeto para dos observadores que

rotan entre sı con velocidad angular ~ω. Para obtener la relacion entre las aceleraciones

procederemos de forma similar.

Aceleracion de A medida por O respecto a xyz:

~a =d~v

dt=dvxdt~i+

dvydt~j +

dvzdt~k

Para O′:

~a′ =d~v′

dt=dv′xdt~i′ +

dv′ydt~j′ +

dv′zdt

~k′

Como ~v = ~v′ + ~ω × ~v:d~v

dt=d~v′

dt+ ~ω × d~r

dt

porque ω = cte. Calculemos cada uno de los sumandos que aparecen en esa ecuacion.

•d~v′

dt=dv′xdt~i′ +

dv′ydt~j′ +

dv′zdt

~k′︸︷︷︸~a′

+ v′xd~i′

dt+ v′y

d~j′

dt+ v′z

d~k′

dt︸︷︷︸~ω×~v′

=⇒ d~v′

dt= ~a′ + ~ω × ~v′


•~ω × d~r

dt= ~ω × (~v′ + ~ω × ~r) = ~ω × ~v′ + ~ω × (~ω × ~r)

En definitiva,

d~v

dt= ~a = (~a′ + ω × ~v′) + (~ω × ~v′ + ~ω × (~ω × ~r)) =

= ~a′ + 2~ω × ~v′ + ~ω × (~ω × ~r) (2.12)

Esta ecuacion relaciona las aceleraciones ~a y ~a′ de A registradas por dos observadores

O y O′ que rotan uno respecto del otro con velocidad ~ω. El termino 2~ω×~v′ se denomina

aceleracion de Coriolis y el termino ~ω×(~ω×~r) aceleracion centrıpeta. Profundizaremos

en el significado fısico de ambos sumandos estudiando el caso particular de la rotacion

de la Tierra.

En resumen, en una transformacion de rotacion constante: ~r′ = ~r, ~v′ = ~v − ~ω × ~r y

~a′ = ~a− 2~ω × ~v′ − ~ω × (~ω × ~r).

2.4.4. Movimiento relativo con respecto a la Tierra

La Tierra rota respecto a su eje con velocidad ω = 7,292 × 10−5 rad/s. Si en un

punto sobre la superficie la aceleracion de la gravedad es ~g0 (para un observador que

no gira) y esta dirigida hacia el centro de la Tierra, para un observador que gire con

la Tierra sera:

~g′ = ~g0 − 2~ω × ~v′ − ~ω × (~ω × ~r).

Caso a) Cuerpo en reposo o moviendose lentamente: 2~ω × ~v′ ' 0

=⇒ ~g′ ' ~g0 − ~ω × (~ω × ~r)

es decir, solo consideramos aceleracion centrıpeta. Esta aceleracion efectiva, ~g

es la que se medirıa, por ejemplo, con un pendulo en un laboratorio. El termino

centrıpeto es vectorialmente paralelo al ecuador y su modulo vale ω2R cosλ donde

λ es la latitud y R el radio de la Tierra (R ' 6,37×106m). Este termino disminuye

del ecuador hacia los polos, pero siempre es pequeno. Como maximo vale ' 0,3 %

de g0 cerca del ecuador. Provoca una pequena desviacion de la direccion radial

de g0 hacia el centro de la Tierra ası:


AA'

g'g

0

S N

Hemisferio Norte

A A'S N

Hemisferio Sur

g'g0

Caso b) Cuerpo que cae con velocidad apreciable.

En este caso ~v′ esta dirigida verticalmente hacia abajo y el termino de Coriolis

provoca una desviacion en la caıda en direccion Este u Oeste. Por ejemplo, si se

deja caer una partıcula desde una altura de 100 m en latitud 45o, la desviacion

que experimenta son 1,6 m.

v'

A A'W E

Hemisferio Norte

-2 w x v'

v'

AA'W E

Hemisferio Sur

-2 w x v'

Numericamente esta aceleracion solo es significativa para objetos que se mueven

a gran velocidad como misiles balısticos o satelites.

Caso c) Partıcula moviendose horizontalmente.

Este es el caso de las moleculas de aire moviendose rapidamente en direccion radial

a un centro de bajas presiones debido al gradiente de presiones. La aceleracion


de Coriolis provoca una desviacion respecto a la trayectoria radial en forma de

remolino como muestra la figura. Esto no sucede en el ecuador. En general, la

aceleracion de Coriolis disminuye desde los polos hacia el ecuador.

ω = 0

N

S

ω = cte.

N

S

Otro ejemplo es el pendulo de Foucault (un pendulo largo y pesado con amplitud

pequena de modo que el movimiento es aproximadamente horizontal y duradero

en el tiempo), donde el plano de oscilacion gira en sentido horario en el hemisferio

norte y al contrario en el sur. Recibe ese nombre porque en 1851 Jean Leon

Foucault demostro espectacularmente la existencia de la aceleracion de Coriolis

y por lo tanto la rotacion de la Tierra, construyendo un gran pendulo en Paris (67

m de altura, Los Invalidos). En el polo, el plano de oscilacion hace una revolucion

completa justamente en 24 h. En cualquier otra latitud el periodo es ligeramente

mayor, T = 2π/(ω cosλ). Por ejemplo, en 45o de latitud es aproximadamente de

34 h. En el ecuador es teoricamente infinito.


Hemisferio Norte

2.5. PROBLEMAS 57

2.5. Problemas

1. La velocidad de una partıcula que se mueve en lınea recta viene dada por v =

4t2 − 6t+ 2 (S.I.). Sabiendo que en t = 0, x0 = 3 m, calcula:

a) Su posicion en cualquier instante.

b) Su aceleracion instantanea.

c) Su aceleracion media entre t1 = 1 s y t2 = 2 s.

(Respuestas : a) x(t) = 3 +4

3t3 − 3t2 + 2t; b) a(t) = 8t− 6; c) a = 6 m/s2)

2. La ecuacion de la aceleracion en funcion de la velocidad de una partıcula en una

trayectoria rectilınea es a = 3(1− v2)1/2. Sabiendo que el movil parte del reposo

y que el origen de espacios y tiempos coinciden, calcula las ecuaciones de este

movimiento.

(Respuestas : v(t) = sen(3t); a(t) = 3 cos(3t); x(t) =1

3[1− cos(3t)])

3. La variacion de la aceleracion de la gravedad con la altura viene dada por:

g = − GM0

(R0 + h)2

y cuando h = 0, g0 = 9,8 m/s2. Teniendo en cuenta esta expresion calcula la

velocidad inicial, v0, que habrıa que darle a un objeto para que lanzado desde la

superficie terrestre ascienda una altura vertical de 4000 km. (R0 = 6000 km).

(Respuestas : v0 = 6858 m/s)

4. La ecuacion que define la trayectoria de una partıcula en un plano XY viene

dada por ~r = 5t~i+ (10√

3t− 5t2)~j. Determınense:

a) La ecuacion de su trayectoria, y = f(x).

b) Los vectores velocidad y aceleracion.

c) Los modulos de la aceleracion tangencial y normal en t = 1 s.

(Respuestas : a) y(x) = 2√

3x− 1

5x2. b) ~v = 5~i+ 10(

√3− t)~j; ~a = −10~j.

c) at = 8,2 m/s2; an = 5,7 m/s2)


5. El vector aceleracion de una partıcula en movimiento viene expresado en el S.I.

por ~a = 6t~i − 2~k. Inicialmente la partıcula se encuentra en P0 : (1, 3,−2) y

transcurridos 3 s su velocidad es ~v = 3~i + 2~j − 6~k. Calculense su posicion y su

velocidad en cualquier instante.

(Respuestas : a) ~v(t) = (3t2−24, 2,−2t). ~r(t) = (1 + t3−24t, 3 + 2t,−2− t2))

6. Calcula la velocidad lineal y la aceleracion normal de un punto sobre la Tierra

situado a 60◦

de latitud. (Radio de la Tierra: 6300 km).

(Respuestas : v = 827,8 km/h; an = 217,5 km/h2)

7. Se dispara un canon con una inclinacion de 45◦

respecto a la horizontal, siendo

la velocidad inicial del proyectil 490 m/s. Calculense:

a) El alcance, la altura maxima y los tiempos correspondientes.

b) La posicion del proyectil y su velocidad al cabo de 2 s.

(Respuestas : a) tmax = 35,3 s; ymax = 6125 m; tv = 70,6 s; R = 24500 m;

b) ~r(t = 2 s) = 693,0~i+ 673,4~j m; ~v(t = 2 s) = 346,5~i+ 326,9~j m/s)

8. Una pelota rueda por un tejado que forma un angulo de 30◦

con la horizontal y

al llegar a su extremo tiene una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de

60 m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30 m. Calcula:

a) Las ecuaciones de movimiento de la pelota y la ecuacion de su trayectoria.

b) ¿Llegara directamente al suelo o chocara antes con la pared opuesta?

c) Tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad en ese momento.

d) Posicion en que se encuentra cuando su velocidad forma un angulo de 45◦

con

la horizontal.

(Respuestas : a) ~a(t) = −9,8~j (S.I.); ~v(t) = (v0 cosα,−v0 senα− gt); ~r(t) =

(v0t cosα, y0−v0t senα− 1

2gt2); b) No choca con la pared; c) t = 3 s; v = 35,5

m/s; d) ~r = 3,5~i+ 2,8~j (S.I.).)

2.5. PROBLEMAS 59

9. Un plano inclinado forma un angulo β con la horizontal. Se dispara un proyec-

til desde su punto mas bajo con velocidad v0 y formando un angulo α con la

horizontal. Calcula el alcance sobre el plano inclinado y su valor maximo.

(Respuestas : R =v2

0

g cos2 β[sen(2α− β)− sen β]; αmax =

1

2

(π2

+ β)

; Rmax =

v20

g(1 + sen β))

10. Un rıo fluye en direccion oeste-este con una velocidad de 3 m/s. Si un nadador

nada hacia el Norte con una velocidad de 2 m/s respecto al agua, ¿cual es la

velocidad del nadador respecto a la orilla?

(Respuestas : vno = 3,6 m/s; tan θ = 33,7◦)

11. Una barca que se dirige hacia el norte cruza un rıo muy ancho con una velocidad

de 10 km/h con respecto al agua. La velocidad del agua del rıo es de 5 km/h

hacia el este.

a) Determina la velocidad del bote respecto a un observador estacionario en tierra.

b) Si el bote desease ir directamente hacia el norte (con la misma velocidad), ¿en

que direccion debe dirigirse?

(Respuestas : a) vbt = 11,2 km/h; θ = 26,6◦; b) θ′ = 30,0

◦)

12. Un dispositivo esta situado en el centro de un vagon que se mueve con velocidad

~vv. En un cierto instante lanza simultaneamente dos pelotas con velocidad v, una

en el sentido de la marcha y otra en el opuesto. ¿Chocan las dos pelotas con

las paredes del vagon al mismo tiempo? ¿Que sucederıa si el vagon estuviese en

reposo?

(Respuestas : t1 = t2. En reposo sucederıa lo mismo.)

13. Un avion militar vuela horizontalmente a una velocidad de 360 km/h y a una

altura de 1000 m.

a) Si quiere lanzar una bomba sobre un objetivo estatico en tierra, ¿a que distancia

horizontal de este debe hacerlo?


b) Si el objetivo es un camion que circula a 72 km/h en la misma trayectoria

rectilınea que el bombardero, ¿a que distancia debe lanzar la bomba, tanto si el

camion se acerca como si se aleja?

(Respuestas : a) x = 1429 m; b) x = 1714 si se acerca y x = 1143 si se aleja.)

14. Un avion tarda 60 min en ir de Valencia a Palma, que estan a una distancia de

300 km, mientras que para volver solo tarda 50 min. En toda la travesıa sopla

un viento constante cuya direccion forma un angulo de 60◦

con la trayectoria.

Determina: la velocidad del avion respecto del viento (supuesta en modulo igual

en los dos caminos) y la velocidad del viento.

(Respuestas : Velocidad del viento: −

(1

2,

√3

2

)km/min; Velocidad del avion

respecto al viento en la ida:

(11

2,

√3

2

)km/min; Velocidad del avion respecto

al viento en la vuelta:

(−11

2,

√3

2

)km/min.)

15. Sabiendo que el periodo de rotacion de la Tierra alrededor de su eje es de 24

horas, encontrar la velocidad y aceleracion de un punto sobre su superficie en

funcion de la latitud. ¿Cual deberıa ser la velocidad de rotacion de la Tierra para

que en el ecuador no se experimentase aceleracion de la gravedad? (radio de la

Tierra: R = 6,38× 106 m).

(Respuestas : ω0 ' 17ω.)

16. Un dispositivo situado en el centro de una plataforma que gira con velocidad

angular ω lanza un proyectil con velocidad horizontal v0. ¿Cual es la trayectoria

del proyectil en un sistema de referencia ligado a la plataforma? (Desprecia el

efecto de la gravedad).

(Respuestas : x′2 + y′2 = v2xt

2)

17. Una partıcula se mueve en el espacio con una velocidad ~v = (3t − 2)~i + (6t2 −5)~j + (4t − 1)~k y el vector posicion en el instante inicial es ~r0 = 3~i − 2~j + ~k.

Calcula:

2.5. PROBLEMAS 61

a) El vector posicion en cualquier instante.

b) El vector aceleracion.

c) Las aceleraciones normal y tangencial en t = 1 s.

(Respuestas : a) ~r(t) =

(3

2t2 − 2t+ 3, 2t3 − 5t− 2, 2t2 − t+ 1

); b) ~a = (3, 12t, 4);

c) at(t = 1) =27√11

; an(t = 1) = 10,1 (S.I.).)

18. Un cuerpo inicialmente en reposo se mueve en una trayectoria rectilınea con una

aceleracion a = me−nt, donde m y n con constantes. Calcula la velocidad maxima

que puede alcanzar el cuerpo y el espacio recorrido en un tiempo t.

(Respuestas : vmax =m

n; x(t) =

m

n

(t+

1

ne−nt

)− m

n2)

19. Un bloque de madera esta unido por una varilla de longitud constante `, a un

punto de una rueda de radio a, que gira con velocidad angular constante ω.

Calcula la velocidad con que se desplaza el bloque a lo largo de la lınea que une

el centro del bloque con el centro de la rueda.

(Respuestas :dx

dt= −aω senωt

[a cosωt

(`2 − a2 sen2 ωt)1/2

]− 1

)20. a) Un disco gira a 33,3 rev/min. ¿Cual es su velocidad angular?

b) Un disco gira con aceleracion angular constante α = 2 rad/s2. Si parte del

reposo, ¿Cuantas revoluciones dara en los 10 primeros segundos?

c) ¿Cual es la velocidad angular del disco del apartado anterior al cabo de 10 s?

(Respuestas : a) ω = 3,5 rad/s; b) θ = 15,9 rev; c) ω = 20 rad/s. )

21. El vector de posicion de una partıcula que se mueve en una trayectoria plana es

~r = [5 cos(πt)− 1]~i+ (5 sen(πt) + 2]~j (S.I.).

a) Demuestrese que el movimiento es circular y uniforme.

b) Calcula el radio de la trayectoria.

c) Calcula la frecuencia del movimiento.


(Respuestas : a) v =cte. y an =cte. luego el moviemiento es circular y uniforme;

b) R = 5 m; c) ν = 0,5 s−1.)

22. Un policıa persigue a un ladron de joyas a traves de los tejados de la ciudad.

Ambos corren a una velocidad de 5 m/s, cuando llegan a un espacio vacıo entre

dos tejados que tiene 4 m de altura y desnivel de 3 m. El ladron salta con una

inclinacion de 45◦

y el policıa horizontalmente. ¿Conseguira el ladron escapar del

policıa?

(Respuestas : x = 4,3 m > 4 m, luego el ladron consigue escapar.)

23. Una partıcula parte del origen de coordenadas y recorre la parabola 2y = x2,

siendo la proyeccion del movimiento sobre el eje x de velocidad constante v0 = 2

m/s. Calcula:

a) La velocidad.

b) La aceleracion.

c) El modulo de las componentes intrınsecas de la aceleracion.

d) El radio de curvatura.

(Respuestas : a) v = 2(1 + 4t2)1/2; b) ~a = 4~j; c) at =8t

(1 + 4t2)1/2; an =

4

(1 + 4t2)1/2; d) ρ = (1 + 4t2)3/2.)

24. Una partıcula parte del reposo en la posicion A : (R, 0, h) y recorre con velocidad

ω constante la circunferencia de radio R y centro C : (0, 0, h) que esta contenida

en el plano z = h. Determınense:

a) La ecuacion vectorial de la trayectoria.

b) El vector velocidad lineal.

c) El vector aceleracion.

d) Las aceleraciones tangencial y normal.

(Respuestas : a) ~r = (R senωt)~i + (R cosωt)~j + h~k; b) ~v = (ωR cosωt)~i −(ωR senωt)~j; c) ~a = −(ω2R senωt)~i− (ω2R cosωt)~j; d) at = 0; ~an = ~a.)

2.5. PROBLEMAS 63

25. Admitiendo que el centro de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol describe

una circunferencia de radio 150 MKm con velocidad constante en modulo, calcula:

el modulo de la velocidad.

(Respuestas : a) v = 1,07× 105 km/h.)

26. Tres pequenos caracoles estan situados en los tres vertices de un triangulo equilate-

ro de lado 60 cm. El primero se dirige hacia el segundo, este hacia el tercero y

este ultimo hacia el primero, todos con velocidad constante de 5 cm/min. Durante

su movimiento siempre estan orientados hacia el caracol diana. ¿Cuanto tiempo

tardan en encontrarse? ¿Que distancia recorren hasta hacerlo?

(Respuestas : t = 8 min; s = 40 cm.)

27. Las ecuaciones parametricas del movimiento de una partıcula son: x = 3 + 2t +

4t2; y = −1 + t + 2t2; z = 5 − 3t − 6t2 . Determinar: a) El tipo de movimiento

descrito por la partıcula. b) La ecuacion de la trayectoria. c) La velocidad media

en el intervalo de tiempo (1, 3). d) La ley horaria del movimiento, tomando como

origen su posicion en t = 0 s.

(Respuestas : a) Movimiento rectilıneo uniformemente acelerado; b)x− 3

2=

y + 1 =z − 5

−3; c) (18, 9,−27) m/s; d)

√14 (2t2 + t))

28. Un punto material se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades y

aceleraciones: vy = 8t (m/s) ; ax = 4t (m/s2) con t en segundos. Cuando t = 0 s,

~r = (0, 2) m, vx = 0 m/s. Hallar: a) La ecuacion cartesiana de la trayectoria. b)

La rapidez de la partıcula cuando la coordenada x alcanza el valor de 18 m.

(Respuestas : a) y = 2 + 4

(3

2x

)2/3

; b) 30 m/s)

29. Una partıcula se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades vx = 2/x

m/s , vy = 2t + 4 m/s, y para t = 0 s la posicion de la partıcula es (0, 1) m.

Calcular: a) La ecuacion de la trayectoria. b) La velocidad y aceleracion para t = 1

s. c) La pendiente de la trayectoria para t = 1 s. d) La aceleracion tangencial,

aceleracion normal y radio de curvatura para t = 1 s.


(Respuestas : a) y(x) = 1 + x2 +x4

16; b) ~v = (1, 6) m/s ; ~a =

(−1

2, 2

)m/s2; c)

k = 6; d) at = 1, 89 m/s2; an = 0, 822 m/s2; ρ = 45, 01 m)

30. Se lanza una partıcula de masa m con un angulo de 45◦

respecto de la horizontal,

desde un punto situado a una altura de 2 m sobre el suelo. La partıcula cae al

suelo a una distancia de 18 m. Teniendo en cuenta que la aceleracion debida al

viento es av =g

3(1, 1) (m/s2), siendo g la aceleracion de la gravedad. Calcular:

a) La velocidad inicial. b) La velocidad con la que la partıcula llega al suelo. c)

La altura maxima alcanzada por la partıcula.

(Respuestas : a) 7, 93 m/s; b) 14, 38 m/s ; α = −31, 87◦; c) 4, 41 m)

31. Un artillero dispara una pieza 10 s despues se ve en el cielo la nubecilla de la

explosion que se halla 30◦

sobre la horizontal y 2 s despues de verla, oye el

estampido que el proyectil produce al explosionar. Si la aceleracion del viento es

av = − gt10

(m/s2) en direccion horizontal y suponiendo la velocidad del sonido en

el aire 340 m/s, calcula la velocidad inicial del proyectil y el angulo de tiro.

(Respuestas : 112, 02 m/s; α = 47, 81◦)

32. La ecuacion del movimiento de una partıcula que se desplaza por una circunfe-

rencia viene dada por: s = 1 − t + 2t2 (S.I.). Calcular: a) La rapidez del movil

y su aceleracion tangencial, normal y total en el instante t = 2 s, sabiendo que

an = 0, 2 m/s2 para t = 1 s. b) La aceleracion angular y la velocidad angular

para t = 10 s.

(Respuestas : a) 7 m/s; at = 4 m/s2; an = 1, 09 m/s2; a = 4, 15 m/s2; b)

88, 89× 10−3 rad/s2; 0, 87 rad/s)

33. Una partıcula se mueve sobre un cırculo de radio r = 2 m segun la ley φ = 3t2−2t,

donde φ esta expresado en radianes y t en segundos. Calcular: el angulo descrito,

el arco recorrido, las velocidades lineal y angular, y las aceleraciones tangencial,

centrıpeta y angular a los 4 s de iniciado el movimiento.

(Respuestas : φ = 40 rad; s = 80 m; v = 44 m/s; ω = 22 rad/s; at = 12

m/s2; an = 968 m/s2; α = 6 rad/s2)

Capıtulo 3

Leyes de Newton y sus aplicaciones

3.1. Introduccion

La Dinamica estudia las relaciones entre los movimientos de los cuerpos y las causas

que los provocan, en concreto las fuerzas que actuan sobre ellos. Aquı estudiaremos la

Dinamica desde el punto de vista de la Mecanica Clasica, que es apropiada para el

estudio dinamico de sistemas grandes en comparacion con los atomos (∼ 10−10 m) y

que se mueven a velocidades mucho menores que las de la luz (∼ 3,0× 108 m/s).

Para entender estos fenomenos, el punto de partida es la observacion del mundo

cotidiano. Si se desea cambiar la posicion de un cuerpo en reposo es necesario empujarlo

o levantarlo, es decir, ejercer una accion sobre el. Aparte de estas intuiciones basicas, el

problema del movimiento es muy complejo. Todos los movimientos que se observan en

la Naturaleza (caıda de un objeto en el aire, movimiento de una bicicleta o un coche,

de un cohete espacial, etc) son realmente complicados.

Estas complicaciones motivaron que el conocimiento sobre estos hechos fuera erroneo

durante muchos siglos. Aristoteles penso que el movimiento de un cuerpo se detiene

cuando la fuerza que lo empuja deja de actuar. Posteriormente se descubrio que esto

no era cierto, pero el gran prestigio de Aristoteles como filosofo y cientıfico hizo que

estas ideas perduraran muchos siglos.

Un avance muy importante se debio a Galileo (1564-1642) quien introdujo el metodo

cientıfico, que ensena que no siempre se debe creer en las conclusiones intuitivas ba-

sadas en la observacion inmediata, pues esto lleva a menudo a equivocaciones. Galileo

66 CAPITULO 3. LEYES DE NEWTON Y SUS APLICACIONES

realizo un gran numero de experiencias en las que se iban cambiando ligeramente las

condiciones del problema y midio los resultados en cada caso. De esta manera pudo

extrapolar sus observaciones hasta llegar a entender un experimento ideal. En concreto,

observo como un cuerpo que se mueve con velocidad constante sobre una superficie lisa

se movera eternamente si no hay rozamientos ni otras acciones externas sobre el.

Inmediatamente se presento otro problema: ¿si la velocidad no lo revela, que parame-

tro del movimiento indica la accion de fuerzas exteriores? Galileo respondio tambien a

esta pregunta, pero Newton (1642-1727) lo hizo de manera mas precisa: no es la velo-

cidad sino su variacion la consecuencia resultante de la accion de arrastrar o empujar

un objeto.

Esta relacion entre fuerza y cambio de velocidad (aceleracion) constituye la base

fundamental de la Mecanica Clasica. Fue Isaac Newton (hacia 1690) el primero en dar

una formulacion completa de las leyes de la Mecanica. Y ademas invento los proce-

dimientos matematicos necesarios para explicarlos y obtener informacion a partir de

ellos.

Antes de enunciarlas, introduciremos con precision los conceptos de masa y fuerza,

que son basicos en ellas:

Masa.

Es el parametro caracterıstico de cada objeto que mide su resistencia a cambiar

su velocidad. Es una magnitud escalar y aditiva.

Fuerza.

Todos tenemos un concepto intuitivo de que es una fuerza. Aunque dar una

definicion rigurosa y precisa no es sencillo, sı que tiene unas propiedades basicas

observables en la vida cotidiana:

1. Es una magnitud vectorial.

2. Las fuerzas tienen lugar en parejas.

3. Una fuerza actuando sobre un objeto hace que este o bien cambie su veloci-

dad o bien se deforme.

3.2. PRIMERA LEY DE NEWTON. SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES67

4. Las fuerzas obedecen el Principio de superposicion: varias fuerzas concu-

rrentes en un punto dan como resultado otra fuerza que es la suma vectorial

de las anteriores.

Para medir fuerzas en los laboratorios se utilizan dinamometros. Un dinamometro

es un dispositivo formado por un muelle y un cilindro que sirve de carcasa. Un puntero o

aguja indica sobre una escala el grado de deformacion del muelle cuando sobre el actua

una fuerza. Generalmente la escala que se utiliza es de tipo lineal porque el muelle se

construye para que fuerza ejercida y deformacion sean directamente proporcionales.

Enunciado de las Leyes de Newton:

1. Primera ley (Principio de inercia): Todo cuerpo permanece en su estado inicial

de reposo o movimiento rectilıneo uniforme a menos que sobre el actue una fuerza

externa neta no nula.

2. Segunda ley : La aceleracion de un objeto es inversamente proporcional a su masa

y directamente proporcional a la fuerza neta que actua sobre el

~a =1

m~F o ~F = m~a,

donde ~F es la suma vectorial de todas las fuerzas que actuan sobre el (fuerza

neta).

3. Tercera ley (Principio de Accion-Reaccion) : Si un objeto A ejerce una fuerza

sobre un objeto B, este ejerce sobre el A una fuerza igual en modulo y direccion

pero de sentido contrario.

3.2. Primera Ley de Newton. Sistemas de referen-

cia inerciales

La primera Ley de Newton no distingue entre un cuerpo en reposo y otro en mo-

vimiento rectilıneo uniforme. Esto solo depende del sistema de referencia desde el que

se observa el objeto. Consideremos como ejemplo un vagon en el que se coloca una

mesa con un libro sobre su superficie, de manera que no existe friccion entre el libro


y la mesa. Si el vagon se mueve con velocidad uniforme ~v = ~cte. y sobre el libro no

actua fuerza alguna, seguira en reposo sobre la mesa, tanto para un observador sobre

la vagoneta (O) como para un observador sobre la vıa (O′).

y'

x'

y

x

v=cte.

y'

x'

y

x

a

Sistema de referencia no inercial

Sistema de referencia inercial

O‘

O

O‘

O

Sin embargo, supongamos que inicialmente el vagon esta en reposo y que en el

instante t = 0 comienza a avanzar con una cierta aceleracion, ~a. En este caso el libro

3.2. PRIMERA LEY DE NEWTON 69

permanecera en reposo respecto a la vıa, pero no respecto al vagon. ¡Y sobre el no

actua ninguna fuerza! Esto quiere decir que la primera ley de Newton no se verifica

en cualquier sistema de referencia. Se denominan sistemas de referencia inerciales a

aquellos en los que sı se verifica la ley de la inercia: Un sistema de referencia inercial es

aquel en que un cuerpo que no esta sometido a la accion de ninguna fuerza se mueve

con velocidad constante.

Cualquier sistema de referencia que se mueve con velocidad constante respecto a

otro sistema inercial es a su vez un sistema inercial. La Tierra no es un sistema inercial

perfecto puesto que tiene dos aceleraciones centrıpetas: una debida a su movimiento

de rotacion sobre su eje y otra debida al movimiento de traslacion alrededor del Sol.

Sus valores aproximados son estos:

- alrededor del Sol −→ 4,4× 10−3 m/s2

- rotacion −→ 3,4× 10−2 m/s2

Sin embargo, estas aceleraciones son muy pequenas y generalmente no se comete

demasiado error si se considera a la Tierra como un sistema de referencia inercial. A

menos que se especifique lo contrario los sistemas que consideraremos habitualmente

son inerciales. Los sistemas de referencia mas inerciales que existen son las denomi-

nadas estrellas fijas, que son estrellas tan alejadas de la Tierra que sus movimientos

resultan indetectables.

Como hemos visto, un objeto en reposo o movimiento rectilineo uniforme presenta

una cierta inercia o resistencia a cambiar su velocidad. Masa es precisamente la medida

de esta resistencia. Pero conviene senalar que esta masa no se corresponde con el

concepto de peso habitual. Es una masa inercial y se mide simplemente ejerciendo una

misma fuerza sobre dos objetos y comparando sus aceleraciones.

m1

m2

=a2

a1

.

Si una de estas masas es conocida, resulta sencillo determinar la otra a partir de esa

ecuacion. La masa es una propiedad intrınseca del cuerpo, independiente del medio

que lo rodea. Es una magnitud escalar y aditiva. Mas adelante volveremos sobre los

conceptos de peso y masa y masa inercial y masa gravitatoria.


3.3. Fuerza, masa y segunda Ley de Newton

La primera ley de Newton explica que le sucede a un objeto cuando la resultante

de todas las fuerzas externas sobre el es nula. La segunda explica lo que le sucede

cuando se ejerce una fuerza neta no nula sobre el. En realidad, estas dos leyes pueden

considerarse como una definicion de la fuerza. Una fuerza es la causa capaz de provocar

en un cuerpo un cambio de velocidad, es decir, una aceleracion. Ademas, la direccion

de la aceleracion coincide con la de la fuerza y el parametro que relaciona fuerza y

aceleracion es precisamente la masa del objeto, una propiedad intrınseca a el.

Sin embargo, la experiencia nos dice que algunas veces la fuerza se manifiesta de

forma ligeramente distinta. Cuando actua una fuerza sobre un cuerpo extenso este

puede acelerarse (y desplazarse) o simplemente deformarse. En realidad, lo que pasa

en este ultimo caso es que hay un desplazamiento relativo entre las partıculas que

forman el objeto y se modifica su geometrıa. Es decir, tienen lugar aceleraciones, pero

a nivel microscopico.

En realidad Newton no enuncio su segunda ley con la ecuacion:

~F = md~v

dt, (3.1)

sino que lo hizo de una forma mas general:

~F =d(m~v)

dt, (3.2)

donde m~v es lo que mas adelante definiremos como momento lineal o cantidad de

movimiento de la partıcula. Ambas ecuaciones coinciden si la masa de la partıcula es

constante, pero la segunda tambien es valida en el caso de que no lo sea. Imaginemos

por ejemplo el caso de una bola de nieve que rueda por una ladera nevada y su tamano

va aumentando. La forma correcta de relacionar la fuerza que actua sobre ella con la

aceleracion serıa la ecuacion (3.2), que es una generalizacion de la (3.1).

Unidades y dimensiones de la fuerza:

Unidades S.I.: newton=kg.m/s2.

Sistema cegesimal: dina=2.

Equivalencia: 1 N= 105 dinas.

3.4. LEY DE ACCION Y REACCION 71

dimensiones: [F ] = MLT−2.

3.4. Ley de accion y reaccion

Esta ley dice que si un cuerpo A ejerce una accion sobre otro B, este reacciona

sobre el primero con una reaccion igual y de sentido contrario. Ambas cosas ocurren

simultaneamente y siempre las dos fuerzas actuan sobre distintos objetos.

3.4.1 Ejemplo

Un balon en caıda libre.

La Tierra ejerce una fuerza gravitatoria sobre el objeto que cae, su peso. Pero

ademas el objeto ejerce una fuerza igual y opuesta en sentido sobre la Tierra pero

como la masa de la Tierra, MT , es mucho mayor que la del objeto, mo, su aceleracion

es despreciable frente a la de este.

F =MTm0

r2G

aT =

F

MT

ao =F

mo

Pero como MT >> mo =⇒ at << ao y lo que observamos realmente es que el

objeto cae hacia la Tierra y no al reves.

3.4.2 Ejemplo

Dos cargas electricas en el vacıo.

qq'

F F'


Segun la ley de Coulomb una carga ejerce sobre la otra una fuerza inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia de separacion. La otra ejercera otra fuerza

identica, pero de sentido contrario.

| ~F |=| ~F ′ |= kqq′

d2; ~F = −~F ′.

3.4.3 Ejemplo

Un martillo golpeando un clavo sobre un trozo de madera.

El martillo ejerce fuerza sobre el clavo al golpearlo, ~Fm. Y el clavo tambien sobre el

martillo, ~Fc, pero como la masa del clavo es mucho mas pequena, el martillo consigue

que entre en la madera.

Fm

Fc

mm

mc

~ac =~Fmmc

= −~Fcmc

~am =~Fcmm

Pero como mm >> mc entonces ac >> am.

3.4.4 Ejemplo

Un cuerpo en reposo sobre una mesa.

Desde el punto de vista del cuerpo, las fuerzas que actuan sobre el son la gravitato-

ria, ~P , y la normal, ~N , que ejerce la mesa para sujetarlo.

3.5. LAS FUERZAS EN LA NATURALEZA 73

N

P

~N = −~P ; P = mg −→ N = mg

3.5. Las fuerzas en la Naturaleza

Hoy en dıa la Fısica reconoce cuatro tipos fundamentales de interaccion: gravitato-

ria, electromagnetica, fuerte y debil. Cualquier otra fuerza observable se puede explicar

en terminos de una o varias de estas. Por ejemplo, la friccion al mover un bloque sobre

una mesa se explica en terminos de la fuerza electromagnetica o la fuerza que ejerce

un amortiguador sobre la rueda de un coche.

• Interaccion gravitatoria.

Existe entre dos masas cualquiera, sean dos balones de futbol o dos plantas. Es la

mas debil de todas las interacciones y solo es numericamente relevante en el caso

de objetos de masas enormes. Disminuye con la distancia, pero tan lentamente que

se puede considerar que su alcance es infinito. Es la responsable de la estructura

del Universo a nivel de galaxias, estrellas y planetas.

• Interaccion electromagnetica.

Esta interaccion tiene dos vertientes, la electrica, que existe siempre entre dos

cargas cualquiera, y la magnetica, que es una interaccion entre cargas en movi-

miento. Su esencia es la misma y por eso se denomina electromagnetica. A nivel


macroscopico es la responsable de que un peine frotado atraiga unos trozos de

papel, del funcionamiento de una brujula o de que existan corrientes electricas.

A nivel microscopico es la responsable del movimiento de los electrones alrededor

del nucleo, de las interacciones entre dos atomos, de que existan gases, lıquidos y

solidos o de que un muelle se deforme. Es mucho mas intensa que la gravitatoria

y su alcance tambien es muy grande.

Por ejemplo, en un atomo de H2.

Interaccion p+ − e−: gravitatoria, 10−47 N; electromagnetica, 10−7 N.

• Fuerza nuclear fuerte.

Es la responsable de la estabilidad de los nucleos atomicos. Es la mas intensa

de las fuerzas conocidas, pero su alcance es extremadamente corto (10−14 m).

Por lo tanto solo es importante en los nucleos, donde protones y neutrones estan

confinados en un espacio de 10−15 m de diametro. Como los protones se repelen

entre sı electricamente, si no existe otra fuerza de cohesion mas intensa, no se

podrıan formar nucleos.

• Fuerza nuclear debil.

Es la responsable de ciertos tipos de desintegracion radiactiva (β). Existe en-

tre electrones y protones, es extremadamente debil y de corto alcance. En 1979

los fısicos predijeron teoricamente que la fuerza electromagnetica y la debil eran

manifestaciones diferentes de una unica fuerza. Esto fue confirmado experimen-

talmente en 1984. Se bautizo a esta interaccion con el nombre de electrodebil.

Camino hacia la unificacion de las fuerzas fundamentales de la Naturaleza.

3.6. CAMPOS Y FUERZAS DE CONTACTO 75

gravedad

celeste

gravedad

terrestre

(Newton)

gravitación

universal

(1686)

fuerza

eléctrica

fuerza

magnética

(Maxwell)

fuerza

electromagnética

fuerza

nuclear débil

(Weinberg

y Salam)

(1864)fuerza

electrodébil

(1979)

fuerza

nuclear fuerte

??

??

??

Intensidades relativas y alcances de las cuatro fuerzas fundamentales en la Natura-

leza.

Gravitatoria Electromagnetica Fuerte Debil

Alcance Infinito Infinito 10−15 m << 10−15 m

Int. Relativa 10−39 10−2 1 << 10−5

3.6. Campos y fuerzas de contacto

Las fuerzas fundamentales actuan entre partıculas separadas a una cierta distancia.

Esto se denomina accion a distancia. Este problema se considera en Fısica a traves del

concepto de campo: un objeto crea una perturbacion en el espacio que se propaga y

llega a actuar sobre otro objeto. El campo es un agente intermedio que en general se


propaga con una velocidad finita (para la interaccion electromagnetica esa velocidad

es la de la luz, c = 3 × 108 m/s). Pero generalmente la distancia sera muy pequena y

la interaccion parecera instantanea.

Sin embargo, la mayor parte de las fuerzas que observamos con nuestros sentidos

son fuerzas de contacto. Se deben al contacto entre varios objetos: muelles, fricciones,

tensiones, etc. Su origen microscopico son acciones a distancia, pero su manifestacion

macroscopica es de tipo contacto. Ademas, generalmente la fuerza microscopica sub-

yacente es electromagnetica: el rozamiento sobre una mesa se debe a interacciones

electromagneticas entre las moleculas del objeto y la mesa. Microscopicamente esas

interacciones son muy complejas, pero si las estudiamos desde un punto de vista ma-

croscopico no son tan complicadas.

3.7. Fuerza gravitatoria terrestre y peso

Una de las fuerzas mas comunes en nuestra vida cotidiana es la fuerza de atraccion

de la Tierra sobre un objeto. Esta fuerza se denomina peso del objeto. Si dejamos caer

un objeto proximo a la superficie terrestre y despreciamos la resistencia del aire (y la

variacion de la fuerza gravitatoria con la altura), el objeto experimenta una aceleracion

aproximada de 9,81 m/s2. Esta aceleracion es la misma para todos los objetos y solo

depende muy ligeramente de la altura y de la latitud en que se mide. Segun la segunda

ley de Newton:

~Fg = m~a −→ ~P = m~g

El vector ~g se denomina campo gravitatorio terrestre. La masa de un cuerpo en las

proximidades de la Tierra y de la Luna, por ejemplo, es muy similar, pero su peso

sera bastante distinto. Cerca de la Luna un cuerpo pesa aproximadamente 1/6 de lo

que pesa en la Tierra.

Un metodo alternativo al que ya hemos visto para determinar la masa de un cuerpo

(utilizando un dinamometro) es simplemente pesandolo. Una vez conocido el peso y g

con suficiente precision es facil determinar m.

La sensacion que tenemos de nuestro propio peso normalmente procede de las demas

fuerzas que lo equilibran. Si nos sentamos en una silla, el asiento ejerce una fuerza sobre

3.7. FUERZA GRAVITATORIA TERRESTRE Y PESO 77

nosotros que evita que nos caigamos. Cuando estamos de pie sobre una balanza, esta

ejerce una fuerza sobre nuestros pies. La balanza esta calibrada mediante un sistema

de muelles y registra la fuerza que ejerce sobre los pies. La fuerza que equilibra este

peso se denomina peso aparente. Si no existiese ninguna fuerza para equilibrar nuestro

peso, como ocurre en una caıda libre, el peso aparente serıa cero.

3.7.1 Ejemplo

Consideremos una persona en el interior de la cabina de un ascensor y de pie sobre una

bascula. Si el ascensor esta acelerado hacia arriba la balanza indica 733 N y cuando

esta parado marca 653 N. Determınense:

a) La masa de la persona.

b) La fuerza neta resultante sobre ella cuando el ascensor esta acelerado.

c) La aceleracion de la persona y del ascensor.

a) Consideremos como sistema de referencia inercial la superficie terrestre. Si ~Fa

es la fuerza que ejerce la balanza sobre la persona, antes de que comience a moverse el

ascensor no hay ninguna aceleracion y segun la segunda ley de Newton debe ser:

∑~F = m~a = 0

donde∑ ~F representa la fuerza neta total sobre la persona.

−→ Fa −mg = 0 −→ mg = 651N −→ m =Fag

= 66 kg

b) Ahora sobre la persona actuan dos fuerzas: la que ejerce la bascula sobre sus

pies, ~Fs (la que marca la propia balanza y opuesta en sentido al peso) y el peso, ~P . La

fuerza neta total sera:

∑~F = ~Fs − ~P = (Fs −mg)~j = 82 N~j

c) a =∑F/m = 1,2 m/s2.


3.8. Fuerzas de rozamiento

La experiencia nos confirma que en la realidad cotidiana es habitual que cuando un

objeto esta en movimiento es necesario ejercer sobre el una fuerza para que se mantenga

su estado de movimiento. Este hecho parece en principio contradecir el principio de

inercia. Ejemplos de esto son el deslizamiento de un bloque de madera sobre una

superficie no pulida, un automovil circulando sobre una carretera o una piedra lanzada

en el aire. Todas estos casos son diversas manifestaciones de fuerzas de friccion o

rozamiento.

En el ejemplo de un bloque de madera sobre una superficie rugosa, lo que sucede

es que si inicialmente esta en reposo y lo empujamos comienza a moverse, pero al cabo

de cierta distancia el bloque se para. Parece como si sobre el cuerpo actuase una fuerza

que se opone a su movimiento. La fuerza de friccion estatica es la que se opone al

movimiento del cuerpo cuando esta en reposo y ejercemos una fuerza pequena sobre

el. Hasta que ese empuje no es suficientemente intenso, el objeto permanece en reposo.

Cuando el cuerpo esta en movimiento existe otro tipo de friccion, denominado cinetica,

que hace que finalmente vuelva a pararse si sobre el no actua ninguna otra fuerza.

El origen de ambas fricciones es del mismo tipo. A nivel microscopico los atomos

y las moleculas de las dos superficies en contacto interaccionan (generalmente a traves

de fuerzas electromagneticas) de forma muy compleja. El efecto neto de esto a nivel

macroscopico son fuerzas que se oponen al movimiento del objeto.

3.8.1. Friccion estatica

En principio podrıa pensarse que esta fuerza deberıa ser proporcional a la superficie

de contacto entre los dos objetos. Pero los experimentos muestran que esto no es ası,

sino que esta fuerza solo depende de la fuerza normal ejercida por una superficie sobre

otra. En parte esto esta asociado al hecho de que la superficie macroscopica de contacto

no tiene que ver con el area microscopica en que interaccionan moleculas de ambos

objetos. El area de contacto microscopica puede ser 10−4 o 10−5 veces menor que la

macroscopica. Este hecho se refleja en la figura adjunta.

3.8. FUERZAS DE ROZAMIENTO 79

Pero esto es solo una idea vaga, en realidad estas fuerzas son muy complejas y

ni siquiera hoy son bien entendidas. Por lo tanto, se estudian desde un punto de vista

fenomenologico, a traves del conocimiento adquirido tras la realizacion de gran cantidad

de experimentos. Estos experimentos muestran que fe es proporcional a la fuerza normal

que ejerce la superficie sobre el objeto, N , por lo que siempre se puede expresar:

fe = µeN,

donde µe es el coeficiente de friccion estatica, que es un parametro adimensional que

depende del tipo de superficies que contactan. Si ejercemos sobre el objeto considerado

una fuerza mayor que fe, comenzara a moverse y en el caso contrario permanecera en

reposo.

f ≤ µeN =⇒ reposo.

Una forma sencilla de medir esta fuerza de friccion es acoplando un dinamometro

al bloque y tirar de el hasta que comience a moverse. La fuerza que marque en ese

momento sera fe (en realidad, hay todo un intervalo de fuerzas de friccion, pero suele

llamarse fe a la maxima).


N

P

f

3.8.2. Friccion cinetica

Al igual que en el caso de la friccion estatica, la friccion cinetica, suele estudiarse

desde un punto de vista fenomenologico, pues su origen a nivel elemental es muy

complejo. Se define el coeficiente de friccion cinetica como aquel que verifica:

fc = µcN,

donde fc es la fuerza de friccion cinetica. Como esta fuerza se opone al movimiento del

bloque, vectorialmente se puede expresar ası:

~fc = −µcN~u,

donde ~u es ~v/v. Experimentalmente se comprueba que:

a) µc < µe y ambos dependen del tipo y estado de las dos superficies. La diferencia

entre uno y el otro suele estar entre el 10 % y el 20 %.

b) µc (o fc) depende de la velocidad relativa entre las dos superficies, pero para velo-

cidades normales (desde cm/s hasta varios m/s se puede considerar independiente

de v.

c) µc es independiente del area macroscopica de contacto entre las dos superficies

(igual que µe).

La fuerza de friccion cinetica se puede interpretar como la fuerza necesaria para que

el movimiento relativo de dos cuerpos que se deslizan entre sı, sea uniforme. Esto se

debe a que la ecuacion de movimiento de un objeto sometido a una fuerza, ~f , de traccion

y otra, ~fc, de friccion cinetica es: m~a = ~f − µcN~u. Si a = 0 resulta: ~f = µcN~u = ~fc.


En el siguiente grafico se representa la fuerza de friccion, ff , que actua sobre un

bloque sobre una superficie no lisa en terminos de la fuerza aplicada, fap.

(a)

(b)

(c)

45o

f =

ff

ap

ff

ef

cf

apf

a) La fuerza de friccion en esta region existe, pero el objeto no se mueve porque la

fuerza aplicada es inferior a su valor maximo.

b) La fuerza aplicada vence la maxima fuerza de friccion, fap = fe, el objeto, co-

menzara a moverse.

c) La fuerza aplicada debe vencer la friccion cinetica, que es menor que la estatica.

Un metodo sencillo para calcular tanto fe como fc consiste en disponer una masa

conocida sobre un plano inclinado no liso, de forma que el angulo que forma con la

horizontal se pueda variar. Veremos como cambiando el angulo hasta que el objeto

comience a descender, obtenemos µe.

m

θ

N

P

θ

fe

x

y


Sea θc el angulo crıtico para el que comienza a deslizarse la masa:

θ < θc −→

{∑fy = N −mg cos θ = 0∑fx = mg sen θ − fe = 0

Resolviendo:

mg =N

cos θ−→ fe = N tan θ.

En el angulo crıtico la fuerza de rozamiento es maxima y podemos escribir: fe = µeN .

Sustituyendo:

fe = µeN = N tan θc −→ µe = tan θc.

Es decir, que µe es precisamente la tangente del angulo cuando el bloque comienza a

caer.

Cuando el bloque esta deslizandose, la ecuacion para∑fx tiene una componente

asociada a la aceleracion en la caıda, ax, y ademas ahora el rozamiento es cinetico.

∑fx = mg sen θ − µcN = max.

Como N = mg cos θ:

��mg sen θ − µc��mg cos θ =��max

=⇒ ax = g (sen θ − µc cos θ)

Y despejando µc:

~µc = −(axg− sen θ

)1

cos θ= tan θ − ax

g cos θ

Midiendo la aceleracion de la caıda, ax, se puede entonces obtener µc.

Valores aproximados de coeficientes de friccion habituales:


Materiales µe µc

acero sobre acero 0,7 0,6

vidrio sobre vidrio 0,9 0,4

teflon sobre teflon 0,04 0,04

caucho sobre hormigon (seco) 1,0 0,8

caucho sobre hormigon (mojado) 0,3 0,25

esquı sobre nieve 0,1 0,05

hielo sobre hielo 0,1 0,03

articulaciones humanas 0,01 0,003

3.8.3. Friccion por rodadura

N N

P

fe

Cuando un coche acelera a lo largo de una carretera horizontal, la fuerza no equi-

librada que causa la aceleracion es debida al rozamiento entre los neumaticos y la

carretera. Las fuerzas que actuan sobre el coche en el momento en que parte del reposo

son las que se observan en la figura.


El peso del coche es equilibrado por la normal ejercida por la superficie. Si no

hubiera rozamiento de los neumaticos sobre la carretera, el par que ejerce el motor

sobre ellos provocarıa que girasen sobre sı mismos y el coche no avanzarıa. Si hay

friccion pero el par ejercido por el motor es insuficiente, los neumaticos no se moveran

debido al rozamiento estatico con la carretera. La fuerza de friccion ejercida por la

carretera tiene direccion hacia adelante y causa la aceleracion que mueve el coche. Si

cada neumatico rueda sin deslizamiento, esta en reposo respecto a la carretera, por lo

tanto es una friccion estatica. Aunque la superficie del neumatico se mueve hacia atras

con velocidad v respecto al eje, este se desplaza hacia adelante con la misma velocidad.

Si el par del motor es demasiado grande, las ruedas giran sobre sı mismas y ahora

hay velocidad relativa entre rueda y carretera, por lo que el rozamiento sera cinetico.

Esto sucede cuando el coche patina sobre hielo o nieve. Como esta friccion es menor,

el coche no avanza.

Cuando el coche frena:

Frenazo brusco: las ruedas deslizan y el rozamiento es cinetico.

Frenazo suave: friccion estatica.

Cuando un neumatico rueda con velocidad constante no hay friccion ni estatica ni

cinetica, pero, sin embargo, se observa que es necesaria una pequena fuerza para que

siga moviendose igual. Existe una pequena friccion asociada al desgaste de rueda y

pavimento y a la deformacion de la rueda. Se define por esto un coeficiente de friccion

por rodadura como el cociente entre esta friccion y la normal ejercida por la carretera:

fr = µrN.

Valores tıpicos de µr: caucho sobre hormigon, 0,01 − 0,02; acero sobre acero, 0,001 −0,002.

3.8.4. Fuerzas de arrastre en fluidos

Cuando un objeto se mueve a traves de un fluido como el aire o el agua, sufre

una fuerza de resistencia o arrastre que se opone a su movimiento. Estas fuerzas son


manifestaciones macroscopicas de las interacciones de las moleculas del cuerpo con las

del medio que lo rodea.

La fuerza de arrastre depende de:

� la forma y el tamano del objeto

� las propiedades del fluido

� la velocidad del objeto respecto al fluido

Al igual que las fuerzas de friccion, las de arrastre se estudian desde un punto de

vista fenomenologico, a causa de su complejidad. Pero al contrario que aquellas, las de

arrastre aumentan con la velocidad.

~fa = −bvn~u,

donde ~u = ~v/v y n = 1 para velocidades bajas y n = 2 para velocidades altas. b es

un coeficiente que depende de la forma y tamano del objeto y de las propiedades del

fluido, como su viscosidad , η. Por ejemplo, para una esfera de radio R en un fluido de

viscosidad η, b = 6πRη, que se denomina ley de Stokes.

3.8.1 Ejemplo

Consideremos como ejemplo particular un cuerpo cayendo por la accion de la gravedad

en un fluido como el aire. La fuerza neta sobre el objeto serıa:∑fy = −mg + bvn = −ma,

y en forma de ecuacion diferencial:

mdv

dt= mg − bvn.

En el caso n = 1 la solucion de esta ecuacion es:

v(t) = −mgb

(1− e−bt/m

)


0 5 10 15 20-40

-30

-20

-10

0

v(t)

(m/s

)

t (s)

vl

t (s)

a(t)

(m/s

)2

0 5 10 15 20-10

-6

-2

0

La velocidad es negativa porque tiene sentido descendente. Tal y como se representa

en la figura (se han considerado m = 1 kg y b = 0,3), la velocidad (en modulo) aumenta

rapidamente al principio para luego tender hacia un valor lımite, vl, a tiempos grandes.

Ese valor lımite es: vl = −mg/b. Esto se debe a que la aceleracion tiene forma de

exponencial decreciente:

a =dv

dt= −g exp{−bt/m}

Para t = 0, a = g y posteriormente decrece de forma exponencial hasta cero, momento

en que la velocidad alcanza su valor maximo y deja de aumentar. Cuanto mayor sea b,

menor sera vl. Por ejemplo, los paracaıdas se construyen de forma que vl sea pequena

(del orden de 20 km/h), es decir, con b grande y los automoviles al contrario para que

la resistencia del viento sea la menor posible.

3.9. Movimiento relativo a sistemas de referencia

no inerciales

De acuerdo con la transformacion de Galileo, todos los observadores inerciales miden

la misma aceleracion para una determinada partıcula (~a = ~a′). Por tanto ambos obser-

vadores miden la misma fuerza sobre ella (~f = ~f ′). Veremos a continuacion que sucede

para un observador en un sistema de referencia no inercial.

3.9. SISTEMAS NO INERCIALES 87

3.9.1. Concepto de fuerza ficticia

La segunda Ley de Newton solo es valida en sistemas de referencia inerciales. Pero

incluso si el sistema de referencia es no inercial (esta acelerado), se puede utilizar la

misma definicion de fuerza. Se denominan fuerzas ficticias a las fuerzas que experimenta

un observador en un sistema acelerado por el simple hecho de sufrir la aceleracion del

sistema. Se denominan ficticias porque no son fuerzas reales asociadas a interacciones

entre partıculas sino que solo estan asociadas al sistema de referencia elegido.

observador inercial observador no inercial

aceleración real: a

fuerza real: f

aceleración total: a + b=a'

fuerza total: f + f =F (real y ficticia)f

segunda ley de Newton

f = m a F = m a'

Se pueden tambien definir ası: fuerzas ficticias son aquellas fuerzas no reales que

hay que anadir a la fuerza real experimentada por un observador en un sistema de

referencia no inercial para que la segunda ley de Newton sea valida tambien en estos

sistemas de referencia.

3.9.2. Ejemplos particulares

Ejemplos de estas fuerzas son la fuerza centrıfuga que se siente en un automovil al

coger una curva o la fuerza de Coriolis debida a la rotacion de la Tierra.


En particular, un sistema de referencia en rotacion es un sistema no inercial. En la

transformacion de un sistema de referencia en reposo a otro que gira con ω constante,

demostramos en el tema de cinematica que:

~a︸︷︷︸sist. fijo

= ~a′︸︷︷︸sist. que gira

+ 2~ω × ~v′︸︷︷︸Coriolis

+ ~ω × (~ω × ~r)︸︷︷︸centrıpeta

.

Por lo tanto, las fuerzas asociadas ~f y ~f ′ difieren en esos terminos. La fuerza centrıfuga

es la fuerza ficticia asociada al termino ~ω × (~ω × ~r), es decir, a la aceleracion normal

o centrıpeta. Existe incluso en el caso de sistemas que giran con velocidad uniforme.

Para entender su significado fısico veamos el siguiente ejemplo.

3.9.1 Ejemplo

Considerese una plataforma girando con velocidad constante, ω, en la que un objeto

esta atado al eje de giro mediante una cuerda. Y supongamos dos observadores, uno

inercial externo a la plataforma y otro no inercial situado sobre ella.

w

T

T=m a

observador inercial

wT

observador no inercial

T - f =0c

fc

ã Observador inercial.

Desde su punto de vista el bloque se mueve en cırculo con velocidad v y esta ace-

lerado hacia el centro de la plataforma con una aceleracion centrıpeta a = v2/r.

Esta aceleracion es consecuencia de la fuerza no equilibrada ejercida por la ten-

sion de la cuerda.

3.9. SISTEMAS NO INERCIALES 89

ã Observador no inercial.

Para el observador que gira con la plataforma el objeto esta en reposo, ~a = 0.

Es decir observa una fuerza ficticia que contrarresta la tension para que no haya

aceleracion centrıpeta. Esa fuerza debe ser, fc = mv2/r. Este observador siente

la fuerza como si fuera perfectamente real, aunque solo sea la consecuencia de la

aceleracion del sistema de referencia en que se encuentra.

3.10. PROBLEMAS 91

3.10. Problemas

1. Se coloca un bloque de masa m sobre un plano inclinado y liso que forma un

angulo θ con la horizontal.

a) Determınese la aceleracion del bloque cuando se deja resbalar libremente.

b) Supongase que se deja resbalar el bloque desde la parte superior del plano y

que la distancia hasta la base es d. ¿Cuanto tarda el bloque en llegar a la parte

inferior? ¿Cual es su velocidad?

(Respuestas : a) ax = g sen θ; ay = 0; b) t =√

2d/g sen θ; vx =√

2gd sen θ )

2. Determınese la aceleracion de las masas y la tension de la cuerda de una maquina

de Atwood formada por dos masas m1 y m2 y una polea de peso despreciable y

sin rozamiento. Hagase la aplicacion al caso: m1 = 2 kg, m2 = 4 kg.

(Respuestas : a) a = gm2 −m1

m1 +m2

; T = 2gm1m2

m1 +m2

; a = 3,3 m/s2; T = 26,2 N)

3. Dos masas distintas estan sujetas por una cuerda a traves de una polea, como se

ve en la Figura. Si el bloque de masa m2 esta sobre un plano inclinado y liso que

forma un angulo θ con la horizontal, determınese la aceleracion de las dos masas

y la tension de la cuerda. Aplıquense las ecuaciones obtenidas al caso m1 = 10

kg, m2 = 5 kg y θ = 45o.

(Respuestas : a = gm2 sen θ −m1

m1 +m2

; T = g sen(θ+1)m1m2

m1 +m2

; a = −4,23 m/s2,

T = 55,82 N)

m1

m2

θ

4. Una partıcula de masa 0,4 kg esta sometida a la accion de dos fuerzas, ~f1 = 2~i−4~j

y ~f2 = −2,6~i+5~j, donde todos los componentes se dan en newtons. Si la partıcula


esta en el origen de coordenadas en t = 0, determina su posicion y velocidad

cuando t = 1,6 s.

(Respuestas : ~r = (−1′92, 3′20) m; ~v = (−2′4, 4′0) m/s)

5. Una partıcula de masa m esta suspendida de una cuerda de longitud L y se mueve

con velocidad constante en un cırculo horizontal de radio r. Si la cuerda forma

un angulo θ con la vertical, determınese su tension y la velocidad de la partıcula.

(Respuestas : T = mg/ cos θ; v =√Lg sen θ tan θ)

6. Se hace girar un cubo de agua en una trayectoria vertical de radio r. Si la velocidad

del cubo en el punto mas alto es vt, determinar la fuerza ejercida por el cubo sobre

el agua. Calcula tambien el valor mınimo de vt para que el agua no se salga del

cubo.

(Respuestas : N = m(v2t /r − g); vt =

√gr)

7. Despreciando el rozamiento y las masas de las poleas y de las cuerdas, determina

la masa m2 en el sistema de la figura para que la aceleracion de la masa m3 sea

0,45 m/s2 hacia abajo. Los valores de las otras masas son: m1 = 200 g, m3 = 300

g.

(Respuestas : m2 = 0,104 kg)

3.10. PROBLEMAS 93

m1 m

2

m3

8. Un globo con todos sus accesorios pesa 200 kg y desciende con una aceleracion 10

veces menor que la de la gravedad. Calcula la masa de lastre que ha de arrojarse

para que ascienda con esa misma aceleracion.

(Respuestas : m = 36,36 kg)

9. Un montacargas de 1200 kg de masa parte del reposo y alcanza una velocidad de

6 m/s al ascender 12 m. Calcula:

a) La aceleracion con que asciende.

b) La tension del cable que lo soporta.

(Respuestas : a = 1,5 m/s2; T = 13560 N)

10. Una partıcula de masa m = 10 kg, sometida a la accion de una fuerza f =

120 t+ 40 N se desplaza en una trayectoria rectilınea. Cuando t = 0, la partıcula

se encuentra en x0 = 5 m con una velocidad v0 = 6 m. Obtengase su velocidad y

posicion instantaneas.

(Respuestas : v(t) = 6 + 4t+ 6t2 m/s; x(t) = 5 + 6t+ 2t2 + 2t3 m)


11. Los objetos A y B de la figura pesan 200 y 300 g respectivamente. La polea

Q1 tiene el eje fijo, pero la Q2 puede moverse libremente. Calcula la tension en

la cuerda y la aceleracion de cada cuerpo. (Suponganse las poleas sin masas ni

rozamientos).

(Respuestas : a = −1,8 m/s2; TA = 1,6 N; TB = 3,2 N)

mB

mA

Q1

Q2

12. Una partıcula de masa m se mueve en el plano XY de modo que su vector posicion

es:

~r(t) = a cos(ωt)~i+ b sen(ωt)~j

siendo a, b y ω constantes positivas y a > b. Demuestra que la partıcula se mueve

en una elipse y que la fuerza que actua sobre ella esta siempre dirigida hacia el

origen.

13. Calcula el angulo de inclinacion que debe tener una rampa para que un cuerpo

al deslizar por ella sin rozamiento tarde el doble de tiempo en alcanzar la base

que si lo hiciese en caıda libre.

(Respuestas : θ = 30◦)

3.10. PROBLEMAS 95

14. Un montacargas tiene una velocidad de regimen, tanto al ascender como al des-

cender, de 4 m/s, tardando 1 s en adquirirla al arrancar o detenerse. Si se carga

una masa de 600 kg y la masa del montacargas y sus accesorios es de 1200 kg, cal-

cula la fuerza que ejerce la masa sobre el suelo del montacargas en los siguientes

casos:

1) Durante el arranque para ascender.

2) Durante el ascenso a velocidad constante.

3) Durante el proceso de frenado para detenerse.

4) ¿Cual es la tension sobre el cable que sujeta el montacargas en el caso 1)?

(Respuestas : 1) f = 8300 N; 2) f = 5900 N; 3) f = 3500 N; 4) T = 25000

N)

15. En el sistema de la figura, la friccion y la masa de la polea son despreciables.

Obtengase la aceleracion de m2 si m1 = 300 g, m2 = 500 g y f = 1,5 N.

m1

m2

f

(Respuestas : a2 = 0,88 m/s2)

16. Las maquinas de un petrolero se averıan y el viento acelera la nave a una velocidad

de 1,5 m/s hacia un arrecife. Cuando el barco esta a 500 m del arrecife el viento

cesa y el maquinista logra poner en marcha las maquinas para acelerar hacia

atras. La masa total del petrolero es de 3,6 × 107 kg y sus maquinas producen

una fuerza de 8,0 × 104 N. Si el casco puede resistir impactos de hasta 0,2 m/s,

¿se derramara el petroleo?


(Respuestas : El petroleo no se vertira.)

17. Una alumna muy inteligente se pregunta como sacar del barro su coche que ha

quedado atascado. para ello dispone de una cuerda con la que atar el coche a

un arbol proximo. Si es capaz de ejercer una fuerza de 300 N, ¿sera posible que

saque el coche del barro?

18. Una persona empuja un trineo por un camino horizontal nevado. Cuando el modu-

lo de la velocidad del trineo es 2,5 m/s, esa persona suelta el trineo y este se desliza

una distancia d = 6,4 m antes de detenerse. Determina el coeficiente de friccion

cinetica entre los patines del trineo y la superficie nevada.

(Respuestas : µc = 0,05)

19. Una masa de 45 kg es arrastrada en un trineo sobre un terreno horizontal cubierto

de nieve. El trineo es tirado por una cuerda que forma un angulo de 40o con la

horizontal. Si el trineo tiene una masa de 5 kg y los coeficientes de friccion estatica

y cinetica son µe = 0,2 y µc = 0,15, determina la friccion ejercida por el suelo

sobre el trineo y la aceleracion de este cuando la tension de la cuerda vale:

a) 100 N

b) 140 N

(Respuestas : a) fe = 85,2 N; a = 0; b) fc = 60 N; a = 0,94 m/s2)

20. Un coche viaja a 108 km/h por una carretera horizontal. Los coeficientes de

friccion entre la carretera y los neumaticos son: µe = 0,5; µc = 0,3 ¿Cuanto

espacio tarda el coche en frenar si:

a) el frenazo es fuerte pero el coche no llega a patinar?

b) el frenazo es muy brusco y el coche patina?

(Respuestas : a) d = 91,8 m; b) d = 153 m)

21. Un coche viaja por una carretera horizontal describiendo una circunferencia de 30

m de radio. Si el coeficiente de friccion estatica es µe = 0,6, ¿cual es la velocidad

maxima a la que puede ir el coche sin salirse de la curva?

3.10. PROBLEMAS 97

(Respuestas : vm = 47,8 km/h)

22. Una curva de 30 m de radio tiene un angulo de peralte θ. ¿Cual debe ser este

peralte para que un coche pueda tomar la curva a 40 km/h aunque no haya

fuerzas de rozamiento?

(Respuestas : θ = 22,7◦)

23. Un bloque de masa m1 se apoya sobre un segundo bloque de masa m2, que a su

vez descansa sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Se aplica una fuerza ~f

sobre el bloque de abajo. Los coeficientes de friccion estatica y cinetica (µe y µc)

entre los bloques se suponen conocidos.

a) Determina el valor maximo de f para que los bloques no deslicen entre si.

b) Determina la aceleracion de cada bloque cuando se supera ese valor.

(Respuestas : a) f = gµe(m1 +m2); b) a1 = gµc; a2 = (f − gµcm1/m2))

24. Un bloque de 50 kg es lanzado hacia arriba sobre un plano inclinado 30o. Si el

coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2, calcula:

a) El tiempo que tarda en detenerse si se lanza con una velocidad inicial de 20

m/s.

b) ¿Con que velocidad retornara al punto de partida?

c) El tiempo que tarda en subir y bajar.

(Respuestas : a) t = 3,03 s; b) v = 13,9 m/s; c) 7,4 s)

25. Una pequena esfera de masa m esta colgada del techo de un vagon de ferrocarril

que se desplaza por una vıa con aceleracion a. ¿Cuales son las fuerzas que actuan

sobre la esfera para un observador inercial? ¿Y para uno no inercial en el interior

del vagon?

26. Dos bloques de 200 kg y 75 kg descansan sobre dos planos inclinados y estan

conectados mediante una polea tal y como indica la figura. Calcula:

a) la aceleracion del sistema.


b) la tension de la cuerda.

c) la aceleracion y la tension si el coeficiente de rozamiento entre los bloques y el

plano vale 0,2.

(Respuestas : a) a = 2,15 m/s2; b) T = 748,2 N; c) a = 0,69 m/s2; T = 727,2

N)

B

A

β=53o

α=37o

27. En el instante t = 0, un paracaidista que tiene peso de magnitud mg esta situado

en z = 0 y se mueve con velocidad v0. Suponiendo que la fuerza de rozamien-

to debida al aire es proporcional a su velocidad, halla su velocidad, posicion y

aceleracion en cualquier instante de tiempo.

(Respuestas : v(t) =1

b

[mg − (mg − bv0)e−bt/m

]; z(t) = (mg/b)

[t+ (m/b)(e−bt/m − 1)

];

a(t) = ge−bt/m)

28. Un objeto se desliza sobre una superficie de hielo a lo largo de una lınea recta

horizontal. En cierto punto de la trayectoria la velocidad es v0 y despues de

recorrer una distancia xr el objeto se detiene. Compruebese que el coeficiente de

rozamiento es v20/2gxr.

29. Un bloque de hierro de masa ma = 7 kg es arrastrado sobre una mesa horizontal

por la accion de otra masa mb = 2 kg que cuelga verticalmente de una cuerda

horizontal unida al bloque de hierro y que pasa por una polea ideal. Si µc = 0,15,

determina la aceleracion y la tension de la cuerda.

(Respuestas : a = 1,0 m/s2; T = 17,6 N )

3.10. PROBLEMAS 99

30. Un convoy minero esta formado por n vagonetas con masas m1, m2, . . .mn.

Se supone que las ruedas deslizan sobre los raıles y que el coeficiente de friccion

cinetica entre las ruedas y los raıles, µc, es conocido. En esas condiciones, calcula:

a) La fuerza capaz de mover el sistema con velocidad constante y la tension en

los enganches entre dos vagones cualquiera.

b) Si tiramos con una fuerza dada, T1, mayor que la calculada en el apartado

anterior, determina la aceleracion del sistema y la expresion general de la tension

para cualquier vagon.

(Respuestas : a) T1 = gµc∑n

i=1mi; Tj = gµc∑n

i=jmi; b) a = (1/M)(T1−µcgM);

c) Tj = T1(1− (1/M)∑j−1

i=1 mi) )

31. En el sistema representado en la figura, las masas de los cables y poleas son

despreciables. Si el coeficiente de rozamiento cinetico de la masa m2 con el plano

inclinado es µc, calcula la aceleracion del sistema.

(Respuestas : a = gm1 −m3 −m2(µc cosϕ− senϕ)

m1 +m2 +m3

)

m1

m2

m3

ϕ

32. En el sistema que se muestra en la figura, el coeficiente de rozamiento entre los

bloques es µ. Si se ejerce una fuerza, ~f , sobre el bloque de masa m1, ¿cual es la

aceleracion del sistema?

(Respuestas : a =f − µg(3m2 +m1)

m1 +m2

)


m1

f

m2

33. Un bloque de 2 kg esta situado sobre otro de 4 kg que descansa sobre una mesa sin

rozamiento y sobre el que esta actuando una fuerza horizontal ~F . Los coeficientes

de friccion entre los bloques son µe = 0,3 y µc = 0,2 . a) ¿Cual es el valor maximo

de ~F que puede aplicarse para que el bloque de 2 kg no resbale sobre el de 4 kg?

b) Si ~F es igual a la mitad de este valor maximo, determinar la aceleracion de

cada bloque y la fuerza de friccion que actua sobre cada uno de ellos. c) Si ~F es

igual al doble del valor obtenido en a), calcula la aceleracion de cada bloque.

(Respuestas : a) F = 17,64 N; b) a1 = a2 = 1,47 m/s2; fr = 2,94 N; c)

a1 = 1,96 m/s2; a2 = 7,84 m/s2)

Capıtulo 4

Trabajo, energıa y conservacion dela energıa

4.1. Introduccion

En principio, si se conociera la fuerza que actua sobre una partıcula como funcion

del tiempo, ~f = ~f(t), serıa facil obtener la ecuacion de su trayectoria, ~r = ~r(t), que es

uno de los problemas fundamentales que se plantea la Mecanica Clasica:

~f(t) = m~a(t) −→ ~a(t) =~f(t)

m−→ ~v(t) =

∫~a(t) dt =⇒ ~r(t) =

∫~v(t) dt

Pero generalmente las fuerzas que actuan sobre las partıculas se conocen en Fısica en

funcion de su posicion y el metodo anterior no es aplicable. Por lo tanto, se introducen

nuevos conceptos (trabajo y energıa) con los que conociendo solo algunas propiedades

de la fuerza se pueden resolver muchos problemas.

4.2. Concepto de trabajo

4.2.1. Sistemas unidimensionales

Consideremos una fuerza, f , constante o variable, que actua sobre una partıcula

para provocar sobre ella un desplazamiento unidimensional. Se define el trabajo infini-

tesimal que realiza la fuerza sobre la partıcula para provocar un desplazamiento, dx,

como,

dW = fx dx,

102 CAPITULO 4. TRABAJO Y ENERGIA.

donde fx es la componente de la fuerza en la direccion del desplazamiento. Para un

desplazamiento finito, entre dos puntos x1 y x2, se define el trabajo como:

W =

∫ x2

x1

fx dx

Es decir, que en problemas unidimensionales, el trabajo realizado por una fuerza no es

mas que el area encerrada bajo la curva, fx = fx(x).

Como por definicion el trabajo es una fuerza por un desplazamiento, sus dimensio-

nes son: [W ] = ML2T−2 y sus unidades en el sistema internacional son N.m, que se

denomina joule o julio y se representa como J. En el sistema cegesimal, la unidad del

trabajo es el ergio (erg) que se define como 1 erg= 1 dina ×1 cm. Factor de conversion:

1 J= 107 erg.

x1

x2

x x1

x2 x

fuerza variablefuerza constantefx fx

Conviene resaltar que el concepto de trabajo en Fısica no se corresponde exac-

tamente con la nocion que tenemos en la vida cotidiana. Por ejemplo, empujar una

pared, aunque, por supuesto, no consigamos derribarla, supone un trabajo en la vida

ordinaria, pero en Fısica, como no hay desplazamiento, el trabajo realizado es nulo.

Igual sucede cuando un levantador de pesas no consigue elevarlas o cuando sujetamos

un objeto en el aire sin desplazarlo.

4.2.1 Ejemplo

Un bloque apoyado sobre una mesa sin rozamiento esta sujeto a un muelle horizontal

que ejerce una fuerza f = −k x, donde k = 400 N/m. El bloque se comprime hasta

4.2. CONCEPTO DE TRABAJO 103

la posicion xi = −5 cm. Calcula el trabajo que realiza para llevar el bloque hasta la

posicion xf = 0.

mk

xixf

Resolveremos el problema de dos maneras, analıticamente y geometricamente a par-

tir de la representacion de la funcion fuerza.

i) Analıticamente.

W =

∫ xf

xi

f(x) dx =

∫ xf

xi

(−kx) dx = −kx2

2

]xfxi

= −k2

(x2f − x2

i

)= 0,5 J

ii) Geometricamente1.

f

xx fxi

b

a

W =1

2b a =

1

2(xf − xi)f(xi) = 0,5 J

1Notese que el trabajo, en general, puede tener un valor positivo o negativo. Con el metodogeometrico solo se puede obtener el valor del trabajo en modulo, puesto que un area es, por defi-nicion, un numero positivo.


4.2.2. Expresion general de trabajo

Consideremos ahora una partıcula con vector de posicion ~r desplazandose en el

espacio bajo la accion de una fuerza, ~f , variable. Se define el trabajo realizado por la

fuerza como:

W =

∫ f

i

~f.d~r.

En componentes,

W =

∫ f

i

(fx dx+ fy dy + fz dz).

La integral se evalua sobre la curva que conforma la trayectoria de la partıcula y se

denomina por esa razon integral de lınea. En general, cuando evaluamos el trabajo que

realiza una fuerza para trasladar la partıcula desde i hasta f , no es lo mismo hacerlo por

la trayectoria c1 que por la c2. En cada caso la integral se realizara de forma diferente

y los resultados seran distintos.

i

f

c1

c2

4.2.2 Ejemplo

Calculese el trabajo realizado por la fuerza ~f = xy~i (N) para desplazar una partıcula

desde i : (0, 3) hasta f : (3, 0) a lo largo de las trayectorias:

1) Recta que une i y f .

2) Arco de la circunferencia centrada en el origen de coordenadas que pasa por esos

puntos.

4.2. CONCEPTO DE TRABAJO 105

c1

c2

i

f

y

x

1) Ecuacion de la recta: y = 3− x.

Wif =

∫ f

i

~f.d~r =

∫ f

i

xy dx =

∫ 3

0

x(3− x) dx =3

2x2 − x3

3= 4,5 J.

2) Ecuacion de la circunferencia: x2 + y2 = 9.

Wif =

∫ f

i

xy dx =

∫ f

i

x(9− x2)1/2 dx.

Haciendo el cambio de variables: u ≡ 9− x2 resulta −2xdx = du.

Wif = −1

2

∫u1/2 du = −1

�2

�2

3u3/2 = −1

3(9− x2)3/2

]3

0

=1

393/2 J = 9 J

Como vemos, el trabajo realizado en las dos trayectorias, aunque coincidan los puntos

inicial y final son diferentes.

En un desplazamiento infinitesimal, la expresion general del trabajo viene dada por:

δW = ~f.~dr.

La notacion, δ, para el trabajo elemental se utiliza en algunos libros para representar

que depende de la trayectoria recorrida. Se dice que la diferencial es inexacta.

Cuando varias fuerzas, {fi} (i = 1, 2 . . . n) actuan sobre una partıcula, el trabajo

neto es la suma de cada uno de los trabajos:

dW =n∑i=1

dWi =n∑i=1

~fi.d~ri.


4.3. Potencia

Desde un punto de vista practico, es a menudo mas interesante saber no solo el

trabajo realizado por una fuerza sobre un objeto, sino la rapidez con que se realiza.

Esto es especialmente importante en Ingenierıa, donde es relevante tanto el trabajo que

realiza, por ejemplo, un motor como el tiempo que tarda en ejecutarlo.

Se define la potencia media al realizar un trabajo W como:

Pm =W

t,

donde t es el tiempo que se emplea en su realizacion. Las dimensiones de la potencia

son:

[Pm] =[W ]

t=ML2T−2

T= ML2T−3.

Unidades habituales de la potencia:

S.I. −→ watio (W)=J/s

Caballo de vapor (CV) −→ 1 CV=735,50 ' 736 W. Se define como la potencia

necesaria para elevar una masa de 75 kg 1 metro de altura en 1 s. No debe

confundirse con el horsepower (HP o hp), unidad de potencia de origen anglosajon

equivalente a 745,70 ' 746 W.

A partir del watio se define una unidad de trabajo muy utilizada, el kw.h:

1 kw.h = 1000 J/s× 3600 s = 3,6× 106 J.

Se define la potencia instantanea realizada por una fuerza como:

P = lımt→0

W

t=dW

dt,

es decir, es el trabajo infinitesimal realizado por la fuerza por unidad de tiempo. De

otro modo:

dW = ~f.d~r = ~f.~v dt −→ P =dW

dt= ~f.~v.

4.4. ENERGIA CINETICA. TEOREMA TRABAJO-ENERGIA 107

4.3.1 Ejemplo

Un elevador tiene una masa de 1000 kg y lleva una carga de 800 kg. Una fuerza de

rozamiento constante de 4000 N se opone a su movimiento. ¿Cual debe ser la potencia

mınima del motor para subir la carga con una velocidad constante de 3 m/s?

Fuerzas sobre el ascensor:

T − fr − (ma +mc)g = 0 −→ T = fr + (ma +mc) g = 2,16× 104 N

P = ~f.~v = ~T .~v = Tv = (fr +mg)v = 64,9 kW

¿Y si la aceleracion hacia arriba fuese 1 m/s2

T − fr −mg = ma −→ T = fr +mg +ma = 2,34× 104 N

=⇒ P = Tv = 2,34× 104 × v (W)

donde v es la velocidad instantanea del ascensor.

4.4. Energıa cinetica. Teorema trabajo-energıa

Todo cuerpo en movimiento tiene la capacidad de realizar un trabajo a partir de

una disminucion de su velocidad. Como ejemplos se pueden considerar un martillo

golpeando un clavo, una bala impactando contra una pared de acero o una piedra

golpeando a otra piedra. Estos hechos sugieren estudiar con mas detalle la relacion

existente entre el estado de movimiento de una partıcula y su posible capacidad para

realizar trabajo.

Como la fuerza que la partıcula ejerce sobre el exterior es la misma que se ejerce

sobre ella (principio de accion y reaccion):

dW = ~f.d~r = m~a.d~r = m~a.~vdt = m~v.d~v

Por otra parte, se puede expresar:

d(v2) = d(~v.~v) = 2~v.d~v


Sustituyendo en la primera ecuacion:

dW = ~f.d~r =1

2md(v2) −→ W =

∫ f

i

~f.d~r =1

2m

∫ f

i

d(v2) =1

2mv2

f −1

2mv2

i

W = ∆

(1

2mv2

)≡ ∆Ec

Este resultado se denomina teorema trabajo-energıa. La magnitud Ec = (1/2)mv2 se

llama energıa cinetica de la partıcula y el teorema afirma que el trabajo que realiza la

partıcula es igual a la variacion de su energıa cinetica. Pero tambien se puede interpre-

tar en sentido opuesto. Para cambiar la energıa cinetica de la partıcula hay que realizar

un trabajo sobre ella que es igual a su variacion.

La energıa cinetica es una magnitud escalar, que solo depende de la masa y la

velocidad de la partıcula y que tiene las mismas dimensiones que el trabajo ([Ec] =

ML2T−2). No puede ser nunca negativa.

4.5. Fuerzas conservativas y energıa potencial

Se dice que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza para trasladar una

partıcula desde un punto cualquiera i hasta otro cualquiera f es independiente de la

trayectoria que recorre la partıcula.

i

f

y

x

y

x

i

O de modo equivalente, una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre

una partıcula cuando esta describe una trayectoria cerrada es cero. Matematicamente:∮~f.d~r = 0.

4.5. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL 109

Basandonos en esta definicion, si una fuerza es conservativa siempre se puede definir

una funcion, U , de manera que el trabajo realizado por la fuerza sea, Wif = Ui − Uf .Esto es una expresion matematica de que el trabajo solo depende de las caracterısticas

de los estados inicial y final de la partıcula.

∆U = Uf − Ui = −Wif = −∫ f

i

~f.d~r.

En un desplazamiento infinitesimal:

dU = −~f.d~r.

Esta funcion, U , con dimensiones de trabajo o energıa se denomina energıa potencial

asociada a ~f .

4.5.1 Ejemplo

Energıa potencial del campo gravitatorio terrestre (en las proximidades de la superficie

de la Tierra).

dU = −~f.d~r = −~P .d~r.

Si elegimos ~P = −mg~j,

dU = mgdy −→ U = U0 +mgy,

donde U0 = U(y = 0).

Este es un ejemplo particular de una fuerza constante que es conservativa. Veremos

a continuacion que cualquier fuerza constante (en modulo, direccion y sentido) es con-

servativa. Sea ~f una fuerza vectorialmente constante que desplaza una partıcula desde

~ri hasta ~rf . Veremos que el trabajo que realiza para desplazarla solo depende de los

puntos inicial y final.

Wif =

∫ f

i

~f.d~r =

∫ f

i

fx dx+

∫ f

i

fy dy +

∫ f

i

fz dz = ~f.~rf − ~f.~ri.


Luego el trabajo es independiente de la trayectoria, y entonces la fuerza es conservativa.

Para encontrar la energıa potencial asociada a esta fuerza hay que obtener la funcion

que verifica, Wif = Ui − Uf . En este caso es evidente que U = −~f.~r 2.

Pero no solo las fuerzas constantes son conservativas. Una fuerza dependiente de la

distancia, como es por ejemplo la que ejerce un muelle sobre una cierta masa es otro

ejemplo de fuerza conservativa.

4.5.2 Ejemplo

Supongamos un muelle horizontal unido a una masa m. La fuerza que ejerce el muelle

es proporcional a su elongacion y se puede poner como: f = −kx. Calculemos el trabajo

que hace el muelle para desplazar la masa entre dos puntos arbitrarios.

Wif =

∫ f

i

~f.d~r = −∫ xf

xi

kx dx = −k2

(x2f − x2

i ).

Luego el trabajo efectuado en una trayectoria arbitraria no depende de las peculiaridades

de la trayectoria, sino simplemente de las posiciones inicial y final de la partıcula. En

conclusion, la fuerza es conservativa.

Wif = −∆U −→ U = U0 +k

2x2.

Esta es la energıa potencial asociada al muelle. U0 es un valor de referencia que suele

tomarse igual a cero. De este modo, la energıa potencial del muelle en su posicion de

equilibrio (x = 0) es nula.

4.6. Analisis de curvas de energıa potencial

Supongamos por sencillez un sistema unidimensional con una unica coordenada x.

Si sobre el sistema actua una fuerza conservativa, f , se verifica:

dU = −~f.d~r = −fxdx.2A las fuerzas de friccion estatica o cinetica no se les puede aplicar el razonamiento anterior, ~ff =

−µN~v/v. Una fuerza es conservativa si en cualquier trayectoria el trabajo que realiza solo depende delos puntos inicial y final. Las fuerzas de friccion solo son constantes en trayectorias rectilıneas (siempreque no se modifique ~v), pero no en cualquier trayectoria. No lo demostraremos aquı pero son fuerzassiempre no conservativas.

4.6. ANALISIS DE CURVAS DE ENERGIA POTENCIAL 111

Por lo tanto, la fuerza es la derivada de U respecto a x:

fx = −dUdx.

Dedicaremos esta seccion a estudiar como el analisis de la funcion energıa potencial de

un sistema permite conocer su comportamiento dinamico. Es decir, considerando como

dato conocido de un cierto problema la funcion energıa potencial, nos preguntaremos

como es la dinamica del sistema. Este tipo de planteamiento en Fısica es muy habi-

tual, pues en muchas ocasiones es la energıa potencial de un sistema la magnitud mas

directamente calculable.

Como ejemplo de analisis de curvas de energıa potencial, estudiaremos el comporta-

miento dinamico de una masa conectada a un muelle horizontal, a traves de su energıa

potencial, que como vimos anteriormente vale: U = 12kx2. Esta funcion se representa

en la figura adjunta.

U

x

U' < 0

fx

U' > 0

fx

U'= 0, f = 0x

Su derivada en cada punto, es decir, la pendiente de la recta tangente, representa la

fuerza (con signo opuesto) que actua sobre la masa.

ã Para x < 0, la pendiente es negativa, luego la fuerza es positiva. Ademas la

pendiente, es mayor (en modulo) cuanto mas alejados estamos del origen. Luego

la fuerza aumenta con la distancia a x = 0. En ese punto, U ′ = 0 y la partıcula

no experimenta fuerza ni aceleracion (lo cual no quiere decir que en ese punto

este en reposo).


ã Para x > 0 −→ U ′ > 0, con lo cual la fuerza es negativa. Si esta situada

la partıcula inicialmente en x = 0, y se la somete a una pequena perturbacion

tratando de alejarla de ese punto, el muelle reacciona con una fuerza que se opone

a esa perturbacion y trata de retornar la partıcula a x = 0. Se dice que este punto

es de equilibrio estable. Matematicamente se caracteriza porque es un mınimo de

la funcion U = U(x): U ′ = 0 y U ′′ > 0.

Consideremos ahora otro tipo de funcion U = U(x), con un maximo local, tal y

como muestra la figura.

U

x

U' < 0

fx

U' > 0

fx

U'= 0, f = 0x

Ahora si la partıcula esta inicialmente en el maximo de la funcion (x = 0 en este

caso sencillo) y se ve sometida a una pequena perturbacion, la fuerza que experimenta

es tal que tiende a alejarla definitivamente de ese punto. Se dice que la posicion del

maximo de U , es un punto de equilibrio inestable. Puede haber tambien curvas de

energıa potencial con puntos de equilibrio indiferente o neutro que son aquellos puntos

de equilibrio, en que una pequena perturbacion hace que la partıcula pase a otro punto

de equilibrio adyacente. Geometricamente estas regiones son mesetas en U(x).

4.6. ANALISIS DE CURVAS DE ENERGIA POTENCIAL 113

U

x

equilibrio estable

equilibrio inestableequilibrio neutro

4.6.1 Ejemplo

La energıa potencial de un par de atomos (denominado potencial de Lennard-Jones)

de un gas tiene la forma:

U(x) = 4ε

[(σx

)12

−(σx

)6],

donde ε y σ son constantes que dependen de las peculiaridades de los atomos.

a) Obtenganse los estados de equilibrio.

b) Dibujese la curva de energıa potencial.

a)

dU

dx= 0 −→ −12σ12x−13 + 6σ6x−7 = 0 −→ 2σ6x−13 = x−7 =⇒ xe = 21/6σ.

Solo hay un punto de equilibrio y es facil demostrar que es estable. Basta comprobar

que U ′′(xe) > 0.

U(xe) = 4ε

[��σ12

22��σ12 −��σ

6

2��σ6

]= 4ε

[1

4− 1

2

]= −ε.

Ceros de la funcion:

U(x) = 0 −→(σx

)12

=(σx

)6

−→ x = σ.


4 5 67 8

-100

-50

50

100

150

U (x)

x

x=21/6

x =2 σ1/6

e

U(x )= - εe

En el caso de sistemas tridimensionales se puede hacer un planteamiento semejante,

pero introduciendo un operador habitual en analisis diferencial en varias variables, que

es el concepto de gradiente3.

dU = −~f.d~r −→ ~f = −−−→∇U.

4.6.2 Ejemplo

Calculese la fuerza asociada a la energıa potencial dada por la funcion: U(x, y, z) =

k x2yz, donde k es una constante.

~f = −−−→∇U

fx = −∂U∂x

= −2kxyz

fy = −∂U∂y

= −kx2z

fz = −∂U∂z

= −kx2y

3Dada una funcion escalar, f = f(x, y, z), se define su gradiente en coordenadas cartesianas, comoel vector dado por:

−→∇f =

∂f

∂x~i+

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k.

4.7. CONSERVACION DE LA ENERGIA 115

=⇒ ~f = −k(2xyz~i+ x2z~j + x2y~k).

4.7. Conservacion de la energıa

4.7.1. Sistemas conservativos

Supongamos una fuerza conservativa actuando sobre una partıcula. Segun el teore-

ma trabajo-energıa, se verifica:

W =

∫ f

i

~f.d~r = ∆Ec.

Ademas, por ser la fuerza conservativa, existe una funcion energıa potencial que satis-

face:

W = −∆U.

Igualando ambas ecuaciones:

W = ∆Ec = −∆U −→ ∆(Ec + U) = 0 −→ Ec + U ≡ E = cte.

La suma de las energıas cinetica y potencial de la partıcula recibe el nombre de energıa

mecanica. Y la ecuacion que acabamos de demostrar significa que si sobre una partıcula

solo actuan fuerzas conservativas, la energıa mecanica total, E = Ec + U , permanece

constante. De aquı el nombre de fuerza conservativa.

U

x

E

xr-xr

U

Ec


Es interesante dar una interpretacion geometrica a este principio. Supongamos que

una fuerza conservativa con energıa potencial, U , actua sobre la partıcula. Como la

energıa mecanica es constante, se puede representar mediante una lınea horizontal de

un grafico que representa las energıas del sistema frente a su posicion. En cualquier

punto, U viene dada por la curva, U = U(x), y la diferencia con E sera la energıa

cinetica de la partıcula. Ası por ejemplo en un estado de equilibrio, como el de la

figura, la energıa potencial es cero, y por tanto, E = Ec. En ese punto la velocidad

de la partıcula es maxima. Aquı se comprueba como en un estado de equilibrio la

partıcula no tiene porque estar en reposo. Su aceleracion es nula (no hay fuerzas),

pero su velocidad no tiene porque serlo. En los puntos de corte de E con U , Ec = 0.

Se denominan puntos de retorno y en ellos cambia el modulo de la velocidad de la

partıcula y la energıa potencial es maxima.

Conociendo la energıa mecanica y potencial de una partıcula, calcular su velocidad

en cualquier posicion es sencillo a partir de esta expresion:

1

2mv2 + U(x) = E −→ v =

[2

m(E − U(x))

]1/2

.

4.7.1 Ejemplo

Un esquiador inicialmente en reposo en lo alto de una pista (a una altura h respecto

a la horizontal) se dispone a iniciar un descenso. Calculese su velocidad en funcion de

la altura.

h

y

v(y)

t=0 t

4.7. CONSERVACION DE LA ENERGIA 117

Si despreciamos el rozamiento, la unica fuerza que actua sobre el es la gravitatoria,

que es conservativa. Para calcular E podemos utilizar cualquier instante, por ejemplo,

el inicial. En este punto:

E =��1

2mv2 +mgh = mgh

En otro punto cualquiera (cuando el esquiador esta a una altura y respecto a la hori-

zontal):

E =1

2mv2 +mgy = mgh −→ v = [2g(h− y)]1/2 .

4.7.2. Sistemas no conservativos

Cuando sobre un sistema actuan fuerzas no conservativas , su energıa mecanica

total no permanece constante. Supongamos una partıcula sometida tanto a fuerzas

conservativas como no conservativas:

~f = ~fc + ~fnc.

Como el teorema trabajo-energıa es valido para cualquier tipo de fuerzas:

Wt =

∫~fc.d~r +

∫~fnc.d~r = ∆Ec = Wc +Wnc.

Para la fuerza conservativa se puede definir una energıa potencial de forma que Wc =

−∆U . Entonces:

∆Ec = −∆U +Wnc −→ Wnc = ∆Ec + ∆U = ∆E.

Esta expresion se denomina teorema generalizado trabajo-energıa y significa que si sobre

una partıcula actuan fuerzas no conservativas, la variacion de su energıa mecanica total

es precisamente el trabajo que estas fuerzas ejercen sobre ella.

4.7.2 Ejemplo

Una nina de masa 17 kg comienza a deslizarse desde el reposo por un tobogan. La parte

superior esta a 2 m de altura sobre el suelo. Si su velocidad final es de 4,2 m/s, ¿cual

es el trabajo efectuado por las fuerzas de rozamiento?


Las fuerzas que actuan sobre la nina son: peso, rozamiento con el aire y el tobogan

y fuerza normal. Las de rozamiento no son conservativas y la normal no ejerce trabajo,

luego el unico trabajo no conservativo es el asociado a las fuerzas de rozamiento:

Wnc = ∆E = ∆Ec + ∆U∆Ec = Ecf −��>0

Eci = Ecf = 12mv2

f

∆U = ��

0

Uf − Ui = −mgh

=⇒ Wnc = Ecf − Ui =1

2mv2

f −mgh = −180 J.

4.7.3. Principio de conservacion de la energıa

Macroscopicamente las fuerzas no conservativas siempre estan presentes. Las mas

familiares son las de rozamiento, pero existen otras (como las magneticas). Por ejemplo,

al empujar una caja sobre una superficie rugosa, podemos interpretar que la variacion de

energıa mecanica de la caja es igual al trabajo que hacemos para vencer el rozamiento.

Pero la experiencia dice que en el proceso, la superficie de contacto se calienta. Otra

forma de interpretar este hecho es diciendo que la energıa mecanica que se pierde se

transforma en otro tipo de energıa, la termica. Este tipo de ideas surgio en el s. XIX, con

el desarrollo de la Termodinamica. Hoy en dıa se admite que la energıa ni se crea ni se

destruye, simplemente se transforma. En Mecanica, solo se manejan habitualmente las

energıas cinetica, potencial y mecanica, pero si se incluyen otras energıas que provienen

de otras ramas de la Fısica, la energıa total siempre es constante. Otros tipos de energıa

son la interna (asociada a la estructura interna de un cuerpo), la quımica (que se pone

en juego al producirse reacciones quımicas), la electrica, la magnetica, etc. La ley de

conservacion de la energıa no tiene demostracion matematica, es un Principio y se

admite como tal. Se justifica diciendo que no se ha observado nunca ninguna situacion

fısica en que no se satisfaga.

4.8. PROBLEMAS 119

4.8. Problemas

1. Una caja de 4 kg se levanta desde el suelo hasta una altura de 3 m aplicando una

fuerza vertical hacia arriba de 60 N. Determina:

a) el trabajo realizado por la fuerza aplicada.

b) el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad.

c) la velocidad final de la caja.

(Respuestas : a) W = 180 J; b) W = 62 J; c) vf = 5,57 m/s)

2. Una partıcula experimenta un desplazamiento ∆~r = 2~i−5~j (en el S.I.) a lo largo

de una lınea recta. Durante el desplazamiento actua sobre la partıcula una fuerza

constante ~f = 3~i+ 4~j (en el S.I.). Determina el trabajo realizado por la fuerza y

la componente de la fuerza en la direccion del desplazamiento.

(Respuestas : W = −14 J; fr = −2,6 N)

3. Un cajon de 48 kg es arrastrado 8 m por una rampa hacia arriba mediante una

cuerda de tension T = 540 N. Si el angulo que forma la rampa con la horizontal

es de 30o y el coeficiente de friccion cinetico es µc = 0,4, determina el trabajo

realizado por cada una de las fuerzas que actuan sobre el cajon.

(Respuestas : WT = 4,3 kJ; Wg = −1,9 kJ; WN = 0; Wr = −1,3 kJ)

4. Un objeto de 0,4 kg se mueve en una trayectoria circular de 0,5 m de radio

sobre un plano horizontal. El coeficiente de rozamiento es µc = 0,24. Determina

el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento cuando el objeto se mueve un

cuarto de vuelta.

(Respuestas : Wr = −0,74 J)

5. Un automovil que viaja a 48 km/h se puede detener en una distancia mınima

de 40 m cuando frena. Si el mismo automovil se encuentra viajando a 96 km/h,

¿cual es la distancia mınima que necesita para detenerse?

(Respuestas : d = 160,0 m)


6. Un trineo comienza a deslizarse desde el reposo en la cima de una colina siguiendo

un camino cubierto de nieve y con el perfil de la figura. El tramo fq es circular

con radio R. Despreciando cualquier tipo de rozamiento:

a) Determina el modulo de la velocidad del trineo en f .

b) ¿Cual es la fuerza normal ejercida por la superficie en ese punto?

c) ¿Cuanto valen el modulo de la velocidad y la fuerza normal en el punto q?

(Respuestas : a) vf = (4gR)1/2; b) N = 5mg; c) vq = (2gR)1/2 m/s; N =

2mg)

i

f

qR

R

2R

7. Considerese un automovil de masa m que se acelera hacia arriba por una pen-

diente que forma un angulo θ con la horizontal. Supongase que la magnitud de

la fuerza de rozamiento que se opone a su movimiento esta dada por:

fa = 218 + 0,7 v2 (N)

Calculese la potencia que debe suministrar el motor. En particular, considerese

el caso, m = 1450 kg, v = 97,2 km/h, a = 1 m/s2 y θ = 10o.

(Respuestas : P = mav+mvg sen θ+218 v+0,7 v3 = 52,0+89,0+7, 9+18,0 = 167,0

CV)

8. Un pendulo formado por una cuerda de longitud L y una partıcula de masa m

forma inicialmente un angulo θ0 con la vertical. Determina la velocidad de la

4.8. PROBLEMAS 121

partıcula y la tension de la cuerda en el punto mas bajo de la trayectoria cuando

se deja oscilar libremente desde el reposo.

(Respuestas : v = [2gL(1− cos θ0)]1/2; T = mg(3− 2 cos θ0))

9. Un muelle de constante k esta colgado verticalmente. Se ata a su extremo libre

una masa m y se deja el sistema libre desde el reposo. Determina la maxima

distancia que cae el bloque.

(Respuestas : ym =2mg

k)

10. Determina para una maquina de Atwood de masas m1 y m2 la velocidad de los

bloques cuando el mas pesado desciende una altura h.

(Respuestas : v2 = 2m2 −m1

m1 +m2

gh)

11. Una partıcula esta sometida a una fuerza ~f = 6xy~i+ 3(x2− y2)~j (N). Calcula el

trabajo realizado por esta fuerza para desplazar la partıcula del punto O = (0, 0)

al A = (1, 1) (coordenadas en metros), a lo largo de cada uno de estos caminos:

1) De O a B = (1, 0) por una recta horizontal y de B a A por una recta vertical.

2) De O a A a lo largo de la recta y = x.

3) De O a A a lo largo de la parabola y = x2.

(Respuestas : W = 2 J en los tres caminos.)

12. El vector posicion de una partıcula de masa 2 kg que se mueve en el espacio viene

dado por ~r = 3t3~i+(t2 + t+1)~j+(2t+3)~k, expresado en el S.I. Hallese el trabajo

experimentado por la partıcula en el quinto segundo.

(Respuestas : W = 29,9 J)

13. Calcula la energıa potencial asociada a las siguientes fuerzas centrales: a) f = k r;

b) f = k/r2, donde en ambos casos k es una constante arbitraria.

(Respuestas : a) U(r) = −kr2

2; b) U(r) =

k

r)


14. Deduzcanse las ecuaciones de movimiento de una partıcula en una dimension

sometida a una fuerza constante a partir de la conservacion de la energıa.

(Respuestas : x =f

2mt2 +

(2E

m

)1/2

t)

15. Un cuerpo cae a traves de un fluido viscoso partiendo del reposo y de una altura

y0. Calcula la velocidad con la que se disipa su energıa.

(Respuestas :d(Ec + U)

dt= −(mg)2

B)

16. La figura muestra un sistema bidimensional formado por dos muelles de constan-

tes k1 y k2. Determina las componentes de la fuerza total experimentada por el

cuerpo conectado en el extremo de coordenadas (x, y).

(Respuestas : ~f = −[k1x+ k2(x− c)]~i− y(k1 + k2)~j)

y

x

k1k2

(x,y)

(0,0) (c,0)

17. Una partıcula de masa m esta colocada en el punto mas alto de una esfera lisa

de radio a. La partıcula se desplaza ligeramente sobre la esfera. ¿En que punto

se separa de ella? ¿Cual es la velocidad en ese punto?

(Respuestas : θ = 41,8o; v =

(2ga

3

)1/2

)

18. Una partıcula esta sometida a una fuerza ~f = xy~i (N). Calcula el trabajo reali-

zado por esa fuerza para desplazar la partıcula del punto A : (0, 3) al B : (3, 0) a

lo largo de los siguientes caminos:

4.8. PROBLEMAS 123

1) A lo largo de la recta que une A y B.

2) A lo largo del arco de circunferencia con centro en el origen de coordenadas y

extremos A y B.

(Respuestas : a) W = 4,5 J; b) W = 9 J)

19. El potencial 6− 12 de Lennard-Jones representa de forma realista la interaccion

entre dos atomos separados una distancia r:

VLJ = 4ε

[(σr

)12

−(σr

)6],

donde r = (x2 + y2 + z2)12 y ε y σ son parametros que dependen de las carac-

terısticas de los atomos. Calcula la fuerza que experimentan entre sı los atomos.

(Respuestas : ~f = −24ε

r2

[(σr

)6

− 2(σr

)12]~r)

20. Un pendulo de longitud ` y masa m esta conectado en su posicion de equilibrio

a un muelle horizontal de constante k tambien en equilibrio. Se eleva el pendulo

hasta que forma un angulo θ (muy pequeno) respecto a la vertical. ¿Cual sera la

velocidad del pendulo cuando pase por la posicion de equilibrio?

(Respuestas : v2 = θ2`

(g +

k

m`

))

21. Un muelle de constante elastica k y masa despreciable esta apoyado sobre una

superficie horizontal y mantiene su eje vertical. Sobre su extremo libre se apoya

una masa m y se comprime el muelle una longitud d, en cuyo momento se suelta.

Calcula:

a) La altura maxima que alcanza la masa.

b) ¿A que altura tendra la masa su velocidad maxima?

c) ¿Que valor tiene la velocidad maxima?

(Respuestas : a) ym =kd2

2mg; ymax =

d

2− mg

2k)

22. La funcion energıa potencial de una partıcula de masa 4 kg en un campo de

fuerzas viene descrita por: Ep = 3x2 − x3 para x ≤ 3 y Ep = 0 para x ≥ 3 en


donde Ep se expresa en julios y x en metros. a) ¿Para que valores de x la fuerza

Fx es cero? b)Hagase un esquema de Ep en funcion de x. c) Discute la estabilidad

del equilibrio para los valores de x obtenidos en a). d) Si la energıa total de la

partıcula es 12J, ¿cual es su velocidad en x = 2m?

(Respuestas : a) x = 0; x = 2 m; x ≥ 3 m; d) v = 2 m/s)

Capıtulo 5

Sistemas de partıculas. Momentolineal y su conservacion

5.1. Introduccion

Hasta ahora hemos considerado la cinematica y la dinamica de partıculas indivi-

duales. Nuestro objetivo ahora se centra en sistemas formados por varias partıculas.

Estos sistemas pueden ser continuos o discretos, dependiendo del numero y distancia

relativa entre las partıculas que los componen. Veremos como en los dos casos la dinami-

ca del sistema se puede describir a partir de las leyes de Newton, pero introduciendo

algunos conceptos nuevos como los de centro de masas y momento lineal.

5.2. Centro de masas

5.2.1. Definicion

Se define el centro de masas de un sistema discreto de partıculas como:

~rcm =1

M

n∑i=1

mi~ri,

donde M es la masa total del sistema: M =n∑i=1

mi. De algun modo este punto re-

presenta la posicion en promedio de la masa del sistema. El motivo de su definicion

lo entenderemos a posteriori, cuando demostremos que el centro de masas de un sis-

tema, se comporta en cuanto a su movimiento de traslacion como si en el estuviese

126 CAPITULO 5. SISTEMAS DE PARTICULAS. MOMENTO LINEAL

concentrada toda su masa y sobre el actuasen todas las fuerzas presentes en el sistema.

5.2.1 Ejemplo

Dos masas iguales o diferentes.

m1 m2

m =1 m2

x

m1 m2

m =1 m2

x

xcm xcm

/

m1 = m2

xcm =1

2(x1 + x2)

m1 6= m2

xcm =1

m1 +m2

(x1m1 + x2m2)

5.2.2 Ejemplo

Considerese la siguiente distribucion de masas en un plano:m1 = 1 kg −→ ~r1 = (1, 1) (m)

m2 = 2 kg −→ ~r2 = (−2, 1) (m)

m3 = 3 kg −→ ~r3 = (3,−2) (m)

m1

y (m)

x (m)

m2

m3

c.m.

5.2. CENTRO DE MASAS 127

La posicion del centro de masas viene dada por:

~rcm =1

M

3∑i=1

mi~ri

xcm =1

M

3∑i=1

mixi =1

6(1− 4 + 9) = 1 m

ycm =1

6(1 + 2− 6) = −1

2m

=⇒ ~rcm =

(1,−1

2

)(m)

A menudo un sistema fısico real no esta formado por partıculas identificables indivi-

dualmente, cuyas contribuciones puedan simplemente sumarse. Esto pasa con cualquier

objeto macroscopico, formado por moleculas, pero que observado desde una distancia

adecuada, puede considerarse como un continuo. Se define el vector de posicion del

centro de masas para un sistema continuo como:

~rcm =1

M

∫~r dm,

donde dm representa un elemento infinitesimal de masa localizado en la posicion ~r. Un

modo alternativo de expresar ~rcm es introduciendo la densidad1:

ρ(~r) =dm

dV

x

y

z

dm

r

1En sistemas bidimensionales es habitual definir la densidad superficial de masa como: σ = dm/dS,es decir, la masa por unidad de superficie y en sistemas unidimensionales se define la densidad linealde masa como: λ = dm/d`.


Esta es la definicion general de densidad de masa. Es una funcion local, que, en

general, depende del punto del cuerpo donde se calcule. Unicamente en sistemas uni-

formes u homogeneos , la densidad es independiente de la posicion, ρ 6= ρ(~r) y entonces

ρ = M/V , donde M y V son la masa y volumen total del sistema. La posicion del

centro de masas para un sistema heterogeneo sera:

~rcm =1

M

∫~rρ(~r) dV

Y si es homogeneo:

~rcm =ρ

M

∫~r dV =

1

V

∫~r dV

5.2.3 Ejemplo

Determınese el centro de masas de una varilla homogenea de longitud `.

x

dm

x

dx

l

0

Sea λ la densidad lineal de masa de la varilla, que es constante por ser la varilla

uniforme y dm un elemento diferencial de masa de longitud dx situado a una distancia

x del origen.

λ =m

`=dm

dx−→ dm = λ dx

xcm =1

m

∫xλ dx =

λ

m

∫x dx =

λ

m

x2

2

]`0

=λ

m

`2

2=`

2,

que es el resultado que cabrıa de esperar por ser el sistema homogeneo.

5.2. CENTRO DE MASAS 129

5.2.2. Movimiento del centro de masas

En general, describir el movimiento de un sistema formado por varias partıculas

es muy complicado, ya sea el movimiento de una molecula formada por varios atomos

(sistema discreto) o de un objeto macroscopico extenso y continuo. Veremos como el

estudio del movimiento del centro de masas del objeto facilita conocer el movimiento

del sistema. Supongamos, por ejemplo, un sistema discreto:

~rcm =1

M

n∑i=1

mi~ri −→ M~rcm =n∑i=1

mi~ri,

derivando respecto al tiempo:

Md~rcm

dt=

n∑i=1

mid~ridt

−→ M~vcm =n∑i=1

mi~vi,

y derivando otra vez,

Md~vcm

dt=

n∑i=1

mid~vidt

−→ M~acm =n∑i=1

mi~ai.

Segun la segunda ley de Newton, mi~ai, representa la fuerza neta resultante sobre cada

partıcula, ~fi. Esta fuerza siempre se puede descomponer en una suma de las fuerzas

externas e internas al sistema:

~fi = ~fi,int + ~fi,ext

Las internas se deben a las partıculas que forman el sistema entre sı. Obedecen el

principio de accion y reaccion, por lo que al sumar sobre todas las partıculas, la fuerza

neta debida a interacciones internas se anula:

M~acm =n∑i=1��>

0~fi,int +

n∑i=1

~fi,ext = ~Fext.

Es decir, que el centro de masas se mueve como si en el estuviese concentrada toda

la masa del sistema y sobre el actuasen todas las fuerzas externas presentes. Esta

ecuacion de movimiento permite solo describir la dinamica del centro de masas del

sistema. Veremos mas adelante como podemos estudiar el movimiento general de todo

el sistema. Aunque hemos hecho la deduccion solo para sistemas discretos, en el caso

de sistemas continuos el resultado que se obtiene es analogo.


5.3. Momento lineal

5.3.1. Definicion

� Partıcula unica.

Se define el momento lineal de una unica partıcula como la magnitud vectorial

~p = m~v. En el Sistema Internacional de unidades se mide en kg.m/s y sus dimen-

siones son [p] = MLT−1. Esta magnitud tambien recibe el nombre de cantidad

de movimiento. Veamos como se expresa la segunda ley de Newton en terminos

de ~p para un sistema formado unicamente por una partıcula 2:

d~p

dt= m

d~v

dt= m~a = ~f.

Es decir, que la fuerza neta que actua sobre la partıcula no es mas que la variacion

respecto al tiempo de su momento lineal.

� Sistema de partıculas.

Para un sistema de partıculas se define la cantidad de movimiento como:

~P =n∑i=1

~pi =n∑i=1

mi~vi = M~vcm.

Veamos como se expresa la segunda ley de Newton en este caso:

d~P

dt= M

d~vcm

dt= M~acm = ~Fext.

Es decir, que la variacion del momento lineal total del sistema coincide con la

fuerza externa que actua sobre el. El cambio de la cantidad de movimiento de

un sistema solo esta asociado a las fuerzas externas que actuan sobre el, porque

segun el principio de accion y reaccion la suma de todas las fuerzas internas se

cancela.

2Considerando la masa constante.

5.3. SISTEMAS DEL CENTRO DE MASAS Y DEL LABORATORIO 131

5.3.2. Conservacion del momento lineal

Hemos visto que tanto para una partıcula individual como para un sistema de

partıculas, la cantidad de movimiento solo se puede alterar si existe alguna fuerza

externa neta no nula. Dicho de otro modo,

~Fext = 0 −→ d~P

dt= 0 =⇒ ~P = ~cte.

Si la suma de todas las fuerzas externas es nula, la cantidad de movimiento del sistema

se conserva, es una constante del movimiento. Este principio de conservacion es una de

las leyes mas importantes de la Mecanica. Es mas amplia que la ley de conservacion

de la energıa en el sentido de que la energıa mecanica solo se conserva si todas las

interacciones son de caracter conservativo. En cambio, la conservacion del momento

lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas que actuan sobre el sistema.

Siempre que la accion externa neta sobre el se anula, ~P permanece constante. Se dice

entonces que el sistema esta aislado.

Conviene ademas destacar que ~P se conserva como una magnitud vectorial, es decir,

en modulo, direccion y sentido, lo que a efectos practicos permite plantear sistemas de

varias ecuaciones. Ejemplo tıpico de situaciones que se resuelven aplicando la conserva-

cion de la cantidad de movimiento son las colisiones, que estudiaremos a continuacion.

5.4. Sistemas de referencia del centro de masas y

del laboratorio

En problemas de sistemas de partıculas y, concretamente, de colisiones, es util definir

un sistema de referencia alternativo al habitual, el denominado sistema del laboratorio.

Por este se entiende un sistema de referencia (inercial) externo al sistema en estudio.

Es como si estuviesemos observando un hecho fısico en un laboratorio y tomasemos

como sistema de referencia el propio laboratorio.

Pero si la fuerza neta externa sobre el sistema es nula, la velocidad del centro de

masas permanece inalterada. Entonces, respecto al sistema de referencia original, el

centro de masas se desplaza con velocidad constante y se puede situar sobre el un

sistema de referencia inercial. Este sistema de referencia se denomina de centro de


masas . Con respecto a el, la velocidad del centro de masas es nula y por lo tanto,

tambien lo es el momento lineal total del sistema. Veamos como ejemplo el caso de dos

partıculas.

� Sistema de referencia del laboratorio:

v1v

2

m1

m2

vcm

c.m.

� Sistema de referencia del centro de masas:

~v′1 = ~v1 − ~vcm ; ~v′2 = ~v2 − ~vcm

v'1

c.m.

v'2

m1 m

2

v = 0cm

5.5. Colisiones

Denominaremos colision a una interaccion entre dos o mas objetos que tiene lugar

en un tiempo muy corto y en una region determinada del espacio. Esta interaccion

produce fuerzas entre los objetos que son mucho mas importantes que el resto de las

fuerzas que puedan existir. Esto conlleva que el momento lineal total se conserve, pues

las fuerzas externas en la colision se consideran despreciables frente a las existentes

entre las partıculas del sistema. En un choque dos objetos se acercan con velocidad

constante, interaccionan y se separan con velocidad otra vez constante. No estaremos

interesados en el proceso que tiene lugar en la propia colision, sino en el antes y el

despues, es decir, como obtener el estado final de movimiento de las partıculas a partir

del inicial.

En cualquier tipo de colision, el momento lineal total del sistema permanece cons-

tante:

~P =n∑i=1

~pi = ~cte.

5.5. COLISIONES 133

Esto se debe simplemente a que consideramos despreciable cualquier accion externa

sobre el sistema.

Tipos de colisiones:

? Colisiones elasticas: son aquellas en que ademas de conservarse ~P , se conserva la

energıa cinetica total del sistema.

? Colisiones inelasticas: son aquellas en que solo se conserva el momento lineal

total del sistema.

Colisiones perfectamente inelasticas son aquellas colisiones inelasticas en que

los objetos que interaccionan permanecen unidos despues del choque. Sus veloci-

dades finales son iguales entre sı e igual a la del centro de masas del sistema.

Estamos considerando que justo antes y justo despues de la colision no hay fuerzas

externas sobre las partıculas que colisionan, es decir, no tienen energıa potencial, solo

cinetica. Decir que en una colision elastica se conserva Ec es decir que durante la colision

se conserva la energıa mecanica total del sistema, o sea, que la fuerza de interaccion

justo en la colision es conservativa. Si no se conserva Ec es porque parte de ella se ha

convertido en trabajo no conservativo. En general, las colisiones reales son inelasticas.

La variacion de energıa cinetica se debe a la existencia de fuerzas conservativas que,

por ejemplo, varıan la forma del objeto. De este modo una parte de la energıa de la

colision se invierte en deformar el propio objeto y de ahı que la energıa cinetica quede

alterada en el choque.

5.5.1. Colisiones elasticas en una dimension

Consideremos dos partıculas que chocan segun la siguiente notacion en el sistema

de referencia del laboratorio:

vi1 v i2

m1 m

2

vf 1 vf 2

colisión

x

m1 m

2


Por el principio de conservacion del momento lineal (al ser un sistema en una

dimension se expresa mediante una unica ecuacion):

Pi = Pf −→ m1vi1 +m2vi2 = m1vf1 +m2vf2. (5.1)

Por ser el choque elastico, la energıa cinetica total del sistema tambien se conserva,

Eci = Ecf −→ 1

2m1v

2i1 +

1

2m2v

2i2 =

1

2m1v

2f1 +

1

2m2v

2f2. (5.2)

Sacando factor comun a las masas en las dos ecuaciones:

m1(vi1 − vf1) = m2(vi2 − vf2)1

2m1(v2

i1 − v2f1) =

1

2m2(v2

i2 − v2f2),

y dividiendo ambas ecuaciones:

vi1 + vf1 = vi2 + vf2 −→ vi1 − vi2 = −(vf1 − vf2) −→ vf2 − vf1 = −(vi2 − vi1)

Es decir, que la velocidad relativa (en modulo) de las partıculas se conserva en el

choque. Esta es una caracterıstica esencial de las colisiones elasticas en una dimension.

Si consideramos como datos de partida del problema las masas y las velocidades

iniciales, las velocidades finales se pueden obtener considerando (5.1) y (5.2) como un

sistema de dos ecuaciones con dos incognitas. Se puede resolver para obtener:

vf1 =

(m1 −m2

m1 +m2

)vi1 +

(2m2

m1 +m2

)vi2

vf2 =

(2m1

m1 +m2

)vi1 +

(m2 −m1

m1 +m2

)vi2,

Si consideramos como caso particular que la partıcula 2 esta en reposo (o fijamos sobre

ella el sistema de referencia) se verifica que:

vf1 =

(m1 −m2

m1 +m2

)vi1

vf2 =

(2m1

m1 +m2

)vi1,

5.5. COLISIONES 135

5.5.1 Ejemplo

m1 = m2

Si el objeto 2 esta inicialmente en reposo:

vf1 = 0; vf2 = vi1.

Es decir, que si dos masas iguales chocan, estando una inicialmente en reposo, despues

de la colision se mueve esta ultima con la velocidad de la incidente y esta queda en

reposo.

Si el objeto 2 no esta inicialmente en reposo:

vf1 = vi2; vf2 = vi1.

Las masas intercambian sus velocidades en la colision.

5.5.2 Ejemplo

m1 >> m2 y el objeto 2 esta inicialmente en reposo

vf1 ' vi1; vf2 ' 2vi1.

La velocidad del objeto incidente no varıa y la del menos masico se hace el doble que

la de aquel.

5.5.3 Ejemplo

m2 >> m1 y el objeto 2 esta inicialmente en reposo

vf1 ' −vi1; vf2 ' 0.

El objeto pequeno rebota hacia atras y el estado de movimiento del grande permanece

inalterado.


5.5.2. Colisiones inelasticas en una dimension

En general, un choque inelastico es dıficil de estudiar porque, como la energıa cineti-

ca no se conserva, solo existe una ecuacion (conservacion escalar de ~P ) para obtener

las dos velocidades finales. Por analogıa con el caso elastico se introduce el denominado

coeficiente de restitucion, e, que es la medida de la elasticidad de una colision. Se define

de forma que:

vf2 − vf1 = −e(vi2 − vi1)

{e = 1 −→ colision elastica

e = 0 −→ vf2 = vf1 −→ colision perfectamente inelastica

En una colision perfectamente inelastica las dos masas permanecen unidas tras el cho-

que. Es el caso, por ejemplo, de dos bolas de plastilina:

vi 1 vi 2

m1

m2

colisión

m + m1 2

v =f 1 v ≡ vf 2 f

Como se conserva la cantidad de movimiento:

m1vi1 +m2vi2 = (m1 +m2)vf −→ vf =m1vi1 +m2vi2m1 +m2

.

Un ejemplo de choque inelastico es el denominado pendulo balıstico, que es un disposi-

tivo valido para medir la velocidad de un proyectil que se mueve a gran velocidad.

5.5.4 Ejemplo

Supongamos un proyectil disparado con velocidad desconocida, vi1 sobre un bloque de

madera que se puede elevar tal y como muestra la figura:

5.5. COLISIONES 137

m1

vi1

m2

v =0i2

hcolisión

Energıa cinetica inmediatamente despues de la colision: Ec = 12(m1 +m2)v2

f .

Particularizando la ecuacion para vf en el caso vi2 = 0:

vf =m1

m1 +m2

vi1 −→ Ec =1

2

m21

m1 +m2

v2i1.

Despues del choque, la energıa cinetica se transformara en energıa potencial que eleva

el conjunto (no hay fuerzas no conservativas y la energıa mecanica se conserva):

1

2

m21

m1 +m2

v2i1 = (m1 +m2)gh −→ vi1 =

m1 +m2

m1

√2gh.

Mediante esta ecuacion podemos entonces determinar la velocidad del proyectil inci-

dente sin mas que medir la altura que se eleva el conjunto.

5.5.3. Colisiones en tres dimensiones

Los choques en dos o tres dimensiones son de mas difıcil tratamiento que los unidi-

mensionales. Para su tratamiento es basico considerar el caracter vectorial de ~P y su

conservacion. Supongamos el caso mas sencillo de una colision en un plano y de tipo

elastico. En este caso tendremos dos ecuaciones de conservacion del momento y otra de

conservacion de la energıa. Y, sin embargo, habra cuatro incognitas, dos por cada una

de las velocidades finales. Es decir, que el problema no se puede resolver completamente

si solo conocemos las velocidades iniciales. Hace falta obtener informacion adicional.

Consideremos como ejemplo un choque en un plano de una partıcula m1 de veloci-

dad inicial ~vi1 con otra m2 inicialmente en reposo.


vi1

v = 0i2

m1

m2

vf 1

vf 2

b

y

xm

1

m2

θ1

θ2

θ1

θ2

colisión

Conservacion de la cantidad de movimiento: ~Pi = ~Pf .

eje x : m1vi1 = m1vf1 cos θ1 +m2vf2 cos θ2

eje y : 0 = m1vf1 sen θ1 −m2vf2 sen θ2

Conservacion de la energıa cinetica:

1

2m1v

2i1 =

1

2m1v

2f1 +

1

2m2v

2f2.

datos −→ m1,m2, vi1

ecuaciones −→ 3

incognitas −→ vf1, vf2, θ1, θ2

Generalmente lo que se hace a nivel experimental es determinar la direccion de salida al

menos de una partıcula, con lo que las velocidades finales se pueden calcular resolviendo

el sistema correspondiente. Los estudios de este tipo son fundamentales en la Fısica

actual, pues permiten obtener informacion sobre las interacciones entre partıculas. Esto

es lo que se hace, por ejemplo, en los aceleradores de partıculas .

Aunque hemos visto como ejemplo el caso bidimensional, el tridimensional es analo-

go tanto en su planteamiento como en la dificultad de su resolucion. Simplemente

aparece un numero mayor de datos, ecuaciones e incognitas.

5.6. IMPULSO Y FUERZA MEDIA 139

5.6. Impulso y fuerza media

En nuestro estudio sobre los choques no hemos comentado nada acerca de la in-

teraccion entre las partıculas en el momento de la colision. Solo hemos supuesto que

esta fuerza de interaccion es muy intensa en comparacion con otras posibles y que

su duracion es muy corta. Si representamos esta interaccion en funcion del tiempo

obtendrıamos una grafica ası:

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

tt i t f

Antes de ti y despues de tf no existe interaccion y ∆t = tf − ti es el tiempo de

contacto, que puede ser del orden de 10−3 s para colisiones de objetos macroscopicos.

Se define el impulso como:

I =

∫ tf

ti

f(t) dt

Geometricamente representa el area bajo la curva f = f(t). Como segun la segunda

ley de Newton ~f = d~p/dt se tiene que:

I =

∫ tf

ti

f(t) dt =

∫ tf

ti

dp

dtdt =

∫ tf

ti

dp = pf − pi = ∆p

Es decir, que el impulso representa la variacion del momento lineal de un objeto durante

el choque. Evidentemente, el momento lineal de cada objeto en la interaccion varıa

aunque el total se mantenga constante porque despreciamos las fuerzas externas.

Se define el promedio temporal o fuerza media de una fuerza, fm como la fuerza

constante que produce el mismo impulso en el mismo intervalo de tiempo.


0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

tt i t f

fm

A1

A2

A1 = A2 → fm∆t = A1 = I −→ fm =I

∆t

Este concepto es importante a la hora de estimar el orden de magnitud de la interaccion.

5.6.1 Ejemplo

Estımese la fuerza media ejercida por el cinturon de seguridad de un automovil sobre

un conductor de 80 kg cuando choca contra un obstaculo fijo a una velocidad de 90

km/h.

El coche comienza a decelerar cuando su parachoques toca el obstaculo. Si se deforma

1 m, este sera el espacio recorrido por el conductor hasta que este parado. Si suponemos

que la velocidad media durante la colision es la mitad de la velocidad inicial:

v =90

2km/h = 12,5 m/s

∆t =s

v=

1

12,5= 0,08 s

Aceleracion media:

am =∆v

∆t=

25

0,08= 312 m/s2

Esta aceleracion es aproximadamente 32 veces g, y la fuerza media es fm = mam =

25000 N. Esta es la fuerza que sujeta al conductor durante la colision. Si el conductor

no llevase cinturon de seguridad, la distancia de frenado serıa mucho menor, el tiempo

tambien y la aceleracion y la fuerza media serıan mucho mayores.

5.7. PROBLEMAS 141

5.7. Problemas

1. Determina el centro de masas de un alambre semicircular uniforme en funcion de

su radio.

(Respuestas : xcm = 0 ; ycm = 2R/π)

2. Halla el centro de masas del sistema formado por las dos barras uniformes de la

figura.

1 5

3

y (m)

x (m)

m =1 kg1

m =2 kg2

0

(Respuestas : ~rcm = (2.5, 0.5) m)

3. Halla el centro de masas de un objeto uniforme en forma de triangulo rectangulo.

Considera como datos su masa (M), y la longitud de sus catetos (a y b).

(Respuestas : ~rcm = (a/3, b/3) (orientando el cateto a segun el eje x y el b segun

el eje y)

4. Un proyectil de 10 g de masa se mueve horizontalmente con una velocidad de 400

m/s hasta empotrarse en un bloque de madera de 390 g situado sobre una mesa

horizontal pulida.

a) Calcula la velocidad final del sistema.

b) Calcula la energıa mecanica inicial y final del sistema.

(Respuestas : a) vf = 10 m/s; b) Ei = 800 J; Ef = 20 J)


5. Una caja de 2 kg se mueve hacia la derecha con una velocidad de 5 m/s y choca

con otra de 3 kg que se mueve en la misma direccion a 2 m/s. Si despues del

choque la caja de 3 kg se mueve a 4,2 m/s, determina:

a) la velocidad de la caja de 2 kg despues del choque.

b) el coeficiente de restitucion de la colision.

(Respuestas : a) vf1 = 1,7 m/s; b) e = 0,83)

6. Una bola de billar inicialmente en reposo debe tener un angulo de salida de 35o

al ser golpeada por otra de igual masa. ¿Cual es el angulo de salida de la bola

incidente?

(Respuestas : θ = 55o)

7. Una esfera A se mueve con una velocidad viA, choca con otra esfera B, inicial-

mente en reposo y esta, al salir despedida, choca a su vez con otra esfera, C,

tambien en reposo antes. Calcula la velocidad con que sale despedida la bola C.

Todos los choques se suponen frontales y elasticos y las relaciones entre las masas

son MA : MB : MC = 3 : 6 : 2.

(Respuestas : vfC = viA)

8. Sobre un saco de arena de 4 kg de masa colgado de un hilo se dispara un fusil cuya

bala tiene una masa de 40 g. La bala atraviesa el saco y recorre una distancia de

20 m antes de chocar contra el suelo, que se encuentra 1,5 m debajo del saco. Si

por el impacto de la bala el saco asciende 30 cm, calcula la velocidad de la bala

en el momento del impacto.

(Respuestas : vi = 278,6 m/s)

9. Un cuerpo de masa 5 kg se mueve sobre una mesa lisa con velocidad de 10

m/s y choca con otro de masa 10 kg que se desplaza en direccion perpendicular

al anterior con velocidad 5 m/s. Ambos bloques, despues del choque, quedan

unidos y se mueven juntos. Calcula la velocidad de ambos despues del choque,

su direccion y la perdida de energıa cinetica.

5.7. PROBLEMAS 143

(Respuestas : vf = 4,7 m/s; θ = 45o; ∆Ec = −208,3 J)

10. Un observador mide la velocidad de dos partıculas de masas m1 y m2 y obtiene

respectivamente los valores ~v1 y ~v2. Determina la velocidad del centro de masas

relativo a dicho observador y la velocidad de cada partıcula relativa al centro de

masas.

(Respuestas : ~vcm =m1~v1 +m2~v2

m1 +m2

; ~v′1 =m2

m1 +m2

~v12; ~v′2 = − m1

m1 +m2

~v12 )

11. Una partıcula α choca contra un nucleo de O2 inicialmente en reposo. La partıcula

se desvıa en una direccion que forma un angulo de 72o con la direccion del mo-

vimiento inicial y el nucleo de O2 se desvıa formando un angulo de 41o hacia el

lado opuesto de la partıcula α. ¿Cual es la razon entre las velocidades finales de

las dos partıculas? ¿Y entre las dos velocidades de la partıula α? (La masa del

nucleo de O2 es cuatro veces mayor que la de la partıcula α.)

(Respuestas :vfαvfo

= 2,76;vfαviα

= 0,71)

12. Un individuo de 80 kg se encuentra en el extremo de una tabla de 20 kg de masa

y 10 m de longitud que flota en reposo sobre la superficie de agua de un estanque.

Si el hombre se desplaza al otro extremo, a) ¿que distancia recorre la tabla? b)

¿Que distancia recorrerıa la tabla si el hombre se encontrara inicialmente en el

centro de la misma? (Considera despreciable el rozamiento con el agua).

(Respuestas : a) x = 8 m; b) x = 4 m)

13. Se dispara un proyectil con una velocidad de 200 y un angulo de elevacion de

π/3 (rad). Cuando se encuentra en el punto mas alto de su trayectoria explota

dividiendose en dos fragmentos iguales, uno de los cuales cae verticalmente. ¿A

que distancia del punto de lanzamiento caera el segundo fragmento?

(Respuestas : x2 = 5160 m)

14. Una bala de masa m se introduce en un bloque de madera de masa M que

esta unido a un resorte espiral de constante de recuperacion k. Por el impacto el

resorte se comprime una longitud x. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento

entre el bloque y el suelo es µ, calcula la velocidad de la bala antes del choque.


(Respuestas : v2i =

2(m+M)x

m2

(kx

2+ µ(m+M)g

))

15. Demuestra que cuando un cuerpo colisiona oblicuamente con otro de masa mucho

mayor e inicialmente en reposo, si el choque es perfectamente elastico, el angulo

de incidencia coincide con el de reflexion.

16. Desde la azotea de un edificio de 64 m de altura dejamos caer una pelota. Si el

coeficiente de restitucion de los botes de la pelota en el suelo es e = 1/2, averigua

la altura que asciende sobre el suelo despues de botar tres veces.

(Respuestas : h3 = 1 m)

17. Estima la fuerza media ejercida por el cinturon de seguridad de un automovil

sobre un conductor de 80 kg cuando choca contra un obstaculo fijo a una velocidad

de 90 km/h.

(Respuestas : f = 25 kN)

18. Un soldado dispara un rifle con una masa mr = 3 kg. Si la bala pesa mb = 5 g

y la velocidad con la que sale del rifle es vb = 300 m/s, ¿cual es la velocidad de

retroceso del rifle?

(Respuestas : v3 = 0,02 m/s)

19. Siguiendo el esquema de la figura, se suelta un pendulo de longitud l = 120 cm y

de masa m = 100 g desde una posicion inicial que forma un angulo θi = 37o con

la vertical. Despues de la colision con la masa M = 300 g, el pendulo rebota hasta

una posicion θf = 20o y la masa M se desliza por la superficie hasta detenerse.

Si el coeficiente de friccion de la superficie con la masa M vale µc = 0,2, calcula

la distancia que recorre M hasta detenerse.

(Respuestas : d = 0,32 m)

5.7. PROBLEMAS 145

l

m

M

20. Un juguete consiste en tres bolas de acero de masas M , µ y m suspendidas en

ese orden de modo que sus centros forman una recta horizontal. La bola M se

separa y eleva en el mismo plano hasta que su centro queda elevado una altura

h. Si M 6= m y todas las colisiones son elasticas, ¿cuanto debe valer µ para que

la bola m alcance la maxima altura posible?

(Respuestas : µ = (mM)1/2)

Capıtulo 6

Dinamica de la rotacion

6.1. Cuerpo rıgido, traslacion y rotacion

En los temas anteriores hemos estudiado unicamente movimientos de traslacion

para partıculas y sistemas de partıculas. Hemos definido el centro de masas como

aquel punto que se comporta como si todas las fuerzas que actuan sobre el sistema se

concentraran en el. El movimiento de un cuerpo extenso se puede describir en terminos

del movimiento traslacional de su centro de masas y del movimiento de los puntos del

sistema respecto al centro de masas (por ejemplo, respecto a un eje que pasa por el).

Para completar, por lo tanto, el estudio del movimiento de un cuerpo extenso nos falta

estudiar esta ultima parte. Veremos que el estudio de este tipo de movimiento rotacional

es analogo al traslacional, pero introduciendo nuevas magnitudes fısicas que siempre

tienen su equivalente lineal. Por ejemplo, si la ecuacion de movimiento del centro de

masas de un cuerpo relaciona aceleracion con fuerzas externas, la de la rotacion, como

veremos, relaciona otro tipo de aceleracion (angular) con el momento de las fuerzas

aplicadas.

La principal hipotesis simplificadora en el estudio de movimientos rotacionales suele

ser la consideracion del objeto a estudiar como un cuerpo rıgido. Este es aquel sistema

en que la distancia entre dos puntos cualquiera no varıa con el tiempo. Es un sistema

que no se deforma. Consideraremos que un cuerpo rıgido describe un movimiento de

rotacion cuando cada una de sus partıculas (salvo las que estan sobre el eje) realiza un

movimiento circular.

148 CAPITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

El movimiento mas general de un cuerpo rıgido tiene lugar cuando el eje de rotacion

cambia de direccion al mismo tiempo que se traslada. Esto sucede, por ejemplo, en

un pase de futbol con efecto: el eje no solo cambia de posicion en el tiempo, sino

que tambien varıa su orientacion. En este tema restringiremos nuestra discusion a la

rotacion de un cuerpo rıgido respecto a un eje que no cambia de orientacion.

6.2. Energıa cinetica rotacional. Momento de iner-

cia

Consideremos un solido rıgido rotando con velocidad angular ω, tal y como muestra

la figura.

i

z

x

y

ω

O

ri

vi

Su energıa cinetica se puede expresar como la suma de las energıas cineticas de

todos los puntos que lo componen:

Ec =n∑i

1

2miv

2i =

1

2

n∑i

mir2iω

2.

Como ω es igual para todos los puntos:

Ec =1

2

(∑i

mir2i

)ω2.

6.3. CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA 149

Si denominamos I a la magnitud∑i

mir2i , obtenemos una ecuacion para la energıa

cinetica de la rotacion similar a la de la traslacion:

Ec =1

2Iω2.

La magnitud I se denomina momento de inercia del sistema y como iremos compro-

bando en este tema constituye de algun modo, la magnitud equivalente en dinamica

de la rotacion a la masa en dinamica de la traslacion. Sus dimensiones y sus unidades

en el Sistema Internacional son:

[I] = ML2

S.I. → kg m2

Conviene resaltar que en esta definicion, las distancias que aparecen son las distan-

cias de cada masa del sistema al eje de giro (¡no al origen de coordenadas!), luego el

momento de inercia depende del eje de giro elegido. No es una propiedad inherente al

sistema, sino que tambien depende de cual es el eje de giro.

6.3. Calculo de momentos de inercia

6.3.1. Sistemas discretos

6.3.1 Ejemplo

Considerese la molecula de O2. Si la distancia media entre sus atomos es de 1,21 Ay

la masa de cada atomo es 2,77 × 10−26 kg, calculese su momento de inercia alrededor

de un eje que pasa por el centro de masas (considerando que los atomos son masas

puntuales).

d

O O

z

m m


I =2∑i=1

mir2i = 2m

(d

2

)2

= 1,95× 10−46 kg m2.

6.3.2 Ejemplo

Calculese el momento de inercia de la siguiente distribucion de 8 masas identicas res-

pecto a los dos ejes que se muestran en la figura:

z

m

a

z

r

a

a

z

z

a) Un eje que pasa por el centro de masas de la distribucion.

b) Un eje que pasa por dos masas en el mismo lado.


a) En este caso la distancia de todas las masas al eje es a√

2/2.

I =8∑i=1

mir2i = 8m

(a

√2

2

)2

= 4ma2.

b) En este caso hay varios tipos de distancias al eje.

I =8∑i=1

mir2i = 0 + 0 + 4ma2 + 2m(

√2a)2 = 4ma2 + 4ma2 = 8ma2.

Luego I depende del eje considerado.

6.3.2. Sistemas continuos

En el caso de sistemas continuos el momento de inercia se define del siguiente modo:

I = lım∆m→0

∑r2dm =

∫r2dm.

Utilizando la definicion de densidad de masa se pueden presentar tres situaciones:

a) Sistemas tridimensionales (esferas, cilindros, conos, etc.):

ρ =dm

dV−→ I =

∫V

ρ(r)r2dV.

b) Sistemas bidimensionales (discos y superficies planas):

σ =dm

dS−→ I =

∫S

σ(r)r2dS.

c) Sistemas unidimensionales (varillas e hilos rectilıneos):

λ =dm

dx−→ I =

∫l

λ(r)r2dx.

En el caso de sistemas homogeneos, las densidades son constantes y salen fuera de la

integral correspondiente.


6.3.3 Ejemplo

Calculese el momento de inercia de un anillo de masa M y radio R respecto a un eje

perpendicular al plano que lo contiene y que pasa por su centro.

z

x

dm

R

I =

∫r2dm = R2

∫dm = MR2.

En este caso, el momento de inercia es independiente de que el anillo sea homogeneo

o no (cosa que no ocurre, por ejemplo, cuando se calcula su centro de masas).

6.3.4 Ejemplo

Momento de inercia de un disco uniforme de masa M y radio R respecto a un eje

perpendicular al plano que lo contiene y pasa por su centro.

y

z

x

Rr

dm


Tomamos como elemento de masa dm un anillo situado entre r y r + dr. Su area

sera ds = 2πrdr.

dm = σds =M

�πR22�πrdr

I =

∫r2dm = 2

M

R2

∫ R

0

r3dr = 2MR4

4R2=

1

2MR2.

Este momento de inercia se puede aplicar a calcular el de un cilindro uniforme respecto

a su eje de simetrıa, sin mas que considerarlo como una superposicion de discos de

radios identicos

I =

∫dI =

∫1

2R2dm =

1

2MR2.

dI

R

dm

6.3.5 Ejemplo

Momento de inercia de una esfera uniforme respecto a un eje que pasa por su centro

en funcion de su masa M y de su radio R.


dmy

R

y

z

x

r

La esfera se puede considerar como una superposicion de discos de radio variable

y espesor infinitesimal. El radio de cada uno vale: r2 = R2 − y2; y su volumen: dV =

πr2dx = π(R2−y2)dx. Y, por lo tanto, la masa infinitesimal de cada uno, dm = ρdV =

MVπ(R2 − y2)dy.

Momento de inercia de cada disco elemental:

dI =1

2r2dm =

1

2(R2 − y2)

M

Vπ(R2 − y2)dy =

πM

2V(R2 − y2)2dy

I = 2

∫ R

0

πM

2V(R2 − y2)2dy = π

M

V

∫ R

0

(R4 + y4 − 2R2y2)dy

= πM

V

(R5 +

R5

5− 2R2R

3

3

)= π

M

VR5

(1 +

1

5− 2

3

)=

8

15πM

VR5

Como V = (4/3)πR3:

I =8

15�π

M43πR3

R5 =2

5MR2

6.3.6 Ejemplo

Momento de inercia de una placa rectangular homogenea respecto a un eje perpendi-

cular que pasa por su centro de masas.


a

b

z

y

x

dm

I =

∫r2 dm =

∫r2σds.

{r2 = x2 + y2

ds = dx dy

I = σ

∫(x2 + y2) dxdy = σ

(∫x2 dxdy +

∫y2 dxdy

)=

= σ

(∫ b/2

−b/2dy

∫ a/2

−a/2x2 dx+

∫ a/2

−a/2dx

∫ b/2

−b/2y2 dy

)= σ

(bx3

3

]a/2−a/2

+ ay3

3

]b/2−b/2

)=

= σ

(b

32a3

4+a

32b3

4

)=M

ab

(ba3

12+ab3

12

)=M

12(a2 + b2).

La figura adjunta resume algunos otros momentos de inercia habituales (para ob-

jetos rıgidos y uniformes).


I=MR2 I= MR

22_3

I= M (R +R )2

2_1

1

2

2

I= ML2_

3

1I= ML2_

121

I= M (a +b )2

12_1 2

Aro cilíndrico Cilindro hueco Cascarón esférico

Placa rectangular Varilla

R

R 1

R 2R

a

b

L

L

6.3.3. Teorema de los ejes paralelos (Steiner)

Como hemos visto, el momento de inercia de un cuerpo no es unico, sino que de-

pende del eje respecto al que se calcula. Esto hace muchas veces su calculo complicado.

Se ha de recurrir entonces a expresiones generales que relacionen el momento de iner-

cia respecto a dos ejes diferentes. Uno de los teoremas al respecto mas practicos es el

denominado de Steiner o de los ejes paralelos . Relaciona el momento de inercia res-

pecto a un eje que pasa por el centro de masas con el relativo a un eje paralelo. La


demostracion es sencilla a partir de la figura adjunta.

z

y

x

dm

c.m.

x

y

x cm

y cm

d

y'

r r'

O

x'

~r : (x, y) −→ coordenadas de dm respecto a O~r′ : (x′, y′) −→ coordenadas de dm respecto al c.m.~d : (xcm, ycm) −→ coordenadas del c.m. respecto a O

Vectorialmente, ~r = ~d + ~r′ y en coordenadas, (x, y) = (xcm, ycm) + (x′, y′). Respecto a

z:

I =

∫r2 dm =

∫(x2 + y2) dm =

∫ [(x′ + xcm)2 + (y′ + ycm)2

]dm =

=

∫(x′2 + y′2) dm︸︷︷︸

=Icm

+ 2xcm

∫x′ dm︸︷︷︸

=Mx′cm=0

+ 2ycm

∫y′ dm︸︷︷︸

=My′cm=0

+

∫(x2

cm + y2cm) dm︸︷︷︸

=(x2cm+y2

cm)∫dm=d2M

donde d es la distancia entre los ejes. En definitiva:

I = Icm + d2M.

6.3.7 Ejemplo

Como ejercicio es facil obtener la relacion entre el momento de inercia de una varilla

respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masas, Icm = (1/12)ML2, y

a un eje perpendicular que pasar por uno de sus extremos, Icm = (1/3)ML2.


6.3.4. Teorema de los ejes perpendiculares

Este teorema solo es valido para figuras planas. Relaciona los momentos de inercia

respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en una figura plana con el momento de

inercia respecto a un tercer eje perpendicular a los dos anteriores.

z

y

x

x

y

dm

r

Iz =

∫r2 dm =

∫(x2 + y2) dm =

∫x2 dm+

∫y2 dm =⇒ Iz = Ix + Iy.

6.3.8 Ejemplo

Calcularemos el momento de inercia de un anillo respecto a un eje que contiene a uno

de sus diametros.

Consideremos que el anillo esta situado en el plano XY y el origen de coordenadas

en el centro del anillo. Por lo tanto el eje Z es perpendicular al plano del anillo y pasa

por su centro. Ya hemos obtenido anteriormente que Iz = mr2.

Por simetrıa, Iy = Ix −→ Ix = Ix + Iy = 2Ix −→ Ix =1

2mr2 = Iy.

6.4. Momento angular

El analogo rotacional del momento lineal o cantidad de movimiento de una partıcula

es una nueva magnitud fısica denominada momento angular . Se define el momento

6.4. MOMENTO ANGULAR 159

angular de una partıcula en un instante determinado y respecto a un cierto origen de

coordenadas O como:

~= ~r × ~p,

donde ~r es el vector de posicion de la partıcula respecto a ese origen y ~p es su momento

lineal en ese instante. Con esta definicion vemos que ~ es una magnitud vectorial,

perpendicular tanto a ~r como a ~p.

Dimensiones: [`] = LMLT−1 = ML2T−1; Unidades S.I.: kg.m2/s.

Conviene recalcar que la definicion de esta nueva magnitud depende del origen de

coordenadas elegido, por lo que siempre que se hable de momento angular debe quedar

claro a que sistema de coordenadas nos referimos.

6.4.1 Ejemplo

Partıcula describiendo una circunferencia.

z

O

ω

l

r

p

~= `~k −→ ` = rmv sen(π

2

)= rmv = r2mω.

Si ω es constante, ` tambien lo es.


6.4.2 Ejemplo

Partıcula moviendose en lınea recta.

y

z

x

r

l

r

p

θ

O

~= − ~j −→ ` = rmv sen θ = mvr⊥.

Unicamente si el origen esta en la trayectoria de la partıcula, ~ valdra cero. Si la

velocidad es constante, ~ sera constante, pero si la partıcula esta acelerada, ~ varıa en

el tiempo.

6.5. Segunda Ley de Newton para la rotacion

6.5.1. Partıcula unica

En el caso del movimiento de traslacion, comprobamos como la derivada temporal

del momento lineal esta relacionada con las fuerzas exteriores que actuan sobre cierta

partıcula. De hecho, esta es una expresion alternativa de la ecuacion newtoniana del

movimiento de la partıcula. Veremos a continuacion que informacion esta contenida en

la derivada del momento angular. Consideremos una unica partıcula:

d~

dt=d(~r × ~p)

dt=��>

0d~r

dt× ~p+ ~r × d~p

dt= ~r × d~p

dt

d~p

dt= ~f =⇒ d~

dt= ~r × ~f = ~τ .

6.5. SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA ROTACION 161

Esta ultima ecuacion constituye la segunda ley de Newton para la rotacion. La variacion

del momento angular con el tiempo es el momento neto de las fuerzas que actuan sobre

la partıcula. Veamos intuitivamente que significa esto con un ejemplo.

6.5.1 Ejemplo

Consideremos una puerta vista desde arriba y que pretendemos abrirla ejerciendo una

fuerza sobre ella.

La experiencia nos dice que la aceleracion con que conseguimos abrirla no solo

depende de la magnitud de la fuerza aplicada, sino tambien de su direccion y punto de

aplicacion. La fuerza ~f3 no consigue abrirla, la ~f2 sı, pero ’despacio’. Y la ~f1 consigue

abrirla con mas facilidad. Repitiendo la experiencia sistematicamente se comprueba que

la aceleracion angular con que se abre la puerta es proporcional, no solo a la magnitud

de la fuerza aplicada, sino tambien a la distancia de la lınea de accion de la fuerza al eje

de giro. Esta distancia se denomina brazo de palanca. Entonces α ∝ fr⊥ = fr sen θ.

f 1

f 2

f 3

f

r

r

θf

Se define el modulo del momento asociado a la fuerza ~f como: τ = fr sen θ. Y, por

lo tanto, experimentalmente se comprueba que,

α ∝ τ −→ segunda ley de Newton para la rotacion


La relacion matematica rigurosa entre ambas magnitudes la obtenemos a partir del

concepto de momento angular.

Como en la obtencion de esta segunda ley para la rotacion, hemos aplicado la

correspondiente a la traslacion, que solo es valida en sistemas de referencia inerciales,

el resultado obtenido es tambien unicamente valido en estos sistemas de referencia. Esta

ley constituye la analogıa rotacional de la segunda ley de Newton que ya conocıamos

para la traslacion.

6.5.2. Sistemas de partıculas

Se define el momento angular total de un sistema de partıculas como la suma de

los momentos individuales de cada una:

~L =n∑i=1

~i

d~L

dt=

n∑i=1

d~idt

=n∑i=1

~ri × ~fi = ~τt,

donde ~τt representa el momento de fuerzas total sobre el sistema, que se puede des-

componer en un momento asociado a fuerzas internas al sistema y otro a externas.

~τt = ~τint + ~τext.

Es facil darse cuenta de que ~τint = 0. Por ejemplo, para un sistema de dos partıculas:

r

fij

rj

ri

fji

θi

θj

i

j

O

6.5. SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA ROTACION 163

−~fij = ~fji −→ fij = fji

Si el eje perpendicular al papel es el z:

~τint = rifij sen θi ~k − rjfij sen θj ~k = fij(ri sen θi − rj sen θj)~k = fij(r⊥ − r⊥)~k = 0

La demostracion para un numero arbitrario de partıculas sera analoga. Por lo tanto,

queda demostrado que:

d~L

dt= ~τext

Esta es la expresion de la segunda ley de Newton para la rotacion aplicada a un sistema

de partıculas.

No lo demostraremos aquı, pero esta ecuacion no solo es valida en cualquier sistema

de referencia inercial, sino que tambien lo es siempre respecto al sistema de referencia

de centro de masas del sistema, aunque este acelerado. Es por esto que siempre se puede

descomponer el movimiento de un cuerpo extenso en traslacion del centro de masas y

rotacion respecto a el. En el primer caso se elige un sistema de referencia inercial y

se aplica la segunda ley de Newton respecto a el. Para la rotacion se considera como

sistema de referencia el centro de masas y se aplica la segunda ley de Newton para la

rotacion respecto a el.

Trataremos ahora de expresar la segunda ley de Newton para la rotacion de modo

analogo a la ecuacion, ~f = m~a. Consideremos un solido rıgido rotando alrededor del

eje z y tomemos como origen un punto cualquiera del eje.


i

z

x

y

ω

O

R i ri

pi

z

plano xy

i

ri

R i

liθi

θi

liz

ì = ripi sen(π

2

)= rimivi = riRimiω

Componente z de li:

ìz = riRimiω sen θi y como: ri sen θi = Ri =⇒ ìz = R2imiω.

Sumando para todas las partıculas que forman el objeto:

Lz =n∑i=1

ìz =

(n∑i=1

miR2i

)ω = Iω.

Luego para todo solido rıgido, la componente sobre el eje de rotacion del momento

angular verifica una ecuacion similar a p = mv. Aunque no lo demostraremos, se puede

comprobar que para cualquier solido rıgido con simetrıa axial :

~L = I ~ω,

es decir, que ~L esta dirigido en la direccion de ~ω. Pero esto no es cierto para cualquier

solido rıgido.

En resumen,

+ Para un solido rıgido (I = cte.) cualquiera:

dLzdt

= Idω

dt= Iα −→ τz = Iα

donde τz es la componente z de ~τext.

6.6. CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR Y SUS APLICACIONES 165

+ Si ademas de ser rıgido tiene simetrıa de revolucion:

d~L

dt= I

d~ω

dt= I~α −→ ~τext = I~α

Estas expresiones constituyen la analogıa rotacional ded~p

dt= m~a para la segunda ley

de Newton en movimientos lineales. De otro modo:d~L

dt= ~τext = I~α.

6.6. Conservacion del momento angular y sus apli-

caciones

Hasta aquı hemos introducido dos principios de conservacion basicos en Mecanica

Clasica, el de conservacion de la energıa y el de conservacion del momento lineal de

un sistema. Ademas de su gran importancia teorica, ambos permiten resolver gran

cantidad de problemas practicos. Presentaremos ahora otro principio de conservacion

de gran trascendencia y lo aplicaremos a la resolucion de ciertos problemas interesantes.

Cuando el momento de la fuerzas externas que actuan sobre un sistema se anula,

se verifica que:

~τext = 0 =⇒ ~L = ~cte. =⇒ ~Li = ~Lf .

Esto quiere decir que para un sistema en el que ~τext = 0, el momento angular total

es constante. Esto no significa que el momento angular de cada una de las partıculas

que forman el sistema permanezca constante, sino solamente que la suma de todos

ellos sı que lo es. Ademas, este principio de conservacion solo es cierto punto a punto.

Unicamente si ~τext respecto a un cierto punto es nulo, entonces el momento angular

total, ~L, respecto a ese punto es invariante. Respecto a otro punto cualquiera esto no

tiene porque verificarse.

i) Regresemos a la ecuacion Lz = Iω, valida para sistemas de geometrıa arbitraria.

Si el sistema es un solido rıgido, I = cte., pero existen ciertos problemas donde el

momento de inercia del sistema varıa. En este casodI

dt6= 0 y para conservarse el

momento angular (si no existen momentos externos) debe cumplirse:

Li = Lf =⇒ Iiωi = Ifωf


Esto implica una variacion de la velocidad angular del sistema. En resumen, la

conservacion del momento angular da lugar a una variacion de la velocidad angular

del sistema si el momento de inercia cambia.

6.6.1 Ejemplo

Una persona esta sentada sobre un taburete y gira respecto a un eje vertical con

una velocidad angular ωi mientras sostiene dos pesas con sus brazos extendidos.

Repentinamente encoge sus brazos de modo que If = Ii/3. Calculese la velocidad

angular una vez encogidos los brazos. ¿Que relacion hay entre la energıa cinetica

de rotacion inicial y final?

Iiωi = Ifωf =Ii3ωf −→ ωf = 3ωi

Kf =1

2Ifω

2f =

1

2

(Ii3

)(3ωi)

2 = 3

(Ii2ω2i

)= 3Ki.

ii) Fuerzas centrales y conservacion del momento angular

La conservacion del momento angular es basica en el estudio de movimientos

planetarios y otro tipo de problemas gravitatorios. La fuerza gravitatoria es un

ejemplo tıpico de fuerza central , es decir, es una fuerza que solo depende de la

distancia de los objetos que interaccionan.

6.6.2 Ejemplo

Supongamos, por ejemplo, un planeta en orbita elıptica alrededor del sol.

Sol

Planeta

P A

vA

vP

f

v θ

r

6.7. TRABAJO DE ROTACION. TEOREMA TRABAJO-ENERGIA 167

El momento de la fuerza gravitatoria que actua sobre el planeta es cero respecto

al Sol, porque ~r y ~f son colineales. Por lo tanto, si despreciamos otras fuerzas, el

momento angular del planeta respecto al Sol permanece constante.

~L = ~r × ~p = ~cte. −→ mvr sen θ = cte.

Todas las magnitudes que aparecen en esa ecuacion varıan durante el movimiento

orbital, pero su producto permanece constante. Ası por ejemplo, veremos que pasa

en la posicion mas proxima al Sol ( perihelio) y en la mas alejada ( afelio). En

estas posiciones,

θ = π/2 → sen θ = 1 =⇒ vArA = vP rP

Como rA > rP , entonces vA < vP . Es decir, que la velocidad del planeta en su

orbita va cambiando con el tiempo, aumentando en el camino A→ P , y disminu-

yendo en el inverso. En general, para cualquier fuerza central, el momento angular

se mantiene constante respecto al centro de fuerzas.

6.7. Trabajo de rotacion. Teorema trabajo-energıa

Supongamos como ejemplo una puerta que puede girar sobre sus bisagras.

dθ

z

ds

fft

R

α

Cuando se abre o cierra, se efectua un trabajo. Si la fuerza aplicada es ~f , la unica

componente relevante para obtener el trabajo es la tangente al movimiento, ~ft.

dW = ~f.d~s = f cosαds = ftds,


y como ds = Rdθ, entonces:

dW = ftRdθ.

Por otra parte, ~τ = ~R× ~f , y considerando que el eje de giro es z,

τz = Rf sen(π

2− α

)= Rf cosα = Rft −→ dW = τz dθ.

En un proceso finito:

W =

∫ θf

θi

τzdθ,

ecuacion que constituye la definicion general de trabajo de rotacion.

Demostraremos ahora el teorema trabajo-energıa a partir de esa expresion para el

trabajo.

τz = Iα −→ dW = Iα dθ = Idω

dtω dt

ωdω

dt=

d

dt

(1

2ω2

)−→ dW = I

d

dt

(1

2ω2

)dt −→ W =

∫ f

i

I

2d(ω2)

=⇒ W =1

2I(ω2

f − ω2i ) = ∆Ec.

Luego el trabajo realizado coincide con la variacion de la energıa cinetica de rotacion.

Por ultimo, se puede tambien definir una potencia de rotacion como:

P =dW

dt= τz

dθ

dt= τzω.

Esta ecuacion tambien es analoga a la correspondiente para la traslacion.

6.8. Analogıas entre las ecuaciones de la traslacion

y la rotacion

A modo de apendice, resumimos en la siguiente tabla el paralelismo entre las ecua-

ciones que hemos obtenido en los casos traslacional y rotacional.

6.8. ANALOGIAS. . . 169

Traslacion Rotacion

m I

~p = m~v Lz = Iω

(simetrıa axial → ~L = I~ω)

~f ~τ

~f =d~p

dt= m~a τz =

dLzdt

= Iα

(simetrıa axial → ~τ =d~L

dt= I~α)

Ec = 12mv2 Ec = 1

2I ω2

dW = ~f.d~s dW = τz dθ

P = ~f.~v P = τz ω

W =1

2m(v2

f − v2i ) W =

1

2I(ω2

f − ω2i )

6.9. PROBLEMAS 171

6.9. Problemas

1. Se sujeta un cuerpo de masa m a una cuerda enrollada alrededor de una rueda

de momento de inercia I y radio R. La rueda puede girar sin rozamiento y la

cuerda no se desliza en su borde. Halla la tension de la cuerda y la aceleracion

del cuerpo.

(Respuestas : T =mgI

mR2 + I; a = g

mR2

mR2 + I)

2. Determina la aceleracion de la cuerda del problema anterior aplicando el concepto

de momento angular y la segunda ley de Newton para la rotacion.

3. Un disco de momento de inercia I1 esta girando con velocidad angular ωi alrededor

de un eje sin rozamiento. En un cierto instante cae sobre otro disco con momento

de inercia I2 inicialmente en reposo sobre el mismo eje. Debido al rozamiento

entre ellos, los dos bloques adquieren una velocidad angular comun, ωf . ¿Cual es

esta velocidad final comun?

(Respuestas : ωf =I1

I1 + I2

ωi)

4. Un muchacho de masa, m, se acerca corriendo con una velocidad, v, a un tiovivo

de feria, que esta inicialmente parado, y se sube de un salto a su borde. ¿Que ve-

locidad angular adquiere el tiovivo cuando el muchacho ha subido y se encuentra

en reposo relativo respecto a el?

(Respuestas : ω =mvR

I +mR2)

5. Dos masas, m1 y m2, estan conectadas a traves de una cuerda que pasa por dos

poleas identicas de momento de inercia, I. Encuentrese la aceleracion de cada

masa y las tensiones en la cuerda.

(Respuestas : a =(m2 −m1)g

2IR2 +m1 +m2

; T1 = m1(a + g); T2 =aI

R2+ T1; T3 =

m2(g − a))

6. Una barra uniforme de longitud L y masa M puede girar libremente sobre un

pivote sin friccion que pasa por uno de sus extremos. La barra se encuentra

inicialmente en reposo y en posicion horizontal.


a) Calcula la velocidad angular de la barra cuando pasa por su posicion mas baja.

b) Determina la velocidad lineal del centro de masas de la barra y la velocidad

lineal del punto mas bajo de la barra en la posicion vertical.

(Respuestas : a) ω =

(3g

L

)1/2

; b) v = (3Lg)1/2)

7. Considerense dos masas (m1 ym2) conectadas por medio de una polea con radioR

y momento de inercia I respecto a su eje de rotacion. Si la cuerda no resbala sobre

la polea y el sistema se libera a partir del reposo, determınense las velocidades

lineales de las masas despues de que m2 haya caıdo una distancia h. ¿Cual es la

velocidad angular de la polea en ese instante?

(Respuestas : ω =1

R

[2(m2 −m1)gh

m1 +m2 + IR2

]1/2

)

8. El rotor de un motor electrico tiene un momento de inercia de 0,85 kg.m2 y gira

inicialmente a 1670 rev/min. Calculese el momento de la fuerza necesaria para

pararlo en 1,5 min.

(Respuestas : τ = 1,65 Nm)

9. ¿Cual es la mınima velocidad que tiene que llevar un proyectil, de masa m, para

que al chocar e incrustarse en el extremo inferior de una barra homogenea de

longitud l y masa M que se encuentra atravesada en el otro extremo por un eje,

de una vuelta completa alrededor de dicho eje despues del impacto?

(Respuestas : v = l

(M

3m+ 1

)(6g(M + 2m)

l(M + 3m)

)1/2

)

10. Dos objetos (A y B) estan conectados a traves de dos poleas (C y D) de radios:

RC = 8 cm y RD = 15 cm. Las masas de los objetos son mA = 27 kg y mB = 16

kg. Si la masa de la polea C es mC = 8 kg, calcular:

a) la masa mD para que la pesa B se mueva con una aceleracion de 2 m/s2 hacia

arriba.

b) las tensiones en el cable.

6.9. PROBLEMAS 173

(Respuestas : a) mD = 13,8 kg; b) T1 = 210,6 N; T2 = 202,6 N; T3 = 188,8

N)

11. A una partıcula de masa 1 kg que se encuentra inicialmente en el punto A =

(1, 2, 1) y que posee una velocidad ~v0 = 3~i − 2~j + ~k (m/s) se le aplica una

fuerza tal que su momento respecto al origen permanece constante y de valor

~τ = 3~i − 4~j + 2~k (N.m). Calcula el momento angular de la partıcula al cabo de

3 s.

(Respuestas : ~L = 13~i− 10~j − 2~k)

12. Calcula el momento de inercia de un cono recto respecto a su eje de simetrıa.

(Respuestas : I =3

10MR2)

13. Estima el momento angular de la Tierra en su movimiento alrededor del sol y el de

un electron alrededor de nucleo en un atomo de H2. En ambos casos, supongase,

por simplicidad, que las orbitas son circulares. Datos:

mT = 5,98× 1024 kg (masa de la Tierra)

dS = 1,49× 1011 m (distancia media al Sol)

me = 9,11× 10−31 kg (masa del e−)

dn = 5,29× 10−11 m (distancia media del e− al nucleo)

we = 4,13× 1016 rad/s (velocidad angular del e−)

(Respuestas : LT = 2,67× 1040 m2kg s−1; le = 1,05× 10−34 m2kg s−1)

14. Calcula el momento de inercia de una placa rectangular homogenea de masa M

y lados a y b.

(Respuestas : I =m

12(a2 + b2))

15. Una esfera, un cilindro y un aro, todos del mismo radio, ruedan hacia abajo

sobre un plano inclinado partiendo de una altura y0. Encuentrese en cada caso la

velocidad con la que llegan a la base del plano.

(Respuestas : v2e =

10

7g(y0 − y); v2

d =4

3g(y0 − y); v2

a = g(y0 − y))


16. Los dos objetos de la figura se aproximan entre sı sobre una superficie sin roza-

miento. Pueden considerarse como dos masas puntuales m unidas entre sı por un

alambre de longitud 2`. Inicialmente no estan rotando. Describe su movimiento

despues de la colision si se considera elastica.

(Respuestas : Despues de la colision los objetos dejan de trasladarse y comienzan

a rotar con velocidad angular ω = v/`. Despues de un semiperiodo (t = π/ω) vol-

verıan a colisionar, cesarıa la rotacion y volverıan a trasladarse con las velocidades

anteriores a la primera colision.)

m

m

m

m

2l

2l

v

v

c.m.

Capıtulo 7

Propiedades elasticas de losmateriales. Mecanica de Fluidos

7.1. Propiedades elasticas de los materiales

7.1.1. Curvas esfuerzo-deformacion

Hemos definido anteriormente un solido rıgido como aquel cuerpo en que la dis-

tancia entre sus puntos es constante. Dicho de otro modo, es un material que no se

deforma. Pero, en realidad, cuando sobre un material se aplica una fuerza este se de-

forma 1. La deformacion depende del tipo de material (propiedades microscopicas), de

la fuerza aplicada (modulo, direccion, tiempo de aplicacion, . . . ) y de las condiciones

termodinamicas (temperatura, presion, . . . ).

1Por ejemplo, en Geologıa el conocimiento de la estructura y naturaleza del interior de la Tierrase ha obtenido en gran medida a partir de las ondas sısmicas que se generan en los terremotos. Estosocurren cuando las fuerzas tectonicas superan las fuerzas maximas que pueden soportar los materialesque las forman y tiene lugar una fractura. Desde ese punto se propagan ondas sısmicas alejandosedel epicentro. Esta propagacion esta ıntimamente ligada tambien a las propiedades elasticas de losmateriales que forman la corteza y las relaciones entre tensiones y deformaciones en ellos

176 CAPITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

l0

∆l

A

f

Consideremos como ejemplo una varilla de un cierto material sobre la que aplicamos

una fuerza ~f . Si A es la seccion, se denominan:

esfuerzo −→ σ =f

A; deformacion −→ ε =

∆`

`0

donde `0 es la longitud de la varilla en ausencia de tension.

La experiencia en los laboratorios dice que si la fuerza aplicada no es muy grande,

la relacion entre σ y ε es aproximadamente lineal y que, al cesar la fuerza, la varilla

recupera la longitud inicial. Es decir,

f ' k∆`.

Se dice que el comportamiento del material es lineal y esa relacion es la ley de Hooke

(formalmente analoga a la que relaciona fuerza y elongacion en un muelle).

Pero al seguir aumentando la fuerza sobre el material llega un momento en que

esa relacion lineal deja de ser valida. Si el material recupera su longitud inicial al

cesar la fuerza, sigue siendo elastico pero no lineal. Aumentando aun mas f , llega un

momento en que el material no recupera `0 cuando f = 0. Se dice que el material ha

sobrepasado su lımite elastico y entra en la zona plastica. Aumentando aun mas la

fuerza llega un momento en que el material se fractura. El punto en que eso sucede

se llama punto de ruptura o fractura. El tamano y la localizacion de estas regiones

7.1. PROPIEDADES ELASTICAS DE LOS MATERIALES 177

depende del tipo de material, pero cualitativamente el comportamiento es similar para

todos los materiales. Se puede esquematizar en una curva σ−ε, que se denomina curva

esfuerzo-deformacion.

régimen elástico r. plástico

zona lineal

límite

elástico

punto de

ruptura

σ

ε

Normalmente, en la vida cotidiana, se emplea el termino elastico cuando la zona

que abarca su regimen elastico es amplia y es plastico cuando, incluso para fuerzas no

muy grandes, queda deformado permanentemente al cesar la accion.

σ

ε

σ

ε

material elástico material plástico

zona elástica

zona plástica

Cuando sobre un material esta actuando una fuerza y se elimina progresivamente,

la curva esfuerzo-deformacion, (recorrida en el sentido en que σ disminuye) no pasa


por los mismos puntos que al aumentar. Este efecto se denomina histeresis . Significa

que la longitud de un material a una cierta tension no solo depende de la tension en

ese momento, sino tambien de las que ha experimentado anteriormente, es decir, de su

historia elastica. Ası serıan las curvas de histeresis para un material elastico y plastico.

σ

ε

σ

ε

deformación

permanente

material elástico material plástico

La deformacion del material depende, ademas de ~f como vector, del tiempo que se

aplica la fuerza. El diagrama deformacion-tiempo serıa ası:

ε

t

actúa fon off

Mat. elástico

Mat. plástico

deform. permanente


7.1.2. Materiales elasticos

Estudiaremos mas detalladamente la relacion entre la tension y la deformacion de

un material tıpicamente elastico como puede ser una goma de caucho. A tensiones bajas

el material se comporta linealmente y verifica la ley de Hooke: f = k∆`, donde k es la

constante de Hooke correspondiente que depende de las caracterısticas microscopicas

del material, de `0 y de la temperatura. En el resto de la zona elastica donde el material

se aleja del comportamiento lineal, una buena aproximacion a la curva, f = f(`), viene

dada por la denominada ley de Kuhn:

f = A

(`

`0

− `20

`2

)

donde A es una constante caracterıstica del material. En terminos de la deformacion

relativa

ε = ∆`/`0 −→ `/`0 = ε+ 1 =⇒ f = A

[1 + ε− 1

(1 + ε)2

].

La ley de Hooke se puede recuperar como un desarrollo en serie de esta ecuacion para

deformaciones pequenas. En general,

1

(1 + x)2' 1− 2x+ 3x2 + . . .

Truncando el desarrollo a primer orden:

f ' A [1 + ε− (1− 2ε)] = 3Aε = 3A`− `0

`0

. (7.1)

Luego comparando con la ley de Hooke, k = 3A/`0.


lím

ite l

ineal

Kuhnf

∆l

7.1.3. Constantes elasticas

Se denomina ası a los diferentes parametros que caracterizan el comportamiento

elastico de un material en funcion del tipo de esfuerzo aplicado.

a) Modulo de Young (Y).

Y ≡ σ

εS.I. −→ N/m2 ≡ Pa

Esta unidad, el Pascal, como veremos un poco mas adelante es la unidad de presion

en el S.I. Mide el comportamiento del material sometido a una fuerza de traccion

(estiramiento) o compresion. Para un material que obedece la ley de Kuhn: Y =

3A/S (ver Eq. (7.1)). Por ejemplo, para una goma de caucho, Y ' 1×106−2×106

Pa.

b) Modulo de cizalladura (C). Otro tipo de elasticidad proviene del caso en que una

de las caras del cuerpo permanezca en posicion fija y actue una fuerza tangencial

sobre la opuesta tal y como se muestra en el siguiente esquema.


f

A

∆x

h

Este tipo de deformacion se denomina cizalladura y en ella no tiene lugar cambio

de volumen del sistema.

C ≡ f/A

∆x/hS.I. −→ N/m2 = Pa.

c) Modulo de compresibilidad (k).

Otro tipo de deformacion es el experimentado cuando sobre cada uno de los puntos

de las caras exteriores de un objeto actua una misma fuerza en modulo. O sea, un

sistema sometido a una presion uniforme. En este caso se produce un cambio de

volumen, pero no un cambio en la forma.

V

V0

∆P


Se define la compresibilidad como la variacion de la presion respecto a la variacion

del volumen del sistema.

k = − ∆P

∆V/V0

; S.I. −→ N/m2 = Pa.

Se introduce un signo negativo en la definicion para que sea un numero positivo:

∆P > 0 −→ ∆V < 0 −→ k > 0

∆P < 0 −→ ∆V > 0 −→ k > 0

En la siguiente tabla representamos valores numericos concretos para los modulos que

hemos definido. Notese que los lıquidos no tienen ni modulo de Young ni cizalladura,

porque son fluidos.

Material Y (N/m2) C (N/m2) k (N/m2)

Aluminio 7× 1010 2,5× 1010 7× 1010

Cobre 11× 1010 4,2× 1010 14× 1010

Acero 11× 2010 8,4× 1010 16× 1010

Tungsteno 35× 1010 14× 1010 20× 1010

Vidrio 6,5− 7,8× 1010 2,6− 3,2× 1010 5,0− 5,5× 1010

Agua − − 0,21× 1010

Mercurio − − 2,8× 1010

7.2. Estados de la materia

Normalmente, la materia se clasifica segun tres tipos de estados: solido, lıquido y

gaseoso, aunque en ciertas condiciones muy especiales se puede hablar de un cuarto

estado de la materia, el plasma.

Las diferencias entre unos estados y otros se pueden entender a varios niveles:

A nivel macroscopico, los solidos tienen forma y volumen definidos. Sin embar-

go, los fluidos en general no tienen forma definida. Dentro de ellos, los lıquidos

7.2. ESTADOS DE LA MATERIA 183

sı tienen un volumen concreto (en el sentido de que su compresibilidad es pe-

quena), pero los gases, debido a su alta compresibilidad ni siquiera tienen un

valor definido, sino que ocupan por completo el volumen donde esten confinados.

A nivel microscopico, los solidos estan formados por atomos o moleculas que

ocupan puntos fijos del espacio, no se trasladan, aunque sı pueden vibrar. Las

moleculas que forman lıquidos y gases se mueven mas o menos libremente por el

espacio.

Atendiendo a la forma en que estan dispuestos los atomos en un solido, estos

se dividen en amorfos y cristalinos. En estos ultimos, los atomos se distribuyen

de forma ordenada sobre una red en el espacio. Por contra, los amorfos estan

formados por atomos distribuidos de forma irregular.

La distribucion espacial de las moleculas que componen la materia se debe a la

relacion entre las energıas cinetica y potencial a nivel microscopico.

Solidos: U >> K −→ Orden superior a la agitacion termica.

Lıquidos: U ∼ K −→ Interacciones similares al desorden termico.

Orden a corto alcance

Gases: U << K −→ Agitacion termica mucho mayor

que la intensidad de las interacciones.

Solidos: U >> K porque

{Distancia entre moleculas pequena.

Existen a temperaturas no muy altas.

Lıquidos: U ∼ K porque

{Existen en condiciones donde

la temperatura da lugar a U ∼ K.

Gases: U << K porque

{Las moleculas estan muy separadas.

Existen a altas temperaturas.

Cualquier material puede adoptar uno u otro estado de la materia dependiendo de

las condiciones termodinamicas.Solidos: T ↓↓, P ↑↑Lıquidos: Estados intermedios

Gases : T ↑↑, P ↓↓


El cuarto estado de la materia, el plasma, ocurre cuando esta se calienta a tempe-

raturas muy altas, por ejemplo, dentro de las estrellas. Lo que sucede es que la energıa

termica es tan grande que algunos electrones que rodean al nucleo para formar el ato-

mo se desprenden y se mueven libremente por todo el material. Entonces el sistema

se compone de iones cargados electricamente y electrones, tambien cargados, y que se

mueven por todo el espacio entre los iones.

Cada estado de la materia se estudia en Fısica con determinado formalismo ma-

tematico y con ciertos modelos especıficos. Pero al nivel mas sencillo se puede dar

una descripcion realista de los distintos estados utilizando simplemente las leyes de la

Mecanica Clasica que ya hemos estudiado.

7.3. Fluidos en reposo

7.3.1. Presion en un fluido

En general, se define la presion como la fuerza por unidad de area que se ejerce

sobre un cierto sistema. Esta presion puede ser igual en todos los puntos del sistema,

pero hay ciertos casos donde la presion puede variar en las distintas partes del sistema.

En este caso, se puede definir la presion localmente como:

P = lım∆A→0

∆f

∆A=

df

dA.

Esta es la definicion mas general de presion. Si fuese independiente del punto del sistema

considerado, serıa simplemente P = f/A.

Dimensiones de P :

[P ] =[f ]

[A]=MLT−2

L2= ML−1T−2.

Unidades :

• S.I. −→ N/m2 = Pa

• mmHg −→ 760 mmHg = 1 atm

• atm −→ 1 atm = 1, 013× 105 Pa

7.3. FLUIDOS EN REPOSO 185

• bares −→ 1 atm = 1013 mb

Llamaremos fluido compresible a aquel cuya densidad en un recipiente depende de

la profundidad a que nos encontremos. Es decir, la compresibilidad es tal que el peso

de la columna del propio fluido a una cierta profundidad hace que el volumen de una

determinada masa cambie con la altura de esa columna. Fluido incompresible es aquel

cuya densidad es constante, independiente de la profundidad.

7.3.2. Variacion de la presion con la altura en un fluido in-compresible

En un fluido cualquiera en reposo, la presion depende de la profundidad. Esta

variacion de presion se debe a la fuerza gravitatoria que experimentan las partıculas

del fluido, o dicho de otra manera, al peso del fluido que se encuentra por encima.

PA

(P+dP)Ay1

y2

P1

P2

h

dy

y

Consideremos una porcion de fluido (marcada en lınea discontinua en la figura)

contenida en un cilindro imaginario de seccion A y altura dy.

Fuerza hacia arriba sobre el fondo del cilindro: PA.

Fuerza hacia abajo en la parte superior: (P + dP )A.

Peso del fluido contenido en el cilindro: dW = ρgdV = ρgAdy, donde ρ es la

densidad del fluido.


Como el cilindro esta en equilibrio, la suma de las fuerzas que actuan sobre el debe

ser cero.

∑fy = PA− (P + dP )A− ρgAdy = 0 =⇒ dP

dy= −ρg.

Esta variacion de presion esta asociada a la diferencia de peso que soportan las caras

superior e inferior del cilindro y debe existir para que el fluido este en equilibrio. El

signo negativo significa que la presion disminuye al aumentar la altura, puesto que ρ y

g son siempre positivos.

dP = −ρgdy −→∫ P2

P1

dP = −∫ y2

y1

ρg dy.

Haciendo aquı la hipotesis de que el fluido es incompresible, ρ 6= ρ(y) o ρ 6= ρ(P ), y

puede considerarse constante al integrar:

=⇒ P2 − P1 = ρg(y1 − y2).

Normalmente, se considera que el recipiente que contiene el fluido esta abierto por la

parte superior a la atmosfera y se toma el origen de alturas en la cara en contacto con

ella. En ese caso: y1 −→ 0

y2 −→ −hP1 −→ P0

donde P0 es la presion atmosferica y entonces la presion, P , a una profundidad h viene

dada por:

P = P0 + ρgh.

Dos consecuencias importantes de esta ecuacion son:

a) Dos puntos del fluido a la misma profundidad tienen la misma presion.

b) La presion no depende de la forma del recipiente.


7.3.3. Variacion de la presion con la altura en un fluido com-presible

En realidad, solo los lıquidos pueden considerarse fluidos incompresibles. Los gases

son sistemas de elevada compresibilidad. Una pequena variacion de la presion sobre un

gas provoca una notable alteracion de su densidad. En este caso hace falta conocer una

relacion concreta, ρ = ρ(P ), para integrar dP/dy = −ρg.

El caso mas simple es el que sucede en el aire que forma la atmosfera. En este

caso la relacion entre presion y densidad viene dada aproximadamente por la siguiente

expresion:P

P0

=ρ

ρ0

−→ ρ = ρ0P

P0

,

donde P0 y ρ0 son dos valores de la presion y la densidad de referencia, por ejemplo,

en y = 0.dP

dy= − ρ0

P0

gP −→ dP

P= − ρ0

P0

gdy

=⇒ log

(P

P0

)= − ρ0

P0

gy −→ P

P0

= exp

[− ρ0

P0

gy

]=⇒ P = P0 exp

[− ρ0

P0

gy

].

Para pequenas diferencias de altura, con un desarrollo en serie de Taylor se puede

hacer la aproximacion e−x ' 1− x,

=⇒ P ' P0

(1− ρ0g

P0

y

)= P0 − ρgy,

que es la ecuacion del caso incompresible.

7.3.1 Ejemplo

Sabiendo que la densidad del aire en condiciones normales es 1,29 Kg/m3, determina-

remos la diferencia de presion entre el techo y el suelo de una habitacion de 4 m de

altura.

P = P0e− ρ0P0gy

ρ0g

P0

=1,29 kg/m3 9,8 m/s2

1,013× 105 N/m2 = 1,25× 10−4 m−1

=⇒ P = P0 exp[−1,25× 10−4��m−14��m] −→ 0,99950P0.

Otro caso serıa la diferencia de presion entre la base y la altura del monte Everest

(y ' 7000m). En este caso, calculos analogos dan como resultado: P ' 0,42P0.


0 2000 4000 6000 80000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

P (atm)

y (m)

exponencial

lineal

7.3.4. Principio de Pascal

El hecho de que la presion de un fluido incompresible en un recipiente no dependa

de la forma de este y sea igual para todos los puntos a la misma altura, implica que

si por cualquier circunstancia varıa la presion en un punto, se debe modificar en todos

los puntos del fluido. Este hecho fue observado por primera vez por el cientıfico frances

Blaise Pascal, que enuncio la siguiente ley:

”Un cambio en la presion aplicada a un fluido incompresible encerrado se transmite

ıntegramente a cualquier punto del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene”.

f1

f2

A2A1


7.3.2 Ejemplo

Una aplicacion habitual del principio de Pascal es un elevador hidraulico.

Si A2 >> A1 y se ejerce una fuerza, f1, sobre A1, la presion, P = f1/A1, se debe

transmitir por igual a todos los puntos, en particular a la zona A2.

P =f1

A1

=f2

A2

−→ f2 =A2

A1

f1 >> f1.

Luego la fuerza en 2 es mucho mayor que en 1 y permite elevar objetos muy pesados.

Supongamos como caso numerico particular, que el embolo grande de un elevador

hidraulico tiene un radio de 20 cm. ¿Que fuerza debe aplicarse al embolo pequeno, de

radio 2 cm, para elevar un coche de masa 1500 kg?

Para elevar el coche hay que contrarrestar su peso, luego debe ser como mınimo

f2 = mg = 1,47× 104 N.

f1 =A1

A2

f2 =�πr2

1

�πr22

mg = 147 N.

Es decir, que la fuerza a aplicar en el embolo pequeno es cien veces mas pequena que

el propio peso del coche.

7.3.5. Principio de Arquımedes

”Cualquier cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia

arriba por una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo”.

Ademas, la fuerza de empuje tiene una lınea de accion que pasa por el centro de

gravedad del fluido desalojado, es vertical y hacia arriba. La comprobacion de este

principio a partir de las leyes de Newton es sencilla.


objeto fluido

desalojado

Cuando el objeto esta sumergido, se encuentra en equilibrio traslacional y rotacio-

nal, al igual que el fluido inicialmente. La fuerza que el resto del fluido ejerce sobre el

cuerpo es igual a la que ejerce sobre ese mismo volumen de fluido. Y esa fuerza coincide

precisamente con el peso del fluido. Ademas debe estar dirigida hacia arriba y vale:

fe = ρfgVf ,

donde ρf es la densidad del fluido y Vf el volumen desalojado.

Caso I. Objeto totalmente sumergido, Vf = Vc (Vc, volumen del cuerpo).{empuje −→ fe = ρfgVc

peso del cuerpo −→ P = ρcgVc−→ fneta = fe − P = (ρf − ρc)gVc

Entonces existen dos posibilidades:{ρf > ρc =⇒ fneta hacia arriba −→ el objeto flota

ρf < ρc =⇒ fneta hacia abajo −→ el objeto se hunde

Un hecho importante es que cuando un objeto se pesa en el aire sufre un empuje

ascensional, debido a que el aire es un fluido. Pero su densidad es tan pequena

que este empuje no es mas que una correccion pequenısima al peso del cuerpo en

el vacıo.

Caso II. Objeto parcialmente sumergido, Vf 6= Vc.

7.4. FLUIDOS EN MOVIMIENTO 191

En este caso la fuerza de empuje y el peso del objeto deben ser iguales, para que

exista equilibrio. {empuje −→ fe = ρfgVf

peso del cuerpo −→ P = ρcgVc

como P = fe −→ ρcVc = ρfVf =⇒ Vf =ρcρfVc.

7.3.3 Ejemplo

¿Que fraccion del volumen de un iceberg queda debajo del mar?{ρf = ρmar = 1, 024 g/cm3

ρc = ρhielo = 0, 917 g/cm3

Vf =ρcρfVc −→ Vf

Vc=ρcρf

=0, 917

1, 024= 0,895 =⇒ 89,5 %

7.4. Fluidos en movimiento

Hasta ahora hemos estudiado fluidos en reposo. Dedicaremos ahora nuestra aten-

cion al estudio de la dinamica de fluidos. Para ello consideraremos la variacion de las

propiedades del fluido en un punto determinado como funcion del tiempo. Es decir,

no estudiaremos la variacion en el tiempo de la posicion de cada partıcula, sino de las

propiedades globales del fluido.

7.4.1. Fluido ideal

Cuando un fluido esta en movimiento existen dos grandes tipos de flujo:

i) Estacionario: Cada partıcula del fluido sigue un camino uniforme y las trayectorias

de dos partıculas no se cortan. La velocidad, presion y densidad del fluido en un

punto cualquiera no dependen del tiempo, aunque sı varıen de punto a punto del

fluido. Estas condiciones suelen verificarse cuando las velocidades del flujo son

pequenas.


ii) Turbulento: Por encima de una cierta velocidad crıtica (para cada tipo de fluido)

el flujo deja de ser estacionario. Se convierte en irregular, se forman remolinos y

turbulencias y las velocidades y demas parametros dejan de ser constantes.

Se dice que el flujo es laminar , si se puede asimilar a un conjunto de laminas

paralelas deslizandose entre sı sin rozamiento. Esto solo es una simplificacion de trabajo,

puesto que en los fluidos reales existen problemas de rozamiento entre unas capas del

fluido y otras, con lo que la energıa mecanica no se conserva ya que parte de la energıa

cinetica se transforma progresivamente en energıa termica.

El camino seguido por una partıcula del fluido en un flujo estacionario se deno-

mina lınea de corriente. La velocidad de la partıcula siempre es tangente a la lınea

de corriente. Dos lıneas de corriente no se pueden cortar por considerar el flujo como

estacionario. Un conjunto de lıneas de flujo se denomina tubo de flujo.

El estudio de un fluido real es muy complejo, por lo que comenzaremos modelizando

un fluido en base a ciertas hipotesis sencillas. Se dice que un fluido es ideal si se verifica

lo siguiente:

a) Fluido no viscoso: se desprecia la friccion interna. Un objeto que se desplace dentro

del fluido no sufre fuerzas opuestas a su movimiento.

b) Flujo estacionario: la velocidad, densidad y presion en un punto del fluido son

constantes en el tiempo.

c) Fluido incompresible: la densidad del fluido es igual en todos los puntos (es constante

espacialmente)2.

d) Flujo irrotacional : no hay momento angular del fluido respecto a ningun punto. Es

decir, si se coloca una pequena rueda en el seno del fluido, simplemente se traslada,

no se producen giros3.

2Esta suele ser una buena aproximacion en lıquidos y tambien en gases si no hay grandes diferenciasde presion.

3Por ejemplo, un flujo con turbulencias no es irrotacional.


7.4.2. Ecuacion de continuidad

Consideremos ahora una tuberıa de seccion no uniforme por la que circula un flujo

estacionario, con la notacion de la figura adjunta.

Si el fluido es incompresible y el flujo estacionario la masa m1 que pasa por la

seccion de entrada, A1 en un tiempo ∆t debe ser igual que la que pasa por A2 en ese

mismo tiempo: ∆m1 = ∆m2.

v1

v2

A1

A2

x1

x2

Si la velocidad del fluido en A1 es v1, la masa que entra en ∆t recorre un espacio

∆x1 = v1∆t, es decir, llena un cilindro de seccion A1 y longitud x1. La masa contenida

en el es:

∆m1 = ρ1A1∆x1 = ρ1A1v1∆t.

En el otro extremo ocurre lo mismo, luego:

∆m2 = ρ2A2∆x2 = ρ2A2v2∆t,

pero como la masa se conserva:

∆m1 = ∆m2 =⇒ ρ1A1v1��∆t = ρ2A2v2��∆t =⇒ ρ1A1v1 = ρ2A2v2.

Esta expresion se denomina ecuacion de continuidad y no es mas que una manifestacion

de la conservacion de la masa para un flujo estacionario.

En un fluido incompresible la densidad es constante, ρ1 = ρ2, entonces,

A1v1 = A2v2 =⇒ Av = cte.

en cualquier par de puntos de la tuberıa. Es decir, que la velocidad del fluido en la

tuberıa es mayor cuanto mas estrecha es la tuberıa y al contrario.


7.4.3. Ecuacion de Bernoulli

A medida que un fluido se mueve a lo largo de una tuberıa no horizontal y de seccion

variable, la presion cambia a lo largo de la tuberıa. Veremos que como consecuencia

de la conservacion de la energıa se puede construir una ecuacion que relacione presion,

velocidad y altura para un fluido ideal.

v1

v2

A1

A2f =P A1 1 1

f =P A2 2 2

y1

y2

La fuerza sobre el extremo mas bajo del fluido sera f1 = P1A1. El trabajo realizado

por esta fuerza para desplazar el fluido una distancia ∆x1 sera:

W1 = f1∆x1 = P1A1∆x1 = P1∆V.

Del mismo modo, para el punto 2 y para el mismo tiempo:

W2 = P2∆V.

Los dos incrementos de volumen son iguales puesto que la masa se conserva y la den-

sidad en el fluido es constante.

W = W1 −W2 = (P1 − P2)∆V.

Ademas del trabajo para variar la presion del fluido, existira otro asociado a la variacion

de energıa potencial gravitatoria:

Wg = −∆mg(y2 − y1) = −∆Ug.


El trabajo total sera Wt = W +Wg y aplicando el teorema trabajo-energıa,

Wt = ∆Ec =1

2∆m(v2

2 − v21),

se obtiene:

∆Ec = W +Wg =⇒ (P1 − P2)∆V =1

2∆m(v2

2 − v21) + ∆mg(y2 − y1).

Dividiendo cada termino por ∆V y teniendo en cuenta que ρ = ∆m/∆V ,

P1 − P2 =1

2ρ(v2

2 − v21) + ρg(y2 − y1) =⇒ P1 +

1

2ρv2

1 + ρgy1 = P2 +1

2ρv2

2 + ρgy2

Esta es la ecuacion de Bernoulli , que establece que la suma de la presion, la energıa

cinetica por unidad de volumen y la energıa potencial por unidad de volumen es cons-

tante a lo largo de una lınea de corriente. Escrita de forma mas general:

P +1

2ρv2 + ρgy = cte.

Casos particulares:

Cuando el fluido esta en reposo,

v1 = v2 = 0 =⇒ P1 − P2 = ρgh

lo que esta de acuerdo con la variacion de presion con la profundidad para un

fluido incompresible.

Tuberıa horizontal de seccion no constante.

y1 = y2 −→ P +1

2ρv2 = cte.

Esto quiere decir que cuando aumenta la velocidad del fluido, debe disminuir la

presion y, al contrario, para que esa suma permanezca constante. Este resultado

se suele conocer como efecto Venturi . Esto tambien se puede asociar a la ecuacion

de continuidad, Av = cte.

A ↓↓ −→ v ↑↑ −→ P ↓↓

A ↑↑ −→ v ↓↓ −→ P ↑↑


El efecto Venturi tiene una aplicacion real muy interesante. El ala de los aviones

se disena de manera que el aire se mueva con mas rapidez en su parte superior

que en la inferior. Esta diferencia de velocidades da lugar a una diferencia de

presiones que tiene como efecto el provocar un empuje ascensional sobre el ala

que hace elevarse el avion.

v 1

P 1

v 2

P 2

f e

v1 > v2 −→ P1 < P2 −→ ~fe hacia arriba

Estas fuerzas se denominan fuerzas de sustentacion. Su valor depende de la veloci-

dad del avion, el area del ala, su forma y su inclinacion respecto a la horizontal.

7.5. Fluidos viscosos

Segun la ecuacion de Bernoulli, si un fluido circula de forma estacionaria por una

tuberıa horizontal y de seccion constante, la presion debe ser la misma en todos los

puntos.4

En la practica, sin embargo, se observa una caıda de presion segun nos desplazamos

en la direccion del flujo. Dicho de otro modo, para que efectivamente exista un flujo

4

P +1

2ρv2 = cte.

Si v = cte. −→ P = cte. y v = cte. si la seccion de la tuberıa lo es, por la ecuacion decontinuidad. Entonces en una tuberıa horizontal de seccion constante, si el fluido es ideal, la presiones constante a lo largo de la tuberıa.

7.5. FLUIDOS VISCOSOS 197

de materia debe haber una diferencia de presion entre los extremos del fluido. Esta

diferencia esta asociada a las fuerzas de rozamiento internas que hay que vencer para

que se produzca un flujo de materia. Estas fuerzas de rozamiento o viscosas se producen

tanto entre el fluido y las paredes de la tuberıa, como entre las distintas laminas de

fluido. Tienen tambien como consecuencia que la velocidad del fluido no sea igual en

todos los puntos de la tuberıa, sino mayor en el eje central y menor junto a las paredes.

l

P1

P2

v

r

A

∆P = P1 − P2 = vAR,

donde R es una constante que mide la resistencia al flujo. Depende de la longitud de

la tuberıa, de su radio y de la viscosidad del fluido, que definiremos a continuacion.

Supongamos un fluido en regimen laminar, y consideremos una porcion de modo

que la parte inferior se mantiene en reposo y a la superior se le aplica una fuerza ~f

que hace que las laminas superiores se desplacen a una velocidad ~v 5. Por efecto de la

viscosidad, la velocidad de las placas ira descendiendo en las inferiores. Si A es el area

de cada placa, se define la viscosidad como:

η =f/A

v/z.

v

v=0

f

z

5Los fluidos en que la fuerza aplicada y la velocidad resultante de las laminas superiores es propor-cional se denominan newtonianos. Estos son por ejemplo el agua y el aire. En otros como la sangre ociertos plasticos la fuerza es proporcional al cuadrado de la velocidad.


Unidades de η:

S.I. −→ N.s

m2= Pa.s ≡ 10 poise

S. ceg. −→ dina.s

cm2= poise

Los ordenes de magnitud de la viscosidad de algunos fluidos se representan en la si-

guiente tabla.

Fluido t (oC) η (mPa · s)

Agua 0 1.820 1.060 0.65

Sangre 37 4.0Aceite de motor 30 200

Glicerina 0 104

20 1,41× 103

60 81Aire 20 1,8× 10−2

Generalmente, la viscosidad aumenta al disminuir la temperatura. En terminos de

η, se puede demostrar que la resistencia al flujo, R, viene dada por:

R =8η`

πr4,

que sustituida en la expresion para a caıda de presion en una tuberıa horizontal de

seccion circular resulta:

∆P =8η`

πr4Av,

que se denomina ley de Poiseuille. Luego la caıda de presion en proporcional a la

viscosidad e inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio de la tuberıa.

Cuando la velocidad de flujo de un fluido es suficientemente grande, se rompe el

flujo laminar y aparecen turbulencias, con torbellinos o remolinos que complican mucho

el estudio de la dinamica del fluido. Se puede definir un parametro adimensional que

caracteriza el regimen laminar o turbulento.

NR =2rρv

η.

7.5. FLUIDOS VISCOSOS 199

Se denomina numero de Reynolds y aproximadamente:{NR < 2000 −→ regimen laminar

NR > 2000 −→ regimen turbulento


7.6. Problemas

1. Un bloque de un material desconocido pesa 3 N en aire y 1,89 N cuando esta su-

mergido en agua. ¿Cual es su densidad? ¿Que correccion debera tenerse en cuenta

debido a la fuerza ascensional en el aire cuando se pesa en el?

(Respuestas : ρ = 2,7× 103 kg/m3; Paire/Pvacio = 0,9995 )

2. La tension superficial del mercurio es 0,465 N/m y θc = 140o. En un recipiente

lleno de mercurio se introduce un tubo capilar de 3 mm de radio. ¿Cual es la

altura del mercurio en el tubo?

(Respuestas : h = −1,78 mm )

3. Un deposito de agua tiene un pequeno orificio a una distancia h por debajo de la

superficie del agua. Halla la velocidad del agua cuando escapa por el orificio.

(Respuestas : vb = (2gh)1/2 mm )

4. Por una tuberıa horizontal circula agua a 4 m/s bajo una presion de 200 kPa.

La tuberıa se estrecha progresivamente hasta llegar a la mitad de su diametro

original. Halla la velocidad y la presion del agua en la parte mas estrecha de la

tuberıa.

(Respuestas : v2 = 16,0 m/s; P2 = 80 kPa )

5. Una presa esta llena de agua hasta una altura H. Si su anchura es a, determınese

la fuerza total que actua sobre ella.

(Respuestas : P =1

2ρ g aH2 )

6. Un objeto de aluminio, suspendido de un dinamometro, se sumerge completa-

mente en un recipiente con agua. Si su masa es 1 kg y la densidad del aluminio

vale 2,7 × 103 kg/m3, calculese la tension que marca el dinamometro antes y

despues de sumergir el objeto.

(Respuestas : T2 = 6,17 N )

7.6. PROBLEMAS 201

7. Un tubo Venturi tiene como secciones en los puntos 1 y 2, A1 y A2. Si la diferencia

de presiones en estos puntos, P1 − P2, es conocida, calcula la velocidad del flujo

en el punto 2.

(Respuestas : v2 = A1

(2(P1 − P2)

ρ(A21 − A2

2)

)1/2

)

8. Una placa de metal de 0,15 m2 de area se conecta por medio de una polea ideal

a una masa de 8 g. Se coloca un lubricante de 0,3 mm de espesor entre la placa y

la superficie. Cuando se libera el sistema, se observa que la placa se mueve hacia

la derecha con una velocidad constante de 0,085 m/s. Determınese la viscosidad

del lubricante.

(Respuestas : η = 5,53× 10−3 Pa.s )

9. Un lingote de oro y cobre pesa 6660 g. Sumergido en el agua pesa 6250 g. Sabiendo

que las densidades del oro y del cobre son 19,5 g/cm3 y 8,9 g/cm3 respectivamente,

calculese el tanto por ciento de oro que contiene el lingote.

(Respuestas :mo

mo +mc

= 83,1 % )

10. Un cubo de un material de densidad 0,7 g/cm3 y de 20 cm de arista esta en el fondo

de un recipiente que contiene aceite (ρa = 0,8 g/cm3) a 40 cm de la superficie.

Su base inferior esta sobre un orificio circular de 200 cm2 de una canerıa de

desague que sobresale 2 mm del fondo del recipiente. Calcula la presion del aire

que habra que inyectar por la canerıa de desague para que el cubo se desprenda.

(Respuestas : P = 4,31× 103 Pa )

11. Un globo lleno de gas sufre una fuerza de friccion con el aire que viene dada por:

fr = 0,2 v, donde v es su velocidad en el S.I.. Si la masa total del globo y el gas

que contiene es 10 g y el globo parte del reposo:

a) Representa graficamente la aceleracion del globo en funcion de la velocidad si

el empuje es de 1,8 N.

b) ¿Cual es la maxima velocidad que alcanzara el globo?

(Respuestas : b) vmax = 8,5 m/s)


12. Para medir la velocidad de las aguas de un rıo se introduce en el un tubo acodado

en angulo recto con un pequeno orificio en su extremo. El agua asciende en el

tubo una altura h = 10 cm. Calcula la velocidad del rıo.

(Respuestas : v = 1,4 m/s )

13. El ala de un avion tiene 4 m2 de superficie y 300 kg de masa. La velocidad del

aire en la cara superior es de 70 m/s y debajo de la cara inferior 50 m/s. ¿Cual

es la fuerza de sustentacion del ala? ¿Cual es la fuerza total que actua sobre ella?

(densidad del aire: ρ = 1,29 kg/m3).

(Respuestas : f = 3252 N )

14. Un deposito de gran superficie, de 10 m de altura, se encuentra lleno de agua.

De una pared lateral sale una tuberıa de 500 cm2 de seccion, que acaba horizon-

talmente 2 m por debajo del deposito. En la parte final de este tramo horizontal

la tuberıa se estrecha hasta presentar una seccion final uniforme de 250 cm2.

Calcula la presion en la parte horizontal de la tuberıa de seccion 500 cm2.

(Respuestas : P = 1,88× 105 Pa )

15. Disponemos de una plancha de corcho de 1 dm de espesor. Calcula la superficie

mınima que debe tener para flotar en el agua sosteniendo a un naufrago de 70

kg. Masa especıfica del corcho: 0,24 g/cm3.

(Respuestas : A = 0,92 m2 )

16. Un objeto de corcho se deja caer desde una altura de 5 m sobre la superficie de

un lago. Considerando que se opone al movimiento el empuje del agua y que la

densidad del corcho es 0,2 g/cm3, calcula:

a) ¿Cuanto se hunde el objeto en el agua?

b) ¿Cuanto tiempo tarda en llegar a esa profundidad y volver a la superficie?

(Respuestas : a) h′ = 1,25 m; b) T = 0,5 s )

7.6. PROBLEMAS 203

17. Destapamos un orificio de radio R1 que se encuentra en el fondo de un deposito

cilındrico lleno de agua que tiene radio R2 y una altura H. Si el proceso de vaciado

no es turbulento, obtengase el tiempo que tarda en vaciarse el deposito.

(Respuestas : T =1

r21

[2H

g(r4

2 − r41)

]1/2

)

18. Un vaso cilındrico tiene un radio de 5 cm y se encuentra lleno de agua hasta una

altura de 20 cm. Se echa un cubito de hielo de arista 1 cm. Calcular el incremento

de presion sobre el fondo del vaso al echar el cubito. (Datos: ρagua = 103 kg/m3;

ρhielo = 900 kg/m3.)

Parte II

Fundamentos de oscilaciones yondas

Capıtulo 8

Movimiento oscilatorio

8.1. Introduccion

Los principales objetivos de los capıtulos dedicados a la Mecanica Clasica fueron

como predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado inicial (velocidad

y posicion) y las fuerzas que actuan sobre el. Un caso particular es cuando la fuerza

es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posicion de equilibrio. Si dicha

fuerza siempre esta dirigida hacia la posicion de equilibrio se produce un movimiento

de ida y vuelta, es decir, un movimiento periodico u oscilatorio. En Fısica, y en la

Naturaleza en general, hay gran variedad de ejemplos de este tipo de movimiento y de

ahı la importancia de su estudio:

los latidos del corazon

el movimiento del pendulo de un reloj

la vibracion de las moleculas de un solido alrededor de sus posiciones de equilibrio

la corriente electrica que circula por el filamento de una bombilla

las vibraciones de las cuerdas de un violın.

El movimiento oscilatorio esta intrınsecamente relacionado con los fenomenos ondu-

latorios. Cuando vibra la cuerda de un violın se producen oscilaciones de las moleculas

del aire que lo rodea y, por el contacto o interaccion entre unas y otras, las oscila-

ciones se propagan en el espacio en forma de onda. Luego, por ejemplo, el sonido y

208 CAPITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

su transmision (como veremos en el siguiente tema) no son mas que consecuencia de

movimientos de tipo oscilatorio. El ejemplo mas sencillo de movimiento oscilatorio es

el denominado movimiento armonico simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo

oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales fijas sin perder energıa mecanica.

Ademas de ser el tipo de movimiento oscilatorio mas facil de describir matematicamen-

te, constituye una buena aproximacion a muchas oscilaciones que se encuentran en la

Naturaleza.

8.2. Cinematica del movimiento armonico simple

Se dice que una partıcula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento

armonico simple cuando su desplazamiento respecto a su posicion de equilibrio varıa

con el tiempo de acuerdo con la relacion 1:

x(t) = A cos(ωt+ δ),

donde A, ω y δ son constantes del movimiento 2. La representacion grafica de x = x(t)

tiene esta forma:

t

ωt= π/2

ωt=3 π/2ωt= π

ωt=2 π

T

A

x

Conceptos basicos en la descripcion de este tipo de movimiento son los siguientes:

A: Amplitud −→ maximo desplazamiento de la partıcula (negativo o positivo)

respecto de su posicion de equilibrio.

1Conviene recordar que las funciones senx y cosx son periodicas: sen(x + 2nπ) = senx; cos(x +2nπ) = cosx. Por lo que, como veremos mas adelante esta funcion para x(t) representa un movimientoperiodico en el tiempo.

2Sabiendo que cosx = sen(x + π/2), se puede definir un MAS alternativamente segun x(t) =Asen(ωt+ δ + π/2) ≡ Asen(ωt+ δ′).

8.2. CINEMATICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 209

δ: Desfase inicial −→ junto a la amplitud indica cuales son las condiciones ini-

ciales del movimiento. Se determina, como veremos mas adelante, a partir de la

posicion y velocidad iniciales.

ωt+ δ: Fase.

T : Periodo. Es el tiempo que necesita la partıcula para realizar un ciclo completo

de su movimiento. Es decir, x(t) = x(t+ T ). En el tiempo T la fase aumenta 2π.

ω(t+ T ) + δ = ωt+ δ + 2π −→ ωT = 2π −→ ω =2π

To T =

2π

ω.

ω: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s).

f = 1/T : Frecuencia −→ numero de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza

la partıcula: 2πf = ω. En el S.I. se mide en 1/s o herzios (Hz).

t

x(t)

t

v(t)

t

a(t)

-A

-ωA

-ω A2

δ=0


La velocidad y la aceleracion de una partıcula que realiza un MAS se obtienen sin

mas que derivar su posicion en funcion del tiempo:

v(t) =dx

dt= −ωA sen(ωt+ δ) (8.1)

a(t) =dv

dt= −ω2A cos(ωt+ δ) = −ω2x(t). (8.2)

v(t) y a(t) son tambien funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero

diferente amplitud y desfase:

Amplitudes :

x −→ xmax = A

v −→ vmax = ωA

a −→ amax = ω2A

Desfases :

{x− v −→ π/2

x− a −→ π

La amplitud, A, y el desfase, δ, del movimiento se obtienen a partir de las condi-

ciones iniciales del siguiente modo:

x(t) = A cos(ωt+ δ) −→ x(t = 0) ≡ x0 = A cos δ

v(t) = −Aω sen(ωt+ δ) −→ v(t = 0) ≡ v0 = −Aω sen δ.

Dividiendo ambas ecuaciones:

v0

x0

= −ω tan δ −→ tan δ = − v0

ωx0

=⇒ δ = arctan

(− v0

ωx0

). (8.3)

Por otra parte: x0

A= cos δ

− v0

Aω= sen δ

Elevando al cuadrado y sumando:

x20

A2+

v20

A2ω2= 1 −→ A2 = x2

0 +v2

0

ω2=⇒ A =

(x2

0 +v2

0

ω2

)1/2

. (8.4)

Para concluir este apartado resumiremos las propiedades mas importantes de la ci-

nematica del MAS:

8.3. DINAMICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 211

1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes amplitudes

y desfasadas entre sı.

2. La aceleracion es proporcional al desplazamiento, pero en sentido opuesto.

3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud.

8.3. Dinamica del movimiento armonico simple

Ahora que ya sabemos como describir el movimiento armonico simple, investiga-

remos sus posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema fısico mas

sencillo que da lugar a un movimiento de este tipo es un muelle que horizontalmente

sujeta una masa (y se desprecian los rozamientos).

x

x=0

-x

k


Cuando la masa se desplaza ligeramente de su posicion de equilibrio el muelle ejerce

una fuerza sobre ella proporcional a la elongacion pero con signo opuesto a ella y que

viene dada por la ley de Hooke,

f = −kx,

donde k es una constante que depende de las caracterısticas del muelle. Despejando la

aceleracion (f = ma):

a = − kmx.

Luego al igual que en el MAS, la aceleracion es proporcional en modulo al despla-

zamiento y de sentido opuesto. Comprobemos que, efectivamente, la masa realiza un

MAS estudiando la ecuacion de movimiento,

d2x

dt2= − k

mx.

Es facil comprobar que la solucion de esta ecuacion puede escribirse:

x(t) = A cos(ωt+ δ) donde ω =

(k

m

)1/2

.

En efecto: dx

dt= −Aω sen(ωt+ δ)

d2x

dt2= −Aω2 cos(ωt+ δ)

−Aω2 cos(ωt+ δ) = − kmA cos(ωt+ δ) =⇒ debe ser ω2 =

k

m.

Con esto podemos concluir que siempre que sobre una partıcula actue una fuerza

proporcional a su desplazamiento y en sentido opuesto a este, realiza un MAS. El

periodo y la frecuencia del desplazamiento son:T =

2π

ω= 2π

(mk

)1/2

f =1

T=

1

2π

(k

m

)1/2

T y f solo dependen de la masa y de la construccion del resorte. La frecuencia es

mayor para un resorte duro y al contrario.

8.4. ENERGIA DE UN OSCILADOR ARMONICO SIMPLE 213

8.4. Energıa de un oscilador armonico simple

En temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es conservativo y

que su energıa potencial viene dada por:

U(x) =1

2kx2.

La energıa total del sistema sera:

E = Ec + U =1

2mv2 +

1

2kx2.

Por el principio de conservacion de la energıa, E debe ser una constante del movimiento

(si despreciamos las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que para calcularla podemos

elegir el punto mas comodo. Elijamos, por ejemplo, el punto donde la elongacion es

maxima y la velocidad nula, es decir, en los extremos de la trayectoria:

x = A cos(ωt+ δ) −→ x = A

v = −Aω sen(ωt+ δ) −→ v = 0.

t

U(t)

E (t)c

E=cte.

En ese punto:

E =1

2kA2.

Esta es la energıa de un MAS. Como vemos solo depende de la amplitud del movimiento

y de la constante del muelle. Como la energıa mecanica es constante es instructivo


representar como se compensan Ec y U en un diagrama de energıas frente al tiempo

(en la figura se ha elegido δ = 0).

U =1

2kx2 =

1

2kA2 cos2(ωt+ δ)

Ec =1

2mω2A2 sen2(ωt+ δ) =

1

2kA2 sen2(ωt+ δ).

La energıa cinetica tambien se puede expresar en terminos de la posicion:

Ec = E − 1

2kx2 =

1

2k(A2 − x2),

que es la ecuacion de una parabola invertida y centrada en x = 0.

Ec =1

2mv2 =

1

2k(A2 − x2) −→ v =

[k

m(A2 − x2)

]1/2

.

De esta ecuacion se deduce inmediatamente que la velocidad es maxima en x = 0 y

que se anula en los puntos de maxima elongacion: x = ±A.

A-A

E

E (x)cU(x)

x

8.5. Ejemplos de movimiento armonico simple

8.5.1. Muelle vertical

La ecuacion de movimiento de un objeto colgado de un muelle vertical viene dada

por:

md2y

dt2= −ky −mg,

8.5. EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 215

ecuacion diferencial que difiere de la de un oscilador armonico simple en el termino

constante mg 3. Al colgar la masa del muelle en reposo este se deforma una cierta

elongacion, de manera que cuando alcanza el equilibrio se verifica:

0 = −ky0 −mg −→ y0 = −mgk,

donde y0 es la nueva posicion de equilibrio.

Haciendo el cambio de variable,

y′ ≡ y − y0 →

dy

dt=dy′

dt

d2y

dt2=d2y′

dt2

=⇒ md2y′

dt2= −k(y′ + y0)−mg = −ky′.

y0

y0

y'

k

m

y

Tras este cambio de variables la ecuacion de movimiento obtenida es identica a la

de un MAS (es decir, que si despues de alcanzarse el equilibrio gravitacional, la masa

experimenta una elongacion, el movimiento que se produce es un MAS alrededor de

esa posicion de equilibrio). Su solucion sera:

y′ = A cos(ωt+ δ) con ω =

√k

m.

3Criterio de signos para y: ↑ y > 0; ↓ y < 0.


Luego el unico efecto de la fuerza gravitatoria es desplazar la posicion de equilibrio

de y = 0 a y′ = 0 (y = y0). La energıa potencial de este muelle sera U = ky′2/2 (U = 0

en y′ = 0).

8.5.2. Pendulo simple

El pendulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo de lon-

gitud, `, inextensible y de masa despreciable frente a m. El otro extremo del hilo se

encuentra sujeto a una posicion fija. Demostraremos que el pendulo realiza un MAS

cuando se desplaza ligeramente de su posicion vertical de equilibrio y se deja evolucio-

nar libremente, considerando que no hay rozamientos.

P

T

θ

θs

l

m

La fuerza en la direccion tangente al movimiento viene dada por:

ft = −mg sen θ = md2s

dt2−→ d2s

dt2= `

d2θ

dt2= −g sen θ

=⇒ d2θ

dt2= −g

`sen θ.

Si θ es suficientemente pequeno se puede hacer la aproximacion, sen θ ' θ. Esto se debe

a que haciendo un desarrollo en serie de la funcion senx se obtiene senx = x−x3/3!+. . .

y cortando el desarrollo en el primer termino la diferencia entre x y senx solo es de un

1 % cuando θ ∼ 15o.

8.5. EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 217

50 150 250 350

-1

-0.5

0.5

1

x

sen(x)

5 10 15 20 25 30

1

2

3

4

x (º)

x (º)

|x-sen(x)|

x x 100

Luego si el pendulo no oscila con demasiada amplitud, su ecuacion de movimiento

angular es la de un MAS: θ = θmax cos(ωt + δ). La frecuencia del movimiento y el

periodo son:

ω =(g`

)1/2

; T =2π

ω= 2π

(`

g

)1/2

.

Ambos parametros solo dependen de l y g, no de la masa. Entonces todos los pendulos

de igual longitud oscilaran del mismo modo.

El pendulo simple suele utilizarse en la practica para gran cantidad de aplicaciones

que se podrıan dividir en dos bloques:

medir tiempos −→ su periodo es constante (salvo rozamientos y variaciones de

` por las condiciones termodinamicas o de g por la latitud o altitud) y es facil

visualizar el numero de oscilaciones.

medir g −→ las medidas de g con este metodo son bastante precisas, lo que es

importante porque cambios locales de g pueden dar informacion valiosa sobre la

localizacion de recursos minerales o energeticos.

8.5.3. Pendulo fısico

Cualquier solido rıgido colgado de algun punto que no sea su centro de masas

oscilara cuando se desplace de su posicion de equilibrio. Este dispositivo recibe el

nombre de pendulo fısico o compuesto.


φ

h sen φ c.m.

P

eje de

giro

m, I

z

h

El momento del peso respecto al eje de giro sera τ = mgh senφ y la segunda ley de

Newton para la rotacion se expresara,

τ = Iα = Id2φ

dt2.

El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el angulo φ por lo que:

−mgh senφ = Id2φ

dt2−→ d2φ

dt2= −mgh

Isenφ.

Para un pendulo simple, I = ml2 y h = l, con lo que se recuperan las ecuaciones del

apartado anterior. Cuando los desplazamientos angulares son pequenos senφ ' φ y

d2φ

dt2= −mgh

Iφ = −ω2φ donde ω =

(mgh

I

)1/2

y T = 2π

(I

mgh

)1/2

.

Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia de solidos rıgi-

dos.

8.5.4. Pendulo de torsion

Un pendulo de torsion esta formado por un cuerpo rıgido como un disco o una

varilla colgado de una fibra vertical. Cuando se gira el cuerpo tomando como eje la

fibra, esta ejerce un momento que tiende a recuperar la situacion inicial.

8.6. M.A.S. Y MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 219

θ

I

k

Para la mayorıa de las fibras el momento suele ser proporcional al desplazamiento

angular,

τ = −kθ = Id2θ

dt2

−→ d2θ

dt2= −k

Iθ = −ω2θ =⇒ ω =

(k

I

)1/2

.

En este caso no hemos necesitado hacer ninguna aproximacion para angulos pequenos.

Siempre que el momento de la fuerza restauradora sea lineal con θ se produce un MAS.

8.6. M.A.S. y movimiento circular uniforme

Existe una relacion matematica sencilla pero interesante entre el MAS y el movi-

miento circular uniforme. Consideremos una partıcula que se mueve con velocidad v

constante sobre una circunferencia de radio A. Su velocidad angular sera ω = v/A y si

δ es el desplazamiento angular en t = 0, se verifica:

θ = ωt+ δ.


θ

Acos θ

Av

y

x

La componente x de su posicion en funcion del tiempo se puede obtener ası:

x = A cos θ = A cos(ωt+ δ).

Esta ecuacion es la del desplazamiento de un MAS. Es decir, la proyeccion de la posi-

cion de la partıcula sobre el eje x realiza un movimiento oscilatorio de amplitud A y

frecuencia angular que coincide con la velocidad angular de rotacion.

Del mismo modo, la proyeccion sobre el eje y tambien realiza un MAS, pero des-

plazado π/2 respecto a la proyeccion sobre x. Por lo tanto, un movimiento circular

uniforme se puede considerar como la composicion de dos movimientos armonicos de

igual frecuencia y desplazados π/2. A partir de dos movimientos armonicos tambien

es posible describir movimientos mas complicados. Se denominan figuras de Lissajous.

Algunos ejemplos estan representados en la grafica adjunta.

8.6. M.A.S. Y MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 221

1

x=sen t

y=sen t

x=sen t

y=sen 2t

x=sen t

y=sen 3t

x=sen t

y=sen 4t

x=sen t

y=sen 5t

x=sen t

y=cos t

x=sen t

y=cos 2t

x=sen t

y=cos 3t

x=sen t

y=cos 4t

x=sen t

y=cos 5t


8.7. Movimiento en las proximidades del equilibrio

Siempre que se desplaza una partıcula desde una posicion de equilibrio estable

aplicandole una pequena perturbacion, el movimiento que se produce es de tipo armoni-

co simple. Supongamos una fuerza arbitraria correspondiente a una cierta funcion

energıa potencial y veamos como son las curvas U = U(x) y f = f(x) sabiendo que

f = −dU/dx.

U

x

~kx 2

x1

x2

f

xx2

f

x

f ~ -kx

x1

x1

En el diagrama de fuerzas, x1, es una posicion de equilibrio estable porque por ejemplo

un pequeno desplazamiento positivo da lugar a una fuerza negativa que tiene a restituir

la posicion de equilibrio. Sin embargo, para x2 desplazamiento y fuerza tienen el mismo

signo, es un punto de equilibrio inestable. Geometricamente la fuerza que devuelve la

partıcula a la posicion x1 se puede aproximar localmente por una recta de tipo f ∼ −kx(en el diagrama U = U(x) esto corresponde a aproximar el mınimo por una parabola).

Matematicamente, si x1 es un mınimo local de U(x), se puede hacer un desarrollo en

8.8. MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO 223

serie del siguiente modo:

U(x) = U(x1) +

(dU

dx

)x1

(x− x1) +1

2!

(d2U

dx2

)x1

(x− x1)2 + . . . (8.5)

con lo que a primer orden:

f(x) = −dUdx' −

(d2U

dx2

)x1

(x− x1) ≡ −k(x− x1),

donde k es una constante. Es decir, que en un entorno de la posicion de equilibrio la

fuerza que actua sobre la partıcula se puede aproximar por el tipo de fuerza que provoca

un MAS. Podemos concluir, pues, que cuando sobre una partıcula en una situacion de

equilibrio estable actua una perturbacion de pequena amplitud la partıcula efectua un

MAS alrededor de esa posicion. En resto de los terminos despreciados en la ecuacion

anterior para U(x) se denominan anarmonicos y son una medida de la diferencia de la

forma de U(x) respecto a una parabola en torno a x1. En la representacion de fuerzas,

los terminos anarmonicos son de la forma: −k′(x− x1)2 − k′′(x− x1)3 − . . . .

8.8. Movimiento armonico amortiguado

Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora se refieren a siste-

mas ideales, es decir, oscilan indefinidamente bajo la accion de una fuerza lineal opuesta

al desplazamiento. Sin embargo, en los sistemas reales siempre estan presentes fuerzas

disipativas que hacen que la energıa mecanica se vaya perdiendo progresivamente. En

este caso se dice que el movimiento armonico esta amortiguado.

Un tipo habitual de fuerzas de friccion son las proporcionales a la velocidad fr =

−bv. La ecuacion de movimiento de un sistema sometido a una fuerza lineal y otra de

rozamiento serıa:

md2x

dt2= −kx− bv.

Un ejemplo fısico de esta situacion serıa un muelle sumergido en un fluido. Resolviendo

la ecuacion diferencial anterior se puede obtener que su solucion es de la forma,

x(t) = Ae−b

2mt cos(ωt+ δ),


donde la frecuencia viene dada por:

ω =

[k

m−(

b

2m

)2]1/2

.

Evidentemente en el lımite b = 0 se recupera la solucion de un MAS. Exceptuando la

exponencial que aparece en la amplitud, el movimiento que resulta es de tipo oscila-

torio con una frecuencia menor que si no hubiese rozamiento. Pero, ademas, el factor

exponencial hace que la amplitud del movimiento decrezca de forma progresiva. Si el

amortiguamiento es pequeno la ecuacion anterior da como solucion una funcion de la

siguiente forma:

t

x

A Ae-(b/2m) t

x(t)

Se dice que el movimiento es subamortiguado. Matematicamente se produce cuando

(b/2m)2 < k/m. Cuando el amortiguamiento es muy grande [(b/2m)2 > k/m], ni

siquiera se producen oscilaciones. Se habla entonces de movimiento sobreamortiguado

y la solucion matematica es:

x(t) = e−b

2mt(Aeωt +Be−ωt

)

8.9. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIAS 225

x

t

crítico

sobreamortiguado

Existe ademas el caso especial en que (b/2m)2 = k/m. En esta situacion, ademas

de no haber oscilaciones la caıda de la amplitud es mas rapida que en el caso sobre-

amortiguado. Se dice que el amortiguamiento es crıtico. Matematicamente la solucion

es de la forma:

x(t) = e−ωt(A+Bt) con ω =

√k

m.

Aunque tampoco lo haremos, se puede demostrar formalmente que la perdida de la

energıa mecanica con el tiempo en este tipo de movimiento es exponencial:

E = E0e−t/τ con τ =

m

b,

donde τ es una constante de tiempo que mide la rapidez con que se pierde la energıa. Se

denomina factor de calidad , Q, a una magnitud adimensional que relaciona la energıa

total, E, con la energıa perdida en un periodo, ∆E:

Q ≡ 2πE

| ∆E |.

8.9. Oscilaciones forzadas y resonancias

Es posible compensar la perdida de energıa de un oscilador amortiguado aplicando

una fuerza externa. Esto es, por ejemplo, lo que hace un nino en un columpio para

mantenerse en movimiento. Realiza impulsos sincronizados de cierto modo para que

se compensen las fricciones. Otro ejemplo es que para mantener oscilando un muelle


vertical se puede ejercer una fuerza oscilatoria sobre su soporte para mantener el mo-

vimiento. En el caso mas comun las fuerzas aplicadas son periodicas , por ejemplo de

la forma,

f = f0 cosω0t.

La ecuacion de movimiento ahora sera:

md2x

dt2= f0 cosω0t− b

dx

dt− kx.

La solucion de esta ecuacion consta de dos partes, la solucion transitoria y la solucion

estacionaria. La transitoria es analoga a la de un oscilador amortiguado, con constantes

que dependen de las condiciones iniciales. Quiere esto decir que desde que se comienza

a aplicar la fuerza externa hasta que desaparece el amortiguamiento y la amplitud se

mantiene constante pasa un cierto tiempo. Cuando el movimiento se ha estabilizado la

solucion de la ecuacion es estacionaria, ya no depende de las condiciones iniciales y se

puede escribir ası,

x(t) = A cos(ω0t− δ),

donde ω = (k/m)1/2, ω0 es la frecuencia de la fuerza impulsora y:

A =

f0

[m2(ω20 − ω2)2 + b2ω2]

1/2

tan δ =bω

m(ω20 − ω2)

Ahora la amplitud depende de dos frecuencias. Si consideramos que la del oscilador,

ω es fija y variamos la externa, se obtiene una figura ası para la amplitud A:

8.9. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIAS 227

A

ω0ω = ω0

A =f /bω0máx 0

El drastico incremento de la amplitud que se produce cuando ω = ω0 se denomina

resonancia. Fısicamente la resonancia se produce cuando la fuerza aplicada y la velo-

cidad del oscilador estan en fase. Entonces como P = ~f.~v, la potencia transferida es

maxima. Ejemplos de situaciones con resonancia son los siguientes:

Cuando nos balanceamos en un columpio buscamos la frecuencia natural del

sistema para repetir los impulsos con esa frecuencia.

Cuando un peloton de soldados marcha por un puente ha de tener cuidado de

que la frecuencia del paso no sea la de resonancia del puente.

Un vaso se puede romper si se emite cerca de el un sonido de frecuencia parecida

a su frecuencia de resonancia.

Un puente se puede derribar si el viento le proporciona una frecuencia de vibracion

similar a la de su resonancia.

Sintonizar un aparato de radio o TV no es mas que buscar la frecuencia con que

emite la fuente para que coincida en resonancia con la del circuito electrico del

receptor.


8.10. Analisis de Fourier de movimientos periodicos

El movimiento armonico simple es unicamente un caso particular de movimiento

periodico u oscilatorio. En general, un movimiento periodico esta descrito por x = f(t)

donde la funcion f(t) verifica:

f(t) = f(t+ T ).

Es decir, que el valor que toma se repite con periodo T . Por ejemplo, la funcion que

se representa en esta figura es una funcion periodica, pero no armonica simple. Sin

embargo, se puede expresar como combinacion de dos movimientos armonicos simples

con distintas amplitudes y frecuencias.

t

f(t)

g (t)1

g (t)2

f(t)=a sen (ωt)+b sen (2ωt)

T

Un movimiento periodico cualquiera se puede siempre expresar como combinacion

de varios movimientos armonicos simples. Matematicamente este resultado se conoce

como teorema de Fourier : dada una funcion f(t) periodica y con periodo T = 2π/ω

siempre se puede expresar como la suma,

f(t) =a0 + a1 cosωt+ a2 cos 2ωt+ a3 cos 3ωt+ . . .

+ · · ·+ b1 cosωt+ b2 cos 2ωt+ b3 cos 3ωt+ . . .

De otro modo:

f(t) =n∑k=0

[ak cos(kωt) + bk sen(kωt)]

8.10. ANALISIS DE FOURIER DE MOVIMIENTOS PERIODICOS 229

Cada uno de los sumandos se denomina armonico o sobretono y los coeficientes ai y

bi pesan la importancia de cada uno. El teorema de Fourier demuestra que sus valores

son:

a0 =1

T

∫ T

0

f(t) dt; b0 = 0

(k > 0) ak =2

T

∫ T

0

f(t) cos(kωt) dt; bk = 2T

∫ T0f(t) sen(kωt) dt

Este teorema refuerza una vez mas la importancia del movimiento armonico simple,

pues un movimiento periodico cualquiera se puede siempre expresar como combinacion

de diversos MAS.

Esta descomposicion permite entender hechos importantes. Por ejemplo, distintos

instrumentos musicales pueden emitir la misma nota o tono (con una frecuencia de-

terminada) y, sin embargo, nosotros percibimos un timbre diferente para cada uno.

El mismo tono indica que el periodo que generan es igual en todos los instrumentos,

pero la forma de la onda se descompone en distintos armonicos porque cada uno la

genera con unas determinadas caracterısticas. Es decir, el analisis de Fourier de cada

instrumento es diferente. De hecho es posible generar sonidos haciendo una sıntesis de

Fourier que no es otra cosa que generar ondas armonicas electronicamente, con dis-

tintas amplitudes y frecuencias y combinarlas para conseguir un determinado sonido.

Este es el fundamento de los sintetizadores musicales utilizados actualmente.

El metodo de Fourier se puede utilizar para analizar funciones no periodicas. En

este caso es como si el periodo se extendiera desde −∞ hasta +∞. En este caso en

vez de analizar la curva en terminos de un espectro discreto de frecuencias (ω, 2ω, 3ω,

. . . ) se hace en terminos de un espectro continuo en el que la frecuencia puede tomar

cualquier valor. La amplitud correspondiente a cada frecuencia viene dada por una

funcion llamada transformada de Fourier.

Tambien es importante el analisis de Fourier en Geofısica, puesto que las carac-

terısticas espaciales de una anomalıa gravitatoria se pueden tambien descomponer y

analizar como suma de armonicos. En este caso la variable no es el tiempo sino la

posicion de la anomalıa, pero las ecuaciones anteriores se pueden aplicar exactamente

igual.

8.11. PROBLEMAS 231

8.11. Problemas

1. Un cuerpo de 3 kg de masa sujeto a un muelle oscila con una amplitud de 4

cm y un periodo de 2 s. a) ¿Cual es su energıa total?; b) ¿Cual es su velocidad

maxima?

(Respuestas : a) E = 2,37× 10−2 J; b) vmax = 0,13 m/s )

2. ¿Cual es el periodo de oscilacion de una regla de 1 m que puede girar alrededor

de uno de sus extremos?

(Respuestas : T = 1,64 s )

3. Un coche de 1200 kg se construye a partir de un chasis unido por cuatro amor-

tiguadores a las ruedas. Si cada amortiguador tiene una constante de fuerza de

20000 N/m, encuentrese el periodo y la frecuencia de vibracion cuando el au-

tomovil pasa por un bache llevando en su interior dos personas con una masa

conjunta de 160 kg.

(Respuestas : T = 0,85 s; f = 1,18 Hz )

4. Una partıcula de 10 g describe un M.A.S. en el eje x. La amplitud es 5 cm y cada

segundo efectua media vibracion. Calculense:

a) La ecuacion que rige el movimiento.

b) La fuerza que lo produce.

c) Los valores de la elongacion para los que sera maxima la velocidad.

d) Los valores de la elongacion para los que sera nula la aceleracion.

(Respuestas : a) x(t) = 5 cosπt; b) f = −mπ2x; c) x(vmax) = 0; d) x(a =

0) = 0)

5. El embolo de una maquina de vapor pesa 20 kg, siendo la longitud del cilindro

40 cm y suponemos que se mueve con un movimiento armonico simple a razon

de 120 rev/min . Determina:


a) El tiempo que tarda en recorrer 10 cm a partir del momento en que pasa por

el centro del cilindro.

b) La energıa cinetica cuando pasa por el centro del cilindro.

c) El instante en que la aceleracion es maxima y su valor.

(Respuestas : a) t = 0,08 s; b) Ec = 63,2 J; c) amax = 31,6 m/s2; t = 0,25 s)

6. Un resorte espiral tiene una longitud de 15 cm. Cuando de el se cuelga una masa

de 50 g queda en reposo con una longitud de 17 cm. Calcula:

a) La constante de recuperacion del resorte.

b) La frecuencia de las oscilaciones verticales que se producen cuando se cuelga

una masa de 90 g.

c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa de 90 g entre los extremos

de la trayectoria, si la distancia entre ellos es de 6 cm.

(Respuestas : a) k = 24,5 N/m; b) f = 2,63 Hz; c) W = 0,053 J)

7. Una masa de 250 g se encuentra sobre una mesa sin rozamiento sujeta por dos

muelles de constantes k1 = 30 N/m y k2 = 20 N/m. Calcula el periodo del

movimiento oscilatorio que realiza la masa cuando es sometida a una pequena

perturbacion.

(Respuestas : T = 0,42 s)

8. El pendulo de un reloj de pared esta constituido por una varilla homogenea de

1 m de longitud y masa m1 en cuyo extremo se encuentra un pequeno cilindro

macizo y homogeneo de masa tres veces mayor que la varilla. Calculese el radio

que debe tener este cilindro para que el reloj funcione con un periodo de 2 s.

(Respuestas : r = 5,11 cm)

9. Una partıcula describe una curva de Lissajous de ecuacion:

x = 2√

3 sen(π

2t)

8.11. PROBLEMAS 233

y = 2 sen(π

2t)

en el S.I.. Calculense el modulo de la velocidad en funcion del tiempo y el angulo

que esta forma con el eje de ascisas. ¿Cual sera su maxima velocidad?

(Respuestas : v(t) = 2π cos(π

2t)

; α = 30o; vmax = 2π m/s)

10. Calcula la tension en la cuerda de un pendulo simple en funcion del angulo que

forma la cuerda con la vertical.

(Respuestas : T = mg(3 cos θ − 2 cos θ0))

11. Un anillo de 10 cm de radio esta suspendido de una varilla de modo que puede

oscilar libremente. Determina su periodo de oscilacion.


12. Obtengase la frecuencia de oscilacion correspondiente al potencial intermolecular:

U(x) = −ε0[2(x0

x

)6

−(x0

x

)12],

donde ε0 y x0 son constantes arbitrarias.

(Respuestas : ω =

(72ε0mx2

0

)1/2

)

13. Una masa de 20 kg de mercurio cae en el interior de un tubo en forma de U de

3 cm2 de seccion transversal. Calcula su periodo de oscilacion sabiendo que la

densidad del mercurio vale: ρ = 13, 6 g/cm3.


14. Dos resortes identicos (k = 20 N/m) se encuentran conectados de la forma que

muestran las figuras a una masa de 300 g. Obtengase el periodo de oscilacion de

cada uno de los dos sistemas.

(Respuestas : a), b) T = 0,54 s)


k k

m

a)

b)

k k

m

15. Un objeto de masa M conectado a un muelle de constante k oscila armonicamente

con amplitud A1. En el instante en que el objeto pasa por su posicion de equilibrio

se deja caer sobre el un trozo de plastilina de masa m que se adhiere a el.

a) Calcula la nueva amplitud y el nuevo periodo del movimiento.

b) Repıtase el apartado anterior en el caso en que la plastilina se deja caer en un

extremo de la trayectoria.

(Respuestas : a) A22 =

M

M +mA2

1; T2 = 2π

(M +m

k

)1/2

; b) A1 = A2; T2 =

2π

(M +m

k

)1/2

)

16. Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de

una bascula de masa 10 kg . El muelle de la bascula tiene una constante elastica

8.11. PROBLEMAS 235

de 8 kg/cm. Suponiendo que despues del choque el plato y el cuerpo permanecen

unidos, calculense: a) el desplazamiento maximo del plato de la bascula y b) la

ecuacion del movimiento del conjunto cuerpo-plato.

(Respuestas : y2 = 0, 171 m; x = 0, 16 cos(19, 8t))

17. Por la garganta de una polea, cuya masa M puede considerarse concentrada en

su periferia, pasa un hilo inextensible y sin masa. De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa m y el otro extremo del hilo esta atado a un resorte vertical

cuyo extremo esta fijo en el suelo. Calcula el periodo para pequenas oscilaciones

de m. Datos: M = 900 g; m = 150 g ; K = 1600 N/m.


Capıtulo 9

Movimiento ondulatorio

9.1. Introduccion: conceptos basicos y tipos de on-

das

El movimiento ondulatorio puede considerarse como un transporte de energıa y

cantidad de movimiento de una region a otra del espacio sin que tenga lugar ningun

transporte neto de materia.

En cuanto al tipo de medio material en que se pueden propagar, podemos dividir

las ondas en dos grandes grupos:

} Ondas mecanicas : En este caso las ondas se originan mediante una perturbacion

en el espacio que se propaga a traves de un medio material debido a sus propieda-

des elasticas. Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas sonoras (vibraciones

de las moleculas de aire que se transmiten de unas a otras), ondas en la superficie

de un estanque, ondas en una cuerda, ondas sısmicas, etc.

} Ondas electromagneticas : Estas ondas no necesitan de ningun medio material

para propagarse. Pueden hacerlo en el vacıo. La energıa y el momento son trans-

portados por campos electricos y magneticos que se propagan conjuntamente en

el espacio. Ejemplos de estas ondas son las ondas luminosas, las ondas de radio

o television, las ondas de telefonıa movil, los rayos X, etc.

Las ondas que se propagan en el espacio se denominan ondas viajeras . Sin embargo,

hay otro tipo de ondas (que estudiaremos mas adelante con detalle) que se denomi-

238 CAPITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

nan estacionarias y que estan confinadas en una determinada region del espacio. Por

ejemplo, al pulsar la cuerda de una guitarra se produce una onda, pero limitada a la

region entre los extremos de la cuerda. Para una onda estacionaria, la energıa que lleva

asociada permanece acotada en una cierta region del espacio.

Cuando una onda se propaga a traves de un medio, las partıculas de este no acom-

panan su movimiento de avance, sino que oscilan alrededor de posiciones fijas. Al

considerar el movimiento de una onda hemos de distinguir dos aspectos:

� el movimiento de la onda a traves del medio

� el movimiento oscilatorio de las propias partıculas del medio.

x

x

x

y

y

y

propagación

oscilación

Una forma de clasificar ondas alude precisamente a la relacion entre la direccion de

propagacion y la direccion en que vibran las partıculas del medio.

• Ondas transversales son aquellas en que las partıculas oscilan perpendicularmente

a la direccion de propagacion de la onda. Reproducen el esquema de la figura

9.1. INTRODUCCION: CONCEPTOS BASICOS Y TIPOS DE ONDAS 239

adjunta. Ejemplos de este tipo de ondas son las que se generan en una cuerda

cuando se mueve arriba y abajo uno de sus extremos.1

• Ondas longitudinales son aquellas en que las partıculas oscilan en la misma di-

reccion en que se propaga la onda.

propagación

oscilación

Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando se pinza uno de los extremos de

un muelle situado horizontalmente. La compresion entre las espiras del muelle,

se transmite a traves de el debido a sus propiedades elasticas y pinzamiento y

direccion de propagacion coinciden. Las ondas sonoras tambien son ondas longitu-

dinales. Se pueden entender como perturbaciones de la posicion de las partıculas

del medio (aire) que se propagan por las interacciones entre unas y otras (tambien

pueden entenderse como ondas de presion, pero eso lo estudiaremos en la seccion

especıfica dedicada a ondas sonoras).

Hay ondas que no son estrictamente longitudinales ni transversales. Esto sucede,

por ejemplo, en las ondas que se producen en la superficie del agua, en mares o rıos. En

estas ondas las partıculas de la superficie realizan trayectorias elıpticas o casi circulares.

1Las ondas electromagneticas tambien son ondas transversales, aunque en ese caso no tiene lugarninguna vibracion de las partıculas del medio, sino que son los propios campos electrico y magneticolos que vibran perpendicularmente entre sı y a la direccion de propagacion.


propagación

oscilación

En este tema nos ocuparemos unicamente de ondas mecanicas. Estas ondas requie-

ren tres elementos basicos:

a) Alguna fuente que produzca la perturbacion.

b) Un medio que se pueda perturbar.

c) Un mecanismo fısico por el cual puntos adyacentes del medio interaccionen para

propagar la perturbacion.

Conceptos basicos en cualquier tipo de ondas:

∗ Longitud de onda: distancia entre dos puntos que en el mismo instante estan a la

misma distancia de su posicion de equilibrio (dicho de otro modo, distancia entre

dos puntos que vibran del mismo modo).

∗ Frecuencia: numero de vibraciones por unidad de tiempo de la perturbacion.

∗ Velocidad de propagacion: velocidad con que se transmite la perturbacion.

∗ Amplitud: maxima separacion de un punto respecto a su posicion de equilibrio.

9.2. Pulsos unidimensionales

Un pulso es una onda de extension relativamente corta, interesante desde el punto de

vista teorico porque permite visualizar el comportamiento generico de cualquier onda.

Matematicamente, un pulso se puede representar como una cierta funcion, y = f(x),

que se mueve con una cierta velocidad.

9.2. PULSOS UNIDIMENSIONALES 241

Por ejemplo, un pulso es el resultado de mover el extremo de una cuerda horizontal

(estando el otro extremo sujeto a un punto fijo) con fuerza arriba o abajo durante un

breve intervalo de tiempo.

propagación

9.2.1. Funcion de ondas

Si la forma de un pulso no cambia con el tiempo, respecto a un sistema de referencia

inercial, la curva f(x) se movera con la velocidad de propagacion del pulso, v. Es decir,

matematicamente un pulso que se desplaza hacia la derecha sera una funcion:

y = f(x− vt),

y si se mueve hacia la izquierda:

y = f(x+ vt).

La forma funcional f(x ± vt) se denomina funcion de ondas. De otro modo: y =

y(x, t) = f(x±vt). La velocidad con que se propaga la onda no debe confundirse con la

velocidad con que vibran las partıculas del medio. En concreto, la velocidad del pulso

se suele denominar velocidad de fase y se obtiene como:

v =dx

dt.


y=f(x)

y

x

y=f(x')=f(x-vt)

y

x'

vt

O

y'

O'O

xx'

t = 0 t

9.2.2. Superposicion

Muchos fenomenos ondulatorios que se presentan en la Naturaleza no se pueden

describir en terminos de un unico pulso, sino como una combinacion de varios de ellos.

Para analizar que sucede si, por ejemplo, sobre una cuerda coinciden dos o mas pulsos

se postula el Principio de Superposicion:

Si dos o mas partıculas coinciden en la misma region del espacio, la funcion de

onda resultante es la suma algebraica de las funciones de ondas individuales.

Las ondas que obedecen este principio se denominan lineales. Nosotros nos ocupa-

remos unicamente de este tipo de ondas. Una consecuencia de este principio es que dos

ondas pueden pasar una sobre otra sin que se destruyan o alteren. La combinacion de

dos o mas ondas en la misma region del espacio se denomina interferencia. Puede ser

de tipo constructivo si las funciones de onda se suman, y = y1 + y2, o , si las funciones

tienen signos opuestos y se cancelan total o parcialmente, y = y1 − y2.


Interferencia constructiva

Interferencia destructiva


9.2.3. Reflexion y transmision

Siempre que una onda viajera alcanza una frontera, se refleja. Consideremos el caso

de un pulso en una cuerda. Existen al menos dos posibilidades sencillas, que el extremo

donde se encuentra la frontera este libre o fijo.

pulso incidente

pulso reflejado

En el caso de extremo libre, el pulso reflejado se invierte respecto al inicial, mientras

que si el extremo esta fijo, el pulso incidente y el reflejado son del mismo signo pero

con velocidades opuestas.

Se produce una transmision de una onda entre dos medios, cuando la onda puede

pasar de un medio a otro y continuar su propagacion. En el caso de pulsos en cuerdas

un ejemplo es cuando dos cuerdas de distinto grosor estan unidas y un pulso pasa de

una a otra.

Como se observa en la figura, ademas de un pulso transmitido en el segundo medio,

existe tambien un pulso reflejado. Estos dos pulsos, transmitido y reflejado, tienen

menor amplitud que el incidente porque la energıa de este se reparte entre los dos.


pulso incidente

pulso reflejado

pulso transmitido

9.2.4. Velocidad de propagacion de las ondas unidimensiona-les

Una propiedad general de las ondas es que su velocidad depende de las propiedades

de medio, pero no de la velocidad de la fuente relativa al medio. Por ejemplo, la

velocidad de una onda en una cuerda depende unicamente de las propiedades de la

cuerda. Otro ejemplo es que la velocidad de las ondas sonoras que emite el silbato de

un tren depende solo de las propiedades del aire y no del movimiento del tren.

A continuacion demostraremos que la velocidad de las ondas en una cuerda depende

solo de la tension a que esta sometida y de su masa. Supongamos un pulso desplazando-

se por una cuerda. Consideraremos que su longitud es pequena en comparacion con la

longitud de la cuerda, lo que nos permitira trabajar con una tension unica en todos

los puntos de la cuerda (que ademas coincidira con la de la cuerda en ausencia de

pulsos). Tomaremos como sistema de referencia uno que se mueve con velocidad cons-

tante, v igual a la velocidad de propagacion del pulso. Es decir, que en este sistema

el pulso esta estacionario y la cuerda se mueve hacia la izquierda con velocidad, v. El

segmento de cuerda ∆s se esta moviendo entonces sobre una circunferencia de radio,

r, y experimenta una aceleracion centrıpeta, v2/r. Si la amplitud del pulso es suficien-


temente pequena, las componentes tangenciales de la tension seran aproximadamente

horizontales (se anulan) y las radiales verticales (se suman).

θ_2

θ_2

ττ

∆s

v

r

∑fr = 2τ sen

θ

2' 2τ

θ

2' τθ.

Si µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda, la masa del segmento sera:

m = µ∆s = µrθ

Entonces: ∑fr = ma −→ τ ��θ = µ�r

v2

�r��θ.

Y despejando v:

v =

(τ

µ

)1/2

Esta velocidad es independiente de r y θ, luego es valida para todos los segmentos de

la cuerda. Queda demostrado, por tanto, que la velocidad del pulso depende solo de la

tension de la cuerda y de su masa por unidad de longitud. Mayor tension llevara aso-

ciada mayor velocidad y entre dos cuerdas sometidas a la misma tension, las ondas se

propagaran a mayor velocidad en la mas ligera.

9.3. ONDAS ARMONICAS 247

9.3. Ondas armonicas

Si el extremo de una cuerda se desplaza arriba y abajo siguiendo un MAS, se

produce un tren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. La forma de la

cuerda en cualquier instante de tiempo es una funcion senoidal y ademas se propaga

con una cierta velocidad. Este tipo de onda, que tiene como origen una perturbacion

de tipo armonico simple, se denomina onda armonica.

y

x

t=0t

vt

y

x

λ

A

t = 0

t

En t = 0 la forma de la onda siempre se puede representar como:

y = A sen

(2π

λx

).

~ Amplitud: Maximo desplazamiento respecto a la posicion de equilibrio

~ Longitud de onda: Distancia entre dos crestas o valles consecutivos o entre dos

puntos adyacentes con la misma fase.

y(x) = y(x+ nλ), n = 1, 2, 3, . . .


porque:

y(x+ nλ) = A sen

[2π

λ(x+ nλ)

]= A sen

(2πx

λ+ 2nπ

)= y(x).

Si la onda se desplaza hacia la derecha con velocidad v, en un tiempo t, posterior,

la funcion de onda sera:

y(x, t) = A sen

[2π

λ(x− vt)

].

Si la onda viaja hacia la izquierda, serıa:

y(x, t) = A sen

[2π

λ(x+ vt)

].

~ Periodo: El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a λ se

denomina periodo:

v =λ

T.

Luego una manera alternativa de expresar la funcion de ondas es:

y(x, t) = A sen

[2π

(x

λ− t

T

)]Esta funcion muestra el caracter periodico de la onda: y tiene el mismo valor en las

posiciones x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ . . . . Y para cualquier posicion dada, x, y toma el

mismo valor en los instantes: t, t+ 2T , t+ 3T , . . . Es decir, la periodicidad espacial la

determina λ y la temporal T . Matematicamente:

y(x, t) = y(x+ nλ, t) −→ λ periodicidad espacial

y(x, t) = y(x, t+ nT ) −→ T periodicidad temporal

Otras definiciones usuales son las siguientes:

k ≡ 2π

λ−→ numero de onda (1/m)

ω ≡ 2π

T−→ frecuencia angular (rad/s)

f ≡ 1

T−→ frecuencia (1/s=Hz) (herzio)


En terminos de algunos de estos parametros:

y(x, t) = A sen(kx− ωt),

y la velocidad se puede expresar:

v =ω

kv = λf.

Las funciones de onda expuestas hasta ahora presuponen que en el instante inicial,

t = 0, x = 0 y el desplazamiento desde el equilibrio es nulo, y = 0. En general, esto

no tiene porque suceder. Para ello matematicamente se puede introducir un desfase

inicial, δ, de manera que la forma mas general de la funcion de ondas es:

y(x, t) = A sen(kx− ωt− δ).

El desfase inicial se determina a partir de las condiciones iniciales.

La velocidad con la que vibra un punto cualquiera del medio material en que se

transmite la onda y su aceleracion, se determinan derivando y(x, t) respecto al tiempo:

vy =∂y

∂t

)x=cte

= ωA cos(kx− ωt)

ay =∂2y

∂t2

)x=cte

= −ω2A sen(kx− ωt).

Los valores maximos son:

vy,max = ωA

ay,max = ω2A.

Una onda real no puede ser armonica, porque estas no tienen ni principio ni fin. Se

extienden hacia el infinito tanto en el espacio como en el tiempo. Las ondas reales, sin

embargo, estan limitadas espacial y temporalmente, pero una buena aproximacion es

suponer que se comportan como armonicas en cierta region. En las ondas reales suele

ser λ >> A y ademas su extension espacial es mucho mayor que λ. Este tipo de ondas

se denomina tren de ondas. Una onda armonica es una representacion idealizada de un

tren de ondas.


9.3.1. Energıa transmitida por las ondas armonicas

Las ondas mecanicas, cuando se propagan por un medio, transportan energıa. La

forma mas sencilla de visualizar este hecho es colgando una pequena masa de una

cuerda horizontal y provocar una onda sobre ella.

propagación

∆y

Al llegar el pulso a la masa, esta sufre una variacion de su posicion vertical y por

tanto de energıa potencial (y tambien cinetica porque sufre una aceleracion en direccion

vertical). Aunque el ejemplo del dibujo es un pulso, en el caso de ondas armonicas el

razonamiento es identico.

Supongamos una onda armonica de amplitud A y frecuencia ω. Se puede demostrar

que la variacion de energıa de un segmento de cuerda de masa ∆m = µ∆x sera:

∆E =1

2∆mω2A2 =

1

2µω2A2∆x.

Si la velocidad de propagacion es v, ∆x = v∆t, la energıa transmitida en ese tiempo

sera:

∆E =1

2µω2A2v∆t, (9.1)

y la energıa transmitida por unidad de tiempo sera la potencia asociada:

P =∆E

∆t=

1

2µω2A2v.


Luego, efectivamente, la propagacion de una onda conlleva una transmision de

energıa de un punto a otro del espacio sin que haya un transporte neto de materia.

9.3.1 Ejemplo

Una cuerda con una densidad lineal µ = 0,05 kg/m se encuentra sometida a una tension

de 80 N. ¿que potencia se le debe suministrar para generar en ella ondas armonicas de

frecuencia 60 Hz y amplitud 6 cm?

v =

(τ

µ

)1/2

ω = 2πf = 377 s−1

P =1

2µω2A2v =

1

25× 10−2 kg

��m377

1

s(6× 10−2)2 m2 40

��m

s= 512 W.

9.3.2. Interferencia de ondas armonicas

La superposicion de ondas se denomina en general interferencia. Consideremos dos

ondas armonicas que coinciden en la misma region del medio en que se propagan:

y1 = A sen(kx− ωt+ δ1)

y2 = A sen(kx− ωt+ δ2).

Suponemos que solo se diferencian en su fase, ∆δ = (kx− ωt+ δ2)− (kx− ωt+ δ1) =

δ2−δ1. Si δ2 = δ1, se dice que ambas estan en fase y si son distintas que estan desfasadas

en ∆δ. Para encontrar la onda resultante de la interferencia hacemos uso del principio

de superposicion:

y(x, t) = y1 + y2 = A [sen(kx− ωt+ δ1) + sen(kx− ωt+ δ2)] .

Si, por comodidad, tomamos δ1 = 0 y δ2 = ∆δ, entonces si las ondas estan en fase

δ = 0 y, en general, si estan desfasadas δ tendra un valor no nulo.


y

xδ / k

A

y1

y2

i) δ = 0 (o δ = 2nπ con n = 0, 1, 2 . . . ).

y(x, t) = 2A sen(kx− ωt)

Este tipo de interferencia se denomina constructiva.

y

x

2A

y +1

y2

y2

y ,1

A

ii) δ = π [o δ = (2n+ 1)π con n = 0, 1, 2 . . . ].

y(x, t) = A sen(kx− ωt) + A sen(kx− ωt+ π) = 0

porque sen(π + α) = − senα.

Este tipo de interferencia se denomina destructiva.


y

x

y +1

y2

y2

y 1

iii) Desfase δ.

En el caso general de un desfase δ arbitrario se puede utilizar la identidad:

senα + sen β = 2 sen

[1

2(α + β)

]cos

[1

2(α− β)

]. (9.2)

Tomando en nuestro caso α ≡ kx− ωt y β ≡ kx− ωt + δ, y teniendo en cuenta

que la funcion cos x es una funcion par, resulta:

y1 + y2 = 2A cos

(δ

2

)sen

(kx− ωt+

δ

2

).

Vemos entonces que la superposicion resulta ser otra onda armonica de igual

frecuencia y numero de ondas, pero con distinta amplitud [2A cos( δ2)] y fase inicial

(δ/2).

9.3.3. Ondas estacionarias

Cuando las ondas estan confinadas en una determinada region del espacio, como

las ondas en las cuerdas de un violın, se producen reflexiones en ambos extremos de

la cuerda, y por consiguiente, existen dos ondas moviendose en los dos sentidos que

se combinan de acuerdo con el principio de superposicion. Si se cumplen determinadas

condiciones esta interferencia da lugar a un tipo de onda que se denomina estacionaria.

Consideremos dos ondas armonicas identicas que viajan en sentidos opuestos:

y1(x, t) = A sen(kx− ωt) e y2(x, t) = A sen(kx+ ωt).

y(x, t) = y1 + y2 = A [sen(kx− ωt) + sen(kx+ ωt)] .


Haciendo uso de la identidad (9.2) y llamando: α ≡ kx+ ωt; β ≡ kx− ωt, se obtiene:

y(x, t) = 2A cos(ωt) sen(kx).

Esta es la funcion de onda correspondiente a una onda estacionaria. Fısicamente re-

presenta una onda que no se desplaza en la direccion de propagacion, aunque todos los

puntos realizan un MAS con amplitud dependiente de la posicion [2A sen(kx)]. Esta

amplitud es maxima en las posiciones que verifican:

kxm =

(m+

1

2

)π −→ xm =

(m+

1

2

)λ

2donde m = 0, 1, 2 . . .

Estos maximos se denominan antinodos. Los mınimos o nodos se determinan a partir

de:

kx′m = mπ −→ x′m =mπ

k= m

λ

2.

Supongamos, por ejemplo, el caso de una cuerda sujeta por ambos extremos y de longi-

tud `. Si los extremos permanecen fijos deben ser dos nodos2. Es decir, las condiciones

de contorno serıan:

y(0, t) = y(`, t) = 0.

Como los nodos estan separados entre sı una semilongitud de onda, x′m − x′m−1 = λ/2,

debe haber un numero entero de nodos, n (con n > 1), entre los extremos:

nλn2

= ` −→ λn =2`

n.

En frecuencias:

fn =v

λn= n

v

2`.

Esta ecuacion se denomina condicion de onda estacionaria (para una cuerda de

extremos fijos) y significa que una onda estacionaria no puede tener una longitud

de onda (o frecuencia) cualquiera, sino que solo se producen a unas determinadas

frecuencias de resonancia. La mas baja recibe el nombre de frecuencia fundamental o

primer armonico. La siguiente segundo armonico y ası sucesivamente.

2En realidad, el extremo donde se genera la onda es un nodo solo aproximadamente, pues se debeagitar continuamente para evitar la atenuacion.


Por ejemplo, en un instrumento musical que opera en frecuencias de resonancia,

como una guitarra, su frecuencia depende de la longitud de la cuerda, de la tension y

de su masa. Y sobre estos tres elementos se actua para variar su sonido: la guitarra se

afina variando la tension, la longitud se cambia presionando la cuerda con una ceja y

la masa depende del tipo de cuerda del instrumento.

n=

1n=

2n=

3n=

4n=

5

l

A

A A

A A A

A A A A

A A A A A

N N

NN

N

Prim

er armó

nico

fun

dam

ental

Seg

un

do

armó

nico

Tercer arm

ón

icoC

uarto

armó

nico

Qu

into

armó

nico


9.4. Ecuacion de ondas

Una funcion de onda cualquiera, f(x − vt), es siempre solucion de una ecuacion

diferencial denominada ecuacion de ondas que puede deducirse a partir de las leyes de

Newton.

Supongamos un pequeno segmento de cuerda de masa µ∆x, longitud ∆x y que al

pasar a traves de el una onda se desplaza verticalmente formando un cierto angulo con

la horizontal. Supondremos ademas que la amplitud de la onda es pequena, de modo

que ese angulo sea tambien pequeno y comparable a su seno.

∆y

θ1

θ2

∆x

τ

τ

Si ~τ es la tension de la cuerda, la fuerza vertical neta sobre el elemento de cuerda

vale: ∑fy = τ sen θ2 − τ sen θ1

θ ↓↓ =⇒

{cos θ ' 1

sen θ ' θ−→ tan θ ' 0 −→

∑fy = τ(tan θ2 − tan θ1).

Como la tangente es igual a la pendiente de la curva en esos puntos:

S = tan θ =∂y

∂x=⇒

∑fy = τ(S2 − S1) = τ∆S.

Aplicando la segunda ley de Newton (f = ma):

τ∆S = µ∆x∂2y

∂t

2

=⇒ τ∆S

∆x= µ

∂2y

∂t2.

9.4. ECUACION DE ONDAS 257

Y en el lımite ∆x = 0,

lım∆x→0

∆S

∆x=∂S

∂x=

∂

∂x

∂y

∂x=∂2y

∂x2=⇒ ∂2y

∂x2=µ

τ

∂2y

∂t2.

Esta es la ecuacion de ondas para una cuerda con las hipotesis realizadas. Cualquier

onda en la cuerda debe tener una funcion de ondas que verifique esa identidad.

9.4.1 Ejemplo

Comprobaremos ahora, como ejemplo, que cualquier funcion f(x ∓ vt) satisface esa

ecuacion de ondas.

y = y(x∓ vt) ≡ y(α); y′ ≡ ∂y

∂α; y′′ =

∂2y

∂α2

~∂y

∂x=∂y

∂α

∂α

∂x= y′

∂α

∂x= y′ ~

∂2y

∂x2= y′′

~∂y

∂t=∂y

∂α

∂α

∂t= −v ∂y

∂α= −vy′ ~

∂2y

∂t2= −v∂y

′

∂t= −v∂y

′

∂α

∂α

∂t= v2y′′

=⇒ ∂2y

∂x2=

1

v2

∂2y

∂t2

Esta es la ecuacion de ondas que obtuvimos anteriormente haciendo, v = (τ/µ)1/2. Por

lo tanto, efectivamente esa es la velocidad de propagacion de una onda en una cuerda.

9.4.2 Ejemplo

Demuestrese que una onda armonica es solucion de la ecuacion de ondas y obtengase

su velocidad.

y(x, t) = A sen(kx− ωt)

� ∂y

∂x= Ak cos(kx− ωt) � ∂y

∂t= Aω cos(kx− ωt)

� ∂2y

∂x2= −Ak2 sen(kx− ωt) � ∂2y

∂t2= −Aω2 sen(kx− ωt)

−→ ∂2y

∂x2=

1

v2

∂2y

∂t2−→ −��Ak2

(((((((sen(kx− ωt) = − 1

v2��Aω2(((

((((sen(kx− ωt)

=⇒ v =ω

k,

que es la velocidad de una onda armonica en terminos de la frecuencia angular y el

numero de ondas.


9.5. Ondas en tres dimensiones

Hasta ahora hemos estudiado unicamente ondas unidimensionales. Sin embargo, en

una cubeta llena de agua se producen ondas bidimensionales al agitar la superficie

del agua. En este caso, la longitud de la onda es la distancia entre dos crestas de las

ondas sucesivas. Estas ondas se visualizan en forma de circunferencias concentricas

denominadas frente de ondas.

λ

En el caso de las ondas de sonido, que se propagan en el espacio tridimensional, los

frentes de ondas son superficies que se alejan del foco emisor. Estos frentes de onda

pueden ser esfericos y su movimiento se puede indicar trazando rayos, que son lıneas

perpendiculares al frente de ondas y que pasan por el foco emisor. Si el foco es puntual

y el medio uniforme, cualquier onda emitida es esferica.

foco

frentes

rayos

Ondas esféricas Ondas planas

Cuando se observan los frentes de onda desde un punto muy alejado del foco emisor,

son planos. Se suelen denominar ondas planas.

9.5. ONDAS EN TRES DIMENSIONES 259

Si un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones, la energıa a

una distancia r estara distribuida uniformemente sobre una superficie esferica de radio

r. Se denomina intensidad a la potencia media por unidad de area que esta incidiendo

perpendicularmente a la direccion de propagacion. Para ondas esfericas:

I =PmS

=Pm

4πr2(W/m2)

Esta definicion asume implıcitamente que el medio no atenua las ondas y que las ondas

emitidas por la fuente se propagan uniformemente en todas las direcciones.

Como la energıa de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud3:

I1

I2

=r2

2

r21

∝ A21

A22

−→ A22r

22 ∝ A2

1r21.

Esto quiere decir que la amplitud de una onda esferica tridimensional debe decrecer

con r. La funcion de ondas de una onda esferica armonica se puede escribir entonces

como:

Ψ(r, t) =s0

rsen(kr − ωt),

donde s0 es una constante. Si la onda es plana y se propaga segun el eje x:

Ψ(x, t) = s0 sen(kx− ωt).

9.5.1. Propagacion de ondas en el espacio

La forma mas sencilla de entender la propagacion de ondas mecanicas en el espacio

es a traves del denominado Principio de Huygens :

Cada partıcula puntual de un medio material al que llega una perturbacion se con-

vierte en una fuente puntual secundaria de ondas que emite ondas esfericas secundarias

que alcanzan la siguiente capa de partıculas del medio.

3De otro modo: I ∝ 1/r2, por la denificion de intensidad y ademas, I ∝ A2, por serlo la energıa deuna onda armonica. En consecuencia, A ∝ 1/r.


A

A'

A''

...

B

B'

B''

...

C

C'

C''

...

D

D'

D''

...

...

Cuando la onda alcanza las partıculas A, B, C . . . , se ponen a vibrar y actuan como

fuentes puntuales de ondas secundarias, cuya envolvente representa la propagacion del

frente inicial. Una consecuencia importante del Principio de Huygens es que en un

medio isotropo y homogeneo, donde la velocidad de la onda es la misma en todos los

puntos y en todas las direcciones, las superficies de onda se mantienen paralelas durante

la propagacion.

Mediante el principio de Huygens se pueden entender, al menos fenomenologicamen-

te, algunas de las propiedades de las ondas en su propagacion en el espacio: reflexion,

refraccion y difraccion.


Para considerar la reflexion y la refraccion supongamos el caso mas sencillo de una

onda plana que separa dos medios donde la velocidad de propagacion de la onda es

diferente. Sean ~ui, ~ur y ~uR los vectores unitarios que indican la direccion de propagacion

de las ondas incidente, reflejada y refractada, y θi, θr y θR, los angulos que forman los

respectivos rayos con la vertical.

ui

ur

uR

θi

θr

θR

1

2

La reflexion se debe a la interferencia de la onda incidente con la onda secundaria que

se genera en la superficie que separa los dos medios. La refraccion se debe al cambio

de velocidad de la onda en el segundo medio. Experimentalmente se ha concluido que

las leyes que gobiernan la reflexion y la refraccion son las siguientes:

1. Las direcciones, ~ui, ~ur y ~uR, se encuentran en el mismo plano.

2. θi = θr.

3. Ley de Snell.sen θisen θR

= cte. =vivR.


Otro fenomeno caracterıstico del movimiento ondulatorio es la difraccion. Se produce

cuando una onda encuentra obstaculos o aberturas en su camino de dimensiones simi-

lares a su longitud de onda. Experimentalmente se comprueba que las ondas sonoras

rodean las aberturas o que las ondas superficiales en un lıquido rodean los obstaculos.

Para entender en que consiste, en el siguiente diagrama se representan las diferencias

entre el efecto de un haz de partıculas que atraviesa un orificio o una onda haciendo lo

mismo.

Haz de partículas

(sin difracción)

Onda esférica

a) Haz de partıculas : las partıculas transmitidas estan confinadas en un angulo pe-

queno.

b) Frente de ondas esferico: como los puntos de la abertura se comportan como

focos secundarios, en el segundo medio se produce una onda esferica en un angulo

mucho mas amplio que en el caso del haz de partıculas.

Cuando la abertura es grande en comparacion con la longitud de ondas, entonces

los frentes de ondas no se deforman y solo cerca de los bordes de la abertura se observa

difraccion.


a >> λ

a

9.5.2. Ondas sonoras

Las ondas sonoras son ondas mecanicas longitudinales que se propagan en cualquier

medio material. Una perturbacion en una region del medio provoca una oscilacion de

las partıculas del medio, que se propaga debido a sus propiedades elasticas. Las ondas

de sonido se pueden entender como ondas de desplazamiento u ondas de presion.

En el caso mas sencillo, una onda sonora se puede producir a traves de la vibracion

de una membrana. Si esta vibra de forma armonica, la onda de sonido resultante tam-

bien lo sera. Una forma de representar esto es mediante un tubo que contiene gas y con

un extremo cerrado por una membrana. En el momento en que se empuja la membrana

(o piston) se forma una capa de partıculas comprimidas que interaccionan con las otras

capas en contacto con ella, transmitiendose la region de compresion. Cuando el piston

vuelve hacia atras, las partıculas se expanden en la zona vacıa, formandose regiones

de baja presion, que tambien se propagan a lo largo del tubo. La distancia entre dos

zonas de compresion consecutivas es la longitud de onda y es evidente que las ondas

que se producen son de tipo longitudinal.


λ

Si el piston se mueve armonicamente, el desplazamiento de un pequeno volumen

respecto a su posicion de equilibrio sera:

s(x, t) = sm sen(kx− ωt).

Veremos ahora otra manera alternativa de comprender las ondas armonicas, como ondas

de presion. Supongamos una capa de anchura ∆x, que en un instante, t0, se desplaza

respecto al equilibrio. Sea K el modulo de compresibilidad del gas (que definimos en el

tema de elasticidad):

K = −V0∆P

∆V=⇒ ∆P = −K

V0

∆V.


donde ∆V es el volumen de la masa de gas que se comprime.

s2

s1

x2

x1 ∆x

Si A es la seccion del piston, ∆V = A∆s, con ∆s = s(x2, t0)− s(x1, t0).

∆P = −K��A∆s

��A∆x= −K∆s

∆xporque V = A∆x

Si ∆x→ 0:∆s

∆x−→ ∂s

∂x=⇒ ∆P = −K ∂s

∂x

s = sm sen(kx− ωt) −→ ∆P = −Ksmk cos(kx− ωt) ≡ ∆Pm cos(kx− ωt).

Si arbitrariamente tomamos la presion en equilibrio como 0, se obtiene:

P = Pm cos(kx− ωt) = Pm sen(kx− ωt+

π

2

)Luego efectivamente la onda de presion asociada a la de desplazamiento es tambien

armonica y tiene las mismas caracterısticas, salvo la fase, en la que hay un desplaza-

miento π/2.

Aunque no lo demostraremos, la velocidad de este tipo de ondas se puede expresar

como:

v =

(K

ρ

)1/2

.

Esta velocidad, depende, por tanto, de las caracterısticas del medio y de sus condiciones

termodinamicas. En la tabla adjunta se resumen los ordenes de magnitud de la velocidad

del sonido en solidos, lıquidos y gases.


Medio Velocidad (m/s)

Gases Aire (10o C) 331Aire (20o C) 343Helio (0o C) 972

Lıquidos Alcohol (25o C) 1143Agua (25o C) 1493

Agua de mar (25o C) 1533

Solidos Cobre 3560Aluminio 5100

Acero 5130

La intensidad de las ondas sonoras suele representarse en escala logarıtmica, debido

al amplio rango de intensidades que puede detectar el oıdo humano. Se define el nivel

de intensidad sonoro como4:

β = 10 log

(I

I0

)En esta escala la intensidad se mide en unidades de decibelio (dB). I0 es una intensidad

de referencia, que se toma como el umbral de audicion, I0 = 10−12 W/m2. En esta

escala β(I0) = 0 y el umbral de dolor, Id, suele corresponder en promedio a 1 W/m2,

que en decibelios vale 120 dB.

I0 = 10−12 W

m2−→ β(I0) = 0

Id = 1W

m2−→ β(Id) = 120 dB.

Las variaciones de presion que corresponden a estas intensidades extremas varıan

entre 3 × 10−5 Pa (umbral de audicion) hasta 30 Pa para el umbral de dolor. Tenien-

do en cuenta que la presion atmosferica promedio es 1, 013 × 105 Pa, son valores de

presion realmente pequenos. La tabla adjunta resume los niveles sonoros de algunas

perturbaciones acusticas habituales.

Intervalo de frecuencias que es capaz de percibir un oıdo humano medio: 20 −→20000 Hz.

4log representa logaritmo decimal.


Fuente I/I0 dB

Respiracion 100 0 Umbral de audicionConversacion en voz baja (5 m) 102 20 Escasamente audible

Conversacion normal (1 m) 106 60Trafico denso 107 70 Ruidoso

Cataratas del Niagara 109 90 Mucho tiempo dana al oıdoConcierto rock (altavoces a 2 m) 1012 120 Umbral de dolorAvion reactor (a poca distancia) 1015 150

9.6. PROBLEMAS 269

9.6. Problemas

1. Una cuerda se tensa colgando una masa de 3 kg en uno de sus extremos. Si

su longitud es 2,5 m y su masa 50 g, ¿cual es la velocidad de las ondas que se

propagan sobre ella?

(Respuestas : v = 38,3 m/s)

2. La funcion de ondas de una onda armonica que se propaga a traves de una cuerda

es,

y(x, t) = 0,03 sen(2,2x− 3,5t)

en el S.I.. Determina su amplitud, longitud de onda, frecuencia angular, frecuen-

cia, periodo, numero de ondas y velocidad de propagacion.

(Respuestas : A = 0,03 m; λ = 2,9 m; ω = 3,5 rad/s; f = 0,55 Hz; T = 1,8

s; k = 2,2 m−1; v = 1,6 m/s)

3. Una cuerda de 3 m de longitud y densidad lineal 2,5×10−3 kg/m3 esta sujeta por

ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 252 Hz y la siguiente

336 Hz. Hallese la frecuencia fundamental y la tension de la cuerda.

(Respuestas : f1 = 84 Hz; T = 635 N)

4. Demuestra que la ecuacion de ondas es lineal, es decir, que si y1(x, t) y y2(x, t)

son soluciones de la ecuacion, cualquier combinacion lineal suya tambien lo es.

5. Una fuente emite ondas con una potencia de salida de 80 W. Si se supone que es

puntual, calculese la intensidad a una distancia de 3 m de la fuente y la distancia

a la que el sonido se reduce a un nivel de 40 dB.

(Respuestas : I = 10−8 W/m2; r = 25,2 km)

6. Calcula la relacion entre las frecuencias de los sonidos fundamentales emitidos

por dos hilos de la misma longitud, igual seccion y sometidas a identica tension si

uno de ellos es de acero (ρa = 7,7 g/cm3) y el otro de plata (ρAg = 10,5 g/cm3).

(Respuestas : fa/fAg = 1,17)


7. Determina la velocidad del sonido en el agua sabiendo que si se incrementa en

1 atm la presion sobre un cierto volumen, disminuye 50 millonesimas sobre el

inicial.

(Respuestas : v = 1423,4 m/s)

8. Determina la ecuacion de una onda armonica que se propaga en el sentido nega-

tivo del eje x con una velocidad de 900 m/s, siendo su frecuencia 400 Hz y 0,02

m su amplitud. Se sabe ademas que en t = 0, el punto x = 0 se encuentra a 0,02

m de su posicion de equilibrio.

(Respuestas : y(x, t) = 0,02 cos(2,8x+ 2,5× 103 t) (S.I.))

9. Dos ondas de igual frecuencia y amplitud (f = 50 Hz, A = 2 cm) viajan a

una velocidad de 1 m/s en el sentido positivo del eje x y entre ellas existe una

diferencia de fase de π/3. Deduzcase la ecuacion de la onda resultante de la

interferencia entre las dos y las ecuaciones de movimiento de una partıcula que

se encuentra a 20 cm del origen de coordenadas.

(Respuestas : y(x, t) = 2A cos(π/6) sen(

314x− 314 t+π

6

)(S.I.);

y(x0, t) = 2A cos(π/6) sen(

314x0 − 314 t+π

6

))

10. La luz se propaga en el vacıo con una velocidad c = 3×108 m/s. Hallese la longitud

de onda correspondiente a la frecuencia de 5× 104 Hz, que es la frecuencia de la

luz roja del espectro visible.

(Respuestas : λ = 6,0× 10−7 m)

11. Considerese un pajaro que emite un sonido de potencia constante, ¿cuantos dB

disminuira el nivel de intensidad del sonido si nos alejamos el doble de la distancia

inicial al pajaro?

(Respuestas : β2 − β1 = −6,0 dB)

12. Una persona deja caer una piedra desde un puente elevado y oye que choca

(justamente debajo de el) 4 s despues.

9.6. PROBLEMAS 271

a) Estima la altura del puente respecto al rıo despreciando el tiempo que tarda

el sonido en recorrer esa distancia.

b) Mejora esa estimacion incluyendo la velocidad finita del sonido.

(Respuestas : a) h = 78,5 m; b) h = 70,5 m)

13. Demuestra explıcitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuacion de

ondas unidimensional:

a)

y(x, t) = (x+ vt)3

b)

y(x, t) = Aei(kx−ωt)

c)

y(x, t) = log[k(x+ vt)]

14. En una cuerda real siempre se produce una perdida de energıa a medida que una

onda se propaga por ella. Esta posibilidad se puede expresar matematicamente a

traves de una funcion de ondas cuya amplitud depende de la posicion:

y = A(x) sen(kx− ωt) = A0e−bx sen(kx− ωt).

a) ¿Cual es la energıa transportada por la onda en x = 0?

b) ¿Y cual es la energıa transportada en un punto x cualquiera?

(Respuestas : a) P (x = 0) =1

2µω2A2

0v; P (x) =1

2µω2A2

0e−2bxv)

15. Una onda armonica se propaga con velocidad de 10 m/s a traves de una cuerda

de densidad 0,01 kg/m. La amplitud de la onda es 0,5 mm.

a) ¿Que energıa en promedio transmite la onda si su frecuencia son 400 Hz?

b) ¿Como se puede aumentar la energıa transportada?

(Respuestas : a) P = 0,079 W; b) P =1

2ω2A2(µT )1/2. La potencia aumen-

tara mas rapidamente aumentando ω o A porque depende de esos parametros

cuadraticamente.)


16. A tiempo t = 0, la forma de un pulso generado sobre una cuerda viene dada por:

y(x) =a

b+ x2,

donde a = 0,12 m3 y b = 4,0 m2.

a) Representa graficamente el pulso en ese instante.

b) ¿Cual es su funcion de ondas, y(x, t), si se desplaza en el sentido positivo del

eje x con velocidad de 10 m/s?

c) ¿Y si el pulso se mueve con la misma velocidad, pero en el sentido negativo

del eje x?

(Respuestas : b) y(x, t) =0,12

4 + (x− 10 t)2(S.I.); c) y(x, t) =

0,12

4 + (x+ 10 t)2

(S.I.))

17. Una cuerda de una guitarra tiene una longitud de 60 cm. Su frecuencia funda-

mental es de 247 Hz.

a) ¿Cual es la velocidad de propagacion de las ondas en la cuerda?

b) Si la densidad de la cuerda es 0,01 g/cm, ¿cual es su tension?

(Respuestas : a) v = 296,4 m/s; b) T = 87,9 N)

18. Una onda estacionaria en una cuerda esta representada por la siguiente funcion

de ondas,

y(x, t) = 0,02 sen(πx

2

)cos(40πt)

donde todos los parametros se representan en el S.I.

a) Escribe las ecuaciones de las dos ondas que interfieren para generar la onda

estacionaria.

b) ¿Cual es la distancia entre los nodos de la onda estacionaria?

c) ¿Cual es la velocidad con que vibra un punto de la cuerda situado a 1 m del

origen?

d) ¿Cual es la aceleracion de la cuerda en x = 1 m?

9.6. PROBLEMAS 273

(Respuestas : a) y1(x, t) = 0,01 sen(π

2x− 40π t

)(S.I.); y2(x, t) = 0,01 sen

(π2x+ 40π t

)(S.I.) ; b) λ/2 = 2 m; c) vy(x = 1, t) = −0,8π sen(40π t) m/s; d) ay(x =

1, t) = −3,2π2 cos(40π t) m/s2)

Parte III

Fundamentos de Termodinamica

Capıtulo 10

Introduccion a la Termodinamica

Es usual identificar la Termodinamica como aquella rama de la Fısica en la que se

estudian los fenomenos relacionados con el calor y la temperatura. En realidad, una

definicion de Termodinamica deberıa contemplar los principios en que se basa, sus fines

y metodos y su campo de aplicacion. Este capıtulo esta destinado justamente a precisar

algunos de estos aspectos de una manera muy breve.

10.1. Conceptos basicos

10.1.1. Sistemas termodinamicos

Por sistema termodinamico entendemos una region cualquiera del espacio con su

contenido. La descripcion de un sistema se puede hacer, en general, de dos formas:

macroscopica y microscopica.

La descripcion macroscopica se refiere a las propiedades a gran escala del siste-

ma, sin hacer hipotesis sobre la estructura de la materia. Las magnitudes fısicas

utilizadas en esta descripcion suelen ser: a) reducidas en numero, b) sugeridas

por los sentidos y c) medibles directamente.

En la descripcion microscopica se analizan las propiedades a pequena escala del

sistema, haciendo hipotesis o modelos sobre la estructura de la materia. Las

magnitudes que entran en juego son: a) un numero muy elevado, b) no vienen

sugeridas por nuestros sentidos y c) no se pueden medir de forma directa.

278 CAPITULO 10. INTRODUCCION A LA TERMODINAMICA

La Termodinamica es un ejemplo de teorıa macroscopica. En ella se hace enfasis en

aquellas magnitudes macroscopicas que tienen relacion con aspectos internos al sistema.

Estas magnitudes se denominan magnitudes termodinamicas . Por tanto, son aquellas

que describen macroscopicamente el estado interno de un sistema. Como para todo

sistema fısico, la definicion de un sistema termodinamico requiere precisar su extension

espacial. Esto, a su vez, exige precisar sin ambiguedad la superficie geometrica que lo

delimita, que recibe el nombre de frontera o contorno, que puede ser real o imaginaria.

La region fuera de la frontera se suele llamar medio exterior o entorno y el sistema

total formado por el sistema en estudio y su medio exterior, universo termodinamico .

Los sistemas termodinamicos, respecto a la naturaleza de sus fronteras, se pueden

clasificar del siguiente modo:

Sistema aislado: sistema con fronteras que impiden el intercambio de materia y

energıa con su medio exterior.

Sistema cerrado: sistema con fronteras que permiten el intercambio de energıa

con su medio exterior, pero impiden el de materia.

Sistema abierto: sistema con fronteras que permiten el intercambio tanto de

energıa como de materia con su medio exterior.

Se entiende por componentes de un sistema termodinamico a las diferentes especies

quımicas independientes que lo forman. Los sistemas pueden ser monocomponentes

o multicomponentes . Se llama fase a un sistema fısicamente homogeneo, es decir, un

sistema cuyas propiedades son invariantes bajo traslaciones del sistema de referencia.

10.1.2. Interacciones termodinamicas

Experimentalmente se observa que dos o mas sistemas termodinamicos pueden in-

teraccionar. Esta interaccion se pone de manifiesto al observarse que cambios en los

valores de las magnitudes termodinamicas en uno de ellos provocan inequıvocamente

cambios en las magnitudes termodinamicas de los otros. Tipos basicos de interaccion:

10.1. CONCEPTOS BASICOS 279

Interaccion mecanica: caracterizada por un intercambio de energıa mecanica (se

puede describir totalmente en terminos de conceptos provenientes de la Mecani-

ca).

Interaccion termica: caracterizada por un intercambio de energıa termica.

Interaccion material : caracterizada por un intercambio de materia y/o por un

cambio de composicion debido a la existencia de reacciones quımicas. Esta inter-

accion siempre va acompanada de interacciones termica y mecanica.

Se denomina pared a aquel ente conceptual mediante el que se permite o impide el

establecimiento de interacciones entre sistemas. Se dice que la pared es adiabatica si im-

pide la interaccion termica. Una buena aproximacion a una pared adiabatica es la que

constituye un aislante termico como la madera, la lana, etc. Una pared diatermica,

como una pared metalica por ejemplo, es aquella que permite la interaccion termi-

ca. Se denominan ligaduras termodinamicas al conjunto de paredes que impiden las

interacciones termodinamicas y pueden ser externas si son restrictivas respecto a la

interaccion de un sistema con su medio exterior o internas si son restrictivas respecto

a la interaccion entre subsistemas.

10.1.3. Estados de equilibrio

Se denomina estado de un sistema al conjunto de valores de las magnitudes ter-

modinamicas que lo caracterizan. Experimentalmente se han constatado los siguientes

hechos:

Al interaccionar dos sistemas se modifican, en general, los valores de sus magni-

tudes termodinamicas.

Todo sistema aislado llega a tener fijos los valores de sus magnitudes termo-

dinamicas.

Se dice que dos sistemas han alcanzado un estado de equilibrio mutuo respecto a

una cierta interaccion cuando, estando en contacto con una pared permisiva a dicha


interaccion, sus magnitudes termodinamicas tienen valores constantes en el tiempo. Se

pueden distinguir tantos tipos de equilibrio como de interacciones: equilibrio mecanico,

equilibrio termico y equilibrio material. Un sistema se dice que esta en equilibrio termo-

dinamico si se cumplen simultaneamente los equilibrios mecanico, termico y material,

tanto externos como internos. Dicho de otro modo, cuando sus magnitudes termo-

dinamicas permanecen invariables en el tiempo si no se modifican las paredes y si al

aislarlo no se producen cambios.

10.1.4. Variables termodinamicas

Se denominan variables termodinamicas a aquellas magnitudes termodinamicas aso-

ciadas a un sistema en equilibrio termodinamico. Segun su procedencia pueden ser de

tres tipos:

Variables de composicion: especifican la cantidad de cada uno de los componentes.

Por ejemplo, la masa de cada uno o el numero de moles.

Variables mecanicas : son aquellas que proceden de una interaccion mecanica,

como presion, volumen, pero tambien aquellas que proceden de otras ramas de la

Fısica como el Electromagnetismo (intensidad del campo electrico o magnetico,

etc.).

Variables termicas : son las que surgen de los postulados propios de la Termo-

dinamica o combinaciones de estas con variables mecanicas.

Las variables pueden ser extensivas o intensivas . Las extensivas son globales, es

decir, dependen del tamano del sistema y son aditivas. Ejemplos son el volumen, la

masa, el numero de moles, etc. Las variables intensivas son locales (estan definidas en

cada parte del sistema y son, por lo tanto, independientes de su tamano) y no son aditi-

vas, como por ejemplo, la temperatura, la presion, etc. Las variables extensivas pueden

convertirse en especıficas cuando se establecen por unidad de masa o molares cuando

se expresan por unidad de mol. Las variables especıficas y molares son intensivas.

La experiencia muestra que no todas las variables termodinamicas son indepen-

dientes entre sı y, ademas, que las variables de dos sistemas en equilibrio mutuo estan

10.2. TEMPERATURA 281

relacionadas entre sı. La primera idea nos lleva al concepto de variables de estado, que

es el conjunto de variables termodinamicas independientes en terminos de las cuales se

pueden especificar todas las demas. Se denominas funciones de estado a las variables

que no se consideran independientes sino que son funcion de las variables de estado y

que tienen un valor unico en cada estado de equilibrio. Se denomina sistema simple

a un sistema cerrado que necesita unicamente dos variables como variables de estado.

Por ejemplo, si las variables son la presion, P , y el volumen, V , se dice que el sistema

es hidrostatico.

10.1.5. Procesos termodinamicos

Un proceso termodinamico es el camino que conecta dos estados termodinamicos

diferentes. Si el estado inicial y final estan infinitesimalmente proximos se dice que el

cambio de estado es infinitesimal y cualquiera de los caminos que los une es un proceso

infinitesimal . Si los estados inicial y final coinciden se dice que el proceso es cıclico.

Un proceso se dice que es cuasiestatico no disipativo o reversible cuando es secuencia

continua de estados de equilibrio. Son procesos ideales de modo que al invertirlos y

regresar al estado inicial, tanto el sistema como el resto del universo vuelven a sus

respectivos estados de partida sin ningun cambio. Se denomina proceso irreversible a

todo aquel que no es reversible. Cualquier proceso real es irreversible. En algunos tipos

de procesos alguna variable permanece constante: isotermo, temperatura constante;

isobaro, presion constante; isocoro, volumen constante, etc.

10.2. Temperatura

10.2.1. Equilibrio termico. Principio Cero

En Termodinamica la temperatura es un concepto esencial, y su medida constituye

una de sus principales actividades practicas. Pero su definicion correcta es complicada.

Si consideramos un trozo de aluminio y otro de madera en una misma habitacion,

ambos estan en equilibrio termico, pero, sin embargo, al tocarlos, el de aluminio se

siente mas frıo. Luego la sensacion fisiologica frıo/caliente no puede dar una base solida

para fundamentar el concepto de temperatura.


Suponganse dos bloques de un mismo metal, que inicialmente, al tacto, estan uno

mas caliente que el otro. Si los ponemos en contacto en un recinto aislado tiene lugar

una interaccion termica entre ellos. Al cabo de un tiempo ambos bloques producen la

misma sensacion al tacto. Se dice que han alcanzado un estado de equilibrio comun que

hemos denominado antes equilibrio termico. El Principio Cero de la Termodinamica

se formula, con una base experimental, del siguiente modo:

1. Dos sistemas en contacto a traves de una pared diatermica un tiempo suficiente

alcanzan el equilibrio termico.

2. Dos sistemas en equilibrio termico con un tercero se encuentran en equilibrio

termico entre sı.

Este principio permite introducir el concepto de temperatura empırica, θ, como

aquella propiedad que tienen en comun todos los sistemas que se encuentran en equili-

brio termico entre sı. El conjunto de estados que tienen la misma temperatura empırica

se denomina isoterma. Establecer valores numericos a las distintas isotermas se denomi-

na establecer una escala termometrica y conlleva elegir un termometro y una variable

termometrica, X, es decir, escoger la variable que va a cambiar con la temperatura,

θ = θ(X).

10.2.2. Escala de temperaturas del gas ideal

Es un hecho comprobado experimentalmente que todos los gases a baja presion

presentan un comportamiento muy similar. Por ello se utiliza el termometro de gas a

volumen constante como un sistema termometrico independiente del gas elegido. La

figura adjunta esquematiza este termometro. El volumen del gas se mantiene constante

ajustando el mercurio con el tubo en forma de U de manera que se encuentre siempre

en el mismo punto de la rama en contacto con el gas. La presion se mide entonces a

partir de la diferencia de altura h entre las dos ramas, P = Pa + ρgh y es la variable

termometrica.


GAS

h

Pa

Hg

Tubo

flexible

La escala de temperaturas del gas ideal se elige a partir de la siguiente ecuacion:

θg.i.(P ) = 273,16 lımPpta→0

P

Ppta

donde Ppta es la presion del gas cuando el termometro se encuentre en equilibrio termico

con un sistema a la temperatura del punto triple del agua (aquel estado en que coexisten

las fases solida, lıquida y gaseosa). Experimentalmente se observa que el cociente P/Ppta

cuando la cantidad de gas es muy pequena es independiente del tipo de gas.

Ppta

θgas 1

gas 2

gas 3

gas 4

(g.i.)θ

Sin embargo, la forma mas universal de definir una escala de temperaturas surge a

partir del Segundo Principio de la Termodinamica, es la escala absoluta de temperaturas


y en ella la temperatura del punto triple del agua vale Tpta = 273,16 K. Esta escala

tambien se denomina Kelvin y es la unidad de temperatura en el S.I.

Existe otra escala muy utilizada habitualmente que es la Celsius que se define como:

t(oC) ≡ T (K)− 273,15

donde 273,15 es la temperatura de fusion del hielo a la presion de 1,013 bar. Observese

que la escala Kelvin y la Celsius no son iguales pero sus incrementos sı, es decir,

∆t(oC) = ∆T (K).

El Principio Cero permite introducir la temperatura y demuestra que para sistemas

hidrostaticos en equilibrio termodinamico debe existir entre las variables P , V y T

una relacion funcional del tipo: f(P, V, T ) = 0 que se denomina ecuacion empırica

de estado. La determinacion de una ecuacion concreta para un sistema particular no

es objeto en sı de la Termodinamica, si no que se obtiene experimentalmente en el

laboratorio o por medio de metodos microscopicos (Fısica Estadıstica).

10.2.3. Gas ideal

El quımico ingles Robert Boyle (1627-1691) puso de manifiesto experimentalmente

en 1660 que para gases a alta temperatura y/o baja presion se verifica que a tempera-

tura constante:

PV = constante (a T constante)

Tiempo despues (1802) el fısico y quımico frances Joseph Louis Gay-Lussac (1778-

1850) comprobo que en las mismas condiciones, si se mantiene constante la presion, el

volumen varıa de forma proporcionalmente inversa a la temperatura:

T/V = constante (a P constante)

Estas dos ecuaciones se pueden combinar en otra: PV = CT . Se comprobo tambien

que la constante C es proporcional al numero de moles de gas, n, y se puede expresar

ası, C = nR donde:

R ≈ 8,314J

mol.K≈ 0,082

atm.l

mol.K≈ 1,987

cal

mol.K


es la constante universal de los gases . Y se puede entonces escribir:

PV = nRT

Esta ecuacion se denomina ecuacion de estado del gas ideal , da buenos resultados para

gases reales a bajas presiones y/o bajas densidades y altas temperaturas. Notese que

es independiente del tipo de gas que se considere.

P (atm)

H

N

CO

O

2

2

2

PV

nT

___

[J/(mol.K)]

8,314

10 20 30 40

10.2.1 Ejemplo

¿Que volumen ocupa 1,0 mol de gas ideal a una temperatura de 0,0oC y una presion de

1,0 atm.

A partir de la ecuacion de estado del gas ideal:

V =nRT

P=

(1,0 mol)[0,082 (atm.l)/(mol.K)](273,15 K)

1,0 atm= 22,4 l

10.2.2 Ejemplo

Un gas tiene un volumen de 2,0 l, una temperatura de 30oC y una presion de 1,0 atm.

Se calienta a 60o y al mismo tiempo se comprime hasta un volumen de 1,5 l. ¿Cual es

su nueva presion?

Como la cantidad de gas es constante,

P1V1

T1

=P2V2

T2


Despejando P2,

P2 =V1T2

T1V2

P1

Poniendo las temperaturas en K resulta, P2 = 1,47 atm.

10.3. Primer Principio

10.3.1. Trabajo termodinamico

El concepto de trabajo proviene originalmente de la Mecanica. Se define el trabajo

mecanico infinitesimal que la fuerza ~f hace para desplazar una partıcula un trayecto

d~ como:

δW = ~f.d~

donde δ significa que, en general, el trabajo depende de la trayectoria elegida y no solo

de los estados inicial y final.

En Termodinamica se define el trabajo termodinamico en un proceso dado como el

trabajo realizado por las fuerzas que durante el proceso los alrededores ejercen sobre

el sistema, ~Fext. De este modo:

δW > 0 si es realizado sobre el sistema

δW < 0 si es realizado por el sistema

Se dice que el criterio de signos utilizado es un criterio egoısta.

El objetivo ahora sera tratar de expresar el trabajo termodinamico en un proceso en

funcion de las variables macroscopicas propias de la Termodinamica. Supondremos un

proceso infinitesimal tal que los estados inicial y final estan muy proximos y los estados

intermedios son de equilibrio. Consideraremos ademas unicamente sistemas cerrados,

sin intercambio de materia.

Comencemos como ejemplo con un gas contenido en un sistema cilindro-piston. La

fuerza que ejerce el gas sobre el piston sera ~F = PA~i, o de otro modo, la fuerza que el

piston ejerce sobre el gas es ~Fext = −PA~i, entonces

δW = ~Fext.d~x = −PAdx = −PdV

10.3. PRIMER PRINCIPIO 287

siendo dV la variacion infinitesimal del volumen del cilindro. De este modo hemos

expresado el trabajo en terminos de una variable macroscopica intensiva (P ) y otra

extensiva (V ). Si el trabajo es de expansion, dV > 0 −→ δW < 0 (realizado por el

sistema) y si es de compresion, dV < 0 −→ δW > 0 (realizado sobre el sistema).

F

P

>

ext

Compresión

dx>

F

P

x

>

ext

Expansión

dx>

dV<0

δW>0

dV>0

δW<0

Siguiendo un proceso analogo se ha podido constatar que en todo sistema termo-

dinamico existen unas variables extensivas, (X1, X2 . . . Xn) y otras intensivas (Y1, Y2 . . . Yn)

de modo que el trabajo termodinamico siempre se puede expresar como:

δW =n∑i=1

Yi dXi

Las variables {Xi} se denominan coordenadas de trabajo y las {Yi} variables conjugadas .

El numero de variables depende del tipo de sistema. Si unicamente hay una coordenada

de trabajo se dice que el sistema es simple. Y si esas variables son P y V se dice que

el sistema es expansivo. La notacion δ indica que el trabajo no se puede expresar

directamente como la variacion de una coordenada termodinamica, sino que depende


del camino recorrido. Se dice que es una diferencial inexacta. En un proceso finito,

Wc =

∫c

δW

10.3.2. Trabajo disipativo y procesos cuasiestaticos

Ademas del trabajo asociado a la variacion de las coordenadas de trabajo siempre es

posible ejercer otro tipo de trabajo. Por ejemplo, la figura adjunta representa una polea

de la que cuelga una masa y esta conectada a unas paletas en el interior de un fluido.

Este trabajo no esta directamente asociado a la variacion de ninguna coordenada de

trabajo. Aparece en fenomenos de rozamiento, histeresis, etc. En un sistema expansivo

simple, el trabajo total se puede expresar ası:

δW = −PdV + δWdis

Pex

m

Se define un proceso cuasiestatico como aquella sucesion de procesos infinitesimales

en los que no se realiza trabajo disipativo. Es decir, son procesos donde los estados

intermedios son de equilibrio y donde el trabajo termodinamico siempre esta asociado

a la variacion de alguna coordenada de trabajo.

Wc =

∫c

δW =

∫c

n∑i=1

Yi dXi


10.3.3. Interpretacion geometrica del trabajo cuasiestatico

En el espacio termodinamico de un sistema cualquiera solo pueden representar-

se mediante curvas los procesos cuasiestaticos, en que los estados intermedios son de

equilibrio. En el caso de un sistema expansivo simple, el espacio P−V se denomina dia-

grama de Clapeyron. El trabajo en un proceso cualquiera representa el area encerrada

bajo la curva correspondiente (salvo signos):

W = −∫ f

c i

P dV = −∫ f

c i

f(V ) dV

Un proceso es cıclico si los estados inicial y final coinciden.

Pf

Pi

VfVi

P

V

i

f

|W|

10.3.1 Ejemplo

Calculense los trabajos necesarios para expandir el sistema desde i hasta f a lo largo

de los tres caminos senalados, geometricamente y calculando las integrales correspon-

dientes.


(1)

(3)

(2)

2P0

P0

2V0V0

P

V

i

f

Geometricamente:

(1) −→ W1 = −2P0V0 + 0

(2) −→ W2 = −P0V0

(3) −→ W3 = −3

2P0V0

Integrales1:

(1) −→ W1 = −∫ 2V0

V0

P dV = −2P0V0

(2) −→ W2 = 0−∫ 2V0

V0

P0 dV = −P0V0

(3) −→ W3 = −∫ 2V0

V0

P dV = −∫ 2V0

V0

(−P0

V0

V + 3P0

)dV = −3

2P0V0

10.3.2 Ejemplo

Considerese un proceso por el que un gas ideal pasa de un estado inicial i a otro final f .

Calcula el trabajo termodinamico si el proceso es: a) isobaro, b) isocoro y c) isotermo.

1Ecuacion de la recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2):

x− x1x2 − x1

=y − y1y2 − y1


a) Isobaro

Si la presion es constante,

W = −∫ Vf

Vi

P (V ) dV = P (Vi − Vf )

que se corresponde, en modulo con el area encerrada en el rectangulo que se muestra

en la figura.

b) Isocoro

Si en el proceso se mantiene el volumen constante, el trabajo realizado por el sistema

es nulo, W = 0.

c) Isotermo

Utilizando la ecuacion de estado del gas ideal:

W = −∫ Vf

Vi

P (V ) dV = −nRT∫ Vf

Vi

dV

V= nRT ln

ViVf

Isóbaro

P = Pi

VfVi

P

V

f

Isócoro

P

VV = Vi f

Pf

Pi

i f

i

f

Pf

Pi

VfVi

P

V

Isotermoi

f


10.3.4. Experimentos de Joule

Entre 1840 y 1845 el fısico ingles J.P. Joule realizo una serie de experimentos in-

tentando establecer la cantidad de trabajo requerido para producir un determinado

incremento de la temperatura en una masa conocida de agua. En la figura adjunta se

esquematizan algunos de los experimentos. En ellos un recipiente de paredes adiabaticas

(la temperatura en el interior no esta correlacionada con la del exterior) contiene un

lıquido sobre el que se efectua un trabajo, bien con unas paletas conectadas a una polea

(Wad = mgh) o directamente un trabajo electrico con una resistencia (Wad = V It).

m

R

A

V

Joule demostro que, en condiciones adiabaticas, para pasar de un mismo estado

inicial al mismo estado final se requiere la misma cantidad de trabajo, independien-

temente de las particularidades del proceso. Obtuvo ademas que la relacion entre el

trabajo ejercido y el calor2 requerido viene dado por:

|W adif | = J |Qif |

La constante J se denomino equivalente mecanico del calor y Joule obtuvo para ella

un valor muy similar al aceptado hoy en dıa: J = 4,186 J/cal.

10.3.5. Trabajo adiabatico y energıa interna

Los resultados experimentales de Joule se pueden generalizar de forma empırica en

los siguientes postulados:

2Aunque mas adelante analizaremos la definicion rigurosa de calor, considerese aquı en el sentidoclasico, hasta el s. XVIII, segun el cual el calor es la forma de energıa capaz de elevar la temperaturade un cuerpo.


i) Dados dos estados de equilibrio cualquiera, de un sistema cerrado, siempre es

posible alcanzar uno a partir del otro a traves de un proceso adiabatico.

ii) El trabajo que se requiere para llevar un sistema rodeado de paredes adiabaticas

desde un estado inicial a otro final depende unicamente de dichos estados.

Matematicamente, estos postulados llevan a que, cuando i y f son dos estados de un

sistema conectados mediante un proceso adiabatico, existe una funcion termodinamica

(que llamaremos energıa interna) tal que3,

W adif = Uf − Ui = ∆U

Como el trabajo necesario para pasar de un estado a otro depende del tamano del

sistema (masa, numero de moles, etc.), la energıa interna es una funcion de estado

extensiva. Se puede expresar siempre en terminos de las variables independientes del

sistema.

10.3.6. Calor y Primer Principio de la Termodinamica

Hemos visto que para un sistema cerrado cualquiera es posible pasar de un estado

inicial a otro final realizando un trabajo adiabatico, W adif . Se puede comprobar tambien

experimentalmente que el trabajo necesario para alcanzar f desde i no es el mismo

que si la pared es diaterma, Wif . Se define el calor absorbido por el sistema como la

diferencia entre ambos trabajos, es decir,

Qif = W adif −Wif = ∆U −Wif

O expresado de otro modo,

∆U = Q+W

Esta expresion se conoce como Primer Principio de la Termodinamica: las sumas de

las cantidades de energıa comunicadas a un sistema cerrado en forma de calor y de

trabajo es igual a la variacion de su energıa interna.

3Este razonamiento es analogo en Mecanica al concepto de energıa potencial para fuerzas conser-vativas, aunque en Mecanica hace falta hacer la hipotesis de que las interacciones entre partıculas sonconservativas y en Termodinamica no es necesario ninguna hipotesis microscopica.


Puesto que Wif no solo depende de los estados, si no del camino recorrido y U

es una funcion de estado, Qif depende del camino, no es una funcion de estado.

En forma infinitesimal es una diferencial inexacta, δQ.

Si en un proceso solo hay interaccion mecanica, Qif = 0 −→ ∆U = Wif .

Si solo hay interaccion termica, Wif = 0 −→ ∆U = Qif .

Si Q > 0 el sistema absorbe calor y si Q < 0, lo cede al exterior.

Expresiones del Primer Principio para procesos infinitesimales (cuasiestaticos):

dU =δQ+ δW

dU =δQ+n∑i=1

Yi dXi

dU =δQ− PdV (Para un sistema hidrostatico simple)

En un proceso cıclico, i = f , por lo tanto, ∆U = 0.

En un sistema aislado, U = cte., puesto que Q = 0 y W = 0.

10.3.3 Ejemplo

Supongamos un sistema Σ, aislado del exterior y dividido en dos subsistemas, ΣA y ΣB,

inicialmente a temperaturas diferentes, T iA y T iB, y separados por una pared adiabatica y

rıgida. En determinado momento la pared adiabatica se transforma en diaterma de mo-

do que se permite el contacto termico entre ambos. Veremos cual es el calor transferido

de uno a otro subsistema durante el proceso.

Σ

ΣA ΣB

TAi TB

i

Σ

ΣA ΣB

TAf

TBf


Considerando primero como sistema solo ΣA, UAf − UA

i = QAif .

Y si el sistema es solo ΣB, UBf − UB

i = QBif .

Para el sistema total, Σ: (UAf +UB

f )− (UAi +UB

i ) = 0 por estar el sistema aislado.

Entonces, comparando las ecuaciones debe ser,

QAif = −QB

if

Esta ecuacion se denomina ecuacion fundamental de la calorimetrıa. Cuando dos sis-

temas se ponen en contacto termico, el calor absorbido por uno es igual al cedido por

el otro.

10.3.7. Capacidades calorıficas

Cuando un sistema absorbe o cede calor a lo largo de un proceso pueden ocurrir dos

cosas: 1) que varıe su temperatura, o 2) que tenga lugar una transicion de fase man-

teniendose la temperatura constante. En el primer caso, la variacion de temperatura

asociada a una cierta transferencia de calor se mide con un coeficiente termodinamico

denominado capacidad calorıfica:

CX =

(δQ

dT

)X

donde el subındice X indica que la variacion de calor esta asociada al proceso X. En

el SI se expresa en J/K, aunque tambien es usual expresarlo en cal/K (1 J= 0,24 cal).

Las capacidades calorıficas son magnitudes extensivas. En sustancias puras se pueden

expresar por mol, cX = CX/n, denominandose capacidad calorıfica molar o por unidad

de masa, cX = CX/m, llamandose entonces calor especıfico.

A partir de su definicion, es facil conocer el calor transferido en un proceso conocida

como dato la capacidad calorıfica,

QifX =

∫ f

i

CX(T ) dT

En principio, serıa necesario conocer la dependencia de CX con la temperatura, pero

normalmente no se comete demasiado error considerando que es aproximadamente


Sustancia c [kJ/(kg.K)] c [J/(mol.K)]

Lıquidos

Agua 4.18 75.2Alcohol etılico 2.4 111Mercurio 0.140 28.3

Solidos

Aluminio 0.900 24.3Cobre 0.386 24.5Hielo (−10o C) 2.05 36.9Oro 0.126 25.6Vidrio 0.840 25.6

constante. En ese caso el calor transferido en el proceso X entre el estado i y el f sera:

Qif = Cx(Tf − Ti) = ncX(Tf − Ti) = mcX(Tf − Ti)

En el caso de un sistema expansivo, si se trata de un proceso a volumen constante,

X = V , se tiene la capacidad calorıfica a volumen constante y si es a presion constante,

X = P , es la capacidad calorıfica a presion constante. Se puede demostrar que siempre

CP ≥ CV > 0 porque CP = CV + nR.

Las capacidades calorıficas molares de un gas ideal dependen del numero de grados

de libertad microscopicos que tenga:

Monoatomico −→ cV =3

2R cP =

5

2R

Diatomico −→ cV =5

2R cP =

7

2R

La tabla adjunta resume los calores especıficos de algunos lıquidos y solidos. Debido

a su pequena compresibilidad en ellos la capacidad calorıfica a presion y a volumen

constante son aproximadamente iguales. El calor especıfico del agua lıquida vale: cagua =

1 cal/(g.K)= 1 kcal/(kg.K)= 4,184 kJ/(kg.K).


10.3.4 Ejemplo

Para medir el calor especıfico del plomo, se calientan 600 g de perdigones de este metal

a 100oC y se colocan en un calorımetro de aluminio de 200 g de masa, que contiene 500

g de agua inicialmente a 17,3oC. Si la temperatura final del sistema es de 20oC, ¿cual

es el calor especıfico del plomo? (Dato: calor especıfico del aluminio, 0,900 kJ/(kg.K))

Qcedido = Qabsorbido −→ QPb = QH2O +QAl

QPb = mPbcPb|∆TPb|

QH2O = mH2OcH2O∆TH2O

QAl = mAlcAl∆TAl

mPbcPb|∆TPb| = mH2OcH2O∆TH2O +mAlcAl∆TAl

Y despejando cPb:

cPb = 0,13 kJ/(kg.K)

10.3.5 Ejemplo

Un sistema formado por 0,32 moles de un gas ideal monoatomico con cV = 32R, ocupa

un volumen de 2,2 l a una presion de 2,4 atm (punto A de la figura). El sistema describe

un ciclo formado por tres procesos:

1. El gas se calienta a presion constante hasta que su volumen en el punto B es de

4,4 l.

2. El gas se enfrıa a volumen constante hasta que la presion disminuye a 1,2 atm

(punto C).

3. El gas experimenta una compresion isoterma y vuelve al punto A.

a) ¿Cual es la temperatura en los puntos A, B y C? b) Determina W , Q y ∆U para

cada proceso y para el ciclo completo.


(1)

(3)

(2)

2.4

1.2

4.42.2

P

(atm)

V (l)

A B

C

a) A partir de la ecuacion de los gases ideales determinamos las temperaturas de

los puntos A, B y C:

TC = TA =PAVAnR

= 201 K

TB =PBVBnR

=2PAVAnR

= 2TA = 402 K

b) El proceso (1) es isobaro, luego:

W1 = −PA∆V = −PA(VB − VA) = −0,53 kJ

Q1 = CP∆T = (CV + nR)∆T =5

2nR∆T = 1,3 kJ

∆U1 = W1 +Q1 = 0,80 kJ

En el proceso (2):

W2 = 0

Q2 = CV ∆T =3

2nR∆T = −0,80 kJ

∆U2 = W2 +Q2 = −0,80 kJ

El proceso (3) es isotermo, luego ∆U3 = 04:

W3 = nRTA lnVAVC

= 0,37 kJ

4Es facil demostrar que para un gas ideal, la variacion de energıa interna en un proceso cualquierase puede expresar siempre como ∆U = CV ∆T . Luego en procesos isotermos (o en los que no hayavariacion de temperatura entre los estados inicial y final) es nula. Es importante resaltar entoncesque un gas ideal, ademas de verificar la ecuacion de estado PV = nRT , tiene capacidades calorıficasconstantes y las variaciones de energıa interna estan siempre asociadas a cambios de temperatura.

10.4. SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA 299

∆U3 = W3 +Q3 −→ Q3 = −W3 = −0,37 kJ

Para el ciclo total:

Wt = W1 +W2 +W3 = −0,16 kJ

Qt = Q1 +Q2 +Q3 = 0,16 kJ

∆Ut = 0 por ser un proceso cıclico y U una funcion de estado.

10.4. Segundo Principio de la Termodinamica

10.4.1. Maquinas termodinamicas

Desde un punto de vista practico es muy interesante la existencia y diseno de

dispositivos capaces de convertir, al menos parcialmente, calor en trabajo o trabajo

en calor. Antes de definir desde un punto de vista termodinamico estos dispositivos es

necesario introducir dos conceptos nuevos:

Fuente de calor : es un sistema tal que solo puede interaccionar con otro comu-

nicandole o absorbiendo energıa en forma de calor, de manera que sus parametros

intensivos, y en particular, su temperatura permanecen constantes (por ejemplo,

la atmosfera, el mar, etc).

Fuente de trabajo: es un sistema tal que solo puede interaccionar con otro comu-

nicandole o absorbiendo energıa en forma de trabajo, de manera que sus parame-

tros intensivos, y en particular su presion, permanecen constantes.


Foco caliente

Foco frío

W

Motor térmico

QC

QF

TC

TF

Foco caliente

Foco frío

W

Frigorífico o bomba de calor

QC

QF

TC

TF

Se denomina maquina termica a un dispositivo de funcionamiento cıclico que trans-

fiere calor y trabajo con su entorno. Las mas simples intercambian calor con solo dos

fuentes de calor.

1. Motor termico: maquina termica que proporciona un trabajo, |W |, absorbiendo

un calor, |QC | (> |W |), de una fuente caliente a temperatura, TC , y cediendo un

calor, |QF |, a una fuente frıa a temperatura TF .

2. Bomba de calor : maquina termica que tiene por objeto proporcionar un calor,

|QC |, absorbiendo energıa en forma de trabajo, |W | (< |QC |), y absorbiendo un

calor, |QF |.

3. Refrigerador : maquina termica que tiene por objeto extraer energıa en forma de

calor, |QF |, de una fuente frıa, absorbiendo un trabajo, |W |, y cediendo un calor,

(< |QC |) a una fuente caliente.

De una forma general se define el rendimiento de una maquina termodinamica como

el cociente entre la energıa que se desea obtener y la que es necesario suministrar. Se


tiene entonces que,

Motor termico −→ η =|W ||QC |

= 1− |QF ||QC |

(0 ≤ 1)

Bomba de calor −→ ν =|QC ||W |

=|QC |

|QC | − |QF |(≥ 1)

Refrigerador −→ ε =|QF ||W |

=|QF |

|QC | − |QF |(≥ 0)

10.4.1 Ejemplo

En cada ciclo un motor termico absorbe 200 J de calor de un foco caliente, realiza un

trabajo y cede 160 J a un foco frıo. ¿Cual es su rendimiento?

η =|W ||QC |

= 1− |QF ||QC |

= 1− 160

200= 0,20

Es decir, el rendimiento del motor es del 20 %.

10.4.2. Enunciados del Segundo Principio

El Segundo Principio de la Termodinamica se desarrollo en el s. XIX durante la

revolucion industrial, en pleno desarrollo de maquinas capaces de producir trabajo

mecanico. Basados en consideraciones experimentales, en 1850 y 1851, Clausius y Kel-

vin (y mas tarde Planck) formularon los siguientes enunciados:

Enunciado de Clausius: es imposible construir un dispositivo que funcionando

cıclicamente no produzca otro efecto mas que la transferencia de calor de una

fuente a otra de mayor temperatura.

Enunciado de Kelvin-Planck: es imposible construir un dispositivo que funcio-

nando cıclicamente no produzca otro efecto mas que extraer calor de una fuente

y convertirlo ıntegramente en trabajo.

Se puede demostrar que ambos enunciados son equivalentes. Es importante resaltar

que no es imposible convertir ıntegramente calor en trabajo, pero sı lo es si el proce-

so es cıclico, es decir, si el sistema vuelve a su estado inicial. Si el proceso es cıclico


necesariamente para producir un trabajo se ha de ceder una fraccion del calor a una

fuente frıa, el rendimiento del motor no puede ser la unidad (0 ≤ η < 1). Y en el caso

de un frigorıfico, si se pretende extraer un calor de una fuente frıa es imprescindible

realizar un trabajo, no puede ser el rendimiento infinito (0 ≤ ε < ∞). Es decir, el Se-

gundo Principio proporciona unas cotas superiores para el rendimiento de las maquinas

termicas.

10.4.3. Procesos reversibles e irreversibles

Formalmente se dice que un proceso termodinamico es reversible si se puede invertir

de modo que el proceso cıclico resultante, tanto para el sistema como para el entorno, no

viole el Segundo Principio. Proceso irreversible es aquel que no es reversible. Desde un

punto de vista mas practico, un proceso reversible debe reunir al menos las siguientes

condiciones:

1. No debe haber transformaciones de energıa mecanica en termica por medio de

fricciones, o de otro tipo de fuerzas disipativas.

2. Las transferencias de energıa como el calor solo pueden suceder cuando las dife-

rencias de temperatura entre los objetos son infinitesimalmente pequenas.

3. El proceso debe ser cuasiestatico, de modo que el sistema siempre se encuentre

en un estado de equilibrio termodinamico.

Cualquier proceso real en la naturaleza es irreversible, realmente los procesos re-

versibles son idealizaciones, que en la realidad se pueden conseguir aproximadamente,

pero nunca de forma completa.

10.4.4. Ciclo y teorema de Carnot

En 1824 el ingeniero frances Sadi Carnot publico un trabajo esencial sobre como

podrıa obtenerse trabajo a partir del calor absorbido de un foco termico. Diseno un

proceso reversible ideal, denominado hoy ciclo de Carnot realizado por un sistema

hidrostatico en contacto con dos fuentes de calor, con las siguientes etapas (vease la

figura adjunta):


P

V

isotermo

isotermo

adiabáticoadiabático

TC

TF

QC

QF

1. Proceso isotermo reversible a la temperatura del foco caliente TC en el que el

sistema absorbe un calor QC .

2. Proceso adiabatico reversible hasta que el sistema alcanza la temperatura de la

fuente frıa, TF .

3. Proceso isotermo reversible en el que el sistema esta en contacto con la fuente

frıa TF y absorbe un calor QF .

4. Proceso adiabatico reversible de modo que la temperatura del sistema aumente

de TF hasta TC , recuperando su estado inicial.

Una vez expuestos los procesos que forman el ciclo de Carnot, este demostro que

ningun motor que funcione entre las temperaturas de las fuentes dadas puede tener un

rendimiento superior al de un motor de Carnot que funcione entre esas fuentes. Este

enunciado se denomina Teorema de Carnot y no lo demostraremos aquı. Un corolario

de este teorema es que todos los motores de Carnot operando entre las mismas fuentes

tienen el mismo rendimiento. Otra consecuencia fundamental del Teorema de Carnot y

de su corolario es que permite formalmente definir una escala absoluta de temperaturas,

denominada temperatura termodinamica.

El rendimiento de Carnot en esta escala viene dado por la ecuacion:

ηC = 1− TFTC


Entonces, cualquier motor termodinamico que opere entre dos fuentes de calor tiene

un rendimiento, η que verifica:

η ≤ ηC

El teorema de Carnot tambien es valido para frigorıficos y bombas de calor, es decir,

que se debe verificar:

ν ≤ νC =TC

TC − TFpara bombas de calor

ε ≤ εC =TF

TC − TFpara frigorıficos

10.4.2 Ejemplo

Una maquina termica extrae 200 J de un foco caliente a una temperatura de 373 K,

realiza 48 J de trabajo y cede 152 J al entorno, que se encuentra a 273 K. ¿Cuanto

trabajo se pierde debido a las irreversibilidades del proceso?

El trabajo perdido se calcula comparando con una maquina reversible de Carnot que

opere entre las mismas fuentes:

Wperdido = Wmax −W

El trabajo maximo es el que realizarıa el motor de Carnot:

Wmax = ηCQC −→ Wperdido = ηCQC −W

Y como:

ηC = 1− TFTC

Wperdido =

(1− TF

TC

)QC −W = 5,6 J

10.5. PROBLEMAS 305

10.5. Problemas

1. Un gas ideal ocupa un volumen de 100 cm3 a 20oC y a una presion de 100 Pa.

Determınense el numero de moles y de moleculas de gas en el recipiente.

(Respuestas : n = 4,11× 10−6 moles; N = 2,47× 1018 moleculas)

2. Un recipiente con un embolo movil contiene una cierta cantidad de helio. Inicial-

mente, las condiciones del gas son las siguientes: Ti = 300 K, Pi = 200 kPa y

Vi = 15× 10−3 m3. Si el embolo comprime el gas hasta un estado final: Pf = 350

kPa y Vi = 1,2× 10−3 m3, calculese su temperatura final (supongase que el helio

se comporta como un gas ideal).

(Respuestas : Tf = 420 K)

3. El hilo de un pendulo simple es de acero (αl = 1,2 × 10−5 K−1). Cuando la

temperatura es 0oC, el periodo de sus oscilaciones es de 2,000 s. Determınese el

periodo del pendulo cuando la temperatura es de 125oC.

(Respuestas : T1 = 2,0015 s)

4. Calcular el trabajo realizado sobre un gas ideal que efectua una expansion adiabati-

ca cuasiestatica desde un estado (P0, V0) a otro estado (P1, V1), sabiendo que en

un proceso de ese tipo se verifica la relacion:

PV γ = cte.

donde γ es una constante5.

(Respuestas : W =P1V1 − P0V0

γ − 1)

5. Una cantidad dada de N2, suponiendo que se comporta como un gas ideal, se

encuentra inicialmente en un estado i, en el que ocupa un volumen de 0,5 l a

2 atm de presion. Pasa a un estado final f en el que ocupa un volumen de 2 l,

siguiendo tres caminos diferentes:

5Se define el coeficiente adiabatico, γ, como CP /CV . Para un gas ideal monoatomico su valoraproximado es 5/3 ≈ 1,67 y para uno diatomico 7/5 = 1,4.


a) Expansion adiabatica desde el estado i al f .

b) Expansion isoterma hasta el volumen de 2 l, seguida de una variacion de

presion a volumen constante hasta alcanzar el estado final f .

c) Una reduccion de presion a volumen constante hasta que la presion sea la

misma que la que corresponde al estado f , seguida de una expansion a presion

constante hasta el estado final f .

Dibujar en un diagrama P − V los tres procesos anteriores y calcular el trabajo

realizado por el N2 en cada uno de ellos (γ = 1,4).

(Respuestas : a) Wa = −107,5 J; b) Wb = −140,0 J; c) Wc = −43,6 J)

6. Calcula el trabajo realizado por n moles de gas durante una expansion isoterma

cuasiestatica, desde un volumen inicial V0 a un volumen final 2V0, si la ecuacion

termica de estado es:

a)

P (V − b) = nRT (R, b ctes.)

b)

PV = nRT (1− B

V) (R = cte., B = f(T ))

c)

(P +a

V 2)(V − b) = nRT (R, a y b ctes.)

(Respuestas : a) Wa = −nRT ln

(2V0 − bV0 − b

); b) Wb = nRT ln

(B

2V0

)− ln 2; c)

Wc = −nRT ln

(2V0 − bV0 − b

)+

a

2V0

)

7. Un tubo cilındrico de paredes rıgidas y adiabaticas esta dividido en dos partes

por una pared rıgida aislante en la que existe un pequeno orificio. Contra esta

pared se mantiene un piston adiabatico y sin rozamiento, evitando de este modo

que el gas que se encuentra al otro lado pase a traves del orificio. El gas se man-

tiene a la presion P1 mediante otro piston adiabatico desprovisto de rozamiento.

Imaginemos que ambos pistones se desplazan simultaneamente, de tal modo que

10.5. PROBLEMAS 307

cuando el gas pase a traves del orificio, la presion conserve su valor constante P1

a un lado del tabique separador y un valor inferior P2 en el otro lado, hasta que

todo el gas sea obligado a pasar a traves del orificio. Demuestrese que:

U1 + P1V1 = U2 + P2V2 .

8. Se consideran dos moles de O2, considerado como gas ideal, los cuales pueden

pasar cuasiestaticamente del estado inicial A : (PA, VA, TA) al estado final B :

(PB = 3PA, VB, TA) por tres caminos distintos: A1B: transformacion isoterma,

A2B: recta en el diagrama P −V , A3B: compresion isocora hasta 3PA seguida de

una disminucion de volumen a P constante hasta VB. Calcula los trabajos y las

cantidades de calor puestas en juego durante las transformaciones, en funcion de

R y TA.

(Respuestas : a) W1 = 2RT ln

(VAVB

); b) W2 =

8

3RTA; c) W3 = 4RTA)

9. En un recipiente de paredes adiabaticas se colocan en contacto termico tres cuer-

pos de masas, m1,m2,m3, calores especıficos a presion constante c1, c2 y c3, y

temperaturas t1 = 10oC, t2 = 50oC, t3 = 100oC, respectivamente, verificandose

la relacion:

m1 =m2

2=m3

3y

c1

5=c2

4=c3

6

Calcula la temperatura final de equilibrio.

(Respuestas : tf = 72,6oC)

10. La capacidad calorıfica molar a presion constante de un determinado gas varıa

con la temperatura segun la ecuacion: CP = a+ bT − c/T 2; en la que a, b y c son

constantes. ¿Que cantidad de calor es transferido al sistema durante un proceso

isobarico cuasiestatico en el cual n moles de gas experimentan una elevacion de

temperatura de T1 a 2T1?

(Respuestas : Q = n

(aTi +

3

2bT 2

i −C

2Ti

))

11. Un gas que cumple la ecuacion P (V − 1) = 0,3T describe un ciclo formado por

dos isotermas y dos isocoras. La relacion entre los volumenes extremos V1 y V2


es tal que:(V2 − 1)

(V1 − 1)=√e

y la relacion entre las temperaturas T1 y T2 de las isotermas es

T1

T2

= 2

El trabajo realizado en este ciclo es de 65 J. Calculense las temperaturas T1 y T2.

(Respuestas : T1 = 867,0 K; T2 = 433,5 K)

12. ¿Cual es el medio mas eficaz de aumentar el rendimiento de una maquina de Car-

not: aumentar TC (temperatura de la fuente caliente), mantener TF (temperatura

de la fuente frıa) constante o disminuir TF manteniendo TC constante?

(Respuestas : Es mas eficaz disminuir la temperatura de la fuente frıa)

13. Demuestra la imposibilidad de que dos procesos adiabaticos cuasiestaticos se cor-

ten. (Indicacion: Supongase que se cortan y completese el ciclo con una isoterma.

Demuestrese que la realizacion de este ciclo contradice el Segundo Principio.)

14. Un recipiente contiene 600 cm3 de helio gaseoso a 2 K y 1/36 atm. Tomese el

cero de energıa interna para el helio en este punto.

a) Se eleva la temperatura a volumen constante hasta 288 K. Suponiendo que

el helio se comporta como gas monoatomico perfecto, ¿que cantidad de calor ha

absorbido y cual es la energıa interna del helio? ¿Puede considerarse esta energıa

como calor o trabajo almacenados?

b) Se expande ahora el helio adiabaticamente hasta 2 K. ¿Que trabajo se ha

realizado y cual es la nueva energıa interna? ¿Se ha convertido calor en trabajo

sin compensacion, contradiciendo ası el Segundo Principio?

c) Se comprime ahora el helio isotermicamente hasta su volumen inicial. ¿Cuales

son las cantidades de calor y trabajo que intervienen en este proceso? ¿Cual es

el rendimiento del ciclo? Tracese un diagrama P − V .

(Respuestas : a) ∆U = Q12 = 362 J; b) W23 = −362 J; c) W31 = 12,36 J;

Q31 = −12,36 J; η = 97 %)

10.5. PROBLEMAS 309

15. Un motor de gas ideal trabaja segun un ciclo que, representado en un diagrama

P − V , es un rectangulo. Sean P1 y P2, respectivamente, las presiones inferior y

superior, y llamemos V1 y V2 a los volumenes inferior y superior.

a) Calcular el trabajo realizado en un ciclo.

b) Indica que partes del ciclo implican un paso de calor al gas y calcular la

cantidad de calor absorbida por el gas en un ciclo. (Suponganse capacidades

calorıficas constantes.)

c) Demostrar que el rendimiento de este motor es:

η =γ − 1

γP2

P2 − P1

+V1

V2 − V1

(Respuestas : a) W = (P1−P2)(V2−V1); b) Q =1

γ − 1V1(P1−P2)+

γ

γ − 1P2(V1−

V2) )

16. Un congelador se debe mantener a una temperatura de −40oC en un dıa de

verano cuando la temperatura ambiente es de 27oC. Para mantener el congelador

a esa temperatura se necesita extraer de el un calor de 17,650 cal/min. ¿Cual es

la maxima eficiencia posible del congelador y cual es la mınima energıa que debe

suministrarse al congelador?

(Respuestas : ε = 3,48; Wmin = 5072 cal/min)

17. Un gas ideal (cP = 7/2R) describe el ciclo de la figura. Conocidos los siguientes

datos: P1 = 1 atm, T1 = 80oC, P2 = 25 atm y T3 = 3000oC, calculense los

calores y trabajos puestos en juego durante el ciclo (discutase si son absorbidos

o cedidos). Obtengase asimismo su rendimiento.

(Respuestas : W12 = 11060 J/mol; Q23 = 49588 J/mol; W34 = −40881 J/mol;

Q41 = −19766 J/mol; η = 0,60)


1

2

3

4

adiabática

adiabática

P

V

18. Una barra de metal de 30 cm de longitud se dilata 0, 075 cm cuando su tem-

peratura se aumenta de 0◦C a 100◦C. Una barra de material diferente y de la

misma longitud se dilata 0, 045 cm para el mismo incremento de temperatura.

Una tercera barra de 30 cm construida con dos trozos de los metales anteriores

unidos por sus extremos, se dilata 0,065 cm entre 0◦C y 100◦C. Hallar la longitud

de cada una de las porciones de la barra compuesta.

(Respuestas : l1 = 20 cm ; l2 = 10 cm)

19. Un bloque de hielo que pesa 10 kg se encuentra a−8◦C. Determinar la cantidad de

agua que hay que anadir suponiendo que esta se encuentra a 50◦C, para obtener

al establecerse el equilibrio una mezcla de hielo y agua por partes iguales. Calor

especıfico del hielo: 0,5 cal/g◦C; calor especifico del agua : 1 cal/g ◦C ; calor

latente de fusion : 80 cal/g.

(Respuestas : m = 4888, 89 g)

20. Calcular la variacion de energıa interna correspondiente a la transformacion de 1

kg de hielo a 0◦C y 3 atm en agua lıquida a 4◦C y a la misma presion. Densidad

del hielo a 0◦C : 0, 917 g/cm3. Calor latente de fusion del hielo: 80 cal/g.

(Respuestas : ∆U = 351, 7 kJ)

21. Una maquina de Carnot absorbe calor de una fuente a temperatura de 120◦C y

entrega calor a otra fuente a temperatura de 10◦C. Si la maquina absorbe 150J de

10.5. PROBLEMAS 311

la fuente caliente, hallese el trabajo que realiza, el calor que cede y su rendimiento.

(Respuestas : W = 41, 97 J ; Q = 108 J; η = 27, 98 %)

Parte IV

Practicas de laboratorio

Caıda libre

Objetivos

Comprobar las relaciones posicion-tiempo [y = y(t)] y velocidad-posicion [v =

v(y)] en un caso particular sencillo de movimiento uniformemente acelerado en

una dimension.

Determinar experimentalmente la aceleracion de la gravedad, g.

Material

Aparato de caıda libre.

Bola de acero (d = 1,9 cm) y bola de goma (d = 3,1 cm).

Regla graduada.

Contador digital.

Barrera fotoelectrica.

Fundamento teorico

Una de las fuerzas habituales en nuestra experiencia diaria es la que ejerce la Tierra

sobre un objeto cualquiera. Esta fuerza se denomina gravitatoria, ~fg, o, desde el punto

de vista del objeto que la experimenta peso, ~P . Si se deja en libertad un objeto cerca

de la superficie terrestre comienza a caer hacia ella. Despreciando la resistencia que

ejerce el aire de la atmosfera, experimentalmente se comprueba que la aceleracion con

316 CAPITULO 11. CAIDA LIBRE

que cae esta dirigida hacia el centro de la Tierra, es independiente del objeto y ademas

es constante. Esta aceleracion se denomina aceleracion de la gravedad y en el S.I. vale

aproximadamente 9,81 m/s2. Se denomina movimiento de caıda libre al movimiento de

caıda de un cuerpo hacia la superficie terrestre con una aceleracion g si su velocidad

inicial es nula y se desprecia la resistencia del aire.

En realidad, medidas precisas de la aceleracion de la gravedad, indican que:

a) La fuerza de atraccion de la Tierra sobre un objeto depende de la distancia del

objeto al centro de la Tierra, r, del siguiente modo: fg ∼ 1/r2. Ası, un cuerpo

pesa ligeramente menos cuando se encuentra en lugares elevados, que respecto al

nivel del mar. fg tambien depende de la latitud a la que se encuentra el objeto,

puesto que la Tierra no es completamente esferica, sino que esta achatada por

los polos.

b) La aceleracion de un cuerpo en caıda hacia la superficie terrestre depende de la

resistencia que oponga el aire a su caıda. Si dejamos caer simultaneamente una

pequena piedra y una hoja de papel con la misma masa, siempre llega antes la

piedra. Esto se debe a que la resistencia que ofrece el aire a la hoja de papel es

mayor, aunque la aceleracion gravitatoria es identica para los dos objetos.

En cualquier caso, a efectos practicos, podemos despreciar tanto la variacion de g

con la altitud y la latitud como la resistencia que opone el aire en la caıda y expresar:

~fg = m~a o de otro modo: ~P = −mg~jdonde g =| ~g |= 9,81 m/s2 y es aproximadamente constante. Por lo tanto, el movimiento

de caıda libre es uniformemente acelerado.

Condiciones iniciales: t = 0→ y0 = 0, v0 = 0.

Operando en terminos de modulos:

g =dv

dt→ dv = g dt→

∫ v

0

dv =

∫ t

0

g dt =⇒ v = g t

v =dy

dt→ dy = v dt→

∫ y

0

dy =

∫ t

0

g t dt =⇒ y =1

2g t2

317

Realizacion practica

Medida de la relacion posicion-tiempo, y = y(t)

Se lleva a cabo el montaje experimental con el contador digital no conectado a la

red y utilizaremos la bola de acero. Comprueba que la bola y la cazoleta estan alineadas

de modo que la bola caiga dentro de la cazoleta.

Conexiones electricas:

salidas del START ⇐⇒ disparador (d)

salidas del STOP ⇐⇒ cazoleta

boton INVERT del START presionado

Una vez finalizado el montaje se conecta el contador a la red y se realizan las medidas

de los pares (t, y) variando la posicion de la cazoleta. (Antes de realizar cualquier

medida pulsa STOP y luego NULL para poner a cero el contador).

Medida de la relacion velocidad-posicion, v = v(y)

Estas medidas se realizan con la ayuda de una barrera fotoelectrica y la bola de

goma. Sabiendo el diametro de la bola, ∆s, (para la bola de acero, ∆s = 1,7 cm) y el

tiempo que tarda en pasar por la barrera, ∆t, tenemos: v = ∆s/∆t para una altura

dada.

Coloca la cazoleta por debajo de la barrera de modo que cazoleta, barrera y dispa-

rador esten alineados.

Conexiones electricas (hacerlas con el contador apagado):

borne rojo del contador ⇐⇒ borne rojo de la barrera (+5)

azul del contador ⇐⇒ azul de la barrera

amarillos del contador (en cortocircuito) ⇐⇒ rojo del enchufe bipolar de la barrera

blancos del contador (en cortocircuito) ⇐⇒ negro del enchufe bipolar de la barrera

boton INVERT del STOP presionado

318 CAPITULO 11. CAIDA LIBRE

Resultados a obtener

1.1.- Mide 8 pares de valores (t, y).

1.2.- Representa graficamente las funciones: y = y(t), y = y(t2), y = y(Ln(t)).

1.3.- Ajusta por el metodo de los mınimos cuadrados las que mas se asemejan a una

lınea recta.

1.4.- Calcula g a partir de los ajustes anteriores.

2.1.- Mide 8 pares de valores (y, v).

2.2.- Representa graficamente las funciones: v = v(y), v2 = v2(y), v = v(Ln(y)).

2.3.- Ajusta por el metodo de los mınimos cuadrados las mas parecidas a una recta.

2.4.- Calcula g a partir de los ajustes anteriores, utilizando la relacion teorica que

liga v e y.

Cuestiones

1. ¿Bajo que hipotesis puede considerarse la aceleracion de la gravedad constante?

2. Demuestra la relacion teorica que liga la velocidad de caıda con la altura: v =

v(y).

3. ¿Que diferencia hay entre los conceptos de peso y masa de un objeto?

4. Imagina dos objetos de igual masa, pero uno de ellos con una superficie mucho

mayor que la del otro. Si ambos caen libremente dentro de un recipiente en el que

previamente se ha hecho el vacıo, ¿cual de los dos llega antes al suelo? Razona la

respuesta.

5. ¿Donde pesa mas un objeto, en Venezuela o en Groenlandia?

Estatica y dinamica de un muellevertical

Objetivos

Determinacion de la constante del muelle.

Estudio de un muelle oscilante como ejemplo de movimiento armonico simple.

Material

Trıpode con barra soporte.

Juego de muelles.

Bolas de diferentes materiales.

Juego de pesas y soporte.

Sensor de movimiento y ordenador.

Fundamento teorico y realizacion practica

El movimiento armonico simple es consecuencia de una fuerza recuperadora lineal.

Esto es, una fuerza directamente proporcional (lineal) al desplazamiento con respecto

a una posicion de equilibrio. Se dice que la fuerza es recuperadora en el sentido de

que siempre tiende a que el cuerpo recupere la posicion de equilibrio. En esta practica

estudiaremos la fuerza recuperadora lineal experimentada por una masa colgada de un

muelle espiral con la ayuda de un sensor de movimiento.

320 CAPITULO 11. MUELLE VERTICAL

Si la masa se aleja de la posicion de equilibrio inicia un movimiento oscilatorio de

tipo armonico simple. El desplazamiento o elongacion, z(t), del movimiento viene dado

por la distancia desde la posicion de equilibrio a la posicion que ocupa la masa en un

instante determinado. La amplitud, A, es la distancia entre las maximas elongaciones

en un sentido y otro del movimiento. El periodo, T , del movimiento armonico simple

viene dado por el tiempo que tarda la masa en realizar una oscilacion completa, por

ejemplo, el tiempo que tarda en pasar desde una posicion de maxima elongacion hasta

la siguiente. La frecuencia, f , es el inverso del periodo y la frecuencia angular, ω = 2πf .

La ley de Hooke. Calculo de la constante del muelle

Si se desplaza del equilibrio un objeto conectado a un muelle, este ejerce una fuerza

sobre el objeto opuesta al desplazamiento y viene dada por la ley de Hooke:

F = −kz (11.1)

Es decir, se trata de una fuerza proporcional y opuesta al desplazamiento con una

constante de proporcionalidad, k, que se denomina constante del muelle. Como esta

constante es una fuerza dividida por un desplazamiento, sus unidades en el S.I. son

N/m. Esta constante es una medida de la rigidez del muelle. Nos ocuparemos en par-

ticular de una masa colgada de un muelle vertical.

Si una masa m se cuelga de un muelle vertical, sobre ella actuan dos fuerzas, la

recuperadora del muelle y el peso, F = −mg. Cuando la masa esta en equilibrio, ambas

son iguales y, por lo tanto,

m =k

gz (11.2)

Esta ecuacion es poco util porque no es sencillo determinar cual es el punto inicial de

masa m = 0 porque el muelle tambien tiene masa. Como es una ecuacion lineal, es

mas practico considerar incrementos de posicion y de masa con respecto a unos valores

iniciales z0 y m0, que tambien verifican

m0 =k

gz0. (11.3)

Si de la ecuacion (3) restamos la (4) se obtiene:

∆m =k

g∆z (11.4)

321

con ∆m = m−m0 y ∆z = z − z0.

Por tanto, vamos a medir la posicion inicial, z0, para el caso en el que solo esta el

soporte y a partir de ahı consideraremos los desplazamientos, z, para los casos en que

se van anadiendo las pesas disponibles. Para medir las posiciones se coloca el sensor de

movimiento debajo del muelle y en su vertical. Utilizando el programa de ordenador

para medir distancias se obtiene directamente el valor de la posicion en metros. A partir

de aquı se representa graficamente ∆m frente a ∆z y se realiza un ajuste lineal. La

pendiente del ajuste se corresponde con k/g y tomando como dato conocido g = 9,8

m/s2 se despeja k (¡cuidado con las unidades!).

El periodo de un muelle oscilante.

Si suponemos que la masa del muelle es despreciable, cuando colgamos de el una

masa m, y hacemos que esta oscile, se puede demostrar que el periodo de la oscilacion

T viene dado por

T = 2π

√m

k. (11.5)

T tiene unidades de segundos, la constante del muelle k viene dada en N/m y la masa

m en kilos. Si elevamos esta ecuacion al cuadrado,

T 2 =4π2

km, (11.6)

la masa aparece proporcional al cuadrado del periodo y por consiguiente podemos re-

escribir esta ecuacion en terminos de incrementos de masa. En efecto, como ∆m =

m−m0, se tiene que m = ∆m+m0 y sustituyendo en la ecuacion anterior obtenemos:

T 2 =4π2

k(∆m+m0) =

4π2

k∆m+

4π2m0

k(11.7)

El procedimiento experimental consiste en medir el periodo de oscilacion para varias

masas. Para calcular el periodo simplemente mediremos el tiempo total, t, empleado

para realizar 50 oscilaciones completas, dividiendo t por 50 obtendremos una buena

estimacion del periodo. El tiempo se medira con el cronometro del ordenador.

De la representacion de los periodos al cuadrado, T 2, frente a los incrementos de

masa, ∆m, en kg se obtiene una recta y = ax + b cuya pendiente, a, nos permite

calcular la constante del muelle.

322 CAPITULO 11. MUELLE VERTICAL

Dinamica del muelle

Despreciando el rozamiento con el aire, el movimiento oscilatorio del muelle cuando

se le somete a una pequena perturbacion es de tipo armonico simple. Matematicamente,

la elongacion del muelle en funcion del tiempo viene dada por una funcion senoidal:

z(t) = A cos(ωt+ δ) (11.8)

donde δ es el desfase inicial, dependiente de la posicion y velocidad de la masa conectada

al muelle en el instante inicial. Derivando esta ecuacion se pueden obtener la velocidad

y la aceleracion como funciones del tiempo.

En la practica construiremos las ecuaciones del movimiento de dos muelles conecta-

dos a la misma masa (esfera de madera). Para ello utilizaremos el sensor de movimiento

y el programa de ordenador que permite obtener las graficas de z(t), v(t) y a(t). Ha-

ciendo un ajuste senoidal a las tres obtendremos los parametros que aparecen en las

ecuaciones de movimiento.


a) Representese graficamente ∆m frente a ∆z. Ajustense los datos a una recta. Calcule-

se k/g a partir de la pendiente de la recta (ecuacion (11.4)).

b) Estımese el valor de la constante del muelle multiplicando por el valor conocido de

g = 9,8 m/s2.

c) Representese graficamente T 2 frente a ∆m y ajustense los datos a una recta. Calcule-

se la constante del muelle a partir de la pendiente de la recta.

d) Calculense la frecuencia, frecuencia angular y periodo de los dos muelles disponibles

conectados a la masa de madera.

e) Calcula la amplitud de las tres funciones: z(t), v(t) y a(t) y comprueba que las

relaciones entre ellas son las que indican los calculos teoricos.

f) Finalmente, escribe las ecuaciones de movimiento z(t), v(t) y a(t) para los dos

muelles.

323

Cuestiones

1. ¿En que unidades se miden en el S.I. las siguientes magnitudes: elongacion, am-

plitud, periodo y frecuencia? ¿Cuales son sus dimensiones?

2. Demuestra la ecuacion (11.5).

3. Comprueba que la ecuacion (11.7) es dimensionalmente correcta.

4. Contesta razonadamente a los siguientes enunciados:

a) El periodo de un objeto que oscila sobre un determinado muelle es indepen-

diente de que el muelle este situado vertical u horizontalmente.

b) La velocidad maxima de un objeto que oscila con amplitud A es indepen-

diente de que el muelle que lo sujeta este situado horizontal o verticalmente.

c) ¿Es realmente el movimiento del muelle del laboratorio armonico simple?

¿Por que? ¿Que hipotesis simplificadoras estamos asumiendo?

Pendulo simple

Objetivos

Comprobar los factores que determinan el periodo de un pendulo simple.

Determinar la aceleracion de la gravedad a traves del periodo de un pendulo.

Material

Trıpode con barra soporte.

Hilo de nylon.

Bolas de diferentes materiales.

Regla graduada.

Cronometro.

Celula fotoelectrica y ordenador portatil

Fundamento teorico

Un pendulo simple esta formado por una pequena masa, m, colgada del extremo de

un hilo, que se supone de masa despreciable e inextensible, unido por el otro extremo

a un soporte fijo. De este modo, cuando se da un pequeno impulso a la masa, oscila

alrededor de la posicion vertical de equilibrio. Las fuerzas que actuan sobre la masa,

cuando esta separada un angulo θ de la posicion de equilibrio, son las que se muestran

en el esquema.

326 CAPITULO 11. PENDULO SIMPLE

P

T

θ

θs

l

m

Si denominamos s al desplazamiento sobre el arco de circunferencia y aplicamos la

segunda ley de Newton en la direccion del movimiento:

ft = −mg sen θ = md2s

dt2

donde ft son las fuerzas tangenciales (en la direccion del movimiento) y el signo negativo

se debe al sentido elegido para el movimiento (hacia la izquierda). En terminos de

angulos (s = lθ):

−g sen θ = ld2θ

dt2−→ d2θ

dt2= −g

lsen θ

Si consideramos que el angulo θ es suficientemente pequeno se puede hacer la apro-

ximacion sen θ ' θ y se obtiene:d2θ

dt2= −g

lθ

Con esta hipotesis resulta que la aceleracion angular es proporcional al angulo, lo

que da lugar a un movimiento oscilatorio de tipo armonico simple. La solucion de la

ecuacion diferencial anterior se puede expresar como:

θ = θ0 cos(ωt+ δ)

donde θ0 y δ son el desplazamiento angular y el desfase iniciales, respectivamente y ω

es la frecuencia angular de la oscilacion: ω2 = g/l. Por lo tanto, el periodo de oscilacion

327

(tiempo que tarda la masa en realizar una oscilacion completa, hasta regresar al punto

de partida) resulta ser:

T =2π

ω= 2π

√l

g

En consecuencia, dentro de las hipotesis que consideramos se puede afirmar que el

periodo de oscilacion de un pendulo simple no depende de su masa sino unicamente

de la longitud del hilo y del valor particular de g en el lugar donde se encuentra el

pendulo.


Influencia de la masa

Se coloca una de las masas que se suministran colgada del hilo con una longitud

aproximada de 1 m. Se separa un angulo pequeno (∼ 10◦) de la posicion vertical de

equilibrio y se deja oscilar. Con el cronometro se mide el tiempo que tarda el pendulo en

completar 25 oscilaciones y se determina el periodo de la oscilacion. Repite la medida

3 veces y toma para T el valor medio. Vuelve a realizar el procedimiento con las otras

masas disponibles. Representa en una tabla las medidas obtenidas.

Calcula el periodo tambien con la celula fotoelectrica y el programa DataStudio.

Para ello, mide directamente el periodo con la celula 3 veces para cada masa y toma

el valor medio.

Influencia de la longitud del hilo

Con objeto de estudiar la dependencia del periodo con la longitud del hilo, utiliza

la masa esferica y disminuye la longitud del hilo 10 cm. Mide el periodo realizando 3

observaciones de 25 oscilaciones cada una. Repite el proceso disminuyendo de 10 en 10

centımetros la longitud del hilo hasta completar un total de 6 longitudes distintas.

Para cada longitud calcula tambien el periodo con la celula fotoelectrica, repitiendo

la medida 3 veces.

328 CAPITULO 11. PENDULO SIMPLE

Influencia de la amplitud inicial

Con la masa esferica y fijada la longitud del hilo aproximadamente a 90, 80, y 70

cm determina el periodo si la amplitud inicial es mucho mayor que 10◦

(por ejemplo,

deja oscilar el pendulo desde un angulo inicial de 45◦

aproximadamente). Representa

en una tabla las medidas obtenidas.

Para cada amplitud calcula tambien el periodo con la celula fotoelectrica, repitiendo

la medida 3 veces.


1. Comparando las medidas realizadas con la longitud fija (1m) y distintas masas,

discute cual es la influencia de la masa en el periodo del pendulo, tanto en las

medidas realizadas con cronometro como con la celula fotoelectrica. ¿Esta esto

de acuerdo con la teorıa?

2. Representa graficamente T 2 = T 2(l) y ajusta por mınimos cuadrados tomando

los valores de T y l obtenidos en los apartados 4.1 y 4.2 para la bola esferica de

acero. A partir del ajuste, calcula el valor de la aceleracion de la gravedad, g.

Repite estos calculos y la figura con las medidas tomadas con el ordenador.

3. Calcula g a partir de los resultados del apartado 4.3 para amplitudes iniciales

grandes. ¿El valor que obtienes es mas proximo al valor teorico para g que el

resultado obtenido en el apartado anterior? Segun la teorıa, ¿deberıa ser mas

proximo o mas lejano?

Cuestiones

1. ¿Bajo que hipotesis basicas el periodo de un pendulo solo depende de la longitud

del hilo y de g?

2. Imagina dos pendulos identicos, uno situado a nivel del mar y el otro a 6000 m

de altitud, ¿sus periodos seran identicos?

329

3. Si un pendulo de 1 m de longitud se quiere utilizar como reloj, ¿cuantas oscila-

ciones representan 1 hora?

4. Un pendulo ha sido disenado para funcionar como reloj cuando la temperatura

ambiente es de 20◦

C. ¿Que sucedera en un dıa de verano si la temperatura se

aproxima a los 40◦

C, el reloj se adelantara o se atrasara?

Pendulo fısico

Objetivos

Comprobar los factores que determinan el periodo de oscilacion de un pendulo

fısico.

Determinar el momento de inercia de una barra.

Determinar experimentalmente la aceleracion de la gravedad.

Material

Barra metalica con orificios.

Trıpode.

Barrera fotoelectrica.

Regla graduada.

Fundamento teorico

Cualquier cuerpo rıgido colgado de algun punto que no sea su centro de masas

oscila cuando se desplaza de su posicion de equilibrio. Este sistema recibe el nombre de

pendulo fısico. Consideremos una figura plana suspendida de un punto (como muestra

el esquema, el eje de giro sera perpendicular al papel) a una distancia h del centro

de masas y desplazada un angulo φ de su posicion de equilibrio, tal y como indica la

figura.

332 CAPITULO 11. PENDULO FISICO

φ

h sen φ c.m.

P

eje de giro

m, I

z

h

El modulo del momento de la fuerza gravitatoria respecto al punto de suspension

es τ = −mghsenφ (el signo negativo se debe a que tiende a disminuir φ) y segun la

segunda ley de Newton para la rotacion:

τ = I α = Id2φ

dt2=⇒ −mgh senφ = I

d2φ

dt2

donde I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro. Por lo tanto,

d2φ

dt2= −mgh

Isen φ

y si se considera que los desplazamientos angulares son suficientemente pequenos se

puede aproximar:

sen φ ' φ =⇒ d2φ

dt2= −ω2φ con ω2 =

mgh

I

En consecuencia, el pendulo realiza un movimiento armonico simple de periodo:

T = 2π

(I

mgh

)1/2

Tambien se puede expresar el periodo en terminos del momento de inercia del cuerpo

respecto a su centro de masas, Icm, sin mas que aplicar el teorema de Steiner: I =

Icm +mh2.

333

T = 2π

(Icm +mh2

mgh

)1/2

(11.9)


Se cuelga la barra por uno de sus orificios y se desplaza ligeramente de su posicion

de equilibrio. Se calcula el periodo utilizando la barrera fotoelectrica y el programa

DataStudio.

A continuacion se cambia el eje de giro de la barra eligiendo otro valor de h (distancia

eje-centro de masas) y se vuelve a calcular el periodo. De este modo construye una tabla

con 8 valores de periodos frente a distancias. Resume en una tabla todas las medidas

realizadas.


1. A partir de la ecuacion (1) se puede determinar el momento de inercia de la barra

respecto a su centro de masas del siguiente modo:

T 2 = 4π2 Icm +mh2

mgh−→ hT 2 =

4π2

mg(Icm +mh2)

Una vez obtenida esta ecuacion basta representar graficamente la variable y defi-

nida como y = hT 2 frente a h2 y realizar un ajuste por mınimos cuadrados para

determinar tanto Icm como g (tomando como dato conocido la masa de la barra,

m = 87,3 g).

2. El valor teorico del momento de inercia de una barra delgada respecto a un eje

perpendicular que pasa por su centro de masas es Icm = 112ml2, donde l es su

longitud. Compara el valor experimental obtenido con el teorico. ¿Cual es el error

de la medida?

Cuestiones

1. Con el procedimiento experimental que se ha descrito y a partir de la ecuacion (1),

¿se podrıan determinar independientemente Icm y la masa de la barra? Razona

334 CAPITULO 11. PENDULO FISICO

la respuesta.

2. A partir del valor experimental obtenido para Icm, calcula mediante el teorema

de Steiner el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular que

pasa por uno de sus extremos.

3. ¿Que tipo de movimiento realiza la barra si el angulo de partida es suficientemente

pequeno? ¿Que fuerzas se desprecian para considerar que la barra realiza un

movimiento de ese tipo?

4. Demuestra teoricamente la ecuacion:

τ = −mgh senφ

¿Cuales seran la direccion y el sentido del vector ~τ en la figura?

Pendulo de torsion y momentos deinercia

Objetivos

Determinar la constante de un muelle espiral

Determinar el momento de inercia de varios solidos rıgidos

Comprobar la utilidad del teorema de Steiner

Material

• Tripode son soporte • Muelle espiral • Barrera fotoelectrica

• Disco metalico con orificios • Barra con pesas • Disco de plastico

• Cilindro Macizo • Esfera • Cilindro hueco

Fundamento teorico

Pendulo de torsion

En la figura se muestra un pendulo de torsion, que esta formado por un objeto

suspendido de un hilo que por el otro extremo esta unido a un punto fijo. Un muelle

espiral colocado de forma horizontal tambien se puede considerar como un pendulo de

torsion. Cuando el hilo o el muelle se giran un angulo θ, ejercen un momento que tiende

a devolver el objeto a su posicion inicial. Ese momento suele ser de la forma:

τz = −kθ (11.10)

336 CAPITULO 11. MOMENTOS DE INERCIA

donde el eje de giro se representa por z, τz es la componente del momento sobre el eje

de giro y k se denomina constante de torsion y depende de las propiedades elasticas

del hilo o del muelle.

θ

I

k

La segunda ley de Newton para la rotacion, aplicada a un cuerpo rıgido con simetrıa

de revolucion y de momento de inercia I, se puede expresar ası:

τz = Id2θ

dt2(11.11)

con lo que sustituyendo τz resulta la siguiente ecuacion diferencial:

Id2θ

dt2+ kθ = 0 (11.12)

Es sencillo comprobar que la solucion de esta ecuacion es de la forma:

θ(t) = θ0 cos(ωt+ δ) (11.13)

que representa un movimiento armonico simple de frecuencia y periodo:

ω =

(k

I

)1/2

; T =2π

ω= 2π

(I

k

)1/2

(11.14)

A diferencia del pendulo simple, en este caso no se ha necesitado en ningun momento

suponer que el angulo θ sea suficientemente pequeno para que la ecuacion diferencial

sea lineal. Es decir, en el caso del pendulo de torsion, siempre que el momento sea

proporcional al angulo girado, el sistema describe un movimiento armonico simple.

337

Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos)

El momento de inercia de un solido rıgido no es una propiedad intrınseca del cuerpo

sino que depende del eje de giro respecto al que se calcule. Por esta razon en muchas

ocasiones es util conocer las ecuaciones que relacionan el momento de inercia respecto

a un eje con el momento respecto a otro diferente. Uno de los teoremas mas utilizados

en estas situaciones es el denominado teorema de los ejes paralelos o de Steiner, que

relaciona el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento relativo

a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas del objeto.

z

y

x

dm

c.m.

x

y

x cm

y cm d

y'

r r'

O

x'

Consideremos un solido rıgido arbitrario de masa M , que tiene un momento de

inercia I respecto a un eje que pasa por el punto O y, como se muestra en la figura, es

perpendicular al plano del papel. Por definicion de momento de inercia:

I =

∫r2 dm =

∫ (x2 + y2

)dm (11.15)

Si consideramos ahora el momento de inercia del objeto en relacion a un eje de giro

paralelo al anterior y que pasa por su centro de masas, Icm, su definicion se expresarıa

ası:

Icm =

∫r′

2dm =

∫ (x′

2+ y′

2)dm (11.16)

donde ahora las coordenadas estan referidas a un sistema de referencia con origen en

el centro de masas y cuyos ejes son paralelos a los ejes x e y. La relacion entre los


vectores de posicion de un elemento infinitesimal de masa cualquiera, dm, vendra dada

por: ~r′ = ~r − ~d, donde ~d es el vector que une los orıgenes de los dos sistemas de

referencia. En coordenadas:

x2 = x′2

+ d2x + 2x′dx ; y2 = y′

2+ d2

y + 2y′dy (11.17)

Sustituyendo en la ecuacion de I y agrupando terminos:

I =

∫ (x′

2+ y′

2)dm+

∫ (d2x + d2

y

)dm+ 2

∫(x′dx + y′dy) dm (11.18)

De esta suma, el primer sumando representa Icm, en el segundo dx y dy son constantes

y resulta ser d2M y el tercero representa las coordenadas del centro de masas en el

sistema de referencia x′, y′, que es precisamente el sistema de centro de masas, o sea,

que es nulo. Por lo tanto:

I = Icm +M d2 (11.19)

Este resultado se conoce con el nombre de teorema de Steiner y relaciona los mo-

mentos de inercia relativos a dos ejes paralelos siempre que uno de ellos pase por el

centro de masas del objeto. d simplemente es la distancia entre los dos ejes.

Realizacion practica y resultados a obtener

Medida de la constante del muelle

La constante del muelle espiral se puede determinar utilizando las ecuaciones (11.14)

y (11.19). Sustituyendo una en otra:

T 2 =4π2

k

(Icm +M d2

)(11.20)

A partir de esta ecuacion se pueden obtener k e Icm sin mas que medir la dependencia

del periodo con la distancia del centro de masas al eje de giro.

1. Coloquese sobre el muelle el disco metalico con orificios y determınese el periodo

de la oscilacion para varias distancias del eje de giro al centro de masas (al menos

5).

339

2. Construye una tabla con la funcion T = T (d).

3. A partir de la tabla representese graficamente T 2 frente a d2 y por medio de un

ajuste por mınimos cuadrados determınese la constante del muelle, k (utiliza las

masas que aparecen en la tabla adjunta) en unidades del Sistema Internacional

e Icm.

¡Advertencia: siempre se midan periodos con la barrera fotoelectrica, repite 6 veces

la medida, 3 girando el muelle hacia la derecha y otras 3 hacia la izquierda. Toma luego

como periodo la media aritmetica de las 6 medidas!

Calculo de momentos de inercia

El momento de inercia se puede determinar a partir del periodo haciendo uso de la

ecuacion (11.14).

1. Determınese el periodo para todos los objetos mencionados en el apartado Ma-

terial, midiendo para cada uno de ellos el periodo 6 veces (3 hacia cada lado) y

tomando como valor mas probable el valor medio. Tengase en cuenta que para

la barra con pesas, I = Ibarra + 2Md2, donde M es la masa de cada pesa y d la

distancia entre ellas y el eje.

2. Una vez calculado T para cada uno de los objetos proporcionados, obtengase el

momento de inercia y comparese con los momentos teoricos de dichos cuerpos,

considerando los datos de la tabla adjunta. Calculense los errores absolutos y

relativos de los momentos de inercia.

Cuestiones

1. Demuestra que la ecuacion (11.13) junto con los valores de ω y T de la ecua-

cion (11.14) representa, efectivamente, una solucion de la ecuacion diferencial (11.12).

2. Explica detalladamente cada uno de los terminos de la ecuacion (11.18). ¿A traves

de que punto de un cuerpo debe pasar el eje de rotacion para que su momento

de inercia sea mınimo?


masa (kg) dimensiones (m)

Esfera 0.846 r=0.07Cilindro hueco 0.374 ri = 0,046, re = 0,050Cilindro macizo 0.378 r=0.0495Disco de plastico 0.297 r=0.11

Disco metalico (con orificios) 0.384 r=0.15Barra metalica 0.176 l=0.6

Pesas (cada una) 0.211

3. Calcula el momento de inercia de un sistema formado por cuatro masas puntuales

iguales distribuidas en los vertices de un rectangulo de lados a y b respecto a un

eje que coincide con la diagonal del rectangulo.

Ondas estacionarias

Objetivos

Comprender el concepto de onda estacionaria

Determinar la velocidad de propagacion de las ondas estacionarias en una cuerda

Material

• Cuerda elastica • Transformador de voltaje • Generador de frecuencias

• Motor electrico • Multımetro digital

Fundamento teorico

Las ondas confinadas en una region del espacio (como las ondas en las cuerdas de

una guitarra, las ondas sonoras en el tubo de un organo o las ondas longitudinales en un

muelle) se reflejan en los extremos y las ondas incidentes y reflejadas coinciden en esa

misma region. Por el principio de superposicion dichas ondas se combinan sumando-

se. Para una cuerda, muelle o tubo determinados existen ciertas frecuencias en que la

combinacion da como resultado lo que se denomina una onda estacionaria. En esta

situacion los elementos de la cuerda o muelle vibran alrededor de su posicion de equili-

brio, pero la onda da la sensacion de no desplazarse. Sus aplicaciones son importantes

por ejemplo en el diseno de instrumentos musicales y en ramas de la ingenierıa como

la construccion de puentes y edificios.

Si se fijan los extremos de una cuerda y se hace vibrar con determinadas frecuencias

se obtienen ondas estacionarias como las que se muestran en la figura. Estas frecuencias

342 CAPITULO 11. ONDAS ESTACIONARIAS

se denominan frecuencias de resonancia del sistema. La mas baja recibe el nombre de

frecuencia fundamental y el esquema que se produce armonico fundamental o primer

armonico. La segunda frecuencia a la que se produce onda estacionaria es justamente

el doble de la primera y el patron originado se llama segundo armonico. Y ası sucesi-

vamente.

Para cada armonico existen puntos del muelle que no se mueven. Se llaman nodos.

Y los puntos que tienen maxima vibracion antinodos o vientres. Como los extremos del

muelle estan fijos siempre son nodos. El primer armonico tiene un antinodo, el segundo

dos y ası progresivamente.

Se puede demostrar que si la longitud del muelle o cuerda es l su relacion con la

longitud de onda del armonico n-esimo, λn viene dada por:

l = nλn2

n = 1, 2, 3 . . . (11.21)

Esta ecuacion se suele denominar condicion de onda estacionaria porque indica para

una longitud dada las longitudes de onda que tienen las sucesivas ondas estacionarias.

En terminos de frecuencias:

fn =v

λn=v n

2 l(11.22)

donde v es la velocidad de propagacion de la onda. De otro modo:

fn = nv

2 l= n f1 n = 1, 2, 3 . . . (11.23)

donde f1 = v/2 l es la frecuencia fundamental.

343

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

l

A

A A

A A A

A A A A

A A A A A

N N

NN

N

Primer arm

ónico fundamental

Segundo armónico

Tercer armónico

Cuarto arm

ónicoQ

uinto armónico

344 CAPITULO 11. ONDAS ESTACIONARIAS


Una vez situado un extremo de la cuerda en el extremo fijo del soporte y el otro en el

motor electrico, fija su longitud aproximadamente en 52 cm. A continuacion conecta el

generador de frecuencias y localiza los primeros armonicos (hasta n = 6 o n = 7) para

esa longitud. Anota la frecuencia correspondiente a cada uno. Repite las medidas de

la frecuencia tres veces y utiliza el valor medio para los calculos subsiguientes. Vuelve

a seguir el procedimiento para otras 4 longitudes diferentes de la cuerda (por ejemplo

63, 73 y 83 cm).

¡Advertencias!

El generador de funciones debe estar situado siempre en el valor U/Vs = 3

Para localizar las frecuencias de resonancia el barrido se debe hacer de menor a

mayor valor de la frecuencia

¡ No tocar el motor bajo ningun concepto !


1. Representa una tabla para cada una de las longitudes consideradas con los valores

de n y fn

2. Para cada una de las longitudes consideradas representa graficamente la frecuen-

cia de vibracion, fn frente a n.

3. Mediante ajuste por mınimos cuadrados de las graficas anteriores calcula la ve-

locidad de propagacion de la onda, v, para cada longitud (ec. (11.22)).

4. La velocidad de propagacion de una onda en una cuerda depende de la tension a

la que esta sometida y de su densidad lineal de masa, µ. Utilizando la ecuacion

correspondiente y sabiendo que para la cuerda empleada µ = 1,05 g/m, calcula

a partir de las velocidades obtenidas, la tension de la cuerda para cada longitud

en unidades del S.I.

345

Cuestiones

1. ¿Que diferencia hay entre un movimiento ondulatorio y un movimiento osci-

latorio? En el montaje de esta practica, ¿que elemento realiza un movimiento

oscilatorio?

2. ¿Por que las ondas estacionarias se denominan ası?

3. ¿Las ondas que se producen en esta practica son longitudinales o transversales?

¿Por que?

4. Una cuerda con ambos extremos fijos resuena con una frecuencia fundamental de

100 Hz. ¿Cual de las siguientes acciones reducira esa frecuencia a 50 Hz?

a) Duplicar la tension y duplicar la longitud

b) Mantener fija la tension y duplicar la longitud

c) Mantener fija la tension y reducir la longitud a la mitad

Conservacion de la energıa

Objetivos

Hacer un analisis de la conservacion de la energıa en un sistema con movimientos

de traslacion y rotacion

Determinar el momento de inercia de un disco

Material

• Tripodes son soporte y eje • Hilo • Ordenador

• Sensor de movimiento • Disco de Maxwell (r = 2,5± 0,01 mm; m = 527,0± 0,1 g)

Fundamento teorico

Consideramos como sistema un disco o volante sujeto por dos hilos a un eje fijo

de tal manera que al ser liberado desde una cierta altura desciende por accion de la

fuerza de la gravedad realizando tanto un movimiento de traslacion de su centro de

masas como un movimiento de rotacion alrededor de un eje. Considerando que los

rozamientos no son apreciables, el sistema es conservativo, la unica energıa potencial

sera la asociada a la fuerza gravitatoria.

Por lo tanto, si Ei es la energıa mecanica total en el instante inicial y Ef es la energıa

mecanica total en cualquier otro instante (por ejemplo, cuando el sistema este a una

altura h cualquiera), se verifica que Ei = Ef . Si se deja caer el sistema desde el reposo

la energıa inicial sera unicamente potencial gravitatoria y en cualquier otro instante

tendra una componente cinetica de traslacion, otra cinetica de rotacion y otra potencial

348 CAPITULO 11. CONSERVACION DE LA ENERGIA

gravitatoria. Eligiendo como origen de la energıa potencial gravitatoria la que tiene en

el instante f y considerando que la altura inicial respecto a f es h0,

mgh0 =1

2mv2 +

1

2Iω2 (11.24)

donde I es el momento de inercia de la rueda, v la velocidad de traslacion y ω la de

rotacion. Teniendo en cuenta que ω = v/r, donde r es el radio del volante y que en

un movimiento uniformemente acelerado que parte de reposo v2 = 2 a∆h, podemos

despejar v2 de la Ec. (11.24) e igualando obtener a:

a =mg

m+I

r2

(11.25)

La ecuacion de la altura en funcion del tiempo sera:

h(t) = h0 +1

2at2 (11.26)

donde h0 es la altura inicial.

Realizacion practica y resultados a obtener

Se deben enrollar los hilos sobre el eje movil del volante de forma que la densidad de

hilo enrollado sea similar a ambos lados del volante. Hay que tratar de evitar tambien

posibles balanceos nivelando bien los dos ejes, el fijo y el movil. Para hacerlo hay un

pequeno tornillo atado a uno de los hilos.

1. Se enrolla la cuerda para subir la rueda hasta el punto mas alto. En ese instante

se inicia la toma de datos en el ordenador, representando h = h(t).

2. Se hace un ajuste de la curva a una parabola para estimar la aceleracion, Ec. (11.26).

3. Una vez obtenida se calcula el momento de inercia de la rueda a partir de la

Ec. (11.25).

4. Utilizando el sensor de movimiento para medir velocidades comprueba la ecuacion

para la conservacion de la energıa en 8 alturas diferentes. Para ello se construye

349

una tabla con la energıa cinetica de traslacion, cinetica de rotacion y potencial

gravitatoria. Su suma, que es la energıa mecanica total, debe ser constante, y

aproximadamente independiente de la altura.

Cuestiones

1. ¿Como serıa la Ec. (11.24) si elegimos como origen de energıa potencial gravi-

tatoria la altura inicial? ¿Las demas ecuaciones que hemos planteado seguirıan

siendo validas?

2. Un CD digital contiene datos digitales de forma que cada bit ocupa 0,6 µm a

lo largo de una pista espiral continua que va desde la circunferencia interior del

CD hasta el borde exterior. Un reproductor de CD hace girar el disco para que

la pista pase por una lente a una velocidad constante de 1,30 m/s. Calcula la

velocidad angular que se necesita:

a) Al principio de la grabacion, donde la espiral tiene un radio de 2,30 cm.

b) Al final de la grabacion donde el radio es de 5,80 cm.

c) Una grabacion de maxima longitud dura 74 min 33 s. Calcula la aceleracion

angular media del disco.

d) Calcula la longitud total de la pista.

3. Big Ben, el reloj de la torre del Parlamento de Londres tiene una manecilla de

las horas de 2,70 m de longitud y una masa de 60 kg, mientras que la manecilla

de los minutos tiene 4,50 m de largo y masa 100 kg. Calcula la energıa cinetica

de rotacion total de las dos manecillas respecto a su eje de rotacion considerando

que son dos varillas delgadas de densidad uniforme.

Dilatacion de solidos y lıquidos

Objetivos

Determinar el coeficiente de dilatacion cubica de una sustancia lıquida.

Determinar el coeficiente de dilatacion lineal de un material solido.

Material

Termometro digital.

Calentador electrico y bano termico.

Matraz con dilatometro de lıquidos graduado en escala de 0,01 ml.

Dilatometro de solidos en escala de 0,01 mm y soporte para varillas.

Varillas huecas de diversos materiales (Al, Cu, bronce, . . . )

Fundamento teorico

Coeficiente de dilatacion cubica de lıquidos

Se define como la variacion de volumen del lıquido cuando experimenta un cambio

de temperatura a presion constante, por ejemplo cuando el material se encuentra bajo

la presion atmosferica. Matematicamente, se define del siguiente modo:

α =1

V

(∂V

∂T

)P

(11.27)

352 CAPITULO 11. DILATACION DE SOLIDOS Y LIQUIDOS

En el Sistema Internacional de Unidades se mide en K−1. El orden de magnitud de

α para lıquidos es de 10−4 − 10−3 (K−1) aunque depende de la temperatura y presion

a que se encuentre el material. Para la mayorıa de las sustancias α es positivo (lo

que significa que, por ejemplo, un incremento de temperatura provoca un aumento

de volumen) pero para algunas (agua entre 0◦

C y 4◦

C y algunos polımeros) α es

negativo. Este hecho se denomina dilatacion anomala. En el caso del agua esto se pone

de manifiesto cuando se observa que el agua lıquida al congelarse por debajo de 0◦

C

aumenta su volumen, esto es, se dilata.

Una utilidad fundamental de los coeficientes termicos es que su conocimiento per-

mite la determinacion de la variacion de unas variables del sistema en funcion de otras.

Por ejemplo, en el caso de α, si consideramos que permanece constante en un cierto

intervalo de temperaturas, de la integracion de la ecuacion anterior entre dos estados i

y f cualesquiera, resulta:

Vf = Vi eα(Tf−Ti) (11.28)

Esta ecuacion permite conocer el volumen del lıquido a cualquier temperatura Tf

sin mas que conocerlo previamente a la temperatura Ti.

Para determinar experimentalmente α llamemos a la temperatura inicial, T0, y

consideremos que las variaciones de volumen son pequenas en comparacion con el

propio volumen del sistema. Es decir, si V es el volumen a una temperatura cualquiera,

consideraremos que V ' V0 donde V0 es el volumen a la temperatura T0. Haciendo un

desarrollo en serie de Taylor a primer orden de la ecuacion (11.28), se obtiene:

V − V0 = αV0(T − T0) (11.29)

Basta representar graficamente V − V0 frente a T − T0 y hacer un ajuste lineal para

obtener α a partir de la pendiente correspondiente.

Coeficiente de dilatacion lineal de solidos

En el caso de solidos se puede definir un coeficiente de dilatacion cubica de for-

ma analoga al anterior sin mas que sustituir la presion por la tension, τ , a la que

353

esta sometido el material. De este modo:

α =1

V

(∂V

∂T

)τ

(11.30)

Para solidos aproximadamente unidimensionales (varillas) se define de forma analoga

un coeficiente de dilatacion lineal del siguiente modo:

αl =1

l

(∂l

∂T

)τ

(11.31)

donde l representa la longitud de la varilla en unas ciertas condiciones de temperatura

y tension aplicada. A temperatura ambiente el orden de magnitud de αl suele ser

10−6 − 10−5 (K−1). Razonando igual que en el caso de lıquidos, la longitud de una

varilla a una temperatura cualquiera, Tf , se puede conocer sabiendo su longitud a otra

temperatura, Ti, y suponiendo que αl no cambia apreciablemente en el intervalo Ti−Tf ,utilizando la relacion:

lf = li eαl(Tf−Ti) (11.32)

Experimentalmente, αl se calcula de modo analogo a α, a partir de la ecuacion:

l − l0 = αll0(T − T0) (11.33)


Conecta el calentador y anota cada 5◦C el aumento de volumen del lıquido, V −V0

y de longitud de la varilla, l− l0 y la temperatura, T , desde la temperatura ambiente,

T0, hasta una temperatura final aproximada de 60◦C. Repite el proceso con los otros

lıquidos o solidos que se propongan.


1. Representa graficamente V − V0 frente a T − T0 para el lıquido considerado. A

partir de un ajuste lineal de esa curva (utilizando la ecuacion (11.29)), y sabiendo

que V0 para el matraz utilizado vale 78 ml, determina α.

354 CAPITULO 11. DILATACION DE SOLIDOS Y LIQUIDOS

2. Representa graficamente l − l0 frente a T − T0 para cada varilla considerada. A

partir de un ajuste lineal de esa curva (utilizando la ecuacion (11.33)), y sabiendo

que l0 = 60 cm, determina, αl.

Cuestiones

1. En el laboratorio se ha determinado que el coeficiente de dilatacion lineal de una

varilla de acero vale 1,1× 10−5 (K−1) a una temperatura aproximada de 25◦C. Si

su longitud a esa temperatura es de 38 cm, ¿cual es su longitud a 50◦

C?

2. Al determinar el coeficiente de dilatacion cubica de los lıquidos, ¿habrıa que tener

en cuenta que al calentar el lıquido se dilata el recipiente que lo contiene? Sabiendo

que el coeficiente de dilatacion cubica del vidrio es del orden de 9,0× 10−6 (K−1),

¿de que orden serıa la correccion a considerar?

3. Sabiendo que la ecuacion termica de estado de un gas ideal es PV = nRT , ¿cual

es el coeficiente de dilatacion cubica para un gas de este tipo?

4. Representa de forma aproximada una grafica volumen-temperatura para el agua

si inicialmente su temperatura son +10◦

C y se disminuye progresivamente hasta

alcanzar −10◦

C.

Ecuacion de estado del gas ideal

Objetivos

Comprobacion de la ecuacion de estado del gas ideal experimentalmente

Construccion de curvas a presion, temperatura o volumen constante

Material

Bomba/calentador electrico

Termostato

Termometro y barometro

Dispositivo para la determinacion de volumenes y presiones

Fundamento teorico

El establecimiento empırico de la ecuacion termica de los gases ideales se basa en los

experimentos realizados por R. Boyle y E. Mariotte en el siglo XVII y J.L. Gay-Lussac

a comienzos del siglo XIX.

R. Boyle demostro experimentalmente que los gases en condiciones de alta tempera-

tura y/o baja presion verifican que: ”a temperatura constante el producto de la presion

por el volumen permanece constante”, es decir que, en condiciones isotermas presion y

volumen son inversamente proporcionales:

PV = A (T=cte.) (11.34)

356 CAPITULO 11. GAS IDEAL

donde A es una constante. Esta ecuacion fue tambien descubierta por E. Mariotte y

por ello se denomina ley de Boyle-Mariotte.

De modo similar, J.L. Gay-Lussac puso de manifiesto que ” manteniendo constante

la presion, el volumen de un gas varıa proporcionalmente con la temperatura”

V = BT (P=cte.) (11.35)

dondeB es una constante. Por otra parte tambien dedujo que ” manteniendo el volumen

constante, la presion de un gas varıa proporcionalmente a la temperatura”

P = CT (V=cte.)

donde C es una constante. Estas dos ecuaciones se conocen con el nombre de leyes de

Gay-Lussac.

La combinacion de todas estas ecuaciones (manteniendo siempre fijo el numero de

moles del gas) da lugar a la siguiente relacion:

PV = KT (11.36)

dondeK es una constante que puede calcularse mediante la ley de Avogadro: ”un nume-

ro igual de moles de gases diferentes ocupan el mismo volumen cuando se encuentran

a la misma presion y temperatura”. Este volumen es 22,4 l cuando la cantidad de gas

es 1 mol, la presion es 1 atm y la temperatura 0o C. Esto lleva a escribir la Ec. (11.36)

como:

PV = nRT (11.37)

siendo n el numero de moles y

R = 0,082atm.l

mol.K= 8,314

J

mol.K= 1,984

cal

mol.K

La ecuacion (11.37) se conoce como ecuacion termica de estado para el gas ideal

y proporciona buenos resultados teoricos en comparacion con los experimentales para

gases reales a altas temperaturas y/o bajas densidades.

357


Medida de temperaturas

El dispositivo experimental consta de dos recipientes de vidrio conectados entre

sı por un tubo de goma en forma de U que contiene mercurio. El primer recipiente

es la camara que contiene n moles del gas (aire) que constituye el sistema de

trabajo. Esta camara esta rodeada de una camisa de vidrio por la que circula agua

permitiendo ası fijar la temperatura del sistema. Las temperaturas se seleccionan

con el motor-calentador situado sobre el deposito de agua. El segundo recipiente

contiene una reserva de mercurio que puede desplazarse verticalmente para variar

la presion y el volumen del gas.

Medida de volumenes

La regla vertical al lado de la camara del gas esta graduada en cm (trazos gruesos)

y mm (trazos finos), para determinar el volumen del gas. La seccion de la camara

es de 1 cm2 por lo que el volumen se mide directamente en cm3 sin mas que medir

alturas.

Medida de presiones

Por otra parte, la presion del gas en la camara se calcula midiendo diferencia de

alturas en la regla graduada y utilizando la ecuacion:

P = P0 ±∆P ; ∆P = ρg∆h

donde P0 es la presion atmosferica medida en el barometro del laboratorio, ρ

es la densidad el mercurio y ∆h la diferencia de altura entre las dos ramas de

mercurio. De hecho el aparato esta disenado de modo que midiendo directamente

∆h, se obtiene P − P0 en unidades de mmHg.


1. Isotermas

358 CAPITULO 11. GAS IDEAL

Empezando a temperatura ambiente, construye 3 isotermas a intervalos de 10

grados de temperatura (haciendo la primera a temperatura ambiente). Para cada

una de ellas efectua entre 6 y 8 medidas de P y V . Representa las tablas con los

resultados para cada una y haz un diagrama P − V con las 3 isotermas. Si para

cada isoterma se repiten los valores de volumen de la anterior, los mismos datos

tomados aquı se pueden utilizar en el apartado siguiente.

2. Comprobacion de la ley de Boyle-Mariotte

Segun la Ec. (11.34), cuando la temperatura permanece constante, presion y

volumen son inversamente proporcionales. Representa graficamente P frente a

1/V para cada isoterma y haz el ajuste por mınimos cuadrados de cada una.

3. Calculo del numero de moles

Calcula el numero de moles de aire contenidos en el tubo de medida utilizando:

lımP→0

PV

RT= n

Para ello representa graficamente PV/RT frente a P para las 3 temperaturas de

las isotermas. Se obtendran rectas cuyo puntos de corte con el eje vertical deben

coincidir y se corresponden aproximadamente con n.

4. Isocoras

Construye varias isocoras, utilizando los datos tomados en el apartado anterior.

Representa las tablas de P frente a T correspondientes y un diagrama P −T con

todos los datos.

5. Comprobacion de la ley de Gay-Lussac

Segun la Ec. (IV), a volumen constante P y T son directamente proporcionales.

Haz un ajuste por mınimos cuadrados de cada una de las isocoras (P frente a T )

del apartado anterior para comprobar que efectivamente se verifica la ley.

359

Cuestiones

1. ¿En que condiciones de presion, volumen y temperatura se puede considerar un

gas como ideal?

2. Microscopicamente, ¿como es un gas ideal? ¿Que diferencias basicas existen entre

un gas ideal y uno real?

3. Un globo de forma esferica (radio 18 cm) esta lleno de helio a temperatura am-

biente (20o C) y presion 1,05 atm. Calcula el numero de moles de helio que

contiene el globo y la masa correspondiente.

4. Un neumatico de automovil se infla a una presion de 200 kPa a 10o C. Si despues

de conducir 100 kms, la temperatura dentro del neumatico ha aumentado 40o C,

¿cual es la presion en su interior? (Supongase que el proceso es isocoro).

5. ¿Cuantas moleculas se inhalan aproximadamente al inspirar 1 l de aire en condi-

ciones normales?

Bibliografıa

Bibliografıa basica

P.A. Tipler y G. Mosca, Fısica (Reverte, 2010) 6a Edicion.

R.A. Serway, Fısica para Ciencias e Ingenierıa (Thompson, 2009) 7a Edicion.

W.E. Gettys, F.J. Keller, M.J. Skove, Fısica para Ingenierıa y Ciencias (McGraw-

Hill, 2005) 2a Edicion.

F.P. Beer, Mecanica vectorial para ingenieros (McGraw-Hill, 2007) 8a Edicion.

Bibliografıa complementaria

F.A. Gonzalez Hernandez, La Fısica en problemas, (Tebar, 2000).

C. Fernandez Pineda y S. Velasco, Introduccion a la Termodinamica (Sıntesis,

2009).

C.P. Jargodzki and F. Potter, Mad About Physics (John Wiley, 2001).

L.A. Bloomfield, How Things Work (John Wiley, 2001).

P. Gnadig, G. Honyek and K. Riley, 200 Puzzling Physics Problems (Cambridge,

2001).

F. Esquembre, FISLETS : ensenanza de la fısica con material interactivo (Pear-

son, 2004).

362 CAPITULO 11. BIBLIOGRAFIA

Paginas web

www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm

phet.colorado.edu

Indice alfabetico

Angulo crıtico, 74

Accion-reaccion, 63

principio, 59

Aceleracion

angular, 35

centrıpeta, 31, 44

centrıpeta de la Tierra, 61

de Coriolis, 44

instantanea, 23

media, 23

normal, 31

tangencial, 31

Acelerador de partıculas, 130

Afelio, 159

Aislante termico, 271

Alcance, 38, 65

Altura maxima, 38

Amortiguamiento crıtico, 217

Amplitud, 200, 232, 239

Analisis

de Fourier, 221

Anarmonico, 215

Antinodo, 246

Aristoteles, 57

Armonico, 221, 246

Arquımedes

principio de, 181

Bomba de calor, 292

Caıda libre, 27

Caballo de vapor

unidad de potencia, 98

Calidad

factor de, 217

Calor especıfico, 287

Campo, 67

gravitatorio, 68

Cantidad de movimiento, 62, 122

Capacidad calorıfica, 287

Centro de masas

sistema continuo, 119

sistema discreto, 117

Ciclo de Carnot, 294

Cinematica, 19

Clapeyron

diagrama de, 281

Coeficiente

de friccion cinetica, 72

de friccion estatica, 71

363

364 INDICE ALFABETICO

de friccion por rodadura, 76

de restitucion, 128

Coeficiente adiabatico, 297

Colision, 124

elastica, 125

inelastica, 125

perfectamente inelastica, 125

Componentes, 270

Compresibilidad

modulo, 256

Condicion de onda estacionaria, 246

Condiciones

de contorno, 246

iniciales, 202

Conservacion

de la energıa, 107

del momento angular, 157

del momento lineal, 123

Conservativa

fuerza, 100

Constante

de tiempo, 217

del movimiento, 123

elastica, 172

universal de los gases, 277

Coulomb

ley de, 64

Criterio egoısta, 278

Cuerpo rıgido, 139

Curva esfuerzo-deformacion, 169

Decibelio, 258

Deformacion relativa, 168

Densidad, 119

del aire, 179

lineal, 119

superficial, 119

Desarrollo en serie, 7, 179, 208

Descripcion

macroscopica, 269

microscopica, 269

Desfase inicial, 201, 241

Diagrama

deformacion-tiempo, 170

Diferencial inexacta, 97, 280

Difraccion, 254

Dimension, 6

Dinamica, 19, 57

Dina

unidad de fuerza, 62

Dinamometro, 59

Ecuacion

de Bernoulli, 187

de continuidad, 185

de estado del gas ideal, 277

de la trayectoria, 38

de ondas, 248

dimensionalmente homogenea, 6

empırica de estado, 276

fundamental de la calorimetrıa, 287

Efecto Venturi, 187

INDICE ALFABETICO 365

Elastico

regimen, 168

Energıa

cinetica, 100

cinetica de rotacion, 141

de las ondas armonicas, 242

de un MAS, 205

interna, 285

mecanica, 107

potencial, 101

Entorno, 270

Equilibrio

estable, 104

indiferente, 104

inestable, 104

mutuo, 271

neutro, 104

termodinamico, 272

Equivalente mecanico del calor, 284

Ergio

unidad de energıa, 94

Escala

absoluta de temperaturas, 275

Celsius, 276

Escala termometrica, 274

Esfuerzo, 168

Estatica, 19

Estado

gaseoso, 174

lıquido, 174

solido, 174

termodinamico, 271

Eter, 39

Factor de calidad, 217

Fase, 201, 270

Figuras de Lissajous, 212

Fluido

compresible, 177

ideal, 183

incompresible, 177

newtoniano, 189

no viscoso, 184

viscoso, 188

Flujo

estacionario, 183

irrotacional, 184

laminar, 184

turbulento, 184

Foco emisor, 250

Foucault

pendulo, 46

Fourier

teorema de, 220

Frecuencia, 201, 232, 240

angular, 201, 240

de resonancia, 246

fundamental, 246

movimiento de rotacion uniforme, 34

Frente

de ondas, 250


esferico, 250

Friccion

cinetica, 70

estatica, 70

por rodadura, 75

Frontera, 270

Fuente

de calor, 291

de trabajo, 291

Fuerza, 58, 62

centrıfuga, 80

central, 158

conservativa, 100, 107

constante, 101

de arrastre en fluidos, 76

de contacto, 68

de empuje, 181

de rozamiento, 70

de rozamiento viscosa, 189

de sustentacion, 188

externa, 121

ficticia, 79

interna, 121

media, 131

no conservativa, 109

normal, 64

periodica, 218

Fuerzas

internas, 121

Funcion

de ondas, 233

Funcion de estado, 273

Galileo, 57

Gradiente, 106

Herzio, 34

unidad de frecuencia, 201

Histeresis, 170

Historia elastica, 170

Hooke

ley de, 171

Huygens

princpio de, 251

Impulso, 131

Inercia

principio, 59

Inercial

masa, 61

sistema de referencia, 61

Integral

de lınea, 96

Intensidad

de una onda, 251

del sonido, 258

Interaccion

material, 271

mecanica, 271

termica, 271

termodinamica, 270

electromagnetica, 65


gravitatoria, 65

nuclear debil, 66

nuclear fuerte, 66

Interferencia, 234

constructiva, 234, 244

destructiva, 234, 244

Interferencia de ondas, 243

Invariante

magnitud, 41

Julio

unidad de energıa, 94

Lennard-Jones

potencial, 105

Ley

de Kuhn, 171

de Hooke, 168, 171, 204

de Poiseuille, 190

de Stokes, 77

Ligaduras

externas, 271

internas, 271

termodinamicas, 271

Lımite elastico, 168

Lınea de corriente, 184

Longitud de onda, 232, 239

Maquina termica, 292

Mınimo local, 214

Magnitud

invariante, 41

adimensional, 7

derivada, 3

escalar, 3

fundamental, 3

termodinamica, 270

vectorial, 3

Masa, 58

inercial, 61

Mecanica

clasica, 19

cuantica, 20

relativista, 19

Medida

patron, 3

unidad, 3

Modulo

de cizalladura, 172

de compresibilidad, 173, 256

de Young, 172

Momento

angular, 150

de inercia, 141

de una fuerza, 153

lineal, 62, 122

Motor termico, 292

Movimiento

armonico simple, 200

bidimensional, 20

circular, 33

circular uniforme, 34


circular uniformemente acelerado, 35

constante del, 123

de rotacion, 139

ondulatorio, 229

oscilatorio, 199

parabolico, 36

periodico, 34, 199

relativo, 38

relativo de rotacion uniforme, 42

relativo de traslacion uniforme, 40

unidimensional, 20

uniforme, 23

uniformemente acelerado, 23

Movimiento armonico

amortiguado, 215

sobreamortiguado, 216

subamortiguado, 216

Muelle

horizontal, 94

vertical, 206

Newton, 58

unidad de fuerza, 62

Nodo, 246

Notacion cientıfica, 9

Numero de ondas, 240

Numero de Reynolds, 191

Observador

inercial, 80

no inercial, 81

Onda

armonica, 239

longitudinal, 255

Ondas

bidimensionales, 250

de desplazamiento, 255

de presion, 255

electromagneticas, 229

estacionarias, 230, 245

lineales, 234

longitudinales, 231

mecanicas, 229

planas, 250

sonoras, 255

transversales, 230

viajeras, 229

Orden de magnitud, 10

Oscilacion forzada, 217

Pared

adiabatica, 271

diatermica, 271

termodinamica, 271

Partıcula, 20

Pascal

principio de, 180

unidad de presion, 172

Patron de medida

accesibilidad, 4

aceptabilidad, 4

estabilidad, 4

reproducibilidad, 4


seguridad, 4

Pendulo

balıstico, 128

de Foucault, 46

de torsion, 210

fısico, 209

simple, 208

Perihelio, 159

Periodicidad

espacial, 240

temporal, 240

Periodo, 34, 201, 240

Peso, 68

aparente, 69

Plasma, 176

Poise

unidad de viscosidad, 190

Poiseuille

ley de, 190

Potencia, 98

de rotacion, 160

Potencial

Lennard-Jones, 105

Precision, 4

Presion

atmosferica, 178

definicion general, 176

Principio

de accion-reaccion, 59

de Arquımedes, 181

de conservacion de la energıa, 110

de Huygens, 251

de inercia, 59

de Pascal, 180

de superposicion, 59, 245

Proceso

cıclico, 273, 281

cuasiestatico, 273, 280

infinitesimal, 273

irreversible, 273, 294

isobaro, 273

isocoro, 273

isotermo, 273

reversible, 273, 294

termodinamico, 273

Pulsos unidimensionales, 232

Punto de retorno, 108

Punto de ruptura o fractura, 168

Punto material, 20

Radio de la Tierra, 44

Rayo, 250

Reflexion

de ondas, 236, 253

Refraccion, 253

Refrigerador, 292

Rendimiento, 292

Resistencia al flujo, 189

Resonancia, 219

Rotacion terrestre, 44

Segunda ley de Newton para la rotacion,


153

Sıntesis de Fourier, 221

Sistema

de coordenadas, 20

discreto de partıculas, 117

abierto, 270

aislado, 270

cegesimal, 5

cerrado, 270

continuo de partıculas, 119

de unidades, 4

expansivo, 279

heterogeneo, 120

hidrostatico, 273

homogeneo, 120

Internacional de unidades, 4

monocomponente, 270

multicomponente, 270

simple, 273, 279

tecnico ingles, 5

termodinamico, 269

Sistema aislado, 123

Sistema de referencia

del centro de masas, 124

del laboratorio, 123

Sistemas de referencia

inerciales, 61

Sobretono, 221

Solucion

estacionaria, 218

transitoria, 218

Steiner

teorema de, 148

Stokes

ley de, 77

Superposicion de ondas, 234

Temperatura, 273

empırica, 274

gas ideal, 275

Teorema

de los ejes paralelos, 148

de Steiner, 148

trabajo-energıa de la rotacion, 160

Carnot, 295

de Fourier, 220

de los ejes perpendiculares, 150

generalizado trabajo-energıa, 109

trabajo-energıa, 100

termometro, 274

Terminos anarmonicos, 215

Termodinamica

Primer Principio, 285

Principio Cero, 274

Segundo Principio, 293

temperatura, 295

Tiempo

de vuelo, 38

Timbre, 221

Tono, 221

Trabajo


coordenadas de, 279

de rotacion, 160

expresion general, 96

infinitesimal, 93

neto, 97

termodinamico, 278

Transformacion galileana, 41

Transformada de Fourier, 221

Transmision de ondas, 236

Tren de ondas, 241

Umbral

de audicion, 258

de dolor, 258

Unidad de presion

atmosfera, 176

bar, 176

milımetro de mercurio, 176

pascal, 176

Universo termodinamico, 270

Variable

de composicion, 272

de estado, 273

especıfica, 272

extensiva, 272

intensiva, 272

mecanicas, 272

molar, 272

termicas, 272

termodinamica, 272

termometrica, 274

Variables conjugadas, 279

Vector

de posicion, 21

unitario, 29

Velocidad

media, 21

angular, 33

de fase, 233

de propagacion, 232, 237

del sonido, 257

instantanea, 22, 28

media, 28

relativa, 39

Venturi

efecto, 187

Viscosidad, 77, 189

Watio

unidad de potencia, 98

Young

modulo de, 172

Zona plastica, 168

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