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E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

Soluciones Tema 2: Aproximación e interpolaciónFrancisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña

Septiembre 2008, Versión 1.5

Ejercicio 1 Queremos aproximar el valor1 de sin(0.1).

(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 y calcula p4(0.1).

(b) Calcula una cota superior de error absoluto y relativo que se producecuando aproximamos sin(0.1) mediante p4(0.1).

(c) Verifica el resultado comparando con el valor de sin(0.1) que propor-ciona la calculadora o Maple. Realiza los cálculos con 10 decimales.

(a) El polinomio de McLaurin de orden 4 es p4 = x− x3

6 . Valor aproximado

p4(0.1) = 0.0998333333.

(b) Cota superior de error absoluto

|R4(0.1)| ≤¯̄̄̄¯f (5)(ξ)5!

(0.1)5

¯̄̄̄¯ ≤ 0.155! = 0.8 33333× 10−7 (ξ entre 0 y 0.1).

Tenemos, por lo tanto, al menos 6 decimales exactos en la aproximación.Cota superior de error relativo

δ ' |R4(0.1)||p4(0.1)|

= 0.8 34724 2073× 10−6.

Tenemos 6 dígitos significativos.(c) Error absoluto

|e| = |sin(0.1)− p4(0.1)| = 0.833135× 10−7

Error relativo

|r| = |sin(0.1)− p4(0.1)|sin(0.1)

= 0.834525× 10−6.

Vemos que los errores reales son, en efecto, inferiores a las cotas de errorobtenidas. ¤

1En los sucesivo, los ángulos están en radianes

1

Ejercicios: Aproximación e Interpolación 2

Ejercicio 2 Consideramos la función sin(x).

(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 usando Maple.

(b) Representa conjuntamente la función seno y el polinomio en el inter-valo [−2, 2].

(c) Construye la expresión del valor absoluto del error absoluto

|e4(x)| = |R4(x)| = |sin(x)− p4(x)|

y represéntala en [−2, 2]. A partir del gráfico, determina una cotasuperior de error absoluto.

(d) Construye la función del valor absoluto del error relativo

|r4(x)| =¯̄̄̄sin(x)− p4(x)

sin(x)

¯̄̄̄represéntala en [−1, 1]. A partir del gráfico, determina una cota supe-rior de error relativo.

(a) El polinomio de McLaurin de orden 4 se puede construir con las órdenes∙> s4:=series(sin(x),x=0,5);p4:=convert(s4,polynom);

(b) La representación conjunta de sin(x) y p4(x) puede hacerse con£> plot([sin(x),p4],x=-2..2);

(c) La definición de |e4(x)| y su representación puede hacerse con las órdenes∙> e4:=abs(sin(x)-p4);plot(e4,x=-2..2);

Observando la gráfica, podemos obtener como cota superior de error |e4(x)| ≤0.25.(d) Una cota gráfica de error relativo es |r4(x)| ≤ 0.0097. ¤

Ejercicio 3 Consideramos la función cos(x).

(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 6.

(b) Determina una cota superior del error absoluto que se comente cuandoaproximamos cos(x) mediante el p6(x) en el intervalo [0, π4 ].


(a) Polinomio de McLaurin

p6(x) = 1−x2

2+x4

24− x6

720.

(b) Cota de error en [0,π/4]

|e6(x)| = |R6(x)| ≤sin (π/4)

7!

³π4

´7= 0.2 586× 10−4.

Cota mejorada. En el caso de f(x) = cos(x) se cumple

f (7)(0) = sin(0) = 0

y, por lo tanto los polinomios de MacLaurin de orden 6 y orden 7 coinciden

p6(x) = p7(x).

Podemos tomar la cota de error

|e6(x)| = |cos(x)− p6(x)| = |cos(x)− p7(x)|

= |R7(x)| =¯̄̄̄¯f (8)(t)8!

x8

¯̄̄̄¯ =

¯̄̄̄cos(t)

8!x8¯̄̄̄

≤ (π/4)8

8!= 0.3 591× 10−6.

El polinomio de McLaurin de orden 6 para cos(x) proporciona 5 decimalesexactos en el intervalo [0, π4 ]. ¤

Ejercicio 4 Queremos aproximar e0.5.

(a) Calcula el polinomio de McLaurin de orden 5.

(b) Calcula un cota superior del error absoluto y del error relativo quese produce cuando aproximamos e0.5 mediante p5(0.5). Verifica losresultados comparando los valores que se obtienen con la calculadorao con Maple.

(a) Polinomio de McLaurin

p5(x) = 1 + x+1

2x2 +

1

6x3 +

1

24x4 +

1

120x5.

Valor de la aproximación

p5(0.5) = 1. 64869 792.


(b) Cotas de error

|e5(0.5)| = |R5(0.5)| =¯̄̄̄¯f (6)(t)6!

(0.5)6

¯̄̄̄¯ ≤ e0.56! (0.5)6 ,

usamos la aproximación obtenida y tomamos

e0.5 ' 1.7,

entonces|e5(0.5)| ≤

1.7

6!(0.5)6 = 0.3 689× 10−4.

Tenemos 4 decimales exactos, el valor de la aproximación es

e0.5 = 1. 6487.

La cota de error relativo es

|r5(0.5)| ≤e0.5

6! (0.5)6

e0.5=(0.5)6

6!= 2. 1701× 10−5.

Tenemos 5 dígitos significativos.Los errores exactos son: error absoluto

|e5(0.5)| =¯̄e0.5 − p5(0.5)

¯̄= 0. 23354× 10−4.

Error relativo

|r5(x)| =¯̄e0.5 − p5(0.5)

¯̄e0.5

= 1. 4165× 10−5.

Observamos que, en los dos casos, los errores son inferiores a las correspon-dientes cotas de error. ¤

Ejercicio 5 Consideramos la función ex.

(a) Construye los polinomios de McLaurin de orden 3,4 y 5 usando Maple.

(b) Representa conjuntamente la función ex y los polinomios obtenidos enel intervalo [0, 1].

(c) Construye las funciones de error absoluto

|ej(x)| = |Rj(x)| = |exp(x)− pj(x)| , j = 3, 4, 5

y represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cada caso,una cota superior de error absoluto.


(d) Construye las funciones de error relativo

|rj(x)| =¯̄̄̄exp(x)− pjexp(x)

¯̄̄̄, j = 3, 4, 5

represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cada caso,una cota superior de error relativo.

(e) Amplía el cálculo de cotas de error al intervalo [−2, 2] ¿Sigue siendobueno el comportamiento de los polinomios como aproximantes de ex?

Ver resolución con Maple. Las cotas de error estimadas gráficamente en elintervalo [0, 1] son:

n = 3 n = 4 n = 5

cota |en(x)| 0.06 0.01 0.0017cota |rn(x)| 0.019 0.0037 0.00063

¤

Ejercicio 6 Consideramos la siguiente tabla de datos

x 0 1 2

y −1 1 3.

(a) Plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar el polinomiointerpolador de la tabla.

(b) Resuelve el sistema y determina el polinomio interpolador.

(c) Verifica los resultados con Maple.

(a) El polinomio interpolador es de la forma

p2(x) = a0 + a1x+ a2x2,

el sistema es ⎧⎨⎩a0 = −1,a0 + a1 + a2 = 1,a0 + 2a1 + 4a2 = 3.

.

(b) El sistema tiene solución

a0 = −1, a2 = 0, a1 = 2,

de donde obtenemos el polinomio

p2(x) = 2x− 1.


(c) Puedes construir el interpolador con las órdenes⎡⎣ > xx:=[0,1,2];yy:=[-1,1,3];p2:=interp(xx,yy,t);

obtendrás como resultado un polinomio en la variable t. La orden para ob-tener el polinomio con la variable x es£

> p2:=interp(xx,yy,x); ¤

Ejercicio 7 Consideremos la tabla de datos

x x0 x1 x2y y0 y1 y2

.

Puede demostrarse que el polinomio interpolador de la tabla p(x) queda de-terminado por la siguiente expresión¯̄̄̄

¯̄̄̄ 1 x x2 p(x)1 x0 x20 y01 x1 x21 y11 x2 x22 y2

¯̄̄̄¯̄̄̄ = 0.

(a) Usando la fórmula anterior, determina el interpolador de la tabla

x 0 1 2

y −1 1 3.

(b) Resuelve el apartado (a) con Maple.

(a) ¯̄̄̄¯̄̄̄ 1 x x2 p(x)1 0 0 −11 1 1 11 2 4 3

¯̄̄̄¯̄̄̄ = 0

calculando el determinante, resulta

−2 + 4x− 2p(x) = 0

y despejandop(x) = −1 + 2x.

(b) Solución con Maple. Cargamos la librería de álgebra lineal linalg£> with(linalg);


construimos la matriz£> m:=matrix([[1,x,x^2,p],[1,0,0,-1],[1,1,1,1],[1,2,4,3]]);

calculamos el determinante £> d:=det(m);

y resolvemos en p £> solve(d=0,p); ¤


x 0 1 2 −1y 0 1 3 0

.

(a) Determina un polinomio p(x) de grado menor o igual que 3 que inter-pole los valores de la tabla.

(b) ¿Hay algún polinomio de grado 3 que pase por los puntos de la tabla?¿Y de grado 4?

(c) Calcula el polinomio interpolador de la tabla con Maple.

(a) Si calculamos las diferencias divididas, resulta

x0 = 0 f [x0] = 0x1 = 1 f [x1] = 1 f [x0, x1] = 1

x2 = 2 f [x2] = 3 f [x1, x2] = 2 f [x0, x1, x2]=12

x3 = −1 f [x3] = 0 f [x2, x3] = 1 f [x1, x2, x3]=12 f [x0, x1, x2, x3] = 0

El polinomio interpolador es

p2(x) = x+1

2x (x− 1) ,

si operamos (no es necesario) obtenemos

p2(x) =1

2x+

1

2x2.

(b) No hay ningún polinomio de grado 3 que pase por los cuatro puntos, lospuntos están sobre una parábola. Hay infinitos polinomios de grado 4 queinterpolan los puntos de la tabla.

(c) Las órdenes son⎡⎣ > xx:=[0,1,2,-1];yy:=[0,1,3,0];p2:=interp(xx,yy,x);

¤


Ejercicio 9 Calcula los polinomios de grado 2 que para x = 1 y x = −1toman el valor 1.

Interpolamos con los datos, donde hemos añadido un nodo y le hemos dadoel valor arbitrario a

x 1 −1 0

y 1 1 a.

Construimos la tabla de diferencias

x0 = 1 f [x0] = 1x1 = −1 f [x1] = 1 f [x0, x1] = 0

x2 = 0 f [x2] = a f [x1, x2] = a− 1 f [x0, x1, x2]=a−1−1 = 1− a

de donde resulta el interpolador

p2(x) = 1 + (1− a)(x− 1)(x+ 1)= (1− a)x2 + a. ¤

Ejercicio 10 Aproxima2 log(4).

(a) Mediante interpolación lineal a partir de los valores

log(3) = 0. 47712 12, log(5) = 0. 6989700.

(b) Mediante interpolación parabólica usando los valores del apartado an-terior y, además, log(4.5) = 0.6532125.

(c) Determina cotas superiores para el error absoluto y relativo.

(d) Compara los valores obtenidos con el valor de log(4) que proporcionala calculadora. Calcula el error absoluto y relativo correspondientes acada caso y verifica la corrección de las cotas superiores de error.

Este ejercicio está resuelto en las páginas 25—27 del libro de Dominguez,Gilibets y Puente.(a) Interpolación lineal p1(4) = 0.5880456.(b) Interpolación cuadrática p2(4) = 0.6009852.

2 log(x) representa el logaritmo decimal. Recuerda que

d

dxlog(x) =

1

x ln(10)

donde ln(x) representa el logaritmo neperiano.


(c) Cotas error interpolación lineal

|e1(4)| ≤ 0.2413× 10−1, |r1(4)| ≤ 4.103× 10−2,

cotas error interpolación cuadrática

|e2(4)| ≤ 0.268× 10−2, |r2(4)| ≤ 4.461× 10−3.

(d) Errores interpolación lineal

|e1(4)| = 0.14014× 10−1, |r1(4)| = 2.328× 10−2,

errores interpolación cuadrática

|e2(4)| = 0.10748× 10−2, |r2(4)| = 1.785× 10−3. ¤


x −2 −1 0 1 2

y 1 4 11 16 a.

(a) Calcula el polinomio p(x) que interpola los cuatro primeros puntos dela tabla.

(b) ¿Qué valor debe tener a para que el polinomio que interpola los cincopuntos coincida con el del apartado anterior?

(c) Determina con Maple el polinomio que interpola los 4 primeros puntosde la tabla.

(d) Determina con Maple todos los polinomios de grado 4 que interpolanlos valores de la tabla.

(a) La tabla de diferencias divididas es

x0 = −2 f [x0] = 1x1 = −1 f [x1] = 4 f [x0, x1] = 3

x2 = 0 f [x2] = 11 f [x1, x2] = 7 f [x0, x1, x2]= 2

x3 = 1 f [x3] = 16 f [x2, x3] = 5 f [x1, x2, x3]= −1 f [x0, x1, x2, x3] = −1

En forma de Newton, el polinomio interpolador es

p3(x) = 1 + 3 (x+ 2) + 2 (x+ 2) (x+ 1)− (x+ 2) (x+ 1)x,

si operamos (no es imprescindible), resulta

p3(x) = 11 + 7x− x2 − x3.


(b) Debe cumplirse a = p3(2)⇒ a = 13.

(c) Podemos obtener el interpolador con las siguientes órdenes⎡⎣ > xx:=[-2,-1,0,1];yy:=[1,4,11,16];p3:=interp(xx,yy,x);

(d) Añadimos un punto con una nodo x4 que no esté en la tabla, por ejemplo,x4 = 2 y un valor arbitrario y4 = a⎡⎣ > xx:=[-2,-1,0,1,2];

yy:=[1,4,11,16,a];p4:=interp(xx,yy,x);

¤

Ejercicio 12 Consideramos las siguientes tablas de datos

x 0 1 2

y 1 −2 −3x 0 1 2 −1y 1 −2 −3 6

.

(a) Calcula los polinomios que interpolan las tablas.

(b) ¿Qué relación hay entre ellos? ¿A qué se debe esta relación?

(c) Calcula los polinomios con Maple.

(a) Para la primera tabla, obtenemos las diferencias

x0 = 0 f [x0] = 1x1 = 1 f [x1] = −2 f [x0, x1] = −3x2 = 2 f [x2] = −3 f [x1, x2] = −1 f [x0, x1, x2]= 1

el interpolador es

p2(x) = 1− 3x+ x (x− 1)= 1− 4x+ x2.

Si añadimos x3 = −1 y f [x3] = 6 y completamos la tabla de diferencias,resulta

f [x0, x1, x2, x3] = 0

por lo tantop3(x) = p2(x).

(b) Los polinomios son iguales, esto se debe a que el polinomio p2(x) pasapor el punto adicional (x4, y4).

(c) Ordenes Maple ⎡⎣ > xx:=[0,1,2];yy:=[1,-2,-3];p2:=interp(xx,yy,x);

¤



x 1 2 3 5 6

y 4.75 4 5.25 19.75 36

Calcula valores aproximados para f(3.5) usando polinomios de Newton deorden 1,2,3,4, escogiendo, en cada caso, los puntos más adecuados.

Debemos tomar, en cada caso, los nodos que mejor encajan el valor x = 3.5.

• Interpolación lineal, x0 = 3, x1 = 5.

• Interpolación cuadrática, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2.

• Interpolación cúbica, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6.

• Interpolación orden 4, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6, x4 = 1.

Si construimos la tabla de diferencias con ese orden de nodos, resulta

f [x0] = 5.25, f [x0, x1] = 7.25, f [x0, x1, x2] = 2,

f [x0, x1, x2, x3] = 0.25, f [x0, x1, x2, x3, x4] = 0.

Usando esos valores, obtenemos:

• Interpolación lineal, x0 = 3, x1 = 5,

p1(x) = 5.25 + 7.25 (x− 3) ,p1(3.5) = 5.25 + 7.25 (3.5− 3) = 8.875.

• Interpolación cuadrática, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2,

p2(x) = p1(x) + 2 (x− 3) (x− 5) ,p2(3.5) = p1(3.5) + 2 (3.5− 3) (3.5− 5) = 7.375.

• Interpolación cúbica, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6,

p3(x) = p2(x) + 0.25 (x− 3) (x− 5) (x− 2) ,p3(3.5) = p2(3.5) + 2.25 (3.5− 3) (3.5− 5) (3.5− 2) = 7.09375.

• Interpolación orden 4, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6, x4 = 1. Como

f [x0, x1, x2, x3, x4] = 0

p4(x) = p3(x), p4(3.5) = p3(3.5).

Observa como la forma de Newton permite aprovechar los cálculosanteriores. ¤


Ejercicio 14 Para una función f(x), conocemos los siguientes valores

x 1 2 4 5 6

f(x) 0 2 12 21 32.

(a) ¿Cual es la mejor elección de nodos para aproximar f(3) medianteinterpolación cuadrática?

(b) Aproxima f(3) mediante interpolación cuadrática usando una elecciónde nodos distinta a la del apartado anterior.

(c) Aproxima f(3) usando el polinomio interpolador de grado máximo.

(a) Los dos primeros nodos son x0 = 2 y x1 = 4. Como tercer nodo, podemostomar x2 = 1, o bien, x2 = 5 pues

d(3, 1) = d(3, 5) = 2.

En este primer apartado, tomamos x0 = 2, x1 = 4, x2 = 1.

x0 = 2 f [x0] = 2x1 = 4 f [x1] = 12 f [x0, x1] = 5

x2 = 1 f [x2] = 0 f [x1, x2] = 4 f [x0, x1, x2]= 1

p2(x) = 2 + 5 (x− 2) + (x− 2) (x− 4)p2(3) = 2 + 5− 1 = 6.

Si operamos esp2(x) = x

2 − x.

(b) Con la elección de nodos x0 = 2, x1 = 4, x̄2 = 5, resulta

x0 = 2 f [x0] = 2x1 = 4 f [x1] = 12 f [x0, x1] = 5

x̄2 = 5 f [x̄2] = 21 f [x1, x̄2] = 9 f [x0, x1, x̄2]=43

p̄2(x) = 2 + 5 (x− 2) + 43(x− 2) (x− 4) .

p̄2(3) = 2 + 5− 43=17

3= 5. 6667.

Si operamos, resulta

p̄2(x) =8

3− 3x+ 4

3x2.


(c) Si tomamos los nodos

x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4, x3 = 5, x4 = 6,

y formamos la tabla de diferencias, obtenemos

f [x0] = 0, f [x0, x1] = 2, f [x0, x1, x2] = 1,

f [x0, x1, x2, x3] =1

12, f [x0, x1, x2, x3, x4] = −

1

30,

resulta

p4(x) = 2 (x− 1) + (x− 1) (x− 2) + 1

12(x− 1) (x− 2) (x− 4)

− 130(x− 1) (x− 2) (x− 4) (x− 5)

p4(3) = 4 + 2− 2

12− 4

30= 5.7. ¤

Ejercicio 15 Consideramos la integral

v =

Z 1

0e−x

2dx

Es bien sabido que la función f(x) = e−x2no tiene primitivas que puedan

expresarse como combinación sencilla de funciones elementales. Para apro-ximar el valor de la integral, podemos construir un polinomio interpoladory calcular su integral.

(a) Calcula el polinomio p2(x) que interpola a f(x) en los nodos

x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1.

(b) Construye con Maple una representación conjunta de f(x) y p2(x).

(c) Calcula el valor

v̄ =

Z 1

0p2(x) dx.

(d) Calcula con Maple un valor aproximado de v. Determina el error ab-soluto que se produce cuando aproximamos v mediante la integral delpolinomio interpolador.

(e) Repite todo el ejercicio tomando ahora 5 puntos igualmente repartidosen el intervalo y un polinomio de grado 4. Para obtener 5 nodosigualmente espaciados en [a, b], hacemos

xj = a+ jh, j = 0, 1, 2, 3, 4. h =b− a4.

En nuestro caso es, h = 0.25 y resulta

x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1.


(a) Usamos la función f(x) = e−x2para calcular los valores

x 0 0.5 1

y 1 0.77880 0.36788

La tabla de diferencias es

x0 = 0 f [x0] = 1x1 = 0.5 f [x1] = 0.77880 f [x0, x1] = −0. 44240x2 = 1 f [x2] = 0.36788 f [x1, x2] = −0. 82184 f [x0, x1, x2]= −0. 37944

Interpolador

p2(x) = 1− 0. 44240x− 0. 37944x (x− 0.5) .

(b) La representación conjunta se puede construir como sigue⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

> f:=x->exp(-x^2);xx:=[0,0.5,1];yy:=map(f,xx);yy:=map(evalf,yy);p2:=interp(xx,yy,x);plot([f(x),p2],x=0..1,colour=[black,red]);

La orden yy:=map(evalf,yy); aplica evalf sobre la lista de valores y laguarda con el mismo nombre. La opción colour=[black,red]asigna orde-nadamente colores a las gráficas.

(c) Para integrar, escribimos el polinomio en la forma

p2(x) = 1− 0. 25268x− 0. 37944x2

v̄ =

Z 1

0p2(x)dx = 1−

0. 25268

2− 0. 37944

3= 0. 74718.

(d) Si tenemos definida f(x) = e−x2como función con la orden£

> f:=x->exp(-x^2);

calculamos la integral con∙> v:=int(f(x),x=0..1);vf:=evalf(v);

El resultado esvf := 0.74682


Error absoluto

|e2| =¯̄̄̄Z 1

0e−x

2dx−

Z 1

0p2(x)dx

¯̄̄̄= |0.74682− 0. 74718| = 0.00036.

(e) Con los nodos

x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1,

se obtiene el interpolador

p4(x) = 0.0416063x4 + 0.4882003x3 − 1.1845557x2 + 0.0226286x+ 1,

la aproximación con p4(x) es

v̄4 =

Z 1

0p4(x)dx = 0. 7468337,

|e4| =¯̄̄̄Z 1

0e−x

2dx−

Z 1

0p4(x)dx

¯̄̄̄= |0. 7468241− 0. 7468337| = 0.9 6×10−5.

Tenemos 4 decimales exactos. ¤

Ejercicio 16 Consideramos los valores

x 0 1

y 1 2

y0 1 −1

(a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar el polinomiode grado ≤ 3 que interpola los valores de la tabla.

(b) Resuelve el sistema y verifica que, efectivamente, el polinomio cumplelas condiciones exigidas.

Es un polinomio de grado ≤ 3

H3(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3,

la derivada esH 03(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x

2.

Condiciones de interpolación⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩H3(0) = 1H 03(0) = 1

H3(1) = 2H 03(1) = −1

⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a0 = 1a1 = 1a0 + a1 + a2 + a3 = 2a1 + 2a2 + 3a3 = −1

⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a0 = 1a1 = 1a2 + a3 = 02a2 + 3a3 = −2


Obtenemos ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a0 = 1a1 = 1a2 = 2a3 = −2

El polinomio esH3(x) = 1 + x+ 2x

2 − 2x3. ¤

Ejercicio 17 Calcula el interpolador de Hermite de la tabla

x 0 1

y 1 3

y0 0 −1

usando diferencias divididas. Verifica que el polinomio obtenido toma losvalores adecuados.

La tabla de diferencias divididas es, inicialmente

x0 = 0 f [x0] = 1x0 = 0 f [x0] = 1 f [x0, x0] = 0

x1 = 1 f [x1] = 3 f [x0, x1] = f [x0, x0, x1]

x1 = 1 f [x1] = 3 f [x1, x1] = −1 f [x0, x1, x1] f [x0, x0, x1, x1]

de donde obtenemos

x0 = 0 f [x0] = 1x0 = 0 f [x0] = 1 f [x0, x0] = 0

x1 = 1 f [x1] = 3 f [x0, x1] = 2 f [x0, x0, x1]= 2

x1 = 1 f [x1] = 3 f [x1, x1] = −1 f [x0, x1, x1] = −3 f [x0, x0, x1, x1] = −5

El polinomio de Hermite es

H3(x) = 1 + 0x+ 2x2 − 5x2 (x− 1)= 1 + 7x2 − 5x3. ¤

Ejercicio 18 Consideramos los valores

x x0 x1y y0 y1y0 y00 y01


puede demostrarse que el polinomio de Hermite que interpola la tabla ante-rior queda determinado por la expresión¯̄̄̄

¯̄̄̄¯̄1 x x2 x3 p(x)1 x0 x20 x30 y00 1 2x0 3x20 y001 x1 x21 x31 y10 1 2x1 3x21 y01

¯̄̄̄¯̄̄̄¯̄ = 0

Usando la expresión anterior, determina el interpolador de Hermite para latabla

x 0 1

y 1 2

y0 1 −1

Obtenemos el determinante¯̄̄̄¯̄̄̄¯̄1 x x2 x3 p(x)1 0 0 0 10 1 0 0 11 1 1 1 20 1 2 3 −1

¯̄̄̄¯̄̄̄¯̄ = 0

como se trata de un determinante de orden 5, es preferible operar con lasfilas y columnas para simplificarlo

(1a − 2a)

(4a − 2a)

¯̄̄̄¯̄̄̄¯̄0 x x2 x3 p(x)− 11 0 0 0 10 1 0 0 10 1 1 1 10 1 2 3 −1

¯̄̄̄¯̄̄̄¯̄ = 0

Desarrollamos por la primera columna y obtenemos¯̄̄̄¯̄̄̄ x x2 x3 p(x)− 11 0 0 11 1 1 11 2 3 −1

¯̄̄̄¯̄̄̄ = 0

Operamos ahora por columnas, restando la primera a la cuarta columna¯̄̄̄¯̄̄̄ x x2 x3 p(x)− 1− x1 0 0 01 1 1 01 2 3 −2

¯̄̄̄¯̄̄̄ = 0


desarrollamos por 2a fila¯̄̄̄¯̄ x

2 x3 p(x)− 1− x1 1 02 3 −2

¯̄̄̄¯̄ = 0

restamos la primera columna a la segunda¯̄̄̄¯̄ x

2 x3 − x2 p(x)− 1− x1 0 02 1 −2

¯̄̄̄¯̄ = 0

y desarrollamos por 2a fila¯̄̄̄x3 − x2 p(x)− 1− x1 −2

¯̄̄̄= 0

finalmente−2x3 + 2x2 − p(x) + 1 + x = 0

de donde obtenemos

p(x) = −2x3 + 2x2 + 1 + x. ¤

Ejercicio 19 Para un objeto móvil, conocemos la posición (en metros) y lavelocidad (en m/s) en los instantes t = 4 s y t = 5 s. Estima el valor de laposición y la velocidad para t = 4.5 s.

t 4. 5.

e(t) 40 65

v(t) 1 −1

La tabla de diferencias divididas es

t0 = 4 f [t0] = 40t0 = 4 f [t0] = 40 f [t0, t0] = 1

t1 = 5 f [t1] = 65 f [t0, t1] = 25 f [t0, t0, t1]= 24

t1 = 5 f [t1] = 65 f [t1, t1] = −1 f [t0, t1, t1] = −26 f [t0, t0, t1, t1] = −50Polinomio interpolador

H3(t) = 40 + (t− 4) + 24 (t− 4)2 − 50 (t− 4)2 (t− 5) .

Estimación de la posición, representamos por e(t) la posición

e(4.5) ' H3(4.5) = 52. 75

Derivada

H 03(t) = 1 + 48 (t− 4)− 100 (t− 4) (t− 5)− 50 (t− 4)2

Estimación de la velocidad, representamos por v(t) la velocidad

v(4.5) ' H 03(4.5) = 37. 5 ¤


Ejercicio 20 Demuestra que el máximo absoluto de la función

h(x) = (x− x0)2 (x− x1)2

sobre el intervalo [x0, x1] se produce en

xM =x0 + x12

y que el valor del máximo es

M = maxx∈[x0,x1]

h(x) =(x1 − x0)4

16.

La función objetivo es

h(x) = (x− x0)2 (x− x1)2

Queremos obtener el máximo absoluto sobre [x0, x1]. Se trata de un problemade extremos absolutos sobre intervalo cerrado. Observemos que h(x) escontinua en todo R. Los posibles extremos se pueden producir en x = x0,x = x1 y en los puntos críticos interiores.

h0(x) = 2 (x− x0) (x− x1)2 + 2 (x− x0)2 (x− x1)= 2 (x− x0) (x− x1) (x− x1 + x− x0)= 2 (x− x0) (x− x1) (2x− x1 − x0)

El único punto crítico interior es

xc =x1 + x02

El valor en xc es

h(xc) =

µx1 + x02

− x0¶2µx1 + x0

2− x1

¶2=

µx1 − x02

¶2µx0 − x12

¶2=

(x1 − x0)4

16

Como h(x0) = h(x1) = 0 y h(xc) > 0, h(x) toma el máximo absoluto sobre[x0, x1] en xc. ¤

Ejercicio 21 Consideramos la función f(x) = sinx.


(a) Construye el polinomio de Hermite que interpola f(x) en los nodosx0 = 0 y x1 = π/4.

(b) Usando el polinomio del apartado anterior, aproxima el valor de sin(0.5).Calcula una cota superior de error absoluto.

(c) Calcula una cota superior de error absoluto válida para todo x ∈[0,π/4].

(a) Tenemosf(x) = sinx, f 0(x) = cosx

La tabla de valores es

x x0 = 0 x1 = 0. 78539 82

y 0 0. 70710 68

y0 1 0. 70710 68

la tabla inicial de diferencias es

x0 = 0 f [x0] = 0

x0 = 0 f [x0] = 0 f [x0, x0] = 1

x1 = 0. 78539 82 f [x1] = 0. 70710 68 f [x0, x1] =

x1 = 0. 78539 82 f [x1] = 0. 70710 68 f [x1, x1] = 0. 70710 68

de donde obtenemos

f [x0] = 0, f [x0, x0] = 1, f [x0, x0, x1] = −0.1269212,

f [x0, x0, x1, x1] = − 0.1516184

El interpolador es

H3(x) = x− 0.1269212x2 − 0.1516184x2 (x− 0. 78539 82)= x− 0.007 8404x2 − 0.15161 84x3.

(b) Aproximación de sin(0.5)

H3(0.5) = 0. 4790876.

Cota superior de error

|e3(0.5)| =

¯̄̄̄¯f (4)(t)4!

(0.5− 0)2³0.5− π

4

´2 ¯̄̄̄¯ , t ∈³0,π

4

´≤

sin(π4 )

24(0.5)2 (−0. 28539 82)2 = 0.00059995.


tenemos 2 decimales exactos. El error exacto es

|e3(0.5)| = |sin(0.5)−H3(0.5)| = 0.000337934.

(c) Cota superior de error en todo el intervalo [0, π4 ].

|e3(x)| =

¯̄̄̄¯f (4)(t)4!

(x− x0)2 (x− x1)2¯̄̄̄¯ , t ∈

³0,π

4

´≤ sin t

24(x− x0)2 (x− x1)2 .

Según el ejercicio anterior se cumple

(x− x0)2 (x− x1)2 ≤(x1 − x0)4

16,

entonces

|e3(x)| ≤sin¡π4

¢24

¡π4

¢416

= 0.7007× 10−3.

tenemos 2 decimales exactos en todo el intervalo. ¤

Ejercicio 22 Consideramos la función f(x) = ex.

(a) Construye el polinomio de Hermite que interpola f(x) en los nodosx0 = 0 y x1 = 0.5.

(b) Usando el polinomio obtenido, aproxima el valor de e0.25. Calcula unacota superior de error absoluto.

(c) Determina cotas superiores para el error absoluto válidas para cual-quier x ∈ [0, 0.5].

(a) Tenemosf(x) = ex, f 0(x) = ex.

La tabla de valores es

x x0 = 0 x1 = 0. 5

y 1 1. 64872 1

y0 1 1. 64872 1

la tabla inicial de diferencias es

x0 = 0 f [x0] = 1

x0 = 0 f [x0] = 1 f [x0, x0] = 1

x1 = 0.5 f [x1] = 1. 64872 1 f [x0, x1] =

x1 = 0.5 f [x1] = 1. 64872 1 f [x1, x1] = 1. 64872 1


de donde obtenemos

f [x0] = 1, f [x0, x0] = 1, f [x0, x0, x1] = 0.5948851,

f [x0, x0, x1, x1] = 0.2153448.

El interpolador es

H3(x) = 1 + x+ 0.5948851x2 + 0.2153448x2 (x− 0.5)= 1 + x+ 0. 48721 27x2 + 0. 21534 48x3.

(b) Aproximación de e0.25

H3(0.25) = 1. 2838156.

Cota superior de error

|e3(0.25)| =

¯̄̄̄¯f (4)(t)4!

(0.25− 0)2 (0.25− 0.5)2¯̄̄̄¯ , t ∈ (0, 0.5)

≤ e0.5

24(0.25)2 (0.25)2 = 0.2 6834× 10−3.

tenemos 3 decimales exactos. El error exacto es

|e3(0.25)| =¯̄e0.25 −H3(0.25)

¯̄= 0.20986× 10−3.

(c) Cota superior de error en todo el intervalo [0, 0.5].

|e3(x)| =

¯̄̄̄¯f (4)(t)4!

(x− x0)2 (x− x1)2¯̄̄̄¯ , t ∈ (0, 0.5)

≤ e0.5

24

(0.5)4

16= 0.2 683× 10−3.

Obtenemos 3 decimales exactos en todo el intervalo. ¤

Ejercicio 23 Para un objeto móvil, conocemos los siguientes datos

Tiempo (s) 0 2 3 4 5 6

Posición (m) 0 8 34 67 115 146

Velocidad (m/s) 1 1.5 3 1.5 −1 0

.

(a) Construye un función a trozos que modelice la distancia recorrida enla forma

x(t) =

⎧⎨⎩p1(t) 0 ≤ t < 2p2(t) 2 ≤ t < 4p3(t) 4 ≤ t ≤ 6

donde pj(t) es el polinomio de Hermite que interpola la tabla en losextremos del intervalo correspondiente.


(b) Calcula el error absoluto y relativo que se produce cuando aproxima-mos la posición y la velocidad en t = 3 y t = 5 usando x(t).

Ver resolución con Maple. ¤

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