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E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

Soluciones Tema 4

Métodos iterativos para sistemas de ecuacionesFrancisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña

Curso 2006/07Octubre 2006, Versión 1.1

Ejercicio 1 Consideramos el sistema½2x1 + 5x2 = 1210x1 − x2 = 8

1. Formula el método de iterativo correspondiente a la matriz

N =

µ0 510 0

¶2. Estudia la convergencia.

3. Calcula las 4 primeras iteraciones a partir del vector inicial

x(0) =

µ00

¶determina una cota superior de error.

4. Calcula la solución exacta y verifica los resultados.

(1)

A =

µ2 510 −1

¶, b =

µ128

¶N−1 =

µ0 0.10.2 0

¶, P =

µ−2 00 1

¶M =

µ0 0. 1−0. 4 0

¶, c =

µ0. 82. 4

¶,

1

Soluciones: Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones 2

Método Ãx(j+1)1

x(j+1)2

!=

µ0 0. 1−0. 4 0

¶Ãx(j)1

x(j)2

!+

µ0. 82. 4

¶(2) kMk∞ = 0.4 < 1, el método es convergente.

(3)

x(1) =

µ0. 82. 4

¶x(2) =

µ0 0. 1−0. 4 0

¶µ0. 82. 4

¶+

µ0. 82. 4

¶=

µ1. 042. 08

¶x(3) =

µ0 0. 1−0. 4 0

¶µ1. 042. 08

¶+

µ0. 82. 4

¶=

µ1. 0081. 984

¶x(4) =

µ0 0. 1−0. 4 0

¶µ1. 0081. 984

¶+

µ0. 82. 4

¶=

µ0. 99841. 9968

¶Cota superior de error, si usamos la cota en j pasos, no podemos asegurarningún decimal exacto°°°e(4)°°°

∞=(0.4)4

0.62.4 = 0. 1024

Si usamos la cota en un paso°°°e(4)°°°∞≤ kMk∞1− kMk∞

°°°e(4)°°°∞

resulta °°°e(4)°°°∞≤ (0.4)

0.60.0128 = 0.008 53

en este caso, podemos asegurar un decimal exacto.

(4) Solución exacta

α =

µ12

¶error °°°e(4)°°°

∞=

°°°°µ 12

¶−µ0.99841.9968

¶°°°°∞= 0.00 32 ¤

Ejercicio 2 Consideramos el sistema½20x1 + 2x2 = 14x1 − 10x2 = 31

1. Formula el método de Jacobi.


2. Estudia la convergencia.


x(0) =

µ00



(1)

A =

µ20 21 −10

¶, b =

µ1431

¶Matriz del método

N =

µ20 00 −10

¶, P =

µ0 −2−1 0

¶

M =

µ0 −0.10.1 0

¶, c =

µ0.7−3.1

¶Método Ã

x(j+1)1

x(j+1)2

!=

µ0 −0.10.1 0

¶Ãx(j)1

x(j)2

!+

µ0.7−3.1

¶(2) kMk∞ = 0.1, el método es convergente.(3)

x(1) =

µ0.7−3.1

¶

x(2) =

µ0 −0.10.1 0

¶µ0.7−3.1

¶+

µ0.7−3.1

¶=

µ0. 310.0 7

¶+

µ0.7−3.1

¶=

µ1. 01−3. 03

¶

x(3) =

µ0 −0.10.1 0

¶µ1. 01−3. 03

¶+

µ0.7−3.1

¶=

µ0. 3030. 101

¶+

µ0.7−3.1

¶=

µ1. 003−2. 999

¶

x(4) =

µ0.9999−2.9997

¶


Cota superior de error, si usamos la cota en j pasos,°°°e(4)°°°∞=(0.1)4

0.93.1 = 0.3 444× 10−3

podemos asegurar 3 decimales exactos.


α =

µ1−3

¶error °°°e(4)°°°

∞=

°°°°µ 1−3

¶−µ

0.9999−2.9997

¶°°°°∞= 0.000 3 ¤

Ejercicio 3 Consideramos el sistema½20x1 + 2x2 = 14x1 − 10x2 = 31

1. Formula el método de Gauss-Seidel.



x(0) =

µ00



(1) Matriz del método

N =

µ20 01 −10

¶M =

µ0 −0.10 −0.01

¶, c =

µ0.7−3.1

¶Método Ã

x(j+1)1

x(j+1)2

!=

µ0 −0.10 −0.01

¶Ãx(j)1

x(j)2

!+

µ0.7−3.03

¶(2) kMk∞ = 0.1, el método es convergente.

(3)

x(1) =

µ0.7−3.03

¶


x(2) =

µ0 −0.10 −0.01

¶µ0.7−3.03

¶+

µ0.7−3.03

¶=

µ1. 003−2. 9997

¶x(3) =

µ0 −0.10 −0.01

¶µ1. 003−2. 9997

¶+

µ0.7−3.03

¶=

µ0. 99997−3. 00000 3

¶x(4) =

µ1. 00000 03−3.0

¶e(4) =

µ0.0000 3030.00000 3

¶Cota superior de error, si usamos la cota en j pasos,°°°e(4)°°°

∞=(0.1)4

0.93.03 = 0.3367× 10−3

obtenemos prácticamente el mismo resultado que en le método de Jacobi;podemos asegurar 3 decimales exactos. Si usamos la cota en un paso°°°e(4)°°°

∞=0.1

0.9

°°°e(4)°°°∞= 0.3 367× 10−5

podemos asegura 5 decimales exactos.


α =

µ1−3

¶error °°°e(4)°°°

∞=

°°°°µ 1−3

¶−µ1. 00000 03−3.0

¶°°°°∞

=

°°°°µ −.000000 30

¶°°°°∞= 0.3× 10−6 ¤

Ejercicio 4 Consideramos el sistema⎛⎝ 8 1 02 5 01 0 4

⎞⎠⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 433

⎞⎠1. Formula el método de Jacobi.


3. Calcula el número de iteraciones necesarias para resolver el sistemacon 3 decimales exactos a partir del vector inicial x(0) = ~0.

4. Calcula las 3 primeras iteraciones y determina una cota de error.




N =

⎛⎝ 8 0 00 5 00 0 4

⎞⎠M =

⎛⎝ 0 −0.125 0−0.4 0 0−0.25 0 0

⎞⎠ , c =

⎛⎝ 0.50.60.75

⎞⎠Método⎛⎜⎝ x

(j+1)1

x(j+1)2

x(j+1)3

⎞⎟⎠ =

⎛⎝ 0 −0.125 0−0.4 0 0−0.25 0 0

⎞⎠⎛⎜⎝ x

(j)1

x(j)2

x(j)3

⎞⎟⎠+⎛⎝ 0.5

0.60.75

⎞⎠(2) kMk∞ = 0.4 < 1, el método es convergente.

(3) A partir de la cota en j pasos, tenemos°°°e(j)°°°∞≤ (kMk∞)

j

1− kMk∞

°°°e(1)°°°∞=(0.4)j

0.60.75 ≤ 0.5× 10−3

j ≥ln

µ(0.5×10−3)(0.6)

0.75

¶ln (0.4)

= 8. 54

necesitaríamos 9 iteraciones.

(4)

x(1) =

⎛⎝ 0.50.60.75

⎞⎠x(2) =

⎛⎝ 0 −0.125 0−0.4 0 0−0.25 0 0

⎞⎠⎛⎝ 0.50.60.75

⎞⎠+⎛⎝ 0.5

0.60.75

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 4250. 40. 625

⎞⎠x(3) =

⎛⎝ 0 −0.125 0−0.4 0 0−0.25 0 0

⎞⎠⎛⎝ . 425. 4. 625

⎞⎠+⎛⎝ 0.5

0.60.75

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 450. 430. 64375

⎞⎠e(3) =

⎛⎝ 0.0 250.0 30.0 1875

⎞⎠ , °°°e(3)°°° = 0.03Cota superior de error, si usamos la cota en j pasos,°°°e(3)°°°

∞=(0.4)3

0.60.75 = 0.0 8


no podemos asegurar ningún decimal exacto. Si usamos la cota en un paso°°°e(3)°°°∞=0.4

0.6

°°°e(3)°°°∞= 0.0 2

mejoramos algo la cota y podemos asegurar 1 decimal exacto.

(4) Resolvemos usando la regla de Cramer

∆ =

¯¯ 8 1 02 5 01 0 4

¯¯ = 152, ∆1 =

¯¯ 4 1 03 5 03 0 4

¯¯ = 68

∆2 =

¯¯ 8 4 02 3 01 3 4

¯¯ = 64, ∆3 =

¯¯ 8 1 42 5 31 0 3

¯¯ = 97

x1 =∆1∆=17

38, x2 =

∆2∆=8

19, x3 =

∆3∆=97

152

Solución exacta con 8 decimales

α =

⎛⎝ 0. 44736 8420. 42105 2630. 63815 789

⎞⎠error

°°°e(3)°°°∞

=

°°°°°°⎛⎝ 0. 44736 8420. 42105 2630. 63815 789

⎞⎠−⎛⎝ 0. 45

0. 430. 64375

⎞⎠°°°°°°∞

=

°°°°°°⎛⎝ −.00 26315 8−.00 89473 7−.00 55921 1

⎞⎠°°°°°°∞

= 0.00 89473 7 ¤


⎞⎠⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 433

⎞⎠1. Calcula la solución exacta con Maple.

2. Escribe un programa Maple que permita aplicar el método de Jacobi.

3. Determina el número de iteraciones necesarias para aproximar la so-lución con 8 decimales exactos a partir del vector inicial x(0) = ~0.

4. Calcula la solución aproximada y verifica los resultados.



j

1− kMk∞

°°°e(1)°°°∞=(0.4)j

0.60.75 ≤ 0.5× 10−8

j ≥ln

µ(0.5×10−8)(0.6)

0.75

¶ln (0.4)

= 21. 10353 3

necesitamos 22 iteraciones. Para el resto del ejercicio ver Soluciones conMaple ¤


⎞⎠⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 433

⎞⎠1. Formula el método de Gauss-Seidel.


3. Calcula el número de iteraciones necesarias para resolver el sistemacon 3 decimales exactos a partir del vector inicial x(0) = ~0.

4. Calcula las 3 primeras iteraciones y calcula un cota superior de error



N =

⎛⎝ 8 0 02 5 01 0 4

⎞⎠ , P =

⎛⎝ 0 −1 00 0 00 0 0

⎞⎠

N−1 =

⎛⎝ 0. 125 0 0−0.0 5 0. 2 0−0.0 3125 0 0. 25

⎞⎠M =

⎛⎝ 0 −0.125 00 0.05 00 0.03125 0

⎞⎠ , c =

⎛⎝ 0.50.40.625

⎞⎠Método⎛⎜⎝ x

(j+1)1

x(j+1)2

x(j+1)3

⎞⎟⎠ =

⎛⎝ 0 −0.125 00 0.05 00 0.03125 0

⎞⎠⎛⎜⎝ x

(j)1

x(j)2

x(j)3

⎞⎟⎠+⎛⎝ 0.5

0.40.625

⎞⎠


(2) kMk∞ = 0. 125 < 1, el método es convergente.(3) A partir de la cota en j pasos, tenemos°°°e(j)°°°

∞≤ (kMk∞)

j

1− kMk∞

°°°e(1)°°°∞=(0.125)j

0.8750.625 ≤ 0.5× 10−3

j ≥ln

µ(0.5×10−3)(0.875)

0.625

¶ln (0.125)

= 3. 49

necesitaríamos 4 iteraciones.(4)

x(1) =

⎛⎝ 0.50.40.625

⎞⎠x(2) =

⎛⎝ 0 −0.125 00 0.05 00 0.03125 0

⎞⎠⎛⎝ 0.50.40.625

⎞⎠+⎛⎝ 0.5

0.40.625

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 450. 420. 6375

⎞⎠x(3) =

⎛⎝ 0 −0.125 00 0.05 00 0.03125 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 450. 420. 6375

⎞⎠+⎛⎝ 0.5

0.40.625

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 44750. 421

0. 63812 5

⎞⎠e(3) =

⎛⎝ −0.00 250.00 10.000 625

⎞⎠ , °°°e(3)°°° = 0.001Cota superior de error, si usamos la cota en j pasos,°°°e(3)°°°

∞=(0.125)3

0.8750.625 = 0.1 396× 10−2

podemos asegurar dos decimales exactos. Si usamos la cota en un paso°°°e(3)°°°∞=0.125

0.875

°°°e(3)°°°∞= 0.1 429× 10−3

vemos que podemos asegurar 3 decimales exactos.(4) Solución exacta con 8 decimales

α =

⎛⎝ 0. 44736 8420. 42105 2630. 63815 789

⎞⎠error °°°e(3)°°°

∞=

°°°°°°⎛⎝ 0. 44736 8420. 42105 2630. 63815 789

⎞⎠−⎛⎝ 0. 4475

0. 4210. 63812 5

⎞⎠°°°°°°∞

=

°°°°°°⎛⎝ −1. 3158× 10−45. 263× 10−5

3. 289× 10−5

⎞⎠°°°°°°∞

= 0.13158× 10−3 ¤



⎞⎠⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 433

⎞⎠1. Calcula la solución exacta con Maple

2. Escribe un programa Maple que permita aplicar el método de Gauss-Seidel.

3. Determina el número de iteraciones necesarias par aproximar la solu-ción con 8 decimales exactos a partir del vector inicial x(0) = ~0.

4. Calcula la solución aproximada y verifica los resultados.


j

1− kMk∞

°°°e(1)°°°∞=(0.125)j

0.8750.625 ≤ 0.5× 10−8

j ≥ln

µ(0.5×10−8)(0.875)

0.625

¶ln (0.125)

= 9. 02999 93

necesitamos 10 iteraciones. Para el resto del ejercicio ver Soluciones conMaple ¤

Ejercicio 8 Considera el siguiente sistema con un parámetro⎛⎝ 4 1 a1 4 11 1 4

⎞⎠⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 123

⎞⎠1. Para qué valores de a el método de Jacobi es convergente?

2. Y el de Gauss-Seidel?

3. Sea a = −1, resuelve el sistema por cada uno de los métodos con 3decimales exactos.

(a) Método de Jacobi

N =

⎛⎝ 4 0 00 4 00 0 4

⎞⎠ , P =

⎛⎝ 0 −1 −a−1 0 −1−1 −1 0

⎞⎠


N−1 =

⎛⎝ 1/4 0 00 1/4 00 0 1/4

⎞⎠

M = N−1P =

⎛⎝ 1/4 0 00 1/4 00 0 1/4

⎞⎠⎛⎝ 0 −1 −a−1 0 −1−1 −1 0

⎞⎠=

⎛⎝ 0 −14 −14a−14 0 −14−14 −14 0

⎞⎠kMk∞ = max{1/4 + 1/4|a|, 1/2, 1/2}

Para que el método sea convergente, exigimos

kMk∞ < 1

que nos lleva1/4 + 1/4|a| < 1 =⇒ |a| < 3

es decira ∈ (−3, 3)

(a) Método de Gauss-Seidel

N =

⎛⎝ 4 0 01 4 01 1 4

⎞⎠ , P =

⎛⎝ 0 −1 −a0 0 −10 0 0

⎞⎠

N−1 =

⎛⎝ 14 0 0− 116

14 0

− 364 − 1

1614

⎞⎠

M = N−1P =

⎛⎝ 14 0 0− 116

14 0

− 364 − 1

1614

⎞⎠⎛⎝ 0 −1 −a0 0 −10 0 0

⎞⎠=

⎛⎝ 0 −14 −14a0 1

16116a−

14

0 364

364a+

116

⎞⎠kMk∞ = max

½1/4 + 1/4|a|, 1

16+

¯1

16a− 1

4

¯,3

64+

¯3

64a+

1

16

¯¾Para que el método sea convergente, exigimos

kMk∞ < 1


en este caso obtenemos ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1/4 + 1/4|a| < 1

116 +

¯116a−

14

¯< 1

364 +

¯364a+

116

¯< 1

Ya hemos resuelto la primera inecuación, resultando a ∈ (−3, 3)Para la segunda, obtenemos

1

16+

¯1

16a− 1

4

¯< 1 =⇒

¯1

16a− 1

4

¯<15

16

−1516

<1

16a− 1

4<15

16

−1116

<1

16a <

19

16−11 < a < 19

Para la tercera, obtenemos

3

64+

¯3

64a+

1

16

¯< 1 =⇒

¯3

64a+

1

16

¯<61

64

−6164

<3

64a+

1

16<61

64

−6564

<3

64a <

57

64

−653

< a < 19

Por lo tanto, si a ∈ (−3, 3) , podemos asegurar que el método de Gauss-Seideles convergente.(c) Para a = −1, resulta el sistema⎛⎝ 4 1 −1

1 4 11 1 4

⎞⎠⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 123

⎞⎠(c.1) Resolución por el método de Jacobi.

N =

⎛⎝ 4 0 00 4 00 0 4

⎞⎠ , P =

⎛⎝ 0 −1 1−1 0 −1−1 −1 0

⎞⎠


N−1 =

⎛⎝ 1/4 0 00 1/4 00 0 1/4

⎞⎠M = N−1P =

⎛⎝ 0 −0. 25 0. 25−0. 25 0 −0. 25−0. 25 −0. 25 0

⎞⎠ , c =

⎛⎝ 0. 250. 50. 75

⎞⎠kMk∞ = 0.5

Para 3 decimales exactos, exigimos°°°e(j)°°°∞≤ (kMk∞)

j

1− kMk∞

°°°e(1)°°°∞=(0.5)j

0.50.75 ≤ 0.5× 10−3

j ≥ln

µ(0.5×10−3)(0.5)

0.75

¶ln (0.5)

= 11. 55074 7

En principio, con 12 iteraciones podemos asegurar los 3 decimales exactos.En este caso, la cota en un paso es°°°e(j)°°°

∞≤ 0.50.5

°°°e(j)°°°∞=°°°e(j)°°°

∞

y, por lo tanto, el error estimado nos permite acotar directamente el error.

x(1) =

⎛⎝ 0. 250. 50. 75

⎞⎠

x(2) =

⎛⎝ 0 −0. 25 0. 25−0. 25 0 −0. 25−0. 25 −0. 25 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 250. 50. 75

⎞⎠+⎛⎝ 0. 25

0. 50. 75

⎞⎠=

⎛⎝ 0. 31250. 250. 5625

⎞⎠

°°°e(2)°°°∞

=

°°°°°°⎛⎝ 0. 3125

0. 250. 5625

⎞⎠−⎛⎝ 0. 25

0. 50. 75

⎞⎠°°°°°°∞

=

°°°°°°⎛⎝ .0 625−. 25−. 1875

⎞⎠°°°°°°∞

= 0. 25


x(3) =

⎛⎝ 0 −0. 25 0. 25−0. 25 0 −0. 25−0. 25 −0. 25 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 31250. 250. 5625

⎞⎠+⎛⎝ 0. 25

0. 50. 75

⎞⎠=

⎛⎝ 0. 32812 50. 281250. 60937 5

⎞⎠°°°e(3)°°°

∞=

°°°°°°⎛⎝ 0. 32812 5

0. 281250. 60937 5

⎞⎠−⎛⎝ 0. 3125

0. 250. 5625

⎞⎠°°°°°°∞

=

°°°°°°⎛⎝ .0 15625

.0 3125.0 46875

⎞⎠°°°°°°∞

= .0 46875

x(4) =

⎛⎝ 0 −0. 25 0. 25−0. 25 0 −0. 25−0. 25 −0. 25 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 32812 50. 281250. 60937 5

⎞⎠+⎛⎝ 0. 25

0. 50. 75

⎞⎠=

⎛⎝ 0. 33203 1250. 26562 50. 59765 625

⎞⎠°°°e(4)°°°

∞=

°°°°°°⎛⎝ 0. 33203 125

0. 26562 50. 59765 625

⎞⎠−⎛⎝ 0. 32812 5

0. 281250. 60937 5

⎞⎠°°°°°°∞

=

°°°°°°⎛⎝ .00 39062 5−.0 15625−.0 11718 75

⎞⎠°°°°°°∞

= .0 15625

La precisión buscada se alcanza en 7 pasos (ver Resolución con Maple).

(c.2) Resolución por el método de Gauss-Seidel.

N =

⎛⎝ 4 0 01 4 01 1 4

⎞⎠ , P =

⎛⎝ 0 −1 10 0 −10 0 0

⎞⎠

N−1 =

⎛⎝ 14 0 0− 116

14 0

− 364 − 1

1614

⎞⎠M = N−1P =

⎛⎝ 0 −0. 25 0. 250 0.0 625 −0. 31250 0.0 46875 0.0 15625

⎞⎠ , c =

⎛⎝ 0. 250. 43750. 57812 5

⎞⎠kMk∞ = 0.5

Para 3 decimales exactos, exigimos°°°e(j)°°°∞≤ (kMk∞)

j

1− kMk∞

°°°e(1)°°°∞=(0.5)j

0.50. 57812 5 ≤ 0.5× 10−3


j ≥ln

µ(0.5×10−3)(0.5)

0. 57812 5

¶ln (0.5)

= 11. 17523 8

En principio, con 12 iteraciones podemos asegurar los 3 decimales exactos.También en este caso, la cota en un paso es°°°e(j)°°°

∞≤ 0.50.5

°°°e(j)°°°∞=°°°e(j)°°°

∞y, por lo tanto, el error estimado nos permite acotar directamente el error.

x(1) =

⎛⎝ 0. 250. 43750. 57812 5

⎞⎠

x(2) =

⎛⎝ 0 −0. 25 0. 25−0. 25 0 −0. 25−0. 25 −0. 25 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 250. 43750. 57812 5

⎞⎠+⎛⎝ 0. 25

0. 43750. 57812 5

⎞⎠=

⎛⎝ 0. 28515 6250. 23046 8750. 40625

⎞⎠°°°e(2)°°°

∞=

°°°°°°⎛⎝ 0. 28515 6250. 23046 8750. 40625

⎞⎠−⎛⎝ 0. 25

0. 43750. 57812 5

⎞⎠°°°°°°∞

=

°°°°°°⎛⎝ 0.0 35156 25−0. 20703 125−0. 17187 5

⎞⎠°°°°°°∞

= 0. 20703

x(3) =

⎛⎝ 0 −0. 25 0. 25−0. 25 0 −0. 25−0. 25 −0. 25 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 28515 6250. 23046 8750. 40625

⎞⎠+⎛⎝ 0. 25

0. 43750. 57812 5

⎞⎠=

⎛⎝ 0. 29394 5310. 26464 8440. 44921 875

⎞⎠°°°e(3)°°°

∞=

°°°°°°⎛⎝ 0. 29394 5310. 26464 8440. 44921 875

⎞⎠−⎛⎝ 0. 28515 6250. 23046 8750. 40625

⎞⎠−°°°°°°∞

= 0.0 42968 75

x(4) =

⎛⎝ 0 −0. 25 0. 25−0. 25 0 −0. 25−0. 25 −0. 25 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 29394 5310. 26464 8440. 44921 875

⎞⎠+⎛⎝ 0. 25

0. 43750. 57812 5

⎞⎠=

⎛⎝ 0. 29614 2580. 25170 8990. 43847 656

⎞⎠


°°°e(4)°°°∞= 0.0 12939 45

La precisión buscada se alcanza en 5 pasos (ver Resolución con Maple).

Ejercicio 9 Sea

A =

µ1 −a−a 1

¶Queremos resolver el sistema Ax = b iterativamente mediante la fórmulaµ

1 0−a 1

¶x(n+1) =

µ0 a0 0

¶x(n) + b

para qué valores de a podemos asegurar que le método converge?

Se trata del método de Gauss-Seidel. La matriz que define el método es

N =

µ1 0−a 1

¶

N−1 =

µ1 0a 1

¶M =

µ1 0a 1

¶µ0 a0 0

¶=

µ0 a0 a2

¶kMk∞ = max

³|a| , |a|2

´si exigimos kMk∞ < 1, resulta ½

|a| < 1|a|2 < 1

y obtenemos |a| < 1. ¤

Ejercicio 10 Dados los vectores

α =

⎛⎝ 1−24

⎞⎠ , x =

⎛⎝ 0.98−1.974.05

⎞⎠ , e = α− x

calcula

1. kαk1 , kαk2 , kαk∞2. kek1 , kek2 , kek∞


(1)kαk1 = 7, kαk2 =√21, kαk∞ = 4

(2)

e =

⎛⎝ 1−24

⎞⎠−⎛⎝ 0.98−1.974.05

⎞⎠ =

⎛⎝ 0.0 2−0.0 3−0.0 5

⎞⎠kek1 = 0. 1, kek2 = 0.0 61644 14, kek∞ = 0.05 ¤

Ejercicio 11 Demuestra que kxk1 es una norma, es decir, que para todox,y ∈ Rn y λ ∈ ~R se cumple

1. kxk1 ≥ 0

2. kxk1 = 0 si y solo si x = ~0

3. kλxk1 = |λ| kxk14. kx+ yk1 ≤ kxk1 + kyk1

Sea

x =

⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ , y =

⎛⎜⎜⎜⎝y1y2...yn

⎞⎟⎟⎟⎠(1) kxk1 = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|} ≥ 0(2) kxk1 = 0 si y solo si |xj | = 0 para toda j, por lo tanto x = 0(3)kλxk1 = max{|λx1|, |λx2|, . . . , |λxn|} = |λ|max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|} =|λ| kxk1(4)

kx+ yk1 = max{|x1 + y1|, |x2 + y2|, . . . , |xn + yn|}≤ max{|x1|+ |y1|, |x2|+ |y2|, . . . , |xn|+ |yn|}≤ max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}+max{|y1|, |y2|, . . . , |yn|} ¤

Ejercicio 12 Dada la matriz y el vector

M =

⎛⎝ 0 −0.1 −0.20.1 0 0.20.1 −0.1 0.3

⎞⎠ , e(0) =

⎛⎝ 1−12

⎞⎠1. Verifica que se cumple kMk∞ < 1


2. Suponiendo que se cumple

e(j+1) =Me(j)

calcula una cota superior para°°e(5)°°∞ ; verifica el resultado.

(1) kMk∞ = 0. 5

(2) Tendremos°°°e(5)°°°∞≤ (kMk∞)

5°°°e(0)°°°

∞= (0. 5)5 × 2 = 0.0 625

Si calculamos e(5), resulta

e(5) =

⎛⎝ 0.000 45−0.000 67−0.000 64

⎞⎠ , °°°e(5)°°°∞= 0.00067 ¤

Ejercicio 13 Una matriz⎛⎜⎜⎜⎝a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

⎞⎟⎟⎟⎠es dominante diagonal estricta si, para cada fila, el valor absoluto del elemen-to de la diagonal es mayor que la suma de valores absolutos de los restanteselementos de la fila, esto es

|aii| > |ai1|+ · · ·+¯ai,(i−1)

¯+¯ai,(i+1)

¯+ · · ·+ |ain|

Sean A y B matrices de orden n con dominancia diagonal estricta.

1. ¿Es (−A) dominante diagonal estricta?

2. ¿Es AT dominante diagonal estricta?

3. ¿Es A+B dominante diagonal estricta?

(1) Sí, en la definición de dominancia diagonal estricta, se toma el valorabsoluto de los elementos de la matriz, por lo tanto, el cambio de signo noafecta.

(2) No necesariamente, tomemos como ejemplo la matriz

A =

⎛⎝ 5 1 12 6 24 4 8

⎞⎠


Esta matriz es dominante diagonal estricta, pues

5 > 1 + 1

6 > 2 + 2

8 > 4 + 4

Sin embargo, para

AT =

⎛⎝ 5 2 41 6 41 2 8

⎞⎠tenemos

5 < 2 + 4

(3) No necesariamente, al sumar pueden producirse cancelaciones en la dia-gonal. Tomemos por ejemplo

A =

µ5 11 5

¶, B =

µ−5 11 −5

¶ambas tienen dominancia diagonal estricta, sin embargo,

A+B =

µ0 22 0

¶no es dominante diagonal estricta. ¤

Ejercicio 14 Consideramos el sistema lineal

Ax = b

donde A es matriz cuadrada de orden n. Demuestra que si A es de domi-nante diagonal estricta, entonces el método de Jacobi es convergente. (Porsimplicidad, resuelve el caso n = 3).

Tomamos la matriz de coeficientes del sistema

A =

⎛⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎠La matriz que define el método de Jacobi es

N =

⎛⎝ a11 0 00 a22 00 0 a33

⎞⎠


Si la matriz A es dominante diagonal estricta, los elementos aii son no nulosy, por lo tanto, N es invertible.

N−1=

⎛⎝ 1a11

0 0

0 1a22

0

0 0 1a33

⎞⎠

P =

⎛⎝ 0 −a12 −a13−a21 0 −a23−a31 −a32 0

⎞⎠

M = N−1P =

⎛⎝ 1a11

0 0

0 1a22

0

0 0 1a33

⎞⎠⎛⎝ 0 −a12 −a13−a21 0 −a23−a31 −a32 0

⎞⎠=

⎛⎝ 0 − 1a11a12 − 1

a11a13

− 1a22a21 0 − 1

a22a23

− 1a33a31 − 1

a33a32 0

⎞⎠kMk∞ = max

µ|a12|+ |a13|

|a11|,|a21|+ |a23|

|a22|,|a31|+ |a32|

|a33|

¶Si la matriz A es dominante diagonal estricta, obtenemos

kMk∞ < 1

y el método iterativo es convergente. ¤

Ejercicio 15 Dada la función vectorial

F

µx1x2

¶=

µx1 − x22x1 + x

22

¶1. Calcula

F

µ10

¶, F

µ1−1

¶2. Resuelve

F (x) =

µ01

¶3. Calcula el Jacobiano JF

(1)

F

µ10

¶=

µ11

¶, F

µ1−1

¶=

µ02

¶


(2) De

F (x) =

µ01

¶resulta el sistema no lineal ½

x1 − x22 = 0x1 + x

22 = 1

Sumando las ecuaciones, obtenemos

2x1 = 1 =⇒ x1 =1

2

sustituyendo en una de las ecuaciones

x2 = ±1√2

Tenemos, por lo tanto dos vectores que verifican la ecuación

x(1)=

µ1/2

1/√2

¶, x(1) =

µ1/2

−1/√2

¶(3) El jacobiano es

JF =

µ1 −2x21 2x2

¶¤

Ejercicio 16 Sea

A =

µa11 a12a21 a22

¶1. Demuestra que

A−1 =1

a11a22 − a12a21

µa22 −a12−a21 a11

¶2. Si

F

µx1x2

¶=

µx21 + x

22 − 1

x2 − x21

¶Calcula J−1F (x) para x =

µ11

¶.

(1) Sabemos que

A−1 =1

|A| [adj(A)]T

adj(A) =µa22 −a21−a12 a11

¶


A−1 =1¯

a11 a12a21 a22

¯ ∙µ a22 −a21−a12 a11

¶¸T

=1

a11a22 − a12a21

µa22 −a12−a21 a11

¶(2) La matriz jacobiana es

JF (x) =

µ2x1 2x2−2x1 1

¶su matriz inversa es

J−1F (x) =1

2x1 + 4x2x1

µ1 −2x22x1 2x1

¶finalmente

J−1F

µ11

¶=1

6

µ1 −22 2

¶¤

Ejercicio 17 Consideramos el sistema de ecuaciones½x2 + y2 = 4y = x2

1. Construye una representación gráfica esquemática y determina apro-ximadamente la solución.

2. Plantea el método de Newton-Raphson para el sistema.

3. Aproxima la solución del primer cuadrante con 5 decimales exactos.Toma como vector inicial

x(0) =

µ1.21.5

¶4. Calcula manualmente la solución del sistema y verifica el resultado.

(1)

x 210-1-2

y

3

2

1

0

-1

-2


solución estimada para el primer cuadrante

α =

µ1.21.5

¶(2) El sistema se puede escribir en forma vectorial

F

µxy

¶=

µ00

¶con

F

µxy

¶=

µx2 + y2 − 4y − x2

¶Matriz jacobiana

JF (x) =

µ2x 2y−2x 1

¶J−1F (x) =

1

2x+ 4xy

µ1 −2y2x 2x

¶métodoµ

x(j+1)

y(j+1)

¶=

µx(j)

y(j)

¶− 1

2x(j) + 4x(j)y(j)

µ1 −2y(j)

2x(j) 2x(j)

¶F

µx(j)

y(j)

¶(3) Aproximación de la solución

x(0) =

µ1.21.5

¶

x(1) =

µ1.21.5

¶−µ0. 10416 667 −0. 3125

0. 25 0. 25

¶µ−0. 310.0 6

¶=

µ1. 25104 171. 5625

¶

x(2) =

µ1. 25104 171. 5625

¶−µ9. 68889 54× 10−2 −. 30277 798

. 24242 424 . 24242 424

¶µ6. 51158 5× 10−3−2. 60533 5× 10−3

¶=

µ1. 24962 21. 56155 3

¶

x(3) =

µ1. 24962 111. 56155 28

¶e(3) = x(3) − x(2) =

µ1. 24962 111. 56155 28

¶−µ1. 24962 21. 56155 3

¶=

µ−0.000000 9−0.000000 2

¶


(4) Solución exacta ½x2 + y2 = 4y = x2

Sustituimos y = x2 en la primera ecuación y obtenemos

x2 + x4 = 4 =⇒ x4 + x2 − 4 = 0

hacemos t = x2 y resolvemos

t2 + t− 4 = 0 =⇒½t = −2. 56155 28t = 1. 56155 28

la solución con t < 0 no es admisible, para la otra, obtenemos

x =√t = 1. 24962 11, y = 1. 56155 28

x = −√t = −1. 24962 11, y = 1. 56155 28

la solución de primer cuadrante es

α =

µ1. 24962 111. 56155 28

¶el error de aproximación, 7 decimales, es

e(3) = α− x(3) = ~0

Ejercicio 18 Consideramos el sistema de ecuaciones⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2

4+ y2 = 1

x2 − y2 = 1


2. Plantea el método de Newton-Raphson para el sistema.

3. Aproxima la solución del primer cuadrante con 5 decimales exactos.Toma como vector inicial

x(0) =

µ1.20.8

¶4. Calcula manualmente la solución del sistema y verifica el resultado.

(1)


x 210-1-2

y

2

1

0

-1

-2

solución estimada para el primer cuadrante

α =

µ1.240.76


F

µxy

¶=

µ00

¶con

F

µxy

¶=

⎛⎝ x2

4 + y2 − 1

x2 − y2 − 1

⎞⎠Matriz jacobiana

JF (x) =

Ã 12x 2y

2x −2y

!

J−1F (x) =1

−xy − 4xy

µ−2y −2y−2x x/2

¶métodoµx(j+1)

y(j+1)

¶=

µx(j)

y(j)

¶− 1

−x(j)y(j) − 4x(j)y(j)

µ−2y(j) −2y(j)−2x(j) x(j)/2

¶F

µx(j)

y(j)

¶(3) Aproximación de la solución

x(0) =

µ1.20.8

¶

x(1) =

µ1.20.8

¶−µ0. 33333 333 0. 33333 333

0. 5 −0. 125

¶µ0−0. 2

¶=

µ1. 26666 670. 775

¶


x(2) =

µ1. 26666 670. 775

¶−µ0. 31578 947 0. 31578 9470. 51612 903 −0. 12903 226

¶µ1. 73613 2× 10−33. 81952 9× 10−3

¶=

µ1. 26491 230. 77459 677

¶

x(3) =

µ1. 26491 110. 77459 667

¶e(3) = x(3)−x(2) =

µ1. 26491 110. 77459 667

¶−µ1. 26666 670. 775

¶=

µ−.00 17556−.000 40333

¶x(4) =

µ1. 26491 110. 77459 667

¶, e(4) = ~0

(4) Solución exacta ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2

4+ y2 = 1

x2 − y2 = 1Sumando las ecuaciones, resulta

5

4x2 = 2 =⇒ x = ±

p8/5 = ±1. 26491 11

Tomamos la solución positiva. Sustituimos en x2 − y2 = 1 y resulta

8

5− y2 = 1 =⇒ y2 = ±

p3/5 = ±0. 77459 667

la solución de primer cuadrante es

α =

µ1. 26491 110. 77459 667

¶Vemos que x(4) coincide con α con 7 decimales. ¤

Ejercicio 19 Consideramos el sistema de ecuaciones⎧⎨⎩ (x− 2)2 = yx2

9+ y2 = 1


2. Plantea el método de Newton-Raphson para el sistema

3. Aproxima las soluciones con decimales exactos. Estima vectores ini-ciales adecuados.


4. Calcula manualmente la solución del sistema y verifica el resultado.

(1)

x 32.521.510.50

y

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

soluciones estimadas

α(1) =

µ10.9

¶, α(2) =

µ2.60.4


F

µxy

¶=

⎛⎝ (x− 2)2 − yx2

9+ y2 − 1

⎞⎠Matriz jacobiana

JF (x) =

µ2x− 4 −129x 2y

¶J−1F (x) =

1

4yx− 8y + 29x

µ2y 1−29x 2x− 4

¶métodoµx(j+1)

y(j+1)

¶=

µx(j)

y(j)

¶− 1

4y(j)x(j) − 8y(j) + 29x(j)

µ2y(j) 1

−29x(j) 2x(j) − 4

¶F

µx(j)

y(j)

¶(3) Aproximación de la solución α(1)

x(0) =

µ10.9

¶

x(1) =

µ1. 02993 420. 94013 158

¶


x(2) =

µ1. 03092 710. 93910 121

¶x(3) =

µ1. 03092 80. 93910 048

¶x(4) =

µ1. 03092 80. 93910 048

¶, e(4) = ~0

Aproximación de la solución α(2)

x(0) =

µ2.60.4

¶

x(1) =

µ2. 67861 270. 45433 526

¶x(2) =

µ2. 67355 150. 45364 6

¶x(3) =

µ2. 67353 690. 45365 192

¶x(4) =

µ2. 67353 690. 45365 192

¶, e(4) = ~0

(4) Solución exacta ⎧⎨⎩ (x− 2)2 = yx2

9+ y2 = 1

Si sustituimos en la segunda ecuación

x2

9+ (x− 2)4 = 1 =⇒ 217

9x2 + x4 − 8x3 − 32x+ 16 = 1

Obtenemos una ecuación polinómica completa de grado 4. Si resolvemosnuméricamente con Maple, obtenemos

x(1) = 1. 03092 8, x(2) = 2. 67353 69

y sustituyendo en(x− 2)2 = y

obtenemos las soluciones

α(1) =

µ1. 03092 80. 93910 054

¶, α(2) =

µ2. 67353 690. 45365 196

¶¤

Ejercicio 20 Resuelve el Ejercicio 17 usando el método de Newton-Raphsonmodificado.


Tomamos

x(0) =

µ1.21.5

¶En el método modificado, se emplea J−1F (x

(0)) en todas las iteraciones

F

µxy

¶=

µx2 + y2 − 4y − x2

¶Matriz jacobiana

JF (x) =

µ2x 2y−2x 1

¶JF

³x(0)

´=

µ2. 4 3.0−2. 4 1

¶J−1F (x

(0)) =

µ0. 10416 667 −0. 3125

0. 25 0. 25

¶métodoµ

x(j+1)

y(j+1)

¶=

µx(j)

y(j)

¶−µ0. 10416 667 −0. 3125

0. 25 0. 25

¶F

µx(j)

y(j)

¶Aproximación de la solución

x(0) =

µ1.21.5

¶

x(1) =

µ1.21.5

¶−µ0. 10416 667 −0. 3125

0. 25 0. 25

¶µ−0. 310.0 6

¶=

µ1. 25104 171. 5625

¶

x(2) =

µ1. 25104 171. 5625

¶−µ0. 10416 667 −0. 3125

0. 25 0. 25

¶µ6. 51158 5× 10−3−2. 60533 5× 10−3

¶=

µ1. 24954 921. 56152 34

¶x(3) =

µ1. 24962 441. 56155 37

¶, e(3) =

µ.0000 752.0000 303

¶x(4) =

µ1. 24962 091. 56155 28

¶e(4) =

µ−0.00000 35−0.000000 9

¶Aproximación de la solución con 5 decimales

α =

µ1. 249621. 56155

¶¤


Ejercicio 21 Resuelve el Ejercicio 18 usando el método de Newton-Raphsonmodificado

Tomamos

x(0) =

µ1.20.8

¶En el método modificado, se emplea J−1F (x

(0)) en todas las iteraciones

F

µxy

¶=

µx2

4 + y2 − 1

x2 − y2 − 1

¶Matriz jacobiana

JF (x) =

µ12x 2y2x −2y

¶JF

³x(0)

´=

µ0. 6 1. 62. 4 −1. 6

¶J−1F (x

(0)) =

µ0. 33333 333 0. 33333 333

0. 5 −0. 125

¶métodoµ

x(j+1)

y(j+1)

¶=

µx(j)

y(j)

¶−µ0. 33333 333 0. 33333 333

0. 5 −0. 125

¶F

µx(j)

y(j)

¶Aproximación de la solución

x(0) =

µ1.21.5

¶

x(1) =

µ1.20.8

¶−µ0. 33333 333 0. 33333 333

0. 5 −0. 125

¶µ0−0. 2

¶=

µ1. 26666 670. 775

¶x(2) =

µ1. 26481 480. 77460 938

¶x(3) =

µ1. 26491 630. 77459 707

¶, e(3) =

µ.000 1015−.0000 1231

¶x(4) =

µ1. 26491 080. 77459 668

¶, e(4) =

µ−0.00000 55−0.000000 39

¶x(5) =

µ1. 26491 110. 77459 667

¶, e(5) =

µ0.000000 3−0.0000000 1

¶Aproximación de la solución con 5 decimales

α =

µ1. 264910.77460

¶¤

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Soluciones Tema 4 Métodos...

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