Estatatica y Dinámica de Fluidos (2)

FLUJO DE FLUIDOS APUNTES DE OPERACIONES DE PROCESOS UNITARIOS

Autor: Ing. MSc. Al E. Daz Cama 6

UNIDAD 02

2. FLUJO DE FLUIDOS

2.1. ESTTICA Y DINMICA DE FLUIDOS

2.1.1. Fluidos

Todos los gases y lquidos reciben el nombre de fluidos, con lo cual se indica que no tienen forma definida como los slidos, sino que fluyen, es decir, escurren bajo la

accin de fuerzas. En los lquidos las molculas estn ms cercanas entre s debido a las

fuerzas de atraccin, y toman la forma del recipiente que los contiene, conservando su

volumen prcticamente constante. La superficie libre de un lquido en reposo es siempre

horizontal.

Los gases estn formados por molculas que se mueven en todas direcciones, por lo que

ocupan todo el volumen del recipiente que los contiene, aunque sean colocados en

equipos de diferentes formas.

2.1.2. Propiedades de los fluidos

Densidad Absoluta

La densidad absoluta de una sustancia expresa la cantidad de masa contenida en la

unidad de volumen.

V

M (2.1.1)

donde: 3)( MLdensidad

MmasaM )( 3)( LvolumenV

En el Sistema Internacional (SI) la densidad se mide en kg/m3, aunque es frecuente

obtener los datos de densidad en otras unidades tales como lb/gal, g/cm, lb/ft3, etc.

Densidad relativa

Se llama densidad relativa a la relacin que existe entre la densidad de un material y la

de una sustancia de referencia. En el caso de los lquidos, esta sustancia es el agua;

tratndose de los gases, generalmente se adopta el aire. La del agua entre 0 y 100C puede considerarse cercana a 1000 kg/m

3

aladimension relativa densidad ;referencia sust.

sustancia RR

Debido a que la densidad vara con la temperatura, la densidad relativa se da mostrando

la temperatura a la cual se hizo la medicin y la temperatura a la cual se obtuvo la

densidad de la sustancia de referencia:

FLUJO DE FLUIDOS



C

CR

4

20

Peso especifico

Es el peso de la unidad de volumen de un material determinado.

V

Peso (2.1.2)

gmPeso (2.1.3)

Donde: 22)( MLespecficoPeso

2)( MLPeso 3)( LvolumenV

2m/s 81,9g

Las unidades en el SI son N/m3, o sea kg-m/seg

2.m

3.

Densidad de una mezcla de lquidos ideales

La densidad de una mezcla de lquidos ideales (aquellos que al mezclarse no reducen su

volumen) puede calcularse a partir de:

n

n

mezcla

xxx

...

1

2

2

1

1 (2.1.4)

xn = fraccin masa del lquido n.

n = densidad del lquido puro n.

Presin de un fluido

La presin de un fluido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y acta normalmente a cualquier superficie plana.

La presin en un lquido es igual en cualquier punto, las medidas se realizan en manmetros

Presin

La presin en un punto se define como el valor absoluto de la fuerza por unidad de

superficie a travs de una pequea superficie que pasa por ese punto y en el sistema

internacional su unidad es el Pascal (1 Pa=1N/m2). Mientras que en el caso de los

slidos en reposo, las fuerzas sobre una superficie pueden tener cualquier direccin, en

el caso de los fluidos en reposo la fuerza ejercida sobre una superficie debe ser siempre

perpendicular a la superficie, ya que si hubiera una componente tangencial, el fluido

fluira. En el caso de un fluido en movimiento, si ste es no viscoso tampoco aparecen

componentes tangenciales de la fuerza, pero si se trata de un fluido viscoso s que

aparecen fuerzas tangenciales de rozamiento



A

FP (2.1.5)

Presin Esttica

La esttica de fluidos se relaciona con las propiedades de los lquidos en reposo.

En el caso de los lquidos recibe el nombre de HIDROSTTICA

Un fluido en equilibrio solo recibe fuerzas de compresin.

La intensidad de esta fuerza recibe el nombre de presin Esttica y se mide en 22 / ,/ mNmkg

Diferencia de presiones: Distribucin de presiones en campo gravitacional

Para obtener la variacin de presin entre dos puntos de un fluido esttico, se tiene que

integrar la ecuacin fundamental de la hidrosttica: dp = -gdh

2

1

2

1

2

112

h

h

h

h

P

PdhgPPdhgdP

La integral se puede resolver, si se conoce la funcin =(h), para el caso de un fluido incompresible (=constante), la integral es:

)( 12122

1

hhgdhgPPh

h

)( 1212 hhgPP (2.1.6)

Si el punto 1 esta en la superficie libre del lquido con h positiva hacia abajo, la

ecuacin anterior se transforma.

hgP (2.1.7)

Como g

hP (2.1.8)

La ecuacin anterior se conoce con el nombre de Presin hidrosttica

2.2. DINMICA DE FLUIDOS

Un fluido es una sustancia que sufre deformacin continua cuando se sujeta a un

esfuerzo cortante. El esfuerzo cortante, tambin llamado fuerza de cizallamiento, es

aquella fuerza que se aplica tangencialmente a un rea y que provoca deformaciones en

los cuerpos. Se distingue de la presin en que esta ltima es la fuerza aplicada

perpendicularmente a un rea, provocando compresin.

ESFUERZO CORTANTE

A

F

PRESIN

A

FP



rea A

Fuerza F

Presin P

cortante Esfuerzo

2.2.1. Viscosidad de los Fluidos

2.2.1.1. La ley de Newton y la viscosidad

Cuando un fluido fluye a travs de un canal cerrado, esto es, una tubera o entre dos

placas planas, se representan dos tipos de flujo, dependiendo de la velocidad de dicho

fluido. A velocidades bajas, el fluido tiende a fluir sin mezclado lateral y las capas

adyacentes se resbalan unas sobre las otras como los naipes de una baraja. En este caso

no hay corrientes cruzadas perpendiculares a la direccin del flujo, ni tampoco

remolinos de fluido. A este rgimen o tipo de flujo se le llama flujo laminar. A

velocidades ms altas se forman remolinos, lo que conduce a un mezclado lateral. Esto

se llama flujo turbulento. En esta seccin nos limitaremos a estudiar el flujo laminar.

Con respecto a la viscosidad, un fluido puede diferenciarse de un slido por su

comportamiento cuando se somete a un esfuerzo (fuerza por unidad de rea) o fuerza

aplicada. Un slido elstico se deforma en una magnitud proporcional similar al

esfuerzo aplicado. Sin embargo, cuando un fluido se somete a un esfuerzo aplicado

similar contina deformndose, esto es, fluye a una velocidad que aumenta con el

esfuerzo creciente. Un fluido exhibe resistencia a este esfuerzo. La viscosidad es la

propiedad de un fluido que da lugar a fuerzas que se oponen al movimiento relativo de

capas adyacentes en el fluido. Estas fuerzas viscosas se originan de las que existen entre

las molculas del fluido y son de carcter similar a las fuerzas cortantes de los slidos

(Geankoplis, 1998).

Cuando se aplica un esfuerzo cortante sobre un fluido ste se deforma y fluye. La

resistencia a la deformacin ofrecida por los fluidos recibe el nombre de viscosidad, la

cual se define mediante la ley de Newton:

dy

d zyz

(2.2.1)

Donde

distancia

Velocidad

velocidadde Gradiente

ML fluido del absoluta Viscosidad

1-

1-1

d

dy

d



Figura 2.2.1: Esfuerzo cortante en un fluido entre placas paralelas

1) Viscosidad La unidad de viscosidad en el Sistema Internacional es el kg/(m.s), pero es ms

frecuente su medicin en centipoise. Un poise equivale a 1 g/cm-s, y 1 centipoise = 1cp

= 0,01 poise. La viscosidad indica la facilidad con que un fluido fluye cuando actan fuerzas externas

sobre l. Tambin se le considera como una conductividad de momento, anloga, a la

conductividad de calor o al coeficiente de difusin. En flujo de fluidos recibe el nombre

de momento (en latin momentum, que es el producto de la masa por la velocidad).

mmomentum

Ejemplo 2.2.1: Clculo del esfuerzo cortante en un lquido.

Con respecto a la figura 2.2.1, la distancia entre las placas es y = 0,5 cm; v = 10 cm/s y el fluido es alcohol etlico a 273 K, cuya viscosidad es 1,77 cp (0,0177 g/cm. s).

a) Calcule el esfuerzo cortante yz y el gradiente de velocidad o velocidad cortante

dyd en unidades cgs.

b) Repita en lb fuerza, s y pies (unidades del sistema ingls). c) Repita esto en unidades SI.

Solucin: Integrando la ecuacin (2.2.1). Usando este mtodo, reordenando esta

ecuacin, llamando a la placa inferior punto 1 e integrando da:

0

10

5,0

0

2

1

2

1

zy

yyz ddy

22

2

12

21

354,0/

354,0

05,0

/0100177,0

cm

dina

cm

scmg

cm

scm

scm

g

yy

yz

yz

yz

1 0,20)05,0(

/)010(

s

cm

scm

ydy

d zz



2) Viscosidad cinemtica

Se define por:

(2.2.2)

densidad

L cinemtica Viscosidad 12

La unidad en el sistema cgs para la viscosidad cinemtica es el stoke, que es igual a

1cm2/s.

Medicin de la viscosidad con viscosmetros rotacionales

Uno de los viscosmetros ms usados es el rotacional. Como se aprecia en el dibujo, el

cilindro interior rota dentro del lquido a ciertas revoluciones por minuto (RPM); a este

movimiento se opone una fuerza que acta sobre las paredes del cilindro.

2.2.2. Tipos de Flujo de fluidos y el Nmero de Reynolds

Perfiles de velocidad

El movimiento de los fluidos a travs de tuberas o de equipos de proceso tales como

torres de destilacin, cambiadores de calor, torres de absorcin, etc., se encuentran

constantemente en la prctica de la ingeniera.

Dependiendo de las condiciones, un fluido se puede mover en dos tipos de patrones de

flujo, llamados laminar o turbulento. La distincin entre estos patrones de flujo fue

indicada por primera vez por Osborne Reynolds.

Flujo Laminar

Flujo Turbulento

A velocidades bajas el fluido tiende a fluir sin mezclado lateral, resbalando las capas

adyacentes unas sobre otras como los naipes de una baraja. En este caso no hay

corrientes cruzadas perpendicularmente a la direccin de flujo ni tampoco remolinos. A

este rgimen o tipo de flujo se le llama flujo laminar.

V V



FIGURA 2.2.2: Experimento de Reynolds para diferentes tipos de flujo: a) laminar, b) turbulento

FUENTE: (Geankoplis, 1998)

A velocidades ms altas se forman remolinos, lo que provoca un mezclado lateral; ste

recibe el nombre de flujo turbulento. La velocidad a la cual ocurre el cambio de laminar

a turbulento recibe el nombre de velocidad crtica.

Nmero de Reynolds

Reynolds mostr que el tipo de flujo en una tubera depende del dimetro de la misma,

as como de la velocidad, densidad y viscosidad del fluido. El valor numrico de la combinacin de estas cuatro variables se conoce como nmero de Reynolds, y se

considera que es la relacin de las fuerzas dinmicas del flujo al esfuerzo cortante

debido a la viscosidad. El nmero de Reynolds es:

DDN Re (2.2.3)

Para los propsitos ingenieriles se considera que el flujo en tuberas es laminar si el

Reynolds es menor de 2100 y turbulento si es mayor de 10000. Entre estos dos valores

se encuentra la zona de transicin en donde existe el proceso de cambio de flujo laminar

a turbulento.

En un fluido en movimiento se consideran lneas de corriente a las lneas orientadas

segn la velocidad del lquido y que gozan de la propiedad de no ser atravesadas por

partculas del fluido.

Cuando un lquido fluye se efecta un movimiento relativo entre sus partculas,

resultando una friccin o rozamiento entre las mismas. Existen dos tipos de friccin:

Friccin interna. Tambin llamada viscosidad. Es la resistencia a la deformacin, que presentan todos los fluidos.



Friccin externa. Es la resistencia al deslizamiento de los fluidos a lo largo de superficies slidas.

Cuando un lquido escurre a lo largo de una superficie slida, existe siempre una capa

adherida a esta superficie que no se pone en movimiento.

Se debe entender que la friccin externa es una consecuencia de la accin de freno

ejercida por esa capa estacionaria sobre las dems partculas en movimiento.

Un ejemplo importante es lo que ocurre con el flujo de un lquido en un tubo: junto a las

paredes existe una pelcula del lquido que no participa del movimiento, siendo la

velocidad igual a cero. En la parte central se encuentra la velocidad mxima.

A consecuencia de la friccin interna y externa el flujo de un lquido en una tubera se

verifica solamente con la prdida de energa.

Distribucin de velocidad en rgimen laminar

El perfil de velocidad, es la direccin de la corriente, sobre la seccin transversal de un

fluido que est circulando por el interior de una tubera no es uniforme, este perfil se

calcula dependiendo de las caractersticas geomtricas de la tubera por la que ste est

fluyendo

El perfil de velocidad que presenta un fluido newtoniano, circulando en rgimen

laminar por una conduccin de seccin transversal es a partir de:



0r 0Rr

z 0z

max,zz

s

A1p

2p

2rA

LrS 2

dr

d z

Igualando fuerzas

SApp )( 21 (1)

Reemplazando en (1) y simplificando se tiene:

dr

dLrpp z

2)( 21 ,

L

rpp

dr

d z

2

)( 21 (2)

despejando d z

drL

rppd z

2

)( 21

(3)

Integrando

CL

rppz

4

)( 221 (4)

Para calcular la constante C, se tienen las siguientes condiciones de contorno

CC: r = R z = 0 (5)

(5) reemplazamos en (4)

L

RppCC

L

Rpp

4

)(

4

)(0

221

221 (6)

(6) en (4)



L

Rpp

L

rppz

4

)(

4

)( 2212

21 (7)

Factorizando

22214

)(rR

L

ppz

(8)

O tambin

2221 1

4

)(

R

r

L

Rppz

(2.2.4)

Donde las ecuaciones (7), (8) y (2.13) representan el perfil de velocidad de un fluido

newtoniano que circula en rgimen flujo laminar a travs de un conducto cilndrico.

Donde:

P1 es la presin que recibe el fluido en la entrada de la tubera

P2 es la presin con la que el fluido sale de la tubera.

R es el radio interno de la tubera

r es el radio de la tubera en cualquier posicin

L es la longitud de la tubera

La ecuacin (2.2.4) indica que el perfil de velocidad es parablico

La velocidad mxima se da en el centro de la tubera (para r = 0), donde el efecto del

esfuerzo cortante es mnimo, esto es:

L

RPPrzmxz

4

)( 2210,

(2.2.5)

Sustituyendo la ecuacin (2.2.5) en la (2.2.4), se obtiene una expresin diferente para la

velocidad puntual:

2

max, 1R

rzz (2.2.6)

El caudal o flujo volumtrico con el que el fluido circula por la tubera se obtiene a

partir de la siguiente sustitucin

dAQ z (9)

Como A=r2, diferenciando dA = 2rdr (10)

Reemplazando las expresiones (7) y (10) en (9) se tiene:



Rrdr

L

Rpp

L

rppQ

0

221

221 2

4

)(

4

)(

RrdrrR

L

ppQ

0

2221 )(4

)(2

, integrando

424

)(2

4421 RR

L

ppQ

, simplificando y sacando factor comn

4

1

4

)(2

421

L

RppQ

, simplificando

L

RppQ

8

)( 421 (2.2.7)

Esta expresin es la denominada ecuacin de Hagen-Poiseuille

La velocidad media se obtiene mediante la integracin del flujo volumtrico y del rea

de flujo de todos los puntos o filamentos de corriente:

2

421

,

8

)(

R

L

Rpp

dA

dAzmedz

, simplificando

28

)( max,2

21,

z

medzL

Rpp

(2.2.8)

2.2.3. Balance de Cantidad de Momento en el recinto y perfil de velocidades en flujo laminar

Para este desarrollo, realizamos un balance de momento lineal del recinto y despus,

mediante la ecuacin de definicin de la viscosidad, se obtendr una expresin para la

distribucin de velocidades dentro de los lmites del recinto, as como para la cada de

presin. Las ecuaciones se deducen para sistemas de flujo de geometra simple en flujo

laminar y en estado estacionario. En muchos problemas de ingeniera no se necesita

conocer el perfil de velocidad completo, pero s es necesario conocer la velocidad

mxima, la velocidad promedio o el esfuerzo cortante sobre una superficie.

2.2.3.1. Balance de cantidad de Movimiento lineal en el recinto de una tubera

Los ingenieros suelen tener que estudiar el flujo de fluidos de un dueto o tubera

circular. En la figura se muestra la seccin horizontal de una tubera por la que fluye un

lquido newtoniano incompresible, con flujo laminar de estado estacionario

monodimensional. El flujo es totalmente desarrollado, esto es, no est influido por los

efectos de entrada y el perfil de velocidades no vara a lo largo del eje del flujo en la

direccin z.



Ecuacin de balance de Cantidad de Movimiento (en estado estacionario)

0

sistema

sobreactan

que Fuerzas

de Suma

movimiento

de cantidad

de salida

de Velocidad

movimiento

de cantidad

de entrada

de Velocidad

(2.2.9)

Al sistema puede entrar cantidad de movimiento por transporte (newtoniana o no

newtoniana), tambin puede entrar cantidad de movimiento global del fluido (transporte

convectivo). Las fuerzas necesarias son las Fuerzas de Presin que actan sobre la

superficie y las Fuerzas de Gravedad que actan sobre el volumen

Procedimiento general

1) Se escribe un balance de cantidad de movimiento, de la forma de la Ec. 2.2.9 para una envoltura de espesor finito; despus

2) Se hace tender hacia cero este espesor, utilizando la definicin matemtica de la primera derivada con el fin de obtener la correspondiente ecuacin diferencial

que describe la distribucin de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.

3) Se introduce entonces la adecuada expresin newtoniana (o no newtoniana) de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, con el fin de obtener una

ecuacin diferencial para la distribucin de velocidad.

4) Mediante la integracin de estas dos ecuaciones diferenciales se obtienen, respectivamente, las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de

movimiento y de velocidad en el sistema. Esta informacin puede utilizarse

despus para calcular muchas otras magnitudes, tales como velocidad media,

velocidad, mxima, velocidad volumtrica de flujo, perdida de presin, y fuerzas

que actan sobre las superficies lmite.

5) En las integraciones que hemos mencionado aparecen varias constantes de integracin que se evalan utilizando las condiciones lmite, es decir,

determinaciones de hechos fsicos para valores concretos de la variable

independiente.

z

rR

z

r

2 ( )rz rr z

2 ( )rz r rr z

rz

L

r

z

zzrr )(22

zzzrr )(22

0zz0

P LP

Balance de cantidad de movimiento en estado estacionario

zzrrz rrzr )(2)2( 2 - zzzrrrz rrzr )(2)2( 2 +0)2()2( 0 Lprrprr (1)



Ordenando y cambiando de signo se tiene

)(2)()(2)()(2 022 Lzzzzzrrzrrrz pprrrrrrz

Dividiendo esta ecuacin entre el elemento de volumen: zrr 2

z

pp

zrr

rrL

zzzzzrrzrrrz

)()()()()( 022

(2)

Considerando la constante y zzzzz

, con esta consideracin la ecuacin (2)

queda:

z

pp

rr

rrLrrzrrrz

)()()( 0

z

pp

rr

rrLrrzrrrz

)()()( 0 (3)

Tomando lmites cuando 0r y 0z se tiene:

dz

dpr

dr

d

rrz )(

1 (4)

Resolviendo el lado derecho de la ec. (4) por separado

LAppdzAdpAdz

dpL

Lp

pL )( 000

Despejando A se tiene:

L

pp

L

ppA LL

)()( 00

(5)

Reemplazando la ecuacin (5) en la ecuacin (4):

L

ppr

dr

d

r

Lrz

)()(

1 0 (6)

Ordenando se tiene:

rL

ppr

dr

d Lrz

)()( 0 (7)

Integrando la ecuacin (7)

1

20

2

)(c

L

rppr Lrz

(8)

La ecuacin (8) se resuelve con la siguiente condicin lmite:

CL 1: Para 0r ; 0rz (9)



02

)0()(00 1

0

cL

pp L

01 c (10)

Entonces la ecuacin (8) queda:

L

rpp Lrz

2

)( 0 (11)

Para fluidos newtonianos se tiene la siguiente expresin:

dr

d zrz

, sustituyendo esta expresin en la ecuacin (11) se obtiene:

L

rpp

dr

d Lz

2

)( 0

, operando

L

rpp

dr

d Lz

2

)( 0 , separando variables

drL

rppd Lz

2

)( 0 , integrando esta ecuacin

2

20

4

)(c

L

rpp Lz

(12)

La 2c se resuelve con la siguiente condicin lmite:

CL 2: Para r R ; 0z (13)

Reemplazamos (13) en (12) y operando se tiene:

L

Rppc L

4

)( 202 (14)

(14) reemplazamos en (12)

L

Rpp

L

rpp LLz

4

)(

4

)( 202

0 (15)

220 14

)(

R

r

L

Rpp Lz

(2.2.11)

Este resultado indica que la distribucin de velocidades es de tipo parablico, tal como

muestra la figura y es anlogo a la ecuacin (2.2.4)



PRCTICA 02: DINMICA DE FLUIDOS

1) Por una tubera de 10 cm de dimetro interno fluye agua a una ve1ocidad de 5 m/s a 20C. Determine si el flujo es laminar o turbulento.

2) Demostrar que la distribucin de velocidad para un flujo viscoso entre dos placas

fijas est dado por:

h

y

h

y

L

hpp Lx 1

2

)( 20

3) Determinar el radio de un capilar mediante medidas de flujo. Uno de los mtodos para determinar el radio de un tubo capilar consiste en medir la velocidad de flujo

de un fluido viscoso a travs del tubo.

Hallar el radio de un capilar a partir de los siguientes datos:

Longitud del tubo capilar = 50,02 cm.

Viscosidad cinemtica del fluido = 54,03 10

2 /m s

Cada de presin a travs del tubo capilar (horizontal) = 4,766 atm. = 54,829 10

2/newtons m

Velocidad de flujo msico a travs del tubo capilar = 32,997 10 /kg s

4) Anlisis de un medidor de flujo capilar. Determinar la velocidad de flujo msico (kg/h) en el medidor de flujo capilar que se muestra. El fluido que circula por el

tubo capilar es agua a 20 C, y como el fluido manomtrico se utiliza Tetracloruro

de Carbono (CCl4), cuya densidad es de 1,594 g/cm3.

El dimetro del capilar es 0,025 cm. (obsrvese que para calcular la velocidad de

flujo basta medir H y L; es decir que no hace falta medir Por qu?

Estatatica y Dinámica de Fluidos (2)

Documents

Transcript of Estatatica y Dinámica de Fluidos (2)