Dinámica de Fluidos Perfectos

DINÁMICA DE FLUIDOS PERFECTOSMECÁNICA DE FLUIDOS

ING. LOAYZA RIVAS, CARLOS ADOLFO Página 1


.


FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CABALLERO FLORES, ELAR ISMAEL. FLORIAN MOSTACERO, DAVID ISMAEL. RÍOS RUIZ, JUAN MARCOS. RODRÍGUEZ ARTEAGA, VANESSA ABIGAIL. TIRADO RAURAICO, CARLOS ALBERTO. ZAVALETA DE LA CRUZ, LUIS DAVID.


INTRODUCCIÓN

Existen varios tipos de Fluidos que estudia la rama de Mecánica de Fluidos y uno de ellos es la dinámica de fluidos perfectos que son conocidos como fluidos ideales. Tiene una cierta característica, la cual es que la viscosidad es cero, es decir, que no hay fricción. Una parte muy importante en el estudio de la Dinámica de Fluidos Perfectos es la utilización de sus propiedades y leyes.

En este presente informe se explicará la Dinámica de Fluidos Perfectos. Este fluido esta inicialmente en reposo y no puede ser obligado a rotar porque es un fluido irrotacional, es decir, no se puede ejercer ningún torque ni reflujos.



OBEJETIVO GENERAL: Conocer la importancia del estudio de la Dinámica de Fluidos Perfectos aplicando la

Ecuación de Bernoulli.

OBEJETIVOS SECUNDARIOS: Definir y señalar las propiedades de Fluidos Perfectos diferenciándolo del otro fluido

existente.

Demostrar la Ecuación de Euler.

Deducir Vectorial y Escalarmente la Ecuación de Bernoulli aplicadas en la Dinámica de Fluidos Perfectos.

Aplicar las Ecuaciones demostradas en los ejercicios de aplicación.



DINÁMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTOS

1. FLUIDOS IDEALES

Llamamos fluido ideal a aquel que fluye sin dificultad alguna, aquel cuya

viscosidad vale cero. Tal fluido no existe pero en ciertas circunstancias en las

que resulta una razonable aproximación a la realidad se pueden aplicar algunas

de sus propiedades y leyes de movimiento a los fluidos de verdad.

Sus propiedades:

Viscosidad cero

Son incompresibles (su densidad es constante)

El flujo es laminar (se desplaza ordenadamente sin hacer remolinos, ni reflujos)

La velocidad de todas las moléculas del fluido en una sección transversal de

tubería es la misma.



2. FLUIDOS REALES.

Los fluidos reales se distinguen de los ideales en que poseen una cierta

viscosidad, es decir, un rozamiento interior que origina tensiones tangenciales

entre los filetes fluidos.

Cuando un elemento de fluido se mueve respecto a los elementos contiguos,

este movimiento es obstaculizado por la existencia de esfuerzos tangenciales o

cortantes que tienden a disminuir la velocidad relativa del elemento considerado

con respecto a los elementos contiguos. Entonces se dice que el fluido es

viscoso, y el fenómeno recibe el nombre de viscosidad.

3. FLUJO LAMINAR.

Se llama flujo laminar o corriente laminar, al movimiento de un fluido cuando

éste es ordenado, estratificado, suave. En un flujo laminar el fluido se mueve



en láminas paralelas sin entremezclarse y cada partícula de fluido sigue una

trayectoria suave, llamada línea de corriente. En flujos laminares el

mecanismo de transporte lateral es exclusivamente molecular.

El flujo laminar es típico de fluidos a velocidades bajas o viscosidades altas,

mientras fluidos de viscosidad baja, velocidad alta o grandes caudales suelen

ser turbulentos.

4. FLUJO TURBULENTO.

se llama flujo turbulento o corriente turbulenta al movimiento de un fluido que se

da en forma caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las

trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos

aperiódicos, como por ejemplo el agua en un canal de gran pendiente. Debido a

esto, la trayectoria de una partícula se puede predecir hasta una cierta escala, a

partir de la cual la trayectoria de la misma es impredecible, más

precisamente caótica.

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTOS

Estudiaremos el elemento diferencial ortoédrico, situado en el interior de la masa de

un fluido en movimiento, sometido a las presiones que sobre sus caras ejerce el resto

del fluido y a la acción de fuerzas exteriores o de masa.



Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:

p+∂ p∂ x

dx;

p+ ∂ p∂ y

dy;

p+ ∂ p∂ z

dz

Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero.

a⃗ = Representa la aceleración debida a una fuerza externa que actúa sobre el elemento de fluido. Normalmente, a⃗=−g k⃗

a⃗=¿ ax i⃗+a y j⃗+az k⃗

Donde:

ax, a y y az son las componentes de la aceleración debida a una fuerza externa.

Siendo “m” la masa de una partícula en movimiento y su aceleración interna y F⃗ la

fuerza que actúa, se puede escribir:

m A⃗=F⃗

A=A X i+AY j+ A z k



m Ax i⃗+m AY j⃗+m AZ k⃗=¿ F x i⃗+FY j⃗+FZ k⃗

Con relación a cada uno de los ejes se presentan las siguientes ecuaciones generales,

cuando existen movimientos relativos:

m Ax = Fx …. (1)

m Ay = Fy….. (2)

m Az = Fz ….. (3)

Desarrollo de (1):

∑ F⃗ x= m. A⃗x

pdydz−( p+ ∂ p∂ x

dx)dydz+m. ax=m Ax

Pero: m= masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico m=ρd ∀

pdydz−( p+ ∂ p∂ x

dx)dydz+ax ρd ∀=ρd ∀ Ax

pdydz−pdydz−∂ p∂ x

dxdydz+ax ρdxdydz−ρdxdydz A x=0

∂ p∂ x

dxdydz=ax ρdxdydz−ρdxdydz A x

∂ p∂ x

=ρ ( ax−A x) …. ( I )

Análogamente, desarrollando (2)y(3), resulta:

∂ p∂ y

=ρ ( ay−A y ) ……… (II )



∂ p∂ z

=ρ ( az−A z ) ……… ( III )

Sumando miembro a miembro (I), (II), y (III), vectorialmente:

∂ p∂ x

i→

+ ∂ p∂ y

j→

+ ∂ p∂ z

z→

=ρ (ax−A x ) i→

+ρ (a y−A y) j→

+ ρ(az−A z) k→

∇→

p=ρ ( a→

−A→ )…….(IV )

La expresión (IV), constituye la Ecuación Fundamental Vectorial de la Dinámica del

Fluido Perfecto.

Donde: p = presión media que actúa sobre las caras del volumen

diferencial ortoédrico más próximo al origen de

coordenadas.

= densidad del fluido

a⃗ = Representa la aceleración debida a una fuerza externa que

actúa sobre el elemento de fluido. Normalmente, a⃗=−g k⃗

= Aceleración (interna) de la partícula fluida.

Si A→

=0 , entonces ;∇→

p=ρ a→

De la expresión (IV), despejando, resulta: A→

=1ρ

V→

ρ+a→

……(5)

Se conoce que:

(6) en (5) A→

=∂V→

∂ t→ +1

2∇→

(V 2 )+(∇→ xV→ ) xV

→

……(6)

Ecuación vectorial de la Dinámica del fluido perfecto o Ecuación de Euler:

∂V→

∂ t→ + 1

2∇→

( V 2 )+(∇→ xV→ ) xV

→

=−1ρ∇→

ρ+a→

………(M )



…

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Para el caso de movimiento permanente del fluido perfecto, sometido exclusivamente

al campo gravitacional.

Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli, resulta de la aplicación de la

Ecuación de Euler, a los fluidos sujetos a la acción de la gravedad (fluidos pesados),

en movimiento permanente.

En estas condiciones, de la Ecuación ( ), o Ecuación de Euler:

- ; (Movimiento permanente; las características hidráulicas en un punto se

mantienen constantes).

- Como está sometido sólo a la acción del campo gravitacional, en estas condiciones:

a⃗=ax i+a y j+az k

Donde: ax = 0

a y= 0

az = -g

Luego:

a⃗=−g k⃗

Y que reemplazándolo en la ecuación anterior resulta:



Proyectamos la expresión vectorial en la dirección (vector direccional de la

partícula):

CASOS:

Movimiento Irrotacional:

Luego:

Cálculo de:

Reemplazando (A), (B) y (C) en ( )



12 (∂ V 2

∂ xdx+ ∂V 2

∂ ydy ∂ V 2

∂ zdz)=−1

ρ (∂ p∂ x

dx+ ∂ p∂ y

dy ∂ p∂ z

dz )−gdz

Dividiendo entre “g”:

ECUACIÓN DE BERNOULLI

∆ E=∑FNC

W

∑FNC

W =F1∆ s1 cos (0 )+F2∆ s2 cos (180 )

∑FNC

W =(P1−P2)∆ V

E=K+U

∆ E=E21−E1



∆ E=( 12

ρV 22+ρg h2−

12

ρ V 12−ρg h1)∆ V

∆ E=∑FNC

W

∆ E=12

ρ V 22+ ρgh2=

12

ρV 12+ρg h1

P+ 12

ρ V 2=cte

Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Irrotacional:En movimiento permanente, sometido exclusivamente a la acción del campo

gravitacional.

= Cte. (si no habría que expresarlo en función de “”)

Ecuación de Bernoulli o Teorema de Bernoulli, o Ecuación de la Energía para

un fluido incompresible, perfecto, cuyo desarrollo en dos secciones de una

corriente líquida será:

“A lo largo de cualquier línea de corriente, la suma de las alturas cinéticas (V2/2g), piezométricas (p/) y potencial (z) es constante”

Ecuación diferencial de Bernoulli, se utiliza tanto para líquidos y gases.



SIGNIFICADO A CADA UNO DE LOS TERMINOS DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

El teorema de Bernoulli es deducida a partir de la conservación de la energía mecánica, y a partir de su deducción nos encontramos con términos que naturalmente representan la capacidad de producir trabajo.

Estos tres términos se consideran como energía utilizable, donde:

Z : energía potencial del fluido por unidad de peso medida a partir de un nivel arbitrario llamado plano de referencia.

: energía cinética del fluido por unidad de peso.

: energía de presión del fluido por unidad de peso.



Primer Término: (z)

Un pequeño trabajo que realiza una partícula de fluido es la fuerza aplicada a través

de una corta distancia, donde todo ello al acumularse y luego al integrarlo nos dará

como resultado una energía potencial por unidad de peso. Cuando W = 1, ya sea un

kilogramo o una libra; la energía de posición del cuerpo es “z”.

“z” representa entonces la energía de posición de un kilogramo o una libra de agua.

Ep = z = Energía potencial o de posición por unidad de peso.

Segundo Término: ( )



Supongamos un cuerpo cuyo peso es “W” y de masa “m”, animado de una velocidad

“V”, que desliza sin frotamiento sobre un plano. Por el principio de inercia sabemos

que si ninguna fuerza interviene, el cuerpo continúa indefinidamente su movimiento;

entonces la energía cinética, o sea la capacidad que tiene el cuerpo para dar trabajo,

estará medida por la relación:

Ec=m V 2

2

Como m = W/g; sustituyendo en la fórmula anterior:

Ec=Wg

V 2

2

Cuando W = 1 (kg o lb) la energía cinética es:

Ec=V 2

2g

Esto nos dice que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la

energía cinética que posee cada kilogramo o libra de líquido, por esto se le llama

carga de velocidad.

Tercer Término: ( )



Imaginemos un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y

conteniendo una cierta cantidad de agua.

La llave “A” está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza “F” que ejerce

compresión sobre el líquido, por lo que está sometido a una presión que llamaremos

“p” y que es igual a: p = F/S.

Si se deja actuar a la fuerza “F” indefinidamente, el líquido será sometido a la presión

“p”, si abrimos la llave “A”, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo

que significa que el líquido tiene una cierta energía, que es lo que le da el trabajo

producido por “F”. Llamando “L” a la distancia que recorre el émbolo para expulsar el

agua del cilindro, la energía que pueda poseer el líquido por la acción de “F” vale:

Ep = F L ; pero F = p S

Ep = p S L ; pero S L =

Ep = p

Pero también:

, luego:

Ep = ; cuando W = 1 (kg o lb)



Ep=pγ

Para tener una idea más concreta

En nuestra realidad utilizamos tanques para almacenar agua, estando este ubicado a una cierta altura de nuestra vivienda, cuando este tanque está a una determinada elevación el fluido experimenta una energía, llamada energía potencial. Si antes de abrir la llave de un caño o de una manguera y le ponemos un manómetro, tendremos un presión que naturalmente es producida por el fluido en este caso el agua, ahora si abrimos la llave el líquido será evacuado instantáneamente, si vemos en la figura el chorro de agua que sale por la manguera es la energía cinética

EJERCICIOS



1) Un tubo horizontal como se ilustra en la figura y manómetro conocido como tubo de venturi puede utilizarse para medir la presión en un fluido incompresible. Determinar:a) La velocidad del flujo en el punto 2. Si se conoce la diferencia de presiones.

ECUACIÓN DE BERNOULLI.

P1+12

ρV 12+ ρgh

1=¿ P2+12 ρ V 2

2+ρg h2¿

A partir de la ecuación de continuidad.- Despejamos V1

V 1 A1=V 2 A2 V 1=V 2 A2

A1

- Reemplazamos ecuación de continuidad en la de Bernoulli.

P1+12

ρ(V 2 A2A1 )

2

=P2+12

ρV 22 ( P1−P2 )=12 ρV 2

2−12

ρ( V 2 A2A1 )

2

- Operamos la ecuación para despejar V 2

(P¿¿1−P2)=12

ρ V 22[1−( A2

2

A12 ) ]¿

P1P2

1−( A2A1 )

2=12

ρ V 22

2ρ ( P1−P2

1−( A2

A1)2 )=V 2

2



V 2=√ 2ρ [ P1−P2

1−( A2

A1 )2 ]

2) Un tambor de altura h y área A, parado y abierto por la tapa superior (es

decir, en contacto con la atmósfera), se encuentra lleno de agua. Asuma

que en la parte inferior del manto se abre un tapón de sección transversal

a. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse el tambor? P=P0

Aplicamos ecuación de bernoulli..

P1+ρg h1+12

ρ v12=P2+ρg h2+

12

ρ v22

Reemplazando valores:

P0+ρg h+ 12

ρ (012)=P0+ρg (0 )+ 12

ρ v22

Simplificando:

gh=12

v22 v2=√2g h

Teorema de torricelli.

v=√2gh Velocidad encaidalibre .

Para un instante t la velocidad será:

v=√2gz



Supongamos ahora que en cierto instante el fluido dentro del tambor está a una

altura z.

El volumen de fluido que emerge en un tiempo es:

∀=a∗v∗t ∀=a∗et

∗t ∀=a∗e…… volumen.

Igualamos el volumen en el punto 1 el volumen del punto 2 .

Adz=−a∗v∗dt −dz=a∗v∗dtA

Reemplazando v por la velocidad de caída libre tenemos:

−dz= aA √2 gzdt

Ordenando la expresión tenemos:−dz√z

= aA √2g dt

Integramos la ecuación:

−∫h

0 dz√z

= aA √2g∫

0

t

dt

Resolvemos la integral:

−2√zh0= a

A √2g∗t0t 0−(−2√h )= a

A √2g∗t

Despejamos el tiempo “t”:

T=2 Aa √ h

2g

Problema 2: Considere un sifón consistente de un tubo con un diámetro constante de 10cm, con el cual se extrae agua de una represa. Con las alturas mostradas en la figura, evalúe el flujo que pasa por el tubo.



Nota: Sifón es un tubo encorvado que sirve para sacar líquidos del recipiente que los contiene, haciéndolos pasar por un punto superior a su nivel

Solución: Apliquemos la ecuación de Bernoulli en los puntos 1 y 2. Se tiene que:

Donde v es la velocidad del agua al interior del tubo. Como el fluido es incompresible y el diámetro del tubo no cambia, la velocidad para un fluido ideal al interior del tubo en todos los lugares es la misma. Para la velocidad v se obtiene:

El volumen de agua que pasa por el tubo en un tiempo dt es: dV = Av dt

Donde A es la sección transversal del tubo. Sustituyendo los valores del enunciado se obtiene

¿Cuál es la presión en el punto 3 (al interior del tubo, a la altura del nivel de agua del tanque)?Para responder esta interrogante aplicamos la ecuación de Bernoulli en los puntos 2 y 3.Tenemos



Acá P3 es la presión del agua en el punto 3. Se obtiene:

Una columna de agua de 10 metros corresponde a aproximadamente la presión atmosférica P0. Por lo tanto:

Análogamente, para la presión en el punto 4 se obtiene



CONCLUSIONES:

Se dio la definición y diferencias entre flujo laminar y flujo turbulento.

Usando las propiedades y leyes llegamos a deducir la Ecuación de

Bernoulli.

Llegamos a demostrar Vectorial y Escalarmente la Ecuación de Bernoulli a

partir de la Ecuación de Euler.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

Hidráulica general de Sotelo

Irving. Shames

Mecánica de fluidos I

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r4996.PDF

http://www.ugich.com.ar/descargas/AECID%20Curso1/CURSO-

HIDRAULICA-2.pdf


http://www.ugich.com.ar/descargas/AECID%20Curso1/CURSO-HIDRAULICA-2.pdf

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http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r4996.PDF


ANEXOS:


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