Taller 4. Ejercicios Estadigrafos de posicion

1. El precio de 100 articulos es $185,7 en promedio, los articulos se dividen en dos grupos de precios promedios $175,8 y $197,8. Cuantos articulos hay en cada grupo?.

=

=1 175.8 + 2 197.8

100

=1

= 185.70

1 175.8 + 2 197.8 = 18570 (1)

Y para la segunda ecuacion

1 + 2 = 100 (2) Aplicando sustitucion y reemplazando en (1)

1 175.8 + (100 1) 197.8 = 18570 1(175.8 197.8) = 18570 19780

1 =1210

22= 55

Sustituyendo en (2) resulta 2 = 45

2. Dada la siguiente tabla

Salario diario (miles $) No de obreros

03,0 10

3,04,0 16

4,05,0 35

5,06,0 26

6,07,0 13

Total N 100

Intervalos

+1

Marca de clase

Frec. Absoluta

Frec. Abs.Acum

03,0 1,5 10 10

3,04,0 3,5 16 26

4,05,0 4,5 35 61

5,06,0 5,5 26 87

6,07,0 6,5 13 100

Total 100

a. Cual es el salario maximo que ganan diariamente el 30% de obreros con sueldos mas bajos?

El percentil 30 corresponde al 30% de obreros con salarios diarios mas bajos y se

Intervalo critico donde

Ocurre el percentil 30

encuentra en el intervalo 3. Definamos la formula para calcular los percentiles:

= + (

100 1

)

Definamos las variables de esta formula: Es el percentil que se quiere calcular Es el limite inferior del interval critico es el tamao del intervalo. Es igual al Limite superior menos el limite

inferior 1 Es la frecuencia absoluta acumulada de todos los intervalos anteriores (sin

incluir) el intervalo critic Es la frecuencia absoluta del interval critic Es el numero total de valores en la distribucion

Para calcular el percentil 30, calculemos primero el factor

100=

30100

100= 30 . En la

columna busque el valor que supere 30. En este caso es el intervalo 3. Para este intervalo 1 =26, = 35, = 1, = 4 , y reemplazamos en la formula

30 = 4 + (30 26

35)

30 = 4 + (4

35)

30 = 4 + (0.114) 30 = 4.114

La interpretacion es: 30% gana por lo menos $4114 por dia

b. Que % de obreros ganan mas de $5.500?

Intervalos

+1

Marca de clase

Frec. Absoluta

Frec. Abs.Acum

Frec. Rel.Acum

03,0 1,5 10 10 10

3,04,0 3,5 16 26 26

4,05,0 4,5 35 61 61

5,06,0 5,5 26 87 87

6,07,0 6,5 13 100 100

Total 100

Para determinar a que rango percentil dentro de una distribucion pertenece un valor dado use la siguiente formula:

= 1 + (

)

100

Intervalo critico donde

Ocurre el valor $5500

Definamos las variables de esta formula: Es el rango percentil que se quiere calcular 1 Es la frecuencia relativa acumulada de todos los intervalos anteriores (sin

incluir) el intervalo critico Es el valor dado Es el limite inferior del interval critico es el tamao del intervalo. Es igual al Limite superior menos el limite

inferior Es la frecuencia absoluta del interval critico Es el numero total de valores en la distribucion Para calcular a que rango percentil pertenece el valor $5500, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 4. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula. Para este intervalo = 5,5 (cualquier valor, en este caso coincide con la marca de clase), 1 = 61, = 26, = 1, = 5,0 .

= 61 + (5,5 5,0

1)

26 100

100

= 61 + (0,5)26 = 61 + 13

= 74

La interpretacion es: 74% gana por lo menos $5500 por dia y el complemento 26% ganan mas de $5500 por dia

3. En una poblacion hay 350 individuos con valores en la primera decil , cuantos individuos de la poblacion entre percentil 18 y la percentil 45? Si 350 individuos equivale al 10% de la muestra, cuantos individuos hay en el 27% (4518) de la muestra. Se resuelve por regla de 3.

=45 18

10 350 = 945

Hay 945 individuos entre percentil 18 y percentil 45

4. Se prueban 2 tratamientos A y B para controlar un virus que ataca la hoja del tabaco. La hoja pierde valor comercial mientras mayor sea el numero de lesiones por hoja producida por el virus. La medicion del numero de lesiones por hoja dio la siguiente tabla de frecuencia:

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5

No. de lesiones hoja Frecuencia A Frecuencia B

0 90 130

1 60 100

2 40 50

3 60 20

4 20 40

5 10 60

Total N 280 400

a. Cual tratamiento es mejor para obtener mas hojas con 0 lesiones?. Para calcular cual tratamiento es mejor definamos la frecuencia relativa de los dos tratamientos para 0 lesiones hoja.

1 = 1

=90

280 100 = 32.14%

1 = 1

=130

400 100 = 32.5%

Conclusion: Para obtener mas hojas con 0 lesiones el tratamiento B es mejor por casi cuatro decimas

b. Calcule medidas estadisticas que le permitan comparar en la mejor forma la efectividad de ambos tratamientos y comentelas.

c. Construya un grafico, que compare adecuadamente la efectividad de los tratamientos A y B.

La grafica corresponde al histograma de la frecuencia relativa del tratamiento A y B.(incluir analisis aqui)

5. La siguiente tabla muestra los tiempos de reaccion (en seg.) de 250 perros sometidos a anestesico inyectado:

Tiempo de reaccion (seg)

Frecuencia

[120170) 20

[170220) 35

[220270) 85

[270320) 50

[320370) 30

[370420) 20

[420470) 10

Total N 250

a. Calcule las medidas estadisticas que representen mejor esta informacion e interpretelas.

=

=20 145 + 35 195 + 85 245 + 50 295 + 30 345 + 20 395 + 10 445

250

=1

= 272

b. A los cuantos seg. reaccionara el 15% de los perros mas sensibles al anestesico?

Intervalos

+1

Marca de clase

Frec. Absoluta

Frec. Abs.Acum

Frec. Rel.Acum

[120170) 145 20 20 8

[170220) 195 35 55 22

[220270) 245 85 140 56

[270320) 295 50 190 76

[320370) 345 30 220 88

[370420) 395 20 240 96

[420470) 445 10 250 100

Total N 250

Para calcular el percentil 15, calculemos primero el factor

100=

15250

100= 37.5 . En la

columna busque el valor que supere 37.5. En este caso es el intervalo 2. Para este intervalo 1 =20, = 35, = 50, = 170 , y reemplazamos en la formula

15 = + (

15 100 1

)

15 = 170 + 50 (37.5 20

35)

15 = 170 + 50 (17.5

35)

15 = 170 + (25) 15 = 195

La interpretacion es: 15% de los perros reaccionan al anestesico en menos de 195 seg

c. Cuantos de los 250 perros reaccionaran despues de 5 minutos?

Para calcular a que rango percentil pertenece el valor 300 seg, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 4. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula

= 1 + (

)

100

Para este intervalo = 300 ocurre en el intervalo critico 4. Para este intervalo 1 = 56 (frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior),

= 50, = 50, = 270 .

= 56 + (300 270

50)

56 100

250

= 56 + (0,6)22.4

= 56 + 13.44

= 69.44

La interpretacion es: 69% de los perros reaccionan al anestesico en menos de 300 seg y por lo tanto 31% reaccionan despues de 5 min, es decir 77 perros.

6. Un grupo de 200 personas viaja en 2 aviones, el primero de ellos lleva a 150 personas. El peso promedio de las 200 personas es de 72,5 Kg. Los del segundo avion pesan en promedio 3,8 Kg. menos que los del primer avion. Cual es el peso promedio de los pasajeros de cada uno de los aviones?.

= 72,5, 2 = 1 3.8

=

=1 150 + 2 50

200=

1 150 + (1 3.8) 50

200

=1

= 72.5

72.5 200 = 1 150 + 1 50 190 14500 + 190 = 1 200

1 =14690

200= 73.45

Conclusion: el peso promedio de los pasajeros del avion 1 es 73.45 Kg y el peso promedio de los pasajeros de avion 2 es 69.65 Kg

7. La renta semanal media de los trabajadores de una fabrica es de $80.000, siendo

$95.000 para los administrativos y de $70.000 para los obreros. Calcule el porcentaje de administrativos y de obreros que tiene la fabrica, si en total suman 120.

=

=1 95 + 2 70

120

=1

= 80

1 95 + 2 70 = 9600 (1)

Y para la segunda ecuacion

1 + 2 = 120 (2) Aplicando sustitucion y reemplazando en (1)

1 95 + (120 1) 70 = 9600 1(95 70) = 9600 8400

1 =1200

25= 48

Sustituyendo en (2) resulta 2 = 72

Conclusion: 48100

120= 40% de los trabajadores son administrativos y 60% son obreros

8. La tabla siguiente representa la distribucion de frecuencias de las vidas medias de 400 ampolletas probadas en la empresa XXX.

Vida media (horas) No. ampolletas

300399 14

400499 46

500599 58

600699 76

700799 68

800899 62

900999 48

10001099 22

11001199 6

Total N 400

Determinar:

a. Limite inferior de la quinta clase. El limite inferior de la quinta clase es 700 b. Marca de clase de la tercera clase. La marca de clase de la tercera clase es 550 c. La frecuencia de la cuarta clase. La frecuencia de la cuarta clase es 76 d. Porcentaje de ampolletas cuya vida media es de al menos 500 horas, pero menos

de 1000 horas. El porcentaje de ampolletas cuya vida media es de al menos 1000 horas es 93%, y el porcentaje de ampolletas cuya vida media es de al menos 500 horas es 15%, por lo tanto (93-15)% o 78% de las ampolletas tienen vida media entre 500 y 1000 horas

e. Numero de ampolletas cuya vida media es superior a 600 horas. De la tabla 29.5% de las ampolletas tienen vida media inferior a 600 horas, por lo tanto 70.5% de las ampolletas tienen vida media superior a 600 horas

Contruir:

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0

10

20

30

40

50

60

70

80

f. Tabla de frecuencia.

Intervalos

+1

Marca de clase

Frec. Absoluta

Frec.Abs.Acum

Frec. Relativa

Frec.Rel.Acum

300399 350 14 14 3.5 3.5

400499 450 46 60 11.5 15

500599 550 58 118 14.5 29.5

600699 650 76 194 19 48.5

700799 750 68 262 17 65.5

800899 850 62 324 15.5 81

900999 950 48 372 12 93

10001099

1050 22 394 5.5 98.5

11001199

1150 6 400 1.5 100

Total N 400

g. Histograma, Poligono de frecuencias y ojiva de porcentajes.

h. Sobre cuantas horas se encuentra el 35% de ampolletas de mayor duracion?

Para calcular el 35% de ampolletas de mayor duracion es necesario calcular el

percentil 65. Para calcular el percentil 65, calculemos primero el factor

100=

65400

100=

260 . En la columna busque el valor que supere 260. En este caso es el intervalo 5.

Para este intervalo 1 = 194, = 68, = 100, = 700 , y reemplazamos en la formula

65 = + (

65 100 1

)

65 = 700 + 100 (260 194

68)

65 = 700 + 100 (66

68)

65 = 600 + (97.05)

65 = 697.05

La interpretacion es: 65% de las ampolletas tiene vida media de menos de 697 horas y por lo tanto 35% de las ampolletas duran mas de 697 horas

i. Calcule media y mediana.

=

=1

=14 350 + 46 450 + 58 550 + 76 650 + 68 750 + 62 850 + 48 950 + 22 1050 + 6 1150

400

=4900 + 20700 + 31900 + 49400 + 51000 + 52700 + 45600 + 23100 + 6900

400=

286200

400

= 715.5

Para calcular la mediana

j. Si la vida media se incrementa en 24 %, calcular los nuevos promedios y desviacion tipica.

= 715.5 1.24 = 887.22

9. Los gastos de publicidad son un componente signicativo en el costo de los bienes

que se venden. La lista de abajo es una distribucion de frecuencia que muestra los gastos en publicidad de 60 empresas de manufacturas.

Gastos publicidad (millones $)

No de empresas

2535 6

3545 10

4555 20

5565 16

6575 8

Total N 60

a) Si las empresas que gastaron menos de 45 millones de pesos aumentan sus gastos en 13 %, como se altera el promedio de gastos en publicidad?

=

=6 30 + 10 40 + 20 50 + 16 60 + 8 70

60

=1

=3100

60

= 51.67

=

=6 30 1.13 + 10 40 1.13 + 20 50 + 16 60 + 8 70

60

=1

=3175.4

60

= 52.92 Conclusion: El promedio aumento 2.4%

b) Que porcentaje de empresas gasta mas de 58 millones de pesos en publicidad?.

Intervalos

+1

Marca de clase

Frec. Absoluta

Frec. Abs.Acum

Frec. Rel.Acum

2535 30 6 6 10

3545 40 10 16 26.67

4555 50 20 36 60

5565 60 16 52 86.67

6575 70 8 60 100

Total N 60

Para calcular a que rango percentil pertenece el valor $58, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 4. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula

= 1 + (

)

100

Para este intervalo = 58 ocurre en el intervalo critico 4. Para este intervalo 1 = 60 (frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior),

= 16, = 10, = 55 .

= 60 + (58 55

10)

16 100

60

= 60 + (0,3)26.67

= 60 + 8

= 68

La interpretacion es: 68% de las empresas gastaron menos de 58 millones, por lo tanto 32% de las empresas gastaron mas de 58 millones

10. La siguiente informacion representa la distribucion de los gastos en alimentacion

que realizaron un conjunto de familias de Santiago durante el ao 2001.

Gastos (miles $) No de familias

150250 15

250350 27

350450 32

450550 21

550650 10

Total N 105

Tabla de frecuencias

Intervalos

+1

Marca de clase

Frec. Absoluta

Frec. Abs.Acum

Frec. Rel.Acum

150250 200 15 15 14.28

250350 300 27 42 40

350450 400 32 74 60

450550 500 21 95 70.5

550650 600 10 105 100

Total N 105

a. Para el presente ao se espera que tal gasto se incremente en un 8%, mas un gasto fijo por cada familia de 25 mil pesos. Como varia el promedio del gasto en alimentacion de las familias estudiadas en el ao 2002 con respecto al ao 2001?.

=

=15 200 + 27 300 + 32 400 + 21 500 + 10 600

105

=1

=40400

105

= 384.76

Para calcular el incremento en el ao 2002 = 384.76 1.08 + 25 = 440.54

Conclusion: En el ao 2002 el promedio sera $440.540

b. A las familias que gastaron durante el ao 2001 menos de 270 mil pesos se les dara en bono de 45 mil pesos a cada una y a las restantes se les dara un bono de 28 mil pesos a cada una. Cual es el nuevo promedio?.

Para calcular a que rango percentil pertenece el valor $270000, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 2. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula

= 1 + (

)

100

Para este intervalo = 270 ocurre en el intervalo critico 2. Para este intervalo 1 = 14.28 (frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior),

= 27, = 100, = 250 .

= 14.28 + (270 250

100)

27 100

105

= 14.28 + (0,2)25.71

= 14.28 + 5.142

= 19.42

La interpretacion es: 19% de las familias gastaron menos de $270000, y 81% de las empresas gastaron mas de $270000, utilizamos estos valores para modificar la formula de promedio

=19 (270 + 45) + 81 (270 + 28)

100

=1

=30123

100= 301.23

Conclusion: El Nuevo promedio es aprox. $301230

c. Se sabe que la relacion de los ingresos de este grupo familiar y los gastos en alimentacion durante el ao 2001 estuvo dada por:

= 1.5 + 75 Se desea saber cual es el promedio de los ingresos durante el ao 2001.

Gastos (miles $)

Marca de clase Ingresos = 1.5 + 75

No de familias

150250 200 375 15

250350 300 525 27

350450 400 675 32

450550 500 825 21

550650 600 975 10

Total N 105

=

=15 375 + 27 525 + 32 675 + 21 825 + 10 975

105

=1

=68475

105

= 652.14 Conclusion: El promedio de ingresos durante el 2001 fue $652140

d. Cual es el gasto en alimentacion que divide la muestra en partes iguales?

El gasto en alimentacion que divide la muestra en partes iguales es el percentil 50.

Para calcular el percentil 50, calculemos primero el factor

100=

50105

100= 52.5 . En la

columna busque el valor que supere 52.5. En este caso es el intervalo 3. Para este intervalo 1 = 42, = 32, = 100, = 350 , y reemplazamos en la formula

50 = + (

50 100

1

)

50 = 350 + 100 (52.5 42

32)

50 = 350 + 100 (10.5

32)

50 = 350 + (32.81)

50 = 382.81

La interpretacion es: 50% de las familias gastan menos de $382810 y 50% gastan mas de $382810

e. Que porcentaje de familias que gastaron menos de 300 mil pesos?.

Para calcular a que rango percentil pertenece el valor $300000, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 2. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula

= 1 + (

)

100

Para este intervalo = 270 ocurre en el intervalo critico 2. Para este intervalo 1 = 14.28 (frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior),

= 27, = 100, = 250 .

= 14.28 + (300 250

100)

27 100

105

= 14.28 + (0,5)25.71

= 14.28 + 12.85

= 27.13

La interpretacion es: 27% de las familias gastaron menos de $300000

11. En un analisis de las llamadas telefonicas que salian a diario de una oficina, se determino que 64 llamadas tenian un promedio de 2,3 minutos; 47 llamadas de entre 3 a 10 minutos, promediaron 6,1 minutos y 4 llamadas de mas de 10 minutos demoraron en promedio 20,6 minutos. Cual es el promedio de la duracion de estas llamadas?.

12. En un ao de biologia hay 20 alumnos de 1er ao, 18 de 2o ao y 12 de 3er ao. Los

promedios de notas en los alumnos de 1er y 2o son 68 y 75 respectivamente. Cual es el promedio de los alumnos de 3er ao, si el promedio de toda la clase fue de 74,84 puntos?.

13. La siguiente tabla corresponde al monto de compras realizadas por la cartera de

cliente de una empresa en el 2001.

Ventas X (miles $) No de clients

1,02,5 14

2,54,0 18

4,05,5 22

5,57,0 33

7,08,5 24

8,510,0 9

Total N 120

a. Que porcentaje de clientes compro mas de 7,5 (miles de $) el ao 2001?. Tabla de frecuencia para el ao 2001

Intervalos

+1

Marca de clase

Frec. Absoluta

Frec. Abs.Acum

Frec. Rel.Acum

1,02,5 1,75 14 14 11,7

2,54,0 3,25 18 32 26,7

4,05,5 4,75 22 54 45

5,57,0 6,25 33 87 72,5

7,08,5 7,75 24 111 92,5

8,510,0 9,25 9 120 100

Total 120

Para calcular a que rango percentil pertenece el valor $7500, primero definamos a que intervalo pertenece, en este caso ocurre en el intervalo critico 5. A continuacion definamos las variables para este intervalo y apliquemos la formula

= 1 + (

)

100

Para este intervalo = 7,5 ocurre en el intervalo critico 5. Para este intervalo 1 = 72,5 (frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior),

= 24, = 1,5, = 7,0 .

= 72,5 + (7,5 7,0

1,5)

24 100

120

= 72,5 + (0,33)20

= 72,5 + 6,6

= 79,1

La interpretacion es: En el 2001, 79% de los clientes compraron menos de $7500 y por lo tanto 21% compraron mas de $7500

b. Suponiendo que las compras del ao 2002 estan dadas por la funcion = 1.2 +30. Calcular el promedio y varianza para el ao 2002.

Tabla de frecuencia para el ao 2002

Intervalos

+1

Marca de clase

= 1.2 + 3

Frec. Absoluta

Frec. Abs.Acum

Frec. Rel.Acum

4,26 5,1 14 14 11,7

67,8 6,9 18 32 26,7

7,89,6 8,7 22 54 45

9,611,4 10,5 33 87 72,5

11,413,2 12,3 24 111 92,5

13,215,0 14,1 9 120 100

Total 120

=

=14 5.1 + 18 6.9 + 22 8.7 + 33 10.5 + 24 12.3 + 9 14.1

120

=1

=1155.6

120

= 652.14 Para calcular la varianza

c. Cual es el monto maximo del 25% de los clientes que compraron menos el ao 2002?

Para calcular el percentil 25, calculemos primero el factor

100=

25120

100= 30 . En la

columna busque el valor que supere 30. En este caso es el intervalo 2. Para este intervalo 1 = 14, = 18, = 1,8, = 6 , y reemplazamos en la formula

25 = + (

25 100 1

)

25 = 6 + 1,8 (30 14

18)

25 = 6 + 1,8 (16

18)

25 = 6 + (1.6)

25 = 7.6

La interpretacion es: 25% de las familias gastan menos de $7600. Una respuesta menos precisa seria el valor maximo del intervalo 2 que es $7800