TÉCNICAS DE CONTEO, PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN

PRESENTADO POR: - Álvaro Talero - Carlos Ríos- Daniel García- Érica Peña - Iván Caicedo

TÉCNICAS DE CONTEO

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

• Si un evento puede suceder o realizarse de n maneras diferentes y si, continuando el procedimiento un

segundo ejemplo puede realizarse de n1 maneras diferentes y asi

sucesivamente, entonces el numero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden

indicado es el producto de n1*n2*n3

Notación Factorial • El producto de un numero entero positivo desde

uno (1) hasta n se emplea con mucha frecuencia en Matemáticas y lo denotaremos por el símbolo n!

PERMUTACIÓN

• Un arreglo ordenado de r elementos seleccionados de un conjunto de n distintos elementos se llama permutación de n elementos tomados r a la vez ( n ≥ r).

• Notación: Usaremos el símbolo P(n,r) para denotar el número de permutaciones de n objetos diferentes, tomados r a la vez. Así escribimos el número de permutaciones de 5 objetos, tomados 3 a la vez como P(5,3)

•P(n,r) = n(n-1)(n-2) .... (n-r+1)

El 1° se puede escoger

de n formas

El 2° se puede escoger de (n-1) formas

El 3° se puede escogerde (n-2) formas El r° se

puede escoger

de (n-(r-1)) formas

• Definición de n!

• n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…..(3)(2)(1)• 0! = 1

• Podemos redefnir P(n,r) como:

P(n,r) = n(n-1)(n-2) .... (n-r+1)

• Ejemplo:En una pista se encuentran 6 atletas y entran en el carril de los 100 metros. De cuantas maneras se pueden organizar para ganar medallas de oro, de plata y de bronce? • Solución Deseamos contar el número de maneras de organizar a 3 de los 6 atletas en la posición ganadora. La solución está dada por:

Este problema también se puede resolver usando el principio fundamental de enumeración, puesto que se deben hacer 3 elecciones, con 6 atletas disponibles para la medalla de oro, 5 para la de plata y 4 para la de bronce, encontramos que:

6 * 5 * 4 = 120

COMBINACIÓN

• Definición

Un subconjunto de "r" elementos de un conjunto de "n" elementos se llama combinación de "n" elementos tomando "r" a la vez (n > r).

• Notación:

Usamos el símbolo C(n,r) para denotar el número de combinaciones de n objetos distintos tomando r a la vez. (Otras notaciones que se usan comúnmente son nCr, Cnr, y Cn,r). Deseamos obtener una fórmula para C(n,r).

• Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de n objetos tomados r a la vez es un subconjunto de r elementos. En otras palabras una combinación es una selección de r ó n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.

• Se desea que cada uno de nuestros 4 productos sean identificados por nuestros clientes por un color en su empaque. Si hay 9 colores que fueron seleccionados por nuestros clientes potenciales como sus favoritos. ¿de cuantas maneras diferentes pueden escogerse los colores que representaran a nuestros 4 productos?

• De cuantas maneras se pueden escoger 5 marcas diferentes entre 10 disponibles para conformar una exposición

GRACIAS