Estadistica 2 administracion

7/28/2019 Estadistica 2 administracion

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1

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGA

Dr. FEDERICO RIVERO PALACIO

EESSTTAADDSSTTIICCAA IIII

CCaarraaccaass,, aaggoossttoo 22000066


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2

RReeppbblliiccaa BBoolliivvaarriiaannaa ddee VVeenneezzuueellaa

MMiinniisstteerriioo ddee EEdduuccaacciinn SSuuppeerriioorr

FFuunnddaacciinn MMiissiinn SSuuccrree

MMiinniissttrroo ddee EEdduuccaacciinn SSuuppeerriioorr

SSaammuueell MMoonnccaaddaa AAccoossttaa

VViicceemmiinniissttrraa ddee PPoollttiiccaass AAccaaddmmiiccaass

MMaarruujjaa RRoommeerroo YYppeezz

AAsseessoorr ddee CCoonntteenniiddoo

PPrrooff.. SSuussaannaa CCoovveess

DDiisseeaaddoorraa IInnssttrruucccciioonnaall

PPrrooff.. LLuuiissaa MMrrqquueezz


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3

UNIDADES CURRICULARES ESPECIALIZADAS

EESSTTAADDSSTTIICCAA IIII

horas

Trabajo Acompaado 3

Trabajo Independiente 3

Horas por semana 6

Total horas por trimestre 42


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4

CCoommppeetteenncciiaass aa ddeessaarrrroollllaarr

COMPETENCIAS

UNIDADTEMTICA

Conocimientos Habilidades y Destrezas Actitudes y valores

Grales.del

proceso

administrativ

o

Elaboracinde

normaso

procedimientos

MarcoLegaly

fiscalparala

administracin

Tcnicasy

principiosd

e

mercadeo

Desarrollo

econmicoy

social

Tcnicasy

procedimientos

contables

Identificar

problemaso

necesidades

Elabinforme

s.

Administ

Elabedos

financ.

Formula

r

proyecto

s

Elaborar

normasy

procedmientos

Relaciones

asertiva.s

Compromiso

social

Participacinen

desarrollo

endgeno

1. Probabilidad

2. Estimacin

Puntual

3. Prueba deHiptesis

4. Regresin yCorrelacin


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TTTaaabbblllaaa dddeee CCCooonnnttteeennniiidddooosss

Pg.Programa instruccional 4Introduccin 6Contenidos de Repaso. Teora de conjuntos 7UNIDAD 1 PROBABILIDAD 13

Experimento, Resultado y Evento 16 Distribuciones de probabilidad 18

o Probabilidad binomial 19o Probabilidad normal 23o Aproximacin de la distribucin normal a la binomial 29

UNIDAD 2 ESTIMACIN PUNTUAL 30 Poblacin y muestra 32 Mtodos de muestreo 32 Teorema del lmite central 34 Estimadores 35

o Estimador puntual 35o Intervalos de confianza 36o Determinacin de parmetros para la media y la proporcin 37o Caractersticas de un buen estimador 39

Clculo del tamao de la muestra 41UNIDAD 3 PRUEBA DE HIPTESIS 44

Qu es una hiptesis? 46 Qu es una prueba de hiptesis? 46 Procedimiento para probar una hiptesis 46 Prueba para una o dos colas 50 Pruebas para media y proporcin 51

UNIDAD 4 REGRESIN Y CORRELACIN 59 Variable dependiente e independiente 61 Diagrama de dispersin 62 Coeficiente de correlacin 62

RespuestasBibliografa

Anexos


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PPPRRROOOGGGRRRAAAMMMAAA IIINNNSSSTTTRRRUUUCCCCCCIIIOOONNNAAALLL

Objetivo General:Analizar situaciones organizacionales a travs de estadsticos idneos que permitanconsiderar el efecto y la interaccin entre los diferentes factores que intervienen en latoma de decisiones administrativas.

Sinopsis de Contenidos:

UNIDAD 1. PROBABILIDAD

Objetivo: Aplicar los conceptos de probabilidad que permitan reducir los riesgos en latoma de decisiones

Conceptos bsicos:

Probabilidad Experimento, resultado y evento

Espacio muestral Punto muestral Sucesos y sus probabilidades

Distribuciones de probabilidad Variable aleatoria Valor esperado Probabilidad binomial Probabilidad normal

Concepto, propiedades e importancia Funcin de probabilidad reas bajo la curva Tablas Ajuste de la distribucin normal a la distribucin experimental y a

la binomial

UNIDAD 2. ESTIMACIN PUNTUAL

Objetivo: Calcular los intervalos de confianza de los estimadores para la toma dedecisin

Poblacin y muestra Mtodos de muestreo

Muestro aleatorio simple Muestreo aleatorio sistemtico Muestreo aleatorio estratificado Muestreo por conglomerados

Estimadores Caractersticas de los estimadores Intervalos de confianza para la media y la proporcin Determinacin del tamao de la muestra


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UNIDAD 3. PRUEBA DE HIPTESIS

Objetivo: Aplicar con propiedad y de forma pertinente a situaciones administrativas laprueba de hiptesis

Qu es una hiptesis Qu es una prueba de hiptesis Contraste de hiptesis

Paramtricas (Media aritmtica y proporcin) Para una poblacin Para dos poblaciones

UNIDAD 4. REGRESIN Y CORRELACIN

Objetivo: Aplicar e interpretar el coeficiente de correlacin y determinacin con elpropsito de obtener la relacin o variacin entre dos variables

Variables dependiente e independientes Grfico de dispersin Coeficiente de correlacin

Correlacin lineal Coeficiente de determinacin Modelo de anlisis de regresin lineal

Recta de mnimos cuadrados Error estndar de estimacin


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IIINNNTTTRRROOODDDUUUCCCCCCIIINNN

La Estadstica es la ciencia que se preocupa de la recoleccin de datos, suorganizacin y anlisis, as como de las predicciones que, a partir de estos datos,pueden hacerse. Esas predicciones se realizan a travs de la estadstica inferencialcuyo objetivo es sacar conclusiones generales para toda la poblacin a partir delestudio de una muestra.

La Inferencia Estadstica es la parte de la estadstica matemtica que se encarga delestudio de los mtodos para la obtencin del modelo de probabilidad (forma funcional y

parmetros que determinan la funcin de distribucin) que sigue una variable aleatoriade una determinada poblacin, a travs de una muestra (parte de la poblacin) obtenidade la misma.

Los dos problemas fundamentales que estudia la inferencia estadstica son el"Problema de la estimacin" y el "Problema del contraste de hiptesis" Cuando seconoce la forma funcional de la funcin de distribucin que sigue la variable aleatoriaobjeto de estudio y slo tenemos que estimar los parmetros que la determinan,estamos en un problema de inferencia estadstica paramtrica, este tipo de problemasson las que abordaremos en este material, el cual est conformado por cuatro unidadessobre: Probabilidad, estimacin puntual, prueba de hiptesis y por ltimo correlacin y

regresin.


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CCCooonnnttteeennniiidddooosss dddeee RRReeepppaaasssooo

Uniones, Interseccion es y Relaciones entre Eventos

Un conjunto es toda reunin de objetos. Con frecuencia es de utilidad identificar cmopueden relacionarse los conjuntos entre s. Con frecuencia es de utilidad identificar

cmo pueden relacionarse los conjuntos entre s. Se asume que se han identificado dosconjuntos A y B. Cada uno contiene numerosos elementos. Es completamente posibleque algunos elementos. Es completamente posible que algunos elementos estn enambos conjuntos. Por ejemplo, se asume que el conjunto A consta de todos losestudiantes de la clase de estadstica, y el conjunto B consta de todos los estudiantesde la universidad que estn especializndose en economa. Aquellos elementos(estudiantes) que estn en ambos conjuntos son los especialistas en economa de laclase de estadstica. Tales estudiantes constituyen la interseccin entre A y B, que seescribe BA y se lee como A interseccin B, consta de los elementos que soncomunes tanto a A como a B. Un diagrama de Venn es una herramienta til paramostrar la relacin entre conjuntos, observemos:

Notacin

Por lo regular se usan letras maysculas para representar a los conjuntos, y letrasminsculas para representar a los elementos de un conjunto dado. Si es un conjunto,

y todos sus elementos, es comn escribir:

para definir a tal conjunto . La notacin empleada para definir al conjunto se llamanotacin por extensin. Para representar que un elemento pertenece a un conjunto

, escribimos (lase en ). La negacin de se escribe .

Si todos los elementos de un conjunto satisfacen alguna propiedad, misma que

pueda ser expresada como una proposicin , con la indeterminada , usamos lanotacin por comprensin, y se puede definir

ATodos los

estudiantes la

clase

BTodos los

especialistas en

economa

)BA A interseccin de BEspecialistas en economa en la clase


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donde el smbolo se lee "tal que", y puede ser remplazado por una barra . Por

ejemplo, el conjunto puede definirse por

.

El smbolo representa al conjunto de los nmeros naturales.

Complemento de un conjunto

Dado un conjunto , se representa por al complemento de , el cual es un

conjunto que verifica la proposicin para cualquiera quesea el elemento . As pues, est formado por todos los elementos que no son delconjunto .

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de losmismos elementos. Es decir, siempre que para cualquiera que sea el elemento , severifique

Subconjuntos y Superconjuntos

Un conjunto se dice subconjunto de otro , si todo elemento de es tambin

elemento de , es decir, cuando se verifique

,

sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .

Cabe sealar que, por definicin, no se excluye la posibilidad de que si , secumplaA = B. Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto ,pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es unsubconjunto propio de , lo que se representa por .Si es un subconjunto de , decimos tambin que es un superconjunto de , lo

que se escribe . As pues

,

y tambin

,significando que es superconjunto propio de .
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales


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Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todoelemento , por lo que todo conjunto es subconjunto (y tambin superconjunto) de smismo.Vemos que es una relacin de orden sobre un conjunto de conjuntos, pues

para todo , y es reflexiva.

, y es antisimtrica

, y es transitiva

Operaciones con conjuntos: Unin, Interseccin, Diferencia y Diferencia Simtrica.Sean y dos conjuntos.UninLos elementos que pertenecen a o a o a ambos y , forman otro conjunto,llamado unin de y , escrito . As pues, se tiene

.

Interseccin

Los elementos comunes entre y forman un conjunto denominado interseccin dey , representado por :

.

Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dicenconjuntos disjuntos.

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

Entonces:

Diferencia

Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , formanotro conjunto llamado diferencia de y , representado por, :

.

Vemos que

,de manera que
http://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntos


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. Pero tambin

,de modo que

Diferencia simtrica

Se define la diferencia simtrica de dos conjuntos por

CuantificadoresLos cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen

con cierta propiedad. Tales cuantificadores son:

El cuantificador universal, representado por . Este cuantificador se emplea paraafirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad.Se escribe

.

La proposicin anterior suele usarse como la equivalente de

El cuantificador existencialse usa para indicar que al menos un elemento de unconjunto cumple con una propiedad. Se escribe:

La proposicin del cuantificador existencial suele interpretarse como la equivalente de la

proposicin

Se definen

AplicacionesSean y dos conjuntos. Un subconjunto , se dice aplicacin de en

, lo que se representa por

siempre que se verifiquen


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Si , el elemento se dice imagen de por , y el elemento se llama

antecedente de por .

Sea una aplicacin . Se emplea la notacin para representar a la

imagen de por , y por tanto .

Sean las aplicaciones y . Se define

,

y se dice que es elproducto de composicin de las aplicaciones y .

Vemos que

y por lo que


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Unidad I

Probabilidad

Objetivo:Conocer los conceptos de probabilidad a fin de establecer las posibles relaciones entreeventos que permitirn reducir riesgos en a toma de decisiones en a practicaprofesional

Contenidos:

Probabilidad normalConceptos BsicosProbabilidadesExperimentos, resultados y eventoEspacio muestralPunto muestralSucesos y sus probabilidades

Distribuciones de probabilidad

Variable aleatoriaValor esperadoProbabilidad binomialProbabilidad normal


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Probabi l idad

Probabilidad es un concepto que en administracin nos permite trabajar en funcin denuestras expectativas con la ocurrencia algn resultado, esto significa que hacemos

proyecciones sobre la posibilidad de xito o fracaso de un suceso, lo que a su vezgenera una reduccin de riesgos y de incertidumbre en la toma de decisiones.

Probabilidad es una palabra que empleamos de forma cotidiana, y, efectivamentecuando preguntamos Qu probabilidad hay de que est listo para hoy? Suponemosque la persona que va a contestar nos dar una respuesta que nos permitirproyectarnos y predecir eventos a futuro; si la respuesta es no creo por que tienesvarias personas por delante eso nos va programando para dos acciones que impedirnque ese evento interrumpa nuestro accionar. As mismo pasa en administracin, puesun administrador debe considerar todos los escenarios posibles a la hora de decidir lasacciones que debe emprender una organizacin, a fin de minimizar la incertidumbre y

reducir riesgos.

El propsito de esta unidad es ofrecer en una primera parte los conceptos bsicossobre probabilidad y luego la aplicacin de dichos conceptos en la construccin de lasdistribuciones de probabilidad, que es una lista que contiene todos los resultados de unexperimento y la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.

No s cuandopodr realizarse elsueo de Bolvar

pero nosotrosiremos poniendo laspiedras

AugustoSandino


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UNIDAD I. PROBABILIDAD

Probabilidad

Es la posibilidad de que algo va a ocurrir, es medida entre 1 y 0. Mientras mayor sea laprobabilidad de que el evento ocurra, la probabilidad asignada estar ms cerca deuno, si hay certeza del que el evento va a ocurrir la probabilidades de1, y por elcontrario la posibilidad de que no ocurra es de 0.

Existen tres formas de enfocar la probabilidad: el modelo de frecuencia relativa, elmodelo subjetivo y el modelo clsico. El modelo de frecuencia relativa utiliza datos quese han observado empricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algnevento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente conbase en estos datos histricos. La probabilidad de un evento con base en el modelo defrecuencia relativa se determina mediante:

P (E)=

Si por ejemplo durante el ao pasado hubo 200 nacimientos en un hospital local, de loscuales 122 fueron varones el modelo de frecuencia relativa revela que la probabilidadde que el prximo nacimiento o un nacimiento seleccionado al azar sea una nia seobtiene dividiendo el nmero de nias que naci el ao anterior dividido entre le nmerototal de nacimientos:

39,0200

78)( niaP

Si consideramos en el concepto anterior de probabilidad, en el cual es establece que lasi la probabilidad es cercana a uno es tiene mayores oportunidades de ocurrencia, ennacimiento de una nia en ese hospital es un evento poco probable.

El modelo subjetivo se utiliza cuando se desea asignar probabilidad a un evento quenunca ha ocurrido, por ejemplo la probabilidad de que una mujer sea elegida comoPresidente de Venezuela, como no hay datos confiables se analizan las opiniones y lastendencias para obtener una estimacin subjetiva.

El ltimo y tercer modelo de probabilidad es el clsico relacionado con mayorfrecuencia a las apuestas y juegos de azar. La probabilidad clsica se basa en lasuposicin de que los resultados de un experimento sean igualmente probables. Laprobabilidad de un evento por medio de este modelo se determina mediante.

P(E)=

Nmero de veces que ha ocurrido el evento en el pasado

Nmero total de observaciones

Nmero de formas en las que puede ocurrir un evento

Nmero total de resultados posibles


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Para ejemplificar observemos la aplicacin de la ecuacin

P(cara)= Nmero de formas en las que el evento puede ocurrir / Nmero total deposibles resultados

5,02

1)( caraP

En este ejemplo slo hay una posibilidad de que salga cara, y dos posibles resultados,que salga cara o que salga sello. Segn el resultado de la ecuacin existen igualesposibilidades de que salga cara o sello, pues la probabilidad se halla en medio de 0 y 1.

Aun sin conocer a fondo la probabilidad clsica, se puede estar consciente de que laprobabilidad de obtener una cara en el lanzamiento de una moneda es de la mitad.

ExperimentoSeguramente asocias la palabra experimento a las ciencias fsicas donde nosimaginamos a alguien mezclando qumicos y manipulando tubos de ensayos, sinembargo, en administracin se realizan experimentos para conocer los posiblesresultados de una accin. Se dice que experimento es toda accin definida que conllevaa un resultado nico bien definido que tiene dos o ms posibles resultados y no se sabecul va a ocurrir.

ResultadoUna consecuencia particular de un experimento.

EventoUna coleccin de uno o ms resultados. De acuerdo a como se relacionan los eventosde un experimento se pueden clasificar en: mutuamente excluyentes, colectivamenteexhaustivos, independientes o complementarios.Mutuamente excluyente: la ocurrencia de cualquiera de los eventos implica queninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo. Como ejemplo tenemos ellanzamiento de una moneda en la cual si sale cara garantiza que no puede salir sello.

Tipos de

Probabilidad

Probabilidad

ObjetivaProbabilidad

Modelo Clsico Modelo deFrecuencia

Relativa

Modelo Subjetivo


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Colectivamente exhaustivo: por lo menos uno de los eventos tiene que ocurrir, unejemplo es el lanzamiento de un dado, los resultados posibles son 1,2,3,4,5 y 6 y existela certeza que uno de ellos va a ocurrir.Independientes: son eventos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver conla ocurrencia del otro, por ejemplo lanzar un dado y una moneda a la vez, el resultadodel lanzamiento del dado no afecta al de la moneda.Complementarios: son los eventos en los que si un evento no ocurre debe ocurrir elotro. Una buena representacin de estos eventos la podemos apreciar al lanzar un dadopodemos decir que un evento A es sacar un nmero par, pero si esto no ocurre, elcomplemento es sacar un nmero impar. En estos casos los eventos se denominan Ay no A.

Existe una ltima categora que son los eventos compuestos consiste en la co-ocurrencia de dos o ms eventos aislados. Las operaciones de conjuntos deinterseccin y unin implican eventos compuestos. De esta manera si se lanza unamoneda y un dado a la vez el resultado es un evento compuesto y se puede calcular laprobabilidad de tal evento. Los eventos compuestos son ms interesantes e inclusoms tiles en la administracin ya que por medio de ellos pueden estudiarse lasrelaciones entre dos sucesos que ocurren de forma paralela.

Para que visualicemos mejor las definiciones de experimento, resultado y evento,observemos el siguiente cuadro:

Experimento:Tirar un dado

Todos los resultadosposibles

Obtener un 1Obtener un 2Obtener un 3

Obtener un 4Obtener un 5Obtener un 6

Algunos eventos posibles Obtener un nmero parObtener un nmero mayor que 4Obtener el nmero 3 o uno menor

En el experimento del lanzamiento de un dado hay seis posibles resultados, pero haymuchos eventos posibles.

Ejercicio 1:

Clasifica los siguientes eventos:El lanzamiento de dos monedas a la vez ___________________________________Que un vuelo de avin salga retrasado ____________________________________Que un beb sea varn ________________________________________________Que la comida de hoy no quede salada ____________________________________Que en la prxima temporada de bisbol Magallanes sea el campen____________


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Espacio de Muestras y Eventos

Los elementos de bsicos de la teora de probabilidades son los resultados del procesoo fenmenos bajo estudio. Cada tipo posible de ocurrencia se denomina un evento. Unevento simple puede describirse mediante una caracterstica sencilla. La complicacinde todos los eventos posibles se llama espacio muestral. Un evento conjunto es un

evento que tiene dos o ms caractersticas.Para calcular la probabilidad de cualquier resultado es necesario primero determinar elnmero total de resultados posibles; en un dado, por ejemplo, los resultados posiblesson 1,2,3,4,5,6. Llamemos a este conjunto U, ya que es el espacio muestral o universode posibles resultados. El espacio muestral incluye todos los posibles resultados en unexperimento que son de inters para el experimentador. Los elementos primarios de Uson llamados elementos o puntos mustrales. Se escribe, entonces, U = {1,2,3,4,5,6}Vemoslo representado en un diagrama de Venn:

Aclarando la imagen anterior decimos que un evento es un subconjunto de U; cualquierelemento de un conjunto es tambin un subconjunto del conjunto. Algunas vecespuede ser complicado determinar un espacio muestral, sin embargo para ello nosapoyamos en la teora de conjuntos. Los conjuntos pueden definirse listando todos losmiembros de conjunto y estableciendo una regla de inclusin de los elementos en l.

Distribuciones de Probabilidad

Una distribucin de probabilidad aporta el rango completo de valores susceptibles deocurrir con base en un experimento. Una distribucin de probabilidad es similar a unadistribucin de frecuencia, con la diferencia que no describe el pasado sino muestra quetan probable es que ocurra un evento. Dado que esta clase de distribuciones se ocupande las expectativas son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomardecisiones en condiciones de incertidumbre.

Variable Aleatoria.

Una variable aleatoria es aquella que asume diferentes valores, a consecuencia de losresultados de un experimento aleatorio, cada uno de los cuales tiene una determinadaprobabilidad. Por ejemplo si contamos la cantidad de alumnos inasistentes a las clasesde estadstica II durante un mes, el nmero de ausencias es la variable aleatoria. Si esavariable toma slo valores enteros, se dice que es de tipo discreto, tal es el caso delejemplo anterior, sera imposible decir que faltaron 3,5 estudiantes. Pero si por el

1 23

4

5 6

El conjunto de losnmeros del 1 al 6, es el

espacio muestral

U = {1,2,3,4,5,6}

Cada

elemento

dentro delconjunto es

un punto

muestral


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contrario la variable puede tomar valores fraccionarios se dice que es de tipo continuo.Un ejemplo de una variable aleatoria discreta es el peso de los perros que recibe unveterinario en su consulta, 50.5 Kg, 25.6 Kg, etc.

Supongamos que tenemos una variable aleatoriax, y que esta puede tomar los valores

nxxxx ..., 32,1 que pueden ser discretos o continuos; cada uno de estos valores tiene

cierta probabilidad que en la prctica se desconoce; sin embargo, a travs deplanteamientos tericos podemos obtener dichas probabilidades, a las cualesdesignamos por f(x); al desarrollo que toman estos valores de f(x), es lo que se llamadistribuciones de probabilidad de la variable aleatoria x. Estas distribuciones deprobabilidad toman diferentes formas o tipos, sin embargo, las ms importantes son ladistribucin binomial y la distribucin normal.

Valor Esperado.

El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones deprobabilidad. Desde hace muchos aos este concepto ha sido aplicado ampliamente enel negocio de seguros y en los ltimos veinte aos ha sido aplicado por otrosprofesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de incertidumbre. Paraobtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valorque sta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamoslos productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro.

Probabilidad Binomial

Es una distribucin de probabilidad que emplea las variables aleatorias discretas, suprincipal caracterstica es que slo existen dos resultados posibles para cadaexperimento, gracias a ello su nombre binomial; adems posee las siguientespropiedades:

1. Slo debe haber dos resultados posibles. Uno se identifica como xito y el otro comofracaso, pero este resultado no trae una connotacin de bueno o malo, es decir, unxito no significa que el resultado sea deseable.

2. La probabilidad de que una observacin se clasifique como xito, p, es constante deobservacin a observacin. Por tanto, la probabilidad de que una observacin seclasifique como fracaso, q= 1-p, es constante sobre todas las observaciones.

3. Cada observacin puede clasificarse en una o dos categoras mutuamenteexcluyentes y colectivamente exhaustivas. El resultado de cualquier observacin esindependiente del resultado de cualquier observacin.

4. El experimento puede repetirse muchas veces, pues un experimento no afecta alotro.

Una variable aleatoriaes una variable cuyovalor es el resultado de un evento aleatorio.


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Como ya se mencion el smbolo p representa la probabilidad de un xito y el smboloq ( 1- p ) representa la probabilidad de un fracaso. Para representar cierto nmero dexitos, utilizaremos el smbolo r y para simbolizar el nmero total de ensayosemplearemos el smbolo n.

Entonces tenemos que:

P Probabilidad de xito.Q Probabilidad de fracaso.r Nmero de xitos deseados.n Nmero de ensayos efectuados.

Calcular la probabilidad de r xitos en n ensayos segn la formula binomial se calculaas:

rnr

qprnr

nP

)!(!

!

Cmo se construye una Distribucin de Probabilidad Binomial

Para elaborar una distribucin de probabilidad binomial es necesario conocer el nmerode ensayos y la probabilidad xito de cada ensayo, por ejemplo si un estudiantepresenta una prueba de seleccin conformada por 20 preguntas y cada una tiene 5opciones de respuestas, se dice que habrn 20 ensayos (las preguntas); y si dentro delas 5 opciones de respuesta slo una es la correcta, podemos decir que del 100% deposibilidades cada estudiante tiene 20% de posibilidad de responder sin saber, es decir,una persona sin conocimientos tiene una probabilidad de 0,20 de aprobar la pruebaacertando las respuestas.

Recordemos que el smbolo factorial! Significa, por

ejemplo que es 3! = 3*2*1 = 6

Los matemticos definen 0! = 1.

Es necesario saber que las observaciones o experimentos pueden ser con osin reemplazo, para comprender mejor estas definiciones leamos el siguienteejemplo: Queremos conocer la probabilidad de que salga una esfera roja deuna bolsa que contiene 4 esferas, 3 azules y 1 roja. Si el experimento es con

reemplazamiento, al meter la mano en la bolsa y extraer la pelota se observael color y se vuelve a depositar en la misma; por el contrario, si el experimentoes sin reemplazamiento se extrae la bola, se observa el color y se deja afuerapara continuar con los siguientes resultados. Es importante resaltar que losexperimentos con reemplazo se convierten en infinitos.


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Ejemplo:La Lnea rea Conviasa tiene 5 vuelos diarios a Barquisimeto. Supongamos que laprobabilidad de que alguno de los vuelos salga retrasado es de 0.20 Cul es laprobabilidad de que ninguno de los vuelos hoy salga retrasado?

Utilicemos la frmula rnrqprnr

nP

)!(!

! , considerando que n=5 vuelos, y p=0,20

3277,0)3277,0(1)3277,0(1)120(1

12080,020,0

)!05(!0

!5

)!(!

! 50

rnrqprnr

nP

La probabilidad de que ninguno de los vuelos salga retrasado es de 0,32; si retomamosque el concepto de probabilidad, el cual se mide dentro del rango 0-1 podemos afirmarque es baja la probabilidad de que ningn vuelo salga retrasado. Ahora bien siqueremos tener una estimacin de cuantos vuelos saldrn retrasados entonces

construimos la distribucin de probabilidad binomial, para ello sustituiremos r por losvalores 1,2,3,4,y 5. Como ya sustituimos la ecuacin con el valor r=0, a continuacin semuestra el desarrollo del ejercicio con r=1 y r=5.

4096,0)08,0(5)4096,0(2,0)24(1

12080,020,0

)!15(!1

!5

)!(!

! 41

rnrqp

rnr

nP

0032,0)0032,0(1)1(0032,0)1(120

12080,020,0

)!55(!5

!5

)!(!

! 05

rnrqprnr

nP

Ejercicio 2:Ahora realiza t la ecuacin sustituyendo rpor los valores 2, 3 y 4. En la tabla de laDistribucin Binomial, que se te presenta a continuacin, se muestran los resultadospara que verifiques tu ejercicio:

Distribucin Binomial para n=5, p=0,20

Nmero de Vuelos conRetraso

Probabilidad

0 0.32771 0.40962 0.20483 0.05124 0.00645 0.0003

Total 1.0000

No olvides que q=1-p


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23

La distribucin binomial tambin se puede expresar de forma grfica

Distribucin de Probabilidad Binomial

0,3277

0,4096

0,2048

0,0512

0,0064 0,0003

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

Vuelos retrasados

Probabilidad

Ejercicio 3:Imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo. Cincoalumnos estn en el jardn de nios. La directora lleva tiempo estudiando el problema,habiendo llegado a la conclusin de que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnos lleguen independientemente uno de otro Cmotrazamos una distribucin binomial de probabilidad que ilustre las probabilidades de que0,1,2,3,4 5 estudiantes lleguen tarde simultneamente?

Medidas de tendencia central y de dispersin para la distribucin binomial.

La distribucin binomial tiene un valor esperado o media ( ) y una desviacin estndarque nos permite determinar que tan alejados estn los datos de la media o promedio(). Podemos representar la media de una distribucin binomial de la siguiente forma:

= n p

donde :n= nmero de ensayos.p= probabilidad de xitos.

Y la desviacin estndar de la siguiente forma:

qpn ..

donde :n= nmero de ensayos.p= probabilidad de xito.q= probabilidad de fracaso.

Recuerda que la Desviacin

Estandar se determina

calculndole la raz cuadrada

2

)(2 npq

Recuerdas los grficos de

barras estudiados enEstadstica I, ahora tambin

los puedes utilizar para

graficar la Distribucin deProbabilidad Binomial.


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Ejemplo:Una mquina empaquetadora que produce 20% de paquetes defectuosos. Si se extraeuna muestra aleatoria de 10 paquetes, podremos calcular la media y la desviacinestndar de la distribucin binomial de ese proceso en la forma que sigue: = np = 10*0.2 = 2 Media.

= npq = (10) (0.2) (0.8) = 1.6 = 1.265 Desviacin estndar.

Probabilidad normal

De todas las distribuciones de probabilidad la normal es la ms importante. Estadistribucin es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadsticas; su propionombre indica su extendida utilizacin, justificada por la frecuencia o normalidad con laque ciertos fenmenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucin.Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin de densidad cuya grficatiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales,

tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que suspolgonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".

La distribucin normal de probabilidad es una distribucin de probabilidad continuatanto simtrica como mesocrtica. La curva de probabilidad de probabilidad querepresenta a la distribucin normal de probabilidad tiene forma de campana

La distribucin normal de probabilidad es importante para la inferencia estadsticaporque:

Se sabe que las medidas obtenidas en muchos procesos aleatorios siguenesta distribucin.

Las probabilidades normales suelen servir para aproximar otrasdistribuciones como la binomial.

Las distribuciones estadsticas como la media muestral y la proporcinmuestral tienen distribucin normal cuando el tamao de muestra esgrande, independientemente de la poblacin de origen.

Ambas mitades de la

campana son idnticas

Platicrtica

Leptocrtica

Mesocrtica

Media, mediana y moda son iguales


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Propiedades de la Distribucin Normal

La distribucin normal tiene varias propiedades tericas importantes, entre las cualesestn:1. Tiene forma de campana, es simtrica en apariencia y posee un solo pico en el

centro de la distribucin.

2. Sus mediciones de tendencia central (media, mediana, moda) son iguales y seubican en el pico.3. Su dispersin media es igual a 1.33 desviaciones estndar. El valor de su alcance

intercuartil puede diferir ligeramente de 1.33 desviaciones estndar.4. La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor

central. Es asinttica, lo que significa que la curva se acerca cada vez ms al eje delas X pero jams llega a tocarlo. Es decir, las colas de la curva se extienden demanera indefinida en ambas direcciones.

Para saber si una distribucin es simtrica, hay que precisar con respecto a qu. Unbuen candidato es la mediana, ya que para variables continuas, divide al histograma defrecuencias en dos partes de igual rea. Podemos basarnos en ella para, de formanatural, decir que una distribucin es simtrica si el lado derecho de la grfica (apartir de la mediana) es la imagen por un espejo del lado izquierdo

Cuando la variable es discreta, decimos que es simtrica, si lo es con respecto a la

media. Se podra pensar que definir la simetra con usando la mediana para variablescontinuas y usando la media para variables discretas es una eleccin arbitraria. Enrealidad esto no es as, pues si una variable es continua, coinciden los ambos criteriosde simetra (con respecto a la media y a la mediana). Es ms, se tiene que media ymediana coinciden para distribuciones continuas simtricas. Por otro lado, en el caso devariables discretas, la distribucin es simtrica si el lado derecho del diagrama seobtiene por imagen especular desde la media. En este caso coincide la media con lamediana si el nmero de observaciones es impar.

Pero Qu es Simetra y Asimetra?


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Si la variable es continua simtrica y unimodal, coinciden la media, la mediana y lamoda.Dentro de los tipos de asimetra posible, vamos a destacar los dos fundamentalesAsimetra positiva:Si las frecuencias ms altas se encuentran en el lado izquierdo de la media, mientrasque en derecho hay frecuencias ms pequeas (cola).

Asimetra negativa:Cuando la cola est en el lado izquierdo.

Simetra y Asimetra en la Curva Normal

La importancia de la distribucin normal viene dada por tres razones:1. Numerosos fenmenos continuos parecen seguirla o pueden aproximarse mediante

sta.2. podemos usarla para aproximar diversas distribuciones de probabilidad discreta y

evitar as pesados clculos3. Proporciona la base de la inferencia estadstica clsica debido a su relacin con el

teorema del lmite central.


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Cmo se construye una Distribucin de Probabilidad Normal

Construir una distribucin de probabilidad, tal y como lo hicimos con la binomial seraimposible debido a que la probabilidad normal est determinada por la media () y ladesviacin estndar ( ). Lo bueno es que podemos utilizar un solo dato de la familia dedistribuciones normales para dar respuestas a todos los problemas que decidamos

resolver con este tipo de distribucin. La que tiene una media de 0 y una desviacinestndar de 1 se le conoce como distribucin normal estndar. Todas las distribucionesnormales pueden convertirse a distribucin normal estndar restando la media de cadaobservacin y dividiendo por la desviacin estndar, utilizando un valorz.

reas bajo la curva normal.

La primera aplicacin de la distribucin normal supone encontrar el rea bajo la curvanormal entre una media y un valor seleccionado designado como x. No importa cules

sean los valores de y

para una distribucin de probabilidad normal, el rea bajo lacurva es 1,00; de manera que podemos pensar en reas bajo la curva como si fueranprobabilidades. Matemticamente:

Aproximadamente el 68% de todos los valores de una poblacin normalmentedistribuida se encuentran dentro + 1 desviacin estndar de la media.

Aproximadamente 95,5% de todos los valores de una poblacin normalmentedistribuida se encuentran dentro de + 2 desviaciones estndar de la media.

Aproximadamente 99,7% de todos los valores de una poblacin normalmentedistribuida se encuentran dentro de + 3 desviaciones estndar de la media.

Las tablas estadsticas indican porciones del rea bajo la curva normal que estncontenidas dentro de cualquier nmero de desviaciones estndar (ms, menos) a partirde la media.

No es posible ni necesario tener una tabla distinta para cada curva normal posible. Enlugar de ello, podemos utilizar una distribucin de probabilidad normal estndar paraencontrar reas bajo cualquier curva normal. Con esta tabla podemos determinar elrea o la probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente est dentro

Valor Z:La distancia entre un valor seleccionado, designado X, y la media ,dividida por la desviacin estndar.

XZ

Donde:X: es el valor de cualquier observacin o medicin especfica.: es la media de la distribucin. : es la desviacin estndar de la distribucin


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de ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias estn definidas en trminosde desviaciones estndar.

Para cualquier distribucin normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen elmismo nmero de desviaciones estndar a partir de la media contendrn la mismafraccin del rea total bajo la curva para cualquier distribucin de probabilidad normal.

Ejemplo (Tomado de http://www.monografias.com/trabajos26/distribucion-continua/distribucion-continua.shtml)

El Instituto Especializado Materno Perinatal desea conocer la probabilidad de que alhacer una prueba de hemoglobina en gestantes adolescentes que acuden a lainstitucin en el tercer trimestre del embarazo, se obtenga un resultado menor a 11mg/dl; para lo cual toma una muestra al azar de 30 gestantes menores de 19 aos,cuya edad gestacional este comprendida entre 28 40 semanas.

Datos:n = 30 x =10.547 = 0.718

Base de datos: Nivel de Hemoglobina en gestaciones de adolescentes en el 3er.Trimestre del embarazo. n = 30

10.911.29.8 11.69.9 10.011.210.210.89.5 10.010.911.510.410.9

10.311.711.29.8 10.411.411.310.510.211.110.69.9 8.9 10.89.5

Prueba estadstica : Distribucin Normal Estndar o ZSi sabemos que:Media: 10.55Desviacin Estndar: 0.71

Clculo del estadstico z :X - m 11- 10.55 0.45 = 3.75z = Sx = 0,71/ 30 = 0.12

P(X


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De estos datos podemos hacer la siguiente tabla de distribuciones

X f(X) Z f(Z)

8.42 0.0013 -3 0.0013

9.13 0.0227 -2 0.0227

9.84 0.1591 -1 0.1591

10.55 0.5019 0 0.5019

11.26 0.8432 1 0.8432

11.97 0.9778 2 0.9778

11.26 0.8432 1 0.8432

Curva de la distribucin normal estndar en comparacin con la Normal:

Interpretacin:La probabilidad de que el valorde hemoglobina en una gestante adolescente que curseel tercer trimestre del embarazo sea menor a 11 mg/dl es de 0.64. Es decir, el 64% delas gestantes adolescentes que acuden a maternidad de Lima sufren de anemiaasociada a la gestacin.

Ejercicio 4:El costo de una chupetas de diferentes marcas tiene una distribucin aproximadamentenormal con una media de 500 y una desviacin estndar de 10Cul es el valor z paraun valor x de 520 y otro de 490?

Uso de la tabla de distribucin de probabilidad normal estndar.

En esta tabla, el valor z est derivado de la frmula:

z = (x - m ) / s
http://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtml


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en la que:

x = valor de la variable aleatoria que nos preocupam = media de la distribucin de la variable aleatorias = desviacin estndar de la distribucin

z = nmero de desviaciones estndar que hay desde x a la media de la distribucin.Por qu utilizamos z en lugar del nmero de desviaciones estndar? Las variablesaleatorias distribuidas normalmente tienen unidades diferentes de medicin: bolvares,dlares, pulgadas, kilogramos, segundos, etc. Como vamos a utilizar una tabla,hablamos en trminos de unidades estndar (que en realidad significa desviacionesestndar), y denotamos a stas con el smbolo z.

La tabla de distribucin de probabilidad normal estndar da los valores de nicamentela mitad del rea bajo la curva normal, empezando con 0,0 en la media. Como ladistribucin normal de probabilidad es simtrica, los valores verdaderos para una mitadde la curva son verdaderos para la otra.

Defectos de la distribucin normal de probabilidad.

Los extremos de la distribucin normal se acercan al eje horizontal, pero nunca llegan atocarlo. Esto implica que existe algo de probabilidad (aunque puede ser muy pequea)de que la variable aleatoria pueda tomar valores demasiado grandes. No perderemosmucha precisin al ignorar valores tan alejados de la media. Pero a cambio de laconveniencia del uso de este modelo terico, debemos aceptar el hecho de que puedeasignar valores empricos imposibles.

La Distribucin Normal como una Aproximacin de la Distribucin Binomial.

Aunque la distribucin normal es continua, resulta interesante hacer notar que algunasveces puede utilizarse para aproximar a distribuciones discretas, debido a que generaruna distribucin binomial para muestras grandes puede llevar mucho tiempo es mseficiente hacer una aproximacin de la distribucin normal a la binomial

Una distribucin binomial B(n,p) se puede aproximar por una distribucin normal,siempre que n sea grande yp no est muy prxima a 0o a 1. La aproximacin consisteen utilizar una distribucin normal con la misma media y desviacin tpica que ladistribucin binomial. En la prctica se utiliza la aproximacin cuando:

En cuyo caso:

Y tipificando se obtiene la normal estndar correspondiente:


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Est imacin Puntual

En administracin es usual realizar estudios en los que se aborden diversaspoblaciones, sin embargo acceder a cada miembro de esas poblaciones es un trabajoimposible de realizar, por ello se seleccionan muestras que nos den una evidencia de loque gusta, opina, etc. una poblacin, no obstante el hecho de no poseer los datos

reales nos obliga a estimarlos, para ello existen los estimadores. En esta unidadencontrars algunos aspectos relacionados con los estimadores puntuales y susintervalos de confianza.

Vive como sifueras a morirmaana.

Aprende como sifueras a vivir

siempre.Mohandas Gandhi


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UNIDAD II. ESTIMACIN PUNTUAL

Poblacin y Muestra

La poblacin es el grupo total de individuos u objetos que se consideran, y la muestra

es una parte o subconjunto de dicha poblacin.

Mtodos de Muestreo

El muestreo es una herramienta para inferir algo respecto a una poblacin mediante laseleccin de una muestra de esa poblacin. En muchas oportunidades el muestreo esla nica herramienta para determinar algo con respecto a la poblacin por:

1. Es costoso abordar a todos los integrantes de la poblacin2. La idoneidad de los resultados de la muestra, es decir, para muchos estudios no

es esencial indagar sobre la totalidad de la poblacin pues con una muestra seobtiene los datos necesarios sin afectar significativamente los resultados

3. Es dificultoso poner se en contacto con todos los miembros de una poblacin.4. La naturaleza destructivas de ciertas pruebas, como lo es el caso de las pruebasde control de calidad, si se toma un objeto para determinar su punto mximo deflexin, el cual al pasarlo se rompe, si tomamos a toda una poblacin (produccine un da, por ejemplo) eliminaramos por completo todos los elementos de lapoblacin.

En repetidas ocasiones se ha enfatizado la necesidad de seleccionar una muestrarepresentativa de la poblacin. Una muestra que tergiverse la poblacin representar unerror de muestreo y producir estimados imprecisos de loa parmetros de la poblacin.Hay dos fuentes bsicas de muestreo. La primera es sencillamente mala suerte. Debido

a la cuestin de suerte, la muestra puede contener elementos que no seancaractersticos de la poblacin. El destino puede que dictar ciertas selecciones en lamuestra sea atpicamente ms grandes que la mayora de los de la poblacin y en talcaso resultaran una sobreestimacin del parmetro. O quizs muchos de los elementosmuestrales tienden a ser ms pequeos de lo que tpicamente se encuentra en lapoblacin y en tal caso resultara una subestimacin.

Un asegunda fuente de error de muestreo es el sesgo muestral. El sesgo resulta de latendencia a favorecer la seleccin de ciertas muestras sobre otras en la recoleccin delos datos de la muestra. La seleccin de la muestra puede terminar en error. Por tanto,es sabio garantizar que la recoleccin de los datos de la muestra siga un mtodo que

haya comprobado su capacidad para minimizar dicho error.Mtodos de Muestreo Probabilstica

Existen dos tipos de muestras: Las probabilsticas y las no probabilsticas.

Qu es una muestra probabilstica: Muestra seleccionada de tal forma que cada artculoo persona de la poblacin tienen la misma probabilidad de ser incluida en la muestra. Sipor el contrario se utilizan mtodos no probabilsticas no todos los artculos tienen la


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misma probabilidad de ser incluidos por lo tanto se corre el riesgo de que los resultadosestn sesgados, lo que significa que los resultados no sean representativos a lapoblacin.

Muestreo Aleatorio Simple

Una muestra aleatoria simple puede obtenerse simplemente enumerando lasobservaciones sobre pedazos idnticos de papel, colocndolos en un sombrero ysacando el nmero deseado de modo que cada uno de los elementos o personas en lapoblacin tenga las mismas probabilidades de ser incluidos. Adems, tambin puedehablarse de la tabla de nmeros aleatorios.

Muestreo Sistemtico

Una muestra sistemtica se forma seleccionando cada i-simo tem de la poblacin. Sise determina que i es igual a 10, una muestra sistemtica consta de cada dcimaobservacin en la poblacin. La poblacin debe ordenarse o enumerarse en formaaleatoria. La primera seleccin debe determinarse aleatoriamente, y si i= 10, entoncesestar en alguna de las primeras 10 observaciones. El punto inicial exacto puedeidentificarse bien sea seleccionando un nmero entre 1 y 10 sacado de un sombrero, outilizando una tabla de nmeros aleatorios. En cualquiera de los casos se selecciona deall en adelante cada dcima observacin.

Este muestreo es ventajoso porque no requiere de un experto altamente calificado paracontar hasta 10 y registrar el resultado. Adems el mtodo permite flexibilidad ya quepuede establecerse que i sea 10, 100, 1000 o cualquier otro nmero deseado. Ladeterminacin del valor apropiado para itambin es muy fcil. Si se desea seleccionaruna muestra de tamao 100 de una poblacin de 1000. El peligro principal que debeevitarse es la ocurrencia de un patrn en el ordenamiento de la poblacin. Por ejemploenumerar a la poblacin alfabticamente.

Muestreo Estratificado

Una muestra estratificada se divide una poblacin en subgrupos llamados estratos, y seselecciona una muestra para cada uno de ellos, forzando las proporciones de lamuestra de cada estrato para que est conforme al patrn poblacional. Se empleacomnmente cuando la poblacin es heterognea, o dismil, aunque ciertos gruposhomogneos puedan aislarse. De esta forma el investigador puede incrementar laprecisin ms all del obtenido por una muestra aleatoria simple de tamao similar.

Muestreo por Conglomerados

El muestreo por conglomerados ofrece ciertas ventajas sobre otros mtodos. Consisteen dividir toda la poblacin en conglomerados o grupos y luego seleccionar una muestrade estos conglomerados. Todas las observaciones en estos conglomeradosseleccionados estn incluidas en la muestra. Este procedimiento con frecuencia es


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ms fcil y rpido que el muestreo aleatorio simple o estratificado. Tambin es posiblecombinar el muestreo estratificado con el muestreo por conglomerados.

Error en el muestreo: Es la diferencia de un estadstico de la muestra y un parmetro dela poblacin.

Teorema del Lmite Central

El Teorema del LmiteCentral dice que si tenemos un grupo numeroso de variablesindependientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribucin (cualquiera queste sea), la suma de ellas se distribuye segn una distribucin normal. Por ejemplo:la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribucin de Binomial. Si lanzamos lamoneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entresi) se distribuye segn una distribucin normal. Este teorema se aplica tanto a suma devariables discretas como de variables continuas.

Los parmetros de la distribucin normal son:Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el nmero de variablesindependientes)Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el nmero devariables individuales)

Veamos ahora dos ejemplos:Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz elvalor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente, con media 0,5 y varianza0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salga ms de 60 caras.La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, segnuna distribucin normal.Media = 100 * 0,5 = 50Varianza = 100 * 0,25 = 25Para ver la probabilidad de que salgan ms de 60 caras calculamos la variable normaltipificada equivalente:

Teorema del Lmite Central:No importa el tipo de distribucin de la poblacin. Si las muestras sonsuficientemente grandes (n 30), la distribucin en el muestreo sepuede aproximar a la distribucin normal. Aplicando las propiedadesde la distribucin normal ase puede obtener la probabilidad de que lamedia muestral est entre ciertos valores o el intervalo centro del cual

caera una proporcin fija de la muestra. Para esto se procede de igualmanera que una distribucin normal utilizando la frmula de Z para ladistribucin muestral:

n

XXZ x

x

x


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36

25

5060

x

xX

Z

(*) 5 es la raz cuadrada de 25, o sea la desviacin tpica de esta distribucinPor lo tanto:P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salga ms de 60 caras estan slo del 2,28%.

La renta media de los habitantes de un pas se distribuye uniformemente entre 4,0millones de bolvares. y 10,0 millones bolvares. Calcular la probabilidad de que alseleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas supere los 725 millones Bs..Cada renta personal es una variable independiente que se distribuye segn una funcinuniforme. Por ello, a la suma de las rentas de 100 personas se le puede aplicar el Teorema del Lmite Central.La media y varianza de cada variable individual es:m = (4 + 10 ) / 2 = 7s2 = (10 - 4)2 / 12 = 3Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye segn una normal cuya media yvarianza son:Media: n * m = 100 * 7 = 700Varianza : n * s2 = 100 * 3 = 300Para calcular la probabilidad de que la suma de las rentas sea superior a 725 millonesptas, comenzamos por calcular el valor equivalente de la variable normal tipificada:

44,13,17

700725

x

xX

Z

Luego:P (X > 725) = P (Y > 1,44) = 1 - P (Y < 1,44) = 1 - 0,9251 = 0,0749Es decir, la probabilidad de que la suma de las rentas de 100 personas seleccionadas alazar supere los 725 millones de bolvares es tan slo del 7,49%

Ejercicio 5En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cadaclase es del 10%. A lo largo del ao tienes 100 clases de esa asignatura. Cul es laprobabilidad de tener que salir a la pizarra ms de 15 veces?

Estimadores

Estimador puntual:

Es un valor que se calcula a partir de la informacin de la muestra, y que se usa paraestimar el parmetro de la poblacin. Cuando no poseemos los datos de una poblacines necesario estimar la media de la poblacin, para ello utilizamos un nmero nico. Aese nmero se le conoce como estimador puntual. No obstante un estimador puntualslo se refiere a una parte de la historia. Si bien no se espera que es estimador puntual


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est prximo al parmetro de la poblacin, se deseara expresar que tan cerca est,para ello sirve el intervalo de confianza.

Un estimador puntual es el valor numrico de una estadstica muestral empleado paraestimar el valor de un parmetro de la poblacin o proceso. Una de las caractersticasms importante de un estimador es que sea insesgado. Un estimador insesgado es

una estadstica muestral cuyo valor esperado es igual al parmetro por estimar. Acontinuacin se presentan algunos de los estimadores puntales de uso ms frecuente:

Parmetro de la Poblacin Estimador

Media,

Diferencia entre las medias de dos poblaciones,

21

Proporcin, Diferencia entre las poblaciones de dos

poblaciones, 21

Varianza, 2 Desviacin estndar,

X

1X - 2X

p

21 pp 2

s s

Estimacin por Intervalos, un intervalo es un rango de valores dentro del cual se estimaest el parmetro de la poblacin.

Intervalo de Confianza:

EL intervalo de confianza es un rango de valores que se construyen a partir de datos dela muestra de modo que el parmetro ocurre dentro de dicho rango con unaprobabilidad especfica. La probabilidad especfica se conoce como nivel de confianza.

La media de la muestra es un estimador puntual de la media de la poblacin, por lo quesi una tienda desean estimar la edad promedio de las personas que compran equiposde computacin, con tan solo tomar una muestra aleatoria de los compradores recientes

pueden determinar la edad de la poblacin, por lo tanto la media de la muestra estima lamedia de la poblacin.

Cuando el tamao de la muestra, n, es por lo menos de 30, generalmente se aceptaque el teorema del lmite central asegurar una distribucin normal de las medias de lasmuestras. Esta consideracin es importante. Si las medias de las muestras tienen unadistribucin normal, es posible usar la distribucin normal estndar, es decir, z, ennuestros clculos. Los intervalos de confianza de 95 y 99 por ciento se calculan de lasiguiente forma cuando n es igual o mayor que 30.

El estimador puntual utiliza un valor de la muestra para estimar el parmetrode la poblacin. Este valor variar de una muestra a otra porque en cadamuestra slo se selecciona una parte de la poblacin. La utilidad delestimador puntual est condicionada a la compaa de un estimador del error.


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Intervalo de confianza de 95 % para una median

sx 96,1

Intervalo de confieanza de 99 % para una median

sx 58,2

1,96 y 2,58 son valores z que corresponden al 95 y 99% de las observacionesrespectivamente, pero si lo que se desea es calcular un intervalo de confianza para unamedia la frmula es:

n

szx

Intervalo de Confianza para una Proporcin de la Poblacin

La determinacin de un estimador puntual y de un de intervalo para una proporcin dela poblacin es similar a los mtodos que se describieron en la seccin anterior. Un

estimador puntual para la proporcin de la poblacin se encuentra al dividir el nmerode xitos en la muestra entre el nmero que se muestreo. Por ejemplo, supongamosque 100 personas de las 400 que se muestrearon dijeron que les gustaba ms unnuevo refresco que otro, la mejor estimacin de la proporcin de la poblacin quefavorece el nuevo refresco es 0.25 o 25% que resulta de dividir 100/400. La proporcines la fraccin del nmero de xitos con relacin al nmero muestreado. Veamos sufrmula:

P(X xitos)=n

X, donde:

X= nmero de xitos

N= tamao de la muestraCmo se calcula el intervalo de confianza para proporcin de la poblacin

pzP

Donde p es el error estndar estimado de la proporcin

Estudios para determinar parmetros

Con estos estudios pretendemos hacer inferencias a valores poblacionales(proporciones, medias) a partir de una muestra.

Estimar una proporcin:

Si deseamos estimar una proporcin, debemos saber:a) El nivel de confianza o seguridad (1-a ). El nivel de confianza prefijado da lugar a uncoeficiente (Za ). Para una seguridad del 95% = 1.96, para una seguridad del 99% =2.58.b) La precisin que deseamos para nuestro estudio.


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c) Una idea del valor aproximado del parmetro que queremos medir (en este caso unaproporcin). Esta idea se puede obtener revisando la literatura, por estudio pilotosprevios. En caso de no tener dicha informacin utilizaremos el valor p = 0.5 (50%).Ejemplo: A cuantas personas tendramos que estudiar para conocer la prevalencia dediabetes?Seguridad = 95%; Precisin = 3%: Proporcin esperada = asumamos que puede ser

prxima al 5%; si no tuvisemos ninguna idea de dicha proporcin utilizaramos el valorp = 0,5 (50%) que maximiza el tamao muestral:

donde:Za

2 = 1.962 (ya que la seguridad es del 95%)p = proporcin esperada (en este caso 5% = 0.05)q = 1 p (en este caso 1 0.05 = 0.95)d = precisin (en este caso deseamos un 3%)

Si la poblacin es finita, es decir conocemos el total de la poblacin y desesemossaber cuntos del total tendremos que estudiar la respuesta seria:

donde:N = Total de la poblacinZa

2 = 1.962 (si la seguridad es del 95%)p = proporcin esperada (en este caso 5% = 0.05)q = 1 p (en este caso 1-0.05 = 0.95)d = precisin (en este caso deseamos un 3%).

A cuntas personas tendra que estudiar de una poblacin de 15.000 habitantes paraconocer la prevalencia de diabetes?Seguridad = 95%; Precisin = 3%; proporcin esperada = asumamos que puede serprxima al 5% ; si no tuviese ninguna idea de dicha proporcin utilizaramos el valor p =0.5 (50%) que maximiza el tamao muestral.

Segn diferentes seguridades el coeficiente de Za vara, as:Si la seguridad Za fuese del 90% el coeficiente sera 1.645Si la seguridad Za fuese del 95% el coeficiente sera 1.96Si la seguridad Za fuese del 97.5% el coeficiente sera 2.24Si la seguridad Za fuese del 99% el coeficiente sera 2.576

Estimar una media:

Si deseamos estimar una media: debemos saber:El nivel de confianza o seguridad (1-a ). El nivel de confianza prefijado da lugar a uncoeficiente (Za ). Para una seguridad del 95% = 1.96; para una seguridad del 99% =2.58.


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La precisin con que se desea estimar el parmetro (2 * d es la amplitud del intervalo deconfianza).Una idea de la varianza S2 de la distribucin de la variable cuantitativa que se suponeexiste en la poblacin.

Ejemplo: Si deseamos conocer la media de la glucemia basal de una poblacin, conuna seguridad del 95 % y una precisin de 3 mg/dl y tenemos informacin por unestudio piloto o revisin bibliogrfica que la varianza es de 250 mg/dl

Si la poblacin es finita, como previamente se seal, es decir conocemos el total de lapoblacin y desearamos saber cuantos del total tendamos que estudiar la respuestasera:

(Tomado dehttp://www.fisterra.com/material/investiga/8muestras/8muestras.htm)

Error estndar la proporcin de la muestra

Es una medicin de la variabilidad de la distribucin muestral de las medias muestras.Se calcula por:

Error estndar de la media con desviacin estndar de la poblacin conocida

nx

Donde:

x = es el error de la media llamado tambin desviacin estndar de la distribucinmuestra de medias = es la desviacin estndar de la poblacinn= es el tamao de la muestra

En la mayora de los casos se desconoce la desviacin estndar de la poblacin, por loque se le estima por la desviacin estndar de la muestra, ello implica que en la frmulapresentada anteriormente se reemplaza (desviacin estndar de la muestra) por s(desviacin estndar de la muestra). Vale la pena acotar que mientras ms mayor seael valor de n el error en el muestreo es menor

Caractersticas de un buen estimador

Cuando se tiene una frmula para estimar y se aplica a una muestra aleatoria, elresultado es aleatorio, es decir los estimadores son variables aleatorias.

Por ejemplo si se recibe un embarque de objetos que pueden:
http://www.fisterra.com/material/investiga/8muestras/8muestras.htmhttp://www.fisterra.com/material/investiga/8muestras/8muestras.htmhttp://www.fisterra.com/material/investiga/8muestras/8muestras.htm


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estar listos para usarse

defectuosos.

Podemos seleccionar al azar algunos de ellos para darnos una idea de la proporcin dedefectuosos en el embarque. El parmetro de inters es la proporcin de defectuosos

en toda la poblacin, pero lo que observamos es la proporcin de defectuosos en lamuestra. El valor de la proporcin en la muestra es una variable aleatoria cuyadistribucin est emparentada directamente con la binomial (si se tratara del nmero dedefectuosos, sera binomial).

Como cualquier variable aleatoria, el estimador tiene

Distribucin de probabilidad.

Valor esperado.

Desviacin estndar / varianza.

Valor esperado de un estimador y sesgo

El valor esperado de un estimador nos da un valor alrededor del cual es muy probableque se encuentre el valor del estimador. Para poner un ejemplo, si supiramos que elvalor esperado de una estadstica es 4, esto significara que al tomar una muestra:

No creemos que el valor de la estadstica vaya a ser 4.

Pero tampoco creemos que el valor de la estadstica vaya a estar lejos de 4.

Ya que es muy probable que el valor del estimador est cerca de su valor esperado,una propiedad muy deseable es que ese valor esperado del estimador coincida con eldel parmetro que se pretende estimar. Al menos, quisiramos que el valor esperado nodifiera mucho del parmetro estimado. Por esa razn es importante la cantidad que,tcnicamente llamamos sesgo. El sesgo es la diferencia entre el valor esperado delestimador y el parmetro que estima.

Si el sesgo 0, se dice que el estimador es instigado y sta es una caracterstica buena

para un estimador. Un estimador que es instigado tiene una alta probabilidad de tomarun valor cercano al valor del parmetro.

Varianza de un estimador

Otra propiedad importante de un estimador es su varianza (o su raz cuadrada, ladesviacin estndar). La importancia de la desviacin estndar es que nos permitedarle un sentido numrico a la cercana del valor del estimador a su valor esperado.
http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml


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Entre menor sea la desviacin estndar (o la varianza) de un estimador, ser msprobable que su valor en una muestra especfica se encuentre mas cerca del valoresperado. Para aclarar esto, considere dos estimadores T1 y T2, suponga que ambosson instigados y suponga que la varianza de T1 es menor que la de T2 Qu quieredecir esto? Simplemente que en un entorno fijo del valor del parmetro, los valores deT1 son ms probables que los de T2. O sea que vamos a encontrar a T1 ms cerca del

valor del parmetro que a T2. Esto hace que nuestras preferencias estn con T1.Cuando un estimador tiene una varianza menor que otro decimos que el estimador esms eficiente.

Clculo del tamao de la muestraA la hora de determinar el tamao que debe alcanzar una muestra hay que tomar encuenta varios factores: el tipo de muestreo, el parmetro a estimar, el error muestraladmisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza. Por ello antes de presentar uncaso sencillo de clculo del tamao muestral delimitemos estos factores.

Para la Media

La diferencia entre la media de la muestra y la media de la poblacin es un errormuestral. Por lo tanto,

muestralerroreX _)( n

ZXdonde

n

Xz

)(

)(

Por lo tanto,n

Ze

de all se despeja n para calcular el tamao de la muestra

El mejor estimador es el que se acerca al parmetro poblacional, suscaractersticas son:

No debe tener sesgo: cuando el valor esperado del estadstico usado comoestimador es igual al parmetro de la poblacin que se desea estimar, se diceque ese estimador es insesgado.

Eficiencia: la eficiencia tiene relacin directa con el dato obtenido del error, amenor error mayor es la eficiencia del estimador. Si las distribuciones demuestreo de dos estadsticos tienen la misma media(o esperanza), el demenor varianza se llama un estimador eficiente de la media, mientras que elotro se llama un estimador ineficiente, respectivamente. De tal forma que sipodemos hallar un estimador con una varianza que resulte menor que lavarianza de cualquier otro estimador, tomaremos aquel como base para unamedida de eficiencia y diremos que ese es un estimador eficiente.

Consistencia: Un estimador tiene consistencia en la medida en que el tamaode la muestra aumenta, ello nos acerca al parmetro de la poblacin.

Suficiencia: Si un estimador utiliza toda la informacin contenida en la

muestra acerca del parmetro que va a estimar, se dice que es un estimador
http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


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Para una poblacin infinita2

22

e

zn

Para una poblacin finita2

22

0e

Zn

Para determinar el tamao de la muestra a partir de la distribucin muestral de la mediase requiere conocer:El nivel de confianza deseado, zEl error muestral permitido, eLa desviacin estndar,

Para la Proporcin

Para poblacin infinita, partiendo de la frmula z

n

pq

e

n

pq

ppz s

. Se llega a: 2

2

e

pqzn

Para poblacin finita hay que tomar en cuenta el factor de correccin,2

2

0e

pqZn

En resumen:

Parmetro. Son las medidas o datos que se obtienen sobre la poblacin.

Estadstico. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto unaestimacin de los parmetros.

Error Muestral, de Estimacin o Standard. Es la diferencia entre un estadstico y suparmetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones demuestras repetidas en torno al valor de la poblacin, nos da una nocin clara de hastadnde y con qu probabilidad una estimacin basada en una muestra se aleja del valorque se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error,pero la naturaleza de la investigacin nos indicar hasta qu medida podemoscometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza quevaran muestra a muestra). Vara segn se calcule al principio o al final. Un estadsticoser ms preciso en cuanto y tanto su error es ms pequeo. Podramos decir que es ladesviacin de la distribucin muestralde un estadstico y su fiabilidad.

Nivel de Confianza. Probabilidad de que la estimacin efectuada se ajuste a larealidad. Cualquier informacin que queremos recoger est distribuida segn una ley deprobabilidad (Gauss o t de Student), as llamamos nivel de confianza a la probabilidadde que el intervalo construido en torno a un estadstico capte el verdadero valor delparmetro.
http://www.monografias.com/trabajos14/frenos/frenos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/filo/filo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/filo/filo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/frenos/frenos.shtml


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Varianza Poblacional. Cuando una poblacin es ms homognea la varianza es menory el nmero de entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del universo, ode la poblacin, ser ms pequeo. Generalmente es un valor desconocido y hay queestimarlo a partir de datos de estudios previos.
http://www.monografias.com/trabajos12/recoldat/recoldat.shtml#entrevhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/creun/creun.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/creun/creun.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/recoldat/recoldat.shtml#entrev


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Unidad III

Prueba de Hiptesis

Objet ivo:Aplicar con propiedad y de forma pertinente a situaciones administrativas laprueba de hiptesis

Contenidos: Qu es una hiptesis

Qu es una prueba de hiptesis Contraste de hiptesis

Paramtricas (Media aritmtica y proporcin) Para una poblacin Para dos poblaciones


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Prueba de Hiptesis

Siempre las personas, en diversas oportunidades y circunstancias, hemos realizadoafirmaciones considerando experiencias previas, conocimientos superficiales de algo,etc. Esas afirmaciones las llamamos hiptesis, y esas hiptesis pueden ser aceptadas orechazadas; sin embargo en estadstica para poder aceptar o rechazar una hiptesis sedeben realizar una serie de clculos que sustenten la veracidad o no de ese supuesto,para ello existe laprueba de hiptesis.

La prueba de hiptesis es un procedimiento mediante el cual se pruebaestadsticamente si una hiptesis es verdadera o no. En esta unidad encontrars lospasos para realizar una prueba de hiptesis en funcin de la media aritmtica y laproporcin para una y dos poblaciones

El que aprende y aprende yno practica lo que aprende escomo el que ara y ara y nunca

siembra.Platn


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UNIDAD III. PRUEBA DE H IPTESIS

Qu es una hiptesis?

Una hiptesis es una afirmacin acerca de un parmetro de la poblacin. Luego, se

utilizan los datos para verificar que tan razonable es una afirmacin, en otras palabras,la hiptesis es el establecimiento de una tesis a la que con elementos estadsticos se leprueba la veracidad Las hiptesis estadsticas se pueden contrastar con la informacinextrada de las muestras y tanto si se aceptan como si se rechazan se puede cometerun error.

Qu es una Prueba de Hiptesis?

La prueba de hiptesis es un procedimiento en el cual se dan evidencias para afirmar onegar una hiptesis. El primer paso para realizar una prueba de hiptesis esestableciendo la afirmacin o suposicin sobre un parmetro de una poblacin, comopor ejemplo la media. Una hiptesis podra ser que los estudiantes de una aldea de

Misin Sucre invierten en promedio Bs. 2000 diarios en pasaje. Para comprobar lavalidez de la hiptesis 000.2Bs , es preciso elegir una muestra de la poblacin(algunos estudiantes de la aldea planteada en la hiptesis) y preguntarles cuanto dineroinvierten diariamente en pasaje, calcularle la media y aceptar o rechazar la hiptesis;supongamos que la media resulta ser de Bs. 1990, al ser una cifra tan cercana a2.000se considera como vlida la hiptesis, ya que la diferencia de Bs. 10 puede deverse aun error de muestreo.

Procedimiento para probar una hiptesis

Existen cinco pasos que sistematiza una prueba de hiptesis, y cuando se llega al paso5 se est listo para rechazar o aceptar la hiptesis. Veamos los pasos representados enel siguiente diagrama:

Hiptesis estadstica

Asuncin relativa a una o varias poblaciones, que puede ser cierta o no.

Enunciado acerca de un parmetro de la poblacin que se desarrolla con el

propsito de realizar pruebas.

Prueba de Hiptesis:

Procedimiento que se basa en la evidencia de las muestras y en la teora de

probabilidad para determinar si la hiptesis es un enunciado razonable.


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Paso 1: Plantear la hiptesis nula (H0) y la hiptesis alternativa (H1)

El primer paso consiste en plantear la hiptesis que se prueba, a la cual llamamoshiptesis nula, y se denomina H0, la letra mayscula H significa hiptesis, y el subndicecero supone sin diferencia. Por lo general, la hiptesis nula incluye un termino noque significa que no hay cambio. La hiptesis nula se rechaza o acepta, pero lahiptesis nula no se rechaza a menos que los datos de prueba proporcionen evidenciasconvincentes que es falsa.

Se debe recalcar adems que si no se rechaza la hiptesis nula, con base en los datosde la muestra, no es posible decir que la hiptesis nula sea cierta. En otras palabras, laimposibilidad de rechazar la hiptesis nula no demuestra que H 0 sea verdadera;significa que no fue posible de rechazar H0. Para demostrar la hiptesis nula seranecesario conocer el parmetro de la poblacin y recabar los datos con la poblacin enpleno; como eso es prcticamente imposible, la nica alternativa es tomar una muestrade la poblacin.

La hiptesis alternativa describe una conclusin a la que se llegar si se rechaza lahiptesis nula. Se escribe H1, el H sub1 tambin se le conoce como hiptesis deinvestigacin. La hiptesis alternativa se acepta si los datos de la muestra proporcionansuficiente evidencia estadstica de que la hiptesis nula es falsa.

Paso 1Establecer las

hiptesis nula yalternativa

Paso 2Seleccionar un

nivel designificancia

Paso 3Identificar la

estadstica deprueba

Paso 4Formular la regla

de decisin

Paso 5Tomar una

muestra, llegar auna decisin

No rechazar H0

Rechazar H0 y

Aceptar H1

Hiptesis nulaUna afirmacin respecto del valor de un parmetro de la poblacin

Hiptesis alternativaUna afirmacin que se acepta si los datos de la muestraevidencian suficientemente que la hiptesis nula es falsa.


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Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia

El nivel de significancia es designado con la letra alfa ( ) del alfabeto griego, tambinse le conoce como nivel de riesgo, y ste quizs sea un termina ms apropiado, pueses este nivel es el riesgo que se asume al rechazar la hiptesis nula cuando de hechoes verdadera. No hay un nivel de significancia que se aplique a todas las pruebas, el

investigador toma la decisin de utilizar cualquier valor entre 1 y 0, es decir, entre 0 y10 por ciento.

Por que se coment al inicio que el nivel de significancia se poda llamar tambin deriesgo, porque de acuerdo al nivel de significancia que se establezca se puede cometerel error de rechazar una hiptesis verdadera, observemos este ejemplo planteado porLind, Mason y Marchal (2003):

Suponga que una firma que fabrica computadoras personales utiliza

una gran cantidad de tarjetas de circuitos impresos. Los

proveedores concursan para abastecer las tarjetas y, a quien

presenta la cotizacin ms baja, se le otorga un contrato

considerable. Suponga tambin que el contrato especifica que el

departamento de control de calidad del fabricante de las

computadoras har un muestreo de todos los embarques de tarjetas

de circuitos que reciba. Si ms del 6 por ciento de las tarjetas

de la muestra estn por debajo de la norma, el embarque ser

rechazado. La hiptesis nula es que los embarques de las tarjetas

que se reciben contienen 6 por ciento o menos de tarjetas por

debajo de la norma. La hiptesis alternativa es que est

defectuoso ms del 6% de las tarjetas.

El embarque de 50 tarjetas del lote que se recibi rebel que

cuatro de ellas, es decir, un 8%, estaban por debajo de la norma,

entonces la decisin de regresar las tarjetas al proveedor escorrecta. Suponga que las 4 tarjetas seleccionadas en la muestra

de 50 eran las nicas defectuosas en todo el embarque de 4.000

tarjetas. Entonces, slo 1/10 de 1 por ciento estaban defectuosas

(4/4000=0,001). En ese caso, menos del 6% de todo el embarque

estaba por debajo de la norma y el rechazo del mismo fue un

error.

En la prueba de hiptesis anterior se rechaz la hiptesis nula cuando debi haberseaceptado, este error se denomina de tipo I y se le designa por la letra alfa ( ). La

probabilidad de cometer otro de error llamado tipo II es designado con la letra beta ( ).

AccinH0

Es verdaderaH0

Es falsa

AceptoH0

Decisincorrecta

Error tipo II

RechazoH0

Error tipo I Decisincorrecta


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50

Error tipo I: Rechazar una hiptesis verdadera.Error tipo II: No rechazar una hiptesis nula que es falsa

Paso 3: Calcular el estadstico de pruebaPara la prueba de hiptesis se utiliza Z como estadstica de prueba, a pesar de queexisten muchas otras pruebas estadsticas. En la prueba de hiptesis para la media

)( , la estadstica de prueba z se calcula por:

n

XZ x

El valor z se basa en la distribucin de muestreo de X , que tiene una distribucin normal cuando la muestra es razonablemente grande con

una mediaX

igual a y una desviacin estndarX

, que es igual an

. As es

posible determinar la diferencia entre X y es importante desde el punto de vista

estadstico, al encontrar cuantas desviaciones estndar separan a X de , utilizandola formula de z.

Paso 4: Formular la regla de decisin

Una regla de decisin es una afirmacin de las condiciones bajos las que se rechaza lahiptesis la y bajo las que no se rechaza. El rea de rechazo define la ubicacin de

todos aquellos valores que son tan grandes o tan pequeos que la probabilidad de queocurran bajo una hiptesis nula verdadera es bastante remota. En el grfico que semuestra a continuacin el valor crtico es 1,65 es divide la zona de rechazo oaceptacin de la hiptesis

Regin de rechazo

Probabilidad de 0 05Probabilidad de 0 95

Valor Crtico

Valor CrticoPunto de divisin entre la regin en que se rechaza la hiptesis nulay la regin en la que no se rechaza


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53

Si se desconoce la desviacin estndar de la poblacin y el tamao de la muestra esn 30

n

XZ

Ejemplo en la cual se indica el procedimiento para la prueba de hiptesis (Tomado demonografas.com)

El jefe de la Biblioteca Especializada de la Facultad de Ingeniera Elctrica y Electrnicade la UNAC manifiesta que el nmero promedio de lectores por da es de 350. Paraconfirmar o no este supuesto se controla la cantidad de lectores que utilizaron labiblioteca durante 30 das. Se considera el nivel de significancia de 0.05

Datos:

Da Usuarios Da Usuarios Da Usuario

1 356 11 305 21 4292 427 12 413 22 376

3 387 13 391 23 328

4 510 14 380 24 411

5 288 15 382 25 397

6 290 16 389 26 365

7 320 17 405 27 405

8 350 18 293 28 369

9 403 19 276 29 429

Se trata de un problema con una media poblacional: muestra grande y desviacinestndar poblacional desconocida.

Paso 01: Seleccionamos la hiptesis nula y la hiptesis alternativaHo: 350Ha: 350

Paso 02: Nivel de confianza o significancia 95%0.05

Paso 03: Calculamos o determinamos el valor estadstico de pruebaDe los datos determinamos: que el estadstico de prueba es t, debido a que el numerode muestras es igual a 30, conocemos la media de la poblacin, pero la desviacinestndar de la poblacin es desconocida, en este caso determinamos la desviacinestndar de la muestra y la utilizamos en la formula reemplazando a la desviacinestndar de la poblacin.
http://www.monografias.com/trabajos10/ponency/ponency.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/historiaingenieria/historiaingenieria.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/electro/electro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/electro/electro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/historiaingenieria/historiaingenieria.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/ponency/ponency.shtml


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iguales. Para este caso se siguen igualmente los cinco pasos planteados pero habruna diferencia en la frmula para la estadstica z:

2

2

2

1

2

1

21

n

s

n

s

XXZ

Ejemplo Prueba de hiptesis con dos poblaciones(tomado de www.monografas.com)

En el HMI Ramos Larrea, se realiz un estudio para comparar la efectividad de dostratamientos diferentes para la diarrea aguda, se seleccionaron 15 nios de 1 a 2 aosde edad con diarrea aguda, fueron divididos en dos subgrupos, al subgrupo A se le diocomo tratamiento SRO y al subgrupo B se le dio como tratamiento SRO+Cocimiento dearroz. Despus de tres das de tratamiento, se registr la frecuencia de evacuacionesde los nios. Los resultados fueron los siguientes:

GRUPOA 3 4 3 4 4 4 5

GRUPOB 4 1 2 3 1 3 2 3

Proporcionan los datos evidencias suficientes que indique que la efectividad de los dostratamientos no es la misma? Utilice un nivel de significacin de 0.05.

Solucin:1. Planteamiento de hiptesis:Ho: 1= 2H1: 1 2

2. Nivel de significancia de: = 0.05

3. Prueba estadstica:

3

14,1

02,9

14,1

86,716,1

14,1

7

42,7

7

85,2

71,285,3

22

2

2

2

1

2

1

21

n

s

n

s

XXZ 0,38

El valor 0,38 se busca en la tabla de valores z dentro de la columna de valor designificacin de 0.05, ello nos da 0,6736, valor muy por encima de . Ahora con estedato revisamos la zona de rechazo para tomar la decisin.Con los supuestos:Las poblaciones se distribuyen normalmenteLas muestras han sido seleccionadas al azar.


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Criterios de decisin:

Se rechaza la hiptesis nula (Ho), se acepta la hiptesis alterna (H1) a un nivel designificancia de = 0.05. La prueba resulto ser significativa. La evidencia estadstica nopermite aceptar la hiptesis nula. La evidencia estadstica disponible permite concluirque probablemente existe diferencia entre los dos tratamientos empleados en casos dediarrea aguda.

Pruebas respecto de las proporciones

Como lo hemos venido trabajando para probar una hiptesis calculamos un valor z y locomparamos con un valor crtico de Z con base al nivel de significancia seleccionado. Elvalor p para probar hiptesis es un mtodo alternativo en caso de variables discretas. Elvalor p tambin es aplicado a hiptesis de una cola o de dos colas.

Un ejemplo de las hiptesis que podemos manejar con la prueba de proporcin son:

Los miembros de la Comisin Acadmica Nacional del plan deformacinAdministracin informa que el 80% de los estudiantes certificados como AsistentesAdministrativos entran al mercado laboral desempendose en actividades afinescon su acreditacin.

El representante de una importante cadena de farmacias afirma que la mitad de susventas se realizan por los autoservicios.

Estas preguntas abarcan los datos de una escala nominal de mediacin, si recordamosEstadstica I esta escala se caracteriza por tener categoras sin un orden valor de

jerarquizacin, por ejemplo la raza, la religin, etc.

Proporcin (p)

Una fraccin, relacin o porcentaje que indica la parte de lapoblacin o muestra que tiene una caracterstica de intersparticular.

muestreadoNmero

muestralaenxitosdeNmerop

_

_____


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57

Un ejemplo de proporcin es que 87 personas de 100 afirmaron tener mascotas en sucasa. La proporcin de la muestra es 87/100=0,87 o 87%. Para probar una hiptesissobre una proporcin de una poblacin se elige una muestra aleatoria de la poblacinque cumpla con las suposiciones binomiales explicadas. Esta prueba es apropiadacuando tanto np como n(1-p) son al menos de 5.n (n=tamao de la muestra,p=proporcin de la poblacin)

Se establece el nivel de significancia y se procede a calcular el valor z

Prueba de hiptesis para una proporcin poblacional

Ppz

, donde:

P es la proporcin de la poblacinp es la proporcin de la muestran tamao de la muestra

p es el error estndar de la proporcin de la poblacin. Se calcula por npp /)1(

Prueba de hiptesis para una proporcin

n

Pp

Ppz

)1(

Por ltimo se toma la decisin.

Ejemplo:Una encuesta aplicada en Caracas a 2.000 personas revel que 1550 de ellas realizascompras en los megamercados realizados quincenalmente a la Av. Bolvar. Laproporcin de 0,775 (1550/2000=0.775) est bastante cerca de 0,80 para llegar a laconclusin de la mayora de la poblacin de Caracas compra sus alimentos en los

megamercados con regularidad.Z es una estadstica de prueba normalmente distribuida cuando la hiptesis es verdad ylas dems suposiciones tambin son verdaderas.

P es 0,775, la proporcin de la muestraN es 2000, el nmero de encuestadosP es 0,80, la proporcin hipottica de la poblacin

80,2

2000

)80,01(80,0

80,02000

1550

)1(

n

Pp

Ppz

El valor z -2,80 est en la zona de rechazo, de modo

Estadistica 2 administracion

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