Historia del diseño estructura 2 Jorge Bernal

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Especialidad Diseño Estructural UNC 2015

Historia del diseño estructural 2. Segunda parte la viga en movimiento.

Viga en movimiento. En la primera parte de la historia del Diseño Estructural analizamos

la relación entre las fuerzas externas (macro) y los esfuerzos internos (micro)

en la viga a flexión. Ahora, en este escrito estudiamos los descubrimientos

realizados sobre la elástica o deformada de la viga, es decir el movimiento

que se produce; estamos frente a la relación entre las fuerzas externas y la

deformada, una cuestión dinámica. Este estudio solo es posible mediante dos

caminos: a) la experimentación mediante ensayos que permitan medir, com-

probar las fuerzas y las deformaciones, b) la matemática del movimiento; la

del cálculo infinitesimal.

Leonardo da Vinci. Los primeros documentos que surgen en la historia sobre el movi-

miento de la viga en su elástica o deformada, pertenecen a Leonardo da Vin-

ci, es por ello que esta segunda parte del Diseño Estructural (DE) comenza-

mos por estudiar sus escritos.

En los archivos de la Biblioteca Nacional de España, en el año 1964

sucede uno de los descubrimientos más extraños de la historia del arte y de

la ciencia. Los manuscrito de Leonardo da Vinci, los llamados Códices Ma-

drid I y II fueron hallados por la casualidad del destino.

Los escritos originales, los cuadernos de Leonardo arribaron a Espa-

ña en los baúles de un escultor Pompeo Leoni. Muchos fueron los cambios

de propietarios hasta que son entregados a la Biblioteca del Monasterio del

Escorial, desde allí pasan al final a la Biblioteca Real que permanecen extra-

viados durante 150 años.

Conforman ocho libros con más de 540 páginas, con una encuader-

nación en cuero y en su interior el genio de Leonardo, pero en ciencias que

la historia no las conocía. Allí trata la mecánica, la estática y el arte de la

construcción de fortificaciones. Con ese descubrimiento es Leonardo que

desplaza a Galileo como el maestro primero de las

Ciencias de la Construcción. Son los documentos

originarios de la ingeniería de aquella época y que

se adelanta a ella mediante ensayos y pruebas.

Según responsables de la Biblioteca de

Madrid dicen de las causas del extravío absurdo de

este Códice "es por el trasiego de la biblioteca

regia por cuatro sedes distintas, por una fatal con-

fusión de signatura y por el aura de Da Vinci, que

cegó a muchos para adosar su fama a la del genio.

Al final, estos escritos significan lo siguiente: Es

una suerte que se hayan "extraviados" pero no

"perdidos" esto último hubiera significa que algún

mediocre los haya destruido o utilizado en benefi-

cio cultural propio y egoísta.

Leonardo estudia los arcos romanos y busca encontrar las fuerzas

que se producen en cada una de las dovelas. Son escasos sus conocimientos

de la matemática en esa época y es por eso que busca la solución de los pro-

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blemas desde la geometría y mecanis-

mos ideales. En este caso de los arcos

imagina una cuerda que pasa por rolda-

nas, en el extremo cuelga un peso ima-

ginario. Con ese mecanismo de fantasía

lograr comprender parte del misterio de

esa resistencia que no es observable.

En otros esquemas busca so-

lucionar el problema anterior utili-

zando solo cuatro dovelas. El par de

cada lado las une con un tensor y el

peso propio del la mitad de arco lo

imagina con un "grave" o peso col-

gado del extremo de una cuerda.

El genio se adelanta a uno de los fenómenos

más extraños de la naturaleza de los materiales y sus

formas; la rotura en las columnas esbeltas. Intenta

separar la rotura de la geometría de la rotura del mate-

rial. Dibuja columnas con "graves" en su parte supe-

rior y las posibles elásticas de las columnas. Todo

desde dibujos, esquemas y escritos, sin ninguna ecua-

ción matemática. El efecto de la excentricidad de las

cargas lo representa como los esquemas dibujados

abajo.

En este dibujo de la izquierda se busca el efecto

de la condición de borde. En la columna superior se

hinca en la tierra, mientras que el dibujo inferior la co-

lumna posee una especie de zapata o base cuadrada.

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En los esquemas superiores Leonardo reflexiona sobre el grado de

eficiencia de una sola columna robusta respecto de varias columnas esbeltas.

La sección transversal de ambos casos es la misma. Por ejemplo una sola

columna cuadrada de 100 centímetros de lado comparada con 25 columnas

cuadradas de 20 centímetros de lado, separadas entre sí. En ambos casos la

sección total transversal es de 10.000 cm2. En su reflexión se pregunta cuál

de los dos diseños resiste más: la columna maciza resiste diez veces más que

el conjunto de las individuales separadas. Desde el Diseño Estructural en el

caso de edificios con plantas baja de gran altura, es conveniente colocar po-

cas columnas robustas que muchas columnas esbeltas.

Supone de manera profética que es imposi-

ble centrar una carga en el extremo de una columna.

En sus esquema representa la excentricidad de la

carga y la dirección que tomará la elástica del pan-

deo. Esto lo terminó por demostrar Timoshenko en el

año 1934.

Leonardo también ingresa al estudio de la resistencia de los materia-

les, en este esquema que figura en el Códice de Madrid muestra una máquina

de ensayos de barras a tracción. La describimos de la siguiente manera:

A - d: es la barra metálica que se ensaya.

I - A: es la estructura donde se cuelga todo

el sistema de ensayo.

C: es la tolva que se llena de arena antes del

ensayo, está sostenida por cuatro cables fi-

jados a los tirantes del techo.

d: es la boca de la tolva.

P: es el recipiente o cuba donde cae la are-

na.

Cuando la cuba llega a un determinado

peso, logra romper o quebrar la barra de ensayo

(en el caso de Leonardo era una barra tipo alambre de muy reducido diáme-

tro). Se ignora cómo lograba relacionar la carga con la sección transversal de

la barra, porque en aquella época aún no estaba incorporada la idea de la

tensión como relación de carga sobre superficie (kN/cm2).

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De todas investigaciones la que más asombra es el estudio de

la "elástica" o la "deformada" del viga, una cuestión que el mismo

Galileo la pasó por alto.

Leonardo dibuja cinco diferentes tipos de vigas. Todas de

madera pero distintas secciones, diferentes posiciones de las cargas y

también diferentes pesos. El vector fuerza que ahora utilizamos con

tanta frecuencia y poca reflexión, Leonardo lo dibuja mediante una

cuerda y un peso colgado en el extremo.

Este estudio merece ser estudiado con más extensión y por

ello esta página del cuaderno de Leonardo la separamos en cada una

de las vigas.

Leonardo escribe en el párrafo: "Deseo

colgar un peso en distintas partes de la

viga y que al cambiar de sitio, la viga

conserve la misma curvatura". Increíble

busca una curvatura constante mediante un

carga con intensidad y posición variables.

En esta otra viga Leonardo escribe: "Deseo col-

gar un mismo peso en distintas partes de la viga

y observar la deformación (elástica). En este

caso la curvatura será variable y también la

posición de la carga, pero la intensidad de ésta

será constante durante el ensayo".

"Deseo colocar varios pesos en el centro de la viga.

Cada peso será el doble del anterior. Quiero medir la

deformación (elástica)".

La curvatura es variable y también la intensidad de la

carga. Solo es constante la posición de la carga.

"Deseo conocer la deformación

de dos vigas de diferentes longi-

tudes y la misma relación en sus

sección".

En este estudio Leonardo cons-

truye una viga formada por cua-

tro tirantes y cuatro veces más larga que la viga pequeña dibujada a

la derecha con un solo tirante. En esta investigación busca la rela-

ción entre sección transversal y longitud de viga.

"Deseo obtener la carga en necesaria para

que tres vigas de distintas longitudes tengan

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la misma deformación. Cada viga doblará a la otra en longitud".

Leonardo en cada viga cuelga un peso necesario para que la sagita

(flecha) sea igual en todas. Mantiene en todas igual la sección y tipo

de madera de ensayo.

En el Códice de Madrid existen varias otras exploraciones realizadas

por Leonardo en el área de la piezas estructurales. Todas producen sorpresa

al reflexionar sobre el interés de este genio sobre la conducta de las vigas y

materiales. Si estudiamos en detalle el Códice de Leonardo y los estudios

realizados sobre las vigas hasta esa época, vemos que por primera vez se

estudian las deformadas o elástica.

La gran lección o ejemplo que nos lega Leonardo sobre el Diseño

Estructural, es la necesidad de aplicarlo solo después de conocer las virtudes

y defectos de los materiales, sus formas y condiciones de borde. El Diseño

Estructural es como un instrumento, como el piano; se debe conocer la "no-

ta" de cada tecla para ejecutar el diseño de una melodía.

Hooke y Young. Desde la muerte de Galileo (1638) le suceden otros científicos de la

época durante sesenta años, en el orden del título de este párrafo.

Hooke establece la ley de proporcionalidad de esfuerzos y deforma-

ciones de los materiales que resultará la herramienta principal para com-

prender el fenómeno de flexión interna de las vigas.

En física, la ley de elasticidad de Hooke ori-

ginalmente formulada para casos de fuerzas de trac-

ción en barras longitudinales, establece que el alar-

gamiento unitario que experimenta un material elásti-

co es directamente proporcional a la fuerza aplicada.

También se lo define como "la tensión de trabajo en

una barra a tracción es proporcional al desplazamien-

to relativo:

𝜎 = 𝐸𝜀 = ∆𝑙

𝑙

Esta ecuación permitirá consolidar la teoría de la flexión. Hooke es-

tablece la relación, pero es Young quien determina la constante de la propor-

cionalidad.

Young indica el valor del módulo de elasticidad de los materiales

que hasta la fecha están en uso. Investiga las deformaciones elásticas produ-

cidas por los esfuerzos tangenciales. Realizó estudios de materiales propo-

niendo una medida de la rigidez de diferentes materiales conocida en la ac-

tualidad como módulo de Young o módulo elástico "E".

Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene

el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una cons-

tante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo

denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero. Con esta constante

"E" de cada material se configura de manera completa la ley de Hooke: El

valor "E" es la constante de proporcionalidad.

Newton y Leibniz. A pesar que la fuerza (N = kg m/seg

2) tiene entre sus unidades el

tiempo (segundos al cuadrado), en el estudio de las vigas hasta finales del

siglo XVI solo se la trataba de manera estática, quieta y estable; el tiempo de

formación de una elástica no era posible estudiarla, tampoco su forma. Sin

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embargo resultaba evidente porque era posible medir-

las, que las viga se deformaban, que existía una elástica

y que esa curva materializada por la viga respondería a

alguna ecuación matemática.

Con Newton y Leibniz aparece la herramienta:

el cálculo infinitesimal que es el estudio del cambio, en

la misma manera que la geometría es el estudio del

espacio. El cálculo infinitesimal se usa para resolver

problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insu-

ficiente. Este cálculo se construye con base en el álge-

bra, la trigonometría y la geometría analítica.

En la figura aparece una viga en voladizo. La

principal evidencia es la elástica que se forma según la

magnitud y posición de la carga. Con el cálculo infini-

tesimal es posible completar las ecuaciones de la

flexión en la viga.

Con esta herramienta se logra escribir la ecua-

ción matemática y = f (x) que describe la curva de la deformada (Ver pdf

"Timoshenko" Capítulo IV "Fatigas en vigas" y Capítulo V "Deformación de vigas"

(archivo pdf adjunto).

Con esto se consolida la teoría de la flexión pero lo hace desde la in-

corporación de hipótesis de realidad aproximada o simplificada. Las varia-

bles que participan en las ecuaciones finales son todas la que puede tener una

viga tanto en su entorno externo como de su masa interna.

𝜎 =𝑀

𝑊

𝑑𝜃

𝑑𝑥=𝑑2𝑦

𝑑2𝑥=

1

𝑟=

𝑀

𝐸𝐼

l: longitud de viga, dentro del "M" flector externo.

q: la carga también dentro del "M".

CB: la condición de borde como denominador del "M" (ql2/m).

M: momento flector externo, herramienta abstracta para efectuar el

dimensionado de la pieza.

b: ancho de la pieza de sección rectangular en "W" o "I".

h: alto de la pieza de sección rectangular en "W" o "I".

W: módulo resistente, participa la forma que se coloca la viga según

el plano de flexión.

I: momento de inercia, similar al W, pero en el estudio de la defor-

mada.

E: el módulo de elasticidad del material de la viga.

r: el radio de giro de la curvatura.

σ: tensión de tracción o de compresión.

Ɵ: el ángulo de giro del extremo de viga.

Con estas breves lecturas observamos que el uso de las “hipótesis”

son necesarias no solo para elaborar una teoría, sino también para la tarea de

un correcto Diseño Estructural. En este último es necesario generar la cos-

tumbre de emplear varias hipótesis de diseño, para luego en el avance ajus-

tarlas, rechazarlas o afirmarlas y así llegar al final.

Fin “historia diseño estructural 2”