Espacios Vectoriales

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA I

TEMA 1: Espacios Vectoriales

1. ¿Que es un grupo?

Ya sabes que existen conjuntos donde puedes realizar operaciones con sus elementossin salir de ellos. Estas operaciones tienen propiedades importantes y dan lugar a lo quelos matematicos llamamos estructuras algebraicas. Una de las mas importantes, no solo enmatematicas, sino tambien en fısica, es la de grupo. Antes de recordarte lo que es un grupovoy a describirte una serie de situaciones, distintas, pero que tienen en comun algunas cosas.Estas, son las que nos serviran para hacer la definicion.

(1) Un grupo de numeros. Considera el conjunto de los numeros reales, R, y en el consid-era la operacion suma. Es claro que esta se puede ver como una aplicacion en el sentidosiguiente

+ : R× R→ R, (a, b) 7→ a + b.

Como ya sabes esta operacion tiene las siguientes propiedades:

1. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ R2. Existencia de neutro: a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ R3. Existencia de opuesto o simetrico: a + (−a) = −a + a = 0, ∀a ∈ R4. Conmutativa: a + b = b + a, ∀a, b ∈ R

(2) Otro grupo de numeros. Analogamente, puedes considerar el conjunto de los numeroscomplejos, C = {a + ib : a, b ∈ R} y en el la suma de numeros complejos, que puedesver como

+ : C× C→ R, (a1 + ib1, a2 + ib2) 7→ a1 + a2 + i(b1 + b2),

que, como sabes, tiene las mismas propiedades anteriores.

(3) El plano y el espacio. Desde bachillerato, sabes como se suman los elementos de R2 yde R3. Esta operacion, que puedes representar por + : Rn×Rn → Rn, la puedes extendera Rn (para cualquier n ∈ N) definiendo

(a1, a2, · · · , an) + (b1, b2, · · · , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, · · · , an + bn).

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Claramente esta operacion tiene, formalmente, las mismas propiedades anteriores. Esasociativa y conmutativa. El elemento neutro es (0, 0, · · · , 0) y el opuesto de (a1, a2, · · · , an)es (−a1,−a2, · · · ,−an).

Naturalmente, la misma idea vale para ver que esta misma situacion se presenta cuandoconsideras el conjunto Cn, n ∈ N con la suma definida de manera obvia.

(4) Un grupo de matrices. Ya sabes que si sumas matrices de un cierto orden vuelves aobtener otra matriz del mismo orden. Esto lo puedes representar del siguiente modo

+ : Mmn(K)×Mmn(K) → Mmn(K), (M,N) 7→ M + N,

donde estamos representando por Mmn(K) al conjunto de las matrices con m filas, ncolumnas y elementos en K, siendo K el conjunto de los numeros reales R o bien el delos numeros complejos C. Esta operacion tenıa las siguientes propiedades

1. Asociativa. (M + N) + P = M + (N + P ), ∀M, N, P ∈ Mmn(K)

2. Existencia de neutro. Existe una matriz en Mmn(K), aquella que tiene todo ceros,que representaremos por O, la cual verifica, M + O = O + M, ∀M ∈ Mmn(K)

3. Existencia de opuesto o simetrico. Para toda matriz, M ∈ Mmn(K), existe otra (suopuesta), que llamaremos −M (sus elementos son los opuestos de los de M) y estal que, M + (−M) = O.

4. Conmutativa. M + N = N + M, ∀M, N ∈ Mmn(K).

(5) Un grupo de funciones. Imagınate que F(R,R) es un conjunto cuyos elementos sonlas funciones de R en R. Si tomas dos elementos de F(R,R), seran de la forma

f : R→ R, g : R→ R

es obvio entonces, que puedes definir otro elemento de F(R,R), sumando los anteriores,es decir

f + g : R→ R, donde (f + g)(x) = f(x) + g(x)

ademas, puedes comprobar, de manera sencilla, que esta operacion tiene las siguientespropiedades

1. Asociativa. (f + g) + h = f + (g + h), ∀f, g, h ∈ F(R,R)

2. Existencia de neutro. Existe una funcion en F(R,R), aquella que aplica cualquiernumero real en el cero, que representaremos por f0, la cual verifica, f + f0 =f0 + f, ∀f ∈ F(R,R)

3. Existencia de opuesto o simetrico. Para toda funcion, f ∈ F(R,R), existe otra (suopuesta), que llamaremos −f (la imagen por −f de un numero real, x es el opuestode la imagen por f de x) y es tal que, f + (−f) = f0.

4. Conmutativa. f + g = g + f, ∀f, g ∈ F(R,R)

2

(6) Un grupo algo mas raro. Considera el conjunto R2+ = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 y > 0},

geometricamente lo puedes ver como el primer cuadrante, abierto es decir sin contar losejes, del plano. Entonces puedes definir en el una operacion del siguiente modo

? : R2+ × R2

+ → R2+, (x, y) ? (x′, y′) = (x.x′, y.y′),

ahora es facil ver que la operacion es asociativa y conmutativa. Ademas (1, 1) funcionacomo elemento neutro y el opuesto de (x, y) es (x−1, y−1) de manera que formalmente setienen las mismas propiedades.

F Cuando tengas un conjunto con una operacion, como en los cuatro ejemplos anteriores,esto es, siendo: asociativa, teniendo un elemento neutro, teniendo opuesto o simetrico paracualquier elemento y siendo conmutativa; entonces lo que tienes es un grupo conmutativoo abeliano.

F Existen grupos que no son conmutativos (o abelianos). Esto es situaciones, formalmenteiguales a las anteriores salvo en lo relativo a la propiedad conmutativa, la cual no se cumpleen general.

F Para convencerte de lo anterior, voy a insinuarte un par de ejemplos. Te recomiendo quelos completes con detalle.

El grupo multiplicativo de las matrices regulares, Grupo lineal. Recuerda que una ma-triz regular es una cuadrada que posee una inversa para el producto de matrices. Re-cuerda tambien que el producto de matrices es, en general, no conmutativo. Lo tenemosfacil, sea Gln(R) el conjunto de las matrices regulares de orden n y elementos en R.Consideramos el producto de matrices

∗ : Gln(R)×Gln(R) → Gln(R),

fıjate que el producto de dos matrices regulares sigue siendo otra matriz regular. Esto, seobtiene facilmente de los hechos siguientes. Primero una matriz es regular si y solo si sudeterminante es distinto de cero. Segundo el determinante de un producto de matriceses el producto de los determinantes, propiedades de los determinantes que ya conoces.

Una vez que tenemos una operacion interna en Gln(R), la cual ya sabemos que es noconmutativa, para ver que se dispone de un grupo (multiplicativo) solo hay que recordarlo siguiente

El producto de matrices es asociativo.

La matriz identidad de orden n, In, es regular y funciona como elemento neutro.

Toda matriz de Gln(R), por ser regular posee una inversa, la cual funciona comoopuesta para el producto.

El Grupo Ortogonal. Dentro del grupo lineal, anteriormente considerado, puedes consider-ar el subconjunto de aquellas matrices que verifican la siguiente ligadura

M ∗M t = M t ∗M = In

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estas matrices que poseen inversa, son regulares, y ademas la inversa coincide con latraspuesta, se llaman matrices ortogonales, el conjunto de todas ellas, se representa porO(n) y con el producto de matrices tiene tambien estructura de grupo, es un subgrupodel grupo lineas, al que llamaremos el grupo ortogonal. Recuerda todo lo que hemosestudiado de este grupo en el tema de matrices.

Un grupo no conmutativo algo mas complicado. Considera el conjunto de las aplica-ciones biyectivas de R en R. A este conjunto, le vamos a representar por B(R,R), suselementos son aplicaciones biyectivas, f : R → R. Puedes ver que si compones dos detales aplicaciones, entonces tienes otra aplicacion biyectiva y por tanto tenemos unaoperacion en B(R,R) que se puede representar por

• : B(R,R)×B(R,R) → B(R,R), definida por (f, g) 7→ g • f

y recuerda que (g • f)(x) = g(f(x)), ∀x ∈ R. Esta operacion tiene las siguientespropiedades, cuya comprobacion tendrıa que resultarte sencilla

Asociativa. (h • g) • f = h • (g • f), ∀f, g, h ∈ B(R,R)

Existencia de neutro. Existe una aplicacion en B(R,R) muy especial, la identidad, larepresentamos por I y esta definida por I(x) = x, ∀x ∈ R. Esta aplicacion funcionacomo elemento neutro puesto que se verifica lo siguiente I•f = f • I cualquiera quesea f ∈ B(R,R).

Existencia de opuesto. Finalmente, el hecho de que las aplicaciones que estamos con-siderando sean biyectivas, permite considerar la inversa de una dada. Si f−1 repre-senta a la inversa de f ∈ B(R,R), entonces f • f−1 = f−1 • f = I.

Todo esto se reduce diciendo que (B(R,R), •) es un grupo. No obstante, el grupo no esconmutativo. Para convencerte de ello, considera los dos siguientes elementos de B(R,R)

f, g : R→ R, f(x) = 2x, g(x) = x− 1,

entonces

(g • f)(x) = g(2x) = 2x− 1, mientras que (f • g)(x) = f(x− 1) = 2x− 2,

evidentemente, estas dos aplicaciones no son iguales.

2. ¿Que es un espacio vectorial?

Otra estructura algebraica, esencial en muchos topicos de fısica y matematica, es la de espaciovectorial. En los espacios vectoriales, uno puede sumar sus elementos pero tambien los puedemultiplicar por escalares (numeros reales o complejos), el resultado de las dos operaciones siguesiendo un elemento del espacio vectorial. A continuacion te voy a dar la definicion precisa delo que es un espacio vectorial. Despues, vamos a considerar algunos ejemplos.

♣ Definicion de espacio Vectorial. Un espacio vectorial es un conjunto, V, el cual admitedos operaciones:

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Una interna, que representaremos por +, para la cual (V, +) es un grupo conmutativo.

La segunda es externa, se necesita otro conjunto para definirla, sus elementos se puedenmultiplicar por numeros reales o complejos (escalares)

K×V → V, (a, ~x) 7→ a · ~x.

Naturalmente para que (V, +, .) sea un espacio vectorial, ademas de que (V, +) sea un grupoabeliano, la segunda operacion necesita cumplir las siguientes propiedades:

Distributiva para la suma de escalares.

(a + b) · ~x = a · ~x + b · ~x, ∀a, b ∈ K, ∀~x ∈ V.

Distributiva para la suma de V.

a · (~x + ~y) = a · ~x + a · ~y, ∀a ∈ K, ∀~x, ~y ∈ V.

Pseudo-asociativa.(a.b) · ~x = a · (b · ~x), ∀a, b ∈ K, ∀~x ∈ V.

Ley de identidad.1 · ~x = ~x, ∀~x ∈ K.

♣ Algo de nomenclatura. Cuando tengamos un espacio vectorial, (V, +, ·), entonces a loselementos de V les llamaremos vectores (por eso le hemos puesto una flechita encima) mientrasque los elementos de K seran llamados escalares. El espacio vectorial sera real o complejo segunque K sea R o C, respectivamente. En particular, el vector cero sera el neutro para la suma yse le representara por ~0.

♣ A estas alturas ya conoces algunos ejemplos de espacios vectoriales. En efecto, el plano,R2 y el espacio, R3 son ejemplos de espacios vectoriales con la suma y producto por numerosreales. De manera general, Rn es un espacio vectorial con la suma, ya definida, y el siguienteproducto por reales

a · (a1, a2, · · · , an) = (a.a1, a.a2, · · · , a.an)

Observa, en particular, que R es un espacio vectorial real con la suma y producto de numerosreales.

♣ De la misma manera, Cn es un espacio vectorial complejo. Ya sabes que es un grupo aditivoy abeliano: Ademas puedes definir el producto por escalares del siguiente modo

z · (z1, z2, ..., zn) = (z.z1, z.z2, ..., z.zn), z ∈ C, (z1, z2, ..., zn) ∈ Cn.

Entonces tienes un espacio vectorial complejo.

♣Otros ejemplos. Como ya conoces, recuerda el capıtulo anterior, el conjunto de las matricesde ordenes fijados, con la suma y el producto por reales o complejos segun el caso, ya definidos,constituye un ejemplo importante de espacio vectorial. (Mm×n(K), +, ·) es un espacio vectorialreal o complejo segun que K sea R o C, respectivamente..

Los siguientes, son ejemplos de espacios vectoriales, deberıas comprobarlo:

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1. El conjunto de las matrices simetricas, y elementos en K, con la suma de matrices yproducto por elementos de K, (Sn(K), +, ·) es un espacio vectorial real sobre el cuerpoK.

2. El conjunto de las matrices antisimetricas, y elementos en K, con la sumade matrices yproducto por elementos de K, (An(K), +, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.

3. El conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n y coeficientes en K, conla suma y producto por elementos de K ordinarios, (Pn(K), +, ·) es un espacio vectorialsobre K.

4. Considera el siguiente subconjunto de K2 con la suma y producto por reales ya definidospara R2,

U = {(x, y) ∈ K2 : x + y = 0}.Entonces, (U, +, ·) es un espacio vectorial.

5. En K2 considera el conjunto U = {(z1, z2) ∈ K2 : z1 − z2 = 0}, comprueba que es unespacio vectorial con las mismas operaciones de K2.

6. Considera el siguiente subconjunto de K3 con la suma y producto por reales ya definidospara K3,

U = {(x, y, z) ∈ K3 : x + y − z = 0}.Entonces, (U, +, ·) es un espacio vectorial.

7. Considera el siguiente subconjunto de K3 con la suma y producto por elementos de Kya definidos para K3,

U = {(x, y, z) ∈ K3 : x + y = 0, x− z = 0}.

Entonces, (U, +, ·) es un espacio vectorial.

8. Considera el siguiente subconjunto de K4 con la suma y producto por elementos de Kya definidos para K4,

U = {(x, y, z, t) ∈ K4 : x + y + z + t = 0, x + y − z + 4t = 0}.

Entonces, (U, +, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.

9. Considera la matriz

M =

1 32 13 24 1

entonces puedes considerar el conjunto de vectores de K4 definido como sigue

U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ K4 :(

x1 x2 x3 x4

).M =

(0 0

)

Este conjunto con la suma de vectores y el producto por elementos de K definido sobreK4 es un espacio vectorial.

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10. Considera el siguiente subconjunto de Kn con las operaciones ya definidas para Kn,

U = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Kn : a1 + a2 + · · ·+ an = 0}.


11. Ya sabes que F(R,R) es un grupo aditivo abeliano. Ahora, ademas puedes definir elproducto de un numero real por una funcion de R en R como sigue

(α.f)(t) = α.f(t)

obteniendo ası una nueva funcion de F(R,R). Es sencillo comprobar que verifica lascuatro propiedades necesarias para ser un espacio vectorial real.

12. Si representamos por C(R,R) al subconjunto de F(R,R) cuyos elementos son funcionescontinuas, sabes que la suma de dos funciones continuas sigue siendo continua. Tam-bien la funcion resultante de multiplicar una continua por un numero real sigue siendocontinua. Ası C(R,R) es tanbien un espacio vectorial real con las anteriores operaciones.

13. Considera ahora una partıcula con masa m moviendose de acuerdo a un movimientoarmonico simple sobre un eje. Representamos por f(t) a la funcion que representa ladistancia (elongacion) de la partıcula en cada instante de tiempo t. La naturaleza delmovimiento indica que la fuerza sobre la partıcula, en cada instante, es proporcional alopuesto de su vector de posicion. Consiguientemente, la elongacion, f(t) debe ser unasolucion de la siguiente ecuacion diferencial

mf ′′(t) = −κ f(t) ecuacionmovimiento armonico simple

Resulta que el conjunto de las soluciones de esta ecuacion diferencial, con las operacionesde suma y producto por numero reales definidas en F(R,R), es un espacio vectorial real.Por ejemplo puedes comprobar, de modo sencillo, que las funciones

f1(t) = cos ω t y f2(t) = sin ω t

con ω2 = κm

son soluciones de la anterior ecuacion diferencial. Lo que, como tambienpuedes ver, implica que para cualquier pareja de numeros reales, λ1 y λ2 se tiene que lafuncion

f(t) = λ1 cos ω t + λ2 sin ω t

es tambien solucion de la ecuacion diferencial.

14. Recuerda que (R2∗, ?) es un grupo abeliano. Lo puedes definir en un espacio vectorial real

definiendo el siguiente producto por escalares

∗ : R× R2∗ → R2

∗, α ∗ (x, y) = (xα, yα),

puedes entonces comprobar que se cumplen las cuatro propiedades (distributivas, pseu-doasociativa y ley de unidad) de manera que (R2

∗, ?, ∗) es un espacio vectorial real.

15. Puedes tambien entretenerte en comprobar que todo espacio vectorial complejo au-tomaticamente es un espacio vectorial real.

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16. En M2(C) los conjuntos de matrices simetricas y antisimetricas son espacios vectorialescomplejos con las operaciones originarias.

Problema: En el espacio vectorial M2(C) consideras los siguientes subconjuntos

U1 = {A ∈ M2(C) : A = A}, U2 = {A ∈ M2(C) : A = −A},

¿son espacios vectoriales con las mismas operaciones que tienes definidas en M2(C)? ¿sonespacios vectoriales reales?

Los siguientes, no son ejemplos de espacios vectoriales, deberıas comprobarlo:


U = {(x, y) ∈ K2 : x + y = 1}.Entonces, (U, +, ·) no es un espacio vectorial.

2. Considera el siguiente subconjunto de K3 con la suma y producto por reales ya definidospara R3,

U = {(x, y, z) ∈ K3 : x + y − z = 16}.

Entonces, (U, +, ·) no es un espacio vectorial.


U = {(x, y) ∈ K2 : x2 − y = 0}.


4. El conjunto de las matrices ortogonales, digamos que de orden dos O(2), con la suma yproducto por reales ya definidos en M2(R), no es un espacio vectorial.

5. El subconjunto de C formado por los numeros complejos cuyo modulo vale uno

S1 = {z ∈ C : |z| = 1},

no es un espacio vectorial, ni complejo ni real, con las operaciones usuales de C comoespacio vectorial.

6. En C3 consideras los siguientes subconjuntos Ur = {(z1, z2, z3) ∈ C3 : z1− z2− z3 = r}.Comprueba que la unica posibilidad para que sea un espacio vectorial complejo, con lasoperaciones de C3, es que r = 0.

7. Grupo Unitario de orden dos: El subconjunto, U(2) de M2(C) formado por aquellasmatrices, A, que verifican A.At = I2 es un grupo (multiplicatino y no abeliano) pero noes un espacio vectorial con las operaciones de M2(C).

8. Grupo Especial: El conjunto de Mn(K) formado por aquellas matrices con determi-nante uno, no es un espacio vectorial con las operaciones de Mn(K).

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♠ Propiedades de vectores y escalares en un Espacio Vectorial. En cualquier espaciovectorial se verifican las siguientes propiedades, que se pueden deducir de manera sencilla apartir de la definicion del mismo:

El vector cero de un espacio vectorial es unico.

Un vector de un espacio vectorial no puede tener dos opuestos.

0 · ~x = ~0

a ·~0 = ~0

Si a · ~x = ~0 entonces a = 0 o ~x = ~0

−(a · ~x) = (−a) · ~x = a · (−~x)

a · (~x− ~y) = a · ~x− a · ~y(a− b) · ~x = a · ~x− a · ~ySi a · ~x = b · ~x y ~x 6= ~0 entonces a = b

Si a · ~x = a · ~y y a 6= 0 entonces ~x = ~y

3. Combinaciones Lineales

En un espacio vectorial uno puede sumar vectores y multiplicarlos por escalares. Ası, usandoestas dos operaciones uno puede generar muchos vectores a partir de unos pocos. Por ejemplo,si nos dan un vector, ~x ∈ V, en un espacio vectorial, V; entonces podemos definir todos losvectores siguientes

a · ~x, a ∈ K,

cada uno de estos vectores, multiplo del vector dado, se llamara una combinacion lineal de ~x.

Naturalmente, esta idea es digna de ser extendida. En efecto, si nos dan dos vectores, ~x, ~y ∈ V,de un espacio vectorial, entonces podemos definir las combinaciones lineales de ellos, simple-mente sumando los multiplos de ~x con los de ~y obteniendo ası un buen conjunto de vectoresde V

{a · ~x + b · ~y : a, b ∈ K}.

Imagınate ahora que te dan un conjunto de vectores ~x1, ~x2, · · · , ~xk de un espacio vectorial, V,entonces una combinacion lineal de ellos es otro vector de V que se puede escribir sumandoun multiplo de cada uno de ellos, esto es de la forma

a1 · ~x1 + a2 · ~x2 + · · ·+ ak · ~xk =k∑

i=1

ai · ~xi.

F Veamos algunos ejercicios sobre combinaciones lineales:

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1. En el espacio vectorial R2 prueba que el vector ~x = (1, 0) es una combinacion lineal de losvectores ~x1 = (1, 1) y ~x2 = (1,−2). Para resolverlo, observa que tienes que calcular dosnumeros reales, sean a y b, de manera que

~x = a · ~x1 + b · ~x2,

esto es(1, 0) = a.(1, 1) + b.(1,−2),

lo que lleva a resolver el sistema de ecuaciones lineales

a + b = 1

a− 2b = 0

esto te lleva a que a = 23

y b = 13.

2. Prueba que toda matriz antisimetrica de orden dos es una combinacion lineal de la matriz(

0 −44 0

)

Puesto que toda matriz antisimetrica de orden dos es de la forma(

0 a−a 0

)

para un cierto escalar a. Entonces se tiene(

0 a−a 0

)= −a

4·(

0 −44 0

)

3. En el espacio vectorial K3 se considera el siguiente conjunto de vectores

U = {(x, y, z) ∈ K3 : x + y + z = 0}.Prueba que cualquier vector de U es combinacion lineal de los vectores (1, 0,−1) y (0, 1,−1).En efecto, cada vector de U es de la forma (x, y,−x− y) y por tanto

(x, y,−x− y) = x.(1, 0,−1) + y.(0, 1,−1).

4. Prueba que todo polinomio de grado menor o igual que dos, y coeficientes en K, es combi-nacion lineal de los siguientes polinomios

P1(t) = t2, P2(t) = t + t2, P3(t) = 1 + t + t2.

En efecto, para cualquier polinomio, ao + a1 t + a2 t2, hay que encontrar tres escalares,sean a, b, c, de manera que

ao + a1 t + a2 t2 = a.P1(t) + b.P2(t) + c.P3(t),

lo que lleva a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

a + b + c = a2

b + c = a1

c = ao

La solucion es entonces a = a2 − a1, b = a1 − ao, c = ao

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5. En el espacio vectorial M2(K) se consideran los siguientes cuatro vectores

M1 =

(1 00 1

)M2 =

(0 11 0

)M3 =

(1 00 −1

)M4 =

(0 1

−1 0

)

Comprueba que ninguno de ellos es combinacion lineal de los otros tres.

6. Considera el vector de M2(C) definido por

M =

(4i 2

2− i 1− i

)

comprueba que lo puedes escribir como una combinacion lineal de los cuatro vectoresdados en el ejercicio anterior.

7. En el espacio vectorial K4 comprueba que el vector ~x = (1, 1, 1, 1) lo puedes escribircomo combinacion lineal de los siguientes vectores ~x1 = (2, 0, 0, 2), ~x2 = (2, 0, 0,−2),~x3 = (0, 1,−1, 0) y ~x4 = (0,−1,−1, 0)

8. Se consideran los vectores f1(t) = cos t y f2(t) = sin t en el espacio vectorial C(R,R).Comprueba que el vector f(t) = cos 2t no se puede escribir como una combinacion linealde los dos vectores dados.

9. Ya sabes que C2 es un espacio vectorial complejo, entonces cualquier vector de el sepuede escribir como una combinacion lineal de los vectores ~e1 = (1, 0) y ~e2 = (0, 1), enefecto

(z1, z2) = z1(1, 0) + z2(0, 1) = z1 ~e1 + z2 ~e2, z1, z2 ∈ C.

Por otro lado, como ya se ha dicho, todo espacio vectorial complejo es tambien un espaciovectorial real, con la misma suma y el producto por escalares restringido a los reales.No obstante, en este sentido tienes que observar lo siguiente: imagina que consideras elvector ~v = (2 + 3i, 1− i) de C2 entonces si vemos a C2 como espacio vectorial complejo,tiene sentido escribir

~v = (2 + 3i)~e1 + (1− i)~e2,

sin embargo si lo consideramos como un espacio vectorial real entonces la expresion ante-rior no tiene sentido. Para poder escribir, en este caso, al vector ~v, como una combinacionlineal de vectores, necesitamos que los escalares sean reales. Una manera de hacerlo esla siguiente

~v = (2 + 3i, 1− i) = 2(1, 0) + 3(i, 0) + (0, 1)− (0, i).

10. En el espacio vectorial C3 comprueba que cualquier vector es combinacion lineal de lossiguientes tres vectores

~v1 = (i, 1, 0), ~v2 = (−i, 1, 0), ~v3 = (0, 0, 1− i).

¿Serıa lo anterior cierto si C3 lo consideras como un espacio vectorial real?

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4. Sistemas de Generadores

Una ventaja que tienen los espacios vectoriales es que a partir de unos pocos de sus vectores ymediante combinaciones lineales de ellos, uno puede conocer o calcular un monton de vectoresy a veces todos los vectores. En un espacio vectorial, V, puede ocurrir que exista un conjuntode vectores, G, de manera que cualquier vector de V sea combinacion lineal de los vectores deG, entonces diremos que G es un sistema de generadores de V. Si un espacio vectorial admiteun sistema de generadores fintito, entonces diremos que el espacio vectorial es finitamentegenerado. En este curso y a partir de ahora consideraremos que los espacios vectoriales sonfinitamente generados a menos que de manera explıcita se diga lo contrario. Algunos ejemplosde sistemas d generadores ya conoces, otros los acabamos de obtener. Seguro que los siguienteste suenan

Todo vector de R2 es combinacion lineal de los vectores (1, 0) y (0, 1). Diremos queestos vectores forman o son un sistema de generadores del plano. Pero tambientodo vector del plano es combinacion lineal de los vectores (1, 0), (1, 2). Otro sistemade generadores del plano. Tambien todo vector de R2 es combinacion lineal de losvectores (1, 0), (1, 1) y (1,−1), un nuevo sistema de generadores del plano. Seguro quesabes obtener un monton de sistemas de generadores del plano.

Como has visto en un ejercicio anterior todo polinomio de grado menor o igual que doses combinacion lineal de los siguientes polinomios

P1(t) = t2, P2(t) = t + t2, P3(t) = 1 + t + t2.

Ası, estos tres polinomios forman un sistema de generadores de P2(K). Calcula otrossistemas de generadores de P2(K).

Las siguientes matrices forman un sistema de generadores del espacio vectorial de lasmatrices simetricas de orden dos, S2(K), pues cualquier matriz simetrica de orden doses combinacion lineal de ellas

M1

(1 00 1

), M2 =

(1 00 −1

), M3 =

(0 11 0

)

En efecto dada cualquier matriz simetrica

M =

(a11 a12

a12 a22

)

habra que calcular escalares α, β, γ de manera que

M = α M1 + β M2 + γ M3.

Esto te lleva a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

α + β = a11

γ = a12

α− β = a22

12

con lo que

α =a11 + a22

2, β =

a11 − a22

2, γ = a12.

Entonces(

a11 a12

a12 a22

)=

a11 + a22

2

(1 00 1

)+

a11 − a22

2

(1 00 −1

)+ a12

(0 11 0

)

Los vectores ~x = (1, 0,−1) e ~y = (0, 1,−1) de K3 no forman un sistema de generadores dedicho espacio vectorial. En efecto, el vector ~v = (1, 0, 0), por ejemplo, no es combinacionlineal de ellos. Para convencerte de ello, tratemos de escribirlo como combinacion lineal,tendrıamos que encontrar dos numeros reales α, β de manera que

(1, 0, 0) = α (1, 0,−1) + β (0, 1,−1),

por lo que tendrıamos el sistema de ecuaciones lineales

α = 1

β = 0

α + β = 0

y esto, obviamente es imposible.

No obstante, los vectores ~x = (1, 0,−1) e ~y = (0, 1,−1) si que forman un sistema degeneradores, como has visto en el tercer ejercicio anterior, del espacio vectorial siguiente:

U = {(x, y, z) ∈ K3 : x + y + z = 0}

Calcula un sistema de generadores del espacio vectorial P3(K) que contenga a los sigu-ientes polinomios

P1(t) = 1− t + t2 − t3 P2(t) = 1 + t + t2 + t3

¿Cual es el menor numero de polinomios que necesitas para generar P3(K)

En C2 considera U = {(z1, z2) ∈ C2 : 2z1 − z2 = 0}. Comprueba que es un espaciovectorial complejo y calcula sistemas de generadores del mismo visto como un espaciovectorial complejo y como espacio vectorial real, respectivamente.

5. Dependencia e Independencia Lineales

La relacion entre los vectores de un espacio vectorial esta, esencialmente, descrita mediante ladependencia lineal.

Definicion: Dependencia e Independencia Lineales. Los vectores,{~u1, ~u2, · · · , ~ur} de un espacio vectorial, V, se dicen que son linealmente dependientes si, almenos, uno de ellos es combinacion lineal del resto. Cuando esto no ocurra, se dira que losvectores son linealmente independientes.

13

Imagınate que tienes vectores linealmente dependientes, entonces, al menos uno (consideraque es el primero), es combinacion lineal del resto, es decir

~u1 =r∑

i=2

ai ~ui,

entonces, lo anterior se puede escribir como sigue

~0 = −~u1 +r∑

i=2

ai ~ui,

esto prueba que el vector cero es combinacion lineal (no trivial, es decir con algun coeficienteno nulo) de los r vectores.

Lo bueno de esto, es que al contrario tambien se cumple. Es decir que si el vector cero escombinacion lineal, no trivial, de r vectores entonces estos son linealmente dependientes. Enefecto si tienes

~0 =r∑

j=1

αj ~uj,

y al menos un coeficiente es no nulo, considera que es el α1, entonces puedes escribir

~u1 = −r∑

j=2

αj

α1

~uj,

lo que prueba que los vectores son linealmente dependientes, pues uno de ellos es combinacionlineal del resto.

Como consecuencia de todo esto, tenemos el siguiente test para la dependencia e independencialineales.

1. Escribes ~0 =∑r

j=1 αj ~uj

2. Si lo puedes hacer con algun coeficiente no nulo, entonces los vectores son linealmentedependientes.

3. Si por el contrario, la unica posibilidad es con todos los coeficientes cero, entonces sonlinealmente independientes.

F Los siguientes ejemplos, seguramente, te aclararan los conceptos anteriores.

1. Prueba que los siguientes vectores de K2 son linealmente dependientes:

~u1 = (1, 1), ~u2 = (1,−1), ~u3 = (3, 1).

Si escribes~0 = (0, 0) = a1(1, 1) + a2(1,−1) + a3(3, 1),

obtienes

a1 + a2 + 3 a3 = 0

a1 − a2 + a3 = 0

ahora, este sistema tiene soluciones no triviales, por ejemplo a1 = −2, a2 = −1, a3 = 1,lo que prueba la dependencia lineal.

14

2. Prueba que los siguiente vectores de P2(K) son linealmente independientes

P1(t) = 1 + t + t2, P2(t) = 1 + t, P3(t) = 1− t.

Si escribes~0 = a1 P1(t) + a2 P2(t) + a3 P3(t),

obtienes

a1 + a2 + a3 = 0

a1 + a2 − a3 = 0

a1 = 0

y obviamente, la unica solucion es la trivial, a1 = a2 = a3 = 0.

3. En el espacio vectorial S2(K) de las matrices cuadradas y simetricas de orden dos,considera los siguientes vectores

(0 11 0

),

(1 00 1

),

( −1 00 1

),

prueba que son linealmente independientes.

4. En el espacio vectorial M2(K) de las matrices cuadradas de orden dos, considera lossiguientes vectores

(0 11 0

),

(1 00 1

),

( −1 00 1

),

(0 1

−1 0

)

prueba que son linealmente independientes.

Para saber si lo has entendido.

Si tienes r vectores, {~u1, ~u2, ..., ~ur} de un espacio vectorial, V, que son linealmente de-pendientes y anades otro vector, ~ur+1 prueba que los r+1 vectores, {~u1, ~u2, ..., ~ur+1} sonlinealmente dependientes.

Si tienes r vectores, {~u1, ~u2, ..., ~ur} de un espacio vectorial, V, que son linealmente inde-pendientes y quitas uno de ellos, por ejemplo el ~ur, prueba que los r− 1 vectores que tequedan, {~u1, ~u2, ..., ~ur−1}, son linealmente independientes.

6. Bases y Dimension de un espacio vectorial

En un espacio vectorial, existen unos sistemas de generadores mejores que otros. Por ejemplo,en el espacio vectorial R2 los dos siguientes conjuntos de vectores son sistemas de generadores

G1 = {(2, 0), (0,−2), (1, 1)}G2 = {(2, 0), (0,−2)}

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no obstante, tienes que convenir que el segundo es mejor que el primero puesto quecon menos vectores eres capaz de generar el mismo espacio vectorial. Ademas,observa que los vectores del primero son linealmente dependientes mientras que los del segundoson linealmente independientes. Esto es importante. El hecho de que los vectores de G2

sean linealmente independientes permite hablar de coordenadas con respecto a el. Cualquiervector de R2 es combinacion lineal, de manera unica, de los vectores de G2. En efecto,∀~x = (x, y) ∈ R2, se puede escribir como combinacion lineal de los vectores de G2 de unaunica forma

~x = (x, y) =x

2(2, 0) +

−y

2(0,−2)

esto permite hablar de coordenadas, se puede decir, sin ninguna ambiguedad que x/2 y −y/2son las coordenadas de ~x en el sistema de generadores G2. Por el contrario, la expresionde un vector como combinacion lineal de los de G1 no es unica. En efecto, observa losiguiente

~x = (x, y) =x− 1

2(2, 0) +

−y + 1

2(0,−2) + (1, 1)

pero tambien

~x = (x, y) =x− 2

2(2, 0) +

−y + 2

2(0,−2) + 2 (1, 1)

y podrıamos seguir. De manera que, ¿cuales son las coordenadas del vector?

F !En efecto!, los mejores sistemas de generadores son los formados por vectores linealmenteindependientes y son llamados bases del espacio vectorial.

Aquı tienes algunos ejemplos de bases en espacios vectoriales. Te recomiendo que los com-pruebes.

1. B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} es una base de K3.

2. B = {(1,−1, 0), (0, 1,−1)} es una base del plano U = {(x, y, z) ∈ K3 : x + y + z = 0}.3. B = {1 + t, 1− t, t2} es una base de P2(K).

4. B = {(1, 1, 0, 0), (−1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 1,−1)} es una base de K4.

5. La matriz siguiente es una base de A2(K)

(0 1

−1 0

)

6. Las siguientes matrices forman una base de M2(K)

(0 11 0

),

(1 00 1

),

( −1 00 1

),

(0 1

−1 0

)

7. Las siguientes tres matrices forman una base de S2(K)

(0 11 0

),

(1 00 1

),

( −1 00 1

)

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8. Las siguientes tres matrices forman una base del espacio vectorial formado por las ma-trices de M2(K) que tienen traza cero

(0 11 0

),

(1 00 −1

),

(0 10 0

)

F Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo numero devectores. A este numero se le llama dimension del espacio vectorial. Esto lo veremosmas adelante. Aquı tienes algunos ejemplos,

1. K3 tiene dimension tres.

2. U = {(x, y, z) ∈ K3 : x + y + z = 0} tiene dimension dos.

3. P2(K) tiene dimension tres.

4. K4 tiene dimension cuatro.

5. A2(K) tiene dimension uno.

6. M2(K) tiene dimension cuatro.

7. S2(K) tiene dimension tres.

8. Las matrices con elementos en K de orden dos y traza cero forman un espacio vectorialde dimension tres.

F Problema: Ya sabes que todo espacio vectorial complejo, V (C), es tambien un espaciovectorial real, se trata entonces de relacionar las dimensiones de ambos espacios vectoriales.Para resolverlo, suponemos que la dimension del espacio vectorial complejo es n, lo podemosescribir como dimC(V ) = n. Entonces las bases de esta espacio vectorial (siempre consideradosobre C) tiene exactamente n vectores. Tomamos una de ellas, por ejemplo

BC = {~v1, ~v2, ..., ~vn},vamos entonces a comprobar que los siguientes 2n vectores de V forman una base del mismovisto como un espacio vectorial real

BR = {~v1, i~v1, ~v2, i~v2, ..., ~vn, i~vn},BR es un sistema de generadores de V como espacio vectorial real. En efecto, paracualquier ~V ∈ V, por ser BC un sistema de generadores para el espacio vectorial complejo,puedes escribir

v =n∑

k=1

zk ~vk, zk ∈ C,

ahora escribes zk = ak + ibk, con ak, bk ∈ R y 1 ≤ k ≤ n, con lo que obtienes

v =n∑

k=1

(ak + ibk)~vk =n∑

k=1

ak~vk +n∑

k=1

bk(i~vk),

que es una combinacion lineal, con coeficientes reales, de los vectores de BR.

17

Los vectores de BR son linealmente independientes, en efecto si escribes

n∑

k=1

αk~vk +n∑

k=1

βk(i~vk) = ~0, αk, βk ∈ R,

entonces consideras los numeros complejos, zk = αk + iβk, 1 ≤ k ≤ n, con lo que laexpresion anterior la puedes escribir como

v =n∑

k=1

zk ~vk = ~0, zk ∈ C,

y finalmente al ser BC una base del espacio vectorial complejo, sus vectores son lineal-mente independientes y por lo tanto zk = 0 para 1 ≤ k ≤ n. Es obvio entonces queαk = βk = 0 para 1 ≤ k ≤ n.

Con ello has probado que

dimC(V ) = 2 dimR(V ) .

F Coordenadas en una Base F

Como ya se dijo, otra ventaja que tiene el trabajar con bases en un espacio vectorial es que unopuede hablar de coordenadas. Para que lo tengas claro, insisto con la misma idea, considerael siguiente ejemplo sencillo.

Imagınate que en el espacio vectorial, R2 consideras el siguiente sistema de generadores

G = {(1, 0), (1, 1), (0, 1)},ya sabes que no forman base puesto que los tres vectores son linealmente dependientes.

Si ahora tomas un vector de R2, por ejemplo el vector (4, 5), entonces puedes escribir

(4, 5) = 3 (1, 0) + (1, 1) + 4 (0, 1).

Parece que podemos decir que el vector tiene coordenadas 3, 1, 4 en este sistema degeneradores. Pero esto no es ası. Observa que el mismo vector tambien se puede escribirdel siguiente modo

(4, 5) = 2 (1, 0) + 2 (1, 1) + 3 (0, 1).

Por tanto tambien tiene coordenadas 2, 2, 3 en el mismo sistema de generadores. Esto,tienes que convenir, que no es razonable.

Lo que quiero que entiendas es que esto no ocurre con las bases. Toma, por ejemplo labase

B = {(1, 0), (1, 1)},Ahora, observa que, por ejemplo, el mismo vector de antes se escribe del siguiente modo

(4, 5) = −1 (1, 0) + 5 (1, 1),

y esta manera de escribirlo es unica. Te reto a que lo escribas de otra manera.

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¨ Como la expresion de un vector como combinacion lineal de los vectores de una base esunica, esto es una razon para hablar de coordenadas de un vector en una base. Por ejemplo,el vector (4, 5) de R2, en la base B = {(1, 0), (1, 1)} tiene coordenadas −1, 5.

FF Sea B = {~x1, ~x1, ..., ~xn} una base de un espacio vectorial, V(K), entonces cualquiervector ~x ∈ V se escribe, de manera unica, como combinacion lineal de los vectoresde B, esto es

~x =n∑

i=1

ai ~xi, UNICA ⇒ a1, a2, ..., an ∈ K coordenadas de ~x en B

Prueba.- Es claro que cada vector, ~x ∈ V es combinacion lineal de los vectores de B puestoque toda base es un sistema de generadores. Queda probar la unicidad de la expresion, de lascoordenadas. Supon que un mismo vector se escribe de dos maneras como combinacion linealde los vectores de B, esto es

~x =n∑

i=1

ai ~xi =n∑

i=1

bi ~xi.

De aquı obtenemos

~0 =n∑

i=1

(ai − bi) ~xi,

como los vectores de B son linealmente independientes, la unica posibilidad para la expresionanterior es la trivial, todos los escalares deben ser cero

ai = bi, 1 ≤ i ≤ n ⇒ unicidad.

¨ Aquı tienes algunos ejercicios

1. Calcula las coordenadas de los vectores ~u = (1, 2, 4) y ~v = (−1,−2,−4) en la baseB = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} de R3.

2. Calcula las coordenadas de los vectores ~w = (1 − i, 2i) y ~z = (2, 4) en la base B ={(1, 1), (i, 4)} de C2.

3. Calcula las coordenadas de los vectores P (t) = 2− 2t + t2 y Q(t) = 1− 5t de P2(C) enla base B = {1 + t, 1− t, t2}.

4. En M2(R), calcula las coordenadas de los vectores

M =

(2 42 4

)N =

( −4 01 2

)

en la base (0 11 0

),

(1 00 1

),

( −1 00 1

),

(0 1

−1 0

)

5. Calcula una base de R3 que contenga al vector ~u = (1, 1, 1). Calcula, en ella las coorde-nadas del vector ~u.

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6. Calcula una base del espacio vectorial R2 en la que el vector ~u = (1, 2) tenga porcoordenadas [−1, 1]. ¿Es unica esta base?

7. Calcula una base del espacio vectorial C2 en la que el vector ~u = (1, 2) tenga porcoordenadas [i,−i]. ¿Es unica esta base?

8. Se considera el espacio vectorial real U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + x2− x3− x4 = 0}calcula una base que contenga al vector ~u = (1,−1, 1,−1) y otra en la que dicho vectortenga por coordenadas [1, 2, 1].

FF A estas alturas podemos dar una demostracion simple de un resultado, ya comentado:Dos bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo numero de vectores.En efecto, sean B1 = {~x1, ..., ~xn} y B2 = {~v1, ..., ~vm} dos bases de un espacio vectorial, V,con n y m vectores, respectivamente. Puesto que los n vectores de la primera son linealmenteindependientes, la unica solucion de la siguiente ecuacion es la trivial

a1~x1 + a2~x2 + · · ·+ an~xn = ~0

si escribimos estos vectores como combinacion lineal de los m vectores de la segunda base,la anterior ecuacion se convierte en un sistema homogeneo de m ecuaciones lineales con nindeterminadas y su unica solucion es la trivial a1 = · · · = an = 0. Entonces, el teoremade Rouche obliga a que m ≥ n. Cambiando, en este argumento, los papeles de ambas bases,probamos que n ≥ m y, consiguientemente m = n.

7. Cambio de Base en un Espacio Vectorial

Sea Vn(K) un espacio vectorial de dimension n. Cada vector, ~x ∈ V, posee n coordenadas encada base del espacio vectorial:

Si B1 = {~u1, ..., ~un} es una base de V, entonces ~x =∑n

i=1 ai~ui.

Si B2 = {~v1, ..., ~vn} es otra base de V, entonces ~x =∑n

j=1 bj~vj.

¿Que relacion existe entre las coordenadas de un mismo vector en una y otra base?

Para resolver este problema tenemos que relacionar previamente ambas bases. Es decir, definirlos vectores de una base por sus coordenadas en la otra. Por ejemplo, los vectores de la baseB2 poseen unas coordenadas en la base B1

~vj =n∑

i=1

αji ~ui 1 ≤ j ≤ n

Por lo tanto

~x =n∑

j=1

bj

(n∑

i=1

αji~ui

)=

n∑i=1

(n∑

j=1

bjαji

)~ui

Como las coordenadas de un vector en una base estan determinadas de manera unica, obtienes

ai =n∑

j=1

bjαji 1 ≤ i ≤ n

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Si escribes las coordenadas en cada base como una matriz fila, obtienes

(a1 a2 · · · an) = (b1 b2 · · · bn) ? M21

donde M21 es una matriz cuadrada de orden n cuyas filas son las coordenadas de los vectoresde B2 en la base B1. La Matriz del cambio de base.

Una matriz de cambio de base no puede ser cualquiera, tiene que ser regular. Paraentender esta afirmacion, consideramos tres bases, B1,B2 y B3, del espacio vectorial V. Seanentonces las matrices de los cambios de base

M21 : B2 ⇒ B1

M32 : B3 ⇒ B2

M31 : B3 ⇒ B1

entoncesM31 = M32 ? M21

Es obvio queM11 = I, M21 = M−1

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Quiza este hecho te permita ver que el producto de matrices, al menos de matricescuadradas, que es, aparentemente tan artificial, en realidad se corresponde con loscambios sucesivos de base, lo cual es anterior y ciertamente mas natural.

Aquı tienes algunos ejemplos y ejercicios sobre bases y cambios de base.

1. En V = R4, considera las tres bases siguientes:

B0 = {~e1 = (1, 0, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0, 0), ~e3 = (0, 0, 1, 0), ~e4 = (0, 0, 0, 1)}B1 = {~x1 = (1, 1, 0, 0), ~x2 = (2, 1, 0, 0), ~x3 = (0, 0, 1, 2), ~x4 = (0, 0, 1, 1)}B2 = {~v1 = (1, 1, 1, 1), ~v2 = (2, 1, 2, 1), ~v3 = (1, 1, 1, 0), ~v4 = (4, 0, 1, 1)}

Calcula las matrices de todos los cambios de base posibles entre ellas, M10, M01, M20,M02, M21, M12.

2. Calcula dos bases de C2 de manera que una de las matrices de cambio sea

(1− i 21 + i 1

)

3. ¿Es posible encontrar una base en C2 en la que los vectores ~e1 = (1, 0) y ~e2 = (0, 1)tengan por coordenadas [i, 2− i] y [1,−1− 2i], respectivamente?

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4. En V = R3, se considera la base canonica B0 = {~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 =(0, 0, 1)}. Calcula otra base, B1, de R3 de modo que la matriz de cambio, M10 sea

−1 0 2

0 −1 21 1 1

Calcula otra base, B2 de manera que la matriz de cambio, M02 sea la matriz anterior.

5. En V = P2, se consideran las dos bases siguientes:

B1 = {~x1 = 1− t, ~x2 = t + 2t2, ~x3 = 2− t2}B2 = {~y1 = 1 + t, ~y2 = 2− t + 2t2, ~y3 = 1− t2}. Calcula las dos matrices de cambiode base comprobando que son inversas una de otra.

6. En V = P3 considera dos bases en las que el polinomio P (t) = t tenga por coordenadas[1, 1, 1, 1]. Calcula las matrices de cambio de base entre ellas.

7. En el espacio vectorial V = A3 calcula dos bases que contengan al vector

M =

0 1 −1−1 0 1

1 −1 0

Calcula tambien las correspondientes matrices de cambio de base.

8. Considera el siguiente espacio vectorial

U = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 : x1 − x2 − x3 + x4 + x5 = 0}Calcula dos bases del mismo que contengan a los vectores ~x1 = (1, 1, 0, 0, 0) y ~x2 =(0, 0, 0, 1,−1). Calcula tambien las correspondientes matrices de cambio de base.

8. Subespacios vectoriales

Imagınate que V es un espacio vectorial y que U es un subconjunto de V. Naturalmente,con las operaciones de V podemos manipular los elementos de U. Si ocurre que U, con lasoperaciones de V es tambien un espacio vectorial, entonces diremos que es un subespaciovectorial de V. Naturalmente, interesa conocer, sobre todo en la practica, las condiciones quedebe cumplir un subconjunto, U, de un espacio vectorial, V, para ser subespacio vectorial delmismo. Es claro que las dos siguientes deben estar entre ellas

Ser cerrado para la suma de vectores ∀~u1, ~u2 ∈ U debe ocurrir que ~u1 + ~u2 ∈ U

Ser cerrado para el producto por escalares ∀α ∈ K y ∀~u ∈ U debe ocurrir queα.~u ∈ U

F Puedes ver, de manera sencilla, que estas dos condiciones, necesarias para que un subcon-junto sea un subespacio vectorial, son tambien suficientes para ello.

F Para aclararte mejor este nuevo concepto aquı tienes algunos ejemplos de subconjuntos queson subespacios vectoriales, y otros que no lo son, de espacios vectoriales dados

22

1. Considera como espacio vectorial K2 y en el toma el subconjunto

U = {(x, y) ∈ K2 : x = y},

entonces puedes comprobar que se trata de un subespacio vectorial de K2. La suma dedos elementos de U esta en U. Respecto al producto de reales por vectores, observaque lo unico que tendrıamos que ver es que al multiplicar cualquier vector de U porun escalar, el vector que obtienes esta en U, lo cual, en este caso, es evidente por ladeficicion de U.

2. En K2 consideras el conjunto de vectores

U = {(x, y) ∈ K2 : x2 + y2 = 1},

entonces, U no es un subespacio vectorial de K2. Para entenderlo fıjate que el vectorcero de K2 no esta en U. Otra razon es que si sumas dos vectores de de U, entonces tesales de U, en efecto

(1, 0) ∈ U, (0, 1) ∈ U pero (1, 1) no pertenece a U

3. Seguramente, sabras comprobar que Sn(K), el conjunto de las matrices simetricas deorden n, y An(K), el de las matrices antisimetricas del mismo orden, son subespaciosvectoriales de Mn(K). Sımplemente comprueba que todas las dos operaciones que definenla estructura de espacio vectorial no cambian la simetrıa o antisimetrıa de una matriz.La suma de dos simetricas es simetrica etc.

4. En el espacio vectorial V = Kn, uno puede considerar el conjunto de soluciones deun sistema de ecuaciones lineales homogeneo con n indeterminadas. Entonces, dichoconjunto es siempre un subespacio vectorial de V = Kn. Para ser mas preciso, considerael subconjunto U de V = Kn formado por los vectores, ~x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Kn queverifican las siguientes r ligaduras (ecuaciones) lineales

n∑i=1

aikxi = a1kx1 + a2kx2 + · · ·+ ankxn = 0, 1 ≤ k ≤ r.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede escribir matricialmente de la siguiente man-era:

~x ∗M = ~0,

donde ~x = (x1, x2, · · · , xn) se ve como una matriz fila (y n columnas), M(aik) es lamatriz de coeficientes que esta en Mn×r(K) y finalmente el vector cero, ~0 es el de Kr,visto como la matriz cero fila y r columnas.

5. Puedes tambien comprobar que las matrices de Mn(K) que tienen traza cero constituyenun subespacio vectorial de Mn(K).

6. En el espacio vectorial P4 consideras el siguiente subconjunto de polinomios

U = {P (t) ∈ P4 : P (2) = 0}

23

entonces puedes comprobar que es un subespacio vectorial de P4. Tambien es subespaciovectorial el siguiente subconjunto de polinomios

W = {P (t) ∈ P4 : P (2) = P ′(−2) = 0}

Ahora, usando las propiedades, que ya conoces, de los productos de matrices, puedescomprobar que, efectivamente, U es un subespacio vectorial de V = Kn.

F Otra manera de obtener subespacios vectoriales. Ya has visto que se pueden obtenersubespacios de un espacio vectorial anulando ecuaciones lineales homogeneas. Otra forma degenerar subespacios vectoriales es mediante las combinaciones lineales de conjuntos de vectores.En efecto, considera que A = {~u1, ~u2, · · · , ~ur} es un conjunto de r vectores de un cierto espaciovectorial, V. Toma el conjunto de vectores de V que se expresan como combinacion lineal delos vectores dados, esto es

U = L(A) =

{r∑

i=1

ai ~ui, : ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ r

}

entonces U = L(A) es un subespacio vectorial de V.

F Usando este criterio comprueba que los siguientes subconjuntos de Kn sonsubespacios vectoriales.

1. U = {(x, y, z) ∈ K3 : 2x− 2y − z = 0}2. U = {(x, y, z, t) ∈ K4 : x− 2y − z + t = 0, x− t = 0}3. U = {(x, y, z, t) ∈ K4 : 2x− 2y − z = 0}4. U = {(x, y, z, t, w) ∈ K5 : 2x− 2y − z = x + t− w = 0}

Comprueba tambien, usando el mismo procedimiento, que los siguientes subconjuntos sonsubespacios vectoriales de Mn(K)

1. U = {M ∈ Mn(K) : traza(M) = 0}2. U = {M ∈ Mn(K) : M −M t = 0}

F Ejercicio: En M3(C) considera el subconjunto U = {M ∈ M3(C) : M = M}, ¿es unsubespacio vectorial de M3(C)?, donde la matriz M es la obtenida de M por conjugacion desus items.

9. Operaciones con Subespacios Vectoriales

Ya sabes que si U y W son dos subconjuntos de un conjunto, V, entonces U ∩W es otrosubconjunto de V, de manera mas precisa es el mayor subconjunto de V que esta con-tenido en U y en W simultaneamente. El problema que planteamos es natural: si V esun espacio vectorial y U,W son subespacios suyos, determina el mayor subespacio de V que

24

esta contenido, simultaneamente, en U y en W. Naturalmente, la respuesta serıa U ∩W sifuese un subespacio vectorial.

Ejercicio.- Comprueba que la interseccion de dos subespacios vectoriales es un sub-espaciovectorial, el mayor simultaneamente contenido en los dos dados.

Agunos Ejemplos.

1. En V = K3 se consideran los siguientes subespacios vectoriales

U = {(x, y, z) ∈ K3 : x− y + z = 0} W = {(x, y, z) ∈ K3 : x− 2y + z = 0}

es claro que

U ∩W = {(x, y, z) ∈ K3 : y = 0, x + z = 0} = L({(1, 0,−1)}).

2. Calcula la interseccion de los siguientes subespacios vectoriales de V = K3

U = {(x, y, z) ∈ K3 : 2x− 2y + 3z = 0} W = L({(1, 1, 1); (1, 1,−1)}).

Observa que, a diferencia con el caso anterior, ahora el segundo subespacio nos lo dana traves de un sistema de generadores (ecuaciones parametricas). Para calcular la inter-seccion es recomendable calcular las ecuaciones implıcitas o ligaduras, en este caso unapues se trata de un plano en K3. Los vectores, (x, y, z), de W verifican

x = α + β, y = α + β, z = α− β

eliminando en estas ecuaciones los parametros α y β se obtiene que W esta definido porla ecuacion implıcita o ligadura lineal siguiente

x− y = 0

por lo tanto la interseccion es

U ∩W = {(x, y, z) ∈ K3 : x− y = 0, z = 0} = L({(1, 1, 0)}).

3. Calcula la interseccion de los siguientes subespacios vectoriales de V = K4

U = {(x, y, z, t) ∈ K4 : x− y + z + t = 0} W = L({(1, 1, 0, 0); (1, 0,−1, 0)}).

Procedemos como antes y calculamos las ligaduras lineales que define a W, seran dos.Los vectores de este subespacio satisfacen las siguientes ecuaciones parametricas

x = α + β, y = α, z = −β, t = 0

eliminando los parametros, se obtiene

W = {(x, y, z, t) ∈ K4 : x− y + z = 0, t = 0}

lo que implica que W ⊂ U y por lo tanto U ∩W = W.

25

4. En V = M2(K) se consideran los siguientes subespacios vectoriales: U = S2(K) yW = {A ∈ M2(K) : traza(A) = 0}. Entonces la interseccion de estos dos subespaciosvectoriales es

U ∩W

{(a bb −a

): a, b ∈ K

}

La suma de subespacios vectoriales. Tambien debes recordar que la union, U ∪W, es elmenor subconjunto de V que, simultaneamente, contiene a U y a W. No obstante, en general,la union no es un subespacio vectorial de V. Para convencerte, considera, por ejemplo, enV = R2, los siguientes subespacios vectoriales

U = {(x, y) ∈ R2 : y = 0} W = {(x, y) ∈ R2 : x = 0}

es claro queU ∪W = {(x, y) ∈ R2 : x.y = 0}

ası (1, 0) ∈ U ∪W tambien (0, 1) ∈ U ∪W. No obstante su suma (1, 1) no esta en U ∪W loque prueba que U∪W no es cerrado para la suma y por tanto no es un subespacio vectorial.

Una Observacion.- Tienes que darte cuenta que la union de dos subespacios vectorialescontiene al vector cero, tambien contiene al opuesto de cualquier vector que este en la union,finalmente es, obviamente cerrado para el producto por numeros reales. Ası, lo que impide quela union, de dos subespacios vectoriales, sea un subespacio vectorial es que no es cerrada parala suma de vectores.

Una Idea.- Si queremos definir el menor subespacio que, simultaneamente, contenga a U ya W, tenemos que evitar lo anterior. Entonces, tiene obviamente que contener a todas lassumas posibles de vectores de U con vectores de W. Definamos entonces el siguientesubconjunto de V

U + W = {~u + ~w ∈ V : ~u ∈ U, ~w ∈ W}

Es claro que tanto U como W estan contenidos en U+W puesto que ∀~u ∈ U y ∀~w ∈ Wse pueden escribir, respectivamente, como ~u +~0 ∈ U + W y ~0 + ~w ∈ U + W.

Ademas, U+W es un subespacio vectorial de V. Deberıas comprobarlo como ejercicio.

Finalmente, es el menor subespacio que contiene simultaneamente a U y a W. Tambiendeberıas comprobarlo como ejercicio.

Una manera de calcular la suma de subespacios vectoriales.- Sean A1 = {~u1, ..., ~ur} yA2 = {~w1, ..., ~ws} sistemas de generadores de U y W, respectivamente. Entonces, A1 ∪A2 esun sistema de generadores de U + W. Este criterio se usa para calcular sumas de subespaciosvectoriales, aquı tienes algunos ejemplos

1. En V = K3 se consideran los siguientes subespacios vectoriales, U = L({(1, 1, 1)}) y

W = {(x, y, z) ∈ K3 : x + z = 0, x− y = 0}

26

Para calcular su suma, calculamos un sistema de generadores del segundo y para ellousamos las dos ligaduras

W = {(x, x,−x) ∈ K3 : x ∈ K} = L({(1, 1,−1)})

Consiguientemente, U + W es el plano de K3 generado por los vectores (1, 1, 1) y(1, 1,−1).

2. En V = M2(K) consideran los subespacios vectoriales U = A2(K) y

W = S2(K) ∩ {M ∈ M2(K) : traza(M) = 0}

Para calcular su suma observamos lo siguiente

U = L

({(0 1

−1 0

)})

Por otro lado el segundo subespacio se escribe del siguiente modo

W =

{(a bb −a

): a, b ∈ K

}= L

({(1 00 −1

);

(0 11 0

)})

Como consecuencia

U + W = L

({(1 00 −1

);

(0 11 0

);

(0 1

−1 0

)})

3. En el espacio vectorial V = P3(K) de los polinomios con grado menor o igual a tres seconsideran los siguientes subconjuntos

U = {P (t) : P (0) + 2P ′(1) = P ′′(0)− P ′′′(0) = 0}

W = {P (t) : P ′(0) + 2P ′′(0) = P ′′′(−1) = P (0)− 4P ′′(1) = 0}¿Son subespacios vectoriales? En caso afirmativo calcula su interseccion y su suma.

10. Ampliacion de bases y formula de las dimensiones

Una tecnica bastante util en los calculos de la geometrıa lineal esta basada en la idea deampliar bases. Se trata de considerar un subespacio vectorial, U, con dimension r de unespacio vectorial, V, con dimension n. Entonces, partiendo de una base del subespacio, unopuede ir anadiendo vectores hasta obtener una base del espacio vectorial. Vamos a considerar,en primer lugar, algunos ejemplos.

1. Considera en V = R2 el subespacio vectorial U = {(x, y) ∈ R2 : 2x− y = 0}. Entonces,una base de U es la formada por el vector, ~x1 = (1, 2). Es claro que si consideramoscualquier vector, ~x2, del plano que no este en U, entonces el conjunto formado por porestos dos vectores, {~x1, ~x2} forman una base de V = R2. En efecto, prueba por ejemploque {~x1 = (1, 2), ~x2 = (1, 0)} es una base del plano.

27

2. En V = R3 se considera el subespacio, U = L({~x1 = (1, 0, 1)}). Si consideramos unsegundo vector del espacio, por ejemplo ~x2 = (1, 0,−1), que no este en la recta Uentonces, es claro que los dos vectores, {~x1, ~x2}, generan un plano, digamos W, de V =R3. Finalmente, anadiendo un tercer vector, digamos ~x3 = (0, 1, 0), que no este en W,obtenemos tres vectores linealmente independientes de V = R3, los cuales obviamenteforman una base de V = R3 (base ampliada de la originaria de U).

3. Calcula una base de V = M2(K) que sea ampliada de otra de A2(K). Consideremos,por ejemplo la base de A2(K) formada por el vector

~x1 =

(0 1

−1 0

)

empezamos eligiendo cualquier otro vector, matriz, que no este en A2(K), cualquiermatriz que no sea antisimetrica, por ejemplo

~x2 =

(1 00 0

)

entonces, los dos vectores {~x1, ~x2} son linealmente independientes y generan un plano,W = L({~x1, ~x2}) de M2(K). Tomamos un tercer vector, matriz, que no este en esteplano, por ejemplo

~x3 =

(0 00 1

)

con lo que Z = L({~x1, ~x2, ~x3}) es un subespacio vectorial de M2(K) con dimension tres.Finalmente, agregamos un cuarto vector, matriz, que no este en Z, sea

~x4 =

(0 11 0

)

para obtener cuatro vectores, matrices, linealmente independientes que obviamente for-man una base, {~x1, ~x2, ~x3, ~x4}, de M2(K) ampliada de la originaria, {~x1}, de A2(K).

En fin, esta tecnica funciona siempre que quieras ampliar cualquier base de cualquier sube-spacio vectorial de cualquier espacio vectorial. En efecto, sea B = {~u1, ..., ~ur} una base deun subespacio vectorial, U, de un espacio vectorial, V con dimension n. Tomamos un vec-tor, ~xr+1 ∈ (V −U), entonces los vectores {~u1, ..., ~ur, ~xr+1} son linealmente independientes ygeneran un subespacio vectorial, U1, con dimension r + 1. Si r + 1 < n, entonces podemostomar ~xr+2 ∈ (V − U1) con lo que garantizamos que los vectores {~u1, ..., ~ur, ~xr+1, ~xr+2} sonlinealmente independientes, generando otro subespacio vectorial, U2 con dimension r + 2. Sir + 2 < n, volvemos a repetir el proceso y al final obtenemos una base de todo V

B = {~u1, ..., ~ur, ~xr+1, ..., ~xn}a la que llamaremos base ampliada de la base B = {~u1, ..., ~ur}. Conviene observar que la baseampliada es, altamente, no unica. Para una misma base del subespacio, uno puede encontrarmuchas bases ampliadas.

Subespacios complementarios.- Los n− r vectores que anadimos para ampliar una base,{~xr+1, ..., ~xn} generan un subespacio, Uc, de V al que le llamaremos complementario de Uen V. Obviamente verifica

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U ∩Uc = {~0}U + Uc = V

por lo dicho anteriormente, un subespacio admite muchos complementarios. Mira los siguientesejercicios.

1. Calcula un subespacio complementario de S2(K) en M2(K). Ya conoces que toda matrizcuadrada, en particular de orden dos es suma de una simetrica con otra antisimetrica.Ademas, es claro que S2(K) ∩A2(K) = {~0} por lo tanto A2(K) es un complementariode S2(K) en M2(K). Aunque no supieras las ideas que se han usado, el ejercicio tambienlo puedes resolver tomando una base de las matrices simetricas y anadiendo otra que no lo sea, entonces la que anades genera un complementario.

2. Se considera el subespacio vectorial de K3 definido como sigue

U = {(x, y, z) ∈ K3 : x− z = 2y − 3z = 0}

para calcular un complementario de este subespacio en K3, empezamos eligiendo unabase de el. Se tiene

U =

{(z,

3

2z, z

)∈ K3 : z ∈ K

}

y por lo tanto U = L({(2, 3, 2)}). A continuacion ampliamos la base, B = {~u1 = (2, 3, 2)}de U para ello anadimos un primer vector que no este en U. No nos complicamos lavida, elegimos ~x2 = (1, 0, 0) que ciertamente no pertenece a U y a continuacion elegimosun tercer vector que no este en el plano L({~u1, ~x2}). Es claro que ~x3 = (0, 0, 1) no esta enese plano pues no depende linealmente de los dos vectores que lo generan, observa quelos tres vectores son linealmente independientes.

3. Calcula dos complementarios distintos, en K4, del subespacio

U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ K4 : x1 − x4 = x2 − x3 = 0}

de manera que ambos contengan al vector (1, 1,−1,−1)

4. Calcula un complementario del subespacio U = {P (t) ∈ P3(K) : P (1) = P ′(−1) = 0}en el espacio vectorial P3(K) que contenga al vector ~x = t2.

Una Formula Importante.- Finalmente y como aplicacion de la tecnica de ampliacion debases, vamos a obtener una formula muy util que proporciona una relacion entre las dimen-siones de dos subespacios vectoriales, la dimension de su suma y la de su interseccion. Seanpues U y W dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial, V, entonces se tiene

dim(U) + dim(W) = dim(U + W) + dim(U ∩W)

Prueba.- Sean dim(U ∩W) = r, dim(U) = n1 y dim(W) = n2. La cuestion es probar quedim(U + W) = n1 + n2 − r. Para ello, empezamos tomando una base de la interseccion,

B = {~x1, ..., ~xr}

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puesto que U ∩ W es subespacio vectorial de U y de W, esta base puede ser ampliada enambos subespacios para obtener bases de los mismos

B1 = {~x1, ..., ~xr, ~ur+1, ..., ~un1} B2 = {~x1, ..., ~xr, ~wr+1, ..., ~wn2}

finalmente observamos que

B = {~x1, ..., ~xr, ~ur+1, ..., ~un1 , ~wr+1, ..., ~wn2}

es una base de U + W con lo que quedarıa probado. Para probar que es una base, se tienenque probar las dos cuestiones siguientes:

Forman un sistema de generadores de U + W. En efecto, ∀~x ∈ U + Wes de la forma~x = ~u + ~w con ~u ∈ U y ~w ∈ W. Ası, los dos sumandos se pueden escribir comocombinacion lineal de los vectores de las bases ampliadas que hemos obtenido en cadasubespacio

~u =r∑

i=1

ai~xi +

n1∑j=r+1

αj~uj ~w =r∑

i=1

bi~xi +

n2∑

k=r+1

βk~uk

y por lo tanto

~x = ~u + ~w =r∑

i=1

(ai + bi)~xi +

n1∑j=r+1

αj~uj +

n2∑

k=r+1

βk~uk

ası ~x es combinacion lineal de los vectores de B.

Son linealmente independientes. En efecto, si escribes

r∑i=1

ci~xi +

n1∑j=r+1

γj~uj +

n2∑

k=r+1

δk~uk = ~0

entonces el vector∑n1

j=r+1 γj~uj que, obviamente, esta en U, por la formula anteriortambien esta en W y por lo tanto en la interseccion. Pero como pertenece a un comple-mentario de U ∩Wen U tiene que anularse

n1∑j=r+1

γj~uj = ~0 ⇒ γj = 0, r + 1 ≤ j ≤ n1

el mismo argumento vale para anular a los coeficientes δk. Ahora, es claro que tambiense anulan los ci.

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Listado de Ejercicios Propuestos

Ejercicio 1 Comprueba que los vectores ~x = (1, 2), ~y = (2, 1) y ~z = (−1, 4) de K2 sonlinealmente dependientes.

Ejercicio 2 Comprueba que los dos vectores siguientes forman un sistema de generadores delespacio vectorial A2(K) (matrices antisimetricas de orden dos):

(0 2

−2 0

),

(0 −33 0

).

Comprueba que un vector de A2(K) se puede escribir de distintas formas como combinacionlineal de los dos vectores anteriores.

Ejercicio 3 Calcula una base del siguiente espacio vectorial

U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ K4 : x1 − x4 = 0, x2 + x3 = 0}

Ejercicio 4 Prueba que los siguientes tres vectores forman una base del espacio vectorial C3:

~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (1, 0, 1), ~u3 = (1, 0,−1).

Calcula las coordenadas, en la base anterior, de los vectores ~u = (1, 2, 3) y ~v = (2 + i, i, 2).

Ejercicio 5 Prueba que los siguientes tres vectores forman una base del espacio vectorialS2(K): (

1 11 0

),

(0 −1

−1 1

),

(4 00 1

)

Calcula las coordenadas, en la base anterior del vector(

2 00 0

)

Ejercicio 6 Sean U1 y U1 dos subespacios vectoriales de V

Comprueba que U1 ∩U2 es un subespacio vectorial de V.

Comprueba que, en general, U1 ∪U2 no es un subespacio vectorial de V.

Ejercicio 7 ¿Existe alguna situacion en la que la union de dos subespacios vectoriales sea unsubespacio vectorial?

Ejercicio 8 Calcula la dimension, encontrando una base, del siguiente subespacio vectorialde P4(K)

U = {P (t) ∈ P4(K) : P (1) = P ′(1) = P ′′(0) = 0}

Ejercicio 9 En el espacio vectorial V = K4, se consideran los siguientes subespacios vectoriales

U = {(x, y, z, t) ∈ K4 : 2x− y + z − t = 0, x− y = 0}, W = L{(1, 1, 1, 1)}Calcula U ∩W y U + W.

Ejercicio 10 En el espacio vectorial V = M2(K) se consideran los subespacios vectorialessiguientes

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S2(K) = {M ∈ M2(K) : M = M t}A2(K) = {M ∈ M2(K) : M = −M t}T2(K) = {M ∈ M2(K) : traza(M) = 0}

Calcula todas las sumas e intersecciones entre cada dos de ellos.

Ejercicio 11 En el espacio vectorial V = M2(K), calcula una base que contenga a los sigu-ientes vectores (

1 01 −1

),

(1 00 0

)

En dicha base calcula las coordenadas de los siguientes vectores

(2 22 −2

),

(1 42 −1

)

Ejercicio 12 Sea U un subespacio vectorial de un espaco vectorial, V y sea B una base deU. Encuentra otra base de V que contenga a B.

Ejercicio 13 En K4 se considera el siguiente subespacio vectorial

U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ K4 : 2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 0}

Calcula la dimension de U, calculando una base, B, del mismo.

Calcula dos bases, B1 y B2, de K4 que sean ampliadas de la base B anteriormentecalculada.

Calcula las matrices de cambio de base M(B1, B2) y M(B2, B1)

Ejercicio 14 En P3(K) se consideran las dos bases siguientes: B1 = {1, t, t2, t3} y B2 ={1 + t, 1− t, t2− t3, 1 + t + t2 + t3}. Calcula las dos matrices que cambian estas bases. ¿Existaalguna relacion entre estas matrices?. Calcula las coordenadas del vector 2− 2t + 4t2 − t3 enla segunda base.

Ejercicio 15 Se considera el plano, U de F(R,R) generado por las dos siguientes funciones

f, h : R→ R f(t) = 1 h(t) = cos 2t

Comprueba que las funciones

ϕ, ψ : R→ R ϕ(t) = cos2 t ψ(t) = sin2 t

pertenecen a U y calcula sus coordenadas en la base {f, h}Ejercicio 16 Recuerda que cuando dos subespacios vectoriales, U y W, de un espacio vecto-rial, V tienen interseccion trivial, U ∩W = {~0}, entonces a su suma se le llama directa y sele representa por U⊕W. Prueba que

Mn(K) = Sn(K)⊕An(K)

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Ejercicio 17 Sea U un subespacio vectorial de V. Prueba que existe otro subespacio vectorial,Uc, de V de manera que V = U ⊕Uc. A este subespacio se le llama complementario de Uen V y es obvio que un subespacio de un espacio vectorial tiene muchos complementarios.¿Puedes justificar esto?

Ejercicio 18 Calcula la dimension de los espacios vectoriales Mn(K), Sn(K) y An(K).

Ejercicio 19 Calcula la dimension de Pn(K) y tambien la del espacio vectorial formado portodas las matrices cuadradas de orden n que tienen traza cero.

Ejercicio 20 Sea U un subespacio vectorial de un espacio vectorial V. Si ambos tienen lamisma dimension, ¿se puede garantizar que son iguales?

Ejercicio 21 En el espacio vectorial V = K4, se considera el subespacio vectorial siguiente

U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ K4 : x1 + x4 = 0, x2 + x3 = 0}Calcula dos subespacios complementarios de U en V, que tengan interseccion no trivial.

Ejercicio 22 Sean A = {~u1, ~u2, · · · , ~ur} vectores linealmente independientes de un espaciovectorial V. Prueba que cualquier subconjunto de A sigue estando formado por vectoreslinealmente independientes.

Ejercicio 23 Sean A = {~u1, ~u2, · · · , ~ur} vectores linealmente dependientes de un espaciovectorial V. Prueba que si anades otro vector, de V, a A, entonces los r + 1 vectores sonlinealmente dependientes.

Ejercicio 24 En el espacio vectorial V = K4, se consideran los subespacios vectoriales

U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ K4 : x1 + x4 = 0, x2 + x3 = 0}, W = L({(1, 1, 1, 1)})Calcula U ∩W y U + W.

Ejercicio 25 En el espacio vectorial complejo M2(C) se consideran los siguientes subconjuntos

Matrıces Hermıticas, H(2) = {A ∈ M2(C) : A = At}Matrıces anti-Hermıticas, AH(2) = {A ∈ M2(C) : A = −At}

¿Son subespacios vectoriales de M2(C)? ¿son subespacios vectoriales de M2(C) visto como unespacio vectorial real?

Ejercicio 26 Se considera M2(C) como espacio vectorial real. Prueba que M2(C) = H(2)⊕AH(2)

Ejercicio 27 En M2(C) se consideran las siguientes matrices, llamadas matrices de Pauli

σ1 =

(0 11 0

)σ2 =

(0 −ii 0

)σ3 =

(1 00 −1

)

Comprueba que las matrices de Pauli son Hermıticas.

Comprueba que {I, σ1, σ2, σ3} es una base de H(2)

Comprueba las matrices Hermıticas que tienen traza cero es un espacio vectorial y que{σ1, σ2, σ3} es una base suya.

Ejercicio 28 Comprueba que {iI, iσ1, iσ2, iσ3} es una base de AH(2). ¿Es cierto que si A ∈H(2) entonces iA ∈ AH(2)? Comprueba que las matrices anti-Hermıticas que tienen trazacero es un espacio vectorial y que {iσ1, iσ2, iσ3} es una base suya.

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