espacios vectoriales

Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial implica cuatro cosas

• Dos conjuntos no vacios V y F y

• Dos operaciones algebraicas llamadas suma de vectores y multiplicación por un escalar.

Los objetos en el conjunto V son llamados vectores y los elementos en el conjunto F son llamados

escalares. De aqui en adelante F es el campo de los números reales (R) o el de los números complejos(C)la suma de vectores denotado por u + v es una operación entre elementos del conjunto V, mientras que

la multiplicación por un escalar, escrito como λu es una operación entre elementos λ ∈ F y u ∈ V.DefiniciónDecimos que V es un espacio vectorial sobre F si se cumple lo siguiente

1. u+ v ∈ V, para todo u, v ∈ V

2. λu ∈ V, para todo λ ∈ F, para todo u ∈ V

3. u+ v = v + u, para todo u, v ∈ V

4. (u+ v) + w = u+ (v + w) , para todo u, v, w ∈ V

5. Existe un elemento neutro (cero) denotado por 0 ∈ V tal que

u+ 0 = u para todo u ∈ V

6. Para cada elemento u ∈ V existe un elemento denotado como −u ∈ V tal que

u+ (−u) = 0

7. λ (u+ v) = λu+ λv, para todo λ ∈ F y para todo u, v ∈ V

8. (λ+ µ) v = λv + µv, para todo λ, µ ∈ F y para todo v ∈ V

9. (λµ) v = λ (µv) , para todo λ, µ ∈ F y para todo v ∈ V

10. 1v = v, para todo v ∈ V

Algunos espacios vectoriales importantes

El plano con las operaciones usuales

Uno de los espacios vectoriales mas conocidos es el plano XY (plano cartesiano) sobre el campo de los

reales con las operaciones usuales de suma de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector.

1

Primero, necesitamos identificar los conjuntos, el conjunto de los vectores V y el conjunto de los escalares

F.

V = R2 F = R

Segundo, necesitamos tener claro cuales son las dos operaciones, la suma de vectores y la multiplicación

por un escalar.

Dado dos vectores u = (a, b) , v = (c, d) en el conjunto R2 y λ que pertenece a R.las operaciones de suma (+) y la multiplicación por un escalar son definidos como

u+ v = (a+ c, b+ d) (1)

λu = (λa, λb) (2)

Ahora que tenemos claro los conjuntos y las operaciones que se asocian a un espacio vectorial veremos

que efectivamente el plano cartesiano sobre el campo de los números reales con las operaciones (1) y (2)

es un espacio vectorial.

1. Sea u = (a, b) y v = (c, d) de (1) tenemos que

u+ v = (a+ c, b+ d)

como a+ c, b+ d ∈ R entonces u+ v ∈ R2

2. Sea λ ∈ R, u = (a, b) ∈ R2 de (2) tenemos que

λu = (λa, λb)

como λ, a, λ, b ∈ R entonces λa, λb ∈ R entonces λu ∈ R2

3. Sea u = (a, b) y v = (c, d) entonces

u+ v = (a+ c, b+ d)

u+ v = (c+ a, d+ b)

u+ v = (c, d) + (a, b) = v + u

4. Sea u = (a, b) , v = (c, d) , w = (m,n) ∈ R2, entonces

(u+ v) + w = (a+ c, b+ d) + (m,n)

(u+ v) + w = ((a+ c) +m, (b+ d) + n)

(u+ v) + w = (a+ (c+m) , b+ (d+ n))

(u+ v) + w = (a, b) + (c+m, d+ n)

(u+ v) + w = u+ (v + w)

5. El elemento 0 ∈ R2 es el vector (0, 0)

6. Para todo u = (a, b) ∈ R2, el elemento −u es el elemento

−u = (−a,−b)

Autor: J. César Barraza B. 2

7. Dado λ ∈ R, u = (a, b) , v = (c, d) ∈ R2, tenmos

λ (u+ v) = λ (a+ c, b+ d)

λ (u+ v) = (λ (a+ c) , λ (b+ d))

λ (u+ v) = (λa+ λc, λb+ λd)

λ (u+ v) = (λa, λb) + (λc, λd)

λ (u+ v) = λ (a, b) + λ (c, d)

λ (u+ v) = λu+ λv

8. Dado λ, µ ∈ R, v = (c, d) ∈ R2, tenemos

(λ+ µ) v = (λ+ µ) (c, d)

(λ+ µ) v = ((λ+ µ) c, (λ+ µ) d)

(λ+ µ) v = (λc+ µc, λd+ µd)

(λ+ µ) v = (λc, λd) + (µc, µd)

(λ+ µ) v = λv + µv

9. Dado λ, µ ∈ R, v = (c, d) ∈ R2, tenemos

(λµ) v = (λµ) (c, d)

(λµ) v = ((λµ) c, (λµ) d)

(λµ) v = (λ (µc) , λ (µd))

(λµ) v = λ (µc, µd)

(λµ) v = λ (µ (c, d)) = λ (µv)

10. El elemento 1 es el uno habitual.

El espacio de los polinomios con las operaciones usuales.

Definimos V = Pn [R] el conjunto de los polinomios cuyo grado es menor o igual a n, con coeficientesreales. Este conjunto con F = R y bajo las operaciones usuales de suma de polinomios y multiplicaciónde un escalar por un polinomio es tambien un espacio vectorial.

Dado dos polinomios p (x) = a0 + a1x + · · · anxn, ai ∈ R y q (x) = b0 + b1x + · · · bnxn, bi ∈ R loscuales se encuentran en Pn [R] se define la suma y el producto por un escalar λ como

p (x) + q (x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · · (an + bn)xn

λp (x) = λa0 + λa1x+ · · ·λanxn

El espacio de las matrices con las operaciones usuales

Sea V =Mm×n el conjunto de las matrices reales con F = R y bajo las operaciones de suma y multipli-cación por un escalar usuales es un espacio vectorial.

Dada dos matrices A = [aij ] , B = [bij ] y λ ∈ R, se define la suma y el producto por un escalar λ como

A+B = [aij + bij ]

λA = [λaij ]


TeoremaSea V un espacio vectorial. Entonces

1. α0 = 0 para todo escalar

2. 0v = 0 para todo v que pertenece a V

3. Si αv = 0 entonces α = 0 ó v = 0

4. (−1)v = −v

SubespaciosDefiniciónUn subconjunto W de un espacio vectorial V es llamado un subespacio vectorial de V si W es tambien

un espacio vectorial bajo la suma y multiplicación por un escalar definido en V

Usualmente, para probar que un subconjunto es un subespacio no es necesario probar todos los axiomas,

porque ciertas reglas satisfechas en el espacio mas grande son automaticamente satisfechas en cada sub-

conjunto si la suma de vectores y multiplicación por un escalar es cerrado en el subconjunto W , el cual

es establecido en el siguiente teorema

TeoremaUn subconjunto no vacio W de un espacio vectorial V es un subespacio si y solo si

u+ v ∈ W

λu ∈ W

para todo u, v ∈W y para todo λ ∈ F

Prueba. (=⇒) Si W es un subespacio vectorial entonces cumple los condiciones de cerradura.

(⇐=) Mostraremos que si W cumple con los axiomas de cerradura entonces satisface el resto de los

axiomas de un espacio vectorial.

Como W es un subconjunto de V entoces los elementos de W satisfacen los axiomas de conmutatividad

(axioma 3) y de asociatividad (axioma 4) .

Como λu ∈W entonces 0u = 0 ∈W, con lo cual queda establecido el axioma 5.Ahora como λu ∈W entonces (−1) v = −v ∈W para todo v ∈W, asi se cumple el axioma 6.Como W es subconjunto de V entonces se sumplen los axiomas 7, 8, 9, 10

ProposiciónEl subconjunto formado por el vector nulo es un subespacio de V

Prueba. Sea W = {0} el cual esta incluido en VProbaremos los axiomas de cerradura

(axioma 1) 0 + 0 = 0 ∈W(axioma 2) λ0 = 0 ∈W para todo λ escalar.

Por lo tanto W es un espacio vectorial

NotaEl espacio vectorial W = V y el espacio vectorial W = {0} son llamados subespacios triviales de V

EjemploSea W =

{(x, y, z) ∈ R3 : ax+ by + cz = 0

}donde a, b, c son constantes.


notar que W ⊂ R3 = V y que F = R como no se dice nada respecto a las operaciones se asume que sonlas usuales.

Si u = (x1, y1, z1) , v = (x2, y2, z2) ∈ W debemos probar que la suma tambien pertenece a W, para ello

como u, v ∈W entonces

ax1 + by1 + cz1 = 0

ax2 + by2 + cz2 = 0

sumando ambos tenemos

ax1 + by1 + cz1 + ax2 + by2 + cz2 = 0 + 0 = 0

a (x1 + x2) + b (y1 + y2) + c (z1 + z2) = 0

luego vemos que u+ v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) tambien está en W

ahora sea λ ∈ R entoncesλu = (λx1, λy1, λz1)

luego

a (λx1) + b (λy1) + c (λz1) = λ (ax1 + by1 + cz1)

= λ0 = 0

entonces λu ∈W , por lo tanto W es un subespacio vectorial de R3

EjemploSea A una matriz de orden m× n, el conjunto

W = {x ∈ Rn : Ax = 0}

de las soluciones del sistema homogeneo es un espacio vectorial.

Aqui debemos notar que los elementos de W estan en Rn esto es V = Rn, el cuál es un espacio vectorialsobre F = R, como no se dice nada respecto a las operaciones se asume que son las usuales.sea x, y ∈W entonces

Ax = 0

Ay = 0

entonces sumando

A (x+ y) = Ax+Ay = 0 + 0 = 0

luego

A (x+ y) = 0

por tanto el vector suma x+ y ∈WSea λ ∈ R entonces

A (λx) = λ (Ax) = λ0 = 0

luego tenemos que

A (λx) = 0

por tanto el vector (λx) ∈W , por lo tanto W es un subespacio vectorial de V


EjercicioSean W1 y W2 dos subespacios de V Probar que

1. La intersección W1 ∩W2 es un subespacio

2. La suma W1 +W2 es un subespacio, donde

W1 +W2 = {w1 + w2 : w1 ∈W1, w2 ∈W2}

Combinación lineal y espacio generadoDefinición (Combinación lineal)Sean v1, v2, · · · , vm vectores de un espacio vectorial V sobre el campo escalar F . Entonces cualquier

vector de la forma

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αmvm

donde α1, α2, · · · , αm ∈ F se denomina combinación lineal de v1, v2, · · · , vm

EjemploEn V = R3 el vector u =

−29−3

es una combinación lineal de los vectores v1 = −12

1

, v2 = 0

−11

,pues

u = 2v1 − 5v2

EjemploEn V =M23 el vector u =

[−3 5 −24 2 3

]es una combinación lineal de los vectores 1 =

[−1 1 0

2 0 1

], v2 =[

0 1 −1−1 1 0

], pues

u = 3v1 + 2v2

Definición (Espacio generado)Sea S ⊂ V un subconjunto del espacio vectorial V, el espacio generado por S es definido como el conjunto

de todas las combinaciones lineales de los vectores de S, se suele denotar como

[S] = span (S) = gen (S)

Si S = {v1, v2, · · · , vm} entonces

[S] = {v ∈ V : v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αmvm : αi ∈ F, i = 1 · · ·n}

EjemploSea S ⊂ V = R3, donde S =

{v1 = [2,−1, 4]T , v2 = [4, 1, 6]T

}, entonces el espacio generado por S viene

dado por

[S] ={v ∈ V = R3 : v = αv1 + βv2 : α, β ∈ R

}Por la teoría de planos deducimos que [S] es un plano, ahora un método para deducir la ecuación carte-

siana de este plano es como sigue.

Como v = (x, y, z) es un vector arbitrario entonces x

y

z

= α

2

−14

+ β 4

1

6


luego 2 4

−1 1

4 6

[ α

β

]=

x

y

z

como es un sistema que tiene solución llevamos la matriz aumentada a su forma escalonada

Aa =

2 4

... x

−1 1... y

4 6... z

→ Aa,E =

2 4

... x

0 3... y + x

2

0 0... z − 5

3x+23y

como el sistema debe ser consistente entonces z − 5

3x+23y = 0, luego

−5x+ 2y + 3z = 0

es la ecuación del plano que pasa por el origen.

LemaEn un espacio vectorial V, el espacio generado por un subconjunto S de V es un espacio vectorial (sube-

spacio)

Prueba. Basta probar que es un subespacio, para elloSi S = {0} entonces [S] = {0} el cual es un espacio vectorial, ahora si S es difrenete de {0}sea u, v ∈ [S] entonces

u =

n∑i=1

αiwi tal que wi ∈ S, i = 1 : n

v =

n∑j=1

αjw̃j tal que w̃i ∈ S, i = 1 : n

entonces la suma de u, v viene dado por

u+ v =

n∑i=1

αiwi +

n∑j=1

αjw̃j

donde wi, w̃j ∈ S entonces u+ v es una combinación lineal de los vectores de S y por tanto u+ v ∈ [S]ahora

αu = α

(n∑i=1

αiwi

)tal que wi ∈ S, i = 1 : n

αu =

n∑i=1

(ααi)wi tal que wi ∈ S, (ααi) ∈ F, i = 1 : n,

por tanto αu ∈ [S], luego [S] es un espacio vectorial

ProposiciónSea S = [v1, v2, · · · vm] un subconjunto de un espacio vectorial V = Rn y v un vector de V. Entonces


v ∈ span [S] si y solo si el sistema de ecuaciones

Ax = v donde

A =[v1 v2 · · · vm

]x =

[x1 x2 · · · xm

]Tes un sistema consistente.

EjemploIndicar si el vector u =

[12 0 12

]Tes una combinación lineal de los vectores

v1 = 1

−21

, v2 = 2

−12

, v3 = −1−4−1

Planteamos la ecuación vectorial

x1v1 + x2v2 + x3v3 = u

el cual nos lleva al sistema de ecuaciones 1 2 −1−2 −1 −41 2 −1

x1

x2

x3

= 12

0

12

formando la matriz aumentada y llevandola a su forma escalonda

Aa =

1 2 −1

... 12

−2 −1 −4... 0

1 2 −1... 12

∼1 0 3

... −4

0 1 −2... 8

0 0 0... 0

como el ran (A) = ran (Aa) entonces el sistema es consistente. Por lo tanto el vector u es combinación

lineal de los vectores {v1, v2, v3}

EjemploIndicar si el vector u = x− x3 pertenece al espacio generado por el conjunto S =

{x2, 2x+ x2, x+ x3

}como [S] es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S, entonces si u ∈ [S] setiene

x− x3 = αx2 + β(2x+ x2

)+ γ

(x+ x3

)luego

1 = 2β + γ

0 = α+ β

−1 = γ

llevandolo a un sistema matricial 0 2 1

1 1 0

0 0 1

α

β

γ

= 1

0

−1


formando la matriz aumentada y llevandola a su forma escalonada

Aa =

0 2 1

... 1

1 1 0... 0

0 0 1... −1

→ Aa,E =

1 0 0

... −1

0 1 0... 1

0 0 1... −1

luego tenemos que γ = −1, β = 1, α = −1, esto es, es un sistema consistente, por tanto el vector u ∈ [S]

Dependencia e independencia lineal

Sean v1, v2, · · · , vm vectores de un espacio vectorial V sobre el campo F y sea λ1, λ2, · · · , λm escalares

en F entonces teniamos que el vector

v = λ1v1 + λ2v + · · ·+ vmλm

es una combinación lineal de v1, v2, · · · , vmSi todos los coeficientes λ1 = λ2 = · · · = λm = 0 entonces tenemos que v = 0

Ahora puede ocurrir que no siendo todos los λi iguales a cero se tiene que v = 0. Cuando esto ocurre se

dice que los vectores son linealmente dependientes.

EjemploSea v1 =

1

−12

, v2 = 0

−11

, v3 = 2

1

1

estos vectores son linealmente dependientes pues paraλ1 = −2, λ2 = 3, λ3 = 1 se tiene

−2v1 + 3v2 + v3 =

0

0

0

DefiniciónDado los vectores v1, v2, · · · , vm ∈ V se dice que son linealmente dependientes si y solo si existen escalaresno todos iguales a cero talque

λ1v1 + λ2v2 + · · ·λmvm = 0 (3)

DefiniciónLos vectores v1, v2, · · · , vm ∈ V se dice que son linealmente independientes si ellos no son linealmente

dependientes

Notav1, v2, · · · , vm son linealmente independientes si la ecuación (3) se cumple unicamente para λ1 = λ2 =

· · · = λm = 0

EjemploLos vectores v1 =

1

1

1

0

, v2 =1

1

0

0

, v3 =1

0

0

0

son linealmente independientes, puesto que al plantearla ecuación

λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = 0

nos lleva a la ecuación 1 1 1

1 1 0

1 0 0

0 0 0

λ1

λ2

λ3

=0

0

0

0


entonces formando la matriz aumentada y llevandola a su forma escalonada

Aa =

1 1 1

... 0

1 1 0... 0

1 0 0... 0

0 0 0... 0

→ Aa,E =

1 0 0

... 0

0 1 0... 0

0 0 1... 0

0 0 0... 0

resolviendo el sistema equivalente el cual tiene como solución a

λ1 = 0

λ2 = 0

λ3 = 0

como única solución, por tanto los vectores son linealmente independientes

Bases y dimensiónDefinición (Dimensión)El número mas grande de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V es llamado la

dimensión de V y se denota dimV.

NotaSi este es un número finito n, definimos dimV = n y diremos que V es un espacio de dimensión finita.

NotaSi existen conjuntos arbitrariamente grande de vectores linealmente independientes en V , diremos que la

dimV es infinito y que V es de dimensión infinita

EjemploEn V = R3 los siguientes conjuntos son linealmente independientes

S1 =

1

−12

S2 =

1

−12

, 1

1

0

S3 =

1

−12

, 1

1

0

, 2

0

0

lo que se probara mas adelante es que en V = R3 el conjunto mas grande de vectores linealmente inde-pendientes tiene 3 vectores, esto es la dimV = 3

EjemploUn ejemplo de un espacio de dimensión infinita es V = P [X] el conjunto de los polinomios de cualquier

grado. Pues si suponemos que tiene dimensión finita igual a n, entonces

S = {v1, v2, · · · , vn}


y sea k el mayor grado de los polinomios que forman el conjunto S, luego como V = P [X] entonces el

polinomio v = xk+1 ∈ V , ahora probaremos que el conjunto

S̃ = {v1, v2, · · · , vn.v}

es linealmente independiente, sea

α1v1 + · · ·αnvn + αn+1v = 0 (4)

como S es el mas conjunto mas grande de vectores linealmente independiente entonces v es combinacion

lineal de v1, v2, · · · , vn esto esv = β1v1 + · · ·βnvn

pero v tiene grado mayor que cualquier vector de S por tanto no puede ser combinación lineal de ellos,

esto es, son linealmente independientes, por tanto el conjunto

S̃ = {v1, v2, · · · , vn.v}

es linealmente independiente.

DefiniciónSea S un conjunto de vectores incluido en el espacio vectorial V , S es una base de V si y solo si

1. Los vectores en S son linealmente independientes

2. El conjunto generado por S es V , esto es, [S] = span (S) = V

EjemploLa base mas simple de R2 es la base canónica

S =

{[1

0

],

[0

1

]}

dado que

1. (a)

[1

0

],

[0

1

]son linealmente independientes. (verificar)

(b) span (S) = R2, esta parte se puede probar considerando que un vector arbitrario tal como(x

y

)es combinación neal de

[1

0

],

[0

1

]entonces

[x

y

]= α

[1

0

]+ β

[0

1

]

llevando a su forma matricial [1 0

0 1

][α

β

]=

[x

y

]

formando su matriz umentada 1 0... x

0 1... y


como se encuentra en su forma escalonada, tenemos que ran (A) = ran (Aa) = # variables

por lo que tenemos un sistema consistente con solución única, esto es, el conjunto S genera

R2.

NotaLa base de un espacio vectorial no es única, del ejemplo anterior tenemos que el conjunto

S1 =

{[1

1

],

[−12

]}

es también una base de R2, dado que

1. (a)

[1

1

],

[−12

]son linealmente independientes (verificar)

(b) span (S1) = R2, esta parte se puede probar considerando que un vector arbitrario tal como[x

y

]es combinación lineal de

[1

1

],

[−12

]entonces

[x

y

]= α

[1

1

]+ β

[−12

]

llevando a su forma matricial [1 −11 2

][α

β

]=

[x

y

]

formando su matriz aumentada y llavandola a su forma escalonada reducida

Aa =

1 −1... x

1 2... y

→ Aa,E =

1 0... 2

3x+13y

0 1... 1

3y −13x

notamos que el sistema es consistente, por lo tanto span (S1) = R2, además podemos concluirque el sistema tiene solución única y viene dado por

α =2

3x+

1

3y (5)

β =1

3y − 1

3x (6)

Habrá notado que en los dos ejemplos anteriores la solución resulta siendo única, esto viene caracterizado

por el siguiente teorema

TeoremaSea S = {v1, v2, · · · , vn} una base de un espacio vectorial V, entonces cada vector v que pertenece a V , esexpresado de manera única como combinación lineal de los vectores de S. Esto es existen escalares únicos

α1, α2, · · · , αn, tal quev = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn

EjemploEn el ejemplo anterior S1 es una base de R2 y el vector

[3

5

]se expresa de manera única como combi-


nación lineal de

[1

1

],

[−12

][3

5

]= α

[1

1

]+ β

[−12

]α y β vienen determinados por las ecuaciones (5) y (6), esto es

α =2

3(3) +

1

3(5) =

11

3

β =1

3(5)− 1

3(3) =

2

3

También habra notado que tanto la base S como la base S1 del espacio vectorial R2 tienen el mismonúmero de vectores, esto se caracteriza en el siguiente teorema

TeoremaSi una base de un espacio vectorial tiene n vectores, entonces cualquier otra base también tiene n vectores.

A continuación mostramos un conjunto S que genera el espacio vectorial R2, pero no es una base

S =

{[1

0

],

[1

1

],

[−21

]}

para determinar que genera R2 es suficiente probar que todo vector v =

[x

y

]en el espacio vectorial, se

puede expresar como combinación lineal de los vectores de S[x

y

]= α1

[1

0

]+ α2

[1

1

]+ α3

[−21

]

formando el sistema matricial [1 1 −20 1 1

] α1

α2

α3

= [ x

y

]

formando su matriz aumentada y llevandolo a su forma escalonada

Aa =

1 1 −2... x

0 1 1... y

→ Aa,E =

1 0 −3... x− y

0 1 1... y

como vemos tenemos un sistema consistente, lo que indica que el conjunto S genera el espacio vectorial V

y como el sistema tiene infinitas soluciones implica que un vector puede ser expresada de infinitas formas

como combinación lineal de los vectores del conjunto S por lo que S no es una base. Para ello resolvamos

el sistema equivalente

El sistema tiene una variable libre, α3 = t luego α2 = y − t, α1 = x− y + 3t, por tanto α1

α2

α3

= x− y + 3t

y − tt

= x− y

y

0

+ t 3

−11

, t ∈ R

como t toma infinitos valores, entonces un vector en V puede ser expresado de infinitas formas, por


ejemplo, el vector v =

[2

5

]puede ser expresado como

[2

5

]= −3

[1

0

]+ 5

[1

1

]+ 0

[−21

]para t = 0[

2

5

]= 3

[1

0

]+ 3

[1

1

]+ 2

[−21

]para t = 2

Coordenadas

Una de las caracteristicas útiles de una base B en un espacio vectorial V es que esencialmente habilita a

introducir coordenadas en V , analogo a las coordenadas naturales xi del vector v =

x1

x2...

xn

en Rn o Cn.

Esto es, las coordenadas del vector v en una base B vendrían ser los escalares que sirven para expresar

el vector v como combinación lineal de los vectores de la base B. La existencia de las coordenadas de un

vector se fundamenta en el teorema (32)

DefiniciónSea

B = {v1, v2, · · · , vn}

una base del espacio vectorial V y v ∈ V . Las coordenadas relativas a la base B son los escalares

c1, c2, · · · , cn tal quev = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvn

y se denota [v]B

[v]B =

c1

c2...

cn

EjemploSea V = R2 si consideramos la base B =

{e1 =

[1

0

], e2 =

[0

1

]}comunmente conocida com la base

canonica de R2, en esta base el vector v =

[−18

]se expresa como combinación de la base

[−18

]= −1

[1

0

]+ 8

[0

1

]

entonces las coordenadas del vector v =

[−18

]coincide con el vector

[−18

], esto es

[v]B =

[−18

]


EjemploAhora si consideramos otra base digamos B1 =

{[1

1

],

[−12

]}, entonces el vector v se expresa como

v = 2

[1

1

]+ 3

[−12

]=

[−18

]

por tanto las coordenadas del vector v en la base B1 es

[2

3

], esto es

[v]B1=

[2

3

]

EjemploConsideremos otro tipo de espacios vectoriales como el de los polinomios, a decir P2 (X) sobre los reales,

con la base B definido por el conjunto

B ={v1 = 1, v2 = x, v3 = x2

}esta base es conocida como la base canónica, luego el vector v = −3x2+5x+9 es una combinación linealde v1, v2, v3, esto es

v = 9v1 + 5v2 − 3v3

por tanto las coordenadas del vector v en la base B es

[v]B =

9

5

−3

EjemploConsideremos otra base para el espacio vectorial P2 [R] , digamos

B1 ={1, 2 + x, 1 + x2

}entonces el vector v = −3x2 + 5x+ 9 se puede expresar como combinación lineal de los vectores de B1

v = 2 (1) + 5 (2 + x)− 3(1 + x2

)por lo que sus coordenadas en la base B1 es

[v]B1=

2

5

−3

Suma e Intersección de Subespacios

Sean U y W dos subespacios de V , la intersección de estos subespacios se define como

U ∩W = {v ∈ V tal que v ∈ U y v ∈W}


y la suma de estos subespacios se define como

U +W = {u+ w tal que u ∈ U y w ∈W}

TeoremaSean U y W dos subespacios de V, entonces U ∩W y U +W son subespacios vectoriales de V

Prueba. Primero vamos a probar que U ∩W es un subespacio

para ello basta probar los dos primeros axiomas,

sea v1, v2 dos vectores en U ∩W entonces v1, v2 ∈ U y v1, v2 ∈Wcomo U y W son subespacios entonces v1 + v2 ∈ U y v1 + v2 ∈Wluego v1 + v2 ∈ U ∩W,tambien αv1 ∈ U y αv1 ∈W para todo escalar α, pues U y W son subespacios

luego αv1 ∈ U ∩W , esto prueba que U ∩W es un subespacio

Ahora probaremos que U +W es un subespacio de V

sean v1, v2 dos vectores en U +W entonces se tiene que

v1 = u1 + w1 donde u1 ∈ U y w1 ∈W

v2 = u2 + w2 donde u2 ∈ U y w2 ∈W

entonces

v1 + v2 = (u1 + w1) + (u2 + w2)

v1 + v2 = (u1 + u2) + (w1 + w2)

como (u1 + u2) ∈ U y (w1 + w2) ∈W entonces v1 + v2 ∈ U +Wtambién αu1 ∈ U y αw1 ∈W entonces

αu1 + αw1 ∈ U +W

pero

αv1 = αu1 + αw1

por tanto αv1 ∈ U +W.

TeoremaSi U y W son subespacios de dimensión finita del espacio vectorial V entonces U +W es de dimensión

finita y

dimU + dimW = dim (U +W ) + dim (U ∩W )


EjemploSean U y W dos subespacios de V = R5 definidos por

U = span

1

3

−22

3

,

1

4

−34

2

,

2

3

−1−29

V = span

1

3

0

2

1

,

1

5

−66

3

,2

5

3

2

1

hallaremos una base y la dimensión para U ∩W y U +W.

Como U +W = {u+ w tal que u ∈ U y w ∈W} entonces

U + V = span

1

3

−22

3

,

1

4

−34

2

,

2

3

−1−29

,1

3

0

2

1

,

1

5

−66

3

,2

5

3

2

1

Formamos una matriz cuyas filas son los vectores que generan U + V

1 3 −2 2 3

1 4 −3 4 2

2 3 −1 −2 9

1 3 0 2 1

1 5 −6 6 3

2 5 3 2 1

llevandolo a la forma escalonada

1 3 −2 2 3

1 4 −3 4 2

2 3 −1 −2 9

1 3 0 2 1

1 5 −6 6 3

2 5 3 2 1

→

1 3 −2 2 3

0 1 −1 2 −10 0 2 0 −20 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

tenemos que una base para U + V es

B =

1

3

−22

3

,

0

1

−12

−1

,

0

0

2

0

−2


por tanto dim (U + V ) = 3

Ahora para hallar la base de U ∩W, primero hallaremos los sistemas homogéneos cuyas soluciones sonlos subespacios U y W entonces formamos la matriz cuyas filas son los vectores que generan U

1 3 −2 2 3

1 4 −3 4 2

2 3 −1 −2 9

x y z s t

f2−f1→

f3−2f1

f4−xf1

1 3 −2 2 3

0 1 −1 2 −10 −3 3 −6 3

0 y − 3x z + 2x s− 2x t− 3x

1 3 −2 2 3

0 1 −1 2 −10 0 −x+ y + z 4x− 2y + s −6x+ y + t0 0 0 0 0

entonces el sistema homogéneo de donde proviene U viene dado por

−x+ y + z = 0

4x− 2y + s = 0

−6x+ y + t = 0

ahora hallamos el sistema homogéneo de donde proviene W, siguiendo el procedimiento anterior tenemos

el sistema (verificar)

−9x+ 3y + z = 0

4x− 2y + s = 0

2x− y + t = 0

Ahora unimos ambos sistemas y resolvemos el sistema homogéneo cuyo solución es U ∩W

−x+ y + z = 0

4x− 2y + s = 0

−6x+ y + t = 0

−9x+ 3y + z = 0

4x− 2y + s = 0

2x− y + t = 0

formamos el sistema matricial

−1 1 1 0 0

4 −2 0 1 0

−6 1 0 0 1

−9 3 1 0 0

4 −2 0 1 0

2 −1 0 0 1

x

y

z

s

t

=

0

0

0

0

0

0


llevamos a su forma escalonada

−1 1 1 0 0

4 −2 0 1 0

−6 1 0 0 1

−9 3 1 0 0

4 −2 0 1 0

2 −1 0 0 1

→

1 0 0 0 − 120 1 0 0 −20 0 1 0 3

2

0 0 0 1 −20 0 0 0 0

0 0 0 0 0

el sistema tiene una variable libre, por lo tanto dim (U ∩W ) = 1, para hallar el vector de su base, bastacon dar un valor a su variable libre t, entonces una solución viene dado por

t = 2, s = 4, z = −3, y = 4, x = 1

Cambio de Base

Consideremos el espacio vectorial mas simple como R2, Si B es la base canonica, esto es

B =

{[1

0

],

[0

1

]}

entonces las coordenadas de v =

[−18

]esta dado por

[v]B =

[−18

]

y cuando la base es

B1 =

{[1

1

],

[−12

]}entonces las coordenadas de v en esta base viene dada por

[v]B1=

(2

3

)

Mostramos a continuación la existencia de una matriz que la denotamos M que viene dado por

M =

[1 −11 2

]

tal que cumple que

[v]B =M [v]B1

basta comprobar que

[v]B =

[1 −11 2

][2

3

]=

[−18

]


la matriz M es llamada la matriz de transición de la base B1 a la base B, ahora también existe la matriz

de transición de la base B a la base B1 dada por

P =

[23

13

− 1313

]

aqui se cumple que

[v]B1= P [v]B

basta comprobar que

[v]B1=

[23

13

− 1313

][−18

]=

[2

3

]Además esta matriz es única salvo el orden de los vectores que forman la base.

Notanotar que P es la inversa de la matriz M

A continuación definimos la matriz de transición de la base B1 a la base B2

DefiniciónSean B1 = {u1, u2, · · · , un} , B2 = {v1, v2, · · · , vn} dos bases de un espacio vectorial V se define la matriz

A como la matriz de transición de la base B1 a la base B2 como

A =[[u1]B2

, [u2]B2, · · · , [un]B2

]donde [ui]B2

son las coordenadas del vector ui en la base B2 para i = 1 : n

EjemploSea el espacio vectorial V = P2 (X), consideremos dos bases de ella tales como

B1 ={u1 = 1, u2 = 1 + x, u3 = 1− x2

}y

B2 ={v1 = 1− x, v2 = 1 + x, v3 = 1 + x2

}Hallaremos la matriz de transición de la base B1 a la base B2

Hallemos las coordenadas de los vectores de la base B1 en la base B2. para u1 = 1

1 = a (1− x) + b (1 + x) + c(1 + x2

)luego tenemos

1 = (a+ b+ c) + (−a+ b)x+ (c)x2

entonces tenemos

1 = a+ b+ c

0 = −a+ b

0 = c

resolviendo

c = 0, b =1

2, a =

1

2


entonces

[1]B2=

1212

0

ahora para el vector u2 = 1 + x

1 + x = (a+ b+ c) + (−a+ b)x+ (c)x2

luego

1 = a+ b+ c

1 = −a+ b

0 = c

resolviendo

c = 0, b = 1, a = 0

entonces

[1 + x]B2=

0

1

0

Seguimos con el vector u3 = 1− x2

1− x2 = (a+ b+ c) + (−a+ b)x+ (c)x2

luego

a+ b+ c = 1

−a+ b = 0

c = −1

resolviendo

c = −1, b = 1, a = 1

entonces [1− x2

]B2=

1

1

−1

por tanto la matriz de transición de la base B1 a la base B2 es

A =

12 0 112 1 1

0 0 −1

por tanto tenemos que

[v]B2= A [v]B1

(7)

Ahora esta ecuación nos sirve para hallar las coordenadas de un vector v en la base B2 conociunedo la

matriz de transición A y las coordenadas de v en la base B1.


EjemploUsando las bases y la matriz de transición halladas previamente, hallar las coordenadas del vector v en

la base B2 si se sabe que [v]B1=

1

−12

usando la ecuación (7) tenemos que

[v]B2=

12 0 112 1 1

0 0 −1

1

−12

[v]B2=

5232

−2

ahora solo verificaremos que es cierto, para ello, como

[v]B1=

1

−12

entonces

v = 1 (1)− 1 (1 + x) + 2(1− x2

)= −2x2 − x+ 2

también como

[v]B2=

5232

−2

entonces

v =5

2(1− x) + 3

2(1 + x)− 2

(1 + x2

)= −2x2 − x+ 2


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