Espacios Vectoriales

I Definicin Subespacios Bases y dimensin Coordenadas. Cambio de base Operaciones entre subespacios vectoriales

Definicin Un espacio vectorial es un conjunto V en el cual hay definida una operacin binaria interna, llamada suma, con determinadas propiedades y una operacin binaria externa, llamada producto por un escalar, que liga los elementos de V y los de un cuerpo K, usualmente los nmeros reales o los complejos

, y que tiene tambin determinadas propiedades.

Independientemente del carcter verdadero o falso de las expresiones anteriores, el simple

enunciado de las mismas puede contener errores como el simbolizado con el disco . No es correcto escribir la expresin pues la operacin que liga dos elementos de V, la operacin interna se simboliza por + , la simple yuxtaposicin de dos smbolos se reserva para la operacin externa que liga un elemento de V con uno de K.

5 , , 3u v w

uv

El smbolo puesto junto a la expresin no significa, de momento, que sta sea cierta, simplemente significa que est bien escrita. Otra cosa es que las propiedades que deban verificar las operaciones interna y externa hagan que tal expresin sea cierta.

Formalmente deberamos escribir pues la composicin de un escalar con un vector no puede dar un escalar, no obstante es bastante corriente ver en la literatura esta

expresin aunque ms correcto sera escribir 0 0u =

.

5( ) 5 5u v u v+ = +

0 0u =

Condiciones a cumplir por las operacionesOperacin interna (suma)

1. Conmutativa: ; ,u v v u u v V+ = +

2. Asociativa: ( ) ( ) ; , ,u v w u v w u v w V+ + = + +

3. Existencia de elemento neutro: 0 tal que 0 u u u V + =

4. Existencia de elemento opuesto: tal que 0u V v u v + =

:El opuesto de u se simboliza u

Operacin externa (producto por un escalar)

1. Asociativa ( ) ( ) ; , ,a bu ab u a b K u V=

2. La unidad de K es el elemento neutro del producto: 1 ;u u u V=

3. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores (u+v)= u+ v ; , ,K u v V

4. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares ( )u= u+ ; , ,u K u V +

EjemplosEjemplo1: El conjunto de los polinomios es espacio vectorial

Dados dos polinomios se define su suma como el polinomio cuyos coeficientes son la suma de los coeficientes de monomios del mismo grado.

3 21 4 2 7 4p x x x= + + 5 2; 2 7 3 3p x x=

1 2p p+

El producto de un polinomio por un nmero real se define como el polinomio cuyos coeficientes se obtienen multiplicando los coeficientes del polinomio original por dicho nmero.

3 24 2 7 4p x x x= + +3p

5 3 27 4 7 1x x x x= + +

3 212 6 21 12x x x= + +

El conjunto P de los polinomios es espacio vectorial

Operacin interna (suma)1. Conmutativa: ; ,u v v u u v P+ = +

2. Asociativa: ( ) ( ) ; , ,u v w u v w u v w P+ + = + +

3. Existencia de elemento neutro: 0 tal que 0 u u u P + =

4. Existencia de elemento opuesto: tal que 0u P v u v + =

Operacin externa (producto por un escalar)

1. Asociativa ( ) ( ) ; , ,a bu ab u a b R u P=

2. La unidad de R es el elemento neutro del producto: 1 ;u u u P=

3. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores (u+v)= u+ v ; , ,R u v P

4. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares ( )u= u+ ; , ,u R u P +

Ejemplo2: El conjunto de funciones reales de una variable real es espacio vectorial

Dadas dos funciones f y g se define la suma h = f+g como:

h(x) = f(x) + g(x)

El producto de una funcin f por un nmero real l se define

(lf )(x) = l[f(x)]

Operacin interna (suma)1. Conmutativa: ; ,f g g f f g F+ = + 2. Asociativa: ( ) ( ) ; , ,f g h f g h f g h F+ + = + + 3. Existencia de elemento neutro: 0 tal que 0 f f f F + =

4. Existencia de elemento opuesto: tal que 0( ) ( )

f F g f gg x f x x R

+ =

=

Operacin externa (producto por un escalar)

1. Asociativa ( ) ( ) ; , ,a bu ab u a b R u P=

2. La unidad de R es el elemento neutro del producto: 1 ;u u u P=

3. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores (u+v)= u+ v ; , ,R u v P

4. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares ( )u= u+ ; , ,u R u P +

El conjunto F de funciones reales de una variable real es espacio vectorial

Ejemplo 3: Puntos del plano. Dados dos puntos P, Q de un plano. Definimos su suma como el punto medio del segmento que los une.

P + Q = R ( R = punto medio del segmento PQ )

Dado un punto P del plano se define el producto por el nmero real como el punto Q situado en la recta OQ ( O = origen de coordenadas ) a distancia veces la distancia del punto P a O

El conjunto P de los puntos del plano con las operaciones antes definidas NO es espacio vectorial

Operacin externa (producto por un escalar)1. Asociativa: a(bP) = (ab)P ; a,b R ; P P 2. La unidad de R es el elemento neutro del producto: 1P = P ; P P

3. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores(P + Q ) = P + Q

4. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares(+)P = P + P

Operacin interna (suma)1. Conmutativa: ; ,P Q Q P P Q+ = +

El conjunto P de los puntos del plano con las operaciones antes definidas SI es espacio vectorial

2. Asociativa: ( ) ( ) ; , ,P Q R P Q R P Q R+ + = + + 3. Existencia de elemento neutro: 0 tal que 0 P P P + =

El elemento neutro es el origen de coordenadas

4. Existencia de elemento opuesto: tal que 0P Q P Q + =

El elemento opuesto del punto P es el punto simtrico respecto al origen

Operacin externa (producto por un escalar)1. Asociativa: a(bP) = (ab)P ; a,b R ; P P 2. La unidad de R es el elemento neutro del producto: 1P = P ; P P

3. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores(P + Q ) = P + Q

4. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares(+)P = P + P

Las propiedades que hemos exigido para las operaciones interna y externa en espacios vectoriales hace que se verifiquen y sean ciertas las proposiciones ms o menos intuitivas que estamos acostumbrados a ver: Sacar factor comn, quitar parntesis, el producto por cero es cero, .... En puro rigor habra que dar una demostracin exacta de tales proposiciones pero una vez hecho esto la validez en cualquier ejemplo de espacio vectorial est garantizada.

A modo de ejemplo vamos a demostrar algunas proposiciones.

Algunas propiedades de espacios vectoriales

, 0 0u V u =

0u u+ 0 1u u= + (0 1)u= + 1u u= = 0 0u =

La demostracin que sigue no es vlida

0 (1 1)u u= 1 ( 1)u u= + ( ) 0u u= + =

( 1) ,u u u V =

( 1)u u + ( 1) 1u u= + ( 1 1)u= + 0 0u= = ( 1)u u =

, 0 0 u=0Sea K u V entonces u = =

.....

Obsrvese que la invalidez de demostracin antes reseada se debe a que se ha hecho uso de la afirmacin ( 1)u u = que no es enunciado directo de las propiedades de las operaciones interna y externa.

Volvemos a escribir una galera de afirmaciones en las que utilizamos los smbolos para

indicar validez formal y real, para indicar invalidez formal y para indicar invalidez real pero escritura formal vlida.

El concepto de espacio vectorial proporciona, como todos los conceptos de estructuras matemticas, una gran economa de pensamiento a la hora de operar dentro de una estructura siguiendo reglas ms o menos mecnicas que nos aseguran la validez de los resultados obtenidos al operar sin tener en cuenta la naturaleza intrnseca de los operandos.

Escribimos una expresin como 0 0u =

sin plantearnos la naturaleza de u si hemos comprobado previamente que pertenece a un espacio vectorial. Da lo mismo que u sea una fuerza, un polinomio o una matriz. Podemos operar mecnicamente siempre que previamente hayamos comprobado que se cumplen las 8 condiciones que convierten un conjunto con dos operaciones en espacio vectorial.

Cuando se trabaja con un subconjunto de un espacio vectorial es natural preguntarse si es a su vez espacio vectorial pues una respuesta afirmativa hara que las operaciones fuesen mecnicas. Adems el hecho de ser subconjunto de un espacio vectorial hace que abriguemos la esperanza de que la comprobacin de su naturaleza como espacio vectorial sea ms simple y que no estemos obligados a verificar que se cumplen las 8 condiciones de la definicin.

Surge as el concepto de subespacio vectorial

Definicin (Subespacio Vectorial)Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Se dice que un subconjunto S de K con las operaciones inducidas por V es subespacio vectorial si S es a su vez espacio vectorial.

TeoremaUn subconjunto S de un espacio vectorial V es subespacio vectorial si y slo si la suma

de cualquier par de elementos de S est en S y el producto por cualquier escalar de cada elemento de S tambin est en S

Demostracin

Si S V es espaciovectorial

, ;u v S K

u v S+ , u S

Operacin interna (suma)1. Conmutativa: ; ,u v v u u v S+ = +

2. Asociativa: ( ) ( ) ; , ,u v w u v w u v w S+ + = + +

3. Existencia de elemento neutro: 0 S tal que 0 u u u S + =

Supongamos que toda combinacin lineal de elementos de S pertenece a S

u S u S ( )u u S + , 0 S

4. Existencia de elemento opuesto: tal que 0u S v S u v + =

Operacin externa (producto por un escalar)

1. Asociativa ( ) ( ) ; , ,a bu ab u a b K u S=

2. La unidad de K es el elemento neutro del producto: 1 ;u u u S=

3. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores (u+v)= u+ v ; , ,K u v S

4. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares ( )u= u+ ; , ,u K u S +

Independientemente de la nula dificultad de la demostracin anterior, observemos la importancia del teorema: Basta comprobar que las operaciones interna y externa son cerradas en un subconjunto S del espacio vectorial V para afirmar que S es a su vez espacio vectorial.

Con este teorema no habra sido necesario comprobar que el conjunto de polinomios satisface las 8 condiciones que lo hacen espacio vectorial (ejemplo 1), bastara saber que las funciones tienen estructura de espacio vectorial (ejemplo 2) y que la suma de dos polinomios es un polinomio y el producto de un polinomio por un escalar es tambin un polinomio.

El conjunto F de funciones reales de variable real es espacio vectorial El conjunto de polinomios de coeficientes reales P es subconjunto no vaco de F La suma de dos polinomios es un polinomio El producto de un polinomio por un nmero real es un polinomio El conjunto P es espacio vectorial sobre el cuerpo de los nmeros reales

Ejemplos

El conjunto P de puntos del plano con las operaciones descritas en el ejemplo 4 es espacio vectorial El subconjunto D de puntos del crculo de centro el origen y radio unidad es un subconjunto no vaco de P Dado cualquier punto Q de D podemos encontrar un nmero real tal que Q est fuera de D

D es espacio vectorial ???

El espacio vectorial de las n-uplas de nmeros realesDefinicin

Se llama n-upla de nmeros reales a un conjunto ordenado de n nmeros reales. Se representa como n nmeros reales encerrados entre parntesis, separados por comas y ordenados segn marque el orden de la n-upla. El conjunto de n-uplas de nmeros reales se representa como Rn

Galera3(2,7, 3) R

32,7,3 R2,7,3 R

4( , , , )a b c d R

{ } 4, , ,a b c d R

4(2,7, 3) R

{ }, , ,a b c d R4(2,7,3,3) 7a R El segundoelemento de a es=

42(2,7,3,3) 7a R a= =

1 2; ( , ,....., )n

na a a R

= Correcto

= No es correcto pues incluso est mal escrito

= No es cierta la expresin pero si es correcta la sintaxis

El conjunto nR de la n-uplas de nmeros reales con las operaciones definidas antes, es un espacio vectorial.

Hemos establecido nR como espacio vectorial. Los conceptos de base y dimensin que pasamos a definir lo van a configurar como el nico tipo de espacios vectoriales. De hecho veremos que la forma de trabajar en un futuro ser traducir los vectores a tratar a su versin n-upla, hacer todas las operaciones en nR y volver con los resultados al espacio de partida.

Bases y dimensin de un espacio vectorialDefinicin

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K y v1, v2,,vm un conjunto de vectores de V. Se dice que son linealmente independientes si la nica combinacin lineal con coeficientes escalares de K que da como resultado el vector 0 es la que tiene todos los coeficientes 0.

v1, v2,,vm V ; 1,2, .,m K tal que 1 v1+ 2 v2+ ..+ m vm=0 1=2= .=m =0 Otros nombres

Si v1, v2,,vm son linealmente independientes, el sistema {v1, v2,,vm } se llama sistema libre. En otro caso se llama sistema ligado

Ejemplo 1En el espacio vectorial de las ternas de nmeros reales, los vectores (2,3,5) , (1,2,3), (7,12,19) constituyen un sistema ligado.

Pues (7,12,19)=2(2,3,5)+3(1,2,3) y as (7,12,19)-2(2,3,5)-3(1,2,3)=(0,0,0)Es decir la combinacin lineal de coeficientes 1,-2,-3 proporciona el vector nulo.

TeoremaUn sistema es ligado si y slo si puede ponerse uno de su vectores como combinacin lineal

de los dems

Ejemplo 2En el espacio vectorial de las ternas de nmeros reales estudiar la independencia de

los vectores (1,3,5) , (2,0,-1) , (1,-1,0)

Escribimos una combinacin lineal genrica de stos y la igualamos a ceroa(1,3,5) + b(2,0,-1) + c(1,-1,0) = (0,0,0)

Obtenemos pues que debe sera + 2b + c = 0

3a - c = 05a b = 0

Esto es, a,b,c son soluciones del sistema anterior y as a = b = c = 0

Estudiar la independencia de un sistema de vectores en Rn es determinar si un sistema homogneo de ecuaciones tiene como nica solucin la solucin trivial

Coordenadas Fijada un base, estableceremos una correspondencia vectores n-uplas que permitir operar con comodidad con los vectores del espacio vectorial igual que cuando operamos con nmeros.

Por ltimo definiremos en este apartado las operaciones ms usuales entre los subespacios vectoriales de un espacio vectorial

Cuando dos subespacios disjuntos se suman se dice que la suma es directa

II Aplicaciones lineales Ncleo e Imagen Clasificacin de homomorfismos Vectores fijos y libres Espacios vectoriales Eucldeos Productos escalar y vectorial

Las aplicaciones entre dos espacios vectoriales que respetan las operaciones propias de la estructura de espacio vectorial, suma y producto por un escalar, reciben el nombre de Aplicaciones Lineales u Homomorfismos.

Fijadas bases en los espacios vectoriales origen y destino, podemos manejar un homomorfismo como una operacin dada mediante un sencillo clculo matricial.

Los conjuntos Ncleo e Imagen antes definidos tienen estructura de espacio vectorial.

Los subespacios ncleo e imagen 'descomponen' un espacio vectorial de la misma forma que R3 se descompone en plano horizontal (plano xy) y recta vertical (eje z).

En Fsica estamos habituados a identificar una fuerza con un vector pero en ese caso no slo importa su tamao y direccin sino tambin su punto de aplicacin. Este hecho da lugar a diferenciar los conceptos de vectores fijos y libres respondiendo slo estos ltimos a la estructura matemtica de Espacio Vectorial.

La regla del paralelogramo hace que para sumar dos vectores haya que trasladarlos hasta que tengan el mismo origen por los cual esta regla no define una operacin en el conjunto de vectores fijos.

Si llamamos vector a toda la clase formada por un vector fijo y todas sus traslaciones paralelas, desaparece la objecin anterior.

III Operaciones con homomorfismos Cambio de base en aplicaciones lineales

Composicin de aplicaciones lineales Teorema Sean U, V, W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y sean f: U ---> V, g: V ---> W aplicaciones lineales. Entonces la aplicacin composicin h = g o f : U ---> W es aplicacin lineal.

Basta probar que la imagen de una combinacin lineal es la combinacin lineal de las imgenes con los mismos coeficientes.

Demostracin

Teorema Sean V1, V2, V3 espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y sean f: V1---> V2, g: V2 ---> V3 aplicaciones lineales. Sean B1, B2, B3 bases respectivas de V1, V2, V3 y Tf , Tg las matrices de las transformaciones f, g en tales bases. Entonces h=g o f : V1 ---> V3 tiene como matriz en las bases B1, B3 , Th = Tg .Tf

Th = Tg .Tf Obsrvese como en el producto de matrices, el nmero de columnas del primer factor es igual al de filas del segundo.

Aplicacin inversa de un isomorfismo Teorema Sean U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y h: U ---> V un isomorfismo. Entonces la aplicacin inversa de h es tambin una aplicacin lineal.

Tenemos que obtener el valor de la imagen por h-1 de una combinacin lineal Demostracin

Y como la imagen de cada vector es nica

Teorema Sean U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y h: U ---> V un isomorfismo. Sean BU y BV bases respectivas de U, V y T la matriz de h en tales bases. Entonces la aplicacin inversa de h en las bases BV y BU tiene como matriz la matriz inversa de T.

11 1 2 2( ..... ) ??n nh u u u

+ + + =

1 1 11 1 2 2Deseamos que el resultadosea el vector ( ) ( ) ..... ( )n nv h u h u h u

= + + +

1 1 11 1 2 2Pero [ ( ) ( ) ..... ( )]n nh h u h u h u

+ + +

1 1 2 2 ..... n nu u u = + + +

uvT T.vu uvT T I

=

1vuT T

=

Cambio de base en aplicaciones lineales Teorema Sean U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y h: U ---> V una aplicacin lineal. Sean B1u y B1v bases respectivas de U, V y T1 la matriz de h en tales bases. Sean B2u y B2v bases respectivas de U, V y T2 la matriz de h en tales bases. Llamemos Cu , Cv a las matrices de cambio de base B1u a B2u y B1v a B2v .Entonces se tiene T2 = Cv . T1 . C u-1

Teorema Sean U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y h: U ---> V una aplicacin lineal. Sean B1u y B1v bases respectivas de U, V y T1 la matriz de h en tales bases. Sean B2u y B2v bases respectivas de U, V y T2 la matriz de h en tales bases. Llamemos Cu , Cv a las matrices de cambio de base B1u a B2u y B1v a B2v .Entonces se tiene T2 = Cv-1 . T1 . C u

El dibujo siguiente expresa grficamente el producto de matrices en el cambio de base

En el diagrama que sigue podemos ver grficamente cmo independencia de caminos para ir de U a V es una expresin del teorema de cambio de base.

IV Diagonalizacin de endomorfismos

Sea f: V ---> V un endomorfismo, B una base de V y T la matriz de la transformacin f en B. Existe una base de forma que la matriz de f en ella sea diagonal?. Si es as (diremos entonces que f es diagonalizable

) , Cmo encontrarla?

Teorema Un endomorfismo f es diagonalizable s y slo si existe una base de vectores que se transforman en paralelamente a s mismos, esto es,

1.. ( )i i i ii n K f e e = =

Por ltimo enunciamos, sin demostracin, dos teoremas de gran importancia