CAPITULO 1. ESPACIOS VECTORIALESCAPITULO 1. ESPACIOS VECTORIALESEl propsito de este captulo es mostrar en apariencia grande, el mundo concreto de la solucin de ecuaciones y el manejo sencillo de los vectores que se pueden visualizar al mundo abstracto de los espacios vectoriales arbitrarios.CONTENIDO1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES BASICAS DE ESPACIOS VECTORIALES1.2. SUBESPACIOS1.3. COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO1.4. INDEPENDENCIA LINEAL1.5. BASES Y DIMENSIONES1.6. RANGO,NULIDAD,ESPACIO DE LOS RENGLONES Y ESPACIO DE LAS COLUMNAS DE UNA MATRIZ1.7. CAMBIO DE BASE1.8. BASES ORTONORMALES Y PROYECCIONES EN 1.9. APROXIMACION POR MINIMOS CUADRADOS1.10. ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO Y PROYECCIONES

1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES BASICAS DE ESPACIOS VECTORIALESDEFINICION 1: Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicacin por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuacin.NOTACION. Si X y Y estn en V y si es un nmero real, entonces la suma se escribe como X+Y y el producto como x.AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL.i. Si xV y YV, entonces X+YV (CERRADURA BAJO LA SUMA).ii. Para todo X, Y y Z en V, (X+Y)+Z =X+ (Y+Z)(LEY ASOCIATIVA DE LA SUMA DE VECTORES).iii. Existe un vector 0V tal que para todo xV, X+0=0+x=x (EL 0 SE LLAMA VECTOR CERO O IDENTICO ADITIVO).iv. Si xV, existe un vector X en V tal que X + (-X)= 0 (-X SE LLAMA INVERSO ADITIVO DE X).v. Si X y y estn en V, entonces X+Y =Y+X (LEY CONMUTATIVA DE LA SUMA DE VECTORES).

vi. Si xV y es un escalar entonces, x V. (CERRADURA BAJO LA MULTIPLICACION POR UN ESCALAR).vii. Si X y y estn en V y es un escalar, entonces (x+Y) = x +Y (PRIMERA LEY DISTRIBUTIVA).viii. Si XV y y son escalares, entonces (+ )X= X+ X(SEGUNDA LEY DISTRIBUTIVA).ix. Si XV y y son escalares, entonces (X) = ()X (LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACION POR ESCALARES).x. Para cada vector X V, 1X = X.NOTA: No es difcil demostrar que el idntico aditivo y el inverso aditivo en un espacio vectorial son nicos.Los vectores en se pueden escribir indistintamente como vectores rengln o vectores columna.TEOREMA 1: Sea V un espacio vectorial. Entoncesi.0= 0para todo escalar .ii. 0.X = 0 para todo XV.iii. Si x = 0, entonces = 0 X = 0(O AMBOS).Iv. (-1)X = -X para todo X V.

1.2. SUBESPACIOSDEFINICION 1: Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y suponga que H es en s un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por un escalar definidas en V. entonces se dice que H es un subespacio de V.NOTA: Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0. X +Y y X estn en H cuando x yy estn en h y es un escalar.TEOREMA 1. Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumple las dos reglas de cerraduras:Reglas de cerraduras para ver si un subconjunto no vacio es un subespacioi. Si X H y yH, entonces X +Y H.ii. Si XH, entonces xH para todo escalar .TEOREMA 2. Seanydos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces es un subespacio de V.

1.3. COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO

Se ha visto que todo vector V = (a, b, c) en se puede escribir de la forma V = ai+bj+ckEn este caso se dice que V es una combinacin lineal de los tres vectores i, j, k. De manera ms general, se tiene la siguiente definicin.DEFINICION 1: Combinacin lineal sean,.., Vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma+..+Donde ,,., son escalares se llama una combinacin lineal de .DEFINICION 2: Conjunto generador se dice que los vectores . En un espacio vectorial V generan a V si todo vector en v se puede escribir como una combinacin lineal de ellos. Es decir, V, existen escalares,,.,tales queV =+..+

DEFINICION 3: espacio generado por un conjunto de vectores seakvectores en un espacio vectorial V. El espacio generado por {} es el conjunto de combinaciones lineales de . Es decir,Gen {} = {V: V=+..+}Donde ,,., son escalares arbitrarios.

TEOREMA 1. Sison vectores en un espacio vectorial V, entonces gen {} es un subespacio de V.

TEOREMA 2. Sean ,n+1 vectores que estn en un espacio vectorial V. Si genera a V, entonces, tambin genera a V. es decir, si se agregan uno, o ms, vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjunto generador.

1.4. INDEPENDENCIA LINEALEn el estudio de lgebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta seccin se define el significado de independencia lineal y se muestra su relacin con la teora de sistemas homogneos de ecuaciones y determinantes.DEFINICION 1: Dependencia e independencia lineal sean vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen escalares tales que+..+= 0Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.TEOREMA 1. Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y slo si uno es mltiplo escalar del otro.NOTA: Tres vectores en son linealmente dependientes si y slo si son coplanares.TEOREMA 2. Un conjunto de vectores en siempre es linealmente dependiente si Corolario: Un conjunto de vectores linealmente independiente en contiene a lo mas vectores

TEOREMA 3. SeaA=Entonces las columnas de A, consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y slo si el sistema homogneo se puede escribir como combinaciones lineales Ac=0. Tiene soluciones no

Triviales. Aqu c = .TEOREMA 4. Sean vectores en y sea A una matriz de x. Cuyas columnas son Entonces son linealmente independientes si y slo si la nica solucin al sistema homogneo AX =0es la solucin trivial X =0.TEOREMA 5. Sea A una matriz de x. Entonces det A0 si y slo si las columnas de A son linealmente independientes.TEOREMA 6. Teorema de resumen Sea A una matriz de x. Entonces las ocho afirmaciones siguientes; es decir, cada una implica a las otras siete (de manera que si una es cierta, todas son ciertas).i. A es invertible.ii. La nica solucin al sistema homogneo AX = 0es la solucin trivial (X = 0).iii. El sistema AX= b tiene una solucin nica para todo -vector b.iv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad de x, v. A se puede escribir como el producto de matrices elementales.vi. La forma escalonada por renglones de A tiene pivotes.vii. detA0.viii. Las columnas (y renglones) de A son linealmente independiente.TEOREMA 7. Cualquier conjunto de vectores linealmente independiente en genera a .

1.5. BASES Y DIMENSIONESSe ha visto que en es conveniente escribir vectores como una combinacin lineal de los vectoresi= y j=. En se escribieron los vectores en trminos de , y . Ahora se generalizara esta idea.DEFINICION 1: Base Un conjunto finito de vectores {} es una base para un espacio vectorial V sii. {} es linealmente independiente.ii. {} genera a V.Todo conjunto devectores linealmente independiente en es una base en.TEOREMA 1. Si {} es una base para V y si VV, entonces existes un conjunto de escalares tales que V = +..+.TEOREMA 2. Si {} y {} son bases en un espacio vectorial V. Entonces =; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo nmero de vectores. DEFINICION 2: dimensin Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensin de V es el nmero de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensin finita. De otra manera, se c llama espacio vectorial de dimensin infinita. Si, V = {0}, entonces se dice que V tiene dimensin cero.Notacin. La dimensin de V se denota por dimV.TEOREMA 3. Suponga que dimV =. Si es un conjunto de de vectores linealmente independiente en V, entonces .TEOREMA 4. Sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensin finita V. Entonces H tiene dimensin finita y dimH dimVTeorema 5. Cualesquiera vectores linealmente independiente en un espacio vectorial V de dimensin constituyen una base para V.

1.6. RANGO,NULIDAD,ESPACIO DE LOS RENGLONES Y ESPACIO DE LAS COLUMNAS DE UNA MATRIZEn esta seccin se estudiara como se puede obtener una base para el espacio generado de un conjunto de vectores mediante la reduccin por renglones Sea A una matriz de xy seaEl espacio nulo de una matriz = {X: AX = 0}Definicin 1: Espacio nulo y nulidad de una matrizse llama el espacio nulo de A y (A) = dim se llama nulidad de A. si contiene slo al vector cero, entonces (A) =0.Teorema 1. Sea A una matriz de x. Entonces A es invertible si y slo si (A) =0.Definicin 2. Imagen de una matriz Sea A una matriz de x. Entonces la imagen de A, denotada por imagen A, est dada por Imagen A= {Y: AX =Y para alguna xTeorema 2. Sea A una matriz de x. Entonces la imagen de A, es un subespacio de .Definicin 3. Rango de una matriz Sea A una matriz de x. Entoncesel rango de A, denotado por (A), est dado por (A) = dim Imagen A.

Definicin 4. Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz Si Aes una matriz de x, sean {}los renglones de A y{} las columnas de A. Entonces se define= espacio de los renglones de A = gen {} Y= espacio de las columnas de A = gen {} Nota: es un subespacio de y es un subespacio de .Teorema 3. Para cualquier matriz A, = Imagen A. Es decir, la imagen de una matriz es igual al espacio de sus columnas.Teorema 4. Si A es una matriz de x, entonces dim= dim = dim imagen c =(A).Teorema 5. Si A es equivalente por renglones a B, entonces =,(A)= (b) y (A)=(b).Teorema 6. El rango de una matriz es igual al nmero de pivotes en su forma escalonada por renglones. Teorema 7. Sea A una matriz de x. Entonces(A) +(A) = . nota: Se sabe que (A) es igual al nmero de pivotes en la forma escalonada por renglones de A y es igual al nmero de columnas de la forma escalonada por renglones de A que contiene pivotes. Entoncesdel Teorema 7, (A) = nmero de columnas de la forma escalonada por renglones de A que no contiene pivotes. Teorema 8. Sea A una matriz de x. Entonces A es invertible si y slo si (A) = Teorema 9. El sistema AX=b tiene al menos una solucin si y slo si b. Esto ocurrir si y slo si A y la matriz aumentada (A, b) tiene el mismo rango.Teorema 10. Teorema de resumen Sea A una matriz de x. Entonces, las siguientes diez afirmaciones son equivalentes; es decir, cada una implica a la otras nueve (si una se cumple, todas se cumplen.) i. A es invertible.ii. La nica solucin al sistema homogneo AX = 0es la solucin trivial (X = 0).iii. El sistema AX = b tiene una solucin nica para cada -vector b.iv. Aes equivalente por renglones a la matriz identidad, , de x.v. A se puede expresar como un producto de matrices elementales.vi. La forma escalonada por renglones de Atiene pivotes.vii. Los renglones (y columnas) de A son linealmente independientes.viii. detA 0.ix. (A) =0.x. (A)=.Ms an, si una de ellas no se cumple, entonces para cada vector b, el sistema AX= b no tiene solucin o tiene un nmero infinito de soluciones. Tiene un nmero infinito de soluciones si y slo si (A)=(A, b).

1.7. CAMBIO DE BASEDefinicin 1. En esta seccin se ver cmo cambiar de una base a otra mediante el clculo de cierta matriz.Matriz de transicin la matriz A de xcuyas columnas estn dadas por = y se llama matriz de transicin de la base a la base . Esto es,

A=

Teorema 1. Sea y bases para un espacio vectorial V. Sea A la matriz de transicin de a . Entonces para todo X V.=A

Teorema 2. Si A es una matriz de transicin de a , entonces es la matriz de transicin de a .Procedimiento para encontrar la matriz de transicin de la base cannica a la base = {}i. Se escribe la matiz cuyas columnas son .ii. Se calcula . Esta es la matriz de transicin que se busca.Teorema 3. Sea = {} una base del espacio vectorial V de dimensin .suponga que

= , = , = Sea

A=

Entonces son linealmente independiente si y slo si detA0.

1.8. BASES ORTONORMALES Y PROYECCIONES EN En se vio quevectores linealmente independientes constituyen una base. La de uso ms comn es la base cannica E= {}. Estos vectores tienen dos propiedades:i. .= 0 si .ii. .= 1Definicin 1. Conjunto ortonormal en Se dice que un conjunto de vectores= {} en es un conjunto ortonormal si (1).= 0 si . (2) .=1Si slo se satisface la ecuacin (1), se dice que el conjunto es ortogonal.Definicin 2. Longitud o norma de un vector Si V, entonces la longitud o norma de V, denota por est dada por ==0para toda V.= 0si y slo si V = 0Un conjunto de vectores es ortonormal si cualquier par de ellos es ortogonal y cada uno tiene longitud 1.

Teorema 1. Si = {} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces es linealmente independiente.Teorema 2. Proceso de ortonormalizacion de Gram-SchmidtSea H un subespacio de dimensin de . Entonces H tiene una base ortonormal.Definicin 3. Matriz ortogonal Una matriz de x se llama ortogonal si es invertible y=Observe que si =, entonces =.No es difcil construir matrices ortogonales, segn el siguiente teorema.Teorema 3. La matriz de x es ortogonal si y slo si las columnas de forman una base ortonormal para .Definicin 4. Proyeccin ortogonal Sea H un subespacio de con base ortonormal {} si V, entonces la proyeccin ortogonal de V sobre H, denotada por V, esta dada por V = (V)+ (V)+ + (V)Observe que VH.Teorema 4. Sea B = {} sea una base ortonormal para y sea VEntonces V = (V)+ (V)+ + (V)

Esto es, V = . Teorema 5. Sea H un subespacio de . Suponga que H tiene dos bases ortonormales, {} y {}. Sea V un vector en Entonces (V.)+ (V.)+ + (V.) = (V.)+ (V.)+ + (V.)Definicin 5. Complemento ortogonal Sea H un subespacio de . El complemento ortogonal de H, denotado por , est dado por = {X: Xh= 0 para toda h H }Teorema 6. Si H es un subespacio de , entonces i. es un subespacio de .ii. H = {0} iii. dim = dim H. Teorema 7. Teorema de proyeccin Sea H un subespacio de y sea VEntonces existe un par nico de vectores h y p tales que h H, p , y V = h + p. En particular, h = y p= de manera que V = h+ p = +.Teorema 8. Teorema de aproximacin de la norma Sea H un subespacio de y sea Vun vector en Entonces es la mejor aproximacin para V en H en el sentido siguiente: si h es cualquier otro vector en H, entonces