Escuela Superior de F sica y Matematicas

Instituto Politecnico Nacional

Escuela Superior de Fısica y Matematicas

Teorıa de categorıas con ejemplos engeometrıa algebraica y teorıa de graficas.

Tesis que presenta

Josue Cardenas Conde

para obtener el tıtulo de

Licenciado en Fısica y Matematicas

Director de Tesis:

Dr. Eliseo Sarmiento Rosales

CDMX Mayo, 2018.

Agradecimientos

A mis padres Lucas Cardenas Gonzalez y Marıa Edith Conde Guevara por todo lo quehicieron y siguen haciendo por mı, por darme la oportunidad de seguir mis ideales sinoponerse a ellos, incluso si eso contradecıa sus creencias. Ademas a esas pocas personasque con su sola presencia me hicieron dar un paso adelante, muchas gracias.

iii

iv RESUMEN

Teorıa de Categorıas iv JOSUE CARDENAS

Resumen

La teorıa de categorıas introducida en la decada de los 40’s por Eilenberg and Mac La-ne’s probo ser de gran utilidad. Despues, en la decada de los 50’s cuando A. Grothendieckla usara con gran exito para probar problemas abiertos en la Geometrıa Algebraica. Masaun, las categorıas terminaron siendo un lenguaje universal de las matematicas, razon porla cual en esta tesis se expone de manera breve la definicion de categorıa y se dan algunosejemplos de ellas en Geometrıa Algebraica y Teorıa de Grafos.

En el primer capıtulo se expone lo necesario para la compresion de los primeros ejem-plos de categorıas dados en el Capıtulo 2, se dan definiciones basicas y algunas construc-ciones que se necesitan en el Capıtulo 3.

El segundo capıtulo inicia con la Definicion 2.1.1 que es la que le da nombre a estatrabajo, para continuar con el Ejemplo 2.1.3 el cual es el ejemplo canonico de una cate-gorıa. Tambien se define lo que es un funtor en 2.2.1 y con ello se prueba Proposicion 2.2.2resultado que nos dice que la clase de todas las categorıas juntos con los funtores son dehecho una categorıa el cual se puede considerar el principal resultado de este capıtulo.

En los ultimos dos capıtulos se desarolla la teorıa necesaria para dar ejemplos decategorıas en Geoemtrıa Algebraica y Teorıa de Grafos, dichos ejemplos no se encuentranen libros que solo abordan temas de categorıas.

v

vi INTRODUCCION

TITULO vi JOSUE CARDENAS

Indice general

Agradecimientos. III

Resumen. V

1. Preliminares 11.1. Conjuntos y relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Espacios Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Estructuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Categorıas 152.1. Categorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Geometrıa Algebraica 273.1. Conjuntos algebraicos y Topologıa de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4. Mapeos Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Graficas 514.1. Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Graficas y categorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. Conclusiones 61

Bibliografıa 63

Indice 64

vii

viii INTRODUCCION

TITULO viii JOSUE CARDENAS

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo se describen los conceptos previos para poder entender de maneraadecuada los capıtulos subsecuentes, se dan las demostraciones necesarias de manerabreve.

1.1. Conjuntos y relaciones

Definicion 1.1.1 Sean A,B conjuntos, el producto cartesiano de A con B, denotadocomo A×B se define como:

A×B = (a, b) | a ∈ A y b ∈ B.

Definicion 1.1.2 Sean A,B conjuntos,R ⊆ A×B se dice relacion de A en B.

Definicion 1.1.3 Sean A,Bconjunto y R una relacion de A en B, definimos:

Dominio de R: D(R) = u ∈ A | ∃v ∈ B 3 (u, v) ∈ R.

Rango de R: R(R) = v ∈ B | ∃u ∈ A 3 (u, v) ∈ R.

Observacion 1.1.4 R ⊆ D(R)×R(R).

Sean A,B conjuntos y R ⊆ A×B una relacion, entonces D(R) ⊆ A y R(R) ⊆ B.

Definicion 1.1.5 Sea A un conjunto y R una relacion de A en A, decimos que:

1. R es reflexiva si

∀a ∈ A tenemos que (a, a) ∈ R

1

2 CAPITULO 1. PRELIMINARES

y lo denotamos por aRa.

2. R es simetrica si

∀a, b ∈ A tal que (a, b) ∈ R, entonces (b, a) ∈ R

y lo denotamos como: si aRb, entonces bRa.

3. R es antisimetrica si

∀a, b ∈ A tal que (a, b) y (b, a) ∈ R entonces a = b

lo denotamos como: si aRb y bRa entonces a = b.

4. R es transitiva si

∀a, b, c ∈ A tal que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R entonces (a, c) ∈ R

y lo denotamos como: si aRb y bRc entonces aRc.

Definicion 1.1.6 Sean A un conjunto y R un relacion de A en A. Decimos que es unpreorden en A si es reflexiva y transitiva.

Definicion 1.1.7 Sean A un conjunto y R una relacion de A en A. Decimos que es unarelacion de orden parcial si R es reflexiva, antisimetrica y transitiva, usualmente estasrelaciones se denotan por 6.

Definicion 1.1.8 Sean A un conjunto y R una relacion de A en A. Decimos que esuna relacion de equivalencia si R es reflexiva, simetrica y transitiva, usualmente estasrelaciones se denotan por v.

Definicion 1.1.9 Sean A,B conjuntos, una funcion f : A −→ B, es una relacion de Aen B, de tal manera que si (a, b), (a, b

′) ∈ f entonces b = b

′.

f se dice inyectiva si dadas a, b ∈ A a 6= b, f(a) 6= f(b).

f se dice suprayectiva o sobreyectiva si para toda b ∈ B, existe a ∈ A, tal quef(a) = b.

f se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Definicion 1.1.10 Sean A, B conjuntos, C ⊂ B y f : A −→ B una funcion. El conjunto:

f−1(C) = a ∈ A |∃c ∈ C, f(a) = ces la imagen inversa de C.

Definicion 1.1.11 Sea A un conjunto, denotamos por |A| a la cardinalidad del conjuntosA.

Definicion 1.1.12 Sea A un conjunto denotamos por [A]k = W ⊆ A | |W | = k

Teorıa de Categorıas 2 JOSUE CARDENAS

CAPITULO 1. PRELIMINARES 3

1.2. Espacios Topologicos

Definicion 1.2.1 Sea X un conjunto, τ una familia de subconjuntos de X que satisfacelas siguientes condiciones:

∅ ∈ τ y X ∈ τ .

Dados A,B ∈ τ se tiene que A ∩B ∈ τ .

Dado Aαα∈I ⊂ τ se tiene que⋃α∈I

Aα ∈ τ .

es una topologıa de subconjuntos de X o solamente topologıa de X. A la pareja (X, τ) sele llama espacio topologico y a los elementos de τ les llamaremos abiertos, si B ⊆ X yX \B es abierto, decimos que B es cerrado.

Definicion 1.2.2 Sea (X, τ) un espacio topologico, β ⊂ τ un subfamilia de elementosde τ , diremos que β es una base de τ si para todo U ∈ τ existen βαα∈I ⊂ β tal queU =

⋃α∈I

βα.

Proposicion 1.2.3 Sean (X, τ) un espacio topologico, ∅ 6= Y ⊂ X y definamos el si-guiente conjunto:

τY = Y ∩ U | U ∈ τ

entonces (Y, τY ) es un espacio topologico.

Demostracion. Debemos mostrar que τY es una topologıa sobre Y .

Veamos que Y, ∅ ∈ τY , note que X ∩ Y = Y y ∅ ∩ Y = ∅, ası Y, ∅ ∈ τY .

Sean U, V ∈ τY por demostrar que U ∩ V ∈ τY , como U, V ∈ τY , entonces existenU1, V1 ∈ τ tales que U1 ∩ Y = U, V1 ∩ Y = V , ası tenemos que U ∩ V = (U1 ∩ Y ) ∩(V1 ∩ Y ) = (U1 ∩ V1) ∩ Y , luego U ∩ V ∈ τY .

Sean Uαα∈I ⊂ τY por demostrar que⋃α∈I

Uα ∈ τY . Para todo α ∈ I, tenemos

que Uα = Vα ∩ Y con Vα ∈ τ , consideremos los siguiente,⋃α∈I

Uα =⋃α∈I

(Vα ∩ Y ) =

(⋃α∈I

Vα) ∩ Y , como τ es una topologıa entonces⋃α∈I

Vα ∈ τ , ası tenemos que⋃α∈I

Uα =

(⋃α∈I

Vα) ∩ Y ∈ τY .

De lo anterior τY es una topologıa sobre Y .

JOSUE CARDENAS 3 Teorıa de Categorıas


Definicion 1.2.4 Sea (X, τ) un espacio topologico, Y ⊂ X, a τY la llamamos topologıainducida en Y .

Definicion 1.2.5 Sea (X, τ) un espacio topologico, Y ⊂ X, entonces a la pareja (Y, τY )se le llama subespacio topologico de X.

Definicion 1.2.6 Sean (X, τ), (Y, κ) espacios topologicos, f : (X, τ) −→ (Y, κ) unafuncion, f se dice continua si ∀B ∈ κ, f−1(B) ∈ τ , es decir la imagen inversa de unconjunto abierto es un abierto.

Definicion 1.2.7 Sea (X, τ) un espacio topologico. (X, τ) se dice espacio de Hausdorffsi dados cualesquiera x, y ∈ X, x 6= y, existen A,B ∈ τ tales que:

x ∈ A, y ∈ B.

A ∩B = ∅

A continuacion se dan definiciones y propiedades de ciertos espacios topologicos quese utilizaran en el siguiente capıtulo.

Definicion 1.2.8 Sea (X, τ) un espacio topologico, X se dice irreducible si dados cua-lesquiera A,B ( X cerrados, entonces X 6= A ∪B.

Definicion 1.2.9 Sea (X, τ) un espacio topologico, (X, τ) se dice espacio topologico noet-heriano si cumple la condicion de cadena descendiente para subconjuntos cerrados, es de-cir; para cada cadena Y1 ⊇ Y2 ⊇ . . . de subconjutos cerrados existe r talque Yr = Yr+1 =. . ..

Proposicion 1.2.10 Sea (X, τ) un espacio topologico noetheriano, Y ⊆ X, Y 6= ∅,cerrado, entonces Y se puede expresar como una union finita:

Y = Y1 ∪ Y2 ∪ . . . ∪ Yr

con Yi cerrados irreducibles ∀ i. Si ademas requerimos que Yi * Yj para i 6= j, entoncesYi estan unicamente determinados y son llamados las componentes irreducibles de Y .

Demostracion. Primero probemos la existencia de la representacion de Y . Sea Fla familia de todos los subconjuntos cerrados de X tales que no se pueden escribir comounion finita de conjuntos cerrados irreducibles; procedamos por contradiccion supongamosque F 6= ∅. Como X es noetheriano, entonces F debe tener un elemento minimal, digamosY . Ası Y no es irreducible por la construccion de F, luego Y = Y

′ ∪ Y ′′ , con Y′, Y

′′ ( Ycerrados, como Y es minimal, entonces Y

′, Y

′′pueden ser escritos como una union finita



de subconjutos propios irreducible, luego tambien Y , lo cual no puede suceder por lacontruccion de F, luego F = ∅. Ası cada subconjunto cerrado Y de X se puede escribircomo una union finita de subconjuntos irreducibles digamos Y = Y1 ∪ Y2 ∪ ... ∪ Yr, siqueremos reducir esta cantidad podemos pedir ademas que Yi * Yj, si i 6= j.

Demostremos que la representacion es unica; suponga que Y = Y1′ ∪Y2

′ ∪ . . .∪Yr′

es otrarepresentacion, como Y1

′ ⊆ Y = Y1∪Y2∪. . .∪Yr, entonces Y1′=⋃

(Y1′∩Yi), i ∈ 1, . . . , r,

como Y1′

es irreducible entonces Y1′ ⊆ Yi, para alguna i, sin perdida de la generalidad

suponga i = 1, similarmente como Y1 es irreducible entonces Y1 ⊆ Yj′, ası Y1

′ ⊆ Yj′

de

donde obtenemos que j = 1, luego Y1 ⊆ Y1′

y ası tenemos que Y1′

= Y1. Finalmente siconsideramos Z = Y \ Y1, obtenemos que Z = Y2 ∪ . . . ∪ Yr, el cual tambien es cerrado yprocediendo por induccion obtenemos la unicidad de cada Yi.

Definicion 1.2.11 Sea (X, τ) un espacio topologico, definimos la dimension de X (en elsentido en el que se utilizara en este trabajo) como el supremo de los n ∈ Z tal que existeuna cadena Y0 ⊂ Y1 ⊂ . . . ⊂ Yn de distintos subconjuntos cerrados irreducibles de X y ladenotamos como dim(X).

1.3. Estructuras algebraicas

Definicion 1.3.1 Sea G un conjunto, G 6= ∅, una operacion binaria sobre G es unafuncion f : G×G −→ G, la cual se denota usualmente como a+ b, a · b, ∀a, b ∈ G.

Definicion 1.3.2 Sea G un conjunto G 6= ∅ y · una operacion sobre G, la pareja (G, ·)se dice grupo si:

∀a, b, c ∈ G se tiene:

(a · b) · c = a · (b · c)

la operacion · es asociativa.

∃1G ∈ G tal que ∀a ∈ G:

a · 1G = a = 1G · a

el elemento 1G se denomina identidad en G.

∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G tal que:

a · a−1 = 1G = a−1 · a



el elemento a−1 se dice inverso de a en G.

Si ademas se cumple a · b = b · a para todo a, b ∈ G se dice que el grupo es abeliano .

Observacion 1.3.3 Se suele denotar ab en vez de a·b por comodidad, si no hay confusionesa es la notacion que se adoptara de ahora en adelante.

Definicion 1.3.4 Sea (G, ·) un grupo, H ⊆ G, H 6= ∅ , H se dice subgrupo de G yse denota como H < G , si H con la operacion · restringinda a el satisface definicionanterior, es decir (H, · |H) es un grupo.

Proposicion 1.3.5 Sea (G, ·) un grupo, H,K < G subgrupos, entonces H ∩ K es unsubgrupo.

Demostracion. Por hipotesis H,K < G, entonces H ∩K 6= ∅, pues 1G ∈ H,K. Seaa ∈ H ∩K, entonces a ∈ H y a ∈ K, por ser subgrupos de G tenemos que a−1 ∈ H,K,luego a−1 ∈ H ∩K, la asociatividad se hereda de G, de lo anterior H ∩K es un subgrupode G.

Definicion 1.3.6 (Clases laterales) Sea (G, ·) un grupo, H < G, definimos en G lasiguiente relacion, para a, b ∈ G

a ≡I b(ModH)⇔ ab−1 ∈ Ha ≡D b(ModH)⇔ b−1a ∈ H

y se leen “a es congruente con b por la izquierda modulo H”, “a es congruente con b porla derecha modulo H”, respectivamente.

Proposicion 1.3.7 Sea (G, ·) un grupo, H ⊂ G un subgrupo de G, entonces ≡I (ModH)(≡D (ModH)) es una relacion de equivalencia en G.

Demostracion. Sea (G, ·) un grupo, H < G, por demostrar que ≡I (ModH) esreflexiva, simetrica y transitiva.

Reflexividad: ∀a ∈ G, tenemos que aa−1 = 1 ∈ H, pues H es subgrupo asıa ≡I a−1(ModH).

Simetrıa: tenemos que a ≡I b−1(ModH), entonces ab−1 ∈ H, como H es subgrupo,ba−1, el inverso de ab−1, esta en H, por lo tanto b ≡I a(ModH).

Transitividad: si a ≡I b(ModH) y b ≡I c(ModH), entonces ab−1, bc−1 ∈ H comoH es subgrupo de G, tenemos que ac−1 = ab−1bc−1 ∈ H, ası a ≡I c−1(ModH).



De manera similar se prueba para ≡D (ModH) .

Definicion 1.3.8 Sea (G, ·) un grupo, H < G, a ∈ G definimos los siguientes conjuntos:

Ha = ha | h ∈ H.

aH = ah | h ∈ H.

Notemos que estos son los conjuntos de todas las clases laterales y en cada caso denotamosal conjunto cociente por:

HG = Ha | a ∈ G.

GH = aH | a ∈ G.

Definicion 1.3.9 Sea (G, ·) un grupo H < G se dice subgrupo normal de G y lo denota-mos como H G, si Ha = aH ∀a ∈ G.

Definicion 1.3.10 Sea (G, ·) un grupo, H < G, considere el conjunto cociente HG =Ha | a ∈ G, tenemos que Ha = Hb ⇔ ab−1 ∈ H, definimos en HG la siguienterelacion:

HG× HG −→ HG(Ha,Hb) −→ Hab

La relacion anterior es funcion si y solo si H G, ası se define el grupo cociente comola pareja (GH , ·), donde GH = Ha | a ∈ G y · la operacion definida como HaHb =Hab.

Definicion 1.3.11 Sean (G, ·), (H, ∗) grupos, sea f : G −→ H una funcion, f se dicehomomorfismo de grupos entre G y H, si:

f(ab) = f(a) ∗ f(b) ∀a, b ∈ G.

Si f es inyectiva se dice monomorfismo.

Si f es suprayectiva se dice epimorfismo.

Si f es biyectiva se dice isomorfismo.

Definicion 1.3.12 Sea R 6= ∅ un conjunto, y sean ·,+ dos operaciones en R que cumplen:

(R,+) es un grupo abeliano.



∀a, b ∈ R tenemos que a · b ∈ R.

∀a, b, c ∈ R tenemos que:

(a · b) · c = a · (b · c)

es decir · es asociativo.

∀a, b, c ∈ R se tiene:

a · (b+ c) = a · b+ a · c

(b+ c) · a = b · a+ c · a

es decir · se distribuye respecto de +.

a la terna (R,+, ·), la llamaremos anillo. Si no hay confusion en lo posterior denotaremoscomo: ab a a · b.

Definicion 1.3.13 Sea (R,+, ·) un anillo, decimos que:

1. (R,+, ·) es un anillo con identidad si ∃1 ∈ R tal que 1a = a1 = a ∀a ∈ R.

2. (R,+, ·) es un anillo conmutativo si ∀a, b ∈ R tenemos ab = ba.

Observacion 1.3.14 Para facilitar la notacion al anillo (R,+, ·), lo denotaremos simple-mente como R y nos referiremos a el como el anillo R.

Definicion 1.3.15 Sea R una anillo un elemento a 6= 0 ∈ R se dice divisor de cero por laderecha (respectivamente por la izquierda) si ∃b 6= 0 ∈ R tal que ba = 0 (respectivamenteab = 0). Un divisor de cero es aquel que es divisor de cero por la derecha o por la izquierda.

Definicion 1.3.16 Sea R un anillo conmutativo con identidad, se dice que R es un do-minio entero si R no tiene divisores de cero.

Definicion 1.3.17 Sea R un anillo con identidad, a ∈ R, a 6= 0, se dice unidad por la de-recha (respectivamente unidad por la izquierda) si ∃b ∈ R tal que ba = 1 (respectivamenteab = 1). Si se cumplen las dos condiciones anteriores decimos que a ∈ R es simplementeuna unidad.

Definicion 1.3.18 Sea R un anillo con identidad, R se dice anillo de division si paratoda a ∈ R, a 6= 0, las ecuaciones xa = 1 y ax = 1 tienen solucion.



Definicion 1.3.19 Sea R un anillo, R se dice campo si es un anillo de division conmu-tativo.

Definicion 1.3.20 Sea R un anillo, S ⊂ R, S 6= ∅. S se dice subanillo de R, si S conlas operaciones de R restringidas a el es un anillo.

Definicion 1.3.21 Sean R,G anillos, φ : R −→ G una funcion, φ se dice homomorfismode anillos si:

φ(ab) = φ(a)φ(b).

φ(a+ b) = φ(a) + φ(b).

∀a, b ∈ R.

Definicion 1.3.22 Sean R, S anillos definimos el anillo producto R×S como el productocartesiano de los conjuntos R y S.

Definicion 1.3.23 Sean R, S anillos, definimos las operaciones + y · en al anillo pro-ducto R× S como:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

(a, b)(c, d) = (ac, bd)

∀(a, b), (c, d) ∈ R× S.

Observacion 1.3.24 Notemos que en la segunda parte de las igualdades anteriores paracada coordenada la operacion usada es la correspondiente al anillo en el que se encuentranlos elementos.

Definicion 1.3.25 Sea R un anillo, I ⊂ R, I 6= ∅, I se dice ideal derecho (respectiva-mente izquierdo) si:

I es un subgrupo de R bajo la operacion +.

∀a ∈ I, y ∀r ∈ R, se tiene que ra ∈ I (respectivamente ar ∈ I).

Si se cumplen las dos condiciones anteriores se dice ideal bilateral, al cual solo nos refe-riremos como ideal.

Observacion 1.3.26 Sea R un anillo con identidad 1 e I un ideal de R, si 1 ∈ I entoncesI = R.



Teorema 1.3.27 Sea R un anillo e I ⊂ R, I 6= ∅, entonces I es un ideal derecho (res-pectivamente izquierdo) si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

∀a, b ∈ I, tenemos que a− b ∈ I.

∀a ∈ I y r ∈ R entonces ar ∈ I (respectivamente ra ∈ I.)

Demostracion. La necesidad es inmediata de la definicion de ideal. Para mostrarla suficiencia considere que se cumple que para toda a ∈ I, y para toda r ∈ R, ar ∈ I,luego en particular para 0 ∈ R, 0 = a0 ∈ I, luego 0 ∈ I, ası se cumple que (I,+) es unsubanillo de R y de que ∀a ∈ I y r ∈ R entonces ar ∈ I (respectivamente ra ∈ I) se tienela segunda parte de la definicion de ideal.

Definicion 1.3.28 Sea R un anillo conmutativo con identidad, un ideal P ⊂ R se diceideal primo de R, si:

P 6= R.

Siempre que ab ∈ P entonces a ∈ P o b ∈ P .

Definicion 1.3.29 Sea R un anillo, S ⊂ R, definimos al ideal generado por S como:

〈S〉 =⋂S⊂II tal que I es ideal de R.

Si S = a, se denota al ideal generado por a como 〈a〉 en lugar de 〈a〉.

Definicion 1.3.30 Sea R un anillo, I un ideal de R, I se dice ideal principal si ∃a ∈ Rtal que I = 〈a〉.

Definicion 1.3.31 Sea R un anillo, le llamaremos anillo de ideales principales si todoideal es la forma 〈a〉 para algun a ∈ R.

Definicion 1.3.32 Si R es un dominio entero y un anillo de ideales principales entonceslo llamaremos Dominio de Ideales Principales (DIP ).

Definicion 1.3.33 Sea R un anillo conmutativo con identidad, un ideal I de R se llamafinitamente generado si existen a1, a2, . . . , an ∈ I tales que I = 〈a1, a2, . . . , an〉

Definicion 1.3.34 Sea R un anillo conmutativo con identidad, a R lo llamaremos anilloNoetheriano si todo ideal de R es finitamente generado.



Definicion 1.3.35 Sea R un anillo conmutativo con identidad, I ⊂ R un ideal, definimosel radical de I como sigue:

√I = a ∈ R | ∃r ∈ N tal que ar ∈ I

Definicion 1.3.36 (Anillo cociente) Sea R un anillo, I un ideal de R, como (R,+)por definicion es un grupo abeliano entonces I R y podemos definir el grupo cociente,(R/I,+), donde R/I = I+r | r ∈ R y la opereacion esta definida como (I+r)+(I+s) =I + (r + s). Definimos en RI la siguiente relacion:

R/I ×R/I −→ RI(I + r, I + s) −→ I + rs

Note que la relacion anterior es un funcion, ası (R/I,+, ·) es un anillo y se conoce comoanillo cociente.

Definicion 1.3.37 Sea R un anillo conmutativo con identidad, m un ideal de R, m sedice ideal maximal de R si R/m es un campo.

Definicion 1.3.38 Sea R anillo conmutativo con identidad, S ⊂ R, S 6= ∅, S se diceconjunto multiplicativo o multiplicativamente cerrado si:

0 /∈ S.

1 ∈ S.

∀a, b ∈ S tenemos que ab ∈ S.

Definicion 1.3.39 Sea R un anillo conmutativo con identidad, S ⊂ R un conjunto multi-plicativamente cerrado, definimos en R×S la siguiente relacion (r, s) ∼ (r

′, s′)⇔ ∃ d ∈ S

tal que rs′d = r

′sd. Es facil probar que la relacion anterior es una relacion de equivalencia.

Denotamos por rs

a la clase de equivalencia de (r, s). Definimos el siguiente conjunto:

S−1R = rs| (r, s) ∈ R× S.

Dotamos a S−1R con la siguientes operaciones dados rs, r′

s′∈ S−1R

r

s+r′

s′=rs′+ sr

′

ss′

r

s· r′

s′=rr′

ss′



Ası (S−1R,+, ·) es tambien un anillo conmutativo con identidad y se conoce como anillode fracciones.

Observacion 1.3.40 Si R es un dominio entero entonces S = R\0 y S−1R es el campode cocientes del dominio entero R.

Definicion 1.3.41 Sea D un dominio entero, x, y ∈ D, x 6= 0, decimos que x divide a y,si ∃ w ∈ D tal que y = xw y lo denotamos como x|y.

Definicion 1.3.42 Sea R un dominio entero, entonces:

un elemento p ∈ R se llama primo, si no es unidad y cada que p|ab, entonces p|a op|b.

un elemento π ∈ R, se llama irreducible si no es unidad y si π = ab, entonces a o bes unidad.

Definicion 1.3.43 Sea R un anillo, N ∪ 0 = N0, un polinomio con coeficientes en Res:

f : N0 −→ R

tal que ∃ nf ∈ N0, con f(n) = 0 para toda n ∈ N0, con n > nf .

Denotaremos por P(R) = f : N0 −→ R | f es polinomio al conjunto de los polino-mios con coeficientes en el anillo R.

Teorema 1.3.44 Sea P(R), definimos en P(R) las siguientes operaciones:

+ : P(R)× P(R) −→ P(R)(f + g)(n) = f(n) + g(n)

· : P(R)× P(R) −→ P(R)

(f · g)(n) =n∑k=0

f(k)g(n− k)

para toda n ∈ N0. Con las operaciones definidas anteriormente P(R) es un anillo.

Definicion 1.3.45 Sea f ∈ P(R), definimos el grado de f como el maximo de los n ∈ N0

tal que f(n) 6= 0 y f(m) = 0 ∀m ∈ N0 tal que m > n, y lo denotamos como deg(f) = n.

A continuacion se enuncian sin demostrar algunas propiedades de los polinomios, paraen seguida introducir la notacion usual y con ello concluir esta parte enunciando el teoremade la base de Hilbert.



Teorema 1.3.46 Sea P(R) el anillo de polinomios con coeficientes en R, entonces:

1. R tiene identidad si y solo si P(R) tiene identidad.

2. R es conmutativo si y solo si P(R) es conmutativo.

3. Si R es un dominio entero, entonces P(R) tambien lo es.

Observacion 1.3.47 Para facilitar la notacion conviene denotar a f ∈ P(R) de la si-guiente manera f(x) = a0 + a1x + · · · + anx

n dando a entender que f(m) = 0, ∀m > n.Ademas a x la llamaremos indeterminada y de esta manera denotaremos a P(R) comoR[x] y le llamaremos el conjunto de polinomios con coeficientes en R en la indeterminadax.

Observacion 1.3.48 De manera similar podemos definir sobre el anillo R el anillo depolinomios en mas de una indeterminada, al cual denotaremos como R[x1, . . . , xn], donden es el numero de indeterminadas.

Teorema 1.3.49 (Hilbert) Sea R un anillo Noetheriano, entonces R[x] tambien esNoetheriano.

Definicion 1.3.50 Sea K un campo, F ⊆ K no vacıo, F se dice subcampo de K si F esun campo con las misma operaciones que K restringidas a F .

Definicion 1.3.51 Sea F,K campos, decimos que K es una extension de F , si F ⊆ Ky F es subcampo de K

Definicion 1.3.52 Sea K ⊆ L campos. Un elemento β ∈ L se dice algebraico sobre K si∃ f ∈ K[x], tal que f(β) = 0

Definicion 1.3.53 Sea K ⊆ L campos. L se dice extension algebraica de K, si ∀α ∈ L,existe f ∈ K[x], tal que f(α) = 0.

Definicion 1.3.54 Sea K un campo. K se dice algebraicamente cerrado si ∀f ∈ K[x],existe α ∈ K, tal que f(α) = 0.


Capıtulo 2

Categorıas

2.1. Categorıas

Definicion 2.1.1 Una categorıa C consta de:

Una clase Ob(C) de objetos: A,B,C . . ..

Una clase Hom(C) de morfismos: f, g, h, . . ..

para todo f morfismo, ∃A,B objetos denominados el domimio y codominio de frespectivamente y se denotan por: dom(f) y cod(f). Podemos escribir:

f :A −→ B o Af−→ B.

Dados los morfismos f : A −→ B, g : B −→ C, tales que cod(f)=dom(g),entoncespodemos definir el morfismo g f :

g f :A −→ C

llamado la composicion de f con g.

Para cada objeto A, ∃ 1A morfismo tal que:

1A: A −→ A

llamado el morfismo identidad de A.

La informacion anterior debe satisfacer las siguientes reglas:

15

16 CAPITULO 2. CATEGORIAS

Asociatividad:

(h g) f = h (g f)

∀f, g, h morfismos, f : A −→ B, g : B −→ C, h : C −→ D.

Unidad:

f 1A = f = 1B f

∀f morfismo, f : A −→ B.

Para todos A,B objetos denotamos como Hom(A,B) a la coleccion de todos los mor-fismos de A en B.

Observacion 2.1.2 Hay que resaltar que en la definicion anterior los objetos no sonnecesariamente conjuntos ni los morfismos funciones; en este sentido se puede pensar enuna categorıa como un algebra abstracta de morfismos (flechas) con la composicion ()como operacion, es decir, una “generalizacion”de los grupos.

Ejemplo 2.1.3 Daremos ejemplos primeramente de lo que se conoce como categorıasconcretas:

1. Sean A, B, C, D conjuntos, f : A −→ B una, g : B −→ C y h : C −→ D funciones.

Ası podemos definir la funcion g f :A −→ C

A

gf

f // B

gC

la cual se conoce como la composicion de f con g y se define como sigue:

(g f)(a) = g(f(a)) ∀a ∈ A (*)

y tenemos que la operacion () composicion es asociativa de la siguiente manera:


CAPITULO 2. CATEGORIAS 17

A

gf

f // B

g

hg

C

h // D

como indica el diagrama tenemos que (h g) f = h (g f), ası ∀a ∈ A

(h (g f))(a) = (h(g(f(a))) = ((h g) f)(a)

usando (*).

Ademas para todo A conjunto existe IA : A −→ A funcion identidad, definida como:

IA(a) = a ∀a ∈ A

que funciona como identidad para la operacion .

Ademas tenemos que:

f IA = f = IB f

para toda funcion f : A −→ B.

Lo anterior cumple la definicion de categorıa, la llamaremos la categorıa de conjuntosy la denotaremos por Sets .

2. Considere ahora conjuntos con alguna estructura y funciones que las preserven, talel caso de:

a) Grupos y homomorfismos: sean (G, ), (H, ∗),(K•) grupos, y f, g, h homomor-fismos de grupos: justo como se mostro en el punto anterior, basta sustituir enlos diagramas las funciones por los homomorfismos y los conjuntos por gruposen el lugar adecuado y se cumple que los grupos y los homomorfismos son unacategorıa; y es llamada la categorıa de todos los grupos a la cual denotaremospor Grp .

b) Espacios topologicos y funciones continuas, de manera similar se considera aconjuntos como objetos y a los morfismos como funciones continuas, del hechode que la funcion identidad es continua y la composicion (esta composicion esla que tomaremos como operacion composicion) de funciones continuas es con-tinua se tiene la demostracion de que estos son un categorıa y la denotaremoscomo Tops .



c) Monoides y homomorfismo de monoides: de manera analoga a los grupos secumple facilmente la definicion de categorıa y la denotaremos como Mon .

d) Grupos abelianos y homomorfismo entre ellos,: a esta categorıa la denotaremoscomo Ab.

e) Anillos y homomorfismo de anillos, la cual se denotara como Rings.

Ejemplo 2.1.4 Consideremos conjuntos parcialmente ordenados, los cuales denotaremoscomo poset (por su traduccion del ingles parcial ordered set). Un morfismo de un posetA a un poset B es una funcion:

m : A −→ B

monotona en el sentido de que dados a, a′ ∈ A tales que a 6A a

′entonces m(a) 6B m(a

′).

Note que el morfismo identidad IA : A −→ A existe y es una funcion monotona puesa 6A a

′implica que a 6A a

′en A.

Dadas f : A −→ B, g : B −→ C funciones monotonas, tenemos que g f : A −→ C esmonotona pues si a, a

′ ∈ A tales que a 6A a′

entonces f(a) 6B f(a′) en B, pues f es

monotona, ademas tenemos que g(f(a)) 6C g(f(a′)) pues g es monotona, ası tenemos que

(g f)(a) 6C (g f)(a′) es decir g f es monotona. La asociatividad y como se comporta

la unidad se tiene del hecho de que los morfismos sean funciones. A la categorıa anteriorla denotaremos como Pos.

Ejemplo 2.1.5 Considere conjuntos dotados de un preorden como objetos y, al igual queel caso anterior tomaremos como morfismos a funciones monotomas. Como los conjuntosparcialmente ordenados en particular son preordernees, se sigue del ejemplo anterior quelos preordenes juntos con las funciones monotonas como morfismos son una categorıa, yla denotaremos como PrO.

Ejemplo 2.1.6 Consideremos ahora un ejemplos de categorıas en donde los morfismosno son funciones:

Denotemos por Rel a la siguiente categorıa: tomemos a conjuntos como objetos y alas relaciones binarias como morfismos, es decir un morfismo f : A −→ B es cualquiersubconjunto del producto cartesiano (f ⊆ A × B). En efecto veamos que Rel es unacategorıa.Dados f ⊆ A×B, g ⊆ B × C, definimos la composicion de g con f , g f como sigue:

(a, c) ∈ g f ⇔ ∃ b 3 (a, b) ∈ f & (b, c) ∈ g



Veamos que la operacion composicion como se definio anteriormente es asociativa.Consideremos los siguiente morfimos, f : A −→ B, g : B −→ C, h : C −→ D y vemosque (h g) f = h (g f). Considere (a, d) ∈ h (g f) si y solo si existe c tal que(a, c) ∈ (g f) y (c, d) ∈ h si y solo si existe b tal que (a, b) ∈ f y (b, c) ∈ g y (c, d) ∈ h siy solo si (a, b) ∈ f y (b, d) ∈ (h g) si y solo si (a, d) ∈ (h g) f , ası queda demostradoque la operacion composicion es asociativa.

Para cada objeto A definimos el morfismo identidad como sigue:

1A = (a, a) ∈ A× A | a ∈ A ⊆ A× A

Solo falta mostrar que dado f : A −→ B entonces 1A f = f = f 1B. Lo cual seobtiene facilmente de la definicion de composicion e identidad antes dadas. De lo anteriortenemos que Rel es un categorıa.

Observacion 2.1.7 En el Capıtulo 4 se expondran ejemplos donde los morfimos no estanrelacionados con el producto cartesiano.

Ejemplo 2.1.8 Consideremos para este ejemplo como objetos A,B,C conjuntos finitosy los morfismos entre ellos los definiremos como matrices con entradas en N0 definidasde la siguiente manera f = (nij)i≤a,j≤b : A −→ B, donde a = |A|, b = |B|, y |A| es lacardinalidad del conjunto A. La composicion de cualesquiera dos morfismos la multipli-cacion usual de matrices y el morfismo identidad sera la matriz identidad cuyo rango esla cardinalidad del objeto tomado.

Para mostrar que es un categorıa basta ver que por la forma en la que se definieronlas matrices que en este caso son los mosfismos, la multiplicacion usual de matrices estabien definida, luego los mosfismos se podran componer adecuadamente.

En concreto, sean A = 3, 5, 7, 11, 13, 17, B = ,×, ∗, ?, •, C = π, α, γ, β, θ, ε, φ,D = Γ,∆,Θ,Ξ,Ψ,Ω y sean:

f : A −→ B, f =

( 1 0 3 4 52 2 0 1 20 1 3 2 31 1 1 5 01 0 0 5 11 3 1 1 1

)

g : B −→ C, g =

(1 2 3 4 5 3 12 0 1 1 0 0 11 1 3 2 3 3 11 0 1 0 0 3 01 3 2 5 1 3 1

)

h : C −→ D, h =

0 2 3 4 5 12 0 1 1 2 21 1 3 2 3 31 1 0 0 0 00 3 2 5 1 51 0 2 0 1 11 3 2 5 1 0



Dados los morfismos anteriores tenemos que el morfismo g f : A −→ C, es el siguien-te:

g f =

( 13 20 26 35 19 39 99 10 13 20 12 15 610 12 18 22 12 24 79 3 12 7 8 21 37 5 10 9 6 21 210 6 12 14 9 12 6

), y el morfismo h g : B −→ D es: h g =

(15 27 32 42 27 423 9 11 15 14 511 19 27 31 23 304 3 12 6 11 717 15 22 21 22 21

),

y por lo tanto podemos ver que h (g f) =

( 13 20 26 35 19 39 99 10 13 20 12 15 610 12 18 22 12 24 79 3 12 7 8 21 37 5 10 9 6 21 210 6 12 14 9 12 6

) 0 2 3 4 5 12 0 1 1 2 21 1 3 2 3 31 1 0 0 0 00 3 2 5 1 51 0 2 0 1 11 3 2 5 1 0

= (h g) f =

( 1 0 3 4 52 2 0 1 20 1 3 2 31 1 1 5 01 0 0 5 11 3 1 1 1

) (15 27 32 42 27 423 9 11 15 14 511 19 27 31 23 304 3 12 6 11 717 15 22 21 22 21

)=

( 149 171 271 264 250 26574 105 142 162 137 13395 117 182 183 171 17249 70 130 118 117 11259 57 112 93 103 9856 91 126 145 125 115

).

Ejemplo 2.1.9 Ahora daremos unos ejemplos de los que se conoce como categorıas fini-tas, que son ejemplos donde los objetos no son conjuntos.

1. La categorıa I que se representa de la siguiente manera:

∗

La cual solo tiene un objeto y al morfismo identidad, que no se dibujara, ademasconvendremos que los morfismos identidad no se dibujaran para estas categorıas.

2. La categorıa II que se representa de la siguiente manera:

∗ −→ ?

que solo tiene dos objetos distintos, los morfismos identidad de cada uno de losobjetos y el mosfismo entre ellos.

Ejemplo 2.1.10 Consideremos P un conjunto y denotaremos por ≤ a un preorden de-finido en P , entonces P es una categorıa tomando como objetos los elementos de P ydefiniendo un unico morfismo de la siguiente manera:

a −→ b⇔ a ≤ b.

Dado que ≤ es reflexivo y transitivo, entonces podemos asegurar que se cumple la defini-cion de categorıa.

Notemos que un conjunto parcialmente ordenado tambien es un conjunto con un preor-den, luego, bajo la definicion anterior de morfismos, una categorıa, ası un ejemplo concretode una categorıa como estas serıa el siguiente. Sea X un conjunto y P(X) el conjuntopotencia de X, entonces (P(X),⊆) es un conjunto con un preorden y por tanto unacategorıa.



Ejemplo 2.1.11 Considere (X, τ) un espacio topologico y considere lo siguiente, diremosque dados U, V ∈ τ :

U ≤ V ⇔ U ⊆ V

Dado lo anterior probaremos que ((X, τ),⊆) es un orden parcial, note que para todo U ∈ τtenemos que U ⊆ U , ademas si dados U, V ∈ τ tenemos que U ⊆ V y V ⊆ U estos soniguales, por ultimo, si U ⊆ V y V ⊆ W , entonces U ⊆ W . Ası tenemos que ⊆ es reflexivo,antisimetrico y transitivo, por lo cual es un orden parcial y por lo tanto ((X, τ),⊆) es unacategorıa, donde los objetos son los abiertos y solo hay un morfismo, que es la propiedadde la inclusion es decir f : U −→ V es un morfismo entre U, V si U ⊆ V y a esta categorıala denotaremos por Tops.

Ejemplo 2.1.12 Sea (M, ∗) un monoide, veamos que (M, ∗) es una categorıa a la que de-notaremos solo como M , diremos que M tiene un solo objeto, llamemoslo A, los morfismosde M seran los elementos del monoide, es decir a : A −→ A, si a ∈M , la composicion serala operacion del monoıde, y tomaremos como morfismo identidad al elemento identidadel monoide. Dado lo anterior y como la operacion es asociativa tenemos que M es unacategorıa.

2.2. Funtores

Definicion 2.2.1 Sean C,D categorıas. Un funtor entre categorıas

F: C −→ D

es una asignacion de objetos en objetos y morfismos en morfismos de tal manera que:

F(f : A −→ B) = F(f) : F(A) −→ F(B).

F(1A) = 1F(A).

F(g f) = F(g) F(f).

Esto es: F preserva dominios, codominios, al morfismo identidad y la composicion demorfirmos.

Proposicion 2.2.2 Si consideramos como objetos a las categorıas y como morfismosfuntores entonces tenemos una categorıa y a esta la denotaremos como Cat



Demostracion. Por demostrar que Cat es una categorıa.

Sean C,D, E categorıas y F : C −→ D,G : D −→ E funtores, definimos la operacioncomposicion G F : C −→ E como sigue: para A objeto de C asignamos bajo F, el objetoF(A) de D, como G es un funtor de D en E , asignamos al objeto F(A) el objeto G(F(A))de E , el cual denotaremos como (G F)(A). Analogamente para un morfismo f de C, lacomposicion le asigna un morfismo G(F(f)) de E que denotaremos como (G F)(f).

Sea C una categorıa, definimos el funtor 1C : C −→ C tal que para todo objeto A de Ctenemos que 1C(A) = A, es decir existe el morfismo identidad.

Sea F : C −→ D un funtor, por como se definio la composicion y el funtor identidad,es claro que F 1C = F = 1D F.

Sean C,D, E ,J categorıas y F : C −→ D, G : D −→ E , H : E −→ J funtores, pordemostrar que H (G F) = (H G) F.

Considere A,B objetos de C, y f : A −→ B un morfismo, por como se definio lacomposicion de morfismos (en este caso funtores), entonces G F : C −→ E es un funtory asigna a A,B objetos de C en G(F(A)),G(F(B)) objetos de E y a f a un morfismoG(F(f)) de E tales que G(F(f)) : G(F(A)) −→ G(F(B)), aplicando el funtor H : E −→ J ,este asigna a G(F(A)),G(F(B)), en H(G(F(A))),H(G(F(B))) objetos en J y a G(F(f))en H(G(F(f))) morfimso de J .

Ahora para A,B objetos de C, y f : A −→ B un morfismo, como F : C −→ D esun funtor, este los asigna en F(A),F(B) objetos de D y en F(f) morfismo de D, luegoaplicando la defincion de composicion de funtores para G,H tenemos que H G : D −→ J ,y como F(A),F(B) son objetos de D entonces los asigna a H(G(F(A))),H(G(F(B))),ademas a F(f), a H(G(F(f)) morfismo de J .

Definicion 2.2.3 Sean C,D categorıas y F : C −→ D un funtor, entonces:

F se dice covariante si dados f, g morfismos de C, tenemos que F(gf) = F(g)F(f)y preserva morfismos identidad.

F se dice contravariante si dados f, g morfismo de C, tenemos que F(g f) =F(f) F(g) y preserva morfismos identidad.

Definicion 2.2.4 Sea C una categoriıa, decimos que C es una categorıa:

Pequena si Ob(C) y Hom(C) son conjuntos.

Grande si no es pequena, es decir, si Ob(C) u Hom(C) no es un conjunto.



Dados A,B objetos de C,decimos que C es localmente pequena si Hom(A,B) es unconjunto para cualesquiera objetos A,B.

Ejemplo 2.2.5 Sea C una categorıa. Definimos el funtor identidad 1C : C −→ C de lasiguiente manera: para todo A objeto de C , F(A) = A, y para todo morfismo f de C,F(f) = f . Luego el funtor identidad es covariante.

Ejemplo 2.2.6 Sea F : Mon −→ Sets definido de la siguiente manera: para cada objetoA en Mon definimos F(A) como el conjunto al cual se le dio estructura para hacerlo unmonoide y para cualquier morfismo f : A −→ B , F(f) es la funcion que queda de saberque f relaciona a A y B solo como conjuntos, definido F de la manera anterior es facilver que preserva identidades y composicion, por lo cual es un funtor.

Ejemplo 2.2.7 Consideraremos ahora G : Grp −→Mon definido de la siguiente maneraa cada grupo le asignaremos el monoide que resulta de quitarle sus inversos, y a loshomomorfismo de grupos los asignamos a sus respectivos homomorfimos de monoides,con lo cual es facil ver que G es un funtor.

A los dos funtores anteriores los llamaremos funtores que olvidan (forgetful functor).

Observacion 2.2.8 Note que todos los funtores definidos anteriormente son covariantes.

Definicion 2.2.9 Una categorıa concreta es un par (C,U) donde C es una categorıa yU es un funtor, que sera pensado como un funtor que olvida, y este esta definido deU : C −→Sets

Ejemplo 2.2.10 Sea Top, la categorıa que toma como objetos a los abiertos de unespacio tologico (X, τ) y sea Sets la categorıa de todos los conjuntos. Una pregavilla deconjuntos sobre X es un funtor contravariante F : Top −→ Sets.

Podemos sustituir a Sets, por Ab, Ring y la llamaremos pregavilla de grupo abelianoso anillos sobre X.

En el siguiente capıtulo daremos un ejemplo de una pregavilla de anillos sobre unavariedad, vista como espacio topologico con la topologia de Zariski inducida en ella.

Definicion 2.2.11 Sea C un categorıa, un morfismo f : A −→ B de dice isomorfismo siexiste un morfismo g : B −→ A tal que:

g f = 1A y f g = 1B.



Lema 2.2.12 Sea C una categorıa, f : A −→ B un morfismo de C. Si existe g : B −→ Amorfismo de C tal que g f = 1A y f g = 1B entonces este es unico.

Demostracion. Suponga que existe otro morfismo h : B −→ A de C tal que hf = 1Ay f h = 1B, podemos componer la segunda igualdad con g, entonces g (f h) = g 1B,como la composicion de morfismos es asociativa y g 1B = g, entonces (g f) h = g,aplicando la hipotesis tenemos que (g f) h = 1A h = g, como 1A h = h, concluimosque h = g por lo tanto g es unico.

Observacion 2.2.13 Como g es unico, llamaremos a g el inverso de f y lo denotaremospor g = f−1. Ademas diremos que A es isomorfo a B y escribimos A ∼= B

Observacion 2.2.14 Aunque en la definicion anterior se hace uso de la palabra isomor-fimo, no se debe confundir con los isomorfismos de anillos o de grupos.

Ejemplo 2.2.15 Sea (G, ∗) un grupo, note que (G, ∗) es un monoide con la propiedadde que todo elemento tiene inverso. Por un ejemplo anterior (G, ∗) es una categorıa, ycomo cada elemento es invertible, entonces diremos que todo morfismo tiene inverso, bajola definicion que se dio de morfismo inverso.

Dado lo anterior veremos como construir nuevas categorıas a partir de algunas dadas.

Definicion 2.2.16 Sean C y D categorıas, definimos el producto de C con D, denotadocomo:

C × D

como sigue:

Objetos de la forma (C,D), donde C es objetos de C y D objeto de D.

Los morfismos son de la forma (f, g) : (C,D) −→ (C ′, D′), de tal manera quef : C −→ C ′ es un morfismo en C y g : D −→ D′ es un morfismo en D.

La composicion de morfismo se define componente a componente es decir (f, g) (h, k) = (f h, g k).

Para un objeto (C,D), definimos el morfismo identidad como sigue: 1(C,D) = (1C , 1D).

Dada la definicion anterior podemos dar el siguiente ejemplo de un funtor.

Ejemplo 2.2.17 Sean C,D categorıas, C × D su producto, definimos π1 : C × D −→ Ccomo sigue:



para todo objeto (C,D) en C × D, π1((C,D)) = C.

para todo morfismo (f, g) de C × D, π1((f, g)) = f .

Por como esta definido es claro que preserva identidades y composicion, de manera analogaa como se definio π1, podemos definir π2 : C × D −→ D.

Definicion 2.2.18 Sea C una categorıa, definimos la categorıa dual Cop de C como unacategorıa que tiene como objetos a los mismos objetos que C y dado f : C −→ D morfismoen C, f ∗ es un morfismo en Cop de la siguiente manera f ∗ : D −→ C.

Es conveniente tener una notacion que distinga a un objeto de C, del correspondientede Cop, lo denotaremos como:

f ∗ : D∗ −→ C∗

en Cop.

Para f : C −→ D en C, dada la notacion anterior podemos definir la composicion yla identidad en Cop en terminos de las de C, como sigue:

1C∗ = (1C)∗

f ∗ g∗ = (g f)∗

De tal manera que el siguiente diagrama de C:

A

gf

f // B

gC

se verıa en Cop como:

A∗ B∗f∗oo

C∗f∗ g∗

aa

g∗

OO


Capıtulo 3

Geometrıa Algebraica

3.1. Conjuntos algebraicos y Topologıa de Zariski

Definicion 3.1.1 Sea K un campo algebraicamente cerrado, definimos el n-espacioafın sobre K, denotado por AnK o simplemente An, como las n-tuplas de elementos deK. Sea P ∈ An, a P lo llamaremos punto, si P = (a1, a2, . . . , an) con ai ∈ K, entonceslos elementos ai los llamaremos la coordenadas del punto P .

Observacion 3.1.2 Note que la principal diferencia entre el espacio vectorial n dimen-cional Kn y An es que en An no hay elementos distinguidos como ocurre con el vector 0en Kn.

Observacion 3.1.3 Denotaremos por A = K[x1, x2, . . . , xn] al anillo de polinomios en nvariables sobre K.

Sea f ∈ A, a f lo interpretaremos como una funcion de la siguiente manera:

f : An −→ KP 7→ f(a1, a2, . . . , an)

Definicion 3.1.4 Sea f ∈ A, T ⊆ K, entonces definimos los siguientes conjuntos:

Z(f) = P ∈ An | f(P ) = 0Z(T ) = P ∈ An | f(P ) = 0,∀f ∈ T

Y los llamaremos los ceros de f y ceros de T respectivamente.

Proposicion 3.1.5 Sea T ⊆ A, a el ideal generado por T , entonces Z(a) = Z(T ).

27

28 CAPITULO 3. GEOMETRIA ALGEBRAICA

Demostracion. Sea P ∈ Z(a), entonces f(P ) = 0 para todo f ∈ a, como T ⊆ a,entonces f(P ) = 0 para todo f ∈ T , luego P ∈ Z(T ). Ahora considere P ∈ Z(T ),como A es dominio noetheriano entonces entonces dado f ∈ a existen h1, h2, ...hn ∈ A

y t1, t2, . . . , tn ∈ T tales quen∑i=1

hiti = f , como ti(P ) = 0 pues ti ∈ T para todo i ası

tenemos que f(P ) =n∑i=1

hi(P )ti(P ) = 0, luego P ∈ Z(a).

Observacion 3.1.6 Dado que A es noetheriano, entonces existen f1, f2, . . . , fr ∈ A talesque 〈f1, f2, . . . , fr〉 = a. Luego Z(T ) puede ser expresado como los ceros comunes def1, f2, . . . , fr.

Definicion 3.1.7 Y ⊆ An se dice conjunto algebraico si existe T ⊆ A tal que Y = Z(T ).

Proposicion 3.1.8 Sean Y1, Y2 ⊆ An, Yαα∈I ⊂ An, conjuntos algebraicos, entonces:

I) Y1 ∪ Y2 es un conjunto algebraico.

II)⋂α∈I

Yα es un conjunto algebraico.

III) Ademas ∅ y An son conjuntos algebraicos.

Demostracion.

I) Sean Y1, Y2 conjuntos algebraicos, entonces existen T1, T2 ⊆ A tales que Y1 =Z(T1), Y2 = Z(T2), por demostrar que Y1 ∪Y2 = Z(T1T2). Considere P ∈ Y1 ∪Y2 entoncesP ∈ Y1 o P ∈ Y2, ası P es cero de todo elementos de T1T2, entonces Y1 ∪ Y2 ⊂ Z(T1T2).Recıprocamente sea P ∈ Z(T1T2) y considere que P /∈ Y1, entonces ∃f ∈ T1 tal quef(P ) 6= 0, ahora como P ∈ Z(T1T2) para algun g ∈ T2 tenemos que fg(P ) = 0, entoncesg(P ) = 0, ası P ∈ Y2, luego Z(T1T2) ⊂ Y1

⋃Y2. De lo anterior Y1 ∪ Y2 = Z(T1T2), luego

Y1 ∪ Y2 es un conjunto algebraico.

II) Considere Yα = Z(Tα) por demostrar que⋂α∈I

Yα = Z(⋃α∈I

Tα). Sea P ∈⋂α∈I

Yα como

Yα = Z(Tα), entonces P ∈ Z(Tα) ∀α si y solo si f(P ) = 0 ∀f ∈⋃α∈I

Tα si y solo si

P ∈ Z(⋃α∈I

Tα). Ası⋂α∈I


III) Note que An = Z(0), pues dado P ∈ An arbitrario, 0(P ) = 0, ademas ∅ = Z(1)pues para cualquier punto P ∈ An, 1(P ) 6= 0.

Definicion 3.1.9 Sea An el espacio afın, U ⊆ An. Definimos la topologıa de Zariski τzcomo sigue:


CAPITULO 3. GEOMETRIA ALGEBRAICA 29

U ∈ τz ⇔ An \ U es un conjunto algebraico.

Proposicion 3.1.10 (An, τz) es un espacio topologico.

Demostracion. Se tiene de la proposicion anterior pues al tomar el complemento dela union de dos conjuntos algebraicos y el complemento de de la interseccion arbitrariade conjuntos algebraicos. Ademas An y ∅ ∈ τZ , pues uno es complemento del otro.

Ejemplo 3.1.11 Consideremos la topologıa de Zariski en el espacio afın A1, como A esun dominio de ideales principales entonces cada conjunto algebraico es el conjunto deceros de un polinomio. Dado que K es algebraicamente cerrado entonces cada polinomiof puede ser escrito de la forma f = c(x − a1)(x − a2)...(x − an), con c, a1, . . . , an ∈ K,luego Z(f) = a1, . . . , an, es decir cada conjunto algebraico es finito e incluidos en elconjunto vacıo y todo el espacio A1, entonces en A1 los conjuntos abiertos son: ∅,A1 ycomplementos de conjuntos finitos, es decir la topologıa de Zariski en A1 es la topologıade los complementos finitos.

Exploremos un poco mas fondo las relaciones entre los subconjuntos de An y los idealesde A.

Teorema 3.1.12 Hilbert’s Nullstellensatz, Sea K un campo algebraicamente cerrado,a ⊆ A un ideal, f ∈ A un polinomio tal que f(P ) = 0 para todo P ∈ Z(a), entonces f r ∈ apara algun r ∈ N.

Demostracion. [5, Teorema 1.7]

Definicion 3.1.13 Dado Y ⊂ An, definimos el ideal generado por Y en A como:

I(Y ) = f ∈ A | f(P ) = 0 ∀P ∈ Y .

Dada la definicion anterior y la definicion de los ceros de un subconjunto T de A,podemos decir que tenemos dos funciones que nos relacionan a A, con An a saber:

Z : A −→ An la cual toma subconjutos de A y los mapea en conjuntos algebraicos.

I : An −→ A la cual toma subconjuntos de An y los mapea en ideales de A.

Proposicion 3.1.14 Sean T1, T2 ⊆ A subconjuntos, a ⊂ A un ideal, Y, Y1, Y2 ⊆ Ansubconjuntos, entonces:

I) Si T1 ⊆ T2, entonces Z(T2) ⊆ Z(T1).

II) Si Y1 ⊆ Y2, entonces I(Y2) ⊆ I(Y1).



III) I(Y1 ∪ Y2) = I(Y1) ∩ I(Y2) para cualesquiera Y1, Y2.

IV) I(Z(a)) =√a, para cualquier ideal a.

V) Z(I(Y )) = Y para cualquier Y .

Demostracion.

I) Sea P ∈ Z(T2) entonces f(P ) = 0 para toda f ∈ T2, por hipotesis tenemos queT1 ⊆ T2, ası para todo g ∈ T1, g(P ) = 0, luego P ∈ Z(T1).

II) Sea f ∈ I(Y2), entonces para toda P ∈ Y2, f(P ) = 0, por hipotesis tenemos queY1 ⊆ Y2, ası para todo Q ∈ Y1, f(Q) = 0, luego f ∈ I(Y1).

III) Consideremos f ∈ I(Y1 ∪ Y2), entonces f(P ) = 0, para todo P ∈ Y1 ∪ Y2, asıf ∈ I(Y1) y f ∈ I(Y2), luego f ∈ I(Y1)∩ I(Y2). Sea f ∈ I(Y1)∩ I(Y2), entonces f(P ) = 0,para todo P ∈ Y1, y f(P ) = 0, para todo P ∈ Y2, ası f(P ) = 0, para todo P ∈ Y1 ∪ Y2,luego f ∈ I(Y1 ∪ Y2).

IV) Es una consecuencia directa del Hilbert’s Nullstellensatz, dado que el radical deun ideal se define como:

√a = f ∈ A | f r ∈ a, r > 0.

V) Note que Y ⊆ Z(I(Y )), como Z(I(Y )) es cerrado pues es un conjunto algebraico(en la topologıa de Zariski), ası tenemos que Y ⊆ Z(I(Y )). Ahora considere W ⊂ Ancerrado tal que Y ⊂ W , tenemos que W = Z(a) para algun ideal a, entonces tenemos queY ⊆ Z(a), por II) tenemos que I(Z(a)) ⊆ I(Y ) y como a ⊆ I(Z(a)), por I) tenemos queI(Y ) ⊆ Z(a) = W , ası Z(I(Y )) = Y .

Corolario 3.1.15 Hay una correspondencia uno a uno que invierte el orden de las in-clusiones entre los conjuntos algebraicos de An y los ideales radicales de A, dada por:

Z : A −→ Ana 7→ Z(a)

I : An −→ AY 7→ I(Y )

Ademas un conjunto algebraico Y es irreducible si y solo si el ideal I(Y ) es primo.



Demostracion. La primera parte del corolario es una consecuencia del teorema an-terior, falta demostrar la ultima parte. Sea Y ⊆ An irreducible, por demostrar que I(Y )es un ideal primo. Sea fg ∈ I(Y ) entonces por la primera parte del corolario tenemos queY ⊆ Z(fg) = Z(f) ∪ Z(g), ası Y = (Z(f) ∩ Y ) ∪ (Z(g) ∩ Y ) y ambos son subconjutoscerrados de Y con la topologıa inducida, como por hipoteisis Y es irreducible tenemosque Y = Y ∩ Z(f) o Y = Y ∩ Z(g) entonces tenemos que Y ⊆ Z(f) o Y ⊆ Z(g) luegof ∈ I(Y ) o g ∈ I(Y ), es decir I(Y ) es ideal primo.Sea p un ideal primo y supongamos Z(p) = Y1 ∪ Y2, entonces p = I(Y1) ∩ I(Y2), entoncesp = I(Y1) o p = I(Y2), luego Z(p) = Y1 o Z(p) = Y2, es decir Z(p) es irreducible.

Ejemplo 3.1.16 An es irreducible pues le corresponde el ideal 0 el cual es primo.

Ejemplo 3.1.17 Sea m ⊂ A un ideal maximal, entonces le corresponde un conjuntoalgebraico minimal en An el cual es un punto, pues no hay conjunto algebraico maspequeno. Si P = (a1, . . . , an), entonces tenemos que cada ideal maximal en A es de laforma m = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉

Definicion 3.1.18 Sea Y ⊂ An diremos que Y es una variedad algebraica afın osimplemente variedad afın, si Y es un subconjuto cerrado irreducible con la topologıainducida por An en Y , ademas si U ⊂ Y y U ∈ τzY , con Y una variedad afın, U serallamado variedad quasi-afın .

Definicion 3.1.19 Sea Y ⊆ An un conjunto algebraico, definimos el anillo cooorde-nado afın A(Y ) de Y como A/I(Y ).

Proposicion 3.1.20 An es un espacio topologico noetheriano.

Demostracion. Consideremos Y1 ⊇ Y2 ⊇ ... una cadena descendiente de subcon-juntos cerrados de An por la correspondencia dada en en teorema anterior tenemosI(Y1) ⊆ I(Y2) ⊆ ... es una cadena ascendente de ideales en A, como A es un anillo noethe-riano, entonces la cadenas de ideales en algun momento es estacionaria, y como para todai, Yi = Z(I(Yi)) entonces la cadena de subconjuntos cerrados tambien es estacionaria.

Por la proposicion anterior y la proposicion 1.2.10 para espacios topologicos noethe-rianos que se enuncia en los preeliminares podemos enunciar el siguiente corolario:

Corolario 3.1.21 Todo subconjunto Y ⊆ An cerrado puede ser escrito de manera unicacomo union de variedades, ninguna contenida en otra.

Definicion 3.1.22 La dimension de una variedad o una variedad quasi-afın se definecomo su espacio topologıco, definicion 1.2.11.



Ejemplo 3.1.23 La dimension de A1 es 1, pues los unicos subconjuntos cerrados irredu-cibles en A1 son los unipuntuales y todo el espacio.

Definicion 3.1.24 En un anillo A se define la altura (height) de un ideal primo pcomo el supremos de los n tales que existe una cadena p0 ( p1 ⊂ . . . ( pn = p, deideales primos distintos y definimos la dimension de Krull de A como el supremo delas alturas de todos los ideales primos de A.

Proposicion 3.1.25 Sea Y un conjunto algebraico afın, entonces dim(Y ) = dimA(Y )

Demostracion. Como Y es un conjunto algebraico entonces es cerrado, ademas comoAn es noetheriano Y se puede escribir como union de componentes irreducibles, luegolos ideales en A correspondientes a cada componente irreducible son ideales primos yademas contienen a I(Y ) (esto pasa por la correspondencia que invierte el orden de lainclusiones). Estos ideales a su vez se corresponden a ideales primos en A(Y ) y como dimY es la longitud de la cadena mas larga de ideales primos, entonces a esa cadena tambiense corresponde una cadena de la misma longitud en A(Y ), de ahı que las dimensiones seanlas mismas.

Teorema 3.1.26 Sea K un campo, B un dominio entero tal que es una K-algebra finita-mente generada, p ⊆ B un ideal primo, entonces:

la dimension de B es igual al grado de trascendencia del campo de cocientes deB (coc B).

height p + dim(B/p) = dimB

Demostracion. [1, capıtulo 11]

Proposicion 3.1.27 La dimesion del espacio afın An es n.

Demostracion. Note que K[x1, x2, . . . , xn] es una K-algebra finitamente generadasobre K , ademas el campo de cocientes de este anillo es K(x1, x2, . . . , xn), el cual tienegrado n de trascendencia sobre K luego de acuerdo al primer inciso del teorema anteriortenemos que el grado de An es n.

Proposicion 3.1.28 Si Y ⊂ An es una variedad quasi-afın, entonces dimY = dimY .

Demostracion. Sea Z0 ⊆ Z1 ⊆ . . . ⊆ Zn ⊂ Y una cadena de cerrados irreducibles,entonces tenemos que Z0 ⊆ Z1 ⊆ . . . ⊆ Zn ⊂ Y , luego dim Y 6 dim Y . En particular sisuponemos que dim Y < ∞, podemos tomar una cadena maximal (de longitud mayor)



Z0 ⊆ Z1 ⊆ ... ⊆ Zn, tal que dim Y = n, en este caso tenemos que Z0 debe ser un punto,ademas P = Z0 ⊆ Z1 ⊆ . . . ⊆ Zn tambien debe ser una cadena maximal. Note que a Ple corresponde un ideal maximal m en el anillo coordenado A(Y ) de Y por el Corolario3.1.15 cada Zi corresponde a un ideal primo contenido en m, ası tenemos que su altura esn, ademas tenemos que A(Y )/m ∼= K, luego el segundo punto del Teorema 3.1.26 se sigueque dim(A(Y )) = dimY = n, finalmente tenemos que dim Y = dimY .

Teorema 3.1.29 (Krull’s Hauptidealsatz). Sea A un anillo noetheriano, f ∈ A unelemento que no es divisor de cero ni unidad, entonces para cada ideal primo minimal ptal que f ∈ p, tiene altura 1.

Demostracion. [1, pagina 122]

Proposicion 3.1.30 Un dominio entero noetheriano es un dominio de factorizacion uni-ca ⇔ cada ideal primo de altura 1 es principal.


Proposicion 3.1.31 Sea Y ⊆ An una variedad, entonces Y tiene dimension n − 1 si ysolo si es el conjuntos de ceros de un solo polimonio f no constante e irreducible en A.

Demostracion. Como f es irreducible, entonces Z(f) es una variedad, ademas elideal generado por f , 〈f〉 es un ideal primo, luego por el Teorema 3.1.29 〈f〉 tiene altura1, entonces por la Proposicion 3.1.25 Z(f) tiene dimension n− 1.

Recıprocamente a una variedad de dimension n− 1, le corresponde un ideal de altura1, como A es un D.F.U., por la Proposicion 3.1.28 〈f〉 es principal y necesariamente estagenerado por el polinomio irreducible f , entonces Y = Z(f).

3.2. Variedades proyectivas

Se procedera a definir las variedades proyectivas de manera analoga a como se hizocon la variedades afines, salvo que se trabajara sobre el espacio proyectivo.

Definicion 3.2.1 Sea K un campo algebraicamente cerrado, definimos el n-espacio pro-yectivo sobre K como las clases de equivalencia de las (n + 1)-tuplas (a0, a1, . . . , an) deelementos de K no todos ceros, bajo la siguiente relacion de equivalencia:

(a0, a1, . . . , an) ∼ (λa0, λa1, . . . , λan), ∀λ ∈ K.

y lo denotaremos como PnK o simplemente como Pn.



Otra manera de ver al espacio proyectivo Pn es el cociente del conjunto An+1 \(0, 0, ..., 0) con la relacion que identifica a los puntos que estan en la misma rectadesde el origen.

Definicion 3.2.2 Sea P ∈ Pn, a P lo llamaremos punto y a cualquier n + 1-tupla en laclase de equivalencia de P le llamaremos un conjunto de coordenadas homogeneaspara P . Denotaremos a P = [a0 : a1 : . . . : an], haciendo notar con esto que hemos fijadoun representante de la clase.

Para esta seccion consideraremos a K[x0, x1, ..., xn] como un anillo graduado por locual se dara un introduccion a este concepto. Para facilitar la notacion, definimos S =K[x0, x1, . . . , xn] .

Definicion 3.2.3 Un anillo graduado S, es un anillo S con una descomposicion como lasiguiente:

S =⊕

d≥0 Sd

donde cada Sd es un subgrupo del grupo S, tal que:

SdSe ⊆ Sd+e ∀d, e ≥ 0.

A los elementos de Sd los llamaremos elementos homogeneos de grado d .

Definicion 3.2.4 Sea S un anillo graduado, a ⊆ S un ideal, decimos que a es un idealhomogeneo si:

a =⊕

d≥0(a ∩ Sd).

Se enunciaran sin demostrar algunas propiedades de los ideales homogeneos que nosserviran esta seccion.

Proposicion 3.2.5 Sea S un anillo graduado, a, b ⊆ S ideales entonces:

a es un ideal homogeneo si y solo si puede ser generado por elementos homogeneos.

si a, b son homogeneos entonces a + b es homogeneo.

si a, b son homogeneos entonces ab es homogeneo.

√a es homogeneo.



Para considerar a S = K[x0, x1, . . . , xn] como un anillo graduado, consideraremos comoSd al conjunto de todos los monomios de grado total d, asignando a cada xi i ∈ 0, 1, . . . , ngrado 1, es decir Sd es el conjunto de todas las combinaciones lineales de monomios degrado d en las variables antes mencionadas.

Observacion 3.2.6 Note que si f ∈ S entonces no lo podemos usar para definir funcionesen Pn pues las coordenadas homogeneas no son unicas.

Observacion 3.2.7 Considere f un elemento homogeneo de grado d, λ ∈ K \0, enton-ces tenemos que f(λa0, λa1, ..., λan) = λdf(a0, a1, . . . , an), de lo anterior podemos concluirque f sea cero o no, no depende del representante que se tome en la clase de equivalenciade [a0 : a1, . . . : an]. Solo por facilidad de la notacion al evaluar un punto [a0 : a1, . . . : an]en un polinomio homogeneo se esta escribiendo de la misma manera que si se evaluara unpunto del espacio afın.

Observacion 3.2.8 Note que para todo f ∈ S tenemos que f puede ser escrito de maneraunica como suma finita de elementos homogeneos.

Sea f ∈ S, entonces por la observacion anterior podemos escribir a f como:

f = f0 + f1 + · · ·+ fr

con cada fi un elemento homogeneo (polinomio homogeneo) de grado i, con fr 6= 0, seaP ∈ Pn, P = [a0 : a1 : . . . : ar] tal que f(P ) = 0, luego para todo λ ∈ K \ 0 tenemosque f(λa0, λa1, . . . , λar) = 0, por lo tanto:

f0(a0, a1, . . . , ar)λ0 + f1(a0, a1, . . . , ar)λ

1 + · · ·+ fr(a0, a1, . . . , ar)λr = 0

Considerando la expresion anterior como un polinomio en λ con grado menor o igual ar, tenemos que este se anula en una infinidad de puntos lo cual implica que debe ser elpolinomio identicamente 0, por lo tanto fi(a0, a1, . . . , ar) = 0 para todo i.

De lo anterior podemos concluir que si P ∈ Pn, entonces f(P ) = 0 si y solo sifi(a0, a1, . . . , ar) = 0 para todo i.

Observacion 3.2.9 De la discusion anterior tenemos que para poder hablar de las pro-piedades de anulacion de un elemento f de S sobre el espacio Pn, es suficiente considerarlaspara los polinomios homogeneos, lo cual da pauta a la siguiente definicion.

Definicion 3.2.10 Sea f ∈ S un polinomio homogeneo, definimos el conjunto de losceros de f como:



Z(f) = P ∈ Pn | f(P ) = 0.

Definicion 3.2.11 Sea T ⊂ S, un conjunto de polinomios homogeneos, definimos elconjunto de ceros de T como:

Z(T ) = P ∈ Pn | f(P ) = 0 ∀f ∈ T.

Observacion 3.2.12 Si a ⊆ S es un ideal homogeneo, entonces definimos Z(a) = Z(T )con T el conjuntos de todos los elementos homgeneos de a, como S es un anillo noetheriano,cada conjunto T de elementos, posee un subconjunto finito, f1, f2, . . . , fr tal que Z(T ) =Z(f1, f2, . . . , fr).

Procederemos a definir de manera similar a como se hizo en la seccion de variedadesalgebraicas, los conjuntos algebraicos y variedades salvo que ahora se hara en el espacioproyectivo.

Definicion 3.2.13 Sea Y ⊆ Pn, decimos que Y es un conjunto algebraico si existe T ⊆ Sde elementos homogeneos tales que Z(T ) = Y .

Proposicion 3.2.14 Sean Y1, Y2 ⊆ Pn, Yαα∈I ⊂ Pn, conjuntos algebraicos, entonces:

I) Y1 ∪ Y2 es un conjunto algebraico.

II)⋂α∈I


III) Ademas ∅ y Pn son conjuntos algebraicos.

Demostracion.

I) Sean Y1, Y2 conjuntos algebraicos entonces existen T1, T2 ⊆ S de elementos ho-mogeneos tales que Y1 = Z(T1), Y2 = Z(T2), por demostrar que Y1 ∪ Y2 = Z(T1T2), noteque T1T2 sigue siendo un conjunto de polinomios homogeneos. Considere P ∈ Y1∪Y2 enton-ces P ∈ Y1 o P ∈ Y2, ası P es cero de todo elementos de T1T2, entonces Y1∪Y2 ⊂ Z(T1T2).Recıprocamente sea P ∈ Z(T1T2) y considere que P /∈ Y1, entonces existe f ∈ T1 tal quef(P ) 6= 0, ahora como P ∈ Z(T1T2) para algun g ∈ T2 tenemos que fg(P ) = 0, entoncesg(P ) = 0, ası P ∈ Y2, luego Z(T1T2) ⊂ Y1 ∪ Y2. De lo anterior Y1 ∪ Y2 = Z(T1T2), luegoY1 ∪ Y2 es un conjunto algebraico.

II) Considere Yα = Z(Tα) por de demostrar que⋂α∈I

Yα = Z(⋃α∈I

Tα).

Sea P ∈⋂α∈I

Yα como Yα = Z(Tα), entonces P ∈ Z(Tα) para todo α si y solo si f(P ) = 0

para todo f ∈⋃α∈I

Tα si y solo si P ∈ Z(⋃α∈I

Tα). Ası⋂α∈I


III) Note que Pn = Z(0), pues dado P ∈ Pn arbitrario, 0(P ) = 0, ademas ∅ = Z(1)pues para cualquier punto P ∈ Pn tenemos que 1(P ) 6= 0.



Definicion 3.2.15 Sea Pn el espacio proyectivo, V ( Pn definimos la topologıa deZariski τZ, como:

V ∈ τZ ⇔ Pn \ V es un conjunto algebraico.

Proposicion 3.2.16 (Pn, τZ) es un espacio topologico.

Demostracion. Se tiene de la proposicion anterior tomando complementos.

Definicion 3.2.17 Sea Y ⊆ Pn, definimos el ideal generado por Y en S como:

I(Y ) = 〈f ∈ S | f es homogeneo y f(P ) = 0 ∀P ∈ Y 〉

Observacion 3.2.18 El punto IV de la siguiente proposicion se enuncia sin demostracion

Proposicion 3.2.19 Sean Y, Y1, Y2 ⊆ Pn, T1, T2 ⊆ Sh, y a ⊆ S un ideal homogeneo,entonces:

I) Si T1 ⊆ T2, entonces Z(T2) ⊆ Z(T1).

II) Si Y1 ⊆ Y2, entonces I(Y2) ⊆ I(Y1).

III) I(Y1 ∪ Y2) = I(Y1) ∩ I(Y2) para cuales quiera Y1, Y2.

IV) Si Z(a) 6= ∅, entonces I(Z(a)) =√a.

V) Z(I(Y )) = Y para cualquier Y .

Demostracion.

I) Sea P ∈ Z(T2) entonces f(P ) = 0 para todo f ∈ T2, por hipotesis tenemos queT1 ⊆ T2, ası para todo g ∈ T1, g(P ) = 0, luego P ∈ Z(T1).

II) Sea f ∈ I(Y2), entonces para todo P ∈ Y2, f(P ) = 0, por hipotesis tenemos queY1 ⊆ Y2, ası para todo Q ∈ Y1, f(Q) = 0, luego f ∈ I(Y1).

III) Consideremos f ∈ I(Y1 ∪ Y2), entonces f(P ) = 0 para todo P ∈ Y1 ∪ Y2, asıf ∈ I(Y1) y f ∈ I(Y2), por lo tanto f ∈ I(Y1 ∩ I(Y2).

Por otro lado, sea f ∈ I(Y1)∩ I(Y2), entonces f(P ) = 0 para todo P ∈ Y1 y f(P ) = 0para todo P ∈ Y2, es decir f(P ) = 0 para todo P ∈ Y1 ∪ Y2, por lo tanto f ∈ I(Y1 ∪ Y2).

V) Note que Y ⊆ Z(I(Y )), como Z(I(Y )) es cerrado pues es un conjunto algebraico(en la topologıa de Zariski), ası tenemos que Y ⊆ Z(I(Y )). Ahora considere W ⊂ Pncerrado tal que Y ⊂ W , tenemos que W = Z(a) para algun ideal a, entonces tenemos queY ⊆ Z(a), por II) tenemos que I(Z(a)) ⊆ I(Y ) y como a ⊆ I(Z(a)), por I) tenemos queI(Y ) ⊆ Z(a) = W , ası Z(I(Y )) = Y .



Corolario 3.2.20 Existe una correspondencia uno a uno que invierte las contencionesde los conjuntos entre los conjuntos algebraicos en Pn y los ideales radicales homogeneosde S.

Definicion 3.2.21 Sea Y ⊂ Pn decimos que Y un una variedad algebraica proyec-tiva o simplemente variedad proyectiva , si Y es un subconjunto cerrado irreduciblecon la tologıa inducida, ademas si V ⊂ Y y V ∈ τzY diremos que V es una variedadquasi-proyectiva .

Definicion 3.2.22 Sea Y ⊆ Pn un conjunto algebraico, definimos el anillo coordenadohomogeneo de Y como S(Y ) = S/I(Y ).

Definicion 3.2.23 Sea f ∈ S un polinomio linear homogeneo, llamaremos hiperplanoal conjunto Z(f).

Observacion 3.2.24 Al conjunto de ceros de xi lo denotaremos por Hi; para i = 1, . . . , n,llamemos Ui = Pn \Hi el cual es un abierto.

Proposicion 3.2.25 Sea Pn el espacio proyectivo, entonces Pn tiene una cubierta abiertapor Uini=1.

Demostracion. Sea P ∈ Pn, arbitrario, como P = [a0 : . . . : an] es un punto almenos un ai 6= 0, entonces P ∈ Ui, eso para para todo P ∈ Pn, luego Pn tiene unacubierta abierta de Uini=1.

Proposicion 3.2.26 Sea ϕi : Ui −→ An, una funcion definida de la siguiente manera,para P ∈ Ui, ϕi(P ) = Q ∈ An, con Q = (a0/ai, . . . , ai−1/ai, ai+1/ai, . . . , an/ai), en dondese omite la coordenada ai/ai, entonces ϕi es un homeomorfismo de Ui, con su topologıainducida a An con la topologia de Zariski.

Demostracion. Primero veamos que ϕi : Ui −→ An esta bien definida, es decirno depende del representante de clase, sea P, P ′ ∈ Pn tal que estan en la misma clase,suponga que P = [a0 : . . . : an], P ′ = [b0 : . . . : bn] y consideremos:

ϕi(P ) = Q = (a0/ai, . . . , ai−1/ai, ai+1/ai, . . . , an/ai)

ϕi(P′) = Q′ = (b0/bi, . . . , bi−1/bi, bi+1/bi, . . . , bn/bi).

Como estan en la misma clase existe λ ∈ K tal que (b0, . . . , bn) = λ(a0, . . . , an), asıtenemos que:

(λa0/λai, . . . , λai−1/λai, λai+1/λai, . . . , λan/λai) = (a0/ai, . . . , ai−1/ai, ai+1/ai, . . . , an/ai).



Por lo tanto Q = Q′ y asi ϕi(P ) = ϕi(P′), luego ϕi esta bien definida.

Por demostrar que ϕi es biyectiva, veamos primero que es inyectiva, sean P = [a0 :. . . : an], P ′ = [c0 : . . . : cn],∈ Ui tales que ϕi(P ) = ϕi(P

′), entonces tenemos:

(a0/ai, . . . , ai−1/ai, ai+1/ai, . . . , an/ai) = (c0/ci, . . . , ci−1/ci, ci+1/ci, . . . , cn/ci)

esto pasa si y solo si son iguales entrada por entrada, considere una entrada arbitraria,digamos la k-esisma, entonces ak/ai = ck/ci como las entradas son elementos del campotienen inverso y podemos multiplicar por el inverso de ai entonces ak = ck(ai)

−1/ci asıak = ck(a

−1i /ci) y sea λ = a−1i /ci, luego ak = λck para todo k ∈ 0, . . . , n, por lo tanto

P ∼ P ′, ası ϕi es inyectiva.

Veamos que ϕi es suprayectiva, para todo Q = (a1, ..., an) ∈ An basta tomar P = [a1 :. . . : ai−1 : 1 : ai+1 : . . . : an] ∈ Ui, ası tenemos que ϕi(P ) = Q, luego ϕi es suprayectiva.

Para probar que es un homeomorfismo, probaremos que dado Y ⊆ Ui cerrado entoncesϕi(Y ) ⊆ An es cerrado.Definamos primero dos funciones que nos seran de ayuda paraprobar lo dicho anteriormente:

α : Sh ⊂ S −→ A = K[y1, . . . , yn]

α(f) = f(1, y1, . . . , yn)

Ademas dado g ∈ A con deg(g) = e, definimos:

β : A −→ Sh

β(g) = x0eg(x1/x0, . . . , xn/x0)

este ultimo un polinomio homogeo de grado e, en la variables x0, . . . , xn.

La prueba se hace de la misma manera para toda i, asi que consideraremos el caso i = 0para facilitar la notacion en lugar de ϕ0 : U0 −→ An, escribiremos ϕ : U −→ An, luegoconsidere Y ⊆ U cerrado, y sea Y su cerradura en Pn, como es cerrado es un conjuntoalgebraico, luego existe T ⊆ Sh, tal que Y = Z(T ). Suponga que I(Y ) = 〈f1, ..., fr〉,fi ∈ Sh para toda i, considere gi = α(fi), entonces si P = [1 : a1 : . . . : an], tenemos queP ∈ ϕ(Y ) si y solo si ∀i f(1, a1, . . . , an) = 0 si y solo si para toda i g(a1, . . . , an) = 0. AsıZ(g1, . . . , gn) = ϕ(Y ) y por lo tanto ϕ es cerrada.

Veamos que la inversa de ϕ es cerrada, sea W ⊆ An, entonces existen f1, . . . , fn ∈ Atal que W = Z(f1, . . . , fn), sea gi = β(hi), sea P ∈ ϕ−1(W ) ⊆ U , ası es facıl verque gi(P ) = fi(ϕ(P )) = 0, luego ϕ−1(W ) ⊆ U ∩ Z(g1, . . . , gn), analogamente si P ∈U ∩ Z(g1, . . . , gn), tenemos que gi(P ) = f(ϕ(P )) = 0, entonces P ∈ ϕ−1, ası tenemos queϕ−1(W ) = U ∩ Z(g1, ..., gn) el cual es cerrado, luego ϕ, ϕ−1 son funciones cerradas, ası ϕes un homeomorfismo.



3.3. Morfismos

Procederemos a analizar cuando dos variedades afines o quasi-afines son isomorfas,para ello definiremos primero que es una funcion regular entre variedades, para despuesdefinir los morfismos.

Definicion 3.3.1 Sea Y ⊆ An una variedad quasi-afın, f : Y −→ K una funcion, f sedice regular en un punto P ∈ Y si existe U abierto tal que P ∈ U ⊆ Y y existen g, h ∈ Atales que h no se anula en U y f = g/h en U . Decimos que f es regular en Y si f esregular en todo punto de Y .

Lema 3.3.2 Sea f : A1 −→ K una funcion regular, entonces f es una funcion continuacon la topologıa de Zariski.

Demostracion. Basta probar que la imagen inversa bajo f de un cerrado es cerrado,como la topologıa de Zariski en A1 corresponde con la topologıa de los complementosfinitos, entonces es suficiente probar que para toda a ∈ K tenemos que f−1(a) = P ∈A1 | f(P ) = a es cerrado, lo cual se puede verificar de manera local, sea U ⊆ A1 abiertotal que f se pueda representar como g/h, con g, h ∈ A, tales que h no se anula en U ,luego f−1(a) ∩ U = P ∈ U | g(P )/h(P ) = a, note que g(P )/h(P ) = a si y solo si(g − ah)(P ) = 0, luego f−1(a) ∩ U = Z(g − ah) ∩ U el cual es un cerrado, ası f−1(a) escerrado en A1.

Ahora definiremos que es un fucion regular en el espacio proyectivo

Definicion 3.3.3 Sea Y ⊆ Pn una variedad quasi-proyectiva, f : Y −→ K un funcion, fse dice regular en P ∈ Y si existe U ⊆ Y vecindad abierta de P y polinomios homogeneosg, h ∈ S del mismo grado, tal que h no se anula en U y f = g/h ∈ U . Decimos que f esregular en Y si f es regular en todos los puntos de Y .

Observacion 3.3.4 Notemos que aunque g, h no son funciones en Pn, el cociente sı estabien definido siempre que h 6= 0.

Observacion 3.3.5 Al igual que en el caso afın una funcion regular en Pn es necesaria-mente continua (la prueba es similar a la dada en el Lema 3.3.2), mas aun si f, g sonfunciones regulares en una variedad X, y f = g en un abierto U ⊆ X distinto del vacıo,entonces f = g en todo X, en efecto pues el conjunto donde f − g = 0 es un conjuntocerrado denso, luego como X es un variedad, este conjunto seria X.

Observacion 3.3.6 Sea K un campo algebraicamente cerrado, como una variedad so-bre K (simplemente variedad ) consideraremos cualesquiera de lo siguiente: variedadafın, variedad quasi-afın, variedad proyectiva o variedad quasi-proyectiva definida sobreK.



Definicion 3.3.7 Sea K un campo algebraicamente cerrado, X, Y variedades, un mor-fismo ϕ : X −→ Y es una funcion continua tal que para todo V ⊆ Y abierto y para cadafuncion regular f : V −→ K, la funcion ϕ∗ = f ϕ : ϕ−1(V ) −→ K es regular.

Proposicion 3.3.8 Sea K un campo algebraicamente cerrado, entonces las variedadessobre K y los morfismos son una categorıa.

Demostracion. Para este caso consideramos la composicion de morfismos como lacomposicion de funciones ası tenemos los siguiente:

Sean X, Y, Z variedades, ϕ : X −→ Y , λ : Y −→ Z morfismos, por demostrar queλϕ es un morfismo, para ello probaremos que λϕ es una funcion continua y paratoda f funcion regular f : Z −→ K, la funcion f λ ϕ : ϕ−1(λ−1(V )) −→ K esuna funcion regular.

Es claro que λ ϕ es una funcion continua pues es composicion de funciones conti-nuas.

Sea V ⊆ Z abierto y f : V −→ K una funcion regular arbitraria, veamos quef λ ϕ : ϕ−1(λ−1(V )) −→ K es una funcion regular, considere λ∗ = f λ :λ−1(V ) −→ K, como λ es un morfismo entonces λ−1(V ) ⊆ Y es un abierto (esto esnecesario para que λ∗ este bien definida) y λ∗ es un funcion regular, luego como ϕes un morfismo, entonces ϕ−1(λ−1(V )) es un abierto, considerando ahora la funcionλ∗ ϕ : ϕ−1(λ−1(V )) −→ K tenemos que λ∗ ϕ = f λ ϕ es un funcion regular ycomo f fue arbitraria entonces λ ϕ es un morfismo.

1X : X −→ X es un funcion continua y se cumple para todo V ⊆ X abierto, yf : V −→ K funcion regular que f = f 1X : V −→ K es una funcion regular.

Que la composicion de morfismos sea asociativa se tiene del hecho de que la com-posicion de funciones lo es.

De lo anterior se tiene que las variedades sobre K juntos con los morfismo definidosanteriormente son una categorıa.

Observacion 3.3.9 En esta categorıa los isomorfimos son funciones biyectivas, cuya in-versa existe y tambien es continua.

Procedamos a definir algunos anillos de funciones asociados a una variedad.



Definicion 3.3.10 Sea Y un variedad, denotamos por O(Y ) al anillo de todas la funcio-nes regulares definidas sobre Y , si P esta en Y definimos el anillo local de P en YOP,Y o simplemente OP , como el anillo de funciones regulares de Y cercanas a P , es decirun elemento de OP es una pareja ordenada 〈U, f〉 donde P ∈ U ⊆ Y es abierto y f esregular en U .

Observacion 3.3.11 Notemos que OP es un anillo local, pues su unico ideal maximalm es el conjunto funciones regulares que se anulan en P , pues si f(P ) 6= 0, entonces lafuncion 1/f es regular en algun abierto que contenga a P , ası considere OP/m el cual esisomorfo a K

Definicion 3.3.12 Sea Y un variedad y P ∈ Y , entonces en OP definimos la siguienterelacion, 〈U, f〉 ∼ 〈V, g〉 si f = g en U ∩ V .

Proposicion 3.3.13 La relacion definida anteriormente es una relacion de equivalencia.

Demostracion. Sea Y una variedad, P ∈ Y, 〈U, f〉, 〈V, g〉, 〈W,h〉 ∈ OP por demostrarque ∼ es reflexiva, simetrica y transitiva:

reflexividad, tenemos que 〈U, f〉 ∼ 〈U, f〉, pues f = f en U ∩ U = U .

simetrıa, si 〈U, f〉 ∼ 〈V, g〉 entonces, f = g en U ∩ V , de donde g = f en V ∩ Uluego 〈V, g〉 ∼ 〈U, f〉.

transitividad, tenemos que 〈U, f〉 ∼ 〈V, g〉 y 〈V, g〉 ∼ 〈W,h〉, entonces f = g enU ∩ V , y g = h en V ∩W , como U, V,W son abiertos entonces U ∩ V, V ∩W sonabiertos luego por la Observacion 3.3.5 tenemos que f = g y g = h en todo Y asıtenemos que f = h en todo Y en particular en U ∩W , el cual es abierto y no vacıo,pues Y es una variedad, ası 〈U, f〉 ∼ 〈W,h〉.

De lo anterior ∼ es una relacion de equivalencia.

Definicion 3.3.14 Sea Y un variedad, definimos el campo de funciones K(Y ) de Ycomo sigue: un elemento en K(Y ) es una clase de equivalencia de las parejas 〈U, f〉 bajo larelacion ∼ definida anteriormente. A los elementos de K(Y ) les llamaremos funcionesracionales sobre Y .

Observacion 3.3.15 Dada la variedad Y , K(Y ) es un campo, pues como Y es unavariedad dos abiertos cualesquiera tiene interseccion no vacıa, ya que Y es irreducible, asıdados 〈U, f〉, 〈V, g〉 ∈ K(Y ), definimos la suma y multiplicacion como sigue:

〈U, f〉+ 〈V, g〉 = f + g ∈ U ∩ V〈U, f〉 · 〈V, g〉 = f · g ∈ U ∩ V



con lo anterior K(Y ) es un anillo, mas aun, si 〈U, f〉 ∈ K(Y ) con f 6= 0, entonces podemosrestringir a f al abierto V = U \ (U ∩ Z(f)), ası f no se anula en V y podemos definiren V , la funcion 1/f , luego 〈V, 1/f〉 es el inverso de 〈U, f〉, como 〈U, f〉 fue arbitrarioentonces K(Y ) es un campo.

Observacion 3.3.16 Sea Y una variedad algebraica, si reemplazamos Y por una varie-dad isomorfaX, los correspondientes anillosO(X),OP , K(X) son isomorfos aOY ,OP , K(Y ),entonces se puede decir que son invariantes, salvo isomorfismos.

Procederemos a ver las relaciones entre O(Y ),OP , K(Y ) y el anillo coordenado afınA(Y ) de una variedad afın y el anillo coordenado homogeneo S(Y ) de una variedadproyectiva.

Teorema 3.3.17 Sea Y ⊆ An una variedad afın, A(Y ) su anillo coordenado, entonces:

I) O(Y ) ∼= A(Y ).

II) para cada P ∈ Y , sea mP ⊆ A(Y ) el ideal de funciones que se anulan en P , entoncesla funcion que asigna a cada punto de Y un ideal maximal de A(Y ) es inyectiva(P 7−→ mP ).

III) ∀P ∈ Y , tenemos OP ∼= A(Y )mP, y dimOP = dimY .

IV) K(Y ) es isomorfo al campo de cocientes coc A(Y ), por lo tanto K(Y ) es una exten-sion finitamente generada de K, con grado de trascendencia igual a dimY .

Demostracion. II) Tenemos que para toda f ∈ A, f es una funcion regular en todoAn, en particular si la restringimos a Y , ası definimos:

χ : A −→ O(Y )f 7→ f |Y

χ es un homomorfismo pues manda al polinomio 1 en el mismo, y ademas si ∗ es cualquierade las dos operaciones tenemos que χ(f ∗g) = (f ∗g) |Y = f |Y ∗g |Y = χ(f)∗χ(g), ademasque ker(χ) = I(Y ) = f ∈ A | f(P ) = 0∀ P ∈ Y , ası podemos definir un homomorfismoinyectivo:

α : A(Y ) −→ O(Y ).

Por el Ejemplo 3.1.17 sabemos que hay una correspondencia 1-1 entre los puntos de Y y losideales maximales de A que contienen a I(Y ), si consideramos al anillo cociente A/I(Y ),entonces esta correspondecia se tiene con los ideales maximales de A(Y ) (teorema de la



correspondencia), mas aun como α identifica a los elementos de A(Y ) con las funcionesregulares en Y , entonces el ideal maximal correspondiente a un punto P es justamentemP = f ∈ A(Y ) | f(P ) = 0 ∀P ∈ Y .

III) Para cada P hay una asignacion natural de A(Y )mP−→ OP , la cual es inyectiva,

pues α lo es, ademas es suprayectiva por la definicion de funcion regular, luego A(Y )mP∼=

OP , ahora tenemos que dimOP = ht(mP ), y ya que A(Y )/mP∼= K y usando la Proposicion

3.1.25 y el primer punto del Teorema 3.1.26 tenemos que dimOP = dimY .

IV) De III) se sigue que para toda P ∈ An tenemos que coc(A(Y )) es isomorfo acoc(OP ), el cual es igual a K(Y ), pues cada funcion regular esta de hecho en algun OP ,notemos que A(Y ) es una K-algebra finitamente generada, luego K(Y ) es una extensionfinitamente generada de K, mas aun el grado de trascendencia de K(Y )/K = dimY .

I) Notemos que O(Y ) ⊆⋂P∈YOP , considerando todos los anillos como subanillos de

K(Y ), de II) y III) tenemos que:

A(Y ) ⊆ O(Y ) ⊆⋂

m ⊂A(Y )

A(Y )m

siendo m ideal maximal, la igualdad se sigue del hecho de que si D es un dominio entero,entonces D es igual a la interseccion (dentro de su campo de cocientes) de sus idealesmaximales.

Proposicion 3.3.18 Sea Ui ⊆ Pn, un abierto definido por la ecuacion xi 6= 0, entonces lafuncion ϕ : Ui −→ An (definida en la Proposicion 3.2.26) es un isomorfismo de variedades.

Demostracion. Para fines practicos asumiremos que i = 0 y denotaremos a U0 = U ,y a ϕ0 = ϕ. Sea f ∈ An una funcion regular, entonces f = g/h con g, h ∈ K[x1, ..., xn],polinomios homogeneos, sean d = deg(g), e = deg(h), y considere la funcion β definidaen la demostracion de la Proposicion 3.2.26, ası tenemos que β(g), β(h) son polinomioshomogeneos de grados d, e respectivamente. Definamos ahora la siguiente funcion regular,xe0β(g)/xd0β(h) = G/H, notemos que G,H son polinomios homogeneos del mismo grado, asaber deg(H) = deg(G) = (e+d) y ademas G,H ∈ S, luego tenemos que ϕ∗(g/h) = G/H,(ϕ∗ es la funcion definida en la Definicion 3.3.7) localmente, luego ϕ∗ : O(An) −→ O(U),en este caso particular.

Observacion 3.3.19 Sea S anillo graduado, p ∈ S un ideal primo homogeneo, denota-remos por S(p) al subanillo de elementos de grado 0 en la localizacion de S con respectoal subconjunto multiplicativo T (elementos homogeneos de S que no estan en p).

En T−1S tenemos una graduacion natural dada de la siguiente manera: para f/g ∈T−1S el deg(f/g) = deg(f) − deg(g), , ademas S(p) es un anillo local con ideal maximal



(p ·T−1S)∩S(p), mas aun si S es un dominio entero y p = 〈0〉, entonces S〈0〉 es un campo,si f ∈ S es un elemento homogeneo, denotaremos por S(f) al subanillo de elementos degrado cero en la localizacion S〈f〉

Teorema 3.3.20 Sea Y ⊆ Pn una variedad proyectiva, S(Y ) su anillo de coordenadashomogeneas, entonces:

I) O(Y ) = K

II) Para todo P ∈ Y , denotemos como mP ⊆ S(Y ) al ideal generado por las funcioneshomogeneas f ∈ S(Y ) tal que f(P ) = 0, entonces OP = S(Y )(mP )

III) K(Y ) ∼= S(Y )(0)

Demostracion. Considere a Ui y sea Y ⊆ Pn un abierto, xi 6= 0 y definamos Yi =Y ∩ Ui, como Ui es isomorfo An por la Proposicion 3.2.26, podemos considerar a Yicomo una variedad afın, luego existe un isomorfimo natural ϕ∗i del anillo de coordenadasafın con la localizacion S(Y )(xi) del anillo de coordenadas homogeneo de Y . Primerohacemos un isomorfismo de K[y1, . . . , yn] a K[x1, . . . , xn](xi), mandando f(y1, . . . , yn) af(x0/xi, . . . , xn/xi), sin contar xi/xi. Notemos que este isomorfismo manda I(Yi) a I(Y ) ·S(xi), haciendo el cociente se obtiene el isomorfismo ϕ∗ : A(Yi) −→ S(Y )(〈0〉).

II) Sea P ∈ Y y tomemos un i tal que P ∈ Yi, entonces por Teorema 3.3.17, tenemosque OP ∼= A(Yi)mP

, en donde mP es el ideal maximal de A(Yi) correspondiente a P ,notemos que ϕ∗(mP ) = mP · S(Y )(xi), ahora como xi /∈ mP , tenemos que A(Yi)mP

∼=S(Y )(mP ), ası tenemos que OP ∼= S(Y )(mP ).

III) De nuevo por el Teorema 3.3.17 tenemos que K(Y ), que es lo mismo que K(Yi),es el campo de cocientes de A(Yi), pero por ϕ∗, tenemos que es isomorfo a S(Y )〈0〉.

I) Sea f ∈ O(Y ) una funcion regular, entonces para cada i, f es regular en Yi, asipor el teorema 3.3.17 tenemos f ∈ A(Yi), pero sabemos que A(Yi) ∼= S(Y )(〈0〉), entonces

f se puede escribir como gi/xNii , con gi ∈ S(Yi) un elemento homogeneo de grado Ni,

considere O(Y ), K(Y ), S(Y ), como subanillos del campo de cocientes L de S(Y ), ası ∀ixNii f ∈ S(Y )Ni

.

Considere N ≥∑Ni, entonces S(Y )N como K-espacio vectorial generado por mono-

mios de grado N , en las variables x0, . . . , xn (en cada uno de estos monomios aparece almenos un xi, elevado a una r ≥ N), ası tenemos que S(Y )N · f ⊆ S(Y )N , luego ∀ q > 0tenemos S(Y )N · f q ⊆ S(Y )N , en particular tenemos que XN

0 · f q ∈ S(Y )N para todaq, lo cual prueba que el subanillo S(Y )[f ] de L esta contenido en X−N0 S(Y ), el cual esun S(Y )-modulo finitamente generado y por lo tanto f es entero sobre S(Y ), ası existena1, . . . , am ∈ S(Y ) tales que: fm + a1f

m−1 + · · · + am = 0. Como f tiene grado cero,



podemos reemplazar los ai con sus coeficientes homogeneos y la ecuacion aun serıa valida,notemos que S(Y )0 = K, por lo tanto para toda i, ai ∈ K pero este es algebraicamentecerrado, luego f ∈ K.

Proposicion 3.3.21 Sea X una variedad y Y una variedad afın, entonces existe un ma-peo natural α biyectivo entre los conjuntos:

α : Hom(X, Y ) −→ Hom(A(Y ),O(X))

donde Hom(X, Y ) son morfinsmo entre variedades, mientras que Hom(A(Y ),O(X)) sonhomomorfismo de K-algebras.

Demostracion. Sea ϕ : X −→ Y un morfismo, por la definicion de morfismo, ϕ llevafunciones regulares de Y en funciones regulares de X, ası ϕ induce una funcion de O(Y )en O(X), la cual es claramente un homomorfismo de K-algebras. Pero por Teorema 3.3.17tenemos que O(Y ) ∼= A(Y ), ası tenemos un homomorfismo de α : A(Y ) −→ O(X).

Ahora considere h : A(Y ) −→ O(X) un homomorfimso de K-algebras y suponga queY ⊆ An es cerrado, entonces A(Y ) = K[x1, ..., xn]/I(Y ), y sea xi igual a la imagen dexi ∈ A(Y ) y considere el elemento ξi = h(xi) ∈ O(X), la cual es una funcion definidaen todo X, entonces la podemos usar para definir una funcion ψ : X −→ An, dadapor ψ(P ) = (ξ1(P ), ..., ξn(P )), para P ∈ X. Falta probar que la imagen de ψ es unsubconjunto de Y . Ya que Y = Z(I(Y )), es suficiente probar que para cualquier P ∈ X ycualquier f ∈ I(Y ) tenemos que f(ψ(P )) = 0, notemos que f(ψ(P )) = f(ξ1(P ), ..., ξn(P )),ahora f es un polinomio y h es un homomorfismo de K-algebras, entonces tenemos quef(ξ1(P ), ..., ξn(P )) = h(f(x1, ..., xn))(P ) = 0, y como f ∈ I(Y ), entonces ψ define unafuncion de X en Y , la cual induce el homomorfismo dado h.

Resta probar que ψ es un morfismo, lo cual se sigue del siguiente lema.

Lema 3.3.22 Sea X una variedad, Y ⊆ An una variedad afın, una funcion ψ : X −→ Yes un morfismo si y solo si xiψ es una funcion regular en X, para cada i, donde x1, . . . , xnson las funciones coordenas de An

Demostracion. Supongamos que ψ es un morfismo, entonces por la definicion demorfismo necesariamente xi ψ es una funcion regular.

Suponga que xi ψ es una funcion regular, ası para cada polinomio f = f(x1, . . . , xn)tenemos que f ψ tambien es una funcion regular en X, ya que los conjuntos cerrados en Yestan definidos por conjuntos donde se anulan polinomios, y del hecho de que las funcionesregulares son continuas, tenemos que ψ−1(imagen inversa) de cerrados en Y son cerradosen X, entonces ψ es continua, finalmente como las funciones regulares en abiertos de Yse ven localmente como cocientes de polinomios, entonces para toda g funcion regular enun abierto Y , tenemos g ψ es una funcion regular , ası ψ es un morfismo.



Corolario 3.3.23 Si X, Y son variedades afines, entonces X es isomorfo a Y si y solosi A(X) es isomorfo a A(Y ) como K-algebras.

El resultado anterior, se puede traducir al lenguaje de categorıas como sigue:

Corolario 3.3.24 El functor contravariante que asigna a X −→ A(X) induce una equi-valencia entre la categorıa de las variedades afines sobre K y la categorıa de los dominiosenteros finitamente generados sobre K.

3.4. Mapeos Racionales

Lema 3.4.1 Sean X, Y variedades, ϕ, ψ morfismos de X en Y , y suponga que existeU ⊆ X un abierto tal que ϕ |U= ψ |U , entonces ϕ = ψ.


Definicion 3.4.2 Sean X, Y variedades, U, V ⊆ X abiertos no vacios, ϕU : U −→Y, ψV : V −→ Y morfismos. Definimos la siguiente relacion: ϕU ∼ ψV si ϕU = ψVen U ∩ V , la cual es una relacion de equivalencia, note que las clases de equivalencia re-sultantes de esta relacion son pares 〈U,ϕU〉 pues ϕU depende del abierto U donde esta estadefinida. Un mapeo racional es un represente de una clase de equivalencia ϕ : X −→ Y .Elmapeo racional ϕ se dice dominante , si para algun par 〈U,ϕU〉 (por lo tanto para cadapar en la clase de equivalencia) la imagen de ϕU es densa en Y .

Ejemplo 3.4.3 Dada la definicion anterior, considere lo siguiente:

Objetos: variedades algebraicas.

Morfismos: mapeos racionales dominantes.

La operacion composicion sera la composicion de morfismos.

Ya fue demostrado que las variedades algebraicas y los morfismos son una caterorıa,ahora notemos que la condicion de la densidad de la imagen del morfismo se mantienebajo composiciones, ademas la imagen del morfismo identidad es densa al ser toda lavariedad y esta ser un cerrado con la topologıa de Zariski se tiene que su cerradura es lavariedad en sı misma, de lo anterior obtenemos un ejemplo mas de una categorıa.

Observacion 3.4.4 Un isormofismo en la categorıa definida anteriormente es llamadomapeo birracional



Definicion 3.4.5 Sean X, Y variedades, ϕ : X −→ Y un mapeo racional, tal que admiteinversa, es decir un mapeo racional ψ : Y −→ X tal que ψ ϕ = IdX y ϕ ψ = IdY comomapeo racionales, entonces llamaremos a ϕ mapeo birracional , ademas si hay un mapeobirracional de X a Y , diremos que son birracionalmente equivalentes .

Lema 3.4.6 Sea Y ⊂ An una hipersuperficie, dada por la ecuacion f(x1, . . . , xn) = 0,entonces An \ Y es isomorfo al hiperplano H ⊂ An+1 dado por la ecuacion xn+1f = 1, enparticular An \ Y es afın y su anillo coordenado afın es K[x1, . . . , xn]f .

Demostracion. Sea P = (a1, . . . , an+1) ∈ H y ϕ(P ) = (a1, . . . , an), notemos que ϕes un morfismo entre H y An, tambien es claro que ϕ es una funcion biyectiva entre H ysu imagen, que es An \ Y . Para demostrar que ϕ es isomorfimo, basta probar que ϕ−1 esun morfismo, note que ϕ−1((a1, . . . , an)) = (a1, . . . , an, 1/f(a1, . . . , an)), el hecho de queϕ−1 sea un morfismo de An \ Y a H se sigue del Lema 3.3.22.

Proposicion 3.4.7 Sea Y un variedad, entonces hay una base para la topologıa de Zariskien Y que consiste de subconjuntos afines abiertos.

Demostracion. Por demostrar que para todo P ∈ Y y para cualquier abierto U ⊆ Y ,con P ∈ U , existe un abierto V tal que P ∈ V ⊆ U . Ya que U tambien es una variedad,podemos asumir que U = Y , despues como cualquier variedad tiene una cubierta devariedades quasi-afines, podemos asumir que Y es una variedad quasi-afın en An. SeaZ = Y \ Y , el cual es un cerrado en An, sea a ⊆ K[x1, ..., xn] el ideal de Z, ya que Z escerrado y P /∈ Z, podemos encontrar un polinomio f ∈ a tal que f(P ) 6= 0. Sea H lahipersuperficie donde f = 0 en An, ası Z ⊆ H, pero P /∈ H, entonces P ∈ (Y \ Y ) ∩H,el cual es un subconjunto abierto de Y , mas aun (Y \ Y )∩H es un cerrado en An \H, elcual es afın por el Lema 3.4.6, por lo tanto An \H es afın y esta es la vecindad afın de Yrequerida.

El siguiente resultado nos dara un ejemplo de un functor contravariante entre la cate-gorıa de variedades algebraicas y mapeos racionales dominantes y la categorıa de exten-siones de campos finitamente generados de K.

Considere lo siguiente, sean X, Y variedades, ϕ : X −→ Y un mapeo racional do-minante, y lo representaremos por 〈U,ϕU〉, sea f ∈ K(Y ) una funcion racional, querepresentaremos por 〈V, f〉, donde V ⊆ Y es un abierto y f es una funcion regular en V ,ya que ϕU(U) es denso en Y , entonces ϕ−1U (V ) es un subconjunto abierto no vacıo de X,ası f ϕU es una funcion regular en ϕ−1U (V ), lo cual nos da una funcion racional en X, detal manera que hemos definido un homomorfismo de K-algebras de K(Y ) a K(X).

Teorema 3.4.8 Sea X, Y variedades entonces la contruccion anterior nos da una bi-yeccion entre el conjunto de mapeos racionales dominantes de X a Y y el conjunto dehomomorfismos de K-algebras de K(Y ) a K(X)



Demostracion. Se procedera a construir una inversa para la funcion ϕ que se cons-truyo anteriormente. Sea θ : K(Y ) −→ K(X) un homomorfismo de K-algebras, por laProposicion 3.4.7 tenemos que Y tiene una cubierta de variedades afines, ası que podemosasumir que Y es afın. Sea A(Y ) su anillo coordenado afın y sean y1, ..., yn sus generadorescomo K-algebra, entonces θ(y1), ..., θ(yn) son funciones regulares en X, entonces podemosencontrar un abierto U ⊂ X tal que las funciones θ(yi) sean regulares en todo U , ası θdefine un monomorfismo de K-algebras de A(Y ) a O(U), por la Proposiciom 3.3.21 co-rresponde a un morfismo ψ : U −→ Y , el cual nos da un mapeo racional dominante de Xa Y , luego este nos da una funcion que va del conjunto homomorfismos de K-algebras deK(Y ) a K(X) al conjunto de mapeos racionales dominantes de X a Y , que es la inversade la funcion definida en la construccion anterior al teorema.

Para ver que tenemos una equivalencia de categorıas como se dijo anterioemente (fun-ctor contravariante), basta ver que para cada variedad Y , K(Y ) es finitamente genera-do sobre K, y reciprocamente, si K/K es una extension finitamente generada, entoncesK = K(Y ) para algun Y . Si Y es una variedad, tenemos que K(Y ) = K(U) para algunU abierto afın, ası que podemos asumir que Y es afın, luego por el Teorema 3.3.17 tene-mos que K(Y ) es una extension de campos finitamente generada sobre K. Por otra partesea K una extension finitamente generada sobre K, sean y1, ..., yn ∈ K el conjunto degeneradores, sea B la sub-K-algebra generada por y1, . . . , yn, entonces B es el campo decocientes del anillo de polinomios A = K[x1, . . . , xn] y ası B ∼= A(Y ) para alguna variedadY ⊆ An y por lo tanto K ∼= K(Y ).

El siguiente corolario muestra la importacia del teorema anterior.

Corolario 3.4.9 Sean X, Y variedades, entonces las siguientes condiciones son equiva-lentes:

I) X, Y son birracionalmente equivalentes

II) existen abiertos U ⊆ X y V ⊆ Y , tales que U es isomorfo a V

III) K(X) ∼= K(Y ) como K-algebras.

Demostracion. I) ⇒ II) Como X, Y son birracionalmente equivalentes, existenϕ : X −→ Y , ψ : Y −→ X mapeos racionales uno inverso del otro, como ϕ, ψ sonmapeos racionales, podemos representarlos como 〈U,ϕ〉 y 〈V, ψ〉 respectivamente, enton-ces podemos representar a ψ ϕ como 〈ϕ−1(V ), ψ ϕ〉, ya que ψ ϕ = IX como mapeoracional, tambien es la identidad en ϕ−1(V ), similarmente tenemos que ϕ ψ es la identi-dad en ψ−1(U), ahora considere ϕ−1(ψ−1(U)) como nuestro abierto en X y ψ−1(ϕ−1(V ))como nuestro abierto en Y por la construccion antes hecha tenemos que estos dos abiertosson isomorfos.



II) ⇒ III) Se sigue de la definicion de campos de funciones.

III) ⇒ I) Se sigue del teorema anterior.

Para terminar esta seccion se dara un ejemplo de una pregavilla, la cual fue definidaen el capitulo 2.

Ejemplo 3.4.10 Sea X una variedad sobre K un campo, dotaremos a X con la topologıade Zariski, es decir X es un espacıo topologico y la consideraremos como una categorıacomo se mostro en el capıtulo anterior 2.

Sea O(X) el anillo de funciones regulares de X a K, definimos F : X −→ O(X).Como sigue:

Para cada U ⊆ X abierto, F (U) = O(U), es decir el anillo de funciones regularesde U a K

Cada que V ⊆ U ( X con U, V abiertos, (por comodidad de la notacion a lainclusion la denotaremos como f), es decir f : V −→ U , si V ⊆ U , ası F(f) :O(U) −→ O(V ), sera la restriccion de las funciones regulares de U a V .

Es claro que lo anteior es una pregavilla de anillos.


Capıtulo 4

Graficas

En este capitulo daremos una introduccion a la teorıa de grafos con el proposito dedar ejemplos de categorıas finitas.

4.1. Graficas

Definicion 4.1.1 Un grafo (grafica) es un par G = V,E, de conjuntos que satisfacenque E ⊆ [V ]2; ası, los elementos de E son subconjuntos de V con dos elementos, a loselementos de V los llamaremos vertices (puntos) del grafo G, a los elementos de E losllamaremos aristas (lineas).

Observacion 4.1.2 La forma usual de dibujar un grafo es poniendo puntos como verticespuntos y uniendo con una lınea dos de estos si les corresponde una arista. Como se dibujeesa lınea es irrelevante, lo que importa es que pares de puntos forman una arista y cualesno.

Ejemplo 4.1.3 Considere los siguiente, V = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, E = 1, 2, 1, 5, 2, 5, 3, 4, 5, 7,entonces un forma de representar ese grafo serıa la siguiente:

1 2 3

4 5 6 7

51

52 CAPITULO 4. GRAFICAS

Observacion 4.1.4 Sea G un grafo, si denotamos al conjunto de vertices como V , enton-ces decimos que es un grafo sobre V , ademas al conjunto de vertices de G lo denotamoscomo V (G), y al conjunto de aristas como E(G). Esta notacion no depende de comodenotemos al conjunto de vertices, ni de aristas.

Definicion 4.1.5 Sea G un grafo, al numero del vertices de G lo llamaremos el ordende G y lo denotaremos por |G|, al numero de aristas de G lo denotaremos por ‖ G ‖.

Definicion 4.1.6 Sea G un grafo, decimos que G es finito si |G| < ∞, caso contrariodecimos que G es infinito.

Observacion 4.1.7 Al grafo ∅, ∅ lo denotaremos simplemente como ∅.

Observacion 4.1.8 Para facilitar la notacion cuando se haga referencia a vertices oaristas, en lugar de expresar v ∈ V (G), pondremos v ∈ G, de la misma manera parae ∈ E(G), pondremos e ∈ G.

Definicion 4.1.9 Sea G un grafo, v ∈ G un vertice, decimos que v es incidente con laarista e si v ∈ e, entonces decimos que e es un arista de v. Dos vertices incidentes conuna arista se dicen vertices finales , o simplemente finales y una arista une sus finales.

Observacion 4.1.10 Dada una arista x, y, usualmente se escribe como xy o yx.

Definicion 4.1.11 Si x ∈ X, y ∈ Y , entonces xy se dice X − Y arista. Al conjuntode todas las X − Y aristas en un conjunto E, lo denotamos como E(X, Y ): en lugar deE(x, Y ) o E(X.y‘), simplemente escribiremos E(x, Y ) o E(X, y). Dado un vertincev, al conjunto de todas las aristas de v lo denotaremos como E(v)

Definicion 4.1.12 Sea G un grafo, x, y ∈ G vertices e, f ∈ G aristas, entonces:

x, y se dicen adyacentes (vecinos) si xy es una arista de G.

e 6= f se dicen adyacentes si tienen un final el comun.

Definicion 4.1.13 Sea G un grafo. Si cada par de vertices de G son adyacentes, entoncesdecimos que G es completa . Si |G| = n y G es completa la denotaremos por Kn

Definicion 4.1.14 Vertices o aristas no adyacentes a pares se dicen independientes .

Un conjunto de vertices se dice independiente (estable) si no hay elementos adyacen-tes.


CAPITULO 4. GRAFICAS 53

Definicion 4.1.15 Sean G = (V,E), G′ = (V ′, E ′) dos grafos. Si existe ϕ : V −→ V ′ unabiyeccion tal que si xy ∈ E entonces ϕ(x)ϕ(y) ∈ E ′ para todo x, y ∈ V , decimos que Gy G′ son isomorfos, denotado como G ' G′, a ϕ lo llamaremos isomorfismo, ademas siG = G′ diremos que ϕ es un automorfismo.

Observacion 4.1.16 Usualmente no se distingue entre grafos isomorfos, se suele escribirG = G′ en lugar de G ' G′.

Definicion 4.1.17 Sean G = V,E, G′ = V ′, E ′ grafos, entonces:

G ∪G′ = V ∪ V ′, E ∪ E ′

G ∩G′ = V ∩ V ′, E ∩ E ′

Observacion 4.1.18 Si G ∩G′ = ∅ diremos que son disjuntos

Observacion 4.1.19 Para facilitar la notacion en lugar referirnos a un grafo como G =V,E, solo lo denotaremos por G, dando por entendido que su conjunto de vertices esV y su conjuntos de aristas es E.

Ejemplo 4.1.20 Sea V = 1, 2, 3, 4, 5, E = 1, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 5, V ′ =3, 4, 5, 6, E ′ = 3, 4, 3, 5, 4, 65, 6Sea G = V,E, G′ = V ′, E ′, una representacion de cada uno seria la siguiente:

1

2

3

4

5

G

3

4

5

6

G′

Dada la definicion anterior tenemos que G ∪ G′, G ∩ G′, se pueden representar comosigue:



1

2

3

4

56

G ∪G′

3 5

G ∩G′

Definicion 4.1.21 Sean G,G′ grafos. Si V ′ ⊆ V,E ′ ⊆ E, decimos que G′ es un subgrafode G, y lo denotaremos como G′ ⊆ G.

Definicion 4.1.22 Sean G,G′, G′ ⊆ G, tal que xy ∈ G′ para toda xy ∈ E, tales quex, y ∈ V ′, entonces decimos que G′ es un subgrafo inducido de G , ası decimos que V ′

induce o extiende a G′ en G y lo denotamos como G′ = G[V ′].

Ejemplo 4.1.23 Considere las siguientes representaciones de grafos:

G G′ G′′

En los grafos anteriores tanto G′, G′′ son subgrafos de G, aunque G′ es un subgrafoinducido y G′′ no lo es.

Observacion 4.1.24 Sea G un grafo, U ⊆ V arbitrario, denotamos por G[U ] al grafosobre U cuyas aristas son aristas de G, con ambos finales (extremos) en U .

Definicion 4.1.25 Sea G un grafo, U un conjunto de vertices, (usualmente de G), de-notamos por G− U al grafo G[V \ U ].

Observacion 4.1.26 1. Una manera sencilla de visulizar G−U es quitar de G todoslos vertices de V ∩ U , y sus aristas incidentes.



2. Si U = x escribiremos G−x en lugar de G−x, mas aun en lugar de G−V (G′)escribiremos G−G′.

Definicion 4.1.27 Sea G un grafo, H ⊆ [V ]2, denotamos por:

G−H = (V,E \H)

G+H = (V,E ∪H)

Definicion 4.1.28 Sea G un grafo, llamamos a G arista- maximal (maximal por aristas),si dada un propiedad del grafo, esta se cumple para G, pero no para G+ xy, para verticesno adyacentes x, y ∈ G. Mas generalmente cuando decimos que G es un grafo maximalo minimal para alguna propiedad, sin especificar si es por aristas o vertices, entoncesestamos haciendo referencia a la relacion como subgrafo.

Definicion 4.1.29 Sea G,G′ grafos disjuntos, denotamos por G × G′ al grafo que seobtiene de G ∪G′, al unir todos los vertices de G con todos los vertices de G′.

Definicion 4.1.30 Sea G un grafo, el complemento de G es el grafo sobre V con conjuntode aristas [V ]2 \ E y lo denotamos por G

Definicion 4.1.31 Sea G un grafo. El grafo lineal de G es el grafo sobre E en dondex, y ∈ E son adyacentes como vertices si y solo si son adyacentes como aristas en G.

Definicion 4.1.32 Sea G 6= ∅ un grafo, v ∈ G un vertice, U ⊆ V , entonces:

Al conjunto de todos los vertices vecinos de v lo denotamos por NG(v) o simplementecomo N(v), si es claro de que grafo estamos hablando.

Denotamos por N(U) al conjunto de todos los vertices vecinos de U en V \ U y losllamamos los vecinos de U .

Definicion 4.1.33 Sea G un grafo, v ∈ G un vertice, definimos el grado o valencia de vcomo | G(v) | y lo denotamos como dG(v) o d(v). Si un vertice tiene grado 0 decimos queesta aislado

Observacion 4.1.34 De acuaerdo con la definicion anterior el grado de un vertice coin-cide con el numero de vertices vecinos que posee.

Definicion 4.1.35 Sea G un grafo, denotamos por:

δ(G) = mınd(v) | v ∈ V y lo llamamos el grado mınimo de G.



∆(G) = maxd(v) | v ∈ V y lo llamamos grado maximo de G.

Observacion 4.1.36 Sea G un grafo. Si todos los vertices tienen el mismo grado llama-remos a G regular .

Definicion 4.1.37 Un camino es un grafo no vacıo P = (V,E) tal que:

V = x0, x1, . . . , xk E = x0x1, x1x2, . . . , xk−1xk

donde los xi son distintos.

Ejemplo 4.1.38 Considere el siguiente grafo:

G P

P es un camino contenido en G.

Observacion 4.1.39 En un camino P decimos que x0 y xk estan ligados por P yx1, . . . , xk−1 se dicen vertices internos de P .

Definicion 4.1.40 Sea P un camino. Al numero de aristas de el se le llama longitud .Si la longitud del camino es k denotaremos a P como P k.

Definicion 4.1.41 Sean A,B conjuntos de vertices, sea P = x0 . . . xk un camino. A Plo llamaremos camino de A a B ( camino de A−B), si V (P )∩A = x0 y V (P )∩B = xk.

Definicion 4.1.42 Sea P = x0 . . . xk−1 un camino, k > 3. Al grafo C = P + xk−1x0 lellamaremos un ciclo

Definicion 4.1.43 Sea C un ciclo. La longitud de C es el numero de aristas (o vertices),Si la longitud de C es k entonces lo denotaremos como Ck.



Definicion 4.1.44 Sea G un grafo. Un ciclo inducido en G es un ciclo en G que formaun subgrafo inducido.

Definicion 4.1.45 Sea G un grafo (grafo finito). Si cualesquiera dos vertices de G estanconectado por un camino decimos que G es conexo.

Observacion 4.1.46 Si U ⊆ V (G) y G[U ] es conexo decimos tambien que U es conexoen G.

Proposicion 4.1.47 Sea G un grafo conexo finito, entonces, podemos numerar los verti-ces de G, supongamos v1, . . . , vn, de tal manera que el grafo Gi = G[v1, . . . , vi] es conexopara toda i.

Demostracion. Sea G un grafo conexo finito, elijamos primero cualquier verticev ∈ G y lo denotamos como v1. Se sigue que G1 = G[v1] es conexo, pues solo tiene unvertice y no hay aristas, procedamos por induccion, podemos elegir v1, . . . , vi vertices, coni < |G|, tal que Gi es conexo, ahora elijamos v ∈ G − G1, como G es conexo, entoncesexiste P un camino v−v1, denotemos como vi+1 al ultimo vertice de P que esta en G−Gi,entonces vi+1 tiene un vecino en Gi. Como Gi es conexo y al tener vi+1 un vecino en Gi,entonces Gi+1 es conexo.

Definicion 4.1.48 Sea G un grafo, si G no tiene ciclos le llamaremos bosque, si ademasG es conexo, entonces le llamaremos arbol.

Ejemplo 4.1.49 Considere el siguiente grafo G:

G

De acuerdo con la definicion anterior G es un arbol

Definicion 4.1.50 Sea G un grafo, diremos que G es un grafo dirigido si ademas estadotado de dos funciones:

init : E −→ V



ter : E −→ V

tales que a cada arista e se le asigna un vertice inicial init(e) y un vertice final ter(e) yse dice que la arista esta dirigida (orientada) de init(e) a ter(e).

Observacion 4.1.51 Un grafo dirigido puede tener varias aristas entre dos vertices x, y,a tales aristas las llamaremos multi-aristas, y si tienen la misma direccion (de x a y)diremos que son paralelas, ademas si init(e) = ter(e), a la arista e le llamaremos loop(bucle) .

4.2. Graficas y categorıas

Ejemplo 4.2.1 Denotaremos por Graph a la categorıa cuyos objetos son grafos, losmorfismos son los homomorfismo de grafos, y la operacion de composicion no es otra quela composiscion de homomorfismo de grafo, dado lo anterior es facıl ver Graph es enefecto una categorıa..

Dados los conceptos anteriores se procedera a a construir un functor entre la categorıade los preordenes y la categorıa de los grafos, tal que a cada preorden (X,≤) le asignaremosun grafo con vertices en el conjunto X.

Lema 4.2.2 Sea PrO la categorıa de los conjuntos preodenados y Grph la categorıade los grafos, entonces existe un functor P : PrO −→ Graph, tal que a cada conjuntoparcialmente ordenado (X,≤) le asigna un grafo dirigido P (X) con vertices en X.

Demostracion. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Construiremos elgrafo (VX , EX) de la siguiente manera: para cualesquiera x, y ∈ X, tales que x ≤ y,definimos la arista x, y, al conjunto de todas estas aristas lo llamaremos EX , de talmanera que hemos construido un grafo donde VX = X y el conjunto de aristas es eldescrito anteriormente. Para que este sea dirigido, hay que probar la existencia de dosfunciones de EX a VX .

De la definicıon de preorden sabemos que ≤⊆ X ×X, entonces definimos una funcionde EX a X ×X como sigue:

i : EX −→ X ×X

x, y 7−→ (x, y)

Ademas considere las funciones proyeccion siguientes:

π1 : X ×X −→ X



(x, y) 7−→ x

yπ2 : X ×X −→ X

(x, y) 7−→ y

Dadas las funciones anteriores podemos definir entonces:

init := π1 i : EX −→ X

x, y 7−→ x

yter := π2 i : EX −→ X

x, y 7−→ y

De la construccion anterior tenemos que (VX , EX) = P (X) junto con las funciones esun grafo dirigido, y ası tenemos la primera condicion para construir un functor es deciruna asignacion de objetos de PrO en objetos de Graph.

En la categorıa PrO los morfismo son funciones monotas, es decir, sean (X,≤X),(Y,≤Y ) preordenes,si f : (X,≤X) −→ (Y,≤Y ) es una funcion monotona, entonces parax1, x2 ∈ X tales que x1 ≤X x2 tenemos que f(x1) ≤Y f(x2). Ya que pasa lo anterior es facılver que f induce un homomorfismo de grafos entre (VX , EX) y (VY , EY ), los grafos dirigidosgenerados por (X,≤X), (Y,≤Y ) respectivamente. De la construccion (VX , EX) y del hechode que f es monotona entonces la imagenes de cualesquiera dos puntos relacionados estanrelacionadas y por ende estas forman una arista, es decir la imagen de cualesquiera dosvertices son vertices relacionados.

El hecho de que preserve identidades y composicion se sigue facilmente de que lafuncion identidad es monotona y de que la composicion de funciones monotonas es unafuncion monotona.

Ası tenemos que P : Pro −→ Graph es un functor.

Ejemplo 4.2.3 Sea G = (V,E) un grafo dirigido, entonces G genera una categorıa quedenotaremos por C(G), al tomar los vertices de G como objetos y a los caminos en G comomorfismos y entonces si P = (V,E) ⊆ G con V = x0, . . . , xn y E = x0x1, . . . , xn−1xnes un camino, (para facilitar la notacion diremos que e1 = x0x1, . . . , en = xn−1xn), ydenotaremos a los morfismo (camino) como en . . . e1

Para cada vertice v el morfismo identidad sera el camino vacıo y lo denotaremos por1v y la operacion de composicion sera simplemente la concatenacion de caminos, es decir



si P1 = en . . . e1 y P2 = sk . . . s1 son caminos, entonces P2 P1 = sk . . . s1en . . . e1 dandopor entendido que esto se puede hacer ya que en = xn−1xn, s1 = y0y1 y xn = y0 para quelas funciones init, ter tengan sentido.

Dado la anterior tenemos que en efecto C(G) es una categorıa.

Ejemplo 4.2.4 Sea C una categorıa. Podemos definir de manera natural un grafo dirigidoG. Tomando a los objetos de C como vertices del grafo y a los morfismos como las aristasentre ellos, las funciones init y ter, estan bien definidas pues si f : A −→ B es un morfismode C, definimos init(f) = A y ter(f) = B, ası llamaremos a G el grafo subyacente a C.


CAPITULO 5. CONCLUSIONES 61

Capıtulo 5

Conclusiones

Despues de observar lo desarrollado en el presente trabajo, podemos concluir quela teorıa de categorıas tiene una importancia grande en el desarrollo academico de unmatematico, pues aunque solo se dieron la definiciones basicas y no se profundizo en ella,los ejemplos que se dieron tanto en geometrıa algebraica como en teorıa de grafos bastanpara hacer notar su alcance y profundidad, por lo cual me permito hacer la siguientesugerencia:

Serıa una muy buena aportacion al desarrollo academico de los estudiantes de ma-tematicas de la Escuela Superior de Fısica y Matematicas que se ofreciera una materiaoptativa en la cual se presentara una introduccion a esta teorıa, pues muchos de los com-paneros no tienen idea de lo que es hasta llegar a un posgrado, en el que es necesario teneral menos los conocimienos basicos de ella para poder usarla con mas eficiencia.


62 CAPITULO 5. CONCLUSIONES


Bibliografıa

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[9] Lang S., Introduction to Algebraic Geometry, ,1959

[10] Matsumura M. Commutative Algebra, 1970

63

Index

arbol, 57Ab, 18Grp., 17Mon, 18Pos, 18PrO, 18Sets, 17Tops, 17Top, 21

variedad sobre K, 40

adyacentes, 52aislado, 55altura, 32anillo coordenado afın, 31anillo coordenado homogeneo, 38anillo de funciones regulares de Y cerca-

nas a P , 42anillo local de P en Y , 42antisimetrica, 2arista final, 58arista inicial, 58

base de topologıa, 3birracionalmente equivalentes, 48biyectiva, 2bosque, 57

camino, 56campo de cocientes, 12cardinalidad, 2

ciclo, 56clases laterales, 6completa, 52componentes irreducibles, 4conexo, 57conjunto algebraico, 28conjunto de coordenadas homogeneas, 34consicion de cadena descendente, 4

dimension de Krull, 32DIP, 10dominante, 47dominio, 1Dominio Entero, 8

elementos homogeneos de grado d, 34espacio de Hausdorff, 4espacio topologico, 3espacio topologico irreducible, 4estable, 52

finales, 52funcion, 2funcion continua, 4funciones racionales, 42

grado maximo, 56grado minimo, 55grafo, 51grafo dirigido, 57grupo, 5grupo abeliano, 6

64

INDEX 65

hiperplano, 38

ideal homogeneo, 34imagen inversa, 2incidente, 52independientes, 52inyectiva, 2

longitud, 56loop, 58

mapeo birracional, 47, 48mapeo racional, 47milti-aristas, 58morfismo, 41

operacion binaria, 5orden, 52

parcial ordered set, 18preorden, 2producto cartesiano, 1

rango, 1reflexiva, 1regular, 56relacion de equivalencia, 2, 6relacion de orden parcial, 2Rings, 18

simetrica, 2subcampo, 13subesapacio topologico, 4subgrafo, 54subgrafo inducido, 54subgrupo, 6suprayectiva, 2

topologıa, 3topologıa de Zariski, 28topologıa inducida, 4topologde Zariski, 37

transitiva, 2

vertices finales, 52variedad, 40variedad afın, 31variedad algebraica proyectiva, 38variedad proyectiva, 38variedad quasi-afın, 31variedad quasi-proyectiva, 38vecinos, 52


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