Lecciones de F sica Matem atica

Lecciones

de

Fısica Matematica

Alonso Sepulveda S.Instituto de Fısica

Universidad de AntioquiaMedellın, Agosto de 2004

Coleccion Ciencia y Tecnologıac©Alonso Sepulvedac©Editorial Universidad de AntioquiaISBN: xxxxxxxxxx(volumen)ISBN: xxxxxxxxxx(obra completa)

Diseno de cubierta: xxxxxxxxxxDibujos interiores: Giovanny AtehortuaDiseno interno y diagramacion: xxxxxxxxxxImpresion y terminacion: xxxxxxxxxx

Impreso y hecho en Colombia/Printed and made in ColombiaProhibida la reproduccion total o parcial, por cualquier medio o con cualquierproposito, sin autorizacion escrita de la Editorial Universidad de Antioquia

Editorial Universidad de AntioquiaTelefono: (574) 210 50 10. Telefax: (574) 263 82 82E-mail: [email protected] web: www.editorialudea.comApartado 1226, Medellın, Colombia

Imprenta Universidad de AntioquiaTelefono: (574) 210 53 30E-mail: [email protected]

A mis estudiantes

Prefacio

Las leyes basicas de la fısica son invariantes, en su forma matematica, bajo unconjunto bastante general de transformaciones, dependientes de las caracterısticasdel espacio y el tiempo en que ocurren los fenomenos fısicos. En el marco de lafısica newtoniana estas leyes tienen la misma forma matematica en todos los sis-temas coordenados que difieren uno respecto al otro en la Posicion de su origencoordenado. Esta exigencia proviene del postulado de homogeneidad del espacioeuclidiano y, conduce a la conservacion del momento lineal. La forma matematicade las leyes se preserva tambien en los sistemas coordenados que solo difieren porsu Orientacion, y esta propiedad indica la isotropıa, es decir la equivalencia de lasdiferentes direcciones del espacio euclidiano, que implica la conservacion del mo-mento angular. Tambien las leyes fısicas son invariantes respecto a la escogencia delcero de la coordenada temporal, vale decir, son las mismas en todos los instantes,lo que corresponde a la homogeneidad del tiempo en la fısica clasica: todos los in-stantes son cualitativamente identicos. Implica la conservacion de la energıa. Escierto ademas que las leyes preservan su forma en los multiples sistemas de referen-cia en movimiento relativo uniforme, lo que equivale a la aceptacion del principiode inercia y a la imposibilidad de encontrar el reposo absoluto en el espacio; este esel principio de relatividad especial si ademas se exige la existencia de una velocidadinvariante, la de la luz.

Estas amplias invarianzas de las leyes fısicas (hay otras, como simetrıas de re-flexion, de inversion, o aun mas abstractas como las de cambio de signo de las cargaselectricas) exigen una forma de escritura matematica que exprese su invarianza anteestos conjuntos de transformaciones. Ello se logra en el ambito de la fısica newto-niana mediante la implementacion del analisis vectorial 3-dimensional, el que hacemanifiestos estos diversos principios de relatividad posicional, de orientacion y demovimiento.

Por ello comenzaremos este curso proponiendo las bases del analisis vectori-al 3-dimensional, independientemente de la escogencia especıfica de un sistema decoordenadas, lo que garantiza la identica escritura de las leyes en todos ellos y

i

ii PREFACIO

permite expresar matematicamente las invarianzas del mundo. Consecuentemente,en los desarrollos del capıtulo 1 propondremos las formas generales, en coorde-nadas curvilıneas ortogonales, de las operaciones diferenciales basicas: gradiente,divergencia, rotacional y laplaciano, junto con las nociones elementales sobre trans-formaciones continuas y discontinuas. Lo finalizamos con un estudio de las funcionesdelta de Dirac y con la construccion de algunos sistemas coordenados.

Puesto que las leyes fısicas se expresan usualmente como ecuaciones diferenciales(ED), exploraremos en el capıtulo 2 las condiciones iniciales y/o de frontera bajolas cuales las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y parciales (EDP) gozan deuna solucion unica. Estos teoremas de unicidad haran parte en el capıtulo siguientede una clasificacion general de las ecuaciones diferenciales.

En el capıtulo 3, despues de una breve revision de las tecnicas de solucion de lasEDO homogeneas mas simples, exploraremos la tecnica de separacion de variablesque permite en muchos casos descomponer las EDP en un conjunto de EDO, cuyaestructura desarrollaremos en el capıtulo 6. De la ecuacion de Laplace, en particulary en coordenadas cilındricas y esfericas, haremos la separacion de variables que con-ducira a las ecuaciones de Bessel y Legendre. Terminaremos con una clasificacionbastante general y en tres familias, de las EDP lineales: elıpticas, hiperbolicas yparabolicas, cuyas condiciones de unicidad fueron exploradas en el cap´´tulo ante-rior.

En el capıtulo 4 deducimos algunas de las ecuaciones de uso corriente en lafısica matematica: la ecuacion de ondas para cuerdas, membranas y sonido, y devibraciones en solidos, de conduccion del calor, Poisson, Schrodinger, y proponemoslas ecuaciones de Maxwell. Las primeras son exponentes tıpicas, de ecuacioneshiperbolica, parabolica y elıptica. Estas ecuaciones seran aquı expresadas en la for-ma invariante desarrollada en el primer capıtulo, lo que las hace aptas para serescritas en cualquier sistema de coordenadas curvilıneas ortogonales.

Es cierto que una muy amplia familia de ecuaciones diferenciales presenta solu-ciones expresables como combinaciones lineales de funciones. Esto da la idea deampliar la nocion de espacios vectoriales (en los que un vector es expresable co-mo una combinacion lineal de vectores de una base) extendiendola hacia lo queseran espacios de funciones, o espacios de Hilbert, en los cuales los vectores uni-tarios son funciones linealmente independientes. En el capıtulo 5 exploraremos losespacios de Hilbert discretos y continuos, detallando las propiedades de ortogonal-idad y completez de sus infinitos ejes. Veremos como la idea de vector ordinarioen espacios 3-dimensionales se extiende para permitir la expansion de funciones enespacios abstractos, cuyo ejemplo mas conocido es la serie de Fourier, a cuyo estudiodedicaremos la ultima parte del capıtulo.

Los desarrollos del capıtulo 3, donde hemos mostrado la posibilidad de descom-poner las EDP en un conjunto de EDO, alcanzan en el capıtulo 6 un clımax, en tantoque en el lograremos demostrar que todas las EDO lineales de segundo orden tienen

iii

una arquitectura comun que esta compendiada en la teorıa de Sturm-Liouville.El estudio que aquı haremos enlaza ideas exploradas en capıtulos anteriores, puesmuestra que bajo una apropiada escogencia de condiciones de frontera y del dominiode la variable independiente, las EDO exhiben un conjunto infinito de solucionesortogonales que corresponden a bases de un espacio de Hilbert, de analoga maneraa como los vectores unitarios de la base cartesiana expanden un espacio vectori-al ordinario. Veremos aquı como la nocion de autovalores, tan cara a la mecanicacuantica y a la teorıa de matrices, esta asociada a la existencia de espacios deHilbert. Consideramos que este capıtulo es el centro de esta obra en tanto que cadauna de sus conclusiones ilumina, desde la teorıa de espacios, el tema general delas soluciones a las EDO y aclara los temas relativos a las frecuencias naturalesde oscilacion de sistemas clasicos o cuanticos, como un espectro de autovalores. Lateorıa de Sturm-Liouville describe las frecuencias especıficas de oscilacion de unacuerda o las frecuencias de emision de los atomos. Despues de extender estas consid-eraciones a las EDP finalizamos el capıtulo con un tema sugestivo: el isomorfismoentre operadores diferenciales y matrices, que esta en el centro de la equivalenciamatematica entre la mecanica ondulatoria de Schrodinger y la mecanica matricialde Heisenberg.

Ahora bien: puesto que muchas de las ED que utilizamos en fısica son inho-mogeneas es pertinente introducir metodos de solucion que vayan mas alla de losutilizados para las ED homogeneas y de los conocidos metodos de variacion deparametros o coeficientes indeterminados. Por ello en el capıtulo 7 introducimoslas funciones de Green, cuyo alcance esta limitado a los casos lineales, pero cuyaaplicacion a los problemas fısicos se extiende desde la fısica clasica a la cuantica,independientemente de la dimension del espacio.

La teorıa de Sturm-Liouville es, ciertamente, la gran arquitectura de las EDlineales, pero ella misma no es fuente de metodos de solucion. En el capıtulo 8implementaremos una tecnica bastante general basada en expansiones en series yconocida como metodo de Frobenius, que permite resolver una vasta cantidad deED lineales y homogeneas. Haremos enfasis en las ecuaciones de Bessel, Legendre,Hermite y Laguerre, y esbozaremos lo fundamental de las ecuaciones de Chevishev,hipergeometrica e hipergeometrica confluente. Dispersa en el capıtulo navegara laidea de familias de EDO: las ecuaciones de Bessel, Bessel esferica y Airy, por ejem-plo, pertenecen a la misma familia. Esto sugiere que a partir de la solucion a unaED especıfica puede proponerse la correspondiente para una amplia familia de EDconectada con ella por algun tipo de transformacion. Encontraremos la aplicacionde esta idea en la descripcion mecanico cuantica del oscilador armonico y del atomode hidrogeno.

Y aquı termina la obra.

Cierto es que el tema que aquı hemos explorado es pequeno, en tanto que no in-cluimos la sofisticacion que podrıa introducir la teorıa de grupos, el calculo tensorial

iv PREFACIO

o el estudio de la variable compleja. Bastara con que el lector atento comprendaque las ecuaciones fısicas y sus soluciones pueden ser miradas desde la perspectivaunificadora de la teorıa de Sturm-Liouville, que proyecta su potente luz sobre teorıasclasicas y cuanticas: el sonido del violın y la luz del atomo se describen desde ecua-ciones de similar estructura matematica. En tal teorıa reside el secreto matematicode la cuantizacion.

Este texto es un acercamiento modesto a un tema extenso, intenso y difıcil.Es testimonio de una pasion. Toda omision en el, y cada falta de profundidaddebera imputarse, no a la brevedad de lo aquı escrito, sino a las pocas luces dequien quiso navegar en estas aguas.

Mis agradecimientos a Diego Restrepo, EL COSTENO DE TRIESTE y JohanMazo, quienes en diversas epocas trabajaron en la transcripcion a LATEX, y a Gio-vanny Atehortua por sus dibujos.

Alonso Sepulveda S.Medellın, Agosto de 2004

Indice general

Prefacio I

1. Coordenadas curvilıneas ortogonales 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Nociones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Teorıa de transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Jacobianos y transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3. Rotacion de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4. Vectores Axiales y Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Diferenciales de lınea, superficie y volumen . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.1. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.3. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.4. Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5. Dos identidades importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6. Identidades Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7. Una aplicacion del teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8. Tres teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.8.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8.2. Primer Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8.3. Segundo teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.9. Dıadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.10. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.11. Angulo solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.12. Construccion de sistemas coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.12.1. Coordenadas parabolicas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . 621.12.2. Coordenadas cilındricas elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . 641.12.3. Coordenadas esferoidales oblatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . 651.12.4. Coordenadas esferoidales prolatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . 66

v

vi INDICE GENERAL

1.12.5. Coordenadas bipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.12.6. Coordenadas elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2. Unicidad 732.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.3. Ecuaciones diferenciales parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.1. Ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.2. Ecuacion de difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.3.3. Ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3.4. Ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.4. Ecuaciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.4.1. Ecuacion de Poisson vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.4.2. Ondas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3. Ecuaciones Diferenciales 873.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.1.1. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.2. Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.1.3. Soluciones homogenea e inhomogenea . . . . . . . . . . . . . 963.1.4. Segunda solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.1.5. Una transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.2. Ecuaciones diferenciales parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.2.1. Clasificacion de las EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.2.2. Ecuaciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.2.3. Separacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.3. Separacion de la ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.3.1. Coordenadas cartesianas en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.3.2. Coordenadas cartesianas en 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.3.3. Coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.3.4. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.4. La ecuacion de onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.5. ANEXO 3.1: Clasificacion de las ecuaciones diferenciales en 3D . . 1353.6. ANEXO 3.2: Solucion a ecuaciones cubicas . . . . . . . . . . . . . 138

4. Ecuaciones de la Fısica Matematica 1394.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2. Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.2.1. Ondas en cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.2.2. Ondas en membranas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.2.3. Ondas longitudinales en solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.2.4. Ondas elasticas en solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

INDICE GENERAL vii

4.2.5. Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.3. Flujo de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.4. Ecuacion de difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.4.1. Ley de Fourier de difusion del calor . . . . . . . . . . . . . . . 1534.4.2. Difusion de neutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.5. Ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.6. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.7. Ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.8. Ecuacion de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.9. Ecuacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.10. Las ecuaciones bi-armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5. Bases Ortogonales 1655.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.2. Bases discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.2.1. Espacio Euclidiano n-Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . 1665.2.2. Espacios de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3. Bases continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.4. Bases ortogonales en dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.5. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.5.1. La base trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.5.2. La base exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.5.3. La base bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.6. Integrales de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.6.1. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.6.2. Dualidad onda-partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.6.3. Transformadas seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.6.4. Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.7. Bases de Fourier y ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 1945.8. ANEXO 5.1: Ortogonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6. Teorıa de Sturm-Liouville 2066.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2. Operadores de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.2.1. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2.2. 3 ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.2.3. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.2.4. Hermiticidad y fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.3. Autofunciones y autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.3.1. Ecuacion de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.3.2. El problema de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6.4. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

viii INDICE GENERAL

6.5. Nota sobre autovalores y autofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.6. El problema periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.7. Operadores en 3D y Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6.7.1. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.7.2. Autofunciones y autovalores en 3D . . . . . . . . . . . . . . . 2276.7.3. Solucion de la ecuacion de ondas homogenea . . . . . . . . . 2296.7.4. Solucion de la ecuacion homogenea de Fourier . . . . . . . . . 231

6.8. Operadores diferenciales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.9. ANEXO 6.1: Operadores diferenciales de orden p . . . . . . . . . . 2386.10. ANEXO 6.2: Los Bra y Kets de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7. Funciones de Green 2497.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.3. Oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2537.4. Ecuaciones diferenciales parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

7.4.1. La ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577.4.2. La ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7.5. Expansion en autofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8. Funciones Especiales 2688.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688.2. Metodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2698.3. Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

8.3.1. Propiedades de las funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . 2768.3.2. Ortogonalidad y Normalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 2848.3.3. Solucion a la ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 2918.3.4. La familia de la ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . 2988.3.5. Ecuaciones de Bessel inhomogeneas . . . . . . . . . . . . . . . 3028.3.6. Funciones de Bessel esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3028.3.7. Ecuacion de Bessel modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

8.4. Funciones de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.4.1. Ortogonalidad y normalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 3168.4.2. Solucion a la ecuacion de Laplace con m = 0 . . . . . . . . . 3198.4.3. La familia de la ecuacion de Legendre . . . . . . . . . . . . . 3218.4.4. Polinomios asociados de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 3228.4.5. Armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3248.4.6. Armonicos esfericos y operadores escalera . . . . . . . . . . . 3268.4.7. Armonicos esfericos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.4.8. Solucion general a la ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . 332

8.5. Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3348.5.1. La familia de la ecuacion de Hermite . . . . . . . . . . . . . . 341

INDICE GENERAL ix

8.5.2. El oscilador armonico cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418.6. Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

8.6.1. Ecuacion asociada de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . 3508.6.2. La familia de la ecuacion de Laguerre . . . . . . . . . . . . . 3518.6.3. El atomo de hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

8.7. Ecuacion de Gegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3558.8. Polinomios de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3598.9. Ecuacion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3608.10. ANEXO 8.1: La funcion Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

Apendice 366

1

Coordenadas curvilıneas

ortogonales

1.1. Introduccion

En el espacio euclidiano tridimensional las coordenadas cartesianas se definenen terminos de tres familias de planos perpendiculares x = x0, y = y0, z = z0. Lainterseccion de los planos x = x0 y y = y0 genera una lınea recta paralela al eje zy que pasa por el punto (x0, y0, 0). La interseccion de los tres planos x = x0, y =y0, z = z0 genera un punto de coordenadas (x0, y0, z0).

Las coordenadas esfericas se definen en terminos de tres superficies: esferasconcentricas, conos con el mismo vertice y planos meridianos. Un punto tiene co-ordenadas (r, θ, ϕ) y las tres superficies son perpendiculares en cada punto. Lainterseccion del cono y la esfera genera una circunferencia a lo largo de la cual varıasolo la coordenada ϕ. La interseccion de la esfera y el plano meridiano genera unarco de meridiano a lo largo del cual solo θ varıa, y la interseccion del cono y elplano genera una recta radial a lo largo de la cual solo r varıa. La conexion entrecoordenadas cartesianas y esfericas tiene la forma:

x = r sen θ cosϕ, y = r sen θ senϕ, z = r cos θ

Consideraciones analogas pueden realizarse para las coordenadas cilındricas, quese construyen con tres superficies perpendiculares: cilindros concentricos, planosmeridianos y planos horizontales, a cada una de las cuales se asocian, respectiva-mente, las coordenadas (ρ, ϕ, z). Las reglas de transformacion entre coordenadascartesianas y cilındricas tienen la forma:

1

2 1. COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES

x

z

yϕ

z= cte

ρ = cte Pφ

=ct

eer

eϕ

ez

Figura 1.1: coordenadas cilındricas y esfericas

x = ρ cosϕ , y = ρ senϕ, z = z.

Una generalizacion directa permite pensar en tres familias de superficies, engeneral curvas, que en cada punto del espacio se intersectan en angulo recto. Estassuperficies pueden describirse mediante las ecuaciones:

u1 = f1(x, y, z), u2 = f2(x, y, z), u3 = f3(x, y, z)

Equivalentemente:

x = x(ui), y = y(ui), z = z(ui)

Estas ecuaciones son a la vez las reglas de transformacion entre coordenadascartesianas y coordenadas curvilıneas ortogonales.

Las superficies u1 = cte y u2 = cte se intersectan en una curva a lo largo de lacual solo u3 varıa, esta curva define la coordenada u3; analogamente las superficiesu1 = cte y u3 = cte generan la curva u2; y u2 = cte y u3 = cte generan la curvau1. La interseccion de las tres superficies genera un punto cuyas coordenadas son(u1, u2, u3). Dado un punto (x, y, z) es posible asignarle unıvocamente un conjunto(u1, u2, u3) de coordenadas curvilıneas.

El sistema de coordenadas curvilıneas construido con estas superficies tiene lassiguientes caracterısticas:

a) Los ejes coordenados son en general curvas que se intersectan en angulo rec-to, de modo que los vectores unitarios ei, tangentes a las curvas, generan una

1.1. INTRODUCCION 3

z

y

x

e2

e1e3

Figura 1.2: Coordenadas curvilıneas ortogonales

base ortonormal tridimensional. No nos interesaremos por sistemas coordenados noortogonales.

b) La orientacion de la base ei puede cambiar de punto a punto, preservandosesu ortonormalidad.

c) El significado fısico de los diferenciales de las coordenadas no es necesari-amente longitud. En coordenadas esfericas, por ejemplo, hay una longitud y dosangulos.

Un campo escalar se define dando un valor numerico en cada punto del espacio.El valor de una cantidad escalar en un punto definido del espacio es independientedel sistema de coordenadas que se utilice. Vale decir, si (x, y, z), (ρ, ϕ, z), (r, θ, ϕ)denotan el mismo punto del espacio fısico, el valor que en ese punto tome, porejemplo, la presion atmosferica es el mismo.

Los campos vectoriales se definen dando en cada punto del espacio el valor detres cantidades, conocidas como las componentes vectoriales. Aunque los vectoresunitarios y los valores de cada componente sean diferentes en cada sistema de co-ordenadas, es sin embargo cierto que el vector A no cambia cuando cambiamos desistema coordenado, vale decir que si ei, e

′i, Ai, A

′i son los vectores unitarios y las


componentes en dos sistemas coordenados S y S ′, entonces:

A =3∑

i=1

Aiei =3∑

i=1

A′ie

′i

Lo anterior significa que un vector es invariante bajo transformaciones coordenadas.Y esto es cierto ya sea que las transformaciones vayan de un sistema cartesiano aotro cartesiano rotado respecto al primero, o de uno cartesiano a uno esferico.Decimos igualmente que los campos escalares son invariantes bajo transformacionescoordenadas. La teorıa de transformacion se ocupa de estos temas.

De esta forma es posible escribir ecuaciones cuya forma matematica es la mismaen todos los sistemas de coordenadas en el espacio 3-dimensional euclidiano. Pordar un ejemplo, la ecuacion de ondas escrita en la forma:

∇2ψ − 1

v2

∂2ψ

∂t2= 0

es valida en todos los sistemas coordenados, es decir, es invariante bajo transfor-maciones coordenadas.

Las leyes fısicas han de ser escritas en forma invariante con el fin de darles lalibertad de ser escritas en cualquier sistema coordenado. Todos los sistemas coor-denados son buenos, ninguno de ellos goza de algun privilegio fısico especial.

1.2. Nociones basicas

1.2.1. Teorıa de transformacion

En el espacio euclidiano es siempre posible construir un sistema coordenadocartesiano que se extienda indefinidamente; a partir de el podemos generar multiplessistemas coordenados, mediante la introduccion de las superficies ui = f(x, y, z).

Puesto que, recıprocamente, x, y, z son funciones de ui, esto es: x=x(ui), y=y(ui), z =z(ui), podemos escribir:

dx =∂x

∂u1du1 +

∂x

∂u2du2 +

∂x

∂u3du3

dy =∂y

∂u1du1 +

∂y

∂u2du2 +

∂y

∂u3du3

dz =∂z

∂u1du1 +

∂z

∂u2du2 +

∂z

∂u3du3,

1.2. NOCIONES BASICAS 5

Estas tres ecuaciones son las componentes de la ecuacion vectorial:

dr =∂r

∂u1du1 +

∂r

∂u2du2 +

∂r

∂u3du3 =

3∑

i=1

∂r

∂uidui (1.1)

En general, el factor ∂r/∂ui que aparece en (1.1) es un vector no unitario quetoma en cuenta la variacion de r solo en direccion de ui y es, por tanto, tangente ala curva coordenada ui. Con el fin de introducir una base normalizada ei, es decir,un conjunto de vectores unitarios ei, escribimos

∂r

∂ui= hiei (1.2)

donde |ei| = 1 y hi son funciones de ui, que seran llamadas factores de escala. Sesigue que

dr =3∑

i=1

hieidui

Puesto que estaremos pensando todo el tiempo en bases ortonormales (perpen-diculares y unitarias) podemos escribir:

ei · ej = δij (1.3)

Es decir:e1 · e2 = e2 · e3 = e3 · e1 = 0

ye1 · e1 = |e1|2 = |e2|2 = |e3|2 = 1

δij , conocido como delta de Kronecker, se define ası: δij = 0 si i 6= j y δij = 1 sii = j. Dicho de otro modo, los δij son los elementos de la matriz identidad.

De (1.2): ∣∣∣∣∂r

∂ui

∣∣∣∣ = hi (1.4)

expresion que es util en el calculo de los factores de escala; en consecuencia, de (1.2),los vectores unitarios en coordenadas curvilıneas se escriben:

ei =1

hi

∂r

∂ui(1.5)

Ejercicio: De cartesianas a esfericas


Un punto P puede localizarse mediante las coordenadas cartesianas (x, y, z), ytambien mediante las coordenadas esfericas (r, θ, ϕ), donde:

−∞ ≤ x ≤ ∞, −∞ ≤ y ≤ ∞,

−∞ ≤ z ≤∞, y

r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π

r = |r| es la coordenada radial, θ es la coordenada polar y ϕ es la coordenadaazimutal.

Facilmente se deduce de la grafica que la conexion entre coordenadas cartesianasy esfericas es como sigue:

x = r sen θ cosϕ, r =√x2 + y2 + z2

y = r sen θ senϕ, θ = cos−1

(z/√x2 + y2 + z2

)

z = r cos θ, ϕ = tan−1(y/x)

Ası pues:

r = ix+ j y + k z

= i r sen θ cosϕ+ j r sen θ senϕ+ k r cos θ (1.6)

Entonces:

∂r/∂r = i sen θ cosϕ+ j sen θ senϕ+ k cos θ

⇒ |∂r∂r| =

√sen 2θ cos2 ϕ+ sen 2θ sen 2ϕ+ cos2 θ = 1

Tal que segun (1.4): h1 = hr = 1

∂r/∂θ = i r cos θ cosϕ+ j r cos θ senϕ− k r sen θ

⇒ |∂r∂θ| =

√r2(cos2 θ cos2 ϕ+ cos2 θ sen 2ϕ+ sen 2θ) = r

de donde: h2 = hθ = r

∂r/∂ϕ = −i r sen θ senϕ+ j r sen θ cosϕ

⇒ | ∂r∂ϕ| =

√r2( sen 2θ sen 2ϕ+ sen 2θ cos2 ϕ) = r sen θ

por lo cual: h3 = hϕ = r sen θ


En sıntesis:

hr = 1, hθ = r, hϕ = r sen θ (1.7)

Ademas, reemplazando en (1.5), los vectores unitarios en coordenadas esfericaspueden expresarse en terminos de coordenadas cartesianas, como:

er = i sen θ cosϕ+ j sen θ senϕ+ k cos θ (1.8)

eθ = i cos θ cosϕ+j cos θ senϕ− k sen θ

eϕ = −i senϕ+ j cosϕ

Donde (e1, e2, e3) = (er, eθ, eϕ) Estas ecuaciones pueden invertirse algebraicamente

para expresar i, j, k en terminos de er, eθ, eϕ; se obtiene:

i = er sen θ cosϕ+ eθ cos θ cosϕ− eϕ senϕ

j = er sen θ senϕ+ eθ cos θ senϕ+ eϕ cosϕ

k = er cos θ − eθ sen θ

En forma matricial: e = Aε, ε = Ae, con:

e =

e1

e2

e3

=

ereθeϕ

, ε =

ε1

ε2

ε3

=

i

j

k

A =

sen θ cosϕ sen θ senϕ cos θcos θ cosϕ cos θ senϕ − sen θ− senϕ cosϕ 0

Es cierto que AA = I, de modo que la matriz A es ortogonal, y es facil verificarque |A| = 1.

Nota:

De las ecuaciones (1.6) y (1.9) se sigue que: r = rer. Esto muestra que laexpresion:

r = e1u1 + e2u2 + e3u3 (1.9)

no es valida en coordenadas esfericas, pues darıa lugar a la expresion incorrecta(incluso dimensionalmente!):

r = rer + θeθ + ϕeϕ.


La ecuacion (1.9) es valida solo en coordenadas cartesianas, donde ui=xi. No ob-stante, es cierto que cualquier vector A, diferente de r, en coordenadas curvilıneasortogonales, se escribe:

A =∑

i

eiAi = e1A1 + e2A2 + e3A3

Problemas: Demuestre que en coordenadas cilındricas : r = ρeρ + zez

Escriba en coordenadas esfericas el vector

A = xyi− xj + 3xk;

y exprese Ar, Aθ y Aϕ en terminos de r, θ, ϕ.

Considere la transformacion de coordenadas: x = 2uv, y = u2+v2,z = w. Demuestre que el nuevo sistema de coordenadas no esortogonal.

Considere la transformacion de coordenadas: x = 2uv, y = u2 −v2, z = w. Demuestre que el nuevo sistema de coordenadas esortogonal.

El sistema de coordenadas cilındricas elıpticas (σ, τ, z) se definemediante las relaciones: x = 2A cosh σ cos τ , y = 2A senh σ sen τ ,z = z. Demuestre que este sistema de coordenadas es ortogonal yque h2

σ = h2τ = 4A2(sinh2 σ + sen 2τ), hz = 1.

Derivadas parciales de los vectores unitarios

En aplicaciones del analisis vectorial es a menudo necesario utilizar las derivadas∂ei/∂uj.

Partiendo de dr =∑

i hieidui, o de (1.2), podemos escribir

∂r

∂uj= hj ej y

∂r

∂ui= hiei

de donde se siguen las dos ecuaciones

∂2r

∂ui∂uj=

∂

∂ui(hj ej) ,

∂2r

∂uj∂ui=

∂

∂uj(hiei)

Restando estas ecuaciones y teniendo en cuenta que ∂ ei/∂uj es paralelo a ej y∂ej/∂ui lo es a ei obtenemos:

∂ei∂uj

=ejhi

∂hj∂ui

valida para i 6= j.


Ademas, como ei = 12

∑jk εijk

ej × ek se sigue, por derivacion, utilizando laecuacion del cuadro y despues de algunos pasos, que

∂ei∂ui

=∑

jkl

εijkε

ilj

elhk

∂hi∂uk

;

utilizando (1.24) es posible concluir que

∂ei∂ui

= −∑

k 6=i

ekhk

∂hi∂uk

Problema: Demuestre que en coordenadas cilındricas las unicas derivadasparciales no nulas son

∂eρ

∂ϕ= −eϕ,

∂eϕ

∂ϕ= −eρ

y que en coordenadas esfericas solo las siguientes son no nulas:

∂er

∂θ= eθ ,

∂eθ

∂θ= −er ,

∂er

∂ϕ= eϕ sen θ,

∂eθ

∂ϕ= eϕ cos θ,

∂eϕ

∂ϕ= −er sen θ − eθ cos θ

1.2.2. Jacobianos y transformaciones

En componentes, la ecuacion (1.1) puede escribirse:

dxi =∑

j

∂xi∂uj

duj =∑

j

Jijduj (1.10)

con:Jij = ∂xi/∂uj (1.11)

En forma matricial la ecuacion (1.10) se escribe: dx = Jdu donde dx y du sonlos vectores columna:

dx =

dx1

dx2

dx3

du =

du1

du2

du3

J es la matriz de transformacion de los diferenciales de coordenadas, cuyos el-ementos son Jij = ∂xi/∂uj . El determinante |J| se conoce como el Jacobiano, queha de ser diferente de cero para garantizar que la transformacion sea invertible.

Tambien, con r = ix+ jy + kz, (1.5) toma la forma:


ei =1

hi

(i∂x

∂ui+ j

∂y

∂ui+ k

∂z

∂ui

)(1.12)

que es la regla de transformacion entre vectores unitarios. Introduciendo la notacion(ε1, ε2, ε3) = (i, j, k), escribimos r =

∑j εjxj , tal que (1.5) tambien se escribe:

ei =∑

j

εj

hi

∂xj∂ui

=∑

j

aji εj (1.13)

donde hemos definido:

aji =1

hi

∂xj∂ui

(1.14)

Introduciendo los vectores columna:

e =

e1

e2

e3

ε =

ε1

ε2

ε3

y considerando aij como elementos de la matriz A (aji son elementos de su transpues-ta), podemos escribir (1.13) como:

e = Aε (1.15)

A es la transpuesta de A. Es cierto, de acuerdo a las ecuaciones (1.11) y (1.14), queJji = ajihi, o matricialmente:

J = AH (1.16)

con

H =

h1 0 00 h2 00 0 h3

(1.17)

Ahora bien, un postulado basico de la teorıa de transformacion asegura la in-varianza del elemento de lınea dr, y en general de cualquier vector, bajo transfor-macion de coordenadas. En consecuencia los modulos de los vectores son tambieninvariantes. Es cierto que en coordenadas cartesianas dl2 =

∑i dxidxi, y que en

coordenadas curvilıneas:

dl2 = dr · dr =∑

jk

hjhkej · ekdujduk =∑

jk

hjhkdujdukδjk

.La invarianza de dl2 asegura que su valor es el mismo en el sistema coordenado

original y en el nuevo, esto es:


∑

i

dxidxi =∑

jk

hjhkdujdukδjk,

y puesto que, segun (1.11), dxi =∑

j Jijduj se sigue, del renglon anterior:

∑

ijk

JijJikdujduk =∑

jk

hjhkdujdukδjk ,

de donde ∑

i

JijJik = h2jδjk,

que en forma matricial se escribe: JJ = H2, siendo J la transpuesta de J. De JJ = H2

y J = AH se sigue queAA = I (1.18)

de modo que la matriz A es ortogonal: A = A−1.De AA = I se sigue |A| = ±1. Ahora bien, los tipos posibles de transformacion

son: a) De un S cartesiano a otro S’ rotado, o reflejado, o invertido. b) De un Scartesiano a uno curvilıneo.

En el caso de rotacion, o del paso de cartesianas a curvilıneas, puesto que lamatriz de transformacion ha de contener la identidad, entonces |A| = +1. Parareflexion e inversion: |A| = −1.

Observese que

|J| = ∂r

∂u1· ∂r∂u2× ∂r

∂u3= h1h2h3 e1 · e2 × e3

es diferente de cero pues e1, e2, e3 no son coplanares. De hecho, puesto que e1 · e2×e3 = 1 se sigue |J| = h1h2h3.

1.2.3. Rotacion de coordenadas

Como una aplicacion simple de las ecuaciones (1.5) o (1.12) consideremos la

transformacion de un sistema cartesiano (x, y, z) con vectores unitarios (i, j, k) aotro sistema cartesiano (x′, y′, z′) rotado un angulo θ respecto al eje z y con vectores

unitarios (i′, j′, k′). La regla de transformacion es:

x = x′ cos θ − y′ sen θ, y = x ′ sen θ + y ′ cos θ, z = z ′

Por aplicacion de (1.12) y teniendo en cuenta que hi = 1 se sigue:

i′ = i cos θ + j sen θ, j′ = −i sen θ + j cos θ, k′ = k


Estas expresiones pueden escribirse en la forma matricial:

i′

j′

k′

= A

i

j

k

, con A =

cos θ sen θ 0− sen θ cos θ 0

0 0 1

Observemos que |A| = 1, caracterıstico de transformaciones que pueden ser real-izadas partiendo de la identidad. En efecto: si θ −→ 0, entonces |A| −→ I.

1.2.4. Vectores Axiales y Polares

La definicion de vector que hemos adoptado en este capıtulo es la siguiente: Unvector es una forma lineal invariante bajo transformacion de coordenadas. Esto es,si B y B′ son vectores en S y S ′, entonces:

B = B′, con B =∑

iBiei y B′ =∑

j B′je

′j

Cuando se realiza una transformacion de un sistema cartesiano S a otro carte-siano S′ (transformacion que puede consistir en una rotacion, inversion o reflexion),los vectores unitarios se transforman de acuerdo a (1.13).

Puesto que, por definicion, el vector B es una forma invariante bajo la transfor-macion es cierto que

B′ =∑

i

B′ie

′i = B =

∑

i

Biei. (1.19)

Reemplazando (1.13) y teniendo en cuenta la independencia lineal de los vectoresde la base se sigue que

B′i =

3∑

j=1

aijBj , (1.20)

De acuerdo a (1.18): AA = I; se sigue, tomando el determinante: |A| = ±1.La rotacion de coordenadas tiene |A| = 1 (lo que proviene de que la rotacion debe

contener como caso lımite la transformacion de identidad, para la cual |A| = 1),mientras la inversion y la reflexion de coordenadas tienen, como veremos, |A| = −1.

Problema: Definimos la siguentes matrices:

ee = (e1 , e2, e3), eB = (B1 , B2, B3)

e =

0@

e1

e2

e3

1A , B =

0@

B1

B2

B3

1A , A =

0@

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

1A

Demuestre que: B = eBe = eeB, B′ = AB, B = eAB′, e = eAe′, e′ = Ae,B ·B = B′ ·B′


y

x

B

x′

y′

B

z z′

Figura 1.3: Reflexion de coordenadas

Consideremos Reflexion de coordenadas:Solo la componente x cambia de signo bajo reflexion:

B1 = −B1, B2 = B2, B3 = B3

Veamos ahora como transforma B×C:

B′ ×C′ = (B′2C

′3 −B′

3C′2, B

′3C

′1 −B′

1C′3, B

′1C

′2 −B′

2C′1)

= (B2C3 −B3C2,−(B3C1 −B1C3),−(B1C2 −B2C1))

La segunda y tercera componentes cambian de signo, luego el producto vectorialsigue una ley de transformacion diferente.

En cuanto a sus reglas de transformacion hay entonces dos tipos de vectores:polares y axiales.

Un vector polar B se transforma como: B′i =

∑j aijBj , mientras un vector axial

V se transforma como: V ′i = |A|∑j aijVj .

Es cierto entonces que bajo rotacion (|A| = 1) no hay distincion entre vectoresaxiales y polares. Pero sı la hay bajo inversion o reflexion de coordenadas, descritasrespectivamente por las matrices:

−1 0 00 −1 00 0 −1

,

−1 0 00 1 00 0 1

y para las cuales |A| = −1. Estas ultimas se llaman transformaciones impropiasy no pueden obtenerse de la identidad, ni se reducen a ella en algun lımite. Estocontrasta con las transformaciones propias, que estan conectadas con la identidad


y que se reducen a ella en el lımite de rotacion cero, y para las cuales |A| = 1. Bajoinversion cambian de signo las tres componentes de un vector, mientras las trescomponentes del producto vectorial permanecen inalteradas.

En sıntesis, bajo transformaciones mas generales que rotacion distinguiremos dostipos de vectores:

A) Polares, cuyas tres componentes cambian bajo inversion; bajo reflexioncambia solo la componente normal al plano de reflexion.

B) Axiales, o pseudovectores, cuyas componentes no cambian de signo bajoinversion. Bajo reflexion cambia el signo de las componentes situadas en el planode reflexion.

Son vectores polares: posicion, velocidad, aceleracion, fuerza, momento lineal,campo electrico, desplazamiento electrico, polarizacion, aceleracion de gravedad,momento de dipolo electrico, densidad volumetrica de momento angular, potencialvectorial magnetico.

Son vectores axiales: angulo, velocidad angular, aceleracion angular, momentoangular, torque, superficie, induccion magnetica, intensidad de campo magnetico,magnetizacion, momento de dipolo magnetico, densidad de corriente de carga omasa, vector de Poynting, densidad volumetrica de momento lineal.

En adicion definimos escalares y pseudoescalares como cantidades que se trans-forman respectivamente segun las reglas:

φ′ = φ , η′ = |A|η

Son escalares: masa, carga electrica, potencial electrico, potencial gravitacional,temperatura, energıa, trabajo, entropıa, tiempo, corriente electrica, permitividad,permeabilidad magnetica, flujo del campo magnetico.

Son pseudoescalares: densidad volumetrica de masa y de carga, volumen, angu-lo solido, densidad volumetrica de energıa, potencial escalar magnetico, flujo delcampo electrico.

Conviniendo en que A,B,C...son vectores axiales y P,Q,R... son vectores po-lares, es facil demostrar que:

A×B = Vector axialA×P = Vector polarP×Q = Vector axialA× (B×C) = Vector axialP× (Q×R) = Vector polarA ·B = escalarP ·Q = escalarA ·P = pseudoescalarA · (B×C) = pseudoescalarP · (A×B) = pseudoescalar


A · (P×Q) = escalar

Ejemplos fısicos de estas relaciones son los siguientes: p = mv, F = ma, L =r× p, τ = r× F, v = ω × r, E = −∇φ, F = qE, F = qv ×B, F = mg.

Paridad e invarianza

Teorema:Las ecuaciones vectoriales son invariantes bajo transformaciones coordenadas solosi contienen sumas (o restas) de vectores del mismo tipo.

Por ejemplo, si A,B,C son axiales,

A′ + B′ = C′ −→ A′i +B′

i = C ′i

∴ |A|∑

j

aij(Aj +Bj) = |A|3∑

i=1

aijCj

⇒ Aj +Bj = Cj o: A + B = C

luego la forma de la ecuacion es invariante.Tambien, si P,Q,R son vectores polares:

De P′ + Q′ = R′ se sigue: P + Q = R,

ecuacion que es tambien invariante.Sin embargo, si se suman vectores axiales y polares en la misma ecuacion, ten-

dremos:A′ + P′ = Q′ o A′

i + P ′i = Q′

i, de donde

∑

j

aij(|A|Aj + Pj) =∑

j

aijQj y por tanto

∴ |A|Aj +Bj = Qj o |A|A + P = Q ,

ecuacion que no es de la forma A + P = Q.En consecuencia la mezcla de vectores axiales y polares genera ecuaciones que

no son invariantes bajo reflexion e inversion. Se dice entonces que este tipo deecuaciones viola la paridad.

Analogamente, ecuaciones que mezclan escalares y pseudoescalares no son in-variantes bajo inversion y reflexion:

Si e, f, g son escalares y p, q, r son pseudoescalares, entonces e+f = g y p+q = rconservan la paridad, pero e+ p = f no la conserva.

Es posible combinar escalares, pseudoescalares, vectores y pseudovectores paraformar ecuaciones invariantes (o no invariantes) bajo reflexion e inversion, como enlos siguientes problemas.


Problemas: a) Demostrar que las siguientes ecuaciones conservan la pari-dad: P + qA = Q, A + eC = B, P + eR = Q, A + qP = B

b) Demostrar que las siguientes ecuaciones violan la paridad: P +eA = Q, A + eP = B, P + qR = Q, A + pC = B

Solo las interacciones debiles violan la paridad. Las interacciones fuertes, elec-tromagneticas y gravitacionales son invariantes bajo reflexion e inversion de coor-denadas. Y todas las leyes fısicas son invariantes bajo rotacion (y traslacion) decoordenadas.

1.3. Diferenciales de lınea, superficie y volumen

Utilizando (1.5) en (1.1) podemos escribir:

dr =

3∑

i=1

hieidui =

3∑

i=1

dli , (1.21)

donde

dli = hieidui (1.22)

representa el elemento diferencial de lınea a lo largo del eje ui. La expresion (1.21)asegura que cualquier elemento de lınea con orientacion arbitraria puede descom-ponerse en una suma vectorial. En coordenadas esfericas:

dlr = erdr −→ dlr = dr

dlθ = eθr dθ −→ dlθ = rdθ

dlϕ = eϕr sen θ dϕ −→ dlϕ = r sen θ dϕ

Las superficies diferenciales se describen como vectores perpendiculares al areadiferencial y orientadas segun la regla de la mano derecha:

dS1 = dl2 × dl3

dS2 = dl3 × dl1dS3 = dl1 × dl2

Ası:

dS1 = h2h3 e2 × e3 du2 du3 = h2h3 e1 du2 du3 = e1 dS1

dS2 = h3h1 e3 × e1 du3 du1 = h3h1 e2 du3 du1 = e2 dS2

dS3 = h1h2 e1 × e2 du1 du2 = h1h2 e3 du1 du2 = e3 dS3,

1.3. DIFERENCIALES DE LINEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN 17

u2

u1

u3

dS1

dS2

dS3

Figura 1.4: Elementos diferenciales de area en coordenadas curvilıneas

donde hemos introducido las relaciones

e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1, e3 × e1 = e2,

validas en sistemas coordenados curvilıneos ortonormales en espacios 3D euclidia-nos. En forma sintetica:

ei × ej =

3∑

k=1

εijk

ek (1.23)

εijk

es el llamado sımbolo de Levi-Civita, definido como: ε123

= 1 y antisimetricopara cada pareja de ındices contiguos. Es decir:

εijk

= −εikj

= εjki

= −εjik

= εkij

= −εkji

de modo que:

ε123

= −ε132

= . . . etc = 1, ε111

= ε112

= . . . etc = 0

Una forma algebraica bastante simple que contiene todas sus propiedades es:

εijk

=1

2(i− j)(j − k)(k − i)


El elemento de volumen diferencial se define como:

dV = dl1 · dl2 × dl3= h1h2h3 e1 · e2 × e3 du1 du2 du3

= h1h2h3 du1 du2 du3

En coordenadas esfericas:

dS1 = dSr = hθhϕ dθ dϕ = r2 sen θ dθ dϕ

dS2 = dSθ = hϕhr dϕ dr = r sen θ dr dϕ

dS3 = dSϕ = hrhθ dr dθ = r dr dθ , y

dV = hrhθhϕ dr dθ dϕ = r2 sen θ dr dθ dϕ

Problema: La velocidad y la aceleracion se definen en la forma vectorial si-guiente:

v =dr

dt= r, y a = v = r.

En coordenadas cilındricas demuestre que

1. ˙eρ = eϕϕ, ˙eϕ = −eρϕ, ˙ez = 0

2. v = eρρ+ eϕρϕ+ ez z

3. a = eρ(ρ− ρϕ2) + eϕ(ρϕ+ 2ρϕ) + ez z.

Demuestre que en coordenadas esfericas:

1. ˙er = eθ θ + eϕϕ sen θ, ˙eθ = −er θ + eϕϕ cos θ,˙eϕ = −eθϕ cos θ − erϕ sen θ

2. v = er r + eθrθ + eϕrϕ sen θ

3. a = er(r−rθ2−rϕ2 sen 2θ)+ eθ(2rθ+rθ−rϕ2 sen θ cos θ)+eϕ(2r ϕ sen θ + r ϕ sen θ + 2r θϕ cos θ).

Problemas: Calcular los factores de escala y los elementos de lınea,superficie y volumen en coordenadas cilındricas.

Demostrar que:

1. A ×B =Pijk eiεijk

AjBk

2. A ·B ×C =Pijk εijk

AiBjCk

3. A ·B ×C = B · C× A = C ·A ×B

4. A ·B ×A = 0

Nota sobre Levi-Civita: De la identidad A × (B ×C) = (A ·C)B − (A ·B)Cse sigue, reemplazando A =

∑Aiei, etc, y teniendo en cuenta la ecuacion

(1.23):∑

ijlm

[∑

k

εijkε

lmk− δilδjm + δimδjl

]AjBlCmei = 0 ,

1.3. DIFERENCIALES DE LINEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN 19

de modo que:3∑

k=1

εijkε

lmk= δilδjm − δimδjl (1.24)

Esta ecuacion puede escribirse como:

3∑

k=1

εijkε

lmk=

∣∣∣∣δil δimδjl δjm

∣∣∣∣ (1.25)

Es facil demostrar que:

1.∑3

jk=1 εijkε

ljk=∑

j

∣∣∣∣δil δijδjl δjj

∣∣∣∣ = 2δil

2.∑3

ijk=1 εijkε

ijk= 6

3.∑3

j=1 δijεijk= 0

La ecuacion (1.25) es la suma en k, con n = k, de la expresion:

εijkε

lmn=

∣∣∣∣∣∣

δil δim δinδjl δjm δjnδkl δkm δkn

∣∣∣∣∣∣

El sımbolo de Levi-Civita puede utilizarse para escribir determinantes. Es enefecto cierto que

|A|εijk

=∑

lmn

εlmn

ailajmakn

Utilizando esta expresion es bastante facil demostrar que |AB| = |A||B|.En Relatividad Especial el sımbolo ε

µνσρ, en el que µ, ν, σ, ρ toman valores entre

0 y 3, puede ser definido en forma analoga: ε0123

= 1 y antisimetrico en cada parejade ındices contiguos. Es demostrable que ε

µνσρ

= −1 y, siendo δµα una delta deKronecker, es cierto que:

εµνσρ

εαβγδ

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

δαµ δβµ δγµ δδµδαν δβν δγν δδνδσα δβσ δγσ δδσδαρ δβρ δγρ δδρ

∣∣∣∣∣∣∣∣

Problema: Utilizando (1.24) demuestre que:

• (A ×B) · (A ×B) = A2B2 − (A ·B)2

• (A ×B) · (C × D) = (A ·C)(B ·D) − (A ·D)(B ·C)


1.4. Operadores diferenciales

Entenderemos por campo un sistema fısico con valores definidos en cada puntodel espacio. Un campo escalar esta caracterizado por una funcion f(u1, u2, u3) quelo determina por entero en cada punto del espacio. La temperatura en cada puntode un solido, la presion y la densidad de la atmosfera, los potenciales gravitacional yelectrostatico, la amplitud de una onda de sonido, son campos escalares. φ = zy3−x2

es un campo escalar.

Un campo vectorial se caracteriza con tres funciones escalares (es decir, una fun-cion vectorial) en cada punto del espacio. La velocidad de una partıcula de unfluido, el campo electrico de una distribucion de cargas electricas, los campos grav-itacionales, el campo magnetico terrestre, las ondas electromagneticas, el campo develocidades en un tornado, son campos vectoriales. A = yz 2i− 2zx3j + xy2k es uncampo vectorial.

Asumiremos que los campos en consideracion son funciones regulares, continuas yderivables, excepto posiblemente en puntos aislados. Todos los campos pueden ser,ademas, funciones del tiempo. En general los campos seran descritos por ecuacionesdiferenciales parciales cuyas variables independientes seran la posicion y el tiempo.

1.4.1. Gradiente

Al pasar de un punto P(u1, u2, u3) a otro infinitesimalmente cercano P(u1 +du1, u2 + du2, u3 + du3) el cambio diferencial de una funcion (o campo) escalarφ(u1, u2, u3) esta dado por:

dφ =∂φ

∂u1du1 +

∂φ

∂u2du2 +

∂φ

∂u3du3 =

3∑

i=1

∂φ

∂uidui (1.26)

Teniendo en cuenta la ecuacion (1.21) se sigue

dr =

3∑

j=1

hj ejduj (1.27)

Multiplicando escalarmente por ei:

dr · ei =

3∑

j=1

hj ej · eiduj =

3∑

j=1

hjδijduj = hidui

=⇒ dui =1

hidr · ei,

1.4. OPERADORES DIFERENCIALES 21

tal que reemplazando en (1.26):

dφ =3∑

i=1

∂φ

∂ui

1

hiei · dr = dr ·

( 3∑

j=1

eihi

∂φ

∂ui

)

El termino entre parentesis lo denotaremos ∇φ, donde ∇ es conocido como eloperador nabla. Ası:

∇φ ≡3∑

i=1

eihi

∂φ

∂ui=

3∑

i=1

ei (∇φ)i (1.28)

y lo llamaremos gradiente de la funcion escalar φ(ui). por tanto

dφ = dr ·∇φ (1.29)

Puesto que dr = ndl, se sigue: dφ/dl = n ·∇φ, que corresponde a la definicionde derivada direccional de la funcion φ en direccion n.

Para estudiar las propiedades del gradiente tomemos un par de superficies in-finitesimalmente cercanas, sobre cada una de las cuales la funcion φ toma valoresconstantes e infinitesimalmente diferentes, φ y φ + dφ. En teorıa de campos se lesllama superficies equipotenciales.

De (1.29) se sigue :dφ = dr ·∇φ = |dr||∇φ| cos θ

donde θ es el angulo entre dr y ∇φ. Si el vector dr se situa en el plano φ = cte,entonces dφ = 0; por tanto:

0 = |dr||∇φ| cos θ

Como ∇φ es en general diferente de cero, pues φ(ui) es una funcion arbitraria, ycomo |dr| 6= 0 se sigue que cos θ = 0, por lo cual θ = 900.

En consecuencia: ∇φ es perpendicular a la superficie φ = constante.0.5 cmEl maximo valor de dφ ocurre cuando θ = 0; es decir

dφmax = |∇φ||dr| = |∇φ| dl

o:

(dφ

dl

)

max

= |∇φ|

Ası pues, el modulo del gradiente corresponde al valor maximo de la derivada direc-cional y el gradiente apunta en la direccion en que tal derivada es maxima.

Ahora bien: puesto que desde cada punto de una lınea o superficie equipotencial esposible trazar el vector ∇φ, resulta entonces posible construir una red coordenada


r

dr∇φ

φ+ dφ

φ

Figura 1.5: Superficies equipotenciales

ortogonal a las equipotenciales; por lo cual, dada una familia de curvas en el plano (ode superficies curvas en el espacio) es posible obtener otras que le son ortogonales. Deaca surge un metodo eficaz de construccion de sistemas de coordenadas curvilineasortogonales que implementaremos en la seccion 1.12.

Hemos de tener en cuenta que ∇ no es un vector sino un operador vectorial: ∇

no tiene direccion, a menos que opere sobre una funcion.


∇φ =

3∑

i=1

eihi

∂φ

∂ui=

erhr

∂φ

∂r+

eθhθ

∂φ

∂θ+

eϕhϕ

∂φ

∂ϕ= er

∂φ

∂r+

eθr

∂φ

∂θ+

eϕr sen θ

∂φ

∂ϕ

Problemas: Escriba ∇φ en coordenadas cartesianas y cilındricas.

Demuestre que: ∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ

Si f = f(r) con r =px2 + y2 + z2, demuestre que ∇f(r) =

rdf(r)/dr. En particular, si ∇f(r) = 2r4r, hallar f(r).

Hallar el vector unitario normal a la superficie x2y + 2xz = 4 enel punto (1, 2, 1) y la ecuacion del plano tangente que pasa por esepunto.

Hallar el angulo que forman las superficies x2 + y2 + z2 = 9 yx2 + y2 − z = 3 en el punto (2,−1, 2).

Hallar la derivada direccional de φ = x2yz + 4xz2 en (1,−2,−1)

en direccion a = 2i − j− 2k.

Si A =constante en coordenadas cartesianas, demuestre que:

∇(r · A) = A.

Demuestre que ∇ui = ei/hi


Demuestre que:∂r

∂ui· ∇uj = δij .

Esto significa que las dos familias de vectores ∂r/∂ui y ∇uj sonortogonales, y forman bases recıprocas.

Partiendo de la forma cartesiana del gradiente de un escalar:∇ϕ =

Pεi∂ϕ/∂xi y utilizando argumentos de la seccion 1,2

obtenga la forma (1.28). Esto demuestra la invarianza del gra-diente bajo transformacion de coordenadas.

El potencial electrostatico de un dipolo electrico p = p0ez es:φ = p0 cos θ/r2, con p0 constante. Calcule el campo electrostaticoE = −∇φ en coordenadas esfericas.

La ecuacion basica de la hidrostatica (ver seccion 4.3) tiene laforma: ∇P +ρ∇G = 0, donde P , ρ y G son la presion, la densidady el potencial gravitacional. Demuestre que, en cada punto, lasnormales a las superficies de presion y potencial constante sonparalelas.

1.4.2. Divergencia

Dada una superficie diferencial orientada dS, definimos el flujo del campo vectorialB a traves de dS como:

dΦ = flujo diferencial = B · dS

B

dS

Figura 1.6: Flujo del campo Ba traves de una superficie abierta

Obviamente el flujo es maximo si B ‖ dS y cero si B ⊥ dS. Nos interesaremos enlo que sigue en calcular el flujo a traves de una superfice diferencial cerrada, quecontenga un volumen diferencial dV limitado por superficies coordenadas. Nuestrovolumen sera entonces un paralelepıpedo curvilineo.


B1

dS1

B2

dS1

u1

Figura 1.7: Elemento diferencial de volumen

Consideremos el flujo total como la suma de los flujos a traves de cada pareja desuperficies. Analicemos primero el flujo sobre las caras dS1:

dΦ1 = dΦu1+du1+ dΦu1

= (B1 dS1)u1+ du1− (B1 dS1)u1

= (B1h2h3 du2du3)u1+ du1− (B1h2h3 du2du3)u1

= (B1h2h3)u1+ du1du2du3 − (B1h2h3)u1

du2du3

Los elementos diferenciales du2du3 han sido extraıdos del primer termino puesson independientes de u1. Si hacemos una expansion de Taylor alrededor de u1:

(B1h2h3)u1+du1= (B1h2h3)u1

+∂(B1h2h3)

∂u1du1 + · · ·

En consecuencia:

dΦ1 =∂(B1h2h3)

∂u1du1 du2du3 =

∂(B1h2h3)

∂u1

dV

h1h2h3

De modo completamente analogo:

dΦ2 =∂(B2h3h1)

∂u2

dV

h1h2h3

dΦ3 =∂(B3h1h2)

∂u3

dV

h1h2h3

El flujo total dΦ que atraviesa el volumen dV es entonces


dΦ = dΦ1 + dΦ2 + dΦ3 =

[∂(B1h2h3)

∂u1+∂(B2h3h1)

∂u2+∂(B3h1h2)

∂u3

]dV

h1h2h3

Introduciendo la convencion: h ≡ h1h2h3:

dΦ =

[∂

∂u1

(B1h

h1

)+

∂

∂u2

(B2h

h2

)+

∂

∂u3

(B3h

h3

)]dV

h= Div B dV

donde hemos definido la divergencia del campo B como la siguiente funcion escalar:

DivB =1

h

3∑

i=1

∂

∂ui

(Bih

hi

)(1.30)

En consecuencia: la divergencia es el flujo por unidad de volumen:

DivB =dΦ

dV

La anterior formulacion ha sido realizada para un volumen diferencial. Para unvolumen finito:

Φ =

∮B · dS

donde el sımbolo∮

representa integracion sobre una superficie cerrada. Para rea-lizar esta integral (que equivale a sumar flujos diferenciales) descomponemos elvolumen V en un conjunto de volumenes diferenciales dV ; las caras comunes delos paralelepıpedos diferenciales contribuyen con flujos iguales y opuestos en signo,que se cancelan al hacer la suma, de modo que en sıntesis, las partes no nulasde la integral de area son aquellas que corresponden a caras en la frontera. Enconsecuencia:

Φ =

∮B · dS =

∫DivB dV

La integral de la divergencia sobre un volumen puede transformarse en una in-tegral que involucra solo el valor del campo sobre la superficie. Este resultado esconocido como Teorema de la divergencia:

∮B · dS =

∫DivB dV (1.31)

La integral se extiende sobre la superfice que rodea el volumen V .


De modo alterno:

DivB = lım∆V→0

∮B · dS∆V

Es cierto en coordenadas curvilıneas ortogonales que:

Div B = ∇ ·BEl lado izquierdo de la igualdad se calcula utilizando (1.30) y el derecho utilizandoel operador gradiente de (1.28). En coordenadas esfericas :

∇ ·B = DivB =1

h

3∑

i=1

∂

∂ui

(Bih

hi

)

=1

r2 sen θ

[∂

∂r(Brr

2 sen θ) +∂

∂θ(r sen θBθ) +

∂

∂ϕ(rBϕ)

]

=1

r2∂

∂r(r2Br) +

1

r sen θ

∂

∂θ(sen θBθ) +

1

r sen θ

∂Bϕ∂ϕ

Ejercicio: Demostrar que : ∇ · (φA) = φ∇ ·A + A ·∇φDe (1.30):

∇ · (φA) =1

h

∑

i

∂

∂ui

(φh

hiAi

)

=1

h

[φ∑

i

∂

∂ui

(h

hiAi

)+∑

i

h

hiAi

∂φ

∂ui

]

= φ

[1

h

∑

i

∂

∂ui

(h

hiAi

)]+∑

i

Ai

[1

hi

∂φ

∂ui

]

= φ∇ ·A + A ·∇φ.

Problemas: Utilizando coordenadas cartesianas y cilındricas demuestreque ∇ ·B = Div B .

Escriba ∇ ·B en coordenadas cartesianas y cilındricas.

Evaluar ∇ · (rrn) y ∇ · (r∇rn) en coordenadas cartesianas.

Demostrar, en coordenadas cartesianas, que ∇ · (r/r3) = 0

Compruebe el teorema de la divergencia para el campo vectorialA = 4xi− 2yj + z2k, sobre la superficie y volumen de una esferade radio 4.

Hallar el flujo del campo A = z i + xj − 3y2zk a traves de lasuperficie del cilindro x2 + y2 = 16.

Hallar la divergencia de

A = i(x2 + yz) + j(y2 + xz) + k(z2 + xy)

Demuestre queH

r · dS = 3V.


Demuestre que el campo electrico de una carga puntual,

E =qr

4πε0r2

cumple ∇ · E = 0 para r 6= 0.

La ley de Gauss para el campo electrico tiene la forma:I

E · dS =q

ε0

donde q =RρdV es la carga encerrada en la superficie y ρ su

densidad volumetrica. Demuestre la ley de Gauss en forma di-ferencial:

∇ · E =ρ

ε0

Calcule el flujo del campo vectorial A = r a traves de una superfi-cie cerrada limitada por los planos coordenados y el primer octantede una esfera de radio a. Primero, por calculo directo usando ladefinicion de flujo. Segundo, utilizando el teorema de Gauss.

1.4.3. Rotacional

Definimos la circulacion de un vector a lo largo de una curva cerrada como:

∮B · dl

dS3

B2

u2

u3

u1

B1

Figura 1.8: Trayectoria cerrada sobre la superficie u1u3

Para el circuito diferencial de la figura:

∮

3

B · dl = −(B2dl2)u1+ (B1dl1)u2

+ (B2dl2)u1+du1− (B1dl1)u2+du2

Expandiendo en Taylor y cancelando terminos:


∮

3

B · dl =

[∂

∂u1(B2h2)−

∂

∂u2(B1h1)

]du1du2

=

[∂

∂u1(B2h2)−

∂

∂u2(B1h1)

]dS3

h1h2

= (RotB )3dS3

(1.33)

El calculo ha sido restringido solo a la superficie dS3. Si incluimos trayectorias sobrelas superficies u1 =cte y u2 =cte, tendremos:

∮

1

B · dl = (RotB )1dS1

∮

2

B · dl = (RotB )2dS2

Los calculos anteriores se han referido a paralelogramos curvilıneos localizados enlas superficies coordenadas. El caso general lo conforma una curva cerrada c en el es-pacio, que rodea una superficie diferencial dS. Puesto que esta puede descomponerseen dS1, dS2 y dS3, podemos escribir:

∮

c

B · dl = RotB · dS

Ası pues:

RotB =e1

h2h3

[∂

∂u2(B3h3)−

∂

∂u3(B2h2)

]

+e2

h3h1

[∂

∂u3(B1h1)−

∂

∂u1(B3h3)

]

+e3

h1h2

[∂

∂u1(B2h2)−

∂

∂u2(B1h1)

]

Utilizando el sımbolo de Levi-Civita y con h = h1h2h3:

RotB =1

h

3∑

i,j,k=1

eiεijkhi

∂

∂uj(Bkhk) =

3∑

i=1

ei (RotB )i (1.34)


En forma matricial:

RotB =

∣∣∣∣∣∣

h1e1 h2e2 h3e3

∂/∂u1 ∂/∂u2 ∂/∂u3

B1h1 B2h2 B3h3

∣∣∣∣∣∣

El operador ∂/∂ui actua solo sobre la tercera fila. En coordenadas esfericas:

∇×B =er

r sen θ

[∂

∂θ(sen θBϕ)− ∂Bθ

∂ϕ

]+ eθ

[1

r sen θ

∂Br∂ϕ− 1

r

∂

∂r(rBϕ)

]

+eϕr

[∂

∂r(rBθ)−

∂Br∂θ

]

Es demostrable que

RotB = ∇×B

De la expresion∮

B · dl = (∇×B) · dS se sigue:

∮B · dl = |∇×B|dS cos θ

La maxima circulacion se obtiene con θ = 0:(∮

B · dldS

)

max

= |∇×B|

Es decir: el modulo del rotacional es la maxima circulacion por unidad de area.Los calculos realizados hasta ahora son validos para un circuito diferencial. En

el caso de una curva cerrada que encierre una superficie abierta finita tendremosque sumar sobre el conjunto de circuitos elementales como muestra la figura. Loscircuitos con lados comunes no contribuyen a la circulacion. La contribucion netaviene solo de los elementos de lınea ubicados en el contorno c.

Ası: ∮

c

B · dl =

∫

S

∇×B · dS (1.35)

La anterior expresion - conocida como Teorema de Stokes - permite reemplazarintegrales de area por integrales de lınea.

Problemas: Escriba ∇ × B en coordenadas cartesianas y cilındricas.

Evaluar ∇ × (rf(r)) en coordenadas cartesianas y esfericas. f(r)

es funcion de r =px2 + y2 + z2.

Si v = ω×r, con ω constante, demuestre que ∇ ·v = 0 y ∇×v =2ω


dS

c

Figura 1.9: Descomposicion de una superficie finita en elementos diferenciales

Demuestre que: ∇ × (φA) = φ∇ ×A + ∇φ× A

Demostrar que la condicion necesaria y suficiente para que F · drsea un diferencial exacto es ∇ ×F = 0

Hallar el rotacional de

A = i(x2 + yz) + j(y2 + xz) + k(z2 + xy)

Hallar la circulacion del campo bidimensional A = i(y − 2x) +

j(3x+ 2y) a lo largo de una circunferencia de radio 2, con centroen (0, 0) y ubicada en el plano xy.

Considere los siguientes campos de velocidad en un fluido: v =Cer/r2, v = Ceφ/ρ, v = Ceφρ, v = kC(L − y). ¿Son irrota-cionales? Si lo son, hallese el potencial de velocidad.

Hallar la circulacion del campo A = (x2 − y2 )i + 2xyj a lo largode un contorno cuadrado (limitado por los ejes coordenados y lasrectas x = a, y = a) situado en el plano xy y recorrido en sentidoantihorario.

Hallar la circulacion del campo A = ix− iy, a lo largo de la curvay2 = 4x, desde (0, 0) hasta (4, 4).

El campo electrostatico de un dipolo electrico p = p0ez es: E =p0(2er cos θ+ eθ sen θ)/r3. Demuestre que ∇×E = 0, y que, parar 6= 0: ∇ ·E = 0.

Considere dos funciones u = u(r) y v = v(r), continuas y deri-vables. Demuestre que si u y v satisfacen la ecuacion f(u, v) = 0entonces: ∇u× ∇v = 0.

La ley de Ampere para el campo magnetico B tiene la forma:I

cB · dl = µ0i,

donde i es la corriente electrica que atraviesa la trayectoria cerra-da c, a la que se conoce como amperiana. Teniendo en cuenta quei =

RJ · dS, donde J es la densidad de corriente, y utilizando el

teorema de Stokes, obtenga la ley de Ampere en forma diferencial:

∇ ×B = µ0J


1.4.4. Laplaciano

El laplaciano de una funcion escalar f(ui), que representamos por ∇2f(ui), es

definido como:∇2f = ∇ ·∇f

ası, de acuerdo a (1.30) con Bi = (∇f):

∇2f =1

h

3∑

i=1

∂

∂ui

(h

hi(∇f)i

)

y como, segun (1.28): (∇f) = 1hi

∂f∂ui

, se sigue que:

∇2f =1

h

3∑

i=1

∂

∂ui

(h

h2i

∂f

∂ui

)(1.36)

En coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas :

∇2f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

∇2f =1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂f

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2f

∂ϕ2+∂2f

∂z2

∇2f =1

r2∂

∂r

(r2∂f

∂r

)+

1

r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂f

∂θ

)+

1

r2 sen θ

∂2f

∂ϕ2

En coordenadas cartesianas es facil demostrar que

∇2A = ∇(∇ ·A)−∇× (∇×A),

donde∇2A = i∇2Ax + j∇2Ay + k∇2Ak.

En otros sistemas de coordenadas el Laplaciano de una funcion vectorial se defineen la forma:

∇2A = ∇(∇ ·A)−∇× (∇×A).

Como veremos, el Laplaciano ∇2 aparece en electrostatica, magnetostatica, grav-itacion, ondas, flujo de fluidos, mecanica cuantica y difusion de calor entre otros.

El tipo mas sencillo de campo vectorial F(r) es el que es irrotacional, solenoidal,continuo y derivable. Por ser irrotacional (∇×F = 0) existe un potencial φ: F = ∇φ;por ser solenoidal (∇ · F = 0) entonces ∇2φ = 0. La solucion a la ecuacion deLaplace se denomina funcion armonica. El potencial de un campo electrostatico esarmonico en el exterior de las cargas. En un fluido de densidad constante el potencialde velocidad es armonico si no hay fuentes ni sumideros.


Problemas: En coordenadas cartesianas demuestre que

∇2rn = n(n− 1)rn−2

Utilizando coordenadas curvilıneas demuestre que:

∇2(φψ) = φ∇2ψ + ψ∇2φ+ 2∇φ · ∇ψ

Demuestre que ∇2[∇ · (r/r2)] = 2r−4

Demostrar que ∇2ϕ y ∇ · A son invariantes bajo rotacion decoordenadas.

Demuestre que:

∇2ψ(r) =1

r2d

dr

»r2dψ

dr

–=

1

r

d2

dr2

hrψi

=d2ψ

dr2+

2

r

dψ

dr

El potencial electrostatico satisface la ecuacion de Poisson ∇2φ =4πρ/ε0. Si en el interior de una esfera de radio R el potencial esφ = R2 − r2, y si en el exterior es cero, evaluar la distribucion decarga ρ que genera este potencial.

Si dentro de una esfera de radio R el campo electrico es E = αr yfuera de ella es cero, obtenga la distriducion ρ que lo produce.

Si a una distancia ρ < b del eje z, en coordenadas cilındricas, elpotencial es φ = αρ2 y si ρ > b es cierto que φ = αb2[1 + ln(ρ/b)],evaluar la distribucion de carga ρ′ que lo genera.

Nota:

Algunos textos de analisis vectorial denominan del al operador ∇. Algunos es-criben ∆ en vez de ∇2.

1.5. Dos identidades importantes

Demostraremos aquı dos identidades que son de importancia notable en la teorıade campos.

A) De las ecuaciones (1.30) y (1.34):

∇ ·∇×A =1

h

∑

i

∂

∂ui

(h

hi(∇×A)i

)

=1

h

∑

ijk

∂

∂ui

(h

hiεijk

hih

∂

∂uj(hkAk)

)

=1

h

∑

ijk

εijk∂2

∂ui∂uj(hkAk)

Debido a la simetrıa de la segunda derivada y a la antisimetrıa del sımbolo deLevi-Civita bajo intercambio de ij se sigue que la suma es cero, tal que:

∇ ·∇×A = 0 (1.37)

1.6. IDENTIDADES VECTORIALES 33

[En forma general, si Aij = Aji y Bij = −Bji entonces:∑

ij AijBij ≡ 0]B) De las ecuaciones (1.29) y (1.34):

∇×∇φ =1

h

∑

i

eiεijkhi∂

∂uj(hk(∇φ)k)

=1

h

∑

ijk

eiεijkhi∂2φ

∂uj∂uk

y la suma en jk de nuevo es cero por el argumento ya visto. Ası pues:

∇×∇φ ≡ 0 (1.38)

De las identidades (1.37) y (1.38) se sigue:a) Todo campo vectorial cuyo rotacional sea nulo puede siempre expresarse como

el gradiente de una funcion escalar. Un ejemplo fısico significativo es el campoelectrostatico E, cuyo rotacional es nulo, por lo cual podemos escribir: E = −∇φ.Otro es el campo gravitacional g = −∇G, y uno mas el campo de velocidades enun fluido que no tiene remolinos. Los campos vectoriales cuyo rotacional es nulo sellaman irrotacionales.

El gradiente es irrotacional.b) Todo campo cuya divergencia sea nula puede siempre expresarse como el

rotacional de otro campo vectorial. Tal es el caso del campo magnetostatico, quesatisface: ∇ · B = 0, por lo cual B = ∇ ×A. En consecuencia,

∮B · dS = 0: El

flujo del campo magnetostatico es siempre nulo en cada punto del espacio, por locual sus lıneas de campo son cerradas. Los campos vectoriales cuya divergencia esnula se llaman solenoidales.

El rotacional es solenoidal.

Problema: Dado el campo vectorial

A = i(x+ 2y + az) + j(bx − 3y − z) + k(4x+ cy + 2z),

hallar los valores de a, b, c para los cuales ∇ × A = 0. En tal casoA = ∇Φ. Hallar Φ.

Problemas: Si u y v son irrotacionales, demuestre que u × v essolenoidal.

Si A es irrotacional, demuestre que A × r es solenoidal.

Si ϕ satisface la ecuacion de Laplace, demuestre que ∇ϕ es a lavez solenoidal e irrotacional.

1.6. Identidades Vectoriales

Por aplicacion directa de las definiciones de los operadores diferenciales puedenobtenerse las siguientes identidades:


• ∇(ϕ+ η) = ∇ϕ+ ∇η• ∇ · (A + B) = ∇ ·A + ∇ ·B• ∇× (A + B) = ∇×A + ∇×B• ∇(A ·B) = (A ·∇)B + (B ·∇)A + A× (∇×B) + B× (∇×A)• ∇ · (ϕA) = ϕ∇ ·A + A ·∇ϕ• ∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A · (∇×B)• ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A• ∇× (ϕA) = ϕ∇×A + ∇ϕ×A• ∇× (A×B) = A(∇ ·B)−B(∇ ·A) + (B ·∇)A− (A ·∇)B• ∇ · r = 3• ∇× r = 0• ∇rn = nrrn−1

• ∇

(1/|r− r′|n−1

)= −(n− 1)(r− r′)/|r− r′|n−1

, n 6= 1

Problemas: Demostrar que:

De la identidad ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ·A) −∇2A se sigue:

∇ ×∇2A = ∇2∇ × A y ∇ · ∇2A = ∇2

∇ · A,

de modo que los operadores ∇· y ∇× conmutan con ∇2.

De las identidades para ∇ × (A ×B) y ∇(A ·B) se sigue:

∇ × (A ×B) + ∇(A ·B) = A(∇ ·B) −B(∇ ·A)

+ 2(B · ∇)A + A × (∇ × B)

+ B × (∇ × A)

Si A y B son vectores constantes, entonces: ∇(A ·B×r) = A×B


∇ ·A 6= A · ∇, ∇ × A 6= −A × ∇

∇ · (∇Φ × ∇Ψ) = 0

∇ × (ϕ ∇ϕ) = 0

∇ · (r/r3) = 0, r 6= 0

∇ · (r r3) = 6r3

∇2(ln r) = 1/r2

∇2rn = n(n+ 1)rn−2

∇2(φψ) = φ∇2ψ + 2∇φ · ∇ψ + ψ∇2φ

∇ ·`r∇(1/r2)

´= 3r−3

∇2`∇ · (r/r2)

´= 2r−4

∇ × (r × ∇ψ) = r∇2ψ −∇ψ − ∇(r · ∇ψ)

1.6. IDENTIDADES VECTORIALES 35

(A × ∇) · r = 0, (A × ∇) × r = −2A

∇2f(r) = d2f/dr2 + (2/r)df/dr. Evaluar f(r) si ∇2f(r) = 0.R

∇ϕ dV =Hϕ dS (Haga A = aϕ con a constante, en el teorema

de Gauss). De aca se sigue queHdS = 0: toda figura cerrada tiene

superficie (no area) nula.

RdS × ∇ϕ =

Hϕ dl (Haga A = aϕ con a constante, en el teorema

de Stokes). Se sigue queHdl = 0: la longitud vectorial de toda

trayectoria cerrada es cero.R

∇ × F dV =HdS × F (Haga A = a×F con a constante, en el

teorema de Gauss).

La condicion necesaria y suficiente para que las funciones u = u(r),v = v(r) y w = w(r) satisfagan la ecuacion f(u, v, w) = 0 es queel jacobiano ∇u · ∇v × ∇w sea cero.

Problemas: El potencial electrostatico de un dipolo electrico p es: φ =p · r/r3. Calcular el campo electrico E = −∇φ.

Problema: El campo magnetico es expresable como: B = ∇ × A. De-muestre que si B es constante entonces: A = 1

2B× r. Sugerencia:

utilice la identidad para ∇ × (B × r).

El vector potencial de un dipolo magnetico m es:

A(r) =µ0

4π

m× r

r3

Demuestre que su campo magnetico tiene la forma:

B(r) =µ0

4πr3[3r3(r ·m) − m]

En coordenadas cilındricas el potencial vectorial de un alambrelargo es:

A(r) = ezµ0i

2πln(ρ/ρ0)

Demuestre que el campo magnetico es:

B(r) = eϕµ0i

2πρ

Problema: En el exterior de cargas y corrientes los campos electromagneticosvariables con el tiempo del tipo E = E(r)eiωt, B = B(r)eiωt satisfacenla ecuacion de Helmholtz

(∇2 + k2)E = (∇2 + k2)B = 0.

Es cierto que ∇·E = 0 es satisfecho por el campo transverso E = r×∇ψ.En efecto, r ·E = 0.


Demostrar que E satisface la ecuacion de Helmholtz si ψ tambien lasatisface. Ahora, para campos con dependencia temporal eiωt la ley deinduccion de Faraday toma la forma: B = ic∇ × E/ω, de modo queel campo B correspondiente a E = r × ∇ψ es B = i∇ × (r × ∇ψ).De otro lado, el campo B satisface ∇ · B = 0, lo que permite escribirB = r × ∇ϕ. Este campo es transverso: r · B = 0. Utilizando la ley deAmpere-Maxwell con J = 0 demuestre que: E = −i∇×(r×∇ϕ)/ωµ0ε0.Ası, los campos armonicos E y B en el exterior de ρ y J se escriben:

E =

»r × ∇ψ − i

ωµ0ε0∇ × (r × ∇ϕ)

–eiωt

B =

»r × ∇ϕ+

i

ω∇ × (r × ∇ψ)

–eiωt

Problema: (a) Considere la ecuacion de ondas sin fuentes:

∇2ψ(r, t) − 1

v2ψ(r, t) = 0,

donde ψ(r, t) representa la segunda derivada temporal de un campoescalar real.

Multiplicando por ψ y haciendo uso de las identidades vectoriales ex-prese esta ecuacion en la forma de una ley de conservacion:

∇ · S +∂E∂t

= 0,

donde:

S = −Kψ∇ψ

E =K

2

»(∇ψ)2 +

1

v2ψ2

–

Esta expresion describe la conservacion de la energıa de las ondasescalares. S es el vector de Poynting, que da la densidad de flujo deenergıa de la onda (dE/dA dt) y E es su densidad volumetrica de energıa(dE/dV ). La constante K depende de las caracterısticas fısicas de laonda (en el aire, en los solidos...)

(b) En el caso de campos escalares complejos debemos asegurarnos deque S y E sean cantidades reales. Para ello multiplicamos la ecuacion deondas por ψ∗ y el complejo conjugado de la ecuacion de ondas por ψ.Demuestre que al sumar los resultados de estas operaciones se obtiene∇ · S + ∂E

∂t= 0, con

S = K(ψ∗∇ψ + ψ∇ψ∗) y

E = K

»1

2(∇ψ · ∇ψ∗ + ∇ψ∗ · ∇ψ) +

1

v2ψψ∗

–

Considere ψ = ψ0ei(k·r−ωt). Demuestre que de la ecuacion de ondas sesigue k = ω/v, y que E = 2kω2|ψ|2/v2 y S = 2kkω2|ψ|2/v. Demuestre

que, en consecuencia, S = kEv.

Problema: (a) Multiplicando la ecuacion de Schrodinger

− ~2

2m∇2Ψ(r, t) + V (r, t) Ψ(r, t) = i~

∂Ψ(r, t)

∂t

1.7. UNA APLICACION DEL TEOREMA DE STOKES 37

por ψ∗, multiplicando su compleja conjugada por ψ y restando ambasdemuestre que ∇ · J + ∂ρ/∂t = 0, donde

J =~2

2im[ψ∗

∇ψ − ψ∇ψ∗] y ρ = ψ∗ψ

J es la densidad de corriente de probabilidad y ρ es la densidadvolumetrica de probabilidad. La ecuacion ∇ · J + ∂ρ/∂t = 0 describe laconservacion de la probabilidad en mecanica cuantica. (b) Multi-plicando la ecuacion de Schrodinger por ψ∗, multiplicando su conjugadapor ψ y sumando ambas ecuaciones, con V independiente del tiempo,demuestre que: ∇ · S + ∂E/∂t = 0, donde S y E representan, respecti-vamente, la densidad de flujo de energıa y la densidad volumetrica deenergıa:

S = − ~2

2m(ψ∗

∇ψ + ψ∇ψ∗) y

E =~2

2m∇ψ · ∇ψ∗ + V ψ∗ψ

Este desarrollo se asocia a la conservacion de energıa en la mecanicacuantica.

1.7. Una aplicacion del teorema de Stokes

Campos conservativosSi un campo E tiene rotacional cero podemos escribir E = ∇η donde η es un

campo escalar, al que se conoce como potencial.

Evaluemos la integral de lınea del campo irrotacional E entre los puntos a y b:

∫ b

a

E · dl =

∫ b

a

∇η · dl =

∫ b

a

dη = η(b)− η(a)

donde hemos utilizado la ecuacion dη = ∇η · dl.La integral

∫ ba

E · dl con ∇×E = 0, es independiente del camino y depende solode los puntos inicial y final de la trayectoria.

Calculamos ahora∮

E · dl (integral sobre trayectoria cerrada) del campo E:∮

E · dl =

∫

acb

E · dl +

∫

bda

E · dl

= η(b)− η(a) + η(a)− η(b) = 0

∮E · dl =

∫

acb

E · dl +

∮

bda

E · dl = η(b)− η(a) + η(a)− η(b) = 0 ∴

∮E · dl = 0


b

a

E

dl

•

•

Figura 1.10: Trayectoria de una partıcula en un campo vectorial

b

a

E

c

d

Figura 1.11: Trayectoria cerrada de una partıcula en un campo vectorial

Como se ve, las cuatro siguientes expresiones son equivalentes∮

E · dl = 0 ,

∇×E = 0 , E = ∇η ,∫ baE · dl = η(b)− η(a).

Campos con esta caracterıstica se denominan conservativos y estan asociadossiempre a vectores polares (ver seccion 1.2.4). Los campos electrostatico y gravita-cional son conservativos. En ellos es cierto que el trabajo realizado para mover unapartıcula (carga o masa) a lo largo de una trayectoria cerrada es cero.

1.8. TRES TEOREMAS 39

Problemas: Demostrar que F = r2r y F = (2xy + z3 )i + x2 j + 3xz2kson campos conservativos. Hallar el potencial.

¿ Es F = (y2z3 cos x− 4x3z)i + 2z3y sen xj + (3y2z2 sen x− x4)kun campo conservativo? Si lo es halle el potencial.

Dado el campo vectorial A = (3x2 + 6y)i−14yzj+ 20xz2k, hallarla integral de lınea

RA · dl, desde (0, 0, 0) hasta (1, 1, 1), a lo largo

de la trayectoria x = t, y = t2, z = t3.

1.8. Tres teoremas

1.8.1. Teorema de Green

En el teorema de la divergencia:∫

∇ ·A dV =∮

A · dS hagamos A = ϕ∇ψ. Sesigue: ∇ ·A = ϕ∇ ·∇ψ+ ∇ϕ ·∇ψ, con lo cual obtenemos la primera identidad deGreen:

∫[ϕ∇2ψ + ∇ϕ ·∇ψ] dV =

∮ϕ∇ψ · dS =

∮ϕ∂ψ

∂ndS, dS = n dS (1.39)

donde: ∂ψ/∂n = ∇ψ · n es la derivada normal a la superficie.

Problema: Del teorema anterior demuestre la segunda identidad de Green:∫

[ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ] dV =

∮[ϕ∇ψ − ψ∇ϕ] · dS (1.40)

=

∮ [ϕ∂ψ

∂n− ψ∂ϕ

∂n

]dS (1.41)

1.8.2. Primer Teorema de Helmholtz

Un campo vectorial esta especificado de modo unico si se conocen su divergenciay su rotacional dentro de una region V y su componente normal sobre la fronteraS.

Queremos, por tanto, demostrar que si del campo vectorial A se conocen: ∇ ·A =ψ, ∇×A = b, A · n|S = f(r), entonces A es unico.

Con este proposito, asumiremos que existe un segundo campo A′ que satisfacelas tres ecuaciones anteriores: ∇ ·A′ = ψ, ∇×A′ = b, A′ · n|S = f(r).

Para el campo W = A′ −A es cierto que:

∇ ·W = 0, ∇×W = 0, W · n|S = 0.

De la ecuacion ∇ ×W = 0 se sigue: W = ∇η, y reemplazando en ∇ ·W = 0obtenemos: ∇2η = 0.

Ahora bien, de la primera identidad de Green, ec. (1.39), con φ = ψ = η :∫

[η∇2η + (∇η)2] dV =

∮η∇η · dS =

∮ηW · n dS


y como: W · n|S = 0, ∇2η = 0 y (∇η)2 = W 2, se sigue que:∫W 2 dV = 0, de donde

W = 0. En consecuencia A′ = A, lo que demuestra el teorema.

1.8.3. Segundo teorema de Helmholtz

Todo campo vectorial A cuya divergencia y rotacional se anulen en el infinitopuede expresarse como la suma de una parte irrotacional (o longitudinal) y otrasolenoidal (o transversa. Es decir:

A = AL + AT = ∇ϕ+ ∇× a (1.42)

En vez de deducir la forma (1.42) demostraremos que es posible, equivalentemente,expresar ϕ y a en terminos de A. Tomando la divergencia de (1.42): ∇2ϕ = ∇ ·A,cuya solucion (de acuerdo a la seccion 1.10) es:

ϕ(r) = − 1

4π

∫∇

′ ·A(r′)

|r− r′| dv′

y tomando el rotacional de (1.42): ∇×A = ∇× (∇× a) = ∇(∇ · a)−∇2a. En laultima ecuacion solo conocemos ∇× a, por lo cual, podemos imponer la condicion∇ · a = 0; tendremos:

∇2a = −∇×A,

cuya solucion es:

a(r) =1

4π

∫∇

′ ×A(r′)

|r− r′| dV ′.

Hemos de imponer la condicion de que ∇ · A y ∇ × A a gran distancia tiendana cero de modo suficientemente rapido, para garantizar la convergencia de las dosintegrales.

Por tanto ϕ y a pueden ser calculados a partir de A, lo que garantiza la forma(1.42).

En general, las componentes AL y AT difieren fısicamente. Por ejemplo, las veloci-dades de las ondas longitudinales y transversas en un medio elastico son diferentes(ver seccion 3.2.4).

La separacion en estas componentes tiene ventajas. Para AL es cierto que AL =∇φ, de modo que las tecnicas para resolver ecuaciones escalares pueden ser usadas.El trabajo mas difıcil estara en la componente transversa.

El campo a, asociado a AT en la forma: AT = ∇a, tiene a su vez partes longitudi-nal y transversa: a = aL+aT , pero al tomar el rotacional desaparece la contribucionde aL, de modo que AT = ∇ × aT ; en consecuencia a queda indeterminado en lacantidad aL que en principio puede ser cualquier vector que cumpla ∇ × aL = 0.Dada esta indeterminacion es usual imponer la condicion ∇ · a = 0 para fijar aL.

En efecto, puesto que aL satisface ∇ × aL = 0 es cierto que aL = ∇η y como∇·a = 0 se sigue:∇2η = 0. Podemos, en sıntesis escribir: a = ∇η+aT con ∇2η = 0.

1.9. DIADAS 41

1.9. Dıadas

Un campo vectorial en 3D se escribe:

A(r) =

3∑

i=1

Aiei ,

en tanto que un campo escalar se expresa como φ(r). Esto significa que un campoescalar no contiene vectores unitarios y se determina con un solo numero en cadapunto del espacio, en tanto que un campo vectorial esta asociado a una direccion yse especifica con 3 cantidades Ai en cada punto. Un vector es una forma lineal enei.

Estas nociones pueden ampliarse para definir cantidades, conocidas como Dıadas,asociadas a eiej : una dıada es una forma bilineal, que tiene la forma general:

T =3∑

ij=1

Tij eiej

Las dıadas permiten describir cantidades fısicas asociadas a dos direcciones, comoes el caso de los esfuerzos. En particular, si nos restringimos al plano xy (el vectorde superficie es dS3) resulta que sobre el pueden ejercerse acciones como presion(direccion 3) y esfuerzos tangenciales (en direcciones 1 y 2); ası, podemos escribirT33, T31, T32, donde el primer ındice se refiere a la direccion de la superficie y elsegundo a la direccion de la fuerza. En general, y considerando las demas direcciones,resulta un conjunto Tij de 9 componentes que conforma la dıada de esfuerzos T.

yx

z

T11

T13

T12T22

T31

T23T21

T32

T33

Figura 1.12: Esfuerzos en un solido


Las operaciones basicas con dıadas se realizan sin dificultad:

• T ·A =∑

ij

eiejTij ·∑

k

ekAk =∑

ijk

eiej · ekTijAk

=∑

ijk

eiδjkTijAk =∑

ij

eiTijAj ,

de modo que el producto escalar de una dıada y un vector produce un vector.Observese que el producto escalar entre vectores se forma con aquellos que sean

contiguos: eiej · ekel = eiel.

• T×A =∑

ijk

ei(ej × ek)TijAk =∑

ijkl

eiεjklelTijAk

6= A× T

Ası, el producto vectorial de una dıada y un vector produce una dıada.

• T · V =∑

ij

eiejTij ·∑

kl

ekelVkl =∑

ijkl

ei(ej · ek)elTijVkl

=∑

ilk

eielTikVkl.

Podemos definir el doble producto escalar en la siguiente forma:

eiej : ekel = (ej · ek)(ei · el) = δjkδil

Ası pues, el doble producto escalar entre dıadas es un escalar:

T : V =∑

ik

TikVki

Es facilmente demostrable que:

A · T ·B = BA : T = T : BA

La cantidad AB, conocida como producto diadico, es una dıada:

AB =∑

i

eiAi∑

j

ejAj =∑

ij

eiejAiBj

Una dıada de interes particular es conocida como la identidad, y satisface:

I ·A = A · I = A;

1.9. DIADAS 43

en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas se escribe:

I = ii + jj + kk

= eρeρ + eφeφ + ezez

= erer + eθeθ + eφeφ

Problemas: Demuestre que en general A · T = T · A solo si T es unadıada simetrica, esto es, si T = eT, con eT =

Pij eiejTji.

Demuestre que si T es una dıada antisimetrica:

A · T = −T ·A, y A · T · A = 0

Demuestre que A · T ·B es un escalar.

Utilizando las derivadas de los vectores unitarios en coordenadasesfericas y cilındricas, desarrolladas al final de la seccion 1.2.1,demuestre que ∇r = I

Utilizando las reglas de transformacion de los vectores unitariosentre coordenadas cartesianas y esfericas demuestre que:

I = ii + jj + kk = er er + eθ eθ + eϕeϕ

Esto prueba la invarianza de la dıada identidad bajo la transfor-macion de coordenadas.

Demuestre el siguiente teorema: todo vector A en 3D puede de-scomponerse, respecto a un plano cuya normal es hatn, en dospartes, una perpendicular al plano y de magnitud A · n y otra At

que se situa en el plano: A = (A·n)n+At = (A·n)n+A·(I−nn)

Evalue bs∇A, si A = 3yi + 2zj + xk

Problemas: En coordenadas cartesianas demuestre que:

∇r = I

I · I = I

I : I = 3

A · (T · B) = (A · T) ·BSi T es una dıada diagonal constante, la expresion r · T · r = 1describe elipsoides o hiperboloides de una o dos hojas. r ·T · r = 0representa un cono, si los signos no son todos los mismos.

El gradiente de un vector es una dıada.

La divergencia de una dıada es un vector.

El rotacional de una dıada es una dıada.

El gradiente del gradiente de un escalar es una dıada.


Problema: Demuestre las siguientes identidades utilizando coordenadascartesianas (son validas tambien en coordenadas curvilıneas ortogo-nales):

∇ · (AB) = B(∇ ·A) + (A · ∇)B

∇ · (φT) = φ∇ · T + ∇φ · T

∇ × (AB) = (∇ ×A)B − (A × ∇)B

∇ · (T ×A) = (∇ · T) ×A − (eT · ∇) ×A;

eT es el transpuesto de T:

eT =X

ij

eiejTji

∇ · (A × T) = (∇ × A) · T − A · (∇ × T)

∇ · (A · T) = A · (∇ · eT) + T : (∇A)

∇ · (T ·A) = (∇ · T) ·A + eT : (∇A)

∇(T ·A) = ∇T ·A + ∇A · T

∇(T : R) = ∇T : R + ∇R : T

∇ · (T · R) = (∇ · T) · R + eT∇ : R

∇ × (A · T) = (∇ × eT) ·A + (∇ ×A) · T

∇(A · T ·B) = ∇A · T ·B + ∇eT : AB + ∇B · eT ·A∇(rnr) = I rn + nrn−2rr

Problema: En medios electricamente anisotopicos la conexion entre el campoelectrico E y el vector de desplazamiento D tiene la forma: D = E · E,donde E es la dıada de permitividad. Demuestre que Di =

Pj EijEj , y

que en medios isotropicos E = εI, donde ε es el escalar de permitividad.

Ejercicio: Demostrar que T es invariante bajo transformaciones coordenadas.

De las reglas de transformacion se sigue:

T′ =X

ij

e′ie′jT

′ij

=X

ijklmn

aikajlekelaimajnTmn

=X

kl

ekelTkl = T

Problema: Probar que las componentes T12, T23, T31 de una dıada se trans-forman bajo reflexion del eje x como: T ′

12 = −T12, T ′23 = T23,T ′

31 =−T31. Esto implica que estas tres componentes de la dıada se trans-forman como las componentes de un vector axial. De hecho, si T esuna dıada antisimetrica, solo tendra tres componentes no nulas, conlas cuales podemos construir un vector axial A, en la forma: A1 =T23, A2 = T31, A3 = T12, o, en general: Ai = 1

2

Pjk εijk

Tjk .

1.9. DIADAS 45

Problema: El cuadrupolo electrico de una distribucion de carga ρ(r) es unadıada simetrica Q definida como

Q =

Zρ(r)[3rr − r2I] dV

donde I es la dıada identidad.

Demuestre que la traza de Q es cero:P3i=1Qii = 0

El potencial electrostatico de la distribucion se escribe:

φ(r) =r · Q · r

2r5

Calcule el campo electrostatico.

Ejercicio: Como una aplicacion importante de la teorıa de dıadas esta la ecuacionde ondas anisotropica, que describe la propagacion de ondas luminosas es-calares en medios cristalinos, en los que la velocidad de propagacion es difer-ente para cada eje cristalino, existiendo por tanto tres ındices de refraccion.Esta es la base de la optica escalar. La ecuacion anisotropica con fuente f(r, t)para el campo de ondas escalares Φ es:

A : ∇∇Φ(r, t)− 1

c2∂2Φ(r, t)

∂t2= f(r, t)

En la dıada simetrica A esta contenida la informacion sobre la anisotropıa einhomogeneidad del medio. En general, A puede ser funcion de la posicion ydel tiempo.

No lo demostraremos aquı, pero es cierto que es siempre posible reorientar elsistema de coordenadas de forma tal que A logre una forma diagonal. (Unaforma simple de comprenderlo es la siguiente: los elementos de una dıada sonequivalentes a elementos matriciales y sabemos que toda matriz simetrica esdiagonalizable). Con ∂i ≡ ∂/∂xi y Φ ≡ ∂2Φ/∂t2 podemos entonces escribir:

3∑

i=1

Aii∂2i Φ(r, t)− 1

c2Φ(r, t) = f(r, t)

Consideremos, en particular, la propagacion de una onda luminosa en direc-cion x y en ausencia de fuentes; si c es la velocidad de la luz en el vacıotendremos:

A11∂21Φ(r, t)− 1

c2Φ(r, t) = 0,

de modo que v1 = c√A11 corresponde a la velocidad de la luz en la direccion

x, en la que el ındice de refraccion es: n1 = c/v1 = 1/√A11. Analogamente:

n2 = 1/√A22, n3 = 1/

√A33.


Problema: Considere la ecuacion de ondas anisotropica para un campo es-calar complejo. Demuestre que la conservacion de la energıa toma laforma usual: ∇ · S + ∂E/∂t = 0 con

S = −KA ·“ψ∗

∇ψ + ψ∇ψ∗”

E = K

»1

2A : (∇ψ∇ψ∗ + ∇ψ∗

∇ψ) +1

v2ψψ∗

–

Demuestre, utilizando una onda plana ψ = ψ0ei(k·r−ωt), que la direccionde propagacion de la energıa no es la direccion k de propagacion de losfrentes de onda, sino A ·k. Utilizando la ecuacion de ondas anisotropicademuestre, ademas, que A : ∇∇ψ = −kkψ. ¿Cual es la conexion entreS y E?

Problema: La conservacion del momento lineal del campo de una on-da escalar real puede ser deducida multiplicando la ecuacion de ondasPi ∂i∂iψ − ψ/v2 = 0 (donde ∂i = ∂/∂xi y ψ = ∂2ψ/∂t2) por ∂jψ.

Demuestre que

X

i

»∂j(∂iψ∂jψ) − 1

2∂j(∂iψ∂iψ)

–− ∂

∂t

„1

v2ψ∂jψ

«+ ∂j

ψ2

2v2

!= 0

que en forma compacta toma la forma:

∇ ·"∇ψ∇ψ +

I

2

ψ2

v2− (∇ψ)2

!#+

∂

∂t

− ψ∇ψ

v2

!= 0.

Esta ecuacion tiene la forma de una ley de conservacion, que correspondea la de momento lineal: ∇ · T + ∂g/∂t = 0, donde

T = α

"∇ψ∇ψ +

I

2

ψ2

v2− (∇ψ)2

!#

es la dıada de esfuerzos, que describe la densidad de flujo de momentolineal, y

g = −α"ψ∇ψ

v2

#

es la densidad volumetrica de momento lineal. La constante α, depen-diente de las propiedades fısicas del campo, balancea dimensionalmentela ecuacion.

Demuestre que para la ecuacion de ondas anisotropica y compleja escierto que:

T =α

2

hA · (∇ψ∇ψ∗ + ∇ψ∗

∇ψ) + I(ψψ∗ − ∇ψ∇ψ∗ : A)i

g = − α

2v2

hψ∗

∇ψ + ψ∇ψ∗i

1.9. DIADAS 47

Problema: Utilizando las formas de ∇ y A en coordenadas esfericas, juntocon las derivadas parciales de los vectores unitarios, estudiadas en elultimo problema de la seccion 1.2.1, demuestre que:

∇A = er er∂rAr + er eθ∂rAθ + er eϕ∂rAϕ

+ eθ er(∂θAr −Aθ) + eθ eθ(∂θAθ + Ar) + eθ eϕ∂θAϕ

+ eϕer(∂ϕAr −Aϕ sen θ) + eϕeθ(∂ϕAθ − Aϕ cos θ)

+ eϕeϕ(∂ϕAϕ + Ar sen θ + Aθ cos θ)

Teoremas integrales diadicos

Ası como las identidades vectoriales tienen su correspondiente extension haciadıadas, hay tambien teoremas integrales que involucran dıadas. Ası por ejemplo, apartir del teorema de la divergencia

∫∇ ·A dV =

∮dS ·A,

y con A = T · a, donde T es un campo diadico y a es un vector constante (encoordenadas cartesianas), es posible demostrar que el teorema de Gauss para ladıada T tiene la forma: ∫

∇ · T dV =

∮dS · T.

Tambien es cierto que :∫

∇× T dV =

∮dS× T

∫dS ·∇× T =

∮dl · T

La ultima ecuacion corresponde a la version diadica del teorema de Stokes.Puede demostrarse que los tres teoremas integrales son validos en coordenadas

curvilıneas ortogonales.Desarrollaremos a continuacion algunos teoremas integrales que son de utilidad

en el estudio de las funciones de Green diadicas.Del teorema de la divergencia para la dıada T:

∫∇ · T dV =

∮dS · T se sigue:

A) Con T = AB:

∫[B(∇ ·B) + (A ·∇)B] dV =

∮(n ·A)B dS (1.43)

B) Con T = A× U :

∫[(∇×A) · U−A · (∇× U)] dV =

∮n · (A× U) dS

=

∮(n×A) · U) dS (1.44)


En el ultimo paso hemos tenido en cuenta la identidad B · (A× U) = B× (A · U).C) Con T = φG:

∫[φ∇ ·G + ∇φ ·G] dV =

∮n · Uφ dS (1.45)

Formas multilineales en fısica

Las propiedades electromagneticas y opticas de los materiales cristalinos son engeneral anisotropicas, esto es, varıan con la direccion. Su descripcion puede hacerseen forma concisa utilizando formas multilineales.

Consideremos, por ejemplo, la conductividad electrica. Cuando un conductorcristalino es colocado en un campo electrico aparece en su interior una corrientecuya intensidad depende crıticamente de la direccion y de la intensidad del campoelectrico. Una forma suficientemente general de la ley de Joule tiene la forma:

Ji =∑

j

σijEj +

∑

jk

σijkEjEk +

∑

jk

σijkl

EjEkEl + · · ·

El primer termino es lineal en el campo electrico y contiene una forma bilineal(dıada o tensor de segundo orden) σ

ijcon 9 componentes. El segundo termino es

cuadratico en el campo y contiene una forma trilineal (o tensor de tercer orden)σ

ijkde 27 componentes y el tercero, cubico en el campo, contiene el tensor de

cuarto orden σijkl

de 81 componentes. Estos numeros pueden ser reducidos medianteconsideraciones termodinamicas que hacen simetricos los coeficientes; si se toma encuenta la simetrıa de los cristales el numero de elementos independientes puede serreducido aun mas.

En la siguiente lista aparecen algunos fenomenos y sus leyes en terminos de ten-sores de diverso orden. Nos restringimos a la aproximacion lineal:

Efecto piroelectrico: generacion de calor por polarizacion de un material: Pi =αiT , donde T es la temperatura absoluta y P la polarizacion.

Conductividad electrica: Ji =∑j σijEj .

Conexion entre campo electrico y polarizacion: Pi =∑j χ

(e)ij Ej .

Conexion entre campo magnetico y magnetizacion: Mi =∑

j χ(m)ij Hj .

Efecto Seebeck: Un campo electrico puede generar gradientes de temperatura:(∇T )i =

∑j αijEj .

Efecto piezoelectrico: Los esfuerzos σjk ejercidos sobre un solido pueden gener-ar polarizacion: Pi =

∑jk αijkσjk .

1.10. DELTA DE DIRAC 49

Efecto piezoelectrico inverso: cuando un material se polariza se deforma: εij =∑k αijkPk. El tensor de deformacion es εij .

Magnetostriccion: deformacion producida en un material por un campo magnetico:εij =

∑k δijkBk.

Magneto-resistividad: Ji =∑jkl fijklEjBkBl.

Expansion termica: el calentamiento de un material genera deformacion: εij =αij∆T.

Ley de Hooke: los esfuerzos ejercidos sobre un material generan deformacion:σij =

∑kl γijklεkl.

1.10. Delta de Dirac

El sımbolo delta de Kronecker δij que hemos utilizado hasta ahora tiene valores1 o 0, para i, j = 1, 2, 3. Es posible generalizarlo para incluir valores enteros de i, jentre −∞ e ∞.

Dirac propone una nueva delta que seleccione cualquiera de los numeros reales.Es decir, pretende una extension al continuo de la delta de Kronecker.

La delta de Dirac puede introducirse a partir de la consideracion de la curvagaussiana:

fα(x) =α√πe−α

2x2

Esta curva tiene area unidad, para cualquier valor del parametro α de 0 a ∞. Lasecuencia, para valores cada vez mayores de α, es como sigue:

Figura 1.13: Secuencia de gaussianas

Se logra una curva progresivamente mas alta y mas estrecha. En el lımite α→∞la gaussiana se convierte en una curva infinitamente alta e infinitamente estrechade area 1.


Definimos la delta de Dirac, entonces, como

δ(x) = lımα→∞

α√πe−α

2x2

resultando que

δ(x) →∞ si x→ 0

δ(x) = 0 si x 6= 0

Esto significa que δ(x) es una funcion patologica; estrictamente hablando no es unafuncion, sino una distribucion.

En forma mas general, desplazando a x0 el pico de la gaussiana, tendremos:

fα(x) =α√πe−α

2(x−x0)2

∴ δ(x− x0) = lımα→∞

α√πe−α

2(x−x0)2

,

siendo cierto que

∫ ∞

−∞δ(x− x0) dx = 1.

Este proceso de lımite puede realizarse tambien con otras funciones de area 1 queexhiben un pico definido en x = 0. Es cierto ası que

δ(x) = lımα→∞

α

π

1

1 + α2x2, δ(x) = lım

α→∞

senαx

πx

Una forma bastante simple que da lugar a una δ(x) es un rectangulo de base 1/ε yaltura ε. El area es obviamente 1. A medida que ε aumenta disminuye el tamano dela base pero aumenta la altura manteniendo constante el area. En el lımite ε −→∞se consigue una aguja vertical infinitamente alta y de area 1.

En forma general, y sin acudir a funciones especıficas como las cuatro propuestasantes, definimos la delta de Dirac, real y simetrica, mediante la siguiente propiedadselectiva:

∫ ∞

−∞f(x)δ(x − x0) dx = f(x0) (1.46)

Ası pues, al realizar la integral, la delta selecciona entre todos los valores posiblesde una funcion arbitraria f(x) su valor en x = x0. Esta propiedad es la analoga,en el continuo, a la ecuacion

∑i aiδij = aj que selecciona una sola componente del

vector a.


Notese que si f(x) = 1 se sigue que el area bajo la delta es 1.Como una aplicacion de la ec (1.46) volvamos al caso de la funcion gaussiana:

∫ ∞

−∞f(x)δ(x − x0)dx = lım

α→∞

α√π

∫ ∞

−∞e−α

2(x−x0)2

f(x) dx

= lımα→∞

α√πf(x0)

∫ ∞

−∞e−α

2(x−x0)2

dx

= f(x0)

Ahora, debido a que δ(x − x0) existe solo en el punto x = x0, es cierto que

∫ ∞

−∞f(x)δ(x − x0) dx =

∫ x=x0+ε

x=x0−εf(x)δ(x − x0) dx

∫ b

a

f(x)δ(x − x0) dx =

f(x0) si a ≤ x0 ≤ b0 si x0 > b o x0 < a

∫ x

−∞δ(x− x0) dx =

0 si x < x0

1 si x ≥ x0

Esta ultima integral se conoce como funcion paso, o escalon, o funcion de Heaviside,y se escribe:

θ(x− x0) =

∫ x

−∞δ(x − x0) dx

tal que dθ(x− x0)/dx = δ(x− x0).En forma de integral de Fourier, como se explica en el capıtulo 5, una repre-

sentacion muy util es la siguiente:

δ(x − x0) =1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x0) dk

θ(x− x0) =1

2πi

∫ ∞

−∞

eik(x−x0)

kdk

Propiedades: Las mas notables son las siguientes:

δ(x − x0) tiene unidades de (longitud)−1 si x es longitud, y es adimen-sional si x lo es.


δ(x− x0)

×a x0

×b

Figura 1.14: Delta de Dirac

θ(x − x0)

1

x0

x

Figura 1.15: Funcion paso

∫∞−∞ f(x) ddxδ(x− x0) dx = −

(df(x)dx

)

x=x0

∫∞−∞ f(x) d

n

dxn δ(x − x0) dx = −(−)n(dnf(x)dxn

)

x=x0

∫∞−∞ f(x)δ[g(x)] dx =

∑Nk=0

[f(x) |dg(x)/dx|−1

]

x=xk

, donde xk son las

N raıces de g(x) = 0; exigimos g(xn) 6= 0.

g(x)δ(x − x0) = g(x0)δ(x− x0)

δ(ax) = δ(x)/|a|xδ(x) = 0


f(x)δ(x − x0) = f(x0)δ(x− x0)ddxδ(x− x0) = − d

dxδ(x0 − x)x ddxδ(x) = −δ(x)

x2 ddxδ(x) = 0

xm+1 dm

dxm δ(x) = 0

δ(x− x0) = δ∗(x− x0) = real∫∞−∞ δ(x− x′)δ(x′ − x′′) dx′ = δ(x − x′′)∫∞−∞

dm

dxm δ(x− x′) dn

dxn δ(x′ − x′′) dx′ = dm+n

dxm+n δ(x− x′′)δ(x− x0) describe el plano x = x0.

δ(x−x0)δ(y−y0) describe la lınea que es interseccion de los planos x = x0

y y = y0.

δ(x− x0)δ(y − y0)δ(z − z0) describe un punto que es interseccion de lostres planos perpendiculares.

δ(r− r0) = δ(x − x0)δ(y − y0)δ(z − z0)∫f(r)δ(r− r0) dV = f(r0)

La ultima ecuacion es valida en coordenadas curvilıneas, si se define apropiadamenteδ(r− r′), que en coordenadas cartesianas esta dada por la penultima ecuacion. Encoordenadas esfericas y cilındricas tenemos:

δ(r− r′) =1

r2δ(r − r′)δ(cos θ − cos θ′)δ(ϕ − ϕ′)

δ(r− r′) =1

ρδ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′)δ(z − z′)

con∫ ∞

0

δ(r − r′) dr = 1,

∫ π

0

δ(cos θ − cos θ′) sen θ dθ = 1

∫ 2π

0

δ(ϕ− ϕ′) dϕ = 1,

∫ ∞

0

δ(ρ− ρ′) dρ = 1

Problema: Demuestre queRf(r)∇δ(r − r′) dV = − (∇f(r))

r=r′

Problema: Evalue Zf(r)δ(r − a) , dV

Zf(r)∇δ(r − a) dV y

Zf(r)∇∇δ(r − a) dV

si f(r) = x2 + 2y2 + 3z2 y a = 2i + 5j + 7k.


Las propiedades de la delta de Dirac pueden ser probadas rigurosamente pormedio de la Teorıa de Distribuciones. Pueden tambien ser probadas formalmente,aunque no de modo riguroso, mostrando que las integrales del producto con f(x)son iguales para cualquier f(x) suficientemente regular, como lo veremos en losejercicios siguientes.

Ejercicios: Demostracion de tres identidades:

(a) Con y = |a|x podemos escribir:

∫ ∞

−∞δ(ax)f(x) dx =

∫ ∞

−∞δ(y)f(y/|a|) dy/|a|

=1

|a|

∫ ∞

−∞δ(y)f(y/|a|) dy =

f(a)

|a|

=

∫ ∞

−∞δ(x)f(x) dx,

ası pues:

δ(ax) =1

|a|δ(x)

El valor absoluto ha sido introducido en el cambio de variable y = |a|x ya queδ(ax) = δ(−ax).

(b) Para la siguiente demostracion dividimos el intervalo (−∞,∞) en dos partes:(−∞, 0)+(0,∞), a continuacion usamos el resultado del ejercicio (a), y la propiedad


selectiva de la delta.∫ ∞

−∞δ(x2 − a2)f(x) dx =

∫ ∞

−∞δ[(x+ a)(x − a)]f(x) dx

=

∫ 0

−∞δ[(x+ a)(x − a)]f(x) dx

+

∫ ∞

0

δ[(x+ a)(x − a)]f(x) dx

=

∫ 0

−∞δ(x+ a)

f(x)

|x− a| dx

+

∫ ∞

0

δ(x− a) f(x)

|x+ a| dx

=1

2|a|f(−a) +1

2|a|f(a)

=1

2|a|

∫ ∞

−∞f(x)δ(x + a) dx

=1

2|a|

∫ ∞

−∞f(x)δ(x − a) dx

por tanto:

δ(x2 − a2) =1

2|a| [δ(x + a) + δ(x− a)]

(c) En el ejercicio anterior x = a y x = −a son las dos raıces de x2 − a2 =0. Una generalizacion incluirıa, en la integral

∫∞−∞ f(x)δ[g(x)] dx, todas las raıces

x0, x1, x2 · · · de g(x) = 0. Podemos, por tanto, escribir g(x) = (x − x0)h0(x) =(x − x1)h1(x) = · · · . Ası pues, en el caso en que el argumento de la delta no es lavariable de integracion x sino una funcion g(x) tendremos:

∫ ∞

−∞f(x)δ[g(x)] dx =

∫ x0+ε

x0−εf(x)δ[(x − x0)h0(x)] dx

+

∫ x1+ε

x1−εf(x)δ[(x − x1)h1(x)] dx + · · ·

=

∫ x0+ε

x0−ε

f(x)

h0(x)δ(x− x0) dx

+

∫ x1+ε

x1−ε

f(x)

h1(x)δ(x− x1) dx

=f(x0)

h0(x0)+

f(x1)

h1(x1)+ · · · =

N∑

k=0

f(xk)

hk(xk)


y como dg(xk)/dxk = hk(xk), entonces:

∫ ∞

−∞f(x)δ[g(x)] dx =

N∑

k=0

[f(x)

(dg(x)

dx

)−1]

x=xk

Una aplicacion

La delta de Dirac puede utilizarse para describir distribuciones de carga electrica omasa. Afirmamos que: toda distribucion de carga, ya sea puntual, lineal o superficial,es equivalente a una distribucion volumetrica. Lo probaremos en casos particulares.• Para una carga puntual localizada en r0: q =

∫ρ(r) dV , y puesto que

∫δ(r−

r0) dV = 1 se sigue:

q = q × 1 = q

∫δ(r− r0) dV =

∫ρ(r) dV,

de donde:

ρ(r) = qδ(r− r0)

• Una porcion de una lınea de carga λ(z), paralela al eje z, y que pasa por elpunto (x0, y0), tiene una carga:

q =

∫ρ(r) dV =

∫λ(z) dz =

∫λ(z) dz

∫δ(x− x0) dx

∫δ(y − y0) dy

, por lo cual:

ρ(r) = λ(z)δ(x− x0)δ(y − y0)

• Para una placa plana colocada en el plano z = z0, con densidad superficialde carga σ(x, y), es cierto que:

ρ(r) = σ(x, y)δ(z − z0)

• Para un anillo de carga de radio R y densidad lineal λ(ϕ), localizado en elplano z = 0:

ρ(r) = λ(ϕ)δ(ρ −R)δ(z)

• Para un disco de radio R y densidad superficial σ(ρ, ϕ), colocado en z = 0:

ρ(r) = σ(ρ, ϕ)δ(z)

• Para un cascaron esferico de radio R y densidad superficial σ(θ, ϕ):

ρ(r) = σ(θ, ϕ)δ(r −R)

1.11. ANGULO SOLIDO 57

Nota: Distribuciones

Denotemos por ϕ(xn) una funcion de n variables continuas x1, · · · , xn, con derivadasde todos los ordenes respecto a estas variables. Por definicion, una distribucion T [ϕ]es una funcional lineal y continua de las funciones ϕ. Linealidad significa que

T [λ1ϕ1 + λ2ϕ2] = T [λ1ϕ1] + T [λ2ϕ2]

Continuidad significa: para cada secuencia ϕ1, · · · , ϕn, tal que lımi−→∞ ϕi = ϕ secumple que

lımi−→∞

T [ϕi] = T [ϕ]

Mas detalles en Messiah, pag. 462.

1.11. Angulo solido

Ante todo introduzcamos la nocion de angulo plano diferencial dθ, definido comoun vector perpendicular al plano en el que se situan el radio vector r y el diferencialde lınea dr. De la definicion de elemento diferencial de superficie: dS = 1

2r × dr =

k 12r(r dθ) = k 1

2r2 dθ = 1

2r2 dθ:

dθ =r× drr

De acuerdo a la seccion 1.2.3 el angulo plano es un vector axial. Se sigue:

dθ × r = dr− r(r · dr)r2

, de donde:

dr = dθ × r +r(r · dr)r2

En el caso particular en que dr ⊥ r (correspondiente a una trayectoria circular)tendremos:

dr = dθ × r

El angulo dθ = |dθ| existe en el plano.En el espacio, definimos el angulo solido diferencial dΩ, asociado al area diferencial

dS, en la forma:

dΩ =r · dSr2

=dSrr2

donde dSr es la proyeccion de dS a lo largo de r, de modo que el elemento diferencialdSr es perpendicular a r. El angulo solido es una cantidad pseudoescalar (ver seccion


dθ

r

drθ

Figura 1.16: Angulo plano

1.2.3). Recuerdese que el producto escalar de un vector polar (r) y un vector axial(dS) es un pseudoescalar. En coordenadas esfericas:

dΩ =dSrr2

= sen θ dθ dϕ (1.47)

0.5 cmSi el angulo solido esta asociado a una superficie cerrada podemos distinguir dos

casos:1) El punto O esta en el interior. Realizando la integracion sobre toda la superficie:

Ω =

∫ θ=2π

θ=0

∫ ϕ=2π

ϕ=0

sen θ dθdϕ = 4π

El resultado, Ω = 4π, es independiente de la forma de la superficie cerrada. Decimosque el espacio completo subtiende un angulo de 4π estereoradianes, ası como elplano subtiende un angulo de 2π radianes.

2) Si el punto O esta en el exterior, la superficie cerrada puede separarse en dospartes: una para la cual en cada punto r · n < 0 y otra para la cual r · n > 0. Resultaque Ω puede separarse en parejas de elementos como el asociado a dS1 y a dS2 quesubtienden el mismo angulo solido pero con valores opuestos de r · n. El resultadoes:

Ω =

∮dS · rr2

=

∫

S1

dS1 · rr2

=

∫

S2

dS2 · rr2

= −∫

S1

dS1r

r2+

∫

S2

dS2r

r′2= 0

1.11. ANGULO SOLIDO 59r

n

dS

Figura 1.17: Angulo solido

Ası pues:

Ω =

∮dS · rr2

=

4π si O esta dentro de S.0 si O esta fuera de S.

En forma mas general, si el punto O’, desde el cual se traza el angulo solido, esta enr′, es decir, si no coincide con el origen de coordenadas O:

Ω =

∫dS · (r− r′)

|r− r′|3 = 4π

∫δ(r− r′) dV (1.48)

donde δ(r− r′) = 0 si r′ esta fuera del volumen.

Problema: ¿Cual es el angulo solido que subtiende la cara visible de laluna, vista desde la tierra, si su ancho angular es 0,5 grados?

Demostrar que el angulo solido subtendido por el cono de aberturaθ en coordenadas esfericas es Ω = 2π(1 − cos θ).

Hallar el angulo solido, medido desde el orıgen coordenado, quesubtiende el rectangulo situado en el plano y = b y limitado porlas lıneas x = −a, x = a, z = −c, z = c.


O

dS2

dS1

•

•

Figura 1.18: Angulo solido medido desde el exterior de una superficie cerrada

rr′

0

0′

r− r′

dΩ•

Figura 1.19: Geometrıa de un angulo solido

1.12. CONSTRUCCION DE SISTEMAS COORDENADOS 61

Una aplicacion

Lo anterior puede utilizarse para la demostracion de un teorema bastante util enteorıa de campos. Consideremos un campo vectorial

B(r) = ∇

(1

|r− r′|

)= − r− r′

|r− r′|3

Reemplazando en el teorema de la divergencia y segun (1.48):

∫∇ ·B dV =

∫∇2

(1

|r− r′|

)dV

=

∮B · dS = −

∮(r− r′) · dS|r− r′|3

= −4π

∫δ(r − r′) dV

En consecuencia:

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ(r− r′) (1.49)

Este resultado es la ecuacion de Poisson para el potencial generado por una partıculapuntual con carga (o masa) de magnitud 1. Como es bien sabido, el potencial es eneste caso 1/|r− r′|.

Problema: Demuestre que el potencial

ϕ(r) =

Zf(r′)

|r− r′|dV ′

satisface la ecuacion de Poisson:

∇2ϕ(r) = −4πf(r)

1.12. Construccion de sistemas coordenados

Para construir un sistema de coordenadas en un espacio euclidiano basta con-tar con una familia de curvas planas, definida en forma tal que a cada valor de unparametro le corresponda una curva. La teorıa vista en la seccion 1.4.1 permite con-struir una familia de curvas ortogonales a la familia original. De este modo se obtieneun sistema de coordenadas curvilıneas ortogonales en el plano. Por rotacion o adi-cion del eje z pueden generarse sistemas coordenados en 3-D. Ası, las coordenadascilındricas y esfericas pueden ser obtenidas de las coordenadas polares incluyendoel eje z o rotando alrededor del eje y.


1.12.1. Coordenadas parabolicas cilındricas

La ecuacion de la familia de parabolas confocales, cuyo foco coincide con el origende coordenadas tiene la forma:

y2 = 4p(p+ x) (1.50)

La cuspide de estas parabolas apunta a la izquierda. Para cada valor de p : 0 −→∞, hay una parabola. El conjunto de parabolas con diferente p pero el mismo focoes confocal. Si escribimos

f(x, y) = y2 − 4p(p+ x)

tendremos que∇f = −4p ex + 2yey (1.51)

es un vector perpendicular a la curva (1.50), para un valor especıfico de p. Con elfin de que ∇f sea perpendicular a todas las parabolas debemos eliminar p, de (1.51)

usando la ecuacion (1.50). Se sigue que: 2p = −x +√x2 + y2 para p ≥ 0, por lo

cual:∇f = −2

(−x+

√x2 + y2

)ex + 2yey

La ecuacion de las curvas ortogonales a la familia de parabolas es: ∇f × dr = 0,de donde se sigue, con dr = exdx+ eydy :

ydx+(−x+

√x2 + y2

)dy = 0

Si hacemos: y = vx tendremos

dv

v

[1− 1√

1 + v2

]+dx

x= 0,

de dondey2 = 4c(c− x) (1.52)

Esta es otra familia de parabolas confocales cuya cuspide apunta a la derecha.Usaremos c ≥ 0. Con las familias (1.50) y (1.52) definimos las coordenadas paraboli-cas. Para cada pareja (p, c) hay un pareja de parabolas ortogonales que se cruzanen un punto al que llamaremos (p, c), correspondiente a (x, y). Por definicion lascoordenadas parabolicas planas (η, ξ) son:

2p = η2, 2c = ξ2.

La regla de transformacion entre coordenadas cartesianas y parabolicas planastiene entonces la forma:

x = (ξ2 − η2)/2, y = ηξ


ξ = 0

ξ =5/2

ξ =5/

2

η = 0

η =5/

2

η=

5/2

eη eξ

Figura 1.20: Coordenadas parabolicas

Escogemos η : 0 −→ ∞. Con el fin de lograr que y = ηξ pueda tomar valoresnegativos hemos de escoger ξ = −∞ −→∞.

Definimos las coordenadas parabolicas cilındricas adicionando la coordenadacartesiana z a las coordenadas parabolicas planas (η, ξ). En este caso:

r = ix+ jy + k

=i

2(ξ2 − η2) + jηξ + kz,

de modo que, de acuerdo a (1.4), los factores de escala son:

hξ = hη =√ξ2 + η2, hz = 1

Si en vez de adicionar la coordenada z realizamos una rotacion de las coordenadasparabolicas planas alrededor del eje x obtendremos, en vez de y, dos nuevos ejes y


y z y una nueva coordenada ϕ, tal que: y = ηξ cosϕ y z = ηξ senϕ. Esta rotacionda lugar a dos familias de paraboloides de revolucion que originan un sistema decoordenadas parabolicas.

En este caso, y despues de reemplazar x −→ z, y −→ x, z −→ y podemos escribir:

x = ηξ cosϕ, y = ηξ senϕ, z = (ξ2 − η2)/2

con: 0 ≤ ξ <∞, 0 ≤ η <∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Es facil demostrar que

hξ = hη =√ξ2 + η2, hϕ = ηξ.

Las superficies coordenadas de este sistema son: dos familias de paraboloides derevolucion alrededor del eje z correspondientes a ξ = cte y η = cte, y planosmeridianos ϕ = cte.

Problema: Escriba ∇ϕ, ∇ ·A, ∇ ×A, ∇2ϕ en coordenadas parabolicas.

Problemas: Obtenga las ecuaciones de las curvas ortogonales a las siguientescurvas:

a) y2 − x2 = c

b) x2 = cy

c) x2 = cy3

d) y = cxm

1.12.2. Coordenadas cilındricas elıpticas

Se construyen partiendo de una familia de elipses confocales

x2

A2+

y2

A2 − a2= 1, A ≥ a

La familia de curvas ortogonales a las elipses en cada punto es una familia dehiperbolas confocales de la forma:

x2

C2− y2

a2 − C2= 1, C ≤ a

Las coordenadas cilındricas elıpticas (ξ, η, z) se obtienen haciendo A = a cosh ξy C = a sen η. Las superficies coordenadas son: cilindros elıpticos (ξ = cte), cilindroshiperbolicos (η = cte) y planos perpendiculares al eje z.

Las correspondientes reglas de transformacion son:

x = a cosh ξ cos η, y = a sinh ξ sen η, z = z

con: ξ : 0 −→∞, η : 0 −→ 2π, z : −∞ −→ ∞.


η = 3π/2

η = π/2

ξ = 2

ξ = 2

ξ = 1

ξ = 1

ξ =0

ξ = 3/2

η = π η = 0η = π

(a, 0)(− a, 0)

ξ = 3/2 eξeη

Figura 1.21: Coordenadas elıpticas

Es cierto que

hξ = hη = a

√sinh2 ξ + sen 2η, hz = 1

Si no se incluye el eje z las coordenadas planas resultantes se llaman coordenadaselıpticas. Es interesante notar que estas coordenadas son una ampliacion de lascoordenadas polares. Si a −→ 0 las elipses (ξ = cte) degeneran en cırculos (r = cte),en tanto que las hiperbolas (η = cte) se transforman en lıneas radiales (ϕ = cte).Observese que η es una variable angular.

Problema: Escriba ∇ϕ, ∇ ·A, ∇×A, ∇2ϕ en coordenadas cilındricas elıpti-cas.

1.12.3. Coordenadas esferoidales oblatas (ξ, η, ϕ)

Se construyen por rotacion alrededor del eje y de las coordenadas elıpticas. Lassuperficies coordenadas son: esferoides oblatos (ξ = cte) con forma de oblea, hiper-boloides de revolucion de una hoja (η = cte) y planos meridianos (ϕ = cte).


Las reglas de transformacion son:

x = a cosh ξ cos η cosϕ, y = a cosh ξ cos η senϕ, z = a sinh ξ sen η

con: ξ : 0 −→∞, η : −π/2 −→ π/2, ϕ : 0 −→ 2π. En estas ecuaciones z es el eje derotacion.

Ademas:

hξ = hη = a

√sinh2 ξ + sen 2η, hϕ = a cosh ξ cos η

Problema: Usando coordenadas esferoidales oblatas demuestre que el volu-men de un elipsoide prolato de semiejes (a, a, b) es V = 4πa2b/3.

1.12.4. Coordenadas esferoidales prolatas (ξ, η, ϕ)

Se obtienen por rotacion alrededor del eje x de las coordenadas elıpticas. Lassuperficies coordenadas son: esferoides prolatos (ξ = cte) con forma de habano,hiperboloides de revolucion de dos hojas (η = cte) y planos meridianos (ϕ = cte).Las reglas de transformacion son:

x = a sinh ξ sen η cosϕ, y = a sinh ξ sen η senϕ, z = a cosh ξ cos η

con: ξ : 0 −→ ∞, η : 0 −→ π, ϕ : 0 −→ 2π. En estas ecuaciones z es el eje derotacion.

Ademas:

hξ = hη = a

√sinh2 ξ + sen 2η, hϕ = a sinh ξ sen η

Problema: Escriba ∇ϕ, ∇ · A, ∇ × A, ∇2ϕ en coordenadas esferoidalesprolatas.


1.12.5. Coordenadas bipolares

La familia de cırculos con centro en el eje y y que pasa por los puntos A y B decoordenadas (0, a) y (0,−a) se describe por:

x2 +(y −

√b2 − a2

)2

= b2 (1.53)

La familia ortogonal se obtiene tomando ∇ de:

f = x2 +(y −

√b2 − a2

)2

− b2;

ası:

∇f = 2ix+ 2j(y −

√b2 − a2

)= 2ix+ 2j

(y − x2 + y2 − a2

2y

).

De ∇f × dr = 0 se sigue

2y(xdy − ydx) + (x2 + y2 − a2)dx = 0

∴ x2d(y2

x

)+ (x2 − a2)dx = 0 , integrando obtenemos:

(x − C)2 + y2 = C2 − a2 (1.54)

Esta ecuacion describe cırculos con centro en (0, C) y de radio√C2 − a2. Puesto

que a es fijo, los parametros C y b definen las nuevas coordenadas. b va desde ahasta∞ y es el radio de los cırculos con centro en el eje y, en tanto que C va desdea hasta ∞ y es la distancia del eje y al origen de los cırculos con centro en el eje x.

En vez de (b, C) introduzcamos las coordenadas bipolares (ξ, η) en la forma:

b = a csc ξ, C = a coth η,

con lo cual, de (1.53) y (1.54):

x2 + (y − a coth ξ)2 = a2 csc2 ξ (1.55)

(x− a coth η)2 + y2 = a2csch2η (1.56)

El menor de todos los cırculos con centro en el eje y tiene radio a y el mayor esde radio ∞. Para b positivo, ξ : 0 −→ π y para b negativo ξ : π −→ 2π. Noteseque ξ = π corresponde a −a < x < a y ξ = 0, 2π corresponde a | x |> a. Para loscırculos con centro en el eje horizontal el centro mas cercano al eje y es C = ±a,que corresponde a η −→ ±∞; el centro mas lejano es C −→ ±∞, correspondientea η = 0. De (1.55) y (1.56) se obtienen las reglas de transformacion:

x =a sinh η

cosh η − cos ξ, y =

a sen ξ

cosh η − cos ξ, z = z


η = 0

(−a, 0) o η =∞ (a, 0) ’o η =∞

η = 0

ξ = 0, 2π ξ = 0, 2πν = 1ν = −1

η =−0,

5 η =0,5

ξ =π/

6

ξ =11π/

6

Figura 1.22: Coordenadas bipolares

de donde:hξ = hη =

a

cosh η − cos ξ, hz = 1

Las superficies coordenadas son: cilindros circulares con centro en (0, a cot ξ), ξ :0 −→ 2π, cilindros circulares con centro en (a coth η, 0), η : −∞ −→ ∞ y planosperpendiculares al eje z.

Coordenadas toroidales y biesfericas

Ahora bien, por rotacion de las coordenadas bipolares planas alrededor del ejey se obtienen las coordenadas toroidales. Despues de reemplazar x −→ z, y −→x, z −→ y, de modo que z sea el eje de rotacion, podemos escribir:

x =a sinh η cosϕ


a sinh η senϕ

cosh η − cos ξ, z =

a sen ξ

cosh η − cos ξ


con ξ : 0 −→ 2π, η : 0 −→∞, ϕ : 0 −→ 2π. Las superficies coordenadas son: esferasξ = cte con centro en (0, a cot ξ), toroides η = cte de seccion transversal circular yplanos meridianos ϕ = cte. Este angulo es el azimutal usual. Los factores de escalason:

hξ = hη =a

cosh η − cos ξ, hϕ =

a sinh η

cosh η − cos ξ

Un sistema coordenado adicional puede obtenerse si se rotan las coordenadasbipolares planas alrededor de la lınea x que une los polos. Estas coordenadasbiesfericas tienen como superficies basicas: esferas η = cte, toroides ξ = cte deseccion transversal circular y planos meridianos ϕ = cte. Siendo z el eje de simetrıapodemos escribir:

x =a sen ξ cosϕ

cosh η − cos ξ

y =a sen ξ senϕ

cosh η − cos ξ

z =a sinh η

cosh η − cos ξ

x =a sen ξ cosϕ


a sen ξ senϕ

cosh η − cos ξ, z =

a sinh η

cosh η − cos ξ

con: ξ : 0 −→ π, η : −∞ −→∞, ϕ : 0 −→ 2π. Ademas:

hξ = hη =a

cosh η − cos ξ, hϕ =

a sen ξ

cosh η − cos ξ

Problema: Escriba ∇ϕ, ∇ ·A, ∇ ×A, ∇2ϕ en coordenadas toroidales.

1.12.6. Coordenadas elipsoidales

Este sistema de coordenadas, donde un punto se describe con (λ, µ, ν), contienetres familias de superficies ortogonales: elipsoides triaxiales (λ = constante) desemiejes a, b, c, con a > b > c; hiperboloides de una hoja (µ = constante) e hiper-boloides de dos hojas (ν = constante), descritos, respectivamente, por las siguientesecuaciones:

x2

a2 − λ +y2

b2 − λ +z2

c2 − λ = 1 , con: λ < c2

x2

a2 − µ +y2

b2 − µ −z2

µ− c2 = 1 , con: c2 < µ < b2

x2

a2 − ν − y2

ν − b2 −z2

ν − c2 = 1 , con: b2 < ν < a2


Los 6 parametros estan sujetos a las restricciones:

a2 > ν > b2 > µ > c2 > λ

z

x

y

eλ

eµ

eν

µ = constν = const

λ = const

Figura 1.23: Coordenadas elipsoidales

Los intervalos correspondientes para λ,µ,ν son (0, c2),(c2, b2),(b2, a2).

De las anteriores ecuaciones se siguen las reglas de transformacion:

x = ±[

(a2−λ)(a2−µ)(a2−ν)(a2−b2)(a2−c2)

]1/2

y = ±[

(b2−λ)(b2−µ)(ν−b2)(a2−b2)(b2−c2)

]1/2

z = ±[

(c2−λ)(µ−c2)(ν−c2)(a2−c2)(b2−c2)

]1/2


y los factores de escala son:

hλ =

[(µ− λ)(ν − λ)

(a2 − λ)(b2 − λ)

]1/2

hµ =

[(ν − µ)(µ− λ)

(a2 − µ)(µ− b2)

]1/2

hν =

[(ν − λ)(ν − µ)

(ν − a2)(ν − b2)

]1/2

Problema: Escriba ∇2ϕ en coordenadas elipsoidales.

ANEXO 1.1: Operadores diferenciales en coordenadascartesianas, cilındricas y esfericas

Cartesianas: (x, y, z)

∇φ =∑

i

ei∂φ

∂xi

∇ ·A =∑

i

∂Ai∂xi

∇×A = ex

[∂Az∂y− ∂Ay

∂z

]+ ey

[∂Ax∂z− ∂Az

∂x

]+ ez

[∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

]

∇2φ =∑

i

∂2φ

∂x2i

Cilındricas: (ρ, ϕ, z)

∇φ = er∂φ

∂r+ eϕ

1

ρ

∂φ

∂ϕ+ ez

∂φ

∂z

∇ ·A =1

ρ

∂

∂ρ

(ρAρ

)+

1

ρ

∂Aϕ∂ϕ

+∂Az∂z

∇×A = eρ

[1

ρ

∂Az∂ϕ− ∂Aϕ

∂z

]+ eϕ

[∂Aρ∂z− ∂Az

∂ρ

]+ ez

1

ρ

[∂(ρAϕ)

∂ρ− ∂Aρ

∂ϕ

]

∇2φ =1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2φ

∂ϕ2+∂2φ

∂ϕ2


Esfericas: (r, θ, ϕ)

∇φ = er∂φ

∂r+

1

reθ

1

θ

∂φ

∂θ+ eϕ

1

r sen θ

∂φ

∂ϕ

∇ ·A =1

r2∂(r2Ar)

∂r+

1

r sen θ

∂(sen θAθ)

∂θ+

1

r sen θ

∂Aϕ∂ϕ

∇×A =er

r sen θ

[∂(sen θAϕ)

∂θ− ∂Aθ

∂ϕ

]

+eθr

[1

sen θ

∂Ar∂ϕ− ∂(rAϕ)

∂r

]+eϕr

[∂(rAθ)

∂r− ∂Ar

∂θ

]

∇2φ =1

r2∂

∂r

(r2∂ϕ

∂r

)+

1

r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sen2 θ

∂2φ

∂ϕ2

Problemas: ∇ϕ+ ∇ × (k ln ρ) = 0

∇(ln ρ) − ∇ × (kϕ) = 0

∇(1/r) − ∇ × (cos θ∇φ) = 0

∇ϕ− ∇ × (r∇θ/ sen θ) = 0

∇r = er , ∇θ = eθ/r, ∇φ = eϕ/r sen θ

2

Unicidad

2.1. Introduccion

¿Bajo que condiciones es unica la solucion a una ecuacion diferencial de segundoorden?

Puesto que las ecuaciones diferenciales las utilizaremos para describir fenomenosfısicos, podemos preguntar: ¿Que clase de condiciones es necesario imponer a estasecuaciones para que describan de manera unıvoca algun fenomeno fısico en el queestemos interesados?

El problema de la unicidad de una solucion no es identico al de la existencia dela solucion a la ecuacion diferencial. Nuestro interes sera solo el de la unicidad.

2.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias

Consideremos el problema de la unicidad de la solucion de la ecuacion diferencialde segundo orden, ordinaria, homogenea, con coeficientes variables:

a2(x)y(x) + a1(x)y(x) + a0(x)y(x) + λy(x) = 0 , a ≤ x ≤ b (2.1)

Esto quiere decir que estudiaremos las condiciones bajo las cuales la solucion a laecuacion diferencial es unica. Como demostraremos en el capıtulo 5, toda ecuacionde esta clase puede expresarse como un ecuacion de Sturm-Liouville:

d

dx(qy) + ry + λpy = 0 ,

donde: q = a2p, r = a0p y p depende de a1 y a2.

73

74 2. UNICIDAD

Una ecuacion diferencial de segundo orden tiene dos soluciones (cuya combinacionlineal es la solucion general). Pretendemos demostrar que cada una de las dos solu-ciones es unica. Para ello asumiremos que hay dos funciones y1 y y2 que satisfacenla misma ecuacion diferencial, con el mismo λ, y las mismas condiciones de frontera.Ası:

d

dx(qy1) + ry1 + λpy1 = 0 ,

d

dx(qy2) + ry2 + λpy2 = 0 ;

multiplicando la primera por y2, la segunda por y1 y restandolas obtenemos:

d

dx(qW (y1, y2)) = 0 , con W ≡ y1y2 − y1y2

por integracion entre a y x se sigue: qW = q(a)W (a)Si y1(a) = y2(a), y1(a) = y2(a) entonces W (a) = 0, con lo cual W = 0, de

donde y1 ∝ y2. En consecuencia dos soluciones que satisfacen la misma ecuaciondiferencial (con el mismo λ) y las mismas condiciones de frontera para y y y, soncoincidentes. En consecuencia, la solucion a la ecuacion diferencial (2.1) es unicasi se especifican las condiciones de frontera para la pareja (y, y) en un punto.

Como ejemplo consideremos la ecuacion que describe caıda libre en el campogravitacional terrestre en cercanıas de la superficie (g constante):

d2x

dt2= g .

Se sigue que : x = A+Bt+ gt2/2. Podemos escoger uno de los siguientes conjuntosde condiciones de frontera:a) x = x0 , x = v0 en t = 0b) x = x0 en t = 0; x = x1 en t = t1c) x = x0 en t = 0; x = V en t = t1d) x = v0 en t = 0; x = x1 en t = t1con los cuales obtenemos, respectivamente:a) x = x0 + v0t+ gt2/2b) x = x0 + [(x1 − x0)/t1 − gt1/2] t+ gt2/2c) x = x0 + (V − gt1)t+ gt2/2d) x = x1 + v0(t− t1) + g(t2 − t21)/2Es posible tambien imponer las condiciones mixtas:

x/x|t=0 = α , x/x|t=t1 = β

obteniendose:

x =(α+ t)(β − t1/2)gt1

(α− β + t1)+ gt2/2

2.3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 75

2.3. Ecuaciones diferenciales parciales

Bajo que condiciones una ecuacion diferencial parcial lineal e inhomogenea tienesolucion unica ?

Nos plantearemos el problema para cuatro ecuaciones especıficas:

• ∇2ψ(r) = ρ(r) −→ Ecuacion de Poisson.•

(∇2 − α∂/∂t

)ψ(r, t) = q(r, t) −→ Ecuacion de difusion.

•(∇2 − 1

c2 ∂2/∂t2

)ψ(r, t) = g(r, t) −→ Ecuacion de ondas

•(− ~2

2m∇2 + V (r, t)− i~∂/∂t)ψ(r, t) = 0 −→ Ecuacion de Schrodinger.

2.3.1. Ecuacion de Poisson

Esta ecuacion, fundamental en la teorıa de potenciales electrostatico y gravita-cional, y en la teorıa de fluidos, tiene la forma:

∇2ψ(r) = ρ(r)

La solucion es unica si se especifican:

Condiciones de Dirichlet: ψ|S = g(r), o

Condiciones de Neumann: ∂ψ/∂n|S = h(r), o

Condiciones mixtas: p ∂ψ/∂n|S + h ψ|S = l(r), con h ≥ 0 y p ≥ 0.

Demostracion: asumiendo que existen dos funciones ψ1 y ψ2 que satisfacen laecuacion de Poisson con el mismo ρ(r) y las mismas condiciones de frontera:

ψ1(r)|S = ψ2(r)|S = g(r)

∂ψ1(r)/∂n|S = ∂ψ2(r)/∂n|S = l(r)

y si definimos ψ2 − ψ1 = U , obtenemos: ∇2U = 0 y

U |S = 0,

∂U/∂n|S = 0,

p ∂U/∂n|S + h U |S = 0

Del teorema de Green

76 2. UNICIDAD

∫ [ϕ∇2ψ + ∇ϕ ·∇ψ

]dV =

∮ϕ∇ψ · dS

=

∮ϕ∂ψ

∂ndS

con: ϕ = ψ = U se sigue:∫

(∇U)2 dV =

∮U∂U

∂ndS

La integral de superficie se anula si U |S = 0, o ∂U/∂n|S = 0. En el primer caso:(∇U)2 = 0, de donde se sigue U = constante; como U |S = 0 la constante es cero, talque U = 0, es decir ψ1 = ψ2 en el caso de Dirichlet; en el segundo caso (Neumann):U = constante, de modo que ψ1 y ψ2 difieren al maximo en una constante.

En el tercer caso: ∫(∇U)2 dV = −

∮h

pU2 dS

La integral de la izquierda es negativa si h ≥ 0 y p ≥ 0, pero simultaneamente:∫(∇U)2 dV ≥ 0, pues (∇U)2 ≥ 0. En consecuencia:

(∇U)2 = 0, es decir: U = cte.

Ası pues, en el caso de Dirichlet la solucion es unica, en tanto que en los dos restantestodas las soluciones posibles difieren en una constante.

La anterior demostracion vale tambien para la ecuacion de Laplace:

∇2ψ = 0

2.3.2. Ecuacion de difusion

La ecuacion: (∇2−α∂/∂t)ψ(r, t) = q(r, t), donde α > 0 y q representa una fuente,tiene solucion unica para t ≥ 0 si se especifica el valor de ψ, o de su derivada normal,sobre la superficie de frontera, y el valor de ψ en t = 0, es decir, si se conocen:

ψ(r, t)|S = g(r, t) o∂ψ(r, t)

∂n

∣∣∣∣S

= l(r, t)

y: ψ(r, t)|t=0 = f(r)

Para iniciar la demostracion asumiremos que existen dos funciones ψ1 y ψ2 quesatisfacen la ecuacion de difusion con identica fuente y las mismas condiciones inicialy de frontera:

ψ1|S = ψ2|S = g(r, t) , o:∂ψ1

∂n

∣∣∣∣S

=∂ψ2

∂n

∣∣∣∣S

= l(r, t)

ψ1|t=0 = ψ2|t=0 = f(r)


Definiendo:U = ψ2 − ψ1, se sigue:(∇2 − α ∂

∂t

)U = 0

U |t=0 = 0 , U |S = 0 o∂U

∂n

∣∣∣∣S

= 0

En el teorema de Green∫ [

ϕ∇2ψ + ∇ϕ ·∇ψ]dV =

∮ϕ∂ψ

∂ndS

con: ϕ = ψ = U : ∫ [U∇2U + (∇U)2

]dV =

∮U∂U

∂ndS

A la izquierda reemplazamos ∇2U = α∂U/∂t; la integral de la derecha es cero siU |S = 0 o si ∂U/∂n|S = 0. No lo demostraremos, pero es cierto, que no puedenproveerse simultaneamente los valores de ψ|S y ∂ψ/∂n|S sobre la misma porcionde superficie. Pueden especificarse simultaneamente ψ|S y ∂ψ/∂n|S sobre porcionesdiferentes de la superficie cerrada. Esto es valido tambien para la ecuacion de Poissony la de ondas.

Entonces:∫ [

αU∂U

∂t+ (∇U)2

]dV = 0 =

∫ [α∂

∂t

(U2

2

)+ (∇U)2

]dV

oα

2

d

dt

∫U2 dV = −

∫(∇U)2 dV

o :α

2

dI(t)

dt= −

∫(∇U)2 dV , con I(t) ≡

∫U2 dV ≥ 0

Puesto que (∇U)2 ≥ 0 se sigue:

dI(t)

dt≤ 0 y I(t) ≥ 0

De acuerdo al teorema del valor medio

dI(t1)

dt=I(t)− I(0)

t=I(t)

t, 0 < t1 < t

donde I(0) = 0 pues U |t=0 = 0; entonces:

tdI(t1)

dt= I(t)

78 2. UNICIDAD

y como: t ≥ 0 y dI(t)/dt ≤ 0 se sigue: I(t) ≤ 0; pero antes vimos que I(t) ≥ 0; enconsecuencia

I(t) = 0 ⇒ U = 0

y por tanto: ψ2 = ψ1: la solucion es unica.

espaciot0

t

Figura 2.1: Dominio de la solucion de la ecuacion de difusion

Nota:El teorema de unicidad tambien se cumple si U y ∂U/∂n son diferentes de cero

sobre la superficie, si es cierto que

∂ψ

∂n

∣∣∣∣S

+ h(r) ψ|S = k(r, t) , con h ≥ 0

En tal caso: ∂U∂n |S + hU |S = 0y en consecuencia:

α

2

dI

dt= −

∫(∇U)2 dV +

∮U∂U

∂ndS

= −∫

(∇U)2 dV −∮hU2 dS

≤ 0

De aca, con I(0) = 0 y I(t) ≥ 0 se sigue nuevamente: ψ2 = ψ1

Las tres condiciones de frontera

ψ|S = g(r) ,∂ψ

∂n

∣∣∣∣S

= l(r) ,∂ψ

∂n

∣∣∣∣S

+ h ψ|S = k(r, t)

pueden utilizarse simultaneamente siempre y cuando sean aplicadas sobre porcionesdiferentes de la superficie.


El problema de difusion es cerrado espacialmente y abierto temporalmente. Debeespecificarse la funcion ψ (o su derivada temporal) sobre toda la frontera espacial ysobre una frontera temporal (t = 0)

ψ(r, t) ha de ser una funcion continua de r y t en el volumen V ; tambien lo debenser sus derivadas.

2.3.3. Ecuacion de ondas

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)ψ(r, t) = g(r, t)

Esta ecuacion tiene solucion unica si se especifican los valores de ψ ( o de suderivada normal) sobre la frontera y de ψ y su derivada temporal en algun instantet = 0. Estas se llaman condiciones de Cauchy y tienen la forma siguiente:.

ψ|S = k(r, t) , o∂ψ

∂n

∣∣∣∣S

= h(r, t)

ψ|t=0 = l(r) ,∂ψ

∂t

∣∣∣∣t=0

= m(r)

definiendo U = ψ2 − ψ1 se tiene

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)U = 0 , U |S = 0 o

∂U

∂n

∣∣∣∣S

= 0

U |t=0 = 0 ,∂U

∂t

∣∣∣∣t=0

= 0

En el teorema de Green

∫ [ϕ∇2ψ + ∇ϕ ·∇ψ

]dV =

∮ϕ∂ψ

∂ndS

con ψ = U, ϕ = U = ∂U/∂t :

80 2. UNICIDAD

∫ [U∇2U + ∇U ·∇U

]dV =

∮U∂U

∂ndS

o:

∫ [U

c2∂2U

∂t2+ ∇U ·∇U

]dV =

∮U∂U

∂ndS

∫1

2

∂

∂t

[U2

c2+ (∇U)2

]dV =

∮U∂U

∂ndS

d

dt

∫1

2

[U2

c2+ (∇U)2

]dV =

∮U∂U

∂ndS

Si U |S = 0 se sigue U |S = 0, por lo cual:∮U ∂U∂n dS = 0

Si ∂U/∂n|S = 0 se sigue:∮U ∂U∂n dS = 0

En cualquiera de estos dos casos (Dirichlet o Neumann para frontera espacial) escierto que:

d

dt

∫ [U2

c2+ (∇U)2

]dV = 0 ⇒

∫ [U2

c2+ (∇U)2

]dV = constante

Si esta expresion se evalua en t = 0:

∫ [U2(0)

c2+ (∇U(0))2

]dV = constante

y como U |t=0 = U(0) = 0 y U |t=0 = 0 se sigue que la constante es cero:

∫ [U2

c2+ (∇U)2

]dV = 0

Puesto que se tiene una suma de cuadrados es obvio que U = constante, y comoademas U |t=0 = 0 la constante es cero. En consecuencia U = 0 o:

ψ2 = ψ1 La solucion es unica para Dirichlet y Neumann.

Si las ondas son complejas el teorema de unicidad con condiciones de Cauchy siguesiendo valido. Es suficiente con utilizar la primera identidad de Green, con ϕ = Uy ψ = U , en la forma:∫ [

ϕ∇2ψ∗ + ϕ∗∇2ψ + ∇ϕ ·∇ψ∗ + ∇ϕ∗ ·∇ψ]dV =

∮ [ϕ∂ψ∗

∂n+ ϕ∗ ∂ψ

∂n

]dS.

Problema: ¿Conduce la condicion mixta: p ∂ψ∂n

|S+hψ|S = g(r) a una solucionunica de la ecuacion de ondas?


2.3.4. Ecuacion de Schrodinger

La ecuacion de Schrodinger

− ~2

2m∇2ψ(r, t) + V (r, t)ψ(r, t) = i~

∂ψ(r, t)

∂t

puede ser escrita en la forma

∇2ψ +Aψ = iα∂ψ

∂t.

Demostraremos que esta ecuacion tiene solucion unica si se especifica el valor deψ, o de su derivada normal sobre la superficie de frontera y el valor de ψ en t = 0,es decir, si se conocen:

ψ(r, t)|S = g(r, t) o∂ψ

∂n

∣∣∣∣S

= l(r, t)

y: ψ(r, t)|t=0 = f(r)

Al igual que en los casos anteriores sea: U = ψ2 − ψ1, donde ψ2 y ψ1 satisfacen laecuacion de Schrodinger con el mismo potencial y las mismas condiciones inicial yde frontera. De la segunda identidad de Green

∫ [ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ

]dV =

∮ [ϕ∂ψ

∂n− ψ∂ϕ

∂n

]dS

con ϕ = U y ψ = U∗ y reemplazando ∇2U y ∇2U∗ se sigue:

d

dt

∫|U |2 dV =

∮ [U∂U∗

∂n− U∗ ∂U

∂n

]dS.

La integral a la derecha es cero si U |S = 0 o si ∂u/∂n|S = 0, por lo cual∫|U |2 dV =

constante, y puesto que U(0) = 0 resulta que la constante es nula y en consecuenciaU = 0, ası: ψ1 = ψ2.

Notas

A) Ecuaciones anisotropicas.Las ecuaciones de Poisson, Fourier y ondas, cuyas condiciones de unicidad han si-

do desarrolladas aquı, son casos particulares de ecuaciones anisotropicas cuya formageneral es la siguiente:

Ecuacion de Poisson anisotropica:

A : ∇∇ϕ+ b ·∇ϕ = f(r)

82 2. UNICIDAD

Ecuacion de Fourier anisotropica:

A : ∇∇T + b ·∇T − k ∂T∂t

= f(r, t)

Ecuacion de ondas anisotropica:

A : ∇∇Ψ− 1

c2∂2Ψ

∂t2= f(r, t)

Es posible, mediante un procedimiento analogo al realizado en las paginas ante-riores, aunque algo mas complejo, demostrar que las condiciones de unicidad valentambien para las correspondientes ecuaciones anisotropicas.

B) Condiciones de fronteraLas condiciones de frontera pueden clasificarse en dos categorıas principales: gen-

erales y especıficas.Una condicion de frontera general corresponde a situaciones donde un campo se

extiende de un medio a otro. En estos casos no podemos especificar los valores delos campos y/o sus derivadas sobre las superficies de separacion (interfases), sinoalguna relacion entre sus valores a ambos lados. Para un campo electrostatico,por ejemplo, el potencial es continuo a traves de la interfase (φ1|S = φ2|S) y,si no hay carga superficial en la interfase, la componente normal del vector dedesplazamiento es continua a traves de la interfase (D1 · n|S = D2 · n|S). En elcaso del campo de temperatura, esta es continua en la frontera de separacion de dosmedios (T1|S = T2|S).

Una condicion de frontera especıfica establece los valores de los campos y/o susderivadas espaciales y/o temporales en las fronteras espaciales (sean ellas superficieso lıneas o puntos) y en puntos iniciales en el tiempo. A este tipo pertenecen lascondiciones de Dirichlet, Neumann, mixtas y Cauchy.

Las condiciones de frontera especıficas pueden subdividirse en homogeneas e in-homogeneas.

Una condicion de frontera homogenea es del tipo φ|S = 0 o ∂φ/∂n|S = 0 oαφ|S + β∂φ/∂n|S = 0. La solucion del problema de Sturm-Liouville, en el capıtulo5, exige este tipo de condiciones.

Las condiciones de frontera inhomogeneas son del tipo φ|S = f(r) o ∂φ/∂n|S =g(r) o ψ(r, t)|t=0 = h(r), entre otras.

2.4. Ecuaciones vectoriales

En lo anterior hemos considerado ecuaciones diferenciales parciales formadas conoperadores ∇2, ∂/∂t y ∂2/∂t2, que actuan sobre funciones escalares ψ(r, t). Las

2.4. ECUACIONES VECTORIALES 83

condiciones de frontera que garantizan la unicidad de la solucion de estas ecuacionescontienen, de acuerdo al caso, los valores de ψ|S , ∂ψ/∂n|S y de ψ y ∂ψ/∂t en alguninstante t0.

Es posible estudiar el problema de la unicidad de la solucion de ecuaciones decampo vectoriales. Ejemplos de estos casos son las ecuaciones de onda para los cam-pos electromagneticos en la teorıa de Maxwell, la ecuacion de ondas longitudinales ytransversas en un medio elastico y la ecuacion de Poisson para el potencial vectorialmagnetico.

Con el proposito de entrar en el tema desarrollemos ante todo un par de identi-dades integrales:

1). Del teorema de la divergencia

∫∇ ·M dV =

∮dS ·M (2.2)

con M = ϕA, siendo ϕ un campo escalar, se sigue:∫

[ϕ∇ ·A + A ·∇ϕ] dV =

∮ϕ n ·A dS

Desarrollamos en lo que sigue una identidad en la que ϕ = ∇ ·B; ası:∫

[(∇ ·A)(∇ ·B) + A ·∇(∇ ·B)] dV =

∮(n ·A)(∇ ·B) dS

Teniendo en cuenta que

∇(∇ ·B) = ∇× (∇×B) +∇2B

podemos escribir:∫

[(∇ ·A)(∇ ·B) + A ·∇× (∇×B) + A · ∇2B] dV

=

∮(n ·A)(∇ ·B) dS (2.3)

2). Del teorema de la divergencia, (2.2), con M = A×C y haciendo uso de

∇ · (A×C) = C ·∇×A−A ·∇×C

podemos escribir:∫

[C ·∇×A−A ·∇×C] dV =

∮C · (n×A) dS =

∮A · (C× n) dS

y sea C = ∇×A; entonces:

84 2. UNICIDAD

∫[(∇×A) · (∇×B) − A ·∇× (∇B)] dV =

∮(∇×A) · (n×A) dS

=

∮A · [(∇×B)× n)] dS (2.4)

Ahora bien, es cierto, de acuerdo al teorema de la seccion 1.8.3 que un campovectorial A puede ser descompuesto en una parte longitudinal y otra transversa:A=AL + AT=∇ϕ+∇×B, siendo cierto que ∇×AL = 0 y ∇ ·AT = 0.

Estudiemos ahora, separadamente, las condiciones de frontera pertinentes paracampos longitudinales y transversos para dos ecuaciones de campo especıficas: Pois-son y ondas.

2.4.1. Ecuacion de Poisson vectorial

A) Consideremos la ecuacion

∇2B(r) = J(r) (2.5)

donde el campo B es longitudinal, es decir, obedece la ecuacion ∇ × B = 0. Escierto, entonces, de la ecuacion (2.3), que

∫[(∇ ·A)(∇ ·B) + A · ∇2B] dV =

∮(n ·A)(∇ ·B) dS (2.6)

Con el proposito de estudiar las condiciones de unicidad de la solucion a la ecuacion(2.5), asumiremos la existencia de dos soluciones, B1 y B2, que satisfacen la ecuacionvectorial de Poisson y las mismas condiciones de trontera: Definiendo U = B2−B1,obtenemos ∇2U = 0. Ahora, si en (2.6) hacemos A = B = U tendremos:

∫(∇ ·U)2 dV =

∮(n ·U)(∇ ·U) dS

La integral de superficie se anula si n ·U|S = 0 o si ∇ ·U|S = 0; en cualquiera deestos dos casos la integral de volumen se anula. Se sigue entonces que (∇ ·U)2 = 0.En consecuencia; U = constante = C.

En el caso n · U|S = 0, correspondiente a una condicion del tipo de Dirichlet,es cierto que n · C = 0, de modo que es suficiente que C sea cero. En este caso:U = B2 −B1 = 0, por lo cual B1 = B2, y la solucion es unica.

En el segundo caso, ∇ ·U|S = 0, correspondiente a una condicion de Neumann,se sigue: U = constante, de modo que hay muchas soluciones que difieren en unaconstante vectorial.

2.4. ECUACIONES VECTORIALES 85

B) Consideremos de nuevo la ecuacion vectorial de Poisson, (2.5), con el campoB transverso, es decir: ∇ ·B = 0. Se sigue entonces, de la ecuacion (2.4), con

∇× (∇×B) = ∇(∇ ·B)−∇2B :

∫[(∇×A) · (∇×B) + A · ∇2B] dV =

∮(∇×A) · (n×A) dS

=

∮A · [(∇×B)× n)] dS (2.7)

Para establecer condiciones de unicidad asumiremos, como antes, soluciones B1 yB2, que, de nuevo, satisfacen la ecuacion de Poisson y las mismas condiciones defrontera. Si definimos U = B2 −B1, entonces ∇2U = 0 y por tanto, de (2.7), conA = B = U:

∫(∇×U)2 dV =

∮(∇×U) · (n×U) dS =

∮U · [(∇×U)× n)] dS

Las integrales de superficie se anulan, respectivamente, si n ×U|S = 0 o si (∇ ×U)×n|[S = 0, correspondientes a condiciones de Dirichlet o Neumann. Argumentoscomo los presentados antes permiten concluir que en el primer caso: U = 0, de modoque la solucion es unica, en tanto que en el segundo hay infinidad de soluciones quedifieren en una constante vectorial.

Problema: ¿Por que no hemos incluıdo ∇ × U|S = 0?

En sıntesis, la solucion a la ecuacion vectorial de Poisson es unica (excepto por unaconstante aditiva en el caso de Neumann) si se especifica:

1) n ·B|S = 0, o ∇ ·B|S = 0, para campo transverso, y2) n×B|S = 0, o n× (∇×B)|S = 0, para campo longitudinal.

2.4.2. Ondas vectoriales

La ecuacion tiene la forma

∇2B− 1

v2

∂2B

∂t2= J

A) Si B es un campo longitudinal, la solucion es unica si se especifican

n ·B|S o ∇ ·B|S

B|t=0∂B

∂t

∣∣∣t=0

86 2. UNICIDAD

B) Si B es un campo transverso basta especificar

n×B|S o n× (∇×B|S

B|t=0∂B

∂t

∣∣∣t=0

Problema: Probar las afirmaciones anteriores.

3

Ecuaciones Diferenciales


Operadores

Un operador es una transformacion matematica que aplicada a una funcion pro-duce otra funcion.

Los operadores lineales (L,M) satisfacen las siguientes propiedades:

• L(c1f1 + c2f2) = c1Lf1 + c2Lf2 donde c1 y c2 son constantes

• (L+M)f = Lf +Mf

• LMf = L(Mf)

Son operadores L lineales:

• Lu =du

dx

• Lu = a(x)d2u

dx2+ b(x)

du

dx

• Lu = ∇2u

Son operadores P no lineales:

• Pu = u2

• Pu =du

dx+ R(x)u2

• Pu =d2u

dx2+

(du

dx

)2

87

88 3. ECUACIONES DIFERENCIALES

• Pu =

(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2

• Pu =

∫k(x, s)u(s)u(s+ x) ds

• Pu = ∇2u+ keu

Introduzcamos el sımbolo D que indica derivacion respecto a la variable indepen-diente x:

D ≡ d

dx. En general: Dr ≡ dr

dxr, r = 0, 1, 2, . . .

Es cierto que:

• (Dr +Ds)f = (Ds +Dr)f (conmutatividad para adicion)• [Dr + (Ds +Dt)]f = [(Dr +Ds) +Dt]f (asociatividad para adicion)• DrDsf = DsDrf (conmutatividad para multiplicacion)• Dr(DsDt)f = (DrDs)Dtf (asociatividad para multiplicacion)• Dr(Ds +Dt)f = (DrDs +DrDt)f (distributividad para multiplicacion)• DrDsf = Dr+sf• Dr(cf) = cDrf , c = constante• Dr(emxf) = emx(D +m)rf• (D −m)r(emxf) = emxDrf

3.1.1. Ecuaciones de primer orden

A. Variables separables.

Decimos que una ecuacion diferencial de primer orden dy/dx = f(x, y) es separa-ble si puede escribirse en la forma

F (x)dx +G(y)dy = 0,

cuya integral es de la forma∫F (x)dx +

∫G(y)dy = c.

En forma mas general, es posible integrar una ecuacion de la forma

A(x, y)dx +B(x, y)dy = 0

si puede ser escrita como du = 0, para lo cual es necesario y suficiente que

∂A

∂y=∂B

∂x.

Decimos en este caso que la ecuacion diferencial es expresable como una diferencialexacta.

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 89

Problemas: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

• dy/dx = ex−2y

• dy/dx = ky/x

• dy/dx = ( sen 2x)/y

• dy/dx = (y/x) ln x

• dy/dx = −(x+ y)/x

B. Combinaciones integrables

Si en la ecuacion dy/dx = f(x, y) las variables no pueden separarse, puede aun serposible ponerla en una forma que permita integrar por combinaciones de variablesdel tipo:

• xdy + ydx = d(xy)

• xdy − ydx = x2d(y/x)

• xdy − ydx = −y2d(x/y)

• 2xydy − y2dx = x2d(y2/x)

• 2xydx− x2dy = y2d(x2/y)

Ejemplo: dy/dx = (2x+ y)/(3− x)Esta ecuacion puede escribirse en la forma:

(xdy + ydx)− 3dy + 2xdx = 0, o:

d(xy − 3y + x2) = 0,

de donde:xy − 3y + x2 = c.


• dy/dx = (2xy2 + y)/x

• dy/dx = (x3 − xy2 − 1)/(x2y − y3)

• dy/dx = 2xy/(3y2 − x2)

• dy/dx = sen y/(1 − cos y)

• dy/dx = e−y/(2y + xe−y)

C. Ecuaciones homogeneas

Una funcion f(x, y) es homogenea de grado m respecto a las variables x y y si,para todo α, es cierto que f(αx, αy) = αmf(x, y). Una ecuacion del tipo

A(x, y)dx +B(x, y)dy = 0 (3.1)

es homogenea si A y B son funciones homogeneas del mismo grado. Como la sub-stitucion x −→ αx, y −→ αy implica y/x −→ y/x, la substitucion v = y/x haceque la ecuacion (3.1) sea separable.


Como ejemplo consideremos la ecuacion: dy/dx = (x − 2y)/(2x − y). Podemosescribir, con y = vx:

d

dx(vx) =

1− 2v

2− v = xdv

dx+ v,

de modo que:

xdv

dx=

1− 4v + v2

2− v ,

o(2− v)dv

1 + v2 − 4v=dx

x,

de donde:

d

[1

2ln(1 + v2 − 4v) + lnx

]= 0.

Ası pues: x2[1 + (y/x)2 − 4y/x] = c.


• dy/dx = (3y3 − x3)/3xy2

• dy/dx = (xe−y/x + y)/x

• dy/dx = (y −px2 − y2)/x

• dy/dx = (4x2 + 3y2)/2xy

Generalizacion:Consideremos ahora una generalizacion de la idea de homogeneidad: Supongamos

que en la ecuacion (3.1) la dimension de y es cierta potencia m de la dimension dex y que

A(αx, αmy) = αrA(x, y), B(αx, αmy) = αsB(x, y)

Ası pues, bajo el reemplazo x −→ αx, y −→ αmy, la ecuacion diferencial se convierteen

A(αx, αmy)d(αx) +B(αx, αmy)d(αmy) = 0

es decirαr+1A(x, y) + αs+mB(x, y)dy = 0 (3.2)

La compatibilidad de (3.1) y (3.2) exige que s = −m+ r + 1, tal que una ecuaciondel tipo (3.1) es separable si

A(αx, αmy) = αrA(x, y), B(αx, αmy) = α−m+r+1B(x, y).

Es cierto entonces que la substitucion x −→ αx, y −→ αmy implica xm −→αmym, y −→ αmy, de donde: y/xm −→ y/xm. Esto sugiere la introduccion dela variable adimensional v = y/xm. Como ejemplo sea:

(3xy2 − 2y)dx+ (x+ x2y2)dy = 0; (3.3)


con el reemplazo: x −→ αx, y −→ αmy se sigue que la nueva ecuacion correspondea la original si 3m+2 = m+1, de donde m = −1/2, tal que x −→ αx, y −→ α−1/2y;de donde xy2 −→ xy2, de modo que podemos usar v = xy2. La ecuacion (3.3) sereduce a la forma separable

(3v − 2)ydv + 5v(1− v)dy = 0

D. Ecuaciones lineales

Una ecuacion diferencial de primer orden es lineal cuando tiene potencia 1 en lavariable dependiente y en su derivada. La forma general es:

dy

dx+ P (x)y = Q(x).

Para resolver esta ecuacion multipliquemos por una funcion R(x), e intentemosobtener a la izquierda la derivada de un producto:

Rdy

dx+RPy = RQ

o:d

dx(Ry)− y dR

dx+RPy = RQ

Esta ecuacion permite evaluar R si hacemos:

d

dx(Ry) = RQ y

dR

dx−RP = 0.

De la segunda ecuacion: dR/R− Pdx = 0, de donde:

R = eR

Pdx,

y de la primera:

y =1

R

∫RQdx+ cR = e−

R

Pdx

∫Pe

R

Pdxdx+ ce−R

Pdx


• dy/dx = (ex − 3xy)/x2

• dy/dx = (4x2 − 2y)/x

• dy/dx = (4 ln x− 2x2y)/x3

• dy/dx = 4e2x + 2y.


3.1.2. Ecuaciones de orden superior

Principio de superposicion

Este principio asegura que la solucion general de una ecuacion homogenea deltipo

Lf = (Dn + αn−1Dn−1 + . . .+ α0)f = 0

esta conformada por la combinacion lineal de n soluciones distintas. En particularuna ecuacion diferencial de segundo orden tiene dos soluciones distintas, es decirlinealmente independientes, f1 y f2.

Sea fn el conjunto de soluciones a una ecuacion diferencial ordinaria de orden n.Si el conjunto es linealmente dependiente, es posible obtener valores de ci diferentesde cero de forma tal que

∑ni=1 cifi = 0. Por derivacion se sigue:

∑ni=1 cifi = 0,∑n

i=1 cifi = 0, . . .,∑ni=1 cif

(n−1)i = 0. Hay ası n ecuaciones para n valores de ci.

Este sistema de ecuaciones tiene solucion si el determinante de los coeficientes deci es cero; es decir si el Wronskiano de fi, definido por

W =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f1 · · · fnf1 · · · fn...

. . ....

f(n−1)1 · · · f

(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

es nulo. Ası, el anulamiento de W es condicion necesaria para la dependencia linealde las funciones f1 · · · fn. Si W 6= 0 el conjunto fn es linealmente independiente.

A. Coeficientes constantes

Consideremos la ecuacion diferencial ordinaria y homogenea de orden n con coe-ficientes ai constantes:

Lf = (anDn + an−1D

n−1 + . . .+ a1D + a0)f = 0

con an 6= 0.Factorizando podemos escribir:Lf = (D−m1)(D−m2) . . . (D−mn)f = 0, cuya solucion es de la forma: f = cemx.Los coeficientes mk, que son las raıces de la ecuacion, pueden ser reales o com-

plejos, algunos pueden ser repetidos o todos pueden ser diferentes. Veamos:a) Para raıces mk reales y distintas, la solucion tiene la forma generica

f = cemx,

reemplazando en la expresion factorizada se sigue

(m−m1)(m−m2) . . . (m−mn) = 0


tal que m = mk, con lo cual: fk = ckemkx; en consecuencia la solucion general,

expresada como combinacion lineal de las fk sera:

f =

n∑

k=1

ckemkx

Ejemplo: (2D2 + 5D − 3)f = 0 de donde:

2m2 + 5m− 3 = 0

con lo cual

(m− 1

2)(m+ 3) = 0 , y ası:

f = c1ex/2 + c2e

−3x

b) Para raıces mk complejas, la teorıa algebraica de ecuaciones dice quetodas las raıces complejas aparecen en parejas conjugadas: si m = a + ib es raız,tambien lo seram∗ = a−ib con a y b reales. Ası, la solucion de (D2−AD+B)f = 0,donde 4B −A2 > 0, es

f = c1e(a+ib)x + c2e

(a−ib)x

= eax(ceibx + de−ibx)= eax(c′ cos bx+ d′ sen bx)

con a = A/2 , b =√

4B −A2/2.En general, si las raıces son complejas y distintas:

f =n∑

i=1

eaixi(ci′ cos bix+ di

′ sen bix)

Ejemplo: (D2 − 2D + 5)f = 0⇒ m2 − 2m+ 5 = 0 o m = 1± 2i , de donde:

f = c1e(1+2i)x + c2e

(1−2i)x

c) Raıces repetidas. Sea mk repetida k veces. Tendremos:

(m−mk)k(m−mk+1) . . . (m−mn) = 0

Esta expresion proviene de

(D −mk)k(D −mk+1) . . . (D −mn)f = 0


tal que una solucion es la que corresponde a: (D − mk)kf = 0. El caso trivial

(D − mk)(D −mk) . . . k veces f = 0 da f = cemkx que corresponde a solucionesrepetidas. Para obtener soluciones distintas ensayemos

f = g(x)emkx , se sigue:

(D −mk)k(emkxg) = emkxDkg = 0

o: Dkg = 0, cuya solucion es

g = c0 + c1x+ . . .+ ck−1xk−1

por tanto:f =

(c0 + c1x+ . . .+ ck−1x

k−1)emkx

A esta solucion hay que adicionarle las correspondientes a las raıces no repeti-das.

Ejemplo: (D2 − 4D+ 4)f = 0. Se obtiene: (D− 2)2f = 0 , m = 2, 2 con lo que seconcluye que:

f = (c1 + c2x)e2x

Ejemplo: (D5 − 2D3 +D)f = 0. Las raıces son m = 1, 1,−1,−1, 0, tal que

f = (c1 + c2x)ex + (c3 + c4x)e

−x + c5e0

Problemas: Hallar la solucion general de cada una de las siguientes ecua-ciones:

• (D2 + 5D + 6)f = 0• (D4 − 2D2)f = 0• (D6 − 4D4 + 4D2)f = 0• (D3 + 8)f = 0• (D4 + 4)f = 0


• y − 2y = 0 , con la condicion: y(0) = 3

•...y − 6y + 12y − 8y = 0 , con y(0) = y(1) = 0 , y(0) = 1

•...y −4y + 4y = 0 , con y(0) = 0 , y(1) = 1

•...y −2y − 4y = 0 , y(0) = y(1) = 0 , y(0) = 1

B. Ecuaciones solo con derivadas de y

En ecuaciones donde no aparece la variable dependiente y sino solo sus derivadases posible reemplazar la ecuacion diferencial por otra de orden menor. Como ejemplosea:

d2y

dx2+ 2

dy

dx− 6x− 3 = 0,


y sea: p = dy/dx, de modo que: dp/dx+ 2p− 6x− 3 = 0,cuya solucion, por ser una ecuacion lineal es:

dy

dx= p = 3x+ c1e

−2x,

de donde:

y =3x2

2+ c′1e

−2x + c2.


• yy + y2 + 4 = 0

• x2y + 2xy = 0

• yy − y2 + y = 0

• y2y = y

C. Ecuacion de Euler

Otro tipo de ecuacion diferencial homogenea es la de Euler:

Lf = (xnDn + a1xn−1Dn−1 + . . .+ an)f = 0

La propuesta

f = xβ da lugar a la ecuacion caracterıstica:

β(β − 1)(β − 2) . . .+ a1β(β − 1) . . .+ . . .+ an = 0

de donde se obtiene un espectro de valores para β.

Ejemplo: x2y + 7xy + 9y = 0

Con: y = xβ y reemplazando en la ecuacion diferencial se obtiene:

β2 + 6β + 9 = 0 β = −3,−3

Por tanto:

y = x−3

La segunda solucion (ver seccion 3.2)se obtiene de

y2 = y1

∫e−

R

P dx

y21

dx , con y1 = x−3 y P =7

x

∴ y2 = x−3 lnx


3.1.3. Soluciones homogenea e inhomogenea

Las ecuaciones diferenciales que hemos resuelto hasta ahora son homogeneasen la variable dependiente y. Vale decir y aparece en cada sumando de la ED.Consideremos ahora la ecuacion inhomogenea:

a2(x)y + a1(x)y + a0(x)y = f(x)

La solucion yc a la ecuacion con f(x) = 0 es llamada solucion homogeneao complementaria, en tanto que la solucion yp a la ecuacion con f(x) 6= 0 es llamadasolucion inhomogenea o particular.

La solucion general a una ecuacion diferencial lineal inhomogenea es la combi-nacion lineal:

y = yc + yp

Solucion inhomogenea

Estudiaremos aquı tres metodos:

A. Reduccion de orden

La ecuacion(anD

n + . . .+ a0)y = f(x),

con coeficientes constantes se escribe

a0(D −m1)(D −m2) . . . (D −mn)y = f(x).

Si hacemos (D −m2) . . . (D −mn)y = u tendremos: a0(D − m1)u = f(x), y estaes una ecuacion lineal de primer orden, de modo que u es directamente evaluable.Ahora, en u = (D −m2) . . . (D −mn)y hacemos (D −m3) . . . (D −mn)y = v, talque: (D −m2)v = u, y de aca evaluamos v, y ası sucesivamente.

Ejercicio: La ecuacion:(D3 − 2D2 +D)y = x

puede escribirse:(D − 1)(D − 1)Dy = x.

Haciendo u = (D − 1)Dy tenemos:(D − 1)u = x, de donde u = −x − 1;en consecuencia: (D − 1)Dy = −x − 1. Haciendo ahora v = Dy tenemos:(D − 1)v = −x − 1, de donde v = x + 2; tal que Dy = x + 2 y por tantoyp = x2/2 + 2x; y como la solucion homogenea es : yc = c1 + (c2 + c3x)e

x

tendremos como solucion general:

y =x2

2+ 2x+ c1 + (c2 + c3x)e

x.


Problema: Por reduccion de orden demuestre que la solucion a la ecuacion(D − 1)(xD + 3)y = ex es:

y =c1

x3+c2

x3(x2 − 2x+ 2)ex + ex

y que xeαx es solucion de (D − α)2y = 0.

B. Coeficientes indeterminados

Este metodo es valido para funciones f(x) de la forma:

xpeqx, xpeqx cosβx, xpeqx senβx,

con p = 0, 1, 2 . . . ; q, α, β reales.Veamos el siguiente caso:

(D2 − 1)y = x2.

Propongamos como solucion un polinomio de grado 2:

y = Ax2 +Bx+ C,

tendremos:2A−Ax2 −Bx− C = x2,

tal que: A = −1, B = 0, −C + 2A = 0; ası: y = −x2 − 2.En el caso de la ecuacion diferencial de orden n con coeficientes variables:

(an(x)Dn + an−1(x)D

n−1 . . .+ a0(x))y = f(x),

donde f(x) tiene forma polinomial de grado p (f(x) = Cxp), y si a0 6= 0, es necesarioque el grado de y no exceda a p ; ası:

y = Axp +Bxp−1 + . . .+Kx+ L.

Si a0 = 0 habra una raız m = 0 y en este caso:

y = x(Axp +Bxp−1 + . . .+Kx+ L)

Si a0 = a1 = 0, habra dos raıces m = 0 y tendremos:

y = x2(Axp +Bxp−1 + . . .+Kx+ L).

Una prescripcion general, que damos sin prueba es la siguiente:Dada una ecuacion:

(an(x)Dn + an−1(x)D

n−1 . . .+ a0(x))y = f(x)


conf(x) = Cxpeαx cosβx+ C ′xpeαx senβx,

donde p = 0, 1, 2 . . . y α, β son numeros reales (incluyendo el cero), C y C ′ sonconstantes distintas de cero. Si r es el numero de veces que α + iβ es raız de(anD

n + . . . a0)y = 0, la solucion particular es:

yp = (A1xp +B1x

p−1 + . . .+ L1)xreαx cosβx

+(A2xp +B2x

p−1 + . . .+ L2)xreαx senβx.

Esta regla es aplicable a cada uno de los terminos que componen f(x).


• (D2 − 4)y = 4x− 3ex

• (D2 − 4D + 5)y = 2e2x cos x− 5

• (D2 + 1)y = 2 cos x− 3 cos 2x

• (D2 + 2D + 5)y = 3e−x sen x

C. Variacion de parametros

Aunque lo propondremos solo para ecuaciones de segundo orden, este metodoes extensible a ecuaciones de orden n; puede aplicarse a ecuaciones con coeficientesconstantes o variables y supone conocida la solucion homogenea.

Sea ası, la ecuacion diferencial:

a2(x)y + a1(x)y + a0(x)y = f(x), (3.4)

Si u y v son las soluciones a la ecuacion homogenea, la solucion general homogeneaes yc = c1u + c2v. El metodo de variacion de parametros asume como solucion dela ecuacion inhomogenea:

yp = Pu+Qv,

donde ahora P y Q son funciones desconocidas de x, a las que pretendemos evaluar.Se sigue:

yp = P u+ Qv + P u+Qv,

yp =d

dx(P u+ Qv) + P u+Qv + P u+ Qv,

se sigue:

a2

[d

dx(P u+ Qv) + P u+Qv + P u+ Qv

]+ a1

[(P u+ Qv) + P u+Qv

]

+a0[Pu+Qv] = f(x).


Como u y v satisfacen la ecuacion diferencial se sigue:

a2

[d

dx(P u+ Qv) + P u+ Qv

]+ a1(P u+ Qv) = f(x)

Para evaluar P y Q se necesitan dos ecuaciones. Este metodo (debido a Legendre)sugiere escoger la siguiente condicion:

P u+ Qv = 0 (3.5)

de acuerdo a la cuala2[P u+ Qv] = f(x). (3.6)

Estas dos ecuaciones, resueltas simultaneamente, permiten evaluar P y Q:

P (x) = − f(x)v(x)

a2(x)W [u(x), v(x)]

Q(x) =f(x)u(x)

a2(x)W [u(x), v(x)]

El wronskiano no puede anularse en ningun punto del dominio de la variable x. Sesigue entonces:

yp =

∫ x v(x)u(x′)− u(x)v(x′)a2(x′)W [u(x′), v(x′)]

f(x′) dx′

=

∫ x

G(x, x′)f(x′) dx′ (3.7)

donde G(x, x′) corresponde a la funcion de Green para el operador L = a2D2 +

a1D + a0 :

G(x, x′) =v(x)u(x′)− u(x)v(x′)a2(x′)W [u(x′), v(x′)]

.

Por substitucion de (3.7) en la ecuacion diferencial (3.4) se sigue que:∫ [

a2G+ a1G+ a0G]f(x′) dx′ = f(x),

por lo cual G(x, x′) satisface la ecuacion diferencial:

a2d2G(x, x′)

dx2+ a1

dG(x, x′)

dx+ a0G(x, x′) = δ(x− x′),

esto es:LG(x, x′) = δ(x− x′) (3.8)

Observemos, en particular, que esta funcion de Green permite resolver el problemadel oscilador armonico forzado y amortiguado. Notese tambien que la funcion deGreen esta asociada al operador L, y no a la forma del termino inhomogeneo en(3.4). Sobre este tema volveremos en el capıtulo 7.


Ejercicio: Sea: y + 4y = tan 2x,es cierto que u = cos 2x, v = sen 2x, tal que:

y = P cos 2x+Q sen 2x,

entonces, las dos ecuaciones que permiten evaluar P y Q son:

P ′ cos 2x+Q′ sen 2x = 0, −2P ′ sen 2x+ 2Q′ cos 2x = tan 2x,

se sigue:

• P =sen 2x

4− 1

4ln(sec 2x+ tan2x) + c1

• Q = −cos 2x

4+ c2

De modo que:

y = −1

4cos 2x ln(sec 2x+ tan 2x) + c1 cos 2x+ c2 sen 2x

En este caso:

W [u(x), v(x)] = 2 , G(x, x′) =1

2

[sen 2x sen 2x′ − cos 2x sen 22x′

cos 2x′

]

Problemas: Hallar la solucion general de las siguientes ecuaciones diferencia-les:

• (D2 − 4)y = 4x− 3ex

• (D2 + 4D + 4)y = xe2x

• (D2 + 3D − 4)y = x2ex

• (D2 + 2aD + b2)y = Ce−ax sen cx

• (D + 3)2y = (x+ 1)ex

• (D2 + 1)y = 1/cos x

Problemas: Calcular la funcion de Green para los siguientes operadores:

• L = D2 + 3

• D2 + 4D + 4

• D2 −D − 2

• (1 − x2)D2 − 2xD

• xD2 − (1 + 2x2)D

• x2D2 − 2xD + 2


Problema: Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales verificarque yc es la solucon homogenea y hallar luego la solucion particular yp.

• xy + y = x+ 1, x : (0,∞), yc = c1 + c2 ln |x|• x2y − 2xy + 2y = x3 ln x, x > 0, yc = c1x+ c2x

2

• x2y − xy + y = x(x+ 1), yc = x(c1 + c2 ln |x|• ( sen 4x)y − 4(cos2 2x)y = tan x, yc = c1 + c2 cos 2x

• xy − (1 + 2x2)y = x5ex2

, yc = c1 + c2ex2

Problema: Resolver el problema de valores iniciales para el osciladorarmonico forzado y subamortiguado:

(D2 + 2aD + b2)y = senωt, y(0) = A, y(0) = 0

donde a, b, ω son constantes reales y a < b. Considere separadamente loscasos: 1) a = 0, b = ω. 2)a 6= 0, o b 6= ω.

El caso n-dimensional

Extendamos ahora el metodo de variacion de parametros al caso de ecuacioneslineales de orden n. Sea:

(anDn + an−1D

n−1 + · · ·+ a0)y(x) = f(x)

y supongamos conocida la solucion homogenea:

yc(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x)

Busquemos una solucion particular en la forma:

yc(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) + · · ·+ cn(x)yn(x)

Imponemos, como generalizacion de (3.5) y (3.6) las siguientes condiciones:

c1(x)y1(x) + · · ·+ cn(x)yn(x) = 0

c1(x)y1(x) + · · ·+ cn(x)yn(x) = 0

· · · · · ·c1(x)y

(n−2)1 (x) + · · ·+ cn(x)y

(n−2)n (x) = 0

an[c1(x)y(n−1)1 (x) + · · ·+ cn(x)y

(n−1)n (x)] = f(x)

Este sistema de n ecuaciones para el conjunto cn tiene solucion si el wronskianoW [y1(x), · · · , yn(x)] no es nulo, es decir, si el conjunto yn(x) es linealmente inde-pendiente.

Es posible demostrar que

ck(x) =Vk(x)f(x)

an(x)W [y1(x), · · · , yn(x)]


donde Vk representa el determinante obtenido si en el wronskiano reemplazamos lak-esima columna por

0

...

0

1

Entonces:

yp(x) =

∫y1(x)V1(x

′) + · · ·+ yn(x)Vn(x′)

an(x′)W [y1(x′), · · · , yn(x′)]f(x′) dx′

=

∫G(x, x′)f(x′) dx′

donde G(x, x′) es la funcion de Green para el operador L = anDn + an−1D

n−1 +· · ·+ a0 dada por:

G(x, x′) =y1(x)V1(x

′) + · · ·+ yn(x)Vn(x′)

an(x′)W [y1(x′), · · · , yn(x′)]o, explıcitamente:

G(x, x′) =1

an(x′)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(x′) · · · yn(x

′)y1(x

′) · · · yn(x′)

· · · · · ·y(n−2)1 (x′) · · · y

(n−2)n (x′)

y1(x) · · · yn(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(x′) · · · yn(x

′)y1(x

′) · · · yn(x′)

· · · · · ·y(n−2)1 (x′) · · · y

(n−2)n (x′)

y(n−1)1 (x′) · · · y

(n−1)n (x′)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Ejercicio: Hallar una solucion particular de la ecuacion

3...y + 5y − 2y = f(x)

con x : (−∞,∞). La solucion homogenea es:

yc(x) = c1 + c2e−2x + c3e

x/3


de donde:yp(x) = c1(x) + c2(x)e

−2x + c3(x)ex/3

Las funciones c1(x), c2(x), c3(x) satisfacen las condiciones:

c1 + c2e−2x + c3e

x/3 = 0

−2c2e−2x +

1

3c3e

x/3 = 0

4c2e−2x +

1

9c3e

x/3 =f(x)

3

Se sigue: c1 = −f(x)/2, c2 = e2xf(x)/4, c3 = 3e−x/3f(x)/7, tal que

yp(x) =

∫ [−1

2+

1

14e−2(x−x′) +

3

7e(x−x

′)/3

]f(x′) dx′

La funcion de Green del operador L = D3 + 53D

2 − 23D es:

G(x, x′) = −3

2+

3

14e−2(x−x′) +

9

7e(x−x

′)/3

Problemas: Hallar la solucion particular de las siguientes ecuaciones diferen-ciales:

• (D3 −D)y = sen x

• (D4 −D2)y = 2xe2x

• (D4 − 1)y = x2 + 1

• (D3 − 7D + 6)y = 2 sen x

• (D3 − 3D2 + 4D − 2)y = ex csc x

• (D4 − 2D3 +D2)y = 6ex − 2

El Anexo 3.2 al final del capıtulo sera util aquı.

Problemas: Calcular G(x, x′) para los siguientes operadores:

• L = D2(D − 1)

• L = D(D2 − 4)

• L = D2(D2 − 1)

• L = D4 − 1

• L = D3 − 5

2D2 − 3

2

• L = D3 − 6D2 + 11D − 6

La funcion de Green

Asumiremos en lo que sigue operadores del tipo

L = a2(x)D2 + a1(x)D + a0


Definicion: Una funcion G(x, x′) se dice que es una funcion de Green para proble-mas de valores iniciales en que intervenga el operador lineal L si y solo si G(x, x′)posee las siguientes propiedades:

a) G(x, x′) esta definida en cada punto del plano (x, x′) en el dominio (a, b) enR.

b) G(x, x′), ∂G(x,x′)∂x ,· · · , ∂

nG(x,x′)∂xn , son continuas en cada punto en R.

c) Para todo x0 en el dominio, la funcion

y(x) =

∫ x

x0

G(x, x′)f(x′) dx′

es una solucion del problema de valores iniciales Ly = 0, y(x0) = y0 = yn−1(x0) = 0.En particular, en el caso de operadores L con coeficientes constantes es cierto queG(x, x′) = y(x−x′), donde y(x) es la solucion en (−∞,∞) del problema de valoresiniciales

Ly = 0, y(0) = y(0) = · · · = yn−2(0) = 0, yn−1(0) = 1

3.1.4. Segunda solucion

Asumamos que la solucion y1 de la ecuacion diferencial homogenea

y + P (x)y +Q(x)y = 0 (3.9)

ha sido evaluada por algun metodo. Evaluemos la segunda solucion y2.Con este proposito escribamos el wronskiano:

W =

∣∣∣∣y1 y2y1 y2

∣∣∣∣ = y1y2 − y2y1 y derivemoslo con respecto a x :

W = y1y2 + y1y2 − y2y1 − y2y1Reemplazando y1 y y2 de

y1 + P y1 +Qy1 = 0 y y2 + P y2 +Qy2 = 0 , se sigue:

W = P (y2y1 − y1y2) = −PW , es decir

dW

W= −P dx , de donde: ln

W

W0= −

∫ x

a

P dx

Entonces:

W = W0e−

R

xaP dx = y1y2 − y1y2 = y2

1

d

dx

(y2y1

)


de dondey2y1

= W0

∫ x

a

e−R

x

aP dx

y21

dx

Ası pues, la segunda solucion se calcula con:

y2 = Cy1

∫ x

a

e−R

xaP dx

y12dx (3.10)

Los lımites inferiores de ambas integrales pueden desecharse porque no dan lugar,nuevamente, a y1.

Como ejemplo consideremos la siguiente ecuacion diferencial:

y + α2y = 0

Una solucion es: y1 = A senαxLa segunda solucion sera:

y2 ∝ y1

∫dx

y21

= senαx

∫dx

sen 2αx= senαx

∫csc2 x dx

= senαx(− cothαx) = − cosαx.

3.1.5. Una transformacion

Discutamos ahora una transformacion general sobre la ecuacion (3.9) que esparticularmente util. Sea y = v(x)q(x): reemplazando en (3.9) obtenemos:

qv + v(2q + Pq) + v(q + P q +Qq) = 0 (3.11)

Consideremos las dos siguientes opciones:1) Si q es solucion a la (3.9), q = y1(x), entonces:

qv + v(2q + Pq) = 0

cuya solucion (hagase v = u) tiene la forma:

v = Cy1(x)

∫e−

R

P dx

y21

dx,

en concordancia con (3.10).2) Si, mas bien, imponemos la condicion:

2q + Pq = 0, (3.12)


por substitucion en (3.11):

v +v

2(2Q− P 2 − P ) = 0

cuya forma general esv +R(x)v = 0 (3.13)

Ası pues, toda ecuacion diferencial del tipo (3.9) puede llevarse a la forma(3.13) mediante la substitucion y = vq, con

q(x) = e−12

R

P dx

La forma (3.13) es util para obtener soluciones aproximadas, como lo veremos en lasiguiente seccion.

Metodo WKB

Asumiremos que la ecuacion diferencial (3.9) ha sido llevada a la forma (3.13)y que buscamos una solucion aproximada. Si el termino R fuese una constante lasolucion v(x) tendrıa la forma:

v(x) = v0e−Rx.

Inspirandonos en esta forma exponencial propondremos, para el caso mas gen-eral en que R = R(x), una solucion del tipo:

v(x) = Ceφ(x) (3.14)

donde C es una constante. Por substitucion de (3.14) en (3.13) obtenemos:

(φ(x)

)2

+ φ+R(x) = 0 (3.15)

Si φ es pequeno en comparacion con R(x) podemos escribir:

(φ(x)

)2

+R(x) ≈ 0

cuya solucion es:

φ(x) ≈ ±i∫ √

Rdx

Una primera aproximacion a φ resulta ser entonces:

φ ≈ ± iR

2√R

(3.16)


La condicion de pequenez de φ respecto a R puede entonces expresarse en la forma:

∣∣∣φ∣∣∣ ≈ 1

2

∣∣∣∣∣R√R

∣∣∣∣∣ R (3.17)

Ası pues, la primera aproximacion a v(x) toma la forma:

v(x) ≈ Ce±iR

√Rdx

Por substitucion de φ, ec (3.16) en (3.15) podemos conseguir una segundaaproximacion para φ:

(φ2)± iR

2√R

+R ≈ 0,

de donde se sigue:

φ ≈ ±(−R∓ iR

2√R

)1/2

;

expandiendo en forma binomial, y teniendo en cuenta la ec(3.17), escribimos:

φ ≈ i√R− φ

4R,

de donde:

φ ≈ ±i∫ √

Rdx+ lnR−1/4,

tal que la nueva solucion aproximada es:

v(x) ≈≈ 1

R1/4

[C1e

iR

√Rdx + C2e

−iR

√Rdx

]

Esta es la solucion a la ec(3.13) si∣∣∣φ∣∣∣ R. La solucion falla si R varıa rapidamente

o si R pasa por el valor cero.El caso tıpico de esta ecuacion, cuyo metodo de solucion es conocido como WKB

(Wentzel, Kramers, Brillouin), es el de la ecuacion unidimensional de Schrodinger,independiente del tiempo:

− ~2

2mψ + (V −E)ψ = 0

cuya solucion aproximada es:

ψ ≈ 1

V −E[C1e

i~

R

√2m(E−V ) dx + C2e

− i~

R

√2m(E−V ) dx

](3.18)


si se cumple (3.17), que toma la forma:

d

dx(E − V ) 2

~

√2m(V −E)3/2, o:

d(E − V )

(E − V ) 2

~

√2m(E − V ) dx

Puesto que el radical en el exponencial de (3.18) puede interpretarse como el numerode onda k =

√2m(E − V ) podemos escribir:

d(E − V )

(E − V ) 2

~k dx

de modo que, con k = 2π/λ :

d(E − V )

(E − V ) dx

λ,

esto es, el cambio fraccional en E −V debe ser pequeno respecto a la faccion dx/λ.Esto significa que dx debe ser grande en comparacion con λ, o que la variacion frac-cional de E−V en una longitud de onda debe ser pequena. Mas informacion puedeencontrarse en las paginas 104 y ss. del texto de D. Park citado en la bibliografıa.


Una gran cantidad de situaciones fısicas puede ser descrita utilizando ecuacionesdiferenciales que incluyen funciones de dos o mas variables. Las conocemos comoecuaciones diferenciales parciales pues incluyen derivadas respecto a cada una delas variables.

Llamase ecuacion diferencial parcial de segundo orden en las variables inde-pendientes x y y, a una relacion entre la funcion incognita u(x, y) y sus derivadasparciales hasta el segundo orden:

F (x, y, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0

Y analogamente para un numero mayor de variables independientes.Una ecuacion diferencial parcial es lineal respecto a la derivada de segundo

orden si tiene la forma:

Auxx +Buxy + Cuyy + F1(x, y, u, ux, uy) = 0

donde A,B,C son, en general, funciones de x y y.


La ecuacion sera lineal si lo es respecto a la funcion u y a sus primeras ysegundas derivadas:

Auxx +Buxy + Cuyy +Dux +Euy + Fu = G

donde A,B,C,D,E, F,G son, en general, funciones de x y y. La ecuacion es ho-mogenea si G = 0.

3.2.1. Clasificacion de las EDP

Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) pueden ser reducidas a formas massimples con un doble proposito. El primero es lograr una clasificacion de las EDPrelacionada con las condiciones de frontera. El segundo es permitir la aplicacion dela tecnica de separacion de variables.

Antes de entrar en el problema de la reduccion de las EDP consideremos elcorrespondiente problema algebraico: reduccion de las conicas a su forma canonica.

A. Conicas

La expresion:

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+Ey + F = 0

describe una conica, como puede comprobarse si se realiza una rotacion de co-ordenadas que elimine el termino cruzado xy. Tal procedimiento alinea los ejescoordenados con los ejes de simetrıa de las conicas.

Bajo la rotacion: x = x′ cos θ − y′ sen θ, y = y′ cos θ + x′ sen θ, la ecuacion delas conicas toma la forma

A′x′2 +B′x′y′ + C ′y′2 +D′x′ +E′y′ + F = 0,

donde:

A′ = Acos2θ + C sen 2θ +B sen θ cos θ

B′ = (C −A) sen 2θ +B cos 2θ

C ′ = A sen 2θ + Ccos2θ −B sen θ cos θ

D′ = D cos θ +E sen θ

E′ = −D sen θ +E cos θ.

El termino x′y′ puede eliminarse si se hace B′ = 0, esto es si

tan 2θ = B/(A− C)


De este modo la ecuacion diagonalizada es:

A′x′2 + Cy′2 +D′x′ +E′y′ + F ′ = 0 (3.19)

Si A′ 6= 0 y C ′ 6= 0 esta ecuacion es, equivalentemente:

A′(x′ +D′/2A′)2 + C ′(y′ +E′/2C ′)2 + F ′ = 0,

donde : F ′ = F −D′2/4A′ −E′2/4C ′.

Obtenemos ası elipses e hiperbolas, cuyas formas canonicas son:

A′(x′ − x′0)2 + C ′(y′ − y′0)2 + F ′ = 0

Elipses corresponden a A′C ′ > 0, e hiperbolas a A′C ′ < 0. El caso de parabolas,correspondiente a A′C ′ = 0, ha de estudiarse partiendo de la ecuacion diagonalizaday sin factorizar (3.19).

B. Ecuaciones diferenciales

Consideremos ecuaciones diferenciales en dos variables, con coeficientes con-stantes, del tipo:

Auxx +Buxy + Cuyy +Dux +Euy + Fu = G(x, y) (3.20)

donde: u = u(x, y).

Bajo la rotacion de coordenadas: x′ = x cos θ + y sen θ, y′ = −x sen θ + y cos θ

Obtenemos:

∂u

∂x=

∂u

∂x′∂x′

∂x+∂u

∂y′∂y′

∂x= u′x cos θ − u′y sen θ = ux

∂2u

∂x2= u′xx cos2 θ − 2u′xy sen θ cos θ + u′yy sen 2θ = uxx

∂u

∂y= u′x sen θ + u′y cos θ = uy

∂2u

∂y2= u′xx sen 2θ + 2u′xy sen θ cos θ + u′yy cos2 θ = uyy

∂2u

∂x∂y= u′xx sen θ cos θ + u′xy(cos2 θ − sen 2θ)− u′yy sen θ cos θ = uxy

Reemplazando en (3.20) y factorizando:


[A cos2 θ +B sen θ cos θ + C sen 2θ]u′xx + [(C −A) sen 2θ +B cos 2θ]u′xy

+[A sen 2θ −B sen θ cos θ + C cos2 θ]u′yy + [D cos θ +E sen θ]u′x]

+[−D sen θ +E cos θ]u′y + Fu′ = G′]

o: A′u′xx + B′u′xy + C ′u′yy +D′u′x +E′u′y + Fu′ = G′

En el nuevo sistema de coordenadas el termino mixto u′xy desaparece si B′ = 0,es decir si

tan 2θ =B

A− C (3.21)

y la ecuacion diferencial es:

A′u′xx + C ′u′yy +D′u′x +E′u′y + Fu′ = G′ (3.22)

En los coeficientes A′, C ′, D′, E′ el angulo θ esta dado por la ec (3.21).La ecuacion (3.22), puede factorizarse ası:

A′[u′xx +

D′

A′ u′x

]+ C ′

[u′yy +

E′u′yC ′

]+ Fu′ = G′ ,

con A′ 6= 0 y C ′ 6= 0. Tambien:

A′[Dx′ +

D′

2A′

]2u′ + C ′

[Dy′ +

E′

2C ′

]2u′ + F ′u′ −G′ = 0 (3.23)

con:

Dx′ ≡ ∂

∂x′, Dy′ ≡

∂

∂y′, F ′ = F − D′2

4A′ −E′2

4C ′

La ecuacion (3.23) se asemeja a conicas pues su forma generica es:

A′(x− x0)2 + C ′(y − y0)2 + F = 0

Ası pues, diremos que la ecuacion (3.22) es de tipo elıptico siA′C ′ > 0, hiperboli-co si A′C ′ < 0 y parabolico si A′C ′ = 0 ( en el ultimo caso el analisis se hacepartiendo de la ecuacion (3.22) para evitar los infinitos que aparecen en (3.23)). SiC ′ = 0 el tipo parabolico toma la forma:

A′[Dx′ +

D′

2A′

]2u′ +E′uy + F ′′u−G′ = 0


Ahora bien, conviene expresar las condiciones A′C ′ > 0, A′C ′ < 0, A′C ′ = 0en forma tal que aparezcan directamente los coeficientes A,B,C . . . de la ecuacionoriginal (3.20). Teniendo en cuenta que:

A′ = A cos2 θ +B sen θ cos θ + C sen 2θ

=1

2[A(1 + cos 2θ) +B sen 2θ + C(1− cos 2θ)]

C ′ = A sen 2θ −B sen θ cos θ + C cos2 θ

=1

2[A(1− cos 2θ)−B sen 2θ + C(1 + cos 2θ)]

y que de tan 2θ = B/(A− C) se sigue:

sen 2θ =B√

(A− C)2 +B2, cos 2θ =

A− C√(A− C)2 +B2

(3.24)

podemos escribir:

A′ =1

2

[(A+ C) +

√(A− C)2 +B2

]

C ′ =1

2

[(A+ C)−

√(A− C)2 +B2

]

de donde:A′C ′ = [4AC −B2]/4

Se sigue que:

A′C ′ > 0 si −B2 + 4AC > 0A′C ′ < 0 si −B2 + 4AC < 0A′C ′ = 0 si −B2 + 4AC = 0

En consecuencia: una ecuacion diferencial parcial en dos variables es de tipo:

• Elıptico si B2 − 4AC < 0• hiperbolico si B2 − 4AC > 0• parabolico si B2 = 4AC.

La ecuacion (3.22) puede particularizarse a formas bidimensionales de ecua-ciones bastante conocidas:

• Ecuacion de Poisson, si A′ = C ′ = 1, D′ = E′ = F = 0• Ecuacion de Laplace, si ademas de lo anterior G′ = O• Ecuacion de difusion, si A′ = 1, E′ = −K, C ′ = D′ = F = G′ = 0 y si, ademas,


y representa el tiempo.• Ecuacion de ondas con fuentes, si A′ = 1, C ′ = −1/v2, D′ = E′ = F = O y si yrepresenta el tiempo.

Las ecuaciones de Laplace y Poisson en 2D son elıpticas, la de ondas es hiperboli-ca y la de difusion es parabolica. Esta clasificacion apunta hacia la conexion entreecuaciones diferenciales y condiciones de frontera. Enlazando lo dicho aquı con lasconclusiones del capıtulo 2, y generalizando, podemos decir:

• Las ecuaciones elıpticas satisfacen condiciones de frontera de Dirichlet oNewmann o mixtas.

• Las ecuaciones hiperbolicas satisfacen condiciones de Cauchy.

• Las ecuaciones parabolicas satisfacen condiciones del tipo de la ecuacion delcalor.

La anterior clasificacion de ecuaciones diferenciales parciales es valida aun silos coeficientes A,B,C . . . son funciones de x y y. Esto implica que la clasificacion esvalida localmente; ası, la misma ecuacion puede ser de diferentes tipos en diferentespuntos, como lo veremos en uno de los ejemplos que siguen. La clasificacion esademas invariante en cada punto bajo transformacion de coordenadas.

Este tema, extendido a 3D, se encuentra en el Anexo 1, al final del capıtulo.

Ejemplos:

• uxx + uyy + 3uxy = 0 es hiperbolica

• uxx + uyy + uxy = 0 es elıptica

• uxx + uyy + 2uxy = 0 es parabolica

• uxx − uyy = 0 es hiperbolica, con B2 − 4AC = 4

• uxx + uyy + u = xy es elıptica, con B2 − 4AC = −4

• uxx + ux − uy + u = 0 es parabolica, con B2 − 4AC = 0

• uxx + xuyy = 0 es elıptica para x > 0 e hiperbolica para x < 0.

Problemas: Estudiar los dominios en los que las siguientes ecuaciones difer-enciales son elıpticas, parabolicas o hiperbolicas:

• (x− l)uxx + 2xyuxy − y2uyy = 0, l > 0

• 4y2uxx − e2xuyy − 4y2ux = 0

• x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0

• xuxx + yuyy = 0

• x2uxx + y2uyy = 0

• x2uxx − y2uyy = 0


Problema: La ecuacion diferencial

uxx + uyy + auxy = 0

puede ser solucionada por separacion de variables si se realiza unarotacion coordenada que elimine el termino cruzado. Calcule el anguloθ que ha de ser rotado el sistema de coordenadas, resuelva la ecuaciondiferencial rotada y exprese la solucion en el sistema coordenado origi-nal. Compruebe que las condiciones de frontera que han de imponersedependen del valor de a.

3.2.2. Ecuaciones homogeneas

En el caso de ecuaciones diferenciales parciales homogeneas con coeficientesconstantes y por comparacion con la ecuacion diferencial ordinaria puede sospecharsela existencia de soluciones exponenciales para la ecuacion:

Auxx +Buxy + Cuyy +Dux +Euy + Fu = 0

donde: ux ≡ ∂u/∂x etc, y A,B . . . constantes.Sea ası:

u = cemx+ny

∴ Am2 +Bmn+ Cn2 +Dm+En+ F = 0

Ejemplo: uxx − uyy − 2ux + u = 0

Solucion:con (m− 1)2 = n2 :

u = emx[c1e

(m−1)y + c2e−(m−1)y

]

Ejemplo: Es facil concluir que la ecuacion

uxx −1

v2utt = 0

tiene como solucionu = emx

[c1e

mvt + c2e−mvt]

Esta solucion describe ondas viajeras si m = ik, siendo k un numero real.

3.2.3. Separacion de variables

Introduccion

La propuesta de separar variables en una ecuacion diferencial parcial comien-za por asumir una solucion que es un producto de funciones de cada una de lasvariables:

u(x, y) = A(x)B(y)


Este metodo no es de validez general y solo cabe ensayarlo en ecuaciones linealesy homogeneas. Es aplicable a ecuaciones de diversos tipos como lo detallaremos alcomienzo de la seccion 3.3. Por ahora, nos restringimos a coordenadas cartesianas

Ejemplo: uxx − uy = 0

Sea: u = A(x)B(y)

de donde:1

A

d2A

dx2=

1

B

dB

dy

Si hacemos variar x mientras y permanece fijo, el termino de la derecha esconstante, por tanto tambien el de la izquierda; ası, una primera solucion paravalores reales y positivos de α es:

1

A

d2A

dx2= α2 y

1

B

dB

dy= α2 (3.25)

de modo que

A ∝ e±αx , B ∝ eα2y

Por tanto

u =(c1e

αx + c2e−αx) eα

2y (3.26)

α2 se conoce como constante de separacion. Como α es real (positivo o negati-vo), la parte en x de la solucion es real y el exponencial en y es creciente.

En vez de (3.25) podemos escribir (con β real)

1

A

d2A

dx2= −β2 y

1

B

dB

dy= −β2

por lo cual es posible una segunda solucion donde la parte en x es compleja mientrasaquella en y es exponencial decreciente. Con β > 0 la solucion es:

u =(d1e

iβx + d2e−iβx) e−β2y (3.27)

[Las soluciones (3.26) y (3.27) provienen, de un modo equivalente, de tomar en(3.25): α = a + ib con a y b reales. Si b = 0 se obtiene (3.27) y si a = 0 se obtiene(3.26).]

Una tercera solucion corresponde a α = 0 en (3.25), de donde u = ax + b.De acuerdo a la teorıa general de ecuaciones diferenciales, la solucion general hade expresarse como combinacion lineal de las anteriores soluciones. Ası pues, conα > 0 y β > 0:

u =(c1e

αx + c2e−αx) eα2y +

(d1e

iβx + d2e−iβx) e−β2y + ax+ b


En principio la solucion (3.26) es valida para todos los valores reales de α. Portanto la solucion general es una combinacion lineal (en este caso una integral, puesα es real ) de la forma:

u(x) =

∫ ∞

0

[c(α)eαx + d(α)e−αx

]eα

2y dα, (3.28)

o, equivalentemente (notense los lımites de la integral):

u(x) =

∫ ∞

−∞c(α)eαx+α

2y dα,

De igual manera, la ecuacion (3.27) es valida para todos los valores reales deβ, por lo cual:

u(x) =

∫ ∞

0

[a(β)eiβx + b(β)e−iβx

]e−β

2y dβ (3.29)

La solucion general a la ecuacion uxx − uy = 0 toma entonces la forma:

u(x, y) =

∫ ∞

0

[c(α)eαx + d(α)e−αx

]eα

2y dα

+

∫ ∞

0

[a(β)eiβx + b(β)e−iβx

]e−β

2y dβ + ax+ b (3.30)

Como lo haremos explıcito en los ejemplos de la seccion 3.3 es frecuente que α(o β) tomen valores proporcionales a un entero; en tal caso las integrales en (3.30)se convierten en una suma. Las ecuaciones (3.26) y (3.27) son utilizables sumandosobre el ındice entero n.

Problemas: Resolver las siguientes ecuaciones:

• uxx − 2ux + uy = 0

• uxx + uyy − ux

a2= 0

• uxx − y2uyy − yuy = 0

• uxy = 0

• uxx − uxy + uyy = 2x

• uxx − uyy − uy = 0

• y2uyy − x2uxx = 0

Teorıa general cartesiana

La forma mas general de una ecuacion diferencial lineal de segundo orden,homogenea, en coordenadas cartesianas, tiene la forma:

A(x, y)uxx +B(x, y)uxy + C(x, y)uyy +D(x, y)ux +E(x, y)uy + F (x, y)u = 0


La propuesta de separacion de variables dice que: u(x, y) = X(x)Y (y). Reem-plazando y dividiendo por XY se sigue, despues de agrupar:

(AX

X+DX

X

)+

(BXY

XY

)+

(CY

Y+EY

Y

)+ F = 0

Hemos expresado mediante puntos las derivadas: dX/dx = X , dY/dy = Y , etc.Esta ecuacion es separable, es decir cada uno de los parentesis es funcion solo de xo de y si:

El primer parentesis es funcion solo de x, lo que se logra si A = A(x) yD = (x);

Si B = 0; es decir, si no hay terminos cruzados uxy. Esto puede lograrsediagonalizando la ecuacion diferencial.

Si el tercer parentesis es funcion solo de y, es decir si C = C(y) y E = E(y);

Si F = F (x) o F = F (y) o F = constante.

Ası pues, en el caso en que F = F (x), (incluyendo valor constante) tendremos:

A(x)X

X+D(x)X

X+ F (x) = ±α2,

C(y)Y

Y+E(y)Y

Y= ∓α2, y B = 0.

o si F = (y), (o constante):

A(x)X

X+D(x)X

X= ±α2,

C(y)Y

Y+E(y)Y

Y+ F (y) = ∓α2, y B = 0.

Asumimos α real y positivo y dos signos posibles ±α. Los signos alternados± significan que si en la ecuacion en x se toma el +, en y se tomara el −, yrecıprocamente. Anticipamos que, por diagonalizacion, siempre puede lograrse queB desaparezca.

La solucion que hemos propuesto es en principio valida para todo valor de α2

real (por ello hemos introducido los signos ±, aunque pudimos haber considerado


α real o imaginario puro, y entonces hubiera bastado con +α2). La solucion conα = 0 debe ser tomada en cuenta como solucion independiente.

Es claro que la separacion de variables solo puede realizarse si la ecuaciondiferencial es homogenea; aunque puede aplicarse a ecuaciones inhomogeneas quesean reducibles a homogeneas.

Ası pues, toda ecuacion diferencial en dos variables, homogenizable, puede serescrita, mediante una previa diagonalizacion, en una forma que no contiene uxy, yes separable si tiene la forma:

A(x)uxx + C(y)uyy +D(x)ux +E(y)uy + Fu = 0,

donde F es una funcion solo de x o solo de y.Si F = F (x) las ecuaciones diferenciales ordinarias originadas por la separacion

de variables son :

A(x)X +D(x)X + F (x)X ∓ α2X = 0 y

C(y)Y +E(y)Y ± α2Y = 0

Dado que X y Y dependen tambien del parametro α, la solucion para u habra deescribirse en la forma:

u(x, y) = X(x, α)Y (y, α),

La solucion que hemos propuesto es valida para todo α real: de acuerdo a lateorıa de ecuaciones diferenciales la solucion general sera la combinacion lineal delas soluciones para cada α, y debera involucrar una integral sobre α; ası pues, lasolucion general es:

u(x, y) =

∫ ∞

0

X(x, α)Y (y, α) dα (3.31)

Los lımites de integracion que hemos escogido aquı son convencionales y puedenextenderse de −∞ a +∞. En los casos en los que las condiciones de frontera exijanque α sea proporcional a un entero, la ecuacion (3.31) ha de escribirse:

u(x, y) =∑

n

X(x, n)Y (y, n) (3.32)

En la aplicacion de la tecnica de separacion de variables a problemas fısicosresulta equivalente utilizar la solucion:

u(x, y) = X(x, α)Y (y, α) , o u(x, y) =

∫ ∞

0

X(x, α)Y (y, α) dα,

3.3. SEPARACION DE LA ECUACION DE LAPLACE 119

con una restriccion simple: cuando el problema fısico no ponga exigencias sobre α,la solucion debera en el primer caso implicar una integral sobre α, o si el problemaexige que α sea proporcional a un entero n, debera haber una suma sobre n. Estoesta dicho ya en la forma integral de la solucion, la que, ademas se transforma enuna suma si α es proporcional a un entero.

par En las secciones 3.3.1 y 3.3.2 implementaremos estas ideas a la solucionde ecuaciones en 2D y coordenadas cartesianas. En el capıtulo 4 veremos que enel caso de ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes constantes este metodoequivale a la aplicacion de la tecnica de Fourier. En las secciones 3.3.3 y 3.3.4 elmetodo de separacion de variables se hara extensivo a la ecuacion de Laplace encoordenadas cilındricas y esfericas, y en la seccion 3.4 lo aplicaremos a la ecuacionde ondas unidimensional.

Generalizando, podemos decir que la solucion a una ecuacion diferencial linealpara φ(ui), separable, en coordenadas curvilıneas ui es de la forma:

φ(u1, u2, u3) = A(u1)B(u2)C(u3).

Es importante anotar que el metodo de separacion de variables separa las vari-ables en un solo paso solo en coordenadas cartesianas. En otros sistemas de coor-denadas, como sera claro en las secciones que siguen, la separacion se hace paso apaso.

3.3. Separacion de la ecuacion de Laplace

Volvemos en esta seccion sobre temas propuestos en la seccion 3.2.3.Solo en 11 sistemas de coordenadas es posible separar la ecuacion de ondas

y la ecuacion de Schrodinger (en esta ultima la separabilidad solo ocurre paraciertas formas del potencial): cartesianas, cilındricas, esfericas, cilındricas elıpticas,parabolicas, parabolicas cilındricas, paraboloidales, esferoidales oblatas, esferoidalesprolatas, conicas, elipsoidales. La ecuacion de Laplace en dos dimensiones es sepa-rable en cualquier sistema de coordenadas que sea una transformacion conforme delcartesiano, y en tres dimensiones es separable en los 11 sistemas anteriores. En lo quesigue realizaremos la separacion de variables en coordenadas cartesianas, cilındricasy esfericas; las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, asociadas a las varia-bles radiales ρ y r, para los dos ultimos sistemas coordenados, las resolveremos enel capıtulo 8.

3.3.1. Coordenadas cartesianas en 2D

La ecuacion uxx + uyy = 0 es de tipo elıptico pues B2 − 4AC = −4.En consecuencia debe proveerse el valor de la funcion u (o de su derivada

normal) sobre la superficie.


Por separacion de variables: u(x, y) = A(x)B(y):

d2A

dx2B +A

d2B

dy2= 0 o:

1

A

d2A

dx2+

1

B

d2B

dy2= 0

∴1

A

d2A

dx2= −α2 y

1

B

d2B

dy2= +α2, entonces

u(x, y) = (c1eiαx + c2e

−iαx)(c3eαy + c4e

−αy) (3.33)

En vez de exponenciales podemos, equivalentemente, utilizar funciones trigo-nometricas e hiperbolicas, con lo cual:

u(x, y) = (d1 cosαx + d2 senαx)(d3 coshαx + d4 sinhαx) (3.34)

En principio, la ecuacion de Laplace es satisfecha por esta solucion para todoslos valores de α positivos (escrita en la forma dada arriba la solucion produceredundancias si α toma valores positivos y negativos). Ası pues, y de acuerdo a lateorıa de las ecuaciones diferenciales, la combinacion lineal de las soluciones (hayuna para cada α) es la solucion general. Es obvio que puesto que α es continuo lacombinacion lineal es una integral sobre α. Ası pues, podemos escribir:

u(x, y) =

∫ ∞

0

[A(α)eiαx +B(α)e−iαx][C(α)eαy +D(α)e−αy] dα (3.35)

Puede probarse facilmente que dos formas equivalentes donde α toma valorespositivos y negativos son:

u(x, y) =

∫ ∞

−∞[A(α)eαy +B(α)e−αy ]eiαxdα

=

∫ ∞

−∞[A(α)eiαx +B(α)e−iαx]eαydα

Ejercicio: Consideremos ahora la solucion a la ecuacion de Laplace en el dominio0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤∞, con condiciones de frontera de Dirichlet:

u(0, y) = 0 , u(L, y) = 0 , u(x, 0) = f(x) u(x,∞)→ 0 :

• Si u→ 0 para y →∞ tendremos en (3.35): C(α) = 0,

∴ u =

∫ ∞

0

[A(α)eiαx + B(α)e−iαx]e−αydα


• Con u(0, y) = 0 se sigue: B(α) = −A(α), por tanto, con C(α) = 2iA(α)

∴ u =

∫ ∞

0

C(α) senαx e−αydα

• Con u(L, y) = 0 se consigue:

0 =

∫ ∞

0

C(α) senαL e−αydα

esto es: sen αL = 0, de donde:

αL = nπ o: α =nπ

L, n = 1, 2, 3, . . .

Ası pues, no todos los valores de α estan permitidos, sino solo aquellos quesatisfagan la condicion anterior, lo que implica que la integral ha de reducirseuna sumatoria en n. Esto se consigue con: C(α) =

∑∞n=1 cnδ(α− nπ/L), por

lo cual:

u(x, y) =

∫ ∞

0

C(α) senαx e−αydα =

∞∑

n=1

cn

∫δ(α − nπ/L) senαx e−αydα

=∞∑

n=1

cn sen(nπxL

)e−nπy/L

Los valores de n negativos estan excluidos pues dan lugar a exponencialespositivas en y que dejan de cumplir la condicion u→ 0 en y →∞.

• Finalmente:

u(x, 0) = f(x) =

∞∑

n=1

cn sen(nπxL

)(3.36)

Para despejar cn hay que deshacer la sumatoria, lo se logra generando dentrode ella una delta de Kronecker. Esto puede hacerse aquı utilizando la ortogo-nalidad de la base de senos, que describiremos en el capıtulo siguiente y quetiene la forma:

∫ L

0

sen(nπxL

)sen

(n′πx

L

)dx =

L

2δnn′ (3.37)

Ası, multiplicando (3.36) por sen(n′πxL

)e integrando en x de 0 a L:

∫ L

0

f(x) sen

(n′πx

L

)dx =

L

2

∞∑

n=1

cnδnn′ =L

2cn′


De modo que: cn = 2L

∫ L0 f(x′) sen

(nπx′

L

)dx′, y por tanto:

u(x, y) =2

L

∞∑

n=1

[∫ L

0

f(x′) sen

(nπx′

L

)dx′

]e−

nπyL sen

(nπxL

)

Este resultado puede obtenerse tambien con (3.33), reconociendo que αL = nπexige una suma sobre n.

Con lo anterior queda verificado en este caso particular que las condiciones defrontera propuestas son suficientes para garantizar la unicidad de la solucion.

Ahora bien, otra solucion general a la ecuacion de Laplace bidimensionalcorresponde a:

1

A

d2A

dx2= β2 y

1

B

d2B

dy2= −β2

de donde se sigue:

u(x, y) = (c1eβx + c2e−βx)(c3eiβy + c4e

−iβy).

Teniendo en cuenta que la solucion ha de ser valida para todos los valores positivosde β podemos escribir:

u(x, y) =

∫ ∞

0

[A(β)eβx +B(β)e−βx][C(β)eiβy +D(β)e−iβy] dβ

o:

u(x, y) =

∫ ∞

−∞[A(β)eiβy +B(β)e−iβy ]eβxdβ,

o:

u(x, y) =

∫ ∞

−∞[A(β)eβx +B(β)e−βx]eiβydβ

Esta nueva solucion, como puede probarse, no satisface las condiciones de fronteraespecıficas propuestas en el ejercicio anterior, y tampoco la solucion obtenida de laseparacion de variables con α = 0:

u = (ax+ b)(cy + d)

Finalmente, observese que la solucion de la ecuacion de Laplace 2-dimensional,con coeficientes constantes, puede obtenerse en forma directa haciendo:

u = eβx+αy

Al reemplazar en la ecuacion de ondas se sigue que: α = ±iβ o β = ±iα, de donde

u(x, y) = Aeα(x+iy) +Beα(x−iy) + Ceβ(ix+y) +Deβ(−ix+y)

En esta ecuacion α y β pueden ser mayores o menores que cero.


Problema: Encuentre la solucion a la ecuacion de Laplace bidimensional enla region: 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b y con las condiciones de frontera:u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = V (x).

Problemas: Resolver

a) uxx+uyy−2uy+u = 0 con: u(0, y) = u(L, y) = 0, u(x, 0) = f(x),u(x,L) = 0

b) uxx + ux − uy + u = 0 con: u(0, y) = u(L, y) = 0, u(x, 0) = f(x).

Observese, de acuerdo a los teoremas de unicidad, que el tipo decondiciones de frontera propuesto es el correcto.

Una generalizacion: El problema anterior puede ser generalizado para incluirpotenciales u(x, y) diferentes de cero en las cuatro fronteras. En este casola solucion se obtiene facilmente si se considera un potencial formado por lasuma de cuatro potenciales, cada uno de los cuales responde por una de lasfronteras. Ası pues: u = u1 + u2 + u3 + u4. Obtenga u si:

• u1 = 0 en x = 0, a , y = b y u1 = V1 en y = 0

• u2 = 0 en x = 0, a, y = 0 y u2 = V2 en y = b

• u3 = 0 en x = a, y = 0, b y u3 = V3 en x = 0

• u4 = 0 en x = 0, y = 0, b y u4 = V4 en x = a.

Ejercicio: Estudiemos ahora un caso en el que las condiciones de frontera no res-tringen α a ser proporcional a un entero.

Evaluemos la solucion a la ecuacion de Laplace bidimensional para −∞ < x <∞, 0 ≤ y ≤ b, con u(x, 0) = 0, u(x, b) = V (x) y u −→ 0 para x −→ ±∞.Partiendo de la ecuacion (3.35) y con u(x, 0) = 0 se sigue que: D(α) = −C(α);ası pues:

u(x, y) = 2

∫ ∞

−∞C(α)eiαx sinhαy dα;

y puesto que u(x, b) = V (x) tendremos:

V (x) = 2

∫ ∞

−∞C(α)eiαx sinhαb dα,

multiplicando por e−iα′xdx e integrando entre −∞ e ∞ se sigue:

∫ ∞

−∞V (x)e−iα

′x dx = 4πC(α′) senα′b.

Con ligeros cambios en notacion podemos escribir:

C(α) =1

4π sinhαb

∫ ∞

−∞V (x′)e−iαx

′

dx′,


de modo que

u(x, y) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞V (x′)eiα(x−x′) sinhαy

sinhαbdαdx.

Finalmente, la condicion u −→ 0 en x −→ ±∞ queda garantizada por ellema que enunciamos a continuacion, valido para funciones V (x) tales que laintegral

∫∞−∞ V (x)dx tiene un valor finito.

Lema de Riemann-Lebesgue

Una funcion f(α) es absolutamente integrable si:

∫ b

a

|f(α)| dα = finito;

en tal caso es cierto que:

lımx−→±∞

∫ b

a

eiαxf(α) dα = 0

Problema: Encuentre la solucion a la ecuacion de Laplace bidimensional,para 0 ≤ x < ∞, 0 ≤ y ≤ b, con las siguientes condiciones de frontera:u(0, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = V (x) y u −→ 0 para x −→ ∞. Utilicela ecuacion (3.35).

Nota:

Es importante observar que en los casos donde el problema esta restringido auna region finita (por ejemplo 0 ≤ x ≤ a) con u = 0 sobre las fronteras, se obtienenvalores de α proporcionales a un entero n con una solucion un para cada n; en estecaso la solucion general corresponde a una sumatoria sobre n. En contraste, en loscasos donde el intervalo es infinito o semi-infinito, con u = 0 en los extremos, no hayrestriccion sobre α, tal que este parametro puede adoptar todos los valores reales,haciendo que la solucion general se exprese como una integral sobre α.

3.3.2. Coordenadas cartesianas en 3-D

Como ejemplo consideremos la ecuacion

uxx + uyy + uz = 0

La separacion de variables tiene ahora la forma

u(x, y, z) = A(x)B(y)C(z)


tal que reemplazando y dividiendo por ABC obtenemos:

A

A+B

B+C

C= 0

Esta ecuacion es la suma de tres terminos, cada uno de los cuales depende deuna sola variable, en consecuencia:

A

A= α2,

B

B= β2,

C

C= −α2 − β2

pero tambien:A

A= −γ2,

B

B= δ2,

C

C= γ2 − δ2

otra opcion es:A

A= 0,

B

B= ε2,

C

C= −ε2,

siendo estas ´solo algunas de las formas posibles. Con cada una de ellas se formaun producto ABC, de modo que, por ejemplo u1 = A1B1C1; en general u =

∑ui.

Observemos que para ecuaciones en 2D hay un solo parametro de separacion devariables, para 3D hay dos.

Problema: Escriba la solucion mas general de la ecuacion de Laplace tridi-mensional en coordenadas cartesianas.

3.3.3. Coordenadas cilındricas

En coordenadas cilındricas la ecuacion de Laplace se escribe:

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2φ

∂ϕ2+∂2φ

∂z2= 0

con la separacion de variables φ = R(ρ)G(ϕ)Z(z) obtenemos, despues de reemplazary dividir por RGZ/ρ2:

ρ

R

d

dρ

(ρdR

dρ

)+

1

G

d2G

dϕ2+ρ2

Z

d2Z

dz2= 0

El sumando central de la anterior ecuacion depende solo de ϕ, aunque los dosrestantes mezclan ρ y z. Ha de ser cierto entonces que:

1

G

d2G

dϕ2= −ν2

cuya solucion para ν 6= 0 es:

G(ϕ) = Aeiνϕ +Be−iνϕ


Hemos escogido −ν2 para obtener soluciones armonicas angulares, que son lasunicas que garantizan la continuidad de la funcion φ en los casos en que el anguloϕ admita valores entre 0 y 2π. En efecto, si G(ϕ) = G(ϕ + 2π) debera ser ciertoque eiνϕ = eiν(ϕ+2π), lo que se cumple si ν es un entero n. Se sigue entonces:

ρ

R

d

dρ

(ρdR

dρ

)+ρ2

Z

d2Z

dz2= n2 , o

1

ρR

d

dρ

(ρdR

dρ

)− n2

ρ2+

1

Z

d2Z

dz2= 0

En la ultima ecuacion estan separadas z y ρ. Podemos escribir:

1

Z

d2Z

dz2= k2

cuya solucion para k 6= 0 es:

Z(z) = Cekz +De−kz

Finalmente, tenemos la ecuacion radial:

1

ρ

d

dρ

(ρdR

dρ

)+

(k2 − n2

ρ2

)R = 0

cambiando variable en la forma x = kρ obtenemos:

d2R

dx2+

1

x

dR

dx+

(1− n2

x2

)R = 0

Esta es la Ecuacion de Bessel, cuya solucion da lugar, como veremos en elcapıtulo 8 a las funciones de Bessel Jn(kr) y de Neumann Nn(kr).

Ası pues, una solucion a la ecuacion de Laplace, que incluye una sumatoriasobre n y una integral sobre k (que las condiciones de frontera pueden reducir a unasuma) es:

φ1 =

∞∑

n=0

∫ ∞

0

(EJn(kr) + FNn(kr))(Aeinϕ +Beinϕ

) (CEkz +De−kz

)dk

Ahora bien, en los casos en que ϕ no abarque el angulo completo 2π, no tienepor que cumplirse la condicion de continuidad de G(ϕ) por lo cual es aceptable unasolucion que contenga una integral en ν y una integral en k.

En el caso en que ϕ no abarque el angulo completo 2π es aceptable una separa-cion de variables del tipo

d2G

dϕ2= µ2G


cuya solucion es: G(ϕ) = A′eµϕ +B′e−µϕ, que da lugar a

φ2 =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

(EJµ(kr) + FNµ(kr)) (Aeµϕ +Beµϕ)(CEkz +De−kz

)dk dµ

Una tercera solucion, con ν = 0 es G(ϕ) = aϕ + b. Es tambien posible hacer unaseparacion en z de la forma:

d2Z

dz2= −k2Z

de donde Z(z) = Ceikz + De−ikz ; y tambien podemos hacer k = 0, con lo cualZ(z) = a′z + b′. Estas alternativas dan lugar a soluciones que no explicitaremosaquı, que incluyen integrales sobre ν.

Problema: Explore en detalle todas las alternativas y escriba la solucion masgeneral.

Problema: Demuestre que una solucion a la ecuacion de Helmholtz (∇2 +k2)φ = 0 en coordenadas cilıcas, que satisface la condicionnde con-tinuidad en ϕ es:

φ =∞X

n=0

Z ∞

0(EJn(γr) + FNn(γr))

`Aeinϕ + Beinϕ

´

×“CE

√γ2−k2z +De−

√γ2−k2z

”dγ

Problema: Demuestre que la siguiente generalizacion de la ecuacion deHelmholtz es separable en coordenadas cilındricas:

»∇2 + k2 +

g(ϕ)

ρ2+ h(z)

–Ψ(ρ, ϕ, z) = 0

Coordenadas polares

Un caso particular de notable interes es la ecuacion de Laplace en coordenadaspolares:

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2φ

∂ϕ2= 0

Implementando la separacion φ(ρ, ϕ) = R(ρ)G(ϕ) obtenemos:

ρ

R

d

dρ

(ρdR

dρ

)+

1

ρ2

∂2G

∂ϕ2= 0

de donded2G

dϕ2= −ν2G, y ρ

d

dρ

(ρdR

dρ

)− ν2R = 0


Nuevamente hemos escogido −ν2, que garantiza la continuidad de la funcionG(ϕ) si ν = n = entero. Obtenemos, para n 6= 0 y positivo:

G(ϕ) = Aeinϕ +Be−inϕ

R(ρ) = Cρn +Dρ−n

y para ν = 0: G(ϕ) = aϕ+ b y R(ρ) = E ln ρ+ F . La solucion general exige tomaren cuenta todos los valores de n, por lo cual:

φ(ρ, ϕ) = (aϕ+ b)(E ln ρ+ F ) +∞∑

n=1

(Cnρn +Dnρ

−n)(Aeinϕ +Be−inϕ)

Obviamente, esta solucion es un subconjunto de la solucion a la ecuacion deLaplace en coordenadas cilındricas.

Problema: Obtenga la solucion a la ecuacion de Laplace 2D en los siguientescasos:

A) Una region circular de radio a con φ = V (ϕ) en ρ = a.

B) Una cuna de abertura β y radio a, con φ = V1 en ϕ = 0, φ = V2 enϕ = β y φ = V (ϕ) en ρ = R.

Problema: Obtenga la solucion a la ecuacion de Laplace en coordenadas po-lares si d2G/dϕ2 = µ2G

Problema: Demuestre que la solucion a la ecuacion de Laplace para ψ = ψ(ρ)es: ψ(ρ) = k ln(ρ/ρ0), con ρ0 constante.

3.3.4. Coordenadas esfericas

En coordenadas esfericas la ecuacion

∇2φ(r, θ, ϕ) = 0

se escribe

1

r2∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)+

1

r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sen 2θ

∂2φ

∂ϕ2= 0.

Utilizando la identidad

1

r2∂

∂r

(r2

∂φ

∂r

)=

1

r

∂2

∂r2(rφ) , podemos escribir

1

r

∂2

∂r2(rφ) +

1

r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sen 2θ

∂2φ

∂ϕ2= 0


Introduzcamos ahora separacion de variables en la forma

φ(r, θ, ϕ) =U(r)

rY (θ, ϕ).

La parte radial ha sido escrita U(r)/r con el fin de simplificar el primer terminode la ecuacion diferencial. Posteriormente separaremos Y (θ, ϕ) en un producto defunciones en θ y ϕ. Se sigue entonces:

r2

U

d2U

dr2+

1

Y

[1

sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂Y

∂θ

)+

1

sen 2θ

∂2Y

∂ϕ2

]= 0

La ecuacion ha sido separada en partes radial y angular.Como lo demostraremos luego, el cuadrado del operador L = 1

i r × ∇ es elnegativo del corchete en la ultima ecuacion, podemos entonces escribir:

r2

U

d2U

dr2− L2Y

Y= 0

De acuerdo a la tecnica de separacion de variables cada sumando ha de seruna constante. Por razones que seran claras mas tarde escribimos la constante deseparacion en la forma l(l+ 1) lo que

r2d2U

dr2− l(l+ 1)U = 0 , L2Y = l(l + 1)Y

La ecuacion radial es homogenea en r, es decir, es una ecuacion del tipo deEuler, cuya solucion es

U(r) = A rl+1 +B

rl, l ≥ 0

La ecuacion L2Y = l(l + 1)Y tiene la forma explıcita

1

sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂Y

∂θ

)+

1

sen 2θ

∂2Y

∂ϕ2+ l(l+ 1)Y = 0.

Separemos ahora las variables θ y ϕ en la forma Y (θ, ϕ) = P (θ)G(ϕ), lo queimplica, despues de reemplazar y multiplicar por sen 2θ/PG:

sen θ

P

d

dθ

(sen θ

dP

dθ

)+ l(l + 1) sen 2θ = − 1

G

d2G

dϕ2

En consecuencia, escogiendo la constante de separacion de modo que permitasoluciones armonicas en ϕ, que a la vez garanticen la continuidad en ϕ de la solucion,tendremos

1

G

d2G

dϕ2= −m2 , cuya solucion es:


G = Ceimϕ +De−imϕ , m = 1, 2, . . . y

G = aϕ+ b , m = 0

La ecuacion en θ sera entonces:

sen θd

dθ

(sen θ

dP

dθ

)+ P l(l + 1) sen 2θ −m2P = 0

con la substitucion x = cos θ obtenemos la ecuacion asociada de Legendre:

d

dx

[(1− x2)

dP (x)

dx

]− m2P (x)

1− x2+ l(l + 1)P (x) = 0

Con m = 0 se obtiene la ecuacion ordinaria de Legendre.

Problema: Si L = 1ir × ∇ demuestre que:

Lx = −i (y ∂/∂z − z ∂/∂y) = i [ senϕ ∂/∂θ + cotϕcosϕ ∂/∂ϕ]

Ly = −i (z ∂/∂x− x ∂/∂z) = i [− cosϕ ∂/∂θ + cotϕ senϕ ∂/∂ϕ]

Lz = −i (x ∂/∂y − y ∂/∂x) = −i∂/∂ϕ y que :

L2 = L ·L =`

1ir × ∇

´2= −

h1

sen θ∂∂θ

( sen θ ∂∂θ

) + 1sen 2θ

∂2

∂ϕ2

i

L× L = iL

Si a y b conmutan entre sı y con L, es decir si [a,b] = [a,L] =[b,L] = 0, entonces: [a ·L,b ·L] = i(a×b) ·L. El conmutador dea y b se define como: [a,b] = ab − ba.

L2ψ ≡ L · Lψ = −r2∇2ψ + r2 ∂2ψ∂r2

+ 2r ∂ψ∂r

∇ = r ∂∂r

− i r×L

r

i∇ × Lψ = r∇2ψ − ∇

“1 + r ∂

∂rψ”

Problema: Demuestre que el laplaciano puede escribirse en la forma:

∇2Ψ =1

r

∂2

∂r2(rΨ) − L2Ψ

r2

Problema: Demuestre que la ecuacion de Helmholtz homogenea`∇2 + k2

´ψ(r) = 0

puede ser obtenida a partir de la ecuacion de ondas homogenea medianteuna separacion de variables del tipo: ψ(r, t) = ψ(r)T (t).

Problema: Verifique que la ecuacion»∇2 + k2 + f(r) +

g(θ)

r2+

h(ϕ)

r2 sen 2θ

–Ψ(r, θ, ϕ) = 0

es separable. Incluye como casos particulares las ecuaciones deSchrodinger, Laplace y Helmholtz.

3.4. LA ECUACION DE ONDA UNIDIMENSIONAL 131

Problema: Realice la separacion de variables, en coordenadas esfericas, dela ecuacion de ondas y de la ecuacion de Helmholtz. La parte radial enambas ecuaciones se conoce como ecuacion de Bessel esferica y tiene laforma:

d2R(r)

dr2+

2

r

dR(r)

dr+

»k2 − l(l+ 1)

r2

–R(r) = 0

Problema: Demuestre que la ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındri-cas elıpticas (seccion 1.12) es separable en: una ecuacion de osciladorarmonico en z, una ecuacion de Mathieu para η y una ecuacion modi-

ficada de Mathieu para ξ; las dos ultimas tienen la forma:

d2g(η)

dη2+ (b− 2q cos 2η)g(η) = 0

d2f(ξ)

dξ2− (b− 2q cosh 2ξ)f(ξ) = 0,

donde b y q son constantes.

Problema: Demuestre que la ecuacion de Laplace no es completamente se-parable en coordenadas bipolares, y que la separacion es completa solosi ψ = ψ(ξ, η).

Problema: Si un atomo de hidrogeno se coloca en un campo electrico uni-forme E = E0k, la ecuacion de Schrdinger independiente del tiempo,que describe el efecto Stark, tiene la forma:

− ~2

2m∇2ψ − q2

4πε0r− qE0zψ = Eψ

Demuestre, por separacion de variables en coordenadas pabolicas y conψ(ξ, η, ϕ) = A(ξ)B(η)G(ϕ) que se obtienen las siguientes ecuaciones:

~2

2m

»1

ξA

d

dξ

„ξdA

dξ

«− n2

ξ2

–+ Eξ2 − qE0ξ4

2+ C = 0

~2

2m

»1

ηB

d

dη

„ηdB

dη

«− n2

η2

–+ Eη2 − qE0η4

2+ 2q2 − C = 0

3.4. La ecuacion de onda unidimensional

Realizaremos aquı la separacion de variables de la ecuacion hiperbolica:

uxx −1

v2utt = 0

que describe una onda escalar unidimensional.Con la separacion de variables: u(x, t) = A(x)T (t), se sigue:

d2A

dx2T − A

v2

d2T

dt2= 0 o:

1

A

d2A

dx2− 1

v2T

d2T

dt2= 0

Entonces:1

A

d2A

dx2= −α2 ,

1

v2T

d2T

dt2= −α2


El signo “menos”ha sido escogido para lograr soluciones periodicas temporales,es decir oscilaciones, lo que garantiza automaticamente que las soluciones espacialestambien lo sean. [De hecho, si se escoge +α2 las condiciones de frontera daran lugara que α sea imaginario puro]. Entonces, con αv = ω, la solucion puede escribirse encualquiera de las siguientes formas equivalentes:

u(x, t) = (c1eiαx + c2e

−iαx)(c3eiωt + c4e

−iωt)

= C1ei(αx−ωt) + C2e

−i(αx−ωt)

+ C3ei(αx+ωt) + C4e

−i(αx+ωt)

= (c1 senαx+ c2 cosαx)(c3 senαvt+ c4 cosαvt) (3.38)

= C1 sen (αx − ωt) + C2 cos(αx− ωt)+ C3 sen (αx + ωt) + C4 cos(αx+ ωt) (3.39)

La segunda y cuarta formas muestran ondas que viajan a izquierda y a derecha( con fases αx− ωt y αx+ ωt respectivamente).

Tambien, teniendo en cuenta que la solucion general contiene todos los valoresreales de α, podemos escribir:

u(x, t) =

∫ ∞

0

[A(α)eiαx +B(α)e−iαx][C(α)eiαvt +D(α)e−iαvt] dα

=

∫ ∞

−∞[A(α)eiαx +B(α)e−iαx]eiαvtdα

=

∫ ∞

−∞[A(α)eiαvt +B(α)e−iαvt]eiαxdα

Mostraremos, en acuerdo con el capıtulo 2, que las siguientes condiciones ini-ciales y de frontera son suficientes para describir las oscilaciones de una cuerda conextremos fijos:

u(0, t) = 0 , u(L, t) = 0 , ut|t=0 = 0 , u(x, 0) = f(x)

Estas condiciones describen una cuerda tensa y en reposo que se suelta en t = 0y con extremos x = 0, x = L fijos.

• Reemplazando u(0, t) = 0 en (3.38) se obtiene

u(x, t) = (c′3 senαvt+ c′4 cosαvt) senαx

• con u(L, t) = 0 se sigue: αL = nπ; entonces

un(x, t) =

[c′3 sen

(nπvt

L

)+ c′4 cos

(nπvt

L

)]sen

(nπxL

)

3.4. LA ECUACION DE ONDA UNIDIMENSIONAL 133

Puesto que hay una solucion para cada valor de n, la solucion general sera la com-binacion lineal:

u(x, t) =

∞∑

n=1

[cn sen

(nπvt

L

)+ dn cos

(nπvt

L

)]sen

(nπxL

)

donde, para evitar redundancias, n solo toma valores positivos.• con ut|t=0 = ∂u/∂t|t=0 = 0 se sigue: cn = 0

∴ u(x, t) =

∞∑

n=1

dn cos

(nπvt

L

)sen

(nπxL

)

• Finalmente, con u(x, 0) = f(x):

f(x) =

∞∑

n=1

dn sen(nπxL

)⇒ dn =

2

L

∫ L

0

f(x) sen(nπxL

)dx

Conocida f(x), el coeficiente dn puede evaluarse multiplicando esta ecuacion porsen

(nπxL

)dx, integrando en x y tomando en cuenta (3.37). Se obtiene:

u(x, t) =2

L

∞∑

n=1

[∫ L

0

f(x′) sen

(nπx′

L

)dx′

]sen

(nπxL

)cos

(nπvt

L

).

Esta ecuacion corresponde a una onda estacionaria que es superposicion lineal deuna onda que viaja a la derecha con fase k(x − vt) y otra que viaja a la izquierdacon fase kn(x + vt), con kn = nπ/L. La hemos escrito como una superposicionde modos normales de oscilacion cuyas frecuencias son: wn = knv = nπv/L, n =1, 2, 3, . . .. Es cierto que wn = nw1. Notese que para cada modo n hay ciertos puntos,llamados nodos, que no participan del movimiento, y que corresponden a posicionesx = L/n. dn es la amplitud con la que oscila el modo normal de frecuencia wn yesta determinada por la forma especıfica de f(x).Algunos modos son:

Problema: Ensayese la solucion directa u = emx+ny en el problema anterior.

Problema: Evalue dn para f(x) = 2x/L si 0 ≤ x ≤ L/2 y f(x) = 2(1 − x/L)si L/2 ≤ x ≤ L.


Ejercicio: Reflexion y transmision de ondas en cuerdas. Sea una onda queviaja desde la izquierda en una cuerda de densidad lineal λ0. La cuerda seune suavemente en x = 0 con otra de densidad lineal λ1. La onda incidentese refleja y transmite en la frontera x = 0. Es cierto que ω = k0v0 = k1v1.Teniendo en cuenta que la onda es real podemos escribir, de acuerdo con(3.39):

u0(x, t) = A sen (k0x− ωt) +B cos(k0x− ωt)+ C sen (k0x+ ωt) +D cos(k0x+ ωt),

u1(x, t) = A′ sen (k1x− ωt) + B′ cos(k1x− ωt)+ C ′ sen (k1x+ ωt) +D′ cos(k1x+ ωt)

Asumiremos que la onda incidente tiene la forma A sen (k0x − ωt), con Aconocido y B = 0. Puesto que la onda que viaja en la segunda cuerda no sufreotras reflexiones es cierto que C ′ = D′ = 0. Ası pues:

u0(x, t) = A sen (k0x− ωt) + C sen (k0x+ ωt) +D cos(k0x+ ωt),

u1(x, t) = A′ sen (k1x− ωt) +B′ cos(k1x− ωt)Ademas debido a que las cuerdas se unen suavemente, sus amplitudes y pen-dientes son iguales en x = 0, tal que:

u0|x=0 = u1|x=0, y∂u0

∂x|x=0 =

∂u1

∂x|x=0.

Reemplazando las amplitudes en las condiciones de frontera obtenemos, de-spues de factorizar las funciones trigonometricas y anular los coeficientes res-pectivos:

u0(x, t) = A

[sen (k0x− ωt) +

k1 − k0

k1 + k0sen (k0 + ωt)

]

u1(x, t) =2A

k1 + k0sen (k1x− ωt)

Problema: Resuelva la situacion anterior para el caso de una onda complejaincidente de la forma Aei(k0x−ωt).

Problema: Considere una onda compleja de la forma Aei(k0x−ωt) que viajadesde la izquierda en una cuerda de densidad de masa λ0, incide en x =−a sobre otra cuerda λ1 donde se refleja y se transmite, prosigue haciala derecha incidiendo sobre una tercera cuerda λ0 que comienza en x =a, donde nuevamente se refleja y se transmite. Evaluar las amplitudesu0(x, t), u1(x, t), u2(x, t).

El equivalente mecanico cuantico de este problema es el de una barrerade potencial.

3.5. ANEXO 3.1: CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN 3D135

Problema: La funcion de onda que describe una partıcula subatomica demasa m, que se encuentra confinada en una caja rectangular de ladosa, b, c satisface la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo. Im-poniendo la condicion de que la funcion de onda se anule en las paredes,demuestre que la energıa de la partıcula esta cuantizada de acuerdo ala expresion:

Elnp =π2h2

2m

„l2

a2+n2

b2+p2

c2

«

con l, l y p enteros positivos, y que la funcion de onda tiene la forma:

ψlnp = A sen

„lπx

a

«sen

“nπyb

”sen

“pπzc

”

3.5. ANEXO 3.1: Clasificacion de las ecuaciones

diferenciales en 3D

En la seccion anterior hemos logrado eliminar el termino cruzado uxy medianteuna rotacion de coordenadas en el plano. En esta seccion pretendemos eliminarlas derivadas cruzadas uxy, uyz, uxz realizando una rotacion del sistema xyz en elespacio, lo que involucrara la aparicion de tres angulos.

Ante todo introduzcamos transformaciones ortogonales.Si del sistema de coordenadas xyz pasamos a x′y′z′, mediante una rotacion

alrededor de un eje que pase por el orıgen, tendremos:

xi′ =

3∑

j=1

aijxj o: X ′ = AX con

X = (x1, x2, x2) = (x, y, z); de donde

X ′TX ′ = (AX)T (AX) = XTATAX , con XT =

x1

x2

x3

=

xyz

,

tal que si la longitud es invariante, es decir si X ′TX ′ = XTX , tendremos que lamatriz A es ortogonal: ATA = I , aı:

3∑

i=1

aijaik = δjk (3.40)

Los coeficientes aij son los elementos de la matriz A de transformacion.Si hubiesemos trabajado en el plano las sumas se hubiesen realizado entre 1 y 2.

En tal caso el sistema∑3

i=1 aijaik = δij contiene cuatro ecuaciones, correspondien-tes a δ11,δ12,δ21,δ22 pero las correspondientes a δ12, δ21 son iguales, tal que quedantres ecuaciones independientes para las cuatro incognitas a11, a12, a21, a22. Esto sig-nifica que hay un parametro libre, arbitrario, que corresponde al angulo de rotacion


de x′y′ respecto a xy. Una escogencia de este angulo como tan 2θ = B/(A − C)permitio eliminar el termino cruzado en el sistema coordenado (x′, y′).

En tres dimensiones, la condicion (3.40) equivale a 9 ecuaciones de las cualessolo 6 son distintas puesto que δ12 = δ21, δ13 = δ31, δ23 = δ32. Y los coeficientesaij son 9, tal que quedan tres parametros libres, correspondientes a los tres angulosde rotacion, que se escogen de modo tal que en x′y′z′ desaparezcan los terminoscruzados u′xy, u

′xz, u

′yz.

Ahora bien, la ecuacion diferencial con coeficientes constantes

Auxx +Buyy + Cuzz +Duxy +Euyz + Fuxz

+Gux +Huy + Juz +Ku = L(x, y, z)

puede escribirse en la forma compacta:

3∑

i,j=1

Cij∂i∂ju+

3∑

i=1

Di∂iu+ Fu = L(x, y, z) (3.41)

donde: ∂i ≡ ∂/∂xi, i = 1, 2, 3 ; x1 = x, x2 = y, x3 = z, y Cij = Cji.Para transformar la ecuacion diferencial al sistema x′j escribimos:

x′j =

3∑

k=1

ajkxk =⇒∂x′j∂xl

= ajl ,

y: ∂iu =∂u

∂xi=

3∑

k=1

∂u

∂x′k

∂x′k∂xi

=

3∑

k=1

∂u

∂x′kaki

∂j∂iu = ∂j

3∑

k=1

∂u

∂x′kaki =

3∑

l,k=1

∂

∂x′l

(∂u

∂x′k

)∂x′l∂xj

aki

=3∑

kl=1

akialj∂2u

∂x′k∂x′l

=3∑

kl=1

akialj∂′k∂

′lu

Ası, la ecuacion (3.41) se escribe:

3∑

kl=1

C ′kl∂

′k∂

′lu+

3∑

ki=1

Diaki∂′ku+ Fu = L(x′, y′, z′)

con: C ′kl =

∑3ij=1 Cijakialj = (ACA)kl. La ultima ecuacion (transformacion de la

matriz C) tiene la forma matricial: C′ = ACA; eliminar los terminos cruzados en la

3.5. ANEXO 3.1: CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN 3D137

ecuacion diferencial implica que la matriz C′ es diagonal: C ′kl = 0 para k 6= l, esto

es: (ACA)kl = 0 para k 6= l expresion que representa 3 ecuaciones distintas:

3∑

ij=1

a1iCija2j = 0 ,3∑

ij=1

a2iCija3j = 0 ,3∑

ij=1

a3iCija1j = 0 (3.42)

Hemos de tener en cuenta que en (3.41) podemos hacer: Cij = Cji.

Ası pues, las 6 ecuaciones (3.40) contienen 9 parametros aij , tal que 3 puedenescogerse libremente. La diagonalizacion (3.42) fija los angulos de rotacion que a-nulan las 3 derivadas cruzadas.

La ecuacion diferencial en x′y′z′ no contiene ahora ∂ ′1∂′2, ∂

′1∂

′3, ∂

′2∂

′3; se reduce

entonces a:

3∑

k=1

[Lk∂k

2 +Mk∂k]u+ Fu = L(x′i),

con Lk = Ckk 6= 0 y Mk ≡∑3i=1 Diaki :

3∑

k=1

Lk

[∂k

2 +Mk

Lk∂k

]u+ Fu = L(x′i), de donde se sigue:

3∑

k=1

Lk

[∂k +

Mk

2Lk

]2u+

[F −

3∑

k=1

M2k

4Lk

]u = L(x′i)

En consecuencia, es siempre posible, mediante transformacion de coordenadas,llevar la ecuacion diferencial con coeficientes constantes a una forma diagonal, enla puede implementarse de modo directo la separacion de variables u(x, y, z) =A(x)B(y)C(z), si L(xi) = 0. En el caso en que alguno de los Lk sea cero los ultimosdesarrollos, en los que Lk aparece en el denominador, no tienen lugar.

La ecuacion sera elıptica si L1, L2, L3 son del mismo signo, hiperbolica si haysignos distintos y parabolica si un Lk es cero.

Las ecuaciones diferenciales parciales necesitan ser clasificadas (en elıpticas,hiperbolicas o parabolicas) con el fin de saber con certeza cuales condiciones defrontera y/o iniciales proveer para que su solucion sea unica.

Dado que el tipo de ecuaciones diferenciales en 3 variables que utilizaremosen todo lo que sigue no contiene variables cruzadas, no nos ocuparemos en masdetalle del asunto de su clasificacion. Bastenos con reconocer que las ecuaciones dePoisson (y Laplace), difusion y ondas son respectivamente elıpticas, parabolicas ehiperbolicas.


3.6. ANEXO 3.2: Solucion a ecuaciones cubicas

A. La ecuacion cubica z3 + Az + C = 0 puede, ser simplificada si escribimos:z = w − A/3w, con lo cual obtenemos la siguiente ecuacion cuadratica paraw3:

(w3)2 + C(w3)−A3/27 = 0

cuya solucion es:

w =

[−C

2±√C2

4+A3

27

]1/3

B. La ecuacion cubica general:

x3 + ax2 + bx+ c = 0

puede ser reducida a una forma que no contiene el termino cuadratico, medi-ante la substitucion: x = z − a/3. Obtenemos:

z3 +Gz +H = 0,

con: G = −a2/3 + b, y H = −ab/3 + 2a3/27 + c. La solucion, de acuerdo alnumeral anterior es: x = z − a/3 = w −A/3w − a/3, con

w =

[−H

2±√H2

4+G3

27

]1/3

C. La ecuacion cubica:x3 + ax2 + c = 0

se soluciona escogiendo: x = 1/z−2a/3, con lo que obtenemos: z3+Dz+E = 0,conD = −a/F , E = 1/F y F = 4a3/27+c. La solucion, de acuerdo al numeralA, es: x = 1/z − 2a/3 = 1/(w −D/3w)− 2a/3, con

w =

[−E

2±√E2

4+D3

27

]1/3

4

Ecuaciones de la Fısica

Matematica

4.1. Introduccion

Una gran cantidad de fenomenos fısicos puede describirse utilizando ecuacionesdiferenciales parciales, pues estas involucran variables continuas que dependen dela posicion y del tiempo. Tales variables son campos espacio-temporales. La am-plitud de los campos ondulatorios, la temperatura y la presion atmosfericas, loscampos electromagneticos y las amplitudes de probabilidad en mecanica cuanticason algunos ejemplos.

En este capıtulo mostraremos la construccion de algunas de las ecuaciones di-ferenciales basicas de la fısica matematica:

1. Ecuacion de ondas en cuerdas, membranas y solidos.

2. Flujo de fluidos.

3. Ondas sonoras.

4. Ecuacion de difusion.

5. Ecuacion de Poisson.

6. Ecuaciones de Maxwell.

7. Ecuacion de Schrodinger.

8. Ecuacion de Klein-Gordon.

139

140 4. ECUACIONES DE LA FISICA MATEMATICA

9. Ecuacion de Dirac.

Como hemos visto en el capıtulo 2, a cada ecuacion diferencial es necesarioimponerle condiciones de frontera e iniciales, apropiadas al tipo de ecuacion, conel fin de lograr una solucion unica. Estas ecuaciones las someteremos a un pro-cedimiento de separacion de variables, con lo que prepararemos el terreno para elcapıtulo 8, donde introducimos las funciones especiales.

4.2. Ondas

4.2.1. Ondas en cuerdas

Consideremos una cuerda homogenea, de densidad lineal de masa λ cuyaposicion de equilibrio es horizontal. Si la cuerda se desplaza de su posicion de equi-librio y se suelta, o si de algun modo se le imprime velocidad, comienza a oscilar.En nuestro desarrollo estudiaremos solo oscilaciones en un plano vertical.

Sea y(x, t) la funcion que describe la amplitud de la oscilacion. Con t fijoesta funcion da la forma geometrica que asume la cuerda oscilante (Fig. (4.1)).

y

x

T ′

T ′′

ϕ

x x+ ∆x

∆m

ϕ+ ∆ϕ

Figura 4.1: Geometrıa de una cuerda oscilante.

Estudiemos el movimiento de un elemento de masa ∆m, de longitud ∆l =[(∆x)2 +(∆y)2]1/2 = [1+(∂y/∂x)2]1/2∆x, sometido a las tensiones T ′ y T ′′ y a unafuerza externa de densidad lineal f (N/m) que actua en direccion y. La densidadlineal de masa de la cuerda es λ (Kg/m).

Aplicando la segunda ley de Newton al elemento ∆m tendremos:

∑∆Fx = 0,

∑∆Fy = ∆may

4.2. ONDAS 141

La aceleracion se escribe ∂2y/∂t2, indicandose con la derivada parcial quecada punto de la cuerda (x constante) experimenta aceleracion. Tambien: ∆m =λ ∆x. Entonces, en direcciones horizontal y vertical:

T ′′ cos(ϕ+ ∆ϕ) = T ′ cosϕ,

f ∆l + T ′′ sen (ϕ+ ∆ϕ)− T ′ senϕ = λ ∆l∂2y

∂t2

de modo que la componente horizontal de la tension es constante. La llamaremosT0. Dividiendo la ultima ecuacion por T0 podemos escribir:

f∆l

T0+T ′′ sen (ϕ + ∆ϕ)

T ′′ cos(ϕ+ ∆ϕ)− T ′ senϕ

T ′ cosϕ=λ∆l

T0

∂2y

∂t2

f∆l

T0+ tan(ϕ+ ∆ϕ)|x+∆x − tanϕ|x =

λ

T0∆l∂2y

∂t2

y como tanϕ = ∂y/∂x :

f∆l

T0+

[∂y

∂x

∣∣∣x+∆x

− ∂y

∂x

∣∣∣x

]=

λ

T0∆l∂2y

∂t2

por lo cual en el lımite, y reemplazando ∆l = [1 + (∂y/∂x)2]1/2∆x:

1

T0

(f − λ∂

2y

∂t2

)√1 + (∂y/∂x)

2+∂2y

∂x2= 0 (4.1)

Asumiremos que la cuerda tiene una longitud que no se altera apreciable-mente como resultado de la oscilacion, lo que es basicamente cierto para pequenasoscilaciones. En este caso la ecuacion de movimiento de una cuerda oscilante someti-da a fuerzas externas es

∂2y

∂x2− 1

(T/λ)

∂2y

∂t2= − f

T

La velocidad con que viajan las ondas en la cuerda es

v =√T/λ

La ecuacion de ondas transversas desarrollada aquı es de tipo hiperbolico, demodo que tendra solucion unica si se especifican las condiciones de Cauchy:

• Los valores de la amplitud (condicion de Dirichlet), o de la velocidad ∂y/∂t(condicion de Neuman), en los extremos.

• Los valores iniciales de y y ∂y/∂t.


Si la cuerda esta en un medio viscoso que ejerce una fuerza de amortiguacionproporcional a la velocidad (dFy/dx = −b∂y/∂t) deberemos sumar una fuerza∆Fy = −b∆l∂y/∂t, tal que obtenemos finalmente, en el caso de pequenas oscila-ciones:

∂2y

∂x2− 1

(T/λ)

∂2y

∂t2− b

T

∂y

∂t= − f

T.

Problema: Una cuerda tensa con puntos fijos x = 0 y x = L esta inicialmenteen reposo en su posicion de equilibrio. Hallar y(x, t) si la cuerda se ponea oscilar dando a cada uno de sus puntos una velocidad

∂y

∂t

˛˛t=0

=4v0

L2x(L− x)

Problema: Una cuerda tensa fija en x = 0 y x = 0 esta inicialmente en reposoen la posicion y(x, 0) = 4y0x(L− x)/L2. Hallar y(x, t)

Problema: Una cuerda vibrante sujeta a una fuerza amortiguadora propor-cional a la velocidad tiene sus extremos fijos en x = 0 y x = L y semueve desde el reposo con y(x, 0) = f(x). Demuestre que en el casosubamortiguado:

y(x, t) = e−(b/2T )t∞X

1

An

»cos(αnt) +

b

2λαnsen (αnt)

–sen

“nπxL

”

con:

αn =T

λ

sn2π2λ

L2T− b2

4T 2y:

An =2

L

Z L

0f(x) sen

“nπxL

”dx

Problema: Un caso particular, independiente del tiempo, que proviene de laecuacion (4.1), es el de la catenaria. Se trata de una cuerda suspendidade sus extremos y sometida solo a su propio peso. Con f = −λg :

−λgT0

q1 + (∂y/∂x)2 +

∂2y

∂x2= 0

Demuestre que y(x) = C cosh(αx + D) + E. Evalue α,C,D y E si lacadena esta sujeta en los puntos (−L/2, 0) y (L/2, 0).

4.2.2. Ondas en membranas

Como extension al caso bidimensional podemos proponer la ecuacion que des-cribe la oscilacion de una membrana. En el caso de pequenas oscilaciones, el areade la membrana no cambia sensiblemente, como tampoco la tension (fuerza/unidadde longitud=F/l).

4.2. ONDAS 143

l F

Figura 4.2: Fuerzas ejercidas sobre la frontera de una membrana.

Las vibraciones son perpendiculares a la superficie de equilibrio. Si x y y sonlas coordenadas (horizontales) de la membrana, la ecuacion resultante es:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2− 1

v2

∂2u

∂t2= −Z/σ

donde u(x, y, t) es la amplitud de la oscilacion, v =√T/σ es la velocidad de las

ondas, σ es la densidad superficial de masa de la membrana y Z es la fuerza externapor unidad de area.

Esta ecuacion de nuevo es hiperbolica. Si la membrana es rectangular y tienesus bordes fijos deben proveerse las siguientes condiciones de Cauchy:

x

b

y

a

u(0, y, t) , u(a, y, t)

u(x, 0, t) , u(x, b, t)

u(x, y, 0) , ∂u/∂t|t=0

Figura 4.3: Membrana rectangular con condiciones de Cauchy.

Ejercicio: Modos normales. Pensemos en una membrana rectangular de ladosa y b fija en sus cuatro lados. Con la separacion de variables u(x, y, t) =A(x)B(y)T (t) es posible demostrar que la solucion que satisface las condi-ciones de frontera espaciales: u(0, y, t)=u(a, y, t)=u(x, 0, t)=u(x, b, t) = 0 y la


condicion temporal ∂u/∂t|t=0 = 0 es:

u(x, y, t) =∑

m,n

Amn sen(mπx

a

)sen

(nπyb

)cos(wmnt)

con m,n = 1, 2, 3, . . . Las constantes Amn pueden evaluarse si se provee laultima condicion de Cauchy: u(x, y, 0) = f(x, y). Es cierto ademas que:

wmn = πv

√m2

a2+n2

b2

wmn son los modos normales de oscilacion. Para cada pareja (m,n) hay unmodo, cada uno de los cuales puede describirse por

umn(x, y) = sen(mπx

a

)sen

(nπyb

)cos(wmnt), (4.2)

tal que u(x, y, t) =∑

mnAmnumn. Notese que cada modo mantiene siempre enreposo algunos puntos de la membrana (ademas de las fronteras), por ejemploaquellos con x = a/m y y arbitrario, o aquellos con y = b/n y cualquier x.Tales puntos se situan a lo largo de rectas llamadas lıneas nodales.

La frecuencia mas baja (modo fundamental) corresponde a m = n = 1. Noexisten (ver ec. (4.2)) modos donde m o n sean cero. Algunos modos normalesson:

ω42ω31

ω32

ω21ω12 ω22

+ − + + − +

− + −

+ − +

−

+

−

−

+

Figura 4.4: Diversos modos de oscilacion de una membrana rectangular.

En las membranas puede observarse un fenomeno que no existe en las cuerdasvibrantes, al que conoceremos como degeneracion y que tiene lugar cuando a = b.En este caso

ωmn =πv

a

√m2 + n2

4.2. ONDAS 145

Para los modos (m,n) y (n,m) se obtiene la misma frecuencia, pero las oscilacionesno son identicas como se ve en las siguientes figuras, correspondientes a los modos(1, 2) y (2, 1).

(1, 2) (2, 1)

Figura 4.5: Dos modos degenerados de una membrana cuadrada.

Como consecuencia, el movimiento oscilatorio mas general de una membranacuadrada, en el modo ω12 puede describirse como la combinacion lineal:

u(x, y, t) = u12(x, y, t) + u21(x, y, t)

=

[A sen

(πxa

)sen

(2πy

a

)+B sen

(2πx

a

)sen

(πya

)]cosω12t

donde A y B son amplitudes arbitrarias. Las dos graficas anteriores correspondenrespectivamente a B = 0 y A = 0. Con k = B/A podemos escribir

u(x, y, t) = A

[sen

(πxa

)sen

(2πy

a

)+ k sen

(2πx

a

)sen

(πya

)]cosω12t

= C sen(πxa

)sen

(πya

)[cos(πya

)+ k cos

(πxa

)]cosω12t (4.3)

Hemos usado en lo anterior C = 2A y la conocida relacion trigonometrica paraangulos dobles. Cuando hay degeneracion las lıneas nodales no son necesariamenterectas, como lo veremos en lo que sigue.

Como caso particular sea k = 1. Utilizando

cosα+ cosβ = 2 cos((α + β)/2) cos((α− β)/2)

se sigue de (4.3):

u(x, y, t) = 2C sen(πxa

)sen

(πya

)cos

(π(x+ y)

2a

)cos

(π(y − x)

2a

)cosω12t

Naturalmente, la oscilacion se anula en los bordes de la membrana. Pero tambienu = 0 si x + y = a, de modo que y = a− x es una lınea nodal (¿y que ocurre cony − x = a?).


En el caso k = −1, obtenemos:

u(x, y, t) = A′′ sen(πxa

)sen

(πya

)sen

(π(x+ y)

2a

)sen

(π(y − x)

2a

)cosω12t

de donde se sigue que y = x es una lınea nodal (¿que ocurre con y = −x?). Ası pues,las lıneas nodales para el modo u(x, y, t) que es combinacion de u12 y u21 con k = 1y k = −1 tienen la forma:

+

−

−

+k = 1 k = −1 k = 2

Figura 4.6: Dos modos triangulares y modo k = 2 en membranas cuadradas.

En el caso general, de (4.3) se sigue que las lıneas nodales satisfacen laecuacion:

cos(πya

)+ k cos

(πxa

)= 0

que corresponde, en general, a curvas cuya forma depende del valor de la constantek. Presentamos arriba el caso k = 2.

Problema: Que ecuacion describe la oscilacion de una membrana triangular?

Problema: Encuentre la ecuacion de los nodos en el caso ω13, con k = 1 yk = −1.

4.2.3. Ondas longitudinales en solidos

Consideremos una varilla homogenea que se estira o comprime y luego sesuelta. Aparecen entonces ondas longitudinales viajando a lo largo de la varilla.x es la coordenada de una seccion transversal A de la varilla; al oscilar, el planoA, situado en x, se traslada una cantidad u a A′, mientras el plano B, situado enx + ∆x, se traslada a B′. Es decir el elemento de longitud AB de tamano ∆x sedeforma y adquiere una nueva longitud B′ −A′.

4.2. ONDAS 147

A A′ B B′

x x+ ∆x

x+ u(x, t) x+ ∆x+ u(x+ ∆x, t)

F1 F2

Figura 4.7: Seccion de una barra que oscila en forma longitudinal.

Podemos escribir:

B −A = (x+ ∆x) − x = ∆x

B′ −A′ =(x+ ∆x+ u(x+ ∆x, t)

)−(x+ u(x, t)

)

= ∆x+ u(x+ ∆x, t)− u(x, t)

= ∆x+∂u

∂x∆x

Ası, el incremento en la longitud es:

∆ξ = (B′ −A′)− (B −A) =∂u

∂x∆x

por tanto: ∆ξ/∆x = ∂u/∂x. Ahora bien, segun la ley de Hooke, la deformacionunitaria (∆ξ/∆x) que experimenta un material es directamente proporcional alesfuerzo normal F/A que sobre el se ejerce:

∆ξ =F ∆x

EA

donde A es el area transversa y E es el modulo de Young. O tambien:

F =∆ξ

∆xEA =

∂u

∂xEA

Sobre el elemento ∆x actua a la derecha F2, a la izquierda F1, de modo que deacuerdo a la segunda ley de Newton:

F2 − F1 = ∆m∂2u

∂t2


o:

EA

[∂u

∂x

∣∣∣x+∆x

− ∂u

∂x

∣∣∣x

]= ρA ∆x

∂2u

∂t2

siendo ρ la densidad volumetrica de masa de la varilla. Entonces:

EA∂2u

∂x2∆x = ρA ∆x

∂2u

∂t2,

de donde, finalmente:

∂2u

∂x2− 1

(E/ρ)

∂2u

∂t2= 0

La velocidad de la onda longitudinal en la varilla es:

v =√E/ρ

La forma general 3-dimensional de la ecuacion de ondas es:

∇2u(r, t)− 1

v2

∂2u(r, t)

∂t2= 0

4.2.4. Ondas elasticas en solidos

La ecuacion que describe las oscilaciones de un medio isotropico elastico tienela forma (vease el texto de Landau, citado en la bibliografıa):

(a2 − b2)∇(∇ · u) + b2∇2u− ∂2u

∂t2= 0, (4.4)

donde u describe la deformacion del solido que consideramos pequena. Los movimien-tos considerados corresponden a ondas elasticas. Los coeficientes a y b estan dadospor:

a =

√E(1− σ)

ρ(1 + σ)(1− 2σ), b =

√E

2ρ(1 + σ)(4.5)

E es el modulo de extension o modulo de Young, ρ es la densidad del solido y σ esel el coeficiente de Poisson que expresa el cociente entre la contraccion transversaly la extension longitudinal. σ varıa entre 0 y 1/2.

De acuerdo al segundo teorema de Helmholtz enunciado en la seccion 1.8.3,cualquier campo vectorial puede descomponerse en dos partes, una solenoidal y otrairrotacional, esto es: u = ul+ut , con ∇×ul = 0 y ∇ ·ut = 0. Este teorema puedeser utilizado para separar en dos la ecuacion (4.4). Tomando el rotacional de (4.4):

∇×[b2∇2ut −

∂2ut∂t2

]= 0, con ∇ · ut = 0

4.2. ONDAS 149

Como consecuencia:

∇2ut −1

b2∂2ut∂t2

= 0 (4.6)

Tambien, escribiendo en (4.4): ∇(∇ · u) = ∇2u + ∇ × (∇ × u) y tomando ladivergencia obtenemos:

∇ ·[a2∇2ul −

∂2ul∂t2

]= 0, con ∇× ul = 0

de donde se sigue:

∇2ul −1

a2

∂2ul∂t2

= 0 (4.7)

Las ecuaciones (4.6) y (4.7) son ecuaciones de onda en tres dimensiones, con ve-locidades b y a respectivamente (dadas por (4.5)), la primera con ∇ · ut = 0 quecorresponde segun la teorıa de la elasticidad a ondas que no provocan cambios enel volumen, mientras la otra (∇×ul = 0) provoca extensiones y compresiones perono tiene torsion. Como lo mostraremos en seguida, ut es una onda transversa entanto que ul es una onda longitudinal. Consideremos propagacion solo en direccionx, de modo que (4.6) y (4.7) toman la forma:

∂2ut∂x2

− 1

b2∂2ut∂t2

= 0,∂2ul∂x2

− 1

a2

∂2ul∂t2

= 0

Como ∇ · ut = 0 se sigue: ut1 = cte, de donde

∂2ut2∂x2

− 1

b2∂2ut2∂t2

= 0,∂2ut3∂x2

− 1

b2∂2ut3∂t2

= 0,

correspondiente a una onda transversa de velocidad vt = b. De otro lado, como∇× ul = 0 se sigue: ul2 = cte, ul3 = cte, de modo que solo ul1 oscila:

∂2ul1∂x2

− 1

a2

∂2ul1∂t2

= 0,

lo que revela que se trata de una onda longitudinal de velocidad vl = a; observese enefecto que ul1 tiene la direccion del movimiento. De las ecuaciones (4.5) y teniendoen cuenta que 0 < σ < 1/2 concluimos que

vl >√

2vt

de modo que la onda longitudinal viaja siempre mas rapido que la transversa. vl yvt a menudo se llaman velocidad longitudinal y transversa del sonido. En la seccion7.2.3 la velocidad de la onda longitudinal en la varilla es vl =

√E/ρ en vez de

vl =√E(1− σ)/ρ(1 + σ)(1− 2σ) porque en ese desarrollo despreciamos efectos de

distorsion en el diametro de la varilla, es decir hicimos σ ' 0. Hemos de notar que laexistencia de estos dos tipos de ondas es caracterıstica solo de solidos, puesto que losfluidos no soportan esfuerzos tangenciales; en ellos solo viajan ondas longitudinales,como es el caso del sonido en los gases.


4.2.5. Ondas sonoras

Los experimentos permiten asegurar que el sonido en el aire corresponde aoscilaciones de la presion y la densidad del aire respecto a sus valores promedios P0

y ρ0. Estos cambios estan asociados al movimiento colectivo de las moleculas delaire. La segunda ley de Newton para un medio continuo tiene la forma:

d

dt(ρv) =

∂

∂t(ρv) + v ·∇(ρv) = −∇P (4.8)

Ademas, de acuerdo a la ley de conservacion de la masa:

∇ · (ρv) +∂ρ

∂t= 0 (4.9)

La presion y la densidad estan relacionadas por una ecuacion de estado. Para os-cilaciones como las sonoras, cuyas frecuencias van de 20 a 20000 Hertz, las oscila-ciones tienen lugar tan rapidamente que no hay intercambio de calor entre elementosdiferenciales de volumen de aire durante una oscilacion, por lo cual la expansion ycontraccion del aire es adiabatica. Esto significa que:

P

P0=

(ρ

ρ0

)γ, γ =

cpcv

(4.10)

donde cp y cv son los calores especıficos a presion y volumen constante. La propa-gacion del sonido puede describirse con las ecuaciones (4.8), (4.9) y (4.10). Ahorabien, los cambios en la presion y la densidad son pequenas perturbaciones de losvalores de equilibrio P0 y ρ0, por lo cual, definiendo el cambio de densidad relativocomo: δ = (ρ− ρ0)/ρ0, podemos escribir:

(ρ

ρ0

)γ= (1 + δ)γ ' 1 + γδ

y P ' P0(1 + γδ). La velocidad v es a su vez una perturbacion respecto al valorcero de equilibrio del aire; en consecuencia, podemos escribir: ∇ · (ρv) ' ρ0∇ · v.Tambien:

ρdv

dt' ρ∂v

∂t+ ρv ·∇v ' ρ0

∂v

∂t.

Ası pues, las ecuaciones (4.8), (4.9) y (4.10) toman la forma:

ρ0∂v

∂t+ ∇P = 0 ,

∂ρ

∂t+ ρ0∇ · v = 0 , P = P0(1 + γδ).

Se sigue:

ρ0∂v

∂t+ P0γ∇δ = 0 ,

∂δ

∂t+ ∇ · v = 0

4.3. FLUJO DE FLUIDOS 151

Tomando la divergencia de la primera, la derivada temporal de la segunda y restandoobtenemos:

∇2δ − 1

v2

∂2δ

∂t2= 0,

donde v =√P0γ/ρ0 corresponde a la velocidad del sonido en un gas. Si se trata de

un gas ideal P0 = ρ0RT/M , de modo que

v =√γRT/M.

Es cierto que la presion, la densidad y la velocidad obedecen la mismaecuacion de ondas. Si el movimiento del aire es irrotacional (es decir, si no hayvortices), entonces ∇×v = 0, de donde v = −∇ϕ, siendo ϕ el potencial de veloci-dad. Se cumple entonces que:

∇2ϕ− 1

v2

∂2ϕ

∂t2= 0

Para el caso de ondas que viajan a traves de un tubo, o estan confinadas auna cavidad, las moleculas del gas en las paredes solo tienen movimiento tangencial,de modo que v · n|S = ∂ϕ/∂n|S = 0.

Nota: Las aproximaciones realizadas en los anteriores calculos pueden ser justi-ficadas mediante los siguientes argumentos. Para una onda sonora la veloci-dad v tıpica es de 340m/s. Tomemos como ejemplo una onda de frecuenciaν = 500Hertz. Tendremos λ ' 60cm. La velocidad de las moleculas del airecorrespondiente a la oscilacion es del orden de a/T = 2πνa ' 10−4, dondea es la amplitud de la oscilacion (' 10−6 cm). El gradiente de la velocidades ∂v/∂x ' 2πv/λ ' 10−4seg−1, y ∂v/∂t ' 2πνv ' 10cm/seg2; ademasv · ∇v ' v∂v/∂x ' 10−6cm/seg2, por lo cual ∂v/∂t v · ∇v, y en conse-cuencia dv/dt ' ∂v/∂t. Ademas δ = (ρ− ρ0)/ρ ' a/(λ/2) ≤ 10−7.

4.3. Flujo de fluidos

De acuerdo a la segunda ley de Newton el movimiento del elemento de masadm de un fluido se describe como:

dmdv

dt= dF,

donde dF incluye la presion y las fuerzas externas. La componente i de la fuerzadFP debida a la presion se escribe:

(dFP )i = −(P dSi)ui+dui+ (P dSi)ui

= − ∂P∂ui

duidSi = − ∂P∂ui

1

hidV


Es decir: dFP = −∇P dV. De modo que, definiendo: fe = dFe/dV = densidadvolumetrica de las fuerzas externas, tendremos:

v

P + dP

P

Figura 4.8: Elemento diferencial de un fluido en movimiento.

dmdv

dt= −∇P dV + fe dV,

por lo cual: ρdv

dt= −∇P + fe

[Es obvio, entonces, que la condicion de equilibrio hidrostatico del elementode masa de densidad ρ es ∇P = fe].

Ahora bien, puesto que:

dv

dt=∂v

∂t+

3∑

i=1

∂v

∂t

dxidt

=∂v

∂t+ (v ·∇)v

escribimos:

ρ∂v

∂t+ ρ(v ·∇)v + ∇P = fe,

o tambien, utilizando la identidad:

∇(v · v) = 2(v ·∇)v + 2v × (∇× v)

y tomando en consideracion solo fuerzas externas derivables de un potencial (fe =−ρ∇G) tendremos:

ρdv

dt+

1

2ρ∇v2 − ρv × (∇× v) + ∇P + ρ∇G = 0 (4.11)

4.4. ECUACION DE DIFUSION 153

La segunda ecuacion importante en la mecanica de fluidos corresponde a la conser-vacion de la masa y tiene la forma:

∇ · (ρv) +∂ρ

∂t= 0 (4.12)

La vorticidad de un fluido es una extension de la nocion de velocidad angular y sedefine como: ξ = ∇ × v. Si ξ = 0 diremos que el fluido es irrotacional, que notiene vorticidad, o que no tiene remolinos. En tal caso ∇ × v = 0, lo que implicav = −∇φ, donde φ es el potencial de velocidad. En el caso de un fluido estacionario(independiente del tiempo), de densidad constante y sin remolinos, tendremos, deec.(4.12) que ∇ · v = 0 y puesto que no tiene vorticidad: v = ∇φ; remplazando lasegunda en la primera resulta que el potencial de velocidad satisface la ecuacion deLaplace:

∇2φ = 0

y de la ec.(4.11):

∇

(1

2ρv2 + ρ+ ρG

)= 0

de donde se obtiene la ecuacion de Bernoulli:

1

2ρv2 + ρ+ ρG = 0

Bastante usual en las aplicaciones es el caso en que G es el potencial gravita-cional, tal que g = −∇G, es decir fe = ρg. Observemos que, de acuerdo al teoremade Helmholtz, el sistema de ecuaciones ∇ × v = 0 y ∇ · v = 0 es completo, yequivale a ∇2φ = 0. Quedan por proveer las condiciones de frontera de Dirichlet oNeumann.

4.4. Ecuacion de difusion

4.4.1. Ley de Fourier de difusion del calor

Sea una barra de conductividad termica k sometida en su interior a diferentestemperaturas en diferentes puntos. Experimentalmente se concluye que el calorfluye desde regiones de alta a regiones de baja temperatura. Resulta ademas quela cantidad de calor que fluye por unidad de tiempo a traves de un area A esproporcional a la diferencia de temperatura entre dos puntos separados ∆x y alarea transversal A, e inversa a ∆x:

∆Q

∆t= −k ∆T

∆xA


El signo menos indica que el calor fluye en direccion del decrecimiento de la tem-peratura. En el lımite ∆x→ 0:

dQ

dt= −k ∂T

∂xA

Equivalentemente, la densidad de flujo de calor J es proporcional al gradiente ne-gativo de la temperatura:

J =dQ

dAdt= −k ∂T

∂x

Si el calor fluye hacia afuera del volumen en x+ ∆x, y entra en x, la rata neta conque el elemento de volumen A∆x recibe calor esta dado por la rata con que entramenos la rata con que sale:

δQ

δt=

dQ

dt

∣∣∣∣x

− dQ

dt

∣∣∣∣x+∆x

= A

(k∂T

∂x

∣∣∣∣x+∆x

− k∂T

∂x

∣∣∣∣x

)+ qA∆x

= A∂

∂x

(k∂T

∂x

)∆x+ q A ∆x (4.13)

donde q representa alguna fuente interna al solido que genere calor. q tiene unidadesde calorıas/volumen×tiempo: rata de generacion de calor por unidad de volumen.La conductividad termica puede ser funcion de la posicion. Pero tambien, el calorrecibido da lugar a un incremento de la temperatura segun la ley de Black:

δQ

δt=

1

∆t(c∆mT |t+∆t − c∆mT |t) =

∆V

∆t(cρ T |t+∆t − cρ T |t)

= A∆x∂

∂t(cρ T ) (4.14)

c es el calor especıfico (cal/gr C) y ∆m = ρ A ∆x. Igualando (4.13) y (4.14)obtenemos la ecuacion de difusion del calor (Ley de Fourier):

∂

∂x

(k∂T

∂x

)− ∂

∂t(cρ T ) = −q

k/cρ se conoce como difusividad termica; sus unidades son cm2/seg. Las unidadesde k son cal/cm· C·seg. La ecuacion obtenida ha considerado flujo de calor solo enla direccion x, pero el caso general implica transporte de calor en las 3 direccionesespaciales, por lo cual podemos escribir, en forma invariante coordenada:

∇ · (k∇T (r, t))− ∂(cρ T (r, t))

∂t= −q(r, t)

o tambien:

∇ · J +∂E∂t

= q

4.4. ECUACION DE DIFUSION 155

donde J = −k∇T y E = cρT representan la densidad de flujo de energıa y ladensidad volumetrica de energıa. Si k, ρ y c son constantes podemos escribir:

∇2T (r, t)− ρc

k

∂T (r, t)

∂t= −q(r, t)

k

Casos en los cuales se genera calor en el interior de un medio ocurren con frecuenciaen fısica e ingenierıa, como en un solido en cuyo interior hay decaimiento radioactivo,o como resultado de una reaccion quımica (la hidratacion del cemento es un ejemplocotidiano). Si no hay fuentes calorıficas en el volumen en consideracion y la situacionfısica es estacionaria (es decir independiente del tiempo) la temperatura satisface laecuacion de Laplace. Un caso particular importante es el de un medio (un horno porejemplo) de temperatura uniforme (es decir T depende solo del tiempo); tendremos:

dT (t)

dt=q(t)

ρc

Es claro de esta ecuacion que la temperatura ha de ser una funcion creciente de tsi q es una fuente y decreciente si es un sumidero.

Muy variados problemas pueden ser analizados a partir de esta ecuaciondependiendo de si las fronteras son aisladas, o mantenidas a temperatura fija, o sidesde ellas hay radiacion de calor. En el primer caso, donde frontera aislada significaque no hay transporte de calor a traves de la superficie, de la ecuacion

dQ

dAdt= k

∂T

∂n

∣∣∣∣S

= 0,

se sigue∂T

∂n

∣∣∣∣S

= 0

En el segundo caso: T |S = constante. En el ultimo caso es usualmente aplicable laley de Newton de radiacion de calor:

dQ

dAdt= H(T − T0) = k

∂T

∂n

∣∣∣∣S

donde la constante H es la emisividad de la superficie, n es la coordenada normala la superficie y T0 la temperatura ambiente.

Una situacion similar a la de difusion del calor se da en el caso de una sustan-cia quımica que presenta un gradiente de concentracion. En este caso se obedecenlas siguientes leyes: a) La sustancia se difunde de regiones de alta a baja concen-tracion. b) La rata de difusion a traves de un area es proporcional al area y a la rata


de cambio espacial de concentracion, en direccion normal al area. La ley de Fick dedifusion tiene la forma:

∇ · (K(r)∇c(r, t)) =∂c(r, t)

∂t

donde K(r) es el coeficiente de difusion, que usualmente se considera funcion de laconcentracion c(r, t), lo que hace que la ecuacion se convierta en no lineal. Tambienla difusion de humedad a traves de un solido poroso como arena o madera puede amenudo ser aproximada por una ecuacion de difusion.

4.4.2. Difusion de neutrones

Otro ejemplo de difusion, en el que basta con una teorıa lineal, es el de lateorıa elemental de reactores nucleares, basada en la difusion de neutrones en mediosfisionables. Consideremos un modelo matematico con las siguientes propiedades:

a) Los neutrones, cuya densidad volumetrica escribiremos n0, se difundendesde regiones de alta a regiones de baja concentracion.

b) La rata de difusion a traves de un elemento de superficie es proporcionalal area y a la rata de cambio espacial de concentracion de neutrones, normal a lasuperficie.

c) El coeficiente de difusion para neutrones es inhomogeneo e isotropico.d) El material fisionable absorbe neutrones en proporcion directa a su den-

sidad y velocidad e inversa al camino libre medio (λ): dn/dt = −nv/λ.e) La rata de produccion de neutrones debido a la fision es proporcional

a la rata de absorcion: dn0/dt = Kc(n0v/λ), donde Kc es el numero promedio

de neutrones producido cada vez que se captura uno para fision. La ecuacion quedescribe estos procesos tiene la forma:

∇ ·(D(r)∇n0

)+ (Kc − 1)

v

λn0 + g =

∂n0

∂t,

donde g es la rata de generacion de neutrones por unidad de volumen, y D es elcoeficiente de difusion.

Ejercicio: Considere una placa de material fisionable de gran area y espesor L.Asumiremos que la densidad de neutrones decae rapidamente desde el interiory que puede ser asumida cero en la superficie. Con g = 0 tendremos:

∂2n0

∂t2+B2n0 =

1

D

∂n0

∂t,

donde B2 = (Kc − 1)v/λD es conocido como el buckling del sistema. Por laseparacion de variables n = X(x)T (t) :

X

X+B2 =

T

DT= −α, de donde

4.5. ECUACIONES DE POISSON Y LAPLACE 157

n0 =[c1 cos

(√B2 + αx

)+ c2 sen

(√B2 + αx

)]e−Dαt.

Con las condiciones de frontera: n0|x=0,L = 0 se sigue: c1 = 0 y L√B2 + α =

mπ con m entero, tal que:

n0(x, t) =

∞∑

1

sen(mπLx)e−D(m2π2/L2−B2)t.

A menos que m2π2/L2 − B2 sea mayor que cero, el termino correspondientea ese valor de m crecera indefinidamente con el tiempo. Con el proposito demantener el exponencial decreciente hemos de exigir:

m2π2/L2 −B2 ≥ 0, de modo que L ≤ mπ/B.

El menor valor posible de L es Lc = π/B al que llamaremos valor crıtico.Resulta entonces:

n0(x, t) =

∞∑

1

cm sen(mπLx)e−Dπ(m2−1)t/L

Si L < π/B todos los exponenciales tienden a cero a medida que t aumenta,pero si L > π/B al menos un termino aumenta exponencialmente, lo queconduce a una reaccion en cadena no controlada. En los reactores nuclearesdisenados para generar energıa el caso interesante es el crıtico, en el que n0 nicrece ni se amortigua. En la practica, no obstante, los reactores son disenadospara operar en condicion un poco por encima de la crıtica, pero incrustando enellos varillas absorbentes de neutrones que se retiran o sumergen lo suficientepara que el reactor funcione de modo estacionario. En la seccion 8.3.5 encon-traremos el calculo del radio y la masa crıticos para una esfera de materialfisionable.

Problema: En un medio absorbente de neutrones es cierto que

∇2n0 − βn0 = k∂n0

∂t

En t = 0 se produce una brusca emision de neutrones, de modo quen0(r, 0) = δ(r). Hallar n0(r, t) para t > 0.

4.5. Ecuaciones de Poisson y Laplace

Esta es una las ecuaciones tıpicas y mas antiguas de la fısica matematica. Esla base de la descripcion de la electrostatica y la gravitacion. De acuerdo a la ley de


Coulomb (1785), la fuerza electrica que una distribucion de carga electrica Q ejercesobre una parıcula de prueba q localizada en el punto r esta dada por

F(r) =1

4πε0

∫(r− r′)

|r− r′|3 dQ.


(r− r′)

|r− r′|3 = −∇

(1

|r− r′|

)

podemos escribir:

F(r) = −∇

[q

4πε0

∫dQ(r′)

|r− r′|

]= −q∇φ(r)

r′r

r− r′

dQ

•

φ(r)

Figura 4.9: Potencial electrico debido a una distribucion de cargas.

La funcion φ aquı definida es el potencial electrostatico:

φ(r) =1

4πε0

∫dQ(r′)

|r− r′| =1

4πε0

∫ρ(r′)

|r− r′| dV′,

siendo ρ(r′) la densidad volumetrica de carga. Se sigue, tomando el laplaciano:

∇2φ(r) =1

4πε0∇2

∫ρ(r′)dV ′

|r− r′| =1

4πε0

∫ρ(r′)∇2

(1

|r− r′|

)dV ′

y como

∇2

(1

|r− r′|

)= −4π δ(r− r′)

4.6. ECUACIONES DE MAXWELL 159

tenemos:

∇2φ(r) =1

4πε0× (−4π)

∫ρ(r′)δ(r − r′) dV ′.

En consecuencia, en el interior de una distribucion de cargas, el potencialelectrostatico satisface la ecuacion de Poisson:

∇2φ(r) = −ρ(r)/ε0

El potencial gravitacional G(r) debido a una distribucion de masa con den-sidad volumetrica ρ(r) satisface tambien una ecuacion de Poisson:

∇2 G(r) = 4π G ρ(r)

Esta ecuacion fue propuesta por Poisson en 1801. El nombre potencial fuedado por Green en 1828 a una funcion de la posicion que habıa sido introducidapor Laplace en 1770. En este ano Laplace tambien propuso la expresion que moder-namente escribimos F = −∇G. En 1781 Laplace probo que en el espacio vacıo lafuncion G satisface la ecuacion ∇2G = 0.

De otro lado, el campo magnetostatico tiene lıneas de campo que se cierransobre sı mismas, lo que implica que ∇ ·B = 0, por lo cual y de acuerdo al capıtulo1 podemos escribir: B = ∇×A. Es posible probar que

A(r) =µ0

4π

∫J(r′) dV ′

|r− r′| ,

y que, en consecuencia, tomando∇2 de esta ecuacion, el potencial vectorial magneticosatisface la ecuacion de Poisson vectorial:

∇2A(r) = −µ0J(r)

La solucion a la ecuacion de Poisson escalar o vectorial requiere metodosespeciales entre los cuales sobresale el de Fourier (cap 3) y el de funciones de Green,que sera tratado, en el caso escalar, en el capıtulo 7.

En el exterior de las distribuciones de carga, masa o corriente los potencialessatisfacen la ecuacion de Laplace, ∇2φ = 0, cuyas soluciones pueden ser obtenidaspor separacion de variables en 11 sistemas de coordenadas.

4.6. Ecuaciones de Maxwell

En el sistema internacional de unidades (MKSC) las ecuaciones propuestaspor Maxwell en 1864, para el campo electromagnetico generado por cargas y co-


rrientes en el vacıo, tienen la forma:

∇ · E = ρ/ε0 (4.15)

∇ ·B = 0 (4.16)

∇×E = −∂B∂t

(4.17)

∇×B = µ0 J + µ0ε0∂E

∂t, (4.18)

donde E, B, J y ρ son en general funciones de la posicion y del tiempo y representan,respectivamente, el campo electrico, el campo de induccion magnetica, la densidadde corriente electrica y la densidad volumetrica de carga electrica. Demostraremos,en el caso mas simple (ρ = J = 0), que los campos E y B obedecen ecuaciones deonda: tomando el rotacional de (4.17) y teniendo en cuenta que ∇ × (∇ × E) =∇(∇ · E)−∇2E se sigue:

∇(∇ · E)−∇2E = − ∂

∂t(∇×B) ,

y usando (4.15) y (4.18):

−∇2E = − ∂

∂t

(µ0ε0

∂E

∂t

),

tal que:

∇2E− µ0ε0∂2E

∂t2= 0

Analogamente, tomando el rotacional de (4.18):

∇(∇ ·B)−∇2B = µ0ε0∂

∂t(∇×E)

y usando (4.16) y (4.17) se sigue:

∇2B− µ0ε0∂2B

∂t2= 0

Resulta entonces que los campos electromagneticos pueden propagarse on-dulatoriamente en el vacıo con una velocidad v = 1/

√µ0ε0. Con ε0 = 8,8544×10−12

N−1 m−2C2 y µ0 = 4π × 10−7 m Kg C−2 obtenemos v = 2,9979× 108 m/s, que esla velocidad de la luz en el vacıo. Aquı comienza la idea de la luz como una ondaelectromagnetica.

4.7. ECUACION DE SCHRODINGER 161

Problema: Consideremos una solucion en ondas planas (valida si ρ = 0 yJ = 0) de la forma:

E = E0ei(k·r−ωt), B = B0e

i(k·r−ωt)

Demuestre, por substitucion en las ecuaciones de onda, que k2 =ω2/c2.

Por substitucion de los campos ondulatorios E y B en las ecua-ciones de Maxwell demuestre que: k ·E = 0, k ·B = 0, E ·B = 0.Estas ecuaciones revelan que los vectores E, B y k son perpen-diculares entre sı y forman un sistema de mano derecha, y quepor tanto las ondas electromagneticas planas son transversas y enconsecuencia polarizables.

Problema: Obtenga las ecuaciones de onda inhomogeneas que surgen si ρ 6= 0y J 6= 0.

Problema: Demuestre que la ecuacion de continuidad ∇ · J + ∂ρ/∂t = 0,que describe la conservacion de la carga electrica, es una consecuenciamatematica de las ecuaciones de Maxwell.

Problema: Los campos de radiacion electromagnetica a gran distancia de susfuentes tienen la forma:

E(r, t) = eθE0

rei(kr−ωt), B(r, t) = eϕ

B0

rei(kr−ωt)

Demuestre que estos campos satisfacen las ecuaciones de Maxwell conρ = J = 0, si E0/B0 = ω/k = c = (µ0ε0)−1/2.

4.7. Ecuacion de Schrodinger

La expresion mas general, a nivel no relativista, del comportamiento cuanticode las partıculas, incluida la cuantizacion de la energıa, esta dada por la ecuacionde Schrodinger. Sin invocar las ideas de dualidad onda-partıcula de Einsten y DeBroglie, esta ecuacion puede ser “deducida”de manera puramente formal, de acuerdoa la siguiente prescripcion.

En la expresion mecanico-clasica de la energıa mecanica: E = p2/2m + V ,donde p es el momento lineal de una partıcula puntual de masa m y V su energıapotencial, la energıa y el momento lineal han de ser reemplazados por operadoresde acuerdo a la siguiente regla:

E → −~

i

∂

∂t, p→ ~

i∇ ,

donde ~ = h/2π y h es la constante de Planck (6,6256× 10−34J.s). Ası pues, conp2 = −~2∇2, la conservacion de la energıa toma la forma del operador:

−~

i

∂

∂t= − ~2

2m∇2 + V

Una ecuacion de este tipo no tiene sentido fısico alguno si no hay alguna funcionsobre la que actuen los operadores. Y ha de ser una funcion continua, Ψ(r, t), a


la que se conoce, despues de la interpretacion propuesta por Born, como amplitudde probabilidad. Esta funcion describe propiedades de campo de las partıculas y dacuenta de la dualidad onda partıcula propuesta por De Broglie. El reemplazo formalde variables dinamicas por operadores conduce a la ecuacion de Schrodinger:

− ~2

2m∇2Ψ(r, t) + V (r, t) Ψ(r, t) = i~

∂Ψ(r, t)

∂t

En el capıtulo 8 resolveremos esta ecuacion en dos casos especıficos: el os-cilador armonico y el atomo de Hidrogeno.

4.8. Ecuacion de Klein-Gordon

La ecuacion de Schrodinger fue propuesta en la seccion anterior al trans-formar en operadores el momento lineal y la energıa que aparecen en la expresionE = p2/2m+ V . Esta ecuacion es valida solo en mecanica newtoniana, no en rel-atividad especial, por lo cual la ecuacion de Schrodinger no es relativısticamentecorrecta.

Con el proposito de subsanar esta dificultad, el propio Schrodinger propusouna nueva ecuacion, esta vez relativista, cuya version para partıcula libre esta basadaen la expresion: −p2 +E2/c2 = m2c2. El cambio de p y E por los operadores −i~∇,i~∂/∂t permite escribir

−~2

(1

c2∂2

∂t2−∇2

)= m2c2 (4.19)

Al operar esta expresion sobre la funcion escalar ψ(r, t) obtenemos la ecuacion deKlein-Gordon: [

− 1

c2∂2

∂t2−∇2 −

(mc~

)2]ψ(r, t) = 0 (4.20)

Esta ecuacion, generalizada para incluir potenciales, fue abandonada por su autoral observar que no permitıa una descripcion correcta de los niveles del atomo dehidrogeno. Mas tarde fue retomada por O. Klein y W. Gordon y utilizada para des-cribir partıculas de spin cero. Se noto entonces que esta ecuacion no podıa describirel hidrogeno por la simple razon de que el electron tiene spin 1/2.

Problema: Demuestre que la ecuacion de Klein-Gordon admite solucion enondas planas

ψ(r, t) = ψ0ei(k·r−ωt)

si se cumple que: ω = ±pk2c2 +m2c4/~2. Observe que esta expresion

concuerda con E2 = p2c2+m2c4 si se utilizan las relaciones de Einstein-De Broglie: E = ~ω y p = ~k.

4.9. ECUACION DE DIRAC 163

Problema: Multiplique la ecuacion de Klein-Gordon por ψ∗, y su complejoconjugada por ψ, reste ambas ecuaciones y demuestre que:

∇ · J +∂ρ

∂t= 0

con: J = k (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) , ρ = k

“−ψ∗ ∂ψ

∂t+ ψ ∂ψ

∗

∂t

”c2

4.9. Ecuacion de Dirac

La ecuacion relativista que describe partıculas de spin 1/2, entre ellas elelectron, fue descubierta por P.A.M.Dirac en 1928. Es una ecuacion diferencial par-cial de primer orden, de un tipo bastante peculiar, pues es a la vez una ecuacionmatricial. La idea de Dirac es tomar la raız cuadrada del operador (4.19), en laforma:

i

√1

c2∂2

∂t2−∇2 =

mc

~

Sugiere luego que el radical tiene la forma

√1

c2∂2

∂t2−∇2 =

γ0

c

∂

∂t+ γ ·∇ (4.21)

Finalmente, al introducir una funcion de onda ψ(r, t) obtenemos la ecuacion deDirac:

[i

(γ0

c

∂

∂t+ γ ·∇

)− mc

~

]ψ(r, t) = 0 (4.22)

γ0 y γ son 4 matrices de dimension 4 × 4; en consecuencia, mc/~ debe estar mul-tiplicada por la matriz identidad 4 × 4 y ψ habra de ser una matriz columna de 4elementos. La ecuacion tiene la forma explıcita:

i

c

[(I 00 −I

)∂

∂t−(

0 σ1

σ1 0

)∂

∂x−(

0 σ2

σ2 0

)∂

∂y−(

0 σ3

σ3 0

)∂

∂z

]

- mc~

(I 00 I

)(ψ1

ψ2

)= 0

En esta ecuacion σ1, σ2, σ3 son matrices 2×2, I es la identidad 2×2 y ψ1, ψ2

son columnas de dos elementos:

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

), ψ1 =

(ϕ1

ϕ2

), ψ2 =

(ϕ3

ϕ4

)


La condicion de que el cuadrado del operador (4.21) reproduzca la ecuacionde Klein-Gordon para partıcula libre, conduce a las siguientes condiciones sobre lasmatrices de Dirac:

γ0γi + γiγ0 = 0

γiγj + γjγi = −2δij

γ20 = I

γ2i = −I

con i, j = 1, 2, 3. I es la matriz identidad 4× 4. Las matrices de Pauli, por su parte,obedecen las siguientes reglas:

σiσj = −σjσi =

3∑

k=1

εijkσk , σ2

i = I

I es ahora la matriz identidad 2 × 2. La ecuacion de Dirac permite obtenerel spin correcto del electron y predice la existencia del positron. ϕ1 y ϕ2 describenelectrones de spin +1/2 y -1/2; ϕ3 y ϕ4 describen positrones de spin +1/2 y -1/2.A las funciones ψ, ψ1, ψ2 se les conoce como espinores.

Problema: Partiendo de la formas explıcitas de las matrices de Pauli y Dirac,demuestre las propiedades mostradas en las listas.

4.10. Las ecuaciones bi-armonicas

Esta pareja de ecuaciones, de importancia en la teorıa de fluidos tiene laforma:

Ecuacion bi-armonica : ∇4φ = 0

Ecuacion de ondas bi-armonica : ∇4φ− 1

v2

∂2

∂t2= 0

Por definicion: ∇4 = ∇2∇2, de modo que, en coordenadas cartesianas:

∇4 =3∑

i=1

∂2

∂x2i

3∑

j=1

∂2

∂x2j

=3∑

i,j=1

∂4

∂x2i ∂x

2j

Problema: Escriba ∇4 en coordenadas esfericas.

5

Bases Ortogonales

5.1. Introduccion

La teorıa de espacios n-dimensionales de tipo euclidiano se basa en una ge-neralizacion de la idea de espacio fısico tridimensional. Un grado mayor de abstrac-cion conduce a la idea de espacios n-dimensionales complejos donde el productoescalar es A∗ ·B, lo que implica que el modulo de un vector es real.

Una abstraccion mayor, propuesta en el siglo XX, asegura que no solo sonejes coordenados los asociados a espacios euclidianos reales o complejos, pues tam-bien pueden serlo ciertos conjuntos de funciones linealmente independientes (l.i.),si se define apropiadamente la ortogonalidad de funciones. De ahı surgieron los , enlos que cada eje coordenado es una funcion. Y como es cierto que un vector puedeexpresarse como la combinacion lineal de vectores l.i., resulto que lo mismo podrıahacerse con funciones. Ası, por ejemplo, puesto que el conjunto sennx, cosnx, 1,con n entero es l.i. cualquier funcion bien definida puede escribirse como su com-binacion lineal. De aquı resulta la conocida serie de Fourier. En general, cualquierconjunto de funciones l.i. puede servir de base para la construccion de espaciosabstractos.

La teorıa de bases ortogonales es importante en el estudio de ondas, en laelectrodinamica clasica, la mecanica clasica y la fısica de partıculas elementales.

165

166 5. BASES ORTOGONALES

5.2. Bases discretas

5.2.1. Espacio Euclidiano n-Dimensional

El concepto de espacio vectorial de dimension finita o infinita es una ge-neralizacion de la nocion de espacio tridimensional euclidiano, usual en la fısicanewtoniana.

El conjunto de cantidades A,B,C, . . ., para las cuales las operaciones deadicion y multiplicacion por un escalar real estan definidas es llamado un espaciovectorial (o espacio lineal). Si A,B,C, . . . son vectores de un espacio lineal han desatisfacer los siguientes axiomas:• A + B es vector.• A + B = B + A• (A + B) + C = A + (B + C)• A + 0 = A• A + B = 0 =⇒ B = −AEstas propiedades establecen que un espacio vectorial es un grupo conmutativo bajola adicion. Ademas:• Si α es un escalar, αA es un vector.• Si α y β son escalares, α(βA) = (αβ)A• (α+ β)A = αA + βA• α(A + B) = αA + αB

De un espacio vectorial se dice que es n-dimensional (o de dimension n) si nelementos linealmente independientes pueden ser encontrados en el, y si cualquierconjunto de n+1 elementos es linealmente dependiente; n puede ser finito o infinito.Cualquier conjunto de n elementos linealmente independientes de un espacio n-dimensional es llamado una base.

Ahora bien: por producto escalar en un espacio vectorial real entendemos unacantidad real definida para cada pareja de elementos A y B y denotada por (A,B),con las siguientes propiedades:

• (A,A) > 0, y (A,A) = 0 si y solo si A = 0.

• La norma (o modulo) de un vector A se define como: ‖ A ‖=√

(A,A)

• (A,B) = (B,A)

• (αA,B) = α(A,B), donde α es un numero real.

• (A,B + C) = (A,B) + (A,C)

Una pareja de vectores A y B es ortogonal si (A,B) = 0.

Un espacio lineal dotado de un producto escalar se conoce como Espacio Eu-clidiano. Si contamos con un conjunto ei de n vectores linealmente independientespodemos expresar un vector A en la forma

5.2. BASES DISCRETAS 167

A =n∑

i=1

Aiei (5.1)

donde Ai son las componentes del vector en la base ei que escogeremos ortonormal(la base es ortogonal y los vectores ei son de modulo 1); es decir:

(ei, ej) = ei · ej = δij ;

ası pues, los vectores ei son ortonormales. La operacion anterior define el productoescalar entre los vectores de la base. De (5.1) por multiplicacion escalar con ej :

A · ej =

n∑

i=1

Aiei · ej =

n∑

i=1

Aiδij = Aj ,

tal que la componente Aj del vector A es su proyeccion sobre el vector unitario ej .Entonces:

A =n∑

i=1

Aiei =n∑

i=1

(A · ei)ei =n∑

i=1

A · eiei

= A ·n∑

i=1

eiei

En consecuencia:n∑

i=1

eiei = I

donde I es la identidad con respecto al producto escalar; esto es:

A = A · I = I ·AEn coordenadas cartesianas:

I = ii + jj + kk

I es una dıada, es decir una forma bilineal en los vectores de la base. Escrita en laforma

I =

n∑

i=1

eiei =

n∑

i,j=1

Iij eiej

se sigue que Iij = δij : las componentes de la dıada identidad son los elementos dela delta de Kronecker.

El modulo cuadrado de A es

A ·A =

n∑

i,j=1

AiAj ei · ej =

n∑

i=1

AiAi

.


Espacios euclidianos complejos

Ademas de espacios euclidianos reales podemos considerar espacios eucli-dianos complejos, tambien dotados de un producto escalar. Sin embargo debemosmodificar la definicion de producto escalar que hemos dado antes, pues ahora resultaque de la expresion (αA, αB) = α2(A,B) y con α = i se sigue que (iA, iB) =−(A,B), segun lo cual las normas ‖ iA ‖ y ‖ A ‖ no pueden ser ambas positivas,en contradiccion con la propiedad (A,A) ≥ 0 del producto escalar, que pretendemosmantener valida. Para remediar esta dificultad, definimos ahora el producto escalarcomo una cantidad compleja, con las siguientes propiedades:

(A,B) =

∑

i

Aiei ,∑

j

Bj ej

=∑

i,j

A∗iBj(ei, ej) =

∑

i,j

A∗iBj e

∗i · ej

=∑

i,j

A∗iBjδij =

∑

i

A∗iBi = A∗ ·B

donde:(ei, ej) = e∗i · ej = δij

Es cierto entonces que:• (αA,B) = α∗(A,B) = α∗A∗ ·B.• (A, αB) = α(A,B) = αA∗ ·B.• (A,B) = (B,A)∗

Decimos que el producto escalar es antilineal respecto al primer factor ylineal respecto al segundo.

La norma es real:

(A,A) = A∗ ·A =∑

i

A∗iAi =

∑

i

| Ai |2 .

5.2.2. Espacios de Funciones

Ahora bien, es posible extender la idea de espacios euclidianos de un numerofinito de dimensiones a espacios de funciones, esto es a espacios con un numero finitoo infinito de dimensiones donde los vectores de la base son funciones, en generalcomplejas, ϕn(x), con n entero, para las cuales puede definirse apropiadamente unacondicion de ortogonalidad.

Introduzcamos el conjunto infinito de funciones ϕn(x),n = 1, 2, . . ., li-nealmente independientes, al que llamaremos espacio de Hilbert. La variable inde-pendiente x esta definida en el intervalo (a, b). El conjunto infinito y linealmenteindependiente ϕ∗

n(x) conforma un espacio al que llamaremos el dual de ϕn(x).Decimos que un conjunto ϕn(x) es linealmente independiente si la ecuacion∑

anϕn(x) = 0 se satisface solo si an = 0 para todo n.


Un espacio lineal es, por definicion, un espacio de Hilbert si:a) Es un espacio de funciones de dimension infinita.b) Se ha definido un producto escalar (f, g), lineal respecto a g (esto es, tal queL(ag) = aLg) y antilineal respecto a f (esto es, tal que L(af) = a∗Lf), donde a esuna constante compleja en general, y con las condiciones (g, f) = (f, g)∗ y (f, f) > 0para todo f 6= 0; la cantidad ||f || =

√(f, f) se llama la norma de f .

El producto interno o producto escalar de las funciones f(x) y g(x) en unespacio de Hilbert se define como:

(f, g) =

∫ b

a

f(x)∗g(x) dx

La condicion de que los ”vectores” f(x) y g(x) sean ortogonales se escribe

(f, g) =

∫ b

a

f∗(x)g(x) dx = 0

Por definicion, la base discreta ϕn(x), con n entero, es ortogonal en elintervalo (a, b) si

(ϕn, ϕm) ≡∫ b

a

ϕ∗n(x)ϕm(x) dx = Anδmn (5.2)

Con n = m es facil concluir que An =∫ ba |ϕn(x)|2 dx = (ϕn, ϕn). La base

es ortonormal si An = 1. Notese que: (ϕn, ϕm) = (ϕm, ϕn)∗ , (aϕn + bϕm, ϕl) =

a∗(ϕn, ϕl) + b∗(ϕm, ϕl) , (ϕm, ϕm) > 0 si ϕm 6= 0. La base ϕm(x), como loveremos en el capıtulo 6, es un conjunto completo de autofunciones de un operadorlineal.

La condicion de ortogonalidad puede ser extendida para incluir un factorde peso: Diremos que la base ϕn(x) es ortogonal de peso p(x), con p(x) real, ena ≤ x ≤ b si

(pϕn, ϕm) ≡∫ b

a

p(x)ϕ∗n(x)ϕm(x) dx

= δnm

∫ b

a

p(x)|ϕn(x)|2 dx = δnm(pϕn, ϕn) = Anδnm

y es ortonormal de peso p(x) si ademas:

An ≡∫ b

a

p(x)|ϕn(x)|2 dx = 1


Observese que:• Si ϕn(x) es base ortogonal de peso p(x) entonces

√p(x)ϕn(x) es base

ortogonal de peso 1. Escogeremos siempre p(x) real, solo ası podremos garantizarque (pϕn, ϕm) es real. Ensayese, sin embargo: (

√p(x)ϕn(x),

√p(x)ϕm(x)), con

p(x) complejo.• Si ϕn(x) es base ortogonal de peso p(x):

∫ b

a

p(x)ϕ∗n(x)ϕm(x) dx = Anδnm

entonces:ϕn(x)

√p(x)/An

es base ortonormal de peso 1.

Concebido ϕn(x) como un conjunto completo de “vectores unitarios”,

cualquier funcion f(x) de cuadrado integrable(∫ ba|f(x)|2 dx 6=∞

), continua o con

un numero finito de discontinuidades, puede expresarse como combinacion lineal deϕn(x):

f(x) =∑

n

Cnϕn(x) (5.3)

En el sentido del algebra lineal f(x) es un vector, pues es combinacion linealde los vectores de la base ϕn(x). Los coeficientes constantes Cn son las compo-nentes del vector f(x).

Cn puede obtenerse, conocida f(x), multiplicando la ecuacion anterior porp(x)ϕ∗

m(x), integrando y teniendo en cuenta la ortonormalidad de la base:

∫ b

a

p(x)f(x)ϕ∗m(x) dx =

∑

n

Cn

∫ b

a

p(x)ϕ∗m(x)ϕn(x) dx

=∑

n

Cnδmn = Cm o :

Cn =

∫ b

a

p(x′)f(x′)ϕ∗n(x

′) dx′

Reemplazando en (5.3):

f(x) =

∞∑

n=1

ϕn(x)

∫ b

a

p(x′)f(x′)ϕ∗n(x′) dx′

=

∫ b

a

f(x′)

(∑

n

p(x′)ϕ∗n(x′)ϕn(x)

)dx′


y como: f(x) ≡∫ ba f(x′)δ(x − x′) dx′ se sigue que

∫ b

a

f(x′)δ(x′ − x) dx′ =

∫ b

a

f(x′)

(∑

n

p(x′)ϕ∗n(x′)ϕn(x)

)dx′

por tanto:

∑

n

p(x′)ϕ∗n(x′)ϕn(x) = δ(x − x′) (5.4)

Esta ecuacion es conocida como condicion de completez del conjunto ϕn(x).Es a la vez una representacion de la delta de Dirac.

Teoremas:

1) El conjunto ϕn(x) es completo si para cualquier funcion f(x) de cuadra-do integrable se cumple que

∫ b

a

|f(x)|2 dx =∑

n

|Cn|2

Demostracion: Si f(x) puede expandirse en la base ortonormal ϕn(x), es decir sif(x) =

∑n Cnϕn(x) entonces ϕn(x) es completo; se sigue que

∫ b

a

f∗(x)f(x) dx =∑

mn

C∗nCm

∫ b

a

ϕ∗nϕm dx

=∑

mn

C∗nCmδmn =

∑

n

|Cn|2

En el anterior teorema hemos utilizado la integral que define la norma del“vector” f(x) del espacio de Hilbert:

Norma de f(x) = ||f(x)||2 =

∫ b

a

f∗(x)f(x) dx =

∫ b

a

|f(x)|2 dx

2) El producto interno (o producto escalar) de los ”vectores” f(x) y g(x) enun espacio de Hilbert es:

(f, g) =∑

n

C∗nDn

Este resultado se obtiene reemplazando

f(x) =∑

n

Cnϕn(x) , g(x) =∑

m

Dmϕm(x), en


(f, g) =

∫ b

a

f∗(x)g(x) dx ,

3) Un conjunto ϕn(x) ortogonal es linealmente independiente.

En efecto, de∫ baϕ∗nϕm dx = 0, para n 6= m se sigue, multiplicando por an y

sumando en n:

0 =∑

n

an

∫ b

a

ϕ∗nϕm dx =

∑

n

anδmn = am

4) Cualquier funcion continua f(x) que sea ortogonal a todas las funcionesϕn(x) debe ser identicamente cero.

Es decir:

si

∫ b

a

f(x)ϕ∗m(x) dx = 0 entonces, con f(x) =

∑

n

Cnϕn(x) :

∑

n

Cn

∫ b

a

ϕ∗m(x)ϕn(x) dx = Cm = 0

de donde: f(x) = 0.

5) Si f(x) es continua en (a, b), si tiene derivadas continuas por secciones ysi satisface las condiciones de frontera

αf(a) + βf(a) = 0 , γf(b) + δf(b) = 0

con α2 + β2 6= 0, y γ2 + δ2 6= 0, entonces la serie generalizada de Fourier de f(x)

∑

n

Cnϕn(x)

converge a f(x) absoluta y uniformemente.

6) Si f(x) es suave por pedazos sobre (a, b) (continua o discontinua) entoncesla serie generalizada de Fourier de f(x) converge para a < x < b al valor f(x) encada punto de continuidad y al valor

1

2[f(x+) + f(x−)]

en cada punto de discontinuidad.

Un ejemplo de una funcion con un numero finito de discontinuidades es elsiguiente:


x

f(x)

Figura 5.1: 5.1 Funcion con un numero finito de discontinuidades

Ejemplos de funciones ortonormales discretas

Ortonormalidad:

∫ b

a

p(x)ϕ∗n(x)ϕm(x) dx = δnm

Completez:∑

n

p(x)ϕ∗n(x)ϕn(x′) = δ(x− x′)

Desde a1 hasta c3: n = 1, 2 . . ., y desde d1 hasta e3: n = −∞→∞a1) ϕn(x) =

√2/L sen (nπx/L) 0 ≤ x ≤ L

a2) ϕn(φ) = √

2/β sen (nπφ/β), β < π 0 ≤ φ ≤ βa3) ϕn(φ) =

√2/π sen nφ 0 ≤ φ ≤ π

b1) ϕn(x) = √

2/L cos (nπx/L), 1√L 0 ≤ x ≤ L

b2) ϕn(φ) = √

2/β cos (nπφ/β), 1√β, β < π 0 ≤ φ ≤ β

b3) ϕn(φ) = √

2/π cos nφ, 1√π 0 ≤ φ ≤ π

c1) ϕn(x) = 1√L

sen (nπx/L), 1√L

cos (nπx/L), 1√2L c ≤ x ≤ c+ 2L

c2) ϕn(φ) = 1√β

sen (nπφ/β), 1√β

cos (nπφ/β), 1√2β c ≤ φ ≤ c+ 2β

c3) ϕn(φ) = 1√π

sen nφ, 1√π

cos nφ, 1√2π c ≤ φ ≤ c+ 2π

d1) ϕn(x) = 1√2Leinπx/L c ≤ x ≤ c+ 2L

d2) ϕn(φ) = 1√2βeinπφ/β c ≤ φ ≤ c+ 2β

d3) ϕn(φ) = 1√2πeinφ c ≤ φ ≤ c+ 2π

e1) ϕn(x) = 1√Le2inπx/L 0 ≤ x ≤ L

e2) ϕn(φ) = 1√βe2inπφ/β 0 ≤ φ ≤ β

e3) ϕn(φ) = 1√πe2inφ 0 ≤ φ ≤ π


Problema: Escriba las condiciones de ortonormalidad y completez para lasanteriores bases ortonormales de peso 1. Otras bases que exploraremosdespues son las de Bessel, Hermite y Laguerre, que son de peso x, e−x

y e−x2

, respectivamente.

5.3. Bases continuas

En la seccion precedente hemos estudiado conjuntos infinitos y enumerablesϕn(x) de funciones ortonormales (o al menos ortogonales). Es posible tambienel caso en que el ındice n llega a ser una variable continua. Tendremos entoncesconjuntos continuos, no enumerables, de funciones ortonormales, que son utiles pararealizar expansiones en dominios infinitos o semi-infinitos, ası como las enumerablespermiten expandir funciones en dominios finitos de la variable x.

Consideramos en lo que sigue el conjunto ϕ(k, x) con k y x variables con-tinuas, definidas en un intervalo infinito o semi-infinito.

Ante todo, y como motivacion, consideremos el paso de una base discreta deFourier a una base continua. Sea la base discreta

ϕn(x) =

1√2L

einπx/L, n = −∞ . . .∞, −L ≤ x ≤ L,

en el lımite en que L −→ ∞. En este caso el parametro k definido como k =nπ/L cambia de modo continuo a medida que n cambia de un entero al siguiente(∆k = π∆n/L −→ 0). En consecuencia δnn′ −→ δkL/π,k′L/π, tal que de una deltade Kronecker hemos de pasar a una delta de Dirac, como lo bosquejamos en lassiguientes lıneas:

δnn′ −→ δkL/π,k′L/π −→ δ(kL/π − k′L/π) = δ

(L

π(k − k′)

)=π

Lδ(k − k′),

donde hemos tenido en cuenta que δ (a(k − k′)) = δ(k − k′)/| a |.Ası pues, la condicion de ortonormalidad

∫ L

−Lei(n−n

′)πx/Ldx = 2Lδnn′ ,

se transforma, con L −→∞ en:

∫ ∞

−∞ei(k−k

′)xdx = 2πδ(k − k′),

y la condicion de completez:

1

2L

∞∑

n=−∞einπ(x−x′)/L = δ(x− x′)

5.3. BASES CONTINUAS 175

se escribe, con ∆n = L∆k/π:

1

2L

∞∑

n=−∞einπ(x−x′)/L∆n =

1

2π

∞∑

−∞eik(x−x

′)∆k −→ 1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk = δ(x−x′).

Es decir: ∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk = 2πδ(x− x′)

La base ortonormal es ahora:

ϕ(k, x) =

1√2πeikx

Ası pues, y en forma general, diremos que un conjunto ϕ(k, x), con x y kvariables continuas definidas, respectivamente, en (a, b) y (c, d) es ortonormal si

∫ ba ϕ

∗(k, x)ϕ(k′, x) dx = δ(k − k′) , a ≤ x ≤ b , c ≤ k ≤ d (5.5)

Hemos de observar, de acuerdo a los argumentos precedentes, que para unabase continua las variables x y k se extienden sobre dominios infinitos (o al menossemi-infinitos, como lo sugiere el estudio de la base sen (nπx/L) con n llevado allımite del continuo). Esto da lugar a una conclusion importante:

Las bases discretas de Fourier estan asociadas a intervalos finitos, en tantoque las bases continuas de Fourier lo estan a dominios infinitos o semi-infinitos.

Otro ejemplo de esta ultima afirmacion puede encontrarse en el estudio delas bases discreta y continua de Bessel desarrollado en la seccion 8.3.2. Sin embargo,las bases de Hermite y Laguerre, estudiadas en las secciones 8.5 y 8.6, son discretasy tienen dominio infinito y semiinfinito respectivamente.

Si ϕ(k, x) es un conjunto completo, una funcion f(x) puede ser consideradacomo un vector en este espacio y puede expandirse en la forma

f(x) =∫ dcC(k)ϕ(k, x) dk (5.6)

expresion que es la extension al continuo de la ecuacion (5.3): en vez de sumarsobre el ındice discreto n, integramos sobre el ındice continuo k. El coeficiente C(k),correspondiente a las “componentes” de f(x), puede obtenerse multiplicando (5.6)por ϕ∗(k′, x) e integrando en dx:


∫ b

a

f(x)ϕ∗(k′, x) dx =

∫ d

c

∫ b

a

C(k)ϕ∗(k′, x)ϕ(k, x) dx dk

=

∫ d

c

C(k)

[∫ b

a

ϕ∗(k′, x)ϕ(k, x) dx

]dk

=

∫ d

c

C(k)δ(k − k′) dk = C(k′)

o

C(k) =

∫ b

a

f(x′)ϕ∗(k, x′) dx′

Reemplazando en (5.6):

f(x) =

∫ d

c

C(k)ϕ(k, x) dk =

∫ b

a

∫ d

c

f(x′)ϕ∗(k, x′)ϕ(k, x) dk dx′

=

∫ b

a

f(x′)

[∫ d

c

ϕ∗(k, x′)ϕ(k, x) dk

]dx′

y como: f(x) ≡∫ baf(x′)δ(x − x′) dx′ se sigue:

∫ dc ϕ

∗(k, x′)ϕ(k, x) dk = δ(x− x′) (5.7)

La ecuacion (5.7) es la condicion de completez para conjuntos no enumerablesde funciones. (5.7) es simultaneamente una representacion integral de la delta deDirac.

Observese el papel simetrico que juegan las variables k y x en (5.5) y (5.7).Parejas como esta que hacen posible que (5.5) se convierta en (5.7) mediante loscambios: k ←→ x, k′ ←→ x′ se llaman variables conjugadas; aparecen por ejemploen la fase espacial de una onda eikx, tambien lo son ω y t en la fase temporal eiωt

y son de notable importancia en la optica de Fourier y en el estudio de la dualidadonda-partıcula.

C(k) se conoce como transformada de f(x).

Ejemplos de funciones ortonormales continuas

a) ϕ(k, x) = √

1/π sen kx,√

1/π cos kx, ;0 ≤ k <∞ ; −∞ < x < ∞

5.4. BASES ORTOGONALES EN DOS VARIABLES 177

b)ϕ(k, x) = √

2/π sen kx ; 0 ≤ k <∞ ; 0 ≤ x <∞

c)ϕ(k, x) = √

2/π cos kx,√

1/π ; 0 ≤ k <∞ ; 0 ≤ x <∞

d)ϕ(k, x) = eikx/√

2π ; −∞ < k <∞ ; −∞ < x <∞

Problema: Escriba las condiciones de ortonormalidad y completez para lasanteriores bases. A partir de ellas demuestre que:

Z ∞

−∞sen kx sen k′x dx = πδ(k − k′)

Z ∞

−∞cos kx cos k′x dx = πδ(k − k′)

Z ∞

−∞sen kx cos k′x dx = 0

Z ∞

−∞cos[(k − k′)x] dx = 2πδ(k − k′)

Z ∞

−∞sen[(k − k′)x] dx = 0

Problema: Una base ortonormal que se utiliza en mecanica cuantica paradescribir sistemas fısicos cuyo espectro energetico tiene una parte dis-creta y otra continua puede escribirse en la forma: ϕn(x), ϕ(k, x), conx definida en (a, b), k definida en (c, d), n entero y k real. Esta basese compone de una parte discreta y otra continua, con condiciones deortonormalidad de la forma:

Z b

aϕ∗n(x)ϕm(x) dx = δnm

Z b

aϕ∗(k, x)ϕ(k′, x) dx = δ(k − k′)

Z b

aϕ∗n(x)ϕ(k, x) dx = 0

Si la base es completa cualquier f(x) bien comportada puede expandirsecomo:

f(x) =X

n

Cnϕn(x) +

Z d

cC(k)ϕ(k, x) dk

Escriba la condicion de completez.

5.4. Bases ortogonales en dos variables

Consideremos un rectangulo en el plano xy con b ≤ x ≤ a, c ≤ y ≤ d, y seael conjunto ϕmn(x, y), de funciones complejas y enumerables definidas por

ϕmn(x, y) = ψm(x)ηn(y)


donde ψm(x) y ηn(y) son bases ortonormales y completas. Este conjunto es ortonor-mal si ∫ d

c

∫ b

a

ϕ∗mn(x, y)ϕm′n′(x, y) dx dy = δmnδm′n′ .

La cantidad

‖ ϕ ‖≡

√∫ d

c

∫ b

a

| ϕ(x, y) |2 dx dy

se llama la norma de la funcion ϕ(x, y). Como en el caso de una variable, pode-mos expandir una funcion f(x, y), absolutamente integrable, en la base completaϕmn(x, y):

f(x, y) =∑

mn

cmnϕmn(x, y),

y es facilmente demostrable que las componentes”del vector f(x, y) son:

cmn =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y)ϕ∗mn(x, y) dx dy.

De aca, por substitucion de cmn en la expansion para f(x, y) se obtiene la condicionde completez:

δ(x− x′)δ(y − y′) =∑

mn

ϕmn(x, y)ϕ∗mn(x′, y′).

Problema: Extienda los anteriores desarrollos a tres dimensiones.

5.5. Series de Fourier

5.5.1. La base trigonometrica

Utilizaremos en esta seccion la base de Fourier en diferentes intervalos pararealizar expansiones de algunas funciones tıpicas. Este tipo de expansion fue prop-uesto por vez primera por Fourier en 1807.

A) Consideremos el conjunto √

1/π sen nx,√

1/π cosnx,√

2/π , n =1, 2, ..., ortonormal en el intervalo (c, c + 2π). Un valor de c igual a cero da elintervalo (0, 2π); un valor de c igual a −π da el intervalo (−π, π). Estas funcionesortonormales son de peso 1.

Si f(x) es una funcion definida en (c, c + 2π) y es seccionalmente continuapodemos escribir:

f(x) =a0

2 +∑∞

n=1 an cosnx+∑∞

n=1 bn sen nx (5.8)

5.5. SERIES DE FOURIER 179

• Multiplicando (5.8) por dx e integrando obtenemos:

a0

=1

π

∫ c+2π

c

f(x) dx.

• Multiplicando (5.8) por cosmx e integrando:

am =1

π

∫ c+2π

c

f(x) cosmxdx , m = 1, 2, 3, . . .

• Multiplicando (5.8) por sen mx e integrando:

bm =1

π

∫ c+2π

c

f(x) sen mxdx , m = 1, 2, 3, . . .

Las expresiones para a0 y am (m = 1, 2, . . .) pueden sintetizarse en

am =1

π

∫ c+2π

c

f(x) cosmxdx , m = 0, 1, 2, . . .

Reemplazando am y bm en (5.8) se obtiene la condicion de completez:

1/2 +

∞∑

n=1

cosnx cosnx′ +

∞∑

n=1

sen nx sen nx′ = πδ(x − x′)

Ejemplo: Considere la funcion f(x) definida por

x

f(x)

2ππ

1

2f(x) = 1 0 < x < π

f(x) = 2 π < x < 2π

Figura 5.2: Una funcion definida en el dominio (0, 2π)


Con c = 0 y = 1, 2, 3, · · · se sigue:

an =1

π

∫ 2π

0

f(x) cosnx dx

=1

π

∫ π

0

1× cosnx dx+1

π

∫ 2π

π

2× cosnx dx = 0,

bn =1

π

∫ 2π

0

f(x) sen nx dx

=1

nπ(cosnπ − 1) =

1

nπ

((−1)n − 1

), n = 1, 2, 3, . . .

y:

a0 =1

π

∫ 2π

0

f(x) dx =1

π

∫ π

0

dx +1

π

∫ 2π

π

2 dx = 3

tal que:

f(x) =3

2+

∞∑

n=1

((−1)n − 1

)

nπsen nx

Definicion: Una funcion es par si su dominio contiene a −x siempre que contengaa x, y si f(−x) = f(x) para cada punto x en el dominio. Para funciones pareses cierto que bn = 0. Como ejemplo, sea:

x−π

f(x)

π

f(x) = −x − π < x ≤ 0

f(x) = x 0 < x < π

Figura 5.3: Una funcion par

Con c = −π obtenemos:a0 = π , bn = 0 ,

an =1

π

∫ π

−πf(x) cosnx dx

=1

π

∫ 0

−π(−x) cosnx dx+

1

π

∫ π

0

(x)cosnx dx

=2

πn2(cosnπ − 1)


Resulta en general, que en el dominio (−π, π), las funciones pares tienenexpansion solo en cosenos, es decir bn = 0.

Definicion: Una funcion es impar si su dominio contiene a −x para cada x yademas f(−x) = −f(x). Es cierto que an = 0. Como ejemplo, sea :

x

f(x)

π−π f(x) = x − π < xπ

Figura 5.4: Una funcion impar

Con c = −π se sigue:

a0 = an = 0

bn = − 2

ncosnπ , n = 1, 2, 3, . . .

Funciones impares tienen expansion solo en senos.


1. |x| = π/2 + 2π

P∞n=1

[(−)n−1]

n2 cos nx, −π ≤ x ≤ π

2. | sen x| = 2/π − 2π

P∞n=2

[(−)n+1]

(n2−1)cos nx, −π ≤ x ≤ π

3. x = −2P∞n=1 sen nx/n, −π < x < π

4. 1 = 4π

P∞n=0 sen [(2n+ 1)x]/(2n + 1), 0 < x < π;

con x = π/2 se sigue:

π

4=

∞X

n=0

(−)n

2n+ 1

5. x2 = 4π2/3 + 4P∞n=1 cos nx/n2 − 4π

P∞n=1 sen nx/n, 0 < x <

2π

6. (π − x)/2 =P∞n=1 sen nx/n, 0 < x < 2π

7. (π2 − 3x2)/12 =P∞n=1(−)n+1cos nx/n2, −π ≤ x ≤ π

con x = 0 se sigue:

π2

12=

∞X

n=1

(−)n+1

n2

8. (π2x− x3)/12 =P∞n=1(−)n+1sen nx/n3, −π ≤ x ≤ π


B) En secciones anteriores hemos visto que la base √

2/π sen nx , n =1, 2, · · · , es ortonormal y completa en el intervalo (0, π). Ası pues, una funcion f(x)definida en (0, π) puede expandirse en serie de senos. Estas se llaman series en elsemi-dominio.

Ejemplo: Expandir en senos la funcion

f(x) = x+ 1 , 0 < x < π

Expandir en senos significa definir adicionalmente una funcion para (−π, 0)de modo tal que la funcion completa en (−π, π) sea impar. Es decir

x

f(x)

−ππ

f(x) = x+ 1 0 < x < π

f(x) = x− 1 − π < x < 0

Figura 5.5: Extension del semidominio para formar una funcion impar

Resulta, con c = −π:

bn =2

nπ[1− cosnπ − π cosnπ]

Tambien es cierto que la base √

2/π cosnx, 1√

1/π, n = 1, 2, . . ., es ortonor-mal y completa en (0, π), tal que una funcion definida en ese intervalo puede ex-pandirse en cosenos. Como ilustracion tomemos el mismo ejemplo anterior dondef(x) = x+ 1 en (0, π). Con el fin de completar la funcion en (−π, 0) de modo queen el intervalo (−π, π) sea par, escribimos:

tal que:

a0 = π + 2

an =2

πn2[cosnπ − 1]

El valor de f(x) es en ambas expansiones el mismo en el intervalo (0, π), aunqueno es el mismo en (−π, 0).


f(x)

x−π π

f(x) = x+ 1 0 < x < π

f(x) = −x+ 1 − π < x < 0

Figura 5.6: Extension del semidominio para formar una funcion par

Problemas: Series en el semidominio

1. Expandir en senos :

a) f(x) = x2 , 0 < x < π,

b) f(x) = x sen x , 0 < x < π

c) f(x) = eax , 0 < x < π

2. Expandir en cosenos :

a) f(x) = cos ax , 0 ≤ x ≤ π, a 6= entero

b) f(x) = cosh x , 0 ≤ x ≤ π

c) f(x) = sinh x , 0 ≤ x ≤ π

C) Consideremos ahora la base

√1/L sen (nπx/L),

√1/L cos(nπx/L),

√1/2L

,

con n = 1, 2, ..., ortonormal y completa en el intervalo (d, d + 2L). La variable xes una distancia. Una funcion f(x) definida apropiadamente en ese intervalo puedeexpandirse en tal base, tomando la forma:

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

an cos(nπxL

)+

∞∑

n=1

bn sen(nπxL

)(5.9)

de donde se sigue:

an =1

L

∫ d+2L

d

f(x) cos(nπxL

)dx , bn =

1

L

∫ d+2L

d

f(x) sen(nπxL

)dx

Problema: Demostrar que en el siguiente caso:

f(x) = 0 , −2 < x < 0

f(x) = k , 0 < x < 2

se obtiene:

a0

= k , an = 0 , bn =k

nπ(1 − cosnπ)


Problema: Expandir en cosenos, en el semi-dominio la siguiente funcion:

f(x) = 1 0 < x <a

2,

f(x) = −1a

2< x < a

y demostrar que:

a0 = bn = 0 , an =4

nπsen

“nπ2

”, n = 1, 2, . . .

Problema: Expandir en serie de Fourier, en el intervalo senalado:

f(x) = 2 , −2 < x < 0 ; f(x) = x , 0 < x < 2

Problemas: Hallese la serie de cosenos en el semi-dominio:

1. f(x) = 1 − x , 0 < x ≤ 2f(x) = x− 3 , 2 < x ≤ 4

2. f(x) = 2x− 1 , 0 < x < 1

3. f(x) = 0 , 0 < x < π/2f(x) = π − x , π/2 < x < π.

Problema: De la serie de cosenos para f(x) = x , 0 < x < π, obtenga:

π2

8= 1 +

1

32+

1

52+

1

72+ · · ·

5.5.2. La base exponencial

A partir de la ecuacion (5.8), valida en (c, c+ 2π):

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

(an cosnx+ bn sen nx)

con

cosnx =1

2(einx + e−inx)

sen nx =1

2i(einx − e−inx)

obtenemos:

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

[Cneinx + C−ne

−inx] =∞∑

n=−∞Cne

inx

donde: a0/2 = C0 , Cn = an − ibn , C−n = an + ibn

Si multiplicamos la ecuacion

f(x) =∑∞

n=−∞ Cneinx (5.10)


por e−imx e integramos en x en el intervalo (c, c+ 2π) obtenemos

Cm =1

2π

∫ c+2π

c

f(x)e−imx dx , n = −∞ . . .∞ . (5.11)

f(x), dado por (5.10), es la forma compleja de la serie de Fourier. Si f(x) es real,es cierto entonces que an y bn son reales y por tanto C−n = C∗

n.

El resultado (5.10) pudo haberse propuesto directamente reconociendo que estaecuacion es la expansion de f(x) en la base exponencial de Fourier, ortonormal,ϕn(x) =

√1/2πeinx, n : −∞ −→∞, x : c −→ c+ 2π.

Este desarrollo puede repetirse para funciones definidas en el intervalo (d, d+2L);partiendo de la ecuacion (5.9) obtenemos:

f(x) =

∞∑

n=−∞Cne

inπx/L , Cn =1

2L

∫ d+2L

d

f(x)e−inπx/L dx , n = −∞ . . .∞

Problema: Expresar en la base exponencial de Fourier cada una de las fun-ciones desarrolladas en forma trigonometrica en la seccion anterior.

5.5.3. La base bidimensional

En el dominio −π ≤ x ≤ π, −π ≤ y ≤ π, (o tambien: 0 ≤ 2π, 0 ≤ 2π), la base deFourier tiene la forma:

1

2π,

1√π

sen mx,1√π

cosmx,1√π

sen ny,1√π

cosny,

1

πsen mx sen ny,

1

πsen mx cosny,

1

πcosmx sen ny,

1

πcosmx cosny

Este es un conjunto completo de funciones linealmente independiente, tal que cualquierfuncion f(x, y) absolutamente integrable puede escribirse como una combinacionlineal:

f(x, y) =∞∑

m=0

∞∑

n=0

λmn[amn cosmx cosny + bmn sen mx cosny

+cmn cosmx sen ny + dmn sen mx sen ny]


Problema: Demuestre que, para m,n = 0, 1, 2 . . .:

amn =1

π2

Z π

−π

Z π

−πf(x, y) cosmx cosny dxdy

bmn =1

π2

Z π

−π

Z π

−πf(x, y) sen mx cosny dx dy

cmn =1

π2

Z π

−π

Z π

−πf(x, y) cosmx sen ny dx dy

dmn =1

π2

Z π

−π

Z π

−πf(x, y) sen mx sen ny dxdy

y que:

λmn = 1/4, para m = n = 0

λmn = 1/2, para m > 0, n = 0 o m = 0, n > 0

λmn = 1, para m > 0, n > 0

Ahora bien, la serie de Fourier compleja para f(x, y) puede ser escritaen la forma compacta:

f(x, y) =∞X

m=−∞

∞X

n=−∞cmne

i(mx+ny)

con:

cmn =1

4π2

Z π

−π

Z π

−πf(x, y)e−i(mx+ny)dxdy m, n = 0,±1,±2 . . . ,

Problema: Escriba la condicion de completez de la base anterior.

Ejercicio: Expandir f(x, y) = xy, −π ≤ x ≤ π, −π ≤ y ≤ π, en serie de Fouriercompleja.Se obtiene:

amn = bmn = cmn = 0, dmn =4

mn(−1)m+n,

tal que

xy = 4

∞∑

m=1

∞∑

n=1

(−1)m+n

mnsen mx sen ny.

5.6. Integrales de Fourier

5.6.1. Transformada de Fourier

La integral de Fourier es la expansion de una funcion f(x) definida en el intervalo(−∞,∞), en la base continua y ortonormal ϕ(k, x) = eikx/

√2π, con k =

−∞ . . .∞, x = −∞ . . .∞. Una funcion seccionalmente continua puede expandirse,de acuerdo a (5.6) en la forma

f(x) =

∫ ∞

−∞F (k)

eikx√2π

dk. (5.12)

5.6. INTEGRALES DE FOURIER 187

La condicion de ortonormalidad∫ ∞

−∞ei(k−k

′)x dx = 2πδ(k − k′),

que simultaneamente es una representacion de Fourier de la delta de Dirac, permiteescribir

F (k) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikx dx ; (5.13)

k y x forman una pareja conjugada de Fourier. F (k) es la transformada de Fourierde f(x) y recıprocamente. Debemos hacer aquı una aclaracion respecto a la notacionf(x) y F (k). No se trata de que f(x) y F (k) representen la misma funcion escritabajo el simple intercambio de x y k, sino mas bien: f(x) es alguna funcion deposicion, en tanto que F (k) es otra funcion, pero esta vez de k. Notese, por ejemplo,que δ(x) es la transformada de Fourier de 1/

√2π y que δ(x−x0) es la transformada

de eikx0/√

2π.Si F (k) = ±f(−x) la expresion para F (k) se reduce a transformadas coseno

(seno) para el signo superior (inferior).Si f(x) es real (f(x) = f∗(x)) entonces F (−k) = F ∗(k).Si la funcion en consideracion depende del tiempo, ω y t sera la pareja de variables

conjugadas y escribimos:

f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞F (ω)eiωt dω , F (ω) =

1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−iωt dt . (5.14)

F (ω) se conoce como espectro de frecuencia o espectro de Fourier o distribucion es-pectral de f(t). La funcion |F (ω)|2 es la densidad espectral (Potencia/frecuencia)y mide la intensidad que la onda tiene en el intervalo entre ω y ω+ ∆ω. La integral

∫ ∞

−∞|F (ω)|2dω

da la energıa total del sistema fısico, en tanto que la integral

∫ b

a

|F (ω)|2dω

da la contribucion a la energıa total por parte de las frecuencias comprendidas entrea y b.

Ejercicio: Calcular la transformada de Fourier, o distribucion espectral, de la fun-cion gaussiana:

f(x) = Ae−α2x2

, x : −∞ −→∞


Reemplazando en (5.13) escribimos:

F (k) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikx dx =

A√2π

∫ ∞

−∞e−α

2(x2+ikx/α2) dx

=A√2πe−k

2/4α2

∫ ∞

−∞e−α

2(x+ik/2α2)2 dx =A√2πe−k

2/4α2 ·√π

α

Ası pues

F (k) =A√2αe−k

2/4α2

f(x)

xmx

F (k)

kmk

Figura 5.7: Una gaussiana y su transformada de Fourier

Las graficas de f(x) y F (k) son ambas gaussianas. Su ancho medio se definecomo ∆x = 2xm y ∆k = 2km, donde xm y km son los valores de x y kpara los cuales f(xm) = f(0)/2 y F (km) = F (0)/2. Es facil demostrar que∆k∆x = 1,39. Esto significa que los anchos de la curva original y de sutransformada son inversamente proporcionales. Si α es muy pequeno, la curvaf(x) es una gaussiana muy amplia, en tanto que F (k) tiende a un pico deDirac. Si α es muy grande, f(x) tiende a un pico de Dirac, mientras F (k) esuna gaussiana muy amplia.

Problema: En el ejercicio anterior demuestre que ∆k∆x = 1,39

Problema: Evaluar el espectro de Fourier para un tren de ondas finito co-mo el mostrado en la figura 5.8, que se describe mediante la siguienteexpresion, donde ω0T = nπ:

f(t) =

sen ω0t, −T < t < T0, T < t < −T


f(t)

t

−T T

Figura 5.8: Tren finito sinusiodal

Problemas: Evaluar la transformada de Fourier:

1. f(x) =

e−x si x > 00 si x < 0

2. f(x) =

ex si x < 00 si x > 0

3. f(x) =

x si 0 < x < a0 para todo otro punto

4. f(x) =

xe−x si x > 00 si x < 0

5. f(x) =

ex si x < 0e−x si x > 0

Ejercicio: Obtener la transformada de Fourier de la derivada de una funcion.

De: f(x) = 1√2π

∫∞−∞ F (k)eikxdk, se sigue:

dnf(x)

dxn=

1√2π

∫ ∞

−∞[(ik)nF (k)]eikxdk

de modo que la transformada de Fourier de dnf(x)/dxn es (ik)nf(k), y recıpro-camente.

5.6.2. Dualidad onda-partıcula

En un pulso de sonido de duracion 2T , y amplitud constante, como en la figura(5.9), ¿cual es el contenido de frecuencias? En otras palabras ¿cuantas frecuenciashay que sumar, y en que proporcion, para reproducir tal sonido?

Se sigue:

F (ω) =1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−iωt dt =

1√2π

∫ T

−Te−iωt dt = T

√2

π

sen ωT

ωT


t

−T T

1

f(t)

f(t) = 0 T < t < −T

f(t) = 1 − T < t < T

Figura 5.9: Pulso finito y constante

F (ω)

ωT

ω0T

π

Figura 5.10: Transformada de Fourier de un pulso finito y constante

El primer cero en F (ω), a la derecha, se obtiene en ωT = π, y segun la grafi-ca: ω0T & π/2, donde ω0T corresponde a F (0)/2. Multiplicando por 4 se sigue:(2ω0)(2T ) & 2π. La duracion (o ancho temporal) de la senal es ∆t = 2T , en tantoque su ancho de frecuencia (definido como el ancho de la curva correspondiente af(0)/2) es ∆ω = 2ω0, tal que :

∆ω∆t & 2π (5.15)

Ası pues, a medida que la duracion del pulso decrece, su contenido de frecuencias(ancho de banda) aumenta, hasta el punto de que un sonido de duracion infinite-simal (∆t −→ 0), representado por una delta de Dirac y equivalente a un golpede percusion, contiene todas las frecuencias (∆ω −→ ∞) con la misma intensidad.Recıprocamente, un sonido que solo contiene una frecuencia (∆ω −→ 0) tiene unaduracion infinita. Un caso extremo lo muestra el problema al final de esta seccion.

Un analisis equivalente, realizado con la funcion:

f(x) =

0, −∞ < x < −L , L < x <∞1, −L < t < L

conduce a:

F (k) =

√2

πL

(sen kL

kL

), y :


t

t

t

ω

ω

ω

f(ω)f(t)

Figura 5.11: Transformadas de Fourier de un pico, de una senal de duracion finitay de una de duracion infinita.

∆k∆x & 2π (5.16)

Ahora bien, la idea de dualidad onda-partıcula surge en la explicacion de Einstein,en 1905, del efecto fotoelectrico, de acuerdo a la cual la luz puede describirse comoun paquete de partıculas cada una de energıa E = ~ω, donde ω es la frecuenciaangular de la onda luminosa. Es entonces cierto, de acuerdo a (5.15), que:

∆E∆t & h (5.17)

En consecuencia un pulso de luz de duracion ∆t tiene una incertidumbre ∆E en laenergıa. La dualidad onda-partıcula, originalmente aplicada a la luz, fue extendidaen 1924 por De Broglie a las partıculas atomicas: un electron tiene una frecuencia ωy un numero de onda k dados por ω = E/~ y k = p/~, donde E y p son la energıay el momento lineal del electron. De (5.16) se sigue:

∆p∆x & h (5.18)

Esta expresion da lugar a la siguiente interpretacion: el momento lineal y la posicionde una partıcula no pueden ser determinados con precision absoluta. Una muy buenadeterminacion de la posicion (∆x pequeno) esta asociada a una imprecisa determi-nacion del momento lineal (∆p grande); una perfecta determinacion de la posicion


implica un desconocimiento completo del momento lineal, y recıprocamente. Lasecuaciones (5.17) y (5.18) son expresion matematica del principio de incertidumbrede Heisenberg.

Problema: Demostrar que el espectro de Fourier de δ(t) contiene todas lasfrecuencias ω con la misma amplitud.

Notas:

* El Lema de Riemann-Lebesgue, que hemos utilizado en el capıtulo 3:

lımx−→±∞

∫ ∞

−∞F (k)eikxdk −→ 0,

y que es valido para funciones F (k) absolutamente integrables, significa quela funcion f(x) es continua para todo x y converge a cero cuando x −→ ±∞.O recıprocamente, pensando en la transformada de Fourier, significa que lascomponentes”F (k) del vector f(x) tienden a cero a medida que x −→ ±∞.Si se elimina el requerimiento de que la funcion sea absolutamente integrable,los coeficientes de Fourier pueden no converger a cero cuando x −→ ±∞.Puede demostrarse que :

lımx−→±∞

∫ b

a

F (k) cos kx dk −→ 0 , lımx−→±∞

∫ b

a

F (k) sen kx dk −→ 0,

que vale tambien para a −→ −∞ y b −→∞.

* De la condicion de ortonormalidad para la baseeikx/

√2π, tomando partes real

e imaginaria se sigue:∫ ∞

−∞cos [(k − k′)x] dx = 2πδ(k − k′)

∫ ∞

−∞sen [(k − k′)x] dx = 0

La condicion de ortonormalidad de la base 1√π

sen kx, 1√π

cos kx se escribe:

∫ ∞

−∞sen kx sen k′x dx = πδ(k − k′)

∫ ∞

−∞cos kx cos k′x dx = πδ(k − k′)

∫ ∞

−∞sen kx cos k′x dx = 0,

∫ ∞

−∞sen k′x cos kx dx = 0


Sumando las dos primeras :∫ ∞

−∞cos [(k − k′)x] dx = 2πδ(k − k′),

y sumando las dos segundas:∫ ∞

−∞sen [(k − k′)x] dx = 0,

como se obtuvo tambien con la base exponencial. Recuerdese que para ambasbases: x : −∞ −→∞, k : −∞ −→∞.

5.6.3. Transformadas seno y coseno

La transformada Seno se define como sigue:

f(x) =

√2

π

∫ ∞

0

F (k) sen kx dk

F (k) =

√2

π

∫ ∞

0

f(x) sen kx dx,

y analogamente para la transformada Coseno.

Ejercicio: Utilizacion de la transformada de Fourier para evaluar integrales.Si f(x) = e−ax, con x ≥ 0, a > 0, entonces:

F (k) =

√2

π

∫ ∞

0

f(x) cos kx dx =

√2

π

∫ ∞

0

e−ax cos kx dx

=

√2

π

a

a2 + k2

De donde se sigue:

f(x) = e−ax =

√2

π

∫ ∞

0

F (k) cos kx dk =2a

π

∫ ∞

0

cos kx

a2 + k2dk,

de donde: ∫ ∞

0

cos kx

a2 + k2dk =

π

2ae−ax

Problemas: Demuestre que:Z ∞

0

k sen kx

a2 + k2dk =

π

2e−ax.

Z ∞

0

k3 sen x cos kx

k4 + 4dk =

π

2e−x cos x


Problemas: Evaluar las transformadas Seno de cada una de las siguientesfunciones:A) f(x) = eax cos x, 0 ≤ x ≤ ∞B) f(x) = xe−x, 0 ≤ x ≤ ∞C) f(x) =

sen x si 0 ≤ x < π0 si x > π

D) f(x) =

x si 0 ≤ x < 10 si x > 1

5.6.4. Teorema de Parseval

El siguiente teorema, de amplia aplicacion en optica, electromagnetismo y mecanicacuantica, vincula los valores de un producto de funciones y de sus transformadas deFourier.

Es cierto de (5.13) que

∫ ∞

−∞F ∗(k)G(k) dk =

1

2π

∫ ∫ ∫f∗(x)g(x′)eik(x−x

′) dk dx dx′

=

∫ ∫f∗(x)g(x′)δ(x− x′) dx dx′

=

∫ ∞

−∞f∗(x)g(x) dx

En particular, si f(x) = g(x):

∫ ∞

−∞|f(x)|2 dx =

∫ ∞

−∞|F (k)|2 dk

Este resultado se conoce como Teorema de Parseval.

Problema: Demostrar que:

f ∗ g ≡Z ∞

−∞f∗(x)g(x0 − x) dx =

Z ∞

−∞F ∗(k)G(−k)e−ikx0 dk

La funcion f ∗ g define la convolucion de las funciones f(x) y g(x) sobreel intervalo (−∞,∞).

Problema: Extienda el teorema de Parseval a las variables conjugadas r y k.Este ejercicio revela la existencia de dos espacios, con coordenadas r yk, que en mecanica cuantica juegan un papel crucial.

5.7. Bases de Fourier y ecuaciones diferenciales

La transformada de Fourier puede utilizarse para simplificar y resolver ecuacionesdiferenciales. En lo que sigue veremos de que modo la transformada de Fourier esmas general que la serie compleja de Fourier, pues la ultima esta contenida en laprimera.

5.7. BASES DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES 195

Oscilador armonico forzado

Consideremos como un primer caso la ecuacion diferencial ordinaria que describeun oscilador armonico forzado: y + ω2y = f(t). En el caso particular en que

t−π π

−π/2

π/2

f(t)

f(t) = t+ π/2, −π < t < 0

f(t) = −t+ π/2, 0 < t < π

Figura 5.12:

Expandiendo f(t) en serie de Fourier y reemplazando en la ecuacion diferencialobtenemos:

y + ω2y =4

π

∞∑

n=0

cos[(2n+ 1)t]

(2n+ 1)2.

Queremos expandir y en una serie de Fourier de la forma:

y =∞∑

0

an cos[(2n+ 1)t] +∞∑

0

bn sen[(2n+ 1)t];

por substitucion en la ecuacion diferencial obtenemos finalmente:

y =4

π

∞∑

0

cos[(2n+ 1)t]

(2n+ 1)2[−(2n+ 1)2 + ω2].

A esta solucion debemos sumar la correspondiente a la ecuacion homogenea: y +ω2y = 0, que es de la forma y = A cosωt+B senωt.

Problema: Obtenga la solucion para el mismo oscilador forzado si, ademas,hay amortiguacion proporcional a la velocidad.

Ecuacion de ondas homogenea

Como un segundo ejemplo consideremos la ecuacion de ondas homogenea unidi-mensional:

∂2ψ(x, t)

∂x2− 1

v2

∂2ψ(x, t)

∂t2= 0


Realicemos una transformacion de Fourier sobre la variable temporal, en ψ(x, t):

ψ(x, t) =1√2π

∫ ∞

−∞ψ(x, ω)eiωt dω (5.19)

Al reemplazar en la ecuacion de ondas obtenemos:

∫ ∞

−∞

[∂2ψ(x, ω)

∂x2+ω2

v2ψ(x, ω)

]eiωt dω = 0.

Puesto que eiωt es una base ortogonal, y como cada elemento de la base es lineal-mente independiente, se sigue que

d2ψ(x, ω)

dx2+ω2

v2ψ(x, ω) = 0 (5.20)

La ecuacion diferencial ha sido convertida en otra que contiene derivacion solo enla variable espacial, cuya solucion general es:

ψ(x, ω) = A(ω)eiωx/v +B(ω)e−iωx/v,

de modo que reemplazando en (5.19):

ψ(x, t) =1√2π

∫ ∞

−∞

[A(ω)eiωx/v +B(ω)e−iωx/v

]eiωt dω. (5.21)

Como una aplicacion especıfica de esta solucion general consideremos una onda enuna cuerda de longitud L, con extremos fijos, es decir:

ψ|x=0 = ψ|x=L = 0 ,

De la primera condicion obtenemos: B(ω) = −A(ω), por lo cual (5.21) se escribe:

ψ(x, t) =1√2π

∫ ∞

−∞A(ω) sen

(ωxv

)eiωt dω ;

y de la segunda condicion se sigue que: ωL/v = nπ, esto es: ω = ωn = nπv/L, talque la integral en dω es efectivamente una suma [equivalentemente, ω = ωn = nπv/Limplica: A(ω) = Anδ(ω − nπv/L) ]. Ası pues:

ψ(x, t) =1√2π

∞∑

n=−∞An sen

(nπxL

)einπvt/L∆ω

y con: ∆ω = πv∆n/L y ∆n = 1, tendremos:

5.7. BASES DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES 197

ψ(x, t) =πv√2π L

∞∑

n=−∞An sen

(nπxL

)einπvt/L

=∞∑

n=−∞A′n sen

(nπxL

)einπvt/L =

−1∑

n=−∞+

∞∑

n=1

=∞∑

n=1

[A′′ne

−inπvt/L +A′neinπvt/L

]sen(nπxL

);

Las restantes condiciones de Cauchy:

∂ψ

∂t

∣∣∣∣t=0

= ψ0 y ψ

∣∣∣∣t=0

permiten obtener los valores de A′n yA′′

n mediante la utilizacion de la ortogonalidadde la base de Fourier

√2/L sen (nπx/L) en (0, L).

Ecuacion de ondas inhomogenea

Consideremos ahora la solucion a la ecuacion de ondas inhomogenea unidimen-sional, apelando desde el principio a una transformada de Fourier doble. La conexionentre ψ(x, t) y ψ(k, ω) puede establecerse realizando de modo sucesivo las transfor-madas de x y t, como sigue:

ψ(x, t) =1√2π

∫ ∞

−∞ψ(k, t)eikx dk

=1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞ψ(k, ω)ei(kx+ωt) dk dω (5.22)

Estudiemos la forma que toma esta ecuacion para las tres opciones que puedenpresentarse en cuanto a las fronteras espaciales:

(a) x : (−∞,∞). En este caso se preserva la forma de la ultima ecuacion, valedecir que la base espacial es eikx.

(b) x : (0,∞), con ψ(x, t)|x=0 = ψ(x, t)|x−→∞0. Obtenemos, como es facil de-mostrar:

ψ(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞ψ(k, ω) sen kx eiωt dk dω

Hemos tomado en cuenta la validez del lema de Riemann-Lebesgue.(c) x : (0, L), con ψ(x, t)|x=0 = ψ(x, t)|x=L = 0. Obtenemos de (5.22):

ψ(x, t) =1√2π

∞∑

n=0

sen

(nπx

L

∫ ∞

−∞An(ω)

)eiωt dω.


En lo que sigue nos centraremos en el caso (a). Reemplazando las transformadas deFourier en x y t de ψ(x, t) y g(x, t) en la ecuacion de ondas inhomogenea

∂2ψ(x, t)

∂x2− 1

v2

∂2ψ(x, t)

∂t2= g(x, t) (5.23)

se sigue, dado el caracter ortogonal de la base de Fourier ei(kx−ωt) se sigue:

(−k2 + ω2/v2

)ψ(k, ω) = g(k, ω)

Si g(k, ω) 6= 0 entonces ψ(k, ω) = g(k, ω)/(−k2 + ω2/v2

). Esta es la solucion

ψ(k, ω) a la ecuacion inhomogenea.Si g(k, ω) = 0 tendremos

(−k2 + ω2/v2

)ψ(k, ω) = 0, valida entonces para la

ecuacion homogenea, de modo que aparecen dos opciones : (a) −k2 + ω2/v2 = 0 siψ(k, ω) 6= 0 y (b) ψ(k, ω) = 0 si −k2 + ω2/v2 6= 0; ambas opciones se sintetizan en:ψ(k, ω) = f(ω)δ

(ω2 − k2v2

). La forma general de ψ(k, ω) es entonces:

ψ(k, ω) =g(k, ω)

−k2 + ω2/v2+ f(ω)δ

(ω2 − k2v2

)(5.24)

Reemplazando ψ(k, ω) de (5.24) en la solucion general (5.22) se sigue:

ψ(x, t) =1

2π

∫ ∫ [g(k, ω)

−k2 + ω2/v2+ f(ω)δ

(ω2 − k2v2

)]ei(kx+ωt) dk dω

Esta ecuacion puede simplificarse teniendo en cuenta que

δ(ω2 − k2v2

)=

1

2|ω| [δ(ω + kv) + δ(ω − kv)] ,

e introduciendo la transformada g(x′, t′), inversa de g(k, ω); se concluye que:

ψ(x, t) =1

2π

∫ ∫ [1

2π

∫ ∫g(x′, t′)

(−k2 + ω2/v2)ei(k(x−x

′)+ω(t−t′)) dx′ dt′

+A(ω) eiω(−x/v+t) + B(ω)eiω(x/v+t)]dω dk

El termino en g(x′, t′) da la contribucion a las ondas debida a las fuentes (solucioninhomogenea); los terminos en A(ω) y B(ω) corresponden a ondas que viajan aderecha e izquierda y son solucion a la ecuacion homogenea.

Problema: En el caso x : (0, L) demuestre que

An(ω) =gn(ω)

−(nπ/L)2 + ω2/v2+ f(ω)δ

`ω2 − (nπ/L)2

´

donde n es un entero.

5.8. ANEXO 5.1: ORTOGONALIZACION 199

Es importante observar que el metodo de Fourier permite hallar la solucion deecuaciones diferenciales ordinarias o parciales ya sean homogeneas o inhomogeneas,en tanto que el metodo de separacion de variables es aplicable solo a las homogeneas.

Los calculos presentados aquı pueden extenderse a ondas en tres dimensionesespaciales. En este caso, en coordenadas cartesianas, el argumento del exponenciales k ·r±ωt, que representa ondas planas. En efecto, los valores constantes de la fasek · r describen un plano que viaja perpendicularmente a k con velocidad constante±v. En el problema siguiente proponemos esta aplicacion.

Problema: Demostrar, mediante aplicacion sucesiva de transformadas deFourier en x, y, z, t, que la solucion general a la ecuacion de ondas en 3dimensiones, inhomogenea, con fuente g(r, t) es:

ψ(r, t) =1

(2π)4

Zg(r′, t′)

−k2 + ω2

v2

eiˆk·(r−r

′)+ω(t−t′)˜d3k d3r′ dω dt′

+

Z hA(k)ei(k·r−vt) + B(k)ei(k·r+vt)

id3k,

donde: k2 = k2x + k2

y + k2z , d

3k = dkx dky dkz , d3r = dx dy dz; enconsecuencia, la primera integral es octuple y la segunda triple; todasvan de −∞ a ∞. La fase de las ondas esta descrita por los terminosk · r∓ωt. Las superficies de fase constante son planos k · r = constanteque viajan en direccion k con velocidad constante v = ±kω/k. Las dosultimas integrales describe por tanto ondas que viajan en direcciones±k.

Conviene observar, desde un punto de vista fsico, la aparicion de lasvariables r,t,r′,t′. Las dos primeras se refieren al observador, y las dosultimas a la fuente. Las dos primeras al efecto, las dos ultimas a la causa.La ecuacion de ondas asegura que la onda viaja a la velocidad v. Es estala forma como la fısica matematica concibe la nocion de causalidad.

5.8. ANEXO 5.1: Ortogonalizacion

El procedimiento de ortogonalizacion de GRAM-SCHMIDT permite construiruna base ortogonal partiendo de un conjunto no ortogonal de funciones linealmenteindependientes definido en cierto intervalo. La base nueva es ortogonal respecto aun factor de peso escogido libremente.

Espacio Euclidiano

Como un primer ejemplo consideremos un conjunto de vectores H1,H2,H3 en elespacio tridimensional ordinario, no ortogonales y no colineales: Hi·Hj 6= 0 ; i, j =1, 2, 3. Formemos una nueva base K1,K2,K3 de vectores ortogonales: Ki · Kj =0 ; i 6= j. Escogemos K1 coincidente con H1, tal que: K1 = H1 y sea


K2 = H2 + aK1

K3 = H3 + bK1 + cK2

Ası, K2 esta en el plano de H1 y H2, y K3 es perpendicular al plano de K1 y K2

De la primera ecuacion se sigue:

K2 ·K1 = 0 = H2 ·K1 + aK1 ·K1 , se sigue: a = −H2 ·K1

K1 ·K1

y de la segunda:

K3 ·K1 = 0 = H3 ·K1 + bK1 ·K1 , de donde: b = −H3 ·K1

K1 ·K1

y K3 ·K2 = 0 = H3 ·K2 + cK2 ·K2 , de donde: c = −H3 ·K2

K2 ·K2

La nueva base ortogonal es, entonces:

K1 = H1

K2 = H2 −K1(H2 ·K1)

|K1|2

K3 = H3 −K1(H3 ·K1)

|K1|2− K2(H3 ·K2)

|K2|2

En forma general, dada la base no ortogonal (oblicua) H1 . . .Hp en un espa-cio de p dimensiones, pretendemos construir la base ortogonal K1 . . .Kp. Comoextension del procedimiento anterior escribamos

K1 = H1

K2 = H2 +A21K1

K3 = H3 +A31K1 +A32K2

Es decir que el vector Kn se expresa como

Kn = Hn +

n−1∑

m=1

AnmKm (5.25)

Los coeficientes Anm pueden evaluarse formando el producto escalar Kn ·Kl conl < n:

Kn ·Kl = 0 = Hn ·Kl +

n−1∑

m=1

AnmKm ·Kl


K2

H3

K1 = H1

H2 aK1

K3

bK1 + cK2

Figura 5.13: 5.13 La base no ortogonal Hi es transformada en la base ortogonal Ki

Puesto que Km y Kl son ortogonales, Km ·Kl es diferente de cero solo si m = l.Ası pues, Km ·Kl = Km ·Kmδlm y por tanto:

0 = Hn ·Kl +

n−1∑

m=1

Anm|Km|2δlm

= Hn ·Kl +Anl|Kl|2 ,

finalmente:

Anl = −Hn ·Kl

|Kl|2,

o, por intercambio de ındices: Anm = −Hn ·Km/|Km|2 , tal que, reemplazando enla expresion (5.25):

Kn = Hn −n−1∑

m=1

Km(Hn ·Km)

|Km|2

En vez de (??) puede tambien escribirse, aunque la obtencion de Bnm es mas com-plicada:

Kn = Hn +

n−1∑

m=1

BnmHm


Espacios de Funciones

En el caso de una base fn(x) enumerable, no ortogonal, escribimos la basenueva ortogonal ϕn(x) como

ϕn(x) = fn(x) +

n−1∑

m=1

Anmϕm(x) (5.26)

y si la nueva base ortogonal es de peso 1:

(ϕn, ϕm) =

∫ b

a

ϕ∗n(x)ϕm(x) dx = (ϕn, ϕn)δnm

tendremos, para l < n:

(ϕl, ϕn) = 0 = (ϕl, fn) +

n−1∑

m=1

Anm(ϕl, ϕm)

0 = (ϕl, fn) +

n−1∑

m=1

Anm(ϕl, ϕl)δlm

0 = (ϕl, fn) +Anl(ϕl, ϕl)

o:

Anm = − (ϕm, fn)

(ϕm, ϕm),

con lo cual:

ϕn(x) = fn(x)−n−1∑

m=1

ϕm(x)(ϕm, fn)

(ϕm, ϕm)

En vez de (5.26) podemos tambien escribir:

ϕn(x) = fn(x) +n−1∑

m=1

Bnmfm(x) (5.27)

y evaluar Bnm como lo haremos en el proximo ejemplo.Con el mismo conjunto fn(x) y con diferentes escogencias de intervalo (a, b) y

de factor de peso p(x) pueden obtenerse diferentes bases ortogonales ϕn(x).

Ejemplo: Sea fn(x) = 1, x, x2, x3, . . . = xn−1 , n = 1, 2 . . . , −1 ≤ x ≤1, a la que llamaremos base de Taylor, pues es la que aparece en la expansion:

f(x) =

∞∑

n=0

xn

n!

(dnf(x)

dxn

)

x=0


Facilmente puede probarse que xn−1 no es ortogonal y es linealmente in-dependiente (su wronskiano es diferente de cero). Construyamos el conjuntoortogonal ϕn(x) de peso 1. Entonces, utilizando la expansion (5.27):

a) ϕ1 = f1 = 1

b) ϕ2 = f2 + af1 = x+ a , se sigue

(ϕ2, ϕ1) = 0 = (x+ a, 1) =

∫ 1

−1

(x+ a) dx

de donde: a = 0 , tal que ϕ2 = x

c) ϕ3 = f3 + bf1 + cf2 = x2 + b+ cx , por tanto:

(ϕ3, ϕ1) = 0 = (x2 + b+ cx, 1) =

∫ 1

−1

(x2 + b+ cx) dx , y

(ϕ3, ϕ2) = 0 = (x2 + b+ cx, x) =

∫ 1

−1

(x2 + b+ cx)x dx

se sigue:

c = 0 , b = −1

3,

y por tanto:

ϕ3 = x2 − 1

3

d) ϕ4 = f4 +df1 + ef2 + gf3 ; se sigue, con (ϕ4, ϕ1) = (ϕ4, ϕ2) = (ϕ4, ϕ3) = 0que:

d = g = 0 , e = −3

5y en consecuencia:

ϕ4 = x3 − 3

5x

[Es directo probar, utilizando la ec. (5.26) que : A21 = A32 = A41 =A43 = 0, A31 = −1/3, A42 = −3/5, lo que da un resultado igual al queacabamos de obtener].

En sıntesis:

ϕ1 = 1

ϕ2 = x

ϕ3 =1

3(3x2 − 1)

ϕ4 =1

5(5x3 − 3x) , etc


Esta base es ortogonal pero no esta normalizada. Es usual escoger lanormalizacion haciendo que cada elemento tenga el valor 1 cuando x = 1;obviamente , este conjunto no es ortonormal en el sentido de la ec. (5.2)con An = 1. La nueva se conoce como base de Legendre y sus elementosson los siguientes polinomios:

P0 = 1

P1 = x

P2 =1

2(3x2 − 1)

P3 =1

2(5x3 − 3x)

P4 =1

8(35x4 − 30x2 + 3)

P5 =1

8(63x5 − 70x3 + 15x) etc.

Ahora bien: partiendo de la base de Taylor xn−1 , n = 1, 2, ..., con difer-entes funciones de peso y diferentes intervalos, una amplia gama de polinomiospuede ser obtenida. Hagamos el listado, en algunos de los casos mas conoci-dos, de las correspondientes funciones de peso, el intervalo y el nombre delpolinomio obtenido.

INTERVALO PESO POLINOMIO−1 ≤ x ≤ 1 1 Legendre

−∞ < x <∞ e−x2

Hermite0 ≤ x <∞ e−x Laguerre0 ≤ x <∞ xke−x Asociado de Laguerre

Notas:• El procedimiento de ortogonalizacion permite construir polinomios ortogo-nales, pero no series infinitas ortogonales (como la de Bessel, por ejemplo).

• La base no ortogonal xn es solucion de la ecuacion diferencial

(dn+1/dxn+1)y + λy = 0

con autovalor cero para cada xn.

Problema: ¿En que intervalo es ortogonal el conjunto

x−n , n = 1, 2, 3, . . .?


Problema: Demostrar que el conjunto

sen

„nπx

b− a

«, cos

„nπx

b− a

«ff, n = 0, 1, 2, . . .

es solucion, en el intervalo a ≤ x ≤ b, a la ecuacion

y + α2y = 0

con: y(a) = y(b) = 0.

6

Teorıa de Sturm-Liouville

6.1. Introduccion

En los capıtulos anteriores hemos preparado progresivamente el terreno para estecapıtulo que consideramos el centro de este curso. Hemos escrito los operadoresdiferenciales basicos, en particular el Laplaciano, en coordenadas curvilıneas ortogo-nales. La tecnica de separacion de variables nos ha permitido obtener un conjunto deecuaciones diferenciales ordinarias lineales y homogeneas cuya solucion es a menudoexpresable como una familia de funciones ortogonales.

La tecnica de separacion de variables no solo provee ecuaciones diferenciales ordi-narias, sino tambien constantes de separacion. Soluciones y constantes de separacionestan tan estrechamente ligadas a las condiciones iniciales o de frontera que no esposible estudiar la estructura de la ecuacion diferencial sin hacer conjuntamenteestas consideraciones.

En este capıtulo estudiaremos el problema global que considera una ecuaciondiferencial, los autovalores y autofunciones, la ortogonalidad de las soluciones y lascondiciones de frontera pertinentes. Es este el problema de Sturm-Liouville.

6.2. Operadores de segundo orden

6.2.1. El operador adjunto

Los operadores diferenciales lineales de segundo orden, en una variable, son suma-mente frecuentes en fısica, por lo cual dedicaremos a ellos esta seccion. Dejaremospara el Anexo 6.1, al final del capıtulo, la teorıa general de operadores diferencialesde orden p.

206

6.2. OPERADORES DE SEGUNDO ORDEN 207

Consideremos el operador lineal L de segundo orden con coeficientes a0(x), a1(x),a2(x), complejos, que actua sobre alguna funcion f(x):

Lf(x) = a2(x)D2f(x) + a1(x)Df(x) + a0(x)f(x)

Evaluemos la siguiente integral, que nos permitira definir el operador adjunto L,para funciones arbitrarias f(x) y g(x):

(Lf, g) =

∫ b

a

(Lf)∗g dx =

∫ b

a

g[a∗2D2f∗ + a∗1Df

∗ + a∗0f∗] dx

con:

hD2f∗ = hD(Df∗) = D(hDf∗)−Dh ·Df∗

= D(hDf∗ − f∗Dh) + f∗D2h , y

kDf∗ = D(kf∗)− f∗Dk

y: h = a∗2g , k = a∗1g se sigue

(Lf, g) =

∫ b

a

f∗ [D2(a∗2g)−D(a∗1g) + a∗0g]dx

+ [ga∗2Df∗ − f∗D(a∗2g) + a∗1gf

∗]ba (6.1)

El corchete en la integral de la ecuacion (6.1) define el adjunto de L:

L ( ) = D2(a∗2( )

)−D

(a∗1( )

)+ a∗0( ) ,

Ası, (6.1) toma la forma:

(Lf, g) = (f,Lg) +[a∗2(gf

∗ − gf∗) + f∗g(a∗1 − a∗2)]ba,

donde f ≡ df/dx = Df . Utilizando el Wronskiano de f ∗ y g:

(Lf, g) = (f,Lg) + [−a∗2W (f∗, g) + f∗g(a∗1 − a∗2)]ba (6.2)

El operador L es autoadjunto si Lf = Lf , esto es si:

a2f + a1f + a0f = a∗2f + 2a∗2f + a∗2f − a∗1f − a∗1f + a∗0f

Igualando los coeficientes de las derivadas de f del mismo orden se obtienen lassiguientes conexiones entre los coeficientes ak, independientes de la forma especıficade la funcion f(x) :

208 6. TEORIA DE STURM-LIOUVILLE

a0 = a∗0 − a∗1 + a∗2

a1 = −a∗1 + 2a∗2

a2 = a∗2 (6.3)

Consideremos separadamente el caso real y el complejo:

1) Para que un operador de segundo orden con coeficientes reales sea autoadjuntose requiere, como se sigue de la segunda de las ecuaciones (6.3):

a1 = a2 (6.4)

La primera de las ecuaciones (6.3) se satisface entonces automaticamente. Portanto, el operador autoadjunto toma la forma

L( ) = a0( ) + a1D( ) + a2D2( )

= a0( ) + a2D( ) + a2D2( )

= a0( ) +D(a2D( )

)(6.5)

y la ecuacion (6.2) se transforma en:

(Lf, g) = (f,Lg)− [a∗2W (f∗, g)]ba (6.6)

2) Ahora bien, si a0 y a1 son complejos, podemos escribir

a0 = α0 + iβ0 , a1 = α1 + iβ1 con α0, α1, β0, β1 reales.

Las ecuaciones (5.7) dan lugar a: 2β0 = β1 y α1 = a2 , con lo cual

a1 = a2 + iβ1 , a0 = α0 +i

2β1

Entonces:

L ( ) = a0( ) + a1D( ) + a2D2( )

= a2D( ) + a2D2( ) + α0( ) + i

[β1

2( ) + β1D( )

]

= D(a2D( )

)+ i√β1D

(√β1( )

)+α0( ) = L( )

Haciendo√β1 = c obtenemos entonces la forma general del operador autoad-

junto de orden 2:

L ( ) = L( ) = D(a2D( )

)+ icD

(c( ))+α0( )

donde a2, c y α0 son funciones reales de x.


Problema: Demostrar que de los siguientes operadores solo los dos primerosson autoadjuntos:

d2

dx2, i

d

dx,

d

dx

Problema: Demostrar que el adjunto del adjunto de L es L.

6.2.2. 3 ejemplos

1) En la ecuacion de Legendre:

(1− x2)y − 2xy + l(l + 1)y = 0

tenemos: a2 = 1 − x2, a1 = −2x, y es cierto que a2 = a1, luego el operador L =(1−x2)d2−2xD+ l(l+1) es autoadjunto. La ecuacion de Legendre es autoadjunta.2) En la ecuacion de Bessel:

x2y + xy + (k2x2 − n2)y = 0

tenemos a2 = x2, a1 = x, tal que a2 6= a1, luego la ecuacion no es autoadjunta.Observemos, sin embargo, que si dividimos la ecuacion de Bessel por x obtenemosuna ecuacion donde, para los nuevos a1 y a2, es cierto que a2 = x, a1 = 1, porlo cual la nueva ecuacion es autoadjunta. 3) De un modo enteramente analogo, laecuacion de Hermite:

y − 2xy + 2αy = 0

que no es autoadjunta, llega a serlo si la multiplicamos por e−x2

.Un trabajo analogo puede hacerse con las ecuaciones de la seccion 6.4, por lo cual

es pertinente la siguiente pregunta: ¿hay forma de calcular un factor multiplicativoque vuelva autoadjunta a cualquier ecuacion diferencial lineal?. El siguiente teoremaprovee la respuesta.

6.2.3. Teorema

Presentamos a continuacion un teorema de suma importancia en la teorıa deecuaciones diferenciales:

Es siempre posible convertir una ecuacion diferencial lineal inhomogenea de se-gundo orden con coeficientes reales en ecuacion autoadjunta.

Demostracion:Considerese un operador L no autoadjunto:

L = c0(x) + c1(x)D + c2(x)D2 6= L

y construyamos un nuevo operador H ≡ p(x)L que sea autoadjunto; es decir

H = p(x)L = H

¿Existe p(x)? Veamos:


Puesto que H ha de ser autoadjunto escribimos en analogıa con (6.5):

H( ) = pL( ) = [pc0 + pc1D + pc2D2]( ) = H( )

= pc0( ) +D(pc2D( )) (6.7)

de donde, en analogıa con a1 = Da2 en la ecuacion (6.4):

pc1 = D(pc2)

es decir:dp

p+dc2c2− c1c2dx = 0 ;

por integracion se sigue:

p(x) =c

c2(x)e

R

(c1(x)/c2(x)) dx (6.8)

lo que demuestra la existencia de p, haciendo valido el teorema. La constante deintegracion c puede hacerse igual a 1 sin perdida de generalidad.

Problemas: Exprese las siguientes ecuaciones en forma autoadjunta:

• (1 − x2)y + 2axy + λy = 0

• (1 − x3)y + x2y + λy = 0

• xy + 2(1 − x2)y + λy = 0

• xy + (3 − 2x2)y + λxy = 0

• x2y + 2x(1 − x2)y + λy = 0

Operadores hermıticos

Decimos que el operador L, con coeficientes reales, es hermıtico si, ademas deautoadjunto, se cumple que el corchete de la ecuacion (6.6) se anula, es decir si:

[a2W (f∗, g)

]ba

= 0 (6.9)

Ası, si L es hermıtico, la ecuacion (6.6) se escribe

(Lf, g) = (f,Lg) (6.10)

La nocion HERMITICO involucra, por tanto, no solo el caracter de autoadjunto sinotambien las condiciones de frontera y los valores de a2(a) y a2(b). Cuan factible es

lograr que[a2W (f∗, g)

]ba

sea cero lo estudiaremos en las siguientes secciones.


6.2.4. Hermiticidad y fronteras

Como hemos visto, la hermiticidad de un operador esta asociada al anulamientode a2W en las fronteras. Volvamos sobre este tema, teniendo en cuenta que laecuacion diferencial inhomogenea de segundo orden con coeficientes reales

Lf(x) = h(x) (6.11)

es siempre autoadjuntable y puede escribirse, segun (6.7), como:

Hf(x) =d

dx

(c2(x)p(x)

df(x)

dx

)+ c0(x)p(x)f(x) = p(x)h(x)

y puede expresarse, con q = c2p, r = c0p, en la forma Hf(x) + p(x)h(x) = 0, esdecir:

d

dx

(q(x)

df(x)

dx

)+ r(x)f(x) − p(x)h(x) = 0 (6.12)

El operador H es autoadjunto, tal que en analogıa con (6.2):

(Hf, g) = (f,Hg)−[qW (f∗, g)

]ba

(6.13)

El operador H es hermıtico si, ademas, [qW ]ba = 0. Esto puede lograrse con elanulamiento de q, o de W , o una colaboracion de ambos en los extremos. [qW ]ba = 0sera cero:

1. Si x = a y x = b son puntos regulares de la ecuacion diferencial (esto es q(a) 6=0, q(b) 6= 0). Requerimos que W se anule en x = 0 y x = a, lo que puedelograrse si f(x) y g(x) satisfacen en los extremos las siguientes condicioneshomogeneas:

α∗f(a) + β∗f(a) = 0 αg(a) + βg(a) = 0

γ∗f(b) + δ∗f(b) = 0 γg(b) + δg(b) = 0

con: | α |2 + | β |2 6= 0 y | γ |2 + | δ |2 6= 0

Hemos impuesto | γ |2 + | δ |2 6= 0 , | α |2 + | β |2 6= 0, lo que permite variasalternativas:

(a) γ, δ, α, β son diferentes de cero. Esta es conocida como condicion de ter-cera clase o mixta. Implica el conocimiento del cociente entre la funciony su derivada en cada extremo, siendo ambas funciones diferentes decero.

(b) β = δ = 0; corresponde a condicion de Dirichlet homogenea.


(c) α = γ = 0; corresponde a condicion de Neumann homogenea.Usualmente α, β, γ, δ son reales.

2. Si q(x) es cero en una de las fronteras y W = 0 en la otra; por ejemplo q(a) = 0,es decir x = a es un punto singular de la ecuacion diferencial y x = b es unpunto regular. Requerimos entonces que W se anule en x = b lo que se lograsi se satisface la condicion homogenea:

γ∗f(b) + δ∗f(b) = 0

γg(b) + δg(b) = 0|γ|2 + |δ|2 6= 0

Este caso se presenta en la ecuacion de Bessel.

3. Si x = a y x = b son puntos singulares, es decir q(a) = q(b) = 0, con W 6= 0en ambos extremos. Este caso corresponde al de las ecuaciones de Legendre,Hermite y Laguerre.

Observese que las condiciones de frontera asociadas a puntos regulares son ho-mogeneas.

Los calculos de potenciales electrostaticos para conductores involucran condi-ciones de Dirichlet. Los potenciales de velocidad en el caso de fluidos que se deslizantangencialmente a la superficie de un obstaculo involucran condiciones de Neumann.El flujo de calor desde superficies implica condicion de frontera de tercera clase, cor-respondiente a la ley de Newton de emision de radiacion.

6.3. Autofunciones y autovalores

6.3.1. Ecuacion de Sturm-Liouville

La ecuacion diferencial (6.11) es inhomogenea; como sabemos, su solucion puedeplantearse en terminos de la solucion a la ecuacion homogenea correspondiente, porlo cual es procedente estudiar ante todo las soluciones de las ecuaciones homogeneas.De otro lado sabemos que el metodo de separacion de variables da lugar a constantesde separacion. Teniendo en cuenta estos dos argumentos podemos proponer unaecuacion homogenea bastante general haciendo h = −λf en (6.11), con lo cual

Lf(x) + λf(x) = 0 ,

donde λ es independiente de x y L es un operador, en general no autoadjunto, desegundo orden con coeficientes reales:

L = c0(x) + c1(x)D + c2(x)D2 6= L

6.3. AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES 213

Ante todo autoadjuntamos la ecuacion (toda ecuacion de segundo orden, lineal,con coeficientes reales, es autoadjuntable).La ecuacion (6.12) toma entonces la for-ma: Hf(x) + λp(x)f(x) = 0, o tambien, con q = c2p y r = c0p:

d

dx

(q(x)

df(x)

dx

)+ r(x)f(x) + λp(x)f(x) = 0 (6.14)

Esta es la ecuacion de Sturm-Liouville. Formas de este tipo surgen, usualmente,mediante separacion de variables en las ecuaciones homogeneas que involucran lapla-cianos. Los factores q(x), r(x), p(x) dependen crucialmente del sistema coordenadoutilizado. Los puntos donde q = 0 se llaman puntos singulares de la ecuacion diferen-cial. Un punto singular puede estar al comienzo o al final del intervalo de definicionde x pero nunca entre ellos. En otras palabras q(x) no cambia de signo. En los casosde interes r(x) tampoco cambia de signo.

Del estudio de las ecuaciones de Legendre, Bessel, Hermite, Laguerre, etc. queson del tipo de Sturm-Liouville, se sigue que existen soluciones f(x) que satisfacenla ecuacion diferencial y las condiciones de frontera solo para ciertos valores λmdel parametro λ, correspondientes a ciertas funciones fm(x). Diremos: para cadaautovalor λm hay una autofuncion fm(x). Como veremos en el capıtulo 8, el conjuntode funciones fm(x) forma en muchos casos una base enumerable (m entero) yortogonal.

El problema asociado a autovalores, autofunciones y condiciones de frontera ho-mogeneas se conoce como problema de Sturm-Liouville.

Un ejemplo

Consideremos como motivacion e ilustracion el siguiente ejemplo:

d2f

dx2+ k2f = 0

con las siguientes condiciones de frontera:

f(0) = f(L) = 0

La solucion general es:f(x) = A sen kx+B cos kx ;

con f(0) = 0 se sigue: B = 0, de donde

f(x) = A sen kx

y con f(L) = 0: sen kL = 0, de donde: k = nπ/L; ası pues:

fn(x) = An sen(nπxL

), n = 1, 2, 3 · · ·


A cada valor n entero le corresponde un autovalor λn = k2n = (nπ/L)2 y una

autofuncion fn(x). n es un entero que numera la secuencia de autovalores y aut-ofunciones. Este problema corresponde a la parte espacial que se obtiene de laecuacion de ondas unidimensional al realizar separacion de variables e imponer larestriccion de que las soluciones sean armonicas. Fısicamente corresponde al casode las oscilaciones de una cuerda con extremos fijos.

6.3.2. El problema de autovalores

Ahora bien, si a λm le corresponde fm y a λn le corresponde fn podemos escribirla ecuacion de Sturm-Liouville (6.14) para fm:

d

dx

(qfm

)+ rfm + λmpfm = 0 ,

y una ecuacion analoga para fn, cuyo complejo conjugado es:

d

dx

(qf∗n

)+ rf∗

n + λ∗npf∗n = 0.

De acuerdo a lo anterior hemos considerado la posibilidad de autofunciones yautovalores complejos. Debido sin embargo al caracter real de a0, a1 y a2, loscoeficientes q, r y p seran reales. Multiplicando la primera ecuacion por f ∗

n, lasegunda por fm y restandolas:

f∗n

d

dx

(qfm

)− fm

d

dx

(qf∗n

)+ (λm − λ∗n) pf∗

nfm = 0 ,

equivalentemente:

d

dx

[q(f∗nfm − f∗

nfm

)]+ (λm − λ∗n) pf∗

nfm = 0 o: (6.15)

d

dx[qW (f∗

n, fm)] + (λm − λ∗n) pf∗nfm = 0 o: (6.16)

La variable x esta definida en (a, b); por integracion en ese intervalo:

(−λm + λ∗n)

∫ b

a

pf∗nfm dx =

[q(f∗nfm − f∗

nfm

)]ba

= [qW (f∗n, fm)]ba

La ecuacion diferencial (6.14) es hermıtica si el termino [qW ]ba se anula. La her-miticidad, como lo vimos en la seccion 6.2.4 y como lo veremos en el capıtulo 8,

6.3. AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES 215

puede en muchos casos lograrse mediante una apropiada eleccion del intervalo (a, b).Para operadores hermıticos es entonces cierto que:

(−λm + λ∗n)

∫ b

a

pf∗nfm dx = 0 (6.17)

Si p(x) no cambia de signo en (a, b), se sigue, para m = n, que:

∫ b

a

p∣∣fm(x)

∣∣2 dx 6= 0

[Aunque p(x) no cambie de signo sı es permisible la existencia de puntos dondep = 0]. En consecuencia:

λm = λ∗m

Ası pues: los autovalores asociados a operadores hermıticos son reales.Para el caso en que λm 6= λn si m 6= n se obtiene

∫ b

a

p(x)f∗n(x)fm(x) dx = 0 , (6.18)

Por tanto: Las autofunciones correspondientes a autovalores distintos son ortog-onales de peso p(x), o si se quiere: √pfm(x) es ortogonal de peso 1.

Una observacion importante

La funcion p(x) que es el factor de peso en la condicion de ortogonalidad (6.18)es el mismo factor por el cual hay que multiplicar la ecuacion Lf(x) + λf(x) = 0para volverla autoadjunta. Observe que el segundo termino tiene solo λ y f(x).

Una version alterna

El anterior desarrollo puede rehacerse utilizando la notacion de la ecuacion (??):

Hfm + λmpfm = 0

(Hfn)∗ + λ∗npf∗n = 0 ;

multiplicando la primera por f∗n, la segunda por fm, integrando entre a y b y

restandolas:

∫ b

a

[f∗nHfm − fm (Hfn)∗

]dx = (−λm + λ∗n)

∫ b

a

pf∗nfm dx, esto es:

(fn,Hfm)− (Hfn, fm) = (−λm + λ∗n)

∫ b

a

pf∗nfm dx (6.19)


si H es autoadjunto es cierto que:

(fn,Hfm)− (Hfn, fm) = [qW (f∗n, fm)]ba (6.20)

Si el corchete se anula el operador es hermıtico; en tal caso, reemplazando (6.20)en (6.19) se sigue:

(−λm + λ∗n)

∫ b

a

pf∗nfm dx = 0 ;

como conclusion: los autovalores asociados a operadores hermıticos son reales y lasautofunciones son ortogonales, siempre y cuando los autovalores sean distintos.

Es cierto entonces que:La solucion a la ecuacion de Sturm-Liouville expande un espacio de Hilbert.

Degeneracion

Observese que, segun la ecuacion (6.16) con λn = λ∗n:

d

dx[qW (f∗

n, fm)] = (λn − λm) pf∗nfm , (6.21)

de donde se sigue que [qW ] 6= 0, si λn 6= λm para n 6= m. En consecuencia, fn y fmson linealmente independientes si, para n 6= m, los autovalores son distintos.

Puede ocurrir, sin embargo, que para m 6= n se tenga λm = λn. Esto se conocecomo degeneracion: dos o mas autofunciones diferentes con el mismo autovalor.

En este caso: qW = cte y la integral∫ bapf∗nfm dx en (6.17) no necesariamente se

anula: autofunciones diferentes con el mismo autovalor no son automaticamenteortogonales.

Diremos que un problema de autovalores tiene degeneracion de orden p si hayp autofunciones linealmente independientes con el mismo autovalor. En tal caso escierto que cualquier combinacion lineal de autofunciones es tambien autofuncion.

Como ejemplo de degeneracion consideremos la solucion al siguiente problemaperiodico:

d2ψ

dϕ2+ λ2ψ = 0 con ψ(0) = ψ(2π) ;

las soluciones son senmϕ, cosmϕ , m = 0, 1, 2 · · · . En este caso senmϕ y cosmϕ,que son autofunciones distintas, tienen sin embargo el mismo autovalor λm = m.En este ejemplo las autofunciones son ortogonales. Hay degeneracion de orden 2:dos autofunciones con el mismo autovalor. No solo senmϕ y cosmϕ sino cualquiercombinacion lineal de senmϕ y cosmϕ satisface las condiciones de periodicidad; esdecir hay un numero infinito de soluciones.

La partıcula en una caja de lados abc, estudiada en el ultimo problema de laseccion 3.4, provee otro ejemplo de degeneracion. En efecto, la energıa de la partıcula

6.4. FUNCIONES ESPECIALES 217

depende solo de la suma l2 + n2 + p2, de modo que todos los enteros (lnp) queproduzcan la misma suma corresponderan a la misma energıa. Sin embargo, cuandoestos numeros sean intercambiados, cambiara la funcion de onda. Ası, un mismonivel de energıa puede ser asociado con diferentes funciones de onda. Por ejemplo, losniveles (lnp)=(112),(121),(211) tienen la misma energıa pero ψ112 6= ψ121 6= ψ211.Decimos que hay degeneracion en los niveles de energıa. El orden de la degenera-cion es igual al numero de funciones diferentes con la misma energıa. Los estados(112),(221),(123) tienen degeneraciones 3, 3, 6.

Un ejemplo mas de degeneracion es el atomo de hidrogeno. Como lo veremos enla seccion 8.6.3 el autovalor es la energıa total del electron En; la autofuncion esψnlm(r, θ, ϕ). Para cada triplete de numeros (nlm) hay una autofuncion pero la en-ergıa solo depende de n; resulta ası que el autovalor de la energıa tiene degeneracionde orden n2; incluyendo el spin darıa degeneracion 2n2. Tal degeneracion se rompesi se aplica un campo magnetico al atomo, produciendose el efecto Zeeman. En estecaso los niveles de energıa dependen de n,m y los valores ±1/2 del spın (Vease eltexto de D. Park citado en la bibliografıa).

Problema: Como sabemos, un conjunto fn que satisface la ecuacion deSturm- Liouville con condiciones de frontera apropiadas y autovaloresdistintos es ortogonal. Pruebe que el conjunto fn es tambien ortog-onal. Sugerencia: en la ecuacion de Sturm-Liouville analice las conse-cuencias de reemplazar fm por fm.

6.4. Funciones especiales

Presentamos aquı algunas de las ecuaciones diferenciales ordinarias que son basicasen fısica matematica y en cada caso su forma autodjunta. Las soluciones se cono-cen como funciones especiales, pues no son expresables en terminos de funcioneselementales.

• Legendre: (1− x2)y − 2xy + l(l + 1)y = 0

d

dx

((1− x2)y

)+ l(l + 1)y = 0

• Legendre asociada: (1− x2)y − 2xy +[l(l + 1)− m2

1− x2

]y = 0

d

dx

[(1− x2)y

]+

[l(l + 1)− m2

1− x2

]y = 0

• Hipergeometrica: x(x − 1)y +[(1 + a+ b)x− c

]y + aby = 0

[obtenga la forma autoadjunta]


• Chebyshev I: (1− x2)y − xy + n2y = 0

d

dx

((1− x2)1/2y

)+

n2y

(1− x2)1/2= 0

• Chebyshev II: (1− x2)y − 3xy + n(n+ 2)y = 0

d

dx

((1− x2)3/2y

)+ n(n+ 2)(1− x2)1/2y = 0

• Confluente hipergeometrica: xy + (c− x)y − ay = 0

d

dx

(xce−xy

)− axc−1e−xy = 0

• Bessel: x2y + xy + (k2x2 − n2)y = 0

d

dx

(xy)

+

(k2x− n2

x

)y = 0

• Laguerre: xy + (1− x)y + ny = 0

d

dx

(xe−xy

)+ ne−xy = 0

• Laguerre asociada: xy + (k + 1− x)y + ny = 0

d

dx

(xk+1e−xy

)+ nxke−xy = 0

• Hermite: y − 2xy + 2αy = 0

d

dx

(e−x

2

y)

+ 2αe−x2

y = 0

• Oscilador armonico: y + ω2y = 0• Gegenbauer: (1− x2)y − 2(1 + β)xy + n(n+ 2β + 1)y = 0

d

dx

((1− x2)1+β y

)+ n(n+ 2β + 1)(1− x2)y = 0

En cada caso mostrado, el primer renglon es la ecuacion no autoadjunta, de laforma

Ly + λy = 0;

es decir c2y + c1y + c0 + λy = 0.La correspondiente ecuacion de Sturm-Liouville es

pLy + λpy = 0 o:

d

dx

(q(x)y

)+ r(x)y + λp(x)y = 0

con q = c2p, r = c0p. La siguiente tabla muestra los valores de q, r, λ, p y (a, b):

6.5. NOTA SOBRE AUTOVALORES Y AUTOFUNCIONES 219

q(x) r(x) λ p(x) (a, b)

• Legendre 1 − x2 0 l(l+ 1) 1 (−1, 1)• Legendre 1 − x2 −m2/(1 − x2) l(l+ 1) 1 (−1, 1)

asociada

• Chebyshev I (1 − x2)1/2 0 n2 1/(1 − x2)1/2 (−1, 1)

• Chebyshev II (1 − x2)3/2 0 n(n+ 2) (1 − x2)1/2 (−1, 1)• Bessel x −n2/x k2 x (0, b)• Laguerre xe−x 0 n e−x (0,∞)• Laguerre xk+1e−x 0 n xke−x (0,∞)

asociada

• Hermite e−x2

0 2α e−x2

(−∞,∞)• Oscilador 1 0 ω2 1 (−)

En la ultima columna aparecen los valores de a y b (los extremos) que anulan q, talque q(a) = q(b) = 0. En Bessel q(0) = 0 y debe hacerse Jn(b)Jm(b)−Jn(b)Jm(b) = 0,donde Jn(x) son soluciones a la ecuacion de Bessel. Esta ultima condicion puedesatisfacerse, como lo probaremos en la seccion 8.3.2, si

a) Jn(b) = Jm(b) = 0

b) Jn(b) = Jm(b) = 0

c) Jn(b)Jm(b) = Jn(b)Jm(b)

6.5. Nota sobre autovalores y autofunciones

Hemos dicho que para valores arbitrarios de λ no hay solucion a la ecuacion deSturm-Liouville que satisfaga las condiciones de frontera. Existe no obstante unconjunto infinito de valores de λ: λ0, λ1, λ2, . . . para los cuales este problema tienesolucion; a cada autofuncion le corresponde un autovalor.

El problema de Sturm-Liouville (SL) es regular en el dominio (a, b) si q > 0 yp > 0. La ecuacion puede asociarse a intervalos finitos, semi-infinitos o infinitos.Cuando un intervalo es infinito, cuando es finito con q o p cero en uno de losextremos, o cuando r es discontinuo en puntos extremos, el problema de SL essingular.

Sin importar cual sea la condicion de frontera hay siempre un valor mas bajo deλ que llamaremos λ0. Es decir: el espectro de autovalores es acotado por debajo. Laautofuncion f0 correspondiente a λ0 tiene el menor numero posible de ceros entrea y b; de hecho en la mayorıa de los casos f0 no tiene ceros entre a y b y fm tienem ceros en a < x < b. Mientras mayor sea el valor de λ menores son las distanciasentre los ceros para la correspondiente f . El ordenamiento en autovalores crecienteses tambien ordenamiento en numero creciente de nodos (ceros) de cada autofuncion.


Esta conclusion, junto a la existencia de un autovalor mınimo depende de que r seanegativo para a < x < b y de que p sea mayor que cero.

Adicionalmente, el espaciamiento entre autovalores disminuye cuando el tamanodel dominio aumenta. Por ejemplo en fn ∝ sen (nπx/L) el espaciamiento disminuyesi L aumenta sin lımite, resultando entonces que todos los valores de λmayores que elmınimo son autovalores. Se logra entonces una distribucion continua de autovalores.La representacion en serie llega a ser representacion integral y las autofunciones sonun conjunto infinito no enumerable.

Teorema: Los autovalores en un problema de Sturm-Liouville son mayores o iguales

a cero si r ≤ 0, q ≥ 0, p > 0 y[qf∗f

]ba≤ 0.

De: d(qf)/dx+ rf + λpf = 0, por integracion:

∫ b

a

f∗ d

dx

(qf)dx+

∫ b

a

rf∗f dx+ λ

∫pf∗f dx = 0

o: [qf∗f

]ba−∫ b

a

q|f |2 dx+

∫ b

a

r|f |2 dx+ λ

∫ b

a

p|f |2 dx = 0

∴ λ

∫p|f |2 dx = −

[qf∗f

]ba

+

∫ b

a

q|f |2 dx−∫ b

a

r|f |2 dx

Asumimos que q tiene el mismo signo en todo el intervalo y es mayor que cero.La validez del teorema se sigue si r ≤ 0, p > 0 y [qf ∗f ]ba ≤ 0. La condicion[qf∗f

]ba≤ 0 se cumple en los siguientes casos:

• f(a) = f(b) = 0

• f(a) = f(b) = 0

• αf(a)− f(a) = 0 , γf(b) + f(b) = 0 si α > 0, γ > 0

• q(a) = 0, f(b) = 0 o f(b) = 0

En todas las ecuaciones presentadas en la seccion 6.4 es cierto que r ≤ 0, p > 0,

q(a) = q(b) = 0, de donde se sigue[qf∗f

]ba

= 0, excepto en las ecuaciones deBessel y del Oscilador, en las cuales es necesario imponer condiciones sobre f

en la frontera para anular[qf∗f

]ba.

Teorema: Si fm(x) es un conjunto completo de autofunciones simultaneas delos operadores H y K, entonces estos operadores conmutan.

Demostracion: De Hfm + λmfm = 0 y Kfm + µmfm = 0 , se sigue:

HKfm −KHfm = λmµm − µmλm = 0,

luego: HK = KH


Ejercicio: Resolver el problema de SL para la siguiente ecuacion

x2y + 5xy + λy = 0 con y(1) = y(e) = 0 , 1 ≤ x ≤ e

Teniendo en cuenta que la forma de esta ecuacion es:

c2y + c1y + c0y + λy = 0

se sigue: c0 = 0, c1 = 5x, c2 = x2, de donde, segun (6.8) con c = 1:

p =1

c2e

R

(c1/c2) dx =1

x2e5 lnx = x3 > 0

Luego la forma autoadjunta, con q = pc2 = x5, r = pc0 = 0, es:

d

dx

(x5y)

+ λx3y = 0

El problema es hermıtico pues [qW ]e1 = 0, ya que las condiciones de fron-tera son homogeneas. En consecuencia las autofunciones son ortogonales y losautovalores son reales.

Ahora, la ecuacion: x2y + 5xy + λy = 0 es del tipo de Euler, de modo que,con y = xm obtenemos:

m2 + 4m+ λ = 0 o: m = −2±√

4− λ

por lo cual:

y(x) =1

x2

(ax

√4−λ + bx−

√4−λ)

Veamos ahora el efecto de las fronteras; con y(1) = 0 se sigue: b = −a

∴ y(x) =a

x2

(x√

4−λ − x−√

4−λ)

(6.22)

Imponiendo la segunda condicion, y(e) = 0 tendremos:

• Si 4− λ > 0 ⇒ sinh√

4− λ = 0 ∴ λ = 4, y por tanto y = 0.

• si 4− λ < 0 ⇒ sen√λ− 4 = 0 ∴

√λ− 4 = nπ

o: λ = 4 + n2π2

por lo cual la solucion (6.22) toma la forma:

y(x) =a

x2

(xinπ − x−inπ

), y como x = elnx se sigue

y(x) =a

x2

(einπ lnx − e−inπ lnx

)

=a

x22i sen(nπ lnx)


En consecuencia el conjunto de autovalores y autofunciones es como sigue:

λn = 4 + n2π2

yn(x) =

1

x2sen(nπ lnx)

, no normalizadas.

Probemos explıcitamente la ortogonalidad:

∫ x=e

x=1

p(x)y∗n(x)ym(x) dx =

∫ x=e

x=1

1

xsen (nπ lnx) sen (mπ lnx) dx

con x = eu : =

∫ 1

0

sen (nπu) sen (mπu) du = 0,

si m 6= n

Si m = n:∫ e1py2n dx = π

2 , tal que el conjunto ortonormal (de peso p = x3) es:

√2

π

sen (nπ lnx)

x2

o:√

2πx sen (nπ lnx)

, ortonormal de peso 1 en 1 ≤ x ≤ e.

Problema: Para la ecuacion diferencial del ejercicio anterior, demuestre queen el intervalo (a, b) la solucion que satisface y(a) = y(b) = 0 es:

yn(x) =

1

x2sen

„nπ ln(x/a)

ln(b/a)

«ff

Problemas: Determine autovalores y autofunciones para las siguientes ecua-ciones diferenciales. Verifique explıcitamente la ortogonalidad. ¿Cual esel conjunto ortonormalizado?

• x2y + axy + λy = 0 , y(1) = y(e) = 0

• xy + y + λxy = 0 , y(1) = y(2) = 0

• (3 + x)2y + 2(3 + x)y + λy = 0 , y(−2) = y(1) = 0

Problema: La ecuacion diferencial

ρ2R(ρ) + ρR(ρ) − ν2R(ρ) = 0 , ν = real

se obtiene de la ecuacion de Bessel (Seccion 6.4) si k = 0. Su forma es lade Euler y tiene como soluciones Rν = ρν y Rν = ρ−ν . Demuestre que[qW ]ba no puede ser cero para ninguna eleccion de a, b,W (a) o W (b). Enconsecuencia, esta ecuacion no genera una base ortogonal. Pruebe que,

en efecto,R baRνRν′ dρ no se anula para ν 6= ν′.


Esta ecuacion puede obtenerse por separacion de variables Φ(ρ, ϕ) =R(ρ)G(ϕ) de la ecuacion de Laplace bidimensional en coordenadas po-lares. La ecuacion angular d2G/dϕ2 = −ν2G tiene como solucion

G(ϕ) = Cneiνϕ +Dne

iνϕ

y ν ha de ser un entero n si ϕ se extiende sobre todo el dominio 2π. Ental caso ρ±n, con n = 0 · · ·∞, es una base no ortogonal, y la soluciongeneral ha de escribirse como la combinacion :

Φ(ρ, ϕ) =∞X

n=0

„Anρ

n +Bn

ρn

«`Cne

inϕ +Dneinϕ´

Problema: Si la separacion de variables en la ecuacion de Laplace en coor-denadas polares se hace de modo tal que d2G/dϕ2 = +ν2G obtenemosla ecuacion radial

ρ2R(ρ) + ρR(ρ) + ν2R(ρ) = 0

¿ Forma la solucion a esta ecuacion una base ortogonal en el dominio(0,∞)?

Problemas: • Pruebe que el conjunto de polinomios de Chebyshev deprimera clase

Tn(x) = cos[n cos−1 x]

es ortogonal en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 con funcion de peso (1−x2)−1/2.• Pruebe que la base Un(x) = (1−x2)−1/2 sen

ˆ(n+1) cos−1 x

˜ es

ortogonal en −1 ≤ x ≤ 1 con peso (1− x2)1/2. Estos son los polinomiosde Chebyshev de 2a clase.• Pruebe que los polinomios

Ln(x) =ex

n!

dn

dxn(xne−x)

con n entero, satisfacen la ecuacion diferencial de Laguerre

xy + (1 − x)y + ny = 0

[Pruebelo en particular para L1(x) y L2(x)].

Problemas: Calcular autofunciones y autovalores para los siguientes proble-mas:

a) y + λ2y = 0 , con y(0) = y(L) = 0

b) y + λ2y = 0 , con y(0) = y(L) = 0

c) y + λ2y = 0 , con y(0) = y(L) = 0

Ejercicio: Calcular los autovalores y autofunciones de la siguiente ecuacion, defini-da en 0 ≤ x ≤ a:

d2ψ

dx2+ λψ = 0 , con

dψ

dx

∣∣∣∣x=0

= 0 y:dψ

dx

∣∣∣∣x=a

− ψ

a

∣∣∣∣x=a

= 0

a) Si λ < 0 podemos escribir: d2ψdx2 − k2ψ = 0 cuya solucion es: ψ = Aekx +


Be−kx. Con dψdx

∣∣∣x=0

se tiene B = −A

∴ ψ = A cosh(kx) ,

y de (dψ/dx−ψ/a)x=a = 0 se sigue: (ka) tgh(ka) = 1, ecuacion trascen-dental cuya solucion da un valor unico: ka = 1,2. [Observese que q =1, r = 0, p < 0, por lo que λ no es necesariamente positivo].

Ası: λ0 = −k2 = −1,44/a2 ∴ ψ ∝ cosh( 1,2xa )

La autofuncion no tiene ceros en el intervalo (0, a) y es unica: un auto-valor, una autofuncion.

b) Si λ > 0 escribimos: d2ψdx2 + k2ψ = 0 cuya solucion es ψ = Aeikx +Be−ikx;

por aplicacion de las condiciones de frontera se sigue:

(ka) tan(ka) = −1

que tiene una secuencia infinita de raıces. Hay ası un espectro infinito ydiscreto de autofunciones y autovalores.

6.6. El problema periodico

Un problema de SL periodico es aquel en el cual se tiene el siguiente sistema:

d

dx

(qdf

d(x)

)+ (r + λp)f(x) = 0, x : (a, b)

q(a) = q(b) > 0 , f(a) = f(b) , f(a) = f(b)

En este caso no se especifican los valores de la funcion o su derivada en losextremos, sino mas bien se impone una condicion de continuidad de la funcion, quecorresponde a que la funcion sea periodica. Si f(x+ p) = f(x), decimos que f(x) esperiodica con perıodo p.

Un problema de SL periodico tiene una secuencia infinita de autovalores realesλ0 < λ1 < λ2 · · · con lımn→∞ λn → ∞. Cada autofuncion fn(x) correspondiente aλn tiene exactamente n ceros en (a, b).

Ejemplo: El problema y + α2y = 0 con y(−L) = y(L), y(−L) = y(L) tiene co-mo solucion general: y = A senαx + B cosαx; al aplicar las condiciones decontinuidad se sigue: α = nπ/L y:

yn(x) = An sen(nπxL

)+Bn cos

(nπxL

)

6.7. OPERADORES EN 3D Y STURM-LIOUVILLE 225

• Para n = 1, coseno tiene un cero y seno tiene ceros en los extremos (porla periodicidad los dos ceros en el extremo son el mismo).• Para n = 2, seno tiene dos ceros distintos (los ceros en x = 0 y en x = Lson el mismo). Observese la degeneracion.

Teorema: Si fn, fm son autofunciones continuas y diferenciables de un problemade SL periodico, con diferentes autovalores, entonces fn y fm son ortogonalesde peso p(x) en (a, b). Es decir:

fn(a) = fn(b) , fn(a) = fn(b)

fm(a) = fm(b) , fm(a) = fm(b)

Por tanto en la ecuacion (6.17) se sigue:

[q(f∗nfm − f∗

nfm

)]ba≡ 0 , con lo cual

(λm − λ∗n)

∫ b

a

pf∗nfm dx = 0 ,

expresion de la cual se sigue la ortogonalidad si no hay degeneracion en losautovalores.

Observese que [ ]ba se anula sin necesidad de que [ ]a y [ ]b se anulen separadame-nte. Basta la periodicidad. Esto significa que las autofunciones son ortogonalespara λ no degenerado, aun con condiciones de frontera inhomogeneas:

Af(a) +Bf(a) = c

Cf(b) +Df(b) = d

En los casos donde hay degeneracion las autofunciones no son necesariamenteortogonales, pero puede lograrse que lo sean por aplicacion del metodo deortogonalizacion descrito en el Anexo 5.1.

Problema: Calcular autofunciones y autovalores para el siguiente problemaperiodico: y + λ2y = 0 , con y(0) = y(L) , y(0) = y(L)

6.7. Operadores en 3D y Sturm-Liouville

6.7.1. El operador adjunto

La forma general del operador diferencial lineal de segundo orden en el espaciotridimensional que actua sobre una funcion f(r) arbitraria tiene la forma:

Lf(r) = A(r) : ∇∇f(r) + b(r) ·∇f(r) + a(r)f(r) ,


donde A, b y a son, respectivamente, dıada, vector y escalar, los que en general sonfunciones de la posicion. Dada la simetrıa de ∇∇ se sigue que A puede escogersecomo una dıada simetrica: A = A. No es difıcil probar, extendiendo los metodos dela seccion 6.2.1 que el operador adjunto es de la forma:

Lf = ∇∇ : (A∗f)−∇ · (b∗f) + a∗f

La condicion de que el operador sea autoadjunto conduce a las expresiones:

a = a∗ + ∇∇ : A∗ −∇ · b∗

A = A∗

b = 2(∇ · A∗)− b∗

Si A, b, a son reales la unica ecuacion independiente es b = ∇ ·A (que se reduce ab1 = a11 en el caso unidimensional). Ası pues, el operador autoadjunto mas general,lineal, de segundo orden, en 3D y con coeficientes reales es:

Lf = ∇ · (A ·∇f) + af = Lf

Problema: Obtenga el operador autoadjunto.

Deduzca las tres ecuaciones que relacionan A, b, a y sus complejoconjugados.

Analogamente al caso 1D es posible demostrar que cualquier operador 3D deltipo aquı estudiado es autoadjuntable. En efecto, si

Lf = B : ∇∇f + c ·∇f + af 6= Lf ,

podemos escribir:

Hf ≡ pLf = Hf ,

tal que ha de cumplirse

pB : ∇∇f + p c ·∇f + p af = ∇ · (pB : ∇f)p af ,

lo que implica: p c = ∇ · (pB); se sigue que:

p = eR

dr·[c·B−1−B−1·∇·B]

con lo que hemos obtenido la forma de p.


6.7.2. Autofunciones y autovalores en 3D

La ecuacion de Sturm-Liouville es ahora:

∇ · (A ·∇f) + af + λpf = 0 (6.23)

Analogamente al caso 1D es cierto que esta ecuacion tiene soluciones fn(r) asociadasa autovalores λn. De modo que:

∇ · (A ·∇fn) + afn + λpfn = 0 ;

tomando el complejo conjugado y reemplazando n por m:

∇ · (A ·∇f∗m) + af∗

m + λpf∗m = 0

Multiplicando la primera por f∗m, la segunda por fn y restando tendremos:

∇ · [A · (f∗m∇fn − fn∇f∗

m)] + (λn − λ∗m) pfnf∗m = 0

Integrando en el volumen:

∫∇ · [ ] dV + (λn − λ∗m)

∫pfnf

∗m dV = 0

La integral de volumen se escribe, de acuerdo al teorema de Gauss:

∫∇ · [ ] dV =

∮dS · [ ]

=

∮dS n · [A · (f∗

m∇fn − fn∇f∗m)]

=

∮dS n · A · n

[f∗m

∂fn∂n− fn

∂f∗m

∂n

]

Si las condiciones de frontera son homogeneas (es decir, si fm, o ∂fm/∂n, o αfm+β∂fm/∂n, con α y β reales, se anulan sobre la superficie) entonces:

Si n = m se sigue que λn = λ∗n: los autovalores son reales.

Si n 6= m y no hay degeneracion (es decir si λm 6= λn) se sigue la ortogonalidadde las autofunciones:

∫pf∗nfm dV = 0, n 6= m.

Enunciemos ahora algunos casos particulares importantes que se obtienen de laecuacion de Sturm-Liouville (6.23) en 3D:

A) Si A = I, a = 0, λ = k2 tendremos: ∇2f(r) + k2f(r) = 0. Esta es la ecuacionde Helmholtz, que proviene de la separacion de variables ψ(r, t) = f(r)T (t) de laecuacion de ondas o de difusion.


En efecto, de las ecuaciones

∇2ψ(r, t)− 1

v2

∂2ψ(r, t)

∂t2= 0, y

∇2ψ(r, t) = K∂ψ(r, t)

∂t,

mediante la separacion de variables ψ(r, t) = f(r)T (t) obtenemos, respectivamente:

∇2f(r) + α2f(r) = 0,d2T (t)

dt2= −α2v2T (t), y

∇2f(r) + α2f(r) = 0,dT (t)

dt= −α2T (t).

Puesto que la ecuacion de Helmholtz es de autofunciones podemos escribir laseparacion de variables en la forma: ψ(r, t) =

∑n fn(r)T (t).

Es posible imponer condiciones de frontera homogeneas sobre esta ecuacion. Laecuacion de Laplace, de otro lado, aunque es caso particular de la de Helmholtz conk2 = 0, no admite condiciones de frontera homogeneas pues estas conducen a lasolucion trivial f(r) = 0. De modo que las condiciones de frontera para la ecuacionde Laplace necesariamente han de ser inhomogeneas, al menos sobre una porcionde la superficie. Este comportamiento de la ecuacion de Laplace es debido a quek2 = 0 es un autovalor trivial de la ecuacion de Helmholtz.

B) La separacion de variables Ψ(r, t) = ψ(r)T (t) de la ecuacion de Schrodingerdependiente del tiempo:

− ~2

2m∇2Ψ(r, t) + V (r)Ψ(r, t) = i~

∂Ψ(r, t)

∂t.

Permite escribir:

1

ψ(r)

(− ~2

2m∇2ψ(r) + V (r)ψ(r)

)= i~

T (t)

T (t)= E. (6.24)

De modo que:

∇2ψ(r)− 2mV

~2ψ(r) +

2mE

~2ψ(r) = 0, y

T (t) = −iET (t)/~

La ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, dada por (6.24), puede obten-erse de la ecuacion (6.23) si hacemos: A = I, a = −2mV (r)/~2,λ = 2mE/~2 yf = ψ. Puesto que es esta una ecuacion de autofunciones, podemos escribir laseparacion de variables en la forma

Ψ(r, t) =∑

n

ψn(r)T (t)n (6.25)


Puede adivinarse aquı que la cuantizacion de la energıa asociada a esta ecuacionen casos tan conocidos como el oscilador armonico, el rotor rıgido, una partıcula enuna caja, o el atomo de hidrogeno, tiene que ver esencialmente con que la ecuacionde Schrodinger independiente del tiempo es una ecuacion de autovalores para E.

C) Si a = 0, λ = k2 obtenemos la ecuacion de Helmholtz anisotropica:

A : ∇∇f + k2f = 0 ;

tanto esta como la ecuacion de ordinaria de Helmholtz provienen de la separacionespacio-temporal de la ecuacion de ondas, cuya forma general homogenea es:

A : ∇∇ψ(r, t)− 1

v2

∂2ψ(r, t)

∂t2= 0

Esta ecuacion, como lo estudiamos en el capıtulo 1, es la base de la descripcionescalar de la propagacion de la luz en medios cristalinos, en los que existen 3 ındicesde refraccion.

D) Si hacemos A = r2(eθeθ+ eϕeϕ), a = 0, λ = l(l+1) y evaluamos ∇ · (A ·∇f)usando los operadores en coordenadas esfericas introducidos en el capıtulo 1 (noteseque A·∇f es un vector) tendremos, reemplazando en la ecuacion de Sturm-Liouville:

L2f − l(l+ 1)f = 0 ,

donde

L2f = − 1

sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂f

∂θ

)− 1

sen 2θ

∂2f

∂ϕ2

L2 es conocido como operador de rotacion y puede expresarse equivalentementeen la forma: L2 = L · L, donde L( ) = r×∇( )/i. Sobre este operador, introducidoen la seccion 3.3.4, volveremos en el capıtulo 8.

6.7.3. Solucion de la ecuacion de ondas homogenea

En el capıtulo 3 hemos resuelto la ecuacion de ondas homogenea unidimensionalen coordenadas cartesianas usando separacion de variables. En 1, 2 y 3 dimensionesy en coordenadas cartesianas resulta que las soluciones, sometidas a condicionesde frontera espaciales homogeneas proveen un conjunto de autofunciones seno ycoseno. Con el fin de probar que la aparicion de autofunciones tambien ocurre enotros sistemas coordenados, resolveremos la ecuacion de ondas en 3D, en una formaindependiente del sistema de coordenadas.

Consideremos la ecuacion de ondas 3-dimensional

∇2Ψ(r, t)− 1

v2

∂2Ψ(r, t)

∂t2= 0,


en el caso especıfico en que la amplitud Ψ |S de la onda en la superficie es indepen-diente del tiempo. La situacion mas general en que Ψ |S depende de t, y ademashay fuentes, sera bosquejada en el capıtulo 7 utilizando funciones de Green. Sea,ası, el problema de Cauchy con condicion de frontera espacial de Dirichlet:

Ψ |S= f(r), ademas:

Ψ |t=0= Ψ0 y ∂Ψ∂t |t=0= Ψ0

Notemos que las condiciones de frontera espacial y temporal son inhomogeneas.Con el proposito de inscribir este problema dentro de la teorıa de Sturm-Liouville,

que exige condiciones de frontera homogeneas, descompongamos la funcion Ψ(r, t)en la forma:

Ψ(r, t) = Ψ′(r) + Ψ′′(r, t),

donde exigiremos

∇2Ψ′ = 0, Ψ′ |S= f(r), (6.26)

tal que Ψ′ describe una solucion estacionaria, es decir, independiente del tiempo.Ası, puesto que ∂2Ψ′/∂t2 = 0 obtenemos:

∇2Ψ′′ − 1

v2

∂2Ψ′′

∂t2= 0,

con

Ψ′′ |S= 0, Ψ′′ |t=0= Ψ0 −Ψ′, Ψ′′ |t=0= Ψ0 (6.27)

de modo que la condicion de frontera espacial para Ψ′′ es homogenea como lo exigela teorıa de Sturm-Liouville. Introduciendo la separacion de variables:

Ψ′′ = u(r)T (t) (6.28)

se sigue:

∇2u+ α2u = 0 y T = −α2T (6.29)

La ecuacion diferencial para u, conocida como ecuacion de Helmholtz, es una ecuacionde autovalores, del tipo de Sturm-Liouville y hermıtica, pues u(r)|S = 0 ya queΨ′′(r)|S = 0, lo que, de acuerdo a la teorıa de Sturm-Liouville, hace que (∇2u, f) =(u, ∇2f). La solucion a la primera de las ecuaciones (6.29) es un conjunto un(r)de autofunciones ortogonales. Obviamente el conjunto un(r) dependera del sis-tema de coordenadas utilizado. Podemos por tanto escribir (6.28) en la forma:Ψ′′ =

∑n un(r)Tn(t). Entonces, de (6.27) y (6.29):

∇2un + α2nun = 0, con un |S= 0, y T = Aeiαnvt +Be−iαnvt.


Por lo cual:Ψ′′ =

∑

n

(Aneiαnvt +Bne

−iαnvt)un(r) (6.30)

Las condiciones iniciales para Ψ′′ y Ψ′′, ec(6.27), permiten escribir:

Ψ′′ |t=0=∑

n

(An +Bn)un

Ψ′′ |t=0= iv∑

n

αn(An −Bn)un

Multiplicando las dos ultimas ecuaciones por u∗m e integrando en el volumen obten-emos:

∫Ψ′′ |t=0 u

∗ndV = An +Bn, y

1

iαnv

∫Ψ′′ |t=0 u

∗ndV = An −Bn

De este par de ecuaciones simultaneas para An y Bn se sigue:

An =1

2

∫ [Ψ′′ +

Ψ′′

iαnv

]

t=0

u∗ndV =1

2

∫ [Ψ0 −Ψ′ +

Ψ0

iαnv

]u∗ndV

Bn =1

2

∫ [Ψ′′ − Ψ′′

iαnv

]

t=0

u∗ndV =1

2

∫ [Ψ0 −Ψ′ − Ψ0

iαnv

]u∗ndV,

que reemplazadas en (6.30) proveen la forma de Ψ′′. (Hay tambien una solucion sila condicion de frontera espacial es de Neumann o mixta). La solucion general a laecuacion de ondas es entonces:

Ψ(r, t) = Ψ′(r) +∑

n

(Aneiαnvt +Bne

−iαnvt)un(r)

donde Ψ′(r) es solucion al sistema de ecuaciones (6.26).

6.7.4. Solucion de la ecuacion homogenea de Fourier

Consideremos ahora la solucion a la ecuacion de difusion 3-dimensional en ausen-cia de fuentes calorıficas y con K ≡ ρc/k = cte:

∇2T (r, t) = K∂T (r, t)

∂t.


Especıficamente estudiemos la siguiente situacion: un sistema fısico de volumen V ,limitado por una superficie S sobre la cual la temperatura es independiente deltiempo, pero posiblemente funcion de la posicion:

T (r, t) |S= f(r)

Adicionalmente, para completar el conjunto de condiciones que proveen unicidad ala solucion supondremos conocida la temperatura en el instante inicial t = 0:

T (r, 0) = g(r) (6.31)

Estudiamos aquı la solucion a la ecuacion de conduccion del calor con condicionde frontera inhomogenea, (f(r) 6= 0). Descompondremos T (r, t) en dos partes, unade las cuales (T ′(r)) satisface la ecuacion de Laplace con condicion de fronterainhomogenea. Para ello propondremos :

T (r, t) = T ′(r) + T ′′(r, t)

con

∇2T ′′ = K∂T ′′

∂t, T ′′|s = 0 y

∇2T ′(r) = 0, T ′|s = f(r)

tambien: T (r, 0) = T ′(r) + T ′′(r, 0) = g(r), de donde T ′′ |t=0= g(r)− T ′(r). Ahorabien, por separacion de variables T ′′ = u(r)C(t) en la ecuacion para T ′′ obtenemos:

∇2u

u=K

C

dC

dt= −α2, de modo que:

∇2u+ α2u = 0 y C(t) = C0e−α2t/K

El signo ”menos.en α2 ha sido escogido para dar cuenta del decrecimiento con eltiempo de la temperatura, debido a la difusion del calor.

La ecuacion diferencial para u esta acompanada de una condicion de fronterahomogenea (pues si T ′′ |S= 0 entonces u |S= 0) de modo que corresponde a unproblema de Sturm-Liouville con autofunciones un(r) y autovalores α2

n. Ası pues,con

∇2un + α2nun = 0

podemos escribir, si el conjunto un(r) es completo

T ′′(r, t) =∑

n

cnun(r)e−α2

nt/K


Evaluando en t = 0: T ′′(r, 0) =∑

n cnun, de donde se sigue por integracion:

∫T ′′(r, 0)u∗mdV =

∑

n

cn

∫unu

∗mdV = cm;

hemos asumido aquı la ortonormalidad de la base un que tiene peso 1. La soluciontiene entonces la forma:

T (r, t) = T ′(r) +∑

n

cnune−α2t/K

= T ′(r) +∑

n

e−α2nt/K

∫T ′′(r′, 0)u∗n(r

′)un(r)dV′

= T ′(r) +∑

n

e−α2nt/K

∫[g(r′)− T ′(r′)]u∗n(r

′)un(r)dV′,

donde T ′(r) es solucion a la ecuacion de Laplace con frontera T ′(r)|S = f(r).

Ejercicio: Como una aplicacion del desarrollo anterior consideremos una placasometida en t = 0 a temperaturas T1 y T2 en x = 0 y x = L respectivamente.Ası pues, en t = 0 el perfil de temperatura esta dado por: T (x, 0) = (T2 −T1)x/L+T1. La temperatura T1 es aumentada de repente hasta T3 y T2 hastaT4, manteniendose estos valores para todo T > 0. Calcular T (x, t). Tendremosentonces: T (x, t) = T ′(x) + T ′′(x, t), con

∇2T ′′ = K∂T ′′

∂t, T ′′(0, t) = T ′′(L, t) = 0, (6.32)

de donde: T ′′(x, t) =∑∞

n=1 bn sen(nπxL

)e−nπt/LK , y

∂2T ′

∂x2= 0,

de donde: T ′(x) = ax+ b. Entonces:

T (x, t) = T ′(x) + T ′′(x, t), es decir:

T (x, t) = ax+ b+

∞∑

1

bn sen(nπxL

)e−

nπKL

t

Para t > 0 y en los extremos:

T (0, t) = b = T3

T (L, t) = aL+ b = T4


Se sigue:

T (x, t) = (T4 − T3)x

L+ T3 +

∞∑

1

bn sen(nπxL

)e−

nπKL

t

Pero tambien, para t = 0 :

T (x, t) = (T2 − T1)x

L+ T1 = T (x, t) = (T4 − T3)

x

L+ T3

+∞∑

1

bn sen(nπxL

),

de donde:

bn =2

L

∫ [(T2 + T3 − T1 − T4)

x

L+ T1 − T3

]sen

(nπxL

)dx

T (x, t) = (T4 − T3)x

L+ T3 +

2

L

∫ [(T2 + T3 − T1 − T4)

x

L+ T1 − T3

]

×∞∑

n=1

sen(nπxL

)sen

(nπx′

L

)dx e− nπ

KLt

Problema: Verifique que la ultima ecuacion satisface las condiciones inicialesy de frontera.

Ejercicio: Un paralelepıpedo rectangular de lados a, b, c inicialmente a temperatu-ra T0 se sumerge en un bano caliente a temperatura T1. Calcular T (r, t) parat > 0. Con

T (r, t) = T ′(r) + T ′′(r, t), ∇2T ′ = 0 ∇2T ′′ = K∂T ′

∂t,

reemplazando T ′′(r, t) = A(x)B(y)C(z)T (t) en la ley de Fourier y aplicandosucesivamente las condiciones de frontera obtenemos:

T (r, t) = T1 +∞∑

lmn

Almn sen

(lπx

a

)sen

(mπyb

)sen

(nπzc

)e−λ

2t/K ,

con

λ2 = π2

(l2

a2+m2

b2+n2

c2

)

6.8. OPERADORES DIFERENCIALES Y MATRICES 235

y en t = 0 :

T (r, t) = T1 +

∞∑

lmn

Almn sen

(lπx

a

)sen

(mπyb

)sen

(nπzc

)= T0.

De esta expresion, y utilizando la ortogonalidad de la base de Fourier se ob-tiene Almn.

Problemas: La distribucion de temperatura en una varilla de longitudL es, inicialmente: T (x, 0) = 4T0x(L− x)/L2. Si ambos extremosse mantienen en t > 0 a temperatura T0, hallar T (x, t).

Dos varillas de igual longitud L estan a temperaturas uniformesT0 y T1. En t = 0 se colocan en lınea. Si los extremos izquierdo yderecho de la nueva barra se cambian a T2 y T3, calcular T (x, t).

Los extremos de una barra de longitud L se mantienen a T0 y T1 encondiciones estacionarias. Repentinamente se aislan los extremos,de modo que ∂T/∂x|x=0,a. Hallar T (x, t) para t > 0.

Una placa cuadrada de lado a. Si las temperaturas de las fronteras,en estado estacionario, son T (0, y) = T (a, y) = T (x, a) = T0 yT (x, 0) = T1, calcular T (x, y).

6.8. Operadores diferenciales y matrices

De las consideraciones relativas a la ecuacion (6.13) se concluye que en el casode operadores hermıticos, es decir aquellos que no solo son autoadjuntos sino que

ademas satisfacen[qW]ba

= 0, se cumple que

∫ b

a

(Hfn)∗fm dx =

∫ b

a

f∗nHfm dx (6.33)

El conjunto fn es ortogonal de peso p(x) si los autovalores no son degenerados:

∫ b

a

p(x)f∗n(x)fm(x) dx = 0 si m 6= n.

Definiendo ahora coeficientes Hnm en la forma

Hnm =

∫ b

a

(Hfn)∗fm dx (6.34)

y segun (6.33):

Hnm =

∫ b

a

(Hfn)∗fm dx =

∫ b

a

f∗nHfm dx (6.35)


tomando el complejo conjugado e intercambiando ındices:

H∗mn =

∫ b

a

(Hfm)f∗n dx

El lado derecho de esta expresion coincide con el ultimo termino de (6.35). Enconsecuencia

Hnm = H∗mn

considerando Hnm como elementos de una matriz H , resulta entonces que H eshermıtica:

H = H†

Esta correspondencia entre matrices hermıticas y operadores diferenciales esta enla base de la equivalencia entre la Mecanica matricial de Heisenberg y la Mecanicaondulatoria de Schrodinger.

Es, en efecto, necesario demostrar que los elementos Hmn satisfacen reglas deproducto matricial. Veamos: si en analogıa a (6.35) definimos los elementos Aij yBjk asociados a los operadores hermıticos A y B, en la forma:

Aij =

∫ b

a

f∗i (Afj) dx , Bjk =

∫ b

a

f ′j∗(B′f ′

k) dx′

se sigue:

∑

j

AijBjk =∑

j

∫ b

a

∫ b

a

(Afi)∗fjf ′j∗(B′f ′

k) dxdx′

y como:∑j fjf

′j∗ = δ(x − x′), tendremos:

∑

j

AijBjk =

∫ b

a

f∗i ABfk dx = (AB)ik .

Puesto que esta ecuacion corresponde a la definicion de producto matricial resultaefectivamente que Aij y Bjk son elementos matriciales.

Hasta este punto hemos demostrado que a cada operador diferencial hermıticopodemos asociarle una matriz hermıtica. En principio, puesto que los espacios deHilbert son de dimension infinita, estaremos pensando aquı en matrices ∞ ×∞.Con el fin de desarrollar la equivalencia entre la mecanica cuantica ondulatoria yla mecanica cuantica matricial escribamos la ecuacion de Schrodinger, base de lamecanica ondulatoria, en la forma simbolica

HΨ(r, t) = i~∂Ψ(r, t)

∂t

6.8. OPERADORES DIFERENCIALES Y MATRICES 237

donde H es el operador Hamiltoniano, hermıtico, dado por

H = − ~2

2m∇2 + V (r).

V (r) es el potencial y Ψ(r, t) es la funcion de onda o amplitud de probabilidad. Estaecuacion fue ”deducida”de una manera formal en el capıtulo 4.

La conexion entre las dos mecanicas se hace a traves de la expansion de Ψ(r, t)como un vector en un espacio de Hilbert. Como en la ecuacion (6.25):

Ψ(r, t) =∑

n

an(t)fn(r, t). (6.36)

En esta expresion fn(r) es un elemento de un conjunto de ”vectores unitarios”quees autofuncion de algun operador en un espacio de Hilbert, y an(t) son las componentes”deΨ(r, t), las que a su vez contienen la dependencia temporal.

Reemplazando la anterior expansion en la ecuacion de Schrodinger, premultipli-cando por f∗

m e integrando en el volumen, obtenemos:

∑

n

an

∫f∗mHfndV =

∑

n

Hmnan = i~am,

donde el punto representa la derivada temporal y hemos tenido en cuenta la defini-cion (6.35) y la ortonormalidad de fn. De acuerdo al algebra lineal la expresion∑nHmnan = i~am puede interpretarse como el producto de la matriz cuadrada H

de elementos Hmn y la matriz columna a de elementos an :

Ha = i~a

Esta ecuacion, base de la mecanica matricial, propuesta por Heisenberg en 1925,es el equivalente matricial de la ecuacion de Schrodinger.

De acuerdo a la teorıa de Schrodinger la probabilidad total, que es la integral de|Ψ|2 es igual a la unidad: ∫

Ψ∗ΨdV = 1.

Expresando Ψ en la forma (6.36) tendremos:

∑

n

a∗nan = 1

o, equivalentemente: a†a = 1, donde a† es la matriz fila formada por a∗n.En la sıntesis siguiente, la primera columna representa la version de Schrodinger

y al frente estan las correspondencias segun Heisenberg:


fn(r) af∗n(r) a†

(Hfn, fm) H(Hfn, fm) = (fn,Hfm) H = H†

HΨ = i~∂Ψ/∂t Ha = i~a(Ψ,Ψ) = 1 a†a = 1

6.9. ANEXO 6.1: Operadores diferenciales de

orden p

Sea L un operador diferencial lineal escalar de orden p en la variable independientex definida en (a, b):

L =

p∑

k=0

ak(x)dk

dxk=

p∑

k=0

ak(x)Dk (6.37)

donde los factores ak(x) son en general funciones complejas de x. Con ap(x) 6= 0 elorden del operador es p.

Definiremos el adjunto de L mediante la consideracion de la siguiente integral:

(Lf(x), g(x)) ≡∫ b

a

(Lf(x))∗g(x) dx;

f(x) y g(x) son funciones arbitrarias de x. Nuestro proposito en lo que sigue sera lo-grar que las operaciones de derivacion realizadas sobre f(x) se transfieran a g(x).Lo conseguiremos al final de la siguiente secuencia de operaciones:

(Lf, g) =

∫ b

a

(Lf)∗g dx =

p∑

k=0

∫ b

a

a∗kgDkf∗ dx

=

∫ b

a

a∗of∗g dx +

p∑

k=1

∫ b

a

a∗kgDkf∗ dx

=

∫ b

a

a∗of∗g dx +

p∑

k=1

∫ b

a

a∗kgD(Dk−1f∗) dx

=

∫ b

a

a∗of∗g dx +

p∑

k=1

∫ b

a

[D(a∗kgD

k−1f∗)−D(a∗kg)Dk−1f∗] dx

=

∫ b

a

a∗of∗g dx +

p∑

k=1

[a∗kgDk−1f∗]ba −

p∑

k=1

∫D(a∗kg)D

k−1f∗ dx

6.9. ANEXO 6.1: OPERADORES DIFERENCIALES DE ORDEN P 239

=

∫ b

a

a∗of∗g dx+

p∑

k=1

[a∗kgDk−1f∗]ba −

∫ b

a

D(a∗1g)f∗ dx

−p∑

k=2

∫ b

a

D(a∗kg)Dk−1f∗ dx

=

∫ b

a

f∗[a∗og −D(a∗1g)] dx+

[ p∑

k=1

a∗kgDk−1f∗ −

p∑

k=2

D(a∗kg)Dk−2f∗

]b

a

+(−)2p∑

k=2

∫ b

a

D2(a∗kg)Dk−2f∗ dx

=

∫ b

a

f∗[a∗og −D(a∗1g) +D2(a∗2g)] dx

+

[ p∑

k=1


p∑

k=2

D(a∗kg)Dk−2f∗ +

p∑

k=3

D2(a∗kg)Dk−3f∗

]b

a

+(−)3p∑

k=3

∫ b

a

D3(a∗kg)Dk−3f∗ dx

=

∫ b

a

f∗[a∗og −D(a∗1g) +D2(a∗2g) + · · ·+ (−)p−1Dp−1(a∗p−1g)] dx

+

[ p∑

k=1


p∑

k=2

D(a∗kg)Dk−2f∗ +

p∑

k=3

D2(a∗kg)Dk−3f∗ + · · ·

+

p∑

k=p

(−)p−1Dp−1(a∗kgDk−pf∗)

]b

a︸︷︷︸

(−)p−1Dp−1(a∗pg)f∗

+ (−)pp∑

k=p

∫ b

a

Dp(a∗kg)Dk−pf∗ dx

︸︷︷︸(−)pDp(a∗pg)f

∗ dx

=

∫ b

a

f∗( p∑

k=0

(−)kDk(a∗kg)

)dx+

[ p∑

n=1

p∑

k=n

(−)n−1Dn−1(a∗kg)Dk−nf∗

]b

a

=

∫ b

a

f∗L dx+

[ ]b

a

donde hemos definido el adjunto de L en la forma

L ( ) ≡p∑

k=0

(−1)kDk(a∗k( )

)(6.38)


Ası:

(Lf, g) = (f,Lg) + [ ]ba (6.39)

Teniendo en cuenta la formula de derivacion de Leibniz

Dk(fg) =

k∑

l=0

k!

(k − l)! l! (Dk−lf)(Dlg)

podemos escribir:

Lg =

p∑

k=0

(−)kDk(a∗kg)

=

p∑

k=0

k∑

l=0

k!(−)k

(k − l)! l! (Dk−la∗k)(D

lg)

=

p∑

k=0

p∑

k=l

k!(−)k

(k − l)! l! (Dk−la∗k)(D

lg)

=

p∑

l=0

blDlg

donde

bl(x) ≡p∑

k=l

k!(−)k

(k − l)! l!Dk−la∗k(x)

Se dice que un operador L es autoadjunto si L = L, esto es, si: al(x) = bl(x);explıcitamente:

al(x) =

p∑

k=l

k!(−)k

(k − l)! l!Dk−la∗k(x) (6.40)

Ejercicio: Encontrar la forma adjunta del operador de orden cuatro con coefi-cientes reales.

De la ecuacion (6.40) con p = 4 y al = a∗l :

al =

4∑

k=l

(−)kk!

(k − l)! l!Dk−lak , l = 0, 1, 2, 3, 4

6.9. ANEXO 6.1: OPERADORES DIFERENCIALES DE ORDEN P 241

• con l = 4 : a4 = a4

• con l = 3 : a3 = 2Da4

• con l = 2 : D(−a3 + 2Da4) ≡ 0• con l = 1 : 2a1 = 2Da2 − 3D2a3 + 4D3a4

⇒ a1 = Da2 −D3a4

• con l = 0 : D(−a1 +Da2 −D2a3 +D3a4) ≡ 0

Entonces:

L = a0 + a1D + a2D2 + a3D

3 + a4D4 ,

reemplazando a1 y a3:

L = a0 + (Da2 −D3a4)D + a2D2 + 2Da4D

3 + a4D4

= a0 + (Da2D + a2D2) + (−D3a4D + 2Da4D

3 + a4D4)

El primer parentesis es D(a2D) mientras que el segundo se expresa ası:

−D3a4D + 2Da4D3 + a4D

4

= (−D3a4D +Da4D3) + (Da4D

3 + a4D4)

= (−D3a4D +Da4D3) +D(a4D

3)

= (−D3a4D −D2a4D2) + (D2a4D +Da4D

3)

+D(a4D3)

= −D(D2a4D) +D(Da4D2) +D(a4D

3)

Por tanto:

L = L = a0 +D(a2D) +D(a4D3) +D(Da4D

2)−D(D2a4D2)

= a0 +D[a2D + a4D3 +Da4D

2 −D2a4D]

Ejercicio: Demostrar que no hay ecuaciones autoadjuntas de orden impar concoeficientes reales. Con L ( ) =

∑pl=0 al(x)D

l( ) = L ( ) se sigue, segun (6.40):

al(x) =

p∑

k=l

(−)kk!

(k − l)! l!Dk−la∗k(x) l = 0 · · · p

Se sigue, para el coeficiente asociado a la derivada de mas alto orden, que:

ap(x) =

p∑

k=p

(−)kk!

(k − p)! p!Dk−pa∗k(x) = (−)pa∗p(x)

descomponiendo: ap = α+ iβ tendremos:

α+ iβ = (−)p(α− iβ), luego:


ap = α si p = parap = iβ si p = impar

En consecuencia las ecuaciones diferenciales de orden impar son autoadjuntassolo para coeficientes ap imaginarios.

Continuando con las expansiones resulta que:• para l = p− 1: ap−1 = (−)p−1a∗p−1 + p(−)pDa∗p tal que si los coeficientes akson todos reales:

ap−1 =1

2pDap con p = numero par

• para l = p− 2: (p− 1)D[−ap−1 + 1

2pDap] ≡ 0

• para l = p− 3: ap−3 = (p−2)2 Dap−2 − p(p−1)(p−2)

24 D2apEn consecuencia: los coeficientes ap, ap−2, ap−4, · · · son independientes. A par-tir de ellos pueden expresarse los demas.

Problema: Demostrar que para un operador lineal autoadjunto con coefi-cientes constantes, los coeficientes asociados a las derivadas de ordenpar son reales, y los asociados a derivadas de orden impar son imagina-rios puros.

6.10. ANEXO 6.2: Los Bra y Kets de Dirac

Nociones basicas

En esta seccion reescribiremos lo dicho sobre bases discretas y continuas utilizandola notacion propuesta por Dirac, que es de uso frecuente en la mecanica cuantica.El formalismo de Dirac tiene con el de Heisenberg y el de Schrodinger la mismarelacion que A + B = C tiene con Ai +Bi = Ci.

Sean 〈 | y | 〉 dos vectores arbitrarios cada uno perteneciente a un espacio diferente.El primero corresponde al espacio de los ”bra 2el segundo al de los ”ket”. 〈 | seconstruye tomando el complejo conjugado de | 〉, es decir 〈 | = | 〉∗, ası como f∗(x)es el complejo conjugado de f(x). Decimos que un espacio es el dual del otro.

Asumiremos que a cada | 〉 le corresponde un 〈 |, y que cada operacion en elespacio de los bra tiene una equivalente en el de los ket:

1. |a〉+ |b〉 ←→ 〈a|+ 〈b|,

2. λ|a〉 ←→ λ∗〈a|, donde λ es un numero complejo.

3. A|a〉 ←→ 〈a|A†, donde A es un operador lineal. A es hermıtico si A† = A.

6.10. ANEXO 6.2: LOS BRA Y KETS DE DIRAC 243

El producto escalar de 〈a| y |b〉: 〈a|b〉, es definido en forma tal que:

〈a|b〉 = 〈b|a〉∗,

de donde se sigue que: 〈a|a〉 = 〈a|a〉∗ = real.En 〈a|A|b〉 se entiende que A opera sobre |b〉; si lo hacemos que opere sobre 〈a|, lo

hara su adjunto hermıtico. Podemos definir un operador hermıtico por 〈a|AA|b〉 =

〈b|A|a〉∗.Dos vectores |a〉 y |b〉 son ortonormales si:

〈a|b〉 = δ(a, b),

donde δ(a, b) designa la delta de Dirac o la delta de Kronecker segun se trate de unespacio con bases continua o discreta. El sımbolo δ(a, b) se define por:

∑

a

δ(a, b)|b〉 = |a〉

y la sumatoria sera una integral si los ındices a y b son continuos.Consideremos el operador A y la ecuacion de autovalores

A|α〉 = α|α〉,

donde |α〉 son los vectores de la base (autokets) y α los autovalores. De la ecuacionA|α′〉 = α′|α′〉, premultiplicando por 〈α′′|:

〈α′′|A|α′〉 = α′〈α′′|α′〉 (6.41)

y de A|α′′〉 = α′′|α′′〉, tomando el adjunto hermıtico y con A† = A:

〈α′′|A† = 〈α′′|A = α′′∗〈α′′|,

de donde:

〈α′′|A|α′〉 = α∗′′〈α′′|α′〉 (6.42)

y por comparacion de las ecuaciones (6.41) y (6.42):

(α′ − α′′∗)〈α′′|α′〉 = 0, tal que

Si α′ = α′′, se sigue: (α′ − α′∗)〈α′|α′〉 = 0, y como 〈α′|α′〉 6= 0 se concluyeque α′ = α′∗. Esto significa que los autovalores de operadores hermıticos sonreales.

Si α 6= α′ y no hay degeneracion tendremos: 〈α′|α′′〉 = 0, lo que implica quelos autokets son ortogonales.


En general, los kets son autofunciones de operadores hermıticos.Se entiende que un conjunto de autovectores ket |α〉 es completo si cualquier

vector | 〉 puede formarse como combinacion lineal:

| 〉 =∑

α

c(α)|α〉 (6.43)

donde asumiremos que la base |α〉 es ortonormal, esto es:

〈α|α′〉 = δ(α, α′).

Los coeficientes c(α) corresponden a las componentes del vector | 〉 en la base |α〉.El ındice α puede variar de modo discreto o continuo, por lo que la sumatoria puedeequivaler a una integral.

Entonces, de ec (6.43), premultiplicando por 〈α′|:

〈α′| 〉 =∑

α

c(α)〈α′|α〉 =∑

α

c(α)δ(α′, α) = c(α′);

ası: c(α) = 〈α| 〉, y reemplazando de nuevo en ec (6.43) obtenemos la expansion de| 〉 en la base |α〉:

| 〉 =∑

α

〈α| 〉|α〉

=∑

α

|α〉〈α| 〉, (6.44)

de donde se sigue la relacion de completez de la base |α〉:∑

α

|α〉〈α| = 1.

Teorıa de transformacion

Ahora bien, si queremos pasar de la base |α〉 a la base |β〉, debemos ante todoexpresar el vector | 〉 en ambas bases:

| 〉 =∑

α

|α〉〈α| 〉, (6.45)

con 〈α|α′〉 = δ(α, α′) y∑

α |α〉〈α| = 1, y

| 〉 =∑

β

|β〉〈β| 〉, (6.46)


con 〈β|β′〉 = δ(β, β′) y∑β |β〉〈β| = 1.

De ec.(6.45), premultiplicando por 〈β|:

〈β| 〉 =∑

α

〈β|α〉〈α| 〉, (6.47)

tal que 〈β| 〉 y 〈α| 〉 son las componentes del vector | 〉 en las bases |β〉 y |α〉, y 〈β|α〉son los coeficientes de la transformacion de la base |α〉 a la base |β〉.

Tambien, de (6.46), premultiplicando por 〈α|:

〈α| 〉 =∑

β

〈α|β〉〈β| 〉, (6.48)

Ası pues: 〈α|β〉 son los coeficientes de la transformacion de la base |β〉 a la base|α〉.

De (6.48) se sigue, como se espera:

〈α|α′〉 =∑

β

〈α|β〉〈β|α′〉

= δ(α, α′)

Elementos matriciales de un operador

El conjunto |α〉 es completo, por lo cual al operar con M sobre |α〉 se obtieneen general una combinacion lineal de |α〉:

M |α〉 =∑

α′

Mαα′ |α′〉,

por tanto: 〈α′′|M |α〉 =∑

α′ Mαα′〈α′′|α′〉 = Mαα′′ . Ası: Mαα′′ = 〈α′′|M |α〉 son los

elementos de matriz del operador M respecto a la base |α〉.Veamos ahora el efecto de operar con M sobre el vector | 〉:

M | 〉 =∑

α

cα|α〉, (6.49)

se sigue:

〈α′|M | 〉 =∑

α

cα〈α′|α〉 = cα′

esto es: cα = 〈α|M | 〉, o, reemplazando en (6.49):

M | 〉 =∑

α

〈α|M | 〉|α〉 y como, segun (65AA) :


| 〉 =∑

α′

|α′〉〈α′| 〉 , obtenemos: :

M | 〉 =∑

αα′

〈α|M |α′〉〈α′| 〉|α〉

Ası, los elementos de matriz del operador M en dos bases distintas estan conec-tados por:

〈β′|M |β〉 =∑

αα′

〈β′|α〉〈α|M |α′〉〈α′|β〉

Tambien:

〈α′′|M |β〉 =∑

αα′

〈α′′|α〉〈α|M |α′〉〈α′|β〉

=∑

α′

〈α′′|M |α′〉〈α′|β〉 y

〈 |M |β〉 =∑

αα′

〈 |α〉〈α|M |α′〉〈α′|β〉 (6.50)

Ejemplos: Si M = X = operador de posicion: Xxx′ = 〈x′|X |x〉 = x〈x′|x〉 =xδ(x− x′), de modo que en el espacio de los ket |x〉 tendremos:

〈x′|X|x〉 = xδ(x− x′)

Si M = ~i ∂/∂x = operador momento lineal p, tendremos, en el espacio

de los |x〉:

pxx′ = 〈x′|p|x〉 =~

i〈x′| ∂

∂x|x〉 =

~

i

∂

∂x〈x′|x〉 =

~

i

∂

∂xδ(x− x′)

Estos son los elementos de matriz del operador momento lineal p = ~i∂∂x

en el espacio de las coordenadas.

Si M = − ~2

2m∂2

∂x2 + V (x) = H = operador de energıa:

Exx′ = 〈x′|H |x〉 = 〈x′| − ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)|x〉

=

[− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]〈x′|x〉

Ası pues, los elementos de matriz de X, p y H se expresan en una basearbitraria en la forma:


〈β′|X |β〉 =

∫〈β′|x〉x〈x|β〉 dx

〈β′|p|β〉 = −~

i

∫〈β′|x〉 ∂

∂x〈x|β〉 dx

〈β′|H |β〉 =

∫〈β′|x〉

[− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]〈x|β〉 dx

Una aplicacion: funciones de onda

〈α| 〉 son las componentes del vector | 〉, que ha sido expandido en la base |α〉 enla forma:

| 〉 =∑

α

〈α| 〉|α〉

Los |α〉 se conocen tambien como funcion de onda en el espacio de los |α〉.El operador momento lineal, en la base |x〉 ha sido definido como: p = ~

i ∂/∂x. Laecuacion de autovalores es: p|x〉 = p |x〉, donde p es el autovalor de p. Explıcitamente:

~

i

∂

∂x|x〉 = p |x〉.

Proyectando sobre 〈p|:

~

i〈p | ∂

∂x|x〉 = p 〈p |x〉 o

~

i

∂

∂x〈p |x〉 = p 〈p |x〉,

cuya solucion normalizada es:

〈p |x〉 =eipx/~

√2π

Esta expresion provee el coeficiente (continuo) de la transformacion entre las bases|p〉 y |x〉. Entonces, de acuerdo a la regla de transformacion entre bases |α〉 y |β〉:

〈β| 〉 =∑

α

〈β|α〉〈α| 〉,


aplicada a las bases continuas |β〉 = |p〉 y |α〉 = |x〉, se sigue:

〈p | 〉 =

∫〈p |x〉〈x| 〉 dx

=1√2π

∫eipx/~〈x| 〉 dx , o

φ(p) =1√2π

∫φ(x)eipx/~ dx,

donde hemos definido:

φ(p) ≡ 〈p | 〉 = funcion de onda en el espacio de los momentos.

φ(x) ≡ 〈x| 〉 = funcion de onda en el espacio de las coordenadas.

La conexion entre ambos espacios, como se nota en la ultima ecuacion, es la tıpicatransformada de Fourier:

φ(k) =1√2π

∫φ(x)eikx dx,

donde:p = ~k = h/λ,

coincidente con la relacion de De Broglie.Un desarrollo analogo, realizado para el operador de energıaE = − ~

i ∂/∂t conducea:

φ(E) =1√2π

∫φ(t)eiEt/~ dt,

que equivale a una transformada de Fourier

φ(ω) =1√2π

∫φ(t)eiωt dt,

con E = ~ω, segun la relacion de Planck.

7

Funciones de Green

7.1. Introduccion

En las paginas siguientes desarrollaremos la teorıa de funciones de Green aplicadaal caso de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de segundo orden.

Esta teorıa se basa en una idea simple, y no por ello menos ingeniosa, que fue prop-uesta en el siglo XIX por George Green. Idea que no solo ilumina la solucion delas ecuaciones diferenciales parciales sino que aun ahora esta en la base de nuestrasmejores teorıas de campos clasicos y cuanticos.

La funcion de Green es util en la solucion de ecuaciones diferenciales parcialesinhomogeneas donde la tecnica de separacion de variables no tiene aplicacion. Aunen los casos de ecuaciones diferenciales ordinarias homogeneas este metodo puedeser utilizado con provecho, como alternativa a los metodos conocidos como Fourier,variacion de parametros o coeficientes indeterminados. El metodo de Green es validosolo para ecuaciones lineales.

Un primer acercamiento a este tema fue realizado en la seccion 3.1.3.


Como hemos visto en el capıtulo 6 la ecuacion diferencial inhomogenea

L(x)f(x) = h(x),

en la cual

L = a2d2

dx2+ a1

d

dx+ a0,

249

250 7. FUNCIONES DE GREEN

y h(x) es una funcion conocida, definida en el intervalo (a, b), y a0, a1, a2 son fun-ciones reales de x, puede escribirse en la forma:

H(x)f(x) = g(x) (7.1)

equivalente a: d(q(x)f(x)

)/dx + r(x)f(x) = g(x), donde H es el operador au-

toadjunto H = pL, q = a2p, r = a0p y

p =1

a2e

R a1a2dx

Los metodos de variacion de parametros o coeficientes indeterminados permitensolucionar ecuaciones de este tipo. Nos proponemos en las paginas que siguen de-sarrollar una tecnica mucho mas poderosa y que en principio es aplicable tambiena ecuaciones diferenciales parciales inhomogeneas.

El metodo de Green consiste en resolver primero un problema mas simple que(7.1), en el que la fuente extendida g(x) es reemplazada por una fuente puntualδ(x− x′) localizada en el punto x′.

Definimos la funcion de Green G(x, x′) en la forma:

H(x)G(x, x′) = δ(x− x′) (7.2)

En la forma de escritura que adoptamos aquı la variable x asociada a H(x) es laprimera que aparece en G(x, x′).

Observese que la funcion de Green depende de dos variables, una que senala laposicion x′ de la fuente puntual, y otra que seala un punto del espacio (x) dondeestudiamos el efecto de la fuente.

Desde el punto de vista fısico G(x, x′) puede entenderse como un campo genera-do en x por una fuente puntual localizada en x′, en tanto que f(x) es un campogenerado en x por una fuente extendida g(x). Veremos en lo que sigue de que modola solucion para f(x) puede obtenerse en terminos de G(x, x′).

Con el fin de evaluar f(x) estudiemos la siguiente integral:

(H(x′)f(x′), G(x′, x)) ≡∫ b

a

(H(x′)f(x′))∗G(x′, x) dx′

La operacion que traslada H de f(x′) a G(x′, x) fue ya realizada en la terceraseccion del capıtulo 6. En efecto de la ecuacion (6.6), con integracion respecto a x′

y con g reemplazado por G(x′, x), tendremos

(H(x′)f(x′), G(x′, x)) = (f(x′),L(x′)G(x′, x))

+

a2

∗(x′)

[df∗

dx′(x′)G(x′, x)− f∗(x′)

dG(x′, x)

dx′

]x′=b

x′=a

(7.3)


Como H(x′)f(x′) = g(x′) y L(x′)G(x′, x) = δ(x− x′) se sigue, despues de reem-plazar y tomar el complejo conjugado:

f(x) =

∫ x′=b

x′=a

g(x′)G∗(x′, x) dx′

+

a2(x

′)

[df(x′)

dx′G∗(x′, x)− f(x′)

dG∗(x′, x)

dx′

]x′=b

x′=a

(7.4)

Esta ecuacion es la solucion al problema (7.1), en terminos de la fuente g(x) y dela funcion G(x, x′). Es indispensable en consecuencia evaluar G(x, x′).

Veamos ahora la conexion entre G(x, x′) y G∗(x′, x): si en la ecuacion (7.3) hace-mos: f(x′) = G(x′, x′′) tendremos, haciendo uso de las ecuacion (7.2):

G(x′′, x′) = G∗(x, x′′)

+

a∗2

(dG∗(x′, x′′)

dx′G(x′, x)−G∗(x′, x′′)

dG(x′, x)

dx′

)x′=b

x′=a

(7.5)

Ahora bien, la exigencia matematica de unicidad de la solucion a la ecuaciondiferencial da como resultado que solo ciertos conjuntos de condiciones de bordesean aceptables. De otro lado, la funcion de Green es, desde el punto de vistamatematico, una funcion auxiliar a la que puede dotarse con un conjunto apropiadode condiciones de frontera que garanticen la unicidad de f(x), funcion que ha sidoobtenida explıcitamente en la ecuacion (7.4) en terminos de G(x′, x), su derivaday la funcion “fuente”g(x′). En los bordes pueden proveerse los siguientes conjuntosde condiciones:

a) f(a), f(b)b) f(a), f(a)c) f(a), f(b)d) αf(a) + βf(a), γf(b) + δf(b)Veamoslo en cada caso:a) Si se proveen los valores de la funcion f(x) en los extremos a y b, puesto que

en la ecuacion (7.4) aparecen ademas f(a) y f(b), deben imponerse restriccionessobre G(x′, x) que los eliminen de la ecuacion. Basta para ello con exigir:

G(x′, x)|x′=a = G(x′, x)|x′=b = 0 (7.6)

Ası, la ecuacion (7.4) se escribe:

f(x) =

∫ x′=b

x′=a

g(x′)G∗(x′, x) dx′ +

[a2(x

′)f(x′)dG∗(x′, x)

dx′

]x′=b

x′=a

(7.7)


En este caso es cierto que G(x′, x)|x′=a = G(x′, x)|x′=b = 0, de modo que reem-plazando en (7.5) tendremos:

G(x′′, x) = G∗(x, x′′) (7.8)

b) Si se proveen los valores de f(a) y f(a) entonces, al no poder proveerse tambienf(b) y f(b), debe exigirse que las funciones que acompanan a estos ultimos sean cero,es decir:

G(x′, x)|x′=b =dG(x′, x)

dx′

∣∣∣∣x′=b

= 0 (7.9)

con lo cual la ecuacion (7.4) queda en la forma:

f(x) =

∫ x′=b

x′=a

g(x′)G∗(x′, x) dx′

+a2(x

′)

[df(x′)

dx′G∗(x′, x)− f(x′)

dG∗(x′, x)

dx′

]

x′=a(7.10)

c) En (7.10) el conjunto de condiciones f(a) y f(b) implica: G∣∣∣x=a = G |x=b = 0

d) Si se proveen las condiciones mixtas

αf(a) + βf(a) = 0 , γf(b) + δf(b) = 0 ,

debemos imponer analogamente sobre G(x′, x) las condiciones homogeneas:

(α∗G(x′, x) + β∗ dG(x′, x)

dx′

)

x′=a

=

(γ∗G(x′, x) + δ∗

dG(x′, x)

dx′

)

x′=b

= 0.

La ecuacion (7.4) queda ahora en la forma:

f(x) =

∫ x′=b

x′=a

g(x′)G∗(x′, x) dx′

Teorema:

Demostraremos ahora que la primera derivada de la funcion de Green es discon-tinua en x = x′.

Ante todo asumiremos que la funcion de Green definida por (7.2) es continua enx = x′, esto es:

lımε→0

G(x, x′)|x=x′−ε = lımε→0

G(x, x′)|x=x′+ε (7.11)

7.3. OSCILADOR ARMONICO 253

La ecuacion (7.2) puede escribirse en la forma:

d

dx

(q(x)

dG(x, x′)

dx

)+ r(x)G(x, x′) = δ(x− x′)

Integrando en un entorno infinitesimal alrededor de x = x′ obtenemos:

(q(x)

dG(x, x′)

dx

)x=x′+ε

x=x′−ε+

∫ x=x′+ε

x=x′−εr(x)G(x, x′) dx =

∫ x=x′+ε

x=x′−εδ(x− x′) dx

El segundo miembro se anula con ε→ 0 y la ultima integral da 1; ası,

[q(x)

dG(x, x′)

dx′

]x=x′+ε

x=x′−ε= 1

de donde se concluye la discontinuidad de la primera derivada de G(x, x′):

dG(x, x′)

dx

∣∣∣∣x=x′+ε

− dG(x, x′)

dx

∣∣∣∣x=x′−ε

=1

q(x′)(7.12)

7.3. Oscilador armonico

Como una aplicacion importante de la tecnica de Green consideremos un osciladorarmonico, sometido a una fuerza viscosa proporcional a la velocidad y a una fuerzaexterna; su movimiento se describe mediante la siguiente ecuacion:

mX(t) + bX(t) + kX(t) = F (t)

o: X(t) + 2λX(t) + ω2X(t) = F (t)/m

con: 2λ ≡ b/m , ω2 ≡ k/m.Ası pues, escrita en la forma

L(t)X(t) = F (t)/m

la ecuacion contiene el operador lineal no autoadjunto

L(t) =d2

dt2+ 2λ

d

dt+ ω2

De acuerdo a la seccion anterior podemos escribir:

H(t)X(t) = p(t)F (t)/m,


con a2 = 1, a1 = 2λ, a0 = ω2 y p = q = e2λt se sigue:

d

dt

(e2λt

X(t)

dt

)+ ω2X(t) = e2λtF (t)/m (7.13)

En los problemas mecanicos usualmente se provee informacion sobre la posiciony la velocidad en algun instante t = T0. Las denotaremos por X(T0) = X0 yX(T0) = v0. En consecuencia la solucion del problema corresponde al numeral b)de la seccion anterior, ecuacion (7.10), que escribimos en la forma

X(t) =

∫ t′=T

t′=T0

F (t′)

me2λt

′

G∗(t′, t) dt′

+

dX(t′)

dt′G∗(t′, t)−X(t′)

dG∗(t′, t)

dt′

t′=T0

(7.14)

El lımite superior en el corchete ha sido suprimido, de acuerdo a la ecuacion (7.9),que ahora toma la forma:

G(t′, t)|t′=T =dG(t′, t)

dt′

∣∣∣∣t′=T

(7.15)

G(t′, t), ha de calcularse partiendo de (7.2), que toma la forma:

d

dt′

(e2λt

′ dG(t′, t)

dt′

)+ ω2e2λt

′

G(t′, t) = δ(t′ − t), o: (7.16)

d2G(t′, t)

dt′2+ 2λ

dG(t′, t)

dt+ ω2G(t′, t) = e−2λtδ(t′ − t) (7.17)

El punto t′ = t divide el intervalo T0 ≤ t′ ≤ T en dos zonas T0 ≤ t′ < t yt < t′ ≤ T . Para t 6= t′, la delta de Dirac se anula obteniendose una ecuacionhomogenea cuya solucion es

G(t′, t) = AeΓt′

+BeΓ′t′

con Γ = −λ+√λ2 − ω2 , Γ′ = −λ−

√λ2 − ω2.

Impongamos ahora la primera condicion de frontera (7.15): teniendo en cuentaque G(t′, t)|t′=T = 0 se sigue B = −Ae(Γ−Γ′)T , tal que

G(t′, t) = A[eΓt

′ − e(Γ−Γ′)T+Γ′t′]

= AeΓT[eΓ(t′−T ) − eΓ′(t′−T )

].

7.3. OSCILADOR ARMONICO 255

La segunda condicion en (7.15) da lugar a A = 0; en consecuencia, la funcion deGreen G(t′, t) se anula en la porcion derecha del intervalo, es decir

G(t′, t) = 0 para t ≤ t′ ≤ TLa solucion en el intervalo (T0, t) es de la misma forma:

G(t′, t) = EeΓt′

+ FeΓ′t′

con G(t′, t) = 0 en t = t′ (pues la funcion de Green es continua, y ya tiene el valorcero en t′ = t+ ε); se sigue

G(t′, t) = E′[eΓ(t′−t) − eΓ′(t′−t)

]

Integrando la ecuacion diferencial (7.16) entre los lımites t′ = t − ε y t′ = t + ε,es decir en un entorno infinitesimal alrededor de t = t′ obtenemos

[e2λt

′ dG(t′, t)

dt′

]t′=t+ε

t′=t−ε+ ω2

∫ t′=t+ε

t′=t−εG(t′, t)e2λt

′

dt′ = 1

El lımite superior del primer termino desaparece pues G(t′, t) = 0 para t′ > t; eltermino en ω2, que representa el area bajo la funcion de Green, tambien se anula siε→ 0. Resulta entonces:

dG(t′, t)

dt′

∣∣∣∣t′=t−ε

ε→0

= −e−2λt

Esta expresion, que implica la discontinuidad de la primera derivada de G(t′, t),permite obtener

E′ = e−2λt/(Γ′ − Γ) = −e−2λt/(2√λ2 − ω2)

.Finalmente entonces la funcion de Green para T0 ≤ t′ ≤ t se escribe:

G(t′, t) =−e−λ(t+t′)

2√λ2 − ω2

[e√λ2−ω2(t′−t) − e−

√λ2−ω2(t′−t)

]

Nos restringimos en lo que sigue el caso subamortiguado, es decir aquel en el queλ < ω. Tenemos entonces:

√λ2 − ω2 = i

√ω2 − λ2 = iγ , con γ real. En consecuen-

cia:

G(t′, t) = −e−λ(t+t′)

γsen [γ(t′ − t)]


Reemplazando G(t′, t) en la ecuacion (7.14), la expresion para el desplazamientodel oscilador, considerando por simplicidad T0 = 0, sera:

X(t) =−1

mγ

∫ t′=t

t′=0

F (t′)eλ(t′−t) sen [γ(t′ − t)] dt′

+e−λt

γ[(v0 + λX0) sen γt+X0γ cos γt]

Observese que el lımite superior de la integral ha dejado de ser T y se ha convertidoen t, lo que se debe a queG(t′, t) solo existe entre 0 y t. El termino integral es soluciona la ecuacion inhomogenea del oscilador en tanto que el corchete es solucion a laecuacion homogenea. Conocida la fuerza externa F (t) la integral puede evaluarseexplicıtamente.

Problema: a) Considere la ecuacion d2y(x)/dx2 − k2y(x) = f(x), en el do-minio 0 ≤ x ≤ L, con las condiciones de frontera: y(0) = y(L) = 0.Demuestre que:

G(x, x′) =

−sinhkx sinh k(L− x′)/sinh kL si x < x′

−sinhkx′ sinhk(L− x)/sinh kL si x > x′

Sugerencia: Resuelva la ecuacion que define G(x, x′) en puntos x 6= x′.Habra dos funciones de Green, una para 0 ≤ x < x′ y otra para x′ <x ≤ L y cada una de ellas satisface una condicion de frontera. Use lascondiciones (7.11) y (7.12) para evaluar los coeficientes que acompananlas soluciones.

b) Considere la misma ecuacion en el dominio −∞ < x <∞ con condi-ciones de frontera: y(±∞) <∞. Utilice la representacion de δ(x−x′)en

la base de Fourier eik′x y escriba G(x, x′) en esta base; demuestreentonces que:

G(x, x′) = − 1

2π

Z ∞

−∞

eik′(x−x′)

k2 + k′2dk′

Observe que G(x, x′) = G∗(x′, x).

c) En el problema precedente cambie el dominio a 0 ≤ x < ∞, cony(0) = 0, y(∞) < ∞. Demuestre que:

G(x, x′) =

−e−kx′ sen kx/k si x < x′

−e−kx sen kx′/k si x > x′

Problema: Resuelva la ecuacion d2G(x, x′) = δ(x − x′)para x 6= x′ y en elintervalo (0, L). Obtenga las funciones de Green a izquierda y derechadel punto x′. Implementando las condiciones (7.11) y (7.12) demuestreque una forma alterna de G(x, x′) es:

G(x, x′) =

−x(L− x′)/L si 0 < x ≤ x′

−x′(L− x)/L si x′ < x ≤ L



7.4.1. La ecuacion de Poisson

El caso de Dirichlet

Consideremos ahora el operador autoadjunto en tres dimensiones: L = ∇2, caso enel cual escribimos:

∇2f(r) = g(r) (7.18)

La ecuacion de Poisson no permite solucion por el metodo de separacion devariables, excepto en casos muy triviales, como el de simetrıa esferica. Como de-mostraremos, la solucion general puede obtenerse definiendo la funcion de Greenasociada al operador Laplaciano. Sea ası:

∇2G(r, r′) = δ(r − r′) (7.19)

La funcion f(r) puede ser evaluada explıcitamente si se conocen G(r, r′), g(r)y las condiciones de frontera apropiadas que en este caso son: f(r)|S , ∂f(r)/∂n|So [αf(r) + β∂f(r)/∂n]|S .

Ahora bien, la solucion a la ecuacion (7.18) puede construirse partiendo de laintegral:

(G(r′, r),L(r′)f(r′)) ≡∫G∗(r′, r)∇′2f(r′) dV ′ (7.20)

Es cierto que:

G∗∇2f = G∗∇ ·∇f = ∇ · (G∗

∇f)−∇G∗ ·∇f

= ∇ · (G∗∇f)−∇ · (f∇G∗) + f∇2G∗ (7.21)

por tanto, reemplazando (7.21)en (7.20):

∫G∗(r′, r)∇′2f(r′) dV ′

=

∫[∇ · (G∗

∇′f − f∇

′G∗) + f(r′)∇′2G(r′, r)] dV ′

=

∫f(r′)∇′2G∗(r′, r) dV ′ +

∮[G∗

∇′f − f∇

′G∗] · dS′ (7.22)

Puesto que: ∇′2f(r′) = g(r′) , y ∇′2G(r′, r) = δ(r− r′), tendremos:


∫G∗(r′, r)g(r′) dV ′ =

∫f(r′)δ(r− r′) dV ′ +

∮[G∗

∇′f − f∇

′G∗] · dS′

o:

f(r) =

∫G∗(r′, r)g(r′) dV ′

−∮ [

G∗(r′, r)∂f(r′)

∂n′ − f(r′)∂G∗(r′, r)

∂n′

]dS′ (7.23)

El teorema de unicidad para la ecuacion de Poisson permite asignar un valor ala funcion f(r) en la frontera (condicion de Dirichlet) pero prohibe, sobre la mismasuperficie, asignar simultaneamente ∂f(r)/∂n. Como f(r) y ∂f(r)/∂n aparecen enla integral de superficie en (7.23) podemos imponer sobre la funcion de Green lacondicion de Dirichlet:

G(r′, r)|S = 0 (7.24)

con lo cual obtenemos la solucion en terminos del valor de f(r)|S :

f(r) =

∫G∗(r′, r)g(r′) dV ′ +

∮f(r′)

∂G∗(r′, r)

∂n′ dS′ (7.25)

Facilmente podemos encontrar en este caso la conexion entre G∗(r′, r) y G(r, r′).En efecto, si en la ecuacion (7.22) hacemos f(r′) = G(r′, r′′), con G(r′, r)|S =G(r′, r′′)|S = 0, tendremos:

∫G∗(r′, r)∇′2G(r′, r′′) dV ′ =

∫G(r′, r′′)∇′2G∗(r′, r) dV ′

tal que utilizando la ecuacion diferencial que define la funcion de Green, se concluye:

G∗(r′′, r) = G(r, r′′) (7.26)

Ası pues la expresion (7.25), para f(r) con condicion de Dirichlet se escribe

f(r) =∫G(r, r′)g(r′) dV ′ +

∮f(r′)[∂G(r, r′)/∂n′] dS′ (7.27)

En sıntesis, la solucion a la ecuacion ∇2f(r) = g(r), en la que f(r) puede con-siderarse como un potencial y g(r) como la densidad volumetrica de la fuente quelo genera, implica la asignacion de condiciones de frontera, que en este caso son del


tipo de Dirichlet en el cual especificamos f(r)|S . En general la fuente se extiendesobre alguna region del espacio.

El metodo de funciones de Green propone resolver, como preliminar, un pro-blema mas simple, donde las fronteras geometricas son las mismas pero la fuenteextendida g(r) es reemplazada por una fuente puntual δ(r − r′). Este problema esevidentemente mas simple pues la ecuacion que lo describe es inhomogenea soloen un punto del espacio (r = r′) y ademas en la frontera hay que imponer unacondicion igualmente simple: G(r, r′)|S = 0. De este modo, la solucion del problemade Green posibilita la solucion (7.25) a la ecuacion de Poisson.

Ejercicio: Evaluar la funcion de Green para la ecuacion de Poisson en el caso deuna caja rectangular de lados abc con condiciones de frontera de Dirichlet.

Uno de los metodos de evaluacion de G(r, r′) en el caso cartesiano pro-pone expandirla en senos en x y en y de modo que satisfaga las condicionesG(r, r′)|x=0,a = 0 y G(r, r′)|y=0,b = 0. La dependencia en z, z′ es dejada a unafuncion f(z, z′). Ası:

G(r, r′) =∑

lm

flm(z, z) sen

(lπx

a

)sen

(mπyb

)

Por sustitucion en (7.18) escrita en cartesianas, y usando la condicion decompletez para senos:

δ(r−r′) =ab

4δ(z−z′)

∑

lm

sen

(lπx

a

)sen

(lπx′

a

)sen

(mπyb

)sen

(mπy′

b

)

obtenemos:d2f

dz2− α2f =

ab

4δ(z − z′)

con α2 = π2(l2/a2 + m2/b2). Para z 6= z′ la solucion a esta ecuacion es:f(z, z′) = A sinhαz + B coshαz. El punto z = z′ divide el intervalo (0, c)en dos regiones: 0 ≤ z < z′ y z′ < z ≤ c. Para la primera zona es validala condicion G|z=0 = 0, tal que: f1 = A sinhαz, y para la segunda (conG|z=c = 0) es cierto que: f2 = B sinhα(c− z)

Problema: Utilizando la condicion f1|z=z′ = f2|z=z′ y la discontinuidad desu primera derivada, evaluar A y B.

Ejercicio: Funcion de Green para espacio infinito.

Uno de los casos mas simples de evaluacion de la funcion de Green asociada ala ecuacion de Poisson es el de una fuente δ(r−r′) en espacio infinito (es decir,


con fronteras muy lejanas). En tal caso la delta de Dirac puede expandirse enla base de Fourier continua eik·r en la forma:

δ(r− r) =1

8π3

∫eik·rd3k

de modo que, en esta base:

G(r, r) =

∫a(k)eik·(r−r

′)d3k

Por substitucion de estas dos ecuaciones en (7.19) se obtiene:

a(k) = −1/8π3k2, de modo que:

G(r, r) = − 1

8π3

∫1

k2eik·(r−r

′)d3k

Es posible demostrar, y no lo haremos aquı, que esta integral se reduce a:

G(r, r) =1

4π|r− r′|

En consecuencia, como este es un problema de Dirichlet (G −→ 0 para r −→∞) la ecuacion (7.19) tiene como solucion a (7.27), por lo cual

f(r) =1

4π

∫g(r′)

|r− r′|dV′ +

1

4π

∮f(r′)∇

(1

|r− r′|

)· dS′

Asumiendo que en r′ −→∞, f −→ f0, resultara, de acuerdo a la seccion 1.11que la ultima integral contiene el angulo solido, tal que, finalmente:

f(r) =1

4π

∫g(r′)

|r− r′|dV′ + f0

Esta es exactamente la forma del potencial electrostatico de una distribucionde cargas en el espacio infinito, sin fronteras.

El caso de Neumann

Ahora bien, el teorema de unicidad permite tambien asignar sobre la superficie elvalor de ∂f/∂n. No es posible, sin embargo, desaparecer el termino que contienef(r) en la integral de superficie haciendo ∂G∗/∂n′|S = 0 pues esta ultima expresiones inconsistente. Veamos por que:

De ∇2G(r, r′) = δ(r− r′), integrando sobre el volumen:


∫∇2G(r, r′) dV =

∫∇ ·∇G(r, r′) dV =

∮∇G(r, r′) · dS

=

∮∂G(r, r′)

∂ndS =

∫δ(r− r′) dV = 1, es decir:

∮

S

∂G(r, r′)

∂ndS = 1 ,

de modo que podemos escoger: ∂G(r, r′)/∂n|S = 1/S; esta expresion es cero solo sila superficie abarca todo el espacio.

Ası pues, (7.23) puede escribirse, en el caso de Neumann:

f(r) =

∫G∗(r′, r)g(r′) dV ′ −

∫ [G∗(r′, r)

∂f(r′)

∂n′ −f(r′)

S

]dS′

o:

f(r) = 〈f(r′)〉+∫G∗(r′, r)g(r′) dV ′ −

∫G∗(r′, r)[∂f(r′)/∂n′] dS′ (7.28)

donde 〈f(r)〉 = 1S

∫f(r′) dS′ es el valor promedio de f(r) sobre la superficie.

〈f(r)〉 es una constante y solo anade un gauge a la expresion para f(r).

Problema: Analizar el caso con condicion de frontera mixta:

αf(r)|S + β∂f(r)

∂n

˛˛S

= 0

7.4.2. La ecuacion de ondas

La ecuacion de ondas inhomogenea tiene la forma

∇2ψ(r, t)− 1

v2

∂2ψ(r, t)

∂t2= g(r, t) (7.29)

donde ψ(r, t) es la funcion de onda, v su velocidad y g(r, t) es la fuente que generala ondulacion. El operador de onda es autoadjunto.

Esta es una ecuacion diferencial parcial en 4 variables independientes. En conse-cuencia, la funcion de Green asociada al operador lineal

L(r, t) = ∇2 − 1

v2

∂2

∂t2,


sera una funcion de 8 variables: r, r′, t, t′, que se define como

(∇2 − 1

v2

∂2

∂t2

)G(r, r′, t, t′) = δ(r− r′)δ(t− t′). (7.30)


G∗∇2ψ = ∇ · (G∗∇ψ − ψ∇G∗) + ψ∇2G∗ , y

G∗ ∂2ψ

∂t2=

∂

∂t

(G∗ ∂ψ

∂t− ψ∂G

∗

∂t

)+ ψ

∂2G∗

∂t2se sigue:

(G(r′, r, t′, t),L(r′, t′)ψ(r′, t′))

=

∫ ∫G∗(r′, r, t′, t)

[∇′2 − 1

v2

∂2

∂t′2

]ψ(r′, t′) dV ′dt′

=

∫ ∫ [∇

′ · (G∗∇

′ψ − ψ∇′G∗)− 1

v2

∂

∂t′

(G∗ ∂ψ

∂t′− ψ∂G

∗

∂t′

)]dV ′dt′

+

∫ ∫ψ(r′, t′)

[∇′2 − 1

v2

∂2

∂t′2

]G∗(r′, r, t′, t) dV ′dt′ (7.31)

Las expresiones (7.29) y (7.30) aparecen en (7.31) en la forma

(∇′2 − 1

v2

∂2

∂t′2

)ψ(r′, t′) = g(r′, t′)

(∇′2 − 1

v2

∂2

∂t′2

)G(r′, r, t′, t) = δ(r − r′)δ(t− t′)

donde ha de observarse en la ultima ecuacion la posicion de los argumentos r, r′, ty t′. Reemplazando en (7.31), utilizando el teorema de la divergencia y realizandola integracion temporal obtenemos:

ψ(r, t) =

∫ t′=t′2

t′=t′1

∫

V

G∗(r′, r, t′, t)g(r′, t′) dV ′dt′

−∫ t′=t′2

t′=t′1

∮

S

[G∗(r′, r, t′, t)

∂ψ(r′, t′)

∂n′

(7.33)


− ψ(r′t′)∂G∗(r′, r, t′, t)

∂n′

]dS′dt′

+1

v2

∫

V

[G∗(r′, r, t′, t)

∂ψ(r′, t′)

∂t′

− ψ(r′, t′)∂G∗(r′, r, t′, t)

∂t′

]dV ′

t′=t′2

t′=t′1

(7.34)

La integracion espacial se realiza sobre un volumen V determinado por el prob-lema fısico que quiere resolverse, y la integracion temporal se efectua entre t′ = t′1y t′ = t′2.

El teorema de unicidad correspondiente a la ecuacion de ondas exige imponercondiciones de Cauchy (ver capıtulo 2):

1) ψ(r, t)|S o ∂ψ(rt)∂n

∣∣∣S

2) ψ(r, t)|t=t1

3) ∂ψ(r,t)∂t

∣∣∣t=t1

Puesto que solo esta informacion puede ser involucrada en la ecuacion (7.34)hemos de imponer, en el caso de Cauchy-Dirichlet el siguiente conjunto de condi-ciones sobre la funcion de Green:

G(r′, r, t′, t)|S = G(r′, r, t′, t)|t′=t′2

=∂G(r′, r, t′, t)

∂t′

∣∣∣∣t′=t′

2

= 0

con lo cual la funcion de onda resulta estar dada por:

ψ(r, t) =

∫ t′=t′2

t′=t′1

∫

V

G∗(r′, r, t′, t)g(r′, t′) dV ′dt′

+

∫ t′=t′2

t′=t′1

∮

S

ψ(r′, t′)∂G∗(r′, r, t′, t)

∂n′ dS′dt′

+1

v2

∫

V

[G∗(r′, r, t′, t)

∂ψ(r′, t′)

∂t′

− ψ(r′, t′)∂G∗(r′, r, t′, t)

∂t′

]dV ′

t′=t′1

(7.35)


Problema: Demostrar que si en (7.31) se hace ψ(r′, t′) = G(r,′ r′′, t′, t′′)entonces:

G∗(r′′, r, t′′, t) = G(r, r′′, t, t′′)

Ejercicio: Evaluar la funcion de Green en coordenadas cartesianas en el caso deCauchy-Dirichlet, para la ecuacion de ondas. Considere un cubo de lados abc.

Se trata entonces de resolver la ecuacion:

(∇′2 − 1

v2

∂2

∂t′2

)G(r′, r, t′, t) = δ(r′ − r)δ(t′ − t) (7.36)

sujeta a las condiciones:

G|x′=0,a = G|y′=0,b = G|z′=0,c = 0 , G|t′=t2 = 0 =∂G

∂t′

∣∣∣∣t′=t2

Resolvamos la ecuacion (7.36) para r 6= r′. En este caso las condiciones defrontera espaciales sobre la funcion de Green son satisfechas automaticamen-te por

G(r′, r, t′, t) =

∞∑

l,m,n=1

sen

(lπx

a

)sen

(lπx′

a

)sen

(mπy

b

)sen

(mπy′

b

)

× sen

(nπz

c

)sen

(nπz′

c

)f(t, t′)

Hemos obtenido una expansion de G en autofunciones que satisfacen las condi-ciones de frontera espaciales. Hemos ademas colocado las mismas funcionescon “primas”para satisfacer de una vez G(r, r′) = G∗(r′, r). Teniendo en cuen-ta la condicion de ortonormalidad para funciones seno:

1

a

∞∑

l=1

sen

(nπx

a

)sen

(nπx′

a

)= δ(x, x)

y analogamente en y y z; substituyendo, junto con la expresion para G, enla ecuacion diferencial, y despues de cancelar terminos comunes usando elargumento de su independencia lineal obtenemos:

α2f(t, t′) +∂2f(t, t′)

∂t′2= −δ(t− t′)abc (7.37)


donde: α2 = π2(l2/a2 +m2/b2 + n2/c2). Para t 6= t′ esta ecuacion tiene comosolucion:

f(t, t′) = Aeiαt′

+Be−iαt′

Puesto que: G|t′=t′2

= 0 se sigue f |t′=t′2

= 0 ; y de ∂G/∂t′|t′=t′2

= 0 se sigue:

∂f/∂t′|t′=t′2

= 0. Este par de condiciones implican: f = 0, lo que significa

que puesto que el intervalo de integracion (t′1 → t′2) ha sido dividido en dosregiones: t′1 ≤ t′ < t , t < t′ ≤ t′2, entonces la funcion de Green es cero en elsegundo pedazo, que es el que contiene la condicion en t′ = t′2.

Ademas, asumiendo la continuidad de la funcion de Green en todo el intervaloresultara G = 0 en t = t′, tal que en el intervalo t′1 ≤ t′ < t:

f = A′eiαt′

+B′e−iαt′

con G|t=t′ = 0,

con lo cual:

f = A′ senα(t′ − t)

La constante A′ puede evaluarse integrando la ecuacion (7.37) entre lımitesinfinitesimalmente por encima y por debajo de t′ = t:

α2

∫ t′=t+ε

t′=t−εf dt′ +

∫ t′=t+ε

t′=t−ε

d2f

dt2dt′ =

−1

abc

de donde se sigue: df/dt′∣∣∣∣t′=t−ε

= 1/abc, por tanto: A = −1/αabc,

finalmente entonces:


G(r′, r, t′, t) = −∞∑

l,m,n=1

1

αabcsen

(lπx

a

)sen

(lπx′

a

)sen

(mπy

b

)

× sen

(mπy′

b

)sen

(nπz

c

)sen

(nπz′

c

)senα(t′ − t)

Problema: Obtener la expresion general para ψ(x, t), correspondiente a laecuacion de onda unidimensional

„∂2

∂x2− 1

v2∂2

∂t2

«ψ(x, t) = g(x, t) ,

sujeta a condiciones de Dirichlet, ademas de las condiciones sobre ψ y∂ψ/∂t en t = 0.

7.5. Expansion en autofunciones

La funcion de Green puede ser expandida en autofunciones del operador queactua sobre ella.

Veamoslo en un caso bastante general: para la ecuacion

Lf(r) = g(r) (7.38)

la funcion de Green asociada se define por

LG(r, r′) = δ(r− r′), (7.39)

La ultima ecuacion puede solucionarse proponiendo una expansion de G(r, r′) enautofunciones ϕn(r) del operador L: Lϕn(r) = k2

nϕn(r). Sea ası:

G(r, r′) =∑

n

an(r′)ϕn(r) (7.40)

Si las autofunciones ϕn(r) forman una base completa y ortogonal, entonces:

∑

n

ϕ∗n(r

′)ϕn(r) = δ(r− r′) (7.41)

Reemplazando (7.40) y (7.41) en (7.39) y teniendo en cuenta la independencialineal del conjunto ϕn(r) obtenemos:

an(r′) =

ϕ∗n(r

′)

k2n

y en consecuencia la funcion de Green que obedece la ecuacion (7.39) es:

7.5. EXPANSION EN AUTOFUNCIONES 267

G(r, r′) =∑

n

ϕ∗n(r′)ϕn(r)

k2n

Observemos que G(r, r′) = G∗(r′, r). Con la funcion G(r, r′) ası obtenida puedeelaborarse la solucion a la ecuacion (7.38).

Problema: En el desarrollo anterior hemos utilizado una base discreta. Repitalos calculos con la base continua ϕ(k, r).

Ejercicio: Construir la funcion de Green para el problema inhomogeneo:

d2y(x)

dx2= g(x), con y(0) = y(L) = 0 (7.42)

La funcion de Green debe satisfacer la ecuacion:

d2G(x, x′)

dx2= δ(x − x′), con G(0, x′) = G(L, x′) = 0 (7.43)

Las funciones seno y coseno son autofunciones de d2/dx2, y como G(x, x′) seanula en los extremos queda solo la combinacion de senos:

G(x, x′) =∞∑

n=1

an(x′) sen

(nπxL

)

Tomando en cuenta la completez de la base de senos y reemplazando en (7.43)

se sigue: an(x′) = −2L sen(nπx′

L

)/n2π2, de modo que

G(x, x′) = −2L

π2

∞∑

n=1

1

n2sen

(nπx

L

)sen

(nπx′

L

)

Para las condiciones de frontera propuestas, la solucion a la ecuacion (7.42)es:

y(x) =

∫ L

0

g(x′)G(x, x′) dx′

Problema: Resolver el caso anterior si y(0) = y(0) = 0.

8

Funciones Especiales

8.1. Introduccion

Como se ha visto en los capıtulos precedentes el metodo de separacion de varia-bles conduce en muchos casos, especıficamente en las ecuaciones de ondas, del calor,de Laplace, o de Schrodinger, a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.Es el momento ahora de entrar en su solucion. Los resultados tienen un nombrecomun: funciones especiales. Esto significa que hay un gran conjunto de ecuacionesdiferenciales que no pueden resolverse utilizando funciones elementales. Las nuevasfunciones, que pueden ser calculadas utilizando tecnicas de series, tienen una car-acterıstica importante: conforman bases en espacios de Hilbert, lo que proviene dela estructura de Sturm-Liouville de las ecuaciones diferenciales asociadas. Son portanto ecuaciones de autovalores.

Entremos en algunos preliminares.Dada la ecuacion de segundo orden, lineal y homogenea

y(x) + P (x)y +Q(x)y(x) = 0 ,

si P (x) y Q(x) son funciones de valores finitos en el punto x = x0, diremos que x0

es un punto ordinario. Si P (x) y Q(x) divergen en x→ x0, tal punto se llamara sin-gular.

Si P (x) y Q(x) divergen cuando x→ x0 pero (x− x0)P (x) y (x− x0)2Q(x) son

finitas en x→ x0, diremos que la singularidad es no esencial o regular.Si (x − x0)P (x) o (x − x0)

2Q(x) divergen cuando x → x0, la singularidad esesencial o irregular.

Algunas de las ecuaciones diferenciales listadas en el capıtulo 5 presentan singu-laridades esenciales solo en el infinito.

268

8.2. METODO DE FROBENIUS 269

8.2. Metodo de Frobenius

Este metodo propone una solucion en series de potencias a una ecuacion diferen-cial lineal y homogenea, y es valido si la singularidad no es peor que una regular. Enel caso de ecuaciones inhomogeneas sera necesario hallar, por el metodo de Frobe-nius por ejemplo, la solucion a la ecuacion homogenea y usarla, por ejemplo en elmetodo de variacion de parametros, o de coeficientes indeterminados, para evaluarla solucion particular (no homogenea).

En lo que sigue nos preocuparemos solo por ecuaciones homogeneas, lineales yde segundo orden.

El metodo de Frobenius consiste en lo siguiente: dada la ecuacion

x2y + xP (x)y +Q(x)y = 0 ,

donde P (x) y Q(x) estan expresadas en series de potencias en x:

P (x) =

∞∑

m=0

pmxm , Q(x) =

∞∑

m=0

qmxm

proponemos como solucion

y = xs(a0 + a1x+ · · ·+ anxn + · · · ) =

∞∑

l=0

alxl+s. (8.1)

Con a0 6= 0, la serie comienza en xs. El numero s esta determinado por las caracterıs-ticas de cada ecuacion diferencial, y se especifica mediante una expresion algebraicade segundo orden conocida como ecuacion indicial.

Por substitucion de las series para y(x), P (x) y Q(x) en la ecuacion diferencialobtenemos:

∞∑

l=0

al(s+ l)(s+ l− 1)xl +

∞∑

l=0

[l∑

n=0

[(s+ n)pl−n + ql−n]

]anx

l = 0,

donde hemos tenido en cuenta que

∞∑

n=0

∞∑

m=0

anmxm+n =

∞∑

l=0

(l∑

n=0

an,l−n

)xl.

Obtenemos el siguiente conjunto de condiciones para los coeficientes s, pm y qm:

al(s+ l)(s+ l − 1) +

l∑

n=0

[(s+ n)pl−n + ql−n]an = 0

270 8. FUNCIONES ESPECIALES

con l = 0, 1, 2 · · ·1) Para l = 0 y con a0 6= 0 se obtiene la ecuacion indicial:

s(s− 1) + sp0 + q0 = 0

Si las dos raıces de la ecuacion indicial son iguales, solo se obtiene por Frobeniusuna solucion. La otra debera hallarse por el metodo de segunda solucion propuestoen el capıtulo 3.

Si las raıces difieren por un numero no entero se obtienen dos soluciones inde-pendientes.

Si difieren por un entero, el mayor de los dos dara una solucion, pero el otro nonecesariamente dara la segunda.

En todos los casos, siempre que se tenga a lo maximo singularidades regulares,el metodo provee al menos una solucion. Los intentos de expansion alrededor desingularidades irregulares fallan.

2) Para l = 1 obtenemos:

a1 [(s+ 1)(s+ p0) + q0] + a0(sp1 + q1) = 0

Si en esta expresion se toma en cuenta el valor de s puede obtenerse a1.3) Las ecuaciones para l = 2, 3 · · · permiten obtener los coeficientes am en termi-

nos de a0 y a1.En lo que sigue nos proponemos usar el metodo de Frobenius con el fin de hallar

las soluciones a algunas ecuaciones diferenciales importantes.

8.3. Funciones de Bessel

La ecuacion de Bessel surge, de la separacion de variables, de las ecuacionesde Laplace y Helmholtz en coordenadas cilındricas. Especıficamente, como se de-mostro en el capıtulo 3, la ecuacion de Laplace en coordenadas cilındricas da lugara las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias

d2G(ϕ)

dϕ2= −ν2G(ϕ) ,

d2Z(z)

dz2= k2Z(z)

1

ρ

d

dρ

(ρdR(ρ)

dρ

)+

(k2 − ν2

ρ2

)R(ρ) = 0 (8.2)

La ultima de ellas es la ecuacion de Bessel. Como un primer paso en su solucionconviene definir la nueva variable adimensional x = kρ, que conduce a la siguienteecuacion donde, para generalizar, ν no es necesariamente entero:

x2y(x) + xy(x) + (x2 − ν2)y(x) = 0 (8.3)

8.3. FUNCIONES DE BESSEL 271

De la propuesta de Frobenius, (8.1):

y(x) =∞∑

λ=0

aλxλ+s , se sigue

y(x) =

∞∑

λ=0

aλ(λ+ s)xλ+s−1 , y

y(x) =∞∑

λ=0

aλ(λ+ s)(λ + s− 1)xλ+s−2


∞∑

λ=0

aλ[(λ + s)2 − ν2]xλ+s +

∞∑

λ=0

aλxλ+s+2 = 0

Si tenemos en cuenta que para una funcion fλ(x) dependiente del ındice λ essiempre cierto que

∞∑

λ=0

fλ(x) =

∞∑

λ=−2

fλ+2(x),

podemos escribir:

∞∑

λ=−2

aλ+2[(λ+ s+ 2)2 − ν2]xλ+s+2 +

∞∑

λ=0

aλxλ+s+2 = 0

La sumatoria de la izquierda contiene dos terminos: λ = −2 y λ = −1 que noestan en la sumatoria de la derecha, pudiendose escribir entonces:

a0[s2−ν2]x−2+s+a1[(s+1)2−ν2]x−1+s+

∞∑

λ=0

aλ+2[(λ+s+2)2−ν2]+aλ

xλ+s = 0

En consecuencia, como las potencias son independientes:

a0[s2 − ν2] = 0

a1[(s+ 1)2 − ν2] = 0

aλ+2[(λ+ s+ 2)2 − ν2] + aλ = 0 , λ = 0, 1, 2 · · ·

Puesto que, segun Frobenius a0 6= 0, se sigue de la primera ecuacion indicial que

s = ±ν , con ν ≥ 0 (8.4)


y reemplazando en la segunda ecuacion indicial:

a1[1± 2ν] = 0 ,

de donde se sigue a1 = 0 pues 1 ± 2ν es diferente de cero para valores arbitrariosde ν. Se anula solo en el caso muy particular en que ν = 1/2, con el signo inferior.

Reemplazando s = +ν en la tercera ecuacion indicial:

aλ+2 = − aλ(λ+ ν + 2)2 − ν2

= − aλ(λ+ 2)(λ+ 2ν + 2)

como a1 = 0, resultara que todos los coeficientes con ındice impar se anulan. Paralos coeficiente pares, que se obtienen haciendo λ = 0, 2, 4 · · · tendremos:

a2 =−a0

2(2ν + 2)=

−a0

2× 2(ν + 1)

a4 =−a2

4(2ν + 4)=

(−)2a0

2× 24(ν + 2)(ν + 1)

a6 =−a4

6(2ν + 6)=

(−)3a0

2× 3× 26(ν + 3)(ν + 2)(ν + 1)

=(−)3a0Γ(ν + 1)

3! 26(ν + 3)(ν + 2)(ν + 1)Γ(ν + 1)=

(−)3a0Γ(ν + 1)

3! 26Γ(ν + 3 + 1)

De este modo es directo probar que

a2p =(−)pa0Γ(ν + 1)

22pp! Γ(ν + p+ 1)(8.5)

Hemos introducido aquı la funcion Gamma, definida como

Γ(ν) =

∫ ∞

0

xν−1e−x dx, ν > 0

y cuya propiedad mas importante es: Γ(ν+1) = νΓ(ν). En el caso particular en queν es un entero n: Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n!. Ademas: Γ(1/2) =

√π. Vease un estudio

mas detallado en el Anexo 8.1.

Ası, reemplazando en la serie de Frobenius:


y(x) =

∞∑

λ=0

aλxλ+ν =

∞∑

p=0

a2pxν+2p

= a0Γ(ν + 1)

∞∑

p=0

(−)pxν+2p

22pp! Γ(ν + p+ 1)

= a0Γ(ν + 1)2ν∞∑

p=0

(−)p

p! Γ(ν + p+ 1)

(x2

)ν+2p

= a0Γ(ν + 1)2νJν(x).

En lo anterior hemos definido la funcion de Bessel de orden ν real positivo yargumento x, que es solucion de la ecuacion (8.3):

Jν(x) =

∞∑

p=0

(−)p

p! Γ(ν + p+ 1)

(x2

)ν+2p

(8.6)

De la expansion (8.5) se sigue que la serie es convergente. Es facil concluir enefecto que:

a2p+2

a2p=

−1

4(p+ 1)(ν + p+ 1)→ 0 , si p→∞.

Ahora bien, volvamos a la ecuacion (8.4). La segunda posibilidad es s = −ν.Reemplazando en (8.5) ν por −ν se sigue:

a2p =(−)pa0Γ(−ν + 1)

22pp! Γ(−ν + p+ 1)

al reemplazar en la serie de Frobenius podemos definir la funcion de Bessel de orden−ν en la forma:

J−ν(x) =

∞∑

p=0

(−)p

p! Γ(−ν + p+ 1)

(x2

)−ν+2p

(8.7)

serie que es convergente para todos los valores de x, si −ν + 2p ≥ 0.De la forma de los exponentes en las ecuaciones (8.6) y (8.7) es facil ver que,

si ν no es entero, las series Jν(x) y J−ν(x) son diferentes y conforman las dossoluciones linealmente independientes de la ecuacion de Bessel. La solucion general,para ν 6= entero, sera entonces:

yν(x) = AJν(x) +BJ−ν(x)


Veamos ahora que ocurre si ν es un entero n. Utilizando Γ(l + 1) = l! con l entero,la ecuacion (8.7) se escribe:

J−n(x) =∞∑

p=0

(−)p

p!(−n+ p)!

(x2

)−n+2p

;

pero (−n+ p)! se hace ∞ para p = 0, 1 · · · , n− 1, de modo que para esos valores dep los terminos correspondientes de la serie se anulan, pues (−entero)! −→ ∞. Laparte de la serie que no se anula empieza con p = n y se expresa como:

J−n(x) =

∞∑

p=n

(−)p

p! (−n+ p)!

(x2

)−n+2p

;

y como∑∞p=n f(p) =

∑∞p=0 f(p+ n), para cualquier funcion f(p), tendremos:

J−n(x) =

∞∑

p=0

(−)p+n

(p+ n)!p!

(x2

)n+2p

= (−)nJn(x).

En consecuencia Jn(x) y J−n(x) difieren al maximo en un signo. Se vuelve necesarioentonces buscar la segunda solucion para ν 6= entero.

La funcion de Neumann

Con el proposito de obtener esta segunda solucion escribamos la ecuacion deBessel en la forma:

Jν +1

xJν +

(1− ν2

x2

)Jν = 0, Jν =

dJνdx

,

derivando respecto a ν obtenemos:

∂Jν∂ν

+1

x

∂Jν∂ν

+

(1− ν2

x2

)∂Jν∂ν− 2ν

x2Jν = 0, (8.8)

y tambien, cambiando ν por −ν:

∂J−ν∂ν

+1

x

∂J−ν∂ν

+

(1− ν2

x2

)∂J−ν∂ν

− 2ν

x2J−ν = 0 (8.9)

De (8.8)−(−)ν(8.9):

d2

dx2

(∂Jν∂ν− (−1)ν

∂J−ν∂ν

)+

1

x

d

dx

(∂Jν∂ν− (−)ν

∂J−ν∂ν

)+

(1− ν2

x2

)(∂Jν∂ν− (−)ν

∂J−ν∂ν

)− 2ν

x2(Jν − (−)νJ−ν) = 0.


Si ν = n, y como J−n = (−)nJn, el ultimo termino se anula; precisamente paraello hicimos este tipo de resta entre (8.8) y (8.9). Ası pues, la funcion de NeumannNn(x), definida por:

Nn(x) =1

π

[∂Jν∂ν− (−)ν

∂J−ν∂ν

]

ν=n

(8.10)

satisface la ecuacion de Bessel:

d2Nndx2

+1

x

dNndx

+

(1− ν2

x2

)Nn = 0,

La funcion Nn(x), definida por (8.10), es la segunda solucion a la ecuacion de Besselpara ν = entero.

La definicion (8.10) es valida exclusivamente para ν = n = entero. Nos pro-ponemos ahora extender esta definicion para escribir Nν(x) con ν > 0.

Observemos ante todo que (8.10) puede escribirse en la forma:

Nn(x) =

(d/dν)[cos νπJν(x)− J−ν(x)]

(d/dν) sen νπ

ν=n

donde sen nπ = 0, cos nπ = (−1)n. El anterior cociente es la forma que toma lafuncion

Nn(x) =cos νπJν(x)− J−ν(x)

sen νπ(8.11)

al serle aplicado el teorema de L’Hopital y ser evaluada en ν = n. Observese que ellımite con ν → n deNν(x) es 0/0. La ecuacion (8.11) es la definicion de la funcion deNeumann para ν real. Si ν 6= entero, Jν(x) y J−ν(x) son linealmente independientes,de modo que Nν(x) es solucion linealmente dependiente, y si ν = entero entoncesNn(x) dada por (8.10) es la segunda solucion. Una forma en series de (8.10) es:

Nn(x) =2

π

[ln(x

2

)+ γ − 1

2

n∑

p=1

1

p

]Jn(x)

− 1

π

∞∑

r=0

(−)r1

r!(n + r)!

(x2

)n+2r r∑

p=1

(1

p+

1

p+ n

)

− 1

π

n−1∑

r=0

(n− r − 1)!

r!

(x2

)−n+2r

γ es la constante de Euler, definida por:

γ = lımn→∞

(n∑

m=1

1

m− lnn

)= 0,57721566


La solucion general de la ecuacion de Bessel es entonces:

yν(x) = AJν(x) +BNν(x), ν real

Problema: Demuestre que la ecuacion diferencial

xy − y + xy = 0

tiene como solucion:

y = AxJ1(x) + BxN1(x)

8.3.1. Propiedades de las funciones de Bessel

1) Raıces.Llamanse raıces de las funciones de Bessel los valores de x, designados por χνn

para los cuales Jν(χνn) = 0. Como se ve en los graficos para Jν(x) cada funcionde Bessel de orden ν presenta un numero infinito de ceros, que numeramos conn = 1, 2, 3 · · · . Por tanto los ceros deberan clasificarse con dos ındices: El primerosenala el orden de la funcion y el segundo el n − simo cero. El valor χ = 0 loconsideramos como una raız trivial.

Para n > −1 la ecuacion Jν(x) = 0 no tiene raıces complejas, ni puramenteimaginarias. Ademas, si ν es un numero real, la ecuacion Jν(x) = 0 no tiene raıcescomunes ni con Jν+1(x) = 0 ni con Jν−1(x) = 0 (excepto cero).

Tambien las funciones de Neumann presentan ceros.En la siguiente tabla presentamos los valores de χ correspondientes a los cinco

primeros ceros de las primeras cinco funciones de Bessel de orden entero:J0 J1 J2 J3 J4

2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.58835.5201 7.0156 8.4172 9.7610 11.06478.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.3725

11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.616014.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269

2) Recurrencias.Son expresiones que relacionan entre sı funciones y derivadas de funciones de

Bessel de diferente orden .Por ejemplo, por aplicacion directa de la ecuacion (8.6) se sigue:

• Jν−1(x)− = 2dJν(x)

dx

• Jν−1(x) + Jν+1(x) =2ν

xJν(x)

• Jν−1 =

(ν

x+

d

dx

)Jν

• Jν+1 =

(ν

x− d

dx

)Jν


1 2 3 4 5 6 7 80

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

−0,2

J0(x)

J1(x)

J2(x)

Figura 8.1: Funciones de Bessel J0(x), J1(x) y J2(x).

Estas cuatro ecuaciones son validas tambien paraNν(x). Las dos ultimas ecuacionesse deducen de las dos primeras, y aseguran que las funciones de Bessel Jν±1(x)pueden obtenerse de Jν , mediante la aplicacion de los operadores escalera:

G− =

(ν

x+

d

dx

), G+ =

(ν

x− d

dx

),

tal queJν−1 = G−Jν , Jν+1 = G+Jν .

3) Forma asintotica para x 1:Para x 1 es cierto que

• Jν(x) −→√

2

πxcos(x− (ν + 1/2)

π

2

)

• Nν(x) −→√

2

πxsen

(x− (ν + 1/2)

π

2

)

La separacion entre dos ceros consecutivos de la funcion de Bessel de orden ν parax 1 se obtiene de: Jν(χνn) = 0 = cos

(χνn − (ν + 1/2)π2

), de donde: χνn − (ν +

1/2)π2 = (2n+ 1)π2 , con n entero, de modo que: χν,n+1 − χν,n = π.Las formas asintoticas muestran la similaridad entre las funciones de Bessel y las

trigonometricas. En el caso trigonometrico es conveniente introducir las combina-ciones lineales cosx±i senx que dan lugar a los exponenciales complejos e±ix, utilesen la descripcion de ondas planas. En analogıa definimos las funciones de Hankelcomo:

H(1)ν = Jν(x) + iNν(x),

H(2)ν = Jν(x)− iNν(x),


cuyas formas asintoticas son:

H(1)ν (x)

x1−−−→√

2

πxei(x−

νπ2−π

4)

H(2)ν (x)

x1−−−→√

2

πxe−i(x−

νπ2−π

4)

Las dos ultimas expresiones corresponden a la amplitud de una onda cilındrica agran distancia de la fuente. Es claro ası que una onda plana e±ikx tiene su analogo

cilındrico en H(1)ν (kρ) y H

(2)ν (kρ), que a grandes distancias producen una onda de

amplitud proporcional a eikρ/√kρ.

Para las funciones de Hankel es cierto que:

• Hν−1 +Hν+1 =2ν

xHν

• Hν−1 −Hν+1 = 2dHν/dx

• H(1)ν = eiνπH

(1)−ν

• H(2)ν = e−iνπH

(2)−ν

Problema: Obtenga los operadores escalera para las funciones de Hankel.

4) Forma asintotica para x −→ 0:

Jν(x) −→1

Γ(ν + 1)

(x2

)ν

Nν(x) −→− 1πΓ(ν)

(2x

)νsi ν 6= 0

2π lnx si ν = 0

5) Forma asintotica para ν −→∞:

Jν(x) −→1√2πν

(ex2ν

)ν

Nν(x) −→ −√

2

πν

(ex2ν

)−ν

6) Identidades: Para ν = n (entero):

• J−n(x) = (−)nJn(x)

• N−n(x) = (−)nNn(x)

• Jn(x) = (−)nJn(−x)

• d

dx

[xnJn(x)

]= xnJn−1(x)

• d

dx

[x−nJn(x)

]= −x−nJn+1(x)


Problemas: Partiendo de la ecuacion (8.6) demostrar que:

• d

dxJ0(x) = −J1(x)

• d

dx(xJ1(x)) = xJ0(x)

• d

dx[xnJn(x)] = xnJn−1(x)

• d

dx[x−nJn(x)] = −x−nJn+1(x)

• Jn = xn„− 1

x

d

dx

«nJ0

• Jn+r = xn+r

„− 1

x

d

dx

«n „Jrxr

«

Problemas: Demostrar que

J1/2(x) =p

2/πx sen x y J−1/2(x) =p

2/πx cos x

Recuerdese que:

sen x =∞X

p=0

(−)px2p+1

(2p+ 1)!, cos x =

∞X

p=0

(−)px2p

(2p)!, Γ(1/2) =

√π

.

Demostrar que

• J3/2(x) =

r2

πx

h sen x

x− cos x

i

• J−3/2(x) = −r

2

πx

h cos x

x+ sen x

i

Problema: Expandiendo el exponencial y utilizando la definicion de Jn(x)demuestre que:

ex(t−1/t)/2 =∞X

−∞tnJn(x).

El exponencial es conocido como funcion generatriz de las funciones deBessel de orden entero. Utilizando esta expresion (y por derivacion en xy t para los dos primeros) demuestre que:

• dJn

dx=

1

2(Jn−1 − Jn+1)

• nJn

x=

1

2(Jn−1 + Jn+1)


• Jn(x+ y) =∞X

m=−∞Jm(x)Jn−m(x)

• Si t = eiθ :

cos(x sen θ) = J0(x) + 2∞X

n=1,3,...

Jn(x) cosnθ, y

sen (x sen θ) = 2∞X

n=2,4,...

Jn(x) sennθ.


7) Integrales:

•∫Jn+1(αx)

xndx = −Jn(x)

αxn,

•∫xnJn−1(αx)dx =

xnJn(αx)

α

•∫ ∞

0

J1(x)dx = 1,

•∫ ∞

0

Jn(bx)dx = 1/b, n = 0, 1, 2 · · · b > 0

•∫J0(x)dx = 2

∞∑

n=0

J2n+1(x)

•∫ ∞

0

Jn(bx)

xdx = 1/n, n = 0, 1, 2 · · ·

•∫J0J1dx = −J2

0/2

•∫xJ0J1dx = −xJ2

0/2 +1

2

∫J2

0dx

•∫x2J0J1dx =

1

2x2J2

1

•∫xJ2

0 dx =1

2x2(J2

0 + J21 )

•∫xJ2

1 dx =1

2x2(J2

0 + J21 )− xJ0J1

•∫JnJn+1dx =

1

2+

∞∑

k=1

J2k

•∫ ∞

0

xnJndx =(2n− 1)!

2n−1(n− 1)!

∫ ∞

0

J0dx

•∫xJ2

n(αx)dx =x2

2

[J2n(αx) − Jn−1(αx)Jn+1(αx)

]

•∫x2J0(x)dx = x2J1(x) + xJ0(x)−

∫J0(x)dx


•∫x3J0dx = x(x2 − 4)J1(x) + 2x2J0(x)

•∫x ln xJ0(x)dx = J0(x) + xJ1(x) ln x

•∫ 1

0

xJ0(αx)dx = J1(α)/α

•∫ ∞

0

xJ0(x)√x2 + a2

dx = e−a, a > 0

•∫ ∞

0

J1(x)√x2 + a2

dx =1− e−a

a, a > 0

•∫ ∞

0

e−kzJ0(kρ)dk =1√

ρ2 + z2, z > 0

Si α es raız de J0, entonces:

•∫ 1

0

J1(αx)dx = 1/α

•∫ α

0

J1(x)dx = 1

8) Integrales discontinuas de Weber:

∫∞0Jν(ax) sen bx dx =

aν cos(νπ/2)/

√b2 − a2b+

√b2 − a2ν a < b, ν > −2

sen ν sen −1(b/a)√a2 − b2 a > b, ν > −2

∫∞0 Jν(ax) cos bx dx =

−aν sen (νπ/2)/

√b2 − a2b+

√b2 − a2ν a < b, ν > −1

cosν sen −1(b/a)/√a2 − b2 a > b, ν > −1

∫∞0 Jν(ax)

sen bxx dx =

aν sen (νπ/2)/νb+

√b2 − a2ν a < b, ν > −1

sen ν sen−1(b/a)/ν a > b, ν > −1

∫∞0Jν(ax)

cos bxx dx =

aν cos(νπ/2)/νb+

√b2 − a2ν a < b, ν > 0

cosν sen −1(b/a)/ν a > b, ν > 0

∫∞0 Jν(ax)Jν (bx) =

(a/b)ν/2ν a < b, ν > 0(b/a)ν/2ν a > b, ν > 0


9) Sumatorias: Si α es raız de J0:

• 1 = 2∑

α

J0(αx)

αJ1(α)

• x2 = 2∑

α

(α2 − 4)J0(αx)

α3J1(α)

• J0(kx) = 2J0(k)∑

α

αJ0(αx)

(α2 − k2)J1(α)

• 1− x2 = 8∑

α

J0(αx)

α3J1(α)

Si α es raız de J1: • x2 =1

2+ 4

∑

α

J0(αx)

α2J0(α)

y: • (1− x2)2 =1

3− 64

∑

α

J0(αx)

α4J0α)

Si α es raız de Jn: • xn = 2∑

α

Jn(αx)

αJn+1(α)

10) Wronskianos: De acuerdo al capıtulo 3, para ecuaciones diferenciales deltipo: y + P (x)y +Q(x)y = 0, es cierto que el Wronskiano se calcula de:

W (x) = W (a)e−R

xaP dx

Especıficamente, para la ecuacion de Bessel

y +1

xy + (k2 − n2/x2)y = 0

se sigue que:

W (x) =aW (a)

x

Una escogencia apropiada de a permite la evaluacion directa de W (a); si se escogea = 0 se obtiene [aW (a)]a−→0 = −2ν/Γ(ν + 1)Γ(−ν + 1), y teniendo en cuenta queΓ(ν + 1)Γ(−ν + 1) = νπ/ sen νπ se concluye que:

W (Jν(x), J−ν(x)) = −2 sen νπ

πx.

De un modo analogo se sigue que:


• W (Jν(x), Nν(x)) =2

πx

• W(Jν(x), H

(1)ν (x)

)=

2i

πx

• W(Nν(x), H

(1)ν (x)

)= − 2

πx

• W(H(1)ν (x), H(2)

ν (x))

= − 4i

πx

8.3.2. Ortogonalidad y Normalizacion

La ortogonalidad de una autofuncion depende del dominio de la variable inde-pendiente y/o de condiciones de frontera sobre las autofunciones. Lo que sigue esun ejemplo de escogencia, tanto del dominio como de las condiciones de borde.

De la ecuacion (8.2) se sigue:

d2Jν(kρ)

dρ2+

1

ρ

dJν(kρ)

dρ+

(k2 − ν2

ρ2

)Jν(kρ) = 0

De acuerdo a la seccion 6.2.2:

q(ρ) = p(ρ) = ρ , r(ρ) = −ν2

ρ, λ = k2

y de acuerdo a la seccion 6.2.2 podemos escribir

[ρW (Jν(k′ρ), Jν(kρ))]

ρ=bρ=a = (k′2 − k2)

∫ b

a

ρJν(k′ρ)Jν(kρ) dρ (8.8)

El corchete [qW ]ba toma la forma

[ρW (Jν(k′ρ), Jν(kρ))]

ρ=bρ=a

Si este corchete se anula para k 6= k′ entonces la base Jν(kρ) es ortogonal de pesoρ en el intervalo (a, b). Este anulamiento puede ocurrir para dos intervalos (a, b):(0, b) y (0,∞), con b finito, dando lugar a bases discretas o continuas. Veamos:

A) Base discreta de Bessel

Con a = 0 se anula el corchete en su lımite inferior, si ν > −1, lo que puedeprobarse utilizando la forma de Jν(kρ) para ρ → 0. El lımite superior se anula siescogemos Jν(kb) = Jν(k

′b) = 0. Esto es, si kb = χνl, k′b = χνl′ . En consecuencia


la base de Bessel de orden ν, Jν(χνl ρ/b), es ortogonal de peso ρ respecto al ındicel = 0, 1, 2 . . ., en el intervalo (0, b), con b finito:

∫ b

0

ρJν(χνl′ ρ/b)Jν(χνl ρ/b) dρ = 0 si l 6= l′, ν > −1

Esta condicion de ortogonalidad es analoga a la obtenida para las funciones trigonometri-cas en un intervalo finito (d, d + 2l); en ambos casos, Fourier y Bessel, el conjuntode funciones es enumerable.

Ademas la base Jν(χνl ρ/b) es completa para ν > −1 y l = 1, 2, 3, . . ..Establezcamos ahora la normalizacion:De (8.8), con a = 0:

∫ b

0

ρJ(kρ)J(kρ′) dρ =b

k′2 − k2

[Jν(kρ)− Jν(k′ρ)

]ρ=b

Puesto que queremos normalizar hemos de evaluar esta expresion para k = k ′.Ocurre sin embargo que, debido al denominador, el termino de la derecha es diver-gente, por lo cual proponemos el siguiente procedimiento:

Tomar k = χνl/b y hacer tender k′ a k, esto es:

∫ b

o

ρ[Jν(kρ)

]2dρ = lım

k′−→k

b

k′2 − k2

[Jν(kρ)− Jν(k′ρ)

]ρ=b

; (8.9)

como: Jν(kρ)|ρ=b = Jν(kb) = Jν(χνl) = 0, tendremos:

∫ b

0

ρ[Jν(kρ)]2 dρ = lım

k′=k

b

k′2 − k2Jν(k

′b)

(dJν(kρ)

dρ

)

ρ=b

Utilizando la regla de L’Hopital:

∫ b

0

ρ[Jν(kρ)

]2dρ =

b

2k

dJν(kb)

dk

(dJν(kρ)

dρ

)

ρ=b

Ahora bien, de la relacion de recurrencia

dJν(kρ)

d(kρ)= −Jν+1(kρ) +

ν

(kρ)Jν(kρ) se sigue

dJν(kρ)

dρ= −kJν+1(kρ) +

ν

ρJν(kρ), y

dJν(kρ)

dk= −ρJν+1(kρ) +

ν

kJν(kρ)


Por substitucion, y teniendo en cuenta que

Jν(kb) = Jν(χνl) = 0 , se sigue:

∫ b

0

ρ[Jν(χνl ρ/b)

]2dρ =

b2

2

[Jν+1(xνl)

]2

El ultimo termino no es cero porque las raıces de Jν no son las de Jν+1.Ası, la relacion de ortogonalidad para las funciones de Bessel en un intervalo

finito (0, b), expresadas en terminos de sus raıces, y con ν > −1 es:

∫ b

0

ρJν(χνl ρ/b)Jν(χνl′ ρ/b) dρ = b2[Jν+1(χνl)

]2δll′/2 (8.10)

En consecuencia, como la base es completa, cualquier funcion seccionalmentecontinua en el intervalo ρ : (0, b) puede expandirse en esta base:

f(ρ) =∞∑

l=1

AνlJν(χνl ρ/b) (8.11)

Conocida f(ρ), los coeficientes Aνl pueden evaluarse facilmente. Notese que la ex-pansion utiliza todas las raıces de una sola funcion de Bessel de orden arbitrario.

Problema: Partiendo de la ecuacion (8.11) demuestre que los coeficientes dela expansion estan dados por:

Aνl =2

b2ˆJν+1(χνl)

˜2Z b

0ρf(ρ)Jν (χνl ρ/b) dρ (8.12)

y por substitucion de estos coeficientes en (8.11) demuestre que la condi-cion de completez de la base Jν(χνl ρ/b), l = 1, 2, . . . es, con ν > −1:

δ(ρ − ρ′)/ρ = 2∞X

l=1

Jν (χνl ρ/b) Jν`χνl ρ

′/b´/b2[Jν+1(χνl)]

2

(8.13)

Observese que la base ortonormal de peso ρ no es Jν(χνl ρ/b) sino

√

2Jν(χνl ρ/b)/bJν+1(χνl).

Ejercicio: Desarrollar la funcion f(ρ) = 1 en serie de Bessel para J0 en el intervalo(0, 1).

Tendremos entonces:

f(ρ) =

∞∑

l=1

A0lJ0(χ0l ρ)


Los coeficientes son:

A0l =2

[J1(χ0l)]2

∫ 1

0

ρJ0(χ0l ρ)dρ

cambiando de variable de integracion: y = χ0l ρ tendremos:

A0l =2

[J1(χ0l)]2χ20l

∫ χ0l

0

yJ0(y)dy

Pero, de la expresiond

dy(ynJn) = ynJn−1

se sigued

dy(yJ1) = yJ0, tal que

A0l =2

[J1(χ0l)]2χ20l

∫ χ0l

0

d

dy(yJ1)dy =

2

χ0lJ1(χ0l)

Por tanto:

f(ρ) = 1 = 2

∞∑

l=1

J0(χ0l ρ)

χ0lJ1(χ0l)

Problema: Expandir f(ρ) = ρ en el intervalo (0, 1) en la base J1(χ1n ρ).Esta base es mas apropiada que J0(χ0n ρ)(¿Por que?). Observese depaso que la base mas apropiada para expandir f(ρ) = ρν en serie deBessel es Jν(χνl).

B) Base continua de Bessel

Hemos obtenido una base ortogonal en el intervalo (0, b). Volviendo a la ecuacion(8.8) observemos que otra base puede obtenerse si escogemos a = 0 y b → ∞. Enefecto, de la forma asintotica de la funcion de Bessel se sigue ρJν(kρ)→ 0 si ρ→∞.En consecuencia, en el intervalo (0,∞) tendremos:

∫ ∞

0

ρJν(kρ)Jν(k′ρ) dρ = 0 si k 6= k′ y ν > −1

Resulta ahora que Jν(kρ) es ortogonal con valores de k en el continuo. Lasituacion aquı es analoga a la que hemos encontrado con bases de Fourier continuas.Las condiciones de ortogonalidad y completez se escriben:

∫ ∞

0

ρJν(kρ)Jν(k′ρ)dρ =

1

kδ(k − k′)

∫ ∞

0

kJν(kρ)Jν(kρ′)dk =

1

ρδ(ρ− ρ′)


Ası, una funcion de cuadrado integrable puede expandirse en la base de Besselcontinua Jν(kρ) con ν > −1:

f(ρ) =

∫ ∞

0

C(k)Jν(kρ)dk , ρ : 0→∞

Facilmente puede evaluarse C(k), que corresponde a la transformada de Hankelde f(ρ):

C(k) = k

∫ ∞

0

ρf(ρ)Jν(kρ)dρ

Con el fin de simetrizar las dos ultimas ecuaciones conviene escribir C(k) = kf(k),de modo que

f(ρ) =

∫ ∞

0

kf(k)Jν(kρ)dk, y (8.14)

f(k) =

∫ ∞

0

ρf(ρ)Jν(kρ)dρ. (8.15)

Este par de ecuaciones se conoce como Transformadas de Hankel.

Algunos ejemplos de parejas de transformadas f(ρ) y f(k) son los siguientes:

f(ρ) f(k)

1/ρ, ν = 0, 1 . . . 11/ρ2, ν = 1, 2 . . . 1/n

1/√a2 + ρ2, ν = 0 e−a

1/ρ√a2 + ρ2, ν = 1 (1− e−a)/a

e−bρ/ρ, ν = 0 1/√k2 + b2

e−aρ2ρν , ν > −1, a > 0 kνe−k2/4a/(2a)ν+1

Nota:

La base continua de Bessel Jν(kx) puede obtenerse directamente de la basediscreta Jν(χνlρ/b) mediante un proceso analogo al utilizado en la seccion 5.3.

Para l → ∞ es cierto que χνl → ∞. El parametro k definido por k = χνl/b semantiene diferente de cero cuando b → ∞. La diferencia entre ceros sucesivos deJx para valores grandes de l es π, como se vio en el apartado 3 de la seccion 8.3.1:χν,l+1 − χν,l = π, que puede escribirse: ∆χ = π = π∆l = b∆k, con ∆l = 1. Ası, la


expresion para la expansion de f(ρ), cuando b→∞ toma las formas sucesivas:

f(ρ) =

∞∑

l=1

cνlJν(χνlρ/b) =

∞∑

l=1

cνlJν(χνlρ/b)∆l

=a

π

∞∑

k

ckJν(kρ)∆k →b

π

∫ ∞

0

ckJν(kρ) dk

Redefiniendo ck = k g(k)π/b tendremos:

f(ρ) =

∫ ∞

0

k g(k)Jν(kρ) dk,

en acuerdo con la ec (8.14).De un modo analogo, la ecuacion (8.12) puede transformarse al caso continuo

teniendo en cuenta1) Jν+1(χνl) = −dJν(χνl)/dχνl2) dJν(χνl)/dχνl →

√2

πχνlcos(χνl − (ν + l/2)π/2) = ±

√2

πχνl

El ultimo resultado se justifica ası: para x→∞ :

Jν(x) =

√2

πxsen (x− (ν + l/2)π/2)

dJν(x)

dx→√

2

πxcos(x− (ν + l/2)π/2)

y para x = χνl : Jν(χνl) = 0, de modo que sen (χνl − (ν + l/2)π/2) = 0; los cerosde seno corresponden a valores de coseno de ±1.

En consecuencia:

[Jν+1(χνl)]2

=

[d

dχνlJν(χνl)

]2=

2

πχνl→ 2

πkb

Entonces (8.12) puede escribirse:

Aνl → c(k)→ πk

b

∫ ∞

0

ρf(ρ)Jν(kρ) dρ

Si hacemos c(k) = πkf(k)/b obtendremos:

f(k) =

∫ ∞

0

ρf(ρ)Jν(kρ) dρ

en acuerdo con (8.15). Las condiciones de ortogonalidad y completez pueden a suvez ser construıdas por substituciones entre (8.14) y (8.15).


C) Otras bases discretas de Bessel

Una base enumerable adicional puede ser obtenida de la ecuacion (8.8) si a = 0y si en ρ = b se escoge (d/dρ)ρ=b = 0.

En efecto, (d/dρ)ρ=b = 0, corresponde a las raıces de la derivada de la funcionde Bessel a las que nombramos con βνn:

kb = βνn;

ası, la condicion de ortogonalidad se expresa ahora respecto a los valores de βνn:

∫ b

0

ρJν (βνnρ/b)Jν (βνn′ρ/b) dρ = 0 si n 6= n′, ν > −1

Problema: Demuestre, partiendo de la ecuacion (8.9), con J(kρ)|ρ=b = 0,que la normalizacion para la base anterior tiene la forma:

R b0 ρJν (βνnρ/b) Jν (βνn′ρ/b) dρ = b2Jν(βνn)Jν+1(βνn)δnn′/2βνn

y que la condicion de completez se escribe:

δ(ρ − ρ′) = ρP∞n=1 2βνnJν (βνnρ/b) Jν (βνnρ′/b) /Jν(βνn)Jν+1(βνn)/b2

Finalmente, otra base ortogonal puede obtenerse si a = 0 y si en ρ = b escogemos:[dJν(kρ)

dρ+BJν(kρ)

]

ρ=b

= 0, B = constante (8.16)

Por reemplazo en (8.8), en efecto, se sigue que el corchete se anula. En este caso labase sera Jν(γνl ρ/b), donde γνl son las raıces de la ecuacion (8.16).

Ejercicio: Las pequenas oscilaciones de una cadena uniforme y flexible suspendidade un extremo, y que se mueve libremente en un plano vertical estan descritaspor la ecuacion:

∂

∂x

(x∂ψ

∂x

)− 1

g

∂2ψ

∂t2= 0,

donde g es la aceleracion de gravedad. Por separacion de variables ψ =A(x)B(t) se obtiene:

xA+ A+ α2A = 0, y B = −α2gB.

Si en la primera ecuacion hacemos x = τ 2/4 podremos escribir:

d2A

dτ2+

1

τ

dA

dτ+ α2A = 0,


cuya solucion es A = aJ0(ατ); se desecha la solucion N0(ατ) debido a quediverge en τ −→ 0.

Como ψ = 0 en x = l (tomamos el origen coordenado en el extremo inferiorde la cadena) se sigue:

ψn = J0(χ0n

√x/l)(aei

√g/4lχ0nt + be−i

√g/4lχ0nt)

Problema: Si la cadena del ejercicio anterior se hace girar alrededor del ejevertical con velocidad angular ω constante, obedecera la ecuacion

d

dx

„xdr

dx

«+ω2r

g= 0

r es la distancia horizontal entre un punto de la cuerda y el eje.Desechando la funcion de Neumann, para evitar infinitos, la soluciones: r(x) = AJ0(2ω

px/g). Como r = 0 en x = l ha de ser cierto que

2ωpl/g = χ0n, con lo cual

ω0n =χ0n

2

rg

ly r(x) = AJ0

„rx

lχ0n

«.

Notese que este es un espectro discreto de frecuencias. Es cierto queA = 0 es tambien una solucion; en este caso la cadena gira como unavarilla rıgida alrededor del eje x.

8.3.3. Solucion a la ecuacion de Laplace

De acuerdo a las ecuaciones (8.2), la solucion a la ecuacion de Laplace en coor-denadas cilındricas tiene la forma:

φ(ρ, ϕ, z) = (AJν(kρ) +BNν(kρ))(Ceiνϕ +De−iνϕ)(E sinh kz + F cosh kz)

Las constantes de integracion A,B,C,D,E, F y los parametros de separacion devariables ν, k se evaluan teniendo en cuenta:

A) El dominio de ϕ. Si ϕ abarca el angulo completo 2π ha de cumplirse unacondicion de continuidad, que asegure la igualdad de valores de φ en ϕ y ϕ + 2π,es decir, debe ser cierto que φ(ϕ) = φ(ϕ + 2π); para que esto ocurra ν debe ser unentero n arbitrario, y la solucion general debe involucrar una suma sobre n. Si ν noabarca el angulo completo entonces ν no es necesariamente entero, a menos que lascondiciones de frontera lo exijan.

B) El comportamiento de Nν . Es cierto que la funcion de Newmann diverge siρ −→ 0, por lo cual B debera hacerse cero en los casos en los que en el eje nohaya alambres o puntos cuyo potencial sea divergente en ρ −→ 0. Estas consid-eraciones sobre infinitos no son necesarias en el caso cartesiano, pues las funcionestrigonometricas no divergen en ningun punto.

C) Las condiciones de frontera de Dirichlet, Neumann o mixtas.


Ejercicio: Consideremos la ecuacion de Laplace valida en el interior de un cilindrode radio R y altura L, sujeto a las condiciones de frontera:

· RL φ = 0

φ = 0

φ = V (ρ, ϕ)

Figura 8.2: Cilındro finito

• φ = 0 en z = 0

• φ = V (ρ, ϕ) en z = L

• φ = 0 en ρ = R

En el interior del cilindro no hay infinitos (que en el caso electrostatico podrıanser debidos a un alambre colocado en el eje), tal que B = 0.

Ademas, el angulo completo 2π es permitido, por lo cual la solucion generaldebera contener una suma sobre n. Para que no haya redundancia iniciamosla suma en n = 0.

Tendremos entonces:

φ(ρ, ϕ, z) =

∞∑

n=0

Jn(kρ)(Cneinϕ +Dne

−inϕ)(En sinh kz + Fn cosh kz)

Aplicando la condicion φ = 0 en z = 0 se sigue que Fn = 0. Por tanto:

φ(ρ, ϕ, z) =

∞∑

n=0

Jn(kρ)(C ′neinϕ +D′

ne−inϕ) sinh kz

De: φ = 0 en ρ = R se sigue Jn(kR) = 0. Esto significa que kR es raız de Jn.En consecuencia

kR = χnl , l = 1, 2, 3 . . .


La solucion contendra ahora adicionalmente una suma sobre l, pues para cadal hay una solucion. Observese que los coeficientes C y D dependen entoncesde dos ındices:

φ(ρϕz) =∞∑

n=0

∞∑

l=1

Jn

(χnl ρR

)(Cnle

inϕ +Dnle−inϕ) sinh

(χnlzR

)

La condicion en z = L conduce a:

V (ρ, ϕ) =

∞∑

n=0

∞∑

l=1

Jn

(χnl ρR

)(Cnle

inϕ +Dnle−inϕ) sinh

(χnlL

R

)

Multiplicando esta expresion por ρe−in′ϕJn′(χn′l′ ρ/R), integrando en ϕ y ρ

en los dominios (0, 2π) y (0, R) se obtiene el coeficiente Cnl. Notese que nes positivo. Multiplicando por ρein

′ϕJn′(χn′l′ ρ/R) e integrando en ϕ y ρ seobtiene Dnl.

Nota: La solucion que hemos propuesto ha contemplado solo los casos ν 6= 0 yk 6= 0. Deberıan incluirse, ademas, en la solucion general las siguientes posi-bilidades:

a) ν = 0, k 6= 0

b) ν 6= 0, k = 0

c) ν = 0, k = 0

Problema: Escriba la solucion mas general a la ecuacion de Laplace con-siderando las diversas posibilidades.

Problema: Resuelva el problema del cilindro incluyendo las anteriores solu-ciones. Demuestre que la solucion final es la misma.

Problema: Escribiendo la solucion a la ecuacion de Laplace en la forma equi-valente

φ(ρ, ϕ, z) = (AJν(kρ) +BNν(kρ))(Ceiνϕ +De−iνϕ)

×(Eekz + Fe−kz),

obtenga la solucion en el interior de un cilindro semi-infinito de radioR, sujeto a las siguientes condiciones de frontera:

• φ = 0 en ρ = R• φ→ 0 en z → ∞• φ = V (ρ, ϕ)enz = 0

Ha de tenerse en cuenta la ausencia de infinitos en el interior y la con-tinuidad angular de la funcion φ.


Ejercicio: Considere un disco circular de radio R sometido en el borde a unatemperatura cero. En t = 0 la temperatura es T (ρ, 0) = f(ρ). La situacion esde simetrıa angular tal que la temperatura es funcion solo de ρ y t.

La ecuacion de conduccion del calor, en las variables ρ y t es:

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂T

∂ρ

)= α

∂T

∂t

Separando variables en la forma: T (ρ, t) = A(ρ)B(t), tendremos:

1

Aρ

d

dρ

(ρdA

dρ

)=α

B

dB

dt

Escogemos: (α/B)(dB/dt) = −k2, lo que da un perfil de temperatura quedecrece con el tiempo, en acuerdo con la experiencia:

B(t) α e−k2t/α , tal que:

ρ2A+ ρA+ k2ρ2A = 0, que es la ecuacion de Bessel de orden cero, ası:

A(ρ) = CJ0(kρ) +DN0(kρ)

Como el problema debe ser finito sobre la placa, se sigue B = 0. Entonces:

T (ρ, t) = CJ0(kρ)e−k2t/α

La condicion de frontera T (R, t) = 0 conduce a: kR = χ0l, de donde

T (ρ, t) =∞∑

l=1

J0

(χ0l ρ

R

)e−χ

20lt/R

2α

La segunda condicion: T (ρ, 0) = f(ρ), conduce a:

f(ρ) =

∞∑

l=1

ClJ0

(χ0lρ

R

)

Multiplicando por ρJ0(χ0l′ ρ/R)dρ, integrando entre 0 y R y haciendo uso dela ecuacion (8.10) obtenemos

Cl =2

R2

∫ R

0

ρf(ρ)J0

(χ0l ρ

R

)dρ

Problema: Una placa semicircular de radio R esta sometida en su circunfer-encia a una temperatura T0 y en su porcion recta a una temperaturaT1. Calcular T (ρ, ϕ) en este regimen estacionario.


Ejercicio: Oscilaciones en una membrana circular. Consideremos una mem-brana inicialmente en reposo y desplazada respecto a su posicion de equilibrio.En todo momento la membrana tiene su borde fijo a un aro circular de radioR.

En coordenadas polares, la ecuacion de movimiento de la membrana es:

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂ψ

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2ψ

∂ϕ2− 1

v2

∂2ψ

∂t2= 0

Realizando la separacion de variables ψ(ρ, ϕ, t) = A(ρ)B(ϕ)C(t), exigiendoque la solucion en ϕ sea armonica (para satisfacer la condicion de continudadcon ν=n=entero), que la solucion en t sea armonica (para lograr oscilaciones)y que no aparezcan infinitos, se obtiene:

ψ(ρ, ϕ, t) =

∞∑

n=0

Jn(kρ)(Dneinϕ + Ene

−inϕ)(Fn cos kvt+Gn sen kvt)

Con ψ(R,ϕ, t) = 0 (membrana fija en sus bordes) : kR = χnl;

con∂ψ

∂t

∣∣∣∣t=0

= 0 (velocidad inicial cero) : G = 0 ;

entonces:

ψ(ρ, ϕ, t) =∞∑

n=0

∞∑

l=1

Jn

(χnl ρR

)(Dnle

inϕ +Enle−inϕ) cos

(χnlRvt)

El argumento χnlvt/R de la funcion coseno permite obtener las frecuenciasnaturales de la membrana: wnl=χnlv/R; cada termino en la doble serie es unmodo natural de oscilacion ψnl, tal que

ψ(ρ, ϕ, t) =

∞∑

n=0

∞∑

l=1

ψnl(ρ, ϕ, t).

Cada frecuencia tiene dos modos asociados (e+inϕ, e−inϕ o sennϕ, cosnϕ),tal que existe degeneracion doble; la excepcion es el caso n = 0 que poseesimetrıa azimutal y es no degenerado. Algunos de los modos (n,l), donde losdos tonos representan desplazamientos opuestos de la membrana, son:

Finalmente, si la forma inicial de la membrana es: ψ(ρ, ϕ, 0)|t=0 = f(ρ, ϕ),tendremos:

f(ρ, ϕ) =

∞∑

n=0

∞∑

l=1

Jn

(χnl ρR

)(Dnle

inϕ +Enle−inϕ)


(0, 1) (1, 1) (0, 2) (2, 1)

Figura 8.4: Modos de oscilacion de una membrana circular.

Multiplicando por ρe−in′ϕJn′(χn′l′ ρ/R) e integrando en ρ y ϕ obtenemosDnl.

Analogamente (con el exponencial positivo) se obtiene Enl.

Problema: Evaluar Enl y Dnl en el caso en que f(ρ, ϕ) sea solo fϕ. Analizarlos primeros modos de oscilacion.

Problema: Una membrana ocupa un cuarto de cırculo y tiene un radio R.Evaluar ψ(ρ, ϕ, t) si esta sometida a las siguientes condiciones:

• ψ|ρ=R = ψ|ϕ=0 = ψ|ϕ=π/2 = 0

• ψ|t=0 = f(ρ, ϕ)

• ∂ψ

∂t

˛˛t=0

= 0

Ejercicio: Cavidad resonante acustica. Consideremos la amplitud P (r, t) deun campo de sonido , dentro de una cavidad cilındrica de radio R y altura L.La condicion de frontera asume que en la superficie interna de la cavidad laspartıculas de aire se mueven solo en direccion tangencial, es decir, que en lasuperficie no hay movimiento del gas normal a las paredes; ası, de ρ0dv/dt =−∇P se concluye: ρ0n · dv/dt|S = n · ∇P |S = 0. n es normal a la pared. Estaecuacion conduce entonces a: ∂P/∂ρ|ρ=R = 0, ∂P/∂z|z=0,L = 0.

Partiendo de la ecuacion de ondas para la presion P (ρ, ϕ, z, t) puede de-mostrarse que la solucion general es de la forma:

P =∑

n=0

Jn(αρ)(Aneinϕ +Bne

−inϕ)(Cnei√k2−α2z +Dne

−i√k2−α2z)

× (Eneikct + Fne

−ikct),

donde n es entero y hemos desechado la funcion de Neumann porque produceinfinitos en el eje del cilindro. Por aplicacion de las condiciones de frontera,


con w ≡ kc y siendo βnl los ceros de la funcion dJn/dx se sigue que

wnlm = c√β2nl/R

2 +m2π2/L2,

son las frecuencias naturales de la cavidad y c es la velocidad del sonido; losmodos normales de oscilacion son:

Pnlm(ρ, ϕ, z, t) = Jn(βnl ρ/R)(Anlmeinϕ +Bnlme

−inϕ)

× (Enlmeiwnlmt + Fnlme

−iwnlmt) cos(mπz/L)

y la solucion general es:

P (ρ, ϕ, z, t) =∑

nlm

Pnlm(ρ, ϕ, z, t)

donde n = 0 −→∞, l = 1 −→∞, m = 0 −→∞.

Ejercicio: Expansion de ondas planas en ondas cilındricas. Una onda pla-na que viaja a lo largo del eje x tiene la forma eikx. Si introducimos coorde-nadas polares sera cierto que x = ρ cosϕ de modo que la onda plana se escribeeikρ cosϕ. Ahora bien, esta onda plana puede expresarse como una combinacionde ondas cilındricas, teniendo en cuenta que la solucion a la ecuacion de ondasen coordenadas cilındricas tiene la forma einϕJn(kρ). Ası pues, la expresion:

eikρ cosϕ =

∞∑

n=−∞cne

inϕJn(kρ),

describe una onda plana como superposicion de ondas cilındricas. Multipli-cando por ein

′ϕ e integrando en ϕ se sigue que cn = in.

Problema: Guıa de ondas cilındrica. Consideremos la propagacion deondas sonoras a lo largo del eje z de un cilindro muy largo de radioR. Escribamos la solucion en la forma:

P =X

n

Jn(αρ)(Aneinϕ + Bne

−inϕ)ei[√k2−α2z−kct].

Demuestre que las condiciones de frontera conducen a que las longitudesde onda propagadas a lo largo de la guıa estan dadas por:

λ =2πq

ω2/c2 − β2nl/R

2


Problema: Considere una partıcula atomica confinada en un cilindro de al-tura L y radio R y que es descrita por la ecuacion de Schrodinger

− ~2

2m∇2ψ = Eψ.

Asumiendo que ψ se anula en las paredes demuestre que los niveles deenergıa tienen la forma:

Emnl =~2

2m(χ2mn/R

2 + l2π2/L2),

l = 1, 2, . . . y χmn son los ceros de Jm(x). Evalue ψlmn.

Problema: Utilice la transformacion

y(x) = xnf(µ) , µ = xm

para convertir la ecuacion

d2y(x)

dx2+ a2xky(x) = 0

en la ecuacion de Bessel

µ2 d2f(µ)

dµ2+ µ

df(µ)

dµ+

"− 1

(k + 2)2+

„2a

k + 2

«2

µ2

#f(µ) = 0

cuya solucion es:

f(µ) = AJ 1k+2

„2aµ

k + 2

«+BJ− 1

k+2

„2aµ

k + 2

«,

de donde

y(x) = A√xJ 1

k+2

2ax

k+2

2

k + 2

!+ B

√xJ− 1

k+2

2ax

k+2

2

k + 2

!

En particular, si k = 1, a = i , se obtiene la solucion a la ecuacion deAiry: y − xy = 0, en terminos de la ecuacion de Bessel modificada.

8.3.4. La familia de la ecuacion de Bessel

El ultimo ejercicio de la seccion 8.3.3 sugiere que existen ecuaciones diferencia-les que pueden ser transformadas en la de Bessel. Con el fin de estudiar a fondoel problema realizaremos transformaciones de la ecuacion de Bessel hacia lo quellamaremos la familia de Bessel.

Sea, para empezar:

Jν(x) = xaψν(µ) , con µ = xb

Es cierto que:dJν(x)

dx= bxa+b−1 dψν(µ)

dµ+ axa−1ψν(µ)

y

d2Jν(x)

dx2= b2xa+2b−2 d

2ψν(µ)

dµ2+ b(2a+ b− 1)xa+b−2 dψν(µ)

dµ+ a(a− 1)xa−2ψν(µ)


Reemplazando en la ecuacion de Bessel (8.3) obtenemos:

b2d2ψν(µ)

dµ2+b(2a+ b)

µ

dψν(µ)

dµ+

[µ2(1−b)/b +

a2 − ν2

µ2

]ψν(µ) = 0

Esta ecuacion conforma la familia de la ecuacion de Bessel respecto a la transfor-macion Jν(x) = xaψν(µ). Ası pues, la solucion a la anterior ecuacion es:

ψν(µ) = x−aJν(x),

es decirψν(µ) = µ−a/bJν(µ

1/b).

La solucion general es, entonces:

ψν(µ) = µ−a/b[AJν(µ1/b) +BNν(µ

1/b)]

si ν es entero, oψν(µ) = µ−a/b[AJν(µ

1/b) +BJ−ν(µ1/b)]

si ν 6= entero.• Con a = 0, b = 1 obtenemos µ = x, ψν(x) = Jν(x) y se recupera la ecuacion

de Bessel.• Con a = 1/2, b = 1 obtenemos x = µ, ψν(x) = Jν(x)/

√x y la ecuacion de

Bessel esferica:

ψν +2

xψν +

(1 +

1/4− ν2

x2

)ψν = 0 ,

La nomenclatura estandar de las funciones de Bessel esfericas no esta basada en laecuacion que hemos presentado aquı sino en la que aparece en el ultimo problemadel capıtulo 7, y que escribimos en la forma:

ψ +2

xψ +

[1− l(l + 1)

x2

]ψ = 0

• Si a = −ν, b = 2ν tendremos:

4ν2 d2ψν(µ)

dµ2+ µ2ν−1ψν(µ) = 0 ,

donde:ψν(µ) =

√µJν(µ

1/2ν)

En el caso mas particular en que ν = 1 obtenemos la ecuacion de Airy:

d2ψ(v)

dv2− ψ(v)v = 0 ,


con: µ = (−4)1/3v.Ası pues, la solucion a la ecuacion de Airy es:

ψ(v) =√v[AJ1/3

((−4v)3/2

)+BN1/3

((−4v)3/2

)]

• Con b = 1, a = −1/2:

ψν +

(1 +

1/4− ν2

µ2

)ψν = 0

La solucion es:ψν(µ) = µ1/2[AJν(µ

−1/2) +BNν(µ−1/2)]

• Con b = −2a:

4a2ψν +

[µ−(1+2a)/a +

a2 − ν2

µ2

]ψν = 0

yψν(µ) = µ1/2[AJν(µ

−1/2a) +BNν(µ−1/2a)]

• Con b = −2a, 2(1− b)/b = 1, ν = a:

4

9ψν + µψν = 0,

donde:ψν(µ) = µ1/2[AJ−1/3(µ

−3/2) +BN−1/3(µ−3/2)]

• Con a = ±ν, b = 1:

ψν +(±2ν + 1)

µψν + ψν = 0 , ψν(µ) = µ∓ν [AJν(µ) +BNν(µ)]

Problemas: Obtener las soluciones a las siguientes ecuaciones diferenciales:

y + 4x2y = 0

Respuesta: y =√x[AJ−1/4(x2) + BJ1/4(x2)]

y + x4y = ax5

Respuesta: y = ax+A√xJ−1/6(x3/2)

xy − y + 4x3y = 0

y + a2x2y = 0

y + c2xy = 0

Problema: Es posible generar otras familias asociadas a otras transforma-ciones, por ejemplo:

Jν(x) = eaxψν(µ) , µ = xb , o

Jν(x) = xceaxψν(µ) , µ = xb

Obtenga las familias de Bessel asociadas a estas dos transformaciones.


Problema: Demuestre que la ecuacion de Riccati, lineal e inhomogenea:

dy

dx+ by2 = cxn

puede transformarse, mediante la substitucion

by =1

u

du

dx

en la ecuaciond2u

dx2− bcxmu = 0

que puede ser expresada en funciones de Bessel.

Ecuaciones de la familia de Bessel

A continuacion presentamos una lista de ecuaciones de la familia de Bessel y susolucion:

y + (λ2 − ν2−1/4x2 )y = 0

y =√x [AJν(λx) +BNν(λx)]

y + (λ2

4x − ν2−14x2 )y = 0

y =√x[AJν(λ

√x) +BNν(λ

√x)]

y + λ2xp−2y = 0

y =√x

[AJ1/p

(2λxp/2

p

)+BN1/p

(2λxp/2

p

)]

y − ( 2ν−1x )y + λ2y = 0

y = xν [AJν(λx) +BNν(λx)]

x2y + (1− 2p)xy + (λ2q2x2q + p2 − ν2q2)y = 0

y = xp [AJν(λxq) +BNν(λx

q)]

y + (λ2e2x − ν2)y = 0

y = AJν(λex) +BNν(λe

x)

x2(x2 − ν2)y + x(x2 − 3ν2)y + (x2 − ν2)2 − (x2 + ν2)y = 0

y = AdJν(x)

dx+B

dNν(x)

dx

d2ny/dx2n + (−)nλ2nx−ny = 0

y = xn/2[AJn(2λα

√x) +BNn(2λα

√x)]

El primer termino indica derivacion de orden 2n y α es cualquiera de las raıcesde la unidad.


8.3.5. Ecuaciones de Bessel inhomogeneas

Algunas de las mas frecuentes e importantes son:1) Ecuacion de Struve:

x2y + xy + (x2 − ν2)y =1√π

4

Γ(ν + 1/2)

(x2

)ν+1

cuya solucion se escribe:

y = aJν(x) + bNν(x) + Hν(x) + Lν(x),

con:

Hν(x) =

∞∑

k=0

(−)k

Γ(k + 3/2)Γ(k + ν + 3/2)

(x2

)2k+ν+1

Lν(x) = −ie−νπ/2Hν(xeiπ/2)

2) Ecuacion de Lommel:

x2y + xy + (x2 − ν2)y = xµ+1

3) Ecuacion de Anger:

x2y + xy + (x2 − ν2)y =x− νπ

sen νπ

4) Ecuacion de Weber:

x2y + xy + (x2 − ν2)y = − 1

π[x+ ν + (x− ν) cos νπ]

8.3.6. Funciones de Bessel esfericas

Estas funciones surgen mediante separacion de variables de la ecuacion de Helmholtzen coordenadas esfericas. En efecto, el penultimo problema de la seccion 3.3.4 dalugar, en su parte radial, a la siguiente ecuacion diferencial:

r2d2R(r)

dr2+ 2r

dR(r)

dr+(k2r2 − l(l + 1)

)R(r) = 0 (8.17)

Esta ecuacion puede transformarse en la ecuacion de Bessel ordinaria (a la quetambien puede llamarse ecuacion de Bessel cilındrica) mediante la transformacion,R(r) = u(r)/

√r, que conduce a:

r2d2u(r)

dr2+ r

du(r)

dr+(k2r2 − (l + 1/2)2

)u = 0


2 4 6 8 10 12 140

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

−0,1

−0,2

−0,3

j0(x)

j1(x)

j2(x)

Figura 8.5: Funciones de Bessel esfericas jn(x).

Puesto que la solucion a esta ecuacion es

u(r) = AJl+1/2(kr) +BNl+1/2(kr),

se sigue que R(r) en (8.17) es de la forma

R(r) = AJl+1/2(kr)√

r+B

Nl+1/2(kr)√r

.

Definimos las funciones de Bessel, Neumann y Hankel esfericas en la forma:

jl(x) =√π/2xJl+1/2(x), ηl(x) =

√π/2xNl+1/2(x)

h(1)l (x) = jl(x) + iηl(x), h

(2)l (x) = jl(x)− iηl(x)

Por tanto la solucion a la ecuacion de Bessel esferica puede expresarse en cualquierade las dos formas equivalentes:

R(r) = Ajl(kr) + Bηl(kr)

= A′h(1)l (kr) +B′h

(2)l (kr), (8.18)

y por tanto, de acuerdo a la seccion 7.3 la solucion general a la ecuacion de Helmholtzen coordenadas esfericas tiene la forma:

ψ(r) =∞∑

l=0

l∑

m=−l(Almjl(kr) +Blmηl(kr)) Ylm(θ, φ)


2 4 6 8 10 12 140

0,1

0,2

0,3

0,4

−0,1

−0,2

−0,3

−0,4

η0(x)

η1(x)

η2(x)

ηn(x)

Figura 8.6: Funciones de Bessel esfericas ηn(x).

Es cierto que:

jl(x) = (−x)l(

1

x

d

dx

)l ( senx

x

)∴ j0(x) = senx/x

ηl(x) = −(−x)l(

1

x

d

dx

)l (cosx

x

)∴ η(x) = − cosx/x

h(1)l (x) = (−x)l

(1

x

d

dx

)l(eix

ix

), h

(2)l (x) = h

(1) ∗l (x)

W (jl(x), ηl(x)) =1

x2

W(h1l (x), h

2l (x)

)= − 2i

x2

Para pequenos argumentos (x 1):

jl(x) −→2ll!

(2l+ 1)!xl, ηl(x) −→

−(2l)!

2ll!

1

xl+1


En particular: jl(x) = 2ll!/(2l+ 1)!, ηll(x) = 0 −→ −∞ y para x 1:

jl(x) −→1

xsen [x− lπ/2], ηl(x) −→

1

xcos[x− lπ/2]

h(1)l (x) −→ (−i)n+1 e

ix

x

ademas: • fl−1 + fl+1 =2l + 1

xfl

• lfl−1 − (l + 1)fl+1 = (2l+ 1)dfldx

• d

dx(xl+1fl) = xl+1fl−1

• d

dx(x−lfl) = −x−lfl+1,

donde fl representa a jl, ηl, h(1)l , h

(2)l .

La base jl(kr) continua satisface condiciones de ortogonalidad y completezdadas por: ∫ ∞

0

r2jl(kr)jl(k′r)dr =

π

2k2δ(k − k′)

∫ ∞

0

k2jl(kr)jl(kr′)dr =

π

2r2δ(r − r′).

Las transformadas de Bessel tienen la forma:

f(r) =

∫ ∞

0

k2g(k)jl(kr)dk

g(k) =

∫ ∞

0

r2f(r)jl(kr)dr

Es ademas cierto que si αln son las raıces de jl(x) entonces, para la base discretaj(αlnr/a) la ortogonalidad y completez toman la forma:

∫ a

0

jl(αlnr/a)jl(αlmr/a)dr =a3

2[jl+1(αln)]2δnm, y

δ(r − r′)/r2 = 2

∞∑

n=1

jl(αlnr/a)jl(αlnr′/a)/a3[jl+1(αln)]2

Las funciones jl(kr) y ηl(kr) dan la dependencia radial de las ondas esfericasmonocromaticas. Son importantes en el estudio de la emision o dispersion (scat-tering) de ondas en sistemas de extension finita, tales como atomos o nucleos opartıculas elementales.


8.3.7. Ecuacion de Bessel modificada

Si en la separacion de variables de la ecuacion de Laplace escogemos para laparte en z la constante de separacion −k2 obtendremos, en vez de (8.2), la ecuacion

d

dρ

(ρdR(ρ)

dρ

)+

(−k2ρ− ν2

ρ

)R(ρ) = 0 (8.19)

que no es la ecuacion de Bessel. Sin embargo el cambio de variable ρ → iρ laconvierte en una ecuacion de Bessel de argumento imaginario:

d

dρ

(ρdR(iρ)

dρ

)+

(k2ρ− ν2

ρ

)R(iρ) = 0

Esto implica que las soluciones son funciones de Bessel de la forma Jν(ikρ),Nν(ikρ).

De la definicion (8.6) se sigue:

Jν(ix) = iν∞∑

p=0

1

p!Γ(ν + p+ 1)

(x2

)ν+2p

= iνIν(x)

De modo que i−νJν(ix) es real. Definimos en consecuencia las funciones de Besselmodificadas Iν(x) y Kν(x) en la forma:

Iν(x) = i−νJν(ix) =∞∑

p=0

1

p!Γ(ν + p+ 1)

(x2

)ν+2p

Kν(x) =π

2iν+1[Jν(ix) + iNν(ix)] =

π

2iν+1H(1)

ν (ix)

tal que:

R(ρ) = AIν(kρ) +BI−ν(kρ) , ν 6= entero

R(ρ) = AIν(kρ) +BKν(kρ) , ν real (8.20)

Ası pues, con ν 6= 0 y k 6= 0 la solucion a la ecuacion de Laplace tiene la forma

φ(ρ, ϕ, z) = (AIν(kρ) +BKν(kρ)) (Ceiνϕ +De−iνϕ)(Eeikz + Fe−ikz) (8.21)

Las funciones Kν divergen en x→ 0, mientras Iν divergen en x→∞, lo que esobvio de las siguientes expresiones:

Iν(x)x−→0 −→ 1Γ(ν+1) (

x2 )ν ,

Kν(x)x−→0 −→

12Γ(ν)(x2 )−ν , ν 6= 0− ln(x2 − γ), ν = 0

Iν(x)x−→∞ −→ 1√2πx

ex

Kν(x)x−→∞ −→√

π2xe

−x.


0 1 2 30

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4K0

K1

I0 I1

Figura 8.7: Funciones de Bessel modificadas.

Es cierto ademas que

• Iν−1 − Iν+1 =2ν

xIν

• Iν−1 + Iν+1 = 2dIνdx

• Kν−1 − IKν+1 = −2ν

xKν

• Kν−1 +Kν+1 = −2dKν

dx• In(x) = I−n(x), Kn(x) = Kn(−x)

• W (Iν(x), kν (x)) = − 1

x

Ejemplo: Sea un cilindro de longitud L y radio R en cuyo interior se satisface laecuacion de Laplace para el potencial electrostatico. Sus paredes estan someti-das a las siguientes condiciones:

• φ = 0 en z = 0 y z = L

• φ = V (ϕ, z) en ρ = R


De la solucion general, y como no hay infinitos en el interior se sigue B = 0;ademas, por continuidad angular de la funcion φ se sigue ν = entero = n.Entonces la solucion sera la combinacion lineal de las soluciones para cada n:

φ(ρ, ϕ, z) =

∞∑

n=0

In(kρ)(Cneinϕ +Dne

−inϕ)(En sen kz + Fn cos kz);

con φ = 0 en z = 0 se obtiene Fn = 0, y de φ = 0 en z = L se sigue kL = mπ,tal que

φ(ρ, ϕ, z) =

∞∑

n=0

∞∑

m=1

In

(mπρL

)(C ′

neinϕ +D′

ne−inϕ) sen

(mπzL

)

La nueva suma en m proviene de que cada m involucra una solucion, de modoque hay que introducir una nueva combinacion lineal; y con φ = V (ϕ, z) enρ = R:

V (ϕ, z) =

∞∑

n=0

∞∑

m=1

In

(mπR

L

)(C ′

neinϕ +D′

ne−inϕ) sen

(mπzL

)

multiplicando por ein′ϕ sen (m

′πzL ) e integrando en ϕ y z en los intervalos

(0, 2π) y (0,L) respectivamente se obtiene el valor de D′n. Analogo procedi-

miento con e−in′ϕ sen (m

′πzL ) conduce al calculo de C ′

n.

Ejercicio: Encuentre la solucion a la ecuacion de Laplace, ∇2φ = 0, en el interiorde un cilindro de dimensiones R y L sometido a las siguientes condiciones defrontera: φ |z=0= V1, φ |z=L= V2, φ |ρ=R= V3.

Una forma simple de solucion consiste en escribir

φ = φ1 + φ2 + φ3

con

a) φ1 = V1 en z = 0, y φ1 = 0 en z = L, ρ = R

b) φ2 = V2 en z = L, y φ2 = 0 en z = 0, ρ = R

c) φ3 = V3 en ρ = R, y φ3 = 0 en z = 0, L. Ası:

φ1 =

∞∑

nl

Jn(χnl ρ/R)(Cneinϕ +Dne

−inϕ) sinh ((L− z)χnl/R)

φ2 =

∞∑

nl

Jn(χnl, ρ/R)(C ′neinϕ +D′

ne−inϕ) sinh (χnlz/R)

φ3 =

∞∑

nm

In(mπρ/R)(C ′′ne

inϕ +D′′ne

−inϕ) sen (mπz/R)


Imponiendo sucesivamente las condiciones de frontera a), b), c) y multiplicandoφ1 y φ2 por ρein

′ϕJn(χn′l′ ρ/R) e integrando en ϕ, z (repetir con e−in′ϕ) y

multiplicando φ3 por ein′ϕ sen (m′πz/L) (repetir con e−in

′ϕ) se obtienen todaslas constantes de integracion.

Problema: Demuestre que, utilizando la solucion a la ecuacion de Laplace queinvolucra Jν(kρ) y Nν(kρ), el problema anterior conduce a la soluciontrivial φ = 0.

Problema: ¿Es hermıtica la ecuacion de Bessel modificada?. ¿Son ortogonaleslas funciones de Besssel modificadas? ¿En que intervalo (a, b)?

Funciones de Bessel esfericas modificadas

Se definen como:

in(x) =

√π

2xIn+1/2(x), kn(x) =

√2

πxKn+1/2(x)

Notese que los factores numericos que las definen no son identicos. Algunas propiedadesbasicas son:

i0(x) = sinhx/x, k0(x) = e−x/x

in(x) = (−)nin(x), kn(x) no tiene paridad definida.

in(x) = i−njn(ix)

kn(x) = i−nh(1)n (ix)

W (in, kn) = −1/x2

in+1 = xn ddx(x−nin)

kn+1 = −xn ddx(x−nkn)

in(x) = xn(dxdx

)n sinhxx

kn(x) = (−)nxn(dxdx

)n e−x

x

in−1 − in+1 =(

2n+1x

)in

nin−1 + (n+ 1)in+1 = (2n+ 1)din/dx

kn−1 − kn+1 = −(

2n+1x

)kn

nkn−1 + (n+ 1)kn+1 = −(2n+ 1)dkn/dx

Problema: ¿ Cual es la ecuacion diferencial que obedecen in(x) y kn(x)?


Funciones de Kelvin

La ecuacion de Kelvin

x2y + xy − (ik2x2 + n2)y = 0

es reducible a una ecuacion de Bessel modificada:

x2y + xy − (λ2x2 + n2)y = 0

si λ2 = ik2, de modo que su solucion es:

y(x) = AIn(i1/2kx) +BKn(i1/2kx)

(i1/2 tiene dos valores: eiπ/4 y ei5π/4, de los cuales tomamos solo el primero) y como:In(x) = i−nJn(ix) :

y(x) = Ai−nJn(i3/2kx) +BKn(i

1/2kx)

Las nuevas funciones no son reales para x real, pero podemos definir las siguien-tes funciones reales:

bern(x) = ReJn(i3/2x)

bein(x) = ImJn(i3/2x), tal que

Jn(i3/2x) = bern(x) + i bein(x), y

kern(x) = Re i−nKn(i1/2x)

kein(x) = Im i−nKn(i1/2x), con

i−nKn(i1/2x) = kern(x) + i kein(x)

Ası, la solucion general de la ecuacion de Kelvin es:

y(x) = A [bern(kx) + i bein(kx)] +B [kern(kx) + i kein(kx)] .

8.4. FUNCIONES DE LEGENDRE 311

8.4. Funciones de Legendre

Como hemos visto en la seccion 3.3.4, la ecuacion de Laplace en coordenadasesfericas da lugar, por la separacion de variables φ = U(r)G(ϕ)P (x)/r, a las sigu-ientes ecuaciones:

d2G

dϕ2= −m2G , r2

d2U

dr2− CU = 0 ,

d

dx

[(1− x2)

dP

dx

]+ CP − m2P

1− x2= 0 (8.22)

donde m y C son los parametros de separacion de variables. Consideremos primeroel caso m = 0, que da lugar a la llamada ecuacion ordinaria de Legendre. (8.22) es,entonces:

(1− x2)d2y

dx2− 2x

dy

dx+ Cy = 0

Propongamos la serie de Frobenius:

y =

∞∑

λ=0

aλxλ+k , a0 6= 0, se sigue:

y =∞∑

λ=0

(λ+ k)aλxλ+k−1

y =

∞∑

λ=0

(λ+ k)(λ+ k − 1)aλxλ+k−2 .

Reemplazando y, y, y en la ecuacion diferencial se obtiene:

∞∑

λ=0

aλ(λ+ k)(λ+ k − 1)xλ+k−2

+

∞∑

λ=0

aλ[−(λ+ k)(λ+ k + 1) + C]xλ+k = 0 ,


o, bajando el lımite inferior de la primera suma y elevando el ındice λ dentro de lasumatoria, se sigue:

∞∑

λ=−2

aλ+2(λ+ k + 2)(λ+ k + 1)xλ+k

+

∞∑

λ=0

aλ[−(λ+ k)(λ+ k + 1) + C]xλ+k = 0 , o:

a0(k)(k − 1)x−2+k + a1(k + 1)(k)x−1+k

+

∞∑

λ=0

aλ[−(λ+ k)(λ + k + 1) + C] + aλ+2(λ + k + 2)(λ+ k + 1)xλ+k = 0

En consecuencia, como las potencias son independientes:

a0k(k − 1) = 0 ,

a1(k + 1)k = 0 y

aλ+2(λ+ k + 2)(λ+ k + 1) + aλ[−(λ+ k)(λ+ k + 1) + C] = 0 , λ = 0, 1, 2 . . .

Con a0 6= 0 se sigue, de la primera ecuacion indicial

k = 0 o k = 1

De la segunda ecuacion indicial:

a) Si k = 0 se sigue que a1 es arbitrario.

b) Si k = 1 se sigue: a1 = 0

y de la tercera ecuacion:

aλ+2 =[(λ+ k)(λ+ k + 1)− C]

(λ+ k + 1)(λ+ k + 2)aλ

Consideremos el caso k = 0:

a0 6= 0 , a1 6= 0 y

aλ+2 = aλ[λ(λ + 1)− C]/(λ+ 1)(λ+ 2) , λ = 0, 1, 2 . . .


Evaluando explıcitamente para λ = 0, 1, 2 . . . se obtiene la serie siguiente:

y = a0

[1 +

(0× 1− C)x2

2!+

(0× 1− C)(2× 3− C)x4

4!

+(0× 1− C)(2× 3− C)(4× 5− C)x6

6!

+ · · ·+ (0× 1− C)(2× 3− C) · · · (l(l+ 1)− C)xl+2

(l + 2)!+ · · ·

]

+ a1

[x+

(1× 2− C)x3

3!+

(1× 2− C)(3× 4− C)x5

5!

+(1× 2− C)(3× 4− C)(5× 6− C)x7

7!

+ · · ·+ (1× 2− C)(3× 4− C) · · · (l(l+ 1)− C)xl+2

(l + 2)!+ · · ·

]

En la primera serie l es par, en la segunda l es impar. Ambas son series infinitas.Teniendo en cuenta que si en una serie de la forma y =

∑anx

n, el lımite de|an−1/an| para n grande es r, se sigue que la serie es convergente si |x| < r, podemosconcluir que las dos series escritas arriba convergen si |x| < 1, pero divergen enx = ±1.

La unica forma de lograr convergencia en x = ±1 es cortar la serie de formatal que se convierta en un polinomio. Esto implica C = l(l + 1) donde l es enteropositivo. Si l es par la primera serie se convierte en un polinomio de orden l en x,mientras la segunda sigue siendo una serie ∞ divergente en x = ±1. Si l es imparla segunda serie se convierte en polinomio de orden l, mientras la primera es unaserie ∞ divergente en x = ±1. Ası, para l = 0, 1, 2 . . . existen soluciones que sonpolinomios de orden par e impar Pl(x). Las otras series son infinitas y divergentesen x = ±1 y se llamaran Ql(x).

Pl(x) son los polinomios (o funciones) de Legendre; Ql(x) son las funciones deLegendre de 2a clase. Ql(x) converge para −1 < x < 1, en tanto que Pl(x) convergepara −1 ≤ x ≤ 1. Escogiendo los coeficientes de modo que Pl(1) = 1, los polinomiosde Legendre correspondientes a valores de l pares e impares, pueden definirse como:

Pl(x) =

N∑

k=0

(−)k(2l − 2k)!

2lk!(l − k)!(l − 2k)!xl−2k (8.23)

donde N = l/2 cuando l es par y N = (l − 1)/2 cuando l es impar.


1−1

0,5

1,0

−0,5

Pn(x)

P4(x)P3(x)

P1(x)P2(x)

Figura 8.8: Polinomios de Legendre Pn(x)

Los primeros polinomios de Legendre son:

P0(x) = 1 , P1(x) = x , P2(x) = 12 (3x2 − 1)

P3(x) = 12 (5x3 − 3x) , P4(x) = 1

8 (35x4 − 30x2 + 3)

P5(x) = 18 (63x5 − 70x3 + 15x)

Sin demostracion (ver Arfken, seccion 12.10) damos los valores de las primerasfunciones de Legendre de 2a clase:

Q0(x) =1

2ln

(1 + x

1− x

), Q1(x) = xQ0 − 1

Q2(x) = P2(x)Q0(x)−3

2x

Q3(x) = P3(x)Q0(x)−5

2x2 +

2

3

Q4(x) = P4(x)Q0(x)−35

8x2 +

55

24x

Q5(x) = P5(x)Q0(x)−63

8x4 +

49

8x2 − 8

15

Utilizando (8.23) y teniendo en cuenta que:

dlx2l−2k

dxl=

(2l− 2k)!xl−2k

(l − 2k)!, y


0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

0,5

1,0

1,5

−0,5

−1,0

Q0

Q1

Q2

Q3

Figura 8.9: Polinomios de Legendre de segunda clase Qn(x)

(x2 − 1)l =

l∑

k=0

(−)kl!

(l − k)!x2l−2k

es directo demostrar la formula de Rodrigues:

Pl(x) =1

2ll!

dl

dxl(x2 − 1)l (8.24)

De la primera ecuacion indicial se obtiene una segunda posibilidad: k = 1. Esfacil demostrar que se obtiene la parte par de la ecuacion (8.23).


dmxa

dxm=

a!xa−m

(a −m)!, si a ≥ m y cero si a < m.


Algunas propiedades de los polinomios de Legendre son:

• Pl(−x) = (−)lPl(x)

• P2l+1(0) = 0

• P2l(0) =(−)l(2l− 1)!

22l−1[(l − 1)!]2

• Pl(±1) = (±)l

• (l + 1)ωl+1 − (2l + 1)xωl + lωl−1 = 0

• xωl − ωl−1 = lωl

• ωl+1 − xωl = (l + 1)ωl

• ωl+1 − ωl−1 = (2l + 1)ωl

• (1− x2)ωl = −lxωl + lωl−1

• (1− x2)ωl = (l + 1)xωl − (l + 1)ωl+1

donde ωl es Pl(x) o Ql(x). Las dos ultimas ecuaciones pueden escribirse en terminosde los operadores escalera G− y G+ en la forma:

ωl−1 =

[x+

1− x2

l

d

dx

]ωl = G−ωl

ωl+1 =

[x− 1− x2

l + 1

d

dx

]ωl = G+ωl

8.4.1. Ortogonalidad y normalizacion

Los polinomios de Legendre Pl(x) satisfacen la ecuacion (8.22) con m = 0:

d

dx

[(1− x2)

dPl(x)

dx

]+ l(l+ 1)Pl(x) = 0 (8.25)

Esta ecuacion es autoadjunta; de acuerdo a la ecuacion 6.3:

[(1− x2)W (Pl(x), Pl′ (x))]x=1x=−1 + [l(l + 1)− l′(l′ + 1)]

∫ 1

−1

Pl(x)Pl′ (x) dx = 0

El termino de la izquierda se anula en x = ±1, haciendo que el conjunto Pl(x)sea ortogonal en el intervalo (−1, 1).

El factor de normalizacion puede ser evaluado haciendo uso de la siguiente ex-presion, que define la funcion generatriz de los polinomios de Legendre:

1

(1 + t2 − 2xt)1/2=

∞∑

l=0

Pl(x)tl


Elevando al cuadrado e integrando en x:∫ 1

−1

dx

1 + t2 − 2xt=

∞∑

l=0

∞∑

l′=0

tl+l′

∫ 1

−1

Pl(x)Pl′ (x) dx

y como:∫ 1

−1Pl(x)Pl′ (x)dx = δll′

∫ 1

−1P 2l (x)dx:

∫ 1

−1

dx

1 + t2 − 2xt=

∞∑

l=0

t2l∫ 1

−1

P 2l (x)dx

=1

tln

(1 + t

1− t

)= 2

∞∑

l=0

t2l

(2l+ 1)

Por comparacion de las dos series se sigue:∫ 1

−1P 2l (x)dx = 2

(2l+1) , tal que la condicion de ortogonalidad toma la forma:

∫ 1

−1 Pl(x)Pl′ (x)dx = 2δll′/2l+ 1 (8.26)

Observese que la base ortonormal no es Pl(x) sino√

(2l + 1)/2Pl(x)

. El

factor de peso es 1.Los polinomios de Legendre forman un conjunto completo, tal que una funcion

f(x), bien comportada puede, en el intervalo (−1, 1), expandirse en una serie deLegendre:

f(x) =∞∑

l=0

alPl(x) , (8.27)

de donde:

al =2l+ 1

2

∫ 1

−1

f(x)Pl(x)dx

Problema: Considere una funcion f(x) definida en el intervalo (0, 1). Realizarla extension par a (−1, 1). Demuestre entonces que:

f(x) =∞X

l=0

a2lP2l(x) , con

a2l = (4l + 1)

Z 1

0f(x)P2l(x) dx

Demuestre que si se hace la extension impar se obtiene:

f(x) =∞X

l=0

a2l+1P2l+1(x)

a2l+1 = (2l + 3)

Z 1

0f(x)P2l+1(x) dx


Problema: Demuestre que la condicion de completez de la base Pl(x) tienela forma:

δ(x− x′) = 12

P∞l=0(2l + 1)Pl(x)Pl(x

′) l = 0, 1, 2 . . . (8.28)

Ejercicio: Expansion de una onda plana en ondas esfericas. Una onda planatiene en general la forma eik·r, donde k es el vector de propagacion, perpen-dicular a los planos de fase constante. Como queremos aquı considerar propa-gacion en direccion z tendremos eik·r = eikz = eikr cos θ, donde r y θ soncoordenadas esfericas. La onda que se propaga en direccion z tiene simetrıaazimutal (es decir es independiente de φ) por lo cual en coordenadas esfericaspuede expresarse como combinacion lineal de Pl(cos θ)jl(kr). Recuerdese queYl0 ∝ Pl. Ası pues, expandir en ondas esfericas una onda plana que se propagaen z implica escribir:

eikr cos θ =∞∑

l=0

clPl(cos θ)jl(kr).

ηl(kr) se excluye pues genera infinitos en el origen de coordenadas. Con el finde evaluar cl multipliquemos por Pl′(x) e integremos en x, recordando quex = cos θ. De la condicion de ortogonalidad de Pl se sigue:

jl(kr)cl =(2l + 1)

2

∫ ∞

0

eikrxPl(x) dx = (2l + 1)iljl(kr),

La integral es realizada en el siguiente problema. Se sigue entonces:

cl = (2l + 1)il.

Ası pues:

eikr cos θ =

∞∑

l=0

(2l + 1)ilPl(cos θ)jl(kr).

[La generalizacion para k arbitraria, con (θ′, ϕ′) asociados a la direccion k y(θ, ϕ) asociados a la direccion r, tiene la forma:

eik·r = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−liljl(kr)Y

∗lm(θ′, ϕ′)Ylm(θ, ϕ)

Los armonicos esfericos Ylm(θ, ϕ) se definen en la seccion 8.4.5.]


Problema: Utilizando la formula de Rodrigues para Pl, integrando por partesy utilizando

jl(x) = (−x)l„

1

x

d

dx

«l sen x

x,

demuestre que Z 1

−1eikrxPl(x)dx = 2iljl(kr)

Este resultado fue usado en el ejercicio anterior.

8.4.2. Solucion a la ecuacion de Laplace con m = 0

El conjunto de ecuaciones (8.22) tiene como solucion para m = 0:

U(r) = Arl+1 +Br−l , G(ϕ) = aϕ+ b

P (x) = EPl(x) + FQl(x) ,

pero como Ql(x) no es convergente en x = ±1 es necesario hacer F = 0 en aquellassituaciones que incluyen estos dos puntos extremos. Ademas si el angulo completoentre 0 y 2π esta involucrado entonces a = 0 para asegurar la continuidad de lasolucion, es decir, para que se cumpla que G(ϕ) = G(ϕ + 2π). En consecuencia,puesto que la funcion φ en ∇2φ(r, θ, ϕ) = 0 ha sido separada en la forma:

φ(r, θ, ϕ) =U(r)

rG(ϕ)P (x) ,

tendremos:

φ(r, θ, ϕ) =

∞∑

l=0

(Alr

l +Blrl+1

)Pl(cos θ) (8.29)

La ecuacion ordinaria de Legendre corresponde al caso m = 0 que permite describirsituaciones con simetrıa azimutal (independencia de ϕ). Si el angulo no abarca 2πentonces no solo hay que incluir aϕ+ b sino ademas m 6= 0, lo que exige considerarla ecuacion mas general (8.22).

Ejercicio: En el interior de un cascaron esferico de radio R el potencial electrostati-co satisface la ecuacion de Laplace. Si en la superficie el potencial es f(θ),evaluar φ(r, θ).

Puesto que en el interior no hay distribuciones singulares de carga que puedandar infinitos se sigue B = 0, y como φ(R, θ) = f(θ) tendremos:

f(θ) =∞∑

l=0

AlRlPl(cos θ)

La condicion de ortogonalidad (8.26) puede expresarse en la forma

∫ π

0

Pl(cos θ)Pl′ (cos θ) sen θdθ =2

2l+ 1δll′


como puede probarse facilmente haciendo x = cos θ. Utilizando esta condicionpuede evaluarse Al.

Problema: Considere una esfera pulsante de radio a en el interior de un fluidoy tal que la presion en la superficie r = a es de la forma: P = P0e−iωt. Si,vistas desde lejos, las ondas tienen la forma f(r, θ)ei(kr−ωt), demuestreque: P = P0(a/r)ei[k(r−a)−ωt].

Problema: En el interior de un hemisferio de radio R se satisface la ecuacionde Laplace. Evaluar φ(r, θ) si:

• φ = 0 en θ = π/2 , 0 ≤ r < R

• φ = f(θ) en r = R , 0 ≤ θ < π

Problema: Evaluar el potencial electrostatico en el exterior de una esferaconductora de radio R a potencial V constante. Exija no solo que φ = Ven r = a, sino tambien φ −→ 0 en r −→ ∞.

Respuesta: φ = V a/r

Problema: Evaluar el potencial electrostatico en el exterior de una esferaconductora de radio R colocada en un campo electrico originalmenteuniforme E = E0k. Utilice las siguientes condiciones de frontera:

a) φ = 0 en r = ab) φ −→ −E0z = −E0r cos θ en r −→ ∞Justifique la segunda condicion.

Respuesta: φ = −E0r cos θ[1 − (a/r)3 ]

Ejercicio: El potencial electrostatico en un punto sobre el eje de un anillo de radioa y carga q se calcula de la siguiente forma:

φ =1

4πε0

∫dq

r=

q

4πε0r=

q

4πε0(z2 + a2)1/2

=q

4πε0z

(1 + (a/z)2

)−1/2

para z > a podemos hacer expansion de binomio utilizando la expresion

(A+B)−n =

∞∑

k=0

(−)k(n+ k − 1)!

k!(n− 1)!A−n−kBk , B < A .

Obtenemos entonces:

φ =q

4πε0z

∞∑

k=0

(−)k(2k)!

22k(k!)2

(az

)2k

, z > a (8.30)

Ahora bien, en un punto cualquiera el potencial esta dado por la solucion a laecuacion de Laplace (observese la simetrıa azimutal):

φ(r, θ, ϕ) =

∞∑

l=0

(Alr

l +Blrl+1

)Pl(cos θ) (8.31)


Si en esta expresion general hacemos θ = 0 el potencial obtenido debe coin-cidir con el del anillo en su eje. Puesto que para θ = 0 se obtiene r = z, sesigue, con Pl(cos 0) = Pl(1) = 1:

φ(z, 0, ϕ) =

∞∑

l=0

(Alz

l +Blzl+1

);

comparando con (8.30) es cierto que: Al = 0 y:

q

4πε0z

∞∑

k=0

(−)k(2k)!

22k(k!)2

(az

)2k

=

∞∑

l=0

Blzl+1

=

∞∑

k=0

B2k

z2k+1+

∞∑

k=0

B2k+1

z2k+2

de donde: B2k+1 = 0 y:

B2k =q

4πε0

(−)k(2k)!a2k

22k(k!)2

Finalmente entonces, la ecuacion (8.31), toma la forma:

φ(r, θ, ϕ) =∞∑

k=0

B2k

r2k+1P2k(cos θ) +

∞∑

k=0

B2k+1

r2k+2P2k+1(cos θ)

=q

4πε0

∞∑

k=0

(−)k(2k)!a2k

22k(k!)2r2k+1P2k(cos θ)

8.4.3. La familia de la ecuacion de Legendre

Consideremos la siguiente transformacion actuando sobre la ecuacion ordinariade Legendre:

Pl(x) = (1− x2)−aψl(x)

con a ≥ 0 para asegurar la convergencia de ψl(x) en x = ±1. Obtenemos:

(1− x2)ψl − 2x(−2a+ 1)ψl + [4a2x2(1− x2)−1 + l(l+ 1)]ψl = 0

• Si a = 0 obtenemos la ecuacion ordinaria de Legendre.• Si a = 1/2:

(1− x2)ψl +

[x2

1− x2+ l(l+ 1)

]ψl = 0


Otra familia puede generarse con la transformacion:

Pl(x) = (1− x2)−axbψl(xc) ,

que se reduce a la familia anterior si b = c = 0, y que comprende casos comoa = c = 0, o b = 0 entre otros.

8.4.4. Polinomios asociados de Legendre

Son los obtenidos de la ecuacion (8.22) con m 6= 0. Son utiles para describirsituaciones donde no hay simetrıa azimutal.

En vez de repetir el procedimiento de Frobenius seguiremos otro consistente enobtener la ecuacion asociada a partir de la ecuacion ordinaria:

De la ecuacion ordinaria de Legendre

(1− x2)y − 2xy + l(l+ 1)y = 0,

donde y = Pl(x), derivando m veces y utilizando la formula de Leibniz paraderivacion de un producto:

dm

dxm(fg) =

∞∑

s=0

m!

(m− s)!s!dm−sf

dxm−sdsg

dxs

con f = y, g = 1− x2 ( y repitiendo para f = y, g = x) obtenemos:

(1− x2)dm+2y

dxm+2− 2x(m+ 1)

dm+1y

dxm+1+ [l(l + 1)−m(m+ 1)]

dmy

dxm= 0

Si hacemos:

u = (1− x2)m/2dmy

dxmpodremos escribir : (8.32)

(1− x2)u− 2xu+

[l(l+ 1)− m2

1− x2

]u = 0

que es la ecuacion asociada de Legendre, cuya solucion u llamaremos:

u = Pml (x) (8.33)

Por tanto, de (8.32) y (8.33):

Pml (x) = (1− x2)m/2dmPl(x)

dxm(8.34)


Pml (x) son las funciones asociadas de Legendre. Observese que P 0l (x) = Pl(x).

Utilizando la formula de Rodrigues obtenemos:

Pml (x) =1

2ll!(1− x2)m/2

dl+m

dxl+m(x2 − 1)l (8.35)

En la forma (8.35), Pml admite valores negativos dem, solo que si tenemos en cuentaque el orden de la derivacion debe ser menor o igual al orden del polinomio, debeser cierto que: l + m ≤ 2l; por tanto: m ≤ l. Ademas l + m ≥ 0 pues el orden dela derivacion debe ser positivo. Como m puede ser positivo o negativo (y ha de serentero pues la derivacion de orden l +m ha de ser entera), tendremos:

• Si m > 0: m ≤ l• Si m < 0: −|m| ≤ l, de donde: |m| ≥ −lPor tanto, los valores de m estan comprendidos entre −l y l: −l ≤ m ≤ l con m

y l enteros, y l es positivo. Esta restriccion a valores enteros de m y l aparece enmecanica cuantica como cuantizacion del momento angular.

Es cierto en consecuencia que:

Pml (x) = 0 para m > l .

La ecuacion asociada de Legendre es autoadjunta; el conjunto Pml (x) es or-togonal en l para el intervalo (−1, 1), siendo 1 el factor de peso:

∫ 1

−1

Pml (x)Pml′ (x) dx =2

2l + 1

(l +m)!

(l −m)!δll′

Un conjunto Qml (x), no convergente en x = ±1, no ortogonal en (−1, 1), seobtiene en forma analoga:

Qml (x) = (1− x2)m/2dm

dxmQl(x)

y es la segunda solucion a la ecuacion asociada de Legendre.

Las funciones Qml (x) han de ser excluıdas siempre que x = ±1 sea considerado,por lo cual, en el dominio completo las ecuaciones, (8.22) tienen como solucion:

U(r) = Arl+1 +Br−l, r : 0 −→∞Q(ϕ) = Ceimϕ +De−imϕ , m 6= 0, ϕ : 0 −→ 2π

Q(ϕ) = aϕ+ b , m = 0, ϕ : 0 −→ 2π

P (x) = Pml (x) , x : −1 −→ 1


Relaciones de recurrencia.

En terminos de los operadores escalera, que son los corchetes a la derecha en lasecuaciones que siguen, tendremos:

√1− x2Pm+1

l =

[mx+ (1− x2)

d

dx

]Pml

(l +m)(l −m+ 1)√

1− x2Pm−1l =

[mx− (1− x2)

d

dx

]Pml

(l +m)Pml−1 =

[lx+ (1− x2)

d

dx

]Pml

(l −m+ 1)Pml+1 =

[(l + 1)x− (1− x2)

d

dx

]Pml


a) P−ml (x) = (−)m

(l−m)!(l+m)!

Pml (x)

b) Pml (−x) = (−1)l+mPml (x)

Problema: Demuestre queZ 1

−1Pml (x)Pm

′

l (x)(1 − x2)−1 dx =(l +m)!

m(l −m)!δmm′

Problema: Escriba la condicion de completez para la base Pml (x).

8.4.5. Armonicos esfericos

Las soluciones e±imϕ forman una base ortogonal respecto al ındice m en (0, 2π),mientras Pml (x) son ortogonales en (−1, 1) respecto al ındice l.

Es posible definir una nueva base ortogonal en θ y ϕ respecto a los ındices l y m.Mas exactamente, una base bi-ortogonal. Las nuevas funciones, ortonormales sobreuna superficie esferica y conocidas como armonicos esfericos se definen como:

Ylm(θ, ϕ) =√

2l+14π

(l−m)!(l+m)!P

ml (cos θ)eimϕ (8.36)

El radical ha sido escogido en forma tal que Ylm(θ, ϕ) sea una base ortonormal:

∫ 2π

ϕ=0

∫ π

θ=0

Y ∗lm(θ, ϕ)Yl′m′(θ, ϕ) sen θ dθ dϕ = δll′δmm′


y como el angulo solido es: dΩ = sen θ dθ dϕ, podemos escribir:

∫4πY ∗lm(θ, ϕ)Yl′m′(θ, ϕ) dΩ = δll′δmm′ (8.37)

En acuerdo con la seccion 3.3.4 los armonicos esfericos son autofunciones deloperador L2 con autovalores l(l + 1):

L2Ylm(θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm(θ, ϕ).

Puesto que Ylm(θ, ϕ) es una base completa, una funcion f(θ, ϕ) puede expandirseen armonicos esfericos:

f(θ, ϕ) =

∞∑

l=0

l∑

m=−lAlmYlm(θ, ϕ) (8.38)

Ası pues la base Ylm(θ, φ) permite expandir funciones definidas sobre la su-perficie de una esfera.

Problema: Partiendo de las condiciones de ortogonalidad para Pml (cos θ)y eimϕ obtenga la ecuacion (8.37). Demuestre que la condicion decompletez tiene la forma:

∞X

l=0

lX

m=−lY ∗lm(θ′, ϕ′)Ylm(θ, ϕ) = δ(cos θ − cos θ′)δ(ϕ − ϕ′) (8.39)

donde las deltas de Dirac han sido definidas por:Z 2π

0δ(ϕ − ϕ′) dϕ = 1 ,

Z 2π

0δ(cos θ − cos θ′) sen θ dθ = 1

Problema: Demostrar : Yl,−m(θ, ϕ) = (−)mY ∗l,m(θ, ϕ) y:

Y00 = 1√4π

Y11 =q

38π

sen θ eiϕ

Y10 =q

34π

cos θ Y22 =q

152π

sen 2θ e2iϕ

Y21 =q

158π

sen θ cos θ eiϕ Y20 =q

54π

`32

cos2 θ − 12

´

Problema: Demostrar que, en (8.38):

Alm =

Z

4πf(θ, ϕ)Ylm(θ, ϕ) dΩ (8.40)


r · ∇Ylm(θ, ϕ) = 0


8.4.6. Armonicos esfericos y operadores escalera

El operador momento angular (adimensional), tambien conocido como operadorde rotacion, ha sido definido en la seccion 7.3 en la forma:

L =1

ir×∇.

En coordenadas cartesianas:

L = −i[i

(y∂

∂z− z ∂

∂y

)+ j

(z∂

∂x− x ∂

∂z

)+ k

(x∂

∂y− y ∂

∂x

)]


L = i

(eθ

1

sen θ

∂

∂ϕ− eϕ

∂

∂θ

).

Por substitucion de eθ, eϕ en terminos de i, j,k (ver seccion 1.1) obtenemos:

Lx = i

(senϕ

∂

∂θ+ ctg θ cosϕ

∂

∂ϕ

)

Ly = i

(− cosϕ

∂

∂θ+ ctg θ senϕ

∂

∂ϕ

)

Lz = −i ∂∂ϕ

De acuerdo a la seccion 3.3.4: L2Ylm = l(l+1)Ylm y es facil demostrar, utilizando ladefinicion de Ylm, que LzYlm = mYlm, de modo que Ylm es autofuncion simultaneade L2 y LZ con autovalores l(l + 1) y m, respectivamente. Este hecho dependecrucialmente de que L2 y Lz conmuten: [L2, Lz] = L2Lz − LzL2 = 0.

Sin embargo [Li, Lj ] = i∑3k=1 εijkLk, por lo cual Lx, Ly, Lz no conmutan entre

sı, de lo que se sigue que L2, Lx, Ly no comparten Ylm como autofunciones. Solooperadores que conmutan tienen el mismo conjunto de autofunciones. Definamosahora la pareja de operadores L+ y L− en la forma:

L+ = Lx + iLy, L− = Lx − iLy,

de donde, por substitucion de Lx y Ly en coordenadas esfericas:

L+ = eiϕ(∂

∂θ+ i ctg θ

∂

∂ϕ

)

L− = −e−iϕ(∂

∂θ− i ctg θ ∂

∂ϕ

)


Problemas: Demostrar que

• LzYlm = mYlm

• L2 =1

2(L+L− + L−L+) + L2

z (8.41)

• [Li, Lj ] = i3X

k=1

εijkLk

• [Lz, L+] = L+, [Lz , L−] = −L− (8.42)

• [L+, L−] = 2Lz (8.43)

• [L2, Lz ] = [L2, L+] = [L2, L−] = 0 (8.44)

• (L+f, g) = (f, L−g), (L−f, g) = (f, L+g).

Las dos ultimas ecuaciones (8.44) pueden sintetizarse en: [L2, L±] = 0, por lo cual:

L2(L±Ylm) = L±(L2Ylm) = l(l+ 1)L±Ylm

En esta notacion aparecen, en verdad, dos ecuaciones, una para los signos superiores,otra para los inferiores. Se sigue que L±Ylm es autofuncion de L2 con autovalorl(l+ 1).

Ademas, las ecuaciones (8.42) se sintetizan en [Lz, L±] = ±L±, de donde:

Lz(L±Ylm) = (L±Lz ± L±)Ylm = (m± 1)L±Ylm,

por lo cual L±Ylm es autofuncion de Lz con autovalor m± 1, de donde se sigue:

L±Ylm = a±Yl,m±1 (8.45)

Con el fin de calcular a± tengamos en cuenta que, de (8.41):

L2 =1

2(L+L− + L−L+) + L2

z

y de (8.43):

Lz =1

2(L+L− − L−L+)

obtenemos por suma y resta:

L+L− = L2 − Lz(Lz − 1)

L−L+ = L2 − Lz(Lz + 1), entonces:

L+L−Ylm = [L2 − Lz(Lz − 1)]Ylm = [l(l + 1)−m(m− 1)]Ylm

= (l +m)(l −m+ 1)Ylm (8.46)

Analogamente:L−L+Ylm = (l −m)(l +m+ 1)Ylm (8.47)


Teniendo en cuenta que: :

[L+Ylm, L+Ylm] = [Ylm, L−L+Ylm],

y por substitucion a la izquierda de (8.45) y a la derecha de (8.47) obtenemos:

[a+Yl,m+1, a+Yl,m+1] = (l −m)(l +m+ 1)[Ylm, Ylm]

= a2±[Ylm, Ylm] (8.48)

por lo cual:

a+ =√

(l −m)(l +m+ 1), a− =√

(l +m)(l −m+ 1).

En consecuencia:

L+Ylm =√

(l −m)(l +m+ 1)Yl,m+1,

L−Ylm =√

(l +m)(l −m+ 1)Yl,m−1.

La accion del operador L+ (o L−) sobre Ylm da lugar a Yl,m+1 (o Yl,m−1), es decirsube (o baja) m en 1. Por ello L+ y L− se conocen como operadores escalera. Suaplicacion mas importante tiene lugar en la mecanica cuantica.

8.4.7. Armonicos esfericos vectoriales

Es cierto que L2Ylm(θ, ϕ) = l(l+1)Ylm(θ, ϕ), donde L = −ir×∇. Se sigue que:L(L2Ylm(θ, ϕ)) = l(l + 1)LYlm(θ, ϕ), y como, de acuerdo a la ecuacion (8.44), escierto que L2L = LL2, podemos escribir:

L2(LYlm(θ, ϕ)) = l(l+ 1)(LYlm(θ, ϕ))

En consecuencia, LYlm(θ, ϕ) es autofuncion vectorial de L2 con autovalor l(l+1).Definimos la base de los armonicos esfericos vectoriales: Xlm(θ, ϕ) en la forma:

Xlm(θ, ϕ) =LYlm(θ, ϕ)√l(l + 1)

, X00 = 0 , l = 1, 2, . . .

Ası pues, la ecuacion vectorial de autovalores puede escribirse:

L2Xlm = l(l+ 1)Xlm

Sabemos que Ylm(θ, ϕ) es una base biortogonal escalar, que satisface las condi-ciones (8.37) y (8.39). La base Xlm(θ, ϕ) satisface las siguientes condiciones deortogonalidad y completez:

∫X∗lm(θ, ϕ) ·Xl′m′(θ, ϕ) dΩ = δlmδl′m′

∞∑

l=1

m=l∑

m=−lX∗lm(θ, ϕ)Xlm(θ′, ϕ′) = Iδ(cos θ − cos θ′)δ(ϕ− ϕ′)


En consecuencia, cualquier funcion vectorial de θ y ϕ puede expandirse en labase de los armonicos esfericos vectoriales:

A(θ, ϕ) =∞∑

l=1

m=l∑

m=−lAlmXlm

Problemas: Demuestre que:

• Xl,−m = (−)m+1Xlm

• r ·Xlm = 0

• ∇Ylm(θ, ϕ) = − i

r

pl(l + 1)er × Xlm

• Xlm =ip

l(l + 1)

»eθ

sen θ

∂Ylm

∂ϕ+ ieϕ

∂Ylm

∂θ

–

• X10 = ieϕ

r3

8πsen θ

• X11 = −r

3

16π(eθ + ieϕ) eiϕ

• X20 = i

r15

8πeϕ cos θ sen θ

• X21 =

r5

16π(eθ cos θ + ieϕ cos 2θ) eiϕ

• X22 = −r

5

24πsen θ (eθ + ieϕ cos θ) e2iϕ

• ∇ · Xlm = 0

• ∇ × Xlm =1

r

hierpl(l + 1)Ylm + er × Xlm

i

• ∇2Xlm = − l(l + 1)

r2Xlm

• ∇Ylm(θ, ϕ) = − i

r

pl(l + 1)er × Xlm

•Z

(er × Xlm)∗ · (er × Xl′m′ ) dω = δlmδlm

•Z

X∗lm · (er × Xl′m′ ) dΩ = 0

Problema: Evaluar : ∇ × (r× Xlm) , ∇ · (r ×Xlm)

Problema: Demostrar la condicion de ortonormalidad para:

a) (l,m) = (l′,m′) = (1, 0). b)(l,m) = (1, 0), (l′,m′) = (1, 1).

Problema: Demostrar la condicion de completez de la base Xlm.


A partir de las consideraciones anteriores es facil generalizar la nocion de armonicoesferico. Observese la siguiente secuencia:

Ylm, LYlm, LLYlm, LLLYlm, · · ·

que indica la existencia de armonicos esfericos escalares, vectoriales, diadicos, etc,cada conjunto de los cuales genera una base del espacio de Hilbert que es autofuncionde L2 con autovalor l(l + 1).

Ejercicio: Bases Xlm y ecuaciones de Maxwell

Por simplicidad restringiremos las ecuaciones de Maxwell al exterior de lasfuentes, de modo que: ρ = J = 0. En este caso las ecuaciones del campo elec-tromagnetico tienen la forma:

∇ · E(r, t) = 0, ∇ ·B(r, t) = 0

∇×E(r, t) +∂B(r, t)

∂t= 0, ∇×B(r, t)− µ0ε0

∂E(r, t)

∂t= 0 (8.49)

Introduciendo la transformada de Fourier temporal

E(r, t) =1

(2π)1/2

∫ ∞

−∞E(r, ω)eiωt dω

con una expresion analoga para B(r, t), y con k = ω/c y µ0ε0 = 1/c2, las ecuaciones(8.49) dan lugar a:

∇ ·E(r, ω) = 0, ∇ ·B(r, ω) = 0

B(r, ω) = − ik∇×E(r, ω), E(r, ω)− ic2

k∇×B(r, ω) = 0 (8.50)

Tomando el rotacional de la tercera ecuacion y substituyendo la primera y lacuarta obtenemos:

(∇2 + k2)E(r, ω) = 0 (8.51)

Un procedimiento analogo sobre la cuarta ecuacion, con ayuda de la segunda ytercera conduce a:

(∇2 + k2)B(r, ω) = 0 (8.52)

Como solucion a la ecuacion (8.53), en coordenadas esfericas propongamos:

E(r, ω) = R(r)Xlm (8.53)


Por substitucion y con L2Xlm = l(l+ 1)Xlm se sigue:

1

r2d

dr

(r2dR

dr

)+

(k2 − l(l + 1)

r2

)R = 0 (8.54)

que es la ecuacion de Bessel esferica. Ası, la solucion a la ecuacion (8.54) tiene laforma:

E(r, ω) =

∞∑

l=1

m=l∑

m=−lflm(kr)Xlm (8.55)

donde flm(kr) es una combinacion lineal de funciones de Bessel y Neumann esfericaso de Hankel esfericas:

flm(kr) = Almjl(kr) +Blmηl(kr) = A′lmh

(1)l (kr) +B′

lmh(2)l (kr)

El campo magnetico asociado a la solucion (8.55) es entonces:

B(r, ω) = − ik

∇×E(r, ω)

= − ik

∞∑

l=1

l∑

m=−l∇× (flm(kr)Xlm)

De un modo enteramente analogo, la solucion a la ecuacion (8.52) es:

B(r, ω) =

∞∑

l=1

m=l∑

m=−lglm(kr)Xlm

siendo glm(kr) una combinacion lineal de funciones de Bessel esfericas; el campoelectrico asociado es:

E(r, ω) =ic2

k∇×B(r, ω)

= − ic2

k

∞∑

l=1

l∑

m=−l∇× (glm(kr)Xlm)

Ası pues, hay una pareja de soluciones a las ecuaciones de Maxwell:

E(r, ω) =

∞∑

l=1

m=l∑

m=−lflm(kr)Xlm, B(r, ω) = − i

k∇×E(r, ω)

E(r, ω) =ic2

k∇×B(r, ω), B(r, ω) =

∞∑

l=1

m=l∑

m=−lglm(kr)Xlm


Para la primera pareja es cierto que r ·E = 0. El campo electrico es transverso yel magnetico tiene componentes longitudinal y transversa. Para la segunda: r·E = 0,el campo magnetico es transverso. La solucion general es una combinacion lineal deambas.

Problema: Siguiendo el esquema propuesto en el ejercicio anterior, estudiarel caso electrostatico.

8.4.8. Solucion general a la ecuacion de Laplace

En terminos de Ylm(θ, ϕ) y desechando a en aϕ+b, pues no satisface la condicionde continuidad φ(ϕ) = φ(ϕ+2π), la solucion a la ecuacion de Laplace para la funcionescalar φ es:

φ(r, θ, ϕ) =∑∞

l=0

∑lm=−l

(Almr

l + Blm

rl+1

)Ylm(θ, ϕ) (8.56)

Ejercicio: En el interior de un cascaron esferico de radio R sin cargas, el potencialelectrostatico satisface la ecuacion de Laplace. Si en la superficie el potenciales f(θ, ϕ), evaluar φ(r, θ, ϕ).

En la solucion (8.56), Blm ha de ser cero para evitar infinitos en el interior.Imponiendo la condicion de frontera se sigue:

f(θ, ϕ) =

∞∑

l=0

l∑

m=−lAlmR

lYlm(θ, ϕ)

Se sigue, por aplicacion de (8.37) (o directamente de (8.40)):

Alm =1

Rl

∫

4π

f(θ, ϕ)Ylm(θϕ)dΩ

Problema: Si en la region entre dos cascarones esfericos de radios a y b sesatisface la ecuacion de Laplace para potencial electrostatico y si φ =V1(θ, ϕ) en r = a y φ = V2(θ, ϕ) en r = b, evaluar φ(r, θ, ϕ).

Observese que r = 0 no esta incluido en el problema, de modo que Blmsera en principio diferente de cero.

Problema: La temperatura sobre la superficie de una esfera de radio R semantiene fija y con un valor T (R, θ, ϕ) = f(θ). Demuestre que en estasituacion de estado estacionario:

T (r, θ, ϕ) =1

2

∞X

l=0

(2l + 1)

Rl

»Z π

0f(θ′) sen θ′Pl(cos θ′)dθ′

–rlPl(cos θ)


Problema: Demuestre que la solucion a la ecuacion de Helmholtz (∇2+k2) =0, en coordenadas esfericas, que satisface la condicion de continuidad enϕ, e incluye θ = 0, π/2, es:

φ(r, θ, ϕ) =∞X

l=0

lX

m=−l[Almjl(kr) + Blmηl(kr)]Ylm(θ, ϕ)

Problema: Utilizando separacion de variables para la ecuacion de ondas encoordenadas esfericas demuestre que la solucion tiene la forma:

ψ(r, t) =∞X

l=0

mX

m=−l[Almjl(kr) + Blmηl(kr)]Ylm(θ, φ)

×hClme

ikct +Dlme−ikct

i

Problema: Obtener el espectro de frecuencias (modos normales de oscilacion)para una cavidad acustica resonante de forma esferica y radio R. Lacondicion de frontera es de la forma: ∂ψ(r, t)/∂r|r=R = 0.

Problema: Una partıcula atomica esta confinada dentro de un cascaronesferico de radio R. La partıcula es descrita por una funcion de ondaque satisface la ecuacion de Schrodinger

− ~2

2m∇2ψ = Eψ,

con la condicion de que ψ sea nula sobre las paredes. Demostrar que losniveles de energıa permitidos tienen la forma:

Eln =α2ln~2

2mR2,

donde αln son los ceros de la funcion de Bessel esferica jl(x), es decirlos ceros de Jl+1/2(x), y que la funcion de onda es:

ψ =∞X

l=0

lX

m=−lAlmjl (αlmr/R) Ylm(θ, ϕ).

Ejercicio: La densidad volumetrica de neutrones (n0) en el U235 esta dada por:

∇2n0 + λn0 = k∂n0

∂t(8.57)

donde λ y k son constantes. Asumiendo n0|S = 0, hallar el radio crıtico R0

tal que n0 dentro de una esfera de U235 de radio R0, o mayor, sea inestable ycrezca exponencialmente con el tiempo.

El U235 es un atomo que se fisiona generando otros elementos quımicos y dosneutrones, de modo que el material actua como una fuente de n0, algunos de loscuales inducen mas fisiones. El termino λn0 corresponde a la fuente; mientrasmayor sea n0 mayor sera su produccion. De la ec.(8.57), con la separacion devariables: n0(r, t) = R(r)Y (θ, ϕ)T (t) se sigue:

1

r2R

d

dr(r2R)− l(l + 1)

r2+ λ =

kT

T= β


donde β es la constante de separacion. La ecuacion radial es la de Besselesferica, de modo que:

n0(r, t) =

∞∑

l=0

m=l∑

m=−lAlmjl

(√λ− βr

)Ylm(θ, ϕ)eβt/k

De la condicion de frontera n0|S = 0 se sigue: R√λ− β = αln, siendo αln las

raıces de la funcion de Bessel esferica. Ası: β = −α2ln/R

2 + λ, tal que:

n0(r, t) =

∞∑

n=1

∞∑

l=0

m=l∑

m=−lAlmnjl(αlnr/R)Ylm(θ, ϕ)e[−α

2ln/R

2+λ]t/k

El numero de neutrones crece exponencialmente si −α2ln/R

2 + λ > 0, es decirsi R2 > α2

ln/λ; el radio crıtico, correspondiente a regimen estacionario, es

entonces R0 = αln/√λ. El valor mas pequeno de R0 es R0,min = α01/

√λ.

Problema: Considere dos semiesferas de U235, apenas estables, que se colocanjuntas formando una esfera que sera inestable si n0 ∝ et/τ . Calcular laconstante τ de la explosion.

8.5. Polinomios de Hermite

La ecuacion de Hermite, cuya aplicacion mas importante en fısica es tal vez aloscilador armonico en Mecanica Cuantica, tiene la forma:

H(x)− 2xH(x) + 2nH(x) = 0 (8.58)

La forma autoadjunta

d

dx

(q(x)

dH(x)

dx

)+ r(x)H(x) + λp(x)H(x) = 0 , es entonces

d

dx

(e−x

2 dH(x)

dx

)+ 2ne−x

2

H(x) = 0 (8.59)

La solucion a esta ecuacion forma una base ortogonal con factor de peso p(x) = e−x2

,

en (−∞,∞), pues en tal intervalo [qW ]∞−∞ = [e−x2

W ]∞−∞ = 0. Entonces, de acuerdoa la seccion 6.6: ∫ ∞

−∞e−x

2

Hn(x)Hm(y) dx = 0,

si n 6= m. Esto demuestra una vez mas que la ortogonalidad de las auto funcionesesta asociada a la escogencia del dominio de la variable independiente. Imple-

8.5. POLINOMIOS DE HERMITE 335

mentemos ahora el metodo de Frobenius:

H(x) =

∞∑

α=0

aαxα+k

H(x) =

∞∑

α=0

aα(α + k)xα+k−1

H(x) =∞∑

α=0

aα(α + k)(α+ k − 1)xα+k−2


∞∑

α=0

aα(α+ k)(α + k − 1)xα+k−2 −∞∑

α=0

aα[2(α+ k)− 2n]xα+k = 0

que puede escribirse:

∞∑

α=−2

aα+2(α+ k + 2)(α+ k + 1)xα+k −∞∑

α=0

aα[2(α+ k)− 2n]xα+k = 0

o:

a0(k)(k − 1)xk−2 + a1(k + 1)(k)xα−1

+

∞∑

α=0

aα+2(α+ k + 2)(α+ k + 1)− aα[2(α+ k)− 2n]xα+k = 0

Las ecuaciones indiciales que de aquı se siguen son:

a0k(k − 1) = 0

a1(k + 1)k = 0

aα+2(α+ k + 2)(α+ k + 1)− aα[2(α+ k)− 2n] = 0 , α = 0, 1, 2 . . .

De la primera, si a0 6= 0 se sigue k = 0 o k = 1. De la segunda, con k = 0 sesigue a1 6= 0 y de k = 1 se concluye a1 = 0.

De la tercera ecuacion indicial con k = 0 obtenemos

aα+2 =2aα(α− n)

(α + 2)(α+ 1), α = 0, 1, 2 . . .


Explıcitamente:

a2 =(−)2n

2!a0

a3 =(−)2(n− 1)

3!a1

a4 =2a2(2− n)

4× 3=

22(−)2(n)(n− 2)

4!a0

a5 =2a3(3− n)

5× 4=

22(−)2(n− 1)(n− 3)

5!a1

a6 =2a4(4− n)

6× 5=

23(−)3n(n− 2)(n− 4)

6!a0

a7 =2a5(5− n)

7× 6=

23(−)3(n− 1)(n− 3)(n− 5)

7!a1

Entonces:

H(x) = a0

[1 +

(−)2n

2!x2 +

(−)22n(n− 2)

4!x4

+(−)323n(n− 2)(n− 4)

6!x6 + · · ·

]+ a1

[x+

(−)2(n− 1)

3!x3

+(−)222(n− 1)(n− 3)

5!x5 +

(−)323(n− 1)(n− 3)(n− 5)

7!x7 + · · ·

]

Ambas series son divergentes en x→ ±∞. Si se incluyen estos dos extremos y sequiere lograr convergencia es necesario cortar las series y convertirlas en polinomios.La serie en a0 requiere n = par positivo y la serie en a1 requiere n = impar positivo.Puesto que n no puede ser simultaneamente par e impar en las series para a0 y a1,si n = par, la segunda serie es divergente y si n = impar la primera diverge. Lasseries convergentes seran las de nuestro interes, y conformaran los polinomios deHermite. Puede demostrarse que con n 6=entero, H(x) ∝ x2ex

2

para x → ±∞, loque muestra la no convergencia para n 6= entero.

Consideremos n = par. La serie para a0, con n = 2m, m = 0, 1, 2 . . . sera:

H(x) = a0

[1 +

(−)22m

2!x2 +

(−)224m(m− 1)

4!x4

+(−)326m(m− 1)(m− 2)

6!x6 + · · ·

]

= a0

[1 +

(−)22m

2!x2 + · · ·+ (−)326m!

(m− 3)!6!x6 + · · ·+ (−)p(2x)2pm!

(m− p)!(2p)! + · · ·]

= m!a0

∞∑

p=0

(−)p(2x)2p

(m− p)!(2p)!


Definimos los polinomios de Hermite de orden par en la forma:

H2m(x) = (−)m(2m)!

∞∑

p=0

(−)p(2x)2p

(m− p)!(2p)! (8.60)

Observese que efectivamente la expresion (8.60) es polinomial ya que, para p > m:1/(m− p)!→ 0. Esto significa que la sumatoria se extiende entre 0 y m. En formaanaloga, para n = impar, con n = 2m+ 1 , m = 0, 1, 2 . . .:

H(x) = a1

[x+

(−)22m

3!x3 +

(−)224m(m− 1)

5!x5

+(−)326m(m− 1)(m− 2)

7!x7 + · · ·

]

= a1

[x+

(−)22m

3!x3 + · · ·+ (−)326m!

(m− 3)!7!x7

+ · · ·+ (−)p22pm!

(m− p)!(2p+ 1)!x2p+1 + · · ·

]

=a1m!

2

∞∑

p=0

(−)p(2x)2p+1

(m− p)!(2p+ 1)!

Definimos los polinomios de Hermite de orden impar como:

H2m+1(x) = (−)m(2m+ 1)!

∞∑

p=0

(−)p(2x)2p+1

(m− p)!(2p+ 1)!, (8.61)

donde la sumatoria da terminos diferentes de cero solo entre 0 y m. En formacompacta

Hn(x) = n!N∑

p=0

(−)p

(n− 2p)!p!(2x)n−2p (8.62)

con N = n/2 si n es par , o N = n− 1/2 si n es impar.La primera ecuacion indicial provee para el exponente k en la serie de Frobenius

un segundo valor: k = 1. Es directo comprobar que nada nuevo anade al desarrolloanterior.

Los primeros polinomios de Hermite son:

H0(x) = 1 , H1(x) = 2x , H2(x) = 4x2 − 2

H3(x) = 8x3 − 12x , H4(x) = 16x4 − 48x2 + 12

H5(x) = 32x5 − 160x3 + 120x


1 2 30

1

2

3

4

5

−1

Y0

Y1Y2

Y3Y4

Figura 8.10: Polinomios de Hermite, Y (x) =Hn(x)

n3

La normalizacion de los polinomios ha sido escogida de modo tal que H0(x) = 1.Algunas propiedades de los polinomios de Hermite son:

• Hn(x) = (−)nex2 dn

dxn

(e−x

2)

• Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x)

• Hn(x) = 2nHn−1(x)

• Hn(x) = (−)nHn(−x)

• H2n(0) = (−)n(2n!)

n!• H2n+1(0) = 0

La primera de estas se conoce como formula de Rodrigues.La normalizacion de la integral de ortogonalidad de los polinomios Hn(x)

puede hacerse utilizando la siguiente identidad, que define la funcion generatriz delos polinomios de Hermite:

e−t2+2xt =

∞∑

n=0

Hn(x)tn

n!

Se sigue:

e−x2

e−t2+2xte−s

2+2xs =

∞∑

n=0

∞∑

m=0

e−x2

n!m!tnsmHn(x)Hm(x)

Integrando en x en (−∞,∞), haciendo uso de

e−x2

e−t2+2xte−s

2+2xs = e−(x−s−t)2e2st


y con:∫ ∞

−∞e−x

2

Hn(x)Hm(x) dx = δnm

∫ ∞

−∞e−x

2

H2n(x) dx ,

obtenemos:

∞∑

n=0

(st)n

(n!)2

∫ ∞

−∞e−x

2

H2n(x) dx =

√πe2st =

√π

∞∑

n=0

2n(st)n

n!

de donde:∫ ∞

−∞e−x

2

H2n(x)dx = 2n

√πn!

En consecuencia, la condicion de ortogonalidad es:

∫∞−∞ e−x

2

Hn(x)Hm(x) dx = 2n√πn!δnm n = 0, 1, 2 . . . (8.63)

El conjunto Hn(x) es completo; por tanto cualquier funcion f(x) definida enel intervalo (−∞,∞) puede expandirse en polinomios de Hermite:

f(x) =

∞∑

n=0

CnHn(x)

En forma general puede afirmarse que cualquier funcion definida en (−∞,∞)puede expandirse en cualquier base ortogonal definida en (−∞,∞). Expresar lafuncion en una u otra es cambiar de base: la misma funcion puede expandirse, porejemplo, en la base de Hermite Hn(x), o en la de Fourier eikx.

Problema: Demostrar que

Cn =1

2n√πn!

Z ∞

−∞f(x)e−x

2

Hn(x)dx

y que la condicion de completez tiene la forma:

δ(x − x′) =P∞n=0 e

−x2

Hn(x)Hn(x′)/2nn!√π (8.64)


Problema: Utilizando las relaciones de recurrencia demostrar que:

•Z ∞

−∞Hn(x)e−x

2/2 dx =

( √2π n!

(n/2)!si n = par

0 si n = impar

•Z ∞

−∞xe−x

2/2Hn(x) dx =

(0 si n = par√

2π (n+1)!

( n+1

2)!

si n = impar

•Z ∞

−∞xme−x

2

Hn(x) dx = 0, para m = entero, 0 ≤ m ≤ n− 1

•Z ∞

−∞xe−x

2

Hn(x)Hm(x) dx =√π2n−1n![δm,n−1 +2(n+1)δm,n+1]

•Z ∞

−∞x2e−x

2

Hn(x)Hm(x) dx =√π2n−2 [2(2n+ 1)n! δn,m

+ 4(n+ 2)!δn+2,m + n! δn−2,m ]

•Z ∞

−∞xre−x

2

Hn(x)Hn+p dx =

0 si p > r

2n√

2π(n+ r)! si p = r

n, p, r son enteros no negativos.

En la segunda, cuarta y quinta puede usarse: xHn(x) = (Hn+1 +2nHn−1)/2.

Problema: Demuestre que

x2r =(2r)!

22r

∞X

n=0

H2n(x)

(2n)!(r − n)!

Problema: Derivando n veces la funcion generatriz, respecto a t, obtenga laformula de Rodrigues:

Hn(x) = (−)nex2 dn

dxn

“e−x

2”

Problemas: Demuestre que

• e−t2+2tx =

∞X

n=0

tn

n!Hn(x)

• sen 2x =1

e

∞X

n=0

(−1)n

(2n + 1)!H2n+1(x)

• cos 2x =∞X

n=0

(−1)n

(2n)!H2n(x)


8.5.1. La familia de la ecuacion de Hermite

A partir de la ecuacion de Hermite y utilizando la transformacion

Hn(x) = eax2

ψn(µ) , µ = xb ,

obtenemos la primera familia de Hermite:

b2d2ψn(µ)

dµ2µ2(b−1)/b +

dψn(µ)

dµ

[b(b− 1)µ

b−2

2

+2b(2a− 1)µ]

+[4a(a− 1)µ2/b + 2n+ 2a

]ψn(µ) = 0

cuya solucion es

ψn(µ) = e−ax2

Hn(x) = e−aµ2/bHn(µ1/b)

Con a = 0, b = 1 se recupera la ecuacion de Hermite.

Si b = 1, a = 1/2 se obtiene la ecuacion de Weber-Hermite:

d2ψn(x)

dx2+ [1 + 2n− x2]ψn(x) = 0 , (8.65)

con µ = x y ψn(x) = e−x2/2Hn(x). Esta ultima ecuacion describe el oscilador

armonico unidimensional en mecanica cuantica. Observese que la base ψn(x)es ortonormal.

Problema: Demuestre que bajo la transformacion:

Hn(x) = xceax2

ψn(µ) , µ = xb

se obtiene la siguiente familia:

b2d2ψn

dµ2µ2(b−1)/b +

dψn

dµ

hb(2c+ b− 1)µb−2/2 + 2b(2a − 1)µ

i

+hc(c− 1)µ−2/b + 2(2ac + a− c+ n) + 4a(a − 1)µ2/b

iψn(µ) = 0

8.5.2. El oscilador armonico cuantico

Como una aplicacion importante de los polinomios de Hermite consideremos lacuantizacion de la energıa del oscilador armonico.

De acuerdo a la mecanica cuantica, un oscilador armonico unidimensional, cuyaenergıa potencial es V = 1

2kx2 puede describirse mediante la ecuacion de Schrodinger:

− ~2

2m

d2ψ(x)

dx2+ V (x)ψ(x) = Eψ(x) ,


donde ψ(x) representa la funcion de onda, ~ es la constante de Planck h divididapor 2π, m la masa del oscilador y E su energıa total. Cambiando a la nueva variableadimensional : y = x/α, donde α tendra la misma dimension que x, y utilizandoω2 = k/m, siendo ω la frecuencia angular del oscilador y k la constante del resorte,podremos escribir:

d2ψ

dy2−(ωmα2

~

)2

y2ψ +

(2mEα2

~2

)ψ = 0

La adimensionalidad de y y la homogeneidad en ψ de la ecuacion permiten escogerpara α un valor tal que el primer parentesis tenga el valor 1, esto es:

ωmα2

~= 1 , de donde α2 = ~/mω

El segundo parentesis (adimensional) lo llamaremos λ:

λ =2mEα2

~2=

2E

~ω.

Ası pues, la ecuacion del oscilador toma la forma:

d2ψ

dy2+ (λ− y2)ψ = 0 (8.66)

Esta expresion, conocida como ecuacion de Weber-Hermite, corresponde, segunla seccion anterior, a la primera familia de Hermite con b = 1 y a = 1/2, tal que susolucion es la funcion de Weber-Hermite de orden n entero:

ψn(y) = e−y2/2Hn(y) (8.67)

y por tanto 1 + 2n = λ.Puesto que λ = 2E/~ω, se sigue:

2E

~ω= 1 + 2n o

E =

(n+

1

2

)~ω , n ≥ 0 (8.68)

Como n toma valores enteros, se sigue que la energıa del oscilador esta cuantizaday que hay una energıa mınima o de punto cero:Emin = ~ω/2. La secuencia de nivelesde energıa (8.68) tiene el espaciamiento ∆E = ~ω postulado por Planck en 1900. Lonotable es que hay un mınimo en la energıa que no aparece en la teorıa de Plancky que es exigido por el principio de incertidumbre: un oscilador armonico no puede


(a)

−5

0,5

−0,5

ψ0(x)

ψ1(x) ψ2(x)

(b) (c)

Figura 8.11: Funciones de onda del oscilador mecanico cuantico. La barra gruesaindica el rango permitido en el oscilador clasico con la misma energıa.

estar en reposo. Si lo estuviera, serıa en x = 0 que es el punto de equilibrio; enconsecuencia podrıamos conocer simultaneamente su posicion y velocidad, lo queno es compatible con el principio de incertidumbre de Heisenberg.

La funcion de onda normalizada del oscilador sera entonces, de acuerdo a (8.67):

ψn(y) =1

(2n√πn!)1/2

e−y2/2Hn(y) , y =

x

α= x

√mω

~(8.69)

Explıcitamente, los primeros niveles tienen la forma:

ψ0(y) = e−y2/2 E = ~ω/2

ψ1(y) = 2xe−y2/2 E = 3~ω/2

ψ2(y) = (4y2 − 2)e−y2/2 E = 5~ω/2


La funcion |ψn(y)|2 describe la probabilidad por unidad de volumen de encontrarla partıcula en la posicion y. La forma de la funcion de onda para los primerosvalores de n es mostrada en las figuras. Como Hn(y) es un polinomio de grado n,ψn(y) tendra n ceros. La probabilidad de encontrar la partıcula en estos puntos escero. En los extremos ψn(y) decrece rapidamente, en forma exponencial. La graficapara n = 10 muestra que para valores altos de n la distribucion de probabilidadpredicha por la mecanica cuantica se acerca a la predicha por la mecanica clasica(curva punteada).

Problema: Demuestre que la funcion de Weber-Hermite, dada por la ecuacion(8.67) satisface las siguientes relaciones:

• 2nψn−1(x) = xψn(x) + ψn(x)

• 2xψn(x) − 2nψn−1(x) = ψn+1(x)

• ψn(x) = xψn(x) − ψn+1(x)

Operadores escalera

Una de las identidades que satisface la funcion de Hermite es:

Hn−1(x) =1

2n

d

dxHn(x) (8.70)

Segun esta expresion, dado un Hn(x) todos los anteriores pueden ser deducidosde el. Otra de las identidades tiene la forma: Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x). Sientre estas dos ecuaciones eliminamos Hn−1(x) obtendremos:

Hn+1(x) =

(2x− d

dx

)Hn(x) (8.71)

expresion de acuerdo a la cual, dado un Hn(x) todos los que le siguen puedendeducirse de el. Basta entonces con unHn(x) para generar los demas. Los operadores12nd/dx y 2x− d/dx son los operadores escalera de los polinomios de Hermite.

En lo que sigue introduciremos los operadores escalera asociados a las funcionesde onda del oscilador armonico cuantico dadas por la ecuacion (8.69). ReemplazandoHn(y) de la ecuacion (8.69) en las ecuaciones (8.70) y (8.71) obtenemos:

√2nψn−1(y) =

(y +

d

dy

)ψn(y) y

√2(n+ 1)ψn+1(y) =

(y − d

dy

)ψn(y)


que pueden ser escritos como:

aψn =√nψn−1, a†ψn =

√n+ 1ψn+1 (8.72)

donde los operadores a y a† son definidos por las ecuaciones

a =1√2

(y +

d

dy

), a† =

1√2

(y − d

dy

)

Estos operadores bajan y suben, respectivamente, estados cuanticos del oscilador.De la primera ecuacion con n = 0 se obtiene la funcion de onda norma li za da delestado base: ψ0(y) = π−1/4e−y

2/2. A partir de esta pueden calcularse todas lasfunciones de onda del oscilador armonico mediante la expresion:

ψn =1√n!

(a†)nψ0 (8.73)

Problema: De la segunda ecuacion (8.72) se sigue: ψn = a†ψn−1/√n; reem-

plazando ψn−1 = a†ψn−2/√n− 1, etcetera, obtenga (8.73).

Reglas de seleccion

De acuerdo a la mecanica cuantica los elementos no diagonales de la matriz(6.34)

Amn =

∫ b

a

(Afm)∗fn dx

tienen una interpretacion fısica importante. En el caso en que A sea la coordenadaX del oscilador armonico tendremos:

Xmn =

∫ ∞

−∞ψ∗mXψn dx

Los elementos no diagonales determinan la probabilidad de transicion del osciladorarmonico del nivel m al n por unidad de tiempo. Cuanto mayor sea Xmn con mayorprobabilidad ocurrira la transicion, lo que desde el punto de vista espectroscopicoequivale a una radiacion mas intensa. En forma explıcita y de acuerdo a (8.69):

Xmn =

∫ ∞

−∞ψ∗mXψn dx =

1

2n√πn!

∫ ∞

−∞e−x2

H∗mXHn dx

=1

2[δm,n−1 + 2(n+ 1)δm,n+1]

de modo que solo son posibles transiciones entre niveles contiguos. En cada salto a unnivel inferior hay emision de un foton. El oscilador puede emitir o absorber radiacion


de una sola una frecuencia. Este resultado explica las reglas de seleccion; para eloscilador armonico son ∆m = ±1. Estas reglas corresponden a probabilidades detransicion para oscilaciones del momento de dipolo electrico. Puede ser probado quela probabilidad de transicion del estado m al n con emision o absorcion de radiacionde dipolo electrico de energıa ~ω = Em −En esta dada por:

Pmn =q2ω3

3πε0~c3|Xmn|2

Como la energıa emitida en la transicion es ~ω tendremos que la rata de emisionde energıa es dE/dt = ~ωPmn.

Hay tambien transiciones posibles, aunque menos probables, asociadas con lasoscilaciones del momento de cuadrupolo electrico y de la forma:

X2mn =

∫ ∞

−∞ψ∗mX 2ψn dx

=1

4[2(2n+ 1)δm,n + 4(n+ 1)(n+ 2)δm,n+2 + δm,n−2]

Las reglas de seleccion son ahora: ∆m = 0,±2.

Problema: Obtenga las ecuaciones (8.74) y (8.74)

8.6. Polinomios de Laguerre

La ecuacion de Laguerre tiene la forma:

xy + (1− x)y + ny = 0 (8.74)

donde: a2 = x , a1 = 1−x , a0 = 0 , λ = n. Se sigue entonces, en acuerdo conla seccion 6.3, que

p =1

a2e

R a1a2dx

= e−x , q = a2p = xe−x , r = a0p = 0 .

En consecuencia la forma autoadjunta es:

d

dx(xe−xy) + ne−xy = 0

Al implementar el metodo de Frobenius veremos que n ha de ser un entero positivo,para que la solucion sea convergente en x → ∞. De acuerdo a la teorıa de Sturm-Liouville obtenemos, con y(x) = Ln(x):

(n−m)

∫ b

a

e−xLn(x)Lm(x) dx = [xe−x(LnLm − LmLn)]ba (8.75)

8.6. POLINOMIOS DE LAGUERRE 347

Las funciones Ln son ortogonales si a = 0 , b→∞.Apliquemos ahora el metodo de Frobenius. De

y(x) =∞∑

α=0

aαxα+k , a0 6= 0

se sigue, por sustitucion en (8.74):

∞∑

α=0

aα(α+ k)2xα+k−1 +

∞∑

α=0

aα(−α− k + n)xα+k = 0 , o

∞∑

α=−1

aα+1(α+ k + 1)2xα+k +

∞∑

α=0

aα(−α− k + n)xα+k = 0

se sigue:

a0k2 = 0

aα+1(α + k + 1)2 + aα(−α− k + n) = 0

Por tanto: k = 0 , y de la segunda ecuacion indicial

aα+1 =aα(α+ k − n)

(α+ k + 1)2=aα(α− n)

(α+ 1)2

Explıcitamente:

a1 = (−)n

1a0

a2 = (−)a1(n− 1)

22= (−)2

n(n− 1)(n− 2)

22a0

a3 = (−)a2(n− 2)

3!= (−)3

n(n− 1)(n− 2)

22 × 32a0

a4 = (−)a3(n− 3)

42= (−)4

n(n− 1)(n− 2)(n− 3)

22 × 32 × 42a0

generalizando:

ap =(−)pn!

(p!)2(n− p)!a0

La serie de Frobenius toma entonces la forma:

y = a0n!

∞∑

p=0

(−)pxp

(p!)2(n− p)!


1 2 3 40

1

−1

L3(x) L2(x)

L1(x)

L0(x)

Figura 8.12: Polinomios de Laguerre

La convergencia de la serie puede estudiarse mediante la evaluacion del siguientecociente:

ap+1xp+1

apxp, que resulta ser

x(n− p)(p+ 1)2

,

y es no convergente, si n 6= entero, cuando x → ∞. En consecuencia debemosimponer la restriccion de que n sea entero positivo, lo que convierte la serie ∞ enun polinomio.

Definimos los polinomios de Laguerre Ln(x), con n entero como:

Ln(x) = A

∞∑

p=0

(−)pxp

(p!)2(n− p)! ,

y de modo tal que Ln(0) = 1. Esto implica A = n!. Ası pues, con n = entero ≥ 0 :

Ln(x) = n!

∞∑

p=0

(−)pn!

(p!)2(n− p)!xp (8.76)

Los primeros polinomios son:

L0(x) = 1 , L1(x) = 1− x , L2(x) = 1− 2x+x2

2

L3(x) = 1− 3x+3

2x2 − x3

6

L4(x) = 1− 4x+ 3x2 − 2

3x3 +

x4

24


Equivalentemente los polinomios de Laguerre pueden evaluarse a partir de laformula de Rodrigues:

Ln(x) =ex

n!

dn

dxn(xne−x)

Dos relaciones de recurrencia importantes son:

• (n+ 1)Ln+1(x) = (2n+ 1− x)Ln(x) − nLn−1(x)

• xLn(x) = nLn(x) − nLn−1(x)

En terminos de los operadores escalera escribimos

Ln−1 =

(1− x

n

d

dx

)Ln, Ln+1 =

(n+ 1− x+ x

d

dx

)Ln

Utilizando la funcion generatriz

e−xt/(1−t)

1− t =∞∑

n=0

tnLn(x)

donde |t| < 1, podemos evaluar el factor de normalizacion para la condicion deortogonalidad. Multiplicando la expresion anterior por sı misma (cambiando t pors) y por e−x e integrando en (0,∞):

1

(1− t)(1− s)

∫ ∞

0

e−x[1+t/(1−t)+s/(1−s) dx =

∞∑

n,m=0

tnsm

×∫ ∞

0

e−xLn(x)Lm(x) dx

(8.77)

y con:∫∞0 e−xLn(x)Lm(x)dx = δnm

∫∞0 e−xL2

n(x)dx, y

∫ ∞

0

e−x[1−t/(1−t)−s/(1−s)] dx =−1

[ ]e−x[ ]

∣∣∣∣∞

0

=1

[ ], se sigue:

1

(1− t)(1− s)[ ]=

∞∑

n=0

(st)n∫ ∞

0

e−xL2n(x) dx

=1

1− st = (1− st)−1 =

∞∑

n=0

(st)n


En el ultimo paso hemos hecho uso de la expansion binominal:

(a+ b)−k =∑ (−)n(k + n− 1)!

n!(k − 1)!ak−nbn ; k > 0 , b < a

Entonces:∫∞0 e−xL2

n(x)dx = 1. La condicion de ortogonalidad resulta ser simultanea-mente condicion de ortonormalidad:

∫∞0 e−xLn(x)Lm(x) dx = δnm (8.78)

Problema: Obtener la condicion de completez de la base Ln(x). Comoconsecuencia, cualquier funcion definida en (0,∞) puede expandirse enla base de Laguerre:

f(x) =∞X

n=0

cnLn(x)

8.6.1. Ecuacion asociada de Laguerre

Siguiendo un procedimiento analogo al implementado sobre la ecuacion de Le-gendre para generar la ecuacion de Legendre asociada podemos obtener la ecuacionasociada de Laguerre:

xy + (k + 1− x)y + ny = 0 ,

Las soluciones las denotamos por Lkn(x) y son tales que:

Lkn(x) = (−)kdk

dxkLn+k(x)

=exx−k

n!

dn

dxn(e−xxn+k) (Formula de Rodrigues)

=

n∑

m=0

(−)m(n+ k)!xm

(n−m)!(k +m)!m!, k > −1

La funcion generatriz es:

e−xt/(1−t)

(1− t)k+1=

∞∑

n=0

tnLkn(x) ,

y la condicion de ortogonalidad se escribe:

∫ ∞

0

xke−xLkn(x)Lkm(x) dx =

(n+ k)!

n!δnm (8.79)


Es tambien cierto que∫ ∞

0

x(k+1)e−x(Lkn(x)

)2dx =

(n+ k)!

n!(2n+ k + 1)

Algunas relaciones de recurrencia son

• (n+ 1)Lkn+1(x) = (2n+ k + 1− x)Lkn(x) − (n+ k)Lkn−1(x)

• xLkn(x) = nLkn(x)− (n+ k)Lkn−1(x)

• Lkn−1(x) + Lk−1n (x) = Lkn(x)

Problema: Demostrar que en forma autoadjunta la ecuacion asociada de La-guerre se escribe:

d

dx(xk+1e−xy) + ne−xxky = 0 ,

y que de aquı se sigue la ortogonalidad de la base Lkn respecto al ındicen en el dominio (0,∞):

(n−m)

Z ∞

0xke−xLknL

km dx = [xk+1e−x(LknL

km − LkmL

kn)]∞0 = 0

Problema: Obtener la condicion de completez para la base Lkn(x).

Problema: Demuestre que la expansion de e−ax en la base Lkn(x) en x :(0,∞) es:

e−ax =1

(1 + a)1+k

∞X

n=0

„a

1 + a

«nLkn(x)

8.6.2. La familia de la ecuacion de Laguerre

Una familia bastante simple puede obtenerse si hacemos:

Lp(x) = eaxψp(x) .

p es un entero positivo. Es directo demostrar que:

xψp(x) + ψp(x)[1 + (2a− 1)x] + ψp(x)[ax(a − 1) + a+ p] = 0

Para la ecuacion de Laguerre asociada, si proponemos:

Lkp(x) = xbeaxψkp (x)

obtenemos la familia:

xψkp (x) + ψkp (x)[(2a− 1)x+ 2b+ k + 1]

+ψkp (x)[a(a− 1)x+ b(b+ k)/x+ 2ab+ a− b+ ak + p] = 0


En particular, si 2a = 1, 2b+ k + 1 = 0, se sigue:

ψkp (x) = x(k+1)/2e−x/2Lkp(x) (8.80)

ψkp (x) + ψkp (x)

[−(k2 − 1)

4x2+

(2p+ k + 1)

2x− 1

4

]= 0 (8.81)

Esta es la ecuacion que proviene de la teorıa de Schrodinger para el atomo dehidrogeno, como lo veremos en la siguiente seccion.

8.6.3. El atomo de hidrogeno

Una aplicacion importante de la ecuacion asociada de Laguerre es el estudiomecanico cuantico del atomo de Hidrogeno, el que consiste en un nucleo (proton) decarga positiva alrededor del cual hay una nube de probabilidad electronica descritapor la funcion ψ. El electron tiene una energıa potencial V = −K/r, donde K =q2/4πε0 en unidades MKSC; m es la masa del electron.

En tres dimensiones la ecuacion de Schrodinger se escribe, en el caso estacionario,como:

− ~2

2m∇2ψ + V ψ = Eψ ;

en coordenadas esfericas, y haciendo uso de un resultado del capıtulo 3 de acuerdoal cual:

∇2ψ =1

r

∂2

∂r2(rψ) − L2ψ

r2,

podemos escribir:

− ~2

2m

[1

r

∂2

∂r2(rψ) − L2ψ

r2

]− K

rψ = Eψ

La separacion de variables: ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Ylm(θ, ϕ)/r conduce a las dos ecua-ciones siguientes donde l(l+ 1) es la constante de separacion:

L2Ylm(θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm(θ, ϕ) ,

que asegura que los armonicos esfericos son autofunciones del operador L2 conautovalores l(l+ 1).

La otra ecuacion, para la parte radial (conocida como ecuacion de onda deCoulomb), es:

R(r) +

[− l(l+ 1)

r2+λ

r+ b

]R(r) = 0 , (8.82)

donde: λ ≡ 2mK

~2y b ≡ 2mE

~2. (8.83)


Notemos en la ecuacion (8.81) que k, n y x son adimensionales. En (8.82), sinembargo, la variable r tiene dimensiones de longitud. Ası pues, para comparar (8.81)y (8.82) debemos adimensionalizar esta ultima, lo que logramos con el cambio devariable r = αx, teniendo α unidades de longitud y siendo x adimensional. Ası,(8.82) se escribe:

R(x) +

[− l(l+ 1)

x2+αλ

x+ bα2

]R(x) = 0 (8.84)

De (8.81) y (8.84) se sigue:• R(x) ∝ ψkn(x)• l(l + 1) = (k2 − 1)/4, de donde: k2 = 4l2 + 4l + 1 = 4(l+ 1/2)2

y por lo tanto: k = 2l + 1 , con k > 0.• bα2 = −1/4, de donde:

α2 = −1/4b = − ~2

8mE(8.85)

• αλ = (2p+k+1)/2, y reemplazando k = 2l+1 : αλ = p+ l+1; reemplazandoλ y α de (8.83) y (8.85) resulta:

−i√mK2

2E~2= p+ l + 1

p y l son reales, tal que E debe ser negativo: E = −|E|, de donde se concluye que:

√mK2

2|E|~2= p+ l + 1

Por otra parte p debe ser un entero para que haya convergencia de la solucion;tambien l es entero. Se sigue que el radical ha de ser un entero n = p+ l + 1:

√mK2

2~2|E| = n

Ası pues:

E = −|E| = − K2m

2~2n2

En consecuencia, la energıa del electron en el atomo de hidrogeno esta cuan-tizada, es decir no toma valores arbitrarios, sino solo los asociados a los valoresn = 1, 2, 3 . . . Finalmente, la funcion de onda ψ(r, θ, ϕ) es

ψ(r, θ, ϕ) =R(r)

rYlm(θϕ) = C

ψkp (x)

rYlm(θ, ϕ) ,


y segun (8.80):

ψ(r, θ, ϕ) = Ce−x/2xk+1

2−1Lkp(x)Ylm(θ, ϕ) ;

con: k = 2l + 1, x = r/α, p = n− l − 1, α = ~2n/2mK escribimos, finalmente, lafuncion de onda del electron en el atomo de Hidrogeno en la forma

ψnlm(r, θ, ϕ) = C ′e−r/2αrlL2l+1n−l−1(r/α)Ylm(θ, ϕ)

En la mecanica cuantica (n, l,m) son los numeros cuanticos de energıa, momentoangular y proyeccion z del momento angular (numero cuantico azimutal). Comosabemos, dado un valor de l, hay 2l+1 valores de m que van desde −m hasta m enpasos enteros. Ademas, el subındice del polinomio P 2l+1

n−l−1 debe cumplir n− l−1 ≥ 0por lo cual, dado n tendremos l ≤ n − 1. En consecuencia, las funciones de ondaψnlm del atomo de hidrogeno son clasificables del siguiente modo:

n = 1, l = 0, m = 0

n = 2

l = 0

l = 1

m = 1m = 0m = −1

n = 3

l = 0

l = 1

m = 1m = 0m = −1

l = 2

m = 2m = 1m = 0m = −1m = −2

Cada uno de estos tripletes (n, l,m) define lo que se conoce como un orbital,nocion que reemplaza la de orbita del electron, utilizada en el modelo atomico deBohr. Los estados con l = 0, 1, 2, 3, 4, . . . se conocen en la espectroscopıa comoorbitales s, p, d, f, g, . . .. Un cuarto numero cuantico, el de spin, con valores ±1/2,ha de ser introducido para dar cuenta de la distribucion de electrones en los atomos,que a su vez describe la tabla periodica de los elementos quımicos. Esto da lugar auna duplicacion del numero de orbitales.

Problema: Demuestre que la funcion de onda normalizada del atomo dehidrogeno puede escribirse como:

ψnlm(r, θ, ϕ) =

"„2

na0

«3 (n− l − 1)!

2n(n+ l)!

#1/2

e−r/2αrlL2l+1n−l−1(r/α)Ylm(θ, ϕ)

8.7. ECUACION DE GEGENBAUER 355

Problema: El estado normal del atomo de hidrogeno es el de mas baja ener-gıa, (n = 1). Le corresponde una funcion de onda:

ψ100 =1qπa30

e−r/a0

donde a0 = 2α = 4~2πε0/mq2 es el radio de Bohr. La densidadvolumetrica de probabilidad de localizacion del electron es dP/dV =ψ∗

100ψ100, de modo que dP/dr = 4πr2|ψ100 |2. Demuestre que la distan-cia mas probable a la que se encuentra el electron del nucleo es r = a0,coincidente con el radio de la primera orbita de Bohr.

8.7. Ecuacion de Gegenbauer

Esta ecuacion tiene la forma

(1− x2)y − (2λ+ 1)xy + l(l+ 2λ+)y = 0 .

La forma de Sturm-Liouville puede obtenerse teniendo en cuenta que:

p = (1− x2)λ−1/2 , q = (1− x2)λ+1/2 , con lo cual

d

dx

((1− x2)λ+1/2y

)+ l(l + 2λ)(1− x2)λ−1/2y = 0

Las soluciones a esta ecuacion forman una base ortogonal si [qW ]x=bx=a = 0, esdecir, si [(1 − x2)λ+1/2W ]x=bx=a = 0, lo que se cumple si a = −1, b = 1. Por tanto,estas soluciones, a las que llamaremos T λl (x), son ortogonales de peso (1−x2)λ−1/2,con l entero:

∫ 1

−1

(1− x2)λ−1/2T λl (x)T λm(x) dx =21−2λπΓ(l + 2λ)

(l + /λ)[Γ(l + 1)]2δlm

Los polinomios de Gegenbauer (o ultraesfericos) T λl de grado l son los coeficientesde tl en la expansion en series de la funcion (1− 2xt+ t2)−λ =

∑∞l=0 T

λl (x)tl.

Ası, los polinomios T λl (x) son una generalizacion de los polinomios de LegendrePl(x) que corresponden a λ = 1/2.

Es posible probar que

T λl (x) =

n/2∑

r=0

Γ(n− r + λ)

Γ(λ)r!(n − 2r)!(2x)n−2r (8.86)

Ahora bien, si en la ecuacion de Gegenbauer hacemos λ = 0 obtenemos laecuacion de Chebyshev I:

(1− x2)y − xy + l2y = 0 (8.87)


cuya solucion, tomada de ec.(8.86) es:

T 0l (x) = Tl(x) =

N∑

r=0

(−)rΓ(l − r)r!(l − 2r)!

(2x)l−2r

=N∑

r=0

(−)r(l − r − 1)!

r!(l − 2r)!(2x)l−2r ,

donde N = l/2 si l = par y N = (l − 1)/2 si N = impar.Una forma equivalente de definir los polinomios de Chevyshev Tl(x) y Ul(x), de

primera y segunda clase, es la siguiente:

Tl(x) = cos(l arc cosx)

Ul(x) = sen (l arcsenx)

Problema: Por substitucion directa demuestre que Tl(x) y Ul(x)satisfacen la(8.87)

Que Tl(x) y Ul(x) son soluciones independientes se sigue de observar: 1) Queson funciones seno y coseno, 2) Que Tl(1) = 1 mientras Ul(1) = 0, tal que Ul(x) nopuede ser un multiplo constante de Tl(x).

La solucion Ul(x) puede tambien escribirse en la forma:

Ul(x) =√

1− x2

N∑

r=0

(−)r(l − r − 1)!

r!(l − 2r − 1)!(2x)l−2r−1

Las primeras funciones de Chevyshev tienen la forma:

T0 = 1 U0(x) = 0

T1(x) = x U1(x) =√

1− x2

T2(x) = 2x2 − 1 U2(x) = 2x√

1− x2

T3(x) = 4x3 − 3x U3(x) = (4x2 − 1)√

1− x2

T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1 U4(x) = (8x3 − 4x)√

1− x2

Las funciones generatrices de los polinomios de Chevyshev son:

1− t21− 2xt+ t2

=

∞∑

l=0

εlTl(x)tl

√1− t2

1− 2xt+ t2=

∞∑

l=0

Ul(x)tl , (8.88)

8.7. ECUACION DE GEGENBAUER 357

1−1

1

−1 T3(x)

T2(x)

T1(x)

T0(x)

Figura 8.13: Polinomios de Chebyshev, Tn(x)

1−1

1

−1

U1(x)

U2(x) U3(x)

Figura 8.14: Polinomios de Chebyshev, Un(x)


con ε0 = 1, ε1 = ε2 = ε3 . . . = 2. Las condiciones de ortogonalidad toman la forma:

∫ 1

−1

Tl(x)Tm(x)√1− x2

dx =

0, l 6= mπ/2, l = m 6= 0π, l = m = 0

∫ 1

−1

Ul(x)Um(x)√1− x2

dx =

0, l 6= mπ/2, l = m 6= 00, l = m = 0

Problema: Utilizando (8.88) demuestre la condicion de ortogonalidad paraTl(x).

Algunos valores especiales:

Tl(1) = 1 Ul(1) = 0T(−1) = (−1)l Ul(−1) = 0T2l(0) = (−1)l U2l(0) = 0T2l+1(0) = 0 U2l+1(0) = (−1)l

y algunas relaciones de recurrencia, validas tambien para Ul(x), son:

• Tl+1(x) − 2xTl(x) + Tl−1(x) = 0

• (1− x2)Tl(x) = −lxTl(x) + lTl−1(x) o tambien:

• Tl−1 =

[x+

1− x2

l

d

dx

]Tl

• Tl+1 =

[x− 1− x2

l

d

dx

]Tl

Nota: La ecuacion de Chebyshev II, que tiene la forma:

(1− x2)Vl − 3xVl + l(l + 2)Vl = 0 (8.89)

es una ecuacion de la familia de Chevyshev en tanto que:

Vl(x) =Ul+1(x)√

1− x2(8.90)

Problema: Demuestre que si se reemplaza la funcion Vl(x) de (8.90) en (8.89)se obtiene la ecuacion de Chebyshev I:

(1 − x2)Ul+1 − xUl+1 + (l + 1)2Ul+1 = 0

8.8. POLINOMIOS DE JACOBI 359

8.8. Polinomios de Jacobi

Los polinomios y la ecuacion de Legendre pueden ser generalizados aun masmediante las funciones y(x) = Pα,βl (x) que satisfacen la ecuacion de Jacobi:

(1− x2)y + β − α− (α+ β + 2)xy + l(l+ α+ β + 1)y = 0

Notemos que si α = β = 0 obtenemos y = P 0,0l (x) = Pl(x). Las funciones de

Gegenbauer, Chebyshev, Laguerre y Hermite se expresan mediante polinomios deJacobi en la forma:

T λl =Γ(λ+ 1/2)Γ(l+ 2λ)

Γ(2λ)Γ(l + λ+ 1/2)Pλ−1/2,λ−1/2l (x)

Tl(x) =n

2lımλ→0

[T λl (x)

λ

], n ≥ 1

Ul(x) =√

1− x2T 1l−1(x)

Lαn(x) = lımβ→∞

[Pα,βn (1− 2x/β)

]

Hn(x) = n! lımλ→∞

[λ−n/2T λn (x/

√λ)]

Ası pues, de la ecuacion de Jacobi surgen las de Gegenbauer, Laguerre y Hermite;y de la ecuacion de Gegenbauer surgen las de Chebyshev y Legendre ordinaria.

La formula de Rodrigues se escribe:

Pαβl (x) =(−)n

2nn!(1− x)−α(1 + x)−β

dn

dxn[(1− x)α+n(1 + x)β+n

],

que equivale a la expansion en serie:

Pα,βl (x) =l∑

r=0

Γ(l + α+ 1)Γ(l + β + 1)

Γ(α+ r + 1)Γ(α+ β − r + 1)(l − r)!r!

(x− 1

2

)r (x+ 1

2

)l−r

La condicion de ortogonalidad tiene la forma:∫ 1

−1

(1− x)α(1 + x)βPα,βl (x)Pα,βm (x) dx

=2α+β+1Γ(l + α+ 1)Γ(l + β + 1)

(2l+ α+ β + 1)l!Γ(l+ α+ β + 1)δlm

Problema: Demuestre que:

a) Pα,βl (−x) = (−)lPα,βl (x)

b) Pα,βl (1) =Γ(α + l + 1)

Γ(α + 1)l!

c) Pα,β−1l (x) − Pα−1,β

l (x) = Pα,βl−1 (x)


Relaciones de recurrencia:

• Pα,βl (x) =1

2(1 + α+ β + l)Pα+1,β+1

l−1 (x)

• (x+ 1)Pα,βl (x) = lPα,βl (x) + (β + l)Pα+1,βl−1 (x)

• (x− 1)Pα,βl (x) = lPα,βl (x)− (α + l)Pα,β+1l−1 (x)

• Pα,βl (x) =1

2Pα+1,βl−1 (x) + (α + l)Pα,β+1

l−1

Otras relaciones pueden encontrarse en el libro de W. W. Bell citado en la bibli-ografıa.

8.9. Ecuacion hipergeometrica

Definimos los sımbolos de Pochhammer (α)n como:

(α)n = α(α + 1) . . . (α+ n− 1) =Γ(α+ n)

Γ(α), (α)0 = 1,

donde n es un entero positivo. Definimos la funcion hipergeometrica general en laforma:

mFn(α1, α2 . . . αm;β1, β2 . . . βn;x) =∞∑

r=0

(α1)r(α2)r . . . (αm)r(β1)r(β2)r . . . (βn)rr!

xr (8.91)

Muchas funciones especiales pueden expresarse en terminos de estas nuevas fun-ciones; como ejemplos:

8.9. ECUACION HIPERGEOMETRICA 361

• Pl(x) = 2F1

(−l, l+ 1; 1;

1− x2

)

• Pml =(l +m)!

(l −m)!

(1− x2)m/2

2mm!2F1

(m− l,m+ l + 1;m+ 1;

1− x2

)

• Jn(x) =e−ix

n!

(x2

)n1F1 (n+ 1/2; 2n+ 1; 2ix)

• H2n(x) = (−)n(2n)!

n!1F1

(−n; 1/2;x2

)

• H2n+1(x) = x(−)n2(2n+ 1)!

n!1F1

(−n; 3/2;x2

)

• Ln(x) = 1F1 (−n; 1;x)

• Lkn(x) =Γ(n+ k + 1)

n!Γ(k + 1)1F1 (−n; k + 1;x)

• Tl(x) = 2F1

(−l.l; 1

2;1− x

2

)

• Ul(x) = l√

1− x22F1

(−l+ 1, l+ 1;

3

2;1− x

2

)

• Cλl (x) =Γ(l + 2λ)

l!Γ(2λ)2F1

(−l, l+ 2λ;λ+ 1/2;

1− x2

)

Ahora bien, la ecuacion hipergeometrica (o ecuacion de Gauss) tiene la forma:

x(1− x)y + [c− (a+ b+ 1)x]y − aby = 0

La forma de Sturm-Liouville de esta ecuacion es:

d

dx

[(1− x2)a+b−c+1xcy

]− abxc−1(1− x)a+b−cy = 0

donde: p = xc−1(1−x)a+b−c, q = xc(1−x)a+b−c+1; de modo que la solucion formauna base ortogonal. Esta ecuacion tiene tres puntos singulares regulares: x = 0, 1,∞.La primera solucon, conocida como serie hipergeometrica tiene la forma (8.91), conm = 2, n = 1, (α1)r = (a)r, (α2)r = (b)r, (β1)r = (c)r:

y(x) = 2F1(a, b, c;x) = 1 +abx

c+a(a+ 1)b(b+ 1)

2!c(c+ 1)x2

+a(a+ 1)(a+ 2)b(b+ 1)(b+ 2)

3!c(c+ 1)(c+ 2)x3 + · · ·+ (a)r(b)r

r!(c)rxr + . . .

=

∞∑

r=0

(a)r(b)rr!(c)r

xr


donde: c 6= 0,−1,−2,−3, . . . Si c no es entero una segunda solucion independienteesta dada por:

y(x) = 2F1(a+ 1− c, b+ 1− c, 2− c;x)x1−c ; c 6= 2, 3, 4, . . .

Si c es entero las dos soluciones coinciden o (si ademas a o b es entero) una de ellasdiverge. En tal caso la segunda solucion incluye un termino logarıtmico.

El caso especial a = c, b = 1 genera la serie geometrica∑∞n=0 x

n. Por esto lasolucion general se llama hipergeometrica. Un estudio sistematico fue realizado porGauss, a quien se asocia esta funcion.

Si a o b es cero o entero negativo la serie ∞ se convierte en un polinomio.La serie converge para −1 < x ≤ 1 si c > a + b y converge en x = −1 si

c > a+ b− 1.Para c = −n (n = 0, 1, 2, . . .) la serie es indeterminada si a 6= −m y b 6= −m(m <

n y m entero positivo). Excluyendo estos valores de a, b, c la serie converge para−1 < x < 1, de acuerdo a las siguientes reglas:

a) Si a+ b− c > 1, la serie converge en x = 1.b) Si a+ b− c < 0, la serie converge absolutamente en x = 1.c) Si a+ b− c ≥ 1, la serie diverge en x = 1.Las funciones hipergeometricas son utiles para expresar

ln(1 + x)

x= 2F1(1, 1; 2;−x)

(1 + x)n = 2F1(−n, b; b;−x)

− ln(1− x)x

= 2F1(1, 1; 2;x)

1

2xln

(1 + x

1− x

)= 2F1(1/2, 1; 3/2;x2)

arcsenx

x= 2F1(1/2, 1/2; 3/2;x2)

arctanx

x= 2F1(1/2, 1; 3/2;−x2)

y las integrales elıpticas:

∫ π/2

0

(1− k2 sen 2θ)−1/2 dθ =π

22F1(1/2, 1/2; 1; k2)

∫ π/2

0

(1− k2 sen 2θ)1/2 dθ =π

22F1(1/2,−1/2; 1; k2) .

La ecuacion hipergeometrica confluente (o ecuacion de Kummer), cuyas solu-ciones son 1F1(α;β;x) tiene la forma:

x2y + (β − x)y − αy = 0

8.10. ANEXO 8.1: LA FUNCION GAMMA 363

Si β no es entero la segunda solucion esta dada por:

x1−β1F1(α− β + 1; 2− β;x)

Es cierto que

ex = 1F1(α;α;x)

1F1(a; c;x) = lımb→∞−−−→ [2F1(a, b; c;x/β)]

Problema: La ecuacion de Whittaker tiene la forma:

y +

−1

4+k

x+

1/4 −m2

x2

ffy = 0

Verificar, por substitucion directa, que sus soluciones son:

Mk,m(x) = x1/2−me−x/2 1F1(1/2 − k −m; 1 + 2m; x)

Mk,−m(x) = x1/2−mex/2 1F1(1/2 − k −m; 1 − 2m; x),

con α = 1/2−k−m, β = 1±2m. Mk,±m(x) se conocen como funciones

de Whittaker.

8.10. ANEXO 8.1: La funcion Gamma

Para ν real y positivo la funcion Gamma (o funcion factorial) puede definirsemediante la integral

Γ(ν) =

∫ ∞

0

xν−1e−xdx (8.93)

La condicion ν > 0 es necesaria para garantizar la convergencia de la integral en ellımite inferior.

En particular, cuando ν = 1:

Γ(1) =

∫ ∞

0

e−xdx = 1

Integrando (8.93) por partes tendremos

Γ(ν) =[xν−1e−x

]∞0

+ (ν − 1)

∫ ∞

0

xν−2e−xdx

tal que: Γ(ν) = (ν − 1)Γ(ν − 1), si ν > 1. Reemplazando ν por ν + 1 se sigue:

Γ(ν + 1) = νΓ(ν) (8.94)

Si ν = n = entero positivo, por aplicacion repetida de (8.94), se sigue Γ(n + 1) =n(n− 1)(n− 2) · · · 3 · 2 · 1 · Γ(1) equivalente a

Γ(n+ 1) = n! (8.95)


Si escribimos x2 en vez de x en (8.93) obtenemos

Γ(ν) = 2

∫ ∞

0

x2ν−1e−x2

dx (8.96)

Una aplicacon interesante de la funcion Gamma es la evaluacion de la integral∫ π/20

cosν θ sen µθ dθ. Ante todo consideremos el cuadrado de la integral que apareceen (8.96):

I(ν, µ) =

[∫ ∞

0

x2ν−1e−x2

dx

]2=

∫ ∞

0

x2ν−1e−x2

dx

∫ ∞

0

y2µ−1e−y2

dy

Evaluemos esta integral en dos formas, la primera por uso directo de la definicion(8.93), de acuerdo a la cual

I(ν, µ) =1

4Γ(ν)Γ(µ)

la segunda, escribiendo I(ν, µ) como una integral de area, pasando a coordenadaspolares y teniendo en cuenta que la integral se realiza sobre el primer cuadrante.Escribimos:

I(ν, µ) =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

x2ν−1y2µ−1e−x2−y2

dx dy

=

∫ ∞

0

e−r2

r2ν+2µ−1dr

∫ π/2

0

cos2ν−1 θ sen 2µ−1θ dθ

=1

2Γ(ν + µ)

∫ π/2

0

cos2ν−1 θ sen 2µ−1θ dθ

por lo cual, igualando las dos formas de evaluacion de I(ν, µ) podemos escribir

∫ π/2

0

cos2ν−1 θ sen 2µ−1θ dθ =Γ(ν)Γ(µ)

2Γ(ν + µ)

Si ν > −1, µ > −1, se sigue

∫ π/2

0

cosν θ sen µθ dθ =Γ( ν+1

2 )Γ(µ+12 )

2Γ(ν + µ+ 22)

En particular, si ν = µ = 0 :

∫ π/2

0

dθ =π

2= Γ(1/2) /2Γ(1)

8.10. ANEXO 8.1: LA FUNCION GAMMA 365

1 2 3 4

1

2

3

4

1/Γ(x)

Γ(x)

Figura 8.15: Funcion Gama, Γ(x) =

∫ ∞

0

un−1eu du.

y ası:Γ(1/2) =

√π

Tambien:

Γ(3/2) =1

2Γ(1/2) =

1

2

√π , Γ(5/2) =

3

2Γ(3/2) =

3

4

√π

Una ultima consideracion importante: funciones Gamma de numeros negativos.De (8.94) con ν > 0 es cierto que Γ(ν) = Γ(ν + 1)/ν, de donde se sigue queΓ(0+) → +∞. En consecuencia, realizando la extension de (8.93) a ν negativos,puede probarse que Γ(0−) → −∞, Γ(−1+) → −∞, Γ(−1−) → +∞, Γ(−2+) →+∞, dando ademas valores de Γ(ν) finitos para ν diferente de entero negativo. Porejemplo, Γ(−1/2) = Γ(1/2)/(−1/2) = −2

√π.

Problemas: Partiendo de la ecuacion (8.93) demostrar que:

•Z ∞

0xν−1e−αxdx = Γ(ν)/ν, ν > 0, a > 0

•Z ∞

0e−x

2

dx =√π/2

•Z ∞

0xme−x

ndx =

1

nΓ

„m + 1

n

«, m > 1, n > 0

•Z π/2

0tann θ dθ =

1

2Γ

„1 + n

2

«Γ

„1 − n

2

«

•Z ∞

0e−axJ0(b

√x) dx =

1

ae−b

2/4a

Apendice

Formulas utiles

f(x) =∑∞

n=0xn

n!

(dnf(x)dxn

)

x=0

(a+ b)n =∑∞

k=0n!akbn−k

k!(n−k)! , |b| < |a|

(a+ b)−n =∑∞

k=0(−1)n(n+k−1)!an−kbk

k!(n−1)! , |b| < |a|, n < 0

sen (x± y) = senx cos y ± sen y cosx

cos(x± y) = cosx cos y ∓ senx sen y

sinh(x± y) = sinhx cosh y ± sinh y coshx

cosh(x± y) = coshx cosh y ∓ sinhx sinh y

senx = (eix − e−ix)/2i

cosx = (eix + e−ix)/2

sinhx = (ex − e−x)/2

coshx = (ex + e−x)/2

eix = cosx+ i senx

senx =∑∞

n=0(−)nx2n+1

(2n+1)!

cosx =∑∞n=0

(−)nx2n

(2n)!

ex =∑∞n=0

xn

(n)!

366

Lecciones de F sica Matem atica

Documents

Transcript of Lecciones de F sica Matem atica