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1.) Definición de Espacio Vectorial y Subespacios. 

Subespacio: En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto

de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.

Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.

S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en símismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de unsubespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formadopor la recta que pasa por dos puntos.

Espacio Vectorial: Un espacio vectorial es una estructura matemática 

creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al

conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo,

cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iníciales. A los elementos de un

espacio vectorial se les llamará vectores  y a los elementos del cuerpo se lesllamará escalares.

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H 

es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por unescalar definidas en V . Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espaciovectorial “padre” V.

2.) Combinación Lineal y Generación de Espacios

Combinación lineal:

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector  que se

obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier  vector se puede poner como combinación lineal de otros que

tengan distinta dirección.

Toda expresión del tipo α 1u1 + +α nun con α 1 ∈ K se llama

combinación lineal de vectores de la familia F = {u1, u2 , , un } . Toda combinación

lineal de vectores de E es un vector de E.

Se dirá u combinación lineal de u1, u2, u = α 1u1 + +α n un

Generación de Espacios

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Generación de un espacio vectorial. Los vectores v1, v2,…, vn en unespacio vectorial V se dice que generan V, si todo vector en V puede expresarsecomo combinación lineal de ellos. Esto es, para todo v " V, existen escalares a1,a2,…, en tales que

v = a1v1 + a2v2 + …+ anvn

espacio generado por un conjunto de vectores. Sean v1, v2,…, vn n vectores enun espacio vectorial V. El espacio generado por {v1, v2,…, vn} es el conjunto delas combinaciones lineales de v1, v2,…, vn. Esto es,

gen {v1,v2,…, vn} = {v: v = a1v1 + a2v2 + …+ anvn}

donde a1, a2,…, an son escalares.

El gen {v1,v2,…,vn} es un subespacio de V.

3.) Dependencia e Independencia Lineal.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmentedependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellospuede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y suscomponentes no son proporcionales.

4.) Bases y dimensiones, teorema de la dimensión y teorema de la baseincompleta

 

Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial aun sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez

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linealmente independiente.

Propiedades de las bases.

1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño

posible).2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más

grande posible).

3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S comocombinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

T

Teorema de la base incompleta

Si E es un espacio vectorial de dimensión n y F = {u1, , ur } (r < n) un

sistema libre de E, existen n - r vectores de E que añadidos a F forman una basede E. Consecuencia: El espacio vectorial generado por los n - r vectores añadidos

a F son base del subespacio suplementario del L(F).

Teorema y definición: Dimensión.

Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo

número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.

Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes

que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo

rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de

dicho espacio. Conjunto de vectores de dicho espacio.

Teorema:.

Sea S un espacio o subespacio de dimensión m. Entonces,

• Si tenemos m vectores linealmente independientes en S, también seránsistema generador de S.

• Si tenemos m vectores que generan S, también serán linealmente

independientes.

Por tanto, si tenemos un conjunto formado por tantos vectores como indicala dimensión, dichos vectores serán a la vez linealmente independientes y sistemagenerador, o bien ninguna de las dos cosas.

Así pues, para probar que son base, bastaría probar solamente una de lasdos cosas: que son linealmente independientes, o que son sistema generador.

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Esto solamente se puede aplicar cuando conocemos la dimensión del

espacio y cuando tenemos tantos vectores como indica la dimensión.

Los Espacios RN: Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas,también conocido por espacio n-dimencional y de denota por Rn este es una

sucesión de n números reales ejemplo (a1,a2,...,an) donde los vectores Rn seclasifican así:R1 = espacio unidimensional, línea recta real.R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.Operaciones Básicas con Vectores en R2:Suma de vectores y multiplicación por un escalar:Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que:X + Y = (x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2) y la multiplicación por un escalar sedefine H(x1 , x2)=(Hx1 , Hx2).

Las propiedades que cumple la suma de vectores son las mismas que cumplíanlas estructuras algebraicas de una operación que son: la de cierre, la conmutativa,la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son:La de cierre bajo la multiplicación Hx,La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy,La asociativa (HI)x = H(Ix),y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x.Operaciones Básicas con Vectores en Rn:Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operacionesbásicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación

por un escalar la diferencia seria que en estos serian n-esimos elementos y n-esimos vectores ejemplo:Para suma de vectoresX + Y = (x1, x2,... , xn) + (y1 , y2, ... , yn).Para multiplicación de un vector por un escalar H(x1, x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn).Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicascon vectores en R2.El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn:0 = (0, 0, 0,..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U +0 = 0,

0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.

5.) Producto Escalar, Ortogonalidad, Norma y Ángulo

El producto escalar: también conocido como producto interno, interior o

punto, es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo

resultado es un número o escalar . Esta operación permite explotar los conceptos

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de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y

tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios

euclídeo de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales 

reales y complejos.

Ortogonalidad: Es una generalización de la noción geométrica deperpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el

término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión

finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de

perpendicularidad.

Norma vectorial: Es una aplicación que mide de alguna manera el

"tamaño" de los vectores en un espacio vectorial.

Un vector  es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones,

especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Para ello sehace necesario definir un operador  norma que determine la longitud o magnitud

del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer,

no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no

euclídeas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noción de

geodésica

Ángulo: es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que

tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el

radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

6.) Producto Vectorial y Mixto

Producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un

espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los

dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz(pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está

relacionado con el producto exterior ).

El producto mixto (o también conocido como triple producto escalar ) es una

operación entre tres vectores que combina el producto escalar  con el producto 

vectorial para obtener un resultado escalar .

7.) Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

En álgebra lineal, el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es

un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio 

prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de

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vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

Se define, en primer lugar, el operador  proyección mediante

donde los corchetes angulares representan el producto interior . Es evidente que

es un vector ortogonal a . Entonces, dados los vectores , el algoritmode Gram–Schmidt construye los vectores ortonormales de la manerasiguiente:

A partir de las propiedades de la proyección y del producto escalar, es sencillo probar que

la sucesión de vectores es ortogonal.

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