Álgebra lineal y geometría_capítulo

7/28/2019 lgebra lineal y geometra_captulo

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Captulo 7

La geometra del plano

y del espacio.

7.1. .onalpnunesatceR

7.2. .oicapselenesonalpysatceR

7.3. .ralacseotcudorP.solugnysaicnatsiD

7.4. leneyonalplenesallicnessarugiF

espacio: sus ecuaciones.7.5. .lairotcevotcudorP.senemlovysaer


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La geometra es la rama de la matemtica que estudia la forma y el tamao de las figuras, as

como las trasformaciones que sobre ellas se ejercen. Dependiendo de que las figuras estn en unplano o en el espacio se obtienen las geometras planas o tridimensionales.

La antigua civilizacin griega posea muchos conocimientos acerca de la geometra. Estosconocimientos fueron recogidos por uno de sus mejores exponentes, Euclides, que los recopil

en un libro denominado Los elementos. La traduccin de este libro, que lleg a Europa a travs

de la civilizacin rabe, ha sido la base de todo el estudio de la geometra hasta finales del sigloXIX. Los elementos estn basados en un sistema de verdades evidentes, denominadas axiomas, a

partir de las cuales se deducen las propiedades de las figuras mediante un razonamiento lgico.

Ejemplos de propiedades de las figuras son los siguientes:

1) Los ngulos formados por rectas perpendiculares entre s son iguales.

2) Las mediatrices de los catetos de un tringulo rectngulo se cortan en el punto medio

de la hipotenusa.

En el siglo XVII el filsofo y matemtico francs R. Descartes introdujo la nocin de coor-

denadas de un punto; todo punto tiene una representacin con respecto a unas rectas dadas que

se cortan. Los trabajos de los matemticos durante los dos siglos siguientes mostraron que laspropiedades geomtricas de las figuras pueden demostrarse ms fcilmente tilizando el siste-

ma de representacin mediante coordenadas cartesianas. Esta forma de estudiar la geometra se

denomina geometra analtica.

La geometra analtica sustituy a la geometra de Los elementos de Euclides a finales del

siglo XIX y actualmente es la forma ms extendida de estudiar la geometra.La geometra analtica del plano y del espacio ocupar gran parte de nuestra exposicin en

este captulo; dedicaremos tambin alguna seccin a estudiar propiedades de las figuras desde

el punto de vista eucldeo.

292 Captulo 7. La geometra del plano y del espacio


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7.1. Rectas en un plano7.1. RECTAS EN UN PLANO

Dadas dos rectas en un plano que se cortan en un punto O, cualquier otro punto del plano queda

determinado por dos nmeros que reciben el nombre de componentes con respecto a las rectasdadas. Estas componentes se obtienen de la siguiente manera. Fijada una unidad de medida u en

cada una de las rectas l1, l2, todo punto P del plano tiene como componentes xe y, donde xes ladistancia, medida con la unidad u, del punto P a la recta l2 siguiendo una paralela a l1, e y es la

distancia del punto P a la recta l1 siguiendo una paralela a l2, midiendo la distancia con respecto

a la unidad de medida u (figura 7.1).

Figura 7.1

Si las rectas l1 y l2 son perpendiculares, diremos que tenemos un sistema de coordenadasrectangulares o cartesianas. La primera componente se denomina abscisa del punto y la segun-

da ordenada. De acuerdo con esta nomenclatura la recta l1 se denomina eje de abscisas y l2 sedenomina eje de ordenadas, denotndose tambin por OX y OY, respectivamente. A la izquier-

da de O en la recta l1 y por debajo de O en la recta l2 se toman medidas negativas. El punto de

interseccin O se denomina origen de coordenadas (figura 7.2)

Figura 7.2

Seccin 7.1. Rectas en un plano 293


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Un plano dotado de un sistema de coordenadas se designa por .2

Otra forma de tratar a los puntos de 2 es considerarlos como el extremo de un vector cuyo

origen es el origen de coordenadas (vase la figura 7.3).

Figura 7.3

El lgebra de los vectores se ha estudiado en la seccin 1.2. La suma de los vectores v1 y v2es la diagonal del paralelogramo que tiene como lados los vectores v1 y v2 (vase figura 7.4.a)).

El producto de un vector v por un nmero real c es otro vector cuyo extremo es el punto que

tiene como componentes c veces las componentes de v; el vector cv tiene el mismo sentido quev si c es positivo y distinto sentido si c es negativo (ver figura 7.4.b)).

Figura 7.4.

Dados dos puntos P% (x1, y1) y Q% (x2, y2), se denomina vector PQ, al vector con origen

en P y extremo en Q; sus componentes son

PQ% (x2.x1, y2.y1)

y, por tanto, es equivalente al vector que tiene como origen O y extremo un punto R de coorde-nadas (x2.x1, y2.y1) (vase figura 7.5).

Dado un vector v, el conjunto de puntos extremos tv, donde t es un nmero real, determina

la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene a v como vector director (ver figura 7.6.a)).



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Figura 7.5

Figura 7.6

La recta rque pasa por el punto P y tiene a v como vector director se representa mediante el

conjunto de puntos

P! tv

donde t es un nmero real. Si P% (p1, p2) y v% (v1, v2) cualquier punto (x, y) de la recta r se

escribe de la forma

(x, y)% (p1, p2)! t(v1, v2).

Igualando componentes se tiene:

x%p1! tv1

y%p2! tv2

Fque se denominan ecuaciones paramtricas de la recta r.EJEMPLO A. Para encontrar las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntosP% (2, 1) y Q% (.1, 3) observamos que uno de sus vectores directores es PQ% (.3, 2) y

puesto que pasa por el punto P% (2, 1) se tiene

(x, y)% (2, 1)! t(.3, 2)



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o bien

x% 2. 3t

y% 1! 2tF

Figura 7.7

Nota. La representacin paramtrica de una recta no es nica; en el ejemplo anterior po-

dramos tomar 12 PQ% v como vector director y Q como uno de los puntos de la recta; se obten-

dran en este caso la ecuacin

(x, y)% (.1, 3)! tA.3

2, 1B

que representa la misma recta.

* * *

En la recta de ecuaciones paramtricas

x%p1! tv1

y%p2! tv2Fpodemos eliminar la variable real t despejndola en cada una de las ecuaciones e igualando los

resultados; si v1 y v2 son no nulos, se tiene

t%x.p1

v1

, t%y.p2

v2

y, por tanto:

x.p1

v1

%y.p2

v2

siempre que v1 y v2 sean no nulos. La igualdad anterior puede escribirse de la forma

v2x. v1y! v1p2. v2p1% 0



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o bien

ax! by! c% 0,

con a, b y c nmeros reales, que se denomina ecuacin general o implcita de la recta en coor-

denadas cartesianas, o ecuacin cartesiana.Si v1% 0, las ecuaciones paramtricas de una recta se escriben de la forma

x%p1

y%p2! tv2F .Puesto que de la primera de las ecuaciones ya se ha eliminado el parmetro t, la ecuacin gene-

ral de esta recta es

x%p1.

Si v2% 0, la ecuacin general de la recta es y%p2. Estos casos particulares corresponden a

rectas paralelas a los ejes de coordenadas (ver figura 7.8).

Figura 7.8

EJEMPLO B. Para encontrar las ecuacin cartesiana de la recta que pasa por el punto P%(2, 1)y tiene como vector director (.1, 5) escribimos sus ecuaciones paramtricas

x% 2. t

y% 1! 5tF (1.1)y eliminamos t:

t%x. 2

.1%

y.1

5.

Por tanto:

5x!y. 11%0.

Otra forma de eliminar t en (1.1) es considerar que tenemos un sistema de dos ecuaciones

con una incgnita t, mientras que x e y son constantes, es decir, el sistema

.t%x. 2

5t%y. 1F .



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Puesto que fijados xe y este sistema tiene una sola solucin en t, del teorema de Rouch-Frobe-

nius (Teorema 1.2.4) se deduce que

r

A

.1

5

B% r

A

.1 x. 2

5 y. 1

B.

Puesto que rA.1

5 B% 1 hemos de tener que rA.1 x. 2

5 y. 1B% 1, y esto es equivalente a

G.1 x. 2

5 y. 1 G%0.Desarrollando este determinante se obtiene

.y! 1. 5x! 10% 0,

que es el mismo resultado que obtuvimos anteriormente.

* * *

Dadas dos rectas en un plano pueden darse los siguientes casos:

a) Las dos rectas se cortan en un solo punto.b) Las dos rectas son paralelas.

c) Las dos rectas coinciden.

Si se conocen las ecuaciones de las rectas en coordenadas cartesianas podemos determinar

su posicin relativa, es decir, cada uno de los casos anteriores, estudiando las soluciones delsistema formado por las dos ecuaciones. Si las ecuaciones son

r1z a1x! b1y! c1% 0

r2z a2x! b2y! c2% 0

F(1.2)

tendremos el caso a) si el sistema (1.2) posee una sola solucin; por el teorema de Rouch-

Frobenius (Teorema 1.2.4) esto sucede solamente cuando

Ga1 b1

a2 b2 G0.En el caso b) el sistema (1.2) no posee solucin, y, por tanto, se ha de tener

rAa1 b1

a2 b2B rAa1 b1 .c1

a2 b2 .c2B .Finalmente, si las rectas coinciden el sistema (1.2) posee infinitas soluciones y, por tanto, se

ha de tener que

rAa1 b1

a2 b2B% rAa1 b1 .c1

a2 b2 .c2Ba 2.En los ejercicios no es conveniente memorizar los resultados obtenidos, sino obtenerlos en

cada caso mediante la utilizacin del teorema de Rouch-Frobenius (Teorema 1.2.4).



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EJEMPLO C. Las rectas de ecuaciones 3x! 2y. 7% 0 y 6x! 4y!1% 0 son paralelas,ya que

r

A

3 2

6 4

B% 1 y r

A

3 2 7

6 4 .1

B% 2.

* * *

Si las rectas estn dadas por sus ecuaciones paramtricas podemos estudiar su posicin rela-

tiva pasando a su ecuacin general en coordenadas cartesianas. Sin embargo, tambin puede

conocerse su posicin a partir de sus ecuaciones paramtricas, como se muestra en el siguiente

ejemplo.

EJEMPLO D. Dadas las rectas de ecuaciones

r1 : (x, y)% (1, 0)! t(.1, 2)

r2 : (x, y)% (.2, 1)! s(.1, .3)

Figura 7.9

ambas se cortan si y solo si existe un nico valor de t y un nico valor de s para los cuales seobtiene el mismo resultado de x e y. Por tanto, el sistema

(1, 0)! t(.1, 2)% (.2, 1)! s(.1, .3)

tiene solucin nica en t y s. Igualando componentes se tiene

1. t%.2. s

2t% 1. 3sF .t! s%.3

2t!3s% 1F .Este sistema posee solucin nica, ya que

G.1 1

2 3G%.3. 2%.5 0.



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Por tanto, las rectas dadas se cortan en un nico punto. Para encontrar las coordenadas del pun-

to de corte encontramos los valores de t y s que satisfacen el sistema anterior y sustituimos en

las ecuaciones de las rectas:

t% G.3 1

1 3 G.5

%.10

.5% 2 ; s% G

.1 .32 1 G.5

%5

.5%.1

(1, 0)! 2(.1, 2)% (.1, 4) ; (.2, 1)! (.1)(.1, .3)% (.1, 4).

Se trata, por tanto, del punto (.1, 4). Observar que solamente es necesario calcular el valor de t

o el de s, pero no ambos, para obtener el punto de corte. El hallar los dos valores sirve deadecuada comprobacin.

* * *

Supongamos que las rectas de ecuaciones

P!

tu%

(p1, p2)!

t(u1, u2)Q! sv% (q1, q2)! s(v1, v2)

son paralelas o coincidentes. En el primer caso el sistema

p1! tu1%q1! sv1

p2! tu2!q2! sv2Fno posee soluciones y en el segundo posee infinitas soluciones. En cualquier caso, aplicando el

teorema de Rouch-Frobenius (Teorema 1.2.4) el rango de la matriz de los coeficientes del sis-tema ha de ser 1 y, por tanto, se tiene

Gu1 .v1

u2 .v2 G% 0

Gu1 v1

u2 v2 G%0.

Puesto que los vectores u y v son no nulos, por el teorema del menor bsico (Teorema 2.5.2) seobtiene que u es una combinacin lineal de v, es decir:

u% cv.

Por tanto, los vectores u y v son proporcionales.

Recprocamente, si u y v son dos vectores proporcionales, las rectas que los tienen como

vectores directores son paralelas o coincidentes.

EJEMPLO E. Las rectas (1, 2)! t(.1, 4) y (. 1, 0)! s(2, .8) son paralelas o coinciden-tes, ya que (2, .8)%.2(.1, 4). Para determinar si son paralelas o coincidentes escribimos el

sistema que se obtiene de igualar las dos ecuaciones:

1. t%.1! 2s

2! 4t%.1 .8sF ;.t. 2s%.2

4t! 8s%.2F .Puesto que

G.1 .2

4 8 G% 0,



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tenemos que

rA.1 .2

4 8B%1,y puesto que

G.1 .2

4 .2 G% 2! 8% 10 0,se tiene que

rA.1 .2 .2

4 8 .2B% 2.Las rectas, por tanto, son paralelas.

* * *

Para terminar esta seccin observamos que la ecuacin

G1 x y

1 a1 a2

1 b1 b2 G%0determina una recta que pasa por los puntos A% (a1, a2) y B% (b1, b2). Para probar este resul-

tado observar que desarrollando el determinante por la primera fila se tiene:

Ga1 a2

b1 b2 G.xG1 a2

1 b2 G!y G1 a1

1 b1 G% 0,

que es la forma general de la ecuacin de una recta en coordenadas cartesianas; adems, la rectapasa por los puntos A% (a1, a2) y B% (b1, b2), ya que al sustituir xe y por los correspondientes

valores de A y B se obtiene un determinante con dos filas iguales.

EJERCICIOS 7.1

1. Dados P% (1, 0), Q% (.1, 2), u% (1,.1) y v% (3,.2), hallar las ecuaciones param-tricas y cartesianas de las siguientes rectas, y dibujarlas:

a) Recta que pasa por P y tiene como vector director 2u.

b) Recta que pasa por P y tiene como vector director u! v.

c) Recta que pasa por Q y tiene como vector director u. 2v

.

2. Demostrar que la ecuacin de una recta que pasa por los puntos P% (p1, p2) y Q% (q1, q2)puede escribirse de la forma

y.p2%q2.p2

q1.p1(x.p1), si q1.p1 0.

[Nota: El nmero (q2.p2)/(q1.p1) se denomina pendiente de la recta.]



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3. Determinar la posicin relativa de los siguientes pares de rectas y encontrar el punto deinterseccin si se cortan:

a) (x, y)% (2, 1)! t(1, 1) y (x, y)% (1, 0)! s(.5, .5).

b) x!y% 1 y 2x.y% 2.

c) 2x.y%4 y (x, y)% (2, 0)! t(.2, .4).

d) (x, y)% t(.1, 2) y (x, y)% (1, 0)! s(2, 3).

4. Determinar ecuaciones paramtricas de las siguientes rectas, y dibujarlas:

a) x.2y% 5; b) 2x.y% 3; c) x% 3; d) y% 0.

[Nota: El resultado no es necesariamente nico.]

5. Dada la recta de ecuacin ax!by! c% 0, demostrar que todas las rectas paralelas a ellatienen una ecuacin de la forma ax! by! c% 0 con c Nota: El conjunto de las] .

rectas paralelas a una dada se denomina haz de rectas con la propiedad citada.] Encontrarla ecuacin del haz de rectas paralelas a la recta que pasa por (1, 2) y tiene (.1, 1) como

vector director.

6. Encontrar las ecuaciones paramtricas y cartesianas de las siguientes rectas:

a) Paralela a (x, y)% (3, 3)! t(2, 1) que pasa por (1, 0).

b) Paralela a 2x.y% 5 que pasa por (1, .2).

c) Paralela por el punto (.2, .3) a la recta que pasa por (1, 0) y (0, 1).

7. Demostrar que la recta que pasa por los puntos P y Q tiene como ecuaciones paramtricas

(1. t)P! tQ

o bien

sP! tQ con s! t%1

con t y s nmeros reales.

8. Dadas las rectas secantes de ecuaciones

a1x! b1y! c1%0

a2x! b2y! c2% 0

comprobar que para cada par de valores reales t, s la ecuacin

t(a1x! b1y! c1)! s(a2x!b2y! c2)% 0 (*)

es una recta que pasa por el punto P de interseccin de las anteriores y que todas ellas se

obtienen as.

[Nota: (*) se denomina la ecuacin del haz de rectas que pasan por P.]



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9. Utilizar el problema anterior para encontrar:

a) La recta que pasa por (1, 1) y por la interseccin de x!y%2, 2x!y% 5.b) Ecuaciones del haz de rectas que pasan por el punto (1, 4).

c) Ecuaciones del haz de rectas que pasan por el punto (0, 0).

7.2. Rectas y planos en el espacio7.2. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

De manera anloga a como se hizo en el plano puede introducirse en el espacio un sistema de

coordenadas de manera que todo punto del espacio quede determinado por tres nmeros, que se

denominan sus coordenadas o componentes. Basta para ello considerar tres rectas que se cortan

en un solo punto, que ser el origen, y cualquier otro punto queda determinado por su distan-

cia a cada uno de los planos que determinan dos de las rectas dadas tomada paralelamente a latercera (ver figuras 7.10 y 7.11).

Figura 7.10 Figura 7.11

Si las rectas dadas, que se denominan ejes de coordenadas, son perpendiculares, tenemos un

sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano. Cada punto del espacio queda determinado

por sus tres componentes, que se denotan por (x, y, z) (x1, x2, x3).

Seccin 7.2. Rectas y planos en el espacio 303


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En 3 consideremos un sistema de coordenadas rectangulares. Todo punto P de 3 puede

interpretarse como un vector que tiene como origen el origen de coordenadas y como extremo

el punto P. La suma de vectores y el producto de un vector por un nmero real tienen en 3 lamisma interpretacin geomtrica que en el plano (ver seccin 7.1).

Dados un punto P 3

y un vector v 3

, el conjunto de puntos que se representa de laforma

P! tv,

donde t es un nmero real, determina la recta que pasa por P en la direccin de v (ver figu-ra 7.12). Si P% (p1, p2, p3) y v% (v1, v2, v3) podemos escribir sus ecuaciones paramtricas

x%p1! tv1

y%p2! tv2

z%p3! tv3F . (2.1)

Figura 7.12

EJEMPLO A. La recta que pasa por el punto P% (1, 2, 3) y tiene a v% (.1, 1, 2) comovector director tiene como ecuaciones paramtricas

x% 1. t

y% 2! t

z% 3! 2tF.* * *

Dados dos puntos P y Q en la ecuacin de la recta que pasa por ,3 P y Q tiene comoecuaciones paramtricas

P!

t(Q.

P)

ya que uno de sus vectores de direccin es v%Q.P. Por tanto, las ecuaciones paramtricas

de una recta que pasa por P y Q pueden escribirse de la forma

(1. t)P! tQ

o bien

sP! tQ con s! t%1.



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Dadas dos rectas en el espacio, existen cuatro posiciones en las cuales pueden encontrarse

(ver figura 7.13). O bien se cortan en un solo punto, o se cruzan sin cortarse, o son paralelas en

el sentido de que sus vectores directores son proporcionales o son coincidentes.La posicin relativa de dos rectas en el espacio puede determinarse estudiando el sistema

formado al igualar las correspondientes coordenadas de las dos rectas dadas y determinando sisus vectores directores son o no proporcionales en los casos segundo y tercero.

Figura 7.13

EJEMPLO B. Para determinar la posicin relativa de las rectas

(x, y, z)% (1, 0, 1)! t(.1, 1, 0)

y

(x, y, z)% (0, 1, 2)! s(2, 0, 1)

igualamos las correspondientes coordenadas para obtener el sistema

(1, 0, 1)! t(.1, 1, 0)% (0, 1, 2)! s(2, 0, 1)

o equivalentemente:

.t. 2s%.1

t. 2s% 1

. s% 1F .Puesto que

rA.1 .2

1 0

0 .1B% 2y

r

A.1 .2 .1

1 0 1

0 .1 1B% 3,

ya que

G.1 .2 .1

1 0 1

0 .1 1 G% G.1 .2 .1

0 .2 0

0 .1 1 G%.1 G.2 0

.1 1G% 2 0,



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Figura 7.14

el sistema no posee ninguna solucin. Por tanto, las rectas dadas se cruzan o son paralelas.Puesto que sus vectores directores no son proporcionales (por qu?), ambas rectas se cruzan.

* * *

Dada una recta por sus ecuaciones paramtricas como en (2.1), podemos despejar t de cadauna de las igualdades para obtener:

t%x.p1

v1

, t%y.p2

v2

, t%z.p3

v3

siempre que v1, v2 y v3 sean no nulos. Tenemos, por tanto, las igualdades

x.p1

v1

%y.p2

v2

%z.p3

v3

(2.2)

que se transforman en las tres igualdades siguientes:

v2x. v1y% v2p1. v1p2

v3y. v2z% v3p2. v2p3

v3x. v1z% v3p1. v1p3F

cada una de las cuales es consecuencia de las otras dos como se deduce fcilmente de la forma

en que se han obtenido. Por tanto, podemos escribir

v2x.

v1y% v

2p1.v1p2

v3y. v2z% v3p2. v2p3F(2.3)

como las ecuaciones de la recta dada, que reciben el nombre de ecuaciones cartesianas.

EJEMPLO C. Para hallar las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por los puntosP% (1, 0, 1) y Q% (.2, 1, 2) escribimos su ecuacin paramtrica

(x, y, z)% (1, 0, 1)! t(.3, 1, 1).



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Tenemos, por tanto:

x.1

.3%

y. 0

1%

z. 1

1

o bien

x! 3y .z% 1

x! y.z%.1F .* * *

Si alguna o algunas de las componentes del vector v son nulas (no todas pueden ser nulas!)se obtienen rectas en posiciones especiales con respecto a los ejes y planos coordenados. Por

ejemplo, si v1% v2% 0, v3 0 se obtiene una recta paralela al eje OZ que pasa por el puntoP% (p1, p2, p3); esta recta tiene como ecuaciones cartesianas

x%

p1, y%

p2 .

Se invita al lector a buscar otros casos particulares.

* * *

Dados dos vectores u y v en 3 no proporcionales y un punto P de 3 el conjunto de puntos

que se representa de la forma

P! tu! sv

con t y s nmeros reales es un plano que pasa por el punto P y tiene u y v como vectores

directores.

Figura 7.15

Si P% (p1, p2, p3), u% (u1, u2, u3) y v% (v1, v2, v3) el plano que pasa por P y tiene u y v

como vectores directores puede describirse con las igualdades



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x%p1! tu1! sv1

y%p2! tu2! sv2

z%p3! tu3! sv3F (2.4)

que reciben el nombre de ecuaciones paramtricas del plano considerado.Si queremos encontrar las ecuaciones cartesianas de este plano, es decir, ecuaciones que

solamente contengan x, y y z y no los parmetros ty s, basta con eliminar estos parmetros entre

las tres ecuaciones de (2.4). Esto puede hacerse mediante el mtodo de sustitucin, pero es msconveniente considerar (2.4) como un sistema de tres ecuaciones con incgnitas t y s que, fija-

das x, y, z, solo posee una solucin; por el teorema de Rouch-Frobenius (Teorema 1.2.4) se ha

de tener

rAu1 v1

u2 v2

u3 v3B% rA

u1 v1 x.p1

u2 v2 y.p2

u3 v3 z.p3B .

Para que esto se cumpla es necesario que

Gu1 v1 x.p1

u2 v2 y.p2

u3 v3 z.p3G% 0.

Por la propiedad 3 de los determinantes (ver seccin 2.2) para columnas se tiene

Gu1 v1 x

u2 v2 y

u3 v3 zG. G

u1 v1 p1

u2 v2 p2

u3 v3 p3G% 0.

Desarrollando el primero de los determinantes por la ltima columna se tiene

Gu2 v2

u3 v3 Gx. Gu1 v1

u3 v3 Gy! Gu1 v1

u2 v2 Gz. Gu1 v1 p1

u2 v2 p2

u3 v3 p3G% 0

que podemos escribir de la forma

ax! by! cz! d% 0,

donde a, b y c son nmeros reales. Esta ecuacin recibe el nombre de ecuacin cartesiana o

implcita de un plano.Casos particulares de esta ecuacin son, por ejemplo, x%.d z%0. El primero es un

plano que contiene a todos los puntos de la forma (.d, p2, p3) con p2, p3 cualesquiera nmeros

reales y, por tanto, es un plano paralelo al plano determinado por los ejes OY y OZ que pasa a

distancia.ddel origen (ver figura 7.16). El segundo es el plano determinado por los ejes OXyOY (ver figura 7.16).

Se invita al lector a tratar de visualizar geomtricamente otros casos particulares de la ecua-

cin cartesiana de un plano.



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Figura 7.16

EJEMPLO D. Las ecuaciones paramtricas del plano que pasa por el punto P% (1, 1, 0) ytiene como vectores directores u% (.1, 0, 2) y v% (1, 3, 3) son

x% 1. t! s

y% 1. t!3s

z% . 2t!3sF .Su ecuacin cartesiana es

G.1 1 x. 1

0 3 y. 1

2 3 z G% 0.Tenemos, por tanto:

0% G.1 1 x. 1

0 3 y. 1

2 3 z G% G.1 1 x. 1

0 3 y. 1

0 5 z! 2x. 2 G%.G3 y. 1

5 z! 2x. 2 G%

%.3z. 6x! 6! 5y. 5%.6x! 5y. 3z! 1.

* * *

Las posibles posiciones relativas de dos planos en el espacio son las siguientes (ver figu-

ra 7.17):

a) Los dos planos se cortan en una recta.

b) Los dos planos son paralelos.

c) Ambos planos coinciden.

La posicin relativa de dos planos puede determinarse a partir de sus ecuaciones, utilizando

el teorema de Rouch-Frobenius (Teorema 1.2.4) para determinar el nmero de puntos en

comn que ambos poseen. Un estudio de este tipo se realiza en los dos prximos ejemplos.



20/62

Figura 7.17

EJEMPLO E. Para hallar la posicin relativa de los planos de ecuaciones 2x! 3y.z% 1 y.x. 2y!z%0 estudiamos el sistema

2x! 3y.z% 1

.x. 2y!z% 0F .Puesto que

rA2 3 .1

.1 .2 1B% 2% rA2 3 .1 1

.1 .2 1 0Ba 3% nmero de incgnitas

el sistema tiene infinitas soluciones. Puesto que

A

2 3

.1 .2

Bes un menor bsico de la matriz

de los coeficientes, las soluciones dependen de un solo parmetro y, por tanto, los planos se

cortan en una recta.

Para determinar la ecuacin de esta recta escribimos el sistema en la forma

2x!3y% 1!z

.x.2y% .zFy lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x%

G1!z 3

.z .2GG

2 3

.1 .2 G%

.2. 2z! 3z

.1 % 2.z

y%G

2 1!z

.1 .z GG

2 3

.1 .2 G%.2z! 1!z

.1%z.1.



21/62

Haciendo z% t, se tiene

(x, y, z)% (2. t, t. 1, t)% (2, .1, 0)! t(.1, 1, 1)

que es la ecuacin paramtrica de la recta interseccin de los dos planos dados.

* * *

EJEMPLO F. Dados los planos de ecuaciones paramtricas

(x, y, z)% (1, 0, 1)! t(1, 1, 0)! s(0, 1, .1)

(x, y, z)% (0, 0, 3)! l(1, 2, .1)!m(2, 1, 1)

tratamos de determinar su posicin relativa. Igualando las correspondientes coordenadas obte-

nemos el siguiente sistema:

1! t% l! 2m

t! s% 2l! m

1. s% 3. l! mF

t! . l.2m%.1

t! s.2l. m% 0

.s! l. m% 2F.

Puesto que

el rango de la matriz de los coeficientes del sistema anterior es 2. Por otro lado:

G1 0 .1

1 1 00 .1 2

G%

G1 0 .1

0 1 10 .1 2

G% 3

y, por tanto, el rango de la matriz ampliada es 3. Esto nos lleva a deducir que no existen solu-ciones del sistema anterior y, por tanto, los planos dados son paralelos.

* * *

Observar que en el ejemplo F los vectores directores del segundo plano son combinacin

lineal de los vectores directores del primer plano, ya que

(1, 2, .1)% (1, 1, 0)! (0, 1, .1)

y

(2, 1, 1)% 2(1, 1, 0). (0, 1, .1).

Este resultado es cierto en general: si dos planos son paralelos, los vectores directores deuno de ellos son combinacin lineal de los vectores directores del otro y el recproco tambin

es cierto. La demostracin de este resultado se pide en el ejercicio 7 al final de esta seccin.

EJEMPLO G. Tratemos de hallar el plano paralelo al de ecuacin x!y!z% 0 que pasa porel punto P% (1, 1, 1).



22/62

Escribimos el plano dado en ecuaciones paramtricas; para ello basta con determinar tres de

sus puntos que no estn alineados; por ejemplo:

A% (0, 0, 0), B% (1, .1, 0), C% (0, 1, .1).

Estos puntos no estn alineados, ya que los vectores

u%AB% (1, .1, 0) y v%AC% (0, 1, .1)

no son proporcionales (por qu?). Puesto que el plano dado pasa por el punto A% (0, 0, 0) ytiene u y v como vectores directores su ecuacin paramtrica es

(x, y, z)% (0, 0, 0)! t(1, .1, 0)! s(0, 1, .1).

Como vectores directores de un plano paralelo a este pueden tomarse u y v y debido a que el

plano pedido pasa por el punto P% (1, 1, 1) su ecuacin paramtrica es

(x, y, z)% (1, 1, 1)! t(1, .1, 0)! s(0, 1, .1).

Su ecuacin en coordenadas cartesianas es

0% G1 0 x. 1

.1 1 y. 1

0 .1 z. 1 G% G1 0 x. 1

0 1 x!y. 2

0 .1 z. 1 G%z. 1!x!y. 2%x!y!z. 3,es decir,

x!y!z% 3.

Otra forma de resolver este problema es utilizando el resultado del ejercicio 8 al final de

esta seccin; en l se pide demostrar que las ecuaciones de todos los planos paralelos al planode ecuacin ax! by! cz!d% 0 pueden escribirse de la forma ax! by! cz! d% 0, don-

de d toma valores en los nmeros reales.

Aceptando este resultado, la ecuacin del plano que se busca es de la forma x!y!z!d%0;

el valor de d se calcula imponiendo que el punto P% (1, 1, 1) sea un punto de este nuevoplano; por tanto:

1! 1! 1!d% 0.

La ecuacin del plano buscado es

x!y!z.3% 0

que es el mismo resultado que se obtuvo anteriormente.

* * *

Observacin 1. Dados dos planos de ecuaciones

ax! by ! cz % d

ax! b y! cz% d(2.5)



23/62

ambos determinan una recta si y solo si

rAa b c

a b cB% 2. (2.6)Por tanto, dos ecuaciones de la forma que aparecen en (2.5) son tambin ecuaciones carte-

sianas de una recta siempre que se cumpla la condicin (2.6).

Observacin 2. Son numerosos los diferentes ejercicios que pueden hacerse referentes a

rectas y planos en el espacio. Al lector se le invita a que realice todos los ejercicios propuestosal final de esta seccin y que tambin realice algunos de su propia cosecha.

Es conveniente tambin que, siempre que sea posible, se realicen adecuadas representacio-nes geomtricas de las rectas y planos que aparecen en un problema.

EJERCICIOS 7.2

1. Dados P% (1, 1, .1), Q% (0, 1, 2), u% (.1, 2, 0) y v% (1, .1, .1), hallar las ecua-ciones paramtricas y cartesianas de las siguientes rectas en :y dibujarlas ,3

a) Recta que pasa por P con vector director u. v.

b) Recta que pasa por P y Q.

c) Recta que pasa por Q con vector director 3v.

2. Dados los siguientes pares de rectas en ,determinar su posicin relativa y, si se cortan ,3encontrar el punto de interseccin:

a) (x, y, z)% (.1, 2, 1)! t(4, 3, 2) y (x, y, z)% (0, 1, 0)! s(1, 3, 2).

b) (x, y, z)% (0, 1, 5)! t(1, 3, .2) y (x, y, z)% (5, 5, 3)! s(4, 1, 0).

c) 2x! 3y.z% 3

x. 3y% 4F yx!y% 2y.z%.1F .

3. Hallar la ecuacin de la recta paralela a la de ecuacin

3x.y! z%1

x!y. 3z%0Fque pasa por el punto (1, 1, 1).

4. De todas las rectas que pasan por el punto P% (0, 2,.1), hallar la que corta a las rectas deecuaciones

(1, 1, 2)! t(2, .1, 0)

y

(0, 1, 1)! s(.3, 1, 2).

5. Dados P% (1, 2, 3), Q% (.1, .2, .3), R% (0, 1, .1), u% (0, 1, .1) y v% (5, 1, 2),hallar las ecuaciones paramtricas y cartesianas de los siguientes planos:

a) Plano que pasa por P, Q y R.



24/62

b) Plano que pasa por P y R y es paralelo a la recta que pasa por Q y tiene u. v como

vector director.

c) Plano que contiene a R en la direccin de u! 2v y 2u! v.

6. Determinar, si es posible, la interseccin de los siguientes pares de planos en :3

a) x.y!z% 1 y 2x! 2y. 3z% 4.

b) (x, y, z)% t(1, 1,.1)! s(0, 1,.2) y (x, y, z)% (0, 1, 0)! l (0, 1,.1)!m(2, 3, 5).

c) (x, y, z)% (2, 3, 1)! (0, 1, 2)! s(3, 1, .5) y x.6y! 3z! 1%0.

7. Demostrar que dos planos son paralelos o coinciden si y solo si los vectores directores deuno de ellos son combinacin lineal de los vectores directores del otro.

8. Demostrar que las ecuaciones de los planos paralelos al plano de ecuacinax! by! cz! d% 0 pueden escribirse de la forma ax! by! cz!d%0 con d unnmero real.

9. Escribir las ecuaciones paramtricas y cartesianas de los siguientes planos y rectas en :3

a) Recta que pasa por Q% (0, 2, 1) y es paralela al plano

n : 3x.z!2% 0

y al plano que pasa por P% (1, 0, 1), Q y el origen.

b) Plano paralelo a la recta

r: (2, 1, 0)! t(1, 2, 1)

por el punto Q y que contiene al punto (1, 3, 0).

c) Todas las rectas que pasan por P y son paralelas a n y, entre ellas, la que corta a r.d) El plano que pasa por R% (2, 1, 1) y contiene a la recta

s :3x! y.z% 2

.2y!z% 1F .e) La recta que une R con la interseccin de s y el plano x.y% 1.

f) Haz de rectas que une R con los puntos de s.

g) Haz de planos que pasa por R. [Sugerencia: generalizar el problema 8 de la seccinanterior.]

10. Demostrar que

G1 x y z

1 a1 a2 a3

1 b1 b2 b3

1 c1 c2 c3 G%0es la ecuacin de un plano que pasa por los puntos A% (a1, a2, a3), B% (b1, b2, b3) yC% (c1, c2, c3).



25/62

7.3. Distancias y ngulos. Producto escalar7.3. DISTANCIAS Y NGULOS. PRODUCTO ESCALAR

Dados dos puntos P y Q en el plano, de coordenadas

P% (p1, p2)

Q% (q1, q2)

con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares, del teorema de Pitgoras se deduce que

la distancia de P a Q se puede calcular mediante la frmula (ver figura 7.18).

d(P, Q)%(q1.p1)2! (q2.p2)2.

Figura 7.18

Si los puntos P y Q estn en 3 y tienen como coordenadas

P% (p1, p2, p3)

Q% (q1, q2, q3)

aplicando el teorema de Pitgoras a los tringulos rectngulos PQS y PSR (ver figura 7.19), se

obtiene el siguiente resultado:

d(P, Q)%(q1.p1)2! (q2.p2)2! (q3.p3)2.

Dado un vector v%AB en el plano o en el espacio se denomina longitud de v y se designa

por 9v9 a la distancia entre A y B. Palabras sinnimas de longitud de un vector son mdulo de

un vector y norma de un vector.

Seccin 7.3. Distancias y ngulos. Producto escalar 315


26/62

Figura 7.19

EJEMPLO A. La longitud del vector v%AB, donde A% (1, .1, 2) y B% (3, 4, .5), es

9v9%(3. 1)2! (4! 1)2! (.5.2)2%4! 25! 49%78.

* * *

La longitud de un vector posee las siguientes propiedades:

1. 9cv9% 8c8 9v9, donde c es un nmero real y 8c8 denota el valor absoluto de c.

2. 9u! v9m 9u9! 9v9.

La segunda propiedad se denomina desigualdad triangular y geomtricamente se expresa

diciendo que cualquier lado de un tringulo es menor que la suma de los otros dos. Esta propie-

dad puede demostrarse utilizando la ley del coseno, a saber:

9u! v92% 9u92! 9v92. 29u99v9 cos (u, v).

Puesto que cos (u, v)n.1, se obtiene que

9u! v92m9u92! 9v92!29u9 9v9% (9u9! 9v9)2,

de donde se deduce el resultado tomando races cuadradas en ambos lados.

El ngulo que forman dos vectores u y v en 2 o en 3 puede obtenerse utilizando el teore-

ma del coseno; ello nos permite calcular el coseno del ngulo que forman, el cual queda unvo-



27/62


28/62

Con la nocin de producto escalar pueden atacarse problemas en el plano y en el espacio

sobre perpendicularidad y ngulos que forman algunas de las figuras anteriormente estudiadas.

Lo que sigue es una serie de problemas relativos a estos temas; esta serie no es exhaustiva ysera conveniente que el lector se propusiera sus propios problemas sobre estas nociones.

* * *

Comenzamos hallando las ecuaciones cartesianas de una recta en un plano sin necesidad

de hallar sus ecuaciones paramtricas; supongamos que la recta pasa por el punto P% (p1, p2) y

tiene a u% (u1, u2) como vector director. Un vector perpendicular a u es

v% (.u2, u1)

ya que

(u, v)%.u1u2! u2u1%0.

Figura 7.20

Un punto X% (x1, x2) est en la recta pedida si y solo si PX es perpendicular a v; por tanto:

0% (PX, v)%.(x1.p1)u2! (x2.p2)u1%.u2x1! u1x2! c

donde c%p1u2.p2u1. Esta es la ecuacin cartesiana de la recta que tiene a v% (.u2, u1)

como vector perpendicular y pasa por el punto P. Un vector perpendicular a una recta dada se

denomina tambin un vector caracterstico de la recta.

Dada la ecuacin a1x1! a2x2% c que determina una recta en un plano, un vector perpendi-

cular a ella es a% (a1, a2). Para demostrar esto basta escribir la ecuacin de la recta en la forma(a, x)% c, donde x% (x1, x2); si P% (p1, p2) es un punto de la recta se tiene (a, p)% c, con

p% (p1, p2); por tanto, tenemos (a, x)% (a, p), o equivalentemente:

(a, x.p)% 0.

Esto nos dice que (a, x)% c es la ecuacin de la recta que pasa por P y tiene a a como vector

perpendicular.



29/62

EJEMPLO C. Para hallar la ecuacin de una recta que pasa por el punto P% (1,.2) y tiene au% (1, 3) como vector director, observamos que v% (.3, 1) es un vector perpendicular a u;

por tanto:

(v, x)%.3x1!x2% c

es la forma de la ecuacin pedida; para determinar c sustituimos el punto P% (1, .2) y obte-

nemos

.3. 2% c.

Por tanto, .3x1!x2%.5 es la ecuacin de la recta.

Figura 7.21

* * *

Utilizando el producto escalar puede encontrarse la ecuacin cartesiana de un plano en elespacio cuando se conocen un punto del plano y un vector perpendicular a l. Si P%(p1, p2, p3) es

un punto del plano y u%(u1, u2, u3) es un vector perpendicular a l, cualquier punto X%(x1, x2, x3)del plano satisface

(u, XP)% 0,

como puede fcilmente observarse en la figura 7.22. La igualdad anterior puede escribirse de la

forma

u1x1! u2x2! u3x3% c.

Figura 7.22



30/62

Recprocamente, una frmula como la anterior determina un plano que es perpendicular al

vector u% (u1, u2, u3). La demostracin es similar a la realizada para la recta en el plano y se

deja como ejercicio.

EJEMPLO D. El plano que pasa por el punto P%

(1, 3, .2) y tiene a u%

(2, .1, 4) comovector perpendicular o caracterstico tiene como ecuacin una expresin de la forma

2x1.x2! 4x3% c.

El valor de c se determina imponiendo que P pertenezca al plano: 2 1. 3!4(.2)%

%.9% c. Por tanto, 2x1.x2! 4x3%.9 es la ecuacin del plano.

* * *

Sea u un vector cualquiera de 2 -El producto escalar puede utilizarse para descompo .3ner todo vector v de 2 3 en una suma de dos vectores

v% a!b

donde a es un mltiplo de u y b es perpendicular a u (ver figura 7.23).

Figura 7.23

Puesto que a es un mltiplo de u hemos de tener a% cu, con c :y, por tanto ,

v% cu! b.

Multiplicando escalarmente los dos lados de la igualdad anterior por u y teniendo en cuenta que(b, u)%0, ya que b es perpendicular a u, se tiene que

(v, u)% c(u, u).

De aqu deducimos que

a% cu%(v, u)

(u, u)u (3.2)

y, por tanto:

b% v. a% v.(v, u)

9u92u.

De la frmula (3.2) y de la frmula del coseno del ngulo que forman dos vectores deduci-

mos que

a%9v9

9u9[cos (u, v)] u



31/62

y si u es un vector unitario, es decir, de longitud 1, se tiene

a%9v9[cos (u, v)] u ,

lo cual demuestra que a es un vector en la direccin de u que tiene 9v

9[cos

(u,v

)] comomdulo (ver figura 7.24).

Figura 7.24

EJEMPLO E. Para descomponer v% (1, 3,.1) en un vector paralelo a u% (.1, 0, 1) y otroperpendicular a l, escribimos

v% a! b% cu! b,

donde b es perpendicular a u. Del razonamiento anterior deducimos que

c%(v, u)

9u92%

1 (.1)! 3 0! (.1 ) 1

(.1)2!02! 12%.2

2%.1.

Por tanto:

a%.1u% (1, 0, .1) y b% v. a% (0, 3, 0).

* * *

Dado un punto P se denomina proyeccin de P sobre una recta o un plano a un punto P, dela recta o del plano, tal que PP es perpendicular a la recta o al plano dados (ver figura 7.25).

Figura 7.25

El problema de hallar la proyeccin de un punto sobre una recta o un plano se resuelve conmtodos anlogos a los que se utilizaron para descomponer un vector en sus componentes para-

lela y perpendicular a un vector fijado. En lugar de encontrar frmulas de manera terica prefe-

rimos realizar algunos ejemplos.



32/62

EJEMPLO F. Queremos hallar la proyeccin del punto P% (1, 2) sobre la recta r de ecuacin

.2x!3y%.6

en el plano. Un vector perpendicular a la recta dada es v% (.2, 3) y, por tanto, u% (3, 2) es unvector director de la recta. Si tomamos un punto de la recta, por ejemplo, A% (0,.2), P ser

de la forma: P%A! cu. Adems, PP es perpendicular a u y, por tanto,

0% (PP, u)% (PA! cu, u)% (PA, u)! c(u, u)%

% ((.1, .4), (3, 2))! c((3, 2), (3, 2))%.11! c 13.

De aqu deducimos que c% 11/13 y, por tanto,

P% (0, .2)!11

13(3, 2)%A

33

13, .

4

13B .

Figura 7.26

EJEMPLO G. Queremos hallar la proyeccin del punto P% (1, 2, 3) sobre el plano n de ecua-cin x!y. 2z% 3; sabemos que un vector perpendicular a este plano es v% (1, 1,.2). Si Pes la proyeccin de P sobre el plano n hemos de tener PP% cv; adems (ver figura 7.25), si Aes un punto del plano, por ejemplo, A% (1, 2, 0), se tiene que AP es perpendicular a v. Por

tanto:

0% (AP, v)% (AP!PP, v)% (AP, v)! c(v, v)%

% ((0, 0, 3), (1, 1, .2))! c((1, 1, .2), (1, 1, .2))%.6! 6c.

As pues, c%1 y PP% v% (1, 1, .2). Como P%P!PP, se tiene

P% (1, 2, 3)! (1, 1, .2)% (2, 3, 1).

* * *



33/62

Se denomina distancia de un punto P a una recta o a un plano a la menor de las distancias

del punto P a cada uno de los puntos de la recta o del plano. Utilizando el teorema de Pitgoras

se demuestra que la distancia de P a una recta o a un plano coincide con la distancia de P a laproyeccin P de P sobre la recta o el plano considerados. Para demostrar esto basta observar

que si Q es otro punto de la recta o del plano (ver figura 7.27) se tiene

9PQ92% 9PP92! 9PQ92b9PP92

Figura 7.27

si QP. Puesto que ya sabemos calcular la proyeccin P de P tambin sabemos calcular la

distancia de un punto a una recta o a un plano.

En los casos de la distancia de un punto a una recta en un plano o de un punto a un plano en

el espacio se obtiene una frmula sencilla.

Proposicin 7.3.1 (Distancia de un punto a un plano)

La distancia del punto P% (p1, p2, p3) al plano n de ecuacin a1x1!a2x2! a3x3! c% 0est dada por la frmula

d(P, n)%8a1p1! a2p2!a3p3! c 8

a21! a22! a23.

Demostracin. La ecuacin del plano puede escribirse de la forma

(a, x)! c% 0

donde a% (a1, a2, a3) y x% (x1, x2, x3). Puesto que a es un vector perpendicular al plano, la

distancia d(P, n) del punto P al plano n es de la forma 9ta9, donde t debe de ser elegido de

manera que (ver figura 7.28)

P! ta%P n.

Para obtener t sustituimos en la ecuacin del plano:

0% (a, OP)! c% (a, OP! ta)! c% (a, OP)! t(a, a)! c.



34/62

Figura 7.28

De aqu deducimos que

t%.(a, OP). c

9a92

y, por tanto,

d(P, n)% 9ta9% GG.(a, OP). c

9a92aGG%

8(a, OP)! c 8

9a9

que coincide con la frmula anunciada en la proposicin.

Un razonamiento similar al anterior permite obtener el siguiente resultado, que se deja co-

mo ejercicio.

Proposicin 7.3.2 (Distancia de un punto a una recta en el plano)

La distancia del punto P%

(p1, p2) a la recta rde ecuacin a1x1!

a2x2!

c%

0 est dadapor la frmula

d(P, r)%8a1p1! a2p2! c 8

a21!a22.

EJEMPLO H. La distancia del punto P% (1, 3, .2) al plano de ecuacin

n : 3x1. 2x2! 7x3% 5

es

d(P, n)%83 1. 2 3! 7 (.2). 58

32! (.2)2! 72 %8.228

62 %22

62 .

* * *

Tratamos de hallar ahora las bisectrices de dos rectas dadas que se cortan. Tanto en el

plano como en el espacio sus ecuaciones sern de la forma

A! tu y A! sv



35/62

donde A es el punto de corte, u es el vector director de una de las rectas y v es el vector director

de la otra recta. Puesto queu

9u9y

v

9v9son vectores de igual longitud es fcil demostrar que

u9u9!

v

9v9

y

u

9u9.

v

9v9

son vectores que tienen la direccin de cada una de las bisectrices buscadas. Basta para elloobservar que los tringulos ABD y ACD de la figura 7.29 son issceles y semejantes. Las ecua-

ciones de las bisectrices sern

A! tAu

9u9u

v

9v9B .

Figura 7.29

EJEMPLO I. Deseamos hallar las bisectrices de las rectas de ecuaciones

r1 : x.y%.1, r2 : 2x!y% 4.

Un vector perpendicular a r1 es (1, .1), luego un vector director de r1 es

u% (1, 1).

Figura 7.30



36/62

Un vector perpendicular a r2 es (2, 1), luego un vector director de r2 es

v% (1, .2).

Los vectores directores de las bisectrices sern

u

9u9u

v

9v9%

(1, 1)

2u

(1, .2)

5.

Un punto por el que pasan las bisectrices es el punto de interseccin de las rectas dadas; ellector puede comprobar que este punto es A% (1, 2). Por tanto:

(x, y)% (1, 2)! tA1

2u

1

5,

1

2u.2

5Bson las ecuaciones paramtricas de las bisectrices.

* * *

Para terminar esta seccin recordamos que el ngulo que forman dos planos se define comoel ngulo que forman sus vectores perpendiculares (ver figura 7.31). Por tanto, el coseno del

ngulo que forman dos planos puede calcularse mediante la frmula obtenida al comienzo de

esta seccin.

Si el lector desea realizar algn ejercicio relacionado con este concepto puede intentar ha-llar el ngulo que forman los planos de ecuaciones

3x. 2y!z% 0 y 2x!y. 3z%0

Figura 7.31

EJERCICIOS 7.3

1. Dados los puntos P% (1, 0), Q% (.1, 1) y R% (2, 1) y las rectas

r1 : 3x!y%4, r2 : x. 2y%.1

se pide:

a) Distancia de P a Q.

b) El coseno del ngulo que forman los vectores PQ y PR.



37/62

c) El coseno del ngulo que forman las rectas r1, y r2.

d) Ecuacin cartesiana de la recta que pasa por P y es perpendicular a r1.

e) Ecuacin cartesiana de la recta que pasa por R y es perpendicular a r2.

f) Descomponer el vector PQ en un vector paralelo a la recta r1 y en otro perpendicular aella.

g) Hallar la proyeccin del punto Q sobre la recta r2.

h) Hallar la distancia de Q a r2 y de P a r1.

i) Hallar el simtrico del punto P con respecto a la recta r1.

j) Encontrar las ecuaciones cartesianas de las bisectrices de r1 y r2.

2. Dados los puntos P% (1, 0, 0), Q% (1, 0, 1) y R% (2, 3, .2) y los planos

n1 : 3x.y!z% 3, n2 : x! 2y.z%2

se pide:

a) Distancia de P a Q y de Q a R.

b) El coseno del ngulo que forman los planos n1 y n2.

c) Ecuacin del plano perpendicular al vector PQ que pasa por R.

d) La proyeccin del punto P sobre el plano n1.

e) Descomponer el vector QR en un vector perpendicular a n2 y otro paralelo a n2.

f) Encontrar las ecuaciones cartesianas de la recta perpendicular al plano n1 que pasapor R.

g) Hallar la ecuacin del plano perpendicular a la recta interseccin de los dos planosdados y que pasa por Q.

h) Distancia de Q a n2 y de P a n1.i) Hallar el punto simtrico de P respecto del plano n1.

3. Dados los puntos P% (0, 0, 1) y Q% (0, 3, 0) y las rectas de ecuaciones:

r1 : (1, 1, 0)! t(2, 0, 1), r2 : (0, 0, . 2)! s(1, .1, 3)

se pide:

a) Demostrar que r1 y r2 se cruzan.

b) Ecuacin del plano perpendicular a r1 que pasa por P.

c) Ecuaciones paramtricas y cartesianas de la recta paralela a r1 que corta a r2 en el

punto (0, 0, .2).

d) Ecuaciones de las bisectrices de la recta r2 y la encontrada en el apartado anterior.

e) La proyeccin del punto Q sobre r1.

f) Distancia de Q a r1 y de P a r2.

g) Descomponer el vector PQ en un vector paralelo y otro perpendicular a r1.

h) Ecuacin del plano paralelo a r1 que contiene a r2.

i) Ecuacin del plano paralelo a r2 que contiene a r1.



38/62

j) Distancia de r1 a r2. [Sugerencia: hallar la distancia entre los planos de los apartados

h) e i).]

4. Utilizar vectores para demostrar que las diagonales de un rectngulo son perpendiculares

si y solo si el rectngulo es un cuadrado.

5. Demostrar que las bisectrices de dos rectas que se cortan son perpendiculares.

6. Dadas las rectas de ecuaciones

r1 :x.y!z% 1

2x!y% 3F, r2 :y!z%2

x. 2y!z%0F,demostrar que se cortan y hallar las ecuaciones paramtricas de sus bisectrices.

7. Hallar la ecuacin del plano cuyo punto ms cercano al origen es P% (1, .2, 1).

8. Hallar la ecuacin de un plano que determine con los ejes coordenados segmentos de lon-

gitudes 2, 3 y 1, respectivamente.

9. Hallar la ecuacin del plano paralelo al plano de ecuacin 2x. 3y. 6z. 14% 0 y quedista 5 unidades del origen.

10. Encontrar la ecuacin del plano perpendicular al de ecuacin x. 2y. 2z! 9% 0 quepasa por los puntos P%(2, .1, 6) y Q%(1, .2, 4).

7.4. Figuras sencillas en el plano y en el espacio: sus ecuaciones7.4. FIGURAS SENCILLAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO:SUS ECUACIONES

En las secciones anteriores hemos estudiado las rectas y los planos por medio de sus ecuacio-

nes. En esta seccin estudiaremos otras figuras en el plano y en el espacio. En todas ellas seobservar que si sus ecuaciones paramtricas solo dependen de un parmetro las figuras son

curvas o trozos de curvas, mientras que si dependen de dos parmetros se trata de superficies o

trozos de superficies.Comenzamos con el segmento que une los puntos P y Q como en la figura 7.32, donde P y

Q pueden ser puntos del plano o del espacio. La recta que contiene a P y Q tiene como ecuacin

paramtrica

P! t(PQ)%P! t(Q.P)% (1. t)P! tQ

donde t es un nmero real. Si imponemos la restriccin

0m tm1

Figura 7.32



39/62

se obtienen todos los puntos del segmento PQ y solamente estos. Por tanto, el segmento PQ

puede representarse de la forma

(1. t)P! tQ con 0m tm 1.

Dado un punto X en el segmento PQ se denomina razn de X con respecto a P y Q al co-ciente

r%9PX9

9QX9.

Figura 7.33

La razn de un punto con respecto a otros dos es, por tanto, un nmero real positivo.

Dado un nmero real positivo r siempre puede encontrarse un punto X tal que su razn con

respecto a dos puntos dados P y Q distintos de X sea r. Para encontrar X observamos que

r%9PX9

9QX9

y adems:

X% (1. t)P! tQ%P! tQP

para algn t (0, 1). Para encontrar este valor de t sustituimos X en la frmula que nos da la

razn r y obtenemos

r%9tQP9

9(1. t)QP9%

t

1. t.

De aqu podemos despejar t en funcin de r:

t%r

1! r.

El punto medio del segmento PQ es un punto cuya razn es 1 con respecto a P y Q y, por

tanto, t%1/2. De aqu deducimos que el punto medio de PQ es

X%A1.1

2B P!1

2Q%

P!Q

2.

EJEMPLO

A. Queremos hallar un punto X que tenga razn 2 con respecto a los puntosP% (1, 2, 0) y Q% (.1, 0, 3). El punto X ser de la forma X% (1. t)P! tQ, donde

t%r

1! r%

2

3.

Por tanto:

X%A1.2

3B (1, 2, 0)!2

3(.1, 0, 3)%A.

1

3,

2

3, 2B .

Seccin 7.4. Figuras sencillas en el plano y en el espacio: sus ecuaciones 329


40/62

Observar que X es un punto que dista2

39PQ9 de P y

1

39PQ9 de Q.

* * *

Tres puntos no alineados A, B y C, en el plano o en el espacio, determinan un tringulo

como el de la figura 7.34. Los puntos del tringulo y su interior pueden describirse paramtrica-

mente. Los puntos del lado BC tienen como ecuacin paramtrica

(1. t)B! tC, 0m tm 1.

Figura 7.34

Uniendo A con todos los puntos del lado BCse tiene el tringulo y su interior, que satisface

la ecuacin

(1. s)A! s[(1. t)B! tC] , 0m sm 1, 0m tm 1.

Esto puede escribirse de la forma

(1. s)A! s(1. t)B! stC , 0m sm1, 0m tm1,

o bien

aA! bB! cC , a! b! c% 1 , 0m a, b, cm 1.

La demostracin de esta ltima afirmacin se deja como ejercicio para el lector.

Cuatro puntos A, B, C y D no coplanarios en el espacio determinan un poliedro de cuatro

caras triangulares, es decir, un tetraedro, como el de la figura 7.35. Puede demostrarse con unrazonamiento anlogo al anterior que los puntos del tetraedro y de su interior se representan

paramtricamente de la forma

aA! bB! cC! dD , a!b! c! d% 1 , 0m a, b, c, dm1.

Figura 7.35



41/62

EJEMPLO B. Dados A, B y C, tres puntos en el plano o en el espacio, queremos hallar lasecuaciones paramtricas de la regin sombreada de la figura 7.36. El segmento que une B con C

tiene como ecuaciones paramtricas

(1. t)B! tC , 0m tm 1.

Figura 7.36

Trazando las semirrectas que unen A con cualquiera de los puntos del segmento BC se ob-

tiene la regin sombreada. Estas semirrectas tienen por ecuacin(1. s)A! s[(1. t)B! tC] , 0m s , 0m tm 1.

* * *

Dado un tringulo cualquiera, se denominan medianas a las rectas que unen un vrtice con

el punto medio del lado opuesto.

Demostraremos a continuacin que las tres medianas de un tringulo se cortan en un punto

cuya distancia a cualquiera de los vrtices del tringulo es 2/3 de la distancia del vrtice alpunto medio del lado opuesto.

Para demostrar este resultado sean A, B y C los vrtices del tringulo; el punto medio del

lado BC esB!C

2. El punto que se encuentra del vrtice A a

2

3de la distancia de A al punto

medio del lado BC es (ver ejemplo A):

A1.2

3BA!2

3

B!C

2%

1

3A!

B!C

3%

A!B!C

3.

Figura 7.37

Realizando el razonamiento con cualquier otro vrtice se obtendr el mismo resultado. Estodemuestra nuestra afirmacin.

El punto donde se cortan las medianas de un tringulo se denomina baricentro o centro de

gravedad del tringulo.



42/62

Otros puntos caractersticos de un tringulo se obtienen como interseccin de sus alturas,

sus bisectrices o sus mediatrices. Los resultados que a ellos les conciernen se proponen en los

ejercicios del final de esta seccin.

* * *

Pasamos a continuacin a estudiar las figuras ms sencillas en el plano y en el espacio queno pueden formarse con segmentos de rectas.

En el plano tenemos la circunferencia, que es el lugar geomtrico de los puntos que equidis-

tan de un punto fijo, llamado centro. La distancia del centro a uno cualquiera de los puntos de la

circunferencia recibe el nombre de radio de la circunferencia.

Si C% (c1, c2) es el centro de la circunferencia y r el radio, un punto X% (x1, x2) est en lacircunferencia si y solo si

d(X, C)% r.

Por tanto:

(x1. c1)2! (x2. c2)

2% r2

es la ecuacin cartesiana de la circunferencia de centro C y radio r.

Figura 7.38

Ecuaciones paramtricas de la circunferencia pueden encontrarse utilizando el ngulo a queforma el radio de la circunferencia con una recta fijada que pase por el centro de la circunferen-cia (ver figura 7.38). Se tiene que

x1. c1% rcos a, x2. c2% rsena.

Por tanto,

Ex1% c1! rcos a

x2% c2! rsena

con 0m aa 2n, son las ecuaciones paramtricas buscadas.La figura que tiene a

Ex1% c1! a cos a

x2% c2! b sena

como ecuaciones paramtricas recibe el nombre de elipse (ver figura 7.39). Para encontrar suecuacin cartesiana observamos que

cos a%x1. c1

ay sen a%

x2. c2

b.



43/62

Por tanto,

1% cos2 a! sen2 a%(x1. c1)

2

a2!

(x2. c2)2

b2.

Figura 7.39

Como se ver en el Captulo 11, la elipse puede definirse de la siguiente manera: el lugargeomtrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados

focos, F1 y F2, es constante.

* * *

Otra curva que posee una definicin similar a la de la elipse es la lemniscata de Bernoui-

lli: es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuyas distancias a dos puntos fijos, llamadosfocos, F1 y F2, tienen producto igual a c

2, con 2c la distancia entre ambos focos.

Si F1% (.1, 0) y F2% (1, 0), la lemniscata de Bernouilli tiene por ecuacin

[(x!1)2!y2][(x.1)2!y2]% 1.

Figura 7.40

Simplificando esta igualdad se obtiene

(x2!y2)2. 2(x2.y2)% 0.

Escribiendo x% rcos a, y% rsena, con 0m aa 2n, tenemos que

r4% 2r2(cos2a. sen2 a).

Por tanto:

r2% 2cos2a.



44/62

Esta ecuacin, denominada ecuacin en coordenadas polares de la lemniscata de Bernouilli,

permite obtener la representacin grfica de la figura 7.40. Observar que los valores de a en losintervalos (n/4, 3n/4) y (5n/4, 7n/4) no dan puntos con coordenadas reales.

* * *La curva que describe un punto de una circunferencia cuando rueda sin deslizar sobre una

recta tiene unas ecuaciones paramtricas sencillas. Esta curva recibe el nombre de cicloide, y sugrfica se aprecia en la figura 7.41.

Figura 7.41

Si la circunferencia tiene radio 1 y est situada inicialmente como se muestra en la figura

7.42, despus de que el centro de la circunferencia haya recorrido una longitud t, el punto P setransforma en P, cuyas coordenadas x e y satisfacen

x% t. d(B, C)% t. cos a% t. cosAt.n

2B% t. sen ty% 1! d(C, P)% 1! sena% 1! sen

At.n

2B%1. cos t.

Figura 7.42

* * *



45/62

En el espacio una de las figuras ms importantes es la esfera, que posee una definicin simi-

lar a la de la circunferencia. La esfera es el lugar geomtrico de los puntos del espacio que

equidistan de un punto fijo, llamado centro. La distancia del centro a un punto cualquiera de laesfera recibe el nombre de radio de la esfera.

Figura 7.43

Si C% (c1, c2, c3) es el centro de la esfera y r su radio, cualquier punto X% (x1, x2, x3) de ellasatisface la igualdad

d(X, C)%

r.

Por tanto:

(x1. c1)2! (x2. c2)

2! (x3. c3)

2% r2

es la ecuacin cartesiana de la esfera de centro C y radio r.

Ecuaciones paramtricas de la esfera pueden encontrarse en funcin de los ngulos a y b dela figura 7.43. Tenemos

x3. c3% rcosb

mientras que 9CP9% rsenb. De aqu deducimos que

Ex1. c1% rcos a senb

x2. c2% rsena senb

x3. c3% rcosb F , 0m aa2n, 0mban,que son las ecuaciones paramtricas buscadas. Observar que estas ecuaciones paramtricas

dependen de dos parmetros, a y b, lo cual est en concordancia con el hecho de que determi-nan una superficie en el espacio.



46/62

EJERCICIOS 7.4

1. Encontrar los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales, donde A%(.1, 0,.3)

y B% (4, 3, 5).

2. Describir paramtricamente las regiones I, II, III y IV de la figura adjunta, donde A, B y Cson tres puntos no alineados.

3. Hallar la interseccin de las siguientes figuras en el plano:

a) La recta x%y! 1 y la circunferencia (x. 2)2!y2% 6.

b) El semiplano y.1

5xn

4

5y la circunferencia (x. 2)2!y2% 6.

c) El sector s(4, 1)! (1. s. t)(1, 2), tb 0, sb 0 y el semiplano x!2y. 5a0.

4. Demostrar que un criterio para que la recta A! tu toque a la circunferencia x2!y2% r2

en un solo punto es que se cumpla la igualdad

r29u92% Gu1 u2

a1 a2G2

donde u% (u1, u2) y A% (a1, a2).



47/62

5. Demostrar que si A y B son los puntos medios de los segmentos AC y BC, se tiene que

9AB9%1

29AB9.

6. Se denomina mediatriz de un segmento a la perpendicular por su punto medio. Demostrarque las tres mediatrices de los lados de un tringulo se cortan en un punto que coincide con

el centro de la circunferencia circunscrita al tringulo. (Este punto recibe el nombre decircuncentro del tringulo dado.)

7. Demostrar que el circuncentro (ver ejercicio 6) de un tringulo rectngulo se halla en elpunto medio de su hipotenusa.

8. Se denomina bisectriz de un ngulo a la recta que divide al ngulo en dos partes iguales.Demostrar que las bisectrices de los ngulos interiores de un tringulo se cortan en un solo

punto que coincide con el centro de la circunferencia inscrita en l. (Este punto recibe elnombre de incentro del tringulo dado.)

9. Cada una de las rectas que pasan por el vrtice de un tringulo y son perpendiculares allado opuesto reciben el nombre de alturas del tringulo ABC de la figura adjunta. Estas

alturas coinciden con las mediatrices del tringulo ABC de dicha figura. Deducir de este



48/62

resultado y del ejercicio 6 que las alturas de un tringulo se cortan en un punto. (Este punto

se denomina ortocentro del tringulo dado.)

10. Dado el tringulo ABC en el plano cuyos vrtices tienen coordenadas A% (.3, 0),B% (2, 1) y C% (0, 3), hallar:

a) Las coordenadas del baricentro.b) El circuncentro y la ecuacin de la circunferencia circunscrita.

c) El incentro y la ecuacin de la circunferencia inscrita.

d) El ortocentro.

(Ver los ejercicios 6, 8 y 9 para las definiciones.)

11. Hallar las ecuaciones de la altura relativa al vrtice A del prisma de base triangular BCD,donde

A% (1, 1, 3), B% (0, .1, 0), C% (1, 0, 0) y D% (0, 3, 1).

12. Encontrar las ecuaciones paramtricas y cartesianas de las siguientes figuras:

a) La circunferencia que pasa por los puntos A% (2, 1), B% (0, 3) y C% (.1, 0).

b) La esfera que pasa por los puntos A% (1, 2, 0), B% (1, 0, 2), C% (3, 0, 0) y

D% (2, 1, 2).

7.5. reas y volmenes. Producto vectorial7.5. REAS Y VOLMENES. PRODUCTO VECTORIAL

Comenzaremos encontrando una frmula para determinar el rea de un paralelogramo situado

en el plano o en el espacio. Observamos, en primer lugar, que un paralelogramo queda determi-

nado por dos vectores a y b que son linealmente independientes (ver figura 7.44).

Figura 7.44



49/62


50/62

Finalmente, recordamos que el rea de cualquier polgono es fcil calcular a partir del rea

de tringulos, ya que cualquier polgono puede triangularse (ver figura 7.46).

Figura 7.46

EJEMPLOA. Tratemos de encontrar el rea del tringulo de vrtices A% (1, 2), B% (.2, 0)y C% (1, .3). Si consideramos los vectores

a%AC% (0, .5)

y

b%AB% (.3, .2),

se tiene que

G0 .5

.3 .2 G%.15.Por tanto, el rea pedida es 15/2.

Figura 7.47

EJEMPLO B. Queremos encontrar el rea del tringulo que tiene como vrtices los puntos deinterseccin del plano de ecuacin 2x!y! 3z% 6 con los ejes coordenados (figura 7.48). Es-

tos puntos son

A% (3, 0, 0), B% (0, 6, 0) y C% (0, 0, 2)

como fcilmente puede comprobarse.



51/62

Figura 7.48

Si tomamos

a% (.3, 0, 2) y b% (.3, 6, 0),

de la Proposicin 7.5.1 deducimos que

S%1

2(9!0! 4)(9! 36! 0). (9! 0! 0)2%

1

21345. 81%

%1

2504% 314.

Observar que en este caso no podemos utilizar el determinante, mientras que s se utiliz en el

ejemplo A.

* * *

Una frmula en la que interviene un determinante de orden 3 puede utilizarse para calcular

el volumen de un paraleleppedo en el espacio. Un paraleleppedo queda determinado por tres

vectores linealmente independientes (ver figura 7.49). Si estos vectores son

a% (a1, a2, a3), b% (b1, b2, b3) y c% (c1, c2, c3)

Figura 7.49

Seccin 7.5. reas y volmenes. Producto vectorial 341


52/62

demostraremos que el volumen del paraleleppedo que ellos determinan se obtiene como el va-

lor absoluto del determinante de la matriz.

(a, b, c)%

Aa1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3B.

Para demostrarlo basta con encontrar un vector u perpendicular al plano determinado porlos vectores a y b, ya que entonces tendremos que

V% volumen% (rea de la base) 9c98cos (c, u)8

ya que la altura del paraleleppedo coincide con 9c98cos (c, u)8.Para encontrar un vector u% (x1, x2, x3) que sea perpendicular a a% (a1, a2, a3) y

b% (b1, b2, b3) basta resolver el sistema

(a, u)% a1x1!a2x2! a3x3% 0

(b, u)% b1x1!b2x2! b3x3% 0

F.

Puesto que los vectores a y b son linealmente independientes:

rAa1 a2 a3

b1 b2 b3B%2y, por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Supongamos que

Ga1 a2

b1 b2G 0y sea x3% t; tenemos que

u%1

Ga1 a2

b1 b2 GAtG.a3 a2

.b3 b2G , tGa1 .a3

b1 .b3G , tGa1 a2

b1 b2 GB .

Tomando t% Ga1 a2

b1 b2G 0, por ejemplo, se tiene que

u%AGa2 a3

b2 b3 G , . Ga1 a3

b1 b3G , Ga1 a2

b1 b2 GBque recibe el nombre de producto vectorial de a y b.

Definicin 7.5.2 (Producto vectorial de dos vectores)

Dados los vectores a% (a1, a2, a3) y b% (b1, b2, b3) en el espacio, definimos su producto vecto-

rial como el vector

a# b%AGa2 a3

b2 b3 G , . Ga1 a3

b1 b3 G , Ga1 a2

b1 b2 GB .



53/62

Una forma de recordar las componentes del vector producto vectorial de a y b es observar

que corresponden al resultado de eliminar la primera, la segunda y la tercera columna, respecti-

vamente, de la matriz

Aa1 a2 a3

b1 b2 b3Bteniendo siempre cuidado de que a la segunda componente es necesario cambiarle el signo.

Otra forma de recordarlo, procedente de la fsica, es la siguiente: sean i % (1, 0, 0),j % (0, 1, 0) y k% (0, 0, 1) los vectores coordenados unitarios; podemos escribir

a% a1 i ! a2j ! a3k

y

b%b1 i ! b2j ! b3k.

El vector a# b se obtiene desarrollando formalmente el determinante

Gi j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3 Gpor la primera fila.

EJEMPLO C. Tratemos de hallar la ecuacin cartesiana del plano que pasa por el puntoA% (2, 1, 3) y tiene u% (1, 0, .1) y v% (2, .1, 1) como vectores directores. Un vector per-

pendicular a u y v es

u# v%AG0 .1

.1 1 G , . G1 .1

2 1 G , G1 0

2 .1 GB% (.1, .3, .1);

la ecuacin de todos los planos perpendiculares au# v

es.x. 3y.z% d.

El valor de d se calcula con la condicin de que el punto A pertenezca al plano; por tanto,

tenemos .2. 3. 3%.8% d. La ecuacin del plano es

x! 3y!z% 8.

* * *



54/62

El mdulo o longitud del producto vectorial de dos vectores tiene una bonita interpretacin

geomtrica. Si los vectores dados son a% (a1, a2, a3) y b% (b1, b2, b3), y calculamos 9a# b92

se tiene que

9a# b92

%

Ga2 a3

b2 b3 G2

!

Ga1 a3

b1 b3 G2

!

Ga1 a2

b1 b2G2

% (a2b3.a3b2)2

! (a1b3. a3b1)2

!

! (a1b2.a2b1)2% a22b

2

3! a2

3b2

2! a2

1b2

3! a2

3b2

1! a2

1b2

2! a2

2b2

2.

. 2[a2b3a3b2! a1b3a3b1! a1b2a2b1]% (a2

1! a2

2! a2

3)(b2

1! b2

2! b2

3).

. a21b2

1.a2

2b2

2.a2

3b2

3. 2[a2b3a3b2!a1b3a3b1! a1b2a2b1]%

% (a21! a2

2!a2

3)(b2

1! b2

2! b2

3). (a1b1! a2b2!a3b3)2%

% 9a92 9b92. (a, b)2.

De la Proposicin 7.5.1 deducimos el siguiente resultado:

Proposicin 7.5.3 (rea de un paralelogramo en el espacio)El rea A de un paralelogramo en el espacio determinado por dos vectores a y b coincidecon el mdulo del producto vectorial de los vectores, es decir:

A% 9a# b9% 9a9 9b9 sen (a, b)

Figura 7.50

El rea del tringulo del ejemplo B podemos calcularla ahora utilizando el producto vecto-rial. En efecto, tenemos que

A% 12

9a# b9% 12 CG

0 26 0 G

2

!

G.3 2.3 0 G

2

!

G.3 0.3 6 G

2

D1/2

%

%1

2[144! 36!324]1/2%

1

2504% 314,

que coincide con el resultado encontrado en el ejemplo B.

* * *



55/62

El problema que nos ha conducido a los resultados anteriores es el de encontrar una frmula

para determinar el volumen de un paraleleppedo en Este problema puede ser resuelto ahora .3

de una forma elegante. Para el paraleleppedo de la figura 7.51 se tiene que su volumen es

V% (rea de la base) 9PC9 8cos (a# b, c)8.

Figura 7.51

Debido a la Proposicin 7.5.3 se tiene que

V% 9a#b9 9c9 8cos (a# b, c)8.

Si recordamos la frmula para calcular el coseno del ngulo que forman dos vectores (ver

seccin 7.3), obtenemos que

V% 8(a# b, c)8.

El producto escalar de a# b con c recibe el nombre de producto mixto de los vectores a, b

y c. El producto mixto de tres vectores puede calcularse utilizando un determinante, ya que

(a# b, c)%

AAGa2 a3

b2 b3G, .

Ga1 a3

b1 b3 G,

Ga1 a2

b1 b2 GB, (c1, c2, c3)

B%

% Ga2 a3

b2 b3G c1. Ga1 a3

b1 b3G c2! Ga1 a2

b1 b2 G c3% Ga1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3 G .Todos estos resultados quedan resumidos en la siguiente proposicin:



56/62

Proposicin 7.5.4 (Volumen de un paraleleppedo)

El volumen Vdel paraleleppedo determinado por los vectores a, b y c en el espacio pue-de calcularse mediante la frmula

V% 8(a# b, c)8

y coincide con el valor absoluto del determinante de la matriz

Aa1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3B

donde a% (a1, a2, a3), b% (b1, b2, b3) y c% (c1, c2, c3).

EJEMPLO D. El volumen del paraleleppedo determinado por los vectores a% (1, 2, .3),

b% (0, 1, 2) y c% (1, .2, .1) es el valor absoluto de

G1 2 .3

0 1 2

1 .2 .1 G% G1 2

.2 .1G! G2 .3

1 2 G%.1! 4! 4! 3%10.

Por tanto, V% 10.

* * *

Utilizando la Proposicin 7.5.4 puede calcularse el volumen de otras figuras en el espacio.

Si se trata, por ejemplo, de un prisma triangular determinado por los vectores a, b y c (vase

figura 7.52) se tiene que su volumen es

V%1

28(a#b, c)8

ya que dos de dichos prismas unidos por una de sus caras laterales forman un paraleleppedodeterminado por los vectores a, b y c.

Figura 7.52



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Para hallar el volumen de una pirmide de base triangular determinada por los vectores a, b yc, consideramos el prisma de base ABCy con altura igual a la de la pirmide dada (ver figura 7.53).

Figura 7.53

El prisma de base triangular de la derecha de la figura 7.53 puede dividirse en tres pirmi-

des como se muestra en la figura 7.54.

Figura 7.54

La pirmide 1 es igual a la original de la figura 7.53. Las pirmides 1 y 3 tienen igual volu-

men porque tienen igual base y altura. Las pirmides 2 y 3 tambin tienen igual volumen por-

que pueden interpretarse con vrtice comn en D y con bases los tringulos coplanarios igualesCFB y FBE. Luego las tres pirmides tienen igual volumen. Por tanto, para la pirmide de la

figura 7.53 su volumen es

V%1

68(a#b, c)8.

Este razonamiento est tomado del Curso de geometra mtrica1 (Leccin 55, -1).

* * *

1 P. Puig Adam, Curso de geometra mtrica (1956).



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El producto vectorial, que nos ha aparecido al intentar calcular reas y volmenes de figuras

tridimensionales, aparece de manera natural en algunos fenmenos fsicos. Se justifica experi-

mentalmente que una carga elctrica positiva de magnitud q, que se mueve con una velocidad v,dentro de un campo magntico de intensidad i , se encuentra sometida a una fuerza F cuyo

mdulo y direccin estn dados por

F% q(v# i ).

Una corriente que circula por un hilo recto produce un campo magntico cuyo vector F

tiene el sentido del producto vectorial del vector que seala el sentido de la corriente, v, en elhilo y el vector AB de la figura adjunta.

Estudiaremos a continuacin las propiedades del producto vectorial. Sabemos que el pro-

ducto vectorial tiene direccin perpendicular a cada uno de los vectores y su mdulo o longitudcoincide con el rea del paralelogramo que ambos vectores determinan. Sin embargo, esto

no determina completamente el producto vectorial de a y b, ya que la direccin perpendicular

a a y b posee dos sentidos opuestos. Se plantea entonces la pregunta de saber cul es el sentido

del vector a# b.Realizamos algunos ejemplos sencillos. Si e1% (1, 0, 0), e2% (0, 1, 0) y e3% (0, 0, 1),

tenemos que

e1# e2%AG0 0

1 0 G , . G1 0

0 0 G , G1 0

0 1 GB% (0, 0, 1)% e3y

e2# e1%AG1 0

0 0 G , . G0 0

1 0G , G0 1

1 0 GB%.e3.



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Nota. Las propiedades a), b) y c) se deducen inmediatamente de las propiedades ya cono-

cidas del producto vectorial. El resto de las propiedades pueden demostrarse directamente utili-

zando la definicin de producto vectorial, y se dejan como ejercicio para el lector.

Existen varias formas de calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan en el espacio;

una de ellas se sugiere en el apartado j) del ejercicio 3 de la seccin 7.3. Otra de ellas puedeobtenerse utilizando la Proposicin 7.5.4 de esta seccin. Dadas la rectas de ecuaciones

r1 : A! tu y r2 : B! sv

formamos un paraleleppedo como se muestra en la figura 7.56. El volumen del paraleleppedo

se obtiene multiplicando el rea de la base por la altura a. De las Proposiciones 7.5.3 y 7.5.4deducimos que

V% 8(u# v, AB)8% 9u# v9 a.

Figura 7.56

Puesto que la altura a del paraleleppedo coincide con la distancia de B al plano que contie-ne a r1 y es paralelo a r2 y esta, a su vez, coincide con la distancia entre las rectas dadas, la

distancia buscada es

d(r1, r2)% a% 8(u# v, AB)8/9u# v9.

EJEMPLO E. Para calcular la distancia entre las rectas de ecuaciones

r1 : (1, 0, 1)! t(2, 0, 1) y r2 : (0, 1, 1)! s(1, 3, .1)

calculamos

(u# v, AB)% G2 0 1

1 3 .1

.1 1 0 G% G0 2 1

0 4 .1

.1 1 0 G%. G2 1

4 .1 G% 6y

9u# v9%9(2, 0, 1)# (1, 3, .1)9%

GGAG

0 1

3 .1

G, .

G

2 1

1 .1

G,

G

2 0

1 3

GBGG%

%9(.3, 3, 69% (9! 9! 36)1/2%54.Por tanto,

d(r1, r2)%6

54%

2

6.

* * *



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Terminamos esta seccin haciendo algunos comentarios sobre la orientacin del plano y del

espacio y el sentido positivo de giro.

En un plano no hay una orientacin privilegiada: podemos decir cundo dos pares de vecto-res unitarios y perpendiculares entre s tienen la misma orientacin, pero no decir cul es la

orientacin de cada uno de ellos. Sin embargo, decimos que hay un sentido positivo y un senti-do negativo de giro porque siempre miramos nuestro plano de un lado fijo: el papel por el lado

en que dibujamos o las agujas del reloj desde fuera del mismo. Si usamos un plano transparen-te y lo miramos desde atrs, los sentidos de giro cambian!

Figura 5.57

En el espacio no tiene sentido preguntar si el giro en torno a un eje es positivo o negativo y

solo tiene una respuesta si se ha elegido un sentido positivo en el eje y el observador se sita en

el sentido positivo de este eje. Sin embargo, siempre podemos decidir si tres vectores unitarios

y perpendiculares entre s estn positivamente orientados: los vectores a, b y c (unitarios y per-pendiculares entre s) estn positivamente orientados si a# b% c.

EJERCICIOS 7.5

1. Hallar el rea de la figura de vrtices ABCDE, donde

A% (.2, 0), B% (.1, .2), C% (2, 1), D% (0, 1), E% (.1, 3).



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2. Hallar las ecuaciones cartesianas de los siguientes conjuntos de puntos:

a) Plano que pasa por los puntos A% (1, 2, 1), B% (.1, 3, 0) y C% (2, 1, 3).

b) Recta perpendicular a las rectas

(3, 3, 2)! t(3, .1, 2) y (1, 1, 9)! s(5, 1, .5)

y que pasa por su punto de interseccin.

c) Plano perpendicular a la recta de ecuacin (1, 2, 1)! t(.1, 2, 0) que pasa por el pun-

to (.1, 2, 3).

3. Demostrar que la distancia de un punto A a la recta B! tu en el plano puede calcularsemediante la frmula

d%G

u1 u2

a1. b1 a2. b2 G9u9

donde A% (a1, a2), B% (b1, b2) y u% (u1, u2).

[Sugerencia: utilizar que el rea de un paralelogramo en el plano puede expresarse como

un determinante.]

4. Dada la pirmide de base ABCD y vrtice E, donde A%(2, 0, 0), B%(3, 1, 0), C%(0, 1, 0),D% (.1, 0, 0) y E% (1, 1, 3), hallar:

a) El rea de la cara ABE.

b) El rea de la base.

c) El volumen del prisma.

d) La distancia entre las rectas EB y DC.

e) El valor de la altura.

5. Hallar el volumen del prisma determinado por los vectores

a% (1, 2, .1), b% (0, 1, 2) y c% (1, 2, .3).

6. Demostrar las siguientes propiedades del producto vectorial:

a) (a#b, c)% (a, b# c)% (b, c#a).

b) a# (b# c)% (a, c)b. (a, b)c.


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