1era. Edición Lu

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rés Salazar

TESTS Y JUEGOS MENTALES

CONJUNTO GENERADO

Y GENERADOR

Linealmente dependiente

y linealmente

independiente

AUTOBIOGRAFÍA DE LOS AUTORES ........................................................................................ 5

VECTORES:

INFORMACIÓN GENERAL DEL VECTOR .................................................................................. 7

DEFINICIÓN .................................................................................................................................. 7

1. Notación de un vector ...................................................................................................... 7

2. Componentes de un vector ............................................................................................. 7

PROPIEDADES ............................................................................................................................ 8

TIPOS DE VECTORES ................................................................................................................... 8

1. Vectores equivalentes...................................................................................................... 8

2. Vectores paralelos ............................................................................................................ 9

3. Vectores ortogonales ....................................................................................................... 9

4. Vectores unitarios ............................................................................................................. 9

5. Vectores unitarios estándar ............................................................................................ 9

6. Vector en posición estándar ......................................................................................... 10

7. Vector renglón ................................................................................................................. 10

8. Vector Columna .............................................................................................................. 10

9. Vector Nulo ...................................................................................................................... 10

10. Vectores en Rn ................................................................................................................. 10

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE VECTORES ................................................................... 11

OPERACIONES ............................................................................................................................. 11

1. Suma ................................................................................................................................ 11

2. Resta ................................................................................................................................ 12

3. Multiplicación de un vector por un escalar ................................................................. 12

4. Producto punto o escalar .............................................................................................. 12

5. Producto cruz o vectorial ............................................................................................... 13

6. Normalización de un vector .......................................................................................... 13

7. Distancia entre dos vectores ........................................................................................ 13

ÍNDICE

8. Proyección de un vector sobre otro ............................................................................. 14

9. Ángulo entre dos vectores ............................................................................................ 14

TEOREMA DE PITÁGORAS ........................................................................................................ 14

DESIGUALDADES ......................................................................................................................... 15

1. Desigualdad de Cauchy- Schwarz ............................................................................... 15

2. Desigualdad del triángulo .............................................................................................. 15

ECUACIONES DE RECTAS ........................................................................................................ 15

1. Rectas en R2 ................................................................................................................... 15

2. Rectas en R3 ................................................................................................................... 16

ECUACIONES DE UN PLANO EN R3 ....................................................................................... 16

TIPOS DE PLANOS ....................................................................................................................... 17

1. Planos paralelos ............................................................................................................. 17

2. Planos ortogonales ......................................................................................................... 17

DISTANCIAS CON RECTAS Y PLANOS................................................................................... 18

1. Distancia desde un punto hasta una recta ................................................................. 18

2. Distancia desde un punto hasta una plano ................................................................ 19

3. Distancia entre rectas paralelas …………………………………………………… 19

4. Distancia entre planos paralelos .................................................................................. 19

ÁNGULOS DE INTERSECCIÓN CON RECTAS Y PLANOS ................................................. 19

1. Ángulo de intersección entre rectas ............................................................................ 19

2. Ángulo de intersección entre dos planos .................................................................... 20

3. Ángulo de intersección entre una recta y un plano ................................................... 20

ARITMÉTICA MODULAR:

INFORMACIÓN GENERAL DE ARITMÉTICA MODULAR ..................................................... 21

1. Definición de aritmética modular y ejemplos .............................................................. 21

2. Inversos aditivos ............................................................................................................. 21

3. Adición en aritmética modular: ..................................................................................... 22

4. Inversos múltiplos ........................................................................................................... 22

5. Multiplicación en aritmética modular: .......................................................................... 22

6. Vectores de verificación (tanto para UPC como para ISBN) ................................... 22

7. Resolución de ecuaciones sobre Zp y sistemas lineales: ........................................ 23

CONJUNTO GENERADO Y CONJUNTO GENERADOR:

1. Espacio generado ........................................................................................................... 24

2. Linealmente independiente (l. i.): ................................................................................. 24

3. Linealmente dependiente (l. d.) ................................................................................ 24

ENTRETENIMIENTO:

TESTS Y JUEGOS MENTALES .................................................................................................. 25

1. Juego de lógica ............................................................................................................... 25

2. Juego de colores ............................................................................................................ 25

3. Juego de palabras .......................................................................................................... 25

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................... 26

Luis Alburez

Nací el 27 de junio del año 1992 (20 años). Me gradué del Colegio Alemán de Guatemala. Mis pasatiempos favoritos son: hacer deporte, escuchar música, jugar videojuegos, estar en la computadora y jugar con mis mascotas. Mis deportes favoritos son el volleyball, el basketball y el futbol. Me gusta pasar tiempo con mis amigos y me considero una persona bastante social. Hablo 4 idiomas. Actualmente estoy en segundo año de ingeniería mecatrónica.

Nathalie Barrios

Nací el 8 de enero de 1994 en Guatemala. Estudié en el Colegio Alemán de Guatemala durante toda mi niñez y parte de mi juventud. Me gusta viajar, especialmente a lugares como Disney porque me encanta pasar tiempo divertido con mi familia. Me encanta ir a lugares con mucha naturaleza, ver paisajes impresionantes como montañas, catarratas y bosques. Disfruto bastante cuando voy a la nieve. Mi Hobbie es jugar fútbol, actualmente con el equipo de la UVG, en donde curso segundo año de Ingeniería Industrial. Mis principales preocupaciones a nivel social son la pobreza y desnutrición por las que atraviesan varias familias de Guatemala. Espero que como profesional pueda dar a mi Guatemala lo que se merece.

Christopher Boehm

Nací el 26 de octubre de 1993. Soy un joven extrovertido, amable con todas las personas y que le encanta hacer amigos nuevos. Mis hobbies son wakeboard, motocross y volar aviones de R/C. Tengo 19 años, estudio Ingeniería en Ciencias de Administración en la Universidad del Valle de Guatemala, curso 2do año y trabajo en mi tiempo libre en Perfumerias Fetiche. Graduado del colegio Metropolitano.

Raúl Rodríguez Nací el 18 de agosto de 1992. Actualmente me

AUTOBIOGRAFÍA DE LOS AUTORES

encuentro estudiando ingeniería electrónica en la Universidad del Valle de Guatemala. Algunos de mis cosas preferidas son el dibujo y el viajar. Me gusta escuchar música reggae y jugar ajedrez.

Andrés Salazar Nací el 7 de junio de 1993. Soy estudiante de Ingeniería Industrial de la Universidad del Valle de Guatemala. Le gustan los deportes, especialmente el baloncesto y el fútbol americano. Sus equipos favoritos son todos los de Louisiana. Su deporte favorito es el baloncesto y lo práctica de forma recreacional.

Es un segmento de recta dirigido del punto inicial hasta el punto final, localizados

en el espacio. Pueden escribirse en 3 diferentes formas : . Mientras un

punto está compuesto por coordenadas, el vector se compone por componentes.

Figura 1. Partes generales del vector

El vector se aplica como una herramienta geométrica utilizada para representar

una magnitud física.

Figura 2. Ejemplos de aplicación del vector en la física

1. Notación de un vector

Un vector se representa de forma escrita por una letra minúscula con una flechita

en la parte superior en sentido a la derecha. Si el vector va de un punto a otro el

vector se escribe con la letra del punto de salida hacia el punto final.

2. Componentes de un vector

Son los números reales que corresponden a la medida de los vectores X y Y que

tiene el vector, en caso de R2. X, y, z son los componentes de los vectores en R3.

INFORMACIÓN GENERAL DEL VECTOR

DEFINICIÓN

Todos los vectores se caracterizan por tener:

1. Vectores equivalentes

También se les conoce como vectores equipolentes. Son vectores que tienen el

mismo módulo, dirección y sentido, diferenciándose únicamente en el origen o

punto de aplicación. De esta forma, se dice que dos vectores son equivalentes

cuando son paralelos entre sí. Todos los vectores equipolentes entre sí

representan el mismo vector, llamado vector libre. Por ejemplo, en la figura no. 2,

el vector y son equipolentes.

Figura 3. Representación de vectores equivalentes

PROPIEDADES

TIPOS DE VECTORES

2. Vectores paralelos

Cuando los vectores son múltiplos escalares entre sí, se dice que los

vectores son paralelos entre sí. Al observar dos vectores se establece que

son paralelos, cuando estos tienen la misma dirección.

Figura 4. Representación de vectores paralelos

3. Vectores ortogonales

Cuando el ángulo entre los dos vectores es recto (90°), los vectores son

ortogonales entre sí. La condición para que dos vectores cualesquiera sean

perpendiculares es que la suma de los cuadrados de sus módulos sea igual

al cuadrado del módulo de su diferencia. . En general,

dado un vector , un vector perpendicular a es .

Figura 5. Representación de vectores ortogonales

4. Vectores unitarios

Son aquellos vectores que tienen magnitud o longitud igual a 1, .

5. Vectores unitarios estándar

Se denotan por .

Figura 6. Representación de vectores unitarios estándar

6. Vector en posición estándar

Decimos que un vector está en posición estándar cuando su punto de origen está

en el origen (0,0)

7. Vector renglón

Un vector fila o vector renglón es una matriz de dimensiones 1 x N, esto es,

una matriz formada por una sola fila de N elementos.

8. Vector Columna

El un vector columna es una matriz de dimensiones M x 1, esto es,

una matriz formada por una sola columna de M elementos.

9. Vector Nulo

Es un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (o

extensión) nulo. Se representa como un cero con una flechita en la parte de arriba

apuntando a la derecha.

10. Vectores en Rn

En general, Rn se define como el conjunto de todas las n-adas coordenadas de

números reales escritos como vectores. Por

ejemplo:

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS

VECTORES EN Rn:

Conmutividad:

Asociatividad:

Distributividad:

Otras propiedades:

En Rn ya NO se

pueden representar

gráficamente los

vectores.

c

a) U+V = V+U Commutatividad

b) (U+V)+W = U+(V+W) Asociatividad

c) U+0 = U

d) U+(-U)= 0

e) C(U+V) = C V+ C U Distributividad

f) (C +D)U = CV+DU Distributividad

g) C (D U) = (CD)U

h) 1U = U

Sean y .

1. Suma

Se hace una adición de todos los componentes de cada vector, es decir se suman

los componentes “x” de los dos vectores y las dos componentes “y”.

Para graficar la suma se dibujan ambos vectores. Se traza una línea desde

la cola del último vector ( en la adición hasta la cabeza del primero .

También se puede obtener la suma, trazando un paralelogramo con . La

diagonal del paralelogramo es el vector resultante.

Figura 7. Representación gráfica de la suma vectorial

PROPIEDADES ALGEBRAICAS

DE VECTORES

OPERACIONES

2. Resta

Se restan los componentes “x” de los vectores y las componentes “y”.

La gráfica de esta resta se hace sumándole a el opuesto de , que es

3. Multiplicación de un vector por un escalar

El producto de un número por un vector es otro vector de la misma dirección y

sentido de magnitud si es positivo. Encaso contrario, el sentido del vector

es opuesto, por ejemplo cuando la magnitud de es positiva pero se

obtiene un vector, cuyos componentes son iguales que los de , solo que cada

uno con signos cambiados: . Si la magnitud de es 0 y su

dirección no se puede determinar.

4. Producto punto o escalar

a. Definición El producto escalar de dos vectores es un escalar que resulta al

multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que

forman ambos vectores.

Expresión analítica del producto punto:

Otra forma más sencilla de expresar este producto es al multiplicar

las componentes “x”, “y” (y “z”) del vector 1 con los del vector 2 y

sumar estos números.

b. Propiedades Comutatividad:

Distributividad:

Asociatividad respecto al producto por un escalar :

5. Producto cruz o vectorial

El producto cruz es una operación binaria entre 2 vectores de un espacio

tridimensional, que da como resultado un vector ortogonal a los dos

vectores originales. Se puede utilizar de Ɍ^3 para arriba. Se denota así:

O de una manera más completa:

Sus propiedades son:

1. , (anti conmutatividad)

2. , cancelación por ortogonalidad.

3. Si con y , => ; esto es, la anulación del producto

vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.

4.

5. , conocida como regla de la expulsión.

6.

7. , en la expresión del término de la derecha, sería el

módulo de los vectores a y b, siendo ,el ángulo menor entre los vectores

; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del

paralelogramo que definen ambos vectores.

8. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores

.

6. Normalización de un vector

Es el proceso de encontrar un vector unitario en la misma dirección de un vector v

dado.

Figura 8. Representación gráfica de la normal

7. Distancia entre dos vectores

La distancia entre dos vectores en se define por la siguiente

ecuación:

8. Proyección de un vector sobre otro

La proyección del vector sobre el vector se define así:

está

marcada de color rojo. De tal forma que se observa que la proyección de sobre

se encuentra sobre y es el cateto del triángulo recto formado por v y la línea

punteada.

Figura 9. Representación gráfica de una proyección entre dos vectores

9. Ángulo entre dos vectores

El ángulo entre dos vectores en Rn se puede calcular de la siguiente manera:

El Teorema de Pitágoras dice que la suma de los cuadrados de los lados de un

triángulo rectángulo, es igual al cuadrado de la hipotenusa.

C

B

El

Teor

ema

de

Pitág

oras

A C2 = A2 + B2

TEOREMA DE PITÁGORAS

1. Desigualdad de Cauchy- Schwarz

Para todos los vectores y en se puede aplicar esta relación entre la

magnitud del producto punto de los vectores y el producto de la magnitud

de los vectores:

2. Desigualdad del triángulo

Para todos los vectores y en se puede aplicar esta relación entre la

magnitud de la suma de los vectores y la suma de la magnitud de los

vectores:

1. Rectas en R2

a) Forma general:

Las rectas en R2 se dan por la ecuación general: ax+by=c, cuando b≠0. Esta forma una recta con el origen en c=0. A▪X=0 B▪Y=0

b) Forma normal

La forma normal de la ecuación es: n▪(x-p)=0, en donde p es un punto específico sobre “l” y n≠0 es un vector normal para “l”.

c) Forma vectorial

Su forma vectorial es la misma para R2 y para R3: x=p+td, en donde p es un punto específico sobre “l” y d≠0 es un vector director para”l”.

d) Ecuaciones paramétricas

De la forma vectorial se derivan sus ecuaciones paramétricas. X=p1+Td1

Y=p2+Td2

DESIGUALDADES

ECUACIONES DE RECTAS

2. Rectas en R3

a) Forma general

Las rectas en R3 se dan por las ecuaciones generales:

a1x+b1y+c1z=d1

a2x+b2y+c2z=d2

b) Forma normal

La forma normal de la ecuación es: n▪x=n▪p, en donde p es un punto

desconocido, y n es la normal.

A▪X=A▪P1 B▪Y=B▪P2 C▪Z=C▪P3

c) Forma vectorial

Su forma vectorial es la misma para R2 y para R3: x=p+td, en donde p es un punto específico sobre “l” y d≠0 es un vector director para ”l”.

d) Ecuaciones paramétricas

De la forma vectorial derivan sus ecuaciones paramétricas, las cuales son: a) X=p1+Td1 b) Y=p2+Td2 c) Z=p3+Td3

1. Forma simétrica

Su forma simétrica es

Un plano en R3 se ve de la siguiente manera:

* u y v son los

vectores dirección.

NOTACIÓN:

Rectas:

Planos:

ECUACIONES DE UN PLANO EN R3

Todo plano en R3 se puede escribir utilizando ecuaciones, como las siguientes:

1. Forma Vectorial:

En donde: y

2. Forma Normal:

En donde:

í

3. Forma General:

La forma general proviene de expandir la forma normal.

En donde:

1. Planos paralelos Este plano establece que las coordenadas del plano Q, son paralelas al plano P (Q║P). Los vectores n de los dos planos deben ser paralelos.

Figura 10. Representación de planos paralelos Q y P

2. Planos ortogonales Este plano tiene como característica que un plano se intersecta con el otro en un ángulo recto, lo que hace que los vectores n de los mismos, se intercepten formando un ángulo de 90`.

cosθ=

TIPOS DE PLANOS

Figura 11. Dos planos ortogonales

1. Distancia desde un punto hasta una recta La siguiente es una forma de calcuar la distancia desde un punto desconocido, llamemósle punto F, hasta una recta L. Para poder aplicar este método, el punto F debe de estar fuera de la recta L. La siguiente imagen sirve para visualizar mejor la idea: Figura 12. Distancia entre el punto F y la recta PD

Si despejamos para la distancia en la ecuación anterior obtenemos: Para encontrar el valor que deseamos solo necesitamos sacar la norma del vector distancia. Por lo tanto, la distancia de F a la recta está dada por:

= DISTANCIA ENTRE F Y LA RECTA

F

P

DISTANCIAS CON RECTAS Y PLANOS

2. Distancia desde un punto hasta una plano Para encontrar la distancia entre un punto F y un plano se aplica un procedimiento similar al mencionado en el inciso anterior. De igual manera, este procedimiento solo se puede aplicar si el punto está fuera del plano.

3. Distancia entre rectas paralelas La distancia de una recta a otra paralela es la distancia desde un punto cualquiera. Donde U es un vector y AB es la resta de dos puntos en las dos rectas.

4. Distancia entre planos paralelos Se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.

1. Ángulo de intersección entre rectas Cuando dos rectas se intersectan y forman 4 ángulos para calcular los estos deben cumplir con lo siguiente:

Si las dos pendientes son positivas, M2 es la mayor y m1 la menor.

Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m2 es la pendiente negativa y M1 la positiva.

P

F

La distancia de F al

plano esta dada por:

ÁNGULOS DE INTERSECCIÓN CON

RECTAS Y PLANOS

Cuando las dos pendientes son negativas, m2 tiene mayor valor absoluto

2. Ángulo de intersección entre dos planos El ángulo entre dos planos es el ángulo entre los vectores normales. Siempre se da el ángulo agudo entre los dos vectores normales.

3. Ángulo de intersección entre una recta y un plano Primero se determina la intersección entre el plano y la recta. Luego se traza, por un punto cualquiera de la recta, una recta perpendicular al plano y se determina la Intersección. El último paso es El ángulo que forman las rectas es igual al ángulo que forma la recta con el plano. La ecuación es:

Donde u y v son los vectores dirección.

1. Definición de aritmética modular y ejemplos

Creada por Carl F. Gauss en 1801, la aritmética modular es un sistema aritmética

para clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de congruencia.

También se le conoce como aritmética del reloj, ya que en el rango válido de

números enteros los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado

módulo.

Para un determinado módulo n, ésta se define de la siguiente manera:

a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" módulo n, si ambos dejan el

mismo resto si los dividimos por n, o, equivalentemente, si a − b es un múltiplo de n.

Esta relación se puede expresar cómodamente utilizando la notación de Gauss:

y así se halla por ejemplo:

Ejemplo: Resolver esta operación en Z6:

2. Inversos aditivos

El inverso aditivo de un número es el opuesto de ese número, es decir el

mismo número con el signo contrario. Esto es, el inverso aditivo de un

número x es - x. La suma de un número y su inverso aditivo siempre es

cero, eso es, x + (-x) = 0. que es el elemento neutro para suma.

INFORMACIÓN GENERAL DE ARITMÉTICA MODULAR

El tiempo llevado por este reloj

usa aritmética en modulo 12.

3. Adición en aritmética modular: La suma en aritmética modular es la más simple. Es una suma simple de números, y se

hacen sumas en cada módulo, al cual se le puede llamar n, o Zx, y al llegar la suma al

número x, este número pasa a ser cero, y empieza la cuenta de nuevo.

4. Inversos múltiplos

El inverso multiplicativo de r es un número tales que r = 1. El

número 1 se utiliza aquí porque es el elemento neutro de la multiplicación.

Ejemplos:

5 · 1/5 = 1

8 · 0.125 = 1

a/b · b/a = 1

5. Multiplicación en aritmética modular: La multiplicación en aritmética modular es similar a la suma, igualmente al llegar al

número n, o Z, este automáticamente se vuelve cero. Los Z par no tienen inverso

multiplicativo, mientras que los impares, si lo tienen. Este es el que hace que multiplicado

el número por su inverso, la respuesta sea 1.

6. Vectores de verificación (tanto para UPC como para ISBN) UPC

Es el código de barras tradicional que trae la

mayoría de productos, el cual identifica los

productos según su origen, empresa y producto.

Las barras son llamadas GTIN-12, que representan

cada número. Este código ayuda a la organización

de los inventarios en cualquier empresa. Ejemplo,

el libro de Cálculo de Dennis G. Zill tiene el código

v[7,7,0,2,1,1,1,8,0,3,7,0,D] y el vector de

verificación de los UPC es el vector c[..3,1,3,1,3,1,3,1……,1]. Se multiplica v▪c

v▪c=[7,1,0,6,1,3,1,4,0,9,7,0,D] y al eliminar estos números en Z10, el resultado es el

código verificador D=1

ISBN

El Numero Estándar Internacional de Libros, es un código verificador diseñado para

detectar errores alternos al Código Universal de Producto. Este código es un vector en

Z10 y Z13, que se encuentra en libros únicamente. Las primeras 0 componentes

representan el país, editor y el libro, la décima o ultima, es el digito verificador. Por

ejemplo, el código del libro de Cálculo de James Stewart es 0-534-34450-X

Se representa como vector b=[0.5.3.4.3.4.4.5.0.x] x= digito verificador

El vector de verificación es c=[10,9,8,7,6,5,4,3,2,1] Se opera c▪b

0+45+24+28+18+20+16+15+0+x en Z10

=0+1+2+6+7+9+5+4+0+d 1+d por 10 d=10 Se escribe como X

Código ISBN

7. Resolución de ecuaciones sobre Zp y sistemas lineales: Se puede utilizar el método de Gauss, o Gauss Jordan para resolver ecuaciones lineales

en Zp (A|B),, obteniéndose un equivalente en forma triangular fácil de resolver

1. Espacio generado Este es el conjunto generado por todas las posibles combinaciones lineales entre los

vectores v1,v2,…,vk. Se representa por

Este conjunto se representa por

Gen {v1, v2,… vk}

Si V = Gen fv1; v2; : : : ; vkg diremos que fv1; v2; : : : ; vkg genera a V y que fv1; v2; : : : ;

vkg es un conjunto generador de V .

Conjunto generador

Este es el que operando todos sus miembros, puede crear todos los elementos de su

espacio. Un conjunto generador de un grupo X, es un subconjunto Y de X, tal que todo

elemento

de X puede ser expresado como el producto de un número finito de elementos de Y y sus

inversos.

2. Linealmente dependiente (l. d.) Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si existe un vector que es una

combinación lineal de otros. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (2, −1, 1), (1, 0,

1) y (3, −1, 2) es linealmente dependiente, ya que el tercero es la suma de los dos

primeros. Es decir si existen escalares c1, c2, … ck y al menos uno de ellos no es 0, tales

que: c1v1, c2v2, ckvk=0.

Además, cualquier conjunto que contenga al vector cero es l.d.

3. Linealmente independiente (l. i.): Un conjunto de vectores es independiete si ninguno puede ser escrito como combinación

lineal de los otros. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (5, 0, 5), (0, 0, 0) y (4, 3, 2)

es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que

el tercero es la suma de los dos primeros. Es decir es el conjunto de vectores que NO es

linealmente dependiente y esto ocurre cuando todos los escalares son 0.

CONJUNTO GENERADO Y GENERADOR

1. Juego de lógica Piensa en lo siguiente: Un mudo quería comprar un cepillo de dientes. Al imitar la acción

de cepillarse los dientes, logró expresarse con señas de manera que el dependiente le

entendió y pudo realizar la compra. Ahora, si un ciego quisiera comprar un par de gafas

oscuras, ¿cómo debería hacerlo? Piensa en ello antes de leer la respuesta más abajo…

Ya lo pensaste?? Repite su acción en tu mente una vez más…

El ciego abre la boca y dice: ¿Me puede dar un par de gafas oscuras

por favor?

Si tu respuesta fue cualquier otra, piensas por inercia y no por lógica

2. Juego de colores Mira la siguiente imagen y di en voz alta el color, no la palabra.

¿Complicado no es así? Esto ocurre porque la parte derecha de tu cerebro intenta decir

el color pero la parte izquierda insiste en la palabra. Ambas partes están en conflicto. Te

será más fácil ignorar el color y leer la palabra. Compruébalo!

3. Juego de palabras Piensa en la respuesta de esta pregunta: ¿Cuál es una palabra de

cuatro letras que se escribe con tres aunque tiene seis mientras se

escribe con ocho, raramente consta de nueve y nunca se escribe con

cinco?

Escribe aquí tu respuesta:

_________________________________________________

La respuesta correcta son las palabras: ‘cual’ ‘que’ ‘aunque’ ‘mientras’ ‘raramente’ y

‘nunca’ .

TESTS Y JUEGOS MENTALES

Figura 2 :

http://www.google.com.gt/imgres?um=1&hl=es&client=firefox-

a&hs=Xrw&sa=X&tbo=d&rls=org.mozilla:es-

ES:official&biw=1138&bih=553&tbm=isch&tbnid=TOWpaO30_YD0-

M:&imgrefurl=http://html.rincondelvago.com/vectores_11.html&docid=bl-

aLZdabo8MpM&imgurl=http://html.rincondelvago.com/000467453.jpg&w=922&h=600&ei=

brP0UI-

mIoKK9QSLkYCQAg&zoom=1&iact=rc&dur=470&sig=106869855288854470839&page=1

&tbnh=136&tbnw=209&start=0&ndsp=18&ved=1t:429,r:16,s:0,i:124&tx=79&ty=38

Figuras 4 y 5:

http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?anchor=klpmatgeo&tipo=imprimir&titu

lo=Imprimir%20Art%C3%ADculo&xref=20070926klpmatgeo_208.Kes

BIBLIOGRAFÍA