Capítulo 1Introducción a vectoresPoco a poco descubrirás  que el secreto para entender  el álgebra lineal es entender las relaciones entre vectores.   Es por eso que este primer capítulo tiene por objetivo introducirte a su mundo: qué son, cuáles son sus operaciones fundamentales y cómo representarlos  gráficamente.  A lo largo de las siguientes páginas entrarás en contacto con el importantísimo término de «combinación lineal», también te mostraremos como se relaciona el mundo de los vectores con el mundo de los sistemas de ecuaciones, preparando así el camino para que poco a poco comprendas y resuelvas cualquier sistema de ecuaciones con el que te enfrentes en el futuro. Pero vamos por pasos.

1.1 Combinación Lineal

El secreto para dominar el álgebra lineal está en los vectores. Pero no en vectores aislados, si no en una relación particular de ellos; para ser más exactos, el secreto está en una manera especial de combinar vectores.

¿Cómo   es esta combinación? Es sencillo, hay que realizar dos operaciones:

1) Multiplicar un vector por un escalar 2) Sumar un vector a otro vector.

Realicemos nuestra primera combinación lineal. Supón  dos vectores, v y w donde:

v=[32] w=[11]Toma el vector v  y multiplícalo por un escalar x cualquiera, de manera que

x ∙ v=x [32]Ahora hagamos lo mismo con w , multiplicándolo por un escalar y de manera que,

y ∙w= y [11]Esta multiplicación por escalar es la primera operación básica para combinar linealmente; sólo falta sumar. Sumemos los vectores que previamente multiplicamos por los escalares x , y .

x [32]+ y [11]

Cuando combinamos linealmente dos vectores  tenemos como resultado un tercer vector, al que llamamos b.  Comúnmente nos referiremos a  b, como el lado derecho b.

x [32]+ y [11]=b

Observa que el lado derecho b, es también un vector con dos componentes  b=[b1b2]x [32]+ y [11]=[b1b2]

Asignemos valores cualesquiera a los elementos de nuestro vector b de manera que b1=¿ 5 ,¿ b2=¿ 4¿

¡Listo! Hemos terminado de construir una combinación lineal:

x [32]+ y [11]=[54 ]

Llegó el momento de hacerte una de las preguntas fundamentales del álgebra lineal:

Combinación Lineal: Suma de dos o más vectores multiplicados por un escalar

Se lee: x veces el primer vector,

más y veces el segundo vector, es igual al tercer vector.

« ¿Qué valores deben tomar las incógnitas ¿ y ¿para que efectivamente nuestra

combinación lineal de como resultado el vector [54 ] al sumarse ?»

En otras palabras, cuantas veces debemos tomar cada vector para que al sumarlos obtengamos el vector  b.

Detente aquí y piensa un poco en la respuesta. Te habrás dado cuenta que no es muy difícil. Lo puedes saber con observar detenidamente la combinación lineal.

¿Qué pasa si tomas una vez el primer vector [32] , tomas dos veces el segundo vector

[11] para sumarlos ambos después?

x [32]+ y [11]=[54 ]1[32]+2 [11]=[32]+[22]=[54 ]

Cómo lo esperábamos. Cuándo combinamos utilizando x=1 , y=2 obtenemos el vector

[54 ].

Regresemos a nuestra combinación lineal. Obsérvala con atención: ¡Es un sistema de ecuaciones!          

Combinación lineal                     Sistema de ecuaciones    

            

Seguramente  lo segundo  te parezca mucho más familiar. Tal vez incluso conozcas algunos métodos para calcular el valor de las incógnitas.

Ahora lo sabes:

x [32]+ y [11]=[54 ] 3 x+ y=52 x+ y=4

Todo sistema de ecuaciones es también una combinación lineal de vectores

Cuando estabas en bachillerato un sistema de ecuaciones era un conjunto de  filas. En el mundo del álgebra lineal es una combinación lineal de vectores.  ¡Es un cambio de perspectiva radical! De ahora en adelante los sistemas de ecuaciones no son sólo filas, sino que son columnas, y más específicamente, son vectores de columna combinados linealmente.

Para dos ecuaciones o incluso tres ecuaciones, los métodos que viste en bachillerato son útiles. No obstante en álgebra lineal trabajaremos con sistemas de ecuaciones en varias dimensiones, y durante el curso nos enfrentaremos a sistemas complejos.

Toma un -todavía sencillo- ejemplo:

Sería por lo menos difícil  aplicar alguno de los métodos que conoces. Aquí entrará el álgebra lineal para ayudarte, no solamente a resolver, sino a entender sistemas mucho más complejos. Pero eso lo veremos de lleno en el Capítulo 2, por ahora nos interesa que comprendas que los sistemas de ecuaciones son en el fondo vectores combinados linealmente.  

El ejemplo anterior se expresa entonces de la siguiente manera:

Puede parecer confuso. Comprender la idea de fondo  siempre es algo difícil, pronto aprenderás a resolver  este sistema- y cualquier otro- utilizando álgebra lineal. Por ahora asegúrate de entender la relación  que hay entre los sistemas de ecuaciones  y los vectores combinados linealmente. Ahí está la clave de lo que viene.

x+ y+z+w+v=5x+2 y+3 z+4w+5 v=15

x+3 y+6 z+10w+16v=36x+4 y+10 z+20w+36v=71x+5 y+15 z+35w+71v=127

Esta es la combinación lineal que corresponde al sistema de

ecuaciones del ejemplo anterior. ¡Son lo mismo!

x [11111]+ y [1234

5]+z [ 13610

15]+w [ 141020

35]+v [ 151636

71]=[ 5153671127

]

1.2 Operaciones con vectores

En la primera parte de este capítulo entraste en contacto con el concepto de combinación lineal de vectores, y de camino leíste sobre dos de las operaciones fundamentales del álgebra lineal: la suma de vector más vector, y la multiplicación de vector  por escalar. El objetivo de las siguientes páginas es explicarte en detalle estas dos operaciones.

Pero antes es importante que sepas que un vector está conformado por «componentes».

Toma por ejemplo el vector [47 ] , su primer componente es 4 y el segundo es 7. Observa

que los vectores tienen siempre una columna, pero pueden tener varias filas, es decir varios componentes. El número de componentes es muy importante, más adelante verás por qué. Por ahora basta con que identifiques el aspecto general de los vectores en términos de sus componentes.

El vector c=[135] tiene tres componentes, mientras que d=[16043] cinco componentes.

Como puedes observar, un vector puede crecer en su número de componentes tanto cuanto queramos. Para referirnos al número de componentes de un vector utilizamos la letra « j ».

«Las personas somos mucho más que los trabajos que realizamos. La universidad no puede ser sólo una educación para trabajar, debe ser una educación para la vida.»

Keith Devlin.

De manera que para el vector c=[135], j=3. Mientras que para d=[16043] , j=5

Queda claro que « j » es el número de componentes. Ahora, para nombrar cada uno de estos componentes utilizamos la letra del vector y le agregamos « j » como subíndice.

Por lo que el vector a tiene los componentes [a1a2⋮a j ]. Los tres puntos « ⋮ » en la notación

significan que la serie contiene tantos componentes como lo indica el valor de « j »

Probablemente te preguntas para qué introducir estas letras si podríamos seguir con números concretos. Veras que para entender los temas siguientes, el conocer la notación de los vectores como la hemos mostrado, será sumamente útil.

1.2.1 Suma de vectores

La suma de vectores es una operación sencilla. Consiste en sumar los componentes de distintos vectores. Seguro en la primera parte de este capítulo lo dedujiste, pero veamos la explicación formal.

Para sumar dos vectores v y w tomas el primer componente de v es decir v1 lo sumas con el primer componente de  w , es decir w1. Después tomas el segundo componente de v, que es v2 y lo sumas al segundo componente de  w, que esw2 .

v=[12]w=[47 ]v+w=[12]+[47]=[1+42+7]=[59 ]

Es fácil. El número de componentes puede aumentar, pero la manera de sumar se mantiene. Para sumar dos vector con j componentes, tenemos la siguiente notación:

v+w=[v1v2⋮v j]+[w1w2⋮w j]=[ v1v2⋮v j

+w1+w2

⋮

+w j]

Lo mismo aplica para sumar tres o más vectores. La clave está en sumar los componentes en la fila j y colocar el resultado en el componente j del nuevo vector. Este nuevo vector, por cierto, tiene un nombre; se le llama «vector resultante».

Ahora que ha quedado claro que la suma de vectores consiste en la suma de sus componentes, explicaremos como se representan gráficamente esta suma.

Tomemos los siguientes vectores:

v=[13]w=[21]En la Figura 1.1 graficamos los vectores v y w. A su lado en la Figura 1.2, graficamos la suma v+w. El vector punteado es el resultante de la suma.

Para la Figura 1.2 se graficó primero v; después, para graficar w , se partió de la cabeza del vector v considerándola como el origen. El vector resultante –punteado- nace desde el origen (0,0) y va hasta la cabeza del vector w .

Mira de nuevo la Figura 1.2. Los componentes del vector resultante son [34 ] . Confirmemos nuestro resultado realizando la suma de manera analítica.

v+w=[13]+[21]=[1+23+1]=[34 ]

Hasta este punto sólo hemos realizado sumas sencillas de vectores con dos componentes positivos. Para sumar vectores con más componentes, incluso con componentes negativos, se sigue la misma lógica que hemos aprendido. En el apartado de ejercicios al final del capítulo podrás realizar sumas de vectores de más de dos componentes con diferentes signos.

Recuerda: la suma de vectores nos interesa porque es una de las operaciones que dan lugar a la combinación lineal.

1.2.3Multiplicación vector por escalar

La segunda operación fundamental para construir una combinación lineal es la multiplicación por escalar. La cuál es también una operación sencilla.

Dado un escalar x y un vector v, toma x y multiplícalo por cada componente de v hasta el componente j. Tal que:

xv=x [ v1v2⋮v j ]=[ xv1x v2⋮x v j]

Si x=2 y v=[13], tenemos que:

xv=2 [13 ]=[2∗12∗3]=[26 ]Multiplicar un vector por un escalar modifica su magnitud o su sentido, pero no su dirección. Esto lo podrás entender mejor con la representación gráfica.

¿Qué le sucede gráficamente a un vector cuando es multiplicado por un escalar? En la Figura 1.3, tenemos el vector original v . En la figura 1.4 tenemos el mismo vector v pero multiplicado por x. Como x=2, el vector de la Figura 1.4, es el doble del de la Figura 1.3

¿Qué pasaría si multiplicamos el vector v por 12? En la figura 1.5 puedes ver la gráfica

del vector que resulta de esta operación.

¿Puedes deducir que pasará cuando multipliques un vector por un escalar negativo? ¿Cómo crees que se afecte la gráfica del vector original? En el apartado de ejercicios al final del capítulo tendrás oportunidad de practicar la multiplicación por escalar en diferentes escenarios.

Hasta aquí la multiplicación por escalar. Lo que realmente nos importa es que relaciones la multiplicación con la combinación lineal. En el siguiente apartado veremos que sucede al realizar ambas operaciones sobre dos vectores, esto abrirá el camino a los temas clave del álgebra lineal.

1.2.4 Representación gráfica de una combinación lineal

Repasemos: combinación lineal se conforma de dos operaciones

1) Suma de vectores2) Multiplicación de vector por escalar.

Partamos de un sistema de ecuaciones dado para entender de qué manera la multiplicación y la suma conforman una combinación lineal de vectores.

Toma el siguiente sistema:

x+ y=6x+2 y=8

Primero, expresamos el sistema de ecuaciones a manera de vectores combinados linealmente.

x [11]+ y [12]=[68]En la combinación lineal expresada están presentes las dos operaciones fundamentales. Tenemos dos vectores sumados, y también, cada vector está siendo multiplicado por un escalar, en este caso los escalares son x , y.

¿Cuántas veces debo tomar [11] y cuántas veces [12] para que al sumarlos resulte [68]?Si le dedicas un poco de tiempo verás que si tomas cuatro veces el primer vector, dos veces el segundo vector, y los sumas, tendrás el resultado esperado.

4 [11]+2[12]=[68]En la Figura 1.6 graficamos los dos vectores sin multiplicarlos por los escalares. Observa en la Figura 1.7 los dos vectores multiplicados por sus escalares, ¿notas como las magnitudes de ambos vectores se han modificado?

Por último la Figura 1.8 te muestra la suma de los dos vectores ya multiplicados por sus escalares.

Confirmamos que los componentes del vector resultante –línea punteada- son [68] como

habíamos calculado previamente.

Graficar por ecuaciones vs Graficar por vectores de columna

A esta a altura si algo debes tener claro es que una combinación lineal de vectores es una manera diferente de ver un sistema de ecuaciones. La combinación lineal es una perspectiva de columnas, mientras el sistema de ecuaciones es una perspectiva de filas.

En el apartado anterior revisamos la representación gráfica de una combinación lineal, es decir la gráfica desde una “perspectiva de columna”. Ahora vamos a ver como se relaciona esto con la representación gráfica del sistema de ecuaciones desde una perspectiva de “filas”.

Partamos del siguiente sistema de ecuaciones

x+ y=6x+2 y=8

En la Figura 1.9 tenemos la gráfica desde la perspectiva de fila.

La gráfica consiste en dos rectas, una por cada ecuación. Observa el círculo que marca la intersección de las rectas en la coordenada (4,2). En este punto las dos rectas se unen.

Grafiquemos ahora el mismo sistema desde la perspectiva de columna. Partamos de nuestra combinación lineal.

x [11]+ y [12]=[68]

¿Qué valor le daremos a los escalares x , y?

Pues justamente los valores en donde intersectan las dos rectas de nuestra primera gráfica.

Por lo tanto, para

x=4 , y=2

[44 ]+[24]=[68 ]

La Figura 1.8 nos muestra la suma de los dos vectores multiplicados por los escalares x=4 , y=2 desde una perspectiva de columna, estos escalares son justamente las coordenadas (4 ,2) en los que intersectan las rectas en la gráfica desde la perspectiva de fila.

Como ves, ambas gráficas son expresiones distintas de un mismo sistema, y por tanto son congruentes.

Resumen

Nuestro objetivo en este primer capítulo fue introducirte al mundo del álgebra lineal. Recuerda:

1) Los sistemas de ecuaciones son también combinaciones lineales de vectores.2) Una combinación lineal se genera con dos operaciones fundamentales: la suma de

vectores y la multiplicación por escalar.3) La coordenada de la intersección de las rectas en la representación gráfica de

perspectiva de fila, contiene los valores que deben tomas los escalares en la combinación lineal.

Ejercicios

Capítulo 2