Problemas

1. Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.

Solucin.

El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, indescomponibles en otros ms simples. Como el experimento consiste en responder al azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituir un suceso elemental. Un patrn de respuesta sera contestar verdadero a la primera pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representacin podemos escribir el espacio muestral como:

E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}

2. Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.

a) Escriba el espacio muestral. b) Escriba el suceso responder falso a una sola pregunta.

c) Escriba el suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas. d) Escriba la unin de estos dos sucesos, la interseccin y la diferencia del 2 y el 1.

e) La coleccin formada por estos 5 sucesos, ms el suceso seguro y el suceso imposible Constituyen un sigma-lgebra?

Solucin

a) Con la misma convencin del problema anterior, los sucesos elementales seran:

(V, V, V, V) (F, V, V, V) (F, V, V, F) (F, V, F, F)

(V, V, V, F) (V, V, F, F) (F, V, F, V) (F, F, V, F)

(V, V, F, V) (V, F, V, F) (F, F, V, V) (F, F, F, V)

(V, F, V, V) (V, F, F, V) (V, F, F, F) (F, F, F, F)

b) El Suceso responder falso a una sola pregunta ser el subconjunto del espacio muestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay una respuesta falso, lo llamaremos A y ser:

A = {(V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V)}

c) El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y ser: B = {(V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V) (V, V, V, V)}

d) Observando los sucesos elementales que los componen se deducen inmediatamente los siguientes resultados:

A B = BA B = AB- A = {(V, V, V, V)}

e) La coleccin formada por el suceso A, el B, la unin de ambos, su interseccin, y su diferencia, ms el suceso seguro y el suceso imposible, no constituye un sigma-lgebra. Para demostrarlo basta comprobar que se incumple una de las dos condiciones. Por ejemplo, el suceso A incumple la segunda porque su contrario no pertenece a la coleccin.

3. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:a) Cul es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja? b) Cul es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?

Solucin

a) Para que las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la roja y la segunda tambin pulse la roja, es decir que se verifique el suceso (R1 R2). Ahora bien , como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la interseccin es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La probabilidad de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casos favorables (uno), partido por casos posibles (tres)

P(R1 R2) = P(R1) P(R2) = 1/3 1/3 = 1/9

b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unin de los sucesos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos sucesos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unin ser igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la interseccin. La probabilidad de la interseccin, al igual que en el apartado anterior, se calcula basndonos en el hecho de que son independientes.

P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) P(A1 A2) = 1/3 + 1/3 1/9 = 5/9

4. Como todo el mundo sabe, la probabilidad de que en una ruleta salga 10 veces seguidas el color rojo es muy pequea. Habiendo salido 9 veces seguidas el rojo, un jugador apuesta al negro Qu probabilidad tiene de ganar?

Solucin

Para que el jugador gane tiene que ocurrir la secuencia R1, R2, ..., R9, N10. Como sabemos ya se ha producido R1, R2, ..., R9. La probabilidad que buscamos ser la probabilidad de que salga negro en el dcimo lanzamiento, condicionada por que haya salido rojo en las nueve anteriores. Por la definicin de probabilidad condicionada:

PN10 / R1 I R2 I ... I R9 PN 10 I R1 I R2 I ... I R90,510 0,5

PR1 I R2 I ... I R90,59

Como vemos el hecho de que previamente haya salido nueve veces rojo no cambia la probabilidad de que salga la dcima vez. Esto es as porque cada lanzamiento es

Independiente de los restantes. (Nota. En realidad la probabilidad de que salga rojo o negro en una ruleta no es exactamente 0,5, sino 18/37 ya que adems de los 18 nmeros rojos y los 18 negros, existe e cero que no tiene asignado color, pero este dato no cambia el razonamiento hecho y el resultado sera 18/37)

5. En una asignatura se ha decidido aprobar a aquellos que superen uno de los dos parciales. Con este criterio aprob el 80%, sabiendo que el primer parcial lo super el 60% y el segundo el 50% Cul hubiese sido el porcentaje de aprobados, si se hubiese exigido superar ambos parciales?

Solucin

Sea A1 el suceso aprobar el primer parcial y A2 aprobar el segundo. Los datos del problema nos dicen que:

P(A1 A2) = 0,8P(A1) = 0,6 P(A2) = 0,5

Y se pide la probabilidad de la interseccin de ambos sucesos. Como A1 y A2 no son incompatibles, la probabilidad de la unin ser:

P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) P(A1 A2)

Despejando tenemos:

P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) P(A1 A2)

Sustituyendo los valores numricos:

P(A1 A2) = 0,6 + 0,5 0,8 = 0,3

La conclusin es que si se hubiese exigido aprobar los dos parciales el porcentaje de aprobados hubiese sido del 30%.

6. La probabilidad de resolver correctamente alguna de las dos versiones de la tarea de Martens es 0,45. La de resolver la 1 es 0,40 y la de la 2 0,30 La resolucin de las dos versiones es independiente?

Solucin

Sea V1 el suceso de resolver la primera versin y V2 resolver la segunda. Los datos del problema nos indican que:

P(V1 V2) = 0,45 P(V1) = 0,4 P(V2) = 0,3

Para determinar si los sucesos son independiente, calcularemos la probabilidad se su interseccin, de forma anloga al problema anterior, y comprobaremos si el valor obtenido es igual al producto de las probabilidades de estos dos sucesos.

P(V1 V2) = P(V1) + P(V2) P(V1 V2)

Sustituyendo

P(V1 V2) = 0,4 + 0,3 0,45 = 0,25

Por otra parte

P(V1) P(V2) = 0,4 0,3 = 0,12 0,25 = P(V1 V2) Luego, no son independientes.

7. La prevalencia de la diabetes es del 4%. La glucemia basal diagnstica correctamente el 95% de los diabticos, pero da un 2% de falsos positivos. Diagnosticada una persona Cul es la probabilidad de que realmente sea diabtica?

Solucin

Sea D el suceso de tener diabetes, D el suceso de no tenerla y Gl+ el suceso de dar positivo en la prueba de la glucemia basal. Los datos del problema nos dicen que:

P(D) = 0,04 P(D) = 0,96 P(Gl+ / D) = 0,95P(Gl+ / D) = 0,02

Entonces el teorema de Bayes, escrito en los trminos de este problema nos dice que:

P( D / Gl ) P(Gl / D) P( D)

~~

P(Gl / D ) P(D ) P(Gl / D) P(D)

Sustituyendo por los valores numricos

P( D / Gl ) 0,95 0,040,038 0,664

0,95 0,04 0,02 0,960,038 0,0192

8. En la sala de pediatra de un hospital, el 60% de los pacientes son nias. De los nios el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las nias tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una nia.SOLUCIN:Se definen los sucesos:SucesoH: seleccionar una nia.SucesoV: seleccionar un nio.SucesoM: infante menor de 24 meses.En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la poblacin y cul es la caracterstica que tienen en comn dichos sucesos. Estos sern los sucesos condicionados.a. En este caso, la poblacin es de los infantes. Y la caracterstica en comn es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo deprobabilidad total.Su probabilidad ser:

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la caracterstica comn de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea nia una infante menor de 24 meses ser:

9. Un mdico cirujano se especializa en cirugas estticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugas correctivas. Se sabe adems, que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugas correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:a. Determine la probabilidad de que sea de gnero masculinob. Si resulta que es de gnero masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una ciruga de implantes mamarios.SOLUCIN:Se definen los sucesos:SucesoF: pacientes que se realizan cirugas facialesSucesoM: pacientes que se realizan implantes mamariosSucesoO: pacientes que se realizan otras cirugas correctivasSucesoH: pacientes de gnero masculinoa. La probabilidad de que sea de gnero masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugas los condicionantes. Dicho valor ser:

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad ser:

10. Un Doctor dispone de tres equipos electrnicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografa y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.SOLUCIN:Se definen los sucesos:SucesoP: seleccionar el primer aparatoSucesoS: seleccionar el segundo aparatoSucesoT: seleccionar el tercer aparatoSucesoE: seleccionar un resultado con errorSe puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro est, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado errneo, por lo tanto: