ejercicios para demostrar triángulos

Sobre triángulos - Matemáticas - Especialidad

1

SOBRE TRIÁNGULOS

Silvia Romero – Carlos Bosch

Actividad 1

Observa el material y, sin sacarlo de la bolsa responde. ¿Qué podrías enseñar con este material?: _____________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________

En esta lección vas a trabajar con triángulos, empieza por escribir su definición. ¿Qué es un triángulo? : __________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________

Dividir al grupo en parejas y dar una bolsa de material a cada una de ellas. Cada bolsa contiene 3 segmentos de 3 unidades de longitud, 3 segmentos de 4 unidades de longitud, 3 segmentos de 5 unidades de longitud y 3 segmentos de 8 unidades de longitud.

¿Cuántos triángulos diferentes puedes construir con el material de la bolsa? ________

Argumenta tu respuesta: ___________________________________________ ____________________________________________________________

Comparen su respuesta con la de otros compañeros de grupo. ¿Todos coinciden en la respuesta?

Reflexiona: ¿Cuántos triángulos equiláteros puedes construir con el material de la bolsa?: _______

¿Cuántos isósceles?: __________ y ¿cuántos escalenos diferentes?: ___________

¿Cuatro?: _______ ¿Por qué?: ______________________________________

Describe la relación entre la longitud de los lados de un triángulo: _______________ ____________________________________________________________

Otra observación: En los triángulos que construiste con el material identifica el ángulo mayor. Indica la longitud del lado opuesto a ese ángulo. ¿Es el lado opuesto al ángulo mayor el que tiene la mayor longitud?

Completa la afirmación: En un triangulo al ángulo mayor se le opone el: _________________________


2

Actividad 2 Imagina una tira de espagueti. Si la cortamos en 3 partes, ¿Es siempre posible construir un triángulo con estas partes?: ______ ¿Por qué?: _________________________ ¿Qué característica tienen que cumplir las longitudes de los lados de un triangulo para que se pueda construir?: ___________________________________________ Actividad 3 Rectas y puntos notables del triángulo En cualquier triángulo podemos trazar algunas rectas notables. Redacta una definición de cada una de estas rectas notables: Altura: ________________________________________________________ Mediana: _______________________________________________________________ Mediatriz: ______________________________________________________________ Bisectriz: _______________________________________________________________ Traza en una hoja un triángulo isósceles, en otra un equilátero y por último en otra hoja un escaleno. Utiliza únicamente lápiz, regla y compás en tus trazos y justifica cada uno de ellos. Marca las rectas notables en cada uno de los triángulos y marca aquellas que se intersectan en un solo punto. Alturas: __________ Medianas: __________ Mediatrices: __________ Bisectrices: __________ Al punto de intersección de las alturas se le conoce como ortocentro, al de las medianas baricentro, al de las bisectrices incentro y al de las mediatrices circuncentro. Un reto Cálcalos en la cartulina, después recórtalos con cuidado. Coloca tu lápiz de forma vertical, el reto de esta actividad consiste en equilibrar cada uno de ellos en la punta de tu lápiz. Comprueba si alguno de los puntos notables sirve para equilibrar cada triángulo.


3

Triángulos que nos sirven para demostrar. Traza la mediatriz del siguiente segmento AB. A B ¿Qué característica tienen los puntos de la mediatriz? Elige un punto cualquiera sobre la mediatriz y llámalo D. Traza los segmentos AD y BD. Mide su longitud y compárala. Selecciona otro punto diferente sobre la mediatriz y repite el procedimiento. Será cierto que cualquier punto de la mediatriz se encuentra a la misma distancia de A y de B, extremos del segmento. ¿Cómo podemos demostrar esta afirmación? Actividad 4 Observa los siguientes triángulos. �


4

Determina parejas de triángulos iguales en el cuadro anterior.


5

Llamamos congruentes a dos triángulos que tienen los tres lados iguales y los tres ángulos iguales, por ejemplo en nuestra tabla los triángulos ABC y MNO son congruentes, para indicarlo utilizamos el símbolo ≅ , es decir ABC ≅ MNO.

Describe el procedimiento con el cual verificaste que los triángulos fueran congruentes: ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ Para verificar que dos triángulos son congruentes no es necesario comprobar que la longitud de los tres lados y los tres ángulos son iguales en los dos triángulos. Existen algunos atajos llamados “criterios de congruencia de triángulos” y son los siguientes:

• Lado, lado, lado • Lado, ángulo, lado • Ángulo, lado, ángulo

Ejemplo: Un criterio de congruencia nos garantiza que dos triángulos tienen sus tres ángulos iguales al haber verificado únicamente por ejemplo las longitudes de sus lados o que dos triángulos tienen todos sus lados y ángulos iguales con solo saber que la longitud de dos lados y el ángulo entre ellos coincide.

Utilizando los criterios de congruencia de triángulos podemos demostrar varios enunciados importantes, por ejemplo:

Todos los puntos de la mediatriz del segmento AB equidistan de los extremos de AB.

La Desigualdad del triángulo . La desigualdad del triángulo afirma que la suma de la longitud de cualesquiera dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado. Para demostrar este importante teorema necesitamos algunas cosas preliminares:

Consideremos un triangulo tal que el lado AC es más largo que el lado AB.


6

Determina el punto B1 en el segmento AC de tal forma que AB sea igual a AB1.

Traza el segmento BB1

Como el triángulo ABB1 es isósceles porque AB = AB1, los ángulos ABB1 y AB1B también son iguales.


7

Como B1, está entre A y C el ángulo ABC es mayor que el ángulo ABB1.

Sea O el punto medio de B1C. Prolonguemos BO de manera que el segmento OD sea igual a OB. Prolonguemos también BB1 obteniendo la semirrecta BX.


8


9

Los triángulos BOC y DOB1 son iguales (tienen el ángulo en O igual así como los lados OB1=OC y OB = OD) así que los ángulos OCB = CB1D

Además CB1D < CB1X y CB1X = AB1B

Entonces OCB < AB1B Ahora como AB1B = ABB1, y ABB1 < ABC se tiene que OCB < ABC, lo que es lo mismo que el ángulo C es menor que el ángulo B.

Como conclusión tenemos que al lado mayor se opone el ángulo mayor.

Podemos entonces enunciar el Teorema:

Si ABC es un triangulo tal que la longitud de los lados cumple: BC > AC > AB entonces la medida de los ángulos cumple A > B > C

A B C

El inverso de este teorema es también cierto. En efecto si suponemos que A > B entonces veamos que BC es mayor que AC.

Existen muchas formas de hacer una demostración en este caso vamos a suponer que la conclusión es falsa y probaremos que entonces que en estas condiciones la hipótesis es falsa también, con lo cual podemos concluir que la hipótesis implica la conclusión.

Supongamos que BC < AC, por el teorema anterior al ángulo mayor se le opone el lado mayor por lo tanto B es mayor que A lo cual contradice nuestra hipótesis.

Así hemos probado una equivalencia que enunciamos a continuación. TEOREMA

En un triangulo ABC las longitud de los lados cumplen

BC > AC > AB si y solo si las medidas de los ángulos cumplen A > B > C


10

A B C

Con ayuda del teorema anterior probemos la desigualdad del triángulo.

Dado el triángulo ABC. Realiza los siguientes trazos: Prolonga el lado AB hasta el punto D que satisfaga que BC es igual a BD.

B C A

Observa que el segmento AD se puede escribir como AD = AB + BD o también AD = AB + BC

¿Por la longitud de sus lados que nombre tiene el triángulo BDC?: ____________ ¿Cuáles son sus lados iguales?: _______________________________________ ¿Cuáles sus ángulos iguales?: ________________________________________

El ángulo DCA es la suma de los ángulos DCB y BCA, es decir . Por lo tanto podemos decir que el ángulo DCA es mayor que el ángulo DCB. Como el ángulo en el vértice D se puede llamar ADC o BDC.

Como podemos concluir que el lado AD es mayor que lado AC. Por la equivalencia anterior

Observa que el segmento AD se puede escribir como AD = AB + BD o también AD = AB + BC tenemos que AB + BC es mayor que AC. Tarea Demostrar que 1. Todos los puntos de la mediatriz del segmento AB equidistan de los extremos de AB. 2. Si suponemos que A > B entonces veamos que BC es mayor que AC.

ejercicios para demostrar triángulos

Documents

Transcript of ejercicios para demostrar triángulos