CONGRUENCIA DE TRIANGULOS - · PDF fileCongruencia de triángulos. 5 EJERCICIOS...

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Congruencia de triángulos. 1 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos. Si ABC DEF , entonces: ; ; AB FD AC DE BC FE ; ; A D B F C E Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO ANGULO LADO (L A L) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro. Si ; ; AB DF BC FE B F Entonces ABC DEF DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes. ; AB DE BC EF ABC DEF

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  • Congruencia de tringulos. 1

    CONGRUENCIA DE TRINGULOS Dos figuras geomtricas son congruentes si tienen el mismo tamao y la misma forma. DEFINICIN: Dos tringulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ngulos.

    Si ABC DEF , entonces:

    ; ;AB FD AC DE BC FE

    ; ; A D B F C E

    Lados correspondientes son los que se oponen a ngulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS. POSTULADO LADO ANGULO LADO (L A L) Dos tringulos son congruentes si dos lados y el ngulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ngulo que forman en el otro.

    Si

    ; ; AB DF BC FE B F Entonces ABC DEF

    DEFINICIN: Un corolario es una proposicin que no necesita prueba particular, sino que se deduce fcilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos tringulos rectngulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.

    ;AB DE BC EF ABC DEF

  • Congruencia de tringulos. 2

    TEOREMA En todo triangulo issceles los ngulos de la base son congruentes

    HIPTESIS: ABC es issceles con CA CB

    TESIS: CAB CBA

    RAZN AFIRMACIN

    1. En CA

    se toma un punto D y en CB

    se

    toma un punto E, tal que CD CE

    1. Postulado de construccin de segmentos

    2. Trazamos DB y AE 2. Dos puntos determinan un segmento

    3. CA CB 3. De hiptesis

    4. CD CE 4. De 1. Construccin.

    5. C C 5. Propiedad reflexiva 6. CAE CBD 6. L A L. De 3, 4, 5 7. CAE CBD 7. De 6. ngulos correspondientes en

    tringulos congruentes.

    8. CD CE 8. De 1

    9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adicin de segmentos 10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitucin de 3 en 9

    11. AD BE 11. De 10. La ley cancelativa

    12. ;CDB CEA DB AE 12. De 6. Partes correspondientes de tringulos congruentes

    13. ABD EAB 13. De 11 y 12. L A L 14. EAB DBA 14. De 13. ngulos correspondientes en

    tringulos congruentes. 15. CAB CBA 15. De 14 y 7. Resta de ngulos. NOTA: Este teorema tambin se puede enunciar as: Si dos lados de un triangulo son congruentes entonces los ngulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un triangulo equiltero sus ngulos son congruentes, es decir es equingulo.

    HIPTESIS: ABC es un tringulo equiltero

    TESIS: A B C

  • Congruencia de tringulos. 3

    TEOREMA En todo triangulo issceles la bisectriz del ngulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base.

    HIPTESIS: CD es la bisectriz de ACB

    ABC es issceles con CA CB A D B

    TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.

    1. CA CB 1. De hiptesis.

    2. 1 2 2. De hiptesis. Definicin de bisectriz.

    3. CD CD 3. Propiedad reflexiva

    4. CDA CDB 4. De 1, 2 y 3. Postulado L A L

    5. AD DB 5. De 4. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.

    6. D punto medio de AB 6. De 5. Definicin de punto medio

    7. CD es mediana 7. De 6. Definicin de mediana

    8. CDA CDB 8. De 4, por ser ngulos correspondientes en tringulos congruentes.

    9. m (CDA) + m (CDB) = 180 9. De hiptesis A D B. Forman un par lineal

    10. m (CDA) + m (CDA) = 180 10. Sustitucin de 8 en 9. 11. 2m (CDA) = 180, m (CDA) = 90 11. De 10. Propiedad de los Reales

    12. CD AB 12. De 11. Definicin de perpendicularidad

    13. CD es altura 13. De 12. Definicin de altura

    14. CD

    es mediatriz 14. De 12 y 6. Definicin de mediatriz.

    NOTA: Se demuestra tambin que si en un triangulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triangulo es issceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demustrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A L A) Si dos tringulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ngulos respectivamente congruentes, entonces los tringulos son congruentes.

    HIPTESIS:

    ; ;A P AB PQ B Q

    TESIS: ABC PQR NOTA: Este teorema se demostrar cuando se vea el mtodo indirecto de demostracin.

  • Congruencia de tringulos. 4

    TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS. LADO-LADO-LADO (L L L) Si dos tringulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

    HIPTESIS:

    AB DE

    AC DF

    BC EF

    TESIS: ABC DEF

    1. En el semiplano de borde AB

    que no

    contiene a C, se traza AP

    , tal que

    y BAP D AP DF

    1. Postulado de construccin de ngulos y segmentos.

    2. Trazamos PB 2. Dos puntos determinan un segmento

    3. AB DE 3. De hiptesis.

    4. APB DEF 4. De 3 y 1. L A L

    5. PB EF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.

    6. PB EF BC 6. De hiptesis y 5. Propiedad transitiva

    7. PBC es issceles 7. De 6 y definicin de triangulo Issceles

    8. BCP BPC 8. De 7. En un triangulo issceles a los lados congruentes se oponen ngulos congruentes.

    9. AP DF AC 9. De hiptesis y de 1

    10. CAP es issceles 10. De 9. Definicin de triangulo issceles. 11. ACP APC 11. De 10. En un tringulo issceles a los

    lados congruentes se oponen ngulos congruentes.

    12. m (ACB) = m(ACP) + m(BCP) 12. Adicin de ngulos. 13. m (APB) = m (APC) + m (BPC) 13. Adicin de ngulos 14. m (APB) = m(ACP) + m(BCP) 14. Sustitucin de 8 y 11 en 13 15. m (ACB) = m(APB) 15. De 12 y 14. Ley transitiva 16. ABC APB 16. De 15, 6, 9. L A L

    17. ABC DEF 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva

  • Congruencia de tringulos. 5

    EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS Demostrar que en un triangulo issceles las bisectrices de los ngulos de la base son

    congruentes.

    HIPTESIS: ABC es issceles con AB AC

    y CEBD son bisectrices

    TESIS: CEBD

    1. m ACB m ABC 1. De hiptesis. Los ngulos opuestos a los lados congruentes de un triangulo issceles son congruentes.

    2. 2

    m ACBm DBC

    2. De hiptesis. Definicin de bisectriz

    3. 2

    m ABCm ECB

    3. De hiptesis. Definicin de bisectriz

    4. m DBC m ECB 4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ngulos congruentes.

    5. BC BC 5. Propiedad reflexiva.

    6. ECB DBC 6. De 1, 4, 5. A L A

    7. BD CE 7. De 6. Por ser lados correspondientes de tringulos congruentes.

    Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) 2)AC BD AD BC

    HIPTESIS: K es punto medio de AB

    K es punto medio de CD

    TESIS: AC BD y AD BC

    1. K es punto medio de AB 1. De hiptesis

    2. AK KB 2. De 1. Definicin de punto medio

    3. K es punto medio de DC 3. De hiptesis.

    4. CK KD 4. De 3. Definicin de punto medio.

    5. AKC DKB 5. Por ser opuestos por el vrtice. 6. AKC DKB 6. De 5, 4, 2. Postulado L A L

    7. AC BD 7. De 6. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.

    NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.

  • Congruencia de tringulos. 6

    HIPTESIS: ABC es equiltero.

    AE BF CD

    TESIS: EFD es equiltero.

    1. A B C 1. De hiptesis. Un triangulo equiltero es equingulo.

    2. AE BF CD 2. De hiptesis.

    3. AB = BC = CA 3. De hiptesis. Definicin de triangulo equiltero.

    4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adicin de segmentos 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitucin de 2 en 4 6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa