UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS ELECTRÓNICA E

INDUSTRIAL

CARRERA: ELECTRÓNICA Y COMUNICACIONES

TEMA: EJERCICIOS DE ELECTROMAGNETISMO

CURSO:

SEXTO “B”

MODULO:

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA II

Ambato-Ecuador

EJERCICIOS DE ANÁLISIS VECTORIAL

Ejercicio 2

Si los tres lados de un triángulo arbitrario se denotan con los valores A, B y C en elsentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, entonces la ecuación A + B + C =0 es válida.Demuestre la ley de los senos.Sugerencia. Obtenga el producto cruz de la ecuación separadamente por A y por B yexamine las relaciones de magnitud de los productos.

+ + = 0 × = × × = × × = ×= == =Ejercicio 4

Los vectores unitarios denotan las direcciones de los vectores A y B en el planoxy que forman ángulos , respectivamente con el eje x.

a) Obtenga una fórmula para desarrollar el coseno de la diferencia de dosángulos, − realizando el producto escalar . .

b) Obtenga una fórmula para ( − ) realizando el producto vectorial . .

α

β

= ∝ + ∝= cos +a) A*B = ( ∝ + ∝) ∗ ( cos + ) = ++ + = . +.b) AxB=

Ax Ay Az

cosβ senβ 0

cosα senα 0

=( cos ) − (cos )= (cos − cos )

Entonces: ( − ) = (cos − cos )Ejercicio 6

Dados los puntos (− , , ) y ( , , − ) encuentre.

a) La longitud de la línea k une P1 y P2b) La distancia perpendicular desde el punto ( , , ) hasta la línea. = 2 + 4 − 4 = 2 + 4 + 4 = 6

× = 0 − 0 × 16 = − 5 − × 16 2 + 4 − 4= 16 − 5 − × 16 4 − 20 − 18 = 4.53

Ejercicio 8

Descomponga el vector = − − en dos componentes, , que sean

respectivamente perpendicular y paralela a otro vector = − + .Si el vector = + = − + Y = − +Primero sacamos el módulo de B:= 1 + 4 = √17

= − 1√17 + 4√17. = − 2√17 − 20√17 = − 22√17 = −22√1717

( . ) = 22√1717√17 − 22√1717 4√17 = 2 = 2217 ( − 4 )1 = − 21 = (2 − 5 + 3 ) − (2217 − 88171 = 1217 + 317 + 3 = 317 (4 + + 17 )

Ejercicio 12

Calcule los resultados de los siguientes productos de vectores unitarios:

a) ∅. = - sen Φb) . = sen θ sen Φc) . = cos θd) ∅ = -Az cos Φe) . = -AΦ cos θf) = -AΦ cos θ

Ejercicio 16

Dado un campo vectorial = + , calcule la integral ∫ desde= ( , , − ) hasta = ( , , − )a) A lo largo de una línea recta que une los dos puntos yb) A lo largo de una parábola = .

. = ( + )a) = 2 = 4 ∫ (4 + 2 ) = 14b) = 6 − 4 = 6 ∫ (6 + (6 − 4)) = 14

Son los mismos.

Ejercicio 20

Calcule la divergencia de los siguientes campos radiales:

a) 1( ) =b) 2( ) = , .

Si ∇. = ( ) + ( ) + ( ∅)∅a) 1( ) = . == ∶ 1 ( )

∇. = 1 ( . ) = ( + 2)( ) = ( + 2)( )( ) = ( + 2)( )b) == = 1 ( )

A=∇. = 1 ( ) = 0Ejercicio 24

Un campo vectorial = ∅existe en la región comprendida entre dos capas

esféricas definidas por = = . Calcule:

a) ∮ . ,b) ∫ ∇.

a) Diferencial de superficie en esféricas: = ∅Para R=3. ∅Para R=2− . ∅∅ ( ∅ − ∅)

∅ ∅ − ∅ ∅ − ∅11 − 12 ( ∅ ∅)

13 − 12 ( ∅)= −

b) = ∅∇. = 1 ( )∇. = 1 ( ∅)= 1 ( ∅) = 1 − ∅ = − ∅

− ∅ ∅ = − ∅ ∅− ∅ ∅ = ∅3 − ∅2 ∅

(− 16 ∅ ∅) = − 3

Ejercicio 30

Dada una función vectorial= ( + 3 − ) + ( + 5 ) + (2 − + )a) Determine , si F es irrotacional, yb) Determine si F también es solenoidal.

a) = ( + 3 − 1 ) + ( 2 + 5 ) + (2 − 3 + 4 )∇ = − + − + − = 0(2 − 3 + 4 ) − ( 2 + 5 ) = 3 = −5( + 3 − 1 ) − (2 − 3 + 4 ) = 1 = −2( 2 + 5 ) − ( + 3 − 1 ) = 2 = 3

b) ∇. = + + = 0( + 3 − 1 ) + ( 2 + 5 ) + (2 − 3 + 4 ) = 0C4=-1

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS

Ejercicio 2

Tres cargas puntuales de 2 (µC) están situadas en el aire, en los vértices de untriángulo equilátero de 10 (cm) de lado. Determine la magnitud y la dirección de lafuerza experimentada por cada carga.

Datos

Q=2 uC

d= 0.1 m

Fuerza en la carga uno

/ = 1 ∗ 24 ℇ ∗ (− )/ = (2 ∗ 10 )4 ℇ ∗ 0.1 (− )

/ = 3.6 (− )/ = 1 ∗ 24 ℇ ∗ (− 30 − 30 )

/ = (2 ∗ 10 )4 ℇ ∗ 0.1 (− 0.5 − 0.866)/ = 3.6 (− 0.5 − 0.866)= / + /= 3.6 (− ) + 3.6 (− 0.5 − 0.866)= 5.4(− ) + 3.117(− )= . (− . − . )

Fuerza en la carga dos

/ = 1 ∗ 24 ℇ ∗ ( )

/ = (2 ∗ 10 )4 ℇ ∗ 0.1 ( )/ = 3.6 ( )

/ = 1 ∗ 24 ℇ ∗ ( 30 − 30 )/ = (2 ∗ 10 )4 ℇ ∗ 0.1 ( 0.5 − 0.866)

/ = 3.6 ( 0.5 − 0.866)= / + /= 3.6 ( ) + 3.6 ( 0.5 − 0.866)= 5.4( ) + 3.117(− )= . ( . − . )

Fuerza en la carga tres

/ = 1 ∗ 24 ℇ ∗ ( 30 + 30 )/ = (2 ∗ 10 )4 ℇ ∗ 0.1 ( 0.5 + 0.866))

/ = 3.6 ( 0.5 + 0.866)/ = 1 ∗ 24 ℇ ∗ (− 30 + 30 )

/ = (2 ∗ 10 )4 ℇ ∗ 0.1 (− 0.5 + 0.866)/ = 3.6 (− 0.5 + 0.866)= / + /= 3.6 ( 0.5 + 0.866) + 3.6 (− 0.5 + 0.866)= . ( )

Ejercicio 6.

Una línea de carga de densidad uniforme p forma un circulo de radio b que yace en elplano xy en el aire, con su centro en el origen.

a) Encuentre la intensidad de campo eléctrico E en el punto (0,0,h)b) Con qué valor de h en el apartado (a) se obtendrá la E máxima? Cuál es este

máximo?c) Explique por qué E tiene un máximo en esa posición

= 4 π εo( + )= 24 π εo( + ) = 22 εo( + )

= −∇ = − − 22 εo( + )a) En el punto (0,0,h,) = 22 εo( + )b) Localización del punto máximo de Ep

| | → = 6√2| | = 23.67c) Por simetría, las componentes del campo perpendiculares al eje de simetría

correspondientes a dos elementos de carga diametralmente opuestos se anulan dedos por lo que la componente en b se anula permitiendo que P sea mayor ygenerando el campo máximo.

Ejercicio 8

Una distribución esférica de carga p = p 1 − existe en la región 0 ≤ R ≤ b. Estadistribución de carga está rodeada concéntricamente por una capa conductora de radiointerior Ri (˃ b) y radio exterior Ro. Determine E en todos los puntos.

a) 0 ≤ ≤4 = 1 − 4 = 4 3 − 5= 1 − 5

b) b ≥R≥Ri 4 = 1 − 4 = 815

= 2 015c) Ri<R<R0

ER3=0d) R>Ro 4 = 2 015

Ejercicio 14

El vector de polarización en una esfera dieléctrica de radio es P=axPo.

a) Determine las densidades superficiales y volumétricas de carga ligada.b) Demuestre que la carga total ligada es cero.

a)

La densidad superficial de carga de polarización sobre la superficie de la esfera es= .= ( . )=La densidad volumétrica de carga de polarización es= − .

= − . ( )= 1 + 1 ( ) + 1

=b) =2 ≥ ≥ 0≥ ≥ 0

= cos= ( 2 ) − ( 0)

= 0Ejercicio 18

Suponga que el plano z=0 separados dos regiones dieléctricas sin perdidas con ∈ =∈ = .Si sabemos que en la región 1 es − + ( + ) . ¿Qué

sabemos también de en la región 2? ¿Podemos determinar en cualquierpunto de la región 2? Explique.

Datos:

Plano z = 0= 2 − 3 + (5 + )Resolución: = 0= 2 − 3 + 52 ∈ = 2 ∈ = 3( = 0) = ( = 0) = 2 − 3( = 0) = ( = 0)∈ = 2 ∈ = 32 ( = 0) = 3 ( = 0)

2 ( = 0) = 23 ( 5)2 ( = 0) = 103

( = ) = − +( = ) = ( − + )

Ejercicio 20

El espacio entre las placas paralelas de área S de un condensador esta relleno con undieléctrico cuya permitividad varia literalmente de ∈ en una placa (y=0) a ∈ en la otra(y = d). Ignore el efecto marginal y calcule la capacitancia.

Datos:∈ = ( = 0) ∈ ( = )∈= ∈ −∈ +∈

= − ∈=

== ∈ = ∈ −∈ +∈

= .= (∈ −∈ )= (∈ −∈ )= (∈ −∈ )

===

= ln 1= (∈ −∈ )(∈ −∈ )

== (∈ −∈ )(∈ −∈ )= (∈ −∈ )(∈ −∈ )

Ejercicio 26

Use el método del desplazamiento virtual para calcular la fuerza entre el conductorinterno (radio a) y el externo (radio b) que tienen cargas +Q y –Q respectivamente, deun condensador coaxial de longitud L, la permitividad del material aislante es £.

La diferencia de potencial entre dos conductores interno y externo es:= ln …………………….. (1)

Por otro lado la energía eléctrica está dada por la ecuación:= = …………………….. (2)

Sustituyendo 1 en 2 se obtiene:

= 12 (2 ln )A su vez se considera que la fuerza eléctrica total es:

= −∇ …………………….. (3)

Se utiliza el gradiente en coordenadas cilíndricas

∇= + 1 +Por tanto, mediante la ecuación 3 se obtiene:

= − (4 ln + )= − 4 ( 1+ )= − 4 ( + )

= − 4Ejercicio 34

Una línea de carga infinita de 50 (nC/m) está a 3m sobre el suelo, el cual está a potencialcero. Elija el plano XY como el de tierra y la línea de carga paralela del eje x. Use elmétodo de imágenes para diferenciar lo siguiente:

a) E en (0,4,3)b) E y en (0,4,0)

Para el literal a, se considera a = 50( / ) para y=0 y z=3 se obtiene:

= 2 = 50 ∗ 102(3.1416)(8.85 ∗ 10 ) 4 = 899.18( 0.25)= −2 = 50 ∗ 102(3.1416)(8.85 ∗ 10 ) 452 + 652= −899.18( 0.7629 + 0.1153)

Por lo tanto: = + = 899.18 0.25 − 899.18 0.7629 + 0.1153= 899.18( 0.1730 + 0.1153)[V/m]

Para el literal b, también se considera a = 50( / ) y se obtiene:

= 2 = 50 ∗ 102(3.1416)(8.85 ∗ 10 ) 4 − 325= −2 = 50 ∗ 102(3.1416)(8.85 ∗ 10 ) 4 + 325

Por lo tanto:= + = 899.18 − = 899.18(− 0.24) = − 215.8 [V/m]

= = (−0.24 ) = ∗( . ) (−0.24)= −1.909 [ ]

CORRIENTES ELÉCTRICAS ESTACIONARIAS

Ejercicio 2

Un alambre largo y redondo de radio y conductividad Ø está recubierto por unmaterial con conductividad de 0.1 Ø

a) ¿Cuál debe ser el grosor del revestimiento para que la resistencia por unidadde longitud del alambre no recubierto reduzca en un 50%

b) Suponga una corriente total en el alambre y encuentre y en el núcleo yen el material de revestimiento.

a) = = 1Ø = 1Ø=

= 10.1Ø= == ( + ) −= ( + 2 + − )= (2 + )

=1Ø = 10.1Ø0.1ØØ = 10.1 = 1

0.1 (2 + ) = 1(2 + ) = 10.1Ø

= √11 − 1= (2.32)b)

= = 2= 2 , = 2 = 20 = 20= Ø= 2 Ø= 0.1Ø= 2 ØPor tanto = = 10

Ejercicio 6

Dos medios dieléctricos homogéneos con constantes dieléctricas ∈ = , ∈ = y yconductividad Ø = ( ), Ø = ( ) esta en contacto en plano = . En laregión > (medio 1) hay un campo eléctrico uniforme = − ( / ).

Determine (a) en el medio 2, (b) , (c) los ángulos que forman con elplano = , y (d) la densidad de carga superficial en la superficie = .

= 20 − 50 ( / )= = 20=

= ØØ = Ø= ØØ= 1510 (−50)= −75 = 20 − 70 ( / )

= Ø = 15 10 ( 20 − 50) = 0.3 − 0.75 ( / ) = Ø = 10 10 ( 20 − 75) = 0.2 − 0.75 ( / )

∝ = 5020 = 68.2°

∝ = 7520 = 75.1°

d) − =∈ −∈ ==∈ (−3 75 + 2 50)= 125 ∈= − . ( / )Ejercicio 8

Se aplica un voltaje cc V0 a un condensador de placas paralelas de área S. El espacio entrelas placas conductoras esta relleno con dos dieléctricos con pérdidas que tienen grosor y

, permitividad y y conductividad y , respectivamente, como se ilustra en lafigura 4-6. Determine

a) La densidad de corriente entre las placas,b) Las intensidades de campo eléctrico en ambos dieléctricos, yc) El circuito R-C equivalente entre los terminales a y b.

Existe la misma corriente en ambos medios debido a la continuidad de la componente normalde J. Por la Ley de voltaje de Kirchhoff tenemos:

a) La densidad de corriente entre las placas

= ( + ) = += = ( / ) + ( / ) = + /

b) Las intensidades de campo eléctrico en ambos dieléctricos= + Ec.1= Ec.2

Despejo de Ec.1.

= −Despejo de Ec.2.

=Igualamos :− =

Despejamos :− == += ( + )= +

Reemplazamos en 2

∗ + =Despejamos

= ∗+

d) circuito R-C equivalente entre los terminales a y b.

===

=Ejercicio 12

Encuentre la resistencia entre dos superficies esféricas concéntricas de radio y ( <) si el espacio entre las superficies esta relleno con un material homogéneo e isótropo con

conductividad σ.

σ

:= 0, <= , < <, ó é :∇ =1 ( ) = 0

ó := á :=ℎ := − = −= −= 1 − 1

→ = 1 − 1 á := = 1 − 1á:= sin= 41 − 1 ℎ :

= = 14 1 − 1CAMPOS MAGNÉTICOS ESTACIONARIOS

Ejercicio 2

Encuentre el flujo magnético total a través de un toroide circular con seccióntransversal rectangular de altura h. Los radios interior y exterior del toroide son a y b,respectivamente. Una corriente I fluye en N vueltas de alambre devanado alrededor deltoroide. Determine el porcentaje de error si el flujo se obtiene multiplicando la seccióntransversal por la densidad de flujo en el radio medio. ¿Cuál es el error si b/a =5?

Núcleo de aire con permeabilidad se tiene que:

= ∅ ∅ = ∅ 2∅ = ∫ .

∅ = ∅ 2 . ∅ℎ∅ = . .ℎ2 .

∅ = . .ℎ2 1∅ = . .ℎ2 ln

∅ = . .ℎ2 × (ln − ln ). ∅ = . .ℎ2 × ln

( ) = +2 ( ) = − ℎ% = ∅ − ∅∅

Φ = .Φ′ = 2 +2 × ( − ℎ)

Φ′ = ( − ℎ)( + )% = Φ − ΦΦ

% = ( − ℎ)( + ) − . .ℎ2 × ln. .ℎ2 × ln × 100

% = 2 − 1(1 + ) − 1 × 100= 5 ;

% = 2(5 − 1)(1 + 5) ln 5 − 1 × 100% = 86 ln 5 − 1 × 100% = 17,16%

Ejercicio 4

Una corriente I fluye longitudinalmente por una lámina conductora delgada y muylarga de anchura w, como se ilustra en la figura 5.25. Suponga que la corriente fluyehacia el interior del papel y determine la densidad del flujo magnético B, en el puntoP1(0,d)

∅ = ∅ 2= += ( ) + ( )Donde = ( )( )

= ( + ) , = ( + )= +

= 2 + = 2 ( )= 2 + = 4 (1 + )

Ejercicio 6

Por el conductor externo. El radio del conductor interno es a y los radios internos yexternos del conductor externo es b y c, respectivamente. Determinar la densidad deflujo magnético B en todas las regiones y representante gráficamente B en función de r.

Para a

∅ =∅ =∅2 =

1) ∅ = 22) = =

Remplazo 2 en 1

3) ∅ = 2 = 24) = ∅ ∅Remplazo 3 en 4

= ∅ 2

Para b

∅ =∅ =∅2 =

I Encierra la corriente total

1) ∅ = 22) = ∅ ∅Remplazo 1 en 2

= ∅ 2Para c= 0

Ejercicio 8

En la figura. Determine la densidad de flujo magnético en el punto P del eje de unsenoide de radio b y longitud L, con una corriente I en las N vueltas, enrolladas muyjuntas, de su bobina. Demuestre que el resultado se reduce al de la ecuación, cuando Lse aproxima al infinito

= . .[( ) ]= . . .2= . .2 −( − ) − √ +: → ∞ , →0 → , = . . ( ): → . . =

Ejercicio 10

Una corriente superficial continua de densidad a, Jo fluye por una lámina conductorainfinita que coincide con el plano xy.

a) Determine la densidad de flujo magnético B en (0,0,z) y (0,0,-z).b) Determine el potencial magnético vector A en (0,0,z) a partir de B. elija como

potencial de referencia cero un punto arbitrario z=z0

. = μ= μ

2 = μ= μ2= − μ 2 (0,0, )

= μ 2 (0,0, − )= μ ∗

∇ = = (− μ 2 )= − μ 2= − μ 2 +

= μ 2= 0 = − μ 2 + μ 2= μ ( − )Ejercicio 12

Se introduce coaxialmente una varilla circular de material magnético conpermeabilidad μ en un solenoide muy largo lleno de aire. El radio de la varilla, a, esmenor que el radio interior, b, del solenoide. El devanado del solenoide tiene n vueltaspor unidad de longitud y por él circula una corriente I.

a) Encuentre los valores de B,H, y M en el solenoide para r<a y a<r<b.

< = = = − = − 1 < < = = = 0,

b) ¿Cuáles son las densidades de corriente de magnetización equivalentes Jmv yJms de la varilla magnetizada? = ∇ × M = 0; = M × a = a × a − 1 = − 1

Ejercicio 14

Considere un plano frontera (y=0) entre el aire (región 1, μ = ) y el hierro (región2, μ = ).

a) Suponiendo = − (mT), encuentre y el ángulo que formacon la superficie de separación de ambos medios.

b) Suponiendo = − (mT), encuentre y el ángulo que forma con lanormal a la superficie de separación.

X

Y

Z

IX

Y

Z

) = 2 − 10 ( )= −= 5000μ = = μ= 10000( )= = −10( ): = 10000 − 10 ( )= μμ = 5000 = 1000−> = 89.94; = 0.04.) : = 10 − ( )= −= μ = = μ= 105000 = = 0.002( )= = 2( ): = 0.002 + 2 ( )= = 0.0022 = 0.001( )−>= 0.05.

Ejercicio 18

Calcule la fuerza por unidad de longitud sobre cada uno de los tres alambresparalelos equidistantes, infinitamente largos que están a 10 cm de distancia por cadauno de los cuales circula una corriente de 25 (A) en la misma dirección en la fig. 5.29se presenta un corte transversal en esta disposición. Especifique la dirección de lafuerza.

Como se plantea en el ejercicio

La intensidad de todos los cables es la misma tendremos= = = 25= 10Dentro del conductor:=A partir de la ley circuital de Ampere

= = 2

La fuerza es perpendicular a la densidad de flujo magnético como se ilustra en la figura

A partir de la ley de Biot-Savart

=2 = 2 cos 30 = √32 22

r= distancia entre cables.

f

I= intensidad que pasa por el conductor

Fuerza que pasa por cada cable es queda determinada.

1 = − = − √32 221 = − = − √32

1 = − = − √3 × 4 × 10 × 252 × 0.12.29 × 10Como la fuerza por la que circula entre los tres alambres es una fuerza de atracción ya quela corriente circula en la misma dirección. La fuerza de los tres cables va a estar dirigidahacia a el centro.

Ejercicio 20

La barra AA` de la figura sirve como camino conductor (como la cuchilla de uncortacircuitos) para la corriente I en las dos largas líneas paralelas. La líneas tiene radiob y están separadas por una distancia d. Determine la dirección y la magnitud de lafuerza magnética sobre la barra.

= − 4 1 + 1−== ×

= − 4 1 + 1−= − 4 1 + 1−

= − 4 1 + 1−= − 4 [ln − ln( − )]

= − 4 [( ln( − ) + ln( − + ) ) − (ln( ) − ln( − )) ]= − 4 [ln( − ) − ln( ) − ln( ) + ln( − )]

= − 4 [2ln( − ) − 2ln( )]= − 4 ln −= − 4 ln − 1