1

Martnez. Respuestas a ejercicios seleccionados Captulo 1

1. b. Ocupacin. 3. c. Ser aplicada en investigaciones poblacionales. 5. Tipos de variables.

a. Variable cuantitativa-continua. b. Variable cualitativa. c. Variable cuantitativa-continua. d. Variable cuantitativa-discreta. e. Variable cualitativa. f. Variable cualitativa.

7.

Enunciado Poblacin Unidades Caractersticas por estudiar

a. Puntos de venta de la fbrica de helados en Ccuta.

Cada uno de los puntos de venta.

Ganancias obtenidas durante una semana.

Cantidad de helados vendidos segn sabor.

b. Total de empleados de la universidad.

Empleados de la universidad.

Nmero de das que se ausenta cada empleado de la universidad durante un mes.

Edad de cada uno de los empleados.

c. Empresas constructoras durante los ltimos 5 aos en una regin del pas.

Jefe de cada constructora.

Dinero invertido por cada constructora en la construccin de una vivienda estndar en cada uno de los 5 aos.

Costo de cada uno de los materiales de construccin en cada uno de los cinco aos.

9. a. Muestreo sistemtico. b. Muestreo aleatorio simple. c. Muestreo aleatorio estratificado. 11. Tipos de variables:

a. Cuantitativa (C) y discreta (VD). b. Cualitativa (A). c. Cuantitativa (C) y continua (VC). d. Cuantitativa (C) y discreta (VD).

2

e. Cualitativa (A).

13. a. La estadstica descriptiva es el proceso que describe y analiza una serie de datos, sin llegar a conclusiones o generalizaciones con respecto a un grupo mayor y la estadstica inferencial se basa en una muestra representativa de la poblacin a partir de la cual se generan conclusiones y generalizaciones para toda la poblacin.

b. La estadstica interna registra y produce datos dentro de la misma empresa. La estadstica externa suministra informacin de lo que ocurre fuera de la empresa.

c. La informacin primaria se obtiene directamente de la fuente de informacin a travs de una encuesta o cualquier instrumento acorde con la investigacin. La informacin secundaria es aquella que se obtiene a travs de instituciones que han producido la informacin para otro tipo de estudios.

d. El error de muestreo es la diferencia entre el estimador, el parmetro y los errores ajenos al muestreo, los cuales surgen de imperfecciones y equivocaciones en el registro, conteo y anlisis de las informaciones; son fallas instrumentales y/o humanas.

e. La investigacin total centra su desarrollo en el total de la poblacin (censo) y la investigacin parcial lo hace en la muestra.

f. Las estadsticas son informaciones o cifras que aparecen en las publicaciones en forma de cuadros o grficas, las cuales se han ordenado de forma sistemtica, para mostrar el comportamiento de un hecho que ha sido objeto de estudio. La estadstica es una herramienta que permite tomar decisiones.

15. a. Variable y media total. b. Atributo y proporcin. c. Variable y media total. d. Variable y media total. e. Variable y media total. f. Atributo y proporcin. 17. a. La estadstica es un conjunto de medidas que permite observar, organizar y presentar la

informacin en cuadros y grficos; adems es una herramienta para la toma de decisiones. Las estadsticas son medidas calculadas a partir de una muestra.

b. El parmetro es una medida obtenida a partir de toda la poblacin y el estimador es una formula con la que se obtiene un parmetro.

c. La variable discreta solo admite nmeros enteros y la variable continua admite nmeros fraccionarios, con los que se establecen intervalos.

d. Una caracterstica cuantitativa asocia una unidad de medida y una caracterstica cualitativa representa un atributo.

19. Ejemplos:

a. El salario promedio de los empleados de una empresa. b. La proporcin de amas de casa que consumen cierto producto. c. La variacin de la longitud de los tornillos producidos por una industria.

3

21. Datos cualitativos (A) y datos cuantitativos (V).

Caracterstica Tipo Nacionalidad (A) Temperatura (V) Estado civil (A) Produccin (V) No. de tornillos producidos (V) Filiacin poltica (A) Kilmetros recorridos (V) Gasto en alimentacin (V) Llamadas diarias (V)

23. a. La poblacin es conformada los empleados que no tienen vivienda y tienen ms de cuatro

aos de antigedad en una fbrica. b. 30 empleados. c. Caracterstica: Nmero de habitaciones que requiere su vivienda y se clasifican as:

i. Una. ii. Dos. iii. Tres. iv. Ms de tres habitaciones.

25. Forma explcita

a. 654326

2XXXXXX

ii ++++=

=

b. ( ) ( ) ====

+=+=3

1

3

1

23

1

223

1124442

ii

ii

iii

ii XXXXX

c. ( ) ( ) 28287 543252

5

2++++=+=+

==

YYYYYYj

jj

j

d. 2928279

7

2 XXXXj

j ++==

e. ( ) ( ) ====

=+=+=+4

1

4

1

24

1

24

1333

ii

ii

iiii

ii XXXXXX

f. ( )276543212

7

1XXXXXXXX

ii ++++++=

=

27. a. b.

29. nXa i= = iXan

4

a. [ ]n

XXaXaX

i

n

in

ii

n

iii

2

1

1

2

1

2 2)3(

+=

=

==

[ ]=

n

iii aXaX

1

2 2)3( ( )=

+=n

iiii aXaaXX

1

22 296

( )=

+=n

iii aaXX

1

22 98

= =

+=n

i

n

iii anXaX

1 1

22 98

=

+=n

ii ananaX

1

22 9)(8

=

+=n

ii naaX

1

222 98

=

+=n

ii naX

1

22

= 2

2

1

1

2

n

XX

i

n

in

ii

+

==

n

XXn

i

n

in

ii

2

1

1

2

+=

==

b. ( ) ( )[ ] naXaXaX iii =+ 22 1

( ) ( )[ ] + 12 aXaX ii = [ ] ++ iiii XaXaaXX 22 2 ++= iiii XXanaXaX 22 2

++= anananaanaX i )()(2 22

++= annananaX i 2222 2

= anX i2

c. ( )[ ] ==

=+n

jj

n

jjj XaaXX

1

2

1

2

[ ]

= = == ==

=+=+=+=+n

j

n

j

n

jjjj

n

j

n

jjj

n

jjj XnanaXnaanaXnaXaXaaXX

1 1 1

2222222

1 1

2

1

22 )(

d. ( ) 11 222 += + naXnaX ii

5

nnnaXaXnaaXX iiii ++=

++ 2222 212

1)(2 22 ++= naanaX i 112 22222 +=++= naXnanaX ii

Martnez. Respuestas a ejercicios seleccionados Captulo 2 1. 30=n 82max =x 39min =x 433982 ==Rango 87,530log3,31 =+=m No hay problema para trabajar con 5 o 6 intervalos.

Siendo 6=m Se determina: 817,7

643

===m

rangoc

Siempre se aproxima al nmero inmediatamente superior, por pequea que sea la fraccin. Ahora se tiene que:

48)8(6

68 === rangorango

Observamos que se increment el rango en cinco unidades, las cuales debern repartirse, ojala por parte iguales, entre el valor mximo y el mnimo que toma la variable, en este caso nos quedara:

37min =x y 85max =x Se le rest 2 al mnimo (39) y se le sum 3 al mximo (82).

,,

1 ii xx if nfi iF iH 37,1 - 45 45,1 - 53 53,1 - 61 61,1 - 69 69,1 - 77 77,1 - 85

4 5 7 5 6 3

0,13 0,17 0,23 0,17 0,20 0,10

4 9

16 21 27 30

0,13 0,30 0,53 0,70 0,90 1,00

30 1,00 - -

,,

1 ii yy in ih iN iH

6

3. c.

5. a. Porcentajes de clientes habituales es = %27,424227,0550

7070120=

++

b. Clientes espordicos que pagan en efectivo = %24,1710029050

=

c. Porcentaje de clientes habituales que pagan con tarjeta crdito = %55,54100220120

=

d. Porcentaje de clientes que pagan con tarjeta crdito = %40100550220

=

e. Formas de pago realizado por 550 clientes:

Forma de pago Habitual Espordico Total T. Crdito 120 100 220 T. Dbito 70 100 170 Efectivo 70 90 160

Total 260 290 550 7. c. Variables continuas.

7

9. a. Porcentaje de estudiantes, segn el nmero de libros ledos

No. libros ledos Porcentaje

de estudiantes 1 5 2 15 3 0 4 10 5 35 6 20 7 10 8 5

b. El 65% de los estudiantes leyeron menos de 6 libros. c. 0,35(500) = 175 estudiantes leyeron ms de 5 libros. d. La grfica elaborada es de barras simples verticales.

11. d. Entre 5 y 16. 13. c. La amplitud del intervalo. 15. a. 350 empresas.

b. 130 empresas. c. 80 empresas. d. La grfica sobre las utilidades recibidas por las 500 empresas es:

17. a. 230min =x 300max =x Rango = 70

761,650log3,31 =+=m 10770 ==c

Distribucin de utilidades (miles de $) entre los accionistas de 500 empresas de un sector de la economa del pas

8

Seleccionamos m=7

Tabla de frecuencias ,,

1 ii xx if nfi iF iH ix 230-240 8 0,16 8 0,16 235

240,1-250 7 0,14 15 0,30 245 250,1-260 8 0,16 23 0,46 255 260,1-270 12 0,24 35 0,70 265 270,1-280 8 0,16 43 0,86 275 280,1-290 5 0,10 48 0,96 285 290,1-300 2 0,04 50 1,00 295

50 1,00 - - - ,,

1 ii yy in ih iN iH iy b.

c. Corresponde al 70% de establecimientos que venden el producto a un precio inferior a $270.

9

19. La grfica de barras se utiliza para representar variables discretas, las barras van separadas. El

histograma se utiliza para representar variables continuas, por lo que las barras van contiguas sin dejar espacios entre ellas.

21. Consumo de chocolate al desayuno por 250 familias % segn marca

Se utiliza el diagrama de barras, porque es una variable cualitativa. No se debe utilizar la grfica circular o pastel, porque son 250 familias y algunas de ellas prefieren ms de una marca. 23. Clasificacin de un grupo de estudiantes, segn algunas variables de inters

Nombre Edad Peso Estatura Calificaciones No. de libros

Juan 18 63 169 45 1 Ezequiel 19 60 165 34 2 Andrs 18 56 160 32 3 Felipe 22 65 168 33 4 Diego 21 64 169 45 5 Carol 21 68 164 43 0

Andrs Gustavo 23 63 169 23 3 Juliana 19 48 158 12 5 Martha 17 53 165 34 2 Catalina 18 59 170 34 1

Mara Elisa 21 56 157 25 1

Marcas

10

25. a y b Rendimiento porcentual en el trabajo durante la semana de 30 empleados.

Rendimiento No. de

empleados Porcentaje Excelente 7 23,33

Bueno 6 20,00 Aceptable 7 23,33

Regular 6 20,00 Deficiente 4 13,34

Total 30 100,00

d. Porcentaje sobre el rendimiento de sus 30 trabajadores.

Encuesta en un instituto educativo a un grupo de alumnos sobre edad y peso

Encuesta en un instituto educativo a un grupo de alumnos sobre el nmero de libros ledos y su promedio de calificacin

11

27. a. Nmero de accidentes de trabajo que han tenido en su vida 30 obreros.

ix if iF nfi iH 0 8 8 0,27 0,27 2 7 15 0,23 0,50 3 5 20 0,17 0,67 4 4 24 0,13 0,80 5 2 26 0,07 0,87 6 1 27 0,03 0,90 7 2 29 0,07 0,97

10 1 30 0,03 1,00

30 - 1,00 -

iy in iN ih iH b. Diagrama de frecuencias

Diagrama de frecuencias

12

Martnez. Respuestas a ejercicios seleccionados Captulo 3 1. a. 08,24

12899

==x

5,222

2520=

+=eM =dM Bimodal 20 y 29

Posicin: ( ) ( ) 2975,9

4133

413

3 ====+

ixQn

Posicin: ( ) ( ) 258,7

10136

1016

6 ====+

ixDn

b. 22.5, la mediana porque hay presencia de valores extremos, nos permite eliminar en el

clculo, el valor ms alto o extremo siendo en este caso 48, evitando de esta forma su peso o influencia en el promedio; en cuanto a la moda, por ser bimodal, por esa razn tampoco la consideramos como representativa de los 12 datos.

3. 57,1630497

==x

17== id xM 1110

20152

=

=== i

j

NNe

nPosicinM 162

1715=

+=eM

187 == jxD 0102062

160,18100

)30(62100

)(62

===== i

i

NN

nPosicinP 1762 == jxP

ix if ii fx iF 13 6 78 6 15 4 60 10 17 10 170 20 18 7 126 27 21 3 63 30 30 497 -

iy in iiny iN 5. La media describe claramente datos de tipo cuantitativo en ausencia de datos extremos, la

mediana busca una posicin del dato que se encuentra en el centro de la distribucin y con la moda se puede calcular con datos cualitativos o cuantitativos, en ocasiones no existe cuando ningn dato se repite.

20 25

20277

12110

)30(710

)(7=

=

=== ii

NN

nPosicinD

13

7. a. Tercer cuartil. b. Quinto decil. c. Percentil 30. d. Primer cuartil. e. Segundo decil. f. Percentil 82. 9. e. Ninguno. 11. S, est sobrecargado en 8 kilos.

=+

= 57,5014

)8(72)6(22x Total: 14(50,57) = 708 kilos.

13. 45609866,06

8,2log7,2log3,5log6,3log1,2log8,1loglog 0 =+++++

=M

log0 antiM = de 0,45609866 = 2,86% %86,20 =M El aumento porcentual en el valor promedio de las acciones, durante ese periodo es de 2,86% 15. a. Mediana = 8,8 eM ordenar: 2 2 2 2 8 8 8 16 16 24 8=eM

b. 89,58.............281010 === xxxxM ig pi c.

6,13

6,13)8(7,087,710

)11(710

)1(7

7

77

=

=+====+

=

D

xDnPosicinD j

d. 882,6100

)1(626262 ===

+= jxP

nPosicinP

17.

A. .7,1510

157==x 18== jd xM 172

1816=

+=eM

B. 159

135==x 15== jd xM 15== je xM

,,1 ii xx ix if ii fx ii xf iF

2,1 - 7 7,1 - 10 10,1 - 12 12,1 - 20 20,1 - 24

4,5 8,5 11,0 16,0 22,0

3 16 4 12 5

13,5 136,0 44,0 192,0 110,0

0,67 1,88 0,36 0,75 0,23

3 19 23 35 40

- 40 495,5 3,89 - ,,

1 ii yy iy in iiny ii xn iN

14

C. 43,297

206==x 14== jd xM 14== je xM

a. En el caso C. b. Comprobacin.

ii dxx = 1 ii dxx = 2 ii dxx = 3 20 15,7= 4,3 11 15 = -4 10 29,43 = -19,43 18 - 15,7 = 2,3 13 - 15 = -2 11 29,43 = -18,43 16 15,7= 0,3 13 - 15 = -2 12 29,43 = -17,43 10 - 15,7 =-5,7 15 15 = 0 15 29,43 = -14,43 18 15,7 = 2,3 15 15 = 0 14 29,43 = -15,43 13 15,7 = -2,7 15 15 = 0 130 29,43 = -85,12 12 15,7 = -3,7 17 15 = 2 12 15,7 = -3,7 17 15 = 2 18 15,7 = 2,3 19 15 = 4 20 15,7 = 4,3 0 0 0

c. (1) 1,47)7,15(3 ==x 54=dM 51=eM

45)15(3 ==x 45=dM 45=eM

29,88)43,29(3 ==x 42=dM 42=eM (2) 7,207,155 =+=x 23=dM 22=eM 20155 =+=x 20=dM 20=eM 43,3443,295 =+=x 19=dM 19=eM 19. 500)50(10 ==x 460)46(10 ==eM 400)40(10 ==dM

En todos ellos se multiplica por dicho valor, dado que los valores de la variable tambin sern multiplicados por ese mismo valor.

21. 55,1622

364==x 12== jd xM 16=eM

23. a. 71,48=x 30== jd yM b. Generalmente se les aplica la mediana y/o la moda. En algunos casos, cuando se requiera

calcular alguna otra medida, se debe prescindir de los valores extremos, siempre y cuando las frecuencias no sean altas, ah se pueden incluir en el intervalo prximo, es decir, se le da el mismo intervalo prximo.

25. a. 71,840485.3

==x 0,80 =M

b. La media geomtrica.

15

27. 2121 20

210 xxxx +=+=

2

1212121064648x

xxxxxxxM ====

Reemplazando en la primera ecuacin, se tiene que:

642064206420 222

2222

2

++++= xxxxxx

Se determina dos valores que sumados den 20 y multiplicados 64; con esta informacin se obtiene la media armnica.

45,6=HM 29. Cuando la distribucin es simtrica. 31. ix : 2 4 4 4 4 4 5 5 7 7 7 10

25,51263

==x 48,4=HM 86,40 =M

33. 81,6360/1/80/152/170/1

4=

++=MV km por hora.

35. En el primer departamento 21,2% y en el segundo 78,8%

37.3

3

300)230()216(180)240(120

5,226n

n+

++=

33 230880.38800.28)300(5,226 nn ++=+

33 5,226230680.67950.67 nn += 395,363,135

3 ==n empleados.

16

Martnez. Respuestas a ejercicios seleccionados Captulo 4 1. c. Coeficiente de variacin. 3. d. Asimtrica positiva. 5. d. Coeficiente de variacin. 7. Grupo B, El programa 2 tiene menor variabilidad en su desempeo.

%39,401003,1183,20

11 === CVd %62,291001736,25

22 === CVd

9. d. Menor que la mediana y menor que el modo. 11. c. Asimtrica negativa. 13. b. En la segunda distribucin (0,5%). 15. a. s = 980.000(0,1632) = $159.936 b. Salario para el 2012 $980.000(1,075) = $1.053.500.oo s = 159.936(1,075) = $171.931,2

%32,16100000.980936.159

11 === CVd

%32,16100

500.053.12,931.171

22 === CVd

c. [ ] 000.030.1000.50000.980 =+=+kxM [ ] 936.159==+ xkx VV

%53,15100000.030.1

936.15933 === CVd

17. Asimtrica positiva

17,036,14

555,571=

=

=

sMMA ds

( ) ( ) 52,036,14

555,5733 1=

=

=

sMMA es

55555,571 de MMM 19.

60

05,03

1

1==== n

hnn

nnh ii

9

54085minmax

=

=

==

mxxiC

La media en una distribucin simtrica se sita en el centro de la distribucin, por lo tanto, en este caso, la media es 62,5 al igual que la mediana. Son iguales por ser simtrica.

17

ix if nfi / iF iH ii fx xxi ( )2xxi ( ) ii fxx 2 44,5 53,5 62,5 71,5 80,5

3 15 24 15 3

0,05 0,25 0,40 0,25 0,05

3 18 42 57 60

0,05 0,30 0,70 0,95 1,00

133,5 802,5

1.500,0 1.072,5 241,5

- 18,0 - 9,0

0 9,0

18,0

324,0 81,0

0 81,0

324,0

972,0 1.215,0

0 1.215,0 972,0

60 1,00 - - 3.750,0 0 - 4.374,0

iy in ih iN iH ii ny yyi 2)( yyi ( ) ii nyy 2

a. 5,62

60750.3

==x

9,7260

0,374.42==s

54,89,72 ==s

%66,13100

50,6254,8

==CV

b. Desviacin media y mediana.

44,5 53,5 62,5 71,5 80,5

- 18 - 9

0 9

18

18 9 0 9

18

54 135

0 135 54

0 - 378

3,6

60378

==== MdMea DDD

Como la distribucin es simtrica los resultados media, mediana y moda son iguales. En cambio la variacin, tiene otro comportamiento, ya que

dMeM DDs > En este caso 8,54 > 6,3

c. Rango = 85,00 - 40,0 = 45

21. a. 63,08,0

7,82,81 =

=Z 91,010,1

8,58,62 =

=Z

En el curso prctico el trabajador obtuvo una mejor posicin relativa.

b. %20,91007,88,0

1 ==CV %97,181008,51,1

2 ==CV

c. ( ) ( ) 87,2

502054,78,53054,77,8

50)20(21,1)30(64,0 222

=

++

+=s

( ) ( ) 54,7

50208,5307,8

=

+=x 69,187,2 ==s %41,22100

54,769,1

==CV

18

23. Las unidades de la desviacin estndar deben estar dadas en gramos. 25. 144 minutos. 27. b. Desviacin estndar. 29. a. Se gasta en promedio un galn para recorrer 52 kilmetros.

09,520622,0

4,32==y kilmetros.

b. 1 galn = 1,056(4) = 4,224 litros, es decir 12,31 kilmetros por litro. 31. a. 400.315$)38,0(000.830 ==s 700.916000.12)09,1(000.830 =+=x La nueva desviacin tpica ser: 786.343)09,1(400.315 ==s b. 000.195.791.7$)850(700.916 ==x frente a 000.000.055.7)850(000.830$ ==x El aumento ser de: 7.791.195.000 - 7.055.000.000 = $ 736.195.000

33. a. 75,61281

==x 68,412

)75,6(12603 22=

=s 17,268,4 ==s

%15,3210075,617,2

==CV %76,2410017,528,1

==CV

17,51262

==y 28,164,164,112

)17,5(12340 22===

= ss

b.

96,524

143==y 77,3

24)96,5(24943 22

=

=s 94,177,3 ==s

%55,3210096,594,1

==CV

35. a.

ix if fixi ii fx2

3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 5 5 3 2 1 2

6 16 25 30 21 16 9 20

18 64 125 180 147 128 81 200

24 143 943 iy in ii ny ii ny

2

19

47,60

85140.5

==x

07,1043,10143,10185

1765,621.82==== ss

b. La Moda: 52== jd xM La Mediana: 63,57=eM El grado de asimetra se obtiene aplicando alguna de las siguientes frmulas:

sMxA ds

=

sMxA es

)(3 =

45,299.1

852485,453.110

3 ==m

27,107,10

45,299.133

3===

smAs

c. 60,929.4185

2040,016.564.34 ==m 08,407,10

6,929.414 ==pA

20

La distribucin es apuntada o leptocrtica, dado que 4,08 > 3

Martnez. Respuestas a ejercicios seleccionados Captulo 5 1. a. Probabilidad objetiva. b. Probabilidad subjetiva. c. Evento. d. Punto muestral. e. Mtodo objetivo.

f. Experimento determinstico. g. Espacio muestral.

3. a. = 64 casos posibles. 111 121 131 141 112 122 132 142 113 123 133 143 114 124 134 144 211 221 231 241 212 222 232 242 213 223 233 243 214 224 234 244 311 321 331 341 312 322 332 342 313 323 333 343 314 324 334 344 411 421 431 441 412 422 432 442 413 423 433 443 414 424 434 444 b. Los resultados son: 331 332 133 233 433 334 323 343 P= = 0,125 = 12, 5% Son: 331 332 323 133 233 433 343 334

c. P = 28/64 = 0,4375= 43,75 Son: 311 321 341 213 123 223 313 413 423 131 423 143 231 243 443 431 312 322 132 232 432 342 314 324 134 234 434 344

d. %56,10156,0641

===P Corresponde al 333

5. a. 1035

=

b. 5638

=

c. 210610

=

d. 792712

=

e. 716.1713

=

Frmula ( ) !!!

xxnn

xn

=

7. a. Placas con 3 letras y 3 nmeros. Se tiene 25 letras y 10 dgitos.

000.683.19)000.1(683.1910(27 33 == placas. b. 000.1103 = placas con las letras BAY.

9. %5252,0210110

===P

21

11. %93,313193,01812

1913

2014

)( ==

=AyBP

13. a. 10!1!9!10

110

==

b. 45!2!8!10

210

==

c. 120!3!7!10

310

==

15. La probabilidad es de 0.33 = 33% 17. a. El resultado obtenido al dividir al nmero de xitos por el total de casos posibles, se emplea

cuando los espacios muestrales son finitos y tienen resultados igualmente probables. b. Se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran nmero

de ensayos repetidos. c. Es la posibilidad de que suceda un evento especfico, que es asignada por una persona

basndose en cualquier informacin disponible. d. La probabilidad de que un evento ocurra se determina observando en qu fraccin de

tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. e. Se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran nmero

de ensayos repetidos. f. Emprica, "a posteriori" o frecuencial que se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de

un evento con respecto a un gran nmero de ensayos repetidos. 19. a. Es un subconjunto del espacio muestral.

b. Es un suceso. c. Son todos los posibles resultados que se obtienen al realizar un experimento aleatorio. d. Cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de

ocurrencia del otro (u otros). e. Cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia

del otro (u otros). f. Si y solo si la interseccin de los conjuntos es el conjunto vacio. g. Cualquier proceso que proporciona datos.

21. a. Toma en cuenta informacin de eventos anteriores ya ocurridos, para predecir la

probabilidad de otro evento, con base en una nueva informacin. b. Las permutaciones son muestras ordenadas sin repeticin, las combinaciones son muestras

no ordenas sin repeticin y las variaciones son muestras ordenadas con repeticin.

23. a. Es una forma de visualizar y calcular las probabilidades de ocurrencia de un suceso, en la realizacin de un experimento.

b. Es una tcnica que permite elaborar un espacio muestral en donde se logran visualizar los puntos muestrales, con los cuales se obtienen varias etapas a ocurrencia de varios sucesos.

c. Se evidencia como el valor esperado de una funcin de variables aleatorias, es su nmero medio pero no necesariamente el valor ms frecuente.

d. La ley de la adicin, es un procedimiento de clculo en el que los sucesos son mutuamente excluyentes si dos o ms sucesos son tales que solamente uno de ellos ocurre en un solo ensayo, la probabilidad de que ocurra uno de esos sucesos, estar dada por la suma de las probabilidades para cada suceso.

22

e. Ocurre cuando se presentan dos o ms eventos en forma simultnea. f. S, porque la incertidumbre es el grado de desconocimiento, falta de informacin o

duda sobre la ocurrencia de un evento.

25. a. 12012345!5 == xxxx formas de conducir. b. 241234!4 == xxx formas de conducir. 27. 000.683.19)10(27 33 = placas. 29. a. Probabilidad clsica. b. Probabilidad a priori. c. Probabilidad subjetiva. d. Probabilidad objetiva. e. Probabilidad a posteriori.

31. a. ( ) ( ) %45,282845,05215

523

5212

)( ===+=+= BAAoB PPP

b. ( ) ( ) %77,303077,05216

524

5212

)( ===+=+= BAAoB PPP

c. y

33. a. P = 0,0219=2,19%

b. %37,20237,0389

3912

4013

=== xxP

35. )/()()/()()/()(

)/()()/(313212111

21212 ABPAPABPAPABPAP

ABPAPBAP++

=

%65,101065,00788,00084,0

)12,0(32,0)03,0(28,0)08,0(40,0)03,0(28,0)/( 12 ===++

=BAP

37. a. Las permutaciones son muestras ordenadas y las combinaciones son muestras no

ordenadas. b. Dos sucesos independientes no se afectan entre s, en los sucesos dependientes la

ocurrencia de uno de ellos afecta la ocurrencia del otro y dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no existe interseccin entre ellos.

23

Martnez. Respuestas a ejercicios seleccionados Captulo 6 1. a.

ix in )( xP )( xi Px ix 2)( ix )(2)( xi Px 1 2 3 4 5 6

6 3 9 3 4 5

0,20 0,10 0,30 0,10 0,13 0,17

0,20 0,20 0,90 0,40 0,65 1,02

-2,36 -1,37 -0,37 0,63 1,63 2,63

5,6169 1,8769 0,1369 0,3969 2,6569 6,9169

1,12338 0,18769 0,04107 0,03969 0,34397 1,17587

30 1,00 3,37 - - 2,91167

b. 37,3)( == xi Px 91,2)( )(22

== xi Px 71,191167,2 == 3. a. Valor esperado: 5,492.1= b. 75,568.682 = 86,26175,568.68 == 5. a.

Una distribucin de probabilidad es el resumen de todos los posibles valores de la variable aleatoria, junto con sus probabilidades a travs de una tabla, grfica o frmula.

Una variable aleatoria discreta es aquella que slo puede tomar algunos valores dentro de dos nmeros dados.

Una variable aleatoria es una funcin de valor real que tiene como dominio el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

b. En cada ensayo, el xito tiene probabilidad p y el fracaso una probabilidad q=1-p de ocurrir, la probabilidad de xito y de fracaso permanece constante durante el proceso en donde los ensayos son independientes.

7. a. 0,25 oficiales 0,75 privados

125.1)75,0(500.1 === npE 1.125 Provienen de colegios privados. b.

627180)2( )25,0()75,0(28

)25,0()75,0(18

)25,0()75,0(08

+

+

=xP

ix )( xP )( xi Px ix 2)( ix )(2)( xi Px 1.200 1.350 1.500 1.800 2.100

0,20 0,25 0,35 0,10 0,10

240,0 337,5 525,0 180,0 210,0

-292,5 - 142,5 7,5 307,5 607,5

85.556,25 20.306,25 56,25 94.556,25 369.056,25

17.111,2500 5.076,5625 19,6875 9.455,6250 36.905,6250

1,00 1.492,5 - - 28.168,7500

24

= 0,000015 + 0,00037 + 0,0038 = 0,00422= 0,422%

%00152,00000152,0)75,0()25,0(88 08

)8( ==

==xP

)8()3()2()2( .............. === +++= xxxx PPPP = [ ])1()0(1 == + xx PP =

+

7180 )25,0()75,0(18

)25,0()75,0(08

1

= [ ] %96,999996,0000385,0100037,0000015,01 ===+ 627180)2( )75,0()25,0(2

8)75,0()25,0(

18

)75,0()25,0(08

+

+

=xP

= 0,1001 + 0,2670 + 0,3115 = 0,6786 = 67,86%

9. a. )()4()3()2( ............... nxxxx PPPP ===> +++=

= [ ])2()1()0(1 === ++ xxx PPP =

++

!283,1

!183,1

!083,11

83,1283,1183,10 eee

= [ ] %74,272774,07226,012686,02936,01604,01 ===++

b. )()4()3()2( ............... nxxxx PPPP ===> +++=

= [ ])2()1()0(1 === ++ xxx PPP =

++

!283,1

!183,1

!083,11

83,1283,1183,10 eee

= [ ] %74,272774,07226,012686,02936,01604,01 ===++

c. !4

78,0!3

78,0!2

78,0 78,0478,0378,02)42(

++=eeeP x

= 0,1394 + 0,0363 + 0,0071 = 0,1828 = 18,28%

d.

++=

> !236,0

!136,0

!036,01

36,0236,0136,00

)2(eeeP x

= [ ] %59,00059,09941,010452,02512,06977,01 ===++

e. !396,0

!296,0

!196,0

!096,0 96,0396,0296,0196,00

)3(

+++=eeeeP x

= 0,3829 + 0,3676 + 0,1764 + 0,0565 = 0,9834 =98,34%

25

f. 2)0008,0(500.2 ==

!4

2!3

2!2

2 442322)42(

++=eeeP x

= 0,2707 + 0,1804 + 0,0902 = 0,5913 = 59,13%

11. Permite calcular la probabilidad de obtener X xitos por unidad de tiempo o espacio, el nmero de ensayos o pruebas es grande. Puede considerarse como el lmite de una binomial cuando n es muy grande y p es muy pequeo.

13. a. Si 2= quiebran en el semestre. En dos aos (4 semestres) serian 8 empresas las que Quebrarn. 8= empresas

b.

++=

!28

!18

!081

228180

)3(eeeP x

[ ]

%63,989863,00137,010107,00027,00003,01

==

==++=

c.

15. a. 16/4 = 4 clientes en 15 minutos

%83,10183,0!0

4 40)0( ===

=

eP x Que no haya ningn cliente en ese periodo.

b. X: 2 3n 67,2= clientes en 10 minutos.

+=

!167,2

!067,21

67,2167,20

)2(eeP x

= [ ] %58,747458,02542,011849,00693,01 ===+ Por lo menos haya 2 clientes, en un periodo de 10 minutos. c. . X: 0 1 2 33,5= clientes en 20 minutos.

!2

33,5!1

33,5!0

33,5 33,5233,5133,50)2(

++=eeeP x

= 0,0048 + 0,0258 + 0,0688 = 0,0994 = 9,94% 17. a. Como la distribucin es simtrica, en vez de utilizar las frmulas

)( xi Px= )(22 )( xi Px =

lo haremos en primer lugar mediante un procedimiento de clculo, ms sencillo y rpido:

( ) 3216 === np 22,15,1)21)(21(62 ==== npq

26

NOTA: Cuando es Simtrica, la media se localiza en el centro de la distribucin y su varianza ser la mitad del valor de la media.

Otro forma de obtener los anteriores resultados, sera trabajando con la tabla de frecuencias.

0 0,0156 0 -3 9 0,1404 1 0,0938 0,0938 -2 4 0,3752 2 0,2344 0,4688 -1 1 0,2344 3 0,3125 0,9365 0 0 0 4 0,2344 0,9376 1 1 0,2344 5 0,0938 0,4690 2 4 0,3752 6 0,0156 0,0936 3 9 0,1404 1,000 3,0000 0 - 1,5000

Media=3 Varianza= 1,5 Desviacin tpica= 1.224

b. Para realizar el histograma debemos convertir la anterior variable discreta en continua. Como C es constante la dividimos entre 2, siendo 5,02/ =c y luego se la restamos y

sumamos a iX

- -0,5 -0,5 0,5 - 1,5 1,5 - 2,5 2,5 - 3,5 3,5 - 4,5 4,5 - 5,5 5,5 - 6,5

,, 1 ii xx ix ( )XP -0,5 0,5 0,5 - 1,5 1,5 - 2,5 2,5 3,5 3,5 4,5 4,5 - 5,5 5,5 6,5

0 1 2 3 4 5 6

0,0156 0,0938 0,2344 0,3125 0,2344 0,0938 0,0156

--- 1,0000

27

c. .1c Solucin mediante la binomial:

)6()5()4()4()4()3( ===>> ++=== XXXXXX PPPPPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( )061524 5,05,066

5,05,056

)5,0(5,046

+

+

=

= 0,2344 + 0,0938 + 0,0156 = 0,3848 = 38,48%

Solucin mediante la normal: ?)5,3( =>XP

28

)1591,0(41,022,135,3 AtablaXZ ===

%09,343409,01591,05000,0)5,3( ===>XP

.2c Binomial )2( XP Normal ?)5,2( =

29

19. a. 4158,0)0( 1 =ZP A = 0,6428 0,5000= 0,1428

37,0)1428,0( = ZA

c. 2132,0?)( =

30

e. Entre 1,28 y Z el rea es de 0,0194

A(0,3967 + 0,0194) = 0,4161 38,1= Z

f. Z y Z = 0,83164158,0

28316,0

=

38,1)4158,0( = ZA y -1,38

%94,999994,04994,05000,0

)4994,0(26,315,1

25,55,1

)5,1( =+=

=

=

xP

AZ

Por lo menos dos de ellos presenten errores 15,175,1)25,0(7 ===== npqnp

)0871,0(22,015,1

75,15,1 AZ ==

A= 0,5000 + 0,0871 = 0,5871 = 58,71% %71,58)5,1( =xP

0 1,28 1,38 z

0,0194

0,3997

-1,38 0 1,38 z

0,4158

0,4158

21. 25,5)75,0(7 === np 15,131,1)25,0)(75,0(72

==== npq

1,5 5,25 z

0,5000

X

0,4994

-3,26 0

z

0,500

1,5 1,75 X

-0,22 0

0,0871

31

)2422,0(65,015,1

75,15,2 AZ ==

A = 0,5000 + 0,2422 = 0,7422 = 74,22% %22,74)5,2( =xP

)4357,0(52,115,1

25,55,3 AZ ==

A = 0,5000 - 0,4357 = 0,0643 = 6,43% %43,6)5,3( =xP

23. 200= 40= n = 1.800

)3413,0(00,1

40200160

)0987,0(25,040

200210

AZ

AZ

=

=

=

=

A = 0,0987 +0.3413 = 0,4400

a. )2258,0(6,040

200176 AZ ==

)0987,0(25,040

200190 AZ ==

1,75 2,5 z

0,2422

X

0,5000

z

0,0643 0,4357

3,5 5,25 X

-1,52 0

z

0,0987

X 160 200 210

-1 0 0,25

0,3413

z

0,1271

1,76 1,90 2,08

0,0487

-0,70 -0,25 0

0,0487

0 0,65

32

( ) =

33

10682,028,1

3682,0

1028,1 =

= xx

07,1017,010 =+=x es el valor solicitado. 7. a. 96,1%95 == ZP ?=n 112)600.5(02,0 ==E

7333,72112

)486(96,12

22

2

22

===E

Zn unidades.

b. 7281,71)486(96,1)112(000.10

)486()96,1(000.10)( 222

22

222

22

=+

=

+=

ZENNZn unidades.

9. a. 78=n 560.5=x 720=s Z = 1,96

79,719.521,400.579,159560.5

79,159560.578

72096,1560.5

=

===

nsZx

b.

06,719.509,400.506,159560.5

1500.878500.879,159560.5

1

=

=

=

N

nNnsZx

11. El punto 9 se resuelve teniendo en cuenta que la muestra es pequea 30n , en estos

casos en vez de operar con Z, se emplea la tabla t.

a. 28=n 05,0

271281=

===

n } 052,2=t

33,584.5 67,275.533,284560.527720052,2560.5

1 ==

=nstx

b. 12828500.8)500.8(052,2)500.8(560.5

11

=

=N

nNnstNxNY

850.688.43 150.831.40850.428.1000.260.42 =Y

34

Deber estar entre 42.382,81 y 42.217,19 artculos, con una probabilidad del 95%

13. = 0,13

a. =?

)2673,0(73,0041,0

03,0

120)87,0(13,0

120)9,0(1,0

003,0 AZ ==+

=

A (0,5000 0,2673) = 0,2327= 23,27%

b.

)2673,0(73,0

120)87,0(13,0

120)9,0(1,0

003,0 AZ =+

=

0

120)87,0(13,0

120)9,0(1,0

00=

+

=Z

A( 0,2327 + 0,5000) = 0,7327= 77,27% 15. a. Si una distribucin es asimtrica y se extraen todas las muestras posibles de esa poblacin,

siendo el tamao muestral menor o igual a 30, la distribucin que elaboremos en ellas tendr un comportamiento igual a la poblacin de donde se extrajeron, es decir que no estarn distribuidas normalmente, pero si las muestras son grandes, es decir mayores que 30, la distribucin de todas las muestras tendrn un comportamiento normal, aunque la poblacin de donde se extrajeron no lo sean.

b. En el muestreo aleatorio, todos los elementos que lo componen tienen la misma posibilidad de ser seleccionados, por tal razn, se considera que la muestra puede ser representativa de la poblacin de donde fueron extrados. En cambio, en el muestreo no aleatorio, los elementos son seleccionados en forma caprichosa, es decir, que algunos elementos no tienen ninguna posibilidad de ser seleccionados, por lo tanto la muestra estar sesgada y no es una representacin de la poblacin.

z

0,2327

-0,03 0

0,2673

-0,73 0

-0,03 0 z

0,5000

0,2327

35

17.

-

?22,0)( 21 = ppP

)4854,0(18,21010,0

22,0

36)76,0(24,0

36)76,0(24,0

22,0 AZ ==+

=

%92,20292,00146,00146,0)( 21 ==+= ppP La posibilidad de que las dos marcas revelen una diferencia de 8 o ms personas que conozcan el oficio es del 2,92%.

19.

18,13800,05000,08800,0 === ZA

12584,018,1

2584,0

1218,1 =

= xx

2,12122,0 == xx Este es el valor correspondiente a la media poblacional 21. 90%

23.

2

22

1

1121)( )(21 n

qpnqpZppP pp +=

%2020,0%1212,0)( 16,004,080

)86,0(14.060

)82,0(18,057,2)14,018,0(21

=

===+=ppP

12 ? z

0,3500

X

0,5000

0 1,18

z

0,4854

-0,22 0 0,22

0,4854

0,0140 0,0140

-2,18 0 2,18

36

Martnez. Respuestas a ejercicios seleccionados Captulo 9 1. 25=n 500,202,0241 ==== tn Se debe seleccionar la opcin d. t = 2,492 3. 8,42= 26=n 6,40=x 05,0=

Corresponde a la opcin d. 8,42:8,42:0