EFECTOS DE LA CURVATURA TERRESTRE Y REFRACCIN EN ALTIMETRA

MAURICIO ALBERTO PARDO MUNEVAR

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARESCENTRO DE EDUCACION MILITARBOGOT D.C2015 EFECTOS DE LA CURVATURA TERRESTRE Y REFRACCIN EN ALTIMETRA

MAURICIO ALBERTO PARDO MUNEVAR

TRABAJO

INGENIERO JAVIER VALENCIA SIERRA

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARESCENTRO DE EDUCACION MILITARBOGOT D.C2015CONTENIDO

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INTRODUCCIN 7

1. EFECTO DE LA CURVATURA TERRESTRE 8

2. METODOS PARA DETERMINAR DIFERENCIA DE ELEVACION 142.1.1 Nivelacin baromtrica. 142.1.2 Nivelacin trigonomtrica 14

3. ALTIMETRA 163.1 REPRESENTACIN GEOMTRICA DE LA TIERRA 163.1.1 Curvatura terrestre 163.1.1.1 Errores de distancia 163.1.1.2 Errores angulares 173.1.1.3 Errores de altura 173.1.2 Refraccin atmosfrica 173.1.3 Medidas de distancias verticales 193.1.4 Nivelacin directa 193.1.5 Instrumentos y accesorios 213.1.5.1 los niveles topogrficos 21

4. CONCLUSIONES 25Bibliografa 26

LISTA DE FIGURAS

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Figura 1 9Figura 2 11Figura 3 12Figura 4 15Figura 5 18

LISTA DE TABLAS

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Tabla 1 9Tabla 2 11

INTRODUCCIN

La tierra est formada de rea planas, llanuras, sitio montaosos y sobre todo sitios escarpados donde se requieren exactitud para la medicin de terrenos en los diferentes trabajos de altimetra y planimetra de la rama de la topografa, que hace dificultosos los datos obtenidos dentro del levantamiento, ya que debido a la curvatura de la tierra los datos pueden ser equivocados con respecto a lo medido, por fenmenos pticos o naturales pueden ocasionar informaciones errneas que se dan dentro del procedimiento, tal razn se debe implementar mtodos matemticos para corregir dichos erros, que permitan tomar medidas para mejorar los datos q trabajo que se toman en el campo para que sea exacta la informacin que se desea tomar y aplicar dentro de los proyectos civiles que son de suma importancia para el desarrollo econmico, social y cultural del ser humano.

1. EFECTO DE LA CURVATURA TERRESTRE.

La medicin de la distancia entre dos puntos constituye una operacin comn en todos los trabajos de topografa. El mtodo y los instrumentos seleccionados en la medicin de distancias dependern de la importancia y precisin requeridas.En estudios de reconocimientos previos, en algunos trabajos geolgicos, de agricultura, en localizacin de puntos o marcas sobre el terreno para operaciones de replanteo, etc., es comn medir la distancia con telmetro o por conteo de pasos.En el proceso de control de demarcaciones sobre el pavimento, determinacin de la longitud de una va construida, etc., es comn el uso del odmetro. En levantamientos que requieran mayor precisin, se emplean cintas de acero y distancimetros electrnicos. En algunos casos especiales, donde se requiere de cierta precisin y rapidez, se utilizan el teodolito y las miras verticales u horizontales como mtodos indirectos para la medida de distancias.Todos los levantamientos topogrficos son representados a escala sobre el plano horizontal, por lo que cuando se mide una distancia entre dos puntos sobre la superficie terrestre, sta debe ser en proyeccin horizontal.Para conocer hasta qu punto la superficie de la tierra puede ser considerada como plana, para la realizacin de trabajos topogrficos, veamos los siguientes ejemplos:a) Suponer de acuerdo a la figura, que se conoce la distancia real entre los puntos AB (arco); la distancia en proyeccin sobre el plano horizontal tangente en el punto A es la distancia AB (recta); la diferencia entre la distancia en proyeccin ( AB) y la distancia real AB es el error E que se comete al considerar la Tierra como plana.Figura 1: apreciacin AB`=Rtan

Fuente:https://onedrive.live.com/view.aspx?resid=BB5E0997E2288E2!124&cid=

El radio promedio de la Tierra se halla igualando el rea de la elipse y el rea del crculo: x a x b = x R2Despejando R tenemos que: R= (6378 x 6356)1/2 = 6367 kmDe la definicin de radin: =180/ /(Eq. 2)El error que se comete al considerar la tierra como plana queda definido como: E= AB- AB (Eq. 3)

Tabla 1: Empleando las ecuaciones 1, 2 y 3, se obtiene la siguiente tabla:

Fuente:https://onedrive.live.com/view.aspx?resid=BB5E0997E2288E2!124&cid=

Considerando que los modernos instrumentos para la medicin de distancias nos pueden dar precisiones de hasta 5 mm/km, podramos tomar 25 km como lmite del campo topogrfico para la medicin de distancias, ya que el error relativo que se comete al considerar al Tierra como plana, es aproximadamente igual a la mxima precisin obtenida.En la medicin de distancias con cinta mtrica, en donde la mxima precisin que se puede obtener el alrededor de 1/10.000, se podra aumentar el lmite de campo topogrfico hasta 30 km. Esto debido a que en las mediciones angulares, el lmite del campo topogrfico angular es de 30 km.b) Como los ngulos horizontales se miden sobre el plano horizontal, es necesario determinar hasta qu punto la Tierra puede ser considerada como plana, sin que el error que se cometa en la medicin del ngulo sea mayor que la precisin del equipo utilizado para la medicin del ngulo.Segn el teorema de Legendre, un tringulo esfrico cuyos lados no superan los 120 km, puede ser sustituido por un tringulo plano cuyos lados tengan la misma longitud que los del tringulo esfrico y cuyos ngulos se obtienen disminuyendo cada ngulo del tringulo esfrico de un tercio del exceso esfrico.En un tringulo esfrico, la suma de los ngulos internos es mayor de 180, en una cantidad que llamamos exceso esfrico (EE).E + E + E = 180 +EE (Eq. 4)El error esfrico est dado por la expresin: =206.265/ (Eq. 5)Donde Acorresponde al rea del tringulo esfrico y R al radio promedio de la Tierra.

Figura 2. Triangulo esfrico y triangulo plano

Fuente:https://onedrive.live.com/view.aspx?resid=BB5E0997E2288E2!124&cid=

Un tringulo plano equivalente al tringulo esfrico, esto es A = A, se puede obtener corrigiendo los ngulos del tringulo esfrico con un valor igual a: = /3=206.265/3 (Eq. 6)Considerando: = /460 (Eq. 7)Tendremos que: =206.26560/12 (Eq. 8)De esta manera se puede obtener la siguiente tabla de valores (Sencico 2010)

Tabla de valores de Cee (sencico 2010)

Fuente:https://onedrive.live.com/view.aspx?resid=BB5E0997E2288E2!124&cid=

Considerando que los ngulos horizontales pueden ser medidos con equipos con apreciaciones de 1, y recordando el lmite del campo topogrfico para la medicin de distancias podemos establecer un campo topogrfico planimtrico de 25 km a 30 km.Habiendo establecido los lmites del campo topogrfico, tanto planimtrico como para la medicin de distancias, podemos definir a la topografa que se realiza dentro de estos lmites, considerando la Tierra como plana, como topografa plana.Hay dos factores que afectan las nivelaciones, estos son: La curvatura terrestre y la Refraccin atmosfrica.

Figura 3: curvatura terrestre y refraccin atmosfrica

Fuente: http://es.slideshare.net/slgonzaga/clase-de-topografia

h = pp= error por curvaturar= pp= error por refraccinh= pp=error resultante.Se estima que el efecto producido por la CURVATURA TERRESTRE es directamente proporcional al cuadrado de la distancia. Llamando h al efecto de curvatura terrestre y K; la distancia en Km. Entre dos puntos.h=0.08^2La refraccin atmosfrica vara con la temperatura, la presin atmosfrica y el sitio. Se puede eliminar tomando observaciones recprocas, asumiendo que las condiciones atmosfricas son iguales en los dos puntos.El fenmeno de la refraccin, hace que los objetos parezcan ms altos de lo que en realidad son.El desplazamiento angular derivado de la refraccin es variable. Dependiendo de las condiciones atmosfricas, de la longitud de la lnea y del ngulo que una visual forme con la vertical. Es mejor realizar observaciones hacia el medioda. La refraccin produce un efecto contrario al anterior y menor que este, llamando r al efecto por refraccin atmosfrica y se tiene:r= 0.01 k^2El efecto combinado de estos dos fenmenosh=0.07k ^2h, h, y r estn expresadas en m, kSe tomarn en cuenta estos dos fenmenos en nivelaciones de alta precisin o levantamientos geodsicos.No se tomar en cuenta.

2. METODOS PARA DETERMINAR DIFERENCIA DE ELEVACION.

Las diferencias de elevacin se han determinado tradicionalmente empleando Cinta.- este mtodo se utiliza para determinar profundidades, determinar elevaciones en edificios, construcciones en general.Nivelacin diferencial.- Es el de uso ms comn, se determina una lnea visual horizontal utilizando un nivel ptico o compensador automtico. Se usa un telescopio con una amplificacin adecuada para leer estadales graduados, situados en puntos fijos.

2.1 NIVELACIN DIFERENCIAL

2.1.1 Nivelacin baromtrica.El barmetro es un instrumento para medir la presin del aire atmosfrica, puede usarse para medir alturas relativas de puntos situados sobre la superficie de la tierra. El mtodo baromtrico se utiliz en el pasado para los trabajos de nivelacin en terrenos abruptos en los que tiene que abarcarse extensas reas, pero que no se necesitan mayor precisin.

2.1.2 Nivelacin trigonomtrica.La diferencia de elevacin o desnivel entre dos puntos puede determinarse midiendo: La distancia inclinada u horizontal entre los puntos El ngulo cenital o es ngulo vertical entre los puntos.Si se mide la distancia S y el ngulo cenital z 0 el ngulo vertical entre C y D, la diferencia de nivel V entre C y D ser:

Figura 4. V = S cos z

Fuente: http://es.slideshare.net/slgonzaga/clase-de-topografia

V = S cos z O bien, V = S sen Alternativamente, si se mide la distancia horizontal H entre C y D, entonces V est dada por:V = H cot z O bien, V = H tan La diferencia de nivel entre los puntos A y B, elev en la figura, est dada por: elev = hi+V-rDnde: hi=altura del instrumento, r es la lectura en el estadal en el punto fijo B cuando se lee el ngulo vertical o cenital z.

3. ALTIMETRA

la altimetra estudia las diferencias de elevacin de los puntos sobre la superficie terrestre, proyectada sobre un plano vertical y referida a un plano de comparacin cualquiera. la determinacin de los valores correspondientes se consigue mediante la nivelacin y puede considerarse como un tipo de levantamiento. la nivelacin es un conjunto de operaciones tendientes a determinar la diferencia de altura entre dos cotas.

3.1 REPRESENTACIN GEOMTRICA DE LA TIERRA

La tierra es un cuerpo indeterminado analticamente hablando, por las irregularidades de su superficie, para poder representarla se considera como plana, esfera, o elipsoide, y as poder aplicar la geometra, trigonometra y el clculo.

3.1.1 Curvatura terrestreEn general, la topografa prescinde de la esfericidad de la tierra y reemplaza la superficie de nivel por planos dentro de los lmites de trabajo, lo cual produce errores, a veces despreciables. Los ms notables son:

3.1.1.1 Errores de distancia. Si se tiene un tringulo al que se le conoce un lado y dos ngulos, estos ngulos perteneceran al tringulo esfrico formado por los crculos mximos que unen los dos puntos. en topografa se acepta a este tringulo como plano y los lados se calculan con las frmulas de trigonometra plana. Sin embargo, los valores del exceso esfrico son despreciables al lado de la precisin exigida en los trabajos de topografa.

3.1.1.2 Errores angulares. Al despreciar la curvatura terrestre resulta aceptado que los nortes geogrficos en cualquier punto de la zona de trabajo sean paralelos entre s, lo cual no es exacto.

3.1.1.3 Errores de altura. Si desde un punto a se dirige una visual horizontal, sta no pertenece a la superficie de nivel de a, sino que llega a otro punto ubicado a cierta distancia, lo que nos indica el error de altura. Segn la distancia este error puede llegar a tener una influencia apreciable, para una distancia de 50 m el error es de 0.2 mm; para una distancia de 100 m el error es de 0.8 mm; para 200 m es de 3.2 mm. Por lo que en topografa se acostumbra a corregirlo con la siguiente frmula:Dnde:e = error de altura d = distanciar = radio

3.1.2 Refraccin atmosfricaComo se dijo en el punto anterior, la curvatura terrestre influye en la nivelacin, ya que las visuales a las miras son lneas rectas, debiendo ser arcos de circunferencia, al igual que las superficies de nivel no son planos, sino superficies esfricas. Si se considera con mayor exactitud el error por curvatura terrestre, se debe incluir adems la influencia de la refraccin atmosfrica, ya que la visual en vez de ser una recta, es una curva que tiene una posicin acercndose a la superficie del terreno, y adems tiene valor:Dnde:

er = error de refraccind = distancia r = radioLa expresin de error por curvatura (de altura) combinada con el error por refraccin se puede combinar para corregir ambos errores a la vez:E combinado

Figura 5. Curvatura terrestre-error de refraccin

Fuente: http://jrperez.webs.uvigo.es/servicios-topografia-altimetria.htm

3.1.3 Medidas de distancias verticalesSi se desprecia la curvatura terrestre, la diferencia de elevacin entre dos puntos en la superficie de la tierra, corresponder a la distancia entre los dos planos horizontales en que estn los puntos.La cota de un punto es su distancia vertical sobre o bajo alguna superficie de nivel elegida, llamada plano de referencia.El plano de referencia ms utilizado es el nivel medio del mar, pero frecuentemente las cotas se refieren a un plano de referencia que no tiene relacin con el nivel del mar. Generalmente, se asigna la cota 100 a la estacin inicial y las cotas de todos los puntos se calculan en relacin a la cota inicial.Las diferencias de elevacin se miden por:1. por medidas directas de distancias verticales (nivelacin directa o geomtrica).2. por medidas de distancias horizontales y ngulos verticales (nivelacin trigonomtrica).3. por medidas de la variacin de la presin de la atmsfera terrestre (nivelacin baromtrica).

3.1.4 Nivelacin directaEn este mtodo se debe utilizar un nivel de ingeniero, trpode, una o dos miras con sus respectivos niveles de jaln, estacas y huincha.1 paso: se debe instalar el instrumento en un lugar despejado, cuidando que el trpode quede bien enterrado y firme para evitar posibles accidentes. el instrumento se ubica en un punto intermedio, equidistante de los dos puntos a medir y a distancias ms menos cortas para que la tierra pueda ser considerada plana y evitar los posibles errores de refraccin y curvatura. se debe nivelar el instrumento mediante los tornillos nivelantes.2 paso: se ubican las miras en las cabezas de las estacas, apoyando sobre su canto el nivel de jaln para quedar aplomo, es decir, en forma vertical.3 paso: se procede a leer en la mira el hilo medio, esta primera lectura atrs corresponde a un punto cuya cota es conocida, por ejemplo la ms utilizada cota 100. Posteriormente se procede a leer la lectura adelante de la misma manera, la cual se realiza sobre un punto cuya cota es desconocida. Con la frmula siguiente se puede calcular el valor de la cota:Dnde:cb = cota desconocida ca = cota conocidala = lectura atrslb = lectura adelanteSe debe poner cuidado especial en igualar cada distancia de atrs con su correspondiente de adelante, para que las sumas sean aproximadamente iguales, adems que las longitudes sean cortas y as obtener un mtodo libre de errores provenientes de curvatura y refraccin.La nivelacin directa se usa como auxiliar en levantamientos, para determinar cotas a lo largo de una lnea establecida, como eje de ferrocarril, camino, acueducto, etc., lo que constituye la determinacin de un perfil longitudinal y tambin transversal.La nivelacin directa es el mtodo ms preciso para determinar alturas y es el que se emplea ms frecuentemente.

3.1.5 Instrumentos y accesorios

3.1.5.1 los niveles topogrficos. Se utilizan exclusivamente para altimetra, siendo sta la toma de medidas del desnivel que existe entre dos puntos por medio de una visual horizontal.Se puede definir nivel como aquel instrumento que al estar estacionado, todas sus visuales sern obligadamente horizontales.Existen los niveles de anteojo y los niveles expeditos. se hablar de nivel de anteojo ya que ste es el de uso ms frecuente en los quehaceres de un tcnico. los niveles de anteojo se dividen en niveles de plano y niveles automticos, segn la manera de usarse. los primeros son aquellos que al ser instalados y perfectamente nivelados, su giro ser completamente horizontal, el nivel automtico es mucho ms sencillo, ya que basta una nivelacin grosera al instalar el instrumento, para que su giro sea perfectamente horizontal, esto se debe a que tiene un mecanismo compensador. de los dos niveles de anteojos el ms utilizado es el nivel automtico.Para comprender de mejor manera el uso y la funcin del nivel, se suponen dos miras colocadas verticalmente en un punto a y b, el instrumento se encuentra entre las miras, para conocer el desnivel entre los puntos:1paso: utilizar un nivel que est previamente verificado.2paso: instalar el instrumento en un lugar firme, de manera que ste no corra el peligro de caer.3paso: nivelar el instrumento.4paso: dirigir el anteojo a la mira que se encuentra en el punto a, leer el hilo medio. Registrar el dato como lectura atrs.5paso: girar el instrumento para visualizar la mira que se ubica en el punto b, leer el hilo medio. Registrar el dato como lectura adelante.6paso: calcular el desnivel. El desnivel se obtiene de la siguiente expresin:En el caso de la nivelacin anterior bastaba anotar las dos lecturas en una libreta sin tener complicacin, pero en el caso de que se realice una nivelacin de ms puntos se debe fabricar una cartera de nivelacin. sta es una tabla donde se deben anotar los puntos a nivelar, las lecturas, observaciones que permitan recordar situaciones relevantes cuando se hagan los clculos en gabinete, y adems se deben anotar los clculos de desniveles y cotas.Los dispositivos fundamentales del nivel son: la ampolleta de nivel y el anteojo.La ampolleta de nivel es un tubo de vidrio cuya superficie interna superior (ampolleta sencilla) o la superficie interna superior e inferior (ampolleta reversible), tiene la forma de un arco de circunferencia en la direccin longitudinal. este tubo es llenado por un lquido muy fluido como alcohol o ter sulfrico, dejando un espacio que ser ocupado por una burbuja de aire, que tomar la posicin en el punto ms alto del tubo. el tubo va generalmente graduado desde el centro en ambas direcciones, para llevar ms fcilmente el centro de la burbuja al centro del tubo (centracin de la burbuja).La lnea de fe es la lnea tangente a la ampolleta en su punto medio. cuando la burbuja est centrada la lnea de fe de la ampolleta queda horizontal.El anteojo se compone de tres tubos cilndricos, el porta ocular (ocular), el porta retculo (diafragma y retculo) y el porta objetivo (objetivo), pudiendo deslizarse uno dentro del otro.El objetivo produce una imagen real, que el operador debe ver por el ocular. el diafragma es una pieza provista de un orificio circular que deja ver la parte clara y no el contorno que tiende a oscurecerse. el eje ptico es la lnea que pasa por los centros del diafragma y objetivo.En la parte anterior del porta objetivo se encuentra el objetivo y en la otra extremidad va embutido el segundo tubo, el porta retculo, el cual puede deslizarse en el primero, por medio de un tornillo que lo hace avanzar y retroceder, para llevar al retculo el plano de la imagen real dada por el objetivo. los hilos del retculo son generalmente cuatro, el hilo axial que est colocado segn el dimetro horizontal, el hilo vertical que es perpendicular al hilo axial y los dos hilos extremos que son horizontales ubicados a una misma distancia del hilo axial. el retculo debe ser susceptible de desplazarse tanto vertical como horizontalmente, para que se pueda regular la posicin del eje ptico y debe poder girar sobre si mismo, para que el hilo axial pueda ser llevado a su posicin horizontal, lo anterior se arregla con tornillos convenientemente distribuidos.El tubo porta ocular est cerrado en su parte posterior por un obturador, con un orificio regularmente pequeo por el que mira el observador a travs de un sistema de pequeos lentes. el ocular debe poder deslizarse a lo largo del tubo para poder enfocar el retculo segn el ojo de cada observador.Casi todos los niveles tienen su anteojo apoyado sobre sus collares que permiten movimientos de rotacin alrededor de un eje (eje de figura o eje geomtrico), cuya posicin corresponde aproximadamente al eje ptico.En resumen, tenemos los siguientes elementos geomtricos dentro del anteojo:1. eje ptico: es la lnea determinada por el cruce central de los hilos del retculo y el centro geomtrico de la lente objetiva.2. eje de figura: es el eje en torno al cual rota el anteojo.3. hilo horizontal del retculo.Otros dispositivos del nivel: la parte superior del instrumento puede girar en torno de un eje vertical. Este movimiento es controlado por un sistema de tornillos de presin, para impedir su movimiento cuando se desee fijarlo, y de tangencia, para hacer el ajuste de la direccin del anteojo. La parte media del instrumento va provista de un sistema de tornillos nivelantes (3 y a veces 4) que permiten efectuar la verticalidad del eje vertical de rotacin. y la parte inferior corresponde al trpode. La parte superior va ligada a la media, y sta a la inferior.

4. CONCLUSIONES

Los datos que se toman en la altimetra dentro del trabajo de topografa de ben estar verificados y corregidos con el fin de no presentar equivocaciones que puedan afectar el proyecto en cualquiera de sus fases de ejecucin.

Se debe tomar los datos y calcular los errores con el fin de reducir o compensar dicha dificultad para as poder hacer un excelente trabajo.

En el momento de hacer un trabajo de medicin en rea inclinada o escarpada, se debe tener mucho cuidado en la seleccin de los equipos u utensilios para la medicin ya que estas son herramientas que pueden arrojar datos errados.

BIBLIOGRAFA

McCORMACK, Jack, Eduard. Topografa. Clemson University. Mxico D.F, Limusa Wiley, 2011, 418 p.

Kissan p (1967). Topografa para Ingenieros. New York: McGraw-Hill.

INSTITUTO COLOMBIANO DE NORMAS TCNICAS. Normas colombianas para la presentacin de Tesis y Trabajos de Grados y otros trabajos de investigacin, sexta actualizacin. Santa fe de Bogot D.C. 2008.NTC 1486.

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