Educación Matemática- TERCER AÑO 2020

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Para poder graficar situaciones en las que intervienen dos variables teneos que conocer como graficar puntos en el plano. Para ello se emplea un sistema de coordenadas cartesianas

En él se observa que: Los ejes se cortan en forma perpendicular dividiendo el plano en 4 cuadrantes

Cada eje es una recta numérica.

En el punto de intersección coinciden los ceros de ambos ejes.

Las escalas utilizadas en cada eje pueden ser distinta, pero respetando en cada uno de ellos la

unidad elegida.

Una vez fijado el sistema de referencia, cada punto tiene asignado un par ordenado de números. La primera componente corresponde al eje de las abscisas (o sea, al eje de las “x”, “al eje horizontal”) y la segunda al eje de las ordenadas (o sea, al eje de las “y”, “al eje vertical”) Por ejemplo: Consideremos los siguientes pares ordenados: J = ( -3 ; 4) , K = (4 ; -3) J ≠ K

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Recordá que: “Si un punto esta sobre un eje, la coordenada correspondiente al otro eje es cero”. Por ejemplo: Ubiquemos los puntos A = (2, 0) y B = (0, -1)

Actividad N°1: Indica las coordenadas de los siguientes puntos:

A = ( , ) B = ( , ) C = ( , )

D = ( ; ) E = ( , ) F = ( , )

G = ( , ) H = ( , )

Actividad N°2: Representá sobre el eje de coordenadas, los siguientes puntos. Unilos en el orden en que

están escritos. ¿Qué dibujo forman?

Ñ = (0;-4) ; O = (1;-6); P = (2;-6) ; Q = (2;-1); R = (1;0); S = (1;5) ; T = (0;7); U = (-1;5) ; V = (-1;0);

W = (-2;-1); X = (-2;-6); Y =(-1;-6 ); Z = (0;-4)

Actividad N°3: Teniendo en cuenta el gráfico de la actividad 2, contesta con verdadero o falso y justifica:

a) El punto ( 1 ; -4) pertenece a la figura

b) El punto W pertenece al segundo cuadrante

c) El punto R esta sobre el eje de las absisas

d) Hay cuatro vértices de la figura en el cuarto

cuadrante

e) El punto ( 2 ; 3) pertenece a la figura

f) La distancia entre los puntos V y R es igual a

dos unidades

g) El punto O tiene mayor absisa que el punto P

h) El punto S y U tiene igual ordenada

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Constituyen una herramienta para describir fenómenos en los que se relacionan dos variables. Dicha relación puede establecerse con una gráfica, una tabla de valores, o una expresión algebraica. En las funciones se verifica que una variable depende de la otra, y a cada valor de una variable le corresponde un único valor de la otra. Analicemos las siguientes situaciones: Situación nº 1: “Una empresa de telefonía lanzo una promoción para llamadas de larga distancia. Por cada minuto de llamada cobra 0,25$”. Registremos en la siguiente tabla la relación entre las variables.

Actividad N°4: Mirando el gráfico: ¿Cuál es el precio de una llamada de un minuto y medio? ............... ¿Cuánto tiempo podemos hablar por $1,75?.............................. Aclaración: Como a cada minuto “ x” le corresponde uno y solo un precio “ Y” , decimos que “y es función de x” Por otro lado el precio depende de los minutos hablados. Por ello diremos que “x” es la variable

independiente e “y” es la variable dependiente. Si llamamos “f” a esta función podemos escribir Y = f (x)

Las variables de este problema están vinculadas por la siguiente fórmula :

y = 0,25.x

Situación nº 2: “Una persona toma un taxi para ir a trabajar. El taxista le cobra 40$, por el solo hecho de llevarla (bajada de bandera), y 5 $ por cuadra recorrida. ¿Cuánto le cobrará por 5, 10, 15 y 20 cuadras?

La expresión algebraica que vincula

las variables del problema es:

y = 5.x + 40

X: Tiempo Y: Precio

0 0

1 0,25

2 0,50

3 0,75

4 1

5 1,25

Cuadras ( x ) Precio ( y )

5 65

10 90

15 115

20 140

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IMPORTANTE: Las funciones estudiadas tienen como gráfico una recta por ello diremos que son funciones lineales. Su fórmula general es : Y = a.x + b . De acuerdo a como varía “a” y “b” será su nombre y comportamiento. Actividad N°5: a) Una persona contrató el servicio telefónico de Internet a una empresa que cobra por el servicio

$25 fijos por mes, más $0,50 la hora de conexión. Escribe la fórmula que me permitiría calcular el precio

a pagar cualquiera sean las horas conectados a Internet y su gráfico.

b) En un vaso graduado, Martina puso alcohol hasta completar 4 cm de altura. Cada día observan que el

nivel del líquido baja 0,25 centímetros por la evaporación. Grafica la situación y escribe la fórmula para

calcular la altura del alcohol de acuerdo a los días transcurridos.

La fórmula general de una función lineal es: donde a y b son números reales (a,b 𝜖 𝑅)

LA PENDIENTE (EL VALOR DE “a”) VA A DETERMINAR LA INCLINACIÓN DE LA RECTA Y LA

ORDENADA AL ORIGEN (EL VALOR DE “b”) VA A DETERMINAR EL VALOR EN EL QUE LA RECTA CORTA AL EJE DE LA ORDENADAS (Y).

Veamos algunos ejemplos: Gráfico: Ej nº 1: 𝐲 = −𝟑. 𝐱 + 𝟐

Tabla de valores:

X Y = -3.x +2 Punto

1 -3.1+ 2 = -3 +2 = -1 (1,-1)

0 -3.0 + 2= 0 + 2= 2 (0,2)

-1 -3.(-1) + 2 = 3 + 2= 5 (-1;5)

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Ej nº 2 : 𝐲 =𝟐

𝟓 . 𝐱 – 𝟑 Gráfico:

Tabla de valores:

CASOS ESPECIALES DE FUNCIONES LINEALES:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO CERO:

y = b Este caso se dá cuando a=0 (es decir cuando la pendiente vale 0)

Es una función que a todo número real le hace corresponder el número real “b” por eso la llamamos

función constante. La representación gráfica de una función constante es una recta paralela al eje x. A “b”

la llamaremos ordenada al origen. “La ordenada al origen es el valor de y cuando x vale cero.

Si “a” es positiva significa que cuando x aumenta una unidad, la ordenada aumenta “a” unidades dicho de otra manera, la función es creciente. Si “a” es negativa, cuando x aumenta una unidad la ordenada disminuye “a” unidades, luego diremos que la función es decreciente.

Ejemplos:

y = -3 y = 1

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Si y = 0 recibe el nombre de función nula.

x y = 𝟐

𝟓 .x - 3 Punto

0 𝟐

𝟓 . 0 − 3= 0 – 3 = -3 ( 0, -3)

5 𝟐

𝟓 . 5 − 3= 2– 3 = -1 ( 5 ; -1)

-5 𝟐

𝟓 . (−5) − 3= -2 – 3 = -5 (-5; -5)

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FUNCIÓN POLINOMICA DE GRADO UNO:

y = a.x Este caso se dá cuando b=0 (es decir cuando la ordenada al origen vale 0)

La situación nº 1 es un ejemplo de función polinómica de grado uno. Decimos que “a” es la pendiente de la recta y= a.x . Ejemplos:

Ej nº 1: y = 6.x x y Punto

0 6.0= 0 (0,0)

1 6.1=6 (1,6)

-1 6.(-1)= -6 (-1,-6)

Ej nº 2 : y = −𝟏

𝟑 . x

Actividad N°6:

Graficar y determinar pendiente y ordenada al origen de las siguientes funciones:

a) y = 5.x

b) y = - 1

2. x + 3

c) y = - x

d) y = 2.x -4

e) y = 2

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Les dejamos algunos videos para que miren antes de resolver

https://www.youtube.com/watch?v=kzOzYY-T-50

https://youtu.be/PD45s3U9WA0

x y Punto

0 −𝟏

𝟑. 0= 0 (0,0)

3 −𝟏

𝟑. 3= -1 (3,-1)

-3 −𝟏

𝟑.(-3)=1 (-3;1)