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PROGRAMA DE MATEMÁTICA PARA TERCER AÑO. 2009 Unidad 1. Funciones Definición de función. Gráficos, Crecimiento y decrecimiento. Funciones pares e impares. Translaciones y simetrías. Ceros de una función. Clasificación de funciones. La función biyectiva y su inversa. Unidad 2: Las funciones polinómicas I. Función line al Polinomio, función polinómica. Función lineal, ecuación de la recta. Paralelismo y perpendicularidad . Problemas. Unidad 3: Las funciones polinómicas II. Función cua drática Función cuadrática. Clasificación. Movimientos. Ecuación de segundo grado. Intersección de parábola con recta. Unidad 4: Las funciones polinómicas III . Ceros de una función polinómica en general, multiplicidad. Operaciones con polinomios. Regla de Ruffini, Teoremadel resto. Divisibilidad. Resolución de ecuaciones . Teorema de Gauss. Descomposición factorial de un polinomio. Clasificación. Movimientos. Representación aproximada de funciones polinómicas a partir de ceros, intervalos de positividad y negatividad Unidad 5: Las funciones racionales e irracionales Función racional. Función homográfica. Operaciones con expresiones algebraicas racionales. Ecuaciones. Problemas. Funciones irracionales. Álgebra de funciones. Problemas

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TRABAJO PRÁCTICO 0 para Tercer Año 1) Dados los siguientes conjuntos de números reales, expresarlos como intervalo y realizar las operaciones que se indican: AUF, B∩C, FC , D-A

{ }0).(2/ 2 <−−ℜ∈= xxxxA

≥

−

−ℜ∈= −

− 2

1.2

2

12

5

/ 12

xxB

>

−−ℜ∈= 0

2

1/

2x

xxC ( )

≤++ℜ∈= 01

2/

2

2

x

xxxD

{ }xxxE 3/ 3 ≤ℜ∈=

>−ℜ∈= 2

3/

x

xxF

2) Realizar las siguientes operaciones en R en forma exacta:

a) ( ) ( )( ) 32.321212232

−+−−+−−

b) 35

452052 +−

c) 12

132

9

82

4

18

+−++

d) 123

175

5

127

31

1 −++−

3) Verificar las siguientes identidades 0/, >>ℜ∈∀ baba

a) abab

abba =++

b) b

baa

baba

baba 22 −+=−−+−++

4) Resolver las siguientes ecuaciones

a) 2x

42x

−=+ b) 3)2(

2

1

4

7 22

−+=−++x

xx

b) 222

982

)23(

4

)23(x

xx −=++−− d) 34x5x 22 =−−+

e) 31x1x

1x1x =−−+−++

4

5] Indicar cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones de A en B y cuáles no. Justificar la respuesta.

ℜ⊆A ℜ⊆B

6) Indicar cuál es el conjunto imagen de f

7) 1x2)x(f/:f −−=ℜ→ℜ calcular el valor de x tal que a) f(x)=2 b) f(x)=-1 8) Dada la función: f:ℜ →ℜ / 1xx)x(f 3 −+−= calcular :f(0), f(-1), f(-2), f(0,5), f(-1/3) 9) Hallar dominio mayorante (máximo en sentido de inclusión) de las siguientes funciones y expresarlo como intervalo:

a) 21

9)(

2

−+−=

x

xxf b)

)1x)(9x(1x2

)x(f2 +−

+=

5

c) f(x)=

≥−

≤−

2xsi2x

1

1xsix3

d) ( ) ( )1

12 −−=

xx

xxf

e) ( )1

42

2

−−=

x

xxxf f)

2

1)(

+−=

x

xxf

10) Las localidades A, B y C estan alineadas, B se encuentra entre A y C a 40 km de A. Un tren parte de A hacia C con una velocidad constante de 90 km/h. Simultáneamente parte de B hacia C otro tren a velocidad constante de 60 km/h.

a) graficar la distancia hasta A en funcion del tiempo para ambos trenes en un mismo grafico.

b) Expresar analíticamente ambas funciones c) Calcular en que momento y a que distancia de A se encuentran.

11) Un recipiente con agua que se encuentra a 30o se pone a calentar de forma tal que la temperatura aumenta en forma constante hasta alcanzar el punto de ebullición (100o) a los 5 minutos. Se retira y se deja a temperatura ambiente de 20o tardando 20 minutos en llegar a la misma (y suponiendo que desciende en forma constante). A temperatura ambiente se mantiene el resto el tiempo. a) Graficar la temperatura del agua en función del tiempo. b) Expresar analíticamente la función c) Hallar la temperatura a los 3 minutos, 10 minutos y 40 minutos de comenzada la experiencia. 12) Sobre el lado AB del triangulo ABC consideramos los puntos M y N, tales que BM=MN=NA. Sobre el lado BC, consideramos los puntos P y Q tales que BP=PQ=QC. a) Demostrar que MP es paralela a AC b) Hallar la razón entre las áreas del triangulo NBQ y ABC. Justificar. 13) En el triangulo ABC, M pertenece a AB y N pertenece a BC de forma tal que MN es paralela a AC, si AB = 12 cm, hallar a que distancia de B debe colocarse M para que el área

de MBN sea la mitad de area de ABC. 14)Los triángulos ABC y A’B’C’ son equiláteros. a) son semejantes? Justificar. b) Una altura del A’B’C’ es de la misma longitud que un lado del ABC. Demostrar que el área(A’B’C’)=4/3.área(ABC)

15) Para medir la altura de una montaña, se mide el ángulo de elevación en un punto determinado del terreno, y es de 45o. Si se retrocede 2 km en línea recta desde ese punto y se vuelve a medir el ángulo de elevación, este es de 30o. Hallar la altura de la montaña. 16) Hallar los ángulos que forma la diagonal de un rectángulo con los lados, si se sabe que un lado es el doble del otro.

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17) Verificar la siguientes identidades: a) αα 22 1sec tg+=

b) ( ) ααα

α 322

2

cos1.cos

tgtg =−

c) ( ) αααααα 222 .sec2.cos sentgtgsen −=− 18) Dado jiv

((32 −= hallar en componentes el vector que tenga:

a) la misma dirección y sentido que v pero modulo 1 b) la misma dirección, sentido contrario y modulo 5 19) Dado un vector BA de modulo 3, descomponerlo gráficamente en dos direcciones perpendiculares entre si y tal que BA forme un ángulo de 30o con una de ellas. Hallar los modulos de los vectores componentes. 20) Dados los puntos A=(1;2) y B= (3;5) y O el origen de coordenadas. Hallar las coordenadas de un punto C para que CO = -5. BA 21) Dados v = (y,-1) , u = (-2, 3) , w = (4 ,x) Hallar x e y, si es posible, para que: v +2w = u

22) Hallar x e y para que u = (x, y) sea paralelo a jiv((

2

3+−= con u = 13

Respuestas:

1) A= (0,1) ; B= );2

7[]

2

3;( +∞∪−∞ ; C= );2()1;2( +∞∪− D=[-2;0] – {-1}

( ; 3 0; 3E = − ∞ − ∪ ; ( ) { }3;1 0F = − −

( )3;1A F∪ = − - {0} ; ( ) 3 72;1 2; ;

2 2B C

∩ = − ∪ ∪ + ∞

( ] { } [ ); 3 0 1;C

F = − ∞ − ∪ ∪ + ∞ ; [ ] { }2; 0 1D A− = − − −

2) a) 3-2 6 b) 5

3 c) 12

6

35 + d) 36

17

2

1 +−

4) a) 8± b) 18

5 c)

9

7 d) 2± e)

3

5

5) a) si, b) si c) no d) si e) si f) no 6) a) [0; 2.5] b) [-2, )∞+

7

7) a) 2

3− b) 0

8) f(0)=-1; f(-1)= -1; f(-2)= 5 ; f(0.5)= 8

51− ; f(3

1− )= 27

35−

9) a) [-3;3) b) R – {-3; -1; 3} c) );2(]1;0()0;( +∞∪∪−∞

d) );1( +∞ e) );4[]0;1()1;( +∞∪−∪−−∞ f) (-2;1] 10) b) Primer tren : f1(t) = 90.t Segundo tren : f2(t) = 60t + 40 Tiempo medido en horas, velocidad en km/h y distancia en km

d) se encuentran después de 1h 20 min y a una distancia de A de 120 km

11) b)

>≤<−−≤≤+

=2520

255)5(4100

501430

)(

tsi

tsit

tsit

tT (tiempo medido en min y temperatura en grados centígrados)

c) A los 3 min: 72o, a los 10 minutos: 80o, a los 40 minutos: 20o

12) 9

4 ; 13) 26 ; 15) 31+ ; 18) a) ji

((

13

133

13

132 − b) ji((

13

1315

13

1310 +−

19) 2

32

2

3y ; 20) (-10; -15), 21) x=2 ; y= -10 ;

22) x= 132− ; y= 133 o x= 132 ; y= 133−

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Unidad I : Funciones. Algunas definiciones � Como ya sabemos, una función f de A en B es una asignación que le hace corresponder a cada elemento del conjunto A (llamémosle genéricamente ¨x¨) uno y sólo un elemento del conjunto B (llamémosle genéricamente ¨y¨) que es la imagen de x por f, Simbólicamente )x(fy/BA:f =→ , con las siguientes condiciones: 1. Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen

En símbolos: Ax ∈∀ , )x(fy/By =∈∃

2. La imagen de cada elemento x ∈ A debe ser única.

En símbolos: Ax ∈∀ : zyf)z,x(f)y,x( =⇒∈∧∈

A es el Dominio de la función }),(/{ fyxByAxD f ∈∧∈∃∈= .

� Recordemos que cuando f varía en los Reales, se denomina Dominio Mayorante al campo de existencia de la función en R. Es decir al conjunto de valores de x para los cuales la expresión f(x) existe como número real. El dominio mayorante es el conjunto que incluye a todos los conjuntos que pueden ser tomados como dominio para esa f.

Por ejemplo si la función está dada por 2

)(2

+=

x

xxf , la expresión está definida para cualquier

valor de x excepto para x=-2. Luego el dominio mayorante de la función será }2{Df −−ℜ= . Notemos que cualquier subconjunto de este conjunto puede ser tomado como dominio de f. � El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina Conjunto Imagen o Recorrido de f. En símbolos: }f)y,x(Ax/By{If ∈∧∈∃∈= � Se llama imagen de un elemento del dominio a un fIyBy ∈∈ 00 /

Diremos que Ax ∈0 es una preimagen de un elemento de B si se verifica que

000 )(/ yxfBy =∈∃ � Se denomina Gráfica de f al conjunto de los pares (x,y) tales que “y” es la imágen de “x” a través de f, o sea, los pares de la forma (x, f(x)) La gráfica de una función se puede expresar de distintas maneras: por enumeración de pares, mediante una tabla, en diagrama de flechas, en un gráfico cartesiano, etc. Obviamente, algunas de estas representaciones sólo son posibles cuando los conjuntos son finitos, por ejemplo, la enumeración de pares.

9

� Intersecciones de la gráfica de f con los e jes coor denados de un sistema cartesiano Son los puntos en que la gráfica de una función intercepta a los ejes de abscisas y de ordenadas. a) Con el eje de ordenadas (y): Se obtiene haciendo x=0. Es decir, corresponde al par

(0,f(0)) (observemos que si existe es único tal como lo exige la definición de función de x)

b) Con el eje de abscisas (x): Se obtienen para aquellos valores de x del dominio donde se

anula el valor de la función. Dichos valores de x se denominan ceros de la función y son las soluciones o raíces de la ecuación f(x)=0

Ejercicios 1) Hallar las coordenadas de las intersecciones con los ejes y ceros, si existen, de las funciones de los ejercicios 6 y 7 del TP0. 2) Hallar los ceros de las siguientes funciones definidas de R en R

a) f(x)= x2-x b)f(x)= 3x3-x c) f(x)=2

1

−−

x

x

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� Funciones monótonas a)Función creciente f: A→B /y = f(x) es creciente en A ⇔∀x1∈A y ∀ x 2 ∈A: x 1 < x 2 ⇒f(x 1) ≤f(x 2 )

b)Función estrictamente creciente )x(f)x(fxx 2121 <⇒<

función creciente función estrictamente creciente

Ejemplo: demostramos que 1x)x(f/:f +=ℜ→ℜ es estrictamente creciente en ℜ . )x(f)x(f)1x()1x(xx 212121 <⇒+<+⇒< c) Funciones decrecientes (estrictamente o no).

Las definiciones quedan como ejercicio para el alumno. Las funciones crecientes y decrecientes en el sentido amplio o estricto, se denominan funciones monótonas . Ejercicios 3) Demostrar que cada una de las siguientes funciones ℜ→A:f son estrictamente crecientes en A. a) 3x2)x(f −= ℜ=A

b) 5x)x(f 2 += ),0[A +∞=

c) 4t)t(f 3 += ℜ=A 4) Realizar el gráfico de una función estrictamente decreciente. 5) a) Dar un ejemplo de una función que no sea estrictamente creciente ni estrictamente decreciente. b) Determinar los intervalos de decrecimiento y crecimiento de las funciones del ejercicio 6 del TP0.

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� Funciones pares y funciones impares En algunos casos puede facilitarse el trazado el gráfico cartesiano de una función, teniendo en cuenta las condiciones de simetría que se pueden presentar: a) Se dice que la función f es par x∀⇔ )x(f)x(f:Df −=∈ , es decir elementos simétricos del dominio tienen la misma imagen. Ejemplo 2x)x(f/:f =ℜ→ℜ

En este caso hay simetría respecto del eje de ordenadas (Simetría axial) b) Se dice que la función f es impar )x(f)x(f:Dx f −−=∈∀⇔ ó )x(f)x(f −=− . Es decir, elementos simétricos del dominio tienen imágenes simétricas

Ejemplo 3x)x(f/:f =ℜ→ℜ

En este caso hay simetría respecto del origen de coordenadas (Simetría central) Para analizar si una función es par o impar su dominio debe ser un intervalo simétrico respecto del origen. Ejercicios 6) Indicar si es V o F justificando:

a) Existen funciones que no son pares ni impares. b) No existe una función que sea par e impar simultáneamente.

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7) Analizar paridad en las siguientes funciones f: ℜ→ℜ

8) Analizar paridad en las siguientes funciones f: ℜ→ℜ a) 24 x2x)x(f −=

b) 3xx)x(f −=

c) x2x)x(f 2 +−= � Desplazamientos Para completar sobre la guía: I] Representemos: x3)x(f/:f =ℜ→ℜ Representemos ahora 4x3)x(g/:g +=ℜ→ℜ Relación entre la gráfica de f(x) y la de g(x): Si trasladamos la gráfica de ............. 4 unidades en el sentido positivo del eje y obtenemos la gráfica de ............... Podemos escribir: g(x)= f(x) + 4

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II] Representemos f(x)=x2 ℜ→ℜ:f Representemos ahora, sin usar tabla de valores: 1)x(fy += , 2)x(fy −= ambas ℜ→ℜ III] Representemos: 6x3)2x(3)x(h/:h −=−=ℜ→ℜ Relación entre la gráfica de f(x)=3x y la de h(x)=3(x-2): Si trasladamos la gráfica de ..................... 2 unidades en el sentido positivo del eje x obtenemos la gráfica de ......................... Podemos escribir: h(x)=f(x-2) IV] 2x)x(f/:f =ℜ→ℜ Representar la función y sin usar tabla de valores representar:

)1x(fy −= y = f(x + 1) Expresar la fórmula de la función resultante.

14

V] Representar:

)x(f)x(g

1x3)1x3()x(g/:g

1x3)x(f/:f

−=−−=+−=ℜ→ℜ

+=ℜ→ℜ

¿Qué relación existe entre las gráficas? Conclusión: Dada una función y=f(x) y k>0 a) La gráfica de y=f(x) k± se obtiene desplazando la curva de y=f(x) en la dirección del eje

y. i) k unidades en el sentido positivo si y=f(x)+k ii) k unidades en el sentido negativo si y=f(x)-k

b) La gráfica de )kx(fy ±= se obtiene desplazando la curva de y=f(x) en la dirección del eje

x. i) k unidades en el sentido positivo si y=f(x-k) ii) k unidades en el sentido negativo si y=f(x+k)

Ejercicios 9) Dada la siguiente representación gráf ica de una función f en un sistema cartesiano, graf icar:

10) a) Representar: x6

)x(f/}0{:f =ℜ→−ℜ

b) 2x

6)x(g/A:g

−=ℜ→ Hallar A (Dominio mayorante).

Vincular g con f, representar g sin tabla de valores.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

a) g(x)=f(x+2) d) g(x)=f(x) - 3 b)g(x)= f(x-3) e) g(x)= f(x+2) - 5 c) g(x)=f(x) + 2 f) g(x) = f(x-3) + 2

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� Clasificación de Funciones Función inyectiva: Una función BA:f → es inyectiva si y sólo si a elementos distintos del dominio (A) le corresponden imágenes distintas en el conjunto de llegada B. En símbolos:

))x(f)x(fxx(:Ax,x 212121 ≠⇒≠∈∀

o bien, 2121 xx)x(f)x(f =⇒= Gráficamente si una función es inyectiva cualquier recta paralela al eje x no puede interceptar al gráfico de ella en más de un punto, ya que ningún elemento del conjunto imagen puede ser imagen de más de un elemento del dominio. Nótese que f es inyectiva ⇔ f es estrictamente creciente ( o estrict. decreciente).

Función sobreyectiva: Una función BA:f → es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del conjunto B tienen preimagen en el dominio A. Dicho con otras palabras el conjunto B y el conjunto imagen de f deben coincidir. By ∈∀ )x(fy/Ax =∈∃ Función biyectiva:

Una función es biyectiva ⇔ es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente Ejercicios: 11) Sea la función cuya fórmula es 4)( 2 −= xxf . a) Graficar. b)Unir con flechas según corresponda: si ℜ→ℜ:f f no es inyectiva ni sobreyectiva si ℜ→ℜ+

0:f f no es función

si +ℜ→ℜ 0:f f no es inyectiva pero es sobreyectiva f es inyectiva pero no es sobreyectiva c)Indicar un par de conjuntos A y B para que: 4x)x(f/BA:f 2 −=→ sea función biyectiva. 12) Algunos de los gráficos del ejercicio 5 del TP0 corresponden a funciones de A en B. Clasificar dichas funciones.

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13) Dados A={1, 2, 3} y B={3,7}

a) Def inir, si es posible, una BAf →: que sea: a.1) Sobreyectiva a.2) Inyectiva

b) Se puede definir en estos conjuntos una función biyectiva? Explicar la respuesta

c) ¿Qué condición deben cumplir dos conjuntos para que se pueda definir una función biyectiva entre ambos?

� Función Inversa Se denomina relación inversa de una función f definida de A en B, a la que se obtiene de invertir los pares de f y se denomina f-1 Es decir dada f definida de A en B, cuya gráfica está constituída por los pares (a,b), la relación inversa de f (f-1 ) está constituída por los pares (b,a). Esta relación queda definida de B en A y no siempre es función en dichos conjuntos. Por ejemplo: Si A={1, 2, 3} y B={3,7} y BAf →: / f= {(1,3), (2,3), (3,7)}, su relacion inversa

ABf →− :1 , f-1= {(3,1), (3,2), (7,3)} No es función de B en A. Qué condiciones debe cumplir una función BAf →: para que su relación inversa sea función de B en A? Si la función admite función inversa y existe una expresión analítica a través de una fórmula y=f(x), para hallar la expresión analítica de la inversa cambiamos x por y, e y por x (es decir invertimos los pares), y despejamos la variable ¨y¨, si es posible. Ejercicios 14) Dada la función f: 2)(/),2[ 2

0 +=+∞→ℜ+ xxf . Clasificarla y hallar, si existe, su inversa. 15) .x)x(f/:f 3=ℜ→ℜ Clasificarla y hallar, si existe, su inversa. Representar. Los gráficos de funciones inversas son simétricos r especto de la bisectriz de primero y tercer cuadrante, o sea la recta y=x.

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Unidad 2: Funciones polinómicas I. Caso particular: Función l ineal Llamamos ´polinomio¨ de grado n en x a la expresión:

011

1 ....)( axaxaxaxp nn

nn ++++= −

− en la cual ℜ∈naaa ,.....,, 10 , Nn ∈ Ejercicios 1) Indicar cuáles de las siguientes expresiones son polinomios: a) x3 g) (x-1)(x+3)

b) 2x5 + h) 0

c) x

1x + i) 1

d) 2x3 + j) x1

e) x k) 3x-2 f) 2x + 2) Ordenar los siguientes polinomios según las potencias decrecientes de la variable y determinar sus grados.

a) 24 22

1xx −+

b) -1+x c) -3

d) 5

4

3x−

e) 223 x+−

f) 223 x++

g) -3

xx22

1x 2−−+−

Función polinómica Una función polinómica, es una función que asigna valores a través de un polinomio, es decir:

011

1 ....)(/: axaxaxaxff nn

nn ++++=ℜ→ℜ −

−

Se dice que la función es de grado n con 0an ≠ y Nn ∈ , ℜ∈naaa ,.....,, 10

Ejemplos: si n=1 01)( axaxf += se denomina Función lineal

Si n=2 , 012

2)( axaxaxf ++= se denomina Función cuadrática

Si n=3 , 012

23

3)( axaxaxaxf ++= Función cúbica En esta unidad nos detendremos particularmente en la función lineal

18

Función l ineal Para evitar los subíndices, expresamos a la función lineal como: bmx)x(f/:f +=ℜ→ℜ donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Los puntos (x,y) de la gráfica son tales que y=mx+b y están alineados. Se dice que y=mx+b es la ecuación de esta recta. Casos particulares de función lineal : a) Función constante : es aquella en la cual m=0, es decir f(x)=b. Asigna a todo valor de

x del dominio, el numero b. La gráfica es una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b) b) Si b=0 ⇒ f(x)=mx. Los puntos de la gráfica en este caso conforman una recta que

pasa por el origen de coordenadas (0,0). Cuando m=1, f(x)=x, se denomina función identidad porque asigna a cada valor del dominio el mismo valor como imagen.

Ejercicios 3) a) Graficar la función identidad e indicar qué ángulo forma la recta con el semieje positivo de las x. Justificar.

b) Graficar /:f ℜ→ℜ a)f(x)=2x y f(x)= x32

Calcular la tangente del ángulo determinado por cada una de las rectas y el semieje positivo de las x. ¿Qué observas?

c) Idem /:f ℜ→ℜ a)f(x)=-3x b)f(x)=21− x

Pendiente de una recta

Graficar: 2x32

)x(f/:f +=ℜ→ℜ

Medir el ángulo determinado por el semieje positivo x y la recta. Calcular la tangente de ese ángulo. ¿A qué es igual dicha tangente?

y=mx+b La recta forma con el eje x un ángulo α

A(0,b) )0;()0,(m

baC −==

Relación entre m y α: En el triángulo rectángulo AOC es:

tgα= m)

mb

(

ba

ba00b

CO

AO=

−−=

−=

−−=

Luego la pendiente nos da la tangente del ángulo α que forma la recta con el semieje positivo de las x medido en sentido contrario a las agujas del reloj.

19

bmxyrP +=⇒∈ 222

- bmxyrP +=⇒∈ 111

)xx(myy 1212 −=−

tgmxxyy

12

12 ==−−

α

Definimos: 12 yyy −=∆ como el incremento o variación de y. 12 xxx −=∆ como el incremento o variación de x.

x

ytg

∆∆=α

¿Cuál es el rango de valores que puede tomar α ? Ejercicios 4) Escribir la ecuación correspondiente a cada uno de los siguientes gráficos.

5) Representar las siguientes rectas, teniendo en cuenta su pendiente sin hacer tabla de

valores: y=4x x23

y = 35

y −= x y=-x

6) Dada la función l ineal general bmx)x(f/:f +=ℜ→ℜ , analizar s i: a) f es una función monótona b) En qué condiciones es una función estrictamente creciente c) En qué condiciones es una función estrictamente decreciente 7) Representar la función dada y todos los desplazamientos indicados en el cuadro: Recta Desplazamiento respecto de y=1/2xf(x)=1/2xf(x)+1=1/2x+1f(x)-2=1/2x-2f(x+1)=1/2(x+1)f(x-1)=1/2(x-1)

20

8) Representar en un mismo sistema de ejes: a) f(x)=3x b) g(x)=-f(x) c) Qué relación existe entre las gráficas? 9)

Prescindiendo de la ecuación correspondiente a la función cuyo gráfico es el de la figura, obtener el gráfico correspondiente a: y=ax y=ax-b y=-ax y=ax+2b y=-ax+b 10) Sea la función: f(x)=-3x+4

a) Si trasladamos la gráfica de f 3 unidades hacia arriba la ecuación correspondiente es : y=.................... b)Si realizamos una simetría de eje x la ecuación correspondiente es: y=...................... c)Si realizamos una simetría de eje x y luego una traslación hacia abajo 5 unidades la ecuación correspndiente es: y=..................... Realizar los gráficos correspondientes.

11) Sea la función: 1x21

)x(f/:f −=ℜ→ℜ . Se pide: a) Gráfica

b) Ceros, c) Clasificación, d) Definir )x(f 1− , gráfica correspondiente. 12) Dada la función lineal general f(x)= mx+b definida de R en R, clasificarla en los siguientes casos: a) m ≠ 0 b) m=0 Ecuación de una recta que pasa por P(x 0,y0) y tiene pendiente m bmxy +=

⇒∈ rP0 bmxy 00 +=

)xx(myy 00 −=− Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos : P1(x1,y1) P2(x2,y2)

Vimos anteriormente que su pendiente sería 12

12

xxyy

xy

m−−

=∆∆= y la ecuación de una recta

que pasa por un punto P1(x1,y1) de pendiente m es: y-y1=m(x-x1)

Entonces:

)xx.(xxyy

yy 112

121 −

−−

=− 12

1

12

1

yyyy

xxxx

−−

=−

−

21

Ejercicios

13) Dada x52

y/:f +=ℜ→ℜ se pide:

a) Ceros de la función b) Hallar A= }0)x(f/x{ ≥ℜ∈ c) Hallar B= }3)x(f2/x{ <≤−ℜ∈ d) Hallar D= }1x/)x(f{ >ℜ∈ e) Hallar E={ }5,1x0/)x(f ≤<ℜ∈ 14) Siendo f una función lineal de variable real se sabe f(5)=4 y f(-2)=5, hallar la ecuación de la recta correspondiente. 15) Hallar la ecuación de la recta que verifica: a) Ordenada al origen igual a 7 y α °= 45 b) Ordenada al origen igual a 7 y α °= 120 16) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por P0=(1,-9) y cumple la siguiente condición: a) Tiene ángulo de inclinaciónα °= 45

b) Tiene pendiente 31

c) Tiene ordenada al origen 2 d) Pasa por el origen de coordenadas 17) Hallar f, sabiendo que es una función lineal de variable real que asigna a los valores del intervalo [1,3], el intervalo [2,5]. ¿Cuántas posibilidades hay? 18) Todas las rectas del plano representan funciones? 19)

a)Indicar si P, Q y R están alineados

P(3,2) Q( )43

,41 − R(1,0)

b)De acuerdo al gráfico, indicar coordenadas de P1

20) Coordenadas del punto de intersección Resolver este ejercicio gráfica y analíticamente.

a)

=+=+−y27x3

09y2x5 b)

−=−=+

4yx2

2x6y3 c)

=+=−

y310x4/9

3/40x3y4

22

Intersección de rectas Pueden presentarse los siguientes casos:

a) Hay un único punto de intersección. Se trata de un sistema compatible determinado. b) Se obtienen dos rectas superpuestas y en consecuencia hay infinitos puntos de

intersección. Se trata de un sistema compatible indeterminado (existen infinitas soluciones)

c) Se obtienen dos rectas paralelas no coincidentes y, por lo tanto, la intersección es

vacía. Se trata de un sistema incompatible (no tiene solución). Clasifica los sistemas del ejercicio 20.

Paralel ismo y perpendicularidad a) Paralelismo

rr bxmyr +=→ s→y=m s x+b s

r s⇔α r =α s

α r =α s ⇔tgα r =tgα s ⇔m r =m s

(por ser º180º0º180º0 <≤∧<≤ sr αα )

Conclusión: Para que dos rectas sean paralelas las pendientes deben ser iguales . Ejercicio 21) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0(2,1) y es paralela a la recta determinada por los puntos P1(1,-3) y P2(-3,0).

23

b) Perpendicularidad Para que dos rectas sean perpendiculares la pendiente de una de ellas debe ser la recíproca cambiada de signo de la otra. Queda la justificación para el alumno

Analizar el caso especial de rectas paralelas a los ejes coordenados. Ejercicios 22) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 y es perpendic. a r: P0(-1,2)

r34

x31

y −=→

23) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0(-1,2) y es perpendicular a la recta determinada por los puntos P1(0,4) y P2(6,6). 24) Responder Vo F.

a) La ecuación de la recta del gráfico es 32

1 +−= xy

(Considerando que las unidades marcadas representan 1, 2, 3)

b)

+−=→−=→

4

4

2

1

xyr

xyr 21 rr ⊥

c)

+=→

+=→

2

9

42

1

2

1

xyr

xyr )}3,1{(rr 21 −=∩

25) Hallar el área del triángulo determinado por la recta r y los ejes coordenados siendo r

la recta que pasa por M=(4,-1) y es ⊥ a x21

yr1 =→

26) Hallar h y k de manera tal que las rectas de ecuaciones: 03x5y3 =−− 0hykx2 =+− sean a) perpendiculares b) paralelas, no coincidentes c) coincidentes

24

Forma segmentaria de la ecuación de una recta

1

bc

y

ac

x

cbyax

0cbyaxr

=−

+−

−=+=++→

abscisa al origen: pac =−

ordenada al origen: qbc =− 1

qy

px =+

Ejercicios 27)Escribir la forma segmentaria de r y representar: a) 012y4x3r1 =+−→ b) 04y4x2r2 =−−→ 28) Escribir las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados y las diagonales del

rombo. (Considerando que las unidades marcadas representan 1, 2, 3, ... )

29) a) Completar la tabla teniendo en cuenta los datos de la figura

Forma implícita ax+by+c=0 Forma explícita y=mx+b Forma segmentariar1

r2

r3

r4

r5

25

siendo ⊥2r r 1 r 3 eje x r 4 eje y r 5 r 1

b) Hallar coordenadas de los puntos de intersección c) Hallar ceros, si existen

30) Determinar k tal que la recta de ecuación 0k2y53

kx =−+ tenga abscisa al origen igual

3 )0k( ≠ . 31) Un estudio determinó que la altura de un árbol y la longitud de la sombra que produce (en una cierta hora del día) tienen una relación lineal. Si el árbol mide 2 m, la longitud de su sombra será de 3 m. Si mide 9m, la longitud de su sombra será de 13,5 m. a) ¿Cuál será la altura de un árbol que produce una sombra de 18 m? b) Encontrar la función que relaciona las dos variables anteriores. Graficar. 32) Un resorte mide 7 cm cuando colgamos de él 10 g y mide 13 cm cuando colgamos 80 g. a) Escribir la ecuación que relaciona la longitud L con el peso P. b) ¿Cuál es la longitud del resorte cuando no colgamos ningún peso? c) Teniendo en cuenta que el resorte empieza a deformarse y perder elasticidad cuando

se alarga 5 veces su longitud inicial. Cuál es el dominio de definición de la función L(P)?

d) ¿Cuál es la variación de longitud por cada 10g? Y por cada 5g? Y por cada gramo? 33) Un depósito se vacía mediante una bomba de agua. El volumen de agua que queda

(en m3) viene dado por t21

8)t(V −= . ¿Cuántos m3 de agua habrá al poner en

funcionamiento la bomba? Cuál será el volumen si el depósito se vacía con una bomba 4 veces más potente que la original?

26

Funciones lineales por tramos

34) Sea

<≥+

=ℜ→ℜ3xsi2

3xsi4x2/3)x(f/:f .

Se pide : Graficar, definir I f , clasificar, ceros.

35) Sea

<−<<−−

=ℜ→2xsi4

5x2si2x)x(f/A:f .

Se pide: graficar, definir I f , clasificar, ceros. 36)

Sea

=ℜ→ℜ............................

...........................)(/: xff

a) Completar teniendo en cuenta el gráfico. b) ¿Es inyectiva? c) ¿Es sobreyectiva? d) Ceros e) Buscar una restricción para que sea

biyectiva y hallar la inversa. Función módulo

Sea x)x(f/:f =ℜ→ℜ

Por definición de módulo de un número real podemos escribir:

0

0)(/: <−

≥

=ℜ→ℜxsix

xsixxff

Ejercicios 37) a) Conjunto imagen y clasificación de la función anterior. b) Si no es biyectiva buscar una restricción que lo sea y definir la función inversa de la misma. Nota: es interesante observar qué sucede con el gráfico de una función cuando le aplicamos el módulo.

27

Representamos y=x e xy =

La semirrecta que está incluida en el semiplano inferior en la representación de y=x pasa a ocupar el semiplano superior en la representación de xy = . Son simétricas respecto de

x. 38) Representar en un mismo gráfico y=x+1 e ℜ→ℜ+= 1xy sin utilizar tabla de

valores para la segunda. 39) Graficar las siguientes funciones: /:f ℜ→ℜ

a) f(x)=3- x b) f(x)=1+ 1x −

40) A partir del gráfico de f: x)x(f/ =ℜ→ℜ representar:

a) g(x)=f(x+2) b)s(x)=f(x-2) c)h(x)=f(x)+1 d) t(x)=-f(x)

28

Unidad 3 : Funciones polinómicas II. Caso particular: Funció n cuadrática Una función cuadrática es una función ℜ→ℜ:f dada por cbxaxxf ++= 2)( donde a, b,

ℜ∈c y .0a ≠ Los puntos de la gráfica conforman una curva llamada parábola cuya ecuación es cbxaxy 2 ++= .

Los ceros de f, son los x/ 02 =++ cbxax . ¿Qué representan en el gráfico de la parábola los ceros de la f? Ejercicios 1) a) Dadas las siguientes funciones cuadráticas, hallar ceros (completar cuadrados para resolver las ecuaciones del tipo 02 =++ cbxax en los casos que sea necesario) b) Graficar e indicar eje de simetría. c) Indicar coordenadas del punto de intersección del gráfico con eje y.

1) f(x)= x2-6x+9 5) f(x)=-x2+2x-2 2) f(x)=3x2 – 2 6) f(x)=4x2-16x+12 3) f(x)=x2+4x+1 7) f(x)=x2+4x+5 4) f(x)=3x2-12x 8) f(x)=-x2+x

d) ¿qué incidencia tienen en el gráfico ¨a¨, ¨b¨ y ¨c¨? 2) a)Verificar que toda ecuación del tipo ycbxax =++2 se puede escribir de la forma:

02

0 y)xx(ay +−= , (forma canónica) b) ¿Qué representa el punto(x0,y0) en el gráfico de la parábola? c) ¿Cuál es la ecuación del eje de simetría? 3) En las funciones del ejercicio 1, a) Escribir la ecuación de la parábola asociada a cada caso en forma canónica, expresar coordenadas del vértice y ecuación del eje de simetría b)Indicar en todos los casos: imagen, intervalos en que f(x) 0≥ (analíticamente) c) Estudiar paridad d) Indicar intervalos de crecimiento y decrecimiento e) Clasificar c/u de las funciones. f) Hallar en cada caso una restricción para que sea biyectiva y encontrar la inversa. Desplazamientos Podemos representar una parábola cualquiera expresada en forma canónica y=a(x-x0)

2+y0 mediante desplazamientos de y=ax2. Ejemplo:

1)2x(344x2.2x3x4xy 222 −−=+−+−=+−= La gráfica es una parábola que se obtiene desplazando la gráfica de y=x2 2 unidades en el sentido positivo de x y 1 unidad en el sentido negativo de y.

29

Ejercicios

4) Dadas las parábolas

112

11

222

22

cxbxayp

cxbxayp

++=→

++=→

donde 21 aa = hallar las ecuaciones de p1y p 2 teniendo en cuenta en cada caso los

datos que figuran en las gráficas. a)

b)

5) a) Dada la parábola 211 )2x(ayp −=→ hallar la ecuación de la parábola p2 que pasa

por el punto Q=(0,5) y tiene el mismo vértice que P1. ¿Cuál es el valor de a1 si a2=2 a1? b) Dar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A(0,6) B(4,-10) C(2,6) Determinar los ceros y el vértice. Graficarla .Determinar su imagen.Decir en qué intervalo es positiva y decreciente simultáneamente y en cuál es negativa y creciente. Fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado Deduciremos una fórmula para encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado o ceros de una función cuadrática en forma más práctica que completando cuadrados. 0cbxax2 =++ (ecuación de segundo grado)

dividimos por a: 0ac

xab

x2 =++

completando cuadrados:

0442

1.2

2

22

4

4

2

2

)2

(

2

22 =+−++

−−+

43421444 3444 21

a

acba

bx

a

c

a

b

a

bx

a

bx

0a4

ac4ba2

bx

2

22

=−−

+

2

22

4

42 a

acba

bx −=

+

30

2

22

4

42 a

acba

bx −=

+

2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

−=+

a2

ac4bbx

2 −+−= ó a2

ac4bbx

2 −−−=

Fórmula resolvente de la ecuación de 2do. Grado

a

acbbx

2

42 −±−=

Vemos que para hallar esta fórmula, simplemente se han resuelto en términos generales los mismos cálculos que hemos realizado para los casos particulares planteados en el ejercicio 1 con valores numéricos, con la ventaja de haber obtenido una expresión general en función de los parámetros a, b y c. Ejercicios: 6) De todos los rectángulos de perímetro 8 hallar las dimensiones del que tiene área máxima. 7) Hallar dos números de suma 36 y de producto máximo. 8) Una compañía de TV por cable de acuerdo con un estudio de mercado sabe que el ingreso mensual de la empresa cuando la tarifa es de x pesos mensuales viene dada por la función (x)=500(300-x).x (0<x<300) Hallar cuál debe ser la tarifa mensual para que el ingreso sea máximo . 9) En una isla se introdujeron 100 venados. Al principio la manada empezó a crecer rápidamente, pero después de un tiempo los recursos de la isla empezaron a escasear y la población decreció. Supongamos que el número de venados n, a los t años está dado por: 100t21t)t(n 2 ++−= (t>0) a) Calcular los valores de t para los cuales n=154. b) ¿Se extingue la población? Si fuera así, ¿cuándo ocurre? 10) Se quiere construir una ventana que tenga la forma de un rectángulo, coronado por un semicírculo, cuyo perímetro total sea de 12m. Hallar las dimensiones que debe tener la ventana si se quiere que deje pasar la mayor cantidad de luz posible. Sugerencia: utilizar como variable independiente el radio del semicírculo.

31

Leyes del movimiento rectilíneo uniformemente variado

2

2

1ate= uniformemente acelerado sin velocidad inicial

2

0 at21

tve += uniformemente acelerado con velocidad inicial.

2

0 2

1attve −= uniformemente retardado con velocidad inicial.

Gráficos

2

2 2s

mate ==

202 21010

s

ma

s

mvtte ==+=

2

0

2

2

10

10

s

ma

s

mv

tte

−=

=

−=

32

Ejercicios 11) En un movimiento rectilíneo uniformemente variado, donde:

200 at

21

tvee ++=

atvv 0 +=

segm

3v 0 −=

m6e0 =

2segm

2a =

Se pide: a) Obtener e = f(t) v = g(t) a = h(t) b) Graficar estas tres funciones en distintos sistemas de ejes coordenados. c) ¿Qué pasa en t=1,5?

En el intervalo [0;1,5) ¿cómo es el movimiento? En el intervalo (1,5;5] ¿cómo es el movimiento?

d) ¿Cuál es la pendiente de la recta que representa v = g(t)? ¿Qué representa físicamente dicha pendiente?

12) a) Representar t10t)t(fe/:f 2

00 +−==ℜ→ℜ ++ b) ¿Para qué tiempo se obtiene un “e” máximo?

13) Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad de 120 m/s. Su altura sobre el suelo t segundos después del disparo está dada por s(t)=-4,9t2+120t. a) Para qué valores de t el proyectil asciende y para cuáles desciende. b) Hallar el instante en que el proyectil alcanza su altura máxima y calcularla. c) Hallar el tiempo que demora el proyectil en llegar al suelo. d) Hallar el instante en que el proyectil alcanza los 50 m de altura. Discriminante de la ecuación de 2 dogrado En la ecuación de segundo grado 0cbxax2 =++ cuya fórmula resolvente es:

a

acbbx

2

42 −±−=

Llamamos discriminante a la expresión ac4b2 −=∆ .Se dan las siguientes situaciones posibles: a) 21 xx0 ==∆ raíces reales iguales (raíz doble) b) 21 xx0 ≠>∆ raíces reales y distintas (raíces simples) c) 0<∆ no existen raíces en el campo real Ejemplo: Determinar la naturaleza de las raíces de las ecuaciones.

33

a)

( ) ( )0,552510

.50

02510

22

21

2

−+=++=

−===∆=++

Vxxxy

dobleRaizxx

xx

El eje x es tangente a la parábola.

b)

−−

−

+=−+=

≠=−=>∆=−+

4

81,

2

7

4

81

2

787

180

087

22

2121

2

V

xxxy

simplesRaicesxxxx

xx

El eje x corta a la parábola en dos puntos. c)

)12,1(

12)1(31563

sin0

01563

22

2

−++=++=

<∆=++

V

xxxy

realesraíces

xx

El eje x no corta a la parábola.

34

Ejercicios 14) Indicar Vo F justificando. Sean x1 y x2 raíces de un ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0 y ∆ su discriminante. Si x1,x2 0≥∆⇒ℜ∈ Si 0xx 21 =∆⇒= Si 00a >∆⇒< Si 21

2 xxac4b ≠⇒>

Si ac4bxx 221 >⇒≠

15) Siendo a2

bx1

∆+−= y a2

bx2

∆−−= las raíces de la ecuación 0cbxax2 =++ (a )0≠

obtener x1+x2 y x1.x2 16) Hallar una ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1=5 y x2=-7 17) Reconstruir la ecuación: 0cbxax2 =++ sabiendo que sus raíces son: a) 8x2x 21 == y a=2

b) 31x31x 21 +=−= y 21

a −=

18) Calcular en cada caso el valor que debe tener m para que la ecuación:

a) 0mx21

x2 2 =++ tenga raíz doble

b) 1mxx2 =++ tenga una raíz nula c) 0mx8x2 =+− tenga una raíz igual al triplo de la otra 19) Hallar k para que la ecuación tenga raíz doble

a) ( )2

112 2 −=−− xkx

b) 04)1(22 =+−+ kxkx 20) Hallar k para que la suma de las raíces sea igual al producto. a) 0kx)3k2(x2 =+−−

b) 05k3x)1k(x2 2 =−+++ 21) Hallar k para que x1=0 a) 01k4kx5x5 2 =−+− b) 01kkx3x2 =+−+ 22) Hallar k sabiendo que una raíz es 3 veces la otra: 0kx8x2 =++

35

Factorización del t r inomio de segundo grado

++=

++=

ac

xab

xay

cbxaxy

2

2

pero: ab

xx 21 −=+ y ac

x.x 21 = reemplazando:

( )( )( )

( )( )( )( )21

212

21212

21212

xxxxay

)xx(xxxxay

xxxxxxxay

x.xxxxxay

−−=−−−=

+−−=

++−=

Ejercicios 23) Factorizar los trinomios: a) 232 2 −− xx b) 4542 −+ xx c) 34 2 −x d) 123 2 −+ xx e) 18022 2 ++− xx 24) Resolver gráficamente las inecuaciones: a) 232 2 −−> xxy

b) 4542 −+≤ xxy

c) 34 2 −≥ xy

d) 123 2 −+< xxy

e) 18022 2 ++−≤ xxy 25) Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas a) 4x4-13x2+3=0 b) 4x4-17x2+4=0 c) 4x4-37x2+9=0 d) 4(x2-1)2+3x2-3=0 e) (x2-1)2-4(x2-1)+3=0

36

Recta secante, recta tangente o exterior a una parábola Resolvamos primero gráfica y luego analíticamente el siguiente sistema de ecuaciones:

→=+→=+−

recta4yx2

parábolay6x5x2

a) Gráficamente

{

41

)25

x(y

6x5xy

2

2

5.2

2

−−=

+−=

−

+−+−=

−

41

,25

V

64

254

25x

25

.2xy

2

2

5x

2

44 344 21

Representamos la parábola Representamos la recta Las coordenadas de los puntos A(2,0) y B(1,2) resuelven el sistema. b)Analíticamente: Resolvemos el sistema por sustitución:

213

x

02x3x

046x2x5x

6x5x4x24x2y

6x5xy

2

2

22

±=

∗=+−=−++−

+−=+−⇒

+−=+−=

x=2 o x=1 , y=0 o y=2 , A(2,0) B(1,2) Obtuvimos 2 puntos. Observemos la ecuación ∗ . Al resolverla el discriminante es mayor que cero por eso encontramos 2 valores distintos para x. Es decir, existen dos puntos de intersección entre la recta y la parábola. La recta es secante a la parábola. Cómo interpretarías gráficamente que el radicando hubiese sido:

a) nulo? (en este caso, la recta es tangente a la parábola) b) negativo? (en este caso, la recta es exterior a la parábola)

Ejercicios 26) Resolver analítica y gráficamente:

a)

=+=+−4yx2

y6x5x2

b)

−−=++−=

66

642 2

xy

xxy

27) Dada la parábola y=x2-5x+6, hallar la recta de la forma y=mx+b tal que sea tangente a dicha la parábola en el punto (1,2) (“punto de tangencia”) .

37

¿Existe otra recta que tenga un solo punto en común con la parábola en el punto (1,2) y no sea tangente? Indicar la ecuación. Graficar. 28) Sea y=x2-2x-1. Determinar m para que la recta y=mx-2 sea tangente a la parábola. Interpretar gráficamente e indicar punto de tangencia.

29) Dado el siguiente sistema de ecuaciones

−=−+−=

1mxy

1xx2y 2

indicar para qué valores de m la recta resulta secante a la parábola 30) Dada la parábola 1kxx3y 2 −−= y la recta y=kx-2 determinar qué condición debe cumplir k para que: a) La recta sea tangente a la parábola. Indicar punto de tangencia b) La recta no corte a la parábola 31) Dada x2xy 2 −= se pide

a) Ecuación de la secante que pasa por los puntos de la parábola de abscisas: x1=3 x2=4. b) Ecuación de la tangente en el punto correspondiente a x1=3.

32) Hallar k para que la recta y=2x+k sea tangente a la parábola y=2x2-2x. Gráficos correspondientes. Ejercicios optativos: 34)Sea ℜ→ℜ:f i) Graficar ii) Conjunto imagen iii) Clasificar

a) 122

1)( 2 +−= xxxf b)

>−≤−

=1xsi)1x(

1xsi1x)x(f 2

c)

>

−<−≤+−

=2xsi

21

2xsi3

2xsi1x

)x(f

2

35) Considerando las funciones del ejercicio 11: a) En el gráfico que representa e = f(t) trazamos la recta que pasa por (2,4) y tiene

pendiente igual a la velocidad para t1=2. ¿Cómo resulta esta recta con respecto a la parábola?

b) Trazar en el gráfico que representa e = f(t) la recta tangente a la parábola en t0=1,5 ¿Cuál es la pendiente de esta recta y qué representa dicha pendiente?

38

Unidad 4: Funciones polinómicas III. Funciones poli nómicas en general. Polinomios . En la Unidad 2 ya hemos mencionado que la expresión:

011

1 .... axaxaxa nn

nn ++++ −

− con 0an ≠ y Nn ∈ , ℜ∈n10 a,.....,a,a se denomina Polinomio de grado n Y la función 01

1n1n

nn axa....xaxa)x(f/:f ++++=ℜ→ℜ −

− se denomina función polinómica de grado n. Las funciones lineal y cuadrática que hemos estudiado en las unidades anteriores son casos particulares de ésta cuando n es igual a 1 o 2 respectivamente. En esta unidad trabajaremos en general las funciones polinómicas de cualquier grado. Ejercicios 1) a) Graficar 3x)x(f/:f =ℜ→ℜ

b) Graficar 1)2x()x(g/:g 3 +−=ℜ→ℜ desplazando la gráfica anterior. c) Clasificar y=g(x), hallar y=g-1(x) y graficarla.

2) Indicar si es V o F según corresponda:

a) 2 es un cero de f(x)=x2+4 b) -2 es un cero de f(x)=x2+4 c) -1 es un cero de f(x)=x3+1 d) -3 es un cero de f(x)=x3+5/2x2-3/2x

Sobre los ceros (o raíces) de una función polinómic a: Los ceros de una función polinómica son las raíces de la ecuación:

0.... 011

1 =++++ −− axaxaxa n

nn

n . Si esta ecuación asociada a la función tiene raíz x0, simple o múltiple de orden impar, la gráfica de f atraviesa al eje x en x0. Si la ecuación asociada a la función tiene raíz x0, múltiple de orden par, la gráfica de f no atraviesa al eje x en x0. Ejemplo: Dada la función polinómica: x3x)x(f 3 −= deseamos conocer los ceros y los intervalos en los cuales la función toma valores positivos o negativos.

)3(3)( 23 −=−= xxxxxf

Ceros: x=0 x= 3 x= 3− Son tres ceros simples ⇒ la gráfica de f atraviesa al eje x en cada uno de ellos.

Completar la tabla (- ∞ ,- 3 ) - 3 ( )0,3− 0 ( )3,0 3 ( )+∞,3 f(x) 0 0 0

39

Si además de esto pudiéramos encontrar los máximos y mínimos podríamos dibujarla. (la función polinómica es continua) Ejercicios 3)En el siguiente gráfico, indica en qué punto la función tiene un cero de orden impar y en qué punto, un cero de orden par.

4) Encontrar los ceros y los intervalos en los cuales la función toma valores negativos o positivos, gráfica aproximada: f(x)=x3-3x2. 5) Dadas las siguientes funciones definidas de R en R, hallar ceros, intervalos de positividad, estudiar paridad. Gráficar. Indicar conjunto imagen: a) f(x)=x3+2 b) f(x)=(x+2)3 c) f(x)=(x-1)3+2 d) f(x)=-x3 e) f(x)=2x3 f) f(x)=x4 g) f(x)=-x4+3 6) Clasificar las funciones del ejercicio anterior cuando están definidas de R en R. Indicar, cuando sea necesario, restricciones en los conjuntos para que sean biyectivas. En esos conjuntos, definir las funciones inversas. Igualdad de polinomios: 7) Determinar a,b y c (números reales) tales que los siguientes polinomios sean iguales: a) p(x)= a(3x-5)+b(2x-1)+cx2

q(x)=6-5x b) p(x)=a(2x+1)+(bx+c)(2x-1) q(x) =(x+1)(4x+3)

3 3− x

y

40

Nota: observar que la igualdad de polinomios significa que son del mismo grado y PARA TODO VALOR DE X se verifica que p(x)=q(x). Esto significa la igualdad de las expresiones algebraicas. Notar la diferencia con la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, cuando se pide resolver la ecuación 7(3x-5)+2(2x-1)+3x2=6-5x se pide que se hallen, si existen, el o los valores de x que satisfacen esta igualdad, que obviamente NO se verifica para todo x Operaciones con polinomios 8) Dados los polinomios:

24 x2x21

)x(p −+=

r(x)=-1+x s(x)=-3

5x43

)x(t −=

2x23)x(q +−= 2x23)x(v ++=

u(x)=-3

xx22

1x 2−−+−

Hallar a) r(x)-2p(x) b) q(x).v(x) c) q(x)-v(x) d)p(0)= ,p( 2 )= , =)0(s ,t(-1)= ,q(-1)+p(-2)=

9) Sean 2x21

)x(a −= b(x)=4x c(x)= 1xx2 23 +− . Hallar las raíces o ceros del polinomio:

p(x)=a(x).b(x)+c(x) 10) Dados p(x)=-x+1 q(x)=2x. Hallar p2(x)+q(x) División de polinomios Dados p(x) y q(x) dos polinomios, 0)x(q ≠ y [ ] ⇒≥ )]([)( xqgrxpgr existen y son únicos c(x) y r(x) tales que: )x(r)x(c).x(q)x(p += , siendo p(x) el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto, verificandose que gr r(x)<gr q(x) ó r(x)=0. Ejemplo: Sean p(x)=x4-2x3-2x2-3 y q(x)=x2-2x+1 Para efectuar la división los polinomios deben ordenarse según potencias decrecientes de x y el dividendo debe completarse.

3x0x2x2x 234 −+−− 122 +− xx -x4+2x3-x2 3x2 − 303 2 −+− xx

3x6x3 2 +− x6−

41

Ejercicios 11) Dividir a(x) y b(x)

a)

2)(

52223)(3

253

+−=+−−−=

xxxb

xxxxxa

b)

xxxb

xxxa

−=+−=

2

24

3)(

16)(

c) 22

4224

)(

)(

ccxxxb

cxcxxa

++=++= c es constante

d)

cxxb

cxxa

2)(

)( 33

+=−=

e) 22

44

)(

)(

cxxb

cxxa

+=−=

f)

xxxb

xxa

−=

−=

2

5

)(

3

1)(

g)

1)(

12)( 23

+−=+−+−=

xxb

xxxxa

h)

cxxb

xccxccxxa

+=+−−−+=

2)(

)2(212)( 2232

32

Regla de Ruff ini Se ut i l iza para hallar los coef icientes del cociente y el resto de la divis ión de un polinomio por otro que guarda la forma: x+a o x-a Ejemplos: I] Hallar el cociente y el resto de la división

)1x(:)2xxx2x6( 234 ++−−+− La disposición práctica es la siguiente:

-6 2 -1 -1 2

-1 6 -8 9 -8-6 8 -9 8 -6

resto

opuesto del termino ind. del div.

coeficientes del cociente

coeficientes del dividendo

c(x)=-6x3+8x2-9x+8 r(x)=-6 II] (7x4+1-2x2): (x-3)

7 0 -2 0 1

3 21 63 183 5497 21 61 183 550

c(x)=7x3+21x2+61x+183 r(x)=550 Notas: a) En todos los casos de división entre un polinomio p(x) y un binomio de la forma x+a o x-a

el resto es una constante. Justificar. b) Cuando el resto es cero se dice que el dividendo es divisible por el divisor Ejemplos: I] (x2-9): (x-3) c(x)=x+3 r(x)=0 x2-9=(x-3)(x+3) hemos factorizado el dividendo II] Polinomios ya factorizados: y=x2(x-1) es una función polinómica de grado 3. Sus ceros son x1=0 (doble) y x2=1 (simple) y=2x(x-1)2(x+2)3 es una función polinómica de grado 6. Sus ceros son x1=0 (simple) x2=1 (doble) y x3=-2 (triple) y=x(x+1)(x2+1) es una función polinómica de grado 4. Tiene solo 2 ceros reales x=0 y x=-1 Teorema del resto El resto de la divis ión p(x) : (x+a) con a real es r=p(-a) Lo demostraremos: p(x) x+ar q(X) p(x)=(x+a).q(x)+r

33

p(-a)=(-a+a)q(a)+r=r Ejemplo: Siendo p(x)=x3+kx2-kx-9 determinar k para que –3 sea raíz de p(x) p(-3)=0=(-3)3+k(-3)2-k(-3)-9 k=3 O sea p(x)=x3+3x2-3x-9 es divisible por (x+3) Podría factorizarlo:

1 3 -3 -9

-3 -3 0 91 0 -3 0

p(x)=(x+3)(x2-3) Ejercicios 12) Obtener mediante la regla de Ruffini el cociente y el resto de la división entre a(x) y b(x): a) 2x)x(b1x2x2x)x(a 235 −=+−+=

b) 2x)x(b1xx21

)x(a 3 +=−+−=

c) 2)()( 33 +=+= xxbmxxa

d) 1x)x(b1x16)x(a 4 +=+=

e) 21

x)x(bxx2x)x(a 52 −=+−+−=

f) mxxbmmxxa −=−= )()( 54

g) )1x(x2)x(b)1x(2)3x()x(a 2 −−=+−−=

h) )1())(()())(()( 22 −−−+=+−= xxmxmxxbmxmxxa 13) Calcular directamente los restos de las divisiones del ejercicio anterior. 14) Calcular m para que a(x) sea divisible por b(x)

a) 1x)x(b

1mxx)x(a 24

+=+−=

b) 1x)x(b

2mxmxx)x(a 23

+=+−+−=

15) Investigar si p(x) es divisible por q(x) en los siguientes casos. Extraer conclusiones: a) axxqaxxp nn +=+= ++ )()( 1212

b) axxqaxxp nn −=−= ++ )()( 1212

c) axxqaxxp nn +=−= )()( 22

d) axxqaxxp nn −=−= )()( 22

e) 12)(18)( 3 +=+= xxqxxp

f) axxqaxxp nn −=+= )()( 22

34

16) Calcular k para que a(x)=(-x+1)2 sea divisible por b(x)=x-k 17)Sea a(x)=2x4-x2+mx-m Calcular a sabiendo que la diferencia de los restos de su división por (x+m) y (x-m) es igual a –1. 18) Determinar m y t para que a(x)=x4+mx2+t sea divisible por b(x)=x2+x+1 19) Calcular el valor de a, si r es el resto de p(x):q(x) a) p(x)=4x3-x2+ax-2 , q(x)=x-2 , r=26 b) p(x)=5x4+ax2+ax3+3x2 , q(x)=x-3 , r=0 20) En una división de polinomios: divisor: 2x2+x+5 cociente: x2+x resto: x+6 hallar el polinomio dividiendo 21) Determinar k para que el resto de la división entre 3kx4+(k+1)x3+2x2 y x+1 sea –1 Factorización de un polinomio Cuando b es un cero o raíz de un polinomio 01

1n1n

nn axa...xaxa)x(p ++++= −

− , (x-b) es divisor de p(x), luego p(x) podría factorizarse como: p(x)=(x-b)q(x), siendo q(x) el cociente de la división Es posible que q(x) tenga más raíces con lo que puede iterarse el proceso factorizando q(x). Es decir, p(x) puede descomponerse en más factores si conocemos todas sus raíces reales.

)).....()(()( 10 nn bxbxbxaxp −−−= Ejemplo: la factorización de una función polinómica de grado 3 cuyos ceros son x1=0 x2=1 y x3=-2, es: y=ax(x-1)(x+2) El valor de “a” no está determinado, por lo tanto existen infinitas funciones que cumplen con la condición. Podemos obtener una de ellas dándole un valor cualquiera a “a”. Si se pidiese que la función sea tal que además cumpla que f(2)=4

f(2)=a.2(2-1)(2+2)=421

a =⇒ , es decir, “a” queda determinado

)2x)(1x(x21

y +−=

Nota aclaratoria: Un polinomio de grado no nulo es primo cuando no puede ser expresado como producto de polinomios de grado positivo menor. Son primos únicamente los polinomios de grado 1 y los de grado 2 sin raíces reales. Cuando un polinomio no es primo es compuesto. Ejercicios 22) Encontrar un polinomio

a) de grado 3 que tenga raíces 2,-1y21

b) de grado 4 que tenga como únicas raices a: –1 y 2 c) de grado 4 que tenga al menos 2 raices simples reales: –1 y 2

35

23) Escribir un polinômio de grado 8 tal que –1 es una raíz de multiplicidad 3 y cero sea una raíz de multiplicidad 5. 24) Mostrar que 1 es una raíz de multiplicidad 3 de p(x)=x4+x3-9x2+11x-4. Encontrar la otra raíz. 25) Definir un polinomio p(x) de grado 5 tal que sus únicas raices reales sean x= 1 de multiplicidad 2 y x= -2 de multiplicidad 1 y ademas p (-1) = 3 Teorema de Gauss Sea 01

11 ...)( axaxaxaxm n

nn

n ++++= −− un polinomio en el cual sus coeficientes son números

enteros. Si existen raíces racionales de m(x), entonces dichas raíces son de la forma

naadivideq

aadividepdonde

q

p 0

con p y q primos entre si y 0a0 ≠ Si bien las raíces de un polinomio de las características enunciadas pueden no ser racionales, el teorema de Gauss permite buscar fácilmente sólo las que lo son, logrando una factorización del polinomio m(x). Ejemplos: I] Factorizar p(x)=x4+2x3-7x2-8x+12 an=1 a0=12.

divisores de { }12,6,4,3,2,10 ±±±±±±=a

divisores de { }1±=na

{ }12,6,4,3,2,1 ±±±±±±∈q

p

Por ser an=1 vemos que los divisores de 12 son las posibles raíces de m(x) m(1)=0 raízes1⇒

1 2 -7 -8 12

1 1 3 -4 -121 3 -4 -12 0

m(x)=(x-1)(x3+3x2-4x-12) Buscamos las raíces de x3+3x2-4x-12 Probemos con 1:1+3-4-12 ≠ 0, 1 no es raíz Probemos con –1: 012)1(4)1(3)1( 23 ≠−−−−+− , -1 no es raíz

Probemos con 2 : 0122.42.32 23 =−−+ es raíz, 2 es raíz

1 3 -4 -12

2 2 10 121 5 6 0

m(x)=(x-1)(x-2)(x2+5x+6)

36

factorizamos el trinomio de segundo grado: )3x)(2x(6x5x2 ++=++ m(x)=(x-1)(x-2)(x+2)(x+3) II] m(x)=3x3+8x2-2x-4 an=3 a0=-4 Buscamos los divisores de 4 y de 3.

Cualquier raíz debe estar entre los números: 3

4,4,1,

3

1,2,

3

2 ±±±±±±

De estas 12 posibles sólo 3 pueden ser raíces de la ecuación 04x2x8x3 22 =−−+

0)3

2( =−m

3 8 -2 -4

-0,67 -2 -4 43 6 -6 0

)663)(3

2()( 2 −++= xxxxm

Factorizamos el trinomio de segundo grado ( )( )( ))31(x31x36x6x3 2 −−−+−−=−+

y vemos que sus raíces no son racionales, no hubieran surgido de Gauss: se puede probar que ninguno de los otros 11 valores es raíz del polinomio.

( )( )31313

23)( ++−+

+= xxxxm

Ejercicios 26) Factorizar a) 22 )1x(3x2x +++−

b) 4x5x 24 +− c) 9x12x4 24 −+− d) 64x4 − e) 1x2x 36 ++ f) xx8 4 − g) 9x18x8x2x 234 −+−− h) 6x3x2x 45 −+−

i) 61

xx45

x21

x32 234 −−−+

27) Determinar las raíces reales de a) 4x12xx3)x(t 23 +−−=

b) 8x8x21

x21

)x(r 45 +−−=

37

28) Determinar las raíces de los polinomios, establecer la multiplicidad de cada raíz y graficar aproximadamente. a) 234 54)( xxxxp −+=

b) 223 )4x(x)x(t −=

c) )6x5x)(3x2x()x(q 22 ++−+=

d) ( ) ( )( )12242 242 −−+−= xxxxxr

38

Unidad 5 : Funciones racionales no enteras o fraccionarias y funciones irracionales Expresiones y funciones racionales

La expresión )(

)(

xq

xp con p(x) y q(x) polinomios, se denomina expresión algebraica racional.

Una función racional es una función que asigna a través de una expresión racional.

)(

)()(/:

xq

xpxfAf =ℜ→ siendo p(x) y q(x) dos polinomios tales que q(x) es de grado mayor o

igual que 1 y }{ 0)(/ ≠ℜ∈= xqyxxA Ejemplo de función racional:

{ }4

72)(/2;2:

2

23

−+−=ℜ→−−ℜ

x

xxxff

1] Hallar el dominio más amplio en ℜ , ceros y representar:

a) 1x

1x2x)x(f

2

−+−=

b) 9x

3x)x(f

2 +−−=

c) f(x)=4x12xx3

4x23

2

+−−−

Casos particulares de funciones racionales: a) Cuando el numerador y el denominador tienen raíces comunes, pueden factorizarse y

simplificarse, obteniendo una expresión más sencilla. Sin embargo, el dominio mayorante de la función sigue siendo el conjunto de los números Reales de los cuales se excluyen los puntos que anulan el denominador de la función dada.

Por ejemplo: { } ( )( )3x

3x3x3x9x

)x(f/3:f2

−+−=

−−=ℜ→−ℜ

Esta fracción puede simplificarse pues 3x ≠ f(x)=x+3. Tiene por gráfica a una recta de ecuación y=x+3 excluído el punto (3,6).

b) Función homográfica : ℜ→

−−ℜ

c

df : / 0c

dcxbax

)x(f ≠++=

La consideramos función homográfica siempre que no pueda reducirse a una función constante. ¿En qué caso se produciría esta situación? Notemos que R no es el conjunto imagen. Hallar el conjunto imagen. La gráfica de la función homográfica es una curva llamada hipérbola equilátera .

39

Estudio de la función homográfica Sea la función homográfica que surge de la definición con a=0, b=1, c=1 y d=0

x1

y =

Conforme los valores de x están más próximos a cero el valor absoluto de la función es cada vez mayor (se dice que el valor absoluto de f(x) tiende a infinito cuando x se acerca a cero), en símblos ∞ → →0

)(x

xf

Entonces diremos que el eje y, de ecuación x=0, es asíntota vertical de la curva. En general, diremos que la recta de ecuación x=a es una asíntota vertical de la curva gráfica de f, cuando ∞ → →ax

xf )(

Volviendo al gráfico, vemos que a medida que x crece en valor absoluto los valores que toma la función se acercan cada vez más a cero. 0)( → ∞→x

xf

Diremos que el eje x, de ecuación y=0, es asíntota horizontal al gráfico de f(x). En general, diremos que la recta de ecuación y=b es una asíntota horizontal de la curva gráfica de f, cuando bxf

x → ∞→)(

Las asíntotas (en este caso los ejes coordenados) son perpendiculares, por eso se llama hipérbola equilátera (sólo este tipo de hipérbola será objeto de estudio em este curso) y se cortan en un punto que es el centro de simetría de la curva. La hipérbola tiene 2 ramas que en este caso están situadas en el 1er y 3er cuadrante (recordemos que los cuadrantes se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj a partir del semieje positivo de las x)

Si representamos f(x)=x1− las ramas estarían en el 2do y 4to cuadrante.

Conociendo la gráfica de f(x)=x1

puede obtenerse mediante los correspondientes

desplazamientos la gráfica de :

f(x)= 00

yxx

k +−

(forma canónica)

La gráfica de esta función es una hipérbola que se obtiene de la gráfica de f(x)=xk

desplazándola x0 unidades en el sentido positivo de x (si x0>0) y y0 unidades en el sentido positivo de y (si y0>0)

x y

4

1− -4

21−

-2

-1 -1 -2

21−

1 1 2

21

21 2

40

Si la función está dada en la forma dcx

baxxf

++=)( puede llevarse a la forma canónica

00

)( yxx

kxf +

−= de dos maneras:

Veamos un ejemplo:

23

1)(

++=

x

xxf

• Completando los términos para simpli f icar y obtener la forma

canónica

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 13 3 3 2 1 3 2 3 2

3 3 3 3 3 3( )3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

11 3( ) , 33 3 2

11 91/3:3=1/9, tenemos ( )

233

x x x xf x

x x x x x

f x sacando factor comun y operandox

conel numerador f xx

+ + + + + += = = = +

+ + + + +

= ++

= ++

• O bien, dividiendo los pol inomios se obtiene cocien te 3

1 y resto

3

1

Por ser una división entera 3

1)23(

3

11 ++=+ xx

Dividiendo miembro a miembro por 3x+2

233

1

3

1

23

1)(

++=

++=

xx

xxf =

3

29

1

3

1

++

x

Las ecuaciones de las asíntotas son

2 1 2 1: :

3 3 3 3f fav x ah y D I = − = = ℜ − − = ℜ −

Ejercicios 2] Dadas las funciones:

a) 32

14)(

+−=

x

xxf b)

105

2)(

−−=

x

xxf

41

c) 4

2)(

2 −−=

x

xxf

d) 505

205,2)(

++=

x

xxf

e) x

x

xxf

285)(

++=

f) 1

1)(

2

−−=

x

xxf

g) 1

1)(

3

−−=

x

xxf

Se pide: a) Graficarlas b) Dominio e imagen c) Ceros d) En los casos de funciones homográficas: pasaje a la forma canónica y ecuaciones de las asíntotas 3] Dadas las siguientes funciones, se pide forma canónica, ecuaciones de las asíntotas, gráficos correspondientes, ceros, intervalos donde la función es positiva y creciente.

a) 32

14)(

+−=

x

xxf b)

1

32)(

−−−=

x

xxf

4] Sea { }3x

1)x(f/3:f

−=ℜ→−ℜ

¿Para qué valores de { }3x −ℜ∈ : a) f(x)>2? b) f(x)>-1? c) –1<f(x)<2 ? Resolver analítica y gráficamente.

5] Sea 1x

x2)x(f/BA:f

−=→

Hallar A y B mayorantes para que la función sea biyectiva. Obtener la inversa. Graficar ambas. 6] Representar, determinar el conjunto imagen y clasificar en ℜ . En el caso de no ser biyectiva, buscar una restricción que lo sea y hallar la inversa.

<

≥=1xsix

1xsix1

)x(f

7] Graficar:

a) 2

1)(

−=

xxf

b) 32

1)( +

−=

xxf

c) 32

2)( +

−−=

xxf

d) 32

2)( +

−−=

xxf

e) 2

1)(

−=

xxf

42

8] Hacia un tanque de agua que contiene agua pura fluye agua salada de modo tal que la

concentración de sal en un tiempo t está dada por la función )0t(100t10

t)t(c >

+=

Graficar c y discutir el comportamiento de la función cuando ∞→t . Interpretar 9] La regla de Young es una fórmula que se usa para modificar la dosis de medicamentos para adultos ( representada por “a” y medida en mg) a fin de que sirvan para niños:

12tat

)t(f+

= t>0 a en mg

Hasta qué edad un niño debe consumir menos de la mitad de la dosis máxima. Suponiendo a=2 mg. ¿Cuál es el gráfico que permite visualizar la variación de la dosis con el tiempo?

10] Sea 1

)1(2)(/:

2 −+=→

x

xxxfBAf

Hallar A y B máximos para que la función sea biyectiva. Obtener la inversa. Graficar ambas. Operatoria con expresiones racionales 11] Reducir a su mínima expresión haciendo las restricciones necesarias:

a) 1xx

1x

1x

2x1x

123 +−

−−+

−++

d) ( )8125

13.

3

3

1

22

2

−−+−

+−−

−−

x

xxx

x

x

x

x

b) )124

(:

14

18

2

2

3

++−

−xx

x

x

e)

−++

++

−−−

x

x

x

x

x

xx

7

12

7

14:

7

7212

c)

+−+−

−+

x2xx

1x2x1x

2x

23

2

f)

( ) ( )( )

2

2

3

2

2

2

4

2

1

44

12.

1

1

1

1

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

−

+−+

++−

−++

−−

12] Efectuar: 1x

1xx

x1

1

x1

x 2

2

2

+++−

−

−

13] Hallar A y B para que:

a) 2xx

1x32x

B1x

A2 −+

−=+

+−

b) 3x5x2

13x23x

B1x2

A22 −+

+=+

−−

43

14](Optativo) Descomponer en fracciones simples:

a) 1x

x2 −

b) 2x3x1xx2

2

2

+−−−

c) 1x

x2

4

−

d) xx1x

2

5

+−

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con expresiones racionales 15] Resolver las siguientes ecuaciones teniendo en cuenta en cada caso el dominio de definición

c) x66x

6x

21

6xx

−++=−

−

d) 3x

33x

19x

x2 −

++

=−

e) 8x6x

48x132x3x

4x6x

2 ++−=

+−+

+−

16] Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analítica y gráficamente:

a)

−=−+=

3xy1x3x

y b)

+−=++=

21

x21

y

3x4x2

y

c)

−=+

=

1y1x

1y

Funciones cuyas fórmulas contienen expresiones irracionales a) x)x(f/:f 0 =ℜ→ℜ+ , +ℜ= 0fI ceros: x=0. Es estrictamente creciente ..

44

Ejercicios 17] Teniendo en cuenta la gráfica de /)(: RARAf ⊂→ f(x)= x y mediante simetrías y/o desplazamientos. Graficar: a) x)x(f −=

b) 1x)x(f −=

c) 1x)x(f += En todos los casos obtener: dominio máximo, ceros, conjunto imagen. Analizar si son biyectivas y obtener las funciones inversas (si es necesario restringir).

18] Dada 21)(/)(: xxfRARAf −=⊂→ se pide: a) Dominio máximo, b) Conjunto imagen, c) Ceros, d) Gráfica, e) Clasifique, f) Buscar una restricción biyectiva, hallar la inversa y graficar en el mismo sistema que f.

19] Sea 1x)x(f/A:f +=ℜ→ se pide:

a) Dominio máximo, b) conjunto imagen, c) ceros, d) gráfico, e) clasificación, f) intervalo en que la función es positiva y creciente simultáneamente, g) si no es biyectiva buscar una restricción que lo sea, hallar la inversa y graficar en el mismo sistema que f.

20] Sea 3 1x)x(f/:f −=ℜ→ℜ . Clasificar. Hallar la inversa (si es necesario restringir). Graficar ambas.

21] ( )

<−

≥−=

2xsi2x21

2xsi2x)x(f 2 ℜ→ℜ:f

Se pide: representar, conjunto imagen, ceros, clasificar, inversa (si es necesario buscar una restricción). 22] Resolver las siguientes ecuaciones irracionales, teniendo en cuenta las restricciones:

a) 5xx1 2 −=−

b) 5x132x −−=+

c) 22 x75x =+−

d) 219xx 22 =++

e) 01x83x21x =+−+++

45

ALGEBRA DE FUNCIONES IGUALDAD Dos funciones f:Df → B y Dg → C son iguales cuando: Df = Dg ; B = C y para todo x: f(x) = g(x) Por ejemplo:

Las funciones { }2

4)(/2:

2

−−=→−

x

xxfRRf y g: R→R/ g (x) = x+2

no son iguales ya que Df ≠ Dg , sin embargo, notemos que para todo x≠2, f(x) = g(x). Es decir, sus gráficas serán iguales salvo en el punto de abscisa 2 en el cual f no está definida y tiene un "agujero" y sin embargo g(2) = 4

Si definimos una función h: R→R/

=

≠−−

=24

22

4)(

2

xsi

xsix

xxh , resulta h = g

SUMA, PRODUCTO Y COCIENTE Se pueden definir operaciones entre funciones que llamaremos suma, producto y cociente de la siguiente manera: f+g(x) = f(x)+g(x) para todo x , siendo Df+g = Df ∩ Dg f.g(x) = f(x).g(x) para todo x , siendo Df.g = Df ∩ Dg

)(

)()(

xg

xfx

g

f = para todo x, siendo { }0)(/ ≠∈−∩= xgRxDDD gf

g

f

Ejemplo :

Sean f(x) =1

1

−x Df = R-{1} y g(x)= x Dg= +

0R entonces,

}1{1

1))(( 0 −=+

−=+ +

+ RDxx

xgf gf

}1{.1

1))(.( 0. −=

−= +RDx

xxgf gf

}1{).1(

1)( −=

−= +RD

xxx

g

f

g

f

COMPOSICION DE FUNCIONES Analicemos la siguiente situación: el área de un círculo depende del radio. Si a su vez el radio aumenta al transcurrir el tiempo según la función r(t) = 3t, resulta: A(r) = 2.rπ con r(t)=3t El área del círculo, depende entonces del tiempo a través de la función A(r(t))=

2)3.( tπ Definición: Dadas dos funciones f:Df→If y g:Dg → Ig y tales que If ⊂ Dg, llamamos función compuesta g sobre f, a gof:Df → Ig / para todo x , gof(x) = g[f(x)]

46

Observaciones: * La imagen de f debe estar incluída en el dominio de g para que todos los elementos de Df tengan imagen a través de la función compuesta gof. * La imagen de g es, en general, el codominio (conjunto de llegada) de la compuesta y no su conjunto imagen, ya que puede haber elementos en el dominio de g que no sean imagen de ningún elemento de Df (si la inclusión es estricta) * Si la inclusión pedida en la definición no se verifica, pueden hacerse las restricciones necesarias para la composición. Veamos un ejemplo para aclarar estos puntos:

Sean f(x) = 2x+1 y g(x)= 1

1

−x Df=R If=R

Dg=R-{1} Ig=R-{0} Para realizar la composición gof debemos verificar que la imagen de la primer función a aplicar (f ) esté incluída en el dominio de la segunda función a aplicar (g) . Esto no se verifica, entonces realizamos la siguiente restricción: Como necesitamos que 1 no pertenezca a If, para eliminarlo, restringimos Df. Notemos que 2x+1=1 cuando x=0. Bastará entonces tomar como Df * =R-{0}, luego la Imagen correspondiente será If=R-{1} que coincide (y por lo tanto está incluída) en Dg. A pesar de que, hechas las restricciones las funciones no son las mismas, usaremos por comodidad las mismas letras para nombrarlas.

Ahora; gof:R-{0} → R-{0} / gof(x) = g[f(x)] = g[2x+1]= xx 2

1

112

1 =−+

Para hallar fog, debemos analizar si el Ig está incluída en el Df. Como R-{0} ⊂ R, podemos realizar la composición:

fog:R-{1}→ R / fog(x) = f[g(x)]=1

11

1

1.2

1

1

−+=+

−=

− x

x

xxf

Notemos que como la inclusión es estricta, el conjunto R es el codominio (conjunto de llegada) y no la imagen de la función compuesta fog Como vemos, fog ≠ gof. La composición de funciones no es un operación conmutativa. Puede demostrarse que la composición de funciones es asociativa. Composición de funciones inversas: Sean las funciones biyectivas f:A → B y f-1:B → A a través de f a cada x de A le corresponde un y de B a través de f-1 a cada y de B le corresponde un x de A O sea f-1 (f(x))= x que se denomina función identidad y está definida de A en A Análogamente, si aplicamos primero f-1, diremos: a través de f-1 a cada x de B le corresponde un y de A

47

a través de f a cada y de A le corresponde un x de B Entonces; f(f-1(x)) = x que es la identidad, pero ahora definida de B en B. Las gráficas de funciones inversas son simétricas respecto de la recta y=x (gráfica de la función identidad). Ejercicios 23] Dados los siguientes pares de funciones f y g indicar para cada una dominio mayorante e imagen y hallar f+g, f.g y f/g indicando el dominio mayorante de cada una. a) f(x)= x2 g(x)= 2x-1

b) f(x) = x2 g(x) = x

c) f(x) = 2

1

−x g(x) = 3x+2

24] Dadas f(x)= x y g(x)= x2 – 1, hallar: a) f(g(1)) b) g(f(1)) c)g(f(2)) d) f(g(2)) e) fog f) gof 25] Dados los pares de funciones del ejercicio 23, hallar, fog y gof haciendo restricciones a los conjuntos si fuese necesario 26] Dada fog: R→R / fog(x)= x3 + 3x2+3x +2. Hallar g, siendo f: R→R/ f(x)= 2x-1. 27] Un globo esférico elástico, que desinflado tiene un metro de radio, se infla aumentando su radio 0.1 m cada segundo. a) Escribir la función de medida del radio respecto del tiempo. b) Sabiendo que la función de medida del volumen respecto del radio para la esfera

es 3.3

4)( rrV π= , hallar la función de medida del volumen respecto del tiempo.

Calcular el volumen para t=3 28] Dadas las siguientes funciones, indicar dominio e imagen, buscar su inversa (restringiendo si es necesario para la biyectividad) y componer para obtener la identidad. Indicar en todos los casos, dominios e imágenes.

a) f(x) = x2+2 b)f(x) = 3 3−x c) f(x) = 3

12

−+

x

x

29] (Optativo) Indicar si es V o F, expresando un argumento que justifique la respuesta. a)La composición de funciones inyectivas, es inyectiva b)La composición de funciones sobreyectivas, es sobreyectiva

48

RESPUESTAS

Unidad 1

1) Ej 6: i) Intersecciones con los ejes: Con el eje x : ( 0,0) y ( 3,0); con el eje y : ( 0,0 ) Ceros: x = 0 ; x = 3 ii) Intersecciones con los ejes: Con el eje x : ( -2,0) y ( 2,0); con el eje y : ( 0,-2 ) Ceros: x = -2 ; x = 2 Ej 7: Intersecciones con los ejes: Con el eje x : ( -1/2,0); con el eje y : ( 0,-1 ) Ceros: x = -1/2

2) Ceros: a) x = 0; x = 1; b) x = 0, x =33

, x= -33

; c) x = 1

5) b) i) Intervalos de crecimiento: ( 0 ; 1,5) ii) Intervalos de crecimiento: ( 0 ;+ ∞ ) Intervalos de decrecimiento: ( 1,5; 3) Intervalos de decrecimiento: ( - ∞ ; 0) 6) a) V ; b) F 7) i) par ii) impar iii) ni par ni impar iv) par. 8) a) par; b) impar; c) ni par ni impar. 10) b) Dominio mayorante: A = R – { 2}; g ( x ) = f ( x-2) 11) b) Las funciones son respectivamente: No inyectiva, no sobreyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva No es función c) Los conjuntos A y B no son únicos, una posibilidad es: A = +

0R B = [0; +∞ )

12) Son funciones i) ii) iv) v) . i) y iv) son sobreyectivas pero no inyectivas; ii) es biyectiva; v) no es ni inyectiva ni sobreyectiva. 13) a) a.1) por ejemplo f ( 1 ) = 3 ; f ( 2 ) = 3; f ( 3 ) = 7

a.2) imposible. b) No, porque no puede definirse una función inyectiva. c) Ambos conjuntos deben tener la misma cantidad de elementos.

14) Biyectiva. [ ) 2)(/,2: 10

1 −=ℜ→+∞ −+− xxff

15) Biyectiva. 311 )(/: xxff =ℜ→ℜ −− Unidad 2 1) Son polinomios: a) d) e) g) h) i) k)

2) a) 21

x2x 24 +− grado 4 e) 3x2 2 − grado 2

b) x – 1 grado 1 f) 3x2 2 + grado 2

c) -3 grado 0 g) 67

x65

x31 2 +−− grado 2

49

d) 5x43− grado 5

3) a) La recta forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las x. b) Las tangentes son 2 y 2/3 respectivamente. Coinciden con el coeficiente m o sea con la pendiente de la recta. c) – 3 y -1/2 respectivamente.

4) a) y = -2 x b) y = 2

1 x c) y =

3

2 x

6) a) sí; b) m>0; m<0. 8) c) Simetría especto de la recta y=x. 10) a) y = -3x + 7 b) y = 3x – 4 c) y = 3x – 9 11) b) Ceros : x = 2 c) biyectiva. Estrictamente creciente d) f 1− ( x ) = 2x +2 12) m ≠ 0 biyectiva; m=0 constante, ni inyectiva , ni sobreyectiva.

13))a) )5

13;

512

[B)c);52

[A)b52

x −=+∞−=−=

d) ]1019

;52

(E)e);57

(D =+∞=

14) 733

x71

y +−=

15) a) y = x + 7 b) y = - 3 x + 7 16) a) y = x – 10 b) y = 1/3x – 28/3 c) y = -11 x +2 d) y = -9x

17) f(x) = 21

x23 + o f(x) =

213

x23 +−

18) No, las rectas paralelas al eje Y no representan funciones. 19) a) No están alineados. b) ( 6 ; -2 )

20) El punto de intersección es respectivamente: a) {( -1; 2 )} b) ∅ c) y = 3

10x

43 + ;

x,y∈R

21) 25

x43

y +−=

22) y = -3 x –1 23) y = –3x –1

50

24) a) Falso; b) verdadero; c) Falso 25) 49 /4 26) a) k = -3/10 h ∈ ℜ b) k = 5/6 h ≠ 1 c) k = 5/6 h = 1

27) a) 13y

4x =+− b) 1y

2x =−

28) Diagonales : x = 0 ; y = 0 Lados : y = -3/2 x +3; y = 3/2 x –3 ; y = 3/2 x +3 ; y = - 3/2 x – 3 29) a) Forma

impl íc i ta F. expl íc i ta F.segmentar ia

r1

-3/2x-y+3=0 y=-3/2x+3 X/2+y/3=1

r2

3y-2x-9=0 y=2/3x+3 1

32/9=+

−yx

r3

y+3/2=0 y=-3/2

r4

x-3=0

r5

2y+3x-19=0 y=-3/2x+19/2 1

2/193/19=+ yx

30) k =± 23

31) a) 12m b) y = 3/2 x 32) a) L = 2/35 P + 43/7 b) L = 43/7 c) Por cada 10g 20/35

Por cada 5g 10/35 Por cada 1g 2/35 33) a) 8 m 3 b) V = 8 – 2t 34) If = [ 17/2 , +∞ ) U { 2 }; No es inyectiva, ni sobreyectiva; Ceros: no tiene

35) A = ( -∞ , 5 ); If = ( -7, -4] ; No es inyectiva, ni sobreyectiva; Ceros: no tiene

36) a)

≥−

<−−=

0xsi6x52

0xsi6x76

)x(f b) No es inyectiva c) No es sobreyectiva

d) Ceros: x = -7 ; x = 15

b) Por ejemplo f : [ 0 ;+∞) → [ -6 ; +∞) f- -1 ( x ) = 15x25 +

37) a) If = +ℜ0 = [0, +∞) b) Por ejemplo Df = [0, +∞) la función es biyectiva y

:1−f →ℜ+0

+ℜ0 / xxf =− )(1

51

Unidad 3 1) 1.1) x=3; eje de simetría x=3 intersección con el eje y (0;9)

1.2) x 32± ; eje de simetría x=0 intersección con el eje y (0;-2)

1.3) x = -2 3± ; eje de simetría x=-1 intersección con el eje y (0;1) 1.4) x1=4 x2=0; eje de simetría x=2 intersección con el eje y (0;0) 1.5) Ø; eje de simetría x=1 intersección con el eje y (0;-2) 1.6) x1=3 x2=1; eje de simetría x=2 intersección con el eje y (0;12) 1.7) Ø; eje de simetría x=-2 intersección con el eje y (0;5) 1.8) x1=1 x2=0 de simetría x=0.5 intersección con el eje y (0;0) 3) a) b) c) d) e) Ecuación canónica vértice Eje de simetría Imagen {x/f(x) ≥0} 1 y = ( x – 3)² (3,0) x = 3 [0, + ∞ ) R 2 y= 3x²-2 (0,-2) x = 0 [-2, + ∞ ) (-∞ ,- 3

2 ] 32[∪ ,+∞ )

3 y= ( x + 2)² - 3 (-2,-3) x = -2 [-3, + ∞ ) (-∞ ,-2- 3 ] 32[ +−∪ ,+∞ ) 4 y= 3( x – 2)² -12 (2, -12) x = 2 [-12, + ∞ ) (-∞ ,0] ∪ [4,+∞ ) 5 y= - ( x – 1)² -1 (1,-1) x = 1 (- ∞ ,-1] Ø 6 y= 4( x – 2)² - 4 (2,4) x = 2 [4, + ∞ ) (-∞ ,1] ∪ [3,+∞ ) 7 y =( x + 2)²+1 (-2,1) x = -2 [1, + ∞ ) R 8 y= -( x – 1/2)² + ½.

(1/2;1/2) x = 1/2 (- ∞ ,1/2] (1/2, 2)

Paridad crece decrece clasificación 1 ----- (3,+ ∞ ) (-∞ ,3) No iny, no sobre 2 Par (0,+ ∞ ) (-∞ ,0) No iny, no sobre 3 ---- (-2,+ ∞ ) (-∞ ,-2) No iny, no sobre 4 ---- (2,+ ∞ ) (-∞ ,2) No iny, no sobre 5 ---- (- ∞ , 1) (1, +∞ ) No iny, no sobre 6 ---- (2,+ ∞ ) (-∞ ,2) No iny, no sobre 7 ---- (-2,+ ∞ ) (-∞ ,-2) No iny, no sobre 8 ------ (- ∞ , 1/2) (1/2,+∞ ) No iny, no sobre f) La restricción no es única, una posible para la primer función es:

f : (3,+ ∞ ) � [0 , +∞ ) f -1: [0 , +∞ ) � (3,+ ∞ ) f -1 ( x) = 3+ x

4) a) p1: y = 4)2x(41 2 +− p2: y = 4)2x(

41 2 +−−

b) p1: y = 4)1x( 2 ++ p2: y = 1x2 −−

5) a) p2: y = 2)2x(45 − a1 =

25

b) y = -2x² + 4x+6 V= ( 1 , 8 ) Ceros: x1 = -1; x2 = 3 Im f = ( -∞ , 8] Positiva y decreciente: ( 1 , 3 ) Negativa y creciente: ( -∞ , -1) 6) x = 2, y = 2 7) x = 18, y = 18 8) x = 150 9) a) t = 3 y t = 18 b) sí, cuando t=25

52

10) x 68,1≈ ; y 68,1≈ 11) a) e = f (t) = 6 – 3t + t² v= g( t) = -3 +2t a = h( t) = 2 c) En t = 1,5 velocidad cero En [0; 1,5) retardado y en (1,5; 5] acelerado d) 2 e) e = t +2 tangente a la parábola. La pendiente de la recta tangente en to es la velocidad en to. f) pendiente cero => velocidad cero. 12) b) t = 5 13) a) asciende ( 0 , 600/49) desciende ( 600/49; 1200/49) b) altura máxima : 734,7 m cuando t= 600/49 = 12,24 seg c) 1200/40 = 24,49 seg d) t1= 0,424 seg t2=24,065 seg 14) V, V , F , V ,V

15) x1+x2 = - ab

x1.x2 = ac

16) x² +2x - 35 = 0

17) a) 2( x -2 )( x – 8) b) 1/2( x +6 )( x + 1/2) c) -5x( x +3/5 ) d) -1/2( x -1+ 3 )( x –1-

3 ) 18) a) m= 1/32 b) m = 1 c) m = 12

19) a) a = 3 o a = -1 b) a = 3 + 2 2 o a = 3 -2 2 20) a) k = 3 b) k = 1 21) a) k = 1/4 b) k =1 22) k = 12

23) a) y = 2 ( x - 2)( x + 1/2 ) b) y = ( x - 5)( x + 9 ) c) y = 4 ( x - 3 /2)( x + 3 /2 ) d) y = 3 ( x +1)( x - 1/3 ) e) y = -2 ( x - 10)( x + 9)

25) a) x1= 3 ; x2= - 3 ; x3=1/2; x4= -1/2 b) x1=2; x2= -2; x3=1/2; x4= -1/2 c) x1=3; x2= -3; x3=1/2; x4= -1/2 d) x1=1; x2= -1; x3=1/2; x4= -1/2

e) x1= 2 ; x2= - 2 ; x3=2; x4= -2 26) a) A = ( 2,0) B = ( 1,2) b) A = ( 6, -42) B = ( -1,0) 27) y = -3 x + 5 28) m = 0 o m = -4 29) Todo valor real de m

30) a) k = 3± b) - 3 <k< 3 31) a) y = 5x – 12 b) y = 4x -9 32) k = -2 Unidad 4

1. a) b)

f(x)=x^3

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

f(x)=(x-2)^3+1

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

c) g es inyectiva (pues es estrictamente creciente) g es sobreyectiva

(porque la imagen coincide con el conjunto de llegada, ambos son R)

53

g es biyectiva (por ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente) ( ) 21/: 311 +−=→ −− xxgRRg

f(x)=(x-2)^3+1f(x)=root(3,(x-1))+2f(x)=x

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

2. a) F b) F c) V d) V 3. En x=-2 la función tiene un cero de orden impar y en x=3 de orden par. 4. { })(3);(00 simpledobleC = ; ( ) ( ) { }03;;;3 −∞−=+∞= −+ CC

f(x)=x^3-3x^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

5. Sea f definida en R.

0C +C −C gráfico par impar imagen a { }3 2− ( )+∞− ;23 ( )3 2;−∞−

f(x)=x^3+2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

No

No

R

b { }2− ( )+∞− ;2 ( )2;−∞− f( x)=(x+2)^3

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

No No R

c { }3 21− ( )+∞− ;21 3 ( )3 21; −∞− f(x)=(( x-1)^3)+2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

No No R

d { }0 ( )0;∞− ( )+∞;0 f (x)=-x^3

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

No Si R

e { }0 ( )+∞;0 ( )0;∞− f(x)=2x^3

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

No Si R

f { }0 { }0−R φ f(x)=x^4

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Si No

[0;+oo)

g { }44 3;3− ( )44 3;3− ( ) ( )+∞∪−∞− ;33; 44 f (x)=-x^4+3

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Si No (-oo;3]

54

7. a) a=-1 b=-1 c=0 b) a=15/4 b=2 c=3/4

8.a) 242 24 −++− xxx b) 32 4 −x c) 32−

d) 2/1)0( =p 2/1)2( =p 3)0( =s 4/3)1( =−t

2/132)2()1( +−=−+− pq

9. { }1;10 −=C

10. 12 −x 11. a) 36)(;12)( 22 +−−=+−= xxxRxxC

b) 19/1)(;9/13/22)( 2 +=−+= xxRxxxC

c) 0)(;)( 22 =+−= xRccxxxC

d) cccxRccxcxxC 249)(;421)21()( 2322 −+−=+−+−+=

e) 0)(;)( 42 =−= xRcxxC

f) xxRxxxxC 3/1)(;3/13/13/13/1)( 23 −=+−−−=

g) 1)(;)( 2 =−= xRxxxC

h) 12)(;)( 22 −=−−= cxRxcxxC

12. a) 41;201062)( 234 =++++= RxxxxxC

b) 1;12/1)( 2 =−+−= RxxxC

c) 8;42)( 32 −=+−= mRxxxC

d) 17;16161616)( 23 =−+−= RxxxxC

e) 32/41;16/238/74/12/1)( 234 =−−++= RxxxxxC

f) 0;)( 43223 =+++= RmxmxmmxxC g) 16;9)( =−= RxxC

h) 2864223 ;)( mmRmxmxmxxC −=+++= 13. Aplicar el teorema del resto (ver las respuestas del ej 12) 14. a) m=2 b) m=-3/2 15. a) SI b) SI c) SI d) SI e) SI d) NO Conclusiones:

• La suma (resta) de potencias de igual grado, con grado par o impar, es divisible por la suma (resta) de sus bases

• La resta de potencias de igual grado par es divisible por la resta de sus bases

• La suma de potencias de igual grado par no es divisible por la resta de sus bases, ni tampoco por la suma (PROBARLO)

16. k=1 17. 2/21 =m 2/22 −=m Para armar a(x) reemplazar m por cada uno de los valores, hay dos

posibilidades.

18. m=1 t=1 19. a) a=0 b) a=12

55

20. 66632 234 ++++ xxxx 21. k=-1 22. a) a(x-2)(x+1)(x-1/2), a real distinto de cero b) Hay varias posibilidades

( ) ( ) 0;;21 3 ≠∈−+ aRaxxa

( )( ) 0;;21 3 ≠∈−+ aRaxxa

( ) ( ) 0;;21 22 ≠∈−+ aRaxxa c) Hay infinitas posibilidades: a(x+1)(x-2)(x-h)(x-k) con h y k reales, a real no nulo

23. ( ) 0;;1 53 ≠∈+ aRaxxa 24. Aplicar Ruffini 3 veces consecutivas y obtener resto cero (las tres veces) La otra raíz se halla igualando a cero el último cociente: x=-4 25. ( ) ( )( )12116/3 22 ++−− xxx , hay infinitas posibilidades porque el último factor,

si bien tiene que ser un polinomio sin raices reales, puede elegirse en forma diversa.

26. a) ( )22 2 +x b) ( )( )( )( )1122 +−−+ xxxx

c) ( ) ( )222/62/64 +−− xx

d) ( )( )( )82222 2 +−+ xxx

e) ( ) ( )42 11 −+ xx

f) ( )( )4/12/12/18 2 ++− xxxx

g) ( )( )( )2133 −+− xxx

h) ( )( )234 −+ xx

i) ( )( )( )( )224/12/13/2 +−++ xxxx 27. a) 2;-2;1/3 b) 2;-2;1 28. a) Ceros: 0: raiz doble 1 y -5 raices simples

f(x)=x^4+4x^3-5x^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

y

La gráfica “rebota” en 0 y “atraviesa” el eje x en -5 y 1

b) Ceros: 0: raiz triple 2 y -2 raices dobles

56

f(x)=x^3(x^2-4)^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-15

-10

-5

5

10

15

x

y

La gráfica “rebota” en -2 y 2 y “atraviesa” el eje x en 0 c) Ceros: -3: raiz doble 1 y -2 raices simples

f(x)=(x^2+2x-3)(x^2+5x+6)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-15

-10

-5

5

10

15

x

y

La gráfica “rebota” en -3 y “atraviesa” el eje x en -2 y 1 d) Ceros: 1: raiz doble 2 y -2 raices simples y hay dos raices no reales.

f(x)=(2x^2-4x+2)(x^4-x^2-12)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

y

La gráfica “rebota” en 1 y “atraviesa” el eje x en -2 y 2

Unidad 5

1. a) R – { 1}, no tiene ceros b) R – {-3, 3} , no tiene ceros c) R – {-2, 1/3, 2} , no tiene ceros d)

57

2. Dominio Imagen Ceros F. Canónica Asíntotas a) R –{-3/2} R-{2} 1/4

2

2

32

7

++

−=

xy

AV: x= -3/2 AH: y=2

b) R-{2} {1/5} No tiene c) R-{-2,2} R-{0, ¼} No tiene

y= 2,22

1 −≠≠∀+

xxx

AV: x= -2 AH: y=0

d) R-{10} R-{1/2} -8 y=

2

1

10

1 ++−

x

AV: x= -10 AH: y=1/2

e) R-{0} R-{2} -13/2 2

13 +=x

y AV: x= 0 AH: y=2

f) R-{1} R-{2} -1 g) R-{1} R No tiene

3. Ceros F. Canónica Asíntotas Int de Posit. Creciente a) 1/4

2

2

32

7

++

−=

xy

AV: x= -3/2 AH: y=2

+∞∪

−∞− ,4

1

2

3,

R-{-3/2}

b) -3/2

1

52

−−−=

xy

AV: x= 1 AH: y=-2

− 1,2

3

R-{1}

4a) (3;7/2)

( )

+∞∪−∞

+∞∪−∞

;2

7)2,()

;3)2,()

c

b

5. A: R –{ 1} B: R –{2}, 1

22)(

−+=

xxf 1

2

2)(/}1{}2{; 11 +

−=−→− −−

xxfRRf

6. ( ]1,:

:

∞−f

F

I

RD No sobreyectiva, no inyectiva

8.Al trascurrir el tiempo tendiendo a infinito la concentración tiende a 0,10, aunque nunca alcanza ese valor.

9. 12 años 10. A: R-{-1, 1} B: R-{1, 2}

{ } { } ( )2

/1,12,1: 11

−=−−ℜ→−ℜ −−

x

xxff

11 a) 0 x ≠ –1 d) 95

1

+x x ≠1; -3; 9/5; -9/5

58

b) -2 x2 x2

2 ≠≠+x

e) -1/2 (7+x) x≠ 7, -7; 2

46921±

c) 1 x1 ≠−

x

x f) -3x+2+x2 x≠ -2; -1; 0; 1; 2

12.Rta: -1 x0 x0 ≠≠ ; 1 13.a) A=2/3 B=7/3 b) A= 2 y B=1

14. a) 1

5.0

1

5.0

++

− xx b)

2

52

−+

x c)

1

1

1

112

+−

+−

+−xx

x

d)1

21123

++−−+−

xxxxx

15.

{ }{ }{ }6,2)

2)

18;3)

=−=−=

Sc

Sb

Sa

16. a) =S { }(5;2) (0,-3) b) =S { }(-5;3) (-1,1) c) =S { }(-2,-1) 17. a) Dominio máximo reales positivos con el cero, cero : x= 0. Conjunto Imagen;

reales negativos con el cero, no es biyectiva ( ) 21

001 /: xxff =ℜ→ℜ −+−−

b) Dominio máximo reales mayores o iguales que 1, cero: x= 1. Conjunto Imagen; reales positivos con el cero no es biyectiva

[ ) ( ) 1/,1: 210

1 +=+∞→ℜ −+− xxff c) Dominio máximo reales mayores o iguales que -1, cero: x= -1,0 Conjunto

Imagen; reales positivos con el cero no es biyectiva [ ) ( ) 1/,1: 21

01 −=+∞−→ℜ −+− xxff

18.

( ) 21-1- 1/f]1;0[ ]1;0[:f

]1;0[:Im],1;0[:Dom sea lo que paran restricció biyectiva es No ],1;0[Imagen 1];:[-1 :maximo Dominio

xx −=→

19.Dominio máximo: R [ ) [ )

( ) 1 /f),1[:f

1, :Im e :Dom sea lo que paran restricció biyectiva es No ceros. tieneno ,1,Imagen 21-

01-

0

−=ℜ→+∞

+∞ℜ+∞+

+

xx La f es creciente y positiva en todo su dominio 20.Es biyectiva. 1)(/: 311 +=→ −− xxfRRf

21. Cero: x=2, [ ) [ ) [ )

[ ) ( ) 2 /f2, :f

.0,Imagen 2, :Dom sea lo que paran restricció biyectiva es No .0,Imagen 21-

01- +=+∞→ℜ

+∞+∞+∞+ xx

59

22.

23) a) +== 0Im; RfRDomf RgRDomg == Im;

• ( ) [ )+∞−==−+=+ ;2Im;;122 RDomxxxgf

• ( ) RRDomxxxgf ==−=⋅ Im;;2 23

• ( ) RRDomx

xx

g

f =

−=

−= Im;

2

1;

12

2

b) +== 0Im; RfRDomf ++ == 00 Im; RgRDomg

• ( ) ++ ==+=+ 002 Im;; RRDomxxxgf

• ( ) ++ ==⋅=⋅ 002 Im;; RRDomxxxgf

• ( ) ++ === RRDomx

xx

g

fIm;;

2

c) { } { }0Im;2 −=−= RfRDomf RgRDomg == Im;

• ( ) { } RRDomx

xxxgf =−=

−−−=+ Im;2;

2343 2

• ( ) { } { }3Im;2;32

8 −=−=+−

=⋅ RRDomx

xgf

• ( ) ( )( ) { }0Im;32

;2;232

1 −=

−−=

+−= RRDom

xxx

g

f

24) a) 0 b) 0 c) -1 d) no existe e) ( ) 12 −= xxgf o f) ( ) 1−= xxfg o

25) a) ( ) ( ) +==−= 02 Im;;12 RRDomxxgf o

Para fg o debemos restringir += 0RDomg

( ) [ )+∞−==−= ;1Im;;12 2 RDomxxfg o

b) Para gf o debemos restringir += 0RDomf

( ) ++ === 00 Im;; RRDomxxgf o

( ) +=== 0Im;; RRDomxxfg o

c) ( ) { } { }0Im;0;31 −=−== RRDomx

xgf o

( ) { } { }2Im;2;22

3 −=−=+−

= RRDomx

xfg o

26) g:R→R/ g(x)= 3

23 32

2 2 2

xx x+ + +

27) a) ( ) ttfRRf101

1/: 00 +=→ ++

{ }{ }{ }{ }{ } 3)

4,4)

3,3)

9)

3)

=−=

−==

−=

Se

Sd

Sc

Sb

Sa

60

b) ( ) 300 )

101

1(34

/: ttVRRV +=→ ++ π ( ) π75013

33

=V

28) a) [ ) [ ) [ ) ( ) 2/;0;2:;;2Im; 11 −=+∞→+∞+∞== −− xxfffRDomf

[ ) [ )+∞→+∞− ;2;2:1ff o [ ) [ )+∞→+∞− ;0;0:1 ff o

b) ( ) 3/:;Im; 311 +=→== −− xxfRRfRfRDomf

RRff →− :1o RRff →− :1 o

c) { } { } { } { } ( ) 32

5/32:;2Im;3 11 +

−=−→−−=−= −−

xxfRRfRfRDomf

{ } { }22:1 −→−− RRff o { } { }33:1 −→−− RRff o 29)a)VERDADERO

Para demostrar la inyectividad de fg o partiendo de ( ) ( )21 xfgxfg oo = debemos inferir que 21 xx =

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )212121 xfxfxfgxfgxfgxfg =⇒=⇒= oo por ser g inyectiva. Como f es inyectiva se puede inferir la igualdad de las abscisas: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 21212121 xxxfxfxfgxfgxfgxfg =⇒=⇒=⇒= oo Por lo cual la composición de funciones inyectivas, es inyectiva. b) FALSO Para que la composición fg o sea posible, se debe verificar que

Domgf ⊂Im . Si la inclusión es estricta existe al menos un elemento del dominio de g, que no pertenece a la imagen de f: fxoDomgx Im/ 00 ∉∈ , dicho de otro modo,

0x nunca será alcanzado por f. Entonces gfxgy oIm)( 00 ∉= . Por lo tanto, aunque las dos funciones sean sobreyectivas, la composición no siempre lo es.

61

TRABAJO PRÁCTICO 0 para 4to año

11 .. Resolver en � las siguientes ecuaciones:

a) (-x + 2)3 = 1 b) x3 = x c) 4 24 5 1 0x x− + =

d) ( ) ( ) 012xx8xx 222 =+−−− e) 4x4+15 x2 – 4=0

f) x2 + ( 182 + ) x = -6

g) (x-1)4-3(x-1)2 = -2 h) ( )( )2 2 2m 1 m 3 2m− + = i)

( )2 2 4 34a 1 a a a a− − = − +

j) ( )( )4 3 23 x 16 x 2x x 0− − + = k) 7 3 7 141 y y 0

5 10 3 9

− + =

l) ( )( )( )( )3 3 2x 8 x 8 6x 7x 8 1 x 0− + + + − = m) 9 7 9 79p 7p 6p 2p− = +

22 .. Encontrar el conjunto solución en � de estas ecuaciones:

a) x + 5 x - 5 10

+ =x - 5 x + 5 3

b) 2

x + 11 9+ 4x= 7 -

x x c) 2 35

4x 2xx 3

− = +

d) x + 53x

1 =−

e) ( ) ( ) 024x5x10x5x2 =+−+− f)

2

t 1 1

t 1 t 1

+ =− −

33 .. Resolver en � las siguientes inecuaciones:

a)1

x ( 3x 9) 05

+ − + ≥

b) ( 2x+1) . ( 3x - 2 ) < 0 c) 3x 2 + 15x ≥ 0 d)

(x + 10) 2 ≥ -4

e) x4 ≤ -5 f) |x –2|.(x 2 –5) ≥ 0 g) x2 - x < 0

h) x2 - ½ ≤ 4 - x2

i) (2x-3)2 > 4 (x+1) (x+2) j) x2 + 2x + 1 ≤ 4 k) x3 > x

44 .. Encontrar el conjunto solución en � de estas inecuaciones:

a) 2

2

25x 90

3 x 5

− <+ −

b) 2 3

x 5< − c) 2 3

x 5− > d)

327 x0

x 3

− <+

62

e) 05x

|2x|

2≤

−

− f) 0

2|2x|

5x 2 ≤−−

− g) 0

2|2x|

5x 2 ≤+−

− h)

2 4

902

x

x

−−

≥

i ) 2

3 1x

− < − j ) 1 6

x x≥ k)

32

x 2< −

+ l )

3x 21

x 1

+ <+

55.. Dada la recta r: y = 2

1− x + 1, obtener la ecuación de la recta s que cumple con

la condición establecida en cada ítem:

a) s // r y contiene al origen de coordenadas; b) s ⊥ r y tiene ordenada al

origen -3;

c) s ⊥ r e interseca al eje de abscisas en -3; d) s // r y contiene al punto

(2/3; 9).

66.. ¿Para qué valor de m, las rectas r: (5m - 1) x - y + 2 = 0 y s: 3 x – 6 y + 9 =

0 son perpendiculares?

77.. Un auto circula por la ruta 2 y la distancia (en km) que lo separa de Buenos Aires

en función del tiempo (en hs) está dada por una función lineal. Se sabe que a las

dos horas de haber partido de la ciudad de origen se encontraba en el km 150 y que

media hora más tarde se encontraba a 100 km de Bs. As.

a) Encontrar la fórmula de la función lineal de la que habla el enunciado.

b) ¿Qué parámetro de la fórmula hallada en el ítem a) indica que el auto se acerca

a Buenos Aires? ¿Por qué?

c) ¿A qué distancia de Bs. As. se encontraba el automóvil en el momento de partir?

¿A qué velocidad circula?

d) ¿En qué momento pasó por el km 225 de la ruta?

e) Graficar e indicar un dominio que dé cuenta de la situación.

88.. Escribir la fórmula de una función cuadrática definida de � en � que verifique lo

pedido en cada caso:

a) su vértice es el punto (-6; 0) y tiene concavidad positiva.

b) su vértice es el punto (–1; -3) y contiene al punto (1; –2).

c) sus raíces son 0 y -2 y tiene concavidad negativa.

d) sus raíces son 3 y -1 y contiene al punto (0; 1).

e) tiene un máximo en x = –3, f(–3) = 6 y f(0) = 0.

63

f) es creciente en (–∞; –3), f(–3) = 6 y f(0) = 0.

99.. Se están haciendo pruebas desde un submarino lanzando misiles desde cierta

profundidad y registrando su altura, medida en metros respecto del nivel del mar,

en función del tiempo, medido en segundos.

Un misi l fue lanzado desde una profundidad de 160 m, atravesó la superf ic ie a los 2 seg. de haber s ido lanzado y explotó contra el blanco que f lotaba en el mar 6 seg. después. a) ¿Cuál es la variable independiente del problema? ¿Y la dependiente?

b) Definir la función que permite calcular su altura en función del tiempo sabiendo que se

trata de una función

cuadrática. (Nota : Dar un dominio que sea coherente con la situación planteada.)

c) ¿Cuál fue la máxima altura que alcanzó el proyectil? ¿En qué momento sucedió?

d) ¿A qué altura se encontraba 1 seg. después de haber sido lanzado? ¿Y a los 3 seg.?

e) ¿En qué intervalo de tiempo estuvo por encima del nivel del mar? ¿Y por debajo?

1100.. Resolver analítica y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 2

y x

y x 2

=

= +

b) 2

y x x 6

y 10 3x

= − −

+ =

c)

( )( ) ( )

y 3x x 2

y 4 x 1 x 3

= − +

= − −

11 11 .. Factor izar cada uno de estos pol inomios:

a) 3P(x) = x - x b) S(x) = 31x - 8

27

c) Q(x) = 5x2 −

d) T(x) = ( )22x+1 - 9 e) R(x) = 4 3 24x -12x + 9.x f )

U(x) = 425x -16

g) P(x) = 3 28x 6x 5x 3+ − − h) Q(x)= 3 24x 6x 6x 4− − + i) S(t) =

4 3 21- t - t + t + 2t2

j) T(x) = x3 + 5 x2 + 3 x – 9 k) M(x) = x3 - x2 - 8 x + 12 l)

N(x) = x4 + x3 + 7x2 +9x-18

11 22 .. Indicar para que valores están def inidas las s iguientes expresiones y

s impl i f icar las.

64

a) 4

4 2

x 16

x 2x 8

−− −

b) 6

2

x 1

x 1

−−

c)

+ + ++

3 2

2

2 t 2 t 2 t 2

t t

d) 4 3 2x - 2x - x + 2x

3 2x - 2x

e) 3 2

-x + 3x - 4

3 2x + x - 6x

f ) 2

3 2

3x - 3x

2x - 2x

1133.. Si ABCDEF es un hexágono regular de centro O, obtener el resultado de las

siguientes operaciones:

a) CB+ CDuur uur

b) AC + CD+ DEuur uur uur

c) uur uur

2 . AO + OB d) AB - FAuur uur

11 44 .. Dada la recta de ecuación y = 2x - 3, expresar en forma canónica

un vector de módulo 5 paralelo a el la.

1155.. Sean − = = − +

r rx 2 1 1u ; y w ; y 2

2 2 x 2, encontrar todos los valores de x e y

para que wr = 2 .ru.

11 66 .. Indicar si los siguientes pares de vectores son o no

perpendiculares.

a) a = (1,1) y b = (1,-1)rr

b) a = 2 +i j∨ ∨r

y b = 2 -i j∨ ∨r

1177.. Encontrar el valor de λ para que el vector ∨ ∨i + 3 j sea perpendicular al vector

6 i+ j∨ ∨

λ .

1188.. Sir ru y v verifican que

r r r ru = v = u- v = 2, calcular u v⋅

r r.

1199.. a) ¿Cuáles son las componentes del vector rv , si | v |r = 3

32

y el ángulo que

forma el vector con el semieje positivo de las x es de 60°? (Nota : = 1cos 60º

2

y = 3sen60º

2)

b) Escribir en forma canónica un vector wr tal que | rw |= 2. 3

3 y r

w sea paralelo a la

recta de ecuación y = 3x 2 3

3− + .

B C

D

F

A

E

•O

65

c) Verificar analíticamente que ⊥r rv w .

Respuestas

1. a) {1} b) {0; 1; -1} c) {1; -1; ½; -1/2} d) {3; 2; -2; -1}

e) {1/2; -1/2} f ) { }− −3 2; 2 g) {2; 0; + − +2 1; 2 1}

h) { }−4 43; 3 i ) + − − −

5 73 5 730; ;

6 6 j ) {2; -2; 0; 1} k) {10/3; -3/2}

l ) {2; -2; 1} m) { }−0; 3; 3

2. a) {-10; 10} b) {3; -1/2} c) {6; -1/6} d) {4} e) {16; 1; 9; 4}

f ) R - {-1; 1}

3. a) [ -1/5; 3] b) (-1/2; 2/3) c) −∞ − ∪ + ∞( ; 5] [0; ) d) R e) ∅

f ) ( ) −∞ − ∪ + ∞ ∪ ; 5 5; {2} g) (0; 1) h) [-3/2; 3/2] i ) −∞( ;1/ 24) j ) [ -3;

1] k) − ∪ + ∞( 1; 0) (1; )

4. a) ∅ b) (-10/3; 0) c) (-10/3; 0) d) (3; + ∞ ) e)

( )− 5; 5 f ) ) ) − ∪ 5; 0 5; 4 g) − 5; 5 h) (-3; 2] ∪ (3; + ∞ ) i ) (-

∞ ; 0) ∪ (1; + ∞ ) j ) ( - ∞ ; 0) k) (-7/2; -2) l) ( -1; -1/2)

5. a) y = - 0,5x b) y = 2x - 3 c) y = 2x + 6 d) y = -0,5x + 28/3

6. -1/5

7. a) y = -100 km/h x + 350 km c) 350 km; 100 km/h d) A las 1,25

h (1 h 15 min.) de haber part ido.

8. a) Una respuesta posible es y = (x+6)2 b) y = 1/4 (x + 1)2 - 3 c) Una

respuesta posible es y = -x (x + 2).

d) y = -1/3 (x - 3) ( x + 1) e) y f) y = -2/3 (x + 3)2 + 6

9. b) f(t) = –10 (t – 2) (t – 8); Dom(f) = [0; 8] c) 90m a los 5seg. d) A 70m bajo el

mar.

e) (2; 8) y [0; 2)

10. a) {(2; 4); (-1; 1)} b) {(2; 4)} c) ∅

11. a) x (x - 1) (x + 1) b) 1/27 (x - 6) (x2 + 6x + 36) c) (x - 5 ) (x + 5 )

d) 4 (x -1) (x + 2) e) 4 x2 (x - 3/2)2 f) 25 (x - 2 5 /5) (x + 2 5 /5) (x2 + 4/5)

66

g) 8 (x + 1/2) (x + 1) (x - 3/4) ,h) 4 (x + 1) (x -1/2) (x - 2) i) –1/2 t (t + 2) (t - 2 ) (t

+ 2 ) j) (x - 1) (x + 3)2 k) (x - 2)2 (x + 3) l) (x -1) (x + 2) (x2 + 9)

12. a) {x ∈ R / x ≠ 2 ∧ x ≠ -2}; 2x 4

2x 2

+

+ b) {x ∈ R / x ≠ 1 ∧ x ≠ -1}; (x2+x+1) (x2-

x+1)

c) {t ∈ R / t ≠ 0 ∧ t ≠ -1}; ( )22 t 1

t

+ d) {x∈ R / x ≠ 0 ∧ x ≠ 2};

(x 1)(x 1)

x

− +

e) {x∈ R / x ≠ 0 ∧ x ≠ 2 ∧ x ≠ - 3}; ( )( )

( )x 1 x 2

x x 3

− + −

+ f) {x∈ R / x ≠ 0 ∧ x ≠ 1};

3

2x

13. uuur uur uuur uuur

a) CO b) AE c) AC d) AO 14. Una solución posible es 5 i 2 5 j∨ ∨+ .

15. (x; y) = ( )3 8; o (x; y) = ( )− 3 8; 17. λ = −2 18. 2

19 a) =r 3 9v ( 3; )

4 4 b) Una solución posible es

∨ ∨= −

ur 3w i j

3.

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Problemas interesantes (Segundo nivel Olimpíadas)

1. ¿Cuántas formas hay de embaldosar un pasi l lo de 2x7 con baldosas de 2x1?

2. Dos bicic letas se encuentran en una ruta recta a 40 ki lómetros

de distancia. A part ir de un momento ambas empiezan a andar en sentidos contrarios, acercándose. Cada bicicleta t iene a una velocidad constante de 20km/h. En el mismo instante de part ida, una mosca sale de una de las bicicletas rumbo hacia la otra con una velocidad de 40km/h. Al encontrarse la mosca con la otra bicicleta, instantáneamente se da vuelta y comienza a volar para el otro lado hasta encontrarse con la primera bicicleta, momento en el cual se da vuelta nuevamente, y así sigue hasta que las bicicletas se juntan. ¿Qué distancia recorre la mosca?

3. Sean ABC y ABD dos tr iángulos unidos por su lado AB (C y D

están en semiplanos dist intos respecto de la recta AB). El tr iángulo ABC t iene BAC=90º y AB=2AC. El tr iángulo ABD t iene ADB=90º y AD=BD. El segmento CD corta al segmento AB en O. Calcular BO si se sabe que AC=4.

4. Con una pesa de 2 y una de 5, en una balanza de plat i l los

podemos pesar los valores 2, 3, 5 y 7. Si queremos poder pesar todos los valores enteros entre 1 y 4, ¿cuál es la mínima cantidad de pesas necesarias? ¿y s i necesitamos pesar todos los números del 1 al 13? ¿Por qué con esa misma cantidad de pesas no se pueden formar todos los números del 1 al 14?

1. Probar que en el mundo hay dos personas que conocen a la misma

cantidad de gente. (Suponemos que si A conoce a B entonces B conoce a A).

2. Se t iene un hexágono regular. Cada segmento con extremos

en dos vért ices del hexágono se pinta de rojo o de azul. Probar que hay un tr iángulo que t iene sus tres lados del mismo color.

3. Sea ABC un triángulo tal que BC = 10. Sean M, N, P los puntos medios de

los lados AB, BC, CA respectivamente. Sobre la prolongación de NP se considera E tal que EP = PN. Sobre la prolongación de CM se considera D tal que DM = CM. Hallar la longitud del segmento DE.

4. De los números naturales A y B se sabe que B = (A2 - 1) / 8 y que el

mínimo común múltiplo entre A y B es igual a 3720. Hallar A y B.

5. La suma de dos números es 30 y su producto es 10, ¿cuánto vale la suma de los inversos multiplicativos de los dos números?

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6. Los sucesión de Fibonacci se definen de la siguiente manera:

F0=1 F1=1 y para n≥2 Fn = Fn-1 + Fn-2. Probar que la cantidad de formas de embaldosar un pasillo de 2xN con baldosas de 2x1 es FN.

7. Sea ABCD un trapecio con AB paralela a CD. DAB=100º, ABC=130º, AD=10 y AB=15. ¿Cuánto mide CD?

8. Alberto se encuentra en el centro de una circunferencia de radio 20.

Berenice está afuera. En cada paso, Alberto se desplaza un metro en línea recta. Él puede elegir, antes de cada paso, la recta por la que se va a mover pero Berenice decide en cuál de los dos sentidos ha de moverse. ¿Puede Alberto salir de la circunferencia?

9. Demostrar que hay infinitos enteros positivos impares n para los cuales el

número 2n+n es un número compuesto (es decir, tiene algún divisor distinto de 1 y de sí mismo).

10. En el espacio hay n planos de modo que cada uno de ellos interfecta a

exactamente otros 19. Determinar todos los posibles valores de n.

11. Sea ABC un triángulo y r la recta paralela a BC que pasa por A. Sea P el punto de intersección entre r y la bisectriz del ángulo ABC. Sea Q el punto de intersección entre r y la bisectriz del ángulo ACB. AB mide 7 y AC mide 8. Hallar la medida de PQ.