PGF03-R03

COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI

AREA MATEMATICAS

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.Galileo Galilei

ESTADISTICAGRADO OCTAVO

2012

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INTRODUCCION

La estadística es una ciencia que día a día ha cobrado gran importancia, gracias a su utilidad y a que, pos su alcance puede aplicarse a cualquier rama del saber.

Usando procedimientos sencillos de la estadística, logramos recopilar, organizar, representar y analizar cualquier tipo de información.

Los procesos de investigación obtienen un poderoso apoyo de la estadística, de un modo muy general, pretende describir las variables de interés y las relaciones entre ellas, para el problema en estudio, la estadística es la ciencia que estudia los métodos que permiten realizar este proceso para variables aleatorias. Estos métodos permiten resumir datos y reconocer el papel de la casualidad denominada aquí azar.

Se divide en dos áreas:Estadística descriptiva: la cual trata de describir las variables aleatorias en las "muestras".Estadística inductiva o inferencial: que trata de la generalización hacia las poblaciones de los resultados obtenidos en las muestras y de las condiciones bajo las cuales estas conclusiones son válidas. Se enfrenta básicamente con dos tipos de problemas:

El módulo que trabajaremos, está orientado al abordaje de la estadística descriptiva.

Exitos,

COMITÉ DE AREA DE MATEMATICAS

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TABLA DE CONTENIDOUNIDAD I.................................................................................................................................. 5

INFORMACION Y DATOS ESTADISTICOS.............................................................................5

CLASIFICACION DE LOS DATOS ESTADISTICOS............................................................6

Datos Cualitativos..............................................................................................................6

Datos cuantitativos.............................................................................................................7

Datos cronológicos.............................................................................................................7

Datos geográficos..............................................................................................................8

FUENTES DE DATOS ESTADISTICOS...............................................................................9

METODOS PARA LA RECOLECCION DE DATOS............................................................10

Instrumentos para la recolección de datos:.........................................................................11

LA INFORMACIÓN..............................................................................................................12

ATRIBUTOS DE LA INFORMACION..................................................................................12

UNIDAD II............................................................................................................................... 22

PRESENTACION DE LA INFORMACION ESTADISTICA......................................................22

TABLAS ESTADISTICAS....................................................................................................23

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS...............................................................................................25

TIPOS DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS.............................................................................25

UNIDAD III.............................................................................................................................. 33

MEDIDAS DE LOCALIZACION Y POSICION.........................................................................33

CENTRO RECORRIDO.......................................................................................................34

Variable Discreta.....................................................................................................................35

CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES..........................................................................37

RANGO INTERCUARTÍLICO E INTERDECÍLICO:.............................................................42

UNIDAD IV..............................................................................................................................47

MEDIDAS DE DISPERSION...................................................................................................47

DISPERSION O VARIACION..............................................................................................48

MEDIDAS DE DISPERSION...............................................................................................49

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El Rango u Oscilación (R):...............................................................................................49

Desviación Media (Dm):...................................................................................................50

Desviación mediana (Dme):.............................................................................................52

DESVIACION TIPICA O ESTANDAR (S):.......................................................................54

La Varianza......................................................................................................................57

Coeficiente de Variación o dispersión (Cv):.....................................................................57

WEBGRAFIA...........................................................................................................................66

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UNIDAD I INFORMACION Y DATOS ESTADISTICOS.

PROPÓSITO

Reconocer los métodos de recolección de datos estadísticos, su organización y análisis de acuerdo a los criterios básicos de la estadística.

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ENUNCIACION

Antes de entrar a conocer el concepto de lo que es INFORMACION, debemos saber de que se conforma, los DATOS, según la ISO (Internacional Organization for Standarization -Organización Internacional de Normalización), un dato es la representación de hechos, conceptos o instrucciones, realizada de una manera organizada, apta para su comunicación, interpretación o proceso, por seres humanos o por medios automatizados.

Pero si hablamos más específicamente de los datos de tipo estadístico, podemos decir que son el producto de las observaciones efectuadas en las personas y objetos en los cuales se produce un fenómeno que queremos estudiar.

Los datos estadísticos se pueden encontrar de forma no ordenada, por lo que es muy difícil en general, obtener conclusiones de los datos presentados de esta manera. Para poder obtener una precisa y rápida información con propósitos de descripción o análisis, estos deben organizarse de una manera sistemática; es decir, se requiere que los datos sean clasificados.

Ejemplo: Si se quieren conocer las características de los estudiantes de la Universidad Nacional, que solicitan préstamo de libros a la biblioteca, la recolección de la información debe clasificar a cada estudiante sobre la base de: Carrera que estudia, edad, semestre de estudios, sexo, etc. Vemos pues que la clasificación marca la pauta de la clase de datos que debe ser obtenido.

CLASIFICACION DE LOS DATOS ESTADISTICOS.

Los datos estadísticos pueden ser clasificados en cualitativos, cuantitativos, cronológicos y geográficos.

Datos Cualitativos: Cuando los datos son cualitativos, la diferencia entre ellos es de clase y no de cantidad. Es decir si sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a un número. Además dan origen a los atributos. (No se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos).

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Los datos cualitativos se subdividen en datos nominales y ordinales:

a) Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar. Ejemplos: Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Raza.

b) Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar.

Ejemplos: Grado de satisfacción, Intensidad del dolor, calificación de un estudiante (En letras).

Datos cuantitativos: Cuando los valores de los datos representan diferentes magnitudes (Números), decimos que son datos cuantitativos.

Los datos cuantitativos también se subdividen en dos, datos discretos y datos continuos

a) Discretos: Si toma solamente valores enteros. Ejemplos: Numero de hijos, alumnos, numero de casas, televisores, días del mes etc.

b) Continuos: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios (se expresan con valores decimales).

Ejemplos: Estatura, nota numérica, peso, la temperatura.

El dato es continuo cuando teóricamente puede tomar cualquier valor entre dos valores dados (un intervalo), es decir, cuando admite valores fraccionarios, o decimales. En general las medidas dan origen a datos continuos, mientras que las enumeraciones y conteos originan datos discretos.

Datos cronológicos: Cuando los valores de los datos varían en diferentes instantes o períodos de tiempo, los datos son reconocidos como cronológicos.

Los datos cronológicos se subdividen en datos permanentes y en datos periódicos:

a. Permanentes: Son aquellos que se están tomando permanentemente y sin ningún tipo de interrupción en el tiempo.

Ejemplos: La tasa de cambio del dólar, los indicadores económicos.

b. Periódicos: Son aquellos que se toman en un momento dado y que luego son interrumpidos por cierto lapso de tiempo, para ser reanudados de nuevo.Ejemplos: La tasa de inflación, la información sobre una maquina industrial, las notas finales de cada periodo, los estudiantes que se matriculan semestralmente en una universidad

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Datos geográficos: Cuando los datos están referidos a una localidad geográfica se dicen que son datos geográficos.

Los datos geográficos se dividen en datos locales, nacionales e internacionales.

a. Locales: Son aquellos que se han tomado o se refieren a una región pequeña tal como un barrio, un municipio o un departamento.Ejemplos: Los impuestos predial e industria y comercio, la tasa de desempleo de la ciudad,

b. Nacionales: Son aquellos que se han tomado a lo largo del territorio de un determinado país. Ejemplos: Las exportaciones nacionales de café, el producto interno bruto (PIB), la copa mustang de fútbol.

c. Internacionales : Son aquellos que proporcionan información en la que interviene dos o más países.Ejemplos: El comercio exterior entre los países del grupo andino, el tratado la libre comercio entre EE.UU. y Colombia, el mundial de fútbol.

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FUENTES DE DATOS ESTADISTICOS.Los datos estadísticos necesarios para la comprensión de los hechos pueden obtenerse a través de fuentes primarias y fuentes secundarias.

Fuentes primarias: Son aquellos datos obtenidos ya sea por encuesta directa o mediante la utilización de cuestionarios, o como resultado de la observación directa; Se puede decir también que son datos publicados por quien recoge directamente de la fuente de información primaria. Son fuentes primarias: entrevistas, correo, llamadas telefónicas.

Fuentes secundarias: En estas, los datos se obtienen de publicaciones, hechos por personas o entidades con anterioridad, las cuales pueden ser reproducciones totales o parciales. Son valiosas para cualquier tipo de investigación. Son fuentes secundarias: bibliotecas, centros de documentación, folletos, revistas archivos, Internet. etc.

En la práctica, es aconsejable utilizar fuentes de datos primarias y en última instancia cuando estas no existan, utilizar datos de fuentes secundarias. Con este último tipo no debemos pasar por alto que la calidad de las conclusiones estadísticas depende en grado sumo de la exactitud de los datos que se reciben.

De nada serviría usar técnicas estadísticas precisas y refinadas para llegar a conclusiones valederas, si estas técnicas no son aplicadas a datos adecuados o confiables.

Ejemplo:

Si un investigador quiere conocer el número de alumnos repitientes en educación media, clasificados por ciclos, para los últimos diez años, el investigador puede usar una fuente primaria, tal como la memoria y si esta no fuera suficiente cuenta con una fuente secundaria como los archivos del Ministerio de Educación cada año.

SIMULACION1. Realiza en tu cuaderno una breve descripción de:

a. ¿Qué es un dato estadístico?

b. ¿Qué son datos cualitativos, cuantitativos, cronológicos y geográficos?

c. ¿Qué son fuentes de datos estadísticos y sus clases?

d. ¿Qué diferencia hay entre las fuentes de información primaria y secundaria?

2. Elabora un mentefacto conceptual, donde muestres de una forma completa la clasificación de los datos estadísticos.

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METODOS PARA LA RECOLECCION DE DATOS.

ENUNCIACION.

En estadística se emplea una variedad de métodos distintos para obtener información sobre lo que se desea investigar. Discutiremos aquí los métodos más importantes, incluyendo las ventajas y limitaciones de estos.

La entrevista personal : los datos estadísticos necesarios para una investigación, se reúnen frecuentemente mediante un proceso que consiste en enviar un entrevistador o agente, directamente a la persona investigada. El investigador efectuará a esta persona una serie de preguntas previamente escritas en un cuestionario o formulario, donde anotará las respuestas correspondientes. Este procedimiento que se conoce con el nombre de entrevista personal, permite obtener una información más veraz y completa que la que proporcionan otros métodos, debido a que al tener contacto directo con la persona entrevistada, el entrevistador podrá aclarar cualquier duda que se presente sobre el cuestionario o investigación.

Otra ventaja es la posibilidad que tienen los entrevistadores de adaptar el lenguaje de las preguntas al nivel intelectual de las personas entrevistadas.

Una de las desventajas de este método se debe a que si el entrevistador no obra de buena fe o no tiene un entrenamiento adecuado, puede alterar las respuestas por las personas entrevistadas.

Otra desventaja es su alto costo, ya que resulta bastante oneroso el entrenamiento de los agentes o entrenadores y los supervisores de estos, sobre todo si se trata de una investigación extensa.

Cuestionarios por correo: Consiste en enviar por correo el cuestionario acompañado por el instructivo necesario, dando en este no solo las instrucciones pertinentes para cada una de las preguntas, sino también una breve explicación del objeto de la encuesta con el fin de evitar interpretaciones erróneas.

Una de las ventajas es que tienen un costo muy inferior a la entrevista personal, puesto que no hay que incluir gastos de entrenamiento de personal, el único gasto sería el de franqueo postal.

Dentro de las desventajas de este procedimiento podemos señalar que solo un porcentaje bastante bajo de estos es devuelto, en algunos casos no estamos seguros de que los formularios hayan sido recibidos por sus destinatarios y que hayan sido respondido por ellos

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mismos. Lo que trae como consecuencia que la información se obtenga con una serie de errores difíciles de precisar por el investigador.

Entrevista por teléfono : como lo indica su nombre, este método consiste en telefonear a la persona a entrevistar y hacerle una serie de preguntas. Este método es bastante simple y económico, ya que el entrenamiento y supervisión de las personas encargadas de efectuar las preguntas es siempre fácil.

Entre las limitaciones que presenta este método podemos señalar el número de preguntas que pueden formularse es relativamente limitado; además las investigaciones efectuadas por este método tienen un carácter selectivo, debido a que muchas de las personas que potencialmente podrían ser investigadas no posee servicio telefónico, por lo que quedan sin la posibilidad de ser entrevistados.

Instrumentos para la recolección de datos : En cualquier tipo de investigación y aun más en la investigación estadística, el investigador para recolectar la información, debe elaborar un estudio de pregunta. Para tal fin se usan los cuestionarios como principal herramienta en la recolección de datos

Los cuestionarios en general, constan de las siguientes partes:

a. Encabezado: Esta conformado por el nombre del patrocinador de la encuesta, (oficial o privada), nombre de la encuesta, número del cuestionario, nombre del encuestador, lugar y fecha de la entrevista.

b. Datos generales del encuestado: Apellidos, nombres, cédula de identidad, nacionalidad, sexo, edad o fecha de nacimiento, estado civil, grado de instrucción, ocupación actual, ingresos, etc.

c. Cuerpo del cuestionario: Son las preguntas con los datos que nos interesa conocer para construir el propósito de la investigación.

Consideraciones que debemos tomar en cuenta: El cuestionario debe ser conciso; tratar en lo posible de que con el menor número de

preguntas, se obtenga la mejor información. Claridad de la redacción; evitar preguntas ambiguas o que sugieran respuestas

incorrectas, por lo que deben estar formuladas las preguntas de la forma más sencilla. Discreción: un cuestionario hecho a conciencia, no debe tener preguntas indiscretas o

curiosas, sobre datos personales que puedan ofender al entrevistado. Facilidad de contestación: se deben evitar, en lo posible, las preguntas de respuestas

libres o abiertas y también la formulación de preguntas que requieran cálculos numéricos por parte del entrevistado.

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Orden de las preguntas: estas deben tener una secuencia y un orden lógico, agruparlas procurando que se relacionen unas con otras.

LA INFORMACIÓNEs un conjunto de datos que se presentan en forma inteligible al receptor. Tienen un valor real para el usuario, al aportarle nuevo conocimiento. “Los datos se convierte en información cuando se les transforma para comunicar un significado o proporcionar conocimientos, ideas o conclusiones”

La información está conformada por datos que tienen significado, propósito y utilidad.

La información debe reunir ciertas características para que sea útil; debe reducir la incertidumbre y aportar nuevos conocimientos; de allí, que tenga que cumplir con las siguientes propiedades:

Exactitud: La información debe ser exacta o veraz para evitar que se generen dudas con respecto a ella o a lo que nos quiere decir.

Precisión: La información debe ser precisa con el fin de que satisfaga todas nuestras inquietudes y no nos genere mas preguntas de las que ya tenemos.

Origen: La información debe tener un origen que nos indique de donde proviene y si surgió de una fuente primaria o secundaria.

Temporalidad: La información debe presentarse enmarcada en una época histórica que permita al lector enfocarse en el tiempo en que suceden los hechos que le son presentados.

ATRIBUTOS DE LA INFORMACION Relevancia. La información es relevante si sirve al receptor en la solución de un

problema o le ayuda a tomar decisiones. Plenitud. Indica al usuario todo lo que necesita saber acerca de una situación en

particular. Actualidad. Tiempo transcurrido desde el momento preciso en que se produjo el

hecho que originó el dato y el momento en que la información queda disponible para que la pueda utilizar el usuario.

Oportunidad. Estar disponible en el momento en que se requiera. Significado. Ser comprensible e interesante para el usuario y debe contar con el

mayor contenido semántico posible, pero evitando grandes volúmenes de ella. Coherencia. Permitir resultados concordantes, tener consistencia y ajustarse a la

realidad. Seguridad. Estar protegida, es decir, no sufrir deterioro alguno por causas físicas o

lógicas del programa.

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EJERCITACION1. Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál de los métodos de recolección de datos expuestos, te parece el más adecuado y porqué?

b. Explica una ventaja y una desventaja de cada uno de los métodos utilizados para la recolección de datos.

c. ¿Cuál es la principal herramienta utilizada para la recolección de datos?d. ¿Qué entiendes como concepto de información?e. Explica dos propiedades y dos atributos de la información que te parezcan los más

importantes, justifica tu respuesta.

DEMOSTRACIONTeniendo en cuenta las características de algunos métodos de recolección de información tales como la encuesta y la entrevista, y atendiendo al modelo planteado en el siguiente ejemplo, diseña una encuesta y una entrevista, teniendo como población objetivo, los docentes y personal Administrativo de la institución. Ten en cuenta que esto es solo una sugerencia, puede ocurrir, que tú propongas una mejor idea. ANIMO¡ Esta tarea, constituirá la nota del bimestral del primer periodo.

MODELACIONCOMO HACER UNA ENCUESTA:

La encuesta es una herramienta, técnica o instrumento de investigación, que consiste en una interrogación que se le realiza a un grupo determinado de personas, con el fin de obtener información necesaria para realizar una investigación.

Para la interrogación a las personas, la encuesta suele hacer uso del cuestionario, el cual consiste en una lista de preguntas, las cuales se les hacen a las personas a encuestar con el fin de obtener la información requerida.Para entender mejor el concepto de encuesta, veamos a continuación los pasos necesarios para elaborar una:

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1. Determinar los objetivos de la encuestaEn primer lugar debemos determinar los objetivos de nuestra encuesta, es decir, las razones por las cuales vamos a hacer la encuesta; por ejemplo, podríamos realizar una encuesta para:

hallar la solución o la causa de un problema. hallar una oportunidad de negocio. evaluar la factibilidad de la creación de un nuevo negocio. evaluar la viabilizad de lanzar un nuevo producto al mercado. conocer las preferencias y gustos de los consumidores.

2. Determinar la información requeridaUna vez que hemos determinado los objetivos de nuestra encuesta, debemos determinar cuál será la información que vamos a recabar, la cual nos permita cumplir con dichos objetivos.Por ejemplo, si nuestro objetivo es evaluar la factibilidad del lanzamiento de un nuevo producto, la información que podríamos recabar podría ser la referente a los gustos o preferencias del consumidor respecto al tipo de producto, o la referente a la posible aceptación del nuevo producto.

3. Diseño del cuestionarioEl diseño del cuestionario consiste en formular las preguntas adecuadas, las cuales nos permitan obtener la información requerida.Por ejemplo, si deseamos recolectar información sobre los gustos o preferencias de los consumidores con respecto a un determinado producto (por ejemplo, una prenda de jean), una de las preguntas del cuestionario podría ser:

¿Cuál de los siguientes acabados prefiere en un jean?

bordados cierres en los bolsillos piedras de colores estampados otros

O, si la información que necesitamos obtener trata sobre la posible aceptación de un nuevo producto (por ejemplo, una marca de jean), una de las preguntas podría ser:¿Estaría dispuesto a probar una nueva marca de jeans?

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sí no no sabe / no opina

Lo usual en un cuestionario es que éste nos permita obtener diferentes tipos de información, por lo que éste suele incluir diferentes tipos de preguntas, por ejemplo, si nuestro objetivo de encuesta es conocer nuestro público objetivo, nuestro cuestionario podría incluir preguntas que nos ayuden a conocer sus gustos o preferencias, sus hábitos de consumo, sus gastos promedio, etc.

Algo que resaltar es que al momento de diseñar las preguntas del cuestionario, éstas pueden ser cerradas o abiertas.

Las preguntas cerradas son preguntas en donde los encuestados sólo pueden escoger determinadas alternativas, por ejemplo:

¿Qué color prefiere?

rojo blanco azul

¿Le gusta el color rojo?

sí no no lo sé

Mientras que las preguntas abiertas permiten que el encuestado conteste las preguntas con sus propias palabras, por ejemplo:¿Cuál es su color favorito?

____________

¿Por qué prefiere el color elegido?

____________

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Las preguntas cerradas tienen la ventaja de ser rápidas de contabilizar y codificar, y más fáciles de analizar, mientras que las preguntas abiertas toman un mayor tiempo en contabilizarse y codificarse, y son más difíciles de analizar, pero tienen la ventaja de permitirnos obtener conclusiones importantes que no podríamos obtener al utilizar sólo las preguntas cerradas; por lo que una alternativa podría ser la combinación de ambos tipos de preguntas.

4. Determinar la población a estudiarEl siguiente paso para hacer una encuesta, consiste en determinar quiénes serán las personas a las cuales vamos a encuestar, es decir, las personas de las cuales vamos a obtener la información requerida.Por ejemplo, podríamos necesitar recabar información de nuestro público objetivo, de nuestros clientes, de los consumidores en general, de nuestros trabajadores, etc.

5. Determinar el número de encuestasEn este paso determinamos el número de encuestas que vamos a realizar o, en otras palabras, el número de personas que vamos a encuestar.Para ello, lo usual es hacer uso de la fórmula de la muestra, la cual nos permite obtener un número representativo del grupo de personas que queremos estudiar.

En resumen, la fórmula de la muestra es la siguiente:

n = (Z²pqN) / (Ne² + Z²pq)

Donde:

n: muestra: es el número representativo del grupo de personas que queremos estudiar (población) y, por tanto, el número de encuetas que debemos realizar, o el número de personas que debemos encuestar.N: población: es el grupo de personas que vamos a estudiar, las cuales podrían estar conformadas, por ejemplo, por nuestro público objetivo.z: nivel de confianza: mide la confiabilidad de los resultados. Lo usual es utilizar un nivel de confianza de 95% (1.96) o de 90% (1.65). Mientras mayor sea el nivel de confianza, mayor confiabilidad tendrán los resultados, pero, por otro lado, mayor será el número de la muestra, es decir, mayores encuestas tendremos que realizar.

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e: grado de error: mide el porcentaje de error que puede haber en los resultados. Lo usual es utilizar un grado de error de 5% o de 10%. Mientras menor margen de error, mayor validez tendrán los resultados, pero, por otro lado, mayor será el número de la muestra, es decir, mayores encuestas tendremos que realizar.p: probabilidad de ocurrencia: probabilidad de que ocurra el evento. Lo usual es utilizar una probabilidad de ocurrencia del 50%.q: probabilidad de no ocurrencia: probabilidad de que no ocurra el evento. Lo usual es utilizar una probabilidad de no ocurrencia del 50%. La suma de “p” más “q” siempre debe dar 100%.

MODELACION

El modelo de la encuesta es el siguiente:

Buenos días/tardes, estamos realizando una encuesta para evaluar el lanzamiento de una nueva marca de jeans para damas. Le agradeceremos brindarnos un minuto de su tiempo y responder las siguientes preguntas:

1. ¿Usa usted la prenda del jean?

Si No

2. ¿Qué marcas de jeans usa o prefiere?

Fiorucci Sibilla Pioner Milk Tayssir Otras No tengo marca preferida

3. Al momento de comprar una prenda de jean, qué es lo primero que toma en cuenta?

La marca La calidad de la tela El modelo Los acabados El precio Lo bien que le pueda quedar Otros

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4. ¿Qué modelos de jeans prefiere?

Clásicos Pitillos Acampanados Capri De pretina ancha El que esté de moda Otros

5. ¿Cuáles de estos adornos prefiere en la confección de un jean?

Doble bolsillo Dobleces en piernas Bolsillos en piernas Bolsillos delanteros con cierre Bolsillos traseros con cierre Sin muchos adornos Otros

6. ¿Cuáles de estos tipos de aplicaciones prefiere en un jean?

Bordados en bolsillos delanteros Bordados en bolsillos traseros Greviches (piedras de colores) en bolsillos delanteros Greviches en bolsillos traseros Tachas en bolsillos traseros Tachas en bolsillos delanteros Sin muchas aplicaciones Otros

7. ¿A cuál de estos lugares suele acudir para comprar sus jeans?

Centros comerciales Tiendas por departamento Bazares o galerías Supermercados Mercados mayoristas Otros

8. ¿Con qué frecuencia compra usted la prenda del jean?

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Semanal Quincenal Mensual Cada 3 meses Cada 6 meses Mayor a un año Otros

9. ¿Cuánto suele gastar en promedio al comprar un jean?

Menos de $100.000 Entre $100.000 y $200.000 Entre $200.000 y US$300.000 Entre US$300.000 y $400.000 Entre US$400.000 y $500.000 Más de $500.000

10. ¿Estaría dispuesta a probar una nueva marca de jeans?

Sí No No sabe / no opina

6. Trabajo de campoUna vez diseñados nuestros cuestionarios, pasamos al trabajo de campo, es decir, pasamos a hacer efectiva la encuesta.Para ello debemos determinar previamente quiénes serán los encargados de realizar las encuestas, los lugares en dónde se realizarán (teniendo en cuenta las personas a encuestar), y el momento en que se realizarán.

7. Conteo y codificación de resultadosUna vez que hemos realizado nuestras encuestas, pasamos a contabilizar y codificar los resultados, por ejemplo, si para la pregunta “¿cuál es tu color favorito?”, se obtuvieran los siguientes resultados:

rojo 90 votos

blanco 70 votos

azul 100 votos

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La suma de los votos que es de 260 correspondería al 100%, por lo que en términos de porcentaje, se obtendrían los siguientes resultados:

Rojo 35%

Blanco 27%

Azul 38%

8. Análisis y conclusionesUna vez contabilizado y codificado los resultados, pasamos a analizarlos y a sacar nuestras conclusiones.

Cada resultado de cada pregunta del cuestionario, nos debería permitir obtener una conclusión, pero, a la vez, el conjunto de los resultados de todas las preguntas, nos podría permitir obtener conclusiones generales, por ejemplo, el conjunto de los resultados de todas las preguntas de una encuesta, nos podrían ayudar a determinar si el lanzamiento de un nuevo producto es factible o no.

Un ejemplo del análisis del resultado de una pregunta es el siguiente:

Si ante la pregunta “¿qué es lo que más toma en cuenta al momento de comprar un jean?”, se obtuvieran los siguientes resultados:

la tela 40%

la marca  10%

el modelo 50%

Como conclusión, podríamos afirmar que “el consumidor que conforma nuestro público objetivo, al momento de adquirir una prenda de jean, se fija más en la tela y el modelo, antes que en la marca, lo que nos brinda cierta factibilidad al hecho de lanzar una nueva marca de jeans al mercado”.

9. Toma de decisionesY, finalmente, el último paso para hacer una encuesta, consiste en tomar decisiones de acuerdo a las conclusiones obtenidas.

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Por ejemplo, si hemos llegado a la conclusión que para lanzar un nuevo producto al mercado, no importa tanto el precio, sino más bien el diseño, pasamos a tomar la decisión de aumentar un poco el precio del producto, y prestar una mayor atención al diseño del producto.Si, por ejemplo, hemos llegado a la conclusión de que se están presentando nuevas necesidades, preferencias y gustos en los consumidores, pasamos a tomar la decisión de rediseñar nuestro producto de tal modo que se encargue de satisfacer dichas necesidades, preferencias y gustos.

Como paso posterior a la recolección y análisis de la información, está la etapa de PRESENTACION DE LA INFORMACIÓN, que como sabemos de grados anteriores, se hace mediante tablas y gráficas.

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UNIDAD IIPRESENTACION DE LA INFORMACION ESTADISTICA

PROPOSITO

Diversificar el uso de las gráficas estadísticas, aplicándolas en la representación de la información recolectada y organizada.

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Cuando en una investigación estadística, ya se han obtenido los datos que inicialmente estábamos buscando, el paso a seguir es como los vamos a presentar a quienes estén interesados en ellos.Las formas más prácticas de presentar información de tipo estadístico son las tablas y las gráficas. Cuando se han recolectado datos de una población ó muestra, y antes de abordar análisis estadísticos más complejos, un primer paso consiste en presentar esa información de forma que ésta se pueda visualizar de una manera más sistemática y resumida. La información numérica puede ser analizada de diferentes formas. Una de las más útiles y conocidas es la realización de gráficos a partir de los datos. Aquí veremos los tipos de gráfico más comúnmente utilizados, que como veremos, dependerá del tipo de variables que estemos usando.Las tablas son medios efectivos de sistematizar, sintetizar y presentar la información, a través de una tabla de frecuencias (Generalmente) es posible entender más fácilmente la información que nos proporcionan.

TABLAS ESTADISTICAS

Los cuadros o tablas corresponden a arreglos sistemáticos de los datos por filas o columnas. Los cuadros son un buen complemento del texto en los informes.Clases de tablasLos cuadros estadísticos pueden ser:1. De simple entrada: son aquellos que solo manejan una variable o atributo

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2. De doble entrada: Son aquellos que representan en un solo grafico dos

variables o dos atributos o una da

cada uno.

a) Variable:

Salarios

$

Número de hijos TOTAL

0 1 2 3 4 o más

Menos de 230.000 5 3 - - - 8230.001 – 350.000 3 7 10 - - 20350.001 – 480.000 2 10 12 6 3 33480.001 – 600.001 - 5 5 4 5 19600.001 – 750.000 - 3 7 2 1 13750.001 – y más - 6 3 - - 9

TOTAL 10 34 37 12 9 102

b) Atributo:PROFESION Sexo TOTAL

Masculino Femenino

Abogado 37 21 58Arquitecto 7 12 19

Administrador 10 8 18Contador 18 21 39

Economista 5 25 30Medico 19 3 22

Ingeniero 23 14 37Veterinario 9 18 27

TOTAL 128 122 250

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Edad (Años)

Frecuencia

16.1 – 20 620.1 – 24 1424.1 – 28 2528.1 – 32 932.1 - 36 636.1 - 40 3

Profesión Frecuencia

Abogado 12Arquitecto 15

Administrador 20Contador 36

Economista 18Medico 25

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c) Variable y atributo:Salarios

$Ocupación TOTAL

Celador Portero Secretaria Auxiliar Técnico

Menos de 230.000

8 9 14 9 - 40

230.001 – 350.000

5 12 16 5 - 38

350.001 – 480.000

3 7 12 3 10 35

480.001 – 600.001

1 4 9 - 7 21

600.001 – 750.000

- - 5 1 3 9

750.001 – y más

- - - - 2 2

TOTAL 17 32 56 18 22 145

GRÁFICOS ESTADÍSTICOSEn estadística denominamos gráficos a aquellas imágenes que, combinando la utilización de sombreado, colores, puntos, líneas, símbolos, números, texto y un sistema de referencia (coordenadas), permiten presentar información cuantitativa. Los gráficos son medios popularizados y a menudo los más convenientes para presentar datos, complementando la información de las tablas y se emplean para tener una representación visual de la totalidad de la  información. Los gráficos estadísticos presentan los datos en forma de dibujo de tal modo que se pueda percibir fácilmente los hechos esenciales y compararlos con otros. La utilidad de los gráficos es doble, ya que pueden servir no sólo como sustituto a las tablas, sino que también constituyen por sí mismos una poderosa herramienta para el análisis de los datos, siendo en ocasiones el medio más efectivo no sólo para describir y resumir la información, sino también para analizarla.

TIPOS DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOSGráficos de barras verticalesRepresentan valores usando trazos verticales, aislados o no unos de otros, según la variable a graficar sea discreta o continua. Pueden usarse para representar:

A) UNA SERIE B) DOS O MÁS SERIES

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Ener

oFe

brer

oM

arzo

Abril

May

oJu

nio

Julio

Agos

toSe

ptie

mbr

eO

ctub

reN

ovie

mbr

eD

icie

mbr

e

0

20

40

60

80

100

120

Ventas de equipos industriales

Enero

Febre

roMarz

oAbri

lMay

oJu

nio Julio

Agosto

Septie

mbre

Octubre

Noviem

bre

Diciem

bre

0

20

40

60

80

100

120Ventas y alquiler de equipos

Ventas

En el primer gráfico vemos una serie correspondiente a las ventas de equipos industriales podemos deducir que en los meses de marzo y septiembre fueron los meses en que más y menos ventas se reportaron respectivamente.En el segundo gráfico aparecen dos series (ventas y alquiler) que se comparan a través de los meses, siendo septiembre el mes con mayor cantidad de alquileres y junio con la menor cantidad. También podemos ver que las ventas superan ampliamente la cantidad de alquileres.

Gráficos de barras horizontalesRepresentan valores discretos a base de trazos horizontales, aislados unos de otros. Se utilizan cuando los textos correspondientes a cada categoría son muy extensos. Podemos ver que en las zonas 2,3 y 5 hay más trabajadores en el sector oficial, mientras que en las zonas 1 y 4 hay más trabajadores en el sector privado. También podemos ver que en la zona 5 es donde más se acerca la cantidad de trabajadores de los dos sectores, y que en la zona 3, es donde hay la mayor cantidad de trabajadores del sector oficial mientras que es en la zona 4

Estadística 826

Zona 1

Zona 2

Zona 3

Zona 4

Zona 5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Nº de personas trabajadoras

Sector Privado Sector Oficial

PGF03-R03

donde hay más trabajadores del sector privado.

Gráficos de barras proporcionales   Se usan cuando lo que se busca es resaltar la representación de los porcentajes de los datos  que componen un total.

Podemos observar que en el año 1 la proporción de mujeres es mayor a la de varones, del intervalo 2 en adelante son los varones quienes están en mayor proporción. Si queremos saber el porcentaje exacto de cada uno, debemos dividir la frecuencia de cada dato y multiplicarlo por 100%.Ejemplo: En el año 1:

Mujeres = 56/107 = 0.5233 x 100% = 52.33% Varones = 51/ 107 = 0.4766 x 100% = 47.66%

Si sumamos los dos porcentajes tendremos: 52.33% + 47.66% = 99.99%, aprox. 100%

Gráficos de líneas   En este tipo de gráfico se representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. Se pueden usar para representar:

A) UNA SERIE B) DOS SERIES

Estadística 827

PGF03-R03

Año

1999

Año

2000

Año

2001

Año

2002

Año

2003

Año

2004

Año

2005

Año

2006

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Alumnos graduados de un instituto

Alumnos

Año19

99

Año20

00

Año20

01

Año20

02

Año20

03

Año20

04

Año20

05

Año20

06

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Alumnos graduados de un instituto

Hombres

Mujeres

En la grafica de la izquierda podemos visualizar los alumnos graduados del instituto en los últimos 8 años, sin discriminar ninguna de sus características, observando que en el año 2004 fue el año en que mas alumnos se graduaron (85), y en el año 2002 se observo la menor cantidad de alumnos graduados (50).En la grafica de la derecha podemos ver los alumnos graduados en el instituto, pero ahora están discriminados por sexo. Podemos ver que en 4 de los 8 años observados (1999, 2000, 2001, 2006), hay mayor cantidad de hombres que de mujeres y solo en 3 años (2003, 2004, 2005) hay mas mujeres que hombres. Y en el año 2002 hay igual cantidad de mujeres y hombres.

Gráficos circularesEstos gráficos nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se desee destacar.Pueden ser representados en

a) En dos dimensiones

Estadística 828

PGF03-R03

Sexto20%Septimo

24%

Octavo16% Noveno

17% Decimo14%

Once11%

Alumnos por grado Col. El Saber

Sexto Septimo

Octavo Noveno

Decimo Once

b) En tres dimensiones

34%

27%20%

3%16%

Votacion de los candidatos a representante

Carlos

Juan

Pedro

Santiago

Alberto

Gráficos de Áreas.

En estos tipos de gráficos se busca mostrar la tendencia de la información generalmente en un período de tiempo. Pueden representar:

a) Una serie: b) Dos series

Estadística 829

PGF03-R03

A2001 A2002 A2003 A2004 A2005 A20060

50

100

150

200

250

300

Niños Vac-unados

Niños Vac-unados

Niños Vac-unados

Niños Vac-unados

Niños Vac-unados

Niños Vac-unados

Niños Vacunados contra el sarampión

Niños VacunadosA2001 A2002 A2003 A2004 A2005 A2006

0

50

100

150

200

250

300

350

NiñosNiños Niños Niños Niños

Niños

Niñas

NiñasNiñas

NiñasNiñas

Niñas

Niños vacunados contra el sarampion

Niños Niñas

En la primera grafica, observamos el total de niños vacunados contra el sarampión, y vemos que fue en el año 2001 cuando se presentó la mayor cantidad de niños vacunados, mientras que en el 2004, se presentó la menor cantidad.En la segunda grafica observamos la misma cantidad total de niños vacunados, pero allí se puede observar claramente la cantidad de niños y niñas vacunados.En los niños podemos ver una línea muy pareja o estable en cuanto a la cantidad de niños, tal vez el año que cambia la tendencia es el año 2005.En la curva de la cantidad de niñas vemos mas inestabilidad, ya que sube y baja con mucha claridad, y es en el año 2001 en que se presenta la mayor cantidad de niñas vacunadas y en el 2004 la menor cantidad. Como conclusión podemos decir que la tendencia de niños vacunados contra el sarampión está marcada por la cantidad de niñas, quienes son las que marcan la diferencia en la gráfica.

Estadística 830

PGF03-R03

CartogramasEstos tipos de gráficos se utilizan para mostrar datos sobre una base geográfica. La densidad de datos se puede marcar por barras, sombreado, rayado o color.

La grafica nos muestra las exportaciones de algunas regiones del mundo, vemos por ejemplo que Norteamérica es la región del mundo que más exportaciones industriales y de servicios maneja, mientras que Australia es la región del mundo con la menor cantidad de exportaciones en los tres sectores económicos, la región andina tiene una buena cantidad de exportaciones agrícolas, pero muy pocas de nivel industrial. La región norteafricana muestra un muy buen balance entre los tres sectores

económicos, Europa central maneja una buena cantidad de exportaciones de servicios e industriales, pero una baja cantidad a nivel agrícola. Asia por su parte tiene unas buenas exportaciones industriales, pero el sector servicios no es su fuerte, mientras que la región de la India, tiene un nivel equitativo entre los tres sectores, pero las cantidades no son muy buenas.

DispersogramaSon gráficos que se construyen sobre dos ejes ortogonales de coordenadas, llamados  cartesianos, cada punto corresponde a un par de valores de  datos X y de Y de un mismo elemento ó suceso.

El dispersograma nos muestra el comportamiento de las ventas de automóviles durante los últimos 15 meses, podemos ver que ha sido una tendencia muy irregular ya que no se mantiene un tendencia establea subir o a bajar, hay punto aislados como los de los mese 5, 7 y 14 que no se ubican dentro del rango de los demás, vemos también que la mayoría de los puntos se ubica entre el rango de los 10 a los 20 millones, lo anterior nos da una idea preliminar de que el promedio de ventas en los últimos 15 meses puede estar entre los 12 y 16 millones mensuales.

EJERCITACION

Estadística 831

Exportaciones

Exportaciones de

Exportaciones

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

5

10

15

20

25

30

Ventas en millones de automoviles en los ultimos 15 meses

Vent

as

PGF03-R03

Toda la información recolectada, deberá ser presentada en tablas y gráficas.

Estadística 832

PGF03-R03

UNIDAD IIIMEDIDAS DE LOCALIZACION Y POSICION

PROPOSITO

Calcular medidas de posición no central para conocer otros puntos característicos de las distribuciones, diferentes a los valores centrales. Realizando énfasis en los cuantiles, como valor no central más importante, entendiendo que son aquellos valores de la variable, que ordenados de menor a mayor, dividen a la distribución en partes, de tal manera que cada una de ellas contiene el mismo número de frecuencias.

Estadística 833

PGF03-R03

CENTRO RECORRIDO.

Es una medida de localización y se define como la medida aritmética de los valores extremos de la variable. En una distribución cualquiera se toman los valores extremos, se suman y se dividen por dos.

Ejemplo:

1. Supongamos que se tiene la siguiente información en datos no agrupados.

X 1=6 X 2=18 X 3=8 X 4=8 X 5=10 X 6=3 X 7=6

El centro recorrido se calcula promediando sus valores extremos siendo

XMIN=3 y XMAX=18 .

C R=X MAX+X MIN

2 =

18+32

=212

=10.5

Estadística 834

PGF03-R03

Variable Discreta

2. En datos agrupados tanto con variables discretas, como en la variable continua, también se promedian los valores extremos que tome la variable. Veamos:

Yi ni 3 25 56 129 815 3

TOTAL 30

Variable Continua: Cuando las tablas están agrupadas por intervalos el Cr se calcula así:

Y i−1

,

−Y i

,

n i

5,1 – 15 815,1 - 25 16

25,1 - 35 2235,1 - 45 1445,1 - 55 10

70

C r=Y 0

,

+Y 5

,

2 C r=

5 .1+552 =30. 5

Estadística 835

C r=Ym+Y 1

2 C r=3+15

2 =9

PGF03-R03

EJERCITACION1. señalar Xmin, Xmax; Y’1, Y’m; Y1 y Ym

2. Hallar el Cr de las siguientes colecciones de datos y tablas de frecuencias:

a) b) c)

Y’j-1 Y’j Nj

0.5 - 8.4 12

8.5 - 16.4 20

16.5 - 24.4 15

24.5 - 32.4 47

32.5 - 40.4 20

40.5 - 48.4 50

Yj Nj

0.28 8

0.32 2

0.36 3

0.37 4

0.38 7

0.43 9

0.47 6

0.53 4

Yj nj

6 7

7 3

8 7

10 6

13 2

14 1

16 8

18 5

19 4

d)

X1=62 X6=79 X11=53 X16=88

X21=54 X26=65 X31=66

X36=72 X41=81

X46=55

X2=61 X7=84 X12=72 X17=56

X22=51 X27=82 X32=69

X37=82 X42=56

X47=64

X3=73 X8=52 X13=65 X18=80

X23=91 X28=76 X33=59

X38=64 X43=92

X48=58

X4=86 X9=68 X14=70 X19=6 X24=55 X29=71 X34=6 X39=75 X44=8 X49=91

Estadística 836

PGF03-R03

9 0 6

X5=67 X10=85

X15=63 X20=62

X25=58 X30=73 X35=86

X40=90 X45=76

X50=89

e)

X1=15 X2=23 X3=38 X4=16 X5=30 X6=41 X7=25 X8=38 X9=17 X10=18

X11=33

X12=16

X13=14

X14=34

X15=11

X16=24

X17=30

X18=19

X19=22

X20=26

X21=40

X22=37

X23=18

X24=42

X25=21

X26=27

X27=16

X28=12

X29=31

X30=15

Las medidas de posición son aquellas que permiten encontrar el valor de un dato específico dentro de un conjunto o serie de datos, para ello utiliza unos parámetros denominados Cuartiles, Deciles y Percentiles

CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

ENUNCIACION-MODELACION.

Cuando una distribución contiene un gran número de datos o de intervalos las medidas de tendencia central (Media, moda y mediana) se hacen insuficientes para dar una información exacta y concisa sobre los datos, es allí cuando se hace necesario tomar otro tipo de medidas que tomen los datos de manera sectorial o parcial con ese fin se utiliza las medidas de posición.

a. Los Cuartiles: Son las medidas de posición, que dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales.

Estadística 837

PGF03-R03

Se representan por Q1 ,Q2 ,Q3 y se llaman primero, segundo y tercer cuartil respectivamente.

Si tenemos un conjunto de datos y lo representamos gráficamente:

Porcentaje 25% 50% 75%

Valor 0.25 0.50 0.75

La Mediana divide la colección en dos partes iguales, por consiguiente coincide con el cuartil

Q2 .

Para calcular el valor de los cuartiles se emplean las siguientes fórmulas:

Q1 = 0.25 x n

Q2 = 0.50 x n

Q3 = 0.75 x n

Donde n es el número de observaciones ó de datos que se están estudiando.

Ejemplo Cuartiles: la siguiente tabla muestra la información correspondiente al número de personas que viven por casa en 54 viviendas del barrio La Pradera:

Tabla de distribución de frecuencias del número de habitantes por vivienda en 54 casas del barro La Pradera.

No de Personas (Yj)

F. Absoluta (nj)

F. Acumulada (Nj)

2 6 63 7 13

4 = Q1 9 225 = Q2 10 32

Estadística 838

PGF03-R03

6 8 407 = Q3 9 49

8 5 54

Hallar: Q1, Q2, y Q3, e interpretar cada dato

Solución: Para hallar Q1, reemplazando la formula:

Q1 = 0.25 x 54 Q1= 0.25 X 54 = 13.5 (Posición).

Nj – 1(Ant) = 13 Nj(Sig) = 22 Yj = 4 (Valor)

Luego vamos a la tabla y en la frecuencia acumulada buscamos esa posición 13.5.

Como el valor mas cercano es 13, decimos que 13.5 esta entre 13 y 22, esos dos valores reciben el nombre de Nj – 1 y Nj respectivamente, luego buscamos a Yj que es el valor real de Q1 y lo encontramos en el mismo renglón donde esta Nj.

Interpretación: Como Q1 equivale al 25% de los datos, decimos: El 25% de las viviendas del Barrio la Pradera tienen entre 2 y 4 habitantes.

Q2 = 0.50 x 54 Q2 = 0.50 x 54 = 27 (Posición).

Nj – 1(Ant) = 22 Nj(Sig) = 32 Yj = 5 (Valor).

Interpretación: Como Q2 equivale al 50% de los datos decimos: El 50% de las viviendas del Barrio la Pradera tienen entre 2 y 5 habitantes.

Q3 = 0.75 x 54 Q3= 0.75 x 54 = 40.5 (Posición)

Nj – 1(Ant) = 40 Nj(Sig) = 49 Yj = 7 (Valor)

Interpretación: Como Q3 equivale al 75% de los datos decimos: El 75% de las viviendas del Barrio la Pradera tienen entre 2 y 7 habitantes.

Estadística 839

PGF03-R03

b. Los Deciles: Son las medidas de posición, que dividen el conjunto de datos en diez partes iguales.

Se representan por D1 ,D2 , . .. .. ,D9 . .

El quinto decil (D5) coincide con Q2 y también con la mediana

Para calcular el valor de los cuartiles se emplean las siguientes fórmulas:

D1 = 0.1 x n

D2 = 0.2 x n

D3 = 0.3 x n

Y así sucesivamente hasta llegar a D9

c. Los Percentiles: Son las medidas de posición, que dividen el conjunto de datos en cien

partes iguales. Se representan por P1 ,P2 , .. . .. ,P 99 .

Estadística 840

PGF03-R03

El quincuagésimo percentil coincide con la mediana y con Q2, de la misma forma P25 y P75 son iguales a Q1 y Q3 respectivamente.

La fórmula para el cálculo de los percentiles, la fórmula es la siguiente:

P1 = 0.01 x n

P2 = 0.02 x n

P3 = 0.03 x n

Se llega hasta P9 = 0.09, a partir de P10 se toma como 0.10, 0.11, 0.12,…hasta llegar a 0.99.

Ejemplo deciles y percentiles: La siguiente tabla muestra la edad de los alumnos de 6º a 11º de un colegio en una ciudad.

Tabla de distribución de frecuencias, de las edades de los estudiantes de un colegio.Edad (Yj) F. Absoluta

(nj)F.

Acumulada(Nj)10 45 45

11 = D2 36 8112 42 12313 50 173

14 = P44 69 24215 =D7 49 291

16 62 35317 = P96 33 386

18 11 397

Hallar D2, D7, P44, P96, e interpretar cada dato.

D2 = 0.2 x 397 D2 = 0.2 X 397 = 79.4 (Posición).

Nj – 1(Ant) = 45 Nj (Sig) = 81 Yj = 11 (Valor)

Interpretación: Como D2 equivale al 20% de los datos, decimos: El 20% de las edades de los alumnos está entre 10 y 11 años

Estadística 841

PGF03-R03

D7 = 0.7 x 397 D7 = 0.7 X 397 = 277.9 (Posición).

Nj – 1(Ant) = 242 Nj (Sig) = 291 Yj = 15 (Valor)

Interpretación: Como D7 equivale al 70% de los datos, decimos: El 70% de las edades de los alumnos está entre 10 y 15 años

P44 = 0.44 x 397 P44 = 0.44 X 397 = 174.68 (Posición).

Nj – 1(Ant) = 173 Nj (Sig) = 242 Yj = 14 (Valor)

Interpretación: Como P44 equivale al 44% de los datos, decimos: El 44% de las edades de los alumnos está entre 10 y 14 años

P96 = 0.96 x 397 P96 = 0.96 X397 = 381.12 (Posición).

Nj – 1(Ant) = 353 Nj (Sig) = 386 Yj = 17 (Valor)

Interpretación: Como P96 equivale al 96% de los datos, decimos: El 96% de las edades de los alumnos está entre 10 y 17 años

RANGO INTERCUARTÍLICO E INTERDECÍLICO:

El Rango Intercuartílico y el Rango interdecílico, corresponden a medidas de dispersión.

El Rango es la diferencia entre los valores mayor y menor de la distribución. Indica pues la longitud del tramo en el que se hallan los datos.

El Rango Intercuartílico RQ es la diferencia Q3−Q1 . Entre el valor del cuartil superior Q3 y

el valor del cuartil inferior Q1 .

Estadística 842

PGF03-R03

El par de parámetros formados por la mediana (Me) y el recorrido intercuartílico Q3−Q1 , proporciona una buena información sobre la forma de la información.

El Rango Interdecílico RI es la diferencia enrte D9 y D1. Entre el valor del decil superior

D9 y el valor del cuartil inferior D1

Ejemplo:

De acuerdo a la siguiente serie de datos

RQ = 75 – 25 = 50

RI = 90 – 10 = 80

EJERCITACION1. Una multinacional arrojó la siguiente información acerca de los salarios de los 1350 empleados que tiene su sede en Colombia, expresados en el número de salarios mínimos que devengan.

Salario (Yj) F. Absoluta (nj)

F. Acumulada (Nj)

1.00 288 288

Estadística 843

PGF03-R03

1.25 2101.50 1791.75 1562.00 1002.25 882.50 692.75 55 11453.00 483.25 473.50 443.75 394.00 27

a) Darle nombre a la tabla.

b) Hallar: Q1, Q2, Q3, D4, D6, D8, D9, P33, P86, P97.

c) Interpretar cada dato teniendo en cuenta que el salario mínimo en el 2006 se encontraba en $408.000.

d) Calcule el rango intercuartilico e interdecílico.

2. La siguiente información corresponde al peso en Kilogramos de 245 terneros que nacieron durante el año 2006 en la Hacienda El Recreo.

Peso (Yj)

F. Absoluta (nj)

F. Acumulada(Nj)

5.750 20 206.000 366.250 186.500 566.750 11 1417.000 257.250 367.500 167.750 27

a) Darle nombre a la tabla.

Estadística 844

PGF03-R03

b) Hallar: Q1, Q2, Q3, D1, D2, D9, P9, P41, P72, P94.

c) Interpretar cada dato.

d) Calcule el rango intercuartilico e interdecílico.

3. Completa el siguiente mentefacto conceptual y diagrama de Venn – Euler.

DEMOSTRACION

Determinar del primer cuartil al tercero, del quinto decil al octavo y el percentil 30:

1. Los siguientes datos se refieren al diámetro en pulgadas de un engrane.

 6.75 7.00 7.00 6.75 6.50 6.50 7.15 7.006.50 6.50 6.50 6.25 6.25 6.50 6.65 7.007.25 6.70 6.00 6.75 6.00 6.75 6.75 7.107.00 6.70 6.50 6.75 6.25 6.65 6.75 7.107.25 6.75 6.25 6.25 7.00 6.75 7.00 7.15

  Agrupe datos, considere k=6.

Salarios

(I. De Clases)

No. De

Empleados (fi)

Fa

200-299 85 85

300-299 90 175

400-499 120 295

500-599 70 365

Estadística 845

PGF03-R03

600-699 62 427

700-800 36 463

MENTEFACTO CONCEPTUAL

Estadística 846

PGF03-R03

UNIDAD IVMEDIDAS DE DISPERSION

PROPOSITO:

Determinar las medidas de variabilidad: Desviaciones Media, Mediana y estándar, como también la varianza y el coeficiente de dispersión de una colección de datos y/o una distribución de frecuencias, comprendiendo que estos estadígrafos muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Estadística 847

PGF03-R03

DISPERSION O VARIACION.

ENUNCIACION.

Las Medidas de dispersión, nos informan cómo están distribuidos los datos. La más importante es el desviación estándar (), que mide la dispersión de los datos con respecto al promedio. Cuanto menor es la desviación estándar, menos dispersos están los datos con respecto al promedio.

La Variación o Dispersión en estadística, se refiere al grado en que los datos numéricos tienden a extenderse o recogerse alrededor de una medida de tendencia central (Media y Mediana).

Las medidas que estudiaremos se utilizan para determinar si en realidad los estadígrafos de tendencia central representan bien al conjunto de datos en estudio.

MODELACION:

Supongamos las calificaciones en Estadística o Matemáticas de un grupo de diez estudiantes:

Estadística: 95, 68, 56, 76, 72, 42, 66, 70, 82, 63

Matemáticas: 68, 65, 64, 60, 74, 72, 78, 64, 75, 70

La media de las dos asignaturas es la misma. X E=69 X M=69

Desviación: Es la diferencia que se observa entre el valor del dato y la media aritmética.

Veamos las desviaciones respecto a la media:

Estadística 848

PGF03-R03

Estadística Matemáticas

95 – 69 = 26 68 – 69 = -1

68 – 69 = -1 65 – 69 = -4

56 – 69 = 13 64 – 69 = -5

76 – 69 = 7 60 – 69 = -9

72 – 69 = 3 74 – 69 = 5

42 – 69 = -27 72 – 69 = 3

66 – 69 = -3 78 – 69 = 9

70 – 69 = 1 64 – 69 = -5

82 – 69 = 13 75 – 69 = 6

63 – 69 = -6 70 – 69 = 1

Observamos que hubo una mayor variación en Estadística que en inglés ya que en éste las calificaciones se acercan más a la media, es decir, que la media en inglés representa muy bien los datos.

MEDIDAS DE DISPERSION.

El Rango u Oscilación (R):

El Rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos (No representa por sí solo, una medida de dispersión).

Se puede enunciar denotando sus extremos o su diferencia así:

El Rango no es sensible a cambios en los datos, solamente lo es a los cambios en las puntuaciones extremas, aunque su uso se limita a cuando nos interesa obtener una idea rápida de la dispersión de los datos, es la razón por la que no es una medida de dispersión confiable.

Estadística 849

R=X max−X min

PGF03-R03

Para datos agrupados existen dos métodos para calcular el rango:

a. El Rango es la diferencia entre la marca de clase de la clase superior y la marca de clase de la clase inferior. Tienen la desventaja de eliminar los datos intermedios.

b. El Rango es la diferencia entre el límite real superior de la clase más alta y el límite real inferior de la clase más baja.

El Rango es el campo de variación de la variable.

MODELACION:

El Rango para las calificaciones de Estadística en el ejercicio anterior es:

95 – 42 = 53

El Rango para las calificaciones de Matemáticas es:

78 – 60 = 18

Desviación Media (Dm): También llamada Desviación Absoluta o Promedio de Desviación. Es el promedio de los

valores absolutos de las desviaciones |X i−X−|, de cada elementoX i , de la distribución con

respecto a la media aritmética.

En datos no agrupados, la fórmula de la Desviación Media, Dm es:

Dm=|x 1−x

−

|+|x2−x−

|+. .. .. . .. .+|x n−x−|n

=∑i=1

n

|x i−x−|n

MODELACION

Ejemplo 1: En el ejercicio de las notas, la Desviación Media para las calificaciones de Estadística es:

Dm=26+1+13+7+3+27+3+1+13+610

=10010

=10

Estadística 850

PGF03-R03

La Desviación Media para las calificaciones de Matemáticas es:

Dm=1+4+5+9+5+3+9+5+6+110

=4810

=4,8≈5

Ejemplo 2: En la distribución: 4, 6, 6, 7, 9, 11, 13

Cuya Media es: X = 4+6+6+7+9+11+13 = 56/7 = 8

Entonces, la Desviación Media es:

Dm=|4−8|+|6−8|+|6−8|+|7−8|+|9−8|+|11−8|+|13−8|

7

Dm=4+2+2+1+1+3+57

Dm=187 Dm=1.14

Dm en datos agrupados: Si los datos X i están agrupados con sus respectivas frecuencias, dentro de una tabla, la desviación media será:

DM=∑i=1

n

f i|X i−X|

∑i=1

n

f iMODELACION:

Calcular la Desviación media (Dm) de las puntuaciones dadas en la siguiente distribución:

Xi 7 8 10 13

16 14 18 20 6 9

Estadística 851

PGF03-R03

f i 3 4 3 2 2 5 2 1 6 2

En primera instancia debe calcularse la media aritmética; para ello, se ubican los Datos de la siguiente manera:

Xi f i f iX i X i−X |X i−X| f i|X i−X|

6 6 36 -4,7 4,7 28,2

7 3 21 -3,7 3,7 11,1

8 4 32 -2,7 2,7 10,8

9 2 18 -1,7 1,7 3.4

10 3 30 -0,7 0,7 2,1

13 2 26 2,3 2,3 4,6

14 5 70 3,3 3,3 16,5

16 2 32 5,3 5,3 10,6

18 2 36 7,3 7,3 14,6

20 1 20 9,3 9,3 9,3

Total 30 321 XXXXXX XXXXXX 111,2

X = 32130

=10 ,7

Dm=111,230

=3,7

Desviación mediana (Dme):

Resulta de sustituir en la desviación media, la media aritmética por la mediana; es decir, es la media aritmética de los valores absolutos de la desviación con respecto a la mediana.

Estadística 852

PGF03-R03

Se usa específicamente para distribuciones que tienen valores extremos o que contienen intervalos abiertos.

MODELACION

Ejemplo 1: Determine la Dme de los siguientes datos:

4, 1, 3, 5, 2, 1, 4, 6, 3, 2, 0.

Lo primero que debemos hacer es organizar los datos de menor a mayor para hallar la mediana:

0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6

Mediana (Me)

Dme=|0−3|+|1−3|+|1−3|+|2−3|+|2−3|+|3−3|+|3−3|+|4−3|+|4−3|+|5−3|+|6−3|11

Dme=3+2+2+1+1+0+0+1+1+2+311

=1611

=1 .45

Ejemplo 2: Calcule la desviación mediana de la siguiente distribución:

X i f i f i Acum.|X i−Me| f i|X i−Me|

0 12 12 2 24

1 10 22 1 10

2(Me)

9 31 0 0

3 8 39 1 8

4 6 45 2 12

5 10 55 3 30

Estadística 853

PGF03-R03

6 5 60 4 20

Total 60 XXXXXX XXXXXXX 104

Me=602

=30 Me=2

Dme=10460

=1 .73

DESVIACION TIPICA O ESTANDAR (S):

Es la medida de dispersión más significativa; de ahí que sea la más conocida y la más utilizada.Permite la comparación de dos o más distribuciones, determinando su grado de variabilidad absoluta.Para calcular la desviación estándar, seguimos los siguientes pasos:

Calculamos la diferencia entre cada uno y el promedio. Elevamos al cuadrado cada una de las diferencias anteriores. Sumamos todos los valores hallados en el paso anterior y dividimos el resultado por la

cantidad de datos. Así obtenemos la varianza. Calculamos el desviación estándar () como la raíz cuadrada de la varianza.

σ=√∑i=1

n

( x i−x )2

n n: número de datos

MODELACION – SIMULACION

Realicemos, el siguiente ejercicio.

Ejemplo 1.

Diego y Sergio, dos de los nadadores del ejercicio anterior, obtuvieron el mismo promedio y sin embargo sus tiempos están distribuidos de manera diferente.Calcula los desvíos estándares de los tiempos de los nadadores:

Estadística 854

PGF03-R03

Tiempos de Diego Tiempos de Sergio

xi (xi – x) (xi – x)2

61,7 -0,64

61,7 -0,64

62,3 -0,04

62,9 0,56

63,1 0,76

total

Entonces:

Podemos ver que el desvío estándar de ................................. es menor que el de ................................., lo cual indica que el promedio representa mejor los datos de ................................., porque sus tiempos fueron menos dispersos.

Entonces, aunque cinco datos son muy pocos para hacer estadística, si con esa información hay que elegir un nadador de ese equipo para la próxima competencia, conviene que sea …………………

Estadística 855

xi (xi – x) (xi – x)2

total

σ Sergio= √ ≃…………σDiego= √ 5≃ …………

PGF03-R03

Ejemplo 2: Calculemos la desviación típica para la siguiente tabla:

X i f i f iX iX i−X (X i−X )

2

f i (X i−X )2

1 3 21 -3,7 13,69 41,07

6 6 36 -4,7 22,09 132,54

8 4 32 -2,7 7,29 29,16

9 2 18 -1,7 2,89 5,78

10 3 30 -0,7 0,49 1,47

13 2 26 2,3 5,29 10,58

14 5 70 3,3 10,89 54,45

16 2 32 5,3 28,09 56,18

18 2 36 7,3 53,29 106,58

20 1 20 9,3 86,49 86,49

Total 30 321 XXXXX XXXXXX 524,30

X=32130

=10 ,7 S =√524 ,3

30=√17 , 47=4 ,18

En toda distribución o colección de datos, la desviación típica es mayor que la

Desviación media y ésta, a su vez, mayor que la desviación mediana:

Estadística 856

PGF03-R03

S Dm Dme

La Varianza (S2

): También llamada Dispersión Cuadrática de los datos.

La Varianza de una colección de datos se define como el cuadrado de la desviación típica, es decir, es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media aritmética.

Presenta el inconveniente de expresar el grado de variabilidad en unidades cuadradas, lo cual pierde significado para muchas medidas.

Mientras mayor es la dispersión de las observaciones, mayor es la magnitud de sus desviaciones respecto a la media y, por consiguiente, más alto el valor numérico de la varianza.

MODELACION.

Ejemplo:

La S (desviación estándar) de los números: 1, 4, 5, 4, 2, 6, 7, 3 es 1,87

Su varianza será:

S2

=(1 ,87 )2 S2

=3,5

Coeficiente de Variación o dispersión (Cv): La dispersión se dice absoluta o variación real cuando se determina por algunas de las

medidas ya estudiadas.

Si al realizar una medición de 15 Km. Encontramos una dispersión de 150 m,

Podemos apreciar el diferente efecto que producen las dos dispersiones. Se hace entonces necesario utilizar una medida que determina este tipo de efecto sobre las mediciones. Esta medida es la Dispersión Relativa.

Estadística 857

PGF03-R03

Se define la Dispersión Relativa como el cociente entre la Dispersión Absoluta y un Promedio

Si se toma como desviación absoluta la desviación típica y como promedio la media aritmética, la dispersión relativa correspondiente recibe el nombre de Coeficiente de Dispersión. Generalmente se expresa en términos porcentuales.

Coeficiente de Dispersión = Cv= S

X

Este coeficiente deja de ser útil cuando la media está próxima a cero.

Esta medida de variabilidad nos permite comparar la dispersión en varias distribuciones aún cuando tengan diferentes unidades, ya que es un número adimensional.

SIMULACION

1. Un grupo de estudiantes realiza mediciones del perímetro de una circunferencia de 10cm de radio, así:

62,8 63,0 62,9 62,7 62,9 63,2 63,0 62,8 62,9 63,0

a. Calcular la media de estas mediciones.

b. Calcular la desviación media, la desviación típica y la varianza para esta serie de datos.

2. Determinar el rango, la desviación media, la desviación estándar, la varianza y el coeficiente de variación para la siguiente serie de datos:

5, 8, 8, 3, 4, 9, 5, 3, 3, 9, 9, 10, 12, 5, 9, 6, 10, 11, 18, 15, 13, 5, 7, 9

a. 5, 8, 8, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 9, 9, 10, 15, 10, 12, 9, 11, 14, 5, 1, 13, 7, 6, 8

3. Con las siguientes tablas de frecuencias hallar: Dm, Dme, S, S2, Cd

Estadística 858

PGF03-R03

a) b)

4. Completar las siguientes expresiones:

a. La _______________ es el promedio de las desviaciones de las puntuaciones a partir

de su media, elevadas al cuadrado.

b. La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la ____________

c. La media es una medida de______________. La desviación típica es una medida de

_______________.

d. (X i−X )2

representa la suma de los _____________ de las __________

respecto a la media.

e. La _______________ es la media de los cuadrados de las desviaciones de los datos

respecto a la media.

f. La desviación típica es la ______________________ de la varianza.

g. La desviación media se calcula mediante la fórmula ____________________

Estadística 859

Yj nj

6 7

7 3

8 7

10 6

13 2

14 1

16 8

18 5

19 4

Yj Nj

0.28 8

0.32 2

0.36 3

0.37 4

0.38 7

0.43 9

0.47 6

0.53 4

0.55 10

PGF03-R03

5. Completar el siguiente mentefacto conceptual, sobre MEDIDAS DE DISPERSION.

EJERCITACION

COMPARANDO MEDIA ARITMÉTICA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

1. Para estimar el número de peces que hay en un lago, se realizó lo siguiente:

se capturó una muestra al azar de peces, se les marcó y fueron devueltos al agua. un breve tiempo después, se capturó una nueva muestra, se registró la proporción de

peces marcados versus el total de peces de la muestra.

Estadística 860

PGF03-R03

Si las muestras fueron efectivamente aleatorias, entonces se espera que la frecuencia relativa de peces marcados en la segunda muestra sea aproximadamente la misma que la de peces marcados en la población.

Supón que en el primer proceso se capturan y marcan 120 peces. Posteriormente se capturan 100 peces de los cuales 22 están marcados. Estima el número de peces del lago.

(En el sitio www.ideamas.uchile.cl se incluye un programa de simulación para el estudio de distribuciones de muestras de un mismo tamaño en la que intervienen dos atributos en una proporción conocida.)

2. Ocho amigos conversan sobre el número de hermanos que tiene cada uno. Llegan a la información que se resume en la tabla siguiente:

N° de hermanos frecuencia

1 2

2 2

3 2

4 2

Total 8

Calcula el promedio de hermanos del grupo.

Para experimentar en relación con las muestras, forma todos los dúos de amigos y para cada dúo calcula el promedio de hermanos.

Estadística 861

PGF03-R03

Hacer el gráfico de la distribución del promedio de hermanos de todas las muestras, calcula la desviación estándar de esta distribución y compárala con el promedio y la distribución estándar del número de hermanos del grupo de amigos.

Forma todos los tríos de amigos y procede a hacer los mismos cálculos.

Compara con los resultados obtenidos en relación con los promedios calculados.

Constata la relación s = /√n en que s es la desviación estándar de la distribución de todas las muestras, es la de la población y n es el número de elementos de la muestra

3. Se dispone de una bolsa con 100 fichas numeradas:

Nº en la ficha

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cantidad 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Se pide:

Obtener muestras al azar de tamaño 10 y calcular para cada una de ellas la media de los valores de las fichas como también su desviación estándar.

Obtener muestras al azar de tamaño 20 y calcular para cada una de ellas la media de los valores de las fichas como también su desviación estándar.

Obtener muestras al azar de tamaño 30 y calcular para cada una de ellas la media de los valores de las fichas como también su desviación estándar.

Comparar los valores de las medias y desviaciones estándar obtenidos en los experimentos anteriores.

Realizar inferencias sobre el valor de la media poblacional a partir de algunas de las muestras anteriores.

La actividad anterior fue tomada de: www.sectormatematical.cl

Estadística 862

PGF03-R03

DEMOSTRACION

1) Los siguientes datos numéricos corresponden a la cantidad de veces que cada alumno de un grupo ha ido a un recital o concierto.

2 – 4 – 3 – 2 – 1 – 1 – 6 – 3 – 0 – 3 – 2 – 4 – 6 – 9 – 3 – 2 – 1 – 6

Calcula, sin tabular, Media, moda, mediana, desviación, n, rango.

2) En un diagnostico de educación física se pidió a los alumnos de dos grupos que hicieran abdominales durante 3 minutos. Se obtuvieron los siguientes resultados:

Grupo A: 45 38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47 48 54 33 45 44 41 34 36 34 54Grupo B: 43 45 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37 45 28 42

41 49 40 37 34 44 41 43

¿Cuál de los dos cursos tiene el rendimiento más parejo? ¿Qué distribución estadística permite comparar la distribución de este tipo de datos?

3) A continuación se presentan los resultados de ambos cursos en la prueba de diagnóstico de salto largo.

Grupo A : 3.2 3.5 4.9 5.0 3.1 4.1 2.9 2.8 3.8 4.5 4.3 4.5 4.1 5.8 3.9 3.6 4.2 4.6 1.9

2.8 2.9 3.3 3.9 4.2 4.1 4.3 4.6 4.4 3.8 3.6

Grupo B : 3.5 2.9 1.3 1.7 3.6 5.6 2.8 5.2 5.3 4.1 4.1 4.4 1.6 5.1 4.3 5.0 5.3 3.2 2.8

2.6 5.5 5.4 4.8 4.9 4.3 2.9 3.9 5.4 5.3 4.2

a) Calcula el promedio de ambos cursos.

b) Construye una tabla de frecuencias para cada curso

c) Cuál de los dos cursos tuvo un rendimiento más parejo?

Estadística 863

PGF03-R03

4) Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los siguientes datos:

175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176 166

167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173 173

174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178 180

169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173

Agrupa estos resultados en 8 intervalos y confecciona una tabla de frecuencias y calcula las medidas de tendencia central y de dispersión. Además, grafica esta tabla.

5) A los mismos alumnos anteriores se les aplico una prueba de inteligencia, estos han sido:

87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82

141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115

103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101

118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91

Agrupa los datos en intervalos de amplitud 8. y haz lo mismo que en problema anterior.

Estadística 864

PGF03-R03

EJERCITACION

Anotar V o F según sean verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a. El rango es una medida de dispersión confiable. ( )

b. La varianza es una medida de tendencia central. ( )

c. Dm≤Dme S ( )

d. Las medidas de Centralización son necesarias y suficientes para un correcto análisis de los datos. ( )

e. La dispersión relativa es el cociente entre un promedio y una medida de dispersión absoluta. ( )

f. La medida de dispersión más significativa es el rango. ( )

g. El rango de un conjunto de observaciones es la diferencia entre la menor y la mayor. ( )

h. La formula de la S es S=√∑i=1

n

(X i−X )2

n ( )

i. La medida de dispersión que mejor representa los datos es la Varianza ( )

j. La Desviación Media es el cuadrado de las desviaciones de los datos con respecto a la media ( )

Estadística 865

PGF03-R03

WEBGRAFIA

http://www.crecenegocios.com/como-hacer-una-encuesta/

Estadística 866