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COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI

AREA MATEMATICAS

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.

Galileo GalileiMATEMATICASGRADO SEXTO

2012

PGF03-R03

INTRODUCCION

El estudio de las matemáticas, potencia nuestra habilidad para el análisis lógico-deductivo, el cual nos dará herramientas no solo para abordar, las otras ramas de las matemáticas, que sistemáticamente encontraremos a lo largo de nuestra trasegar académico, sino para la resolución de todo tipo de situaciones que encontremos en nuestra vida “real”. Sí, aunque parezca difícil de creer las matemáticas favorecen nuestra capacidad de observación, nuestra atención, y por ende nuestra capacidad para encontrar soluciones.

En medio del proceso de enseñanza-aprendizaje, como valores agregados, iremos adquiriendo disciplina y aumentaremos la tolerancia, pues encontraremos cómo nuestros compañeros proponen formas diferentes de solución, a las propuestas por nosotros mismos, las cuales iremos aceptando y respetando.

Bienvenidos a este interesante recorrido por las matemáticas. Esperamos disfruten de ellas y que el aprenderlas les sea divertido y edificante.

Cordialmente,

COMITÉ DE AREA DE MATEMATICAS

MATEMATICAS - Matemáticas 62

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ContenidoUNIDAD I LOS SISTEMAS DE NUMERACION Y LOS NÚMEROS ENTEROS.....................4

LA NUMERACIONES ESCRITA MAS DIFUNDIDA..............................................................5EL SISTEMA DE NUMERACION BINARIO........................................................................11NÚMEROS ENTEROS........................................................................................................17

Representación de los números enteros..........................................................................17Plano cartesiano y Recta numérica:................................................................................18Valor absoluto de un número entero................................................................................18

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS....................................................................20SUMA DE NÚMEROS ENTEROS.......................................................................................20PRODUCTO Y COCIENTE DE NÚMEROS ENTEROS: REGLA DE LOS SIGNOS..........20POTENCIACION Y RADICACION DE ENTEROS..............................................................29PROPIEDADES DE LOS RADICALES...............................................................................34

UNIDAD II FRACCIONES.....................................................................................................38TIPOS DE FRACCIONES................................................................................................39OPERACIONES CON FRACCIONES.............................................................................39

LOS NUMEROS DECIMALES............................................................................................46LECTURA Y ESCRITURA DE NUMEROS DECIMALES................................................47OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES.............................................................48

SUMA DE NÚMEROS DECIMALES...................................................................................48RESTA DE NÚMEROS DECIMALES..................................................................................50MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD...................................51MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES.......................................................53DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS............54DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNO NATURAL............................................55DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UNO DECIMAL............................................56DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES.....................................................................58

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS ATENDIENDO A SU PARTE DECIMAL............63CONVERSION DE NUMEROS DECIMALES A FRACCIONARIOS...............................65

UNIDAD III.............................................................................................................................. 71RAZONES Y PROPORCIONES.............................................................................................71

RAZON................................................................................................................................73PROPORCION....................................................................................................................73SERIE DE RAZONES GEOMETRICA EQUIVALENTES....................................................74CÁLCULO DE UN ELEMENTO DE LA PROPORCIÓN:.....................................................82MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.....................................................88

GRAFICOS DE MAGNITUDES DIRECTAS...................................................................90MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES.....................................................93APLICACIONES DE LA REGLA DE TRES SIMPLE A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS.............................................................................................................................................95


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REGLA DE TRES COMPUESTA........................................................................................99OTRA APLICACIÓN: Repartos proporcionales................................................................102

UNIDAD IV INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS...........................................107Formas de definir un conjunto...........................................................................................109DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO............................................................................110CLASIFICACIÓN BÁSICA DE TEORÍA DE CONJUNTOS...............................................112CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS...............................................................................112IGUALDAD DE CONJUNTOS...........................................................................................113OPERACIONES CON CONJUNTOS................................................................................115COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO..............................................................................115UNION:..............................................................................................................................116INTERSECCION:...............................................................................................................116DIFERENCIA:....................................................................................................................117DIFERENCIA SIMETRICA:...............................................................................................118USO DE LOS DIAGRAMAS DE VENN-EULER................................................................121

WEBGRAFIA.........................................................................................................................130


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UNIDAD I

LOS SISTEMAS DE NUMERACION

Y LOS NUMEROS ENTEROS.

PROPOSITO

Desarrollar en los estudiantes la habilidad para la transposición de conceptos, usando en este caso los sistemas de numeración binario y decimal.


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LA NUMERACIONES ESCRITA MAS DIFUNDIDAENUNCIACION

Para ningún lector de este módulo, constituye un gran esfuerzo escribir cualquier número entero; por ejemplo, dentro de los límites de un millón. Para la escritura de los números, empleamos los diez conocidos signos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, llamados; cifras. Ahora nadie duda que, con la ayuda de estos diez signos (cifras) podemos escribir un número, ya sea muy grande o muy pequeño, entero o fraccionario.

Los números del uno al nueve, los escribimos con la ayuda de sólo una de las nueve primeras cifras. Para la escritura de los números del diez al noventa y nueve, necesitamos ya de dos cifras, una de las cuales puede ser también el cero, y así sucesivamente.

Como base de la numeración tomamos el número "diez", por lo que nuestro sistema de numeración se llama decimal.

Es decir, que diez unidades simples (unidades de primer orden) forman una decena (una unidad de segundo orden), diez decenas forman una centena (una unidad de tercer orden), diez centenas forman un millar (una unidad de cuarto orden) y, en general, cada diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior.

En muchos pueblos los sistemas de numeración eran decimales. Eso está relacionado con el hecho de que tengamos diez dedos en nuestras manos.

En la escritura de los números, en el primer lugar de la derecha escribimos la cifra correspondiente a las unidades; en segundo lugar, la cifra de las decenas; luego la de las centenas, después la de los millares, etc. Así, por ejemplo, la escritura de 2746 denota que el número se compone de 2 millares, 7 centenas, 4 decenas y 6 unidades.

Si un número carece de unidades de determinado orden, en el lugar correspondiente escribimos un cero. Así, el número que tiene tres millares y cinco unidades, se escribe. 3005. En él no existen decenas ni centenas, es decir, las unidades de segundo y tercer orden; por tal razón, en los lugares segundo y tercero de la derecha escribimos ceros.

¿Qué particularidad notable podemos encontrar en el sistema de numeración que siempre hemos usado?

En el caso, por ejemplo, del número 14742, usamos dos veces la cifra 4: en el segundo y en el cuarto lugar de la derecha, es decir que la misma cifra representa a la vez 4 decenas y 4 millares, esto da lugar a una definición sencilla, una cifra tiene asociados dos valores: uno pocisional (lugar en el cual se encuentra: unidades, decenas, ……) y uno absoluto (el valor de la cifra).


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En consecuencia, resulta que una misma cifra puede denotar tanto cantidades de unidades, como cantidades de decenas, de centenas, de millares, etc. en función de la posición que ocupe la cifra en la escritura del número. De aquí precisamente que nuestro sistema de numeración se llame posicional.

MODELACION

Volvamos al número 2746, del cual hemos hablado antes. En él, la primera cifra de la derecha (la cifra 6) representa 6 unidades, la segunda cifra de la derecha (4) representa 4 decenas, es decir, el número

la tercera cifra de la derecha (7) representa 7 centenas, o sea, el número

y finalmente, la cuarta cifra (2) representa 2 millares, es decir, el número

El mencionado número puede ser escrito, pues, así:

Esta forma de escritura usada, descomponiendo el número, se denomina PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA NUMERACION (También lo puedes encontrar como PRINCIPIO POSICIONAL DE LA ESCRITURA DE LOS NÚMEROS).

Pensemos un poco en lo siguiente: ¿ Por qué se efectúan tan rápida y fácilmente con los números las cuatro operaciones aritméticas: adición, substracción, multiplicación y división?: Estas ventajas nos son ofrecidas, lógicamente, por el citado principio posicional de la escritura de los números.

En efecto, al hacer una operación aritmética cualquiera con números, trabajamos con las decenas, centenas, millares, etc., como si fueran unidades, y sólo al obtener el resultado final tenemos en cuenta su orden.


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Así, para la escritura de los números, empleamos el sistema decimal posicional de numeración. El famoso físico y matemático francés Laplace (siglos XVIII-XIX), escribió acerca del sistema: "La idea de representar todos los números con diez signos, asignándoles además de un valor por su forma otro por su posición, es tan sencilla, que en virtud de esta sencillez resulta difícil imaginarse en qué medida es admirable esta idea''.

Ahora casi toda la humanidad utiliza este sencillo sistema de numeración, cuyo principio de construcción y trazo de cifras aparecen con idénticas propiedades pana tolo mundo.

¿Cómo surgió este extraordinario sistema de numeración decimal posicional?No obstante su sencillez, los hombres necesitaron varios miles de años para llegar a él. No será una exageración si decimos que todos los pueblos del mundo tomaron parte en la creación de dicho sistema.

Inicialmente el sistema decimal posicional de numeración apareció en la India, y ya a mediados del siglo VIII, se usaba ahí ampliamente. Por esa misma época, también surge en China y otros países del Oriente. Los europeos adoptaron este sistema hindú de numeración en el siglo XIII, debido a la influencia árabe. De aquí surgió, precisamente, la denominación, históricamente incorrecta, de "numeración arábiga".

¿Qué sistemas de numeración estaban en uso, antes del surgimiento del decimal posicional?

El enorme interés de esta pregunta, hace necesario un análisis detallado de ella, lo que nos proporcionará la posibilidad de valorar mejor la, ventajas de nuestro sistema de numeración.Texto tomado de la adaptación hecha por Patricio Barros y Antonio Bravo del libro “Aritmética Recreativa” autor: Yakov Perelman.

Numeración Antigua Egipcia

Una de las más antiguas numeraciones es la egipcia. Data aproximadamente de hace 7000 años, es decir, de más de 3000 años antes de nuestra era.

En la numeración egipcia existían signos especiales (jeroglíficos) para los números: uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil, un millón. Estos signos están representados en la siguiente figura.

Para representar, por ejemplo, el número entero 23 1415


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Numeración Antigua Rusa

Conforme al principio de la numeración egipcia antigua, se construyeron sistemas de numeración en algunos pueblos más, tales como el de la antigua Grecia por ejemplo.

diez rublos se denota por el signo ( un rublo O diez kopeks x un kopek | un cuarto -

Por ejemplo, veintiocho rublos, cincuenta y siete kopeks y tres cuartos:

((OOOOOOOOxxxxx|||||||---

Numeración Romana

De todas las numeraciones antiguas, la romana es, posiblemente la única que se ha conservado hasta hoy, y que es empleada con frecuencia.

CONSULTA:¿Para que se usan hoy en día los números romanos?

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000

Por ejemplo, el número 283 lo podemos escribir, en signos romanos así:

CCLXXXIII


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Como análisis de los conceptos presentados en la Enunciación, responderemos las siguientes preguntas:

1. Qué entiendes por principio posicional de la escritura de los números.

2. Describe el “Principio Fundamental de la Numeración”.

3. Usa el Principio Fundamental de la numeración, para representar las siguientes cantidades.

a) 567

b) 6.839

En forma individual, aplicaremos los conceptos socializados para responder:

1. Para los números representados en el punto 3 de la simulación, indique el valor absoluto y el valor posicional.

2. Si tuvieras que inventar un sistema de numeración, qué símbolos usarías, haz una descripción de tu propio sistema de numeración.


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Las siguientes preguntas, serán desarrolladas en forma extraclase:

1. Usa el Principio Fundamental de la Numeración (para la escritura de los números), para representar las siguientes cantidades:

a) 1.251b) 34.721c) 3.894d) 789.453

2. Indica los valores absoluto y posicional de cada cifra, en los siguientes números:a) 432b) 7.650c) 8.888

3. Concluye, ¿Qué es un sistema de numeración?.

Entre los diferentes sistemas de numeración que existen encontramos el binario, este sistema es de gran importancia en la informática.


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EL SISTEMA DE NUMERACION BINARIOENUNCIACIÓN:

El sistema de numeración binario ( o de base 2), recibe su nombre por el uso de solo dos símbolos; el cero y el uno: 0 y 1. Igual que el Sistema Decimal, el sistema binario es también posicional.

Para indicar el sistema en el cual está escrito un número, se le coloca un subíndice en la última cifra.

Por ejemplo:

110112 es un número de la base dos (Sistema Binario)3578 es un número de la base ocho (Sistema Octal)A7B16 es un número de la base 16 (Sistema hexadecimal)

Conversión de un número de la base dos a la base diez:

Para realizar la conversión de binario a decimal, tendremos en cuenta el Principio Fundamental de la Numeración, descrito con anterioridad.

El Principio (o Teorema) Fundamental de la numeración dice:“El valor en el sistema decimal de una cantidad expresada en otro sistema cualquiera de

numeración, viene dado por la fórmula:

... + X4*B4 + X3*B3 + X2*B2 + X1*B1 + X0*B0 + X-1*B-1 + X-2*B-2 + X-3*B-3 + ...”

donde X es el dígito y B la base.

Veamos un ejemplo:

MODELACION:

Ejemplo 1.

Supongamos que tenemos el número 1101012 (RECUERDEN QUE EL SUBINDICE INDICA EL SISTEMA DE NUMERACIÓN EN QUE ESTÁ EL NÚMERO, para nuestro ejemplo, la


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cantidad esta expresada en base 2, dicha base utiliza para representar cantidades los dígitos 0 y 1.

¿Cuál será el valor correspondiente en el sistema decimal?

Observa con atención:

Describamos el proceso aplicado

Sobre cada cada cifra, del número binario (porque está en la base dos), se escribió un

número desde el cero hasta el cinco, empezando de derecha a izquierda, esta valor es la

posición de la cifra.

Se escribió cada cifra, multiplicada por la base (2), y esta base a su vez, elevada a la

posición que ocupa.

Se realiza una suma de las cifras multiplicadas por la base y elevadas a la posición.

Se obtiene el resultado de la suma, siendo este el valor en el sistema decimal.

El teorema aplicado a la inversa, es decir por medio de divisiones sucesivas entre el número

dos (base dos), nos sirve para obtener el valor binario de un número en el sistema decimal,

como veremos más adelante.

Observa otros ejemplos:

Ejemplo 2.


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Ejemplo 3.

1. Comprueba que el número binario 1010010 corresponde en decimal al 82.2. Convierte al sistema decimal, los siguientes número binarios:

a) 111111012

b) 1010101112

1. Realice la conversión del sistema binario al sistema decimal:

a) 1010011112

b) 111100012

c) 100011112

d) 1010101012


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Conversión de un número de la base 10 a la base 2:

ENUNCIACION:

Para realizar la conversión de un número de base decimal a binario, se usa el proceso inverso, es decir, la división:

Se toma el número decimal entero, y comienza a ser dividido por dos y repetir el proceso con sus cocientes hasta que el cociente tome el valor 1. La unión de todos residuos escritos en orden inverso encabezados por el último cociente, nos dará el valor expresado en binario.

MODELACION:Ejemplo:

Convertir el número 174 a binario

1 7 4

2

0 8 7

2

1 43

2

1 21

2

1 10

2

0 5 2

1 2 2

0 1

17410 = 101011102


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1. Realicemos las siguientes conversiones de números del sistema de numeración decimal al binario:

a) 89b) 145c) 217d) 33e) 82

1. Realice la conversión del sistema binario al sistema decimal:

a) 1010011112

b) 111100012

c) 100011112

d) 1010101012


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2. Transforma los siguientes números de base 10 en binario y encuéntralos en la sopa de números:


1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 1

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NÚMEROS ENTEROS

ENUNCIACION

De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N Z.

El termómetro común permite efectuar lecturas en el conjunto de los números enteros, ya que expresa valores de temperatura positivos o negativos, sin considerar posibles cifras decimales.

Representación de los números enterosEl conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z. En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que m (n m) si n - m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números enteros es un conjunto ordenado.

Representación gráfica del conjunto Z.

Plano cartesiano y Recta numérica:El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una de ella es horizontal y otra vertical donde son cortadas por un punto. La recta horizontal es conocida como eje de las abscisas o de las (x), y la verticales conocida como eje de las ordenadas o de las (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. Que es el que divide el plano en cuatro


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cuadrantes.

Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas

Valor absoluto de un número entero.Observa la recta numérica:

Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así:

|+3| = | -3 | = 3

Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras. El valor absoluto está estrechamente

relacionado con las nociones de magnitud y distancia


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1. Localiza los siguientes números en la recta numérica y halla su distancia al cero (0):

a. –6 b. 7 c.-3 d.0 e.9

f. –8 g.-4 h.3 i.-10 j.5

2. Halla el valor absoluto de los siguientes números:

a. -15 b. 19 c. 0 d. -28

e. 36 f. -276 g. -33 h. 49

3. Completa la siguiente tabla:

Número Valor relativo Valor absolutoCompara el valor absoluto con el valor relativo

-5 -5 5 5 > -53-8-498-713

4. Justifica la verdad o falsedad de las siguientes desigualdades:

a. 3 > -2 b. -4 < 9 c. -4 > 6


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OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.

(+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9

(- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9

Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en valor absoluto).

(+20) + (-10) = 20 -10 = +10 ( 20 -10 =10, el más grande es +20, se pone +10)

(- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, se pone -5)

(+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el más grande es el 11, se pone +9)

PRODUCTO Y COCIENTE DE NÚMEROS ENTEROS: REGLA DE LOS SIGNOS

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis.


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(+8) . (+3) = + 24 (-3) . (-2) = + 6 (+4) . ( -1) = - 4 (-2) . (+4) = - 8

Para dividir se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.

(-15) : (-15) = +1 8 : 4 = +2 - 4 : (-2) = +2 10 : 2 = +5 10 : (-2) = - 5 (-8) : 4 = - 2 24 : (-4) = - 6 - 6 : 3 = - 2

La siguiente Actividad presenta una serie de Preguntas De Selección Múltiple Con Única Respuesta Tipo I. Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro probabilidades entre las cuales debes escoger la que consideres correcta:

1. El valor absoluto de un número entero negativo es:

A. Negativo B. PositivoC. No se puede determinar D. Cero

2. Si el x = 5, el valor de x es:

A. +5 B. –5 C. +5, -5 D. 03. El orden de mayor a menor de los números enteros –18, -2, +2, -17, es:

A. –2 > +2 > -18 > -17 B. –2 > -18 > -17 > +2 C. +2 > -2 > -18 > -17 D. +2 > -2 > -17 > -18

4. Si la temperatura en una ciudad es 5 bajo cero, ¿qué debe suceder para que para que

quede en 2 sobre cero?


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A. Aumentar 3 B. Bajar 3C. Aumentar 7 D. Bajar 7

5. Analiza las siguientes transacciones en el banco:

Consigna $30.000Retira $18.000Consigna $120.000Retira $85.000

Si tenía $27.000, ¿cuánto dinero le queda luego de efectuar las transacciones?

A. $74.000 B. $70.000 C. $127.00 D. $20.000

6. Al subir una montaña, la temperatura baja 5C cada 1.000m. En la base de la montaña la

temperatura es 20C. La montaña tiene una altura aproximada de 8.000m desde la base

hasta la cima. ¿Cuál será la temperatura en la cima?

A. –20C B. 20C C. –40C D. 40C

Las preguntas 7 y 8 se responden según la siguiente información.

Un auto recorre 40 metros a la derecha y retrocede 30 metros; luego recorre adelante 20

metros y retrocede 35 metros.

7. Al expresar como un número entero cada uno de los desplazamientos que realizó el auto

se tiene:

A. +40, +30, -20, -35 C. +40, +30, +20, -35.

B. –40, -30, -20, +35 D.+40,-30,+20,-35

8. El resultado de los desplazamientos que realizó el auto es:

A. 3 metros a la izquierda de donde empezóB. 3 metros a la derecha de donde empezóC. 5 metros a la izquierda de donde empezóD. 5 metros a la derecha de donde empezó.


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9. SITUACIÓN: Una ardilla tiene su madriguera en un árbol y realiza los siguientes

desplazamientos: baja 2 metros, sube 5 metros, baja 4 metros, nuevamente baja 3 metros y

por último sube 4 metros.

PROBLEMA: Para determinar el sitio del árbol en que se encuentra la ardilla al finalizar el

recorrido, se debe:

A. Hallar el número total de metros que subió y bajó la ardilla.B. Hacer un gráfico de los desplazamientos que hizo la ardilla.C. Restarle a los metros que subió los metros que ésta bajó.D. Saber la altura del árbol y la altura de la madriguera.

A continuación realizaremos Actividades relacionadas con las operaciones básicas con números enteros: suma, resta, multiplicación y división.

1. Observa con atención los signos de agrupación y resuelve cada una de las siguientes sumas:

a. (-7) +4 + (-2) + (+13) +15 =b. (1+0 ) + 6 + (-2) =c. (-5 ) + (-2) + (-1) +0 =

2. Encuentra el término que falta en las siguientes sustracciones:

a. b. c. - 8 = -3 7 - =-3 -8 - =3

d. - 6 = 4 e. 11 - =7 f. - 6= -2

g. - 6 =12 h. 9 - =11 j. - 7 = 4

3. Resuelve las siguientes operaciones:


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a. 10 + (-24) = b. –35 + 40= c. 48 - (-50) =

d. –70 - (+100) = e. –35 - (+35) = f. –5 + (-16) =

g. –7 + (+5) - (-9) + (-5) + (-7) - (-6) + (+10) =

h. 150 + (-100) + (+300) - (-200) + (-500) =

i. –10 + (+6) + (-12) - (+15) + (-9) +(+13) =

j. (24 –32 –83) – (-15 –77 –89) + ( 20 +8 –15) =

k. (-37 –4) - (13 +87 +15) + (20 –46) =

4. Qué signo tiene el producto de:

a. Cinco enteros positivos. b. Tres enteros negativos.

c. Ocho enteros negativos. d. Un par de enteros negativos.

e. Un número impar de enteros negativos

5. Completas las siguientes tablas:6.

x -3 4 -7 9 -8 6-5-12-6

7. Determina el resultado de los productos indicados:

a. -- - (-3) (5) b. - - (-5) (-4) (7)

c. -- (3) (-5) (-4) .


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1. Resuelve de adentro hacia afuera

a. 12 - 2+ (-3-4) – (-2+4) +4= b. 6 + 3 – (5+4) + 6 + 5=

c. 384 - (-5) –7 - (-384) = d. 78 – (-78) +78 - (-78) – (-78) =

e. - 5 + 2 – (7-9) +8 -3 +12 = f. –4 –12- (-13 –20 +8) –4 =

2. Halla el resultado en cada caso:


c. -3 – (-8) . (-10) = d. -1 + 11 . (-5) =

b. 8 + (-5) . -1 + 9 =a. -4+7 . (-2) =

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3. Halla el cociente en los siguientes ejercicios:

12 (-2) = 7 (-7) = -36 (-12) =

( -18 ) 3 = 21 (-3) = -414 (-23) =

24 (-4) = 63 (-9) = 49 (-7) =

-25 (-5) = -500 100 = -72 9 =

Resuelve los siguientes problemas

1. Al enchufar un refrigerador, la temperatura desciende 2C cada 6 minutos. Si se enchufa a las 10 de la mañana y la temperatura ambiental es 16C.

a. ¿A qué hora alcanza –24C?b. ¿A qué temperatura se encontrará el refrigerador después de tenerlo enchufado 1 hora?


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2. Un elevador subió 6 pisos, bajó 12 más, subió 8, bajó otros 4 y se detuvo en el piso 43. ¿De qué piso partió?

3. Un submarino desciende 894 metros respecto a un punto A de la playa y luego asciende 337 metros. Encuentra la distancia del submarino respecto al punto inicial.

4. Un corredor de la bolsa de valores perdió en la mañana $875.000, pero en la tarde ganó lo suficiente para recuperar la pérdida y aumentar su capital en $1.400.000. ¿Cuánto ganó en la tarde?

5. Eratóstenes fue el primero en medir la longitud de la circunferencia de la Tierra. Nació en el año 275 a. de C. y murió en el año 194 a. de C. ¿Cuántos años vivió?


PGF03-R03

6. En 1856 se encontraron en Alemania restos humanos fósiles. Se trataba de un miembro de un grupo conocido como Neandertal, que vivió desde hace unos 30000 años. ¿Cuánto tiempo duró este grupo humano?


PGF03-R03

POTENCIACION Y RADICACION DE ENTEROSENUNCIACION:

Las potencias y los radicales, son operaciones inversas.

MODELACION

Cuadro Resumen de las Propiedades:

Propiedad Ejemplo

a0 = 1 ( si a ≠ 0)

50 = 190 = 1

100000 = 1

a1 = a 51 = 591 = 9

100001 = 10000

an · am = a n+m 63 · 62 = 63+2 = 65 = 7776

an : am = a n-m 63 : 62 = 63-2 = 61 = 6

an · bn = (a * b) n 22 · 32 = (2 · 3) 2 = 36an / bn = (a / b) n 42 / 22 = (4 / 2) 2 = 4

a-n = 1/an = (1/a)n 2-3 = 1/23 = (1/2)3

(a / b) n = ( b / a ) -n (2 / 3) 5 = ( 3 / 2 ) -5

[(an )]m = an·m [(23 )]5 = 23·5= 215


PGF03-R03

1. Escribe cada potencia como un producto de factores iguales.

a) 55__________________ b) 23 ________________

c) 84__________________ d) -48 ________________

e) 367_________________ f) -1002_______________

g) -35_________________ h) m3________________

i) -136_________________ j) 157_________________

k) 48__________________ 1) (a + b)2_____________

2. Encuentra el valor de cada potencia.

a) (-2)6_________________ b) 133__________________

c) (-6)5_________________ d) 54 __________________

e) 122__________________ f) 104__________________

g) 302__________________ h) 153 _________________


PGF03-R03

1.Escribe en términos de potencia y resuelve:

( -4 ) ( -4 ) (-4 ) (-4 ) = ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) =

( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) = ( -3 ) ( -3 ) ( -5 ) ( -5 ) =

2.Halla la potencia:

( -2 )4 = ( -2 )7 = 64 = ( -8 )2 =

35 = ( -3 )3 = ( -9 )4 = ( -4 )3 =

3. Completa los espacios en blanco para hacer verdaderas las siguientes igualdades:

3 = 27 ( -9 ) = -729 2 = 16

3

= -8 4

= 256 = 64


PGF03-R03


PGF03-R03


ExponenteBase 3 4 5

-3

-4

1.Completa:

Multiplicación Potenciación

Potencia Base Exponente

5 . 5. 5. 5

(-2) (-2) (-2) (-2) (-2) -32

( -3 )4

(-8) (-8) (-8) (-8)

( -1 )6

(-10) (-10) (-10) (-10) (-10)

( -7 )3

9 . 9 . 9

3 . 3 . 3

44


PGF03-R03

2. Transforma cada potencia para que el exponente quede positivo y luego calcula su valor.

a) 2-3 _______________ ________________

b) 3-2 _______________ ________________

c) 5-2 _______________ ________________

d) 2-5 _______________ ________________

e) 10-1 _______________ ________________

f) 4-1 _______________ ________________

g) 1-4 _______________ ________________

3. Calcula el valor de cada potencia y luego multiplícalas para obtener el valor de cada expresión.

a) 24 · 2-3 __________________________ b) 3-3 · 31 ________________________

c) 53 · 5-2 __________________________ d) 73 · 7-3 ______________________

e) 2-4 · 23 __________________________ f) 33 · 3-1_____________________

g) 5-3 · 52 __________________________

4. Completa con los números que faltan para que la igualdad sea verdadera.


PGF03-R03

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

ENUNCIACION:

Propiedad Que dice Ejemplo

El denominador en un exponente racional es la raíz y el numerador es el exponente de la base. Da lo mismo hallar la potencia y luego la raíz que hallar la raíz y luego la potencia.

La raíz de un producto es el producto de las raíces.

La raíz de un cociente es el cociente de las raíces.

Para resolver la primera pregunta, necesitaras realizar una consulta, relacionada con el signo asociado al resultado del cálculo de una raíz, por lo tanto este primer punto será valorado como una actividad extraclase.

1.Escribe el signo ó signos, cuando exista la raíz:

5√4125= 3√−1400= 4√1296=

4√−64= 8√−1= √324=2. Halla la raíz cuando sea posible:


PGF03-R03

4√−16= 3√81= 4√10 .000=3√−27= √144= 5√−32=3. Expresa cada radicando en forma de potencia, resuelve:

√25 5√−10 .000 4√81

3√−64 3√−27 7√823543

11√−1 4√−81 3√27

Aplica las propiedades de las raíces y potencias para reducir las expresiones, no estimes:

1) √3 ·√5 2) 2a√am ·3b√a1−m3) √a ·√5b 4)

5√3 · 5√−27

5) √ 43

· √ 12 6)

2√ ax3 · √ ax−3

2 7) 3√a3 x−1· 2√a1−3 x8)

7√−2am

· 7√ m2a


PGF03-R03

Expresa las siguientes potencias en forma de raíz y calcula la raíz (si se puede)

Escribe las raíces en forma de potencias:

1) √169 2) 3√8 4)

5√3235)

7√4

7) 7√2x4

8) n√bx−1

9)

4√ 181 10)

m√ax+2


PGF03-R03

5. El área de un cuadrado es igual a 2025m2. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?

6. Un cubo tiene un volumen iguala 117649 cm3. ¿Cuál es la longitud de su arista?

Escribe el signo ó signos, cuando exista la raíz:

5√4125= 3√−1400= 4√1296=


PGF03-R03

UNIDAD IIFRACCIONES

PROPOSITO

Realizar operatoria con diferentes números: fraccionarios, decimales y racionales; aplicando procesos matemáticos correctos.


PGF03-R03

FRACCIONESENUNCIACION.

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma:

b, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.a, numerador, indica el numero de unidades fraccionarias elegidas.

TIPOS DE FRACCIONES

Fracciones propias

Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.

Fracciones impropias

Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.

OPERACIONES CON FRACCIONES.MODELACION:


PGF03-R03


PGF03-R03

En la división


PGF03-R03

Si el total de clases de matemáticas en un año es de 150 horas y un estudiante asiste a las dos terceras partes, a cuántas clases asistió y a cuántas falló?Si los tres décimos de una herencia de $68.000.000 se regalan a una iglesia, qué cantidad de dinero recibe ?

Desarrolla las siguientes operaciones

a)

97+ 8

5 = b)

125−26

10 = c)

154−9

4+34

4−1

4 = d) 29+ 5

216+51

12

e)

−23

−[−36 ]+[−5

3 ] f) 3817x 27

4 g)

456x (− 4

10) h)

1325

÷2513

i)

1215

÷(−336

)j) {−[ 2

5x 3

8 ] .[−516

÷52 ] }−2

5

Soluciona las siguientes situaciones:


PGF03-R03

Si en un colegio de 1.500 estudiantes, los dos tercios utilizan el bus, cuántos estudiantes utilizan el bus del colegio y cuántos estudiantes no?

Si aun debo las tres cuartas partes de una deuda de $1.200.000, cuál es mi situación financiera?

Si los dos tercios de los 660 estudiantes de un colegio viajan en bus, cuántos estudiantes viajan en bus y cuántos no?


PGF03-R03

JUGUEMOS CON LOS NÚMEROS:

En el siguiente matemátigrama escribe los resultados de las operaciones indicadas en las columnas horizontal y vertical. Resuelva la actividad aquí mismo.

1 2 3 4 5 6

7 8

9 10 11

12 13 14 15 16

17 18 19

20 21

HORIZONTALES

1. (5x102) + (3x10) + 64. 229,3 + 486,77. 63719 - 28546

9. 2,41 + 3,56 + 2,03 10. 400 + 30 + 9 12. 48 x 9 14. 111 x 0 15. (3x102) + (4x10) + 9 17. 47 x 56 19. 3627 + 5962 20. 20 x 20 21. 38 + 67 + 147

VERTICALES

1. 2,35 + 2,652. 3 x 113. 921 - 2674. (7x102) + (7x10) + 95. 62,05 - 49,0506. (4x12) - (6x7)8. 122 - 149. (8x103) + (3x102) + (6x10)1. 3569 + 391612. 8 x 5313. 23 x 5 x 2

15. 5322 - 4970 16. 4 x 248 18. 1,5 + 0,25 + 0,125 + 0,125 19. 10000 - 9991


PGF03-R03

LOS NUMEROS DECIMALES

ENUNCIACION-MODELACION.

El sistema decimal es la división de unidades contables con base en los múltiplos del número diez. Bajo el esquema mencionado, las fracciones de este sistema son el resultado de la división de los números no enteros entre el número base (diez)o múltiplos del mismo. Los números decimales son pues aquellas fracciones divisibles entre diez, con la característica de ser infinita.

Los números decimales, entonces, pueden ser expresados como fracciones con denominador 10 (diez)o sus múltiplos. Tenemos así que:

25 = 25/100

245362 = 245362/1000000

El conjunto de los decimales, está incluido en el de los racionales, Q.

La pregunta natural es entonces: ¿cómo saber si un número racional es decimal?

La regla es la siguiente:

Un racional es decimal si y sólo si el denominador de su fracción irreductible es de la forma 2n·5p ( n y p enteros).

Ejemplos

1/2, 1/4, 1/5, 1/8 y 1/10 son decimales, pero no 1/3, 1/6, 1/7 ni 1/9.

La noción de número decimal no es muy relevante en matemáticas, porque es relativa a la manera de escribir los números - aquí la base diez - y no es relativa a los números mismos. Haber escogido la base diez es una decisión arbitraria de la humanidad (debido seguramente a la cantidad de dedos de ambas manos), carente de significado matemático.


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Diez

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAltiplo

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n

PGF03-R03

Parte decimal

Parte entera

SIMULACION

Que opinión te merece el párrafo final de la enunciación anterior? Por qué?

LECTURA Y ESCRITURA DE NUMEROS DECIMALES En los números decimales tenemos:

23,4

La forma de escritura de este tipo de números, se visualiza fácilmente en el siguiente cuadro:

MODELACION:

Aplicación a las Ciencias:

Algunos récords de mamíferos.

El mamífero más alto es la jirafa, que mide 5,9 m. La serpiente más larga y más pesada es la anaconda, que alcanza 10,26 m de

longitud. El mamífero más pequeño es el murciélago nariz de cerdo, que pesa sólo 1,59 g y

tiene el tamaño de un abejorro.

(Ejercicio tomado de Aritmética y Geometría Santillana Grado 6.)Al escribir en forma de fracción decimal cada una de las medidas decimales tendremos:


PGF03-R03

5,9 =59/10 10,26 =1.026/100 1,59 =159/100OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

SUMA DE NÚMEROS DECIMALESPara sumar dos o más números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas; después se suman como si fuesen números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas. Ejemplo:

SIMULACION – MODELACION

1. Colocar en cada casilla del cuadro el resultado de la operación que se indica:

a= b= c=

d= e= f=

g= h= i=

a) 0,52+0,57


PGF03-R03

b) 1-0,12c) 1,5-0,47d) 0,31+0,63e) 0,35+0,65f) 2,5-1,44g) 1,75-0,78h) 6,1+4,98i) 2-1,09

(Ejercicio tomado de Aritmética y Geometría Santillana Grado 6.)

2. Realizar las siguientes sumas:

3. Un circuito A y un circuito B tienen la forma y las dimensiones que indica la figura.


PGF03-R03

RESTA DE NÚMEROS DECIMALESPara restar números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas. Si los números no tienen el mismo número de cifras decimales, se completan con ceros las cifras que faltan. Después, se restan como si fuesen números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.

SIMULACION - MODELACION

1. Calcula las siguientes restas de números decimales.


PGF03-R03

2. Observa el ejemplo resuelto y calcula de ese modo los restantes.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROSPara multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad.


PGF03-R03


1.

2.


PGF03-R03

3.

MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALESPara multiplicar dos números decimales se efectúa la operación como si fuesen números naturales y en el producto se separan tantas cifras decimales como cifras decimales tengan entre los dos factores.

SIMULACION – MODELACION1.


PGF03-R03

2.

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROSPara dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad.


1.

2.


PGF03-R03

DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNO NATURALPara dividir un número decimal por un número natural se hace la división como si fuesen números naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.


1.


PGF03-R03

2.

DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UNO DECIMALPara dividir un número natural por un número decimal se suprime la coma del divisor y a la derecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Después se hace la división como si fuesen números naturales.


PGF03-R03

SIMULACION - MODELACION1.

2.


PGF03-R03

DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALESPara dividir dos números decimales se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor; si es necesario, se añaden ceros.


1.


PGF03-R03

2.

EJERCITACION

PROBLEMAS CON NUMEROS DECIMALES.

1. Un agricultor ha recolectado 1.500 kg de trigo y 895 kg de cebada. Ha vendido el trigo a 22,35 ptas. el kilo y la cebada a 19,75 ptas. el kilo. Calcula:

a) El total recibido por la venta del trigo y la cebada.b) La diferencia entre lo que ha recibido por la venta del trigo y lo que ha recibido por la venta de la cebada.

2. Un coche A consume 7,5 litros de gasolina por cada 100 kilómetros y otro coche B consume 8,2 litros de gasolina por cada 100 kilómetros. Calcula:

a) La gasolina que consume cada coche en un kilómetro.

b) El importe de la gasolina que consume cada coche en un trayecto de 540 kilómetros, si el litro de gasolina cuesta 98 ptas.


PGF03-R03

3. Un litro de aceite pesa 0,92 kg. Calcula:

a) El peso de 8 bidones de aceite de 10 litros cada uno.b) Los litros de aceite que contiene un bidón que pesa 23 kg.

4. En un colegio se han hecho grupos para participar en unas competiciones de salto de longitud y salto de altura. Éstos son los tres grupos clasificados.

Calcula.a) La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de longitud.

b)La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de altura.

5. En el siguiente cuadro aparece la equivalencia de algunas monedas extranjeras con la peseta. Calcula:


PGF03-R03

6.Un camión transporta 3 bloques de mármol de 1,3 toneladas cada uno y 2 vigas dehierro de 0,5 toneladas cada una. Calcula:

a) El total de toneladas que transporta el camión.b) El total de kilos que transporta el camión, si 1 tonelada es igual a 1.000 kilos.

7. La yarda es una unidad de longitud inglesa que equivale a 0,914 metros. Calcula:

a) La longitud en metros de un trayecto A que mide 100 yardas y la longitud en metros de un trayecto B que mide 180 yardas.

b) La longitud en yardas de un trayecto C que mide 18,28 metros y la longitud en yardas de un trayecto D que mide 45,7 metros.

c) La diferencia en milímetros que hay entre un metro y una yarda.

8. En el siguiente cuadro aparece el número de calorías que tiene aproximadamente 1 gramo de algunos alimentos.


PGF03-R03

Calcula.a) El número de calorías que tienen una barra de pan de 125 gramos, una manzana de 175 gramos y un filete de 150 gramos.

b) El número de calorías que tienen 125 gramos de queso blanco, un filete de 180 gramos y 250 gramos de espárragos.

c) El peso en gramos de una manzana que tiene 41,6 calorías, de un filete que tiene 525 calorías y de una barra de pan que tiene 1.402,5 calorías.


PGF03-R03

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS ATENDIENDO A SU PARTE DECIMAL.

1. Números enteros: Carecen de parte decimal, por ejemplo, 1, 8, -3, 9

2. Números decimales exactos:

Tienen un número finito de cifras decimales, ejemplo 2,33 5,6789

3. Números decimales periódicos:

Tienen infinitas cifras decimales que siguen una pauta a partir de una dada, a las cifras que se repiten se les llama periodo, como no se pueden expresar las infinitas cifras se coloca un arco sobre las cifras que forma el periodo, ésto indica que hay infinitas cifras que se repiten según el periodo fijado.

Los números periódicos se subdividen a su vez en:a)Periódicos puros: Todas la cifras decimales forman parte del periodo

b)Periódico mixto: Hay cifras en la parte decimal que no forman parte del periodo

4. Números decimales no periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que no siguen una pauta, es el caso de números como


PGF03-R03

EJERCITACION

1. Completa el siguiente cuadro, escribiendo X, según la expresión decimal sea finita, periódica pura, periódica mixta.

420

23

350

1√2

710

411

1513

1914

2316

DecimalFinito

Decimal Periódico

PuroDecimal

PeriódicoMixto

Decimal no

periódico ( I )

2. Indica cuáles de las siguientes expresiones representan un número racional (Q) o un número irracional (II):

a. 9,171717... b. 0,17171717....

c. 1,4242.... d. 1,8976489764...


PGF03-R03

CONVERSION DE NUMEROS DECIMALES A FRACCIONARIOS.

Un número decimal exacto o per iódico puede expresarse en forma de fracción, l lamada fracción generatriz , de las formas que indicamos:

Pasar de decimal exacto a fracción

Si la f racción es decimal exacta , la f racción t iene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Pasar de periódico puro a fracción generatriz

Si la f racción es periódica pura , la f racción generatr iz t iene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras t iene el período.

Pasar de periódico mixto a fracción generatriz

Si la f racción es periódica mixta , la f racción generatr iz t iene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.


PGF03-R03

MODELACION – EJERCITACION

3. Escribe como fracción los siguientes decimales finitos:


a. 3,25 = b. 4,18 =

c. 5,3 = d. 6,37 =

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1. Escribe como racional los siguientes decimales periódicos puros:


e. 3,458 f. 16,45 =

g. 33,33 h. 0,1 =

a. 5 ,23=

b.6 ,472=

PGF03-R03

5. Escribe como racional los siguientes decimales periódicos mixtos:

DEMOSTRACION

Los números decimales

Para expresar cantidades más pequeñas que la unidad, utilizamos las décimas, centésimas, milésimas… ¿Qué tal se te dan los números decimales? Compruébalo con este test.

Pregunta: ( 1 )Escribe con cifras siete unidades, cinco décimas:

70’5.

7’05.

7’5.


c. 8 ,599=

a. 6,3 4= b.86 ,0 77= c.1 ,12 15=

PGF03-R03

Pregunta: ( 2 )Calcula: 3185’39 • 0’001: 318’539. 31’8539. 3’1853.

Pregunta: ( 3 )Calcula: 25’3 • 0’17 0’51. 4’301. 43’01.

Pregunta: ( 4 )Calcula: 45’21 + 132’367 187’088. 166’432. 177’577.

Pregunta: ( 5 )Redondea este número a las centésimas: 38’541 38’55. 38’54. 38’50.

Pregunta: ( 6 )Para expresar una fracción como número decimal, se divide el numerador entre el denominador. Verdadero. Falso.

Pregunta: ( 7 )¿Qué tipo de número decimal es el resultado de dividir 51:6? 8’5 número decimal exacto. 8’5 número decimal periódico puro. 8’5 número decimal periódico mixto.

Pregunta: ( 8 )Hay dos tipos de números decimales periódicos, ¿cuáles son? Periódico exacto y periódico no exacto. Periódico puro y periódico mixto. Periódico puro y periódico no puro.


PGF03-R03

Pregunta: ( 9 )Ordena de mayor a menor: 8’5; 8’67; 8’07; 8’45:

8’07>8’45>8’5>8’67. 8’5>8’67>8’45>8’07. 8’67>8’5>8’45>8’07.

Pregunta: ( 10 )Calcula: 2015 : 0’62 32’5. 3250. 325.


PGF03-R03

UNIDAD III

RAZONES Y PROPORCIONES

PROPOSITO

Realizar diferentes operaciones con proporciones, a partir de la definición de la propiedad fundamental y resolver problemas de aplicación.


PGF03-R03

RAZONES Y PROPORCIONES

ENUNCIACION.

Tanto en la vida diaria como en las operaciones comerciales es necesario comparar cosas, ya que algunos enunciados que involucran números, tienen un significado muy restringido si no se comparan con otros o con otras cantidades En la siguiente presentación usted podrá apreciar lo que son las Razones y Proporciones, aparte de ejercicios de explicación y aplicación.

AnécdotaLa leyenda del Ajedrez

Una antiquísima leyenda cuenta que Sheram, príncipe de la india, quedó tan maravillado cuando conoció el juego del ajedrez, que quiso recompensar generosamente a Sessa, el inventor de aquel entretenimiento. Le dijo: "Pídeme lo que quieras". Sessa le respondió: "Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64". El príncipe no pudo complacerle, porque el resultado de esa operación S = 1 + 2 + 4 + ... + 263 es aproximadamente 18 trillones de granos. Para obtenerlos habría que sembrar la Tierra entera 65 veces. Pulula por los círculos matemáticos un sorprendente final de la historia. Sheram, preocupado al haber empeñado su palabra, mandó llamar al matemático del reino, un tal Pepe Martínez Aroza, el cual razonó de la siguiente manera: "Alteza, puesto que no tenéis trigo suficiente para pagar la deuda contraída con Sessa, igual os daría deberle aún más. Sed, pues, magnánimo y aumentad vuestra recompensa a la cantidad S = 1 + 2 + 4 + 8 +... hasta el infinito. Observad que, a partir de la segunda casilla, todas las cantidades a sumar son pares, lo cual nos permite escribir S = 1 + 2 Ã- (1 + 2 + 4 + 8 +...), o lo que es lo mismo, S = 1 + 2 Ã- S. Ahora, vos mismo podéis resolver esta sencilla ecuación de primer grado y, veréis que la única solución es S = -1. Podrás decir a Sessa que no solamente puede considerarse pagado con creces, ya que haber aumentado enormemente tu recompensa, sino que actualmente se adeuda un grano de trigo."

RAZONES Y PROPORCIONES.

A continuación veremos algunos conceptos básicos sobre cada uno de estos temas:


http://www.monografias.com/Historia/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos55/historias-de-matematicos/historias-de-matematicos.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/origen-tierra/origen-tierra.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/origen-tierra/origen-tierra.shtml

http://www.monografias.com/trabajos38/principe-maquiavelo/principe-maquiavelo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/ajedrez-validacion/ajedrez-validacion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/metodos-creativos/metodos-creativos.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/la-india/la-india.shtml

http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2832750643780337&pb=f8b535c3ac7f3317&fi=9e36ad9ca842b2e2&kw=leyenda

http://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtml

PGF03-R03

RAZONEs la comparación entre dos cantidades.

ENUNCIACION - MODELACION.

48 es a 4 veces 12

Por lo tanto si tenemos dos cantidades: a y b.

Donde:

a : Antecedente

b: Consecuente

PROPORCION

Es la igualdad de dos razones de una misma clase y que tienen el mismo valor

a: es primer termino

b: segundo termino

c: Tercer termino

d: cuarto termino

NOTA:En toda progresión aritmética se cumple que:

Suma de Extremos = Suma de Medios

a / b = c / d

En donde:

a y d: términos extremos

b y c: términos medios


http://www.monografias.com/trabajos901/debate-multicultural-etnia-clase-nacion/debate-multicultural-etnia-clase-nacion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtml

PGF03-R03

MODELACION.Ejemplo:Se tiene 4 recipientes cuyas capacidades son: 21Ltrs, 7Ltrs, 15Ltrs, 9Ltrs las cuales se comparan mediante la división del siguiente modo :

21Ltrs / 7Ltrs = 315Ltrs / 5ltrs = 3 Entonces: 21Ltrs / 7Ltrs = 15Ltrs / 5Ltrs

Interpretación: La capacidad de 21 Ltrs es a la capacidad de 7 Ltrs como ta de 15L es a la de 5L.

SERIE DE RAZONES GEOMETRICA EQUIVALENTES

a1 / b1 = a2 / b2 = a3 / b3 =…………….=a n / b n = k

Donde:

K es constante de proporcionalidad

Ejemplo:

30 / 5 = 24 / 4 =72 / 12 = 42 / 7 = 6

En toda serie de razones iguales, la razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes es equivalente a una cualquiera de las razones de la serie:

Simbólicamente,

Si ab= cd= ef entonces

a+c+eb+d+ f

=ab= cd= ef


PGF03-R03

MODELACION:12=3

6= 8

10 entonces 1+3+5+8

2+6+10+16=17

34=1

2

Razones y proporciones aplicados en la interpretación de los negocios

EL PROPOSITO ES:

Interpretación y generalización de modelos matemáticos en las diferentes situaciones de la vida cotidiana, particularmente las relacionadas con la administración de negocios en las cuales se utilicen las razones y las proporciones.

El estudiante deberá desarrollar de manera conceptual y grafica y el razonamiento en el momento de resolver problemas de aplicación de las razones y proporciones.


http://www.monografias.com/trabajos15/plan-negocio/plan-negocio.shtml

http://www.monografias.com/Administracion_y_Finanzas/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos55/historias-de-matematicos/historias-de-matematicos.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml

PGF03-R03

PROPORCIONESEjemplo 1

Una inversión de S/. 5500 produce una utilidad de S/. 385 al año, otra inversión produjo una utilidad de S/. 560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de la segunda inversión?

Resolución:

Ejemplo 2

Si quinientos alumnos de la especialidad de negocios internacionales y administración realizan un examen de ingreso del curso de matemática de los cuales la relación de los que aprobaron y las que no aprobaron es de 7 es a 3 ¿Cuántos alumnos aprobaron .

Resolución:

Aprobaron 7k = 7(50) = 350 alumnos aprobaron


http://www.monografias.com/Matematicas/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos36/administracion-y-gerencia/administracion-y-gerencia.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/comerci/comerci.shtml

http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.8436121159559948&pb=f8b535c3ac7f3317&fi=d47fe9d4b32d7841&kw=tiempo

PGF03-R03

Ejemplo 3

El dinero de Juan es el dinero de Pedro como 7 es a 3 .si Juan gasta S/.200 le queda S/150 ¿Cuánto de dinero tiene Pedro? .Halla el total de Juan y Pedro.

Resolución:

Ejemplo 4

La edad de un padre es a la edad de su hijo como 7 a 2, además entre las edades sumas 72 ¿qué edad tiene el hijo hace 2 años?

Resolución:

P = 7k

H = 2k

Ejemplo 5

En una bodega la razón de varones que toman cerveza o una gaseosa es 6/8. si en la bodega hay 60 clientes varones ¿cuántos de ellos toman una cerveza ? . Si la cerveza cuesta S/.6 ¿cuántos fueron los ingresos del día por la venta de cerveza a los varones?

Resolución:


http://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/cofi/cofi.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/sercli/sercli.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/cervza/cervza.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/marx-y-dinero/marx-y-dinero.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/marx-y-dinero/marx-y-dinero.shtml

PGF03-R03

C = 5k

Remplazando = 5k

G = 7k = 5(5) = 25 toman varones

Valor de cerveza = S/.6

C + G = 60

5k+ 7k= 60 remplazando 25 x 6 = S/.150 por día

12k = 60

k = 60/12

k = 5

EJERCITACION

1. Determinar cual es el antecedente y el consecuente de las siguientes razones:

a)

45 b)

32 c)

1512 d)

204 e)

10020

2. Expresa cada una de las siguientes magnitudes en forma de razón.

a. 3 y 6 b. 2 y 8 c. 6 y 3 d.8 y 2e. 3 y 9 f. 5 y 2 g. 7 y 5 h. 3 es a 8I. 6 es a 0,5 j. –8 es a 3 k. 100 es 28 l. 3/5 es a -5

3. Expresa como razón las siguientes expresiones e identifica en cada una de ellas el término antecedente y consecuente.

a. 3 personas de cada 20 leen el periódicob. 12 personas de cada 25 ven un noticiero de televisiónc. 30 vacas de 100 están vacunadas contra aftosad. Un auto recorre 120 kilómetros con 4 galones de gasolina.e. Con 6 naranjas se hacen 3 vasos de jugof. 1cm representa en un mapa una distancia de 50 kmg. se requiere 2 cucharadas de fresco para cada vaso de aguah. 2 cajas contiene 60 huevos


http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

PGF03-R03

a. Un auto recorre 160 Km por cada 5 galones de gasolina. ¿Cuál es el rendimiento del carro por galón de gasolina?

b. Un carro recorrió 500 Km en 5 horas y consumió 20 galones de gasolina. ¿Cuál es su velocidad? ¿Cuál es su rendimiento?

4. Utilizando la propiedad fundamental de una proporción, verifica cuál de las siguientes pares de razones forman una proporción.

5. Soluciona los siguientes problemas:


1512

108 y

42

2211 y 8

643

y

16252

852 y

166

52 y 6

431y

PGF03-R03

6. Usando la propiedad de una serie de razones equivalentes, hallar los valores

desconocidos en cada una de las siguientes proporciones:

a.a6= b

10 , si a+b = 8

b.ab=2

6 , si a+b = 4

c.a8=b

2 , si a-b = 15

d.ab=4

3 , si a-b = 2

e.11a=7b , si a-b = 8

f.6a=4b , si a+b = 20

g.ab=8

7 , si a+b = 30

h.ab=11

5 , si a-b = 24

Para resolver el punto 6. Será muy útil, revisar los siguientes criterios:

OTRAS PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:

En toda proporción se cumplen las siguientes propiedades.

La suma o la resta de los antecedentes es a la suma o resta de los consecuentes

como cada antecedente es a su consecuente.

En general, si ab= cd entonces

a±cb±d

=ab= cd

Modelación: 25= 4

10 entonces 2+45+10

= 615

=25


PGF03-R03

Se pueden intercambiar loa medios o los extremos y el resultado sigue siendo una

proporción.


ac=bd y

db= ca

Modelación:

Si 124=6

2 entonces 126= 4

2

La suma o resta de los términos de la primera razón es al primer antecedente como la

suma o resta de los términos de la segunda razón es al segundo antecedente.


a±ba

= c±db

Modelación:

152=45

6 y 15+2

15=45+6

45

La suma o resta de los términos de la primera razón es al primer consecuente como la

suma o resta de los términos de la segunda razón es al segundo consecuente.


a±ba

= c±db

Modelación:


PGF03-R03

79=14

18 y 7−9

9=14−18

18

La suma de los términos de la primera razón es a la diferencia de los términos de la

primera razón como la suma de los términos de la segunda razón es a la diferencia de

los términos de la segunda razón.


a+ba−b

= c+dc−d

Modelación:

47=12

21 y 4+74−7

= 12+2112−21

CÁLCULO DE UN ELEMENTO DE LA PROPORCIÓN:Para calcular un elemento de una proporción es suficiente despejarlo.

Cálculo de un Extremo ab= cx⇒a . x=b .c

Resolviendo la ecuación para x, se tiene:x=b .c

a

Ejemplo:−35

=12x⇒(−3 ). x=5 .12

y x= 5 .12

−3−20

Cálculo de un medio de una proporción

ax=bc⇒b . x=a .c

Resolviendo la ecuación para x, se tiene:x=a .c

b

Ejemplo:8x= 9

18⇒9 .x=8. 18

y x=8 .18

9=16


PGF03-R03

Cálculo de un medio de una proporción ax= xb⇒ x .x=a.b

⇒ x2=a .b ⇒ x=±√a .b

Ejemplo:3x= x

48⇒ x2=3. 48

y x=±√144=±12

Ejemplo:

14x= x

25⇒ x2=1

4.25

yx=±√25

4=±

52


PGF03-R03

EJERCITACION

1. Calcula el valor del término desconocido en las siguientes proporciones:

a.

35= x

10 b.

−0 ,03b

= b−12 c.

1343

= x7

d.

0 ,32a

= a0,5 e.

2,62= x

5 f.

18x=2

3

g.

94=36x h

9,62,4

= x3,1 i.

24=4x

j.

24=16x k.

57= x

21 l)

12y= y

3


2. En un grupo 2 de cada 5 son mujeres. si el grupo es de 30 personas. ¿Cuántas mujeres hay?

3. Un auto con velocidad constante, tarda 5 minutos en recorrer 8 km. ¿Cuánto tarda en recorrer 104 km?

PGF03-R03

6. Observa la tabla de medidas comunes en las recetas de cocina.

MEDIDAS COMUNES

1 pizca = 14 de cucharadita

3 cucharaditas = 1 cucharada

2 cucharadas = 30 gramos = 1 onza

4 cucharadas = 14 de taza

8 cucharadas = 12


4. 7 chocolatinas cuestan $ 4550. ¿Cuántas chocolatinas puede comprar con $5850?

5. 15 niñas elaboran 75 chocolatinas. ¿Cuántas chocolatinas elaboran 45 niñas?

PGF03-R03

6. Determina cuáles razones forman una proporción escribiendo entre ellas = o

según corresponda.

a. 35

_____ 35 d.

1814

_____ 97 g.

1524

_____ 3032

b. 12

_____ 23 e.

216

_____ 97 h.

728

_____2832

c. 1510

_____ 64 f.

10415

_____ 6028 i.

216

_____ 72


Proporción Medios

Extremos Antecedentes Consecuentes

1815

= 97,5

1428

=48

517

=1034

15=10

50

3,216

= 420


PGF03-R03

8. Dada la proporción 65=12

10

a. Forma la razón

SumadeantecedentesSumadecon secuentes

:

b. Forma la razón

SumademediosSumadeextremos

:

c. Forma la razón

DiferenciasdeantecedentesDiferenciadeconsec uentes

:


PGF03-R03

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALESDos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

1. Al aumentar una de ellas también aumenta la otra; o al disminuir una la otra también.

2. El cociente entre las dos magnitudes es siempre el mismo.

Ejemplo

En un día las raíces de un árbol grande pueden tomar del suelo alrededor de 200 litros de agua.

Con la anterior afirmación podemos deducir:

1º día 200 litros2º día 400 litros3º día 600 litros. . .. . .. . .

Podemos concluir que la cantidad de litros es directamente proporcional a los días ya que al

aumentar los días aumenta la cantidad de litros.

Con base a lo anterior responde:

a) Encuentra el cociente entre la cantidad de litros y los días (hasta el día 5)

b) Como son estos cocientes?

c) Estas magnitudes son directamente proporcionales?

TABLA DE VARIACION

La tabla de variación muestra la relación que hay entre dos magnitudes.

Ejemplo:

Un automóvil recorre 60 km por cada hora. ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 horas?


PGF03-R03

Con base a lo anterior nuestra tabla de variación es de la forma:

Horas 1 2 3 4 5

Kilómetros 60 120 180 240 300

EJERCITACION

1. Realiza la tabla de variación para las magnitudes dadas:

El precio de un cuaderno es de $ 550. ¿Cuánto valen 5 cuadernos?

Un automóvil viaja a 75 km por hora. ¿Cuántos km recorre en 6 horas?

El perímetro de un cuadrado es 4 veces la medida de un lado. ¿Cuál es el perímetro de los cuadrados si la mediada de los lados son 1,2, 3, 4 y 5?

para hacer 2 vasos de malteada se necesitan 4 cucharadas de leche en polvo. ¿cuántas cucharas se necesitan para 8 vasos?

2. Completa las siguientes tablas de variación

a)

b)Decímetros 1 2 3 4 5Centímetros 20 40

c)

Esferos 1 2 3 4 5Costo 1730,7 6922,8


Minutos 1 2 3 4 5Kilómetros 4,5 7,5

PGF03-R03

60

120

180

X1 2 3 4

d) Cuadernos 1 2 3 4 5Costo 2800 7000

GRAFICOS DE MAGNITUDES DIRECTAS

Los datos obtenidos en la tabla de variación los podemos representar en el plano cartesiano.

Ejemplo:

Horas 1 2 3 4

Kilómetros 60 120 180 240

Representado en el plano cartesiano queda de la siguiente forma:

(4,240)

(3,180)

(2,120)

(1,60)

Las magnitudes referentes a las horas se representan en el eje horizontal que lo vamos a

llamar X. Las magnitudes referentes a los valores de kilómetros los representamos en el eje

vertical que el cual lo llamaremos Y. El punto (1,60) que en la grafica es le primera

coordenada, se denomina una pareja ordenada.


5

240Y

PGF03-R03

EJERCITACION

De acuerdo con el enunciado, realiza la tabla de variación y represéntala gráficamente

a) Un auto recorre 120 Km. en 2 horas

Tiempo 1 2 3 4 5

Distancia

b) una persona recorre 12 Km. en 3 horas

Tiempo 1 2 3 4 5 6

Distancia

c) El pingüino no puede volar pero recorre160 Km. en 5 horas

Tiempo 1 2 3 4 5 6

Distancia


PGF03-R03

DEMOSTRACION

1. ¿Cuánto cuestan 8 kilos de manzanas si 11 kilos cuestan 14.350 pesos? 2. Se han pagado 25.500 pesos por la compra de 3 calculadoras. ¿Cuánto valen 7 calculadoras? ¿Y 30? ¿Y 23? 3. Un automóvil consume 56 litros de gasolina al recorrer 800 kilómetros, ¿cuántos litros de gasolina consumirá en un viaje de 500 kilómetros?

4. Una tubería tiene una fuga de agua y pierde 322 litros de agua cada 7 minutos. ¿En cuánto tiempo se perderán 2300 litros? 5. Se dispone de 420 litros de agua almacenados en 7 depósitos iguales. ¿Cuántos litros de agua contendrán 13 depósitos iguales a los anteriores? 6. Una máquina envasa 1200 latas de refresco en una jornada de 8 horas. ¿Cuántas latas de refresco envasará en un día que trabaje 5 horas?

7. A cierta hora del día un palo de 1,5 m. de largo proyecta una sombra de 60 cm. ¿Cuánto mide un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 2,40 m.? 8. Completar la tabla sabiendo que las dos magnitudes son directamente proporcionales:


PGF03-R03

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALESDos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:

Al aumentar una de ellas la otra disminuye, o, al disminuir una de ellas la otra aumenta.

El producto de los valores de las dos magnitudes siempre es el mismo.

Ejemplo1: Se distribuye 36 bultos de café entre 1, 2, 4, 6, 9, 18 y 36 tiendas, para cada caso.

¿Cuántos bultos de café se dejan en cada tienda?

La tabla correspondiente a la cantidad de bultos que se entregaran de acuerdo con la

cantidad de tiendas es la siguiente. Completa la tabla y contesta:

Si aumenta la cantidad de tiendas, ¿Qué sucede con la cantidad de bultos dejados en cada tienda, aumenta o disminuye?

____________________________________________________________________________

encuentra en producto cantidad de tiendas por cantidades de bultos. ¿Cómo son estas cantidades?, de acuerdo con las definiciones de magnitudes, ¿estas magnitudes son inversa o directamente proporcionales?

_____________________________________


Numero de tiendas

Cantidad de bultos

1 36

2 18

4 9

6 6

9 ?

18 ?

36 ?

PGF03-R03

_____________________________________

MODELACION

Ejemplo 1.

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para

realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Formamos la tabla: Hombres 3 6 9 ... 18Días 24 12 8 ... ?

Ejemplo 2 15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias? Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de

horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.


PGF03-R03

SABEMOS QUE díasardantdiariashorastrabajandoobreros 30615

REDUCCIÓN A LA UNIDAD

díasardatdiariashorastrabajandoobrero 45015.3061

díasardatdiariahoratrabajandoobrero 27006.45011

BÚSQUEDA DEL RESULTADO

díasardantdiariahoratrabajandoobreros 27010

2700110

díasardantdiariashorastrabajandoobreros 75.338

270810

Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33.75 días.

SIMULACION

1. Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.

Calcula la velocidad a la cuál va el vehículo si tarda, respectivamente 9 y 4 horas.

APLICACIONES DE LA REGLA DE TRES SIMPLE A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

1. Identificar cuáles de los siguientes problemas se pueden resolver utilizando regla de tres simple directa y cuáles se resuelven utilizando la regla de tres simple inversa.

a) Si con $130.000 se pueden comprar 40 metros de tela, ¿cuántos metros de tela se pueden comparar con $600.000?

b) Una empresa de transporte cobró $240.000 por transportar 680 Kg, ¿Cuánto cobra por transportar 5.460 kg a la misma ciudad?

c) Un grupo de 15 personas tiene alimentos para 24 días. So se quiere que el alimento dure 6 días más, ¿cuántas personas tendrán que ser retiradas del grupo?

d) Si 25 telares tejen una cantidad de tela en 60 horas, ¿cuántas horas invertirán 42 telares en tejer la misma cantidad de tela?

e) 20 docenas de naranjas valen $48.000, ¿cuánto valen 100 naranjas?


PGF03-R03

2. Los estudiantes de un colegio investigaron la relación entre las vitaminas y los alimentos, ellos hicieron un trabajo sobre la vitamina C y elaboraron la siguiente tabla:

Alimento Porción normal (en gramos o mililitros)

Miligramos de vitamina C por porción

Jugo de Naranja 125 61Papa al horno o hervida 100 22Banano 100 10Manzana 100 7Tomate 100 23

Completar la siguiente tabla y calcular la cantidad de vitamina C que consume una persona en un día.

Alimento Porción Miligramos de vitamina CPapas hervidas 350 gTomates 250 gManzana 100 gJugo de Naranja 300 ml

Total

Tomado de Aritmética y Geometría II, Editorial Santillana.

EJERCITACION

1 – Consultar la grafica de las magnitudes inversamente proporcionales

2 – El área del rectángulo es 12 cm2. Si el ancho del rectángulo es 4cm, ¿Cuál es largo?, ¿realizar la tabla de variación para las medidas de ancho 1, 2, 3, 4 y 6?

3 – Para un campamento de los alumnos de grado sexto se llevan víveres para doce días, tomado como base que cada niño que cada niño recibirá como 5 raciones diarias, si un niño recibe 4 raciones diarias, ¿paran cuantos días alcanzan los víveres?, ¿con 3 raciones diarias?, ¿con 2? y ¿con una ración diaria?

4 – Para llenar un tanque, 4 llaves emplean 30 minutos, ¿en cuántos minutos llenan el tanque 2, 3, 4, 6 y 10 llaves?, realiza la tabla de variación.

5 – si 5 hombres tiene comida para 6 días, ¿para cuantos alcanzara la comida si se quiere que dure 2 días?, ¿3 días?, ¿5 días?, ¿10 días?, ¿15 y 30 días?


PGF03-R03

6 – Para ir a la ciudad perdida un auto gasta 6 horas a una velocidad de 60 kilómetros por hora. ¿Cuánto gastara en hacer el mismo recorrido, un auto que va a una velocidad de 90 kilómetros por hora?

7 – Para multicopiar un material didáctico se utilizaron tres fotocopiadoras, de la misma capacidad, que tardaron media hora en hacer el trabajo.

a) ¿Cuánto tiempo habría gastado 1 fotocopiadora?b) ¿5 fotocopiadoras?c) ¿6 fotocopiadoras?

8 – Graficar las situaciones de los puntos (1 - 7)

APLICACIONES.

REGLA DE TRES.

Regla de tres simple directa e inversa.

Regla de tres simple directa.

Modelación:

Un automóvi l recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos ki lómetros habrá

recorr ido en 2 horas?

Son magni tudes directamente proporcionales , ya que a menos horas

recorrerá menos k i lómetros.

240 km 3 h

x km 2 h


PGF03-R03

Simulación:

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan $5.800, ¿cuánto pagará Ana?. Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros.

EJERCITACION.

Regla de Tres simple inversa.

Modelación.

Una l lave suminist ra agua a 18 l i t ros por minuto y tarda 14 horas en l lenar

un depósito. ¿Cuánto tardaría s i su caudal fuera de 7 l i t ros por minuto?

Son magni tudes inversamente proporcionales , ya que a menos l i t ros por

minuto tardará más en l lenar el depósi to.

18 l /min 14 h

7 l /min x h


PGF03-R03

Simulación

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construir lo

6 obreros? Son magni tudes inversamente proporcionales , ya que a más obreros tardarán menos horas.

EJERCITACIÓN

REGLA DE TRES COMPUESTA

REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA.

ENUNCIACION-MODELACION

Nueve l laves ab ie r tas durante 10 horas d iar ias han consumido una cant idad de

agua por va lor de $60 .000. Aver iguar e l prec io de l ver t ido de 15 l laves ab ier tas

12 horas durante los mismos d ías .

A más g r i fos , más euros Directa .

A más horas , más euros Directa .

9 L laves 10 horas $ 60.000

15 L laves 12 horas x $


PGF03-R03

915

∗10

12=60.000

x 90

180=60.000

x x¿ 180∗60.00090

X = $120.000

REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA.


5 obreros t raba jando 6 horas d iar ias construyen un muro en 2 d ías . ¿Cuánto

tardarán 4 obreros t raba jando 7 horas d iar ias?

A menos obreros , más d ías Inversa .

A más horas , menos días Inversa .

5 obreros 6 horas 2 d ías

4 obreros 7 horas x d ías

REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA.



PGF03-R03

Si 8 obreros rea l i zan en 9 d ías t raba jando a razón de 6 horas por d ía un muro de

30 m. ¿Cuántos d ías neces i ta rán 10 obreros t raba jando 8 horas d iar ias para

rea l i zar los 50 m de muro que fa l tan?

A más obreros , menos días Inversa .

A más horas , menos días Inversa .

A más met ros , más días Directa .

8 obreros 9 d ías 6 horas 30 m

10 obreros x d ías 8 horas 50 m

SIMULACION

a) Ident i f icar la relación entre las magni tudes (di recta, inversa,

mixta).

b) Resolver cada problema.

PROBLEMA 1.


PGF03-R03

Para calentar 2 l i t ros de agua desde 0ºC a 20ºCse han necesi tado

1000 calorías. Si queremos calentar 3 l i t ros de agua de 10ºC a

60ºC ¿Cuántas calorías son necesar ias? Ten en cuenta que en

este problema intervienen 3 magnitudes, la cant idad de agua, e l

salto térmico y la cant idad de calorías.

¿Cuál es la re lación entre las magnitudes?

Si se quiere calentar más cant idad de agua habrá que usar más

calorías (re lación directa)

Si se quiere dar un mayor sal to térmico habrá que usar más

calorías (re lación directa).

PROBLEMA 2.

En una mina, una cuadr i l la de 4 mineros abren un túnel de 50

metros de longitud en 17 días. Si ot ra cuadr i l la t iene 17 mineros.

¿Cuántos metros de túnel abr irán en 32 días?


PGF03-R03

OTRA APLICACIÓN: Repartos proporcionales

Muchas si tuaciones de la v ida cot id iana requieren repart i r una

suma total en var ias partes que son proporcionales a números

previamente acordados. Por ejemplo, la ganancia de una sociedad es

proporcional a l capi ta l aportado por cada uno de los socios, o, como lo

i lustra el s iguiente ejemplo:

MODELACION

Se necesita repartir 810 gal l inas en tres corrales; el primero t iene 8 m 2 , el segundo t iene 10 m 2 y el tercero 12 m 2 . ¿cuántas gal l inas ocupan cada corral?

Solución:

Las gall inas deben repartirse proporcionalmente al tamaño de cada corral.

Si l lamamos a,b, y c a las cantidad de gall inas en cada corral, asociadas respectivamente al área de cada corral, establecemos las siguientes proporciones:


PGF03-R03

Corral 1: 81030

=a8

a=810∗830

=216

Este resultado nos indica que en el corral de 8 m 2 ,

pondremos 216 gal l inas.

Corral 2:81030

= b10 a=810∗10

30=270

Este resultado nos indica que en el corral de 10 m 2 ,

pondremos 270 gal l inas.

Corral 3: 81030

= c12 a=810∗12

30=324

Luego, en el corral de 12 m 2 , pondremos 324 gal l inas.

SIMULACIÓN.

1. Un padre quiere repart i r 50.000 estampil las de colección entre sus

3 hi jos en partes proporcionales a sus edades, que son 12, 16 y 22

años. ¿Cuántas le corresponden a cada uno?

2. Dos hermanos de 8 y 11 años reparten 95 bi l letes proporcionalmente

a sus edades. ¿Cuántos bi l letes le corresponden a cada uno?

3. Para los 16 puestos del concejo municipal se depositaron 800.000

votos. Por la l is ta A hubo 150.000 votos, por la l is ta B, 200.000

votos y por la l is ta C, e l resto. ¿Cuántos concejales habrá de cada

l ista?


PGF03-R03

EJERCITACIÓN.

1. El jefe de una empresa decide repart i r 5.000 camisas entre 4 de

sus empleados porporcionlamente a la ant igüedad en la empresa

que es de 1 año, 3 años, 4 años y 8 años. ¿Cuántas camisas le

corresponden a cada uno?

2. Tres famil ias planean real izar una sal ida de campo. El costo total

de la sal ida es de $450.000. Si las fami l ias están conformadas por

5, 3 y 10 personas respect ivamente, ¿Cuánto dinero le corresponde

aportar a cada fami l ia para cubr i r los gastos?

3. Se desea repart i r c ier ta cant idad de bolas de cr istal entre t res niños

de 3, 5 y 6 años. Si a l mayor le corresponden 18 bolas, ¿Cuántas

deben recibi r los otros niños si e l reparto es proporcional a sus

edades?


PGF03-R03

DEMOSTRACION

Debes tener en cuenta el concepto de porcentaje para calcular los

s iguientes problemas:

1. El prensado de 1.500 kg de aceituna produjo el 36%de su peso en

acei te. Calcula la cant idad de acei te obtenida.

2. Si hoy han faltado a clase por enfermedad el 20% de los 30 alumnos/as, ¿cuántos

alumnos han asistido? ¿Cuántos alumnos/as han faltado?

3. Los embalses de agua que abastecen a una ciudad

tienen una capacidad total de 400 km3, y se

encuentran al 27 % de su capacidad. ¿Cuántos km3

contienen?

4. En una población de 7.000 habitantes, el 80% tiene más de 18 años. Averigua el

número de personas mayores de esa edad.


PGF03-R03

5. De 500 mujeres encuestadas, 370 afirman que

les gusta el fútbol. Expresa esta cantidad mediante

un porcentaje.

6. María recibe el 12% del dinero de las ventas que realiza. ¿Cuánto tendrá que

vender para ganar 4.800 €?

UNIDAD IV

INTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS


PGF03-R03

PROPOSITO

Usar los Diagramas de Venn-Euler para la solución de problemas con conjuntos e identificar a partir de los mismos operaciones realizadas con colecciones de elementos.


PGF03-R03

NTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.Georg Cantor

Un conjunto es un saco lleno de elementos. Dentro del saco puede haber números, letras, plantas, personas, mastodontes,..., prácticamente cualquier cosa.

Julius Wilhelm Richard Dedekind

Otras formas de caracterizar un conjunto son las siguientes:


http://es.wikipedia.org/wiki/Julius_Wilhelm_Richard_Dedekind

http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel

http://es.wikipedia.org/wiki/Zermelo

http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIX

http://es.wikipedia.org/wiki/Julius_Wilhelm_Richard_Dedekind

http://es.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege

http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Absolute_complement_(set_teory,_Venn_diagram).PNG

PGF03-R03

- Es una colección bien definida de objetos o cosas, donde, bien definida significa distinguir con claridad los elementos que forman parte del conjunto.

- Son colecciones, agrupaciones o reuniones de elementos a los cuales identificamos por tener propiedades en común.

- Es una colección de objetos; en los que a cada uno de los objetos que componen un conjunto se le denomina elemento de un conjunto.

Para representar que un elemento “a” pertenece al conjunto “A” se aplica el símbolo de

pertenencia 𝜖. Se utiliza a 𝜖 A, que se lee: “a” pertenece a “A”. y se conoce como relación de pertenencia, señala la relación entre elementos y conjuntos exclusivamente.

Si un elemento no pertenece a un conjunto se denota por ∉, por ejemplo si b no pertenece a A se expresara como b ∉ A, que se lee: b no pertenece a A.

Algunos ejemplos de pertenencia son: Conjuntos Elementos Pertenencia

D = Un día de la semana m = mayo l 𝜖D

M = Un mes del año l = lunes m 𝜖 M

Z = Un número entero n = 2 n 𝜖 Z

Formas de definir un conjunto.

1).- Enumerando todos los elementos del conjunto (solo se puede hacer si el conjunto es finito)

2).- Por medio de una propiedad característica de los elementos que forman a ese conjunto, esta propiedad puede expresarse de forma ordinaria o utilizando alguna simbología lógica.

3).- Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas latinas, los elementos se colocan entre llaves, por ejemplo:

A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}


PGF03-R03

B = {a,v,e,s}

C = { Las soluciones de la ecuación }

N = {1,2,3,4,5,6,…} = {los números naturales}

L = { x=n(n+1)/2 donde n =1,2,3,4,…}

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Para determinar la forma de describir cómo han de agruparse los conjuntos comúnmente se utilizan dos formas: la forma tabular y la forma constructiva

Forma Tabular o extensiva (Por extensión)

Es cuando el conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a esos elementos.

Ejemplos:

A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { c, o ,n , j, u, t, s }

D = {A, B, E, C, D, R, I, O}

Forma Constructiva o por compresión

Es cuando un conjunto es determinado por comprensión, o sea cuando se da una propiedad que la cumpla para todos los elementos del conjunto.

Ejemplos:

A = { x l x es número entero}


PGF03-R03

B = { x I x es un número par menor que 10}

C = { x I x es una letra de la palabra conjuntos}

D = {x I x es una mujer de nacionalidad mexicana }

E = {x I x es color básico}

A continuación mostramos un cuadro comparativo de cómo describir dos conjuntos mediante la forma tabular o extensión y la forma constructiva o por compresión.

POR EXTENSIÓN POR COMPRENSIÓN

A = { a, e, i, o, u } A = { x / x es una vocal }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x / x es un número par menor que 10 }

C = {1, 3, 5, 7, 9 } C = { x / x es un número impar menor que 10 }

D = { c, o, n, j, u, t, s } D = { x / x es una letra de la palabra conjuntos }

E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . } E = { x / x es una consonante }

F = { Laura, Javier } F = x

G = {mercurio} G = x


PGF03-R03

CLASIFICACIÓN BÁSICA DE TEORÍA DE CONJUNTOS

Dos conjuntos son iguales, si y solamente, si tienen los mismos elementos.

Existe un conjunto sin elementos llamado vacío.

Si A y B son dos conjuntos, existe un conjunto cuyos únicos elementos son A y B.

La reunión de un conjunto de conjuntos es un conjunto.

Para todo conjunto A existe un conjunto que tiene por elementos las partes de A.

El producto de una familia de conjuntos no vacíos es un conjunto no vacío (axioma de elección).

Ningún conjunto es elemento de sí mismo.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Un conjunto se dice finito si sus elementos se pueden listar, completamente. En caso contrario se dice que el conjunto es infinito.

Ejemplos:

B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }

Conjunto infinito

C = { x / x es un número par}

Conjunto infinito

W = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}

Conjunto finito


PGF03-R03

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.

Ejemplos:

A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

B = {a,v,e,s}

C = { Las soluciones de la ecuación }

N = {1,2,3,4,5,6,…} = {los números naturales}

L = { x=n(n+1)/2 donde n =1,2,3,4,…}

SIMULACION

1 - Con la explicación de tu docente, define que son conjunto disyuntos e intersecantes y, cuando dos conjuntos son iguales. Da 5 ejemplos de cada uno.

2 – Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son por extensión y comprensión.

a) A = {niñas porristas de cuarto grado}b) B = {a, e, i, o, u}c) C = {cuadrado, circulo, rectángulo, triangulo, rombo, …}d) D = {Los números pares entre 10 y 40}e) E = {los números primos naturales menores que 20}

3 – De los ejercicios anteriores pasa los de extensión a compresión y los de comprensión a extensión.

4 – Clasifica los siguientes conjuntos (unitario, vació, finito, infinito):

a) Z = {letras de la palabra caridad}b) X = {números primos menores que 100}


PGF03-R03

c) H = {múltiplos de 4}d) I = {Números primos múltiplos de 5}e) J = {Números divisibles por dos terminados en 5}f) S = {números pares} 5 – Determina cuales de los siguientes conjuntos son disyuntos e intersecantes.

a) A = {Números pares menores que 20}b) B = {números pares entre 10 y 20}c) C = {múltiplos de 3 menores que 20}d) D = {Números dígitos}

EJERCITACION

P A

6 5 4

3 2 0

7 8

De acuerdo con el diagrama anterior marcar con una X la respuesta correcta:

1 - Los conjuntos P y A son

a) Disyuntos b) iguales c) finitos d) intersecantes

2 – Si tenemos el conjunto S = {3, 7, 5} podemos decir que:

a) S es igual a P b) S pertenece a Pc) P es subconjunto de S d) S es subconjunto de P

3 – El conjunto P por extensión es:

a ) {Los dígitos del numero 357} b) {2, 3, 5, 7}c) {los números primos menores que 10} d) {los números primos que no son pares}


PGF03-R03

4 – El conjunto A por comprensión es:

a ) {0, 2, 4, 6, 8} b) {Los números pares menores que 10}c) {los dígitos del numero 40628} d) {4, 6, 8, 0}

5 – De acuerdo al diagrama de ven podemos decir que. Coloca F si es falso o V si es verdadero. ∈

a. 3 ∉P b. 4 ∈ A c. P ⊂ A d. A ⊄ P e. A∉P

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO.El conjunto complemento de A es el conjunto los elementos x, que cumplen que, x pertenece a U, y que, x no pertenece a A.

A={x /xϵ U⋀ x∉ A }

Lo anterior se lee, el complemento de A ( A),es el conjunto de los x tales que x pertenecen al conjunto Universal y no pertenecen al conjunto A. En otras palabras, es lo que le hace falta al conjunto A, para ser igual al Universal.

Por ejemplo, si tenemos que:

entonces:

A={1,2,7,8,9,10 }


PGF03-R03

UNION:A U B = {x/x A ó B} que se lee, A unión B es el conjunto de los x tales que x pertenecen al conjunto A o al conjunto B.

Ejemplo:

Sea Los conjuntos

S = {a, e, i, o, u}T = {a, b, c, d, e, } A ¿ B = {a, b, c, d e, i, o, u}

Viendo graficado en el diagrama de Ven-Euler toma la siguiente forma:

La parte sombreada muestra la unión entre los dos conjuntos.

INTERSECCION:A∩B={x/x A y B}, lo cual leemos así: A intersección B es igual a los x tales que x (es decir los elementos) que pertenecen al conjunto A y al conjunto B (están simultáneamente en los dos conjuntos).

Ejemplo:

Sean los conjuntos


http://wapedia.mobi/es/Archivo:Conjuntos_00.svg

PGF03-R03

M = {los números primos del 1 al 5} M = {1, 2, 3, 5}N = {números pares menores que 5} N = {2, 4}

M¿ N = {2}

En el diagrama de Venn-Euler podemos visualizarlo de la siguiente forma:

El elemento 2 es común entre los dos conjuntos, la parte sombreada muestra la intersección de M y N.

DIFERENCIA:Son los elementos que solo pertenecen al primer conjunto.

Así, A – B = {x/x A y a B}, podemos leerlo como: A diferencia de B son los x tales que x pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.

Ejemplo7:

Sean los conjuntos

M = {los números primos del 1 al 5} M = {1, 2, 3, 5}N = {números pares menores que 5} N = {2, 4}M – N = {1, 3, 5}

Viendo gráficamente en el diagrama de Venn tenemos:


PGF03-R03

Donde la parte sombreada muestra la diferencia entre el conjunto M con N (M – N)

DIFERENCIA SIMETRICA:Como su nombre lo indica, la diferencia simétrica se refiere a los elementos que se encuentran solo en A y los elementos que solo se encuentran en B.

AΔB= {x/x A – B y B - A}, observemos que puede definirse formalmente como los x tales que x pertenecen a la diferencia entre el conjunto A y el conjunto B y, la diferencia entre el conjunto B y el conjunto A.

AΔB

EJERCITACION

1 - Realiza 3 ejemplos, de complemeto.

2 – Ubica en el diagrama de Venn los elementos correspondientes a cada conjunto y ten en cuenta las intersecciones

a. A = {múltiplos de 4 menores que 36}b. B = {Divisores de 36}c. C = {números naturales menores que 10}

3 – con el ejercicio anterior encuentra los siguientes resultados

a. A ¿ B b. A ¿ B c. A ¿ C d. B – C e. A – c f. (A¿ B) ¿ C g. (B ¿ C) ¿ A h. A’i. B’ j. C’ k. (A ¿ C)’ m. (A¿ B)’


PGF03-R03

4 – Teniendo en cuenta los resultados del punto 3 grafica en el diagrama de Venn los resultado y colorear las respuesta.

5 – Si mi conjunto universal son los estudiantes de primaria del colegio, cual seria el complemento de grado cuarto.

6 – 100 estudiantes asisten a una escuela de natación, donde ofrecen los siguientes cursos: sincronizado, pecho, mariposa u otro.

De acuerdo con el diagrama anterior responder:

a. Cuantos estudiantes asisten a los cursos estilo mariposa y de pecho, pero no a nado sincronizado.b. Cuantos estudiantes asisten a otro curso distinto a nado sincronizado, estilo mariposa o de pecho.

c. Cuantos estudiantes asisten a estilo de pecho y nado sincronizado, pero no a estilo mariposa.

d. Cuantos estudiantes solo toman estilo de pecho.

7 – Marcela colecciona estampillas de temas deportivos y de personas, tiene 60 estampillas de personajes, 70 de temas deportivos. Si la cuenta toda tiene 105. ¿Es posible esto?, Justifica tu respuesta.

8 – En un colegio los estudiantes de grado sexto hacen deporte diariamente; algunos de ellos practican más de un deporte. Para formar los equipos para practicar en el ínter - colegiados se inscribieron así:


PGF03-R03

Baloncesto Atletismo Voleibol

Ana Pérez Meliza Pinto Ana PérezJerónimo Cruz Camilo Duque Jaime ForeroAlejandro Rizo Andrea Ortiz Alex SerriaJuana Díaz Alex Serria Sara MorenoPedro Olaya Ismael Osorio Laura CruzOmar Restrepo Carlos Velásquez Juliana Serrano

Realiza el diagrama de Venn con los nombres de los estudiantes (no hay necesidad de poner apellido).

9 - Con el diagrama del punto 8 responder (coloca una X en la respuesta correcta):

1. El conjunto V – A es:

a. el conjunto de los niños que juegan voleibol que no participan en atletismob. El conjunto de los niños que juegan voleibol y participan en atletismo. c. El conjunto de los niños que no juegan voleibol y participan en atletismo. d. El conjunto de los niños que no participan en atletismo y juegan voleibol.

2. El conjunto (A ¿ B) – V corresponde a:

a. Los niños que juegan baloncesto o practican atletismo, pero no juegan voleibol.b. Los niños que juegan baloncesto y practican atletismo, pero juegan voleibol.c. {Jerónimo, Alejandro, Juana, Pedro, Omar, Carlos, Melisa, Claudia, Andrea, Ismael}d. Los niños que practican cualquiera de los deportes.


PGF03-R03

USO DE LOS DIAGRAMAS DE VENN-EULER

La interpretación de las operaciones con conjuntos se hace más sencilla, a través de su representación mediante diagramas de Venn-Euler

ENUNCIACION – MODELACION

A continuación encontrarás ejemplos resueltos de operaciones con conjuntos. El propósito de esta actividad, es que reconozcas cómo se realiza la interpretación de información relacionada con conjuntos, a través de su representación mediante Diagramas de Venn- Euler.

1) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas.

1. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas. 2. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. 3. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona. 4. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas. 5. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas. 6. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11

personas. 7. ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas. 8. ¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas.


PGF03-R03

9. ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 personas.

2) Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?

El dato de los 4 domingos puede volcarse directamente en el diagrama. Obviamente existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39 días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11 respectivamente. Rtas. a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días.

3) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té, café o chocolate. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: las tres bebidas, sólo té, té y chocolate pero no café, etc.


PGF03-R03

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Rta. 30 personas. 2. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres bebidas? Rta. 28

personas. 3. ¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 13 personas. 4. ¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas bebidas? Rta. 9 personas. 5. ¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres bebidas? Rta. 9 personas. 6. ¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebidas? Rta. 20 personas. 7. ¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas dos bebidas? Rta. 18

personas. 8. ¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rta. 7 personas. 9. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 12 personas. 10.¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 17 personas. 11.¿Cuántas personas tomaban las tres bebidas? Rta. 1 persona. 12.¿Cuántas personas no tomaban las tres bebidas? Rta. 29 personas. 13.¿Cuántas personas no tomaban ninguna de esas tres bebidas? Rta. 2 personas. 14.¿Cuántas personas no tomaban ni té ni café? Rta. 9 personas. 15.¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 18 personas. 16.¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. ¿Cuántas personas tomaban

té y café pero no chocolate? Rta. 3 personas. 17.¿Cuántas personas tomaban chocolate y café? Rta. 3 personas. 18.¿Cuántas personas tomaban chocolate y café pero no té? Rta. 2 personas.

4) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

I) Motocicleta solamente: 5II) Motocicleta: 38III) No gustan del automóvil: 9IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20VI) No gustan de la bicicleta: 72VII) Ninguna de las tres cosas: 1VIII)No gustan de la motocicleta: 61

1. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? 2. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente? 3. ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente? 4. ¿A cuántos le gustaban las tres cosas? 5. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?


PGF03-R03

Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.

Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden volcar directamente:

Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:

Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 - (20+5+1) = 46:

Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:


PGF03-R03

Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14:

Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas:

a. A 99 personas. b. A ninguna. c. A 46 personas. d. A 10 personas. e. a 14 personas.

EJERCITACION

Aplicando lo aprendido a través de los ejemplos anteriores, realiza los siguientes ejercicios. Representa la información dada, mediante la elaboración de el correspondiente Diagrama de Venn- Euler.

1) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :


PGF03-R03

138 personas consumían A pero no B. 206 personas consumían A y B.

44 personas no consumían ni A ni B.

a. ¿Cuántas personas consumían A? b. ¿Cuántas personas consumían B? c. ¿Cuántas personas consumían B pero no A? d. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos?


410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 294 personas consumían A.

78 personas consumían A pero no B.

a. ¿Qué porcentaje de personas consumía B? b. ¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B? c. c) ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos? d. d) ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos?


310 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 270 personas consumían A.

205 personas consumían B pero no A.

Demostrar que los resultados de la encuesta no son atendibles.

4) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 5 personas consumían sólo A

25 personas consumían sólo B. 10 personas consumían sólo C

15 personas consumían A y B, pero no C. 80 personas consumían B y C, pero no A. 8 personas consumían C y A, pero no B.

17 personas no consumían ninguno de los tres productos.

a. ¿Cuántas personas consumían A? b. ¿Cuántas personas consumían B? c. ¿Cuántas personas consumían C?


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d. ¿Cuántas personas consumían A, B y C? e. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? f. ¿Cuántas personas consumían A o B? g. ¿Cuántas personas no consumían C ? h. ¿Cuántas personas no consumían ni C ni A?

5) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 30 personas consumían A.

85 personas consumían B. 103 personas consumían C.

10 personas consumían A y C, pero no B. 13 personas consumían A y C. 18 personas consumían B y C.

5 personas consumían A y B, pero no C

a. ¿Cuántas personas no consumían ninguno de los tres productos? b. ¿Cuántas personas consumían los tres productos? c. ¿Cuántas personas consumían A pero no B ni C? d. ¿Cuántas personas no consumían A? e. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos?

6) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que:

16 alumnos leen novelas. 18 alumnos leen ciencia ficción.

17 alumnos leen cuentos. 3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos.

1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción. 8 alumnos leen sólo cuentos.

4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción.

¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción? ¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción?

7) Una encuesta sobre 500 niños internados en un hogar reveló los siguientes datos:

308 eran menores de diez años. 5 eran huérfanos de padre y madre.

22 eran huérfanos de padre 174 no eran menores de 10 años, ni eran huérfanos de madre o padre.

3 eran menores de diez años, huérfanos de madre y padre. 9 eran menores de diez años, huérfanos sólo de padre.


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13 eran huérfanos sólo de madre.

a. ¿Cuántos niños eran huérfanos de madre? b. ¿Cuántos niños menores de diez años eran huérfanos de madre?

8) Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos:

126 personas consumían C. 124 personas no consumían A.

36 personas no consumían ni A ni B. 170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos.

60 personas consumían A y C. 40 personas consumían los tres productos.

56 personas no consumían B.

a. ¿Cuántas personas consumían solamente B? Rta. 28 personas b. ¿Cuántas personas consumían A y B? Rta. 56 personas. c. ¿Cuántas personas consumían solamente A? Rta. Ninguna persona.

9) En una fábrica de 3.000 empleados, hay:

1.880 varones. 1.600 personas casadas.

380 técnicos (varones o mujeres) 150 técnicos casados

120 técnicos varones casados. 1.260 varones casados. 260 técnicos varones.

a. ¿Cuántas mujeres no casadas trabajan en la fábrica? b. ¿Cuántas mujeres técnicas trabajan en la fábrica? c. ¿Cuántas mujeres técnicas casadas trabajan en la fábrica? d. ¿Cuántas mujeres trabajan en la fábrica?

9) Una encuesta sobre un grupo de personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos:

59% usan A. 73% usan B. 85% usan C.


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41% usan A y B. 33% usan A y C. 47% usan B y C.

15% usan los tres productos.

¿Son atendibles los datos de la encuesta? ¿Por qué?


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WEBGRAFIAhttp://www.ematematicas.net/decimales.php

http://www.monografias.com/trabajos70/razones-proporciones/razones-proporciones2.shtml

http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/diagvenna2.htm

http://www.thatquiz.org/es/previewtest?W/L/H/V/98501288609906


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http://www.monografias.com/trabajos70/razones-proporciones/razones-proporciones2.shtml

http://www.ematematicas.net/decimales.php

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