ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESde sus derivadas parciales. Llamaremos orden de la EDP al mayor de...
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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Asignatura Optativa, Cuarto Curso Facultad de Matem´ aticas Universidad de Sevilla
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ECUACIONES
EN
DERIVADAS PARCIALES
Asignatura Optativa, Cuarto Curso
Facultad de Matematicas
Universidad de Sevilla
Indice general
1. Generalidades. EDPs lineales de segundo orden 21.1. Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Las ecuaciones del calor, de ondas y de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Problemas de valores iniciales, problemas de contorno y problemas mixtos . . . . . . 5
1.3.1. Algunos ejemplos de EDPs lineales no bien planteados . . . . . . . . . . . . 61.3.2. Ejemplos canonicos de las tres familias de EDPs lineales . . . . . . . . . . . 8
1.4. Formas canonicas para EDPs lineales de 2o orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. El metodo de separacion de variables 142.1. Descripcion del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. El metodo de separacion de variables aplicado a la ecuacion de ondas . . . . . . . . 15
2.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2. Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. El metodo de separacion de variables aplicado a la ecuacion del calor unidimensional 26
3. La ecuacion del calor 353.1. La solucion fundamental. El nucleo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. La solucion del problema con valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. El principio del maximo. Resultados de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4. El metodo de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5. La ecuacion del calor no homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. La ecuacion de ondas unidimensional 514.1. Solucion general de la ecuacion de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. El problema de Cauchy. Formula de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3. El problema de Cauchy-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1. Existencia de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.2. Unicidad de solucion. Metodo de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4. La ecuacion de ondas no homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5. Las ecuaciones de Laplace y Poisson 605.1. Funciones (sub)(super)armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2. Principio del maximo. Unicidad de solucion del problema de Dirichlet . . . . . . . . 625.3. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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Tema 1
Generalidades. EDPs lineales desegundo orden
Hablando de forma imprecisa, una ecuacion en derivadas parciales (EDP) es una ecuacion queinvolucra una funcion desconocida que depende al menos de dos variables independientes y algunasde sus derivadas parciales. Llamaremos orden de la EDP al mayor de los ordenes de las derivadasparciales que aparezcan en la ecuacion. Nos ocuparemos en este curso de algunas ecuaciones desegundo orden.
1.1. Definiciones fundamentales
Definicion 1.1. Sea N ≥ 1 un entero. Una EDP de segundo orden en las N variables indepen-dientes x1, . . . , xN es una expresion de la forma
F
(x1, . . . , xN , u,
∂u
∂x1
, . . . ,∂u
∂xN,∂2u
∂x21
, . . . ,∂2u
∂xi∂xj, . . . ,
∂2u
∂x2N
)= 0, (1.1)
donde, para fijar ideas, F : O ⊂ RN2+2N+1 → R es una funcion continua definida en el abierto novıacıo O. La incognita se llama tambien variable dependiente.
A diferencia de lo que sucede con las EDOs, no existe una teorıa general de EDPs, ni siquierapara las ecuaciones de segundo orden. La investigacion se centra en el desarrollo de teorıas par-ticulares aplicables a determinados “tipos” de EDPs importantes por sus aplicaciones en diversasareas de las Matematicas, en la Fısica y en otras Ciencias de la Naturaleza.
Es habitual utilizar la siguiente notacion:
1. x = (x1, . . . , xN), u = u(x),
2. ∇u = Du =
(∂u
∂x1
, . . . ,∂u
∂xN
)3. Dado un vector numerico α = (α1, . . . , αN), se denotan
a) |α| = α1 + · · ·+ αN
b) Dαu(x) =∂|α|u
∂x1α1 . . . ∂xNαN
2
c) Dado un entero no negativo, k,
Dku = Dαu : |α| = k.
Con esta notacion, (1.1) se escribe
F (x, u,Du,D2u) = 0. (1.2)
El concepto de solucion de una EDP es de importancia fundamental. De hecho, el analisisde dicho concepto ha conducido al desarrollo de buena parte de las Matematicas en los ultimosanos. Algunas de las nociones relacionadas con este desarrollo se estudian en la asignatura AnalisisFuncional y EDPs. Nosotros, utilizaremos fundamentalmente en esta asignatura la siguiente
Definicion 1.2. Sea U ⊂ RN un abierto no vacıo y u : U → R una funcion. Se dice que u essolucion clasica de (1.1) en U si se cumplen las siguientes propiedades:
1. u ∈ C2(U).
2. (x, u(x), Du(x), D2u(x)) ∈ O para cada x ∈ U .
3. F (x, u(x), Du(x), D2u(x)) = 0 para cada x ∈ U .
Algunas de las mas importantes EDPs de segundo orden son las lineales.
Definicion 1.3. Una EDP lineal de segundo orden es una EDP de la forma
N∑i,j=1
aij(x)∂2u
∂xi∂xj+
N∑i=1
bi(x)∂u
∂xi+ c(x)u = f(x) (1.3)
donde las aij, bi, c, f son funciones definidas en Ω, abierto de RN . Las funciones aij, bi, c sedenominan los coeficientes de (1.3) y f es el termino independiente. Si f ≡ 0, se dice que laecuacion es homogenea. Si las aij, bi, c son constantes, se dice que (1.3) es una EDP de coeficientesconstantes.
Nota 1.4. 1. Se puede suponer que aij = aji para cada i y j, pues si la solucion es clasica lasderivadas cruzadas de segundo orden son iguales y podemos sustituir la matriz de coeficientes(aij) por su simetrizada ((aij + aji)/2).
2. El conjunto de todas las soluciones clasicas de la ecuacion (1.3) homogenea en cualquierabierto no vacıo U ⊂ Ω es un espacio vectorial de C2(U). Y si para f 6≡ 0 (1.3) poseesoluciones, estas forman una variedad afın de C2(U).
Definicion 1.5. Una EDP de segundo orden se llama semi-lineal si tiene la forma
N∑i,j=1
aij(x)∂2u
∂xi∂xj+
N∑i=1
bi(x)∂u
∂xi= f(x, u), (1.4)
es decir, si es lineal en las derivadas de mayor orden y no lineal en los terminos de derivadas deorden cero. (Aunque mayoritaria, esta nomenclatura no es universal; algunos autores consideranque el miembro de la derecha podrıa ser f(x, u,Du).)
Una EDP de segundo orden se llama cuasi-lineal si tiene la forma
N∑i,j=1
aij(x, u,Du)∂2u
∂xi∂xj= f(x, u,Du). (1.5)
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1.2. Las ecuaciones del calor, de ondas y de Laplace
Consideraremos las siguientes EDPs lineales de coeficientes constantes:
∂u
∂t− k∆u = F (x, t) (1.6)
∂2u
∂t2− c2∆u = h(x, t) (1.7)
−∆u = f(x). (1.8)
Aquı se ha usado la notacion
∆u =N∑i=1
∂2u
∂x2i
.
El operador ∆ se llama el operador de Laplace y ∆u es el laplaciano de u. Se supone que k y cson constantes positivas y que las funciones F, h y f son al menos continuas. Las ecuaciones (1.6)y (1.7) tienen N + 1 variables independientes y (1.8) tiene N variables independientes.
La EDP (1.6) es la ecuacion del calor. Cuando el numero de variables independientes es N + 1,se suele decir que se trata de la ecuacion N-dimensional (las x1, . . . , xN son las variables espacia-les; t es la variable temporal). Es frecuente encontrar esta ecuacion en muchas aplicaciones. Concaracter general, aparece cuando se intenta describir el comportamiento de fenomenos difusivos, esdecir, ligados a una propagacion rapida (o instantanea) de la variable dependiente. Por ejemplo,supongamos que Ω ⊂ R3 es un abierto ocupado por un medio conductor del calor y que sobre estemedio actua una fuente de calor F = F (x, t) durante el intervalo temporal (0, T ). Entonces, bajodeterminadas ıcircunstancias, se puede aceptar que la temperatura del medio verifica (1.6) parauna constante positiva k (la conductividad del medio). De ahı el nombre que se le da a la ecuacion.
La EDP (1.7) es la ecuacion de ondas N-dimensional. Sirve para describir fenomenos ondu-latorios, es decir, caracterizados por la propagacion de senales con velocidad finita. Por ejemplo,cuando N = 1, (1.7) permite determinar las vibraciones de una cuerda elastica (siempre que estassean de pequena amplitud (y por esa razon (1.7) tambien suele llamarse ecuacion de la cuerdavibrante). Mas precisamente, supongamos que una cuerda sujeta por sus extremos ocupa el in-tervalo espacial [0, l] durante el intervalo de tiempo (0, T ). Entonces, bajo ciertas condiciones, sepuede aceptar que la posicion de cada punto de la cuerda esta determinada por una solucion de laecuacion
∂2u
∂t2− c2∂
2u
∂x2= 0, (x, t) ∈ (0, l)× (0, T ), (1.9)
donde c2 es una constante positiva.La EDP (1.8) se denomina ecuacion de Poisson. Cuando f ≡ 0, recibe el nombre de ecuacion
de Laplace. Ambas ecuaciones aparecen con frecuencia en Fısica, Quımica, Biologıa, etc, cuandose intenta describir el comportamiento de fenomenos estacionarios, esto es, independientes deltiempo. Por ejemplo, el campo electrico generado en un medio que ocupa el abierto Ω ⊂ R3 poruna distribucion de carga f ∈ C0(Ω) esta dado por E = −∇u, donde u es solucion de
−∆u =1
αf(x), x ∈ Ω,
siendo α una constante positiva adecuada.
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Las ecuaciones anteriores son modelos de los tres grandes grupos en que se clasifican las EDPslineales. La ecuacion del calor es modelo de las llamadas ecuaciones parabolicas, la ecuacion deondas es modelo de las ecuaciones hiperbolicas y la ecuacion de Laplace es modelo de las ecuacioneselıpticas. Cuando las ecuaciones modelan fenomenos en medios heterogeneos, adoptan formas mascomplejas y en particular presentan coeficientes variables, dependientes de x, de t o de ambos.Se suele decir que las ecuaciones parabolicas e hiperbolicas son ecuaciones de evolucion y que lasecuaciones elıpticas son ecuaciones estacionarias.
Hay otras muchas ecuaciones de interes desde el punto de vista de las aplicaciones, que enbuena parte son variantes de las anteriores. Ası, el operador del calor suele estar presente en ladinamica de fluidos y en los fenomenos de difusion y el operador de ondas aparece en elasticidad yen la propagacion de ondas acusticas y electromagneticas. Otras veces aparecen sistemas acopladoscon todas las componentes del mismo tipo o con componentes parabolicos e hiperbolicos (p.ej., elsistema de la termoelasticidad).
Unos ejemplos de EDPs de interes son:Las ecuaciones no lineales, de enorme interes en muchos ambitos de la Ciencia y la Tecnologıa
quedan fuera del ambito de este curso.
1.3. Problemas de valores iniciales, problemas de contorno
y problemas mixtos
Como sucede con las EDOs, en la practica, las EDPs suelen venir completadas con condicionesadicionales que debe cumplir la solucion, condiciones motivadas por las leyes que rigen el fenomenoque se intenta modelar. Estas condiciones son fundamentalmente de dos tipos:
a) Condiciones iniciales (llamadas condiciones de Cauchy), que describen la situacion de partidaen los problemas de evolucion.
b) Condiciones de contorno, cuando la ecuacion esta definida en un dominio Ω ⊂ RN y sepueden prescribir condiciones de la solucion sobre ∂Ω. Las expresiones mas habituales (ymas simples) de estas condiciones son
-) u = f(x), siendo f dada (condicion de Dirichlet).
-)∂u
∂ν= ∇u · ν = g(x), siendo g dada (condicion de Neumann).
Aunque no tan frecuente, incluso en el caso Ω = RN , se puede considerar el problema−∆u = f acompanado de lım|x|→∞ u = 0. A esto ultimo se le llama tambien condicion decontorno.
Diremos que un problema esta bien planteado (en el sentido de Hadamard) si verifica
a) Tiene solucion.
b) La solucion es unica.
c) La solucion depende continuamente de los datos.
Nota 1.6. 1. La ultima condicion es muy importante en las aplicaciones fısicas.
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2. No se puede esperar la unicidad en muchas situaciones. Es entonces tarea primordial clasificary caracterizar las soluciones
3. La solucion clasica no siempre existe. Un ejemplo de ello son las ondas de choque en ecua-ciones hiperbolicas.
1.3.1. Algunos ejemplos de EDPs lineales no bien planteados
Con el mismo espıritu que en [Peral] se citan a continuacion algunos ejemplos sencillos relativosa las ecuaciones modelo donde no se obtienen necesariamente problemas bien planteados. A veceslos mismos datos para distintas ecuaciones y como estos datos aparecen en la frontera del dominioafectan de forma decisiva. Al tratarse de ejemplos en cierto sentido patologicos, el lector puedeomitir esta seccion y leer los bien planteados en la siguiente.
Ejemplo 1 Hallar u ∈ C2(R2) tal que∂u
∂x2
− ∂2u
∂x12
= 0, x ∈ R2
u(x1, 0) = 0, x1 ∈ R∂u
∂x2
(x1, 0) = ϕ(x1), x1 ∈ R
(1.10)
Este problema tiene una ecuacion en la que aparece una unica derivada en x2 y dos condicionessobre x2 = 0. Aparece una condicion de ligadura que determina que deberıa ser ϕ para que elproblema pudiera tener solucion. En efecto,
ϕ(x1) =∂u
∂x2
(x1, 0) =∂2u
∂x12(x1, 0) = 0.
Se puede probar que si ϕ ≡ 0, el problema (1.10) tiene solucion unica.Ejemplo 2 Hallar u ∈ C2(R2) tal que
∂2u
∂x12− ∂2u
∂x22
= 0, x ∈ R2
u(x1, 0) = 0, x1 ∈ R∂u
∂x2
(x1, 0) = ϕ(x1), x1 ∈ R
(1.11)
Es facil comprobar que la funcion
u(x1, x2) =1
2
∫ x1+x2
x1−x2ϕ(s) ds (x1, x2) ∈ R2
es una solucion. Probaremos que este problema esta bien planteado.Ejemplo 3 Hallar u ∈ C2(R2) tal que
∂2u
∂x1∂x2
= 0, x ∈ R2
u(x1, 0) = 0, x1 ∈ R∂u
∂x2
(x1, 0) = ϕ(x1), x1 ∈ R
(1.12)
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Observemos que si u es solucion, se tiene
0 =∂2u
∂x1∂x2
(x1, 0) = ϕ′(x1),
es decir, para que haya solucion, ϕ ha de ser constante. Esta restriccion sobre ϕ se llama condicionde compatibilidad. Y si ϕ = a es constante, es facil comprobar que cualquier funcion de la formau(x1, x2) = ax2 + Cx2
2, C ∈ R, es solucion de (1.12). De modo que el problema no siempre tienesolucion y cuando la tiene no es unica.
Notese que si se hace el cambio de variable
y1 = x1 + x2, y2 = x1 − x2,
la ecuacion de (1.12) se convierte en la ecuacion de (1.11). El diferente comportamiento de ambosproblemas tiene que ver con las rectas sobre las que se fijan las condiciones iniciales.
Ejemplo 4 Hallar u ∈ C2(R2) tal que∂2u
∂x12
+∂2u
∂x22
= 0, x ∈ R2
u(x1, 0) = 0, x1 ∈ R∂u
∂x2
(x1, 0) = ϕ(x1), x1 ∈ R
(1.13)
Si denotamos
w1 =∂u
∂x1
, w2 =∂u
∂x2
,
se deduce, derivando la primera respecto de x2 y la segunda respecto de x1 que
∂w1
∂x2
=∂w2
∂x1
, (1.14)
y de la propia ecuacion de (1.13) sigue que
∂w1
∂x1
= −∂w2
∂x2
. (1.15)
(1.14) y (1.15) indican que w1 y w2 verifican las condiciones de Cauchy-Riemann en R2 y, portanto ambas han de ser funciones analıticas en R2. Por tanto, ϕ(x1) = w2(x1, 0) ha de ser unafuncion analıtica en R para que el problema pueda tener solucion. Pero, incluso verificandose estacondicion, el problema no esta bien planteado, porque pequenos cambios en los datos provocan
grandes cambios en la solucion. Por ejemplo, si ϕ(x1) =1
nsen (nx), la solucion de (1.13) es
u(x1, x2) =1
n2sen (nx1) senh (nx2).
El dato puede hacerse tan pequeno como se quiera tomando n suficientemente grande, pero parax2 6= 0, la solucion es no acotada cuando n→ +∞.
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1.3.2. Ejemplos canonicos de las tres familias de EDPs lineales
Por las dificultades vistas en la seccion anterior, presentamos ahora algunos problemas rela-cionados con la ecuaciones (1.6)-(1.8), que sı estaran bien planteados bajo hipotesis adecuadas,algunos de los cuales seran estudiados y resueltos en este curso.
Problema 1 El problema de Cauchy (o de valores iniciales) para la ecuacion del calor. Se tratade hallar una funcion u : RN × R+ → R tal que
ut − k∆u = F (x, t), (x, t) ∈ RN × (0,+∞),u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN ,
(1.16)
donde k > 0 y F : RN × R+ → R y u0 : RN → R son funciones dadas.Problema 2 El problema de Cauchy-Dirichlet para la ecuacion del calor. Dados un abierto
acotado no vacıo, Ω ⊂ RN de frontera ∂Ω y T > 0, hallar una funcion u : Ω× (0, T )→ R tal queut − k∆u = F (x, t), (x, t) ∈ Ω× (0, T ),u(x, t) = G(x, t) (x, t) ∈ ∂Ω× (0, T ),u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,
(1.17)
donde k > 0 y F : Ω× (0, T )→ R, G : ∂Ω× (0, T )→ R y u0 : Ω→ R son funciones dadas.En este curso vamos a considerar el caso particular de (1.17) en que N = 1, Ω = (0, l). En este
caso, la frontera del intervalo se reduce a dos puntos y el problema se escribe ası:ut − kuxx = F (x, t), (x, t) ∈ (0, l)× (0, T ),u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t ∈ (0, T ),u(x, 0) = u0(x), x ∈ (0, l),
(1.18)
donde k, F y u0 son como antes y α, β : (0, T )→ R son dadas.La situacion que describe (1.18) es la que se presenta, por ejemplo, cuando consideramos una
“barra” de material conductor del calor de longitud l sobre la que actua una fuente de calor F ,que esta siendo mantenida por los extremos respectivamente a las temperaturas α y β y que en elinstante inicial t = 0 tiene temperatura u0.
Problema 3 El problema de valores iniciales para la ecuacion de ondas. Se trata de hallar unafuncion u : RN × R+ → R tal que
utt − c2∆u = h(x, t), (x, t) ∈ RN × (0,+∞),u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x) x ∈ RN ,
(1.19)
donde c > 0, h : RN × (0,+∞)→ R y u0 : RN → R y u1 : RN → R son funciones dadas.Problema 4 El problema de Cauchy-Dirichlet para la ecuacion de ondas. Dados un abierto
acotado no vacıo, Ω ⊂ RN de frontera ∂Ω y T > 0, hallar una funcion u : Ω× (0, T )→ R tal queutt − c2∆u = h(x, t), (x, t) ∈ Ω× (0, T ),u(x, t) = q(x, t) (x, t) ∈ ∂Ω× (0, T ),u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x) x ∈ Ω,
(1.20)
donde c > 0 y h : Ω× (0, T )→ R, q : ∂Ω× (0, T )→ R y u0 : Ω→ R y u1 : Ω→ R son funcionesdadas.
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En este curso consideraremos el siguiente caso particular de (1.20):utt − c2uxx = h(x, t), (x, t) ∈ (0, l)× (0, T ),u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t ∈ (0, T ),u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x) x ∈ (0, l),
(1.21)
donde c2, h y u0 son como antes y α, β : (0, T )→ R son dadas.Problema 5 El problema de Dirichlet para la ecuacion de Poisson. Dado un abierto acotado
no vacıo Ω ⊂ RN de frontera ∂Ω, hallar una funcion u : Ω→ R tal que−∆u = f(x), x ∈ Ω,u = g(x) x ∈ ∂Ω,
(1.22)
donde f : Ω→ R y g : ∂Ω→ R son funciones dadas.
1.4. Formas canonicas para EDPs lineales de 2o orden
Se han descrito tres ejemplos esenciales (calor, ondas y Poisson) de EDPs lineales, como repre-sentantes “canonicos” respectivos de tres familias de EDPs (parabolicas, hiperbolicas y elıpicas). Enesta seccion explicaremos la razon de dichos nombres y como se ha llegado a esta forma “canonica”.Lo haremos en el caso mas simple de EDPs lineales de segundo orden con coeficientes constantes(aunque en realidad esto ultimo es una simplificacion innecesaria). Por otro lado, la clasificacionque haremos no sera exhaustiva, pues omitiremos el caso de las EDP ultra-hiperbolicas (ver p.ej.[Peral]).
Una EDP lineal de segundo orden con coeficientes constantes planteada en un abierto Ω ⊂ RN
es una expresion del tipoN∑
i,j=1
aij∂2u
∂xi∂xj+
N∑i=1
bi∂u
∂xi+ cu = f, (1.23)
donde aijNi,j=1, biNi=1 y c son valores reales, f : Ω ⊂ RN → R es una funcion dada, u : Ω ⊂RN → R es la funcion incognita.
Para dar un sentido a la ecuacion (1.23), en primera instancia (a falta de otras definiciones masgenerales) u deberıa ser al menos dos veces derivable, y cabrıa imponer que se cumpla la relacionpuntualmente.
Naturalmente si se supone f ∈ C(Ω), es de esperar que u no sea solo derivable, sino u ∈ C2(Ω).Como ya se dijo en la Definicion 1.2, si u ∈ C2(Ω) verifica (1.23) puntualmente, entonces u essolucion clasica. Esto implica que las derivadas cruzadas son iguales, esto es, ∂iju = ∂jiu para todopar de ındices i, j ∈ 1, . . . , N, por lo que sin perdida de generalidad podemos suponer que lamatriz A = (aij)ij es simetrica (cf. Nota 1.4).
Por tanto suponemos en lo que sigue que A ∈ L(RN) es una matriz simetrica. Aprovechando lacompactificacion de la notacion matricial, si notamos b = (b1, . . . , bN)> ∈ RN×1, podemos reescribir(1.23) equivalentemente como
A : D2u+ b ·Du+ cu = f, (1.24)
donde el sımbolo : entre matrices indica el producto, i.e. dados A, B ∈ L(RN), A : B =∑N
i,j=1 aijbij,y b ·Du el producto escalar de ambos vectores.
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Nuestro objetivo es aplicar un cambio de variables adecuado que permita expresar (1.23) de unaforma equivalente con una nueva matriz jugando el papel de A pero mas simple. Concretamentebuscamos P ∈ L(RN) regular para aplicar el cambio (biyectivo entre Ω y Ω := PΩ = y ∈ RN :y = Px, x ∈ Ω)
y = Px, i.e. yl =N∑k=1
Plkxk ∀l = 1, . . . , N.
Si definimos la nueva funcion incognita
u(y) = u(x) = u(P−1y), i.e. u(Px) = u(x),
entonces, aplicando la regla de la cadena, tenemos que en cualquier punto x0 ∈ Ω (y en su imageny0 = Px0)
∂xiu(x0) =N∑l=1
∂ylu(y0)∂yl∂xi
=N∑l=1
∂ylu(y0)Pli,
∂2xixj
u(x0) =N∑l=1
Pli
N∑m=1
∂2ylym
u(y0)∂ym∂xj
=N∑
l,m=1
PliPmj∂2ylym
u(y0).
Reescribiendo los terminos con derivadas de orden 1 y orden 2 en la EDP (1.23) en funcion de lanueva variable resulta que
N∑i=1
bi∂xiu(x0) =N∑i=1
N∑l=1
biPli∂ylu(y0) =N∑l=1
(Pb)l∂ylu(y0),
N∑i,j=1
aij∂2u
∂xi∂xj(x0) =
N∑i,j,l,m=1
PliPmjaij∂2ylym
u(y0)
=N∑
l,m=1
N∑j=1
(N∑i=1
Pliaij
)Pmj∂
2ylym
u(y0)
=N∑
l,m=1
N∑j=1
(PA)ljPmj∂2ylym
u(y0) =N∑
l,m=1
(PAP>)lm∂2ylym
u(y0),
y por tanto (1.23) o equivalentemente su forma matricial abreviada (1.24) queda
N∑l,m=1
(PAP>)lm∂2ylym
u(y0) +N∑l=1
(Pb)l∂ylu(y0) + cu(y0), (1.25)
quedando (1.24) como
N∑l,m=1
(PAP>)lm∂2ylym
u+N∑l=1
(Pb)l∂ylu+ cu = f , (1.26)
dondef(x) = f(P−1y) =: f(y).
Hemos probado el siguiente resultado.
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Proposicion 1.7. Sean A ∈ L(RN), b ∈ RN , c ∈ R, Ω ⊂ RN abierto, f ∈ C0(Ω), u ∈ C2(Ω)solucion de
A : D2u+ b ·Du+ cu = f(x).
Sean P ∈ L(RN) regular y Ω = y ∈ RN : y = Px, x ∈ Ω. Entonces u(y) := u(x) es solucion de
(PAP>) : D2u+ (Pb) ·Du+ cu = f(y) := f(P−1x) y ∈ Ω.
Evidentemente el objetivo de simplificar en lo posible la expresion (1.24) se logra con unaeleccion adecuada de P tal que en (1.25) se tenga PAP> lo mas simple posible. Ahora es claroporque interesaba tener A simetrica.
Es conocido que A = A> ∈ L(RN) tiene sus autovalores reales y que existe una matriz de pasoortogonal Q−1 = Q> tal que A = QDQ> donde D es una matriz diagonal con dicha diagonalformada por los autovalores de A. Las columnas de Q son los autovectores de A, y cuando unautovalor se repite y posee dimension geometrica mayor que uno, usando el procedimiento deortonormalizacion de Gram-Schmidt obtenemos autovectores que permiten que Q tenga dichapropiedad de ortogonalidad.
Si ademas elegimos otra matriz diagonal R dada por Rii = |λi|−1/2 si λi 6= 0 o bien Rii = 1 siλi = 0, concluimos trivialmente que
RQ>AQR> = RDR> = E,
donde E es una matriz diagonal formada por ±1 y/o 0, que es la forma normalizada en quepodemos simplificar al maximo la clasificacion (i.e. canonicamente).
Por tanto, el cambio de partida con que se empezo debe ser P = RQ>, y ası f(y) = f(P−1y) =f(QR−1y) = f(QR−1y), que es una expresion facil de obtener.
Si todos los elementos diagonales de E son no nulos y de igual signo, la ecuacion se denominade tipo elıptico.
Si todos los elementos diagonales de E son no nulos y de igual signo salvo uno, la ecuacion sedice de tipo hiperbolico.
Si entre los elementos diagonales de E hay un (y solo un) elemento nulo, la ecuacion se diceparabolica.
La clasificacion anterior es exhaustiva (cubre todos los casos) para dimension N = 2, y lanomenclatura proviene de considerar formalmente a partir de (1.26) la cuadrica ~x>E~x+~x>Pb = 1donde cada xi en ~x = (x1, . . . , xN) sustituye a las derivadas de primer orden ∂yiu y donde xixjsustituye analogamente a las derivadas dobles ∂yiyj u. [Obviamente salvo movimientos y homotecias,las cuadricas son las mismas que si se aplica este formalismo en la expresiones (1.23)-(1.24).]
Nota 1.8. 1. La Proposicion 1.7 solo requiere para que A sea de coeficientes constantes parallegar a una forma PAP> realmente simplificada. Un resultado analogo se puede obtenercon b ∈ C(RN ;RN) y c ∈ C(RN). La diferencia es que en vez de (Pb) · Du debe escribirse(P b(y)) ·Du = (Pb(P−1y)) ·Du, y en vez de cu debe escribirse c(y)u = c(P−1y)u.
2. Si A ∈ C(RN ;L(RN)) entonces el analisis depende de x. Localmente puede ocurrir que endistintas zonas la EDP sea de diferentes tipos (hiperbolico, parabolico o elıptico), pues losautovalores de A(x) dependen de x ∈ Ω.
3. Para dimension N > 2 la clasificacion anterior no es suficiente. Para ver una clasificacionmas exhaustiva (aparicion de un nuevo tipo, las ultra-hiperbolicas), ası como otras generali-dades como coeficientes no constantes en la EDP, puede por ejemplo acudir a la referencia
11
I. Peral, Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, Ed. Addison-Wesley/UAM,1995, pp.84–91,http://matematicas.uam.es/∼ireneo.peral/cursos.htm
Ası, por ejemplo la ecuacion del calor
∂y1u− ∂2y22u = f
se dice parabolica al asociarse con la parabola x1 − x22 = 1.
La ecuacion de Poisson∂2y21u+ ∂2
y22u = f
se dice elıptica al relacionarse con la elipse x21 + x2
2 = 1 (si los dos elementos diagonales de E son-1 tambien la hubieramos llamado igual).
El caso de la ecuacion de ondas
∂2y21u− ∂2
y22u = f
se dice hiperbolica por su relacion formal con la hiperbola x21 − x2
2 = 1.
Ejemplo 1.9. Consideramos la EDP en R2
A : D2u+ cu = sin(x1), con A =
(1 22 1
), c = 1.
Analicemos una forma canonica equivalente.
Los autovalores de A son λ1 = 3, λ2 = −1. Esto significa que la EDP es de tipo hiperbolicoy la forma canonica correspondera a la forma de la ecuacion de ondas indicada anteriormente;yendo por partes en la transformacion algebraica, la primera implicacion es que la matriz A esdiagonalizable: AQ = QD con D =diag(3,-1) y con Q = (v1|v2) siendo vj autovector asociado alautovalor λj. Como los vectores v1 y v2 son ortogonales entre si, si ademas los elegimos unitarios,entonces Q es ortogonal: Q−1 = Q>.
Es facil comprobar que
v1 ∈ 〈(
11
)〉, v2 ∈ 〈
(1−1
)〉,
de donde la matriz de columnas v1/|v1| y v2/|v2| nos da Q :
Q =1√2
(1 11 −1
).
Compruebese que A = QDQ>.Por tanto tenemos que Q>AQ = D y si tomamos
R =
(1/√
3 00 1
),
y construimos
P = RQ> =1√6
(1 1√3 −
√3
),
12
de modo que
PAP> = RQ>AQR> = E =
(1 00 −1
).
Concluimos que el cambio de variables
y =
(y1
y2
)= Px = P
(x1
x2
)permite transformar equivalentemente la EDP en la siguiente:
E : D2u(y) + cu(y) = f(y) = f(P−1y),
esto es,
∂2y1y1
u(y)− ∂2y2y2
u(y) + u(y) = sin([P−1y]1) = sin([QR−1y]1)
= sin
(1√2
(√3y1 + y2
)).
13
Tema 2
El metodo de separacion de variables
Se dedica el tema al metodo de separacion de variables, uno de los pocos que permiten calcularexplıcitamente las soluciones de problemas asociados a algunas EDPs de segundo orden lineales.Concretamente, si el ejemplo tiene condiciones bien preparadas (se vera en los ejercicios en hojas deproblemas), se puede aplicar dicho metodo a EDPs tanto parabolicas, hiperbolicas como elıpticas.
2.1. Descripcion del metodo
Consideremos una EDP de la forma
a1(x)uxx + a2(x)ux + b1(y)uyy + b2(y)uy + (a3(x) + b3(y))u = 0 (2.1)
complementada con condiciones de contorno adecuadas. Notese que la variable y puede ser unasegunda variable espacial o puede ser la variable temporal t; en el primer caso, las condiciones quecomplementan la ecuacion son condiciones de contorno, mientras que en el segundo, las condicionespueden ser de contorno e iniciales. La idea del metodo es la siguiente:
1 Se buscan soluciones de la EDP que sean de la forma X(x)Y (y), es decir, con las variablesseparadas. Al sustituir en las condiciones adicionales, en muchos casos se deducen condicionespara las funciones X o Y , que pueden determinarse resolviendo problemas de valores propiospara EDOs adecuadas.
2 Se busca la solucion del problema completo como suma de una serie de funciones como lasprecedentes.
3 Generalmente, los calculos conducen a una solucion formal. Hay que comprobar ahora queesta solucion formal define efectivamente una funcion que es solucion del problema.
4 El estudio de la unicidad del problema original justifica que la solucion encontrada es la unicasolucion del problema.
El metodo fue esbozado por D. Bernoulli y L. Euler para estudiar el problema de la cuerdavibrante a finales del s. XVIII. Posteriormente, J.B. Fourier en La Theorie Analytique de la Chaleur(1824) dio un paso decisivo en la consolidacion del metodo de desarrollo de una funcion en serietrigonometrica. Estas cuestiones obligaron a profundizar en la teorıa de la convergencia de series,en el propio concepto de funcion y de hecho, ramas de las Matematicas, como la Topologıa o laTeorıa de Conjuntos nacieron a proposito del tratamiento de problemas ligados a estas cuestiones.
14
2.2. El metodo de separacion de variables aplicado a la
ecuacion de ondas
El metodo de separacion de variables fue introducido hacia mediados del siglo XVIII por DanielBernouilli para resolver el problema de la cuerda vibrante, problema en el que estaban trabajandoen ese momento varios matematicos importantes como Jean le Rond d’Alembert y Leonhard Euler.Concretamente, D. Bernouilli considero el problema
∂2ttu− c2∂2
xxu = 0 en (0, L)× (0,∞)
u(0, t) = u(L, t) = 0, ∀ t ∈ (0,∞)
u(x, 0) = f(x), ∂tu(x, 0) = 0, ∀x ∈ (0, L),
donde f es una funcion dada. Fısicamente el problema consiste en encontrar para cada instante laposicion de una cuerda elastica que esta vibrando con el tiempo. Los puntos de la cuerda en cadainstante vienen dados por (x, u(x, t)), x ∈ [0, L].
Como vemos la funcion u verifica la ecuacion de ondas. De hecho fue al modelar el problemade la cuerda vibrante que aparecio por primera vez esta ecuacion.
La condicion de contorno impuesta significa que la cuerda esta fija en los extremos. Observarque la posicion de estos puntos viene dada por (0, u(0, t)) = (0, 0) y (L, u(L, t)) = (L, 0).
La funcion f es un dato del problema que nos da la posicion en t = 0 de los puntos de la cuerda.La condicion inicial para la derivada temporal nos da la velocidad a la que se mueven los puntos
de la cuerda en t = 0. Para simplificar la exposicion se ha supuesto una velocidad inicial nula.Daniel Bernouilli busco soluciones de la ecuacion de ondas de la forma u(x, t) = ψ(x)ϕ(t). Es lo
que hoy se conoce como metodo de separacion de variables. Reemplazando en la ecuacion, tenemosentonces
ψ(x)ϕ′′(t)− c2ψ′′(x)ϕ(t) = 0
que dividiendo por ψ(x)ϕ(t) lleva a
1
c2
ϕ′′(t)
ϕ(t)=ψ′′(x)
ψ(x).
Observar que en el miembro izquierdo de esta ecuacion aparece una funcion que solo depende det la cual es igual a la funcion que aparece en el miembro derecho y que solo depende de x. Estosignifica que esa funcion debe en realidad ser constante, i.e. debe existir λ ∈ R tal que
ψ′′(x)
ψ(x)= λ,
ϕ′′(t)
ϕ(t)= c2λ.
La condicion de contorno u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 lleva a
ψ(0)ϕ(t) = 0, ψ(L)ϕ(t) = 0, ∀ t ∈ (0,∞),
lo que suponiendo ϕ no identicamente nula (que llevarıa a la solucion trivial u ≡ 0) va a implicarque ψ es solucion del problema de autovalores
ψ′′(x) = λψ(x)
ψ(0) = ψ(L) = 0.(2.2)
15
Como es usual en los problemas de autovalores, estamos interesados en encontrar soluciones nonulas. Esto solo es posible si existe k ∈ N tal que
λ = −k2π2
L2(2.3)
y ψ es de la forma
ψ(x) = C sen
(kπ
Lx
), (2.4)
con C ∈ R. La funcion ϕ debe ahora verificar
ϕ′′(t) = −(ckπ
L
)2
ϕ(t)
y por tanto ϕ es de la forma
ϕ(t) = A cos
(ckπ
Lt
)+B sen
(ckπ
Lt
).
Imponiendo la condicion ∂tu(x, 0) = 0 se tiene que ϕ′(0) = 0 y por tanto B = 0. Llamando ak a laconstante AC tenemos entonces que u es de la forma
u(x, t) = ak sen
(kπ
Lx
)cos
(ckπ
Lt
).
El problema es que esta funcion no verifica en general la condicion inicial u(x, 0) = f(x) salvo quef sea de la forma
f(x) = ak sen
(kπ
Lx
).
Podemos sin embargo observar que gracias a que la ecuacion es lineal y a que el segundo miembro,las condiciones de contorno y la condicion inicial para la derivada temporal son nulas (condicioneshomogeneas) resulta que cualquier funcion de la forma
u(x, t) =m∑k=0
ak sen
(kπ
Lx
)cos
(ckπ
Lt
),
con m ∈ N, a1, . . . , am ∈ R, va a verificar tambien∂2ttu− c2∂2
xxu = 0 en (0, L)× (0,∞)
u(0, t) = u(L, t) = 0, ∀ t ∈ (0,∞)
u(x, 0) = f(x), ∂tu(x, 0) = 0 ∀x ∈ (0, L),
(2.5)
siempre y cuando
f(x) =m∑k=0
aksen
(kπ
Lx
).
Mas aun, podemos pensar en buscar u de la forma
u(x, t) =∞∑k=0
ak sen
(kπ
Lx
)cos
(ckπ
Lt
),
16
que es la forma considerada por D. Bernouilli, para resolver la ecuacion y que es la proporcionadapor el metodo de separacion de variables. Observar que para que la serie defina una funciondeberemos dar condiciones sobre ak que nos muestren la convergencia de la serie y sus derivadasası como que podemos intercambiar la suma con los operadores de derivacion. Si queremos porultimo que esta funcion verifique la condicion inicial que nos falta, deberemos entonces elegir lasconstantes ak de forma que
f(x) =∞∑k=0
ak sen
(kπ
Lx
).
El problema de saber si una funcion arbitraria f puede o no ser escrita como suma infinita defunciones trigonometricas creo bastante controversia en la epoca. Hay que tener en cuenta que eneste tiempo se pensaba que la suma de funciones derivables debıa ser derivable, ademas no estabani siquiera del todo claro que se entendıa por una funcion.
Fue a comienzos del siglo XIX cuando Joseph Fourier, estudiando la ecuacion del calor propuestapor el mismo, proporciono los primeros resultados matematicos correctos acerca del estudio de estetipo de series que hoy se llaman series de Fourier. Mostro como se podıan obtener los coeficientesak y como la serie obtenida proporcionaba en algunos casos buenas aproximaciones de la funcionf .
Aunque los primeros resultados acerca de la convergencia de las series de Fourier se refieren ala convergencia puntual, los resultados mas interesantes se verifican en la topologıa de L2.
Definicion 2.1. Dado un intervalo abierto (a, b), se define L2(a, b) como el espacio de las funcionesu : (a, b)→ R medibles tales que ∫ b
a
|u|2dx <∞.
El espacio L2(a, b) es un espacio de Hilbert con el producto escalar
(u, v) =
∫ b
a
uv dx, ∀u, v ∈ L2(a, b).
Recordar que al estar L2(a, b) dotado del producto escalar anterior, entonces L2(a, b) es unespacio normado con la norma
‖u‖L2(a,b) =√
(u, u) =
(∫ b
a
u2dt
) 12
.
Decir que una sucesion un converge a u en L2(a, b) significa entonces que
lımn→∞
‖un − u‖ = 0 ⇐⇒ lımn→∞
∫ b
a
|un − u|2dx = 0.
Que el espacio L2(a, b) sea Hilbert significa que es completo, i.e. toda sucesion de Cauchy esconvergente.
A fin de introducir las series de Fourier que nos van a aparecer al aplicar el metodo de separacionde variables a otros ejemplos y de dar algunos resultados de convergencia en L2(a, b) convienerecordar algunos resultados de los que ya se hablo en la asignatura Ampliacion de Ecuaciones
17
Diferenciales donde se hizo una introduccion al problema de autovalores para un problema de tipoSturm-Liouville. Concretamente se considero el problema de autovalores
(py′)′ + qy = λy en (a, b)
α1y(a) + α2y′(a) = 0
β1y(b) + β2y′(b) = 0,
(2.6)
donde p ∈ C1([a, b]), p > 0 en [a, b], q ∈ C0([a, b]), α1, α2, β1, β2 ∈ R
|α1|+ |α2| > 0, |β1|+ |β2| > 0.
Recordamos:
Definicion 2.2. Se dice que λ ∈ R es un autovalor de (2.6) si existe una solucion no nula de(2.6).
Si λ es un autovalor, se denota por Vλ al conjunto de soluciones de (2.6). Los elementos de Vλse llaman autofunciones asociadas a λ.
Se tiene el siguiente resultado
Teorema 2.3. Para cada autovalor λ ∈ R, el conjunto de autofunciones Vλ es un espacio vectorialde dimension uno.
El conjunto de autovalores de (2.6) forma una sucesion decreciente λk que tiende a −∞.Si λ1 y λ2 son dos autovalores distintos, u1 es una autofuncion asociada a λ1 y u2 una auto-
funcion asociada a λ2, entonces u1 y u2 son ortogonales en L2(a, b), i.e.∫ b
a
u1(x)u2(x) dx = 0.
Ademas se tiene ⋃k∈N
span[w1, . . . , wk] es denso en L2(a, b). (2.7)
A partir del teorema 2.3 se deduce que tomando para cada k ∈ N una autofuncion wk ∈ Vλktal que
‖wk‖L2(a,b) = 1 ⇐⇒∫ b
a
|wk|2dx = 1,
(esto define wk salvo signo) entonces wk es una base ortonormal en L2(a, b), i.e. las funciones wkverifican
(wk, wm) =
∫ b
a
wkwm dx =
1 si k = m
0 si k 6= m,
y para toda funcion f ∈ L2(a, b), se tiene
f =∞∑k=1
fkwk en L2(a, b), (2.8)
donde cada coeficiente fl se puede obtener a partir de
(f, wl) =∞∑k=1
fk(wk, wl) = fl,
18
i.e.
fl =
∫ b
a
f(t)wl(t) dt.
Se verifica ademas la identidad de Parsevall, que es una generalizacion del teorema de Pitagoras∫ b
a
|f |2dx = (f, f) =
(∞∑k=1
fkwk,
∞∑l=1
flwl
)=∞∑k=1
|fk|2.
Nota 2.4. Observar que decir que la suma en (2.8) tiene lugar en L2(a, b) significa que se verifica
0 = lımn→∞
∫ b
a
∣∣∣f(x)−n∑k=1
fkwk(x)∣∣∣2dx.
Esto no significa que la serie converja puntualmente, i.e. dado x ∈ [a, b] no tiene por que tenerseque
f(x) = lımn→∞
m∑k=1
fkwk(x).
De hecho si f esta en L2(a, b) entonces f solo esta definida salvo conjuntos de medida nula y portanto no tiene sentido hablar de su valor en un punto concreto. Aun cuando f sea una funcioncontinua en [a, b] no tiene por que haber convergencia puntual. Resultados de convergencia puntualpara las series de Fourier clasicas, i.e. con funciones trigonometricas y f en un espacio de funcionesmas regulares que solo L2(a, b) se han visto en la asignatura Series de funciones e integral deLebesgue.
Para probar que la serie que aparece en el metodo de separacion de variables define una funcionderivable que verifica la ecuacion y las condiciones de contorno e iniciales correspondientes usaremosla convergencia uniforme. Se recuerda
Definicion 2.5. Sea Ω un abierto de RN , diremos que una funcion u pertenece a Ck(Ω), k ≥ 0 siexisten todas las derivadas parciales de u de orden menor o igual que k en Ω y estas derivadas sepueden prolongar a funciones continuas en Ω. En este caso se identifican las derivadas parcialescon su prolongacion.
Definicion 2.6. Sea Ω un abierto de RN y un una sucesion de funciones definidas en Ω. Se diceque un converge uniformente a una funcion u en Ω si para todo ε > 0 existe nε ∈ N tal que
|un(x)− u(x)| ≤ ε, ∀x ∈ Ω, ∀n ≥ nε,
o equivalentemente, silımn→∞
supx∈Ω
|un − u| = 0. (2.9)
Observar que si las funciones un y u son continuas, tal y como ocurrira en las aplicaciones y Ωes acotado entonces el supremo que aparece en (2.9) es un maximo.
Se recuerda
Teorema 2.7. Sea un una sucesion de funciones en C0(Ω) que converge uniformente a una funcionu en Ω. Entonces u pertenece a C0(Ω).
Sea un una sucesion en Ck(Ω) tal que un converge uniformemente hacia una funcion u ypara toda derivada γ de orden menor o igual que k se tiene que existe vγ tal que ∂γun convergeuniformemente a vγ. Entonces u pertenece a Ck(Ω) y vγ = ∂γu.
19
En nuestro caso estamos interesados en el caso de sucesiones que estan definidas a traves deuna serie. En ese caso se tiene el criterio de la mayorante (o criterio M) de Weierstrass
Teorema 2.8. Sea gk una sucesion de funciones en Ω tal que existe una sucesion de numeros nonegativos Mk de forma que
∑kMk es convergente y
supx∈Ω
|gk(x)| ≤Mk, ∀ k ∈ N.
Entonces la serie de funciones∞∑k=1
gk(x)
converge uniformemente.
Vamos a ver ahora algunos ejemplos de problemas de autovalores y espacios de autofuncionesque seran de importancia en la aplicaciones
2.2.1. Ejemplos
Como primer ejemplo consideramos el problema (2.2). Tal y como hemos visto, los autovaloresvienen dados por (2.3) y las autofunciones correspondientes por (2.4). Como queremos autofun-ciones con norma 1, tomamos
wk =sen(kπLx)
‖sen(kπLx)‖L2(0,L)
=
√2
Lsen
(kπ
Lx
). (2.10)
Si f ∈ L2(0, L), se tiene entonces
f(x) =∞∑k=1
fk sen
(kπ
Lx
), (2.11)
donde la suma converge (al menos) en L2(0, L). Los elementos fk vienen dados por
fk =2
L
∫ L
0
f(x)sen
(kπ
Lx
)dx. (2.12)
y se verifica2
L
∫ L
0
|f |2dx =∞∑k=1
|fk|2.
Como segundo problema importante podemos considerary′′(x) = λy
y′(0) = y′(L) = 0.(2.13)
Un simple calculo prueba que ahora los autovalores vienen dados de nuevo por (2.3) pero conk ≥ 0. Una base ortonormal de autofunciones asociada viene dada por
w0 =1√L, wk =
√2
Lcos
(kπ
Lx
), k ≥ 1. (2.14)
Vamos a ver como se pueden mejorar los resultados de convergencia en estos ejemplos tomandof mas regular. Se tiene
20
Proposicion 2.9. Sea f ∈ C1([0, L]) tal que f(0) = f(L) = 0. Definiendo fk, k ∈ N, por (2.12)se verifica (2.11) donde la convergencia es uniforme en [0, L]. Ademas se tiene
π2
2L
∞∑k=1
k2|fk|2 =
∫ L
0
|f ′|2dx. (2.15)
Demostracion. Sabemos que se verifica (2.11) donde la convergencia es en L2(0, L). Por otraparte, como f ′ ∈ C0([0, L]) ⊂ L2(0, L) y como las funciones
√2/L cos
(kπLx)
tambien son una baseortonormal,
f ′(x) =g0
2+∞∑k=1
gk cos
(kπ
Lx
),
con convergencia en L2(0, L), donde
gk =2
L
∫ L
0
f ′(x) cos
(kπ
Lx
)dx, ∀ k ≥ 0.
Ademas se verifica|g0|2
2+∞∑k=1
|gk|2 =2
L‖f ′‖2
L2(0,L). (2.16)
Vamos a ver que hay una relacion simple entre los coeficientes fk y gk, para ello basta hacer lasiguiente integracion por partes, la cual usa que f(0) = f(L) = 0. Para todo k ≥ 1, se tiene∫ L
0
sen
(kπ
Lx
)f(x) dx = − L
kπ
∫ L
0
d
dxcos
(kπ
Lx
)f(x) dx =
L
kπ
∫ L
0
cos
(kπ
Lx
)f ′(x) dx,
i.e. se tiene
fk =L
kπgk, ∀ k ≥ 1.
Por otra parte
g0 =2
L
∫ L
0
f ′(x)dx = 0.
Usando (2.16) se deduce entonces (2.15).Para terminar vamos a ver que (2.16) implica que la convergencia en (2.11) es uniforme. Te-
niendo en cuenta
|fk| supx∈[0,l]
∣∣∣∣sen
(kπ
Lx
)∣∣∣∣ ≤ |fk|y aplicando el criterio M de Weiestrass, basta ver
∞∑k=1
|fk| <∞.
Esto resulta de aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwartz que nos dice
∞∑k=1
|fk| =∞∑k=1
(k|fk|)1
k≤
(∞∑k=1
k2|fk|2) 1
2(∞∑k=1
1
k2
) 12
<∞.
2
21
Nota 2.10. En la Proposicion 2.9 no hemos usado que f ′ sea continua sino tan solo que esta enL2(a, b). El buen resultado se tiene de hecho en espacios de Sobolev que se estudian en la asignaturaAnalis Funcional y EDP.
Analogamente se prueba
Proposicion 2.11. Sea f ∈ C1([0, L]), entonces, definiendo fk, k ∈ N ∪ 0, por
fk =2
L
∫ L
0
cos
(kπ
Lx
)f(x) dx, ∀ k ≥ 0,
se tiene
f(x) =f0
2+∞∑k=1
fk cos
(kπ
Lx
),
donde la convergencia es uniforme en [0, L] y donde se tiene
π2
2L
∞∑k=1
k2|fk|2 =
∫ L
0
|f ′|2dx. (2.17)
Nota 2.12. Contrariamente a la Proposicion 2.9, en la Proposicion 2.11 no imponemos ningunacondicion sobre f en los extremos del intervalo. Esto se debe a que el desarrollo en senos tienerelacion con un problema de autovalores con condiciones de tipo Dirichlet y el desarrollo en cosenoscon un problema con condiciones de tipo Neumann.
Nota 2.13. En los dos ejemplos anteriores hemos trabajado con series de Fourier correspondien-tes a desarrollos en senos o solo en cosenos. Al estudiar series de Fourier es sin embargo usualconsiderar desarrollos en senos y cosenos simultaneamente. El resultado proviene tambien de unproblema de autovalores pero ahora las condiciones de contorno en a y b no estan separadas comoen (2.6). Concretamente se usan condiciones de periodicidad. Debido a ello el espacio de autofun-ciones asociado a un autovalor puede tener dimension 2.
El ejemplo usual de serie de Fourier proviene del problema de contornoy′′(x) = λy en (0, 2π)
y(0) = y(2π), y′(0) = y′(2π).(2.18)
Una base de autovalores viene dada por λk = −k2, k ≥ 0. El autovalor nulo es simple y tiene comoautofuncion asociada de norma uno a la funcion
w0 =1√2π.
Los autovalores λk = −k2, k ≥ 1 son dobles. Una base ortonormal del espacio de autofuncionescorrespondiente consiste en
wk =1√π
cos(kx), zk =1√π
sen(kx).
Como en el Teorema 2.3, span[w1, z1, . . . , wk, zk], la union de los subespacios vectoriales generadospor las autofunciones, son densas en L2(0, 2π).
22
Se tiene por tanto que si f ∈ L2(0, 2π) entones
f =a0
2+∞∑k=0
(ak cos(kx) + bk sen(kx)
),
donde la suma converge en L2(a, b) y donde
ak =1
π
∫ 2π
0
f(x) cos(kx) dx, ∀ k ≥ 0, bk =1
π
∫ 2π
0
f(x) sen(kx) dx, ∀ k ≥ 1.
Ademas se verifica|a0|2
2+∞∑k=0
(|ak|2 + |bk|2
)=
1
π
∫ 2π
0
|f(x)|2dx.
2.2.2. Aplicacion
Vamos a aplicar todo lo anterior para obtener un resultado de existencia y unicidad para (2.5)donde buscamos u ∈ C2([0, L]× [0,∞)). Primero observar que si existe u entonces f debe verificarciertas condiciones de compatibilidad
Proposicion 2.14. Supongamos que existe u ∈ C2([0, L] × [0,∞) solucion de (2.5). Entonces fpertenece a C2([0, L]) y se tiene
f(0) = f(L) = f ′′(0) = f ′′(L) = 0. (2.19)
Demostracion. Como la funcion x 7→ u(x, 0) = f(x) es de clase C2([0, L]), deducimos que fpertenece a C2([0, L]). Ademas, derivando respecto a x se tiene
∂xu(x, 0) = f ′(x), ∂2xxu(x, 0) = f ′′(x), ∀x ∈ [0, L].
Por otra parte, usando que u(0, t) = u(L, t) = 0, para todo t ≥ 0, se tiene en particular
0 = u(0, 0) = f(0), 0 = u(L, 0) = f(L).
Ademas derivando respecto a t en u(0, t) = u(L, t) = 0 se deduce
∂tu(0, t) = ∂2ttu(0, t) = 0, ∂tu(L, t) = ∂2
ttu(L, t) = 0, ∀ t ≥ 0.
En particular∂2ttu(0, 0) = ∂2
ttu(L, 0) = 0.
pero como u verifica la ecuacion de ondas se tiene tambien
∂2ttu(0, 0) = c2∂2
xxu(0, 0) = c2f ′′(0), ∂2ttu(L, 0) = c2∂2
xxu(L, 0) = c2f ′′(L).
Esto prueba f ′′(0) = f ′′(L) = 0. 2
El teorema de existencia y unicidad que probamos es el siguiente
23
Teorema 2.15. Supongamos f ∈ C3([0, L]) tal que f(0) = f(L) = f ′′(0) = f ′′(L) = 0, entoncesexiste una unica solucion u ∈ C2([0, L]× [0,∞)) de (2.5), la cual viene dada por
u(x, t) =∞∑k=0
fk sen
(kπ
Lx
)cos
(ckπ
Lt
). (2.20)
Tanto esta serie como la de sus derivadas de orden menor o igual que 2 convergen uniformementeen [0, L]× [0,∞).
Demostracion. Por una parte podemos aplicar la Proposicion 2.9 a f obteniendose
f(x) =∞∑k=1
fk sen
(kπ
Lx
),
donde la convergencia es uniforme en [0, L] con
fk =2
L
∫ L
0
f(x)sen
(kπ
Lx
)dx.
y ∫ L
0
|f ′|2dx =π2
2L
∞∑k=1
k2|fk|2.
Esto no va a bastar para probar la convergencia de las derivadas de la serie que aparece en(2.20). Para mejorar el resultado de acotacion para los coeficientes fk usamos f ′′ ∈ C1([0, L]) yf ′′(0) = f ′′(L) = 0. Ello permite aplicar la Proposicion 2.9 tambien a f ′′ obteniendose
f ′′(x) =∞∑k=1
hk sen
(kπ
Lx
),
con
hk =2
L
∫ L
0
f ′′(x)sen
(kπ
Lx
)dx.
y ∫ L
0
|f ′′′|2dx =π2
2L
∞∑k=1
k2|hk|2.
El problema ahora es obtener una relacion entre los coeficientes hk y fk. Como en la Proposicion2.9, la idea es integrar por partes. Se tiene
hk =2
L
∫ L
0
f ′′(x)sen
(kπ
Lx
)dx = −2kπ
L2
∫ L
0
f ′(x) cos
(kπ
Lx
)dx
= −2k2π2
L3
∫ L
0
f(x) sen
(kπ
Lx
)dx = −k
2π2
L2fk.
Tenemos por tantoπ6
2L5
∞∑k=1
k6|fk|2 =
∫ L
0
|f ′′′|2dx.
24
Definiendo entonces las funciones rk por
rk(x, t) = fk sen
(kπ
Lx
)cos
(ckπ
Lt
),
se tiene que existe una constante C > 0 tal que para todo (x, t) ∈ [0, L]× [0,∞), se tiene
|rk(x, t)| ≤ C|fk|, |∂xrk(x, t)|, |∂trk(x, t)| ≤ Ck|fk|,
|∂2xxrk(x, t)|, |∂2
txrk(x, t)|, |∂2ttrk(x, t)| ≤ Ck2|fk|.
Usando entonces que
∞∑k=1
k2|fk| ≤
(∞∑k=1
k6|fk|2)1/2( ∞∑
k=1
1
k2
)1/2
<∞,
podemos entonces aplicar el criterio M de Weierstrass para deducir que la serie∑rk ası como la
de todas sus derivadas de orden menor o igual que 2 convergen uniformemente. Esto prueba que
u(x, t) =∞∑k=1
fk sen
(kπ
Lx
)cos
(ckπ
Lt
),
pertenece a C2([0, L] × [0,∞)). Ademas se pueden intercambiar los operadores de derivacion conla suma con lo que es inmediato comprobar que u es solucion de (2.5).
Para terminar falta ver la unicidad. Vamos a probarla de dos formas distintas:
Primera forma: Esta mas relacionado con el metodo de separacion de variables, que es el queestamos usando.
Si u ∈ C2([0, L] × [0,∞)) es solucion de (2.5), entonces para cada t ∈ [0,∞) la funcionx 7→ u(x, t) es de clase C2([0, L]) y en particular pertenece a L2(0, L). Se tiene por tanto
u(x, t) =∞∑k=1
φk(t)sen
(kπ
Lx
)en L2(0, L),
con
φk(t) =2
L
∫ L
0
u(x, t) sen
(kπ
Lx
)dx.
Como u(x, 0) = f(x), se tiene que
φk(0) =2
L
∫ L
0
u(x, t) sen
(kπ
Lx
)dx = fk.
Gracias a que u ∈ C2([0, L]× [0,∞)), podemos ademas derivar bajo el signo integral obteniendo
φ′′k(t) =2
L
∫ L
0
∂2ttu(x, t) sen
(kπ
Lx
)dx.
Usando aquı la ecuacion satisfecha por u, u(0, t) = u(L, t) = 0 e integrando por partes tenemosentonces
φ′′k(t) =2c2
L
∫ L
0
∂2xxu(x, t) sen
(kπ
Lx
)dx = −2kc2π
L2
∫ L
0
∂xu(x, t) cos
(kπ
Lx
)dx
= −2k2c2π2
L3
∫ L
0
u(x, t) sen
(kπ
Lx
)dx = −c
2k2π2
L2φk(t).
25
Ademas
φ′k(0) =2
L
∫ L
0
∂tu(x, 0)sen
(kπ
Lx
)dx = 0.
Tenemos por tanto que φk es solucion del problema de Cauchy
φ′′k = −c2k2π2
L2φk, φk(0) = fk, φ′k(0) = 0,
lo que lleva a
φk(t) = fk cos
(ckπ
Lt
)y por tanto a que u coincide con la funcion obtenida anteriormente.
Segunda forma: Usamos lo que se conoce como identidad de la energıa, para ello notamos que siexisten dos soluciones u1, u2 entonces v = u1 − u2 es solucion de (2.5) con f = 0. Multiplicandoesta ecuacion por ∂tv, integrando en espacio y mas tarde integrando por partes se tiene
0 =
∫ L
0
∂2ttv(x, t)∂tv(x, t) dx− c2
∫ L
0
∂2xxv(x, t)∂tv(x, t) dx
=
∫ L
0
∂2ttv(x, t)∂tv(x, t) dx+ c2
∫ L
0
∂xv(x, t)∂2txv(x, t) dx
=d
dt
(1
2
∫ L
0
|∂tv(x, t)|2dx+c2
2
∫ L
0
|∂xv(x, t)|2dx).
Se tiene por tanto que
E(t) =1
2
∫ L
0
|∂tv(x, t)|2dx+c2
2
∫ L
0
|∂xv(x, t)|2dx,
permanece constante a lo largo del tiempo. Como E(0) = 0, entonces E(t) = 0 para todo t lo queprueba que ∂tv(t, x) = ∂xv(t, x) = 0, i.e. v es constante. Como v se anula en t = 0, entonces v esla funcion nula tal y como querıamos probar.
Este metodo se llama de la energıa ya que E(t) representa la energıa mecanica de la cuerda(cinetica mas potencial elastica) en cada instante. El hecho de que la derivada de E sea cero no esotra cosa que la ley de conservacion de la energıa. 2
Nota 2.16. Los resultados de convergencia que se han probado para (2.20) no usan t ≥ 0. Estosignifica que en realidad lo que se ha probado es la existencia de una solucion en (0, L)×R. Veremoscomo la situacion es distinta la para la ecuacion del calor.
Nota 2.17. Veremos posteriormente en la asignatura que para la existencia y unicidad de (2.5)no es necesario tomar f ∈ C3([0, L]) sino tan solo en C2([0, L]), pero en ese caso no esta claroque en la serie que define u las derivadas de segundo orden converjan uniformemente.
2.3. El metodo de separacion de variables aplicado a la
ecuacion del calor unidimensional
Ahora aplicaremos los resultados anteriores al problemaut − uxx = 0, (x, t) ∈ (0, L)× (0,+∞),u(0, t) = u(L, t) = 0, t ∈ (0,+∞),u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, L],
(2.21)
26
donde u0 ∈ C0([0, L]).
Comenzamos definiendo el siguiente concepto de solucion
Definicion 2.18. Sea u0 ∈ C0([0, L]). Se dice que u ∈ C0([0, L]× [0,+∞)) es solucion clasica de(2.21) si existen ut, ux, uxx ∈ C0([0, L]× (0,+∞)), y se verifica
ut(x, t)− uxx(x, t) = 0 ∀(x, t) ∈ (0, L)× (0,+∞), (2.22)
u(0, t) = u(L, t) = 0 ∀t > 0 y u(x, 0) = u0(x) ∀x ∈ [0, L]. (2.23)
Nota 2.19. Si existe solucion en este sentido, aparecen obviamente condiciones necesarias, lla-madas de compatibilidad, a saber:
u0(0) = u0(L) = 0.
La definicion anterior intenta reflejar, acorde al tema 1, las condiciones mas naturales que deberıacumplir una solucion “clasica” de la EDP sobre el abierto Ω = (0, L)×(0,+∞) mas las condicionesde contorno y condiciones iniciales. Observese que en vez de exigir que u ∈ C2, solo se requierela mınima regularidad para las derivadas parciales que aparecen en la ecuacion. Que dichas de-rivadas solo esten definidas en el abierto Ω sin llegar a t = 0 evita imponer mas condiciones decompatibilidad sobre u0, que darıan lugar a una definicion clasica mas fuerte.
El siguiente resultado garantiza la existencia y unicidad de solucion en el sentido anterior.
Teorema 2.20. Sea u0 ∈ C1([0, L]) con u0(0) = u0(L) = 0. Entonces existe una unica solucionclasica de (2.21), esto es, u ∈ C0([0, L]×[0,+∞)) con ut, ux, uxx ∈ C0([0, L]×(0,+∞)), verificando(2.22) y (2.23). Ademas se cumple
u ∈ C∞([0, L]× (0,+∞)). (2.24)
En particular,lımt→0+‖u(·, t)− u0‖C0([0,L]) = 0. (2.25)
Demostracion. Existencia. Buscamos la solucion de la forma
u(x, t) =∞∑n=1
u0ne−(nπ/L)2t sin(
nπx
L) (2.26)
con
u0n =2
L
∫ L
0
u0(σ) sin(nπσ
L)dσ. (2.27)
Veamos que la serie en (2.26) esta bien definida en [0, L]× [0,+∞) y de hecho converge uniforme-mente, luego se tendra que u ∈ C0([0, L]× [0,+∞)). Para ello basta comprobar que∑
n≥1
|u0n| < +∞. (2.28)
Al ser u0 ∈ C1([0, L]), se tiene que u′0 ∈ C0([0, L]) ⊂ L2(0, L) puede ser desarrollada en serie decosenos, concretamente
u′0(x) =a′02
+∑n≥1
a′n cos(πnx
L) con a′k =
2
L
∫ L
0
u′0(σ) cos(πnσ
L)dσ,
27
verificandose ∑n≥1
(a′n)2 < +∞ (2.29)
por la identidad de Parseval. Podemos ver la relacion entre u0n y a′n integrando por partes y usandoque u0(0) = u0(L) = 0 (cf. Proposicion 2.9):
u0n =2
L
∫ L
0
u0(σ) sin(πnσ
L)dσ =
2
πn
∫ L
0
u′0(s) cos(πns
L)ds =
L
πna′n.
Ahora, ya sea usando Cauchy-Schwartz para `2 para acotar
∑n≥1
|u0n| =L
π
∑n≥1
|a′n|n≤ L
π
(∑n≥1
(a′n)2
)1/2(∑n≥1
1
n2
)1/2
< +∞
o usando la desigualdad de Young∑n≥1
|u0n| =L
π
∑n≥1
|a′n|n≤ L
2π
∑n≥1
(1
n2+ (a′n)2
)< +∞,
concluimos (2.28) y por el Criterio M de Weierstrass u ∈ C0([0, L]× [0,+∞)), por lo que (2.23) y(2.25) son obvios.
Comprobamos a continuacion que se verifica (2.24). Para ello veamos que la serie de las deri-vadas de cualquier orden respecto de x y de t esta bien definida y se tiene convergencia uniformehacia ella en [0, L]× (0,+∞) desde las sumas parciales, donde derivamos termino a termino. Estosera garantizado una vez mas por la aplicacion del Criterio M de Weierstrass y por un resultadovisto previamente (cf. Teorema 2.7) que senala que las derivadas de la serie lımite coinciden conlas series lımites de las sumas parciales derivadas, ∂γv = vγ. En efecto, fijemos a > 0 (arbitrario)y sean α1, α2 ≥ 0 dos enteros. Consideramos la serie∑
n≥1
∂α1+α2
∂xα1∂tα2
(u0ne
−(πn/L)2t sin(πnx
L)). (2.30)
Usando que |u0n| → 0 y derivando cada termino en la expresion superior, existen constantes K yC(α1, α2) ≥ 0 tales que
|u0n| ≤ K ∀n ≥ 1 (2.31)∣∣∣∣ ∂α1+α2
∂xα1∂tα2
(e−(πn/L)2t sin(
πnx
L))∣∣∣∣ ≤ C(α1, α2)nα1+2α2e−(πn/L)2t ∀n ≥ 1. (2.32)
En particular, si t ∈ [a,+∞), se tiene la siguiente estimacion∑n≥1
∣∣∣∣ ∂α1+α2
∂xα1∂tα2
(u0ne
−(πn/L)2t sin(πnx
L))∣∣∣∣ ≤ KC(α1, α2)
∑n≥1
nα1+2α2e−(πn/L)2a. (2.33)
La convergencia de la serie de la derecha y los resultados citados permiten concluir que u es inde-finidamente diferenciable respecto ambas variables en [0, L]× (0,+∞) y por tanto (2.24) se tiene.Asimismo, las derivadas de la serie consisten en la serie de las derivadas termino a termino, por lo
28
que u satisface la ecuacion (2.22). Esto finaliza la prueba de la existencia.
Unicidad (vıa 1): coeficientes del desarrollo de Fourier. Veamos que una solucion clasicaen el sentido de la Definicion 2.18 tiene forzosamente la forma (2.26).
Para cualquier t ≥ 0 fijado, la aplicacion x 7→ u(x, t) es continua, y como C0([0, L]) ⊂ L2(0, L),podemos escribir
u(x, t) =∑k≥1
φk(t) sin(kπx
L) en L2(0, L), (2.34)
donde los coeficientes φk(t) vienen dados por
φk(t) =2
L
∫ L
0
u(x, t) sin(kπx
L)dx.
Derivando respecto al tiempo en la expresion anterior (ut tiene sentido si t > 0) resulta
φ′k(t) =2
L
∫ L
0
ut(x, t) sin(kπx
L)dx =
2
L
∫ L
0
uxx(x, t) sin(kπx
L)dx (2.35)
= −2kπ
L2
∫ L
0
ux(x, t) cos(kπx
L)dx = −2(kπ)2
L3
∫ L
0
u(x, t) sin(kπx
L)dx = −
(kπ
L
)2
φk(t),
donde se ha usado la ecuacion satisfecha por u e integrado por partes dos veces.Ademas, por tenerse que u(x, 0) = u0(x),
φk(0) =2
L
∫ L
0
u0(x) sin(kπx
L)dx = u0k.
Esto implica que φk es la solucion del problema de Cauchyφ′k(t) = −
(kπL
)2φk(t), t > 0,
φk(0) = u0k.(2.36)
Concluimos que φk(t) = u0ke−(kπ/L)2t, luego (2.34) se convierte efectivamente en (2.26).
Unicidad (vıa 2): metodo de “energıa”. Veamos que una cierta funcion no negativa esdecreciente y comienza en cero. Ello obligara a que la funcion es identicamente nula, de donde seobtendra el resultado.
Si u1 y u2 son dos soluciones clasicas en el sentido de la Definicion 2.18 para el problema(2.21), entonces v := u1 − u2 es solucion clasica de un problema analogo, concretamente v, vt, vx,vxx ∈ C0([0, L]× (0,+∞)) y se verifica
vt − vxx = 0, (x, t) ∈ (0, L)× (0,+∞),v(0, t) = v(L, t) = 0, t ∈ (0,+∞),v(x, 0) = 0, x ∈ [0, L],
Si multiplicamos por v en la ecuacion e integramos en espacio, tenemos para t > 0
0 =
∫ L
0
(vt(x, t)v(x, t)− vxx(x, t)v(x, t))dx =1
2
d
dt
∫ L
0
v(x, t)2dx+
∫ L
0
vx(x, t)2dx,
29
donde se ha derivado bajo el signo integral respecto a t el primer sumando e integrado por partesen el segundo. Entonces la funcion (no negativa)
E(t) =1
2
∫ L
0
v(x, t)2dx,
bien definida y continua para t ≥ 0 gracias a la regularidad de v, es derivable para t > 0, conderivada negativa, luego E es decreciente. Como E(0) = 0, se tiene E(t) = 0 para todo t ≥ 0.Ası, para cada t, v(·, t) = 0 e.c.t. x, pero al ser v ∈ C0([0, L] × (0,+∞)), entonces v ≡ 0 en todo[0, L]× [0,+∞), lo que concluye la prueba.
Nota 2.21. El nombre energıa (en la prueba de la unicidad) proviene de las aplicaciones. Efec-tivamente muchas veces el funcional que se utiliza es la energıa total, i.e. cinetica mas potencial,como en ondas o en fluidos, donde la friccion -si la hay en el modelo- muestra que el funcionaldecrece, o es constante -modelo sin friccion-. En el caso de la EDP del calor, no es propiamenteuna energıa fısica, pero se comporta de forma analoga, por lo que se mantiene el nombre generico.
Nota 2.22. La tesis del teorema permanece igual aunque sustituyamos la hipotesis u0 ∈ C1([0, L])por u0 ∈ C0([0, L]) tal que existe u1 ∈ L2(0, L) con
u0(x) =
∫ x
0
u1(σ)dσ
(dejando evidentemente tambien u0(L) = 0). Para demostrarlo se reemplaza la integracion porpartes de la prueba para relacionar u0n con a′n por el Teorema de Fubini:
u0n =2
L
∫ L
0
u0(σ) sin(πnσ
L)dσ =
2
L
∫ L
0
∫ σ
0
u1(s)ds sin(πnσ
L)dσ
=2
L
∫ L
0
∫ L
s
u1(s) sin(πnσ
L)dσds =
2
L
∫ L
0
∫ L
s
u1(s)
[− cos(
πnσ
L)L
nπ
]σ=L
σ=s
ds
=2
nπ
∫ L
0
((−1)n+1u1(s) + u1(s) cos(
πns
L))ds =
L
πna′n,
ya que el primer sumando en la ultima integral se anula por u0(L) = 0.
El Teorema 2.20 junto a su demostracion admite variaciones, tanto debilitando las hipotesissobre u0 y obteniendo otro resultado (mas debil), como imponiendo condiciones mas restrictivassobre u0, llegando a una solucion con mas propiedades. Damos ambas versiones a continuacion; laspruebas se incluyen por completitud y claridad, a pesar de la similitud con la anterior. Observesela regularizacion de la solucion a pesar del “mal” dato inicial.
Teorema 2.23. Sea u0 ∈ L2(0, L). Entonces existe una unica solucion generalizada al problema(2.21), esto es, u ∈ C∞([0, L]× (0,∞)) verificando
ut(x, t)− uxx(x, t) = 0 ∀(x, t) ∈ [0, L]× (0,+∞), (2.37)
u(0, t) = u(L, t) = 0 ∀t > 0, u(x, 0) = u0(x) en L2(0, L), (2.38)
lımt→0+‖u(·, t)− u0‖L2(0,L) = 0. (2.39)
30
Demostracion. Existencia. Sea
u(x, t) =∑n≥1
u0ne−(πn/L)2t sin(
πnx
L) con u0n =
2
L
∫ L
0
u0(σ) sin(πnσ
L)dσ. (2.40)
Como u0 ∈ L2(0, L), se tiene que∑
n≥1 u20n < +∞, luego existe K ≥ 0 tal que
|u0n| ≤ K ∀n ≥ 1.
(Comparado con la demostracion del Teorema 2.20, esto no basta para controlar la serie para todot ≥ 0, pero sı sera suficiente si t > 0.) Consideramos la serie∑
n≥1
∂α1+α2
∂xα1∂tα2
(u0ne
−(πn/L)2t sin(πnx
L)),
con α1, α2 ≥ 0 dos enteros arbitrarios. Existe una constante C(α1, α2) ≥ 0 tal que∣∣∣∣ ∂α1+α2
∂xα1∂tα2
(e−(πn/L)2t sin(
πnx
L))∣∣∣∣ ≤ C(α1, α2)nα1+2α2e−(πn/L)2t ∀n ≥ 1,
por lo que dado a > 0 arbitrario, si t ∈ [a,+∞), se tiene la estimacion∑n≥1
∣∣∣∣ ∂α1+α2
∂xα1∂tα2
(u0ne
−(πn/L)2t sin(πnx
L))∣∣∣∣ ≤ KC(α1, α2)
∑n≥1
nα1+2α2e−(πn/L)2a.
La convergencia de la serie de la derecha y los resultados previos permiten concluir que u ∈C∞([0, L] × (0,+∞)). Asimismo, sus derivadas consisten en derivar termino a termino los queaparecen en el sumatorio, por lo que u satisface la ecuacion (2.37). Por propia construccion, usatisface (2.38).
Resta comprobar (2.39). En efecto, por la identidad de Parseval
‖u(·, t)− u0‖2L2(0,L) =
L
2
∑n≥1
(1− e−(πn/L)2t)2u20n. (2.41)
La identidad de Parseval de nuevo aplicada a u0 garantiza que, fijado ε > 0, existe nε tal que
L
2
∑n≥nε+1
u20n ≤
ε
2.
Por continuidad, existe τ > 0, dependiente de nε, tal que si t ∈ [0, τ ],
max1≤n≤nε
(1− e−(πn/L)2t)2 ≤ ε
2‖u0‖−2
L2(0,L),
donde evidentemente estamos suponiendo que u0 6= 0 (caso trivial pues la funcion identicamentenula serıa solucion). Combinando lo anterior con (2.41) se deduce
‖u(·, t)− u0‖2L2(0,L) =
L
2
nε∑n=1
(1− e−(πn/L)2t)2u20n +
L
2
∑n≥nε+1
(1− e−(πn/L)2t)2u20n
≤ Lε
4‖u0‖−2
L2(0,L)
nε∑n=1
u20n +
L
2
∑n≥nε+1
u20n ≤
ε
2+ε
2= ε.
31
Unicidad. Las dos pruebas dadas en la demostracion del Teorema 2.20 siguen siendo validas.Concretamente, para la vıa 1 que busca identificar los coeficientes φk(t) del desarrollo en senos
para t > 0 que aparece en (2.34). Se deduce analogamente a como se hizo allı que φk es la soluciondel problema (comparese con el problema de Cauchy (2.36))
φ′k(t) = −(kπL
)2φk(t), t > 0,
lımt→0+ φk(t) = u0k.
De nuevo, la solucion φk conduce unıvocamente a la expresion (2.40).Por otro lado, en la vıa 2 del metodo de energıa, se usa la funcion no negativa [0,+∞) 3 t 7→
E(t). E es derivable para t > 0 (con derivada no positiva) y continuo para todo t ≥ 0 gracias a(2.39). Como E(0) = 0, se concluye la unicidad.
Nota 2.24. La poca regularidad exigida a u0 en el resultado anterior, solo perteneciente a L2(0, L),solo permite plantear la propiedad de continuidad (2.39). Comparese con (2.25) en el Teorema 2.20.
Por otro lado, incluso a pesar del debilitamiento de la regularidad del dato inicial, se mantienela propiedad u ∈ C∞([0, L]× (0,+∞)). Esto se conoce como efecto regularizante de la ecuacion delcalor, y se debe a la contribucion de la exponencial con exponente negativo para t > 0. Evidente-mente, por la misma razon no tiene sentido analizar la serie para t < 0.
El tercer resultado establece mejores propiedades de la solucion bajo hipotesis mas restrictivaspara el dato inicial u0. Antes de formularlo, veamos que condiciones de compatibilidad deberıancumplirse.
Proposicion 2.25. Si existe u con u, ut, ux y uxx ∈ C0([0, L] × [0,+∞)) solucion de (2.21),entonces u0 ∈ C2([0, L]) debe satisfacer las condiciones de compatibilidad
u0(0) = u0(L) = u′′0(0) = u′′0(L) = 0.
Demostracion. Ya que u(x, 0) = u0(x) para x ∈ [0, L], de la regularidad de uxx deducimos queu0 ∈ C2([0, L]).
Las condiciones de contorno u(0, t) = u(L, t) = 0 para t > 0 y que u ∈ C0([0, L] × [0,+∞)),implican que u(0, 0) = u(L, 0) = 0, lo que unido a la condicion inicial u(x, 0) = u0(x) implica queu0(0) = u0(L) = 0.
De nuevo la condicion inicial u(x, 0) = u0(x) implica que uxx(x, 0) = u′′0(x). Por las condicionesde contorno, ut(0, t) = ut(L, t) = 0 para todo t ≥ 0, y por la ecuacion satisfecha, se concluye queuxx(0, 0) = uxx(L, 0) = 0, o lo que es lo mismo, u′′0(0) = u′′0(L) = 0.
Teorema 2.26. Sea u0 ∈ C3([0, L]) con u0(0) = u0(L) = u′′0(0) = u′′0(L) = 0. Entonces, la solucionclasica de (2.21), cuya existencia y unicidad esta garantizada por el Teorema 2.20, y que vienedada por
u(x, t) =∞∑n=1
u0ne−(nπ/L)2t sin(
nπx
L),
cumple que la serie ası como la de sus derivadas primeras respecto t y respecto de x, y la desus derivadas segundas respecto x dos veces convergen uniformemente en [0, L]× [0,+∞). Ası, laregularidad de u llega hasta la frontera, esto es, u, ut, ux, uxx ∈ C0([0, L]× [0,+∞)), y verifica
ut − uxx = 0, (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞),u(0, t) = u(L, t) = 0, t ∈ [0,+∞),u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, L],
32
Demostracion. La existencia y unicidad de solucion de (2.21), ası como que su expresion es la dadaen el enunciado y que dicha serie converge uniforme en [0, L] × [0,+∞), siendo u ∈ C0([0, L] ×[0,+∞)), es consecuencia del Teorema 2.20.
El resto de afirmaciones que quedan por probar se tendran si la serie formal de las derivadasprimeras respecto t y respecto de x, y la de sus derivadas segundas respecto x dos veces convergenuniformemente en [0, L]× [0,+∞). Para demostrar esto, aplicaremos el Criterio M de Weierstrass.
Por la identidad de Parseval sabemos que los coeficientes del desarrollo de Fourier satisfacen
2
L‖u0‖2
L2(0,L) =∑n≥1
u20n.
Mostramos mejores propiedades de convergencia de la serie incluyendo diversos pesos.Por la Proposicion 2.9, ya que u0(0) = u0(L) = 0, ademas se tiene
‖u′0‖2L2(0,L) =
π2
2L
∑k≥1
k2u20k.
Por otro lado, analogo a la demostracion del Teorema 2.15, aplicando a u′′0 ∈ C1([0, L]), que tambiensatisface u′′0(0) = u′′0(L) = 0, el mismo razonamiento con su desarrollo en senos
u′′0(x) =∑k≥1
hk sin(kπx
L) con hk =
2
L
∫ L
0
u′′0(s) sin(kπs
L)ds,
cumple que
‖u′′′0 ‖2L2(0,L) =
π2
2L
∑k≥1
k2h2k. (2.42)
Integrando dos veces por partes y usando las condiciones de compatibilidad sobre u0, vemos larelacion entre los hk y los u0k:
hk =2
L
∫ L
0
u′′0(x) sin(kπx
L)dx = −2kπ
L2
∫ L
0
u′0(x) cos(kπx
L)dx
= −2k2π2
L3
∫ L
0
u0(x) sin(kπx
L)dx = −
(kπ
L
)2
u0k.
Sustituyendo esta en (2.42) queda
π6
2L5
∑k≥1
k6u20k = ‖u′′′0 ‖2
L2(0,L).
Ahora podemos considerar las funciones
rk(x, t) = u0ke−(kπ/L)2t sin(
kπx
L),
que cumplen que existe una constante C > 0 tal que
|rk(x, t)| ≤ C|u0k|, |∂xrk(x, t)| ≤ Ck|u0k|,max|∂2
xxrk(x, t)|, |∂trk(x, t)| ≤ Ck2|u0k| ∀(x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞).
33
El Criterio M de Weierstrass puede aplicarse a las series con los sumandos anteriores, ya que en elpeor de los casos posibles, se tiene la acotacion
∑k≥1
k2|u0k| =∑k≥1
k3|u0k|1
k≤
(∑k≥1
k6u20k
)1/2(∑k≥1
1
k2
)1/2
< +∞.
Nota 2.27. Observese que |∂2txrk(x, t)| ≤ Ck3|u0k| no permite acotar la serie correspondiente
usando los argumentos anteriores.
Nota 2.28. El metodo de Fourier es mucho menos eficaz en varias dimensiones espaciales. Eneste caso, no se dispone de la expresion explıcita de autovalores y autofunciones, solo cabe su apro-ximacion numerica que es un problema tan complejo como la propia aproximacion de la ecuacionde partida. Tampoco esta bien adaptado para problemas no lineales.
34
Tema 3
La ecuacion del calor
Pretendemos estudiar la ecuacion del calor unidimensional tanto en su version homogenea
ut − uxx = 0
como en su version no homogeneaut − uxx = f(x, t)
Denotaremos por Q = (a, b)× R donde −∞ ≤ a < b ≤ ∞.Como principal caracterıstica de la solucion de dicha ecuacion, y al contrario de lo que se vio
en un ejemplo en el Tema 1 para la ecuacion de ondas (y que se vera en el tema siguiente con masdetalle) sobre la reversibilidad de la solucion, la ecuacion del calor mostrara un caracter irreversibleen tiempo, justamente debido a su efecto regularizante.
Se recuerda por conveniencia que
∫ +∞
−∞e−x
2
dx =√π.
3.1. La solucion fundamental. El nucleo de Gauss
Consideraremos aquı unas soluciones particulares de la EDP del calor: las que son autoseme-jantes y veremos que otras muchas pueden obtenerse a partir de ellas. Consideremos la EDP delcalor homogenea
ut(x, t)− uxx(x, t) = 0 (x, t) ∈ Q. (3.1)
Si u(x, t) es solucion de (3.1), entonces uλ(x, t) = u(λx, λ2t) es tambien solucion para cualquierλ ∈ R.
Buscamos soluciones con la propiedad
u(λx, λ2t) = Cλu(x, t) (3.2)
(emulamos con ello la propiedad de homogeneidad que permite resolver ciertas EDOs). Ası,
u(x√t, 1) = C 1√
tu(x, t).
Por tanto buscamos cierta funcion φ( 1√t) tal que
u(x, t) = φ(1√t)u(
x√t, 1) = φ(
1√t)v(
x√t), (3.3)
35
donde hemos introducido por comodidad notacional la funcion v(ξ) = u(ξ, 1).Por otra parte, desde el punto de vista fısico se sabe que hay que imponer la conservacion de
la cantidad total de calor, es decir, que u(·, t) debe ser integrable en R y el valor de esta integraldebe ser constante independiente de t. Si establecemos esta condicion, resulta∫ +∞
−∞u(x, t) dx = φ(
1√t)
∫ +∞
−∞v(
x√t) dx = φ(
1√t)√t
∫Rv(y)dy,
de donde deducimos que
φ(1√t) =
1√t.
Aplicando esto en (3.3), si hay una solucion satisfaciendo (3.2), debe cumplir
u(x, t) =1√tv(
x√t). (3.4)
Como
ut(x, t) =−1
2t√tv(
x√t)− x
2t2v′(
x√t), ux(x, t) =
1
t2v′(
x√t), uxx(x, t) =
1
t√tv′′(
x√t),
la ecuacion del calor se satisface si
v′′(x√t) +
1
2
x√tv′(
x√t) +
1
2v(
x√t) = 0.
Denotando ξ = x/√t, tenemos la EDO
v′′(ξ) +ξ
2v′(ξ) +
1
2v(ξ) = 0⇐⇒
(v′ +
(ξ
2v
))′= 0, (3.5)
cuya solucion general es
v(ξ) = Ae−ξ2/4
∫ ξ
0
eτ2/4 dτ +Be−ξ
2/4 A, B ∈ R. (3.6)
De las dos soluciones independientes de la ecuacion, escogemos la segunda, que tiene integral finita.
Tomamos v(ξ) = Be−ξ2
4 y sustituyendo en (3.4), se obtiene
u(x, t) = Bt−1/2e−x2
4t . (3.7)
Se escoge B para que la integral en x valga 1 y se obtiene
u(x, t) =1√4πt
e−x2
4t . (3.8)
Definicion 3.1. Se llama nucleo de Gauss de la EDP del calor a la funcion
G(x, t) =
1√4πt
e−x2
4t , si t > 0,
0, si t ≤ 0.(3.9)
36
Proposicion 3.2. El nucleo de Gauss tiene las siguientes propiedades
1. G ∈ C∞(R× (0,+∞)).
2. G(x, t) > 0 ∀(x, t) ∈ R× (0,+∞).
3. ∫ +∞
−∞G(x, t) dx = 1 ∀t ∈ (0,∞). (3.10)
4. Para cada δ > 0,
lımt→0+
∫ +∞
δ
G(x, t) dx = 0. (3.11)
Demostracion. Las tres primeras propiedades son inmediatas a partir de la definicion. Justificamos
la cuarta. Efectuando el cambio de variable σ =x
2√t, se obtiene
∫ +∞
δ
G(x, t) dx =1√π
∫ +∞
δ2√t
e−σ2
dσ.
La medida de la region de integracion de la ultima integral tiende a 0 cuando t→ 0+, y el teoremade Lebesgue asegura que la integral tiende a 0, como se querıa probar.
A partir de la solucion fundamental se pueden construir otras soluciones. Notese por ejemploque para cada y ∈ R, la funcion
uy(x, t) = G(x− y, t)g(y)
es tambien solucion de la EDP del calor, donde g : R→ R. Y si escogemos y1, . . . , yn ∈ R, tambienlo es una combinacion lineal
u(x, t) =n∑i=1
uyi(x, yi) =n∑i=1
G(x− yi, t)g(yi).
Esto nos lleva a pensar mediante un paso al lımite formal cuando n → +∞, que, cuando tengasentido, la funcion
u(x, t) =
∫ +∞
−∞G(x− y, t)g(y) dy (3.12)
puede ser tambien solucion de la EDP del calor. Para ello harıa falta que la integral tuviera sentidocomo hemos dicho y que se pudiera derivar bajo el signo integral. Puede probarse que esto es ası si,por ejemplo, g ∈ L∞(R) o g ∈ Lp(R). Estudiaremos con mas detalle en la siguiente pregunta loque sucede cuando g es continua y acotada.
Nota 3.3. Un calculo similar al realizado aquı permite construir el nucleo de Gauss para la ecua-cion del calor N-dimensional, que es
G(x, t) =
1
(4πt)N/2e−|x|24t , si t > 0,
0, si t ≤ 0,(3.13)
siendo x ∈ RN y |x|2 =∑N
i=1 x2i .
37
3.2. La solucion del problema con valores iniciales
Consideraremos en esta pregunta el problema de Cauchyut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).u(x, 0) = u0(x), x ∈ (−∞,+∞).
(3.14)
Se tiene el siguiente resultado
Teorema 3.4. Sea u0 ∈ C0(R) acotada. Entonces, la funcion
u(x, t) =
∫ +∞−∞ G(x− y, t)u0(y) dy si t > 0,
u0(x) si t = 0,(3.15)
tiene la regularidad u ∈ C∞(R× (0,+∞)) ∩ C0(R× [0,∞)) y es solucion de (3.14).
Demostracion. Ya que G ∈ C∞(R × (0,+∞)), la posibilidad de derivar respecto de parametrosbajo el signo integral permite obtener que u ∈ C∞(R× (0,∞)) y para t > 0
ut(x, t) =
∫ +∞
−∞Gt(x− y, t)u0(y) dy, uxx(x, t) =
∫ +∞
−∞Gxx(x− y, t)u0(y) dy.
Por tanto
ut(x, t)− uxx(x, t) =
∫ +∞
−∞Gt(x− y, t)u0(y) dy −
∫ +∞
−∞Gxx(x− y, t)u0(y) dy = 0, t > 0.
Fijemos ahora x0 ∈ R y veamos que
lımx→x0t→0+
u(x, t) = u0(x0) ∀x0 ∈ R. (3.16)
En efecto, fijado ε > 0, por la continuidad de u0,
∃δ > 0 : |y − x0| < 2δ =⇒ |u0(y)− u0(x0)| < ε. (3.17)
Entonces, tomando x tal que |x− x0| < δ evaluamos
|u(x, t)− u0(x0)| =∣∣∣∣∫ +∞
−∞G(x− y, t)(u0(y)− u0(x0)) dy
∣∣∣∣≤∫ +∞
−∞G(x− y, t)|u0(y)− u0(x0)| dy
=
∫|y−x|<δ
G(x− y, t)|u0(y)− u0(x0)| dy +
∫|y−x|≥δ
G(x− y, t)|u0(y)− u0(x0)| dy.
Resulta que si y pertenece al dominio de la primera integral, es decir, verifica |y−x| < δ, entonces
|y − x0| ≤ |y − x|+ |x− x0| ≤ 2δ =⇒ |u0(y)− u0(x0)| < ε,
por (3.17). Por tanto,
|u(x, t)− u0(x0)| ≤ ε
∫|y−x|<δ
G(x− y, t) dy + 2 supy∈R|u0(y)|
∫|y−x|≥δ
G(x− y, t) dy ≤ 2ε, (3.18)
con tal de que t > 0 sea suficientemente pequeno por (3.10) y (3.11). Esto concluye la prueba.
38
Nota 3.5. 1. Notese que la convergencia (3.16) es uniforme en subconjuntos compactos de R.
2. La formula (3.15) es un ejemplo de la operacion matematica llamada convolucion. Dadas dosfunciones de una variable f, y g, se define la convolucion de ambas (observese la simetrıade la formula) como
(f ∗ g)(x) =
∫Rf(x− y)g(y) dy =
∫Rf(y)g(x− y) dy,
operacion que se puede definir cuando la integral es convergente. Esta operacion tiene im-portantes propiedades de regularidad. La formula (3.15) puede escribirse en esta notacioncomo
u(x, t) = (G(·, t) ∗ u0(·))(x).
3. Notese que u ∈ C∞(R× (0,+∞)) aunque el dato inicial sea solo continuo. Vuelve a aparecerel efecto regularizante de la EDP del calor que ya habıamos visto en el Teorema 2.23 por“malo” que fuera el dato inicial.
4. La convolucion en (3.15) muestra que la velocidad de propagacion del calor es infinita: siu0 ≥ 0 es positiva en algun conjunto de medida no nula, incluso aunque sea nula en el resto,entonces para cualquier t > 0, en cualquier x ∈ R se tendra que u(x, t) > 0, aunque puedaser un valor eventualmente muy pequeno.
5. Si m ≤ u0(x) ≤ M para todo x ∈ R, entonces m ≤ u(x, t) ≤ M para todo (x, t) ∈ R ×(0,+∞), debido a (3.10). Las temperaturas maxima y mınima iniciales no se pueden superara lo largo del tiempo.
Este resultado es una version de lo que denominaremos en la siguiente pregunta “el principiodel maximo”.
6. Se verifica un principio de conservacion del calor: Si u0 ∈ L1(R), entonces∫ +∞
−∞u(x, t) dx =
∫ +∞
−∞u0(x) dx ∀t ∈ (0,+∞). (3.19)
En efecto, puede justificarse mediante el teorema de Fubini-Tonelli que∫ +∞
−∞u(x, t) dx =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞G(x− y, t)u0(y) dydx
=
∫ +∞
−∞u0(y)
(∫ +∞
−∞G(x− y, t) dx
)dy =
∫ +∞
−∞u0(y) dy.
7. El problema de Cauchy para la ecuacion del calor no tiene solucion unica. Un celebre ejemplo,debido a Tychonoff mostro que el problema
ut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0,+∞)× (0,+∞),u(x, 0) = 0, x ∈ [0,+∞),
(3.20)
que tiene obviamente la solucion trivial, tiene ademas una solucion no trivial.
Sı hay, sin embargo, unicidad de solucion positiva, resultado importante, pues en muchosproblemas (por ejemplo, si u es una temperatura) la hipotesis de que u ≥ 0 es razonable(cf. [Peral, pag. 312]). Tambien hay unicidad de solucion acotada como veremos en la pre-gunta siguiente. En el ejemplo de Tychonoff, la solucion no trivial del problema homogeneoencontrada cambia de signo y es no acotada en R× (0,+∞).
39
Cuando u0 no es acotada pero existen constantes positivas M y a tales que
|u0(y)| ≤Meay2
, (3.21)
entonces puede rehacerse el Teorema anterior y obtener un resultado similar. Para que las integralesconverjan, debe aparecer en el integrando de (3.15) la exponencial con exponente negativo, lo queexige que
− 1
4t+ a < 0 =⇒ t <
1
4a.
Es decir, se obtiene una solucion valida para 0 < t < (4a)−1, que es C∞(R× (0, a)) y que verifica(3.16).
3.3. El principio del maximo. Resultados de unicidad
Consideremos un intervalo acotado (a, b), −∞ < a < b < +∞ y sea T > 0. Denotaremos
QT = (a, b)× (0, T ), (3.22)
y su frontera parabolica
ΓT = ([a, b]× 0) ∪ (a × [0, T ]) ∪ (b × [0, T ]) (3.23)
Teorema 3.6. (Principio del maximo debil). Sea u ∈ C0([a, b] × [0, T ]) tal que existen ut, ux,uxx ∈ C0((a, b)× (0, T )) y verificando ut − uxx ≤ 0 en QT . Entonces
maxQT
u = maxΓT
u. (3.24)
Demostracion. Supongamos en primer lugar que ut − uxx < 0, y sea (x0, t0) ∈ QT un puntodonde u alcanza su maximo. Si (x0, t0) ∈ QT , entonces ut(x0, t0) = 0 y uxx(x0, t0) ≤ 0, con loque ut(x0, t0) − uxx(x0, t0) ≥ 0, contradiciendo la hipotesis. Si x0 ∈ (a, b) y t = T , entoncesut(x0, t0) ≥ 0 y uxx(x0, t0) ≤ 0, con lo que de nuevo ut(x0, t0)−uxx(x0, t0) ≥ 0 (absurdo). De modoque (x0, t0) ∈ ΓT y se tiene (3.24).
Supongamos ahora que ut−uxx ≤ 0. Se toma ε > 0 y se define la funcion v(x, t) = u(x, t)− εt,que verifica
vt − vxx = ut − uxx − ε < 0.
Como acabamos de probar, maxQT v = maxΓT v. Entonces
maxQT
u = maxQT
(v + εt) ≤ maxQT
v + εT = maxΓT
v + εT ≤ maxΓT
u+ εT.
Como la anterior desigualdad es valida para cualquier ε > 0, se deduce que maxQT u ≤ maxΓT u,que, junto con la desigualdad contraria que se verifica siempre, prueba (3.24).
La prueba anterior, aunque simple, ha usado ut(x0, T ) y uxx(x0, T ) en cierto momento, lo cualno es correcto bajo las hipotesis dadas (bastarıa por ejemplo u ∈ C2((a, b) × (0, T ])). Como solobuscamos una tesis relacionada con el maximo y lo que usa es continuidad y Weierstrass, la solucionpara una prueba rigurosa es simple: aproximar los dominios donde se razona sin llegar al bordecon t = T y proceder por paso al lımite. Se anade la demostracion rigurosa por completitud:
40
Demostracion. La notacion de QT y ΓT introducida antes se usara en parte de la prueba cambian-do T por otro valor ligeramente menor.
Etapa 1: Fijado η ∈ (0, T ), se tiene que maxQT−η u = maxΓT−η u.
Paso 1.1 Supongamos ut − uxx < 0 en QT−η. Veamos que entonces se tiene la tesis de esta etapa1. Si el valor donde se alcanza el maxQT−η u es (x0, t0), veamos que no puede ocurrir que
(x0, t0) ∈ QT−η. En efecto, en tal caso ocurre que ut(x0, t0) = 0 y uxx(x0, t0) ≤ 0, por lo quese tendrıa ut(x0, t0)− uxx(x0, t0) ≥ 0, contrariamente a la hipotesis de este paso 1.1.
Tampoco puede ocurrir que el maximo anterior se alcance en un punto de la forma (x0, T−η)con x0 ∈ (a, b), ya que en tal caso, y siendo correcto hablar de ut y uxx en (x0, T − η), setendrıa ut(x0, T − η) − uxx(x0, T − η) ≥ 0, lo que es absurdo de nuevo con la hipotesis deeste paso 1.1.
De ambos razonamientos se obtiene que maxQT−η u = maxΓT−η u bajo la hipotesis de estepaso 1.1.
Paso 1.2 Suponemos que ut − uxx ≤ 0 en QT−η. Veamos que maxQT−η u = maxΓT−η u.
Dado ε > 0, consideramos v(x, t) := u(x, t)− εt. Se tiene que vt − vxx = ut − uxx − ε < 0 enQT−η. Por el paso 1.1 sabemos que
maxQT−η
v = maxΓT−η
v.
Por tanto
maxQT−η
u = maxQT−η
(v + εt) ≤ maxQT−η
v + εT = maxΓT−η
v + εT ≤ maxΓT−η
u+ εT.
Como esta desigualdad es valida para todo ε > 0, se concluye que
maxQT−η
u = maxΓT−η
u.
Etapa 2: Caso general: maxQT u = maxΓT u.
Paso 2.1 Si el maximo se alcanza en (x0, t0) con t0 < T, entonces podemos usar alguno de losdominios menores anteriores y concluir que
maxQT
u = u(x0, t0) = maxQt0
u = maxΓt0
u ≤ maxΓT
u.
(La desigualdad contraria es trivial, de donde se sigue la igualdad buscada.)
Paso 2.2 Si el maximo de u en QT se alcanza en un punto de la forma (x0, T ), de nuevo se concluyela tesis deseada maxQT u = maxΓT u.
En efecto, por continuidad, consideramos una sucesion tn ↑ T estrictamente creciente. Portanto, lımn u(x0, tn) = u(x0, T ). Para cada punto (x0, tn) podemos aplicar los resultados dela etapa 1 y relacionar los maximos en ciertos subdominios con los puntos de la fronteraparabolica correspondiente:
maxQtn
u = maxΓtn
u ⇒ ∃ (xn, sn) ∈ Γtn : u(x0, tn) ≤ maxQtn
u = u(xn, sn) ≤ maxQT
u.
41
Como (xn, sn)n ⊂ ΓT , que es un compacto, sin perdida de generalidad podemos suponerque la sucesion es convergente
lımn
(xn, sn) = (x, s) ∈ ΓT .
Tomando lımites, y usando que lımn u(x0, tn) = u(x0, T ),
lımnu(xn, sn) = u(x, s) = max
QT
u
de donde concluimos el resultado: el maximo se alcanza en la frontera.
Nota 3.7. 1. El principio del maximo permite comprobar relaciones de orden (monotonıa) en-tre funciones: sean u1 y u2 ambas con la regularidad arriba indicada, tales que u1
t − u1xx ≤
u2t −u2
xx en QT y con u1 ≤ u2 sobre ΓT . Aplicando el principio del maximo a u1−u2 llegamosa que u1 ≤ u2 en QT .
2. Este principio del maximo se llama debil porque no excluye que el maximo pueda alcanzarsetambien en un punto interior. Puede probarse tambien el siguiente
Teorema 3.8. (Principio del maximo fuerte). Sea u ∈ C0([a, b] × [0, T ]) tal que existen ut, ux,uxx ∈ C0((a, b)× (0, T )) verificando ut − uxx ≤ 0 en QT . Si existe (x0, t0) ∈ QT tal que
u(x0, t0) = maxQT
u = M,
entonces u ≡M .
Nota 3.9. Analogamente al principio del maximo debil hay un principio del mınimo debil, resul-tante de aplicar el anterior a −u y que asegura que si ut − uxx ≥ 0, entonces
mınQT
u = mınΓT
u.
El principio del mınimo fuerte afirma que si existe (x0, t0) ∈ QT tal que
u(x0, t0) = mınQT
u = m,
entonces u ≡ m.
La primera consecuencia de este principio es la unicidad de solucion para el problema mixtopara la EDP del calor en un dominio acotado que habıamos resuelto por el metodo de separacionde variables. Esto se deduce del siguiente resultado
Teorema 3.10. Sea w ∈ C0([a, b] × [0,+∞)) con wt, wx, wxx ∈ C0((a, b) × (0,+∞)), tal que wes solucion de
ut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (a, b)× (0,+∞).u(a, t) = u(b, t) = 0, t ∈ (0,+∞).u(x, 0) = 0, x ∈ [a, b].
(3.25)
Entonces w ≡ 0.
42
Demostracion. Para cada T > 0, se tiene que wt − wxx = 0 en QT y w = 0 sobre ΓT . De losprincipios del maximo y el mınimo se deducen simultaneamente w ≤ 0 y w ≥ 0 en QT , y por tantow ≡ 0 en QT , pero T es arbitrario.
Veremos ahora que aunque el problema de Cauchy puede tener mas de una solucion, sı hayunicidad si nos restringimos al conjunto de las funciones acotadas; es decir, probaremos que (3.26)tiene una unica solucion acotada. La dificultad esta en que en el problema de Cauchy no setienen condiciones sobre las “paredes laterales”de la frontera parabolica, lo que obliga a establecercomparaciones con determinadas soluciones explıcitas de la EDP del calor.
Teorema 3.11. Sea u0 ∈ C0(R) acotada y sean u1 y u2 dos soluciones acotadas del problemaut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).u(x, 0) = u0(x), x ∈ (−∞,+∞).
(3.26)
Entonces, u1 = u2.
Demostracion. Sea M ∈ R+ tal que |u1(x, t)| ≤ M y |u2(x, t)| ≤ M para todo x ∈ R y t ≥ 0. Lafuncion w = u1 − u2 verifica
wt(x, t)− wxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).w(x, 0) = 0, x ∈ (−∞,+∞).
(3.27)
Para cada R > 0 consideramos la funcion
vR(x, t) =2M
R2(2t+ x2),
que es solucion de la EDP del calor siempre y, en particular, en (−R,R)× (0,+∞). Ademas
vR(x, 0) ≥ 0 = |w(x, 0)| si x ∈ (−R,R),vR(y, t) ≥ 2M ≥ |w(y, t)| si |y| = R, t > 0.
Tomamos ahora T > 0 y aplicamos el principio del maximo en (−R,R) × (0, T ) a las funcionesw − vR y w + vR. Se obtiene que
− vR(x, t) ≤ w(x, t) ≤ vR(x, t), x ∈ [−R,R], t ∈ [0, T ]. (3.28)
Fijado (x, t) ∈ (−∞,+∞) × (0,+∞), se puede escoger R > |x| tan grande como se quiera,verificandose (3.28). Tomando lımites en esa desigualdad para R→ +∞, se tiene
w(x, t) = 0.
Como (x, t) es arbitrario, se concluye que w ≡ 0, que es lo que se querıa probar.
Nota 3.12. En realidad el resultado es valido en R × [0, T ] si las soluciones son acotadas enR× [0, T ]. Dicho de otro modo, se tiene unicidad de soluciones acotadas en intervalos temporalesacotados, algo que se usara en lo que sigue.
Corolario 3.13. Sea u0 ∈ C0(R) acotada. Entonces la unica solucion acotada del problemaut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞),u(x, 0) = u0(x), x ∈ (−∞,+∞),
(3.29)
viene dada por
u(x, t) =
∫ +∞
−∞G(x− y, t)u0(y) dy, si t > 0,
u0(x), si t = 0.(3.30)
43
Estos resultados permiten escribir la solucion deut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0, L)× (0,+∞).u(0, t) = u(L, t) = 0, t ∈ (0,+∞).u(x, 0) = f(x), x ∈ [0, L].
(3.31)
en forma cerrada. Supongamos f ∈ C([0, L]) con
f(0) = f(L) = 0. (3.32)
Extendemos f por reflexion a R, de modo que las funciones f(x) y f(L − x) sean impares; serantambien continuas por (3.32). Si denotamos f esta funcion extendida a R, la funcion
u(x, t) =
∫ +∞
−∞G(x− y, t)f(y) dy, si t > 0,
f(x), si t = 0,
(3.33)
resuelve la ecuacion (3.31)1 en (0, L)× (0,+∞) y verifica la condicion inicial (3.31)3. Veamos quetambien verifica las condiciones de contorno (3.31)2.
En efecto, la funcion
v(x, t) = u(x, t) + u(−x, t) (x, t) ∈ R× (0,+∞)
es solucion de la ecuacion del calor, acotada y verifica que
v(x, 0) = u(x, 0) + u(−x, 0) = f(x) + f(−x) = 0, x ∈ R.
Dado que la unica solucion acotada del problemawt(x, t)− wxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0, L)× (0,+∞).w(x, 0) = 0, x ∈ (−∞,+∞).
(3.34)
es la solucion nula, sigue que v ≡ 0 y, en particular,
v(0, t) = u(0, t) + u(0, t) = 0 =⇒ u(0, t) = 0.
Analogamente, razonando con la funcion
v(x, t) = u(x, t) + u(2L− x, t),
se justifica que u(L, t) = 0.
Nota 3.14. Se justifica sin dificultad el resultado si no se tiene (3.32) y la funcion f tiene dis-continuidades de salto en los puntos x = kL para k entero.
3.4. El metodo de la energıa
Ya hemos justificado la unicidad de solucion para el problema mixto de la ecuacion del calor enun dominio acotado gracias a que (3.25) tiene solo la solucion trivial por el principio del maximo.Hay sin embargo otros problemas mixtos para la ecuacion del calor que involucran en la fronteracondiciones sobre las derivadas con respecto de la variable espacial, que hemos resuelto por elmetodo de separacion de variables, y que quedan fuera del marco de ese resultado.
Existe otro metodo basado en la integracion por partes, llamado metodo de la energıa queresuelve muchos de estos problemas y que es aplicable ademas a otras ecuaciones parecidas a laEDP del calor.
44
Teorema 3.15. Sea w ∈ C0([a, b]× [0,+∞)) ∩ C2((a, b)× (0,+∞)) solucion deut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (a, b)× (0,+∞).u(a, t) = u(b, t) = 0, t ∈ (0,+∞).u(x, 0) = 0, x ∈ [a, b],
(3.35)
donde u(a, t) representa u(a, t) o ux(a, t) y u(b, t) representa u(b, t) o ux(b, t). Entonces, w ≡ 0.
Demostracion. Se define la energıa de w como
E(t) =1
2
∫ b
a
w2(x, t) dx 0 ≤ t ≤ T (3.36)
Es claro que E ∈ C0([0, T ]) ∩ C2((0, T )), con E(t) ≥ 0 y E(0) = 0. Ademas,
d
dtE(t) =
∫ b
a
w(x, t)wt(x, t) dx =
∫ b
a
w(x, t)wxx(x, t) dx
= w(b, t)wx(b, t)− w(a, t)wx(a, t)−∫ b
a
|wx(x, t)|2 dx ≤ 0,
pues los dos primeros sumandos son nulos por la condicion de contorno. De modo que E(t) esdecreciente, por lo que E(t) ≤ E(0) = 0. De aquı sigue que E ≡ 0 y que w ≡ 0.
3.5. La ecuacion del calor no homogenea
Teorema 3.16. Sea f ∈ C2(R × [0,+∞)) acotada y con soporte compacto. Consideremos elproblema
ut(x, t)− uxx(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).u(x, 0) = 0, x ∈ (−∞,+∞).
(3.37)
Entonces la unica solucion acotada (en cada intervalo temporal acotado) de (3.37) viene dada por
u(x, t) =
∫ t
0
∫ +∞
−∞G(x− y, t− s)f(y, s) dyds =
∫ t
0
1√4π(t− s)
∫ +∞
−∞e−
(x−y)24(t−s) f(y, s) dyds (3.38)
Demostracion. (Se da por completitud, pero no se exige). La prueba consiste en verificar que lafuncion definida por (3.38) verifica la ecuacion y la condicion inicial. En efecto, hacemos el cambiode variable t− s = r, x− y = z en la expresion que define u y se obtiene
u(x, t) =
∫ t
0
∫ +∞
−∞G(z, r)f(x− z, t− r) dzdr. (3.39)
Como f es regular y tiene las derivadas acotadas, se puede derivar bajo el signo integral y seobtiene
ut(x, t) =
∫ t
0
∫ +∞
−∞G(z, r)ft(x− z, t− r) dzdr +
∫ +∞
−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz,
uxx(x, t) =
∫ t
0
∫ +∞
−∞G(z, r)fxx(x− z, t− r) dzdr,
45
y consecuentemente que
ut(x, t)−uxx(x, t) =
∫ t
0
∫ +∞
−∞G(z, r)(ft(x−z, t−r)−fxx(x−z, t−r)) dzdr+
∫ +∞
−∞G(z, t)f(x−z, 0) dz.
Comprobaremos que el segundo miembro coincide con f(x, t) en cada (x, t) ∈ R× (0,+∞) fijo.Tomemos ε fijo tal que 0 < ε < t. entonces,
ut − uxx =
∫ ε
0
∫ +∞
−∞G(z, r)(ft(x− z, t− r)− fxx(x− z, t− r)) dzdr
+
∫ t
ε
∫ +∞
−∞G(z, r)(ft(x− z, t− r)− fxx(x− z, t− r)) dzdr (3.40)
+
∫ +∞
−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz.
Acotamos cada sumando del segundo miembro. Para el primero,∣∣∣∣∫ ε
0
∫ +∞
−∞G(z, r)(ft(x− z, t− r)− fxx(x− z, t− r)) dzdr
∣∣∣∣≤
(sup
(x,t)∈R×[0,+∞)
|ft(x, t)|+ sup(x,t)∈R×[0,+∞)
|fxx(x, t)|
)∫ ε
0
∫ +∞
−∞G(z, r) dzdr ≤ Cε, (3.41)
para alguna constante positiva C.Para el segundo, se aplica el teorema de Fubini al primer sumando y se integra por partes;
resulta∫ t
ε
∫ +∞
−∞G(z, r)(ft(x− z, t− r)− fxx(x− z, t− r)) dzdr
=
∫ +∞
−∞
(− G(z, r)f(x− z, t− r)]r=tr=ε +
∫ t
ε
Gr(z, r)f(x− z, t− r) dr)dz
−∫ t
ε
∫ +∞
−∞G(z, r)fzz(x− z, t− r) dzdr
=
∫ +∞
−∞(−G(z, t)f(x− z, 0)) +G(z, ε)f(x− z, t− ε)) dz +
∫ +∞
−∞
∫ t
ε
Gr(z, r)f(x− z, t− r) drdz
−∫ t
ε
∫ +∞
−∞G(z, r)fzz(x− z, t− r) dzdr
El ultimo sumando (de este segundo sumando) se integra por partes dos veces y, recordando que
46
f y sus derivadas tienen soporte compacto, se deduce∫ t
ε
∫ +∞
−∞G(z, r)(ft(x− z, t− r)− fxx(x− z, t− r)) dzdr
=
∫ +∞
−∞(−G(z, t)f(x− z, 0) +G(z, ε)f(x− z, t− ε)) dz +
∫ +∞
−∞
∫ t
ε
Gr(z, r)f(x− z, t− r) drdz
−∫ t
ε
∫ +∞
−∞Gzz(z, r)f(x− z, t− r) dzdr
=
∫ +∞
−∞(−G(z, t)f(x− z, 0) +G(z, ε)f(x− z, t− ε)) dz
−∫ t
ε
∫ +∞
−∞(Gzz(z, r)−Gr(z, r))f(x− z, t− r) dzdr
=
∫ +∞
−∞(−G(z, t)f(x− z, 0) +G(z, ε)f(x− z, t− ε)) dz.
Dejando intacto el tercer sumando, tomando lımites en (3.40) con ε → 0, y teniendo en cuenta(3.41) y lo anterior, se obtiene
ut − uxx
=−∫ +∞
−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz + lım
ε→0
∫ +∞
−∞G(z, ε)f(x− z, t− ε) dz +
∫ +∞
−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz
= lımε→0
∫ +∞
−∞G(z, ε)f(x− z, t− ε) dz (3.42)
Razonando de modo analogo a como se hizo en el Teorema 3.4, se prueba que
lımε→0
∫ +∞
−∞G(z, ε)f(x− z, t− ε) dz = f(x, t), (3.43)
lo que acaba la demostracion de (3.37).Finalmente, notese que efectivamente la solucion obtenida u es acotada en cada intervalo tem-
poral [0, t]:
|u(x, t)| ≤ sup(y,s)∈R×[0,+∞)
|f(y, s)|∫ t
0
∫ +∞
−∞G(y, s) dyds = t sup
(y,s)∈R×[0,+∞)
|f(y, s)|, (3.44)
de donde se obtiene unicidad (entre las soluciones ’acotadas’) usando el Corolario 3.13.
Una relajacion evidente a partir de la prueba anterior (bajando la regularidad exigida a f) esla siguiente (la demostracion se anade por completitud, es casi analoga, tampoco se exige; se usala simetrıa del producto de convolucion).
Teorema 3.17. Sea f ∈ C1(R × [0,+∞)) acotada y con soporte compacto. Consideremos elproblema
ut(x, t)− uxx(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).u(x, 0) = 0, x ∈ (−∞,+∞).
(3.45)
Entonces la unica solucion acotada (en cada intervalo temporal acotado) de (3.45) viene dada por
u(x, t) =
∫ t
0
∫ +∞
−∞G(x− y, t− s)f(y, s) dyds =
∫ t
0
1√4π(t− s)
∫ +∞
−∞e−
(x−y)24(t−s) f(y, s) dyds (3.46)
47
Demostracion. (Se da por completitud, pero no se exige). La prueba consiste en verificar que lafuncion definida por (3.46) verifica la ecuacion y la condicion inicial. En efecto, hacemos el cambiode variable t− s = r, x− y = z en la expresion que define u y se obtiene
u(x, t) =
∫ t
0
∫ +∞
−∞G(z, r)f(x− z, t− r) dzdr. (3.47)
Como f es regular y tiene las primeras derivadas acotadas, se puede derivar bajo el signo integraly se obtiene
ut(x, t) =
∫ t
0
∫ +∞
−∞G(z, r)ft(x− z, t− r) dzdr +
∫ +∞
−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz.
Para la derivada ux usamos la forma original de u sin el cambio de variables.
ux(x, t) =
∫ t
0
∫RGx(x− y, t− s)f(y, s)dyds.
Si ahora sı hacemos el cambio de variables anterior (lo cual no es mas que la simetrıa del productode convolucion), podemos volver a derivar respecto a x y ası usar solo una derivada de f (querecordemos tiene soporte compacto)
ux(x, t) =
∫ t
0
∫RGx(z, r)f(x− z, t− r)dzdr,
uxx(x, t) =
∫ t
0
∫RGx(z, r)fx(x− z, t− r)dzdr.
Consecuentemente
ut(x, t)− uxx(x, t)
=
∫ t
0
∫ +∞
−∞(G(z, r)ft(x− z, t− r)−Gx(z, r)fx(x− z, t− r)) dzdr +
∫ +∞
−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz.
Comprobaremos que el segundo miembro coincide con f(x, t) en cada (x, t) ∈ R× (0,+∞) fijo.Tomemos ε fijo tal que 0 < ε < t. Entonces
ut − uxx =
∫ ε
0
∫ +∞
−∞(G(z, r)ft(x− z, t− r)−Gx(z, r)fx(x− z, t− r)) dzdr
+
∫ t
ε
∫ +∞
−∞(G(z, r)ft(x− z, t− r)−Gx(z, r)fx(x− z, t− r)) dzdr (3.48)
+
∫ +∞
−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz.
Acotamos cada sumando del segundo miembro. Para el primero,∣∣∣∣∫ ε
0
∫ +∞
−∞(G(z, r)ft(x− z, t− r)−Gx(z, r)fx(x− z, t− r)) dzdr
∣∣∣∣ (3.49)
≤ sup(x,t)∈R×[0,+∞)
|ft(x, t)|∫ ε
0
∫RG(z, r)dzdr + sup
(x,t)∈R×[0,+∞)
|fx(x, t)|∫ ε
0
∫R|Gx(z, r)| dzdr ≤ Cε
12 ,
48
para alguna constante positiva C y donde la cota usada para el segundo sumando ha sido∫ ε
0
∫R|Gx(z, r)|dzdr =
∫ ε
0
2
∫ ∞0
−Gx(z, r)dzdr =
∫ ε
0
1√πrdr =
1√π
t1/2
1/2
∣∣∣∣ε0
=1
2
√ε
π.
Para el segundo sumando de (3.48), se aplica el teorema de Fubini al primer sumando y seintegra por partes, no aplicamos Fubini al segundo sumando pero sı se integra por partes; resulta∫ t
ε
∫ +∞
−∞(G(z, r)ft(x− z, t− r)−Gx(z, r)fx(x− z, t− r)) dzdr
=
∫ +∞
−∞
(− G(z, r)f(x− z, t− r)]r=tr=ε +
∫ t
ε
Gr(z, r)f(x− z, t− r) dr)dz
−∫ t
ε
∫ +∞
−∞Gxx(z, r)f(x− z, t− r) dzdr
=
∫ +∞
−∞(−G(z, t)f(x− z, 0) +G(z, ε)f(x− z, t− ε)) dz +
∫ +∞
−∞
∫ t
ε
Gr(z, r)f(x− z, t− r) drdz
−∫ t
ε
∫ +∞
−∞Gxx(z, r)f(x− z, t− r) dzdr
=
∫ +∞
−∞(−G(z, t)f(x− z, 0) +G(z, ε)f(x− z, t− ε)) dz.
Dejando intacto el tercer sumando, tomando lımites en (3.48) con ε → 0, y teniendo en cuenta(3.49) y lo anterior, se obtiene
ut − uxx
=−∫ +∞
−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz + lım
ε→0
∫ +∞
−∞G(z, ε)f(x− z, t− ε) dz +
∫ +∞
−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz
= lımε→0
∫ +∞
−∞G(z, ε)f(x− z, t− ε) dz (3.50)
Razonando de modo analogo a como se hizo en el Teorema 3.4, se prueba que
lımε→0
∫ +∞
−∞G(z, ε)f(x− z, t− ε) dz = f(x, t), (3.51)
lo que acaba la demostracion de (3.45).Finalmente, notese que la solucion u obtenida es acotada en R× [0, t]:
|u(x, t)| ≤ sup(y,s)∈R×[0,+∞)
|f(y, s)|∫ t
0
∫ +∞
−∞G(y, s) dyds = t sup
(y,s)∈R×[0,+∞)
|f(y, s)|, (3.52)
de donde se obtiene la unicidad (entre las soluciones ’acotadas’) usando el Corolario 3.13 (y laNota 3.12).
Nota 3.18. Es posible (aunque no se da la prueba) obtener un resultado mas general: sean T > 0y f ∈ C0(R× [0, T ]) acotada tal que existen σ ∈ (0, 1] y k > 0 verificando |f(x1, t1)− f(x2, t2)| ≤k(|t1 − t2|σ + |x1 − x2|σ) para cualesquiera (x1, t1), (x2, t2) ∈ R× [0, T ]. Entonces existe una unicasolucion u ∈ C1(R × [0, T ]) acotada, con ∂2
xxu ∈ C0(R × [0, T ]), solucion de (3.45), la cual vienedada por (3.46).
49
Combinando los resultados anteriores, se obtiene
Teorema 3.19. Sea f ∈ C2(R × [0,+∞)) acotada con soporte compacto y g ∈ C0(R) acotada.Consideremos el problema
ut(x, t)− uxx(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).u(x, 0) = g(x), x ∈ (−∞,+∞).
(3.53)
Entonces, la unica solucion acotada de (3.53) viene dada por
u(x, t) =
∫ t
0
∫ +∞
−∞G(x− y, t− s)f(y, s) dyds+
∫ +∞
−∞G(x− y, t)g(y) dy (3.54)
=
∫ t
0
1√4π(t− s)
∫ +∞
−∞e−
(x−y)24(t−s) f(y, s) dyds+
1√4πt
∫ +∞
−∞e−
(x−y)24t g(y) dy. (3.55)
Demostracion. La solucion de (3.53) es la suma de las soluciones de los problemasvt(x, t)− vxx(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).v(x, 0) = 0, x ∈ (−∞,+∞).
(3.56)
y wt(x, t)− wxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).w(x, 0) = g(x), x ∈ (−∞,+∞).
(3.57)
La solucion del primero viene dada por (3.38) y la solucion del segundo viene dado por (3.30).La unicidad (entre las soluciones ’acotadas’ en cada R × [0, t]) se deduce del Corolario 3.13 y
la Nota 3.12 aplicado a la diferencia de dos soluciones acotadas de (3.53).
Nota 3.20. La continuidad y la acotacion de los segundos miembros de (3.53) no son suficientespara asegurar que ese problema tenga solucion clasica.
50
Tema 4
La ecuacion de ondas unidimensional
Consideraremos en este capıtulo diversos problemas relativos a la ecuacion de ondas unidimen-sional, tanto en su version homogenea
utt − c2uxx = 0,
como en su version no homogenea
utt − c2uxx = h(x, t),
donde c > 0 es una constante. Como veremos mas adelante, las soluciones de la ecuacion modelansenales que se propagan con velocidad c. No obstante, se puede normalizar la velocidad al valor 1
realizando el cambio de escala en la variable espacial y =x
c, resultando las ecuaciones
utt − uyy = 0, utt − uyy = h(cy, t),
respectivamente.Notese que la ecuacion es reversible en tiempo, es decir, si u(x, t) es solucion de la ecuacion
de ondas, entonces, la funcion v(x, t) = u(x,−t) es tambien solucion de la misma ecuacion. Estosignifica que, yendo hacia atras en el tiempo, uno puede calcular el valor de la solucion en untiempo t0 < 0, y que tomando ese valor como dato inicial, puede uno avanzar en el tiempo, demodo que el valor de la solucion en el instante t = 0 serıa el valor que toma la solucion en untiempo t positivo con respecto al nuevo dato inicial. Esto hace que no sea esperable que la soluciongane regularidad al avanzar el tiempo como sucedıa con la ecuacion del calor.
4.1. Solucion general de la ecuacion de ondas unidimen-
sional
Consideremos la ecuacionutt − c2uxx = 0. (4.1)
Definicion 4.1. Dado un abierto Ω ⊂ R2, decimos que u : Ω → R es solucion clasica de (4.1) siu ∈ C2(Ω) verifica puntualmente (4.1).
Introduzcamos el cambio de variables
ξ = x+ ct, η = x− ct.
51
Notese que
x =ξ + η
2, t =
ξ − η2c
,
y que (x, t) ∈ R× (0,+∞) equivale al conjunto Q = (ξ, η) : ξ > η. Pongamos ahora
v(ξ, η) = u(x, t) = u
(ξ + η
2,ξ − η
2c
), (ξ, η) ∈ Q.
Es claro que
vξ =1
2ux +
1
2cut, vη =
1
2ux −
1
2cut,
vξη =1
2
(1
2uxx −
1
2cuxt
)+
1
2c
(1
2utx −
1
2cutt
)=
1
4c2
(c2uxx − utt
),
de modo que u es solucion clasica de (4.1) si y solo si v ∈ C2(Q) y vξη = 0. Pero esto ocurre si ysolo si
v(ξ, η) = F (ξ) +G(η)
para dos funciones de clase C2. De modo que
u(x, t) = F (x+ ct) +G(x− ct). (4.2)
Se puede deducir una interpretacion fısica de la funcion G(x − ct). En efecto, suponiendoconocido el valor de G en (x∗, t∗), ¿hay otros valores de (x, t) para los cuales G tome el mismovalor? Si denotamos (x∗ + ∆x, t∗ + ∆t) otro punto en el que eso suceda, la igualdad se tiene six∗ − ct∗ = x∗ + ∆x− c(t∗ + ∆t). Por tanto,
x∗ + ∆x− c(t∗ + ∆t) = x∗ − ct∗ + (∆x− c∆t) =⇒ ∆x− c∆t = 0.
Es decir, cuando el tiempo ha avanzado ∆t > 0, el valor que tenıa la solucion en (x∗, t∗) es elmismo que tiene en el punto (x∗ + c∆t, t∗ + ∆t), que es mayor que x∗. La onda se ha desplazadoen el sentido de las x crecientes a una velocidad c.
De la misma manera se justifica que la funcion F (x+ ct) representa una onda que se desplazaen el sentido de las x decrecientes. Ya D’Alembert observo que las soluciones de la ecuacion deondas podıan escribirse como la superposicion de dos ondas de transporte.
Las familias x±ct =Cte son dos familias de rectas paralelas. Escogidas dos rectas de la primerafamilia, para los valores C1 y C2, y dos rectas de la segunda familia, para los valores C3 y C4, sedetermina un paralelogramo en el plano en cuyos vertices consecutivos, A, B, C y D, una solucionde la ecuacion de ondas valdra
u(A) = F (C1) +G(C3), u(B) = F (C1) +G(C4), u(C) = F (C2) +G(C4), u(D) = F (C2) +G(C3).
Por tanto toda solucion de la ecuacion de ondas verifica en esta situacion la ley del paralelogramo
u(A) + u(C) = u(B) + u(D). (4.3)
Definicion 4.2. Se dice que u : Ω ⊂ R2 → R es solucion generalizada de (4.1) si, para cualquierparalelogramo determinado por rectas x ± ct =Cte de vertices consecutivos A, B, C, D ∈ Ω, secumple la ley del paralelogramo (4.3).
52
Nota 4.3. Mas adelante en el tema se vera que a veces la regularidad de los datos para un problemade valores iniciales o de contorno no es suficiente para garantizar la existencia de una solucionclasica, y sin embargo sı se tiene solucion generalizada en el sentido anterior. No obstante ambosconceptos son cercanos, de hecho equivalentes si imponemos regularidad.
Proposicion 4.4. Sean Ω ⊂ R2 un abierto y u : Ω→ R una funcion dada. Si u es solucion clasicade (4.1) en Ω y Ω es convexo, entonces u es solucion generalizada. Por otra parte, si u es soluciongeneralizada y u ∈ C2(Ω), entonces es solucion clasica.
Demostracion. Para la primera parte, basta considerar que el paralelogramo cerrado de verticesconsecutivos A, B, C, D ∈ Ω, esta contenido en Ω. Se justifica como antes la formula (4.2) y sededuce (4.3).
Para la segunda parte, supongamos que u es solucion generalizada en Ω y sea (x∗, t∗) ∈ Ω.Existe ε > 0 tal que para 0 < η < ξ < ε, los puntos
(x∗ + cξ, t∗ + ξ), (x∗ − cη, t∗ + η), (x∗ + cξ − cη, t∗ + ξ + η)
tambien pertenecen a Ω. Entonces, gracias a (4.3), se tiene
u(x∗ + cξ − cη, t∗ + ξ + η)− u(x∗ + cξ, t∗ + ξ) = u(x∗ − cη, t∗ + η)− u(x∗, t∗).
Dividiendo por η y usando las reglas de L’Hopital y de la cadena, teniendo en cuenta la regularidadde u, se deduce que
ut(x∗ + cξ, t∗ + ξ)− cux(x∗ + cξ, t∗ + ξ) = ut(x
∗, t∗)− cux(x∗, t∗) =⇒
ut(x∗ + cξ, t∗ + ξ)− ut(x∗, t∗) = cux(x
∗ + cξ, t∗ + ξ)− cux(x∗, t∗).
Dividiendo por ξ y teniendo en cuenta la regularidad de u, las reglas de L’Hopital y de la cadena,se deduce que
utt(x∗, t∗) = c2uxx(x
∗, t∗).
Dado que el punto (x∗, t∗) es arbitrario, se deduce que u es solucion clasica de (4.1).
4.2. El problema de Cauchy. Formula de D’Alembert
Consideramos el problema de Cauchyutt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ R× [0,∞),u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ R, (4.4)
donde f : R→ R y g : R→ R.
Definicion 4.5. Sean f ∈ C2(R) y g ∈ C1(R). Se llama solucion clasica de (4.4) a toda funcionu ∈ C2(R× [0,+∞)) que verifica
utt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ R× [0,∞),u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), ∀x ∈ R
Se verifica
53
Teorema 4.6. Sean f ∈ C2(R) y g ∈ C1(R). Entonces, el problema (4.4) tiene una solucion unicaque viene dada por la formula de D’Alembert
u(x, t) =1
2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +
1
2c
∫ x+ct
x−ctg(s) ds ∀(x, t) ∈ R× (0,+∞). (4.5)
Demostracion. Es claro que si u viene dada por (4.5), entonces es solucion clasica de (4.4). Veamosque toda solucion clasica de (4.4) viene dada por la formula (4.5) y, por tanto, que el problematiene solucion unica.
Ya sabemos que la solucion de la ecuacion debe tener la forma (4.2). Como han de verificarselas condiciones iniciales, debe ser
F (x) +G(x) = f(x), F ′(x)−G′(x) =1
cg(x) ∀x ∈ R. (4.6)
De aquı se deduce
F ′(x) =1
2
(f ′(x) +
1
cg(x)
), G′(x) =
1
2
(f ′(x)− 1
cg(x)
),
y tambien
F (x) =1
2f(x) +
1
2c
∫ x
0
g(s) ds+ C,
G(x) =1
2f(x)− 1
2c
∫ x
0
g(s) ds− C,
donde C debe ser la misma en la dos funciones a causa de la primera condicion de (4.6). Aplicandoentonces (4.2) resulta la formula (4.5).
Nota 4.7. A la vista de la formula (4.5), se deduce que la regularidad de u viene determinada porla regularidad de los datos. En concreto, si f ∈ Cr(R) y g ∈ Cr−1(R), para cualquier entero r ≥ 2,entonces u(·, t) ∈ Cr(R) y ut(·, t) ∈ Cr−1(R) para cada t > 0.
Esta propiedad es exclusiva de la ecuacion de ondas unidimensional: para la EDP de ondas endimension mayor o igual que dos en espacio hay perdida de regularidad con respecto a la de losdatos para t > 0. Desde el punto de vista practico, esto explica que sea preferible propagar ondas enmedios aproximadamente unidimensionales, como ocurre por ejemplo en el caso de la fibra optica.
Nota 4.8. Si fijamos un punto (x∗, t∗) con t∗ > 0, el valor de u en este punto depende de losvalores de f en los puntos x∗ − ct∗ y x∗ + ct∗ y de los valores de g en el intervalo limitado porestos puntos. Por eso se dice que (x∗ − ct∗, x∗ + ct∗) es el intervalo de dependencia de (x∗, t∗) enel tiempo t = 0.
Por otra parte, si fijamos un valor x ∈ R y nos preguntamos que a que puntos (x, t) ∈ R ×[0,+∞) afectara el valor de f y g en x, concluimos que sera a aquellos que verifiquen
x− ct ≤ x ≤ x+ ct.
El conjunto de estos puntos se denomina cono de influencia de x.
Nota 4.9. De la formula (4.5), se deduce que la solucion de (4.4) depende continuamente de losdatos en el sentido de la convergencia uniforme en compactos, es decir, si
fn, f ∈ C2(R), gn, g ∈ C1(R),
fn → f y gn → g uniformemente sobre compactos de R,entonces las soluciones asociadas, un y u, verifican
un → u uniformemente en los compactos de R× [0,+∞).
54
4.3. El problema de Cauchy-Dirichlet
Para la ecuacion de ondas unidimensional el problema de Cauchy-Dirichlet se formulautt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0, L)× (0,+∞),u(0, t) = α(t), u(L, t) = β(t), t ∈ (0,+∞)u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ [0, L],
(4.7)
Aquı, α, β : [0,+∞)→ R y f, g : [0, L]→ R son funciones dadas.Denotaremos en esta seccion Q = (0, L)× (0,+∞).
Definicion 4.10. Sean α, β ∈ C2([0,+∞)), f ∈ C2([0, L]) y g ∈ C1([0, L]). Se llama solucionclasica de (4.7) a una funcion u ∈ C2(Q) que verifica
utt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ Q,
u(0, t) = α(t), u(L, t) = β(t), ∀t ∈ (0,+∞),
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), ∀x ∈ [0, L].
Es claro que si existe solucion clasica han de cumplirse las siguientes relaciones:α(0) = f(0), α(0) = g(0), α(0) = c2f ′′(0)
β(0) = f(L), β(0) = g(L), β(0) = c2f ′′(L)(4.8)
resultantes de exigir que se cumplan las condiciones de solucion clasica en los puntos (0, 0), (L, 0) ∈Q. Ası, por ejemplo
u(0, 0) = lımt→0
u(0, t) = lımt→0
α(t) = α(0),
y por otro ladou(0, 0) = lım
x→0u(x, 0) = lım
x→0f(x) = f(0),
de donde α(0) = f(0). Y analogamente las demas condiciones (4.8), que se llaman igualdades ocondiciones de compatibilidad.
4.3.1. Existencia de solucion
Se verifica el siguiente resultado
Teorema 4.11. Sean α, β ∈ C2([0,+∞)), f ∈ C2([0, L]) y g ∈ C1([0, L]) y supongamos que severifican las condiciones de compatibilidad (4.8). Entonces, el problema (4.7) tiene una solucionclasica.
Demostracion. Veamos que podemos obtener una funcion u(x, t) = F (x+ ct) +G(x− ct), la cualpor tanto es solucion (a priori solo generalizada) de la EDP de ondas, que cumple las condicionesde contorno. Esta solucion es clasica si F ∈ C2([0,∞)) y G ∈ C2((−∞, L]).
El calculo inicial de F y G que permitan que u(x, t) = F (x+ ct) +G(x− ct) resuelva no solo laEDP sino tambien las condiciones iniciales f y g en [0, L] es como en la formula de D’Alembert:
F (x) +G(x) = f(x)
F ′(x)−G′(x) =1
cg(x)
∀x ∈ [0, L],
55
que conduce a
F (x) =1
2f(x) +
1
2c
∫ x
0
g(s) ds+ C ∀x ∈ [0, L] (4.9)
y
G(x) =1
2f(x)− 1
2c
∫ x
0
g(s) ds− C ∀x ∈ [0, L]. (4.10)
Tomamos, sin perdida de generalidad, C = 0.Imponemos la condicion de contorno sobre x = 0, esto es, sobre el valor de α(t). Debe cumplirse
queα(t) = u(0, t) = F (ct) +G(−ct)
para todo t ≥ 0. Al menos, dado que F esta ya definido en [0, L], podemos con ello definir
G(s) = α(−s/c)− F (−s) s ∈ [−L, 0].
Obviamente G ∈ C2([−L, 0)) pues α y F tienen esa regularidad. Queda comprobar que G es C2
incluso en el valor s = 0 uniendo las dos definiciones. Lo comprobaremos, gracias a las condicionesde compatibilidad.
G es continua en s = 0 sii lıms→0+ G(s) = 12f(0) coincide con lıms→0− G(s) = α(0) −
lıms→0+ F (s) = α(0) − 12f(0). Es decir, G es continua en s = 0 sii α(0) = f(0) que es justo
una de las tres condiciones de compatibilidad respecto a α.
G es derivable con derivada continua en s = 0 sii lıms→0+ G′(s) = lıms→0+
12f ′(s) − 1
2cg(s)
coincide con lıms→0− G′(s) = lıms→0− α(−s
c)−1c
+ F ′(−s) = lıms→0− α(−sc
)−1c
+ 12f ′(−s) +
12cg(−s). Es decir, G es derivable con derivada continua en s = 0 sii
1
2f ′(0)− 1
2cg(0) =
α(0)
−c+
1
2f ′(0) +
1
2cg(0),
lo que es cierto dado que se asume la condicion de compatibilidad α(0) = g(0).
En tercer lugar vemos si G es dos veces derivable con derivada continua en s = 0. Para ellodebe verificarse que lıms→0+ G
′′(s) = lıms→0+12f ′′(s)− 1
2cg′(s) coincida con lıms→0− G
′′(s) =lıms→0− α(−s
c) 1c2−F ′′(−s) = lıms→0− α(−s
c) 1c2− 1
2f ′′(−s)− 1
2cg′(−s). Es decir, G es dos veces
derivable con derivada continua en s = 0 sii
1
2f ′′(0)− 1
2cg′(0) =
α(0)
c2− 1
2f ′′(0)− 1
2cg′(0),
lo cual es cierto ya que se asume la condicion de compatibilidad c2f ′′(0) = α(0).
Ası hemos obtenido que en efecto G ∈ C2([−L,L]).Un razonamiento analogo por el extremo derecho x = L y usando la condicion de contorno β(·)
permite comprobar que F ∈ C2([0, 2L]) y lo que es mas, dado que antes se ha definido G sobre[−L,L] con la regularidad deseada, podemos usar la condicion β(·) para definir consistentementela extension F en [0, 3L]. Concretamente, si imponemos
β(t) = u(L, t) = F (L+ ct) +G(L− ct) ct ∈ [0, 2L],
es decir, donde es conocida la nueva expresion de G, tenemos tras hacer el cambio x = L+ ct,
F (x) = β(x− Lc
)−G(2L− x) x ∈ [L, 3L].
Veamos que efectivamente la nueva extension permite que F ∈ C2([0, 3L]).
56
Para la continuidad de F basta analizar el punto x = L y comprobar si lımx→L+ F (x) =
β(0)−G(L) = β(0)− 12f(L)+ 1
2c
∫ L0g(r)dr coincide con lımx→L− F (x) = 1
2f(L)+ 1
2c
∫ L0g(r)dr,
lo que es cierto sii β(0) = f(L), primera condicion de compatibilidad sobre el contorno en elextremo derecho x = L.
Para comprobar que la primera derivada de F es continua basta analizar el punto x = L y
ver si lımx→L+ F ′(x) = lımx→L+ β(x−Lc
)1c+G′(2L−x) = β(0)
c+G′(L) = β′(0)
c+ 1
2f ′(L)− 1
2cg(L)
coincide con lımx→L− F′(x) = 1
2f ′(L) + 1
2cg(L), lo cual es cierto ya que g(L) = β(0), segunda
condicion de compatibilidad sobre el contorno en el extremo derecho x = L.
En tercer lugar, para comprobar que la segunda derivada de F es continua basta analizar el
punto x = L y ver si lımx→L+ F ′′(x) = lımx→L+ β(x−Lc
) 1c2− G′′(2L − x) = β(0)
c2− G′′(L) =
β(0)c2− 1
2f ′′(L) + 1
2cg′(L) coincide con lımx→L− F
′′(x) = 12f ′′(L) + 1
2cg′(L). Y en efecto son
iguales pues se esta asumiendo la tercera condicion de compatibilidad sobre el contorno enel extremo derecho x = L, esto es, c2f ′′(L) = β(0).
En resumen se ha comprobado que ası extendida se tiene F ∈ C2([0, 3L]) y G ∈ C2([−L,L]).Recursivamente se pueden ir extendiendo alternativamente F y G a intervalos cada vez mayoresusando las funciones α y β, y la regularidad C2 se hereda.
Se concluye entonces que existen F ∈ C2([0,∞)) y G ∈ C2((−∞, l]) de modo que u(x, t) =F (x+ ct) +G(x− ct) cumple las condiciones iniciales, las de contorno y evidentemente es solucionclasica de la EDP de ondas.
4.3.2. Unicidad de solucion. Metodo de la energıa
Teorema 4.12. El problema (4.7) posee a lo mas una solucion clasica.
Demostracion. Basta comprobar que el problema homogeneo tiene solo la solucion trivial. Supon-gamos, pues, que u es solucion de dicho problema homogeneo y definamos
E(t) =1
2
∫ l
0
(ut(x, t)2 + c2ux(x, t)
2) dx ∀t ≥ 0. (4.11)
Es claro que E ∈ C1([0,+∞)) y que
E(t) =
∫ l
0
(utt(x, t)ut(x, t) + c2uxt(x, t)ux(x, t)) dx = c2
∫ l
0
(uxx(x, t)ut(x, t) + uxt(x, t)ux(x, t)) dx
= c2
∫ l
0
(ux(x, t)ut(x, t))x dx = c2(ux(l, t)ut(l, t)− ux(0, t)ut(0, t)) = 0,
para cada t ≥ 0, ya que u(l, t) ≡ Cte implica ut(l, t) = 0 y u(0, t) ≡ Cte implica ut(0, t) = 0.Por tanto, E ≡ Cte y en nuestro caso, E ≡ 0, lo que prueba que u es constante en Q. Ya que ennuestro caso, u(x, 0) = 0, sigue que u ≡ 0, como querıamos demostrar.
Nota 4.13. Si no se cumplen las condiciones de compatibilidad, puede obtenerse una soluciongeneralizada en Q que no sera solucion clasica.
Nota 4.14. Puede probarse que la solucion depende continuamente de los datos del problema. Tam-bien es facil justificar que si los datos son mas regulares y verifican condiciones de compatibilidadadicionales, la solucion es mas regular.
57
Nota 4.15. Fijado (x∗, t∗) ∈ Q, de nuevo puede identificarse los puntos de Q con t = 0, x = 0 ox = l donde hay que evaluar los datos para determinar el valor u(x∗, t∗). Por ejemplo, a la vistade (??) se ve que si (x∗, t∗) ∈ Q∗1, entonces el valor u(x∗, t∗) es independiente de α y de β; estoes consecuencia de que la velocidad de propagacion es finita: dado x∗ ∈ (0, l), hasta un tiempo tsuficientemente grande no influyen los valores de α ni de β en el valor de u(x∗, t∗).
Puede estudiarse como ejercicio lo que sucede si (x∗, t∗) ∈ Q∗2.
Nota 4.16. Puede comprobarse que si α y β son identicamente nulas y denotamos f y g lasprolongaciones impares y periodicas de periodo l de las funciones f y g, la solucion de (4.7) es lasolucion de (4.4) asociada a f y g.
Nota 4.17. Es posible formular y resolver otros problemas similares a (4.7) con otras condicionesde contorno. Por ejemplo, el problema de Cauchy-Neumann serıa
utt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0, l)× (0,+∞),ux(0, t) = p(t), ux(l, t) = q(t), t ∈ (0,+∞)u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ [0, l],
(4.12)
donde f y g son como antes y p, q ∈ C1([0,+∞)).Se propone como ejercicio, determinar las condiciones de compatibilidad, construir la solucion
generalizada y comprobar que se trata de una solucion clasica.
4.4. La ecuacion de ondas no homogenea
En esta seccion estudiamos el problema de Cauchy para la ecuacion de ondas no homogeneautt(x, t)− c2uxx(x, t) = h(x, t), (x, t) ∈ R× (0,+∞),u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ R, (4.13)
donde h : R× (0,+∞)→ R, f : R→ R y g : R→ R son dadas. La definicion de solucion clasicadel problema es la natural.
Definicion 4.18. Sean h ∈ C0(R× (0,+∞)), f ∈ C2(R) y g ∈ C1(R). Se llama solucion clasicade (4.13) a una funcion u ∈ C2(R× [0,+∞)) que verifica
utt(x, t)− c2uxx(x, t) = h(x, t), ∀(x, t) ∈ R× (0,+∞),
yu(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), ∀x ∈ R.
Es claro que la solucion de (4.13) es la suma de las soluciones de los dos problemas siguientesutt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ R× (0,+∞),u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ R, (4.14)
utt(x, t)− c2uxx(x, t) = h(x, t), (x, t) ∈ R× (0,+∞),u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x ∈ R, (4.15)
el primero de los cuales hemos estudiado ya. Por tanto centramos nuestra atencion en la resolucionde (4.15). El resultado que vamos a probar es el siguiente:
58
Teorema 4.19. (Principio de Duhamel). Sea h ∈ C1(R× [0,+∞)). Denotemos
G(x, t, s) =
∫ x+c(t−s)
x−c(t−s)h(ξ, s) dξ.
Entonces, el problema (4.15) tiene una unica solucion clasica, que viene dada por
u(x, t) =1
2c
∫ t
0
G(x, t, s) ds =1
2c
∫ t
0
(∫ x+c(t−s)
x−c(t−s)h(ξ, s) dξ
)ds ∀(x, t) ∈ R× [0,+∞). (4.16)
Demostracion. Es claro que el problema (4.15) tiene a lo mas una solucion, porque el problemade Cauchy homogeneo tiene solo la solucion trivial. Basta, pues, comprobar que la funcion (4.16)verifica la EDP y las condiciones iniciales. En efecto, es facil comprobar que u ∈ C2(R× [0,+∞))y que u(x, 0) = 0. Ademas, para cada (x, t) ∈ R× [0,+∞),
ut(x, t) =1
2
∫ t
0
(h(x+ c(t− s), s) + h(x− c(t− s), s)) ds,
utt(x, t) = h(x, t) +c
2
∫ t
0
(hx(x+ c(t− s), s)− hx(x− c(t− s), s)) ds,
y
ux(x, t) =1
2c
∫ t
0
(h(x+ c(t− s), s)− h(x− c(t− s), s)) ds,
uxx(x, t) =1
2c
∫ t
0
(hx(x+ c(t− s), s)− hx(x− c(t− s), s)) ds.
Luego ut(x, 0) = 0 y utt − c2uxx = h(x, t).
Consecuencia inmediata del teorema es el siguiente
Corolario 4.20. Sean h ∈ C1(R × [0,+∞)), f ∈ C2(R) y g ∈ C1(R). Entonces, el problema(4.13) tiene una unica solucion que viene dada para todo (x, t) ∈ R× [0,+∞) por
u(x, t) =1
2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +
1
2c
∫ x+ct
x−ctg(s) ds+
1
2c
∫ t
0
(∫ x+c(t−s)
x−c(t−s)h(ξ, s) dξ
)ds. (4.17)
Nota 4.21. La hipotesis de h en el teorema anterior es poco natural: si buscamos una solucionclasica, es decir C2, parecerıa logico que h fuera solo continua. Esto puede hacerse debilitando elconcepto de solucion.
Nota 4.22. Pueden hacerse aquı tambien las consideraciones sobre la regularidad de u, sobre losconjuntos de dependencia e influencia y sobre la dependencia continua de la solucion respecto de losdatos analogas a las que se hicieron al hablar del problema de Cauchy para la ecuacion homogenea.Por ejemplo, fijado (x∗, t∗) ∈ R× (0,+∞), el valor u(x∗, t∗) depende de los valores de f en x∗−ct∗y en x∗ + ct∗, de los valores de g en el intervalo limitado por estos puntos y de los valores de h enlos puntos del conjunto (x, t) : x∗ − ct∗ ≤ x ≤ x∗ + ct∗, 0 ≤ t ≤ t∗; este conjunto se llama elcono de dependencia de (x∗, t∗).
59
Tema 5
Las ecuaciones de Laplace y Poisson
El problema que nos planteamos es la existencia, unicidad y propiedades de las solucion de unproblema de un problema de Dirichlet para la ecuacion de Poisson, i.e.
−∆u = f en Ω
u = ϕ sobre ∂Ω,(5.1)
donde Ω es un conjunto abierto y acotado de RN , N ≥ 2, con f ∈ C0(Ω) y g ∈ C0(∂Ω). Por solucionclasica del problema entenderemos u ∈ C2(Ω)∩C0(Ω) que verifica la ecuacion puntualmente en Ωy la condicion de contorno para todo x ∈ ∂Ω.
A lo largo del tema se van a usar:
Proposicion 5.1. Sea Ω ⊂ RN abierto, de clase C1 y u, v ∈ C2(Ω), entonces se verifica:Primera identidad de Green
−∫
Ω
∆uv dx = −∫∂Ω
∂u
∂νv ds(x) +
∫Ω
∇u · ∇v dx, ∀u ∈ C2(Ω), v ∈ C1(Ω). (5.2)
Segunda identidad de Green∫Ω
(∆uv −∆v u
)dx =
∫∂Ω
(∂u∂νv − ∂v
∂νu)ds(x), ∀u, v ∈ C2(Ω). (5.3)
Nota 5.2. Tomando u = v en (5.2) se obtiene lo que se conoce como identidad de la energıa∫Ω
|∇u|2dx =
∫∂Ω
∂u
∂νu ds(x)−
∫Ω
∆uu dx. (5.4)
Se recuerda ademas
Proposicion 5.3. Sea u ∈ L1(B(x0, R)), entonces∫B(x0,R)
u(x) dx =
∫ R
0
∫∂B(x0,r)
u(y) ds(y)dr.
A lo largo del tema notaremos
SN := ∂B(0, 1) ⊂ RN .
60
5.1. Funciones (sub)(super)armonicas
Definicion 5.4. Sea Ω ⊂ RN y u ∈ C2(Ω), se dice que u es subarmonica, armonica o superarmoni-ca en Ω si satisface
−∆u ≤ 0, −∆u = 0, −∆u ≥ 0
en Ω, respectivamente.
Nota 5.5. Recordar que identificando R2 con el plano complejo, se tiene que la parte real e ima-ginaria de una funcion holomorfa en un abierto de R2 son funciones armonicas.
Gran parte de las propiedades de las soluciones de (5.1) se deducen a partir del siguienteresultado.
Proposicion 5.6. Sea R > 0 y u ∈ C2(B(x0, R)) ∩ C0(B(x0, R)) subarmonica en B(x0, R),entonces
u(x0) ≤ 1
|∂B(x0, R)|
∫∂B(x0,R)
u(y) ds(y). (5.5)
Ademas, para toda funcion Φ : [0, R]→ [0,∞) continua tal que∫B(0,R)
Φ(|x|)dx > 0,
se tiene
u(x0) ≤
∫B(x0,R)
Φ(|y − x0|)u(y)dy∫B(0,R)
Φ(|y|) dy. (5.6)
Demostracion. Consideremos φ : [0, R]→ R definida por
φ(r) =1
|∂B(x0, r)|
∫∂B(x0,r)
u(y)ds(y) =1
|SN |
∫SN
u(x0 + rz) ds(z) si r ∈ (0, R],
φ(0) = u(x0),
la cual es continua en [0, R] (ver la continuidad en r = 0 introduciendo −u(x0) dentro de la integral)y derivable en (0, R). Ademas, gracias a que u es subarmonica se tiene
φ′(r) =1
|SN |
∫SN
∇u(x0 + rz) · z ds(z) =1
|∂B(x0, r)|
∫∂B(x0,r)
∂u
∂νds(y)
=1
|∂B(x0, r)|
∫B(x0,r)
∆u dy ≥ 0, ∀ r ∈ (0, R).
Esto prueba que φ es creciente en [0, R] y por tanto que φ(0) ≤ φ(r), para toda r ∈ [0, R] oequivalentemente
u(x0) ≤ 1
|∂B(x0, r)|
∫∂B(x0,r)
u(y)ds(y), ∀ r ∈ (0, R],
que tomando r = R prueba (5.5).
61
Consideremos ahora Φ en las condiciones del teorema. Multiplicando la desigualdad anteriorpor Φ(r)|∂B(x0, r)| e integrando en (0, R), tenemos∫
B(x0,R)
Φ(|y − x0|)dy u(x0) =
∫ R
0
∫∂B(x0,r)
Φ(r)ds(y)dr u(x0)
≤∫ R
0
∫∂B(x0,r)
Φ(r)u(y)ds(y) dr =
∫B(x0,R)
Φ(|y − x0|)u(y)dy,
lo que prueba (5.6). 2
Nota 5.7. Se tiene ∫B(0,R)
Φ(|x|)dx = |SN |∫ R
0
rN−1Φ(r) dr.
Aplicando la Proposicion 5.6 a −u, se tiene que el analogo a la Proposicion 5.6 es tambiencierto para funciones superarmonicas invirtiendo las desigualdades. En particular, se tiene que siu es armonica entonces (5.5) y su consecuencia (5.6) son igualdades.
Tomando Φ = 1 en (5.6) se deduce
u(x0) ≤ 1
|B(x0, R)|
∫B(x0,R)
u(y)dy, (5.7)
que en el caso de que u sea armonica es una igualdad.
Teniendo en cuenta la Proposicion 5.6 se pueden extender las definiciones de funcion subarmoni-ca, armonica y superarmonica a funciones que solo son continuas de la siguiente forma
Definicion 5.8. Sea Ω ⊂ RN abierto con N ≥ 2 y u ∈ C0(Ω). Se dice que u es subarmonica,armonica o superarmonica si para todo x0 ∈ Ω y todo r > 0 tal que B(x0, r) ⊂ Ω se tiene
u(x0) ≤ 1
|∂B(x0, r)|
∫∂B(x0,r)
u(y) ds(y), u(x0) =1
|∂B(x0, r)|
∫∂B(x0,r)
u(y) ds(y)
o
u(x0) ≥ 1
|∂B(x0, r)|
∫∂B(x0,r)
u(y) ds(y).
respectivamente.
Nota 5.9. Como se ha visto en la demostracion de la Proposicion 5.6, las desigualdades corres-pondientes a (5.6) se van a verificar tambien con la definicion extendida de funciones subarmonica,armonica y superarmonica.
5.2. Principio del maximo. Unicidad de solucion del pro-
blema de Dirichlet
Veamos algunas consecuencias importantes de las desigualdades anteriores.
Teorema 5.10. (Principio del maximo fuerte) Sea Ω ⊂ RN , N ≥ 2, abierto, conexo y u ∈ C0(Ω)subarmonica. Si existe x0 ∈ Ω tal que u alcanza el maximo en x0, entonces u es constante en Ω.
62
Demostracion. SeaM = u(x0) = max
Ωu.
y denotemosA = x ∈ Ω : u(x) = M.
Claramente A es cerrado en Ω. Veamos ademas que A es abierto, para ello sea x ∈ A y r > 0 talque B(x, r) ⊂ Ω. Se tiene entonces
M = u(x) ≤ 1
|B(x, r)|
∫B(x,r)
u(y) dy ≤ 1
|B(x, r)|
∫B(x,r)
M dy = M,
por tanto todas las desigualdades deben ser igualdades y esto solo es posible si u = M en B(x, r)lo que prueba que B(x, r) esta contenida en A y por tanto A es abierto. Como Ω es conexo, elunico subconjunto no vacıo de Ω que es abierto y cerrado es el propio Ω lo que prueba A = Ω ypor tanto el resultado. 2
Corolario 5.11. (Principio del maximo debil) Sea Ω ⊂ RN , N ≥ 2, abierto y acotado y u ∈ C0(Ω),subarmonica, entonces
maxΩ
u = max∂Ω
u. (5.8)
Demostracion. Sea x0 ∈ Ω tal que u(x0) = maxΩ u. Si x0 ∈ ∂Ω, entonces se tiene el resultado.Si no, tomando O la componente conexa de Ω que contiene a x0, se puede aplicar el Teorema 5.10para deducir que u = u(x0) en O y en particular en ∂O. Como ∂O ⊂ ∂Ω, se tiene entonces elresultado. 2
Corolario 5.12. Sea Ω ⊂ RN , N ≥ 2, abierto y acotado y u1, u2 ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω) tales que
u1 ≤ u2 sobre ∂Ω, −∆u1 ≤ −∆u2 en Ω,
entonces u1 ≤ u2 en Ω. Ademas, si Ω es conexo y
u1 6= u2 sobre ∂Ω o −∆u1 6= −∆u2 en Ω,
entonces u1 < u2 en Ω.
Demostracion. Basta observar que u1 − u2 es subarmonica y por tanto
maxΩ
(u1 − u2) = max∂Ω
(u1 − u2) ≤ 0.
Ademas, si Ω es conexo y existe x0 ∈ Ω tal que u1(x0) = u2(x0), entonces u1−u2 alcanza un maximoen x0 y por el Teorema 5.10 se deduce que u1 − u2 = 0 en Ω, lo que implicarıa en particular queu1 = u2 sobre ∂Ω y que −∆u1 = −∆u2 en Ω. 2
El resultado anterior proporciona en particular el siguiente resultado de unicidad para el pro-blema (5.1).
Corolario 5.13. Sean Ω ⊂ RN abierto acotado (N ≥ 2), f ∈ C0(Ω) y ϕ ∈ C0(∂Ω). Entoncesexiste a lo mas una funcion u ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω) solucion de (5.1).
63
Demostracion. Sean u1, u2 dos soluciones. Aplicando el Corolario 5.12 tenemos que
u1 ≤ u2 en Ω, u2 ≤ u1 en Ω
y por tanto u1 = u2 en Ω. 2
Nota 5.14. Un resultado de unicidad algo mas debil se puede tambien obtener usando la identidadde la energıa. Concretamente observar que (5.4) muestra que si u es una solucion de (5.1) con fy g nulas, Ω de clase C1 y u ∈ C2(Ω), entonces∫
Ω
|∇u|2dx = 0,
lo que implica que u es constante en Ω, que unido a que u se anula sobre ∂Ω prueba que u es lafuncion nula. Aunque este resultado usa hipotesis mas restrictivas sobre u y Ω, decir sin embargoque razonamientos similares permiten probar la unicidad de solucion de la ecuacion de Poissoncon condiciones de contorno mas generales que la de Dirichlet.
Relacionado con los resultados anteriores, se puede tambien probar el siguiente resultado quedamos sin demostrar.
Teorema 5.15. (Desigualdad de Harnack) Sea Ω ⊂ RN , N ≥ 2 abierto y ω b Ω conexo y acotado.Entonces, existe una constante C > 0 (que solo depende de Ω y ω) tal que para toda funcion usuperarmonica en Ω con u ≥ 0 en Ω, se tiene
maxω
u ≤ C mınωu.
Otro consecuencia importante es el siguiente resultado de regularidad.
Teorema 5.16. Sea Ω ⊂ RN , N ≥ 2, abierto y u ∈ C0(Ω) armonica, entonces u ∈ C∞(Ω).
Demostracion. Consideremos δ > 0 y definamos Φδ : [0,∞)→ [0,∞) por
Φδ(s) =
e− 1δ2−s si 0 ≤ s < δ2
0 si s ≥ δ2,
la cual se puede comprobar que pertenece a C∞([0,∞)). Aplicando la Proposicion 5.6 (ver laObservacion 5.7) se tiene que para todo x ∈ Ω tal que B(x, δ) ⊂ Ω
u(x) =
∫B(x,δ)
Φδ(|y − x|2)u(y)dy∫B(0,δ)
Φδ(|y|2) dy=
∫Ω
Φδ(|y − x|2)u(y)dy∫B(0,δ)
Φδ(|y|2) dy.
Gracias a que Φδ ∈ C∞([0,∞)) se puede ahora aplicar el teorema de derivacion bajo el signointegral para deducir que u ∈ C∞(x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > δ), lo que por la arbitrariedad de δprueba el resultado. 2
Una vez que sabemos que las funciones armonicas segun la definicion 5.8 son en realidad de clase C∞
podemos ahora probar que esta definicion coincide con la dada en la Definicion 5.4. Concretamente,se tiene
64
Teorema 5.17. Sea Ω un conjunto abierto de RN , N ≥ 2 y u ∈ C0(Ω) tal que
u(x) =1
|∂B(x, r)|
∫∂B(x,r)
u(y) ds(y), ∀x ∈ Ω, ∀ r > 0 con B(x, r) ⊂ Ω,
entonces u verifica∆u(x) = 0, ∀x ∈ Ω.
Demostracion. Derivando con respecto a r en
u(x) =1
|∂B(x, r)|
∫∂B(x,r)
u(y) ds(y) =1
|SN |
∫SN
u(x+ ry) ds(y),
se deduce
0 =1
|SN |
∫SN
∇u(x+ ry) · y ds(y) =1
|∂B(x, r)|
∫∂B(x,r)
∂u(y)
∂νds(y) (5.9)
para todos x ∈ Ω y r > 0 tales que B(x, r) ⊂ Ω.Derivando con respecto a x en la igualdad
u(x) =1
|B(x, r)|
∫B(x,r)
u(y) dy =1
|B(0, r)|
∫B(0,r)
u(x+ y) dy,
y teniendo en cuenta (5.2) y (5.9) deducimos finalmente
∆u(x) =1
|B(0, r)|
∫B(0,r)
∆u(x+ y) dy =1
|B(x, r)|
∫B(x,r)
∆u(y) dy,
=1
|B(x, r)|
∫∂B(x,r)
∂u(y)
∂νdy = 0.
2
Nota 5.18. A partir del Teorema 5.17 se deduce que las derivadas de una funcion armonica sontambien armonicas (el resultado tambien se puede probar directamente a partir de la definicion 5.8una vez que sabemos que las funciones armonicas son C∞).
5.3. Funciones de Green
Vamos a estudiar ahora un tipo particular de funciones armonicas importantes que son aquellasque solo dependen de la distancia al origen (funciones radiales).
Proposicion 5.19. Supongamos u ∈ C0(B(0, R) \ 0) (0 < R ≤ ∞) tal que u(x) = ψ(|x|) conψ ∈ C0((0, R)), entonces son equivalentes:
1. u es armonica.
2. Existen C1, C2 ∈ R tales que
u(x) =
C1
|x|N−2+ C2 si N > 2
C1 log |x|+ C2 si N = 2.
(5.10)
65
Demostracion. El problema es buscar las funciones ψ ∈ C0((0, R)) tales que u(x) = ψ(|x|)verifique la ecuacion ∆u = 0. Usando
∂xiu = ψ′(|x|) xi|x|, ∂2
xixiu = ψ′′(|x|) x
2i
|x|2+ ψ′(|x|)
|x| − x2i|x|
|x|2, 1 ≤ i ≤ N,
se deduce que la ecuacion es equivalente a
ψ′′(|x|) + ψ′(|x|)N − 1
|x|= 0,
i.e. ψ verifica
ψ′′ +(N − 1)
rψ′ = 0⇒ ψ′′
ψ′= −N − 1
r⇒ ψ′ =
C
rN−1
que integrando una vez mas prueba que u es de la forma (5.10). 2
Definicion 5.20. Se define la solucion fundamental del Laplaciano Γ : RN \ 0 → R por
Γ(x) = Ψ(|x|) con Ψ(r) =
− 1
(N − 2)|SN ||r|N−2si N > 2
log |r||S2|
si N = 2
(5.11)
Un primer resultado importante acerca de Γ esta dado por el siguiente resultado.
Teorema 5.21. Sea Ω ⊂ RN , N ≥ 2 abierto, acotado, de clase C1 y u ∈ C2(Ω), entonces paratodo x ∈ Ω, se cumple
u(x) =
∫Ω
∆u(y)Γ(y − x) dy +
∫∂Ω
(∂Γ(y − x)
∂νu(y)− ∂u(y)
∂νΓ(y − x)
)ds(y) (5.12)
Demostracion. Sea x ∈ Ω. Teniendo en cuenta que la funcion y 7→ Γ(y − x) es armonica enRN \ x, podemos aplicar (5.3) en Ω \B(x, ε) con ε > 0, para deducir∫
Ω\B(x,ε)
∆u(y)Γ(y − x) dy =
∫∂Ω
(∂u(y)
∂νΓ(y − x)− ∂Γ(y − x)
∂νu(y)
)ds(y)
−∫∂B(x,ε)
(∂u(y)
∂νΓ(y − x)− ∂Γ(y − x)
∂νu(y)
)ds(y). (5.13)
Nuestro problema ahora es pasar al lımite cuando ε tiende a cero.Para el primer termino, observamos∫
B(x,ε)
|∆u(y)||Γ(y − x)|dy ≤ maxΩ|∆u|
∫B(x,ε)
|Γ(y − x)|dy,
donde ∫B(x,ε)
|Γ(y − x)|dy =
∫ ε
0
r| log(r)|dr, si N = 2∫B(x,ε)
|Γ(y − x)|dy =1
N − 2
∫ ε
0
rdr, si N > 2.
66
En cualquier caso esta integral tiende a cero cuando ε tiende a cero y por tanto∫Ω\B(x,ε)
∆u(y)Γ(y − x) dy =
∫Ω
∆u(y)Γ(y − x) dy −∫B(x,ε)
∆u(y)Γ(y − x) dy
→∫
Ω
∆u(y)Γ(y − x) dy si ε→ 0.
Analogamente, se tiene∣∣∣∣∫∂B(x,ε)
∂u(y)
∂νΓ(y − x)ds(y)
∣∣∣∣ ≤ maxΩ|∇u|
∫∂B(x,ε)
|Γ(y − x)| ds(y)
donde ∫∂B(x,ε)
|Γ(y − x)| ds(y) = ε| log(ε)| si N = 2,∫∂B(x,ε)
|Γ(y − x)| ds(y) =ε
N − 2si N > 2,
luego ∫∂B(x,ε)
∂u(y)
∂νΓ(y − x)ds(y)→ 0 si ε→ 0.
Por ultimo usamos∫∂B(x,ε)
∂Γ(y − x)
∂νu(y)ds(y) =
∫∂B(x,ε)
∂Γ(y − x)
∂ν
(u(y)− u(x)
)ds(y) +
∫∂B(x,ε)
∂Γ(y − x)
∂νds(y)u(x)
=1
|SN |
∫∂B(x,ε)
u(y)− u(x)
|y − x|N−1ds(y) + u(x),
donde teniendo en cuenta la continuidad de u se tiene∣∣∣∣ 1
|SN |
∫∂B(x,ε)
u(y)− u(x)
|y − x|N−1ds(y)
∣∣∣∣ ≤ sup|x−y|=ε
|u(y)− u(x)| → 0.
Pasando al lımite en (5.13) tenemos entonces (5.12). 2
La formula (5.13) nos permite calcular u en Ω a partir de los valores de su Laplaciano y delos de u y ∂u
∂νsobre ∂Ω. Sin embargo tal y como vimos en el Corolario 5.13 esto es un problema
sobredeterminado, conocer el laplaciano de una funcion y su valor en la frontera, ya basta paratener una unica funcion u (tambien hay resultados conocido el valor de ∂u
∂νaunque entonces la
solucion solo esta definida salvo constante). Nuestro objetivo va a ser mejorar (5.12) buscando unaformula que nos permita calcular u conociendo solamente los valores de ∆u en Ω y los de u sobre∂Ω. La idea es la siguiente: Sea w = w(y, x) definida en Ω× Ω tal que
w(·, x) ∈ C2(Ω), ∀x ∈ Ω, ∆yw(y, x) = 0, ∀ (x, y) ∈ Ω× Ω.
Usando (5.3) con v = w(·, x) tenemos entonces
0 =
∫Ω
∆u(y)w(y, x) dy +
∫∂Ω
(∂w(y, x)
∂νyu(y)− ∂u(y)
∂νw(y, x)
)ds(y)
67
que sumado a (5.12) proporciona
u(x) =
∫Ω
∆u(y)G(y, x) dy +
∫∂Ω
(∂G(y, x)
∂νyu(y)− ∂u(y)
∂νG(y, x)
)ds(y) (5.14)
conG(y, x) = Γ(y − x) + w(y, x), ∀ (x, y) ∈ Ω, x 6= y.
Si somos entonces capaces de encontrar w tal que G(y, x) = 0 para todo y ∈ ∂Ω tendremos entonces
u(x) =
∫Ω
∆u(y)G(y, x) dy +
∫∂Ω
∂G(y, x)
∂νyu(y) ds(y), (5.15)
formula que nos proporcionara el valor de u en cada punto conociendo solamente los valores de∆u en Ω y los de u sobre ∂Ω. En particular esto dara la solucion de (5.1) si es que existe. Estoconduce a la siguiente definicion.
Definicion 5.22. Dado un conjunto abierto Ω ⊂ RN , N ≥ 2, acotado de clase C1, se denominafuncion de Green en Ω a una funcion G : Ω× Ω \D → R con
D =
(x, y) ∈ RN × RN : x = y,
tal que la funcion w : Ω× Ω→ R definida por
w(y, x) = G(y, x)− Γ(y − x) (5.16)
es solucion de w(., x) ∈ C2(Ω), ∀x ∈ Ω
−∆yw(y, x) = 0, ∀ (y, x) ∈ Ω× Ω
w(y, x) = −Γ(y − x), ∀ (y, x) ∈ ∂Ω× Ω.
(5.17)
Nota 5.23. Puesto que w debe ser solucion de (5.17), el Corolario 5.13 muestra que si existe unafuncion de Green entonces esta es unica.
Solo se dispone de una representacion explıcita para la funcion de Green de un abierto encasos muy simples. En particular cabe destacar el caso de una bola en RN que pasamos a ver acontinuacion.
Teorema 5.24. Para Ω = B(0, R) ⊂ RN , la funcion de Green viene dada por
G(y, x) =
Γ(y)−Ψ(R) si x = 0
Γ(y − x)− Γ( |x|R
(y − x∗))
si x 6= 0,(5.18)
donde x∗ denota el inverso de x respecto de ∂B(0, R), i.e.
x∗ =R2
|x|2x. (5.19)
68
Demostracion. Nuestro problema consiste en resolver (5.17) en el caso en que Ω = B(0, R).En el caso x = 0, teniendo en cuenta que Γ es radial y por tanto que Γ(y − x) = Ψ(R) con Ψ
definida en (5.11), deducimos que w(y, 0) = −Ψ(R) para todo y ∈ ∂B(x,R), lo que unido a quew(., 0) es armonica en B(0, R) lleva a w(y, 0) = −Ψ(R), para todo y ∈ B(x,R).
En el caso x 6= 0 buscamos w(y, x) como una funcion de la forma
w(y, x) =C1
|y − x∗|N−2+ C2 si N > 2, w(y, x) = C1 log |y − x∗|+ C2 si N = 2,
donde C1, C2 pueden depender de x. Gracias a que x∗ 6∈ B(0, R) si x ∈ B(0, R) y a la Proposicion5.19 sabemos que w(., x) ∈ C∞(B(0, R)) y −∆w(·, x) = 0 en B(0, R). Para calcular C1, C2 hayque imponer la condicion
w(y, x) = −Γ(y − x), y ∈ ∂B(0, R). (5.20)
Si y ∈ ∂B(0, R), entonces
|y − x∗|2 =
∣∣∣∣y − R2x
|x|2
∣∣∣∣2 = R2 +R4
|x|2− 2R2x · y
|x|2
=R2
|x|2(|x|2 +R2 − 2x · y
)=
R2
|x|2|y − x|2,
(5.21)
i.e.
|y − x∗| = R
|x||y − x|.
Sustituyendo esta expresion en (5.20) se deduce que
C1 = − RN−2
(N − 2)|SN ||x|N−2, C2 = 0 si N > 2,
C1 =1
2π, C2 = − 1
2πlog
R
|x|si N = 2,
que sustituido en la expresion de w prueba (5.18). 2
Teniendo en cuenta (5.15) se deduce ahora
Proposicion 5.25. Sea H : B(0, R)× B(0, R) \D → R la funcion definida por
H(y, x) =R2 − |x|2
|SN |R|y − x|N, ∀x, y ∈ B(0, R) \D, (5.22)
entonces, para toda funcion u ∈ C2(B(0, R)), se verifica
u(x) =
∫B(0,R)
∆u(y)G(y, x)dy +
∫∂B(0,R)
u(y)H(y, x) ds(y), ∀x ∈ B(0, R). (5.23)
con G dada por (5.18).
69
Demostracion. Para G definida por (5.18), y ∈ ∂B(0, R) y x ∈ B(0, R) \ 0, se tiene
∂G(y, x)
∂νy= ∇yG(y, x) · y
R=
1
R|SN |
(y − x|y − x|N
− RN−2(y − x∗)|x|N−2
∣∣y − x∗∣∣N)· y,
que recordando (5.21) para y ∈ ∂B(0, R) y la definicion (5.19) de x∗ podemos simplificar paraobtener
∂G(y, x)
∂νy=
1
R|SN |
(y − x|y − x|N
−|x|2(y − R2
|x|2x)
R2∣∣y − x∣∣N
)· y =
R2 − |x|2
R|SN ||y − x|N= H(y, x).
Analogamente se prueba∂G(y, 0)
∂νy= H(y, 0),
de forma que (5.23) es una simple consecuencia de (5.15). 2
Definicion 5.26. La funcion H definida por (5.22) se denomina nucleo de Poisson. Tomandou ∈ C2(Ω) armonica en B(0, R) en (5.23), se tiene
u(x) =
∫∂B(0,R)
u(y)H(y, x) ds(y), ∀x ∈ B(0, R), (5.24)
que es lo que se conoce como formula integral de Poisson.
Estamos ahora en condicion de probar
Teorema 5.27. Para toda funcion ϕ ∈ C0(∂B(0, R)) existe una unica u ∈ C0(B(0, R))∩C∞(B(0, R))solucion de
−∆u = 0 en B(0, R)
u = ϕ sobre ∂B(0, R),(5.25)
la cual esta dada por
u(x) =
∫∂B(0,R)
ϕ(y)H(y, x) ds(y) si x ∈ B(0, R)
ϕ(x) si x ∈ ∂B(0, R).
(5.26)
Demostracion. La unicidad es consecuencia del Corolario 5.13. Basta por tanto mostrar que(5.26) define una solucion de (5.25). Teniendo en cuenta que para cada y ∈ B(0, R), H(y, .) ∈C∞(B(0, R)), donde las derivadas estan acotadas independientemente de y en compactos deB(0, R) y que ∆xH(y, .) = 0 en B(0, R) podemos aplicar el teorema de derivacion con respec-to a parametros para obtener que u ∈ C∞(B(0, R)) y que −∆u = 0 en B(0, R). Falta mostrar queu es continua en B(0, R). Teniendo en cuenta que (5.24) con u = 1 prueba
1 =
∫∂B(0,R)
H(y, x) ds(y), ∀x ∈ B(0, R),
y que H es no negativa, se tiene para todo x0 ∈ ∂B(0, R) y x ∈ B(0, R)
|u(x)− u(x0)| =∣∣∣∣∫∂B(0,R)
ϕ(y)H(y, x) ds(y)− ϕ(x0)
∣∣∣∣ ≤ ∫∂B(0,R)
|ϕ(y)− ϕ(x0)|H(y, x) ds(y).
70
Sea ε > 0. Como ϕ es continua en x0, existe ρ > 0 tal que si |y−x0| < 2ρ, entonces |ϕ(y)−ϕ(x0)| <ε/2. Tomando x tal que |x− x0| < ρ y observando que
|y − x| < ρ⇒ |y − x0| < 2ρ,
se tiene entonces
|u(x)− u(x0)|
≤∫∂B(0,R)∩|y−x|<ρ
|ϕ(y)− ϕ(x0)|H(y, x) ds(y) +
∫∂B(0,R)∩|y−x|≥ρ
|ϕ(y)− ϕ(x0)|H(y, x)ds(y)
≤ ε
2
∫∂B(0,R)
H(y, x) ds(y) + 2 max∂B(0,r)
|ϕ|∫∂B(0,R)∩|y−x|≥ρ
H(y, x)ds(y)
≤ ε
2+ 2 max
∂B(0,r)|ϕ| R
N−2(R2 − |x|2)
ρN≤ ε
2+ 4 max
∂B(0,r)|ϕ| R
N−1|x− x0|ρN
Por tanto, si tomamos
δ = mın
ρ,
ρNε
8RN−1 max∂B(0,r) |ϕ|
,
se deduce que |x− x0| < δ implica |u(x)− u(x0)| < ε y por tanto la continuidad de ϕ. 2
Teniendo en cuenta (5.23) se puede ademas probar un resultado de existencia para el problemade Dirichlet para la ecuacion de Poisson que damos sin demostrar.
Teorema 5.28. Dada ϕ ∈ C0(∂B(0, R)) y f ∈ C0(B(0, R)) tal que existen C > 0 y α ∈ (0, 1]verificando
|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α, ∀x, y ∈ B(0, R),
existe una unica solucion u ∈ C0(B(0, R)) ∩ C2(B(0, R)) de−∆u = f en B(0, R)
u = ϕ sobre ∂B(0, R),(5.27)
la cual esta dada por
u(x) =
−∫B(0,R)
f(y)G(y, x) dy +
∫∂B(0,R)
ϕ(y)H(y, x) ds(y) si x ∈ B(0, R)
ϕ(x) si x ∈ ∂B(0, R),
(5.28)
con G definida por (5.18) y H por (5.22).
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![[I.G.petrovski] Derivadas Parciales](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/554073ae4a7959960d8b4a62/igpetrovski-derivadas-parciales.jpg)
