Ecuaciones Diferenciales Lineales

39 ECUACIONES T,INEALES i.:strlver (4r2s - 6)dr + rlds = 0 obien (rds + sar) + 3sdr = El ¡rimer térrnino sugiere la sustitución r'! : I que reduce la ccuación a r 6 dt 3, - 6 :: - 3-Jr id' (rsL'rt l' ;' = 7' ' "tn lactor integranie ¡r la solución es lrr --;'t :' 7u2 - ,*. 3r', I. oscJ s - ,üt {'r' :' : <:: t- - ('1 - 2e2 cosO * cr:s tJ)¿ = O o t 6, - dr. 2 r dmer orde n iempio. ) : ¿'es un fac- JL]S .Y. ,r para la que | - Cex, -' es un lactor zC - + -. _2 -'+ ¡sen0d0+cosOdz + 2cos0 dz = x d'x" r sen0de r cos0d¡ 2 x 2 x recluce la ecuación a '.i - 2-xY dt z tk o bien ni(grdlltc cs t'" ¡ l¡ s'rlución e: ^?21r2 - cosP.' '-l e'^d' - ;'' +K osea 2 cos 0 ¡-f -- x+Cxe dY . .)yw dt ::,Jx-Y=2+Lr' ': l: l- * Jp - . 2 :l¿f-y=xy t 11- -2y ,Lx = G -z')ex¿x :¿dt_6¡=19sen2t i.jciz+Y-Ye -- ¿t + (¡/-x- 3Y)aY = 0 at 2t ,ls-e2')r/s = 2(so'' - cos 2¿)dt 1ó x dy + ydx -- x'Y dz ir + (2r clg I + sen 201d0 = 0 PR.Ots{,EM,{S PROPUESTOS -r¡ entre las siguientes ccuaciones las que son lineales' establecer la variable dcpen<licnte y resolveflas & ) y (L o y2 )da' = 2{l* uY? )dl d ¿) yy' - xY2 a r = o n) xdy-Yd^x - x n n) Ór$l dx/dt + xÓz\\ = | o) 2dx/dY - z/Y +.ti "o' Y = ¡ o p) xyr = y(1-¡ tg x¡ + x2 cosx q) 1z + yz)dx - (xY + zY + Yt )rtY = a o r) ¡t,y2)dx - (arc tg' Y - x)dY s) (2rY5 -f )dx + 2x dY = g e ¿) (1+ scn y)dx = [2y co" y * r(sec y + tg ylldf Li ri 5"/. t) Q; i) y; F.!.,er; l=2r+Ce-" z6 , ^-r0 l.i.,e'"; 3P=2"Le a \ ^2 F.1., l/r'' Y - e'+ ('x F.1., u-6'; r-;'|(3 sen 2t + cos 2t) * C"6t F.t. , ye]; xY = 3(Y -11 + Ce-Y F.1., scn2 d; 2r sen2 á + sen{ o = c e) c) jr 't'- yn dy

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39ECUACIONES T,INEALES

i.:strlver (4r2s - 6)dr + rlds = 0 obien (rds + sar) + 3sdr =

El rimer trrnino sugiere la sustitucin r'! : I que reduce la ccuacin a

r 6 dt 3, - 6:: - 3-Jr id' (rsL'rt l' ;' = 7''

"tn lactor integranie r la solucin eslrr --;'t :'

7u2- ,*. 3r', I. oscJ s -

,t {'r' :' :
40 ECUACIONES DE PRIMER ORDE}..i Y PRIMER GRADO

A) t;n) x',

F.I. ,

F.I, ,

lrr y2t2; (I+ l')', = 2 lny ryz, C"[orpdt/ilG). ""1,37at/7rt = l"+- "latlr:t) a., r c_, et(t)

Iz#"ri Y= r cosx + C'xcosx

q) x; F.l.,1[ETi x-2ry'rC,,6o7r) xi F.I., ,at" tg /; x = atc tg y - 1 * cu-uri ig yxf) x.i F.I., secy+ tgy; r(secy + tB / = yz + C

2A. De las ecuaciones que queden del Problema 19 resolver las que pertenecen al tipo de Bernouilli.

P) Y; F.I' '

Sot. h) st -

se2t + sen 2 : C

22. Resolver:

-1So/ c) y - - u: l,'y = l-x+Ce'-f) l-' = ,; 1c +x)yex + 1 = o

- ^ 1) Y'=u;2/Y'-Cx'+5x'

) y2=r; y2=L*C"tno) r-' = r, r-'y =cosy + y seny + CF) y-u -, ,; gr2 = 1415 +C1y\

m) _r':xsen0+C)

21. Resolver las ecuaciones h\ y m), que son las que quedan del Problema 19"

a) xl' : \t * 3" con la condicin -v : 0 para x - 1. So/. !-x2(e'-elht t4* Ri: Esen2l. donde L, R, E son constntes, con la condicin i:0 para :0

rJt

i -

pt-/ti = " tfi sen 2t - 2L cos 2t + 2Le "''")

n +qL

23. Resolver:

o),' "o=y

4J = * sen y - 1, empleandosen-r: ;. So1. 3n sen l = Cx) + 1'

b) 4t2yy' = 3x(3y2 +2 + 21gy2 + 2i, empleanclo 31'2 l2: :. Sol. 4t9 = (C-3to)(3y2 uZ)2c) {ry1

-y1 -t2u"dt - 3ry2rly = O, empleando-rr: ',r. Sa1. 2y)," 'u2* * Co2

d) dy/dx+x(x+y)=t)(r*I)i-1. So1. ll|+y)2 ="2+l+Cexe) (yr"1

-"-"),J, + (1+e))dy:0. So/. y + eJ = Q+C)e-x

Sol