Ecuaciones de Lagrange

Ing. Eduardo Orcés

Mecánica de Maquinaria II

Ecuaciones de Lagrange

Ing. Eduardo Orcés P.

Julio 20152015-I

Ing. Eduardo Orcés

TEMAS

Obtención de las ecuaciones delmovimiento de sistemas mecánicos

Ecuaciones de Lagrange

2015-I

Obtención de las Ecuaciones del Movimiento de Sistemas

• Las ecuaciones que rigen el movimiento de lossistemas mecánicos se las puede obtener pordiferentes métodos, entre los que se cuentan lossiguientes:1) Ecuaciones de Newton-Euler2) Métodos energéticos (Trabajo Virtual, etc.)3) Ecuaciones de Lagrange4) Ecuaciones de Kane5) Métodos especializados (usados en Robótica,

por ejemplo).2015-IIng. Eduardo Orcés P.

• Ejemplo: Usando el Principio de Trabajo Virtual, determine laecuación del movimiento para pequeñas oscilaciones de laviga rígida de masa M, cargada como se muestra en la figura.

Solución: Se dibuja la viga en la posición de equilibrio θ, y se le da un desplazamiento virtual δθ. Calculamos el trabajo virtual hecho por cada fuerza.

• Fuerza de inercia:

• Fuerza del resorte:

• Fuerza del amortiguador:

δθθδ22llkU

−=

δθθδ

−=

3

2MlU

( ) δθθδ llcU −=

Ing. Eduardo Orcés P. 2015-I

• Carga distribuida:

• Sumando los trabajos virtuales, e igualando a cero, se obtiene la ecuación del movimiento angular de la viga alrededor de la posición de equilibrio estático:

∫ ==l

ooltfpxdxtfpU

0

2

2)())(( δθδθδ

)(24

)(3

222

2

tflplkclMlo=++

θθθ


• Ejercicio 1: Dos péndulos simples están conectados entre sí,con la masa en el extremo inferior restringida a moverse enuna guía vertical, como se muestra en la figura. El sistema esde 1 GDL con respecto a la coordenada θ. Aplicando TrabajoVirtual, determine la ecuación del movimiento del sistema y sufrecuencia natural.


Ecuaciones de LagrangeRef.: Housner/Hudson, Applied Mechanics: Dynamics

• Expresa las ecuaciones del movimiento entérminos de coordenadas generalizadas.

• Las coordenadas generalizadas (q1, q2,…,qn ) sonun conjunto de coordenadas iguales en número alos grados de libertad del sistema.

• Por ejemplo, en el caso de un péndulo, el ángulode inclinación θ constituye una coordenadageneralizada, mientras que las coordenadas (x,y)de la masa en el extremo, necesitan la ecuaciónde constricción adicional √(x2 + y2) = constante. Engeneral, se cumple que n – c = GDL.

2015-IIng. Eduardo Orcés P.

• Para el caso de una partícula, se puede escribirla ecuación de trabajo virtual:

• Haciendo la transformación de coordenadas de(x,y,z) al sistema (q1, q2, q3) de coordenadasgeneralizadas, se obtiene los desplazamientosδx, δy, δz:


(1) zzmyymxxmzFyFxF zyx δδδδδδ ++=++

33

22

11

33

22

11

33

22

11

(2)

qqzq

qzq

qzz

qqyq

qyq

qyy

qqxq

qxq

qxx

δδδδ

δδδδ

δδδδ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

• Para simplificar, asumamos que solo se varíaδq1, y que δq2 = δq3 = 0.

• Substituyendo estos valores en (1), se obtiene:

• El lado de la izquierda de la Ec. (4), es el trabajototal realizado por las fuerzas externas durante eldesplazamiento δq1. Definimos la fuerzageneralizada Q1:


(3) , , 11

11

11

qqzzq

qyyq

qxx δδδδδδ

∂∂

=∂∂

=∂∂

=

(4) 1111

1111

qqzzm

qyym

qxxmq

qzF

qyF

qxF zyx δδ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

(5) 111

1 qzF

qyF

qxFQ zyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=

• A continuación, transformamos el lado derechode la Ec. (4):

• Substituyendo en la Ec. (4), se obtiene entonces:


22

(6)

2

1

2

1

11

111

xq

xqdt

d

qxx

qxx

dtd

qx

dtdx

qxx

dtd

qxx

∂∂

−

∂∂

=

∂∂

−

∂∂

=

∂∂

−

∂∂

=∂∂

(7) 22

2

1

2

111

xq

xqdt

dmqQ

∂∂

−

∂∂

=

δ

• Sumando expresiones similares para (y,z) seobtiene la energía cinética T de la partícula, y sepuede escribir la ecuación de Lagrange para lacoordenada generalizada q1:

• En forma general, podemos escribir lasecuaciones de Lagrange para una partícula:


(8) 111

QqT

qT

dtd

=∂∂

−

∂∂

(9) 321

),, (i QqT

qT

dtd

iii

==∂∂

−

∂∂

• Para sistemas conservativos de n grados delibertad, se introduce la energía potencial V , ylas ecuaciones de Lagrange se pueden escribirde la siguiente forma:

• Donde:L = T – V = Función Lagrangiana


(10) ...321 0

n),, (i qL

qL

dtd

ii

==∂∂

−

∂∂

• Ejemplo: Un péndulo simple formado por una masaconcentrada m y un cable liviano de longitud L, está unido aun bloque sin masa el cual está restringido en su movimientohorizontal por un resorte de rigidez k. Obtenga lasecuaciones del movimiento del sistema, usando lasecuaciones de Lagrange, y obtenga también la frecuenciapara pequeñas oscilaciones del péndulo.


Solución: Usamos las coordenadas generalizadas (x,θ ). Lasenergías cinética y potencial en términos de estas coordenadasson:

Hallamos la ecuación de Lagrange para la coordenada x:

( )

VTL

mgLkxV

LxLxmmvT

−=

−+=

++==

)cos1(21

cos221

21

2

2222

θ

θθθ


( )

(A) 0cos

0

cos0cos

2

2

=+−+∴

−=∂∂

−+=−+=

∂∂

kxsenmLmLxm

kxxL

senmLmLxmmLxmdtd

xL

dtd

θθθθ

θθθθθθ

Para la coordenada θ:

La solución de las ecuaciones simultáneas no-lineales (A) y (B) se la puede obtener numéricamente usando Matlab. Para esto, expresamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:


( )

(B) 0cos

cos0cos

2

22

=++∴

−−=∂∂

−+=−+=

∂∂

θθθ

θθθθ

θθθθθθθ

mgLsenxmLmL

mgLsensenxmLL

senxmLxmLmLxmLmLdtdL

dtd

0 cos

cos 2

2 =

+−

+

θθθ

θθ

θ

mgLsenkxsenmLx

mLmLmLm

Luego, podemos definir las variables de estado.

El sistema de ecuaciones anterior se puede escribir entonces en la siguiente forma:


{ } { }{ } estadosvector de qq

qqqq

x

x

y =

=

=

=

4

3

2

1

θ

θ

[ ] { } { }( ){ } 0,4

3 =+

qqFqq

M


• Substituyendo en el sistema original,éste se convierte en un sistema de 4ecuaciones diferenciales de 1º ordenen las variables de estado, las cualespueden ser integradas, por ejemplo,usando la función ode23 de Matlab .

{ }[ ] { }

{ } { }( ){ }qqf

FM

qq

qqqq

y

,1

4

3

4

3

2

1

=

⋅−

=

=−

Para pequeñas oscilaciones del sistema, las ecuaciones sevuelven lineales y su solución se puede encontrar de manerarelativamente fácil. Haciendo sen θ ≈ θ, cos θ ≈ 1, ydespreciando términos de 2º orden en los desplazamientos yvelocidades, se obtiene:

Eliminando x se obtiene la ecuación diferencial para θ (unaecuación similar se obtiene para x), la cual es la de unmovimiento armónico simple con frecuencia ω:


0 1

=

+

θθ g

kxxLmLm

kmgL

g

kmgL

g

+=∴=

+

+ ωθθ 0

• Ejercicio 2: En el ejemplo anterior, asuma que el bloque quese desplaza horizontalmente tiene una masa m1 y la masaconcentrada en el extremo del péndulo es m2. Obtenga lasecuaciones del movimiento del sistema mediante:(a) Las ecuaciones de Newton, (b) Las ecuaciones deLagrange.


Ing. Eduardo Orcés

Tareas Leer las siguientes secciones del libro de Norton:

- Cap. 11, Análisis de fuerzas dinámicas, Sec. 11.10 .

Leer material sobre las ecuaciones de Lagrange en el siguiente libro, que está en el el Sidweb:o Housner / Hudson, Applied Mechanics: Dynamics, Cap.9,

Secs. 9.1 a 9.3.

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Ecuaciones de Lagrange

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