Econometría- Modelo de Regresión No Lineal- Arch-garch.

7/26/2019 Econometra- Modelo de Regresin No Lineal- Arch-garch.

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uniecuacionales y multiecuacionales lineales para explicar y predecir la evolucin de las

variables microeconmicas y macroeconmicas en el tiempo, de ah el inters cada vez

ms marcado en los modelos de regresin y de serie de tiempo no lineal que estn

incluido en los nuevos textos de econometra como Greene; W (1999), Gugarati; D

(2006), Pindych; R y Rubinfeld; D (2001). En esta monografa nos avocaremos al

estudio de este tipo de modelos no lineales tanto en regresin como en las series detiempo, concretamente los dos ms familiares: el modelo ARCH y el GARCH y algunas

de sus variantes.

II.-MODELOS NO LINEALES.

Un modelo no lineal clsico en econometra es el modelo generalizado del consumo en

funcin de la renta dado por:

ttt PC

+

Dondet

C es el consumo en el perodo t,t

P es el producto interno bruto en ese mismo

perodo,t

es la perturbacin aleatoria en el perodo tque se asume con distribucin

normal no necesariamente homoscedstica. Los parmetros son: , y , como puede

observarse este ltimo parmetro es un exponente.

Otro modelo no lineal es la generalizacin de la funcin de produccin de Cobb-

Douglas propuesto por Zellner et al (1970):

ttttt TCPYY +ln)1(lnln .

Dondettt

TCY ,, son respectivamente, la produccin, el factor capital y el factor trabajo

en el perodo t; ,, son los parmetros a estimar y finalmente t es la perturbacin

aleatoria en el perodo tque se asume con distribucin normal ),0( 2N .

En serie de tiempo tenemos como un ejemplo de modelo no lineal sin trmino depromedio mvil l propuesto por Byers el al (1995):

tktjt

p

j

q

kjk

p

jjtjt YYY +

= =

1 11

(1)

Este modelo se conoce como bilineal sin trmino de promedio mvil en donde { }tY y

{ }

t son sucesiones de variables aleatorias, j, y jk son parmetros que deben ser

estimados.

Este modelo tiene una parte lineal autoregresiva de orden p representada por

t

p

jjtj

Y +

=

1

y una parte no lineal ktjt

p

j

q

kjk

Y

= =

1 1

, si 0jk ),( kj entonces

estaramos en presencia de un )(pAR . Si la serie de tiempo es hetoroscedstica

condicional, es decir con varianza condicional de las perturbaciones diferentes en el

tiempo, entonces estos autores mencionan que tal modelo es inapropiado su aplicacin

directa. Kuldeep Kumar (1986) propuso un modelo ms simplificado que el anterior

dado por:

tktjt

p

j

q

k jkt

YY +

= =

1 1 (2)


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3

Si 0jk kj> el modelo se llama superdiagonal, si 0jk kj< el modelo se llama

subdiagonal y si 0jk kj el modelo se llama diagonal. Un caso particular del

modelo dado en (2) es:

tktjttt YY +

Empleando este modelo, el mtodo de Monte Carlo y utilizando el momento de tercer

orden logra distinguir entre un modelo bilineal y un AR , MA o ARMA y de forma

similar si se trata de un modelo bilineal diagonal o no.

En estos tipos de modelos como los descritos surgen tres problemas fundamentales a la

hora de conocer si la serie proviene de un proceso no lineal.

1. Poseer alguna medida, cuya valoracin nos de una condicin necesaria de lapresencia de no linealidad tanto en modelos causales como los de serie de

tiempo.

2. Estimar los parmetros asociados al modelo no lineal especificado.3. Tener una medida de bondad de ajuste del modelo a los datos empricos.

Para el primer caso hay varias propuestas que dan condiciones necesarias del

comportamiento no lineal de series temporales, entre ellos estn: el estadstico de Brock,

Dechert y Scheinkman BDS, el exponente de Lyapunov, multiplicadores de Lagrange

(LM) y finalmente el RBF. El problema que se presenta es la cantidad de datos

requeridos para aplicar alguna de estas tcnicas. Un ejemplo de aplicacin de un caso

real del estadstico BDS est en el artculo ya citado de Byers et al (1995), un

desarrollo del empleo del exponente de Lyapunov se encuentra en Cline; D.B.H (2006),

el empleo de los multiplicadores de Lagrange se encuentra por ejemplo en Medeiros;

M.C et al (2003) y finalmente el uso de test construidos con redes neuronales (RBF)Blake; A.P et al (2003). Los test DBS y exponente de Lyapunov se puede aplicar a la

serie de tiempo observada sin hacer referencia a un modelo particular, por tanto puede

ser una buena estrategia determinar primero si la serie en cuestin responde a un

proceso no lineal, bien sea estocstico o deterministico. En el caso de modelos causales

estn los trabajos de MacKinnon et al( 1983) y ms recientemente los de Schimek, M

(2000) y Samorov, A et al (2006).

El segundo problema de estimacin, hay en forma general los siguientes mtodos:

linealizacin del modelo empleando la expansin de Taylor, mnimos cuadrados no

lineales, mximo verosimilitud o el mtodo generalizado de los momentos. Estos

mtodos son aplicados por igual a modelos de regresin no lineal como los de serie de

tiempo. Un mtodo es preferido a otro tomando en cuenta las propiedades asintticas delos estimadores obtenidos y las facilidades computacionales que presentan.

Finalmente, entre las medidas de bondad de ajusten estn el coeficiente de

determinacin que en el caso de regresin no lineal hay que interpretarlo de una forma

diferente que cuando se emplea en el modelo lineal. Adicionalmente los diferentes test

que permiten validar el modelo propuestos. Cuando hay restricciones en los parmetros,

bien sean estas lineales o no, estn entre otras, las pruebas o contrastes de Wald, la

razn de verosimilitud y los multiplicadores de Lagrange.


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4

III.-MTODOS DE ESTIMACIN NO LINEAL.

En este punto, veremos tres mtodos de estimacin aplicados a la regresin no lineal y

posteriormente a las series temporales: el mtodo de expansin de Taylor, mnimos

cuadrados no lineales y finalmente el mtodo de mxima verosimilitud. En la

bibliografa especializada de econometra se encuentran adems de estos mtodos: elmtodo de los mnimos cuadrados no lineales en dos etapas, empleo de variables

instrumentales no lineales y redes neuronales, este ltimo aplicado a las series de

tiempo.

Ejemplo 1:

Consideremos dos pares de modelos de regresin no lineales:

a)

eXYp

i

ii

=

=

10 b)

+

=

p

i

ii

XY1

0

a1)

=

+

=

p

i

iXi

eY 10

b1)

+

=

+

p

i

iXi

eY 10

En donde Y es una variable aleatoria observable endgena,i

X son p variables

exgenas,p ,..., 10 son los parmetros a estimar es una variable aleatoria,

generalmente se asume que tiene una distribucin normal.

Los modelos de regresin no lineales: a) y a1) son linealizable mediante una

transformacin logaritmica directa, esto es son intrnsecamente lineales, en efecto al

tomar logaritmo neperiano en ambos modelos se obtiene:

a) a1) +=

p

iii

XY1

0ln

Al aplicar los mnimos cuadrados las ecuaciones normales obtenidas son lineales en los

parmetros.

No as los modelos b) y b1) pero se pueden linealizar mediante el empleo de la

expansin de Taylor.3Si en estos modelos se aplica los mnimos cuadrados ordinarios,

las ecuaciones normales son no lineales en los parmetros.

3Sea RRf n: una funcin doblemente diferenciable en un punto X , esto es : existen el vector

gradiente )(Xf y la matriz Hessiana )(

XH y una funcin RRn

: , entonces (.)f puede

expresarse como:

);())(()(2

1)()()()(

2

XXXXXXXXHXXXXXfXfXf TT

0);(

XXXLimXX

( );/.../,/((.) 21 nT

xfxfxff { }ji

xxfH

/(.) 2 )

+

=

p

iii

XY1

0 lnlnln


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6

Entonces, obtenemos como estimador mnimo cuadrtico dado el valor inicialo

, lo que

sigue:

YZZZ TT 1)( = (6)La pregunta obligada es cul valor inicial? La repuesta est en la nota4

Si se asume que es normal ),0( 2IN y si existe la matriz inversa 1)( ZZT y el

estimador de 2 est dado por:

)/(. **2* pnT donde ZY* 1 +pp , entonces el estimador converge

asintticamente5a la distribucin normal ))(,( 12* ZZN Td

Ejemplo 2:

Consideremos el modelo: nieYXfY iiX

iiii...2,1;;);(

=

y consideremosunos

valores iniciales de los parmetros:o

yo

y evaluamos la funcin y sus derivadas en

estos valores:

oooo

x

i eXf =),;(

ooo

iX

i eXf

=/),,( o

ooo

iX

ii eXXf

=/),,(

Evaluamos ahora los componentes de la suma:j

p

jij Xf

=

/);(1

oo

dados como:

ooooo

iX

i eXf

=/),,( o

ooooo

iX

ii eXXf

=/),,( Con estos resultados podemos obtener:

0

1

);(/);();(iiiij

p

jijii

YZXfYXfXfY =

=

o

oooo

Que en nuestro ejemplo es:

+

oo

x

i eY

+

oo

iX

ieX

0YeX iX

i =

ooo

Ahora considerandoooo

iX

i eXf

=/),,( y

oooo

iX

ii eXXf

=/),,(

entonces obtenemos:

4El primer valor inicial nos dar una primera estimacin de los parmetros al resolver el problema (6),este valor lo empleamos como nuevo valor inicial y resolvemos nuevamente el problema (6) y as

sucesivamente hasta que se estabilicen los estimadores. Esto se puede expresar como sigue: Sea)(K

j

el

estimador logrado en la iteracin (K) y)1(+K

j el obtenido en el paso (K+1), el proceso termina si para

un 0 , suficientemente pequeo:

XQXQ T Y adems, se verifica:

01

lim1

=

=

i

n

i

in

X

n

P y ),0(1 10

2

1

=

QNX

n

n

d

i

n

i

i

Entonces:

),(1

0

2

Qn

Nd

Ejemplo 4.

Consideremos el siguiente modelo: ttX

t eY

+ y supongamos que se ha obtenido el

ajuste por mnimos cuadrados no lineales: = tXt

eY ; para obtener el estimador de la

matriz de varianza covarianza de los estimadores procedemos de la siguiente forma:

calculamos las correspondientes derivadas parciales:tX

t eY

=

/ ;tX

t eY

=

/ ycon ellas definimos el vector gradiente y su transpuesta:

=

tX

tX

e

ef

),( ;

=

tXtXT eef

),(

8 Una sucesin de variables aleatorias n converge en probabilidad a una constante c si para cualquier

0 se verifica que: 1lim =

cPn

n. Esto quiere decir, que a partir de Nn

>

el suceso

, siendo0

M un valor mnimo prefijado para el cual la hiptesis nula no se

rechaza, si 10=

M , se est indicando que el componente no lineal es univariante. El

procedimiento supone la estimacin de la varianza, denotmosla porm

V , rechazamos la

hiptesis00

: MMH

, si+ )10(M

V es significativamente diferente de cero. Se asume en

todo caso que la dimensin del componente no lineal es relativamente pequeo. Los

autores de este trabajo proponen un algoritmo construidos bajo varios supuestos tanto

para estimar el vector de parmetro como el estimador de la varianza:m

V .


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29

VI.-Modelos ARCH y GARCH.

Consideremos el proceso de parmetro discreto { }EtYt; y consideremos adems un

conjunto de informacin t tal que + ...21 ttt , { }tYt; , entonces,

podemos considerar a la esperanza condicional: )/( ttYE y la varianza condicional:tt

YVAR / esta ltima puede ser no homognea, es decir diferente para cada periodo.

Este caso puede darse tanto en modelos no lineales como lineales. La presencia de

varianza condicional no homogenea en los modelos lineales se ha asociado a una mala

especificacin del mismo y se ha tratado de resolver aadiendo nuevas variables

exgenas, pero la prctica ha demostrado que este no es el mejor camino. Tanto la

media condicional como la varianza condicional se asocia al corto plazo, mientras que

la media no condicional tYE y la varianza no condicional tYVAR se asocian al largo

plazo.

Consideremos el modelo lineal autoregresivo de primer orden :)1(AR ttt

aYY +11

donde se asume que ),0( 2NaD

t

.

La media no condicional de este proceso, o sea su media a largo plazo es:

)()()(11 ttt

aEYEYE +

Asumiendo que el proceso es estacionario entonces

0)1(1=

mientras que la media a corto plazo o condicional es:

11111 )()/()/(

=

tittttt YaEYEYE

17

La varianza no condicional dado que el proceso es estacionario, es constante, en efecto:22

11

2

1 )()()()()( + ttttt YVARYVARaVARYVARYVAR

Luego:

12

1

2 )1()(

tYVAR

La varianza condicional18es:

2)()/( ttt

aVARYVAR

Entonces estamos en la situacin donde tanto la varianza no condicional como la

condicional son iguales para cualquier perodo, es decir el proceso es homoscedstico.

17Consideremos en forma general dos vectores aleatorios1

X y2

X , la esperanza de1

X condicionada a

2X es: 1212/1121 );/()/( dxxxfxXXE XXS

, por otra parte

=

111111);()( dxxfxXE

X

S

21212/1222122212/121212,1));/()(;();();/();,( dxdxxxfxxfdxdxxfxxfxdxdxxxfx

XX

S

XXXX

S S

XX

S S

=

))/((21

XXEE 18De la misma forma, consideramos dos vectores aleatorios 1X y 2X , la varianza de 1X condicionada a

2X se obtiene a partir de:

12121111)/()/( XXEXXEXX . por tanto la varianza de

1X es:

2

21

2

211212111))/(()/(())/()/(()( XXEEXXEXEXXEXXEXVARXVAR

considerando la nota anterior y que el producto cruzado es nulo, concluimos que:

)/(()/(()(21211

XXEVARXXVAREXVAR +


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31

Para el caso que solo se emplean solamente variables endgenas Ruey S. Tsay (1987)

propone lo siguiente:

);(/1 tt

d

tt grDY

ptpttpptttt YYYYYYrr

+ ....)...,,;,...,,(221121021

)...,,;,...,,( 21021 pptttt gg = ptptt + ...2

22

2

110

Donde como siempre:

it

p

ittt

YY

=

1

Como sugieren el autor al plantear este modelo: );(/1 tt

d

tt ghDY

donde

1t :{ }

pttt YYY

...,21

indica que el proceso sigue una distribucin con media th y

varianza tg . Este modelo se expresa como un ARCH(p,q). El problema est en la

determinacin de los valores de p y q que pueden resultar relativamente grande y que

entonces el modelo no cumplira con el principio de parsimonia. Por tal motivo, esteautor propone otro modelo partiendo de un modelo ARMA(p,q) y el empleo de

coeficientes aleatorios para el proceso { }t . Esto es:

tt BYB )()( =

tttttti YBwYwB +

))(())1(()(10

Donde: ppBBB ...1)( 1 ;

q

qBBB ...1)( 1 son polinomios de orden p y

q enB respectivamente, con coeficientes constantes tal como ocurre en el clsico

modelo ARMA y rtrti

BBB,,1

...1)(

; stst

BwBwBw,,1

....)( +

son polinomios en

B de orden ry s con coeficientes aleatorios, )1(

*

1tY representa el pronstico mnimocuadrtico de tYdado el conjunto de informacin 1t , finalmente t es la perturbacin

aleatoria o ruido blanco en el perodo t. Este modelo lo llama Ruey S. Tsay en su

artculo: CHARMA(p,q,r,s), aparte de las propiedades y mtodos de estimacin seala

dos aplicaciones importantes aparte de su uso en series heteroscedsticas permite

manipular series de tiempo con presencia de valores atpicos y la otra aplicacin

importante es que permite refinar los coeficientes constantes, tal como llama el autor los

parmetros, del modelo ARMA.

VIa1.-Estimacin.

Las tcnicas de estimacin de los parmetros son: el de mxima verosimilitudparamtrico y no paramtrico de Audrino F (2005), mnima divergencia de AjayChandra et al (2006), mnimos cuadrados generalizados factibles Green (1999). El

estimador de mxima verosimilitud siguiendo a Engle (1982) se emplea para estimar

los parmetros de )...,,;,...,,( 21021 pptttt YYYhh o de la regresin ARCH dado

como ttt

ZYE =

)/(1 y )...,,;,...,,( 21021 pptttt gg , en este ltimo

consideramos el caso particular 2110 tt

g .

En el primer caso, se parte de ),0(/1 t

d

tt hNY

por tanto:

t

t

ttttY h

Y

hhyf 2exp)2(

1

),0;(

2

2/1

La funcin de log-verosimilitud es:


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32

= t

tn

t

n

ttttY

n

t h

Y

hhyf

2)2(

1ln),0;(ln

2

12/1

11

= t

t

n

tt

n

ttttY

n

t hYhnhyf2

ln21)2ln(

2),0;(ln

2

111

Aplicando la condicin necesaria para la existencia de un ptimo:

0/2

/ln2

1/),0;(ln

2

111

=

=

t

tn

tt

n

ttttY

n

t h

Yhhyf

0/2

/1

2

1/),0;(ln

2

111

=

=

t

tn

tt

n

t t

tttY

n

t h

Yhl

hhyf

Consideremos el caso particular:22

22

2

110....

ptpttt YYYh

+

, entonces, ahora definimos ),...,,1( 2222

1 ptttT YYYz

y

),...,(10 p

= La matriz de informacin est dada como:

)/(2

1)(

1t

n

tt

T

t hzzn

I

=

=

El segundo caso es:

ttt

ZYE =

)/(1

22

22

2

110...

ptptttg

+

ttt ZY

Asumiendo normalidad, esto es: ),(/1 ttt

d

tt gZNY empleamos nuevamente el

estimador de mximo verosimilitud.

t

tt

t

ttttY g

ZY

ggZyf

2

)(exp

)2(

1),;(

2

2/1

t

t

t gg 2exp

)2(

12

2/1

= t

t

t

n

t

n

tttttY gg

gZyf2

exp)2(

1),;(

2

2/111

La funcin log-verosimilitud es:

=

t

tn

t

n

t

t

n

t

ttttY

g

gn

gZyfLn

2

ln

2

1)2ln(

2

),;(2

111

La condicin necesaria de existencia de un punto extremo es:

0/2

/ln2

1/),;(

2

111

=

=

t

tn

t

n

tt

n

tttttY g

ggZyfLn

La matriz de informacin del estimador de est dada por:

=

=

+

p

jjtjtt

n

tt

T

t ggZZn

I1

2221

1

)2(1

)(

La matriz de informacin conjunta es:


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34/58

34

VIa2.-Otros mtodos de estimacin.

Entre los otros mtodos de estimacin estn: Audrino, F (2005) en donde no se asume el

supuesto de normalidad de las perturbaciones aleatorias tambin conocidazas como

innovaciones, aunque la propuesta se refiere a un ARCH(1), indica el autor que es

posible extenderlo a modelos con 1p . El mtodo de estimacin es no paramtrico y sebasa en una transformacin logartmica y emplear luego la estimacin de verosimilitud

local. Entonces consideremos el modelo:2/1hY

tt y 2

110 tt Yh

;22 hYtt

tttt LoghLogLoghLogYLog222 )(

Donde [ ]2logt

E =

, haciendo las transformaciones:

)( 2tt YLogV= y )(2

tt LogU

tt LoghYG +)( 1

Entonces:

ttt UYGV +

)(1

Tomando en cuenta que: [ ]2logt

E =

entonces: 0)( =tUE , la sucesin de variables

aleatorias: { }tU , son independientes e idnticamente distribuidas e independientes de la

sucesin de variables aleatorias: { }tsVt


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35

El otro mtodo es l de mnima divergencia desarrollado por Ajay Chandra, J et al

(2006), el problema es determinar la forma de la distribucin de probabilidad det en

el modelo:2/1hY

tt , 22

2

2

10....

ptpttt YYYh

;

Donde { }t

es una sucesin de variables aleatorias independientes e igualmente

distribuidas con funcin de densidad );( g . Hagamos el cambio:

ttt hY 22 (4)

Denotemos por 2tt

YZ=

; ),...,,1( 222

2

11 ptttt YYYW

=

y, )...,,(210 p

T= , entonces:

1tt Wh luego podemos escribir (4) como:

)1( 211

tttt WWZ

Si hacemos: )1( 21

ttt W el modelo queda finalmente como:

ttt WZ +

1

Se cumple que 0)/(1=tt

E . El vector de estimadores se puede obtener partiendo

de :

+

n

pttt

WZMin1

2

1

Los residuos estn dados por:= ttt

hY / , donde: 222

2

10 .... ptpttt YYYh

+

Encontremos ahora una funcin

f como ajuste de la verdadera funcin de

densidad );( g utilizando la mnima divergencia, en general se parte de la

definicin dada por:

{ } dggfKgfD );();(/)());(,(

=

Donde { }{ }2/)1(2 1)1/(4)(

+xxK ; 11


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36

residuos, asumimos que existe /tg y la esperanza : )( eeE t 21, por tanto la matriz de

informacin es:t

t

g

geeE

g

gI

=

0

0

0

0

* /)(/

2

1)(

El estadstico para realizar el contraste es:010 )(

2

1feeeefML tt =

Donde 0g es el vector columna: { }1/ 02 get , este estadstico, bajo la hiptesis nula,

tiende asintticamente a una 2 con p grados de libertad. La hiptesis nula se rechaza

si la probabilidad de que el valor del estadstico exceda a una 2p sea menor que el nivel

de significacin. Una forma expedita consiste en considerar los residuos y plantear el

modelotptpttt +

+ 2*2*

22

2*

1102 ... y emplear la prueba Fpara contrastar

la hiptesis 0....: 210 =pH y la pruba tpara cada uno de los parmetros,

asumiendo como hiptesis nula pjH j ...2,1,0:0 =

. Una forma de aproximarse alproblema es, partiendo de un AR(p), estudiar los residuos y ver si hay un patrn de

agrupamiento de los mismos.

Ejemplo 12

En este ejemplo emplea el ndice de precio del consumidor en Venezuela desde Enero

de 1980 a Diciembre de 2002, en otros pases se considera que este tipo de ndice

presenta hetoroscedasticidad condicional. Lo primero que se realiz fue considerar un

ARIMA(1,1,1)22como modelo tentativo, obteniendo los siguientes resultados.Descripcin del modelo

Tipo de modeloID del modelo IPMG Model_1 ARIMA(1,1,1)

21Obsrvese que para cada valor de tse obtiene un vector columna, por tanto e es una matriz.El programa es SPSS es:22GET DATA / TYPE=ODBC / CONNECT=' DSN=Excel Fi l es; DBQ=D: \ ART CULOS\ DATOS

ARCH. xl s; Dr i ver I d=790; MaxBuf f erSi z' +' e=2048; PageTi meout =5; '/ SQL = ' SELECT RE1C, `RE- 1C AS RE1C1, `RE- 2C AS RE2C, `RE- 3C

AS RE3' +

' C, `RE- 4C` AS RE4C FROM `Hoj a2$`'/ ASSUMEDSTRWI DTH=255.

CACHE.DATASET NAME Dat aSet 2 WI NDOW=FRONT.REGRESSI ON

/ MI SSI NG LI STWI SE/ STATI STI CS COEFF OUTS R ANOVA COLLI N TOL CHANGE/ CRI TERI A=PI N( . 05) POUT( . 10)/ NOORI GI N/ DEPENDENT RE1C/ METHOD=ENTER RE1C1 RE2C RE3C RE4C/ SCATTERPLOT=( *SRESI D , RE1C ) ( *ZRESI D , RE1C )

/ RESI DUALS DURBI N HI ST( ZRESI D) NORM( ZRESI D)/ SAVE COOK RESI D .


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37

De acuerdo a los siguientes resultados, el modelo se adecua satisfactoriamente, si se

observa el coeficiente de determinacin 0,12 =R y el valor del ndice de informacin

Bayesiano: 020,1BIC . El estadstico observado de Ljung-Box conduce a no rechazar

la hiptesis nula que la correlacin de los residuos es nula, es decir: los residuosprovienen de un ruido blanco.

Estadsticos del modelo

0 ,585 1,000 1,615 8,141 151,892 10,857 1,020 46,664 16 ,000 0

Modelo

IPMG-Model_

Nmero de

predictores

R-cuadrado

estacionaria R-cuadrado RMSE MAPE MaxAPE MaxAE

BIC

normalizado

Estadsticos de ajuste del modelo

Estadsticos GL Sig.

Ljung-Box Q(18) Nmero de

valores

atpicos

Parmetros del mod elo ARIMA

1,067 ,516 2,069 ,040

,868 ,039 22,289 ,000

1

,286 ,078 3,682 ,000

Constante

Retardo 1AR

Diferencia

Retardo 1MA

Sin transformacinIPMGIPMG-Model_1

Estimacin ET t Sig.

Si observamos la tabla anterior, el modelo ajustado es:

1

*286,0067,1)1)(868,01(

ttYBB

La prueba tnos indica que todos los parmetros son significativamente diferentes de

cero Si se observa las funciones de autocorrelacio y autocorrelacin parcial de los

residuos algunas salen muy levemente de los lmites.


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38

Retardo

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Residual

1,00,50,0-0,5-1,0 1,00,50,0-0,5-1,0

FAP residualFAS residual

IPMG - Model_1

Ahora, construimos el modelo de regresin considerando los residuos, la variabledependiente es 2*

t y los regresores:2*

2

2*

3

2*

2

2*

1 ,,, tttt ; esto es:

=

2*

t +2*

24

2*

33

2*

22

2*

110 tttt

Los resultados se presentan a continuacin:

Variables introducidas/eliminadas(b)

ModeloVariables

introducidasVariables

eliminadas Mtodo

1RE4C, RE2C,RE3C,RE1C1(a)

. Introducir

a Todas las variables solicitadas introducidasb Variable dependiente: RE1C


39/58

39

Resumen del modelob

,543a ,294 ,284 9,48563 ,294 27,757 4 266 ,000 2,107

Modelo

1

R R cuadrado

R cuadrado

corregida

Error tp. de la

estimacin

Cambio en

R cuadrado Cambio en F gl1 gl2

Sig. del

cambio en F

Estadsticos de cambio

Durbin-

Watson

Variables predictoras: (Constante), RE4C, RE2C, RE3C, RE1C1a.

Variable dependiente: RE1Cb.

ANOVAb

9990,156 4 2497,539 27,757 ,000a

23933,939 266 89,977

33924,095 270

Regresin

Residual

Total

Modelo

1

Suma de

cuadrados gl

Media

cuadrtica F Sig.

Variables predictoras: (Constante), RE4C, RE2C, RE3C, RE1C1a.

Variable dependiente: RE1Cb.

Coeficientesa

,486 ,603 ,806 ,421

,143 ,059 ,144 2,422 ,016 ,750 1,332

,035 ,057 ,036 ,618 ,537 ,802 1,247

,277 ,055 ,287 4,987 ,000 ,801 1,248

,249 ,057 ,258 4,343 ,000 ,749 1,335

(Constante)

RE1C1

RE2C

RE3C

RE4C

Modelo

1

B Error tp.

Coeficientes no

estandarizados

Beta

Coeficientes

estandarizad

os

t Sig. Tolerancia FIV

Estadsticos de

colinealidad

Variable dependiente: RE1Ca.

De acuerdo a los resultados de la prueba F que se muestra en la tabla ANOVA se

rechaza la hiptesis 0: 43210 =H . De acuerdo a la prueba t solo la

constante y el parmetro asociado a 2*2t

no son significativamente diferentes de cero.

Se puede aumentar el nmero de regresores para aumentar el valor de 2R y ver si mejora

el modelo. En todo caso, es fcil verificar que si realizamos la operacin

76294,02712 =xnR y calcular 0)76( 24 P rechazamos igualmente la hiptesis nula

anterior. De acuerdo el valor del estadstico Durbin Watson la autocorrelacin de los

residuos es aproximadamente 0,0535 que es un valor no significativo. Observando el

ndice de condicin se puede concluir que no hay presencia de colinealidad.


40/58

40

Diagnsticos de colinealidada

2,256 1,000 ,04 ,07 ,07 ,07 ,08

,858 1,621 ,95 ,04 ,02 ,01 ,03

,725 1,765 ,01 ,23 ,30 ,28 ,21

,660 1,849 ,00 ,13 ,43 ,44 ,14

,501 2,121 ,00 ,52 ,19 ,20 ,54

Dimensin

1

2

3

4

5

Modelo

1

Autovalor

Indice de

condicin (Constante) RE1C1 RE2C RE3C RE4C

Proporciones de la varianza


Estadsticos sobre los residuosa

,4893 44,1138 2,2681 6,08281 271

-,292 6,879 ,000 1,000 271

,589 6,632 ,857 ,964 271

,4911 62,1935 2,3835 7,04578 271

-35,55740 100,70521 ,00000 9,41511 271

-3,749 10,617 ,000 ,993 271

-4,940 11,017 -,005 1,077 271

-61,75787 108,44568 -,11531 11,30054 271

-5,174 14,913 ,012 1,268 271

,046 130,986 3,985 17,065 271

,000 3,864 ,052 ,356 271

,000 ,485 ,015 ,063 271

Valor pronosticado

Valor pronosticado tip.

Error tpico del valor

pronosticado

Valor pronosticado

corregido

Residuo bruto

Residuo tip.

Residuo estud.

Residuo eliminado

Residuo eliminado estud.

Dist. de Mahalanobis

Distancia de Cook

Valor de influencia

centrado

Mnimo Mximo Media

Desviacin

tp. N


VI4a.-Modelos relacionados: ARCH-M, TARCH, AR-ARCH.

En este punto veremos brevemente algunos modelos relacionados con el ARCH, tales

como ARCH-M , TARCH y finalmente el AR-ARCH. El modelo ARCH-M consiste en

introducir en el modelo la varianza condicional como regresor. Un caso de tal modelo

es:

tttt gYY +

2110,

2222

2110 ... ptptttg

+

Otro modelo que se emplea en situacin de asimetra es el ARCH que dependen de un

umbral, estos modelos se llaman TARCH. Su forma es por ejemplo:2/1

ttt gY

2

1110 )( ttt dg ,0;0 10 > 11 y 12/1


41/58

41

La variable indicadora1t

d indica si el umbral est presente o no, toma el valor uno

cuando lo est, y esto ocurre cuando la innovacin es negativa, por tanto el efecto de la

varianza condicional es mayor, un ejemplo de esto se da en el mercado de capitales, que

una mala noticia sobre el desenvolvimiento del mercado conduce a una mayor

volatilidad de los ttulos valores.

Finalmente tenemos el modelo AR-ARCH, el modelo AR-ARMA lo desarrolla porprimera vez Emanuel Parzen23, este autor clasifica las series de tiempo en tres

categoras, series con tendencias, estacionalidad y ciclos que denomina de memoria

larga, series que cumplen con la estacionalidad en media y varianza que llama series de

memoria corta y finalmente serie formadas exclusivamente con ruido blanco. Una de las

caractersticas de las series de tiempo con memoria larga es que sus autocorrelaciones

muestrales decrecen muy lentamente. Para lograr que una serie de memoria larga se

convierta en memoria corta en vez de diferenciar la serie como propone la metodologa

de Box-Jenkins, aumenta el nmero de parmetros AR sin importar el principio de

parcimonia, y la parte MA la deja solo en casos especiales. Para seleccionar el orden del

AR utiliza el criterio de informacin de Akaike. Otra propuesta para el estudio de series

de tiempo de memoria larga es emplear diferenciacin no entera, esto es: d

donde

dtoma cualquier valor real, generalmente entre -1 y 1, este modelo se llama AFIRMA.

El modelo AR-ARCH consiste entonces, en un modelo con una parte autoregresiva y

otra autoregresiva con heteroscedsticidad condicional.. Un caso particular de AR-

ARCH lo presenta Cline, D.B.H (2006), en el cual considera el umbral. El modelo AR-

ARCH lo define como: dada la sucesin de errores aleatorios { *t } independientes e

idnticamente distribuidas, con funcin de densidad simtrica a rededor de cero y

positiva en R , tambin se asume que)( *

r

tE . Consideremos ahora la sucesin de

variables aleatorias: { }t , entonces, el modelo AR-ARCH es:

=

=

+

tit

p

iiit

p

iit 2/12

1

20

10 )(

La parte autoregresiva es:it

p

ii

=

1

0 y la parte ARCH es

=

tit

p

ii

2/12

1

2

0 )( , donde

la varianza condicional o volatilidad estit

p

ii

h

=

)( 2

1

2

0 . El modelo es ergdico y

tiene una distribucin estacionario si:

1)(*

1

2

1

qp , 00> , 0i para qi ...2,1 ; 0i para pi ...2,1 . Este es GARCH(p,d),

cuando 1p y 1q la varianza condicional es:

11

2

110 +

ttt hh

Si 0p , y 0q entonces el modelo es un ARCH(q)24, si consideramos ahora, como en

el caso del ARCH que:

ttt ZY

+

tZ es el vector de variables endgenas y es el vector de parmetros. Consideremos lospolinomios )...()( 221

q

qBBBB + y )...()(2

21

p

pBBBB + donde B es el

operador de retardo:xtt

x wwB

. Ahora escribimos la varianza condicional como:

ttt hBBh )()(2

0 +

Si se verifica que todas las raices de 0)(1 =z caen fuera de un crculo de radio

unitario, la varianza condicional resulta un ARCH )( , esto es:

tt BBh 110 ))(1)(())1(1(

=

=

+

1

21

10 )1(

iiti

p

iit

h

Teorema. Bollerslev (1986):

El GARCH(p,q) definido anteriormente es estacionario en sentido amplio con

0)( =tE ,1

0))1()1(1()( + tVar , 0),( =stCov ts si y solamente si

1)1()1(


43/58

43

in

m

iinn

=

1

0/ 1pn

Denotemos porkk la k-sima correlacin parcial de

2

t , para determinar cada una

definimos el siguiente sistema de ecuaciones con k incognitas y k ecuaciones:

=

k

iinkin

1

kn ...2,1

Si el proceso es un ARCH(q), entonces:

0kk si qk<

0kk si qk>

Tanto n como kk deben estimarse con los datos observados. Se espera que el

comportamiento de un modelo GARCH tenga similitud con el ARCH. En la prctica el

primer modelo requerir un nmero de trmino menor al ARCH.

Ejemplo 13.

Tomando la informacin del ejemplo anterior, representamos las funciones de

autocorrelacin y autocorrelacin parcial de 2t

Nm. de retardos

16151413121110987654321

ACF

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

RE1C

Lmite de confianzainferior

Lmite de confianzasuperior

Coeficiente

Se puede observar que tanto la funcin de autocorrelacin como la funcin deautocorrelacin parcial hay varios valores que salen de los lmites de confianza, por


44/58

44

tanto son significativamente diferente de cero. Un modelo tentativo para la varianza

condicional es un ARCH(4). Si se emplea un GARCH debe esperarse un nmero menor

de parmetros a estimar.

Nm. de retardos

16151413121110987654321

ACFparci

al

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

RE1C

Lmite de confianzainferior

Lmite de confianzasuperior

Coeficiente

VI1b.-Estimacin de los parmetros de GARCH-generalizacin.

La estimacin de los parmetros parte del supuesto de que las innovaciones tienen una

distribucin normal, la exposicin se har considerando los comentarios que hace

Green(1999) al artculo original de Bollerslev (1986). Asumiendo que t sigue una

distribucin normal ),0( thN Partimos entonces, que la funcin de mxima verosimilitud

es:

=

2

2

11

2

1

ln2

1)2ln(

2),;(

t

tn

t

n

t

t

n

tttttY h

hn

gZyfLn

Donde:

ptpttqtqtttt hhhh + ...... 221122

22

2

110

ttt

ZY


45/58


46/58

46

Recordemos que el contraste de multiplicadores de Lagrange para el caso del modelo de

regresin restringido parte de

[ ])();();(,,

rRLnLMaxLnLMax T

R

De donde es test es:**

*1

**

/)/);(()()/);((R

T

RRRR

T

RR eeLnLILnLnML

En este caso el estadstico tiene la forma:

00

1

0000)(

2

1gXXXXgML

TTT =

Donde:T

nnhhhg 1,...1,1 121

2

2

2

1

1

2

10

T

nn hhhhhhX )/,..../,/(

22110

Estn evaluados bajo la hiptesis nula.

Este estadstico se distribuye con una 2 con tantos grados de libertad como elementostiene el vector

2 , un test equivalente es:2nRML

=

Donde 2R es el coeficiente de correlacin mltiple entre0

g y0

X que de la misma

forma se distribuye con una 2 con tantos grados de libertad como elementos tiene el

vector2 .

Es importante el comentario que hace el autor, para la hiptesis nula de que el modelo

es un ARCH(q), el contraste de los multiplicadores de Lagrange, usando como hiptesis

alternativas GARCH(r,q) o ARCH(q+r) el resultado se confunde. Siguiendo a Green, el

contraste para ARCH(q) frente a GARCH(p,q) es exactamente el mismo que l de

ARCH(q) frente a ARCH(p+q).

VI3b Modelos relacionados. INGAR

En los ltimos aos hay un creciente inters en aquellos procesos tanto de conjunto de

ndice como espacio discreto, en especial los procesos de Poisson entre cuyas

aplicaciones estn: cierto tipo de transacciones que se realiza en el mercado y problemas

relacionados con epidemiologa, de ah surge el estudio del modelo INGAR. Los

autores Ferland, R et al (2006) presentan un estudio bastante completo en su artculo

donde estudian las propiedades generales de este modelo y luego lo particularizan a un

modelo INGAR(1,1) y finalmente dan una aplicacin empleando los datosepidemiolgico de la infeccin de campylobacterosis. Ahora cambiamos el proceso

),0(/1 t

d

tt hN por )(/ 1 t

d

tt hP lo que quiere decir que la distribucin condicional

del proceso dado el conjunto de informacin poissoniano, es una distribucin de

Poisson.

El modelo INGARCH ),( qp se define como:

)(/ 1 td

tt hP Zt

ptpttqtqtttt hhhh

+ ...... 221122

22

2

110

0,0 >

qp , 00>

, 0i para qi ...2,1 ; 0i para pi ...2,1 . Empleando lospolinomios en funcin del operador de retardo: )...1()( 2

21

q

qBBBB + y


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47

)...1()( 221

p

pBBBB + y asumiendo que las races de ambos polinomios caen

fuera de un crculo unitario y adems 1)1(1

o equivalentemente que 1011

, entonces tiene al menos un lmite seguro.

2) La sucesin es un proceso estrictamente estacionario para cada n .3) Si 0)1()1( > , entonces los dos primeros momentos son finitos.

4) INGARCH(p,d) est relacionado con el ARMA { } pqp ,,max

El modelo INGARCH(1,1) tiene la forma:

)(/ 1 td

tt hP Zt

11

2

110 +

ttt hh

Las propiedades ms importantes son en este caso:

1) la media es: )1/( 110

2) ))(1/())(1()( 211

2

1

2

11

+t

Var

3) La funcin de autocorrelacin : ))(1/())((1()( 211

1

111111 +rr

La estimacin de los parmetros de modelo INGARCH es similar al mtodo empleado

en GARCH, solo debemos cambiar la funcin de verosimilitud que en el segundo

asume normalidad de t . En el caso INGARCH es por tanto:

=

=

n

t t

tt

teL

1 !)(


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48

VII.-Constraste de linealidad: DBS.25

En los ltimos aos han surgido un conjunto de test para contrastar la hiptesis nula de

linealidad de la serie de tiempo versus la alternativa de no linealidad. Uno de lo ms

reciente es el que presenta Escanio. J.C (2006). En su artculo hace un recuento de los

diferentes trabajos que tratan el tema. Despus de hacer una breve crtica de los testbasado en las correlaciones de los residuos para detectar la buena especificin de un

modelo con datos temporales, y de otra naturaleza como los basados en ncleos,

presenta su test que parte del concepto de transformada de Fourier explicando y

demostrando posteriormente las propiedades del mismo y finalmente presenta un

ejemplo va simulacin. Se menciona este trabajo, al inicio de esta parte de la

monografa dada su importancia, sin embargo escapa del nivel de la misma. Por tanto

presentaremos uno de los test ms usados como lo es el test de Brock, Dechert y

Scheinkman: BDS.

Primeramente consideramos lo que se denomina historia de dimensin n . Entonces

dada la sucesin { }TtYt; formemos las historias con un nmero finito:

( )2 = },,.....,,,,, 12322110 tt YYYYYYYY ( )3 = }

212432321210,,.....,,,,,,,,

ttt YYYYYYYYYYYY

Al construir historia lo que hacemos una aplicacin: mRR , esto es:

{ }

{ }

)1(2 ...,, +nttttt YYYYY . Takens demostr que la aplicacin sealada anteriormente,

conserva las propiedades topolgica de la orbita original del sistema en otra palabras,

las m historias reproducen la dinmica del sistema original si n2d+1, siendo d la

dimensin del subespacio que contiene al actractor.

El problema es determinar los valores de los parmetros y n que nos permitan detectar

la existencia del atractor. Si es muy grande ser difcil distinguir el efecto de las

condiciones iniciales y las variables estarn incorrelacionadas y si es muy pequeo los

puntos estarn muy cercanos los elementos de las m historias seran muy parecidos. Para

determinar m hay varios mtodos que se describen en la bibliografa especializada. Uno

de esto es la correlacin espacial dada por:

{ } )1)()((/)()()(

1,

=

nTnTnynyCnT

ijij

jin

)()( nynyji

es la distancia euclidea entre )(nyi y )(nyj . Entonces se verifica:

{ })()( nynyji

=1 si )()( nyny ji <

{ }

)()( nyny ji

=0 si )()( nyny ji

>

El test (BDS) debido a los autores Brock, Dechert y Scheinkman asumen como

hiptesis nula que la serie responde a una sucesin de variables aleatorias

independientes e idnticamente distribuidas en donde para una dimensin n, ( )nC =

( )nC 1 . La hiptesis alterna es que la serie responde a un sistema determinstico oestocstico no lineal. Para contrastar la hiptesis nula proponen el estadstico:

( )NWn , = N ( ( )nC - ( )n

C 1 )/ )(*

n

25

Este test est explicado en A.E.Reyes P (2007)Herramientas Cuantitativas en La Toma de Decisin Empresarial.Fondo Editorial Tropykos-Caracas


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49

Dado: ( )nC , ( )n

C 1 , )(*

n es la desviacin estndar de ( ( )nC - ( )n

C 1 ). Esta viene

dada como:

=)(* n 24 +nh 4 })1( 222222

1

1

=

+

nnjn

j

jm hcncnch

Para obtener el valor de h simplificaremos la notacin de lafuncin )()( nxnx ji como ),( jiH .

h= ( ) ))2)(1(/()),(),(,(),(),(),(21 1 1

++ = += +=

nnnrtHtsHsrHrtHrsHstHn

t

n

ts

n

s

Bajo la hiptesis nula este estadstico se distribuye como una normal N(0,1). Si el valor

del estadstico es tal que ( ) ( )( )


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50

ANEXO 1 SPSS: REGRESIN NO LINEAL LIBRE Y RESTRINGIDA.

El siguiente anexo presenta las ventanas del SPSS para el problema de regresin no

lineal, la visualizacin de la mismas debe ser suficiente para un lector avisado, sin

embargo nos tomaremos la libertad de explicar la misma, sin tener la pretensin de

dictar un curso de SPSS que los hay mejores, en mucho. Suponemos que el usuarioconoce el manejo de la base de datos de este paquete tan popular entre alumnos y

especialista, por tanto, aunque parezca trivial la explicacin que sigue lo haremos para

aquellos que no estn tan familiarizado, aunque insistimos, ver la secuencia debera ser

lo suficientemente ilustrativo. La primera ventada es la seleccin del men.

Al seleccionar Nonlinear, obtendr una nueva ventana donde aparece la lista de

variables.


51/58

51

Adems una casilla donde debe especificar los parmetros, al activar el botn

parameters, aparecer una nueva ventana donde debe colocar el nombre del primer

parmetro y el valor inicial, al terminar debe activar el botn Add, luego escribir el

nombre del segundo parmetro y su valor adicional y, activar nuevamente el botnAdd.Este procedimiento continua tanta veces como parmetro tiene el modelo.


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52

Al finalizar la escritura de todos los parmetros active continuar: Continue. Con este

ltimo paso se presentara en la ventana parameers la lista de los nombres de los

parmetros con los valores iniciales seleccionados entre parntesis. Si desea cambiar o

remover algn parmetro, debe activar nuevamente la ventana parameters, al hacerlo

aparecer la ventana con los parmetros que utiliz para signarle nombres y valor

iniciales y podr usar los botones remove y change Esta misma ventana permite

cambiar o remover un parmetro o su valor inicial.

Una vez realizado este procedimiento, escriba el nombre de la variable dependiente en

la casilla correspondiente.

En la casilla Model expression introduzca los parmetros indicando si estnmultiplicado las variables o si son exponentes de las mismas, para ello emplee el

recuadro de nmeros y smbolos o la listas de funciones. En la listas de smbolos cuenta

con parntesis, el smbolo de multiplicar con un asterisco etc. En el caso de necesitar

alguna funcin preestablecida en la lista de las mismas debe recordar que debe indicarle

el argumento, este aparecer con un smbolo de interrogacin hasta tanto usted no lodefina.


53/58

53


54/58

54

Concluido lo sealado active el botn OK.Si el modelo est especificado con una o varias restricciones sobre los parmetros active

el botn constraints ymarque el redondillo:Define parameters constraints, entonces

podr escribir cada restriccin con la ayuda del cuadro de nmeros y smbolos. Al ladoderecho de la casilla donde escribe la forma de la restriccin, tiene para seleccionar el

tipo de disigualda y el valor nmrico con la se compara la restriccin.

Repita este procedimiento tanta veces como restricciones tiene el modelo. Al finalizar le

dar al botn continuar. Hay que tener cuidado en el momento de especificar las

restricciones pues el paquete tiene ciertas limitaciones si en la ventana se seleccion

como Options : Estimation Method Levenberg-Marquardt, que es un mtodo deestimacin que est entre el mtodo de la expansin de Taylor y el mtodo de la

pendiente descendiente.

Los otros botones que estn en la primera ventana son: 1) Reset, que borra todo loescrito si se quiere modificar sustancialmente el modelo. 2) Save, que permite guardaren labase de datos los valores predichos por el modelo, los residuos y las derivadas delos parmetros evaluadas en cada punto.3)Loss,permite definir una funcin de prdidao penalizacin. 4) Paste, que permite obtener el programa del procedimiento empleado.


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55

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Econometría- Modelo de Regresión No Lineal- Arch-garch.

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