TEMA 11_Introducción a La Econometría Financiera. Modelos ARCH

8/20/2019 TEMA 11_Introducción a La Econometría Financiera. Modelos ARCH

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Econometría dinámica y

financiera

Profesora: Dolores García Martos

E-mail:[email protected]

Introducción a la econometría financiera.

Modelos ARCH


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Introducción

• Los modelos que hemos visto son lineales

• Los modelos se pueden linealizar tomando logaritmos

Las propiedades de los estimadores lineales son conocidas

• En el análisis de series temporales seguido se ha trabajado bajo un esquema estacionario

(con transformaciones si fuese necesario)

Media constante

Varianza constante

Correlación entre variables solo depende del desfase temporal entre ellas

Los modelos ARIMA parten del análisis del comportamiento de las covarianzas (téngase

en cuenta que la correlación es igual a la covarianza dividida por la varianza)

• No siempre se puede mantener la hipótesis de varianza constante. Es necesario realizar

contrastes de varianza constante:

Problema con la eficiencia de los estimadores, por amplios intervalos de confianza (alta

volatilidad)

•También puede ocurrir que la propia naturaleza del fenómeno económico que estemos

analizando requiera conocer no solo aspectos de su nivel sino también de su varianza (ovolatilidad)


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Propiedades series financieras

IBEX-35

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

1 9 8

7 1

1 9 8

8 1

1 9 8

9 1

1 9 9

0 1

1 9 9

1 1

1 9 9

2 1

1 9 9

3 1

1 9 9

4 1

1 9 9

5 1

1 9 9

6 1

1 9 9

7 1

1 9 9

8 1

1 9 9

9 1

2 0 0

0 1

2 0 0

1 1

2 0 0

2 1

2 0 0

3 1

2 0 0

4 1

2 0 0

5 1

2 0 0

6 1

2 0 0

7 1

2 0 0

8 1

2 0 0

9 1

2 0 1

0 1

2 0 1

1 1


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IBEX-35 (primera diferencia)

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

1 9 8 7 1

1 9 8 8 1

1 9 8 9 1

1 9 9 0 1

1 9 9 1 1

1 9 9 2 1

1 9 9 3 1

1 9 9 4 1

1 9 9 5 1

1 9 9 6 1

1 9 9 7 1

1 9 9 8 1

1 9 9 9 1

2 0 0 0 1

2 0 0 1 1

2 0 0 2 1

2 0 0 3 1

2 0 0 4 1

2 0 0 5 1

2 0 0 6 1

2 0 0 7 1

2 0 0 8 1

2 0 0 9 1

2 0 1 0 1

2 0 1 1 1

Estimado un modelo ARIMA para esta serie, los residuos recogerán

todo el efecto de la variabilidad de la serie, ya que ésta no se ha

tenido en cuenta en el modelo

Los modelos lineales no pueden recoger esta variabilidad


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El apuntalamiento es mayor que el de una distribución normal (la curtosis esigual a 3)*

Las colas son distintas a las de una normal. Son más pequeñas.

Es una distribución asimétrica*Ver histograma de la serie en logaritmos en anexo 2


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Correlograma de la primera diferencia del IBEX


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Modelo de medias móviles estimado para la primera diferencia del IBEX


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Correlograma de los residuos


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Gráfico de los residuos


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Propiedades de series financieras

Histograma de los residuos


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•Las series financieras no presentan, en general, una varianza

o variabilidad constante.

Interesa la relación precio-volatilidad

•Las estructuras lineales son incapaces de explicar

determinados aspectos que suelen estar presentes en las

series financieras:

Leptocursis. Es más apuntalada que una distribución

normal (en una distribución normal es igual a 3).

Volatilidad de los mercados financieros que aparecen

por rachas. Altos retornos suelen ir seguidos de altos

retornos y viceversa.

Asimetría: La volatilidad aumenta más cuando hay

caídas de precios que cuando hay aumentos.


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•En las series financieras, la varianza presentan:

• Comportamiento autorregresivo: la variabilidad actual

suele depender del comportamiento volátil habido en el

pasado reciente

• Contagio: los periodos en los que la volatilidad es altasuele mantenerse en el tiempo, lo mismo ocurre en

periodos de baja volatilidad.

• Asimetría: las caídas son más intensas y bruscas que

las subidas.

•La volatilidad es un concepto de relevancia en el mundo de las finanzas:

Medida del riesgo en los mercados de activos

• Una media de los riesgos del mercado requieren la estimación o previsión

de los parámetros de volatilidad


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•En los mercados financieros, la estabilidad o inestabilidad se suelerelacionar con su comportamiento anterior y que tras un “sobresalto” se

produce una variabilidad que dura un cierto periodo de tiempo, tras el cual

vuelve a la normalidad.

•En definitiva, dicha variabilidad se refleja en la varianza que no será

constante.

•Existen diferentes tipos de modelos no lineales, entre ellos los más

populares son los ARCH y GARCH para predecir la volatilidad.

ARCH: Modelos autorregresivos condicionales heteroscedásticos

Engels (1982)

Determinan un patrón de comportamiento estadístico para la

varianza.

La información pasada de una variable y su volatilidad son factores que explican su

comportamiento presente y, por tanto, podrá ser extrapolado a futuro


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•Engels establece tres situaciones que justifican el uso de los modelos ARCH:

Decisiones relativas a activos financieros en los que se tiene en

cuenta la rentabilidad media de los mismos y su volatilidad

Existencia de periodos de gran variabilidad con respecto a un valor

central frente a otros de escasa variabilidad

No se trata de tendencia en la volatilidad

Modelos con parámetros variables en modelos estructurales

• Un modelo que atienda en la predicción a los valores de la varianza en el

pasado servirá para realizar estimaciones a futuro más precisas.

• Los agentes económicos deciden sobre el mantenimiento o venta de activos

financieros a partir de la información proveniente del pasado: con respecto a

su rentabilidad media y a la volatilidad que ésta ha tenido.


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• En los modelos manejados se ha trabajado bajo hipótesis de

estacionariedad

Los residuos del modelo tienen estructura de ruido blanco

Son lineales

Distribuciones normales (Gaussianas) simétricas

• En el ruido blanco:

E(at )= 0

Var(at )= σ2

Cov(at ,at-j )=0 para todo j

• Bajo estos supuestos, la correlación indica independencia temporal

• Es decir, no existe información en el pasado que sirva para predecir el

futuro.

No se puede establecer ninguna relación entre a t y a t-j de forma

lineal


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•El que no exista correlación temporal en un modelo lineal no

significa que ésta no pueda existir de forma no lineal

Puede haber alguna relación de forma cuadrática u otra

forma no lineal.

•Los modelos ARCH son utilizados para modelizar y predecir

volatilidad.

Se diferencia de los modelos ARIMA en que los modelos

ARCH trabajan con series heterocedásticas.

No son modelos excluyentes.


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Correlaciones de los cuadrados

¿Cómo contrastar la no linealidad?

• La decisión de elegir entre modelos lineales y no-lineales es compleja y dependede cómo se comporten los datos

• Hay que decidir si una especificación lineal es suficiente para describir los

principales aspectos que reflejan los datos.

• Los instrumentos utilizados hasta ahora (correlogramas, por ejemplo) son

insuficientes (miden estructura lineal).

• Existen diferentes test para contrastar la no linealidad

Un primer paso sería observar el correlograma de los residuos al

cuadrado o de la serie heterocedástica en cuestión

• En el marco que nos movemos de volatilidad autorregresiva, ésta puede ser contrastada a partir de estimar una regresión de los valores de los residuos al

cuadrado y distintos retardos de estos.

• Estadísticamente, la relación de la volatilidad con el pasado se refleja a partir de

la esperanza condicional.

Conocida y fija la información hasta el momento anterior.


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Correlaciones de los cuadrados

Correlaciones al cuadrado de los residuos del modelo estimado para la serie del

IBEX en primeras diferencias

La serie de los cuadrados presenta

correlaciones significativamente distintas

de cero que se prolongan en retardos

lejanos

• Las innovaciones de la volatilidad

persisten en el tiempo


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Rendimientos

• En finanzas, el punto de partida lo constituye el precio

El precio de las acciones de Telefónica

• Es preferible trabajar con la serie de rendimientos, que además tienen

la ventaja de que están libres de unidades

• La serie de rendimientos es:

Rt = (pt - p t-1 )/ p t-1 x 100

• Por tanto,

La serie de rendimientos se puede obtener como:

Rt = ln pt -ln pt-1 = ln (pt /pt-1 )

•Se conoce como el logaritmo de los precios relativos

Recordad que la diferencia

de los logaritmos se

aproxima a una tasa

Las series de precios o índices bursátiles suelen ser paseos aleatorios. Por tanto,

sus tasas siguen procesos ruido blanco.

Otras variables, como tipos de cambio o de interés, al aplicar una primera diferencia

se convierten, en general, en ruido blanco


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Modelos no lineales

• Entre los distintos modelos propuestos en la literatura econométrica para

representar la dinamicidad de la volatilidad se hallan, entre otros, los

modelos ARCH.

Se basan en la idea de condicionalidad de los momentos (media,

varianza y covarianza).

La variabilidad del periodo actual depende de la evolución en

periodos precedentes

La volatilidad es una función de los cuadrados de las observaciones

pasadas.

• Estos modelos reproducen las características de las series financieras:

exceso de cúrtosis (leptocurticas)

correlación de los cuadrados de la serie

agrupamientos de la volatilidad.


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Modelos ARCH

• En la modelización de la volatilidad, la correlación de la serie de loscuadrados se utiliza como primer indicio de la dependencia temporal en los

segundos momentos condicionales.

Los agrupamientos de la volatilidad se traduce en correlaciones

positivas en la serie de los cuadrados

• Los modelos ARCH se basan en el concepto de varianza condicional:

La varianza condicional de yt se escribe como σ2

t

σ2t = var (yt / yt-1 ,y t-2 ,……….) = E[ (yt -E(yt ))2 / yt-1 ,yt-2 ,………)=

= E( y2t / yt-1 ,yt-2 ,………) , bajo el supuesto de que E (yt)=01

La varianza condicional es igual a la esperanza condicional de losvalores al cuadrado

• σt es una función de yt-1 ,y t-2 ,….

1.En general, la variable con la que se trabaja es la de residuos de un modelo,salvo que la serie con que se trabaje sea directamente un ruido blanco


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Modelos ARCH (1)

Modelo ARCH de orden 1:

yt = εt σt (1)

σ2t = w + α y2

t-1

yt = εt (w + α y2

t-1)½

Donde εt es una secuencia de variables aleatorias independientes eigualmente distribuidas (iid) con media cero y varianza unitaria; σtes un factor denominado volatilidad.

•Si εt tiene una distribución normal, estaríamos ante un proceso

ruido blanco

•El proceso yt es un proceso estacionario. Por tanto α < 1

•Los momentos condicionales en “t” al valor de “t-1” es una

realización concreta conocida ( no es aleatoria)

(1) Se utiliza la variable y en términos genéricos. En general, será la variable residual.


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Modelos ARCH (1)

Momentos marginales y condicionales

**Esperanza:

• Marginal

E(yt)= E(ε

t(w + α y2

t-1)½) = E(ε

t) E((w + α y2

t-1)½)=0

• Condicional

Et-1 (yt )= Et-1 (εt (w + α y2

t-1)½) = Et-1 (εt) Et-1 ((w + α y2

t-1)½)

=0

En definitiva, la esperanza marginal y la condicional coinciden y son cero


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Modelos ARCH (1)


**Varianza:

• Marginal

E(y2 t )= w/(1-α) σ2 = w/(1-α)

• Condicional

Et-1 (y2

t )= Et-1 [(εt (w + α y2

t-1)½)]2 =

= Et-1 (ε2

t) Et-1 (w + α y2

t-1)= σ2 (w + α y2 t-1)=

= (w + α y2 t-1)

En definitiva,

• la varianza marginal es constante

• la varianza condicional depende de y t-1 , por tanto, no es

constante.


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Modelos ARCH (1)


**Covarianza de orden 1:•Marginal

E(y t yt-1 )= E [(εt (w + α y2

t-1)½) y t-1] =

= E (εt ) E ((w + α y2

t-1)½) y t-1) = 0 , debido a

que εt

es un ruido blanco

•Condicional

• Et-1 (y t y t-1 )= Et-1 [(εt (w + α y2

t-1)½) y t-1] =

= Et-1 (εt ) Et-1 ((w + α y2

t-1)½) y t-1) =0

Es decir, no hay correlación lineal: no hay relaciones

lineales


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Modelos ARCH (1)


**Covarianza de orden uno de la serie al cuadrado:

cov (y2t y2t-1 ) = γ 2

γ 2 (1) = 2w2 / (1-α)2 (1-3α2) ≠ 0 (1)

Es decir, el proceso presenta correlación de forma cuadrática:

hay dependencia cuadrática

(1) Bajo la hipótesis de que la varianza de ε es igual a la unidad.


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Modelo ARCH (q)

• Una extensión del modelo ARCH(1) es el ARCH (q).

yt = εt σt

σ2t = w + α1 y2

t-1 + α2 y2

t-2 +………..+ αq y2

t-q

• El proceso εt

es un proceso idénticamente distribuido, con media nula y

varianza unitaria

Si εt es gaussiano y se distribuye como una normal, yt es

condicionalmente normal y su varianza es σ2t

• Los parámetros han de ser positivos. La suma de αi ha de ser menor

que uno, para garantizar la estacionariedad. w>0, αi >0 i= 1……q, Σαi < 1


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Anexo 1


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Tipo de cambio euro/dólar

Serie original Primeras diferencias


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Histograma primera diferencia


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Correlograma

primera diferencia

Correlograma

variable al cuadrado


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Modelo ARCH(9) Correlograma residuos al

cuadrado modelo ARCH(9)

Hay que probar otro tipo de modelo, ya que sigue quedando significatividad en el

correlograma de los residuos al cuadrado


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Anexo 2


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Al expresar la serie en logaritmos, se observa que permanece el apuntalamiento

y la asimetría

Histograma de la primera diferencia del IBEX en logaritmos

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