E-Learning de les matemàtiques seu informe, Delors (1996) argumentava que les capacitats globals...

11

E-Learning de les matemàtiques

“Una bona notació té tantes subtileses i suggerències que, en ocasions, sássembla a un

mestre vivent” (Russell B. en Diccionari de cites científiques, Alan L. Mackay, CSIC, Edicions

de la Torre, 1992)

Al seu informe, Delors (1996) argumentava que les capacitats globals que permeten el

desenvolupament cultural de les persones a través del fet educatiu són ser, saber, fer i conviure.

Tals capacitats cal conjugar-les amb la característica que millor defineix l´època actual: la necesitat

de realitzar contínues adaptacions i ajustos a aquests quatre amplis camps de desenvolupament

personal, motivats per la canviant societat actual (Velázquez, 2004). En efecte, aquesta època

actual es caracteritza per profunds canvis socials i familiars i una creixent globalització econòmica i

cultural, que genera i se sustenta en el lliure moviment de persones i mitjans de producció i que té

com causa i efecte la fi de léra industrial i láparició de nous models dáprenentatge, de treball i de

relacions laborals. En definitiva, nous models de comunicació i nous comportaments que s´han

desenvolupat i que es mouen al voltant de la denominada societat de la informació .

Però, en què consisteix realment la societat de la informació?

Diu Beltrán (2004) que la societat en la qual un ensenya condiciona de manera directa el contingut

i, sobretot, l'estil d'ensenyament. No és el mateix ensenyar a l'edat medieval que a la societat

industrial, moderna o postmoderna. La societat actual és una societat nova, diferent, en canvi

constant i tan ràpid que tot just queda temps per assimilar els rètols que els experts li van posant

cada cert temps: societat industrial, de la informació, del coneixement... (Beltrán, 2001).

De totes les definicions que actualment conviuen sobre el concepte de societat de la informació

hem seleccionat les següents per la seva aportació de continguts necessaris per emmarcar el

tema de l'educació en aquest model social.

A (Adell, 2001) trobem que el concepte "societat de la informació" fa referència a un conjunt de

transformacions en l'estructura social i econòmica de la societat per les quals la informació i el

coneixement, i les tecnologies relacionades amb la seva adquisició, emmagatzematge,

Capítol

2

1. La societat de la informació i el coneixement

E-Learning de les matemàtiques als IES de Catalunya

12

processament, gestió i distribució es converteixen en el factor primordial de producció i la base de

tota activitat social.

Segons Castells (1998), es tracta d'un "nou sistema tecnològic, econòmic i social. Una economia

en la qual l'increment de la productivitat no depèn de l'increment quantitatiu dels factors de

producció (capital, treball, recursos naturals), sinó de l'aplicació de coneixements i informació a la

gestió, producció i distribució, tant en els processos com en els productes".

Així mateix, Marquès (2006) denomina a la societat de la informació com societat del coneixement,

societat de l'aprenentatge o societat de la intel·ligència però, no obstant això, entre l'una i l'altra

denominació hi ha diferències substancials. Mentre que la informació és una mica extern a la

persona, el coneixement és una construcció personal, intransferible, producte de la interacció

social i deutor d'eines com el llenguatge o d'estructures cognitives prèvies.

A la societat de la informació es destaquen, per sobre de tot, les xarxes de comunicació barates,

obertes i globals i els bancs de dades massius i contínuament actualitzats.

A la societat del coneixement s'accentua el valor de les dades elaborades, integrades en

estructures de sentit, així com la força del coneixement com generador de nous coneixements i,

sobretot, com realitat dinamògena, capaç de crear, canviar i transformar la realitat. D'aquí, l'interès

per la gestió i els gestors del coneixement.

La societat de l'aprenentatge suposa un pas més. Ressalta els contorns d'un sistema cultural en

el qual els individus, per a sobreviure, han d'aprendre al llarg de tota la vida. En aquesta societat

els estudiants assumeixen la responsabilitat del seu propi progrés i la competència personal; saber

compartir els valors i l'esperit d'empresa té un valor igual al dels coneixements teòrics, i

l'aprenentatge es converteix en un compromís de tota la comunitat.

Finalment, la societat de la intel·ligència posa en relleu la idea d'intel·ligència distribuïda i

compartida, ja que els grups com sistemes de comunicació augmenten o disminuïxen la capacitat

dels individus per resoldre problemes o arribar a majors nivells de benestar. Amb l'explosió

tecnològica, la mateixa intel·ligència humana queda potenciada i es converteix en una

intel·ligència ampliada o assistida.

Si fem una anàlisi d'aquestes definicions podem comprovar que una de les característiques

d'aquesta nova societat és la rapidesa del canvi, la velocitat amb la qual es queden obsolets

alguns conceptes i discursos considerats inamovibles. Per tant, la formació no pot acabar en els

anys de joventut i la societat de la informació és la societat de la formació al llarg de tot el cicle

vital.

Cap. 2: E-Learning de les matemàtiques

13

Després de definir la societat actual podem afirmar que estem vivint en l'era de la tecnologia i en la

societat de la informació i el coneixement i els instituts déducació secundària, com formadors, al

costat d'altres institucions, no es poden quedar al marge.

En el context de la societat actual, les institucions d'educació secundària han experimentat un

canvi de certa importància en el conjunt del sistema educatiu: Desplaçament dels processos de

formació des dels entorns convencionals fins a altres àmbits; demanda generalitzada que els

estudiants rebin les competències necessàries per a l'aprenentatge continu; comercialització del

coneixement, que genera simultàniament oportunitats per a nous mercats i competències en el

sector, etc. (Salinas, 2004).

Els centres d'ensenyament i el professorat han de reconèixer aquests canvis i respondre a les

necessitats que produeixen. Per adaptar-se a la nova societat de la informació, els instituts han de

redefinir els seus plans d'estudis incloent nous ensenyaments i noves assignatures (Ballester,

2001).

Per fer front a aquestes variacions en el seu funcionament, en les seves actuacions i en els

resultats que s'esperen, les institucions d'educació secundària disposen d'un valuós recurs: Les

Tecnologies de lÁprenentatge i el Coneixement –TAC- (Sangrà i González, 2004). El repte està

en com integrar convenientment les TAC a lénsenyament.

És en aquest context, i gràcies de l'aparició de les TAC, que es crea un nou panorama en el qual

els instituts es veuen redefinits, alhora que sorgeix un nou tipus d'institució, l'educació on-line que,

a continuació, anem a analitzar.

A continuació, i com principal objectiu d'aquest capítol, realitzarem una anàlisi de la situació actual

de l'e-learning i posteriorment concretant en l'e-learning de les matemàtiques a fi d'establir el marc

teòric en el qual desenvoluparem la investigació. Per a això partirem dels punts d'observació

tractats anteriorment: (a) la societat de la informació i el coneixement, (b) els instituts d'educació

secundària i (c) el procés d'ensenyament/aprenentatge de les matemàtiques i realitzarem un

3. Aprendre al context institucional de la societat

de la informació i el coneixement: e-learning

2. Léducació secundària a la societat de la

informació i el coneixement


14

avanç piramidal; això és, partint d'un nucli inicial format pels anteriors conceptes analitzarem l'e-

learning de les matemàtiques, tal com es mostra en la Figura 2.1.

Figura 2.1: Avanç piramidal dels punts dóbservació tractats en aquest capítol

Per respondre a la qüestió de com aprendre al context actual trobem que cal que fer una distinció:

aprendre de la tecnologia i aprendre amb tecnologia (Beltrán, 2003) ja que ambdues modalitats

sútilitzen amb diferents finalitats.

L'exemple més il·lustratiu és el conegut com ensenyament assistit per ordinador (EAO) –també

anomenat “aprenentatge assistit per ordinador” (AAO)-. Popularment, un sistema dÉAO és una

mena de llibre automàtic (García, Martínez i Miñano, 2000). La metàfora que hi ha darrere

d'aquest model és la de l'ordinador substituint al professor en el procés d'aprenentatge de

l'alumne. De la mateixa manera que, abans, l'alumne aprenia del professor, també pot ara

aprendre de l'ordinador.

L'ensenyament assistit per ordinador consisteix en la utilització de programes específics

dissenyats per instruir i orientar a l'alumnat sobre aspectes concrets en les diverses matèries i

continguts de l'ensenyament (Pontes, 1999). L'aplicació didàctica de l'ordinador en l'ensenyament

que té major interès consisteix en la utilització de programes específics per al desenvolupament de

3.1. Aprendre de les TAC–Ensenyament assistit per ordinador (EAO)

Societat de la

informació i el

coneixement

Instituts

dÉducació Secundària

Procés dénsenyament i aprenentatge

de les matemàtiques

e-learning de les matemàtiques

als IES de Catalunya


15

diversos aspectes d'una disciplina concreta, l'ús de la qual no requereixi coneixements informàtics.

Tals instruments reben el nom genèric de programes instruccionals, encara que en realitat es

poden distingir diferents tipus de programes en funció de les característiques dels mateixos, els

objectius didàctics que persegueixen i les teories educatives en les quals es fonamenten.

Tanmateix, cal indicar léxistència dún important problema de fonamentació didàctica (Vaquero,

1992). Durant molt temps es va considerar a lÉAO com una forma d'ensenyar programada lligada

al paradigma psicopedagògic conductista, per la qual cosa es prestava poca atenció als processos

cognitius del subjecte que aprèn. En aquesta perspectiva didàctica, encara vigent en la majoria

dels programes instruccionals, l'ordinador s'utilitza com transmissor de continguts didàctics,

substituint al professor i al llibre de text com mitjans d'informació, de manera que el programa

d'ordinador controla la presentació d'informació i el desenvolupament de les activitats d'instrucció,

però la interacció de l'alumne amb el programa queda restringida a la recepció de coneixements

elaborats i a la utilització d'aquesta informació en tasques d'avaluació del coneixement adquirit. És

per això que, en l'actualitat, aquest tipus d'ensenyament està en desús i, en conseqüència, no

tractarem aquest tema en la investigació.

Si aprendre de la tecnologia, com hem vist, suposa que la tecnologia es converteix en “un

magatzem” de coneixements, com el llibre, o en una font de transmissió de coneixements, com el

professor, i la seva finalitat, per tant, es redueix a substituir al professor o als llibres, aprendre

“amb tecnologia” implica una concepció diferent de la tecnologia, interpretant-la com instrument

cognitiu. El que subjeu sota aquesta nova denominació és una concepció constructivista de la

tecnologia al servei de l'aprenentatge significatiu, en el que l'alumne va construint el seu propi

coneixement (Beltrán, 2004). Un dels camps més assentats de láprenentatge amb TAC és

lánomenat e-learning.

El concepte d´ e-learning es defineix de moltes formes diferents i, fins i tot, sovint, es pot entrar en

una certa controvèrsia ja que mentre Cordón (2004) argumenta que, entre les múltiples aplicacions

d'Internet, l'e-learning es defineix com el procés d'ensenyament a distància (no presencial) basat

en una plataforma d'aprenentatge virtual cooperativa i rica en recursos didàctics, i en un nou

model educatiu centrat en l'alumne, Garrison i Anderson (2005) entenen per e-learning l'educació

facilitada on-line mitjançant tecnologies en xarxa i, per a ells, l'e-learning no exclou altres

tecnologies ni enfocaments, incloses les experiències educatives presencials.

3.2. Aprendre amb les TAC – e-learning


16

Elena Barberà al seu llibre titulat Aprender e-learning (2008) argumenta que, basant-se en els

seus antecedents i en termes generals (Keegan, 1996), séntén per e-learning una modalitat

formativa en la qual s'utilitzen mitjans didàctics per aprendre un contingut concret en el marc d'una

institució i que aquesta formació es realitza per mitjans electrònics, ja que existeix entre el

professor i l'alumne una separació física (i possiblement temporal, encara que no necessàriament).

La mateixa autora prossegueix amb la idea que l'e-learning no consisteix en consultar pàgines

d'Internet, sinó que es basa en un procés formatiu que ha de ser planificat, organitzat, seguit,

donat suport i valorat servint-se dels mitjans necessaris per fer possible una comunicació el més

completa possible entre aprenent i docent. El mitjà que materialitza aquesta comunicació és

comúnment l'ordinador, que està connectat en xarxa, encara que avui en dia existeixen diferents

aparells que realitzen les mateixes funcions, fins i tot amb connexió sense fil. Així doncs, a un

costat tenim una institució a la qual normalment està vinculada el professor, consultor o tutor que

exercirà la docència i, a l'altre, a l'alumne, disposat a aprendre el contingut que s'imparteixi.

Així mateix, el Pla d'Acció de la Comissió Europea identifica l'e-learning amb la utilització de noves

tecnologies multimèdia i Internet per millorar la qualitat de l'aprenentatge facilitant l'accés als

recursos i serveis, així com als intercanvis i la col·laboració a distància (E-learning Action Plan,

2001).

Igualment existeixen definicions que obren léspectre de lé-learning a pràcticament qualsevol

procés relacionat amb educació i tecnologies, com per exemple la definició de lÁmerican Society

of Training and Development [2.1] que el defineix com “terme que cobreix un ampli grup

d'aplicacions i processos, tals com aprenentatge basat en web, aprenentatge basat en ordinadors,

aules virtuals i col·laboració digital. Inclou lliurament de continguts via Internet, àudio i vídeo,

enregistraments, transmissions satèl·lits, TV interactiva, CD-ROM i més”. García ho defineix com

la “capacitació no presencial que, a través de plataformes tecnològiques, possibilita i flexibilitza

l'accés i el temps en el procés d'ensenyament-aprenentatge, adequant-los a les habilitats,

necessitats i disponibilitats de cada discent, a més de garantir ambients d'aprenentatge

col·laboratius mitjançant l'ús d'eines de comunicació síncrona i asíncrona, potenciant en suma el

procés de gestió basat en competències” (García, 2005).

Així mateix, Rosenberg (2001) afirma que pot definir-se com "l'ús de tecnologies basades en

Internet per proporcionar un ampli ventall de solucions que conjuminin a ládquisició de

coneixement i habilitats o capacitats".

Aquest autor estableix que existeixen tres criteris que han de complir-se per poder aplicar

correctament aquest terme:


17

a) que es realitzi on-line, el que permet una actualització immediata, emmagatzematge i

recuperació, distribució i poder compartir els continguts i la informació;

b) que es faci arribar a l'usuari final a través d'un ordinador utilitzant estàndards tecnològics

d'Internet, i

c) que estigui centrat en la més àmplia visió de solucions a l'aprenentatge que vagin més

enllà dels paradigmes tradicionals de la formació.

Encara que no entrarem en qüestions sobre quina és la definició i nomenclatura més adequades

(s'emprenen molts mots per referir-se a lé-learning tals com “ensenyament virtual ” (Cordón,

2004), “teleformació ” (Cordón, 2004), “ensenyament a través dÍnternet ” (Cordón, 2004),

“ensenyament on-line” (Garrison, 2005), “e-formació ” (García, 2005) o “ensenyament digital ”

(Granger, 2004)), en aquest treball ens centrarem en prendre com a referència la lárrel de la

paraula e-learning, la traducció literal de la qual seria “aprenenatge electrònic ”, i com a tal, el

definirem en el seu concepte més ampli que pot comprendre qualsevol activitat educativa que

utilitzi mitjans electrònics per realitzar tot o pa rt del procés formatiu 1.

El marc referencial en el que es basa el model educatiu de lé-learning és doble:

• Per una banda està lánomenat triangle de l´ e-learning (Lozano, 2004), mostrat a la

Figura 2.2, format per la tecnologia (plataformes, campus virtuals…), els continguts (la

qualitat i léstructura dels mateixos es prenen com elements cabdals per a l'èxit d'una

iniciativa d'e-formació) i els serveis (sent l'element que engloba l'acció dels professors,

elements de gestió, elements de comunicació, elements d'avaluació…). Variant el pes

d'aquests tres components s'obtenen diferents models d'e-learning, d'igual forma que

variant les variables i recursos amb els quals compta un professor s'obtenen diferents

polítiques de docència presencial.

Figura 2.2: Triangle de lé-learning segons Lozano (2004).

1 Al concepte dé-learning conflueixen tants aspects i tan variats que, malgrat que existeix la traducció directa i clara al nostre idioma, s´ha mantingut létiqueta en anglès (Barberà, 2008). A banda dels diferents apel·latius, la por a no ser completament entesos i el risc a no abastar tot el que suposa el terme ha forçat a molts col·lectius a adoptar aquest concepte a lánglès.

Tecnologia Continguts Serveis


18

• Per altra banda apareix la transformació del triangle “alumne-professor-coneixements”

(Figura 2.3) en el que es consideren les relacions mútues al voltant dels vèrtexs al romb

constituït per “alumne-tutor-coneixements-autor” (Albano, 2005).

Figura 2.3: Transformació del triangle “alumne-professor-coneixements” en el romb “alumne-tutor-coneixemnts-autor”

segons Albano (2005).

Fixem-nos que a la nova figura no apareix la figura del professor que, òbviament, està

present en el procés d'aprenentatge al ser l'encarregat de generar els continguts didàctics

(autor) i de guiar a l'alumne en el seu procés d'aprenentatge (tutor) a fi de destacar encara

més la posició central de l'alumne en el procés.

Així, l'e-learning no consisteix en una metodologia sinó en una modalitat d'aprenentatge que

aglutina moltes dimensions que s'han d'entendre en conjunt, com una constel·lació d'elements que

s'influeixen uns a uns altres, i no de manera solitària (Barberà, 2008). Per tant, aquesta

metodologia comporta un model educatiu propi, amb diversos canvis destacats del model clàssic

d'aprenentatge presencial que a continuació s'enumeren.

Aprenentatge tradicional per transm

issió

Lineal, seqüencial/serial Aprenentatge amb hipermèdia

Aprenentatge interactiu

Instrucció Construcció / descobriment

Centrat al professor Centrat a la persona que aprèn

Absorció de materials Aprendre com aprendre

Escola Tota la vida

Sájusta a tothom Personalitzat

Léscola com tortura Léscola com lloc divertit

El professor com transmissor El professor com facilitador

Figura 2.4: Canvi de láprenentatge per transmissió a láprenentatge interactiu

per Escribano, Sánchez, González i Joyanes (2003).

Professor Autor Amb lárribada de lé-learning es transforma en Tutor Alumne Alumne Coneixements Co neixements


19

Tal com es plasma a les (Figura 2.5) i (Figura 2.6), el tradicional ensenyament presencial, centrat a

la lliçó magistral en la qual el professor té el paper principal es transforma en un model

d'ensenyament virtual en el qual l'alumne és l'element actiu al que se li posen a disposició una

sèrie d'elements perquè pugui gestionar el seu propi procés formatiu (Cordón, 2004).

Figura 2.5: Model d´ensenyament tradicional centrat en el professor

PROFESSOR

Referències bibliogràfiques

Transparències i

videos

Lliçó

magistral

Treballs i

projectes

Exercicis a classe

ALUMNE


20

Figura 2.6: Model dénsenyament virtual centrat en lálumne

Amb tot, tal com explica Barberà (2008), el futur sembla que no està en el desenvolupament de

processos d'e-learning “purs”, on professors i alumnes no es veuen mai, sinó en la combinació

d'aquesta modalitat amb l'ensenyament presencial (com és el cas que es dóna als instituts

d'educació secundària). Es tracta dels cursos presencials que incorporen la tecnologia en el

desenvolupament de les seves sessions d'aprenentatge. A aquest tipus d'ensenyament combinat

també se li ha donat el nom d'ensenyament mixt, bimodal, híbrida, semipresencial, entre uns

altres, i en anglès es coneix per blended learning o b-learning. Ara bé, prossegueix l'autora,

aquests cursos no utilitzen sempre el mateix tipus de tecnologia per al desenvolupament del seu

ensenyament, ni en el mateix grau. És per això que Barberà diferencia els tipus de models de

cursos depenent de la presència de les TAC i que es resumeix en el següent quadre:

Referències bibliogràfiques

on-line

Continguts virtuals

Enllaços a pàginas web

Treballs i projectes

Exercicis dáutoavaluació

PROFESSOR

ALUMNE


21

MODELS DE CURSOS SEGONS PRESÈNCIA DE TAC

Presència de TA C Model de curs

Total (100%) Curs on-line

Alta (+50) Curs amb ascendència on-line

Moderada (50%) Curs equilibrat

Baixa (-50%) Curs ascendència presencial

Inexistent (0%) Curs presencial

Taula 2.1: Diferents models de cursos segons presència de TAC diferenciats per Barberà (2008).

Al marge dels cursos extrems (on-line i presencial) que es poden considerar “purs” en el

compliment de cadascuna de les seves modalitats en ensenyament, la resta de casos tenen una

sèrie de característiques pròpies que la mateixa autora desglossa i que considerem important i a

continuació exposem.

1. Els cursos amb ascendència on-line es caracteritzen per:

• Incorporar a les classes presencials un conjunt important de mitjans comunicatius

(xats, debats virtuals, videoconferències, etc.) i activitats diferents (recerca

d'informació, casos, resolució de situacions reals, consultes autèntiques, etc.) en

relació amb els objectius compartits a les classes presencials.

• Tenir una interactivitat telemàtica entre els agents educatius, professor i

estudiants.

• Tenir una elevada funcionalitat dins d'un disseny àgil d'activitats i potencialment

canviant.

• Tenir múltiples espais comunicatius plasmats en els entorns virtuals amb relacions

secundàries cap als espais presencials.

• Tenir una ràtio moderada d'alumnes si s'enfoca a la creació de xarxes

d'aprenentatge.

• Estar dirigits al desenvolupament d'habilitats generals, com la indagació, la

creació, la valoració i la predicció.

2. Els cursos equilibrats es caracteritzen per:


22

• Incorporar a les classes presencials dos o tres mitjans comunicatius

complementaris.

• Facilitar una interactivitat mixta entre els agents.

• Tenir un disseny equilibrat entre activitats presencials i electròniques i una alta

relació o complementarietat entre elles.

• Dividir els espais comunicatius que precisen relació entre ells.

• Tenir una ràtio mitja/alta d'estudiants.

• Estar dirigits al desenvolupament d'habilitats generals, com l'argumentació,

l'observació, la consulta i la comparació.

3. Els cursos amb ascendència presencial es caracteritzen per:

• Seleccionar un mitjà paral·lel o complementari a les classes presencials.

• Tenir una interactivitat afegida de caràcter opcional que cobreix un percentatge

baix del curs.

• Tenir un disseny dominant d'activitats presencials davant les activitats virtuals i

una relació d'ampliació o complementarietat entre elles.

• Tenir una ràtio alta d'estudiants.

• Tenir espais comunicatius preferentment presencials amb connexions febles o

escasses cap als espais virtuals.

• Estar dirigits al desenvolupament d'habilitats generals, com la comparació,

l'aplicació i la reproducció.

Si es mira des d'un curs totalment presencial, els cursos bimodals tenen per objectiu augmentar el

temps de contacte educatiu mitjançant l'increment de les possibilitats d'interacció entre professors i

estudiants. Per la seva banda, si la mirada es realitza des d'un curs totalment virtual els cursos

mixts tenen com objectiu agilitzar i incrementar la qualitat de la interacció virtual afegint espais de

relació cara a cara amb els estudiants (Barberà, 2008). En conseqüència, el nucli per a la

planificació d'un curs bimodal és el tipus de relació que es vol establir entre les dues modalitats

d'ensenyament (Barberà, 2004).

L'aplicació de les TAC’s als processos d'ensenyament i aprenentatge, així com els canvis en els

models pedagògics, s'han vist plasmats en els entorns virtuals d'aprenentatge (EVA).

Les plataformes d' e-learning són sistemes informàtics en els quals es donen suport els EVA.

Aquests solen basar-se en la web i inclouen eines adaptades a les necessitats de la institució per

a la qual es desenvolupen o adapten. A l'actualitat, conviuen plataformes estandarditzades (que,


23

així mateix, permeten l'adaptació a situacions concretes) amb unes altres que són completament

personalitzades (Biblioteca Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, 2005).

Les plataformes estandarditzades oferixen eines genèriques que permeten l'adaptació a la situació

de cada individu, responent a les necessitats del seu espai formatiu particular mitjançant certes

possibilitats de personalització. Actualment entre les més conegudes i usades per les institucions

educatives que han decidit integrar les TAC’s en el seu model pedagògic destaquen Web Course

Tool (WebCT) [2.2], Blackboard [2.3], eCollege [2.4], Moodle [2.5], Basic Support for Cooperative

Work (BSCW) [2.6], plataforma especialment dirigida als procesos col·laboratius a la xarxa, BSCL

[2.7], adaptació del BSCW al món docent, entre d´altres.

Com hem vist, els entorns d'aprenentatge es veuen abocats cap a importants transformacions.

Pensem que l'efectivitat dels entorns virtuals d'aprenentatge reposa sobre una planificació eficaç

que tingui en compte aspectes com la localització de la informació, atès que està repartida, la seva

actualització i grau d´obsolència, el seu format i la seva estructura.

Una vegada acceptada la possibilitat d'utilitzar ordinadors i les seves aplicacions com recurs per a

l'ensenyament passem a considerar, en aquesta secció, l'aprenentatge “electrònic” ( e-learning)

dins l'àmbit de les matemàtiques .

Són molts els autors que apunten que fa anys que els ordinadors estan ajudant a “fer2

matemàtiques” (García, Martínez i Miñano, 2000; Devlin, 2003; Guzdial, Ludovico, Realff, Morley,

Caroll i Ladar, 2001; Tay, 2005; Wang, Swanson i Lam, 2001) i resulta evident per a tots la utilitat

de les TAC a les matemàtiques donada la incorporació d'eines de càlcul simbòlic al quefer

matemàtic de científics i enginyers.

Fent una revisió de la literatura existent sobre el tema objecte de la investigació s'observa que,

actualment, l'aprenentatge “electrònic” de les matemàtiques (l'e-learning de les matemàtiques)

està format, fonamentalment, per:

• assistents matemàtics

• recursos per a matemàtiques en Internet

2 En aquest sentit, “fer matemàtiques” es refereix a desembolicar-se amb soltesa i domini entre els conceptes matemàtics; això és, saber usar el llenguatge matemàtic per a resoldre problemes, criticar arguments, plantejar situacions, construir conceptes nous, etc.

4. e-learning de les matemàtiques


24

Les aplicacions matemàtiques requereixen una barreja de càlculs numèrics i manipulacions

algebraiques sobre fórmules matemàtiques. És molt freqüent trobar-se amb problemes

matemàtics, dels quals se sap que tenen solució, però l'obtenció efectiva d'aquesta és inaccessible

per la complexitat dels càlculs algebraics que involucra. El càlcul simbòlic és la solució. Es tracta

de la tecnologia especialitzada en la manipulació automàtica de fórmules, vectors, matrius... amb

elements numèrics i/o simbòlics sorgida per donar resposta automàtica, ràpida i eficaç, a la

realització d'operacions algebraiques, freqüentment tedioses, al desenvolupament d'expressions

polinòmiques, a la diferenciació formal, al càlcul matricial amb elements numèrics i simbòlics, etc.

Els assistents matemàtics són eines desenvolupades en els últims anys que estan modificant la

forma de fer matemàtiques. No estan dissenyades amb fins docents, sinó amb la fi primordial

d'ajudar a resoldre els problemes matemàtics que apareixen en qualsevol treball científic o

tecnològic. Aquest grup d'eines està format per les calculadores científiques, les calculadores

gràfiques i una gran quantitat de programari matemàtic.

Segons (García, Martínez i Miñano (2000) els requisits que s´han de valorar en un assistent

matemàtic són:

• Facilitat d'ús . No és possible dedicar una quantitat significativa de temps a aprendre a

utilitzar l'eina per la qual cosa és imprescindible que aquesta sigui molt senzilla d'usar.

• Interactivitat . Si el que es pretén és la realització d'experiments matemàtics és

imprescindible que el sistema sigui àgil i que s'obtingui els resultats de manera immediata.

• Bona presentació dels resultats . De vegades els resultats de càlcul algebraic poden ser

llargs i és important que la seva presentació faciliti el seu reconeixement; a més és bo que

aquests resultats es puguin reutilitzar en càlculs posteriors.

• Capacitats de programació . Es pot donar el cas, especialment en estudis universitaris,

que els estudiants programin els seus algorismes i, en aquest cas, és bo que el sistema

disposi de capacitats de programació.

• Pocs requeriments de maquinari . És imprescindible que l'eina triada s'adapti a les

màquines disponibles.

En general, i fent un repàs de les prestacions que tot assistent matemàtic presenta, les

possibilitats que aquests oferixen són les següents:

• Operacions amb enters, racionals, reals i complexos en aritmètica de precisió il·limitada.

• Manipulació de variables, fórmules i expressions algebraiques.

• Operacions amb polinomis i funcions racionals.

• Càlcul amb matrius d'elements numèrics i/o simbòlics.

4.1. Assistents matemàtics


25

• Resolució d'equacions (algebraiques, diferencials,…)

• Anàlisi: derivació, desenvolupaments en sèries, etc.

• Integració.

• Càlcul de límits.

• Representació gràfica de funcions.

Encara que existeixen nombrosos assistents o paquets matemàtics i estadístics (i és gairebé

impossible nomenar-los tots), uns dels més coneguts i utilitzats a l'actualitat són Reduce,

Macsyma, Maple, Mathematica, Matlab, Cabri Geometre, Spss, Statistica, Statgraphics, fulls de

càlcul (Excel), Microcal Origin, Mathcad, Wiris, Minitab, calculadores científiques, calculadores

gràfiques, Gnu Octave, Gnu Plot3, etc.

L'ús dels assistents matemàtics en l'ensenyament de les matemàtiques ofereix una sèrie

d'avantatges i desavantatges que és necessari tenir presents i que García, Martínez i Miñano

(2000) enumera:

Avantatges

• Possibilitat d'experimentar amb les matemàtiques en ser possible variar les dades inicials

i, gràcies a la potència de càlcul, obviar les dificultats amb les operacions.

• Possibilitat de reflexionar i analitzar els resultats obtinguts en ser possible dedicar menys

temps a la realització de càlculs rutinaris.

• Possibilitat de treballar autònomament, adequant l'estudiant el seu ritme de treball a la

seva situació personal. No obstant això, cal destacar que també afavoreix el treball en

equip.

• Finalment, tan sols assenyalar com avantatge la motivació però, tal com diuen els autors,

cal que aquest fet sigui conjuntural ja que l'atractiu motivador de l'ordinador es pot deure,

entre altres coses, al seu caràcter de “joguina nova”.

Desavantatges

• Una desavantatge de l'ús d'assistents matemàtics en l'ensenyament de les matemàtiques

té el seu origen en el propi atractiu de l'eina: Pot succeir que l'alumne se centri més en el

propi programa de l'ordinador que en el problema matemàtic. Per als alumnes sol ser més

atractiu investigar l'ús del programa que entendre el concepte matemàtic.

• Una altra desavantatge és la pèrdua de destreses bàsiques. Es pot donar el cas d'un ús

abusiu del programa i que l'alumne realitzi operacions tan senzilles com, per exemple, el

producte de 3 per 4, ajudat per l'ordinador.

3 Aquests dos últims pertanyen a Open Source


26

• Amb l'ús d'un assistent matemàtic es perd, a més, el sentit de la dificultat del problema (la

màquina ho fa tot). L'alumne pot arribar a convertir els assistents matemàtics en alguna

cosa “màgica” que usa sense saber ni entendre com funcionen.

• Per altra banda, l'alumne sol tenir confiança cega en la màquina, la qual cosa pot afavorir

la pèrdua del sentit crític.

Així mateix, els mateixos autors reflexionen sobre les possibles solucions que es podrien

proporcionar per evitar els desavantatges anteriorment esmentats. Una d'elles seria prendre el que

denominen “solució de l'estruç”, això és, prohibir l'ús d'assistents matemàtics en la resolució de

problemes amb la finalitat de què l'alumnat, amb al realització de càlculs, desenvolupi la seva

capacitat mental.

No obstant això, és evident l'absurd d'aquesta solució per la seva falta de realisme: Els ordinadors

existeixen i cal conviure amb ells. Potser la millor solució seria replantejar l'enfocament de

l'ensenyament de les matemàtiques tenint en compte aquest realitat: És necessari fer càlculs a mà

però cal emfatitzar més les idees que les rutines de càlcul. Cal ensenyar els mètodes algorítmics

de resolució de problemes però és imprescindible que l'alumne els porti a terme entenent molt

clarament el que es fa a cada pas.

L´exponent màxim de l´actual societat és Internet, la xarxa de xarxes por antonomàsia (Velázquez,

2004). En general, els serveis que ofereix als individus són dos: informació i comunicació

(Marín, 2004). Des del punt de vista de l'ensenyament, Internet, tant per al docent com per al

discent, per mitjà de la informació, facilita un reciclatge continu, documents de consulta,

d'ampliació de coneixements. I mitjançant la comunicació proporciona la participació de l'alumnat

en experiències educatives virtuals (amb xats, llistes de distribució, etc.) així com permet una

comunicació privada (amb el correu electrònic).

A Internet existeix un considerable nombre de llocs que inclouen recursos matemàtics, la majoria

dels quals fan referència a nivells d'ensenyament secundari i primària. Si realitzem una recerca

d'aquests podem comprovar que, d'una banda, estan el que Ramírez i Santos (2004) han optat per

denominar “buscadors matemàtics ” (per exemple, “recursosmatemáticos” [2.8]) que simplifiquen

la búsqueda a Internet de pàgines sobre matemàtiques.

I, per altre costat, estan les “plataformes matemàtiques ” (un model és la plataforma SEPAD

[2.9]) que faciliten l'aprenentatge virtual de la matemàtica. Dintre d'aquestes plataformes trobem

simuladors, jocs educatius, programes tutorials… majoritàriament dins d'un nivell no universitari.

4.2. Recursos per a matemàtiques a Internet


27

També cal destacar pàgines web amb

informació tal com DIVULGAMAT (Centro

Virtual de Divulgación Matemática [2.10])

(Figura 2.7), portal creat per la Comissió de

Divulgació de les Matemàtiques de la Reial

Societat Matemàtica Espanyola (RSME) amb

la finalitat de millorar l'actitud social cap a les

matemàtiques, desenvolupar la cultura

matemàtica de la societat, desfer el tòpic de

ciències/humanitats, divulgar la investigació

matemàtica que es desenvolupa a Espanya i incrementar i fomentar les vocacions matemàtiques,

entre altres objectius . Davant la situació de l'estat actual de les matemàtiques després d'analitzar

informes com PISA, TIMSS, OCDE i INCE aquesta Comissió va dissenyar una estratègia per

desenvolupar diferents activitats a mitjà i llarg termini de les quals el portal DIVULGAMAT és part

essencial.

Esment a part és la pàgina web del projecte e-math de la UOC que, en la següent secció, anem a

analitzar.

Així, pel que hem vist fins al moment, els àmbits d'aportació que les TAC oferixen a l'ensenyament

de les matemàtiques es concreten en una sèrie de funcions que contribueixen a facilitar la

realització dels treballs matemàtics . En efecte, assenyala Velázquez, qualsevol tasca

matemàtica, sigui la que sigui, requereix com matèria primera la informació per poder realitzar-la

(recurs d'informació present a Internet), el processament de la informació obtinguda (mitjançant

un assistent matemàtic ) i, la majoria de les vegades, la possibilitat de consultar el que fa o

comunicar els resultats a altres persones (recurs de comunicació d'Internet) (Velázquez, 2004).

A les seccions anteriors s'ha donat una visió general dels efectes de la incorporació de les TAC en

l'ensenyament on-line de les matemàtiques. Les idees comentades són fruit de l'experiència i els

treballs desenvolupats per un gran nombre d'investigadors educatius i professors en els últims

anys.

Figura 2.7: Portal d´accés a DIVULGAMAT, el Centre de Divulgació de la Matemàtica

4.3. Experiències en e-learning de les matemàtiques


28

En aquesta secció es presenten els resultats d'algunes de les experiències concretes que fan ús

de les noves eines (TAC) per reorientar l'ensenyament de les matemàtiques. Tampoc pretenem en

aquesta síntesi revisar i analitzar tota la investigació existent en aquesta matèria, una mica més

que herculi. El nostre propòsit és més modest en el seu abast encara que igualment ambiciós.

La investigació educativa és un camp complicat on la incidència concreta d'un sol factor és difícil

de determinar per la gran varietat dáspectes que intervenen en el procés educatiu, especialment

factors humans. Per això, suggerim que els resultats que es presenten aquí es considerin dins del

seu context i circumstàncies concretes.

De la revisió realitzada podem afirmar que no existeixen molts estudis sobre la incidència de l'ús

de les TAC a l'ensenyament virtual de les matemàtiques en l'ambient educacional, ja que

predominen alguns treballs referents a l'ús i incorporació de les TAC en l'educació primària i

secundària4 (Cases i Torrescasana, 2007; Sevillano, Pascual i Bartolomé, 2007) però a nivell

general, no concretant en el tema de les matemàtiques. No obstant això, malgrat l'escassetat de

treballs, assenyalarem alguns casos realitzats en els últims anys i que il·lustren treballs virtuals en

curs.

Compartim l'afirmació que fa el Grupo 1005 (2001) en què manifesta que “les primeres

experièncias de treball a distància no usaven més que elements simuladors de treball presencial,

amb láparició de les TIC6 es va obrir una nova via que s´ha anat implantant molt lentament a

lénsenyament”.

Comecen exposant els resultats dálguns estudis sobre l´ús de lórdinador a lénsenyament de la

geometria. En aquesta àrea destaca el treball de Laborde (1992). Per a ella, el gran valor de les

noves tecnologies radica a ampliar el ventall de manipulacions possibles i el de la visualització.

Pel que fa a les possibilitats de manipulació de figures geomètriques, destaca la capacitat de

programes com el CABRI-GEOMETRE de reproduir i/o variar de forma contínua els dibuixos que

apareixen a la pantalla. Aquesta capacitat és una potent eina per verificar la validesa de

construccions o propietats que es poden haver observat a ull. L'exploració dinàmica d'una figura, o

de la construcció de la mateixa, posa en evidència els invariants o l'absència dels mateixos, i porta

a què els alumnes es plantegin el per què dels resultats obtinguts.

4 En efecte, per al·lusió podem citar que, des de fa uns anys el grup INTERMAT [2.11], amb professors de Catalunya, Brasil i La Rioja, desenvolupa i implementa sistemes dénsenyament-aprenentatge amb multiagents per a léducació matemàtica de persones en situacions especials, com els estudiants hospitalitzats o esportistes que están un temps fora del recinte escolar habitual. 5 El Grupo 100 està format per Elena Barberà, Antoni Badia i A. Mominó de la UOC; Joaquim Jiménez i Núria Rosich de la Universitat de Barcelona. 6 Ells fan referència a les TIC com a Tecnologies de la Informació i la Comunicació que és el que equivaldria a les TAC que nosaltres hem anat anomenant al llarg del treball.


29

Pel que respecta a les possibilitats de visualització, Laborde destaca la seva utilitat com eina de

verificació de resultats i com font d'experimentació, que permet a l'alumne elaborar les seves

conjectures, contrastar-les i avançar en la resolució d'un problema.

Malgrat aquests aspectes positius, prevé contra el risc de caure en la utopia de creure que els

alumnes es transformen espontàniament en experts geòmetres sense més que posar-los en

contacte amb aquests programes. Per això, considera fonamental tenir en consideració els

següents aspectes:

• La qualitat dels programes utilitzats, tant en els seus aspectes numèrics com geomètrics,

de manera que no duguin a contradiccions amb la teoria matemàtica.

• La interactivitat, facilitat de manipulació, així com claredat i rapidesa en la presentació de

resultats.

• El coneixement per part del professor de les possibilitats i dels límits del programa, de

manera que les activitats proposades als alumnes permetin treure-li el màxim partit

possible sense enterbolir la comprensió de les matemàtiques.

• L'organització de la docència: disseny de noves activitats, condicions d'ús del programa,

plantejament de nous objectius docents, etc.

Un altre estudi interessant sobre l´ús de lórdinador a lénsenyament de la geometria és el fet per

Hillel, Kieran i Gurtner (1989). La seva experiència es basa en l'ús del llenguatge LOGO, però en

les seves conclusions mostren alguns aspectes extrapolables a l'ús d'altres eines informàtiques.

Igual que Laborde, prevenen contra la idea que la mera interacció alumne-ordinador sigui

beneficiosa. En concret, el seu estudi se centra en l'anàlisi de la incidència en la matematització de

problemes geomètrics.

Com aspectes positius de l'ús de l'ordinador destaquen la major motivació de l'alumne per ser

constant en la seva recerca de la solució d'un problema (significativament major que quan ho resol

a mà). A més, s'observa que els bloquejos en aquest procés són menys freqüents, havent una

major capacitat de resposta davant resultats estranys.

No obstant això, aquest últim aspecte també té el seu costat negatiu. En efecte, la resposta davant

lóutput de l'ordinador és més ràpida però, en general, es realitza sense l'anàlisi necessària sobre

la naturalesa del problema. L'alumne actua com un home pràctic, busca l'eficiència no el rigor, vol

arribar a una solució més que adquirir un coneixement.

En aquest mateix sentit, també observen que, si bé els alumnes guanyen en intuïció geomètrica,

aquestes estratègies visuals no condueixen a la matematització dels problemes que els professors

desitgen; més encara, poden ser una barrera per desenvolupar nivells d'abstracció superiors en el

pensament geomètric.


30

Per compensar aquestes deficiències, proposen acompanyar l'ús de l'ordinador amb altres

metodologies, tradicionals, que aportin aquests aspectes més formals a l'aprenentatge.

Considerant ara l´àmbit de l´anàlisi matemàtic, un dels investigadors més destacats de la

incidència de la visualització en l´aprenentatge és David Tall (1986), (1992). En els seus treballs

sol recolzar-se en programes gràfics específicament dissenyats. Destaquen les seves

investigacions sobre la presentació de la derivabilitat d'una funció en un punt com la linealitat local

d'una funció, sent aquesta observada mitjançant adequats canvis d'escala. Va realitzar també

proves relatives a representacions gràfiques de les derivades de diverses funcions, conegudes les

seves gràfiques, i el problema invers, identificar la gràfica d'una funció donada la gràfica de la seva

derivada.

Les seves conclusions són clarament favorables a l'ús d'eines gràfiques en el sentit que milloren la

comprensió geomètrica dels conceptes sense disminuir les capacitats de treball formal.

Tanmateix, en un dels seus darrers treballs, Monaghan i Tall (1994), assenyalen la conveniència,

en molts casos, del treball previ amb llapis i paper per ser capaç de visualitzar en les gràfiques

aquells aspectes que es volen estudiar. També puntualitzen la importància del professor en el

disseny de les activitats adequades a la maduresa matemàtica dels estudiants i a les potencialitats

de l'eina que estigui utilitzant.

Els autors distingeixen tres maneres d'ús d'eines informàtiques per part de l'alumne. En la manera

interactiva l'alumne imita físicament, de forma simplificada, les operacions que realitza l'ordinador

(és la forma usual de treballar amb LOGO). La manera de procediments emfatitza la imitació dels

processos relacionats amb els mètodes matemàtics, utilitzant-se l'ordinador per realitzar

operacions rutinàries (és el més recomanat a nivell de secundària i en particular per introduir els

conceptes i mètodes de l'anàlisi matemàtic). Finalment, el més avançat és la manera simbòlica,

típic dels sistemes de càlcul simbòlic, que permet usar l'ordinador com caixa negra per solucionar

un ampli rang de problemes matemàtics.

Precisament aquesta última manera és el que centra gran nombre dels experiments actuals. La

capacitat dels sistemes de càlcul simbòlic (SCS) de realitzar molts dels càlculs considerats

fonamentals en l'ensenyament actual de les matemàtiques i la seva cada vegada més àmplia

accessibilitat, plantegen multitud d'interrogants sobre la forma més adequada d'incorporar-los a la

docència. Presentem a continuació alguns dels treballs que considerem més interessants referent

a això.

Un dels primers estudis és el que es deu a Heid (1988). Va desenvolupar la seva investigació al

llarg d'un quatrimestre en un curs de càlcul bàsic, comptant amb un grup experimental i un altre de

control. Aquest va desenvolupar el curs de la forma tradicional, basant-se en l'aprenentatge de les


31

tècniques de càlcul de derivades eintegrales. El grup experimental va utilitzar muMATH

(predecessor de DERIVE) per realitzar els càlculs durant les primeres 12 setmanes, en les quals

es va insistir en els mètodes de resolució de problemes; les últimes 3 setmanes es van dedicar a

ensenyar els mètodes manuals de càlcul.

Ambdós grups van realitzar les mateixes proves (amb llapis i paper) i també es van emprar altres

mitjans d'investigació (vídeos, entrevistes, etc.). Els alumnes del grup experimental van mostrar

una millor comprensió dels conceptes, mentre que els resultats del grup de control van ser millors

en problemes del tipus maximitzar f(x, y) o de relacionar la gràfica d'una funció amb l´expressió de

la seva derivada. En altres aspectes no es van trobar diferències significatives. El que destaca

l'autor d'aquesta experiència és la constatació que, sense reformar el currículum, es poden fer

canvis substancials en la seqüència dels continguts i les habilitats desenvolupades.

En un experiment similar, utilitzant MACSYMA, Palmiter (1991) va trobar millores significatives en

la comprensió conceptual. A més, va detectar un menor rebuig a continuar estudis de càlcul

matemàtic entre els alumnes del grup experimental (15% davant del 32%). També destaca

millores en l'aspecte motivacional pel que fa a la satisfacció dels estudiants per l'après durant el

curs en comparació amb cursos anteriors.

Altres estudis aborden l'anàlisi no només del rendiment o de la motivació, sinó també de la qualitat

de l'aprenentatge. Per exemple, Sun (1993) va realitzar un experiment amb alumnes de 17 anys

per avaluar l'efecte de DERIVE en la comprensió del concepte de límit. En el grup experimental es

va detectar que els alumnes començaven a concebre el concepte de límit com un objecte enfront

de la concepció d'aquest com un procés, que és la idea primera i més comuna en els alumnes.

Això també es reflectia en l'ús d'exemples per estudiar idees: els alumnes del grup experimental

donaven exemples concrets al ser preguntats sobre el significat de límit mentre que els del grup de

control donaven només explicacions teòriques.

A un altre estudi, Repo (1994) va investigar la qualitat dels processos d'abstracció i la

permanència del coneixement de procediments de càlcul, basant-se en la teoria de Piaget del

coneixement. El grup experimental va usar DERIVE en un context especial basat en el treball

cooperatiu per parelles. Els resultats indiquen que la majoria dels alumnes del grup experimental

eren capaços de desenvolupar per si mateixos processos d'abstracció en diferents nivells, a més

de mostrar una major permanència de les tècniques apreses en proves realitzades passat un

temps després de l'experiment.

Tanmateix, no tots els resultats són tan optimistes sobre l´ús de SCS a l´ensenyament. Pozzi

(1994), després d'un experiment sobre l'estudi de les regles de derivació, prevé sobre alguns dels

riscos que l'ús d'eines simbòliques comporta. Afirma que els SCS poden ajudar a comprendre

generalitzacions algebraiques sempre que s'usin per verificar i no simplement com calculadora


32

simbòlica. És important usar en la verificació notació funcional i no només exemples concrets, ja

que a partir d'aquests es poden fer generalitzacions no correctes (o només vàlides en casos

particulars) degut al fet que la resposta de l'ordinador pot incloure simplificacions.

Una experiència més crítica és la realitzada per Hunter i altres (1994). Va realitzar un experiment

de 3 setmanes estudiant temes de funcions lineals i quadràtiques usant calculadores que admeten

targetes ROM amb DERIVE. El comportament del grup experimental no va ser millor en aspectes

conceptuals ni gràfics (els alumnes del grup de control interpretaven millor les escales) i en les

proves de manipulació algebraica va ser pitjor. A més, es van detectar també incidències

negatives sobre la motivació dels alumnes, especialment degudes a dificultats tècniques (maneig

del zoom, confusió amb els resultats aproximats que s'obtenien amb les gràfiques, etc.). L'ús

d'ordinadors de butxaca va crear grans expectatives al principi, però, segons avançava el treball i

apareixien dificultats, els estudiants perdien confiança en la seva capacitat i decreixia la motivació.

Per sexes, els nois amb poc interès cap als mètodes tradicionals tenien actituds negatives cap a

DERIVE des del principi, i les noies van començar a tenir-les a l'aparèixer les primeres dificultats

tècniques. Els professors van trobar més difícil el suport al treball dels alumnes que si es realitzava

en ordinadors usuals; a més, decreixia l'intercanvi d'informació entre els alumnes. Encara més,

l'esperat ús de DERIVE a casa es va transformar en jocs d'ordinador en la majoria dels casos.

Com es pot veure, hi ha una important influència de línterface i l'ús de l'eina que implica:

individual, en el cas de les calculadores, i cooperatiu, en el cas d'utilitzar ordinadors. També és de

gran importància la metodologia amb la qual s'introduïx l'ús de noves eines. Per exemple, en

l'experiment portat a terme per Mayes (1994), els alumnes consideraven les activitats en el

laboratori com una mica apart i això creava actituds negatives (en aquest cas, els alumnes anaven

al laboratori en temps addicional; a més, la metodologia triada permetia als professors deixar-los

treballar al seu ritme, el que motivava algunes situacions de frustració.) Láutor proposa integrar

laboratoris i textos, teoria i pràctica.

Una experiència més propera, com a mínim geogràficament, és la que séstà duent a terme a

diverses universitats espanyoles introduïnt de forma quotidiana l´ús de SCS en la docència.

Un estudi més concret sobre la incidència de l´ús de SCS a lénsenyament és el desenvolupat per

Llorens (1994). Aquest professor va desenvolupar una interessant experiència amb els seus

alumnes de lÉUIT Agrícola de la Universitat Politècnica de València des del curs 90/91. Consistia

a introduir l'ús de DERIVE en totes les fases del procés d'ensenyament-aprenentatge, des de

l'explicació en classe (utilitzant una pantalla de cristall líquid) fins a la realització dels exàmens. Els

alumnes tenien accés a l'ordinador en la mateixa classe on s'impartia l'assignatura de

matemàtiques, per la qual cosa sempre que es considerava adequat podien utilitzar-lo.

Lóbjectiu prioritari dáquesta experiència era incidir més en els objectius de la matemàtica

aplicada, millorar láctitud dels estudiants cap a les matemàtiques i millorar el seu rendiment. A la


33

vista dels resultats obtinguts, tant en els índexs d'aprovats com en la satisfacció dels estudiants,

aquests objectius semblen assolibles. A més, en un estudi comparatiu amb alumnes d'altres

escoles i facultats de la Universitat de València sobre el nivell de comprensió conceptual de la

derivada, els estudiants que van participar en aquesta experiència van obtenir resultats

significativament superiors. Una curiosa observació de l'autor és que els resultats no milloren amb

els anys, més encara són menys satisfactoris ara que en els primers anys de l'experiència; una de

les possibles explicacions és que ara hi ha més material, millors recursos i tot és més còmode,

mentre que al principi els estudiants depenien més de la seva pròpia iniciativa i interès.

A lÉU dÍnformàtica de la Universitat Politècnica de Madrid també es treballa amb DERIVE des del

curs 90/91, utilitzant una metodologia diferent, les pràctiques de laboratori. Els alumnes realitzen

una hora setmanal de pràctiques a cada assignatura, treballant per parelles, amb la tutorització

dún professor i utilitzant material específicament dissenyat per a aquestes pràctiques (García,

1994). Al curs 99-00, es va començar a fer alguns exàmenes en els que es podia usar DERIVE.

Dos aspectes fonamentals dáquesta metodologia són la cura en lélaboració del material, així

com la coordinació amb les classes de teoria.

Entre els aspectes positius [es pot consultar a Martínez i altres (1994)] destaquem el treball més

constant dels estudiants al llarg del curs, un contacte més estret professor-alumne (millorant el

control del procés d'aprenentatge) i un millor rendiment acadèmic (almenys, comparat amb les

assignatures similars en els antics plans d'estudis). Potser, l'observació més negativa és la

disminució de la capacitat de desenvolupar i explicar un raonament matemàtic per a la resolució

d'un problema. Això ho expliquen per la circumstància que la major part de l'estudi quotidià que

l'alumne fa de l'assignatura és el basat en les pràctiques, i el material amb el qual treballa en les

mateixes proporciona una forma excessivament dirigida de resolució dels problemes. Queda,

doncs, seguir millorant el material elaborat i dissenyar una metodologia que permeti integrar de

forma equilibrada tots els objectius del curs.

Respecte a les calculadores gràfiques (CG), potser el treball més conegut relatiu a calculadores

gràfiques és el desenvolupat per Waits i Demana (1988) (Ohio State University). La seva

experiència és àmplia en l'ús de CG en l'ensenyament, desenvolupen una important tasca de

formació de professorat, aspecte clau per a l'evolució del sistema educatiu, i compten amb

abundant bibliografia.

Proposen tres formes d'ús de les calculadores gràfiques, insistint a aprofitar la potència de la

visualització:

1. Realitzar el treball analític de forma usual (llapis i paper) i usar la CG com a suport, tant de

càlcul com gràfic.

2. Resoldre problemes gràficament i verificar el resultat de forma analítica.


34

3. Resoldre gràficament problemes la solució analítica dels quals o bé no es pot trobar o bé

les matemàtiques necessàries no són adequades al nivell dels alumnes.

Destaquen, com a principal efecte de l'ús de la CG en l'ensenyament, la major motivació dels

alumnes cap a l'estudi de les matemàtiques. En primer lloc, l'estudiant té un paper més actiu en el

procés d'aprenentatge; per altra banda, la calculadora li permet afrontar problemes més reals i

comprendre millor, visualitzant-los, els conceptes matemàtics amb els quals treballa.

A un altre treball més específic, Ruthven (1990) estudia la incidència de les CG en les

transferències entre les formes gràfiques i simbòliques. En concret, analitza els resultats obtinguts

quan es treballa amb exercicis del tipus “donada una gràfica busca una funció que es correspongui

amb ella”.

El projecte es va portar a terme amb estudiants anglesos amb edats compreses entre 16 i 18 anys.

Aquests disposaven d'una CG i podien fer ús d'ella sempre que ho consideressin convenient.

Els professors no tenien experiència prèvia en l'ús d'aquest tipus de calculadores. També havia un

grup de control, de similars característiques, que desenvoluparia un treball similar però sense usar

CG. AL final de l'any es va fer un test i es van comparar els resultats.

Les preguntes se centraven en dos aspectes: Interpretació de gràfiques i recerca d'expressions

analítiques de les mateixes (simbolització). El grup experimental podia usar les calculadores

durant la prova.

El mètode més comú en ambdós grups va ser la construcció analítica de les funcions, aprofitant

els coneixements sobre assímptotes, arrels de les funcions, etc.; òbviament, els alumnes del grup

experimental tenien l'avantatge de poder verificar més fàcilment les seves conjectures.

Molts d'ells (al voltant del 25%) van arribar a la solució per tempteig gràfic, modificant

successivament l'expressió fins a trobar l'adequada. Una tercera part dels alumnes del grup de

control van usar temptetjos numèrics per arribar a la solució, però aquests difícilment condueixen a

la resposta adequada.

Els resultats que es van obtenir són significatius en dos aspectes. En primer lloc, el grup

experimental va obtenir millors resultats degut, segons l'autor, a la maduresa obtinguda al llarg de

l'any per l'ús de les CG, així com a una major motivació. Per altra banda, cal destacar el millor

rendiment de les noies en el grup experimental. Ho explica per una reducció de l'ansietat i un

augment de la confiança; en general, en aquestes edats les noies estan menys segures de les

seves capacitats que els nois i la possibilitat de verificar les respostes permet augmentar aquesta

confiança.


35

Encara que no hi ha molts estudis sobre la incidència de l'ús de fulls de càlcul en l'aprenentatge,

alguns d'ells, per exemple Sutherland (1993), mostren la seva utilitat amb estudiants de 14-15

anys en processos de formalització i simbolització, recerca de funcions inverses i resolució de

problemes aplicats. Al requerir fórmules, força als alumnes a treballar simbòlicament.

Un estudi que compara el seu ús davant un SCS és el que es deu a Hurd (1993). En ell

s'introdueix el mètode de Newton per aproximar arrels d'una equació en dos grups d'alumnes de

16 anys. Un d'ells va treballar amb full de càlcul i l'altre amb DERIVE, usant funcions ja

implementades. El primer grup va obtenir millors resultats tant en els conceptes geomètrics com

algebraics del tema. L'autor explica aquests resultats argumentant que DERIVE fa tot el treball la

qual cosa impedeix veure a l'alumne els diferents passos del procés i familiaritzar-se amb ells. El

full de càlcul requereix una major interactivitat amb l'estudiant, i els seus resultats són més similars

als que aquest pot obtenir amb llapis i paper, i amb els quals està familiaritzat. Altra dificultat

important trobada pels alumnes que van usar DERIVE va ser la diferent notació entre la

implementació del mètode en el programa i l'estudiada teòricament. Un resultat comú a ambdós

grups va ser la importància de la visualització de la funció amb la qual es treballa per entendre el

procés.

Una experiència molt interessant és la realitzada per Rothery (1990), combinant l'ús d'aquests dos

tipus d'eines. Considera que les CG són molt adequades per a una primera aproximació a un

problema. A més, pot servir per verificar operacions algebraiques (possiblement fetes amb

DERIVE). D'aquesta forma, els alumnes treballen de forma més independent.

Rothery va desenvolupar un experiment sobre problemes de modelització usant DERIVE. Després

de l'experiment, els estudiants consideraven que DERIVE havia estat moderadament essencial en

el treball desenvolupat, destacant el seu ús en càlcul de derivades complicades i minimitzant la

seva aportació a l'hora de construir els models. Davant dels que critiquen que DERIVE impedeix

que els estudiants facin matemàtiques, ell respon que els alumnes no es permetien que l'ordinador

fes tot, eren autònoms, ni tan sols preguntaven al professor en moltes ocasions.

En aquest aspecte va ser de gran ajuda l'ús de la CG per a verificar resultats. Ells se senten més

segurs quan fan amb DERIVE una mica que ells podrien fer per si mateixos o que poden verificar

per altres mitjans; l'ordinador els serveix per estalviar temps i esforç, és un col·lega que els ajuda

en àrees on no se senten molt segurs i els permet anar més lluny.

Drijvers (1994) va realitzar un estudi comparatiu de la incidència de l'ús de calculadores gràfiques

davant de l'ús de DERIVE en l'ordinador. L'estudi es va realitzar amb estudiants de secundària i

amb estudiants de primer curs d'un centre de formació del professorat.


36

Es va observar que l'ús de la CG permetia un treball més còmode i ràpid amb les gràfiques, a

causa de la seva major simplicitat i la seva millor adequació a activitats on es pretenia fer

conjectures a partir de valors aproximats. Òbviament, els alumnes del grup que va usar DERIVE

van tenir un millor rendiment en les operacions simbòliques i algebraiques (es permetia el seu ús

en les proves). Els estudiants de secundària no van aprofitar tot el potencial de DERIVE, una cosa

que sí van fer millor els estudiants més madurs, que van trobar menys dificultats en el seu maneig.

Finalment, es consideren més positius els fruits de la cooperació entre estudiantes, afavorit pel

treball en parelles o trios davant de l'ordinador, que els obtinguts del treball individual amb la

calculadora; a més, per al professor és molt més fàcil controlar el desenvolupament de la classe

en el primer cas.

A les seves conclusions l'autor insisteix que no cal fer èmfasi en les limitacions de cada eina,

salvables pel desenvolupament continu de la tecnologia, sinó a ensenyar als alumnes a aprofitar

tot el potencial que cada eina aporta, en particular el poder de visualització i la capacitat

d'experimentar.

Així mateix, a Espanya, l´ús de TAC a un treball virtual es va iniciar als anys vuitanta i es va

desenvolupar entre 1987 i 1990 amb la creació del PNTIC (Programa Nacional sobre Nuevas

Tecnologías de la Información y la Comunicación [2.12]) a nivell estatal i del PIE (Programa

dÍnformàtica Educativa [2.13]) a Catalunya. A nivell universitari va apareixer la UOC [2.14] com

universitat totalment virtual. I a nivel de secundària, lÍOC (lÍnstitut Obert de Catalunya [2.15])

Cap al 1998 es va començar a extendre els cursos a distància virtuals a algunes universitats, com

a complement a la seva oferta déstudis presencials. Serveix com a mostra el cas de la UPC [2.16]

en què lóferta educativa presencial es combina amb cursos virtuals.

Per situar léstat actual de lé-learning de les matemàtiques és necessari mencionar una de les

aportacions que considerem més relevants en aquest camp com és el projecte e-Math [2.17]

presentat a lárticle de Juan et al Uso e integración de las TIC en asignaturas cuantitativas

aplicadas: La experiencia de los estudios de informática y multimedia de la UOC (Juan, Huertas,

Steegmann, Molinàs, Rodríguez i Terrádez, 2003) al XI Congrés Universitari dÍnnovació Educativa

a les Ensenyances Tècniques, XIC 2003. Aquest congrés, que fou un acte associat al Fòrum

Universal de les Cultures, Barcelona 2004, va oferir una visió actual de les experiències i les

propostes relacionades amb la innovació docent als estudis tècnics.

En aquest article es presenta el projecte e-Math de l'Internet Interdisciplinary Institute (IN3),

subvencionat pel Ministeri d'Educació, Ciència i Esports (MECD) i en el qual van participar

professors i experts pertanyents a diversos àmbits de coneixements matemàtic i estadístic de la

UOC i d'altres universitats d'àmbit estatal. La finalitat d'aquest projecte va ser fomentar i difondre la

utilització i integració de les eines tecnològiques del moment (Internet i programari especialitzat) en


37

els currículums de diverses assignatures quantitatives aplicades. Juntament amb la presentació

del projecte, en l'article es mostren també algunes de les experiències que, seguint la línies

metodològiques propostes en aquest projecte, es portaven a terme en les Enginyeries Tècniques

en Informàtica de Sistemes i de Gestió que ofereix la UOC, experiències en les quals s'ha apostat

clarament per un ús intensiu dels recursos que Internet ofereix i també per la utilització de

programari matemàtic i estadístic (Minitab, Mathcad, Scientific Notebook, Wiris, etc.) com part

integral dels currículums formatius. Destaquem aquesta experiència perquè la considerem de gran

importància ja que es tracta d'un treball pioner i totalment innovador en el tema.

Seguint en aquesta línia, i dintre de l'àmbit de l'e-learning de les matemàtiques, a nivell estatal,

destaquem l'article de Juan et Bautista, Didáctica de las matemáticas en enseñanza superior: la

utilización de programario especializado (Juan i Bautista, 2001), en el qual es fa una reflexió de la

situació actual de l'ús de programari especialitzat en didàctica de les matemàtiques universitàries.

Així mateix, es comenten alguns inconvenients per a què el procés d'innovació en la forma de fer

matemàtiques es produeixi, es donen una sèrie d'arguments (complementats amb alguns

exemples) pels quals resulta convenient (si no necessari) la modificació en el disseny curricular de

moltes assignatures de l'àmbit quantitatiu i, finalment, es proposen futures línies d'estudi

relacionades amb el tema.

Cal esmentar, també, dos articles més, ¿Cómo aprender estadística en un entorno virtual?: La

experiencia de la UOC con Minitab (Juan, Vila, Sedano, Faulín i Terrádez; 2002) en què es

mostren els materials didàctics desenvolupats per un equip de professors de la UOC en els quals

l'ús del programa Minitab juga un paper rellevant. Aquests materials estan formats per un conjunt

de guies d'estudi, manuals d'ús, activitats resoltes i pràctiques propostes. La finalitat del treball,

segons es comenta en l'article, no és altra que la de facilitar l'aprenentatge de conceptes i mètodes

estadístics aplicats, sense per això perdre el rigor que tota assignatura quantitativa ha de tenir: l'ús

correcte de qualsevol programari estadístic requereix que l'investigador posseeixi una base teòrica

adequada, de manera que aquesta li capaciti per analitzar amb profunditat els resultats i extreure

les conclusions correctes.

I Matemáticas, software y e-learning: La experiencia de la UOC con Mathcad (Juan, Álvarez,

Molinàs, Steegmann i Martínez, 2002) en què es descriu una experiència docent basada en la

utilització del programa Mathcad. Mitjançant l'ús d'aquest programari es pretenia innovar i millorar

la qualitat acadèmica en diverses assignatures de matemàtiques que s'oferien on-line en diferents

titulacions de la UOC. Després de comentar breument el model d'e-learning que s'empra i com

s'integra Mathcad en ell, s'analitzen els avantatges que aquest tipus de programari pot aportar al

procés d'aprenentatge en l'àmbit d'assignatures matemàtiques de marcat caràcter tècnic i aplicat.


38

Així mateix, a nivell internacional, una altra de les aportacions més importants a l´àmbit dáquest

estudi és la investigació realitzada per Cuypers et al a propòsit del Congreso WebALT [2.18]7,

State of the Art in Mathematical E-learning (Cuypers, Poels, Verrijder, Caprotti, Karhima, Pauna i

Strotmann, 2005), en el que es descriu léstat de lárt en e-learning de les matemàtiques. En

aquest es divideix lé-learning en un nombre de components (materials, avaluació, comunicació,

administració...). Posteriorment, per a cada component, sávalua un nombre representatiu de

plataformes dé-learning (Aim, Angel, Blackboard, Cable, Claroline, Content-e, Cose, Dmath,

eCollege, Educator, Helsinki Learning System, Ilias, IntraLearn, Iscjholar, Jones e-education ,

LeActiveMath, LearnWise, Logicampus, LON-CAPA, Maple TA, Math-kit, Metric, Moodle, Mumie,

Stack, Teknical Virtual Campus, The Learning Manager, The MathDox System, Wallis, WebCT,

WebTutor i Wiley´s eGrade) considerant, previament, cada plataforma com una combinació de

components educatives.

A aquest congrés es va presentar lárticle Designing Math on-line Courses for Computer Science

Students: experiences at the Open University of Catalonia (Huertas, Juan i Steegmann, 2006).

En aquest s'exposa el model pedagògic desenvolupat per un grup de professors de matemàtiques

en la UOC8, que s'està aplicant en la formació matemàtica dels enginyers informàtics.

L'experiència que es presenta és el procés de disseny, implementació i avaluació de cursos en

línia de matemàtiques per a estudiants d'enginyeria informàtica en la UOC, que pot resumir-se en

els punts següents:

1. Anàlisi de la situació de partida: continguts i model pedagògic anterior al disseny.

2. Estudi de les necessitats de formació matemàtica en el currículum dels estudiants

d'enginyeria informàtica.

3. Disseny d'un model per a e-learning de les matemàtiques.

4. Redefinició d'objectius i continguts.

5. Importància de la integració d'un programari matemàtic, elecció de l'adequat (WIRIS).

6. Disseny dels cursos i implementació en el campus virtual i el model metodològic

institucional (UOC).

7. Avaluació de resultats.

Els punts dominants del model presentat són: (a) la importància de realitzar un disseny del curs de

dalt cap avall, tenint una cura especial amb context en el qual el curs ha de ser desenvolupat

7 First WebALT Conference and Exhibition, Eindhoven, 5-6 gener 2006.

8 Els autors són una part del grup de professors de matemàtiques del departament dÍnformàtica i Multimèdia que han participat directament en el procés i tots els autors estan impartint actualment un dáquests cursos, a diferents aules, en el seu primer semestre vigent (Àlgebra per a Informàtica a la UOC).


39

(estudiants d'enginyeria informàtica, en el seu cas), (b) l'enfocament del curs centrat en l'aplicació

de les matemàtiques a l'enginyeria en comptes de centrar-lo en la teoria de les matemàtiques, (c)

l'ús integrat del programari al llarg del curs, (d) el desenvolupament de materials electrònics

segons els punts anteriors, i (i) l'atenció especial als coneixements previs dels estudiants per

proveir els conceptes anteriors necessaris.

Així mateix i per finalitzar, si realitzem una recerca entre les diferents tesis doctorals llegides en els

últims anys trobem la de Murillo, Un entorno interactivo de aprendizaje con cabri-actividades

aplicado a la enseñanza de la geometría en la ESO (UAB) (Murillo, 2001), en la que es

desenvolupen entorns dáprenentatge cooperatius en situacions geomètriques amb CABRI, la de

Rodríguez Gayarre, Láprenentatge de les matemàtiques com a participació i construcció social en

un entorn virtual (UAB) (Rodríguez, 2003) centrada en léstudi de les interaccions i els efectes que

es produeixen entre els alumnes i el seu professor-tutor, fent ús intensiu de les TAC. Així mateix,

la tesi doctoral defensada per Almeida Barrial, Desarrollo Profesional Docente en Geometría:

análisis de un proceso de Formación a Distancia (UB) (Almeida, 2000), contribueix amb

programes formatius interessats en el desenvolupament professional crític a través déntorns

virtuals i, especialment, analitza les influències del procés teleinteractiu del coneixement

professional en geometria.

És comú admetre el benefici que la formació matemàtica proporciona al desenvolupament de

qualitats intel·lectuals com la intuïció, la capacitat d'abstracció, d'anàlisi i de síntesi (García,

Martínez i Miñano, 2000)). Per aquest motiu, és perillós que l'atenció al càlcul (saber com es fa)

prevalgui sobre l'atenció a l'observació i a l'anàlisi (reflexió) en l'ensenyament de les

matemàtiques, situació aquesta relativament freqüent. Si preguntem a un estudiant de batxillerat

per algun concepte matemàtic, per exemple, “què és un límit?”, o “què és una derivada?”, és molt

probable que la seva resposta comenci amb una frase del tipus: «és una cosa que es fa...». La

relació d'aquest estudiant amb els conceptes matemàtics que se li han presentat es limita al

domini, més o menys profund, d'algunes técniques de càlcul.

Per descomptat no és això el desitjable, encara que tal vegada sigui un pas necessari. El

coneixement de les tècniques de càlcul es contempla gairebé com un prerrequisit per poder arribar

a la comprensió del concepte. Això no és en absolut aliè al caràcter experimental de la

matemàtica. Per arribar a conèixer alguna cosa cal assajar, analitzar el que succeeix en diverses

4.4. Reflexions sobre láprenentatge de les matemàtiques al

context de lé-learning


40

situacions i, en definitiva, experimentar. Per altra banda, segons els mateixos autors anteriors està

comprovat que el que s´ha après amb experiències és molt difícil d'oblidar.

Una forma d'ensenyament eficient hauria de contemplar no només la presentació dels conceptes i

resultats amb les corresponents tècniques de càlcul, sinó també un entrenament de la intuïció, que

permeti a l'alumne descobrir propietats i característiques dels objectes d'estudi a partir de l'anàlisi

de diverses situacions. Això, en general, requereix realitzar molts càlculs per poder intuir resultats

generals a partir d'observacions particulars i posteriorment una bona capacitat de raonament per a

contrastar la certesa de les intuïcions.

Amb freqüència s'al·ludeix a la falta de temps per madurar suficientment els conceptes i assimilar

les característiques dels diferents objectes matemàtics.

En aquest sentit, les TAC poden permetre una espècie de procés de simulació, que faciliti, en

menys temps, l'estudi de diferents situacions i l'experimentació a baix cost.

Hem vist que les tecnologies poden millorar la qualitat de l´ensenyament, ja que permeten reduir el

temps que es dedica al desenvolupament d'algunes destreses tradicionals, podent dedicar-se més

profundament al desenvolupament de conceptes i idees sobre com resoldre problemes.

Un canvi de metodologia, unit a una revisió de continguts, permet que els alumnes s'involucrin

més en el desenvolupament dels conceptes i realitzin a través de l'experimentació els seus propis

descobriments matemàtics.

No obstant això, també poden reemplaçar un bon ensenyament per un de dolent, per la qual cosa

cal usar-les amb prudència. No tenen per què usar-se en tot moment, sinó exclusivament quan el

seu ús aporti beneficis per a la consecució dels objectius docents.

Cal insistir que les TAC, per si mateixes, no van a solucionar els problemes de l'ensenyament, i

poden crear alguns nous. Com tota eina nova, els seus beneficis dependran de l'ús que es faci

d'elles, per la qual cosa cal la seva integració en un projecte docent global i el disseny de la

metodologia apropiada.

4.5. Primeres conclusions sobre l´e-learning de les matemàtiques


41

Tots sabem que la qualitat de l'ensenyament evoluciona en funció de l'ús que es faci dels mitjans

intel·lectuals, físics, tècnics, econòmics,... disponibles, i això sempre depèn en última instància del

factor humà, en concret dels professors i els estudiants.

En tot cas, el que és un fet innegable és l'enorme proliferació que s'està produint de l'ús

d'aquestes eines. Encara que la introducció de noves tecnologies en l'ensenyament es va trobant

amb diversitat de barreres (resistències naturals al canvi, dubtes sobre la seva conveniència,

escassesa de recursos materials i humans per a desenvolupar projectes, dificultat per assegurar la

igualtat d'oportunitats davant la possibilitat d'usar-les en exàmens, etc.), en diversos països

europeus ja s'han donat passos a nivell institucional afavorint el seu ús.

Per exemple, les calculadores gràfiques estan permeses, a nivell oficial, als exàmens a Anglaterra,

França, Escòcia, Suècia, Noruega i Finlàndia. Els sistemes de càlcul simbòlic ho estan a Escòcia i

França. A més a més, a Portugal, França, Àustria i Eslovènia, l´Estat recomana i recolza l´ús de

sistemes de càlcul simbòlic a l´ensenyament.

En conseqüència, la conclusió més important és la urgència de reflexionar sobre com usar

aquestes tecnologies.

[2.1] http://www.astd.org/astd [2.2] http://www.webct.com/ [2.3] http://www.blackboard.com/us/index.Bb [2.4] http://www.ecollege.com/indexflash.learn [2.5] http://moodle.org/ [2.6] http://bscw.fit.fraunhofer.de/ [2.7] http://bscl.fit.fraunhofer.de/ [2.8] www.recursosmatematicos.com [2.9] http://sepad.cvep.uclv.edu.cu/ [2.10] http://www.divulgamat.net [2.11] http://intermat.uab.es/ [2.12] http://www.cnice.mecd.es/ [2.13] http://www.c5.cl/ieinvestiga/actas/ribie96/10ANYSP.html [2.14] www.uoc.edu

Webgrafía


42

[2.15] www.ioc.xtec.cat [2.16] www.upc.edu [2.17] www.uoc.edu/in3/e-math [2.18] http://webalt.math.helsinki.fi/webalt2006/content/index_eng.html

• Adell, J. (2001): “Los recursos tecnológicos serán un excelente complemento de la formación

presencial, un recurso más del bagaje del profesor y un servicio de la institución que facilitará la vida a estudiantes y profesores”. Disponible en: http://www.educaweb.com/esp/servicios/monografico/unisociedad/entrevista.asp [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Albano, G. (2005): “Mathematics and e-learning: a conceptual framework” En Fourth Congress

of the European Society for Research in Mathematics Education. Disponible en: http://cerme4.crm.es/Papers%20definitius/9/albano.pdf [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Almeida, M. (2000): Desarrollo profesional Docente en Geometría: análisis de un proceso de

formación a distancia. Tesis doctoral. Universidad de Barcelona. • Ballester, M. (2001): “La universidad debe apostar por la formación de profesionales y

ciudadanos responsables mediante la interdisciplinariedad”. Disponible en: http://www.educaweb.com/esp/servicios/monografico/unisociedad/opinion7.asp [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Barberà, E. (2004): La educación en la red. Barcelona: Paidós. • Barberà, E. (2008): Aprender e-learning. Barcelona: Paidós. • Beltrán, J. A. (2001): “Educación de calidad en la sociedad del conocimiento”, en Beltrán, J. A., • Nicolau, M., Mélich, J. i Camacho, I., Respuestas al futuro educativo, Madrid: Bruño. • Beltrán, J. A. (2004) “Enseñar a aprender: Algunas reflexiones” en Enseñar @ aprender.

Internet en la educación. Madrid: Fundación Telefónica. • Bricall, J. M. (2000): “Informe Universidad 2000”. Disponible en:

http://www.ua.es/up/bricall/bricall/bricall2.html [Darrera consulta: 23 gener 2009] • Casas, J. i Torrescasana, M. R. (2007): Les TIC a l´educació infantil. Barcelona: UOC • Castells, M. (1998): La era de la información. Barcelona. Alianza. • Cordón i Anaya (2004): “Enseñanza virtual: fundamentos, perspectivas actuales y visión de la

universidad de Granada”. Disponible en: http://cevug.ugr.es/web-cevug/documentos/thales2.pdf [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Cuypers, Poels, Verrijder, Caprotti, Karhima, Pauna i Strotmann (2005): “State of the Art in

Mathematical e-learning”. En First WebALT Conference and Exhibition, Eindhoven, 5-6 enero 2006. Disponible en: http://webalt.math.helsinki.fi/content/e16/e301/e304/D1.1._State_of_the_Art_in_mathematical_e-learning_eng.pdf [Darrera consulta: 23 gener 2009]

Bibliografía


43

• Delors, J. (1996): “La educación encierra un tesoro”. Informe a la UNESCO de la Comisión Internacional sobre la educación para el siglo XXI. Disponible en: www.unesco.org/education/pdf/DELORS_S.PDF [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Devlin, K. (2003): “Why universities require computer science students to take math”. En

Communications of the ACM. Vol 46, núm.9, pp. 37-39. • Drijvers, D. (1994): “The use of Graphic Calculators and Computer Algebra Systems:

Differences and Similarities”. En Heugl, H. I Kutzler, B.(1994): Derive in Education. Oportunities and Strategies. Kent: Chartwell-Bratt.

• E-learning Action Plan (2001): Designing tomorrow´s education. Disponible en: http://eur-

lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=COM:2001:0172:FIN:EN:PDF [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Escribano M., Sánchez L., González J. i Joyanes L. (2003): “Aplicación de los multimedia en la

enseñanza” En II Congreso Internacional de EducaRed. • García, A. (1994): Prácticas de Matemáticas con Derive. Madrid: CLAGSA. • García, A., Martínez, A. i Miñano, R. (2000): Nuevas tecnologías y enseñanza de las

matemáticas. Madrid: Síntesis. • García, F.J. (2005): “Estado actual de los sistemas e-learning”. En Teoría de la educación:

educación y cultura en la sociedad de la información, Universidad de Salamanca. Vol. 6, Núm.2, Disponible en: http://www3.usal.es/~teoriaeducacion/rev_numero_06_2/n6_02_art_garcia_penalvo.htm [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Garrison, D. R. i Anderson, T. (2005): El e-learning en el siglo XXI. Barcelona: Ediciones

Octaedro. • Granger, J. R. (2004): La transformación de los sistemas educativos en “Enseñar @

aprender”. • Grupo 100 (2001): “Contextos virtuales, diversidad y educación matemática en España”. En

Jiménez, J. (2001): Matemáticas en Europa: diversas perspectivas, Barcelona: Graó. • Guzdial, M., Ludovico, P., Realff, M., Morley, T., Carroll, K., Ladak, A. (2001): “The challenge

of collaborative learning in engineering and math”. En Proceedings of IEEE/ASEE Frontiers in Education (FIE) 2001 Conference.

• Heid, M. K. (1988): “Resequencing Skills and Concepts in Applied Calculus”.En Journal for

Research in Mathematics Education, vol. 19, núm. 1, pp. 3-25. • Hillel, J., Kieran, C., Gurtner, J. L. (1989): "Solving structured geometric tasks on the computer:

the role offeedback in generating strategies". En Educational Studies in Mathematics, vol. 20, núm. 1, pp. 1-39.

• Huertas, M. A., Juan, A. i Steegmann, C. (2006): “Designing Math on-line Courses for

Computer Science Students: experiences at the Open University of Catalonia”. En First WebALT Conference and Exhibition, Eindhoven, 5-6 enero 2006. Disponible en: http://webalt.math.helsinki.fi/webalt2006/content/e31/e157/e159/3_5SxK2k0d4D.pdf [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Hunter, M. i Monaghan, J. (1994): “Derive on a Palmtop”. En Maths & Stats, vol. 5, núm. 1, pp.

13-15.


44

• Hurd, M. K. (1993): "A Comparison of the use of a Computer Algebra System and a Spreadsheet to Teach the Newton-Raphson Method". En Monaghan, J-and Etchells, T. A. (1993): Computer Algebra Systems in the Classroom.CSSME, University of Leeds.

• Juan, A. A. i Bautista, G. (2001): “Didáctica de las matemáticas en enseñanza superior: la

utilización de software especializado”. Disponible en: http://www.uoc.edu/web/esp/art/uoc/0107030/mates.html [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Juan, A., Álvarez, M., Molinàs, P., Steegmann, C. i Martínez, J. (2002): “Matemáticas, software

y e-kearning: La experiencia de la UOC con Mathcad”. En: Fórum Tecnológico, núm. 3, pp. 4-6. Disponible en: http://www.uoc.edu/in3/e-math/docs/FT_matematicas.pdf [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Juan, A., Huertas, M. A., Steegmann, C., Molinàs, P., Rodríguez, J. i Terrádez, M. (2003):

“Uso e Integración de las TIC en Asignaturas cuantitativas aplicadas: La experiencia de los estudios de informática y multimedia de la UOC”. En XI Congreso Universitario de Innovación Educativa en las Enseñanzas Técnicas, XIC 2003.

• Juan, A., Vila, A., Sedano, M., Faulín, J. i Terrádez, M. (2002): “¿Cómo aprender estadística

en un entorno virtual?: La experiencia de la UOC con Minitab”. En: Fórum Tecnológico, núm. 2, Págs. 16-17. Disponible en: http://www.uoc.edu/in3/e-math/docs/FT_estadistica.pdf [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Keegan, D. (1996): Foundations of distance education. Londres: Routledge. • Laborde, C. (1992): "Enseigner la Géométrie: Permanences et Révolutions". Conférence

pléniere. Actes d'ICME-7, pp. 47-75. • Laborde, C. (1992): "Solving problems in computer based geometry environments: the

influence of the features of the software".En Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, vol. 92, núm. 4, pp. 126-133.

• Llorens, J. L. (1994): “A Mathematics Course with DERIVE at Technical Colleges”. Actes del

First International Derive Conference. Plymouth. • Lozano, J. (2004): “El triángulo del e-learning”. Disponible en: http://e-learning-

teleformacion.blogspot.com/2004_09_01_archive.html. [Darrera consulta: 23 gener 2009] • Marín, M. (2004): “Internet en el aula de matemáticas”. En Matemáticas e Internet. Barcelona:

Graó. • Marquès, P. (2006): “La cultura tecnológica en la sociedad de la información”. Disponible en:

http://dewey.uab.es/pmarques/si.htm [Darrera consulta: 23 gener 2009] • Martínez, M. A. i Miñano, R. (1994): “Limits with Derive”. Actes del First International Derive

Conference. Plymouth. • Martínez, M. A., Miñano, R. i Rincón, F. (1994): “Teaching some numerical methods with

Derive”. Actes del First International Derive Conference. Plymouth. • Mayes, R. (1994): "The Application of a Computer Algebra System as a Tool in College

Algebra". En Heugl, H. i Kutzler, B.(1994): DERIVE in Education. Oportunities and Strategies. Kent: Chartwell-Bratt.

• Monaghan, J. i Tall, D. O. (1994): “Hand-Mind Interaction: Reflections on Processes Used in

the Learning of Mathematics Using Computers”. Actes del First International Derive Conference. Plymouth.


45

• Murillo, J. (2001): Un entorno interactivo de aprendizaje con cabri-actividades aplicado a la enseñanza de la geometría en la ESO. Tesis doctoral. UAB.

• Palmiter, J. R. (1991): “Effects of Computer Algebra Systems on Concepts and Skill Acquisition

in Calculus”. En Journal for Research in Mathematics Education, vol. 22, núm. 2, pp. 151-156. • Pontes, A. (1999): “Utilización del ordenador en la enseñanza de las ciencias” en Alambique

nº19, pp. 53-64. • Pozzi, S. (1994): "Algebraic Reasoning and Computer Algebra Systems: Freeing Students

from Syntax?". En Heugl, H. i Kutzler, B.(1994): Derive in Education. Oportunities and Strategies. Kent: Chartwell-Bratt.

• Ramírez, E. i Santos, N. (2004): “Recursos computacionales para la enseñanza aprendizaje

de la matemática en la educación superior”. Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos17/computacion-matematicas/computacion-matematicas.shtml [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Repo, S. (1994): "Undestanding and Reflective Abstraction: Learning the Concept of Derivative

in the Computer Environment". En Heugl, H. i Kutzler, B.(1994): Derive in Education. Oportunities and Strategies. Kent: Chartwell-Bratt.

• Rodríguez, R. (2003): L´aprenentatge de les matemàtiques com a participació i construcció

social en un entorn virtual. Tesis doctoral. UAB. • Rosenberg, M.J. (2001): E-learning. Strategies for Delivering Knowledge in the Digital Age.

New York: McGraw-Hill. • Rothery, A. (1990): Modelling with Spreadsheets. Kent: Chartwell-Bratt. • Ruthven, K. (1990): “The Influence of Graphic Calculator use on traslation from graphic to

symbolic forms”. En Educational Studies in Mathematics, vol. 21, núm. 5, pp. 431-450. • Salinas, J. (2004): “Innovación docente y uso de las TIC en la enseñanza universitaria”. En

Revista Universidad y Sociedad del Conocimiento. Disponible en: http://www.uoc.edu/rusc/dt/esp/salinas1104.pdf [Darrera consulta: 23 gener 2009]

• Sangrà, A. i González, M (2004): “El profesorado universitario y las TIC: Redefinir roles y

competencias”. En La transformación de las universidades a través de las TIC: Discursos y prácticas, Barcelona: UOC.

• Sevillano, M.L., Pascual, M.A., Bartolomé, D. (2007): Investigar para innovar en enseñanza.

Madrid: Pearson. Prentice Hall. • Sun, S. (1993): Students Understanding of Limits and the Effect of Computer Algebra Systems,

CSSME, University of Leeds. • Sutherland, R. (1993): “Symbolishing through Spreadsheets”. En Micromath, vol. 9, núm. 1, pp.

20-22. • Tall, D. O. (1986): Building and Testing a Cognitive Approach to Calculus using Interactive

Computer Graphics. Tesis doctoral. Universitat de Warwick. • Tall, D. O. (1992): “The Transition to Advanced Mathematical Thinking. Functions, Limits,

Infinity and Proof”. En GROUWS, D. A. (1992): Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Macmillan.

• Tay, Y.C. (2005): “What should computer sceince students learn from maths”. En ACM

SIGACT News, vol. 36, núm. 2, pp. 131-143.


46

• Vaquero, A. (1992): “Fundamentos pedagógicos de la enseñanza asistida por computadora”

en Revista de Enseñanza y Tecnología: ADIE, núm. 6, pp. 14-16. • Velázquez, F. (2004): “La nueva sociedad de la información y de la comunicación”. En

Matemáticas e Internet. Barcelona: Graó. • Waits, B. K. i Demana, F. (1988): "How Computer Graphing Can Change the Teaching and

Learning of Mathematics". En De Lenge, J. i Doorman, M. (1988): Sénior Secondary School Mathematics Education. Utretch.

• Wang, Y., Swanson, C. i Lam, S. (2001): “Computer assisted mathematics learning

environment – A study on the computer, math, and human interaction” En C. Crawford et al. (2001), Proceedings of Society for Information Technology and Teacher Education International Conference 2001 (pp. 1392-1393). Chesapeake, VA: AACE.

E-Learning de les matemàtiques seu informe, Delors (1996) argumentava que les capacitats globals...

Documents

Transcript of E-Learning de les matemàtiques seu informe, Delors (1996) argumentava que les capacitats globals...