Distribucin binomialEnestadstica, ladistribucin binomiales unadistribucin de probabilidaddiscreta que cuenta el nmero de xitos en una secuencia denensayos deBernoulliindependientes entre s, con una probabilidad fijapde ocurrencia del xito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotmico, esto es, slo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina xito y tiene una probabilidad de ocurrenciapy al otro, fracaso, con una probabilidadq= 1 -p. En la distribucin binomial el anterior experimento se repitenveces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado nmero de xitos. Paran= 1, la binomial se convierte, de hecho, en unadistribucin de Bernoulli.

Para representar que unavariable aleatoriaXsigue una distribucin binomial de parmetrosnyp, se escribe:

La distribucin binomial es la base deltest binomialdesignificacin estadstica.

EjemplosLas siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribucin:

Se lanza un dado diez veces y se cuenta el nmeroXde tres obtenidos: entoncesX~B(10, 1/6)

Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el nmeroXde caras obtenidas: entoncesX~B(2, 1/2)

Experimento binomial[editar]Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir slo dos categoras (a las que se denomina xito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan comopyqopy 1-p).

Se designa porXa la variable que mide el nmero de xitos que se han producido en losnexperimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variableXsigue una distribucin de probabilidad binomial, y se denotaB(n,p).

Caractersticas analticas[editar]Sufuncin de probabilidades

dondesiendolascombinacionesdeen(elementos tomados deen)

Ejemplo[editar]Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el nmero 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sera P(X=20):

Propiedades[editar]

Relaciones con otras variables aleatorias[editar]Sitiende a infinito yes tal que el producto entre ambos parmetros tiende a, entonces la distribucin de la variable aleatoria binomial tiende a unadistribucin de Poissonde parmetro.

Por ltimo, se cumple que cuando=0.5 ynes muy grande (usualmente se exige que) la distribucin binomial puede aproximarse mediante ladistribucin normal.

Propiedades reproductivas[editar]Dadasnvariables binomiales independientes de parmetrosni(i= 1,...,n) y, su suma es tambin una variable binomial, de parmetrosn1+... +nn, y, es decir,

Distribucin Binomial

Notacin:

Definicin

Es una de las distribuciones de probabilidad ms tiles ( control de calidad, produccin, investigacin). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o caracterstica especfico (llamado xito) y no ocurrencia de ste (llamado fracaso). Los trminos o calificativos de "xito y fracaso" son solo etiqutas y su interpretacin puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad.

Ejemplo

xito podra ser hallar en un ensayo especfico que la unidad es defectuosa al examinarla. Cada experimento aleatorio consiste en una serie de ensayos o pruebas repetidas realizadas en idnticas condiciones (veces), o sea que cada uno de ellos es independiente de los dems.

Seala probabilidad de xito cada vez que el experimento se realiza yla probabilidad de fracaso. Sea X la variable aleatoria que representa el nmero de xitos en losensayos o pruebas. El inters se centra en conocer la probabilidad de obtener exactamentexitos en esosensayos.Criterios o propiedades para definir la Distribucin BinomialResumiendo, podemos definir estos criterios:

1- El experimento aleatorio consiste enensayos o pruebas repetidas, e idnticas y fijadas antes del experimento (pruebas de Bernoulli). Son pruebas con reemplazamiento o con reposicin.

2- Cada uno de losensayos o pruebas arroja solo uno de dos resultados posibles resultados: xito fracaso.

3- La probabilidad del llamado xito (, pemanece costante para cada ensayo o prueba.

4- Cada prueba o ensayo se repite en idnticas condiciones y es independiente de las dems.

Cuando estas propiedades se cumplen en el experimento aleatorio se dice que el constituye un proceso de Bernoulli y cada uno de los ensayos que lo conforman se llama experimento de Bernoulli.

5. El inters recae en hallar la probabilidad de obtenernmero de xitos al realizarensayos del mismo E.A.

La funcin de probabilidad de X en esas condiciones ser:

ParaenteroyPlanteamiento Bsico

Supongamos un proceso productivo en serie de una misma unidad metalmecnica y en l que: Probabilidad de una unidad defectuosa :y probabilidad de unidad no defectuosa:.

Supongamos que el inters est en evaluar el proceso mediante una muestra aleatoria de 4 unidades y por tanto se define la v.a X como el nmero de unidades defectuosas en la muestra. Para garantizar que los ensayos resulten independientes hacemos la seleccin con reemplazamiento o sustitucin.

Supongamos que centramos nuestro interes enunidad defectuosa en las cuatro pruebas o ensayos. Sea B=bueno y D= defectuoso. Por lo tanto elesta conformado por 16 resultados posibles

.....Se puede entonces notar que los eventos favorables aconstiuyen el subconjunto. Como no importa el orden de aparicin de la unidad defectuosa sino que aparezca exactamente una unidad con esa caracterstica tenemos:

o sea:para cada posible resultado de una unidad defectuosa

Como son cuatro resultados los que satisfacen el inters especfico de una unidad defectuosa entonces

Si generalizamos:donde:son las distintas maneras comoxitos se producen dentro de losensayos;es la probabilidad dexitos en cada una de las maneras distintas de producirse losxitos .

Para el caso del ejemplo:Consideremos el caso ya no dedefectuoso; sino todos los valores que puede asumir X en las cuatro pruebas.

Como son 4 ensayos y consideramos todos los posibles valores deentonces laLos valores dese pueden calcular por medios electrnicos utilizando las tablas de la distribucin binomial que proporcionan la solucin de estas operaciones, a veces largas o laboriosas.

Con los resultados de esos clculos podemos construir la tabla de distribucin de probabilidades, hacer su grfica y definir sus principales caractersticas.

Tomemos como ejemplo la distribucin binomial de parmetrosy

Caractersticas de la distribucin binomial.Tendencia central:=aplicando la definicin de valor esperado se obtiene que para esta distribucin :Dispersin variacin::=lo que conduce a que una v.a. binomial X tiene como varianzaPor lo tanto su desviacin estandar:.

Asimetria deformacon (Forma): con base en la razn entre los momentos centrales de orden dos y tres como quedo definido antes:

sobre la base de que si:Generalmente la distribucin binomial es sesgada asimetrica hacia la derecha, sesgo que se va perdiendo cuanto ms grande sea el valor de(# de pruebas) y en la medida en quese acerque a(por lo tantotienda a), limite en el cual se torna simtrica

Para el caso considerado y utilizando tanto la metodologa tradicional de la definicin de conceptos como usando las frmulas simplificadas, tenemos:

Total0

; tambien;Su funcin de distribucin acumulada sera:Ejemplo

Una empresa adopt un proceso de control ded calidad consistente en diariamente seleccionar al azar 20 unidadeds del total producido y conocer el nmero de unidades defectuosas. El plan establece que si al examinar diariamente las veinte unidades, tres mas salen defectuosas, algo esta pasando y se ordena detener el proceso productivo para buscar la falla. Cal es la probabilidad de que se ordene parar el proceso productivo si se sabe por experiencia que la probabilidad de una unidad defectuosa es 10%?Se pide:La solucin ms corta para este planteamiento sera entonces:

o seaque sera la probabilidad de que cualquier dia se ordene parar el proceso de produccin segn el planteamiento de control del mismo.

Si consideramos las caractersticas, tenemos:

Valor esperadounidades defectuosas.

VarianzaValores que como es lgico tambien pueden ser hallados por el mtodo tradicional.

Si se hace la grafica para determinar la forma (aunque se deduce que comoser sesgada a la derecha). Veremos sin embargo que dado, no es tan sesgada como en el caso del otro ejemplo tratado aqui.

Si se hace crecer, por ejemplo, hasta, todava se torna ms simtrica, tendiendo hacia una normal a pesar de queno sea tan cercano apero si alejado de cero () de uno (). En la prctica, siir tornandose simtrica para valores de ()

Se puede obtener la funcin de distribucin acumulada y obtener asi los cuantiles fractiles de la distribucin.

La siguiente figura muestra tres funciones de distribucin binomial cony valoresdey

La A cones ligeramente sesgada a la derecha con sesgo positivo. La B cones simetrica y la C contendra sesgo negativo, interpretaciones que resultan consecuentes con el indice de sesgoya planteado.

DefinicinCuando se dispone de una expresin matemtica, es factible calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado especfico para la variable aleatoria.

Ladistribucin de probabilidad binomiales uno de los modelos matemticos (expresin matemtica para representar una variable) que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el nmero de xitos en una muestra compuesta por n observaciones.

Propiedades- La muestra se compone de un nmero fijo de observaciones n

- Cada observacin se clasifica en una de dos categoras,mutuamente excluyentes(los eventos no pueden ocurrir de manera simultnea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) ycolectivamente exhaustivos(uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categoras se las denomina xito y fracaso.

- La probabilidad de que una observacin se clasifique comoxito, p,es constante de una observacin o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observacin se clasifique comofracaso, 1-p,es constante en todas las observaciones.

- La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n

Ecuacin:PX=n!X!n-X!pX1-pn-X

Donde

PX=Probabilidad de X xitos, dadas y

n = Nmero de observaciones

p = Probabilidad de xitos

1-p = Probabilidad de fracasos

X = Nmero de xitos en la muestra (= 0, 1, 2, 3, 4,)

Ejemplo ilustrativo N 1Determine P(X=5) para n = 6 y p = 0,83

Solucin:Aplicando la ecuacin se obtiene:

PX=n!X!n-X!pX1-pn-X

PX=5=6!5!6-5!0,8351-0,836-5=0,4018En Excel se calcula de la siguiente manera:

a) Se escribe los datos y se inserta la funcin DISTR.BINOM. Clic en Aceptar. Los argumentos de la funcin escribir como se muestra en la figura:

b) Clic en Aceptar

Ejemplo ilustrativo N 2Determinar P(X=4) para n =5 y p = 0,45

Solucin:

Se puede aplicar la ecuacin para cada probabilidad, pero para ahorrar tiempo se recomienda encontrar las probabilidades con lectura en la tabla de probabilidades binomiales. Realizando la lectura en la tabla de la distribucin binomial para P(X=0) con n=5 y p=0,5 se obtiene 0,0503. Continuando con la respectivas lecturas en la tabla se obtiene: 0,2059 para P(X=1), 0,3369 para P(X=2), 0,2757 para P(X=3) y 0,1128 para P(X=4),

Por lo tanto PX=4=0,0503+0,2059+0,3369+0,2757+0,1128=0,9816

Los clculos realizados en Excel se muestran en la siguiente figura:

Media de la distribucin binomialLa media de la distribucin binomial es igual a la multiplicacin del tamao de la muestra por la probabilidad de xito

Desviacin estndar de la distribucin binomialDistribucin binomial

Una distribucin binomial es una distribucin de probabilidad ampliamente utilizada de una variable aleatoria discreta es la distribucin binomial. Esta describe varios procesos de inters para los administradores.

Describe datos discretos, resultantes de un experimento denominado proceso de Bernoulli en honor del matemtico suizo Jacob Bernoulli, quien vivi en el siglo XVII.

Empleo del proceso de Bernoulli:

Podemos servirnos de los resultados de un nmero fijo de lanzamientos de una moneda como ejemplo de un proceso de Bernoulli. Este proceso lo describimos as:

1. Cada ensayo ( cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene slo dos resultados posibles: lado A o lado B, s o no, xito o fracaso.

2. La probabilidad del resultado de cualquier ensayo (lanzamiento) permanece fija con el tiempo. Tratndose de una moneda la probabilidad de que salga de el lado A sigue siendo de 0.5 en cada lanzamiento, cualquiera que sea el nmero de veces que la moneda sea arrojada.

3. Los ensayos son estadsticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento.

Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad caracterstica. Pongamos el caso en que siete dcimas partes de las personas que solicitaron cierto tipo de empleo pasaron la prueba. Diremos entonces que la probabilidad caracterstica fue de 0.7 pero podemos describir los resultados de la prueba como un proceso de Bernoulli slo si tenemos la seguridad de que la proporcin de los que fueron aprobados permaneci constante con el tiempo.

Des de luego, la otra caracterstica del proceso de Bernoulli tambin deber ser satisfecha. Cada prueba deber arrojar tan slo dos resultados (xito o fracaso= y los resultados de las pruebas habrn de ser estadsticamente independientes.

En un lenguaje ms formal, el smboloprepresenta la probabilidad de un xito y el smbolo q ( 1- p ) representa la probabilidad de un fracaso. Para representar cierto nmero de xitos, utilizaremos el smbolory para simbolizar el nmero total de ensayos emplearemos el smbolon.Entonces tenemos que :PProbabilidad de xito.

QProbabilidad de fracaso.

rNmero de xitos deseados.

nNmero de ensayos efectuados.

Existe una frmula binomial:Probabilidad de r xitos en n ensayos es :

N! / R! (N-R)! PRQN-RRecordemos que el smbolo factorial! Significa por ejemplo que es 3! = 3*2*1 = 6

Los matemticos definen 0! = 1.

La distribucin binomial se puede expresar de forma grficaImaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo. Cinco alumnos estn en el jardn de nios. La directora lleva tiempo estudiando el problema, habiendo llegado a la conclusin de que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumno llegue tarde y de que los alumnos lleguen independientemente uno de otro Cmo trazamos una distribucin binomial de probabilidad que ilustre las probabilidades de que 0,1,2,3,4 5 estudiantes lleguen tarde simultneamente? Para hacerlo necesitaremos utilizar la frmula binomial donde :

Condiciones para una distribucin binomial

Una distribucin se denomina binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes:

Elexperimento aleatoriode base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.

En cada prueba se tiene una mismaprobabilidaddexito(suceso A), expresada por p. Asimismo, existe en cada prueba una misma probabilidad defracaso(suceso), que es igual a q = 1 - p.

El objetivo de la distribucin binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto nmero de xitos. Lavariable aleatoriaX, que indica el nmero de veces que aparece el suceso A (xito), esdiscreta, y surecorridoes el conjunto {0, 1, 2, 3, ..., n}.

Ladistribucin binomialse expresa como B (n, p), siendo n el nmero de veces que se repite el experimento y p la probabilidad de que se produzca un xito.

Funcin de probabilidad

La distribucin binomial se caracteriza porque sufuncin de probabilidadviene dada por la expresin siguiente:

donde r es el nmero de xitos asociado al experimento aleatorio.

En una distribucin binomial B (n, p) se verifica que: La probabilidad de que aparezca al menos un xito en las n repeticiones es igual a:

La probabilidad de que se produzca un xito como mximo en las n repeticiones se determina como:

Esperanza, varianza y desviacin tpica

En una distribucin binomial denotada por B (n, p), donde n es el nmero de repeticiones del experimento y p la probabilidad de que se produzca un cierto suceso (xito), laesperanza matemticade la variable aleatoria X viene dada por la expresin siguiente:

Anlogamente, lavarianzade la variable aleatoria X, al ser sta de tipo discreto, se calcula como:

siendo q la probabilidad de no xito (fracaso). Ladesviacin tpicaes, como de costumbre, la raz cuadrada de la varianza:

Ajuste de una distribucin binomial

En ocasiones, el clculo de la probabilidad de una distribucin binomial del tipo B (n, p) resulta muy complicado. Segn demostr el matemtico francs Abraham de Moivre (1667-1754), la probabilidad de una distribucin binomial B (n, p) puede aproximarse por medio de unadistribucin normal(ver t56) de tipo N (np,), que resulta particularmente adecuada cuando:

El valor de n es muy elevado.

Tanto np y nq sonque 5. (Obsrvese que cuanto mayor es n y ms se aproxima p a 0,5 tanto mejor es la aproximacin realizada).

Para transformar una distribucin binomial (de variable discreta) en una normal (de variable continua), es preciso proceder a la siguiente transformacin: