06 Distribución Binomial

Distribución Binomial

Ing. Julio Carreto

Ing. Julio Carreto 2

Una persona arroja 1 dado apostando con otro a que saca un as. La probabilidad de sacar el as es igual a:

La Distribución Binomial

...1666,061 =


Es decir que la probabilidad que tiene de acertar es 17 % aproximadamente.



Ahora, supongamos que la persona arroja 5 dados iguales a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que saque 0, 1, 2, 3... ases?.




0 As



1 As



2 Ases



3 Ases



4 Ases



5 Ases


¿Es tan probable sacar 1 ó 2 ases como sacar 5 ases?.

A priori parecería que no.



Cuando realizamos una experiencia individual donde el resultado debe ser sólo uno de dos posibles: acierto/fallo, cara/cruz, etc. decimos que es un ensayo de Bernouilli.



En nuestro caso, cada vez que arrojamos un dado podemos definir nuestro experimento registrando sólo dos resultados posibles:


Ningún As

Un As


Cada acto individual de arrojar un dado es independiente de los otros y la probabilidad de obtener un as es:


61


Y la probabilidad de obtener cualquier otro resultado que no sea un as es:


6

5


Entonces, cuando arrojamos 5 dados, la probabilidad de obtener 5 ases es:


=⋅⋅⋅⋅=61

61

61

61

61

)5( asesP

00013,07776

1 ≈=


La probabilidad de no tener ningún as (0 ases) también podemos calcularla, porque al arrojar un sólo dado, la probabilidad de que no salga un as es:


65


Y la probabilidad de no obtener ningún As en los 5 dados arrojados es:


=⋅⋅⋅⋅=65

65

65

65

65

)0( asP

402,077763125 ≈=


Nos falta calcular las probabilidades intermedias, es decir la probabilidad de obtener 1, 2, 3...ases. Es posible calcular todas estas probabilidades con una fórmula binomial.




¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 As al arrojar 5 dados?

Por ejemplo, una forma es que salga un As en el primer dado:


La probabilidad de sacar 1 As en el primer dado y no sacar As en los otros cuatro es:


=⋅⋅⋅⋅=6

5

6

5

6

5

6

5

6

1)as1(P

Probabilidad

de no sacar As

Probabilidad

de sacar 1 As


Pero hay 5 formas diferentes de obtener 1 As en cinco dados arrojados:



Por lo tanto, la probabilidad de sacar 1 As al arrojar 5 dados es:


=⋅⋅⋅⋅⋅=6

5

6

5

6

5

6

5

6

15)as1(P

Probabilidades

de no sacar As

Probabilidad

de sacar 1 As

Nº de formas

de sacar 1 As


Para calcular la probabilidad de obtener 1 As en cinco dados arrojados debemos calcular:

➊ La probabilidad de que en cinco dados arrojados uno de ellos sea un As y los otros cuatro no sean As.

➋ El número de combinaciones diferentes en que se puede dar esa situación: un As en cinco dados.



➊ Hemos visto como hacer lo primero:


=⋅⋅⋅⋅⋅=6

5

6

5

6

5

6

5

6

15)as1(P

Cálculo de la Probabilidad de

obtener 1 As al arrojar cinco dados



=⋅⋅⋅⋅⋅=6

5

6

5

6

5

6

5

6

15)as1(P

Nº de formas diferentes de

obtener 1 As al arrojar cinco dados

➋ Y sabemos que hay cinco maneras diferentes de obtener un As en cinco dados arrojados:


¿Cómo podemos generalizar el cálculo de las distintas formas de obtener 1 As, 2 Ases, etc. en cinco dados arrojados?



La respuesta la dan los números combinatorios:


( ) =mn )!(!

!nmn

m−⋅


donde


mm ⋅⋅⋅= ....321!

nn ⋅⋅⋅= ....321!

son el factorial de m y de n respectivamente.


La expresión representa el número de combinaciones de m elementos tomados de a n (agrupados de a n).


( ) =mn )!(!

!nmn

m−⋅


Por ejemplo, si tenemos las 5 letras A, B, C, D y E, y queremos saber cuantas son todas las combinaciones posibles agrupándolas de a tres en cualquier orden: ABC, ADC, ...etc., hacemos el cálculo siguiente:


( ) =53

10)!35(!3

!5 =−⋅



ABC DBC EBC ADCAEC

ABD ABE DEC DBEADE

ABCDE

Todas las combinaciones agrupando de a tres

Total de Letras


Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli, con probabilidad p de tener un acierto (Probabilidad 1-p de tener un fallo).



Entonces, la probabilidad de obtener y aciertos en n ensayos de Bernouilli es:


( ) =⋅⋅= −YnYnY qpYP )(

YnY qpYnY

n −⋅⋅−⋅

=)!(!

!


Esta probabilidad es un término del binomio siguiente:


( ) ( )∑=

−⋅⋅=+n

Y

YnYnY

n qpqp0


donde


porque en un ensayo de Bernouilli ambos eventos acierto/fallo se excluyen mutuamente, es decir, ocurre un acierto o un fallo, pero nunca ambos simultáneamente.

1=+ qp


Los términos de la suma son las probabilidades P(y), que determinan la distribución de probabilidades de la variable aleatoria y, la cual es una variable discreta (toma los valores 0, 1, 2, ...etc.).



Aplicando la fórmula al caso de 5 dados:


( ) =

⋅

⋅=

−Y5Y5Y 6

5

6

1)Y(P

Y5Y

6

5

6

1

)!Y5(!Y

!5−

⋅

⋅

−⋅=


La probabilidad de no sacar ningún As es:


( ) =

⋅

⋅=

−05050 6

5

6

1)0(P

402.06

5

6

1

)!05(!0

!5050

=

⋅

⋅

−⋅=

−


La probabilidad de obtener 1 As:


( ) =

⋅

⋅=

−15151 6

5

6

1)1(P

402.06

5

6

1

)!15(!1

!5151

=

⋅

⋅

−⋅=

−


La probabilidad de obtener 2 Ases:


( ) =

⋅

⋅=

−25252 6

5

6

1)2(P

161.06

5

6

1

)!25(!2

!5252

=

⋅

⋅

−⋅=

−




( ) =

⋅

⋅=

−35353 6

5

6

1)3(P

032.06

5

6

1

)!35(!3

!5353

=

⋅

⋅

−⋅=

−




( ) =

⋅

⋅=

−45454 6

5

6

1)4(P

003.06

5

6

1

)!45(!4

!5454

=

⋅

⋅

−⋅=

−


Y la probabilidad de obtener 5 Ases:


( ) =

⋅

⋅=

−55555 6

5

6

1)5(P

0001.06

5

6

1

)!55(!5

!5555

=

⋅

⋅

−⋅=

−


Resumiendo en una tabla:


Y P0 0,4021 0,4022 0,1613 0,0324 0,0035 0,0001



0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

0 As 1 As 2 Ases 3 Ases 4 Ases 5 Ases

P(Y

)


¿Cuál es el promedio de la variable aleatoria Y ?



La media de la variable aleatoria Y es:


pny ⋅=


La varianza de Y es:


qpn2 ⋅⋅=σ


Y entonces la desviación standard resulta:


qpn ⋅⋅=σ


En la experiencia de arrojar 5 dados:


83.06

15y =⋅=


¿Cómo interpretamos este resultado?

Si bien el promedio resulta un valor fraccionario, nos está diciendo que al arrojar los cinco dados estaremos más cerca de sacar 1 As que de sacar 2 o más ases.



De una manera más rigurosa, ese valor nos dice que si se repitiera la experiencia muchas veces, el promedio del número de ases que se obtendría en todos los experimentos sería igual a 0.83



La varianza de Y resulta:


69.06

5

6

152 =⋅⋅=σ


Y la desviación standard:


83.06

5

6

15 =⋅⋅=σ


Volvamos, ahora a nuestro apostador. Supongamos que arroja 5 dados y apuesta a que va a sacar 3 o más ases.



¿Cuál es la probabilidad que tiene de ganar? Esta probabilidad es la suma de los términos del binomio para 3, 4 y 5 aciertos (ases), es decir:




0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

0 As 1 As 2 Ases 3 Ases 4 Ases 5 Ases

P(Y

) Probabilidad de

obtener 3 o más Ases



( ) ( )∑=

−

≈

⋅

⋅=≥

5

3

55 035.0

65

61

3Y

YY

YYP


Quiere decir que la probabilidad de ganar es aproximadamente del 3,5 %.



Fin de la

sección

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