UNIVERSIDAD FERMÍN TORORELACIONES INDUSTRIALES

ESTADÍSTICA AVANZADA

Actividad Nº 3

Naduath MendozaC.I. 16592064

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La distribución Binomial es un caso particular

de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Esta distribución corresponde a la realización

de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, o su contrario A’, llamado fracaso.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL * Al repetir el experimento, el resultado

obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces p(A’) = 1 – p = q

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

EMPLEO DEL PROCESO DE BERNOULLI.

Podemos servirnos de los resultados de un número fijo de lanzamientos de una moneda como ejemplo de un proceso de Bernoulli. Este proceso lo describimos así:

Cada ensayo ( cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene sólo dos resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso.

EMPLEO DEL PROCESO DE BERNOULLI.

La probabilidad del resultado de cualquier ensayo (lanzamiento) permanece fija con el tiempo. Tratándose de una moneda la probabilidad de que salga de el lado A sigue siendo de 0.5 en cada lanzamiento, cualquiera que sea el número de veces que la moneda sea arrojada.

Los ensayos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Todo experimento que tenga estas

características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Todo experimento que tenga estas

características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Como el cálculo de estas probabilidades

puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de n y p que facilitan el trabajo.

EJEMPLO 1 En una oficina de servicio al cliente se

atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes

a)      3 no hayan recibido un buen servicio b)      Ninguno haya recibido un buen servicio c)      A lo más 4 personas recibieron un buen

servicio d)     Entre 2 y cinco personas

SOLUCIÓN A p(no buen servicio) = 10/100 = 0,1 n=15 p=0,1 x=3

P(X=x) = C(n.x) * p^x * (1-p)^(n-x)

P(X=3) = C(15,3) * 0,1^3 * 0.9^12 = 0.1285

SOLUCIÓN B n=15 k= 0 P= 10 100= 0.1 p (n, k, p) = 15 0 (0.1)0 (1-0.1) 15-0 = 1. (1) (0.9)15 = 0.2059

SOLUCIÓN C n=15 k= 4 p= 10/100= 0.1 P= (X≤ 4) P (n, n, p) = 15 4 . (0.1) 4 (1-0.1)15-4 = 1362 (0,0001). (0,9)11 = 1362 (0,0001) ( 0,3138) =0.428

SOLUCIÓN D (Parte I) n= 15 k= 2 p= 10/100= 0.1 p( n, k, p) = 15 2 (0.1)2 (1-0.1) 15-2 = 105 (0.01) (0.2541) =0.266803 X 100% = 26, 68% n= 15 k= p=10/100= 0.1 p ( n, k, p )= 15 1 (0.1)1 (1-01) 15-1

SOLUCIÓN D (Parte II) = 15 (0,1) (0,2287) = 0.34305 X 100% = 34.30% K0+k1+k2+k3+k4 26.59%+34.30%+26.68%+12.85%+4,28% N=15 K=5 P=10/100=0.1 (15/5) (0,1)5 (1.0,1)10-5 3003 (0,00001) (0,3486) = 0.01046

EJEMPLO 2 Muchos jefes se dan cuenta de que algunas de las

personas que contrataron no son lo que pretenden ser. Detectar personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha generado un nuevo negocio. Una revista nacional notificó sobre este problema mencionando que una agencia, en un periodo de dos meses, encontró que el 35% de los antecedentes examinados habían sido alterados. Suponga que usted ha contratado la semana pasada 5 nuevos empleados y que la probabilidad de que un empleado haya falsificado la información en su solicitud es 0.35.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada?

b) ¿Ninguna de las solicitudes haya sido falsificada? c) ¿Las cinco solicitudes hayan sido falsificadas?

SOLUCIÓN A p=(n, k, p ) = (n/k ) pk ( 1-p) n-k p= (n, k, p ) = 5 1 ( 0,035) 1 (1-0,35)5-1 = 5 1 (0.35)1 ( 0.1785) = 5 (0.5) (0.1785) = 0.445 B p= ( n, k, p ) = (n/k) p (1-p) n-k P= (n. k. p ) = 5 0 (0.35)° (1-035) 5-0 P= 5 0(0,35)° (0,1160) =0,1160

SOLUCIÓN C n=5 k=5 p= 0.35 (n/k) pk (1-p)n-k 5 5 (0,35)5 (1- 0,35) 5-5 1 (0,0052) (0.65) =0.0033