UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA

ÁREA DE ENERGÍA, LAS INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS

NATURALES NO RENOVABLES

INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y BINOMIAL NEGATIVA

INTEGRANTES:

Ángel Eduardo Tandazo G

Franklin Iván Gualan C

DOCENTE:

Ing. Juan Pablo Cabrera

Modulo: VI

Loja- Ecuador

MARCO TEÓRICO

TEMA

Distribución Binomial y Binomial negativa

PROBLEMA

La existencia y planteamiento de problemas de probabilidad complejos hace necesario un método que

nos permita la interpretación de ciertos problemas en los cuales se hace necesario un análisis

cualitativo de uno, o varios factores de interés en un determinado experimento o medición. Un

experimento a menudo consiste en pruebas repetidas, cada una con dos resultados posibles, los

cuales se pueden marcar como éxito o fracaso, esta es la base fundamental de la distribución binomial

y binomial negativa.

HIPÓTESIS

La aplicación diaria en la resolución de métodos que nos permitan simplificar los cálculos de problemas

propuestos nos lleva a conocer la distribución binomial y binomial negativa para poder obtener valores

positivos o negativos de un espacio muestra definido al cual deseamos aplicar para obtener un

resultado.

OBJETIVO

Conocer cómo se aplica el método binomial y binomial negativo para aprender resolver problemas

que requieran la aplicación del mismo para la simplificación de cálculo y la obtención de un resultado

más conciso de nuestro espacio muestral al cual evaluamos con un enfoque cualitativo en la obtención

del resultado deseado.

ÁREA DE ESTUDIO Y APLICACIÓN

Estocásticos, tratamiento de señales, procesamiento de señales, codificación y decodificación, etc.

METODOLOGÍA

• Investigación exploratoria

• Investigación descriptiva

UNIDADES MÉTRICAS

Valores en probabilidades

0 a 1; no se admiten valores negativos en un valor de probabilidad

Valores en secuencias para x

0,1,2…n todos valores enteros

DESARROLLO

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (N, P)

La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchas

aplicaciones bioestadísticas

Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un

experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”.

CARACTERÍSTICAS

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su

contrario B (fracaso).

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos

anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía

de una prueba a otra. La probabilidad de A es 1- p y la representamos por q.

El experimento consta de un número n de pruebas.

VARIABLE X

A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento,

la llamaremos variable aleatoria binomial.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores

0,1,2,3,4,..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas

las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por

combinaciones (número combinatorio n sobre k).

X=0,1,2,…..n

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Donde:

a) n es el número de pruebas

b) x es el número de éxitos es igual a r

c) p es la probabilidad de obtener un éxito

d) q es la probabilidad de obtener un fracaso, que se calcula q = 1 – p

LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La media y la varianza de una distribución binomial se calculan:

1. Media

2. Varianza

3. Desviación típica

𝜎 = √𝑛 ∗ 𝑝 ∗ 𝑞

EJERCICIOS

Ejemplo 1

De acuerdo con los datos de Control Escolar del C.U.C.S., El 25% de los alumnos de la Lic. C.F. Y D.

Trabajan en actividades relacionadas con el Entrenamiento Deportivo y la Educación Física. Si se

elige a 10 alumnos en forma aleatoria, calcule la probabilidad de que trabajen en actividades de

Entrenamiento Deportivo y la Educación Física:

6 alumnos

Menos de 5 alumnos

Ningún alumno

Más de tres alumnos

Ejercicio realizado en Excel.

numero pruebas numero de exitos Probabilidad exito Probabilidad de Fracaso

n x p q

10 0 0,25 0,75 0,05631351 5,63135147 Respuesta C

10 1 0,25 0,75 0,18771172 18,7711716

10 2 0,25 0,75 0,28156757 28,1567574

10 3 0,25 0,75 0,25028229 25,0282288

10 4 0,25 0,75 0,14599800 14,5998001 0,92187309 92,1873093 Respuesta B

10 5 0,25 0,75 0,05839920 5,83992004

10 6 0,25 0,75 0,01622200 1,62220001 Respuesta A

10 7 0,25 0,75 0,00308990 0,30899048

10 8 0,25 0,75 0,00038624 0,03862381

10 9 0,25 0,75 0,00002861 0,00286102

10 10 0,25 0,75 0,00000095 9,5367E-05 0,22412491 22,4124908 Respuesta D

De acuerdo con los datos de Control Escolar del C.U.C.S., El 25% de los alumnos de la Lic. C.F. Y D. Trabajan en

actividades relacionadas con el Entrenamiento Deportivo y la Educación Física. Si se elige a 10 alumnos en forma

aleatoria, calcule la probabilidad de que trabajen en actividades de Entrenamiento Deportivo y la Educación Física:

A) 6 alumnos

B) Menos de 5 alumnos

C) Ningún alumno

D) Mas de tres alumnos

b(x) Porcentaje b(x)

Ejercicio 2

La probabilidad de que cierto antibiótico presente una reacción negativa al administrarse a un ave

rapaz en recuperación es de 0.15. Si se les ha administrado dicho antibiótico a 10 aves, calcúlense las

probabilidades de que haya reacción negativa:

En dos aves

En ningún ave

En menos de 4 aves

En más de 3 aves

Entre 2 y 5 aves

Solución en Excel:

numero

pruebas

numero de

exitos

Probabilidad

exito

Probabilidad

de

Fracaso

n x p q

10 0 0,15 0,85 0,19687440 19,68744

10 1 0,15 0,85 0,34742542 34,74254

10 2 0,15 0,85 0,27589666 27,58967

10 3 0,15 0,85 0,12983372 12,98337 0,95003020

10 4 0,15 0,85 0,04009571 4,00957

10 5 0,15 0,85 0,00849086 0,84909

10 6 0,15 0,85 0,00124866 0,12487

10 7 0,15 0,85 0,00012591 0,01259

10 8 0,15 0,85 0,00000833 0,00083

10 9 0,15 0,85 0,00000033 0,00003

10 10 0,15 0,85 0,00000001 0,00000 0,04996980

La probabilidad de que cierto antibiótico presente una reacción negativa al

administrarse a un ave rapaz en

recuperación es de 0.15. Si se les ha administrado dicho antibiótico a 10 aves,

calcúlense las probabilidades de que haya reacción negativa:

a. En dos aves

b. En ningún ave

c. En menos de 4 aves

d. En más de 3 aves

b(x)Porcentaje

b(x)

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Consideremos un experimento donde las propiedades son las mismas que las que se indican para un

experimento binomial, con la excepción de que las pruebas se repetirán hasta que ocurra un número

fijo de éxitos. Por lo tanto, en vez de encontrar la probabilidad de x éxitos en n pruebas, donde n es

fija, ahora nos interesa la probabilidad de que ocurra el k-ésimo éxito en la x-ésima prueba. Los

experimentos de este tipo se llaman experimentos binomiales negativos.

CARACTERISTICAS:

El número total de puntos muestrales en el experimento que termina en un éxito, después de

la ocurrencia de k−1 éxitos y x −k fracasos en cualquier orden, es igual al número de

particiones de x−1 pruebas en dos grupos con k−1 éxitos que corresponden a un grupo y x−k

fracasos que corresponden al otro grupo.

Cada éxito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad 1-p.

VARIABLE BINOMIAL NEGATIVA.

El número X de pruebas que genera k éxitos en un experimento binomial negativo se llama

variable aleatoria binomial negativa.

FUNCION DE PROBABILIDAD

Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito con probabilidad p y un

fracaso con probabilidad q = 1 − p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X,

el número de la prueba en la que ocurre el k-ésimo éxito, es

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = (𝑥 − 1𝑘 − 1

)𝑝𝑘𝑞𝑥−𝑘, 𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2,…

Características:

• Media: 𝜇 =𝑘

𝑝

Varianza: 𝜎2 =𝑘

𝑝(1

𝑝− 1)

EJERCICIOS:

En el campeonato de futbol nacional el equipo que gane 4 juegos de 7 será el ganador. Suponiendo

que el equipo A tiene una probabilidad de 0.55 de ganarle al equipo B de su misma ciudad, y que

ambos equipos, Ay B se enfrentaran entre en los juegos de campeonato.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A ganara el campeonato en 3 juegos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie?

c) Si ambos equipos se enfrentan entre sí en una serie local y el ganador es quien gana 3 de 5 juegos

¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie local? Calcular la varianza y la media

SOLUCIÓN:

a)

X= número de juegos en los que se espera ganar completar el número de juegos necesarios para

obtener el campeonato.

K= número de éxitos necesarios para alcanzar el campeonato.

x= 6 ; k=4

𝑃(𝑋 = 6) = (53) (0.55)2(0.45)2 = 0.1853

b) El resultado es la sumatoria de todas las combinaciones en las que podría lograr el campeonato

𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7)

(33) (0.55)4(0.45)0 + (

43) (0.55)4(0.45)1 + (

53) (0.55)4(0.45)2 + (

63) (0.55)4(0.45)3 =

0.0915 + 0.1647 + 0.1853 + 0.1667 = 0.6083

c) En este caso cambia el valor de k pues se requieren k=3 éxitos en x=5 juegos para lograr ganar

la serie local.

𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5)

(22) (0.55)3(0.45)0 + (

32) (0.55)3(0.45)1 + (

42) (0.55)3(0.45)2 = 0.1663 + 0.2246 + 0.2021 = 0.5931

Media: 𝜇 =𝑘

𝑝=

3

0.55= 5.45 Varianza: 𝜎2 =

3

0.55(

1

0.55− 1) = 4.459

REFERENCIAS

I. http://www.ugr.es/~bioestad/_private/Tema_4_color.pdf

II. http://www.cucs.udg.mx/movimientohumano/files/File/Funciones%20de%20Distribucion%

20Normal%20y%20Binomial.pdf

III. http://www.youtube.com/watch?v=VbIyBmaoC-s

IV. http://www.ugr.es/~bioestad/_private/Tema_4_color.pdf

V. Hines W.PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAS PARA INGENIERÍA .Mexico.Editorial Continental .

1996 ,pp182-185

VI. Walpole R. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PARA INGENIERIA Y CIENCIAS. Mexico-Mexico.

Pearson Education.2007.pp158-175