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TEMA 14 (libro) : DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DEL LIBRO DE TEXTO

SE DEBEN DAR LOS RESULTADOS REDONDEADOS A 4 CIFRAS DECIMALES

DE ESTA RELACIÓN DE EJERCICIOS DEBES SABER HACER:

o Aplicar B(n,p) con ayuda de la fórmula y calculadora.

o Tipificar X ≡ N(𝜇, 𝜎) Z ≡ N(0,1).

o Manejar bien la tabla N(0,1) de manera directa e inversa.

o Y sobre todo: ¡ojo! con los sucesos de N(0,1) convertirlos en dibujos.

LOS EJERCICIOS DE BINOMIAL Y NORMAL SON MUY METÓDICOS, Y MUY DIFERENTES ENTRE

SÍ, NO ORIGINAN CONFUSIÓN.

EN EBAU SE PREGUNTARON POR PRIMERA VEZ EL CURSO PASADO (un ejercicio con dos apartados,

un apartado de probabilidad y en el otro una “normal”)

LOS QUE SE PUSIERON HACÍAN REFERENCIA AL CÁLCULO DE "𝜇" 𝑦 "𝜎" EN UNA NORMAL EN LA QUE DABA LA PROBABILIDAD EN %.(los últimos de esta relación son de ese tipo)

AÑADO COMO ÚLTIMO LOS TRES EJERCICIOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROPUESTOS EN EL MODELO DE EXAMEN QUE EL COORDINADOR PROPUSO

32.-33.-35.- Funciones de Probabilidad y Distribución

Sólo hago 33a) y 33d) para que conozcáis esos dos conceptos: Función de probabilidad y

función de distribución.

a) Tabla: X x1 x2 x3

P(X = xi) 2

3

1

6

1

5

Para que sea una función de probabilidad

La suma de todas las probabilidades debe ser 1 ∑ P(X = xi)3i=1 = 1 , en este caso

2

3+1

6+1

5=

31

30 > 1 No es una función de probabilidad.

d) Tabla: X x1 x2 x3 x4 x5

P(X = xi) 0,2 0,1 0,1 0,2 0,4

Para que sea una función de probabilidad

La suma de todas las probabilidades debe ser 1 ∑ P(X = xi)5i=1 = 1 , en este caso

0,2 · 2 + 0,1 · 2 + 0,4 = 1 Sí es una función de probabilidad.

Su función de distribución es (una función a trozos, escalonada)

𝐹(𝑥) =

{

0 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑥10,2 𝑠𝑖 𝑥1 ≤ 𝑥 < 𝑥2 0,3 𝑠𝑖 𝑥2 ≤ 𝑥 < 𝑥3 0,4 𝑠𝑖 𝑥3 ≤ 𝑥 < 𝑥4 0,6 𝑠𝑖 𝑥4 ≤ 𝑥 < 𝑥5

1 𝑠𝑖 𝑥5 ≤ 𝑥

Ese valor se ha obtenido sumando P(X=x1) y P(X=x2) 0,1+0,2=0,3

Ese valor se ha obtenido sumando P(X=x1), P(X=x2), P(X=x3)

y P(X=x4) 0,2+0,1+0,2+0,1 = 0,6

Se elabora de la siguiente manera:

F(xi) = P(X≤xi) Se calcula como suma de las probabilidades hasta el valor xi.

43.- ¿Distribución binomial? Escribo las características para que sea binomial

Se repite un experimento “n” veces en las mismas condiciones (independencia)

En el experimento aleatorio sólo pueden darse dos posibilidades :

que ocurra un determinado suceso A, que llamaremos éxito, o

que no ocurra dicho suceso, �̅�, que llamaremos fracaso

Para el suceso A, P(A) = p , entonces P(�̅�) = q = 1 - p

Si definimos X ≡ “nº de veces que ocurre el suceso A en las n veces que realizamos el experimento”,

X = 0, 1, 2 , 3 . . . n Se dice que “X sigue una distribución binomial de parámetros n y p”, y se escribe :

X ≡ B(n,p)

a) Si definimos X ≡ “nº de fichas que son blancas en las 4 extracciones” no sigue una

distribución binomial, porque no se repite el experimento en las mismas condiciones

(independencia), puesto que la extracción en cada caso es sin devolución.

b) Si definimos X ≡ “nº de fichas que son blancas en las 4 extracciones” sigue una

distribución binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(4,3/8).

c) Si definimos X ≡ “nº de veces que sale el número 1 en los 10 lanzamientos del dado”, sigue

una distribución binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(10,1/6).

d) Si definimos X ≡ “nº de veces que sale el número 3” no sigue una distribución binomial,

porque no sabemos cuántas veces se repite el experimento, y además no se repetiría en las

mismas condiciones.

e) Si definimos X ≡ “nº de personas, de un grupo de 20, que tienen los ojos azules” sigue una

distribución binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(20;0,1).

46.- ¿Distribución binomial?

a) Si definimos X ≡ “nº de tiradas con puntuación 10, de las 50 veces que lanza” sigue una

distribución binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(50; 0,97).

b) Si definimos X ≡ “nº de tornillos defectuosos de los 5 fabricados” ” sigue una distribución

binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(5; 0,12).

c) Si definimos X ≡ “nº de veces que sale el 6 de los 10 lanzamientos” sigue una distribución

binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(10, 1/6).

d) Si definimos X ≡ “nº de varones de una familia de 7 hijos” sigue una distribución binomial

porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(7, 1/6).

e) Si definimos X ≡ “nº de vecinos que tiene nietos, de un grupo de 20 vecinos” sigue una

distribución binomial porque cumple todas las condiciones. Además X ≡ B(20; 0,7).

f) Seguiría una distribución binomial si la variable aleatoria fuese saber si se han titulado en

el tiempo mínimo, pero esta variable no sigue una distribución binomial.

45.- Completar las tablas con la distribución de probabilidad

Para completar las tablas usamos la fórmula de la probabilidad para una variable aleatoria que sigue un

distribución binomial. 𝐏(𝐗 = 𝐤) = (𝐧𝐤)𝐩𝐤𝐪𝐧−𝐤 con k = 0,1,2 . . . n ; donde:

n = número de experimentos k = número esperado de éxitos

p = probabilidad de éxito q = 1 – p.

La calculadora tiene sobre una tecla (la de dividir) nCr que es la que sirve para calcular (

𝑛𝑟), se lee “n”

sobre”r”.Se introducen en el orden en el que se escriben , intercalando entre ellos SHIFT y la tecla

sobre la que se encuentre, para que calcule; es decir, para calcular (32) 3 SHIFT

.. 2 = 3 . [Así

funciona mi calculadora]

Para calcular cualquier probabilidad introduce todos los datos seguidos y copia el resultado

a) X ≡ B(3; 0,9) xi 0 1 2 3

P(X = xi) 0,001 0,027 0,243 0,729

En este caso n = 3 ; k = 0, 1, 2, 3 ; p = 0,9 y q = 0,1.

P(X = 0) = (30) 0,90 · 0,13 = 0,001 P(X = 1) = (3

1) 0,91 · 0,12 = 0,027

P(X = 2) = (32) 0,92 · 0,1 = 0,243 P(X = 3) = (

33) 0,93 · 0,10= 0,729

La media se calcula aplicando la fórmula:

𝜇 = ∑ [ 𝑥𝑖 · 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)]3𝑖=0 = 0 · P(X = 0) + 1 · P(X = 1) + 2 · P(X = 2) + 3 · P(X = 3) = 2,7

La desviación típica se calcula aplicando la fórmula:

𝜎 = √∑ [ 𝑥𝑖2 · 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)] − 𝜇

23𝑖=0 =

√02 · P(X = 0) + 12 · P(X = 1) + 2 2 · P(X = 2) + 32 · P(X = 3) – 2,72 = √0,26998 = 0,5196

b) X ≡ B(5; 0,15) xi 0 1 2 3 4 5

P(X = xi) 0,4437 0,3915 0,1382 0,0244 0,0022 0,00008

En este caso n = 5 ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ; p = 0,15 y q = 0,85.

P(X = 0) = (50) 0,150 · 0,855 = 0,4437 P(X = 1) = (5

1) 0,151 · 0,854 = 0,3915

P(X = 2) = (52) 0,152 · 0,853 = 0,1382 P(X = 3) = (5

3) 0,153 · 0,852= 0,0244

P(X = 4) = (54) 0,154 · 0,851 = 0,0022 P(X = 5) = (5

5) 0,155 · 0,850 = 0,00008

La media se calcula aplicando la fórmula:

𝜇 = ∑ [ 𝑥𝑖 · 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)]3𝑖=0 = 0 · P(X = 0) + 1 · P(X = 1) + 2 · P(X = 2) + 3 · P(X = 3) + 4 · P(X = 4) +

5· P(X = 5) = 0,7503

La desviación típica se calcula aplicando la fórmula:

𝜎 = √∑ [ 𝑥𝑖2 · 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)] − 𝜇

2 3𝑖=0 =

√0 · P(X = 0) + 1 · P(X = 1) + 2 2 · P(X = 2) + 32 · P(X = 3) + 42 · P(X = 4) + 52 · P(X = 5)– 0,75032

= √0,6381 = 0,7988

9.- X ≡ B(8; 0,6)

Identificamos los valores necesarios para aplicar la fórmula conocida del cálculo de

probabilidades de una variable aleatoria que sigue una distribución binomial.

X ≡ B(n,p) 𝐏(𝐗 = 𝐤) = (𝐧𝐤)𝐩𝐤𝐪𝐧−𝐤 con k = 0, 1, 2 . . . n ; donde:

n = número de experimentos k = número esperado de éxitos

p = probabilidad de éxito q = 1 – p.

En nuestro caso ahora es :

𝐏(𝐗 = 𝐤) = (𝟖𝐤) 𝟎, 𝟔𝐤 · 𝟎, 𝟒𝟖−𝐤 con k = 0, 1, 2 . . . 8 ; porque:

n = 8 k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

p = 0,6 q = 1 – 0,6 = 0,4

Pide calcular:

a) P(X = 4) = (𝟖𝟒) 𝟎, 𝟔𝟒 · 𝟎, 𝟒𝟒= 0,2322

b) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,0007 + 0,0079 = 0,0085

P(X = 0) = (𝟖𝟎) 𝟎, 𝟔𝟎 · 𝟎, 𝟒𝟖 = 0,0007 P(X = 1) = (

𝟖𝟏)𝟎, 𝟔𝟏 · 𝟎, 𝟒𝟕= 0,0079

c) P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) = 0,3154

P(X = 6) = (𝟖𝟔) 𝟎, 𝟔𝟔 · 𝟎, 𝟒𝟐 = 0,20902 P(X = 7) = (

𝟖𝟕) 𝟎, 𝟔𝟕 · 𝟎, 𝟒𝟏= 0,0896

P(X = 8) = (𝟖𝟖) 𝟎, 𝟔𝟖 · 𝟎, 𝟒𝟎= 0,0168

d) P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,6347

P(X = 3) = (𝟖𝟑) 𝟎, 𝟔𝟑 · 𝟎, 𝟒𝟓 = 0,1239 P(X = 4) = (

𝟖𝟒) 𝟎, 𝟔𝟒 · 𝟎, 𝟒𝟒= 0,2322

P(X = 5) = (𝟖𝟓) 𝟎, 𝟔𝟓 · 𝟎, 𝟒𝟑= 0,2787

e) P(X ≤ 7) = P(X = 0) + P(X = 1) + . . . + P(X = 6) + P(X = 7) Habría que aplicar 8 veces la

fórmula, por eso vamos a calcular la probabilidad con ayuda del suceso contrario:

Como el suceso contrario a X ≤ 7 es X > 7, por las propiedades de la probabilidad, podemos

escribir :

P(X ≤ 7) = 1 – P(X > 7) = 1 – P(X = 8) = 1 - (𝟖𝟖)𝟎, 𝟔𝟖 · 𝟎, 𝟒𝟎 = 1-0,0168 = 0,9832

f) P(0 < X < 8) = P(X = 1) + P(X = 2) + . . . + P(X = 6) + P(X = 7) Habría que aplicar 7 veces la

fórmula, entonces vamos a calcular la probabilidad con ayuda del suceso contrario:

El suceso contrario de 0 < X < 8 es {X = 0 , X = 8}

P(0 < X < 8) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 8)] = 1 – [ (𝟖𝟎)𝟎, 𝟔𝟎 · 𝟎, 𝟒𝟖 +(

𝟖𝟖) 𝟎, 𝟔𝟖 · 𝟎, 𝟒𝟎] =

1 - 0,0007 – 0,0168 = 0,9825

10.- Problema:

- Definimos la variable aleatoria X (nos fijamos en A y p)

X = nº de personas, que de un grupo de 10, dan negativo en la prueba de diabetes.

X sigue una distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,98 , porque:

Se escogen las 10 personas de manera independiente unas de otras n = 10

Con las personas sólo pueden darse dos posibilidades :

A = la persona da negativo en el análisis, o

�̅� = la persona da positivo en el análisis

Para el suceso A, P(A) = 98% = 0,98 p = 0,98; entonces P(�̅�) = 1 – 0,98 = 0,02

q = 0,02

De ahí que escribamos X ≡ B(10;0,98)

- De igual manera podíamos definir Y (nos fijamos en A̅ y q)

Y = nº de personas, que de un grupo de 10, dan positivo en la prueba de diabetes.

Y sigue una distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,02 , porque:

Se escogen las 10 personas de manera independiente unas de otras n = 10

Con las personas sólo pueden darse dos posibilidades :

A = la persona da negativo en el análisis, o

�̅� = la persona da positivo en el análisis

Para el suceso A, P(A) = 98% = 0,98 p = 0,98; entonces P(�̅�) = 1 – 0,98 = 0,02

q = 0,02

De ahí que escribamos Y ≡ B(10;0,02)

Nos pide calcular:

a) P(X = 8) = (108)0,988 · 0,022= 0,0153 o también

P(Y = 2) = (102)0,022 · 0,988= 0,0153

b) P(Y > 1) = 1 – P(Y = 0) – P(Y = 1) = 1 - (100)0,020 · 0,9810 - (10

1)0,021 · 0,989 =

1 – 0,8171 – 0,1667 = 0,0162

49.- ¡ Hay que usar suficientes cifras decimales, porque si no el resultado sale 0 !

Definimos la variable aleatoria X = nº de pilas descargadas de las 12 que escogemos.

X sigue una distribución binomial de parámetros n = 12 y p = 0,002, porque:

Se escogen las 12 pilas de manera independiente unas de otras n = 12

Con las pilas sólo pueden darse dos posibilidades :

A = la pila esté descargada, o

�̅� = la pila no esté descargada

Para el suceso A, P(A) = 2‰ = 0,002 p = 0,002; entonces P(�̅�) = 1 – 0,002 = 0,998 q = 0,998

De ahí que escribamos X ≡ B(12; 0,002)

Nos pide calcular :

P(X > 2) = 1 – P( X ≤ 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] =

1 - 0,976262 - 0,023477 - 0,000258 = 1 – 0,999997 = 0,000003

P(X = 0) = (𝟏𝟐𝟎) 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟎 · 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟏𝟐 = 0,976262 ; P(X = 1) = (

𝟏𝟐𝟏)𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟏 · 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟏𝟏= 0,023477

P(X = 2) = (𝟏𝟐𝟐) 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐 · 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟏𝟎 = 0,000258

50.- Lanzar moneda 8 veces y contar el número de caras

Definimos la variable aleatoria X = nº de caras que salen al lanzar 8 veces una moneda”.

X sigue una distribución binomial de parámetros n = 8 y p = 0,5 porque:

Se lanza 8 veces la moneda de manera independiente una de otras n = 8

Al lanzar la moneda sólo pueden darse dos posibilidades :

A = sale cara, o

�̅� = no sale cara

Para el suceso A, P(A) = 1/2 = 0,5 p = 0,5; entonces P(�̅�) = 1 – 0,5 = 0,5 q = 0,5

De ahí que escribamos X ≡ B(8; 0,5) :

Nos pide calcular :

P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) o también,

y más rápido:

P(X ≤ 5) = 1 – P(X > 5) = 1 – [P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)] = 1 - 0,109375 - 0,03125 -

0,00390625 = 1 – 0,14453125 = 0,8555

o P(X = 6) = (𝟖𝟔) 𝟎, 𝟓𝟔 · 𝟎, 𝟓𝟐 = 0,109375 ; P(X = 7) = (

𝟖𝟕) 𝟎, 𝟓𝟕 · 𝟎, 𝟓𝟏= 0,03125

o P(X = 8) = (𝟖𝟖) 𝟎, 𝟓𝟖 · 𝟎, 𝟓𝟎 = 0,00390625

95.- El 10% de los boletos de una tómbola premiados

¿Qué es más fácil? Dos premiados comprando 10 o Uno premiado comprando 3

En ambos casos se trata de calcular probabilidades de variables aleatorias que siguen

sendas distribuciones binomiales. Veámoslo:

Definimos la variable aleatoria X1 = nº de boletos premiados de los 10 comprados”.

X1 sigue una distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,1 porque:

o Se compran 10 boletos de manera independiente n = 10

o Al comprar los boletos sólo pueden darse dos posibilidades :

o A = está premiado, o

o �̅� = no está premiado

o Para el suceso A, P(A) = 10% = 0,1 p = 0,1; entonces P(�̅�) = 1 – 0,1 = 0,9 q = 0,9

De ahí que escribamos X1 ≡ B(10; 0,1)

Definimos la variable aleatoria X2 = nº de boletos premiados de los 3 comprados”.

X2 sigue una distribución binomial de parámetros n = 3 y p = 0,1 porque:

o Se compran 3 boletos de manera independiente n = 3

o Al comprar los boletos sólo pueden darse dos posibilidades :

o A = está premiado, o

o �̅� = no está premiado

o Para el suceso A, P(A) = 10% = 0,1 p = 0,1; entonces P(�̅�) = 1 – 0,1 = 0,9 q = 0,9

De ahí que escribamos X2 ≡ B(3; 0,1)

Debemos comparar los resultados P(X1 = 2) y P(X2 = 1) . Vamos a calcularlos:

Dos premiados comprando 10 P(X1 = 2) = (𝟏𝟎𝟐)𝟎, 𝟏𝟐 · 𝟎, 𝟗𝟖 = 0,193710

Uno premiado comprando 3 P(X2 = 1) = (𝟑𝟏)𝟎, 𝟏𝟏 · 𝟎, 𝟗𝟐 = 0,243

Como P(X1 = 2) < P(X2 = 1), es más fácil conseguir un premio comprando 3 boletos.

66.- La variable aleatoria Z ≡ N(0,1) Manejar la tabla

Podemos usar la tabla asignando antes “el dibujo” que equivale al suceso:

a) P(Z < 0,6) = 0,7257

Suceso : como es < y 0,6 es positivo

En todos estos casos el cálculo es directo con mirar la tabla:

unidad-décima en la columna izquierda y centésima en la fila superior)

b) P(Z ≤ 0,92) = 0,8212

Suceso : como es ≤ y 0,92 es positivo

c) P(Z < 1,3) = 0,9032


d) P(Z ≤ 2,4) = 0,9918


e) P(Z < 1,23) = 0,8907


f) P(Z ≤ 2,01) = 0,9778


g) P(Z ≤ 0,07) = 0,5279


c) P(Z < 0,31) = 0,6217


70.- La variable aleatoria Z ≡ N(0,1) Manejar la tabla

a) P(Z > 1,11) = 1 – P(Z ≤ 1,11) = 1 – 0,8685 = 0,1335

Suceso : como es > y 1,11 es positivo, usaremos el “contrario” y la

tabla. En el dibujo, el contrario (que lo da la tabla) es la zona

“blanca”.

b) P(Z ≤ -0,93) = P(Z ≥ 0,93) = 1 – P(Z< 0,93) = 1 – 0,8238 = 0,1762

Suceso : aunque sea ≤ como -0,92 no es positivo, no se puede usar la

tabla todavía; usaremos la “simetría” de la curva normal, el

“contrario” y la tabla. Caso anterior.

c) P(Z ≥ 2,29) = 1 – P( Z < 2,29) = 1 – 0,9890 = 0,011

Como el caso a)

d) P(Z = 0) = 0, “Puntualmente” ( Z=…) la

probabilidad de una distribución normal es

0.

e) P(Z < -0,33) = P(Z ≥ 0,33) = 1 – P(Z≤ 0,33) = 1 – 0,6293 = 0,3707

Como el apartado b)

f) P(Z > 0,45) = 1 – P(Z ≤ 0,45) =

1 – 0,6736 = 0,3264

Como los casos a) y c)

g) P(Z ≤ -1) = P(Z > 1) = 1 – P(Z < 1) = 1 – 0,8413 = 0,1587

Como los casos b) y e).

h) P(Z ≥ -2,11) = P(Z < 2,11) = 0,9826

Suceso : como es ≥ y -2,11 no es positivo, usaremos el “simétrico” y

la tabla.

17.- La variable aleatoria X ≡ N(5,2)Tipificar y así Z ≡ N(0,1) Manejar la tabla

La tabla sólo sirve si la variable aleatoria sigue una distribución N(0,1), en otro caso debemos

hacer “un cambio de variable” que recibe el nombre de TIPIFICAR:

Si X ≡ N(5,2) identificamos como μ = 5 y σ = 2 Definimos Z = X−μ

σ =

X−5

2 Z ≡ N(0,1)

Nos pide calcular :

a) P(X< 2) = P( X−5

2 <

2−5

2 ) = P(Z1,5) = 1 – P(Z≤-1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668

dibujo 1 simetría de N(0,1) dibujo 2 NO lo da la tabla hacer contrario dibujo 3 (tabla)

b) P(X > 3) = P( X−5

2 >

3−5

2 ) = P(Z>-1) = P(Z< 1) = 0,8413

dibujo 1 simetría de N(0,1) dibujo 2 (tabla)

c) P(X≤ 4) = P( X−5

2 ≤

4−5

2 ) = P(Z≤-0,5) = P(Z ≥ 0,5) = 1 – P(Z < 0,5) = 1 – 0,6915 = 0,3085

dibujo 1 simetría de N(0,1) dibujo 2 NO lo da la tabla hacer contrario dibujo 3 (tabla)

d) P(X ≥ 6) = P( X−5

2 >

6−5

2 ) = P(Z > 0,5) = 1 - P(Z< 0,5) = 1 – 0,6915 = 0,3085

dibujo 1 NO lo da la tabla hacer contrario dibujo 2 (tabla)

e) P(X< 7) = P( X−5

2 <

7−5

2 ) = P(Z< 1) = 0,8413

dibujo (tabla)

f) P(X≤ 8) = P( X−5

2 ≤

8−5

2 ) = P(Z ≤ 1,5) = 0,9332

dibujo (tabla)

74.- La variable aleatoria Z ≡ N(0,1) Manejar la tabla “a la inversa”

Nos pide calcular :

a) P(Z < k) = 0,9599

1º) Nos fijamos en el suceso Z < k (valores menores que “k”, se encuentran a la

izquierda de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser:

K positivo K negativo

2º) El valor de la probabilidad 0,9599, nos dice cuál de los dos es.

En este caso es el primer dibujo, porque:

Si k = 0 divide al “dibujo” por su mitad, de ahí que

P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 50% = 0,5, porque el “área completa bajo la curva” (al

medir toda la probabilidad) es 1.

Como la probabilidad que nos da el enunciado es mayor de 0,5, el valor de k

debe estar a la derecha de 0; es decir k > 0.

3º) Como en el suceso Z < k se cumplen las tres condiciones para poder usar la tabla:

1ª) Z ≡ N(0,1)

2ª) es “ < " y

3ª) K es positivo

4º) Podemos usar la tabla, pero “a la inversa” :

Debo buscar el valor de la probabilidad 0,9599 entre todos los valores de

la tabla (van ordenados de menor a mayor, como si “leyeras un texto

escrito”)

Una vez localizado, debemos calcular el valor de “k”, que debe tener

unidad-décima y centésima; las dos primeras se averiguan, moviéndonos

hacia la izquierda en la misma fila donde se encuentre el 0,9599 (en este

caso 1,7) y la centésima la localizamos moviéndonos hacia arriba en la

misma columna donde se encuentre el 0,9599 (en este caso 0,05). En

resumen k = 1,75

Así que si P(Z < k) = 0,9599 k = 1,75

b) P(Z > k) = 0,9375

1º) Nos fijamos en el suceso Z > k (valores mayores que “k”, se encuentran a la

derecha de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser:



En este caso es el segundo dibujo, porque:





debe estar a la izquierda de 0; es decir k < 0.

3º) Como en el suceso Z > k no se cumplen las tres condiciones para poder usar la

tabla (fallan dos de ellas), porque:

2ª) es “ > " y

3ª) k es negativo

4º) No podemos usar la tabla, debemos “cambiar” el suceso (Z > k) por otro, (Z k) = 0,9375 P(Z < -k) = 0,9375

(si k es negativo, -k es positivo)

5º) Podemos usar la tabla, pero “a la inversa”, razonando como en el apartado a) de

este mismo ejercicio. En este caso el valor 0,9375 no corresponde a ninguno de la

tabla; para ello buscamos dos valores : el inmediatamente menor 0,9370

(corresponde a 1,53) y el inmediatamente mayor 0,9382 (corresponde a 1,54);

entonces se toma como valor de k el promedio de ambos .

En este caso -k = 𝟏,𝟓𝟑+𝟏,𝟓𝟒

𝟐 = 1,535

Así que si P(Z > k) = P(Z < -k) = 0,9375 k = -1,535

c) P(Z > k) = 0,3085


derecha de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser: K positivo K negativo


En este caso es el primer dibujo, porque:




Como la probabilidad que nos da el enunciado es menor de 0,5, el valor de k

debe estar a la derecha de 0; es decir k > 0.

3º) Como en el suceso Z > k no se cumple una de las tres condiciones para poder usar

la tabla, porque: es “ > "

4º) Debemos usar la probabilidad que nos dan para calcular la probabilidad del suceso

contrario (Z< k), que sí la da la tabla de la curva de la N(0,1) . Así:

K positivo SUCESO CONTRARIO K positivo

P(Z > k) = 0,3085 P(Z < k) = 1 - P(Z > k)


5º) Como P(Z > k) = 0,3085 P(Z < k) = 1 - P(Z > k) = 1 – 0,3085 = 0,6915

6º) Ya podemos usar la tabla, pero “a la inversa”. Buscamos el valor de la probabilidad

0,6915 entre todos los valores de la tabla k = 0,5

Así que si P(Z > k) = 0,3085 k = 0,5

d) P(Z < k) = 0,0256

1º) Nos fijamos en el suceso Z < k (valores menores que “k”, se encuentran a la

izquierda de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser:









3º) No podemos usar la tabla Como en el suceso Z < k no se cumplen las tres

condiciones (falla una de ellas) : k es negativo.

4º) Debemos “cambiar” el suceso (Z < k, con k < 0) por otro, (Z > -k)

que tenga su misma probabilidad (misma área bajo la curva) con ayuda de las

propiedades (simetría) de la curva de la N(0,1) ; pero a este suceso no se le puede

aplicar la tabla, para ello hacemos su contrario. Así:

K negativo SIMETRÍA de N(0,1) -K positivo CONTRARIO -k negativo

P(Z < k) = 0,0256 P(Z > -k) = 0,0256 1 - P(Z < -k) = 0,0256

(si k es negativo, -k es positivo) (si k es negativo, -k es positivo)

5º) Tenemos entonces que P(Z < k) = P(Z > -k) = 1 - P(Z < -k) = 0,0256

P(Z < -k) = 1 - 0,0256 = 0,9744

Usamos la tabla, pero “a la inversa” : debo buscar el valor de la probabilidad 0,9744

entre todos los valores de la tabla . Se obtiene que –k = 1,95 k = - 1,95.

Así que si P(Z < k) = 0,0256 k = -1,95

e) P(Z ≤ k) = 0,4364

1º) Nos fijamos en el suceso Z ≤ k (valores menores o iguales que “k”, se encuentran a

la izquierda de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser:









3º) No podemos usar la tabla Como en el suceso Z < k no se cumplen las tres

condiciones (falla una de ellas) : k es negativo.

4º) Debemos “cambiar” el suceso (Z < k, con k < 0) por otro, (Z > -k)


propiedades (simetría) de la curva de la N(0,1) ; pero a este suceso no se le puede

aplicar la tabla, para ello hacemos su contrario. Así:

K negativo SIMETRÍA de N(0,1) -K positivo CONTRARIO -k negativo

P(Z < k) = 0,4364 P(Z > -k) = 0,4364 1 - P(Z < -k) = 0,4364

(si k es negativo, -k es positivo) (si k es negativo, -k es positivo)

5º) Tenemos entonces que P(Z < k) = P(Z > -k) = 1 - P(Z < -k) = 0,4364

P(Z < -k) = 1 - 0,4364 = 0,5636

Usamos la tabla, pero “a la inversa” : debo buscar el valor de la probabilidad 0,5636

entre todos los valores de la tabla . Se obtiene que –k = 0,16 k = - 0,16.

Así que si P(Z < k) = 0,0256 k = -0,16.

f) P(Z > k) = 0,5557


derecha de “k”) y esbozamos su dibujo puede ser:









3º) Como en el suceso Z > k no se cumplen las tres condiciones para poder usar la

tabla (fallan dos de ellas), porque:

2ª) es “ > " y

3ª) k es negativo

4º) No podemos usar la tabla, debemos “cambiar” el suceso (Z > k) por otro, (Z


propiedades (simetría) de la curva de la N(0,1) . Así:

K negativo SIMETRÍA de N(0,1) K positivo

P(Z > k) = 0,5557 P(Z < -k) = 0,5557


5º) Podemos usar la tabla, pero “a la inversa”, en este caso el valor 0,5557 se

corresponde con -k = 0,14 k = -0,14

Así que si P(Z > k) = P(Z < -k) = 0,5557 k = -0,14

75.- La variable aleatoria X ≡ N(108,16) tipificar y Z ≡ N(0,1) Manejar la

tabla “a la inversa”

Como X ≡ N(108,16) debemos tipificar, Z = X−μ

σ = X−108

16 Z ≡ N(0,1)

Nos pide calcular :

a) P(X < a) = 0,8849

Tipificando P(X < a) = P( X−10816

< a−108

16 ) = P( Z <

a−108

16 ) = 0,8849.

Si P( Z < a−108

16 ) = 0,8849 , razonando como en el apartado a) del ejercicio 74, . . . se

llega a saber que a−108

16 es positivo y como es

c) P(X < c) = 0,3632

Tipificando P(X < c) = P( X−10816

< c−108

16 ) = P( Z <

c−108

16 ) = 0,3632

Si P( Z < c−108

16 ) = 0,3632 , razonando como en el apartado d) del ejercicio 74, . . .

se llega a que c−108

16 es negativo y como es

76.- Probabilidad de Z ≡ N(0,1) en intervalos simétricos [-k,k] o (-k,k).

Nos pide calcular probabilidad de N(0,1) en intervalos simétricos.

Vamos a razonar de manera generalizada (cómo se haría en cualquier caso), y en vez de ir

repitiendo en todos los apartados lo mismo, podemos aplicar la “fórmula” que hayamos

obtenido:

Como Z ≡ N(0,1) y el intervalo es [-k,k] o (-k, k) razonamos así:

P(-k

f) P(-k < Z < k) = 0,9426

Aplicando el resultado al que hemos llegado razonando, se tiene que

P(-k0,67) = 1 - P( Z

82.- Problema : X es la variable que mide la talla, X ≡ N(165,12)

Tipificar la variable X Z = X−165

12

Calcula la probabilidad de que una persona:

a) Mida más de 170 cm Pide calcular P( X >170) = P( Z >170−165

12) = P(Z >

512

) =

P(Z > 0,42) = 1 - P(Z < 0,42) = 1 – 0,6628 = 0,3372 Redondear a las centésimas Contrario

b) Mida menos de 168 cm Pide calcular P( X < 168) = P( Z <168−165

12) = P(Z <

312

) =

P(Z < 0,25) = 0,5987

c) Mida entre 159 cm y 172 cm Pide calcular

P( 159 < X < 172) = P(159−165

12 < Z < 172−165

12) = P(

−6

12 < Z < 7

12) = P(-0,5< Z <

7

12)

P(-0,5< Z < 0,58) = = P(Z

Despejando k k−900

200 = -0,845 k = 900 - 200 · 0,845 = 731

“Las veinte lubinas más pequeñas pesan menos de 731g”

c) “La cuarta parte formada por las más grandes pesan más de . . .”

Como hay 100 ejemplares , la cuarta parte es 0,25 de la probabilidad, por eso nos pide calcular el valor de “k” cuando P(X > k) = 0,25

P(X > k) = P(Z>k−900

200 ) = 0,25 Usamos el contrario 1 - P(Z<

k−900

200) = 0,25

P(Z<k−900

200) = 1 – 0,25 = 0,75

k−900

200 = 0,675


200 = 0,675 k = 900 + 200 · 0,675 = 1035

“La cuarta parte formada por las más grandes pesan más de 1035g”

84.- Problema : X es la variable que mide el peso de las manzanas, X ≡ N(175,25)

Tipificar X Z = X−175

25

a) ¿Cuántas pesarán menos de 168g?

Pide calcular P( X < 168) = P( Z <168−175

25) = P(Z <

−725

) = P(Z

P(Z<k−175

25) = 1 – 0,25 = 0,75 usando la tabla:

k−175

25 = 0,675


25 = 0,675 k = 175 + 25 · 0,675 = 191,875

“La separación se establece en 191,875 kg”

94.- Problema : X es la variable que mide el contorno de la muñeca de los varones,

X ≡ N(20,5 ; 1,5)

Como X no es N(0,1) Tipificar Z = X−20,5

1,5

a) ¿% de la población con un contorno de muñeca de más de 23 cm? Pide calcular

P(X > 23) = P(Z >23−20,5

1,5) = P(Z>

2,5

1,5 ) = P(Z> 1,67) = 1 – P(Z< 1,67) = 1 – 0,9525 = 0,0475

Redondear a las centésimas Suceso contrario

El 4,75% de la población tiene un contorno de muñeca de más de 23 cm.

b)¿% de la población podrá usar correas con un contorno que mida entre 17 cm y 22 cm?

Pide calcular P(17 < X < 22) = P(17−20,5

1,5 < Z < 22−20,5

1,5) = P(

−3,5

1,5< Z <

1,5

1,5) =

P(-2,33< Z < 1) = P(Z

81.- Hallar 𝛍 𝐲 𝛔 de una distribución X ≡ N(𝛍 , 𝛔).

Lo primero que hay que hacer es tipificar: Z = X−μ

σ Z ≡ N(0,1)

a) P(X ≤ 22) = 0,6915

P(X < 28) = 0,9938

Se dan estas dos condiciones porque cada una nos conducirá a una ecuación con dos

incógnitas, μ y σ. Vamos a escribirlas:

P(X ≤ 22) = 0,6915 P(Z ≤ 22−μ

σ) = 0,6915

P(X < 28) = 0,9938 P(Z < 28−μ

σ) = 0,9938

En ambos casos responde a :

Los buscamos en la tabla de N(0,1)

22−μ

σ = 0,5 0,5 𝜎 + 𝜇 = 22 Aplicando “reducción” se obtienen los valores:

28−μ

σ = 2,5 2,5 𝜎 + 𝜇 = 28 𝝈 = 3 y 𝝁 = 20,5 X ≡ N(20,5 ; 3)

b) P(X > 25) = 0,1056

P(X > 4,8) = 0,9332

Usando Z ≡ N(0,1) dibujamos cada situación:

P(X > 25) = 0,1056 P(Z > 25−μ

σ) = 0,1056

P(X > 4,8) = 0,9332 P(Z > 4,8−μ

σ) = 0,9332

Por los valores que nos dan en cada probabilidad 25−μ

σ es positivo, pero

4,8−μ

σ es negativo

(entonces −4,8−μσ

es positivo), puedes identificarlos en cada dibujo, entonces usando el

contrario en el primer caso y el simétrico en el segundo, se obtiene:

P(Z > 25−μ

σ) = 1 - P(Z <

25−μ

σ) = 0,1056 P(Z <

25−μ

σ) = 0,8944 y

P(Z > 4,8−μ

σ) = P(Z < −

4,8−μ

σ) = 0,9332

Tenemos entonces que resolver el sistema:

P(Z < 25−μ

σ) = 0,8944 Los buscamos en la tabla de N(0,1) y obtenemos:

P(Z < −4,8−μσ

) = 0,9332

25−μ


−4,8−μσ

= 1,5 -1,5 𝜎 + 𝜇 = 4,8 2,75 𝜎 = 20,2 𝝈 = 7,35 y 𝝁 = 15,81

El resultado final es X ≡ N(15,81 ; 7,35)

87.- Hallar 𝛔 de una distribución X ≡ N(6,5; 𝛔).

Considerando X = tiempo de fabricación de camisas y X ≡ N(6,5; σ).

El enunciado se transforma en el siguiente cálculo:

P(X < 7) = 0,937 Tipificando Z = X−6,5

σ

P(Z < 7−6,5σ

) = P(Z < 0,5σ

) = 0,937 Se asocia a

Usando la tabla de la N(0,1) obtenemos que 0,5

σ = 1,53 𝛔 = 0,33

EJERCICIOS QUE EL COORDINADOR PUSO EN EL MODELO DE

EXAMEN EBAU

El de Probabilidad

En una universidad, el 65 % de sus miembros son estudiantes, el 25 % profesores y el

10 % personal de administración y servicios. Son mujeres el 60 % de los estudiantes, el 47 %

de los profesores y el 52 % del personal de administración y servicios. Si seleccionamos al

azar un integrante de esa universidad:

a) Determine la probabilidad de que sea mujer.

b) Sabiendo que la persona seleccionada ha resultado ser hombre, halle la probabilidad

de que sea estudiante.

Definimos los sucesos:

E = Ser estudiante , P = ser profesor , AS = ser de administración y servicios

M = ser mujer , H = ser hombre

Puede hacerse con un diagrama de árbol:

0,6 M

E

0,65 0,4 H

0,25 0,47 M

P

0,53 H 0,1

0,52 M

AS

0,48 H

a) Aplicando Teorema de la Probabilidad Total:

P(ser mujer) = P(M) = P(E ∩ M) + P(P ∩ M)+ P(AS ∩ M) = P(E) · P(M/E)+ P(P) · P(M/P)+ P(AS) · P(M/AS) =

0,65 · 0,6 + 0,25 · 0,47+ 0,1 · 0,52 = 0,5595

a) Aplicando Teorema de Bayes:

P(E/H) =P(E∩H)

P(H) P(E)·P(H/E)

1−P(M) =

0,65·0,4

1−0,5595 =

0,26

0,4405 = 0,5902

Puede hacerse con una tabla de contingencia:

M H

E 0,39 0,26 0,65

P 0,1175 0,1325 0,25

AS 0,052 0,048 0,1

0,5595 0,4405 1

(Para rellenar tabla 0,39 = 0,65 · 0,6 ; de modo análogo los demás 0,1175 = 0,25 · 0,47 ; 0,052 = 0,1 · 0,52 = 0,052 ; 0,26 = 0,65 · 0,4 . . .

Aplicando la definición de sucesos condicionados:

P(ser mujer) = 0,5595

P(E/H) = P(H∩E)

P(H) =

0,26

0,4405= 0,5902

El de la Binomial

En un centro de fertilidad, el porcentaje de éxito de cada intento de inseminación es

del 25 %. Escogidas 8 parejas al azar que se han sometido al tratamiento, determine:

a) Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de

embarazos conseguidos.

- Definimos la variable aleatoria X

X = número de embarazos conseguidos de un grupo de 8 parejas.

X sigue una distribución binomial de parámetros n = 8 y p = 0,25 , porque:

Se escogen las 8 parejas de manera independiente unas de otras n = 8

Con las parejas sólo pueden darse dos posibilidades :

A = la inseminación tiene éxito, o

�̅� = la inseminación no tiene éxito

Para el suceso A, P(A) = 25% = 0,25 p = 0,25;

entonces P(�̅�) = 1 – 0,25 = 0,75 q = 0,75

De ahí que escribamos X ≡ B(8;0,25)

b) La probabilidad de que haya exactamente 2 embarazos.

En este caso la fórmula es P(X = K ) = (𝟖𝐊)𝟎, 𝟐𝟓𝐊 · 𝟎, 𝟕𝟓𝟖−𝐊 con K = 0, 1, 2 … 7, 8

P(X = 2) = (𝟖𝟐) 𝟎, 𝟐𝟓𝟐 · 𝟎, 𝟕𝟓𝟔 = 0,3115

c) La media y la desviación típica de la distribución.

En una variable que sigue una distribución binomial X ≡ B(8;0,25)

Media 𝜇 = n · p = 8 · 0,25 = 2

Deviación típica 𝜎 = √𝑛 · 𝑝 · 𝑞 = √8 · 0,25 · 0,75 = √1,5 = 1,2247

El de la Normal

En un examen, el 35 % de los presentados obtuvo una mayor que 6, y el 40 % la obtuvo menor

que 4. Sabiendo que las notas siguen una distribución normal, determine su media y su

desviación típica.

Definimos la variable aleatoria X = notas y sigue una distribución normal, N(𝜇 , 𝜎)

¿ 𝜇 y 𝜎?

Interpretamos los sucesos:

35 % de los presentados obtuvo una mayor que 6 P(X> 6) = 0,35

40 % la obtuvo menor que 4 P(X< 4) = 0,4

Tenemos que resolver un sistema de ecuaciones con 𝜇 y 𝜎 como incógnitas.

Como X ≡ N(𝜇 , 𝜎) es necesario tipificar X Z = X−μ

σ .

Usando Z ≡ N(0,1) dibujamos cada situación:

P(X > 6) = 0,35 P(Z > 6−μ

σ) = 0,35

P(X < 4) = 0,4 P(Z<4−μ

σ) = 0,4

Por los valores que nos dan en cada probabilidad (0,35 < 0,5 y 0,4 < 0,5) se deduce que 6−μ

σ

es positivo, pero 4−μ

σ es negativo (entonces tendremos que −

4−μ

σ es positivo), puedes

identificarlos en cada dibujo. Para poder usar la tabla de N(0,1) usaremos el contrario en el

primer caso y el simétrico y contrario en el segundo, se obtiene:

P(Z > 6−μ

σ) = 1 - P(Z <

6−μ

σ) = 0,35 P(Z <

6−μ

σ) = 0,65 y

P(Z < 4−μ

σ) = P(Z > −

4−μ

σ) = 1 - P(Z < −

4−μ

σ) = 0,4 P(Z < −

4−μ

σ) = 0,6

Tenemos entonces que resolver el sistema:

P(Z < 6−μ

σ) = 0,65

P(Z < − 4−μ

σ) = 0,6

Los buscamos en la tabla de N(0,1) , a la inversa, y como los datos no se encuentra en

ella, hacemos promedio de dos y obtenemos:

6−μ


- 4−μ

σ = 0,255 -0,255 𝜎 + 𝜇 = 4 0,64 𝜎 = 2 𝝈 = 3,125 y 𝝁 = 4,7969

El resultado final es X ≡ N(3,125 ; 4,7969)

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