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La DistribuciónBinomial

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La Distribución Binomial

Un modelo matemático es una expresión matemática que se utiliza para representar una

variable de interés.

La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticas más útiles. La distribución

binomial se utiliza cuando la variable aleatoria de interés es discreta y representa el número de

éxitos en una muestra compuesta por n observaciones

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La Distribución Binomial

Es una función de distribución de probabilidad con muchas aplicaciones en la

vida diaria. Las variables que se estudian son dicotómicas.

Su suceso primario se identifica como un éxito.

Posee cuatro propiedades esenciales:

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La Distribución Binomial

1. La muestra se compone de un número fijo de observaciones (n) o veces que se realiza el experimento aleatorio(E).

2. Cada observación se puede clasificar en dos categorías: éxito o fracaso.

3. Si la probabilidad de éxito es p (constante), la probabilidad de fracaso es 1-p (q).

4. El resultado de un suceso es independiente del resultado de cualquier otro suceso.

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p Probabilidad de éxito

1-p Probabilidad de fracaso

Probabilidades dadas

No confundir “p” minúscula con “P” mayúscula. La minúscula es la probabilidad que ya se

conoce(probabilidad de éxito) y la mayúscula es la de ocurrencia que se quiere calcular.

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Cuando los clientes hacen un pedido en la tienda Mayor,C.A., el sistema revisa si los datos están completos.

Los pedidos incompletos se marcan y se les incluye en un reporte de excepciones.

Según estudios anteriores, se ha determinado que la probabilidad de que un pedido se marque es de 0,10

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Si la probabilidad de que un pedido esté marcado es de 0,10

P(marcado) = 0,10

P(no marcado) = 1- 0,10 = 0,90

Es la probabilidad de éxito

Es la probabilidad de fracaso

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La Distribución Binomial

p = probabilidad de éxito1-p = probabilidad de fracaso n = veces que se realiza E x = número de sucesos exitosos

nx

ppxxn

nxXP xnx

,...,3,2,1,0

)1(!)!(

!)(

9

En Mayor,C.A., los pedidos incompletos se marcan y se incluyen en un reporte de excepciones.

Estudios anteriores han demostrado que la probabilidad de que un pedido sea marcado es de 0,10.

De una muestra de 4 pedidos, calcular la probabilidad que 3 de ellos estén marcados.

10

Probabilidad de éxito: p = 0,10

Veces que se realiza E: n = 4

Probabilidad a calcular: P(x=3) = ?

11

0036,0)3(

)0009,0(6

24)3(

)90,0)(001,0(1231

1234)3(

)10,01()10,0(!3!1

!4)3(

)10,01()10,0(!3)!34(

!4)3(

13

343

xP

xP

xxx

xxxxP

xxP

xP

La probabilidad de que 3 pedidos estén marcados es de

0,0036(0,36%)

12

Desigualdades en la Distribución Binomial

La desigualdad involucra la aplicación de la fórmula más de una vez en una sola solicitud.

El espacio muestral con el que se trabajará está bien definido.

El valor mínimo del espacio muestral es 0 (ninguno).

13

En Mayor,C.A.,los pedidos incompletos se marcan y se incluyen en un reporte de excepciones.

Estudios anteriores han demostrado que la probabilidad de que un pedido sea marcado es de 0,10.

De una muestra de 4 pedidos, calcular la probabilidad que 3 o más pedidos estén marcados.

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Tenemos: p = 0,10 n = 4

Probabilidad a calcular:

P(x ≥ 3) = P( x=3 ) + P( x = 4 ) = ?

15

)4()3()3( xPxPxP

444

343

)1(!4)!44(

!4)4(

)1(!3)!34(

!4)3(

ppxP

ppxP

Se calcula la probabilidad para x igual a 3 y para 4:

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0036,0)3(

)0009,0)(4()3(

)0009,0(1231

1234)3)

)9,0)(001,0(!3)!34(

!4)3( 1

xP

xPxxx

xxxxP

xP

17

0001,0)4(

)0001,0(1)4(

)9,0()1,0(!4!0

!4)4(

)1,01()1,0(!4)!44(

!4)4(

04

04

xp

xxP

xP

xP

18

0037,0)3(

0001,00036,0)3(

)4()3()3(

xP

xP

xPxPxP

La probabilidad de que se marquen 3 o más pedidos es de 0,0037(0,37%)

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Mayor,C.A., tiene la probabilidad de que se marque un

pedido en 0,10. Calcular la probabilidad de que en

cuatro pedidos, menos de 3 estén marcados

p = 0,1

n = 4

P( x< 3 ) = P(x=2) + P(x=1) + P(x=0) = ?

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)0()1()2()3( xPxPxPxP

040

141

242

)1(!0)!04(

!4)0(

)1(!1)!14(

!4)1(

)1(!2)!24(

!4)2(

ppxP

ppxP

ppxP

21

6561,0)1,01()1,0(!0)!04(

!4)0(

2916,0)1,01()1,0(!1)!14(

!4)1(

0486,0)1,01()1,0(!2)!24(

!4)2(

040

141

242

xP

xP

xP

22

9963,0)3(

6561,02916,00486,0)3(

)0()1()2()3(

xP

xP

xPxPxPxP

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La Distribución Binomial:Media Aritmética

La media μ de la distribución binomial es igual al número de veces que se repite E multiplicado por la probabilidad de éxito.

npXE )(

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La Distribución Binomial: Varianza y Desviación

Estándar

)1()(2 ppnXV

La varianza de la distribución binomial es:

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La Distribución Binomial: Varianza y Desviación

Estándar

La desviación estándar de la distribución binomial es:

)1(2 pnp

26

4,0)1,0)(4()( npXE

36,0

)9,0)(1,0)(4()1()(2

2

pnpXV

6,036,02